9 Kombinatorikk og sannsynlighet

76
FAKTA
Utvalg Et utvalg er den delen vi har trukket ut av
en stÖrre mengde.
Kombinatorikk — systematisere og telle hvor mange mÔter
et utvalg kan kombineres pÔ, kaller vi
kombinatorikk.
Ordnet utvalg Objektene er trukket ut ett av gangen.
uten tilbake- RekkefÖlgen de er trukket i, spiller en rolle.
legging
Eksempel:Vi kan ordne n klosser pÔ
n! ulike mÔter.
Uordnet utvalg Objektene er trukket ett av gangen.
uten tilbake- RekkefÖlgen de er trukket i, spiller ingen rolle.
legging
Eksempel: I lotto trekkes kulene e¤navgangen.
Hvilken rekkefÖlge de trekkes i, spiller ingen rolle.
Ordnet utvalg Hvert objekt legges tilbake etter hver trekning.
med tilbake- RekkefÖlgen de er trukket i, spiller en rolle.
legging
Formelen n k viser hvor mange mÔter vi kan trekke k elementer pÔ
nÔr vi har n mulige utfall i hver trekning.
Eksempel: I en bolle ligger det seks sifre: 0, 1, 2, 3, 4 og 5.
FÖrst trekker vi si¡eret pÔ tierplassen.Vi legger sÔ si¡eret
tilbake i bollen fÖr vi trekker si¡eret pÔ enerplassen.
Vi har 6 forskjellige sifre i hver trekning. NÔr vi trekker to sifre,
har vi n k =6 2 =6 6=36forskjellige utfall.

EMNE 9–KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET FAKTA
Uordnet utvalg Hvert element legges tilbake etter hver trekning.
med tilbake- RekkefÖlgen de er trukket i, spiller ingen rolle.
legging
Eksempel: I isbaren kan vi fÔ kjÖpt kuleis med smakene vanilje,
sjokolade, jordb×r og pistasj. Hvor mange ulike mÔter kan vi
kombinere to av disse smakene pÔ dersom rekkefÖlgen ikke spiller
noen rolle? Vi kan godt ha to kuler av samme smak.
Vanilje Sjokolade Jordbær Pistasj
Vanilje Vanilje–Vanilje Vanilje–Sjokolade Vanilje–Jordbær Vanilje–Pistasj
Sjokolade Sjokolade–Vanilje Sjokolade–Sjokolade Sjokolade–Jordbær Sjokolade–Pistasj
Jordbær Jordbær–Vanilje Jordbær–Sjokolade Jordbær–Jordbær Jordbær–Pistasj
Pistasj Pistasj–Vanilje Pistasj–Sjokolade Pistasj–Jordbær Pistasj–Pistasj
Valgtre Et valgtre synliggjÖr kombinasjoner
med £ere objekter. Den nederste raden
viser antall mulige kombinasjoner.
Multiplikasjons- Vi kan regne ut antall kombinasjoner
setningen ved Ô multiplisere antall mulige utfall pÔ
hvert nivÔ med hverandre:
n1 n2 n3 ... np;
der np er det siste mulige utfallet.
Tabell Med en tabell kan vi ordne elementene systematisk
pÔ en oversiktlig mÔte.
Fakultet ^ n! n! er et matematisk begrep som vi leser ’’n-fakultet’’.
n! = n ðn 1Þ ðn 2Þ ... 3 2 1
Sannsynlighet Med sannsynlighet mener vi hvor stor mulighet det er for at en hending
skal skje. Sannsynligheten kan skrives som desimaltall, brÖk eller prosent.
1 1 3
4 2 4
0 % 25 % 50 % 75 % 100 %
0 0,25 0,5 0,75 1
Hendingen kan Denne hendingen Hendingen inntreffer Denne hendingen Det er helt
ikke skje inntreffer i 25 % i halvparten av inntreffer i 75 % sikkert at denne
av tilfellene tilfellene av tilfellene hendingen
kommer til å skje
77

78
EMNE 9–KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET FAKTA
Sannsynlig- I sannsynlighetsregning regner vi ut sjansen eller muligheten for at
hetsregning en hending skal inntre¡e.Vi bruker bokstaven P som symbol pÔ
sannsynlighet.
De store GjÖr vi et forsÖk eller utfÖrer en trekning sv×rt mange ganger,
talls lov vil den relative frekvensen for hvert utfall n×rme seg sannsynligheten.
Utfall Resultatet av et forsÖk kaller vi utfall. Metodene fra kombinatorikken
er verktÖy vi bruker nÔr vi skal ¢nne antall mulige utfall i et forsÖk.
Utfallsrom Mengden av alle mulige utfall kaller vi utfallsrommet.
Symbolet for utfallsrommet er U.
Eksempel: Utfallsrommet til en terning med seks sider er
U =f1, 2, 3, 4, 5, 6g.
Gunstige utfall De utfallene som gir oss det vi leter etter, eller som det spÖrres om,
kaller vi gunstige utfall.
Uniform Er alle utfallene i et forsÖk like sannsynlige,
sannsynlighet har vi uniform sannsynlighet.
Sannsynligheten P =
antall gunstige utfall
antall mulige utfall
Eksempel: NÔr vi kaster en terning med seks sider, er det like stor
sannsynlighet for Ô fÔ en toer som en sekser. Sannsynligheten for
Ô fÔ en toer er
Pð2Þ = 1
6
Valgtre Valgtre er en av metodene vi kan
bruke til Ô synliggjÖre utfallsrommet
og ¢nne sannsynligheten for et
av utvalgene. S×rlig nÔr vi skal
kombinere £ere objekter, er valgtre
et godt egnet hjelpemiddel.
Eksempel:
Det er 1
2 = 0,50 = 50 % sannsynlighet
for Ô fÔ en jente og en gutt dersom vi fÔr to barn.
Det er 1
4 = 0,25 = 25 % sannsynlighet
for Ô fÔ fÖrst en jente og sÔ en gutt dersom vi fÔr to barn.

EMNE 9–KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET FAKTA
Hendinger Dersom to hendingerA og B ikke kan ¢nne sted samtidig,
som ikke ¢nner vi sannsynligheten for at minst en av hendingene skal skje,
overlapper som summen av sannsynlighetene. Enten skjer det ene, eller sÔ skjer
det andre. Dette kan vi ogsÔ kalle enten^eller-regelen.
PðA eller BÞ = PðAÞ + PðBÞ
Venndiagram Et venndiagram er en mÔte Ô vise alle
sammenhengene mellom to eller £ere
mengder pÔ.
Sannsynligheten For at en hending A ikke skal skje, gjelder
for at en hending
ikke skal skje
Pðikke AÞ =1 PðAÞ:
Uavhengige NÔr hendinger ikke virker inn pÔ hverandre, kaller vi det
hendinger uavhengige hendinger.
Dersom A og B er uavhengige hendinger, kan vi ¢nne sannsynligheten
for at begge hendingene skjer, ved Ô multiplisere sannsynligheten for at
den ene hendingen skal skje med sannsynligheten for at den andre
hendingen skal skje. Dette kaller vi bÔde^og-regelen, bÔde det ene
og det andre skal skje.
PðA og BÞ = PðAÞ PðBÞ
Avhengige NÔr resultatet i andre trekning er avhengig av resultatet i fÖrste
hendinger trekning, kaller vi det avhengige hendinger. Dersom sannsynligheten
i en trekning er betinget av en annen hending, kaller vi det ogsÔ
betinget sannsynlighet.
Eksempel: Hvor stor er sannsynligheten for Ô trekke to hjerter etter
hverandre fra en kortstokk?
I fÖrste trekning er det 13 hjerter Ô velge mellom av 52 kort.
FÖrste trekning: PðhjerterÞ = 13
52
FÔr vi en hjerter i fÖrste trekning, er det en hjerter mindre Ô velge
mellom neste gang. Det er ogsÔ et kort mindre i kortstokken.
Andre trekning: PðhjerterÞ = 12
Pðhjerter og hjerterÞ = 13
52
Ikke-uniform ForsÖk der utfallene ikke er like sannsynlige.
sannsynlighet Eksempel: Kaster vi en tegnestift, lander den ikke like mange ganger
med spissen opp som med spissen ned.
12
51
51
79