Tall-leksikon - Matematikk på nett - Nordreisa videregående skole
Tall-leksikon - Matematikk på nett - Nordreisa videregående skole
Tall-leksikon - Matematikk på nett - Nordreisa videregående skole
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Dagens tall:<br />
• e ≈ 2,<br />
71828182845904523536028747135266249775724709369995<br />
e<br />
• e er grunntallet til de naturlige logaritmene, også kalt napieranske logaritmer etter<br />
den britiske matematikeren Napier – trass i at Napier ikke hadde noen idé om å bruke e<br />
som grunntall.<br />
• <strong>Tall</strong>et fikk navnet e av Euler som beviste at<br />
•<br />
lim<br />
e =<br />
n → ∞<br />
n<br />
n n<br />
!<br />
14<br />
lim ⎛ 1 ⎞<br />
e = ⎜1+<br />
⎟<br />
x → ∞⎝<br />
x ⎠<br />
2 3 4<br />
x x x<br />
• Newton viste i 1665 at: e = 1+<br />
x + + + + ...<br />
2!<br />
3!<br />
4!<br />
x<br />
der 5! = 1⋅<br />
2⋅3<br />
⋅4<br />
⋅5<br />
og leses ”5<br />
1 1 1 1 1 1<br />
fakultet” . Av dette følger at e = + + + + + + ... når x =1 og 0! = 1.<br />
0!<br />
1!<br />
2!<br />
3!<br />
4!<br />
5!<br />
• Det er lett å huske de første sifrene i e: 2,7 1828 1828 45 90 45 Men akkurat som<br />
for π fins det ikke noe mønster, det er uendelig mange sifre og e kan ikke skrives som<br />
brøk eller rottegn. Euler beviste at e er irrasjonal i 1737. Hermite beviste av e er<br />
transcendent i 1873: Slå opp!<br />
878<br />
• Ei god tilnærming til e er brøken .<br />
323<br />
π −1<br />
• Euler fant også sammenhengen med π : e = −1<br />
• En fantastisk og bemerkelsesverdig egenskap med e er at stigningstallet, altså<br />
endringen til funksjonen<br />
f =<br />
x<br />
( x)<br />
e er lik funksjonen sjøl! (Det betyr at hvis vi<br />
x<br />
deriverer eller integrerer e skjer det ingen ting!<br />
• Hvis du velger reelle tall mellom null og én og legger dem sammen, vil du i<br />
gjennomsnitt velge e tall før summen overstiger én. Prøv! Kalkulatoren kan plukke<br />
tilfeldige tall mellom 0 og 1 med ran# eller rnd#.<br />
• Det er mange tilnærminger mellom e og π , mange svært unøyaktige. Her er en<br />
9 8<br />
overraskende god en: 10⋅ e<br />
≈ π<br />
x<br />
.