9 Kombinatorikk og sannsynlighet
9 Kombinatorikk og sannsynlighet
9 Kombinatorikk og sannsynlighet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
76<br />
FAKTA<br />
Utvalg Et utvalg er den delen vi har trukket ut av<br />
en stÖrre mengde.<br />
<strong>Kombinatorikk</strong> — systematisere <strong>og</strong> telle hvor mange mÔter<br />
et utvalg kan kombineres pÔ, kaller vi<br />
kombinatorikk.<br />
Ordnet utvalg Objektene er trukket ut ett av gangen.<br />
uten tilbake- RekkefÖlgen de er trukket i, spiller en rolle.<br />
legging<br />
Eksempel:Vi kan ordne n klosser pÔ<br />
n! ulike mÔter.<br />
Uordnet utvalg Objektene er trukket ett av gangen.<br />
uten tilbake- RekkefÖlgen de er trukket i, spiller ingen rolle.<br />
legging<br />
Eksempel: I lotto trekkes kulene e¤navgangen.<br />
Hvilken rekkefÖlge de trekkes i, spiller ingen rolle.<br />
Ordnet utvalg Hvert objekt legges tilbake etter hver trekning.<br />
med tilbake- RekkefÖlgen de er trukket i, spiller en rolle.<br />
legging<br />
Formelen n k viser hvor mange mÔter vi kan trekke k elementer pÔ<br />
nÔr vi har n mulige utfall i hver trekning.<br />
Eksempel: I en bolle ligger det seks sifre: 0, 1, 2, 3, 4 <strong>og</strong> 5.<br />
FÖrst trekker vi si¡eret pÔ tierplassen.Vi legger sÔ si¡eret<br />
tilbake i bollen fÖr vi trekker si¡eret pÔ enerplassen.<br />
Vi har 6 forskjellige sifre i hver trekning. NÔr vi trekker to sifre,<br />
har vi n k =6 2 =6 6=36forskjellige utfall.
EMNE 9–KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET FAKTA<br />
Uordnet utvalg Hvert element legges tilbake etter hver trekning.<br />
med tilbake- RekkefÖlgen de er trukket i, spiller ingen rolle.<br />
legging<br />
Eksempel: I isbaren kan vi fÔ kjÖpt kuleis med smakene vanilje,<br />
sjokolade, jordb×r <strong>og</strong> pistasj. Hvor mange ulike mÔter kan vi<br />
kombinere to av disse smakene pÔ dersom rekkefÖlgen ikke spiller<br />
noen rolle? Vi kan godt ha to kuler av samme smak.<br />
Vanilje Sjokolade Jordbær Pistasj<br />
Vanilje Vanilje–Vanilje Vanilje–Sjokolade Vanilje–Jordbær Vanilje–Pistasj<br />
Sjokolade Sjokolade–Vanilje Sjokolade–Sjokolade Sjokolade–Jordbær Sjokolade–Pistasj<br />
Jordbær Jordbær–Vanilje Jordbær–Sjokolade Jordbær–Jordbær Jordbær–Pistasj<br />
Pistasj Pistasj–Vanilje Pistasj–Sjokolade Pistasj–Jordbær Pistasj–Pistasj<br />
Valgtre Et valgtre synliggjÖr kombinasjoner<br />
med £ere objekter. Den nederste raden<br />
viser antall mulige kombinasjoner.<br />
Multiplikasjons- Vi kan regne ut antall kombinasjoner<br />
setningen ved Ô multiplisere antall mulige utfall pÔ<br />
hvert nivÔ med hverandre:<br />
n1 n2 n3 ... np;<br />
der np er det siste mulige utfallet.<br />
Tabell Med en tabell kan vi ordne elementene systematisk<br />
pÔ en oversiktlig mÔte.<br />
Fakultet ^ n! n! er et matematisk begrep som vi leser ’’n-fakultet’’.<br />
n! = n ðn 1Þ ðn 2Þ ... 3 2 1<br />
Sannsynlighet Med <strong>sannsynlighet</strong> mener vi hvor stor mulighet det er for at en hending<br />
skal skje. Sannsynligheten kan skrives som desimaltall, brÖk eller prosent.<br />
1 1 3<br />
4 2 4<br />
0 % 25 % 50 % 75 % 100 %<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
Hendingen kan Denne hendingen Hendingen inntreffer Denne hendingen Det er helt<br />
ikke skje inntreffer i 25 % i halvparten av inntreffer i 75 % sikkert at denne<br />
av tilfellene tilfellene av tilfellene hendingen<br />
kommer til å skje<br />
77
78<br />
EMNE 9–KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET FAKTA<br />
Sannsynlig- I <strong>sannsynlighet</strong>sregning regner vi ut sjansen eller muligheten for at<br />
hetsregning en hending skal inntre¡e.Vi bruker bokstaven P som symbol pÔ<br />
<strong>sannsynlighet</strong>.<br />
De store GjÖr vi et forsÖk eller utfÖrer en trekning sv×rt mange ganger,<br />
talls lov vil den relative frekvensen for hvert utfall n×rme seg <strong>sannsynlighet</strong>en.<br />
Utfall Resultatet av et forsÖk kaller vi utfall. Metodene fra kombinatorikken<br />
er verktÖy vi bruker nÔr vi skal ¢nne antall mulige utfall i et forsÖk.<br />
Utfallsrom Mengden av alle mulige utfall kaller vi utfallsrommet.<br />
Symbolet for utfallsrommet er U.<br />
Eksempel: Utfallsrommet til en terning med seks sider er<br />
U =f1, 2, 3, 4, 5, 6g.<br />
Gunstige utfall De utfallene som gir oss det vi leter etter, eller som det spÖrres om,<br />
kaller vi gunstige utfall.<br />
Uniform Er alle utfallene i et forsÖk like sannsynlige,<br />
<strong>sannsynlighet</strong> har vi uniform <strong>sannsynlighet</strong>.<br />
Sannsynligheten P =<br />
antall gunstige utfall<br />
antall mulige utfall<br />
Eksempel: NÔr vi kaster en terning med seks sider, er det like stor<br />
<strong>sannsynlighet</strong> for Ô fÔ en toer som en sekser. Sannsynligheten for<br />
Ô fÔ en toer er<br />
Pð2Þ = 1<br />
6<br />
Valgtre Valgtre er en av metodene vi kan<br />
bruke til Ô synliggjÖre utfallsrommet<br />
<strong>og</strong> ¢nne <strong>sannsynlighet</strong>en for et<br />
av utvalgene. S×rlig nÔr vi skal<br />
kombinere £ere objekter, er valgtre<br />
et godt egnet hjelpemiddel.<br />
Eksempel:<br />
Det er 1<br />
2 = 0,50 = 50 % <strong>sannsynlighet</strong><br />
for Ô fÔ en jente <strong>og</strong> en gutt dersom vi fÔr to barn.<br />
Det er 1<br />
4 = 0,25 = 25 % <strong>sannsynlighet</strong><br />
for Ô fÔ fÖrst en jente <strong>og</strong> sÔ en gutt dersom vi fÔr to barn.
EMNE 9–KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET FAKTA<br />
Hendinger Dersom to hendingerA <strong>og</strong> B ikke kan ¢nne sted samtidig,<br />
som ikke ¢nner vi <strong>sannsynlighet</strong>en for at minst en av hendingene skal skje,<br />
overlapper som summen av <strong>sannsynlighet</strong>ene. Enten skjer det ene, eller sÔ skjer<br />
det andre. Dette kan vi <strong>og</strong>sÔ kalle enten^eller-regelen.<br />
PðA eller BÞ = PðAÞ + PðBÞ<br />
Venndiagram Et venndiagram er en mÔte Ô vise alle<br />
sammenhengene mellom to eller £ere<br />
mengder pÔ.<br />
Sannsynligheten For at en hending A ikke skal skje, gjelder<br />
for at en hending<br />
ikke skal skje<br />
Pðikke AÞ =1 PðAÞ:<br />
Uavhengige NÔr hendinger ikke virker inn pÔ hverandre, kaller vi det<br />
hendinger uavhengige hendinger.<br />
Dersom A <strong>og</strong> B er uavhengige hendinger, kan vi ¢nne <strong>sannsynlighet</strong>en<br />
for at begge hendingene skjer, ved Ô multiplisere <strong>sannsynlighet</strong>en for at<br />
den ene hendingen skal skje med <strong>sannsynlighet</strong>en for at den andre<br />
hendingen skal skje. Dette kaller vi bÔde^<strong>og</strong>-regelen, bÔde det ene<br />
<strong>og</strong> det andre skal skje.<br />
PðA <strong>og</strong> BÞ = PðAÞ PðBÞ<br />
Avhengige NÔr resultatet i andre trekning er avhengig av resultatet i fÖrste<br />
hendinger trekning, kaller vi det avhengige hendinger. Dersom <strong>sannsynlighet</strong>en<br />
i en trekning er betinget av en annen hending, kaller vi det <strong>og</strong>sÔ<br />
betinget <strong>sannsynlighet</strong>.<br />
Eksempel: Hvor stor er <strong>sannsynlighet</strong>en for Ô trekke to hjerter etter<br />
hverandre fra en kortstokk?<br />
I fÖrste trekning er det 13 hjerter Ô velge mellom av 52 kort.<br />
FÖrste trekning: PðhjerterÞ = 13<br />
52<br />
FÔr vi en hjerter i fÖrste trekning, er det en hjerter mindre Ô velge<br />
mellom neste gang. Det er <strong>og</strong>sÔ et kort mindre i kortstokken.<br />
Andre trekning: PðhjerterÞ = 12<br />
Pðhjerter <strong>og</strong> hjerterÞ = 13<br />
52<br />
Ikke-uniform ForsÖk der utfallene ikke er like sannsynlige.<br />
<strong>sannsynlighet</strong> Eksempel: Kaster vi en tegnestift, lander den ikke like mange ganger<br />
med spissen opp som med spissen ned.<br />
12<br />
51<br />
51<br />
79