Algebra og geometri - Universitetet i Oslo

Algebra og geometri
Et eksempel p˚a hvordan en kan bruke algebra til ˚a løse
geometriske problemer.
Arne B. Sletsjøe
Universitetet i Oslo
May 22, 2013

en spesiell takk til Julian Folkman Rossnes for materiale som er
brukt i dette foredraget

Abelprisvinnere 2003-2013

Pierre Deligne, Institute for Advanced Study, Princeton, New
Jersey, USA er tildelt Abelprisen for 2013 for sitt meget
betydningsfulle bidrag til algebraisk geometri, og for disse
bidragenes gjennomgripende innflytelse p˚a tallteori,
representasjonsteori og relaterte felt.

Pierre Deligne, Institute for Advanced Study, Princeton, New
Jersey, USA er tildelt Abelprisen for 2013 for sitt meget
betydningsfulle bidrag til algebraisk geometri, og for disse
bidragenes gjennomgripende innflytelse p˚a tallteori,
representasjonsteori og relaterte felt.
Vi skal se p˚a et eksempel p˚a fruktbart samspill mellom algebra og
geometri.

Problem:
Kan man tredele vinkler ved hjelp av . . . ?

Problem:
Kan man tredele vinkler ved hjelp av . . . ?
Hvis ja: M˚a finne en metode
Hvis nei: M˚a vise at ingen metode funker

Problem:
Kan man tredele vinkler ved hjelp av . . . ?
Hvis ja: M˚a finne en metode
Hvis nei: M˚a vise at ingen metode funker
Problem: Det finnes potensielt uendelig mange metoder,
og vi kan aldri vite om vi har prøvd ut alle.

Problem:
Kan man tredele vinkler ved hjelp av passer og linjal?

Problem:
Kan man tredele vinkler ved hjelp av passer og linjal?
Svar: Nei, men vanskelig ˚a vise direkte fordi man ikke kan teste ut
uendelig mange metoder!

Problem:
Kan man tredele vinkler ved hjelp av passer og linjal?
Svar: Nei, men vanskelig ˚a vise direkte fordi man ikke kan teste ut
uendelig mange metoder!
Problem:
Kan man tredele vinkler ved hjelp av neusis?

Problem:
Kan man tredele vinkler ved hjelp av passer og linjal?
Svar: Nei, men vanskelig ˚a vise direkte fordi man ikke kan teste ut
uendelig mange metoder!
Problem:
Kan man tredele vinkler ved hjelp av neusis?
Svar: Ja, enkelt ˚a vise ved ˚a skrive opp en metode.

Illustrasjon: Wikipedia
Neusis: Gitt to kurver i planet, l
og m, et punkt P og en lengde
s. Da kan man rotere en merket
linje om punktet P, slik at
lengden av linjestykket mellom
skjæringspunktene mellom linjen
og kurvene l og m er av lengde
s.

C
q
D
O
3q
B
E
A

Gitt en spiss vinkel med toppunkt i O. Vi sl˚ar en sirkel med
sentrum i O og lar skjæringspunktene mellom sirkelen og
vinkelbeina være A og B.
Ved neusis kan vi n˚a trekke en linje fra B til forlengelsen av OA
(som den skjærer i C) slik at denne linjas andre skjæringspunkt
med sirkelen (som vi kaller D) oppfyller CD = OB. Linja gjennom
OD skjærer sirkelen i punktet E (i tillegg til D).
Siden CD = OD, s˚a er trekanten △COD likebeint, og
∠OCD = ∠DOC = q. Toppvinkler er like store, s˚a vi har ogs˚a
∠EOA = q. Det følger at
∠BDO = π − ∠CDO = π − (π − 2q) = 2q
Videre er △OBD likebeint og ∠BDO = ∠OBD = 2q, som gir
∠BOD = π − 2 · 2q. Dermed følger det at
∠AOB = π − ∠EOA − ∠BOD = π − q − (π − 4q) = 3q

Her kommer den lure ideen.
Nemlig ˚a bruke algebra.
Vi oversetter geometrien til
algebra.
.

Hva betyr det algebraisk ˚a tredele en vinkel?

Hva betyr det algebraisk ˚a tredele en vinkel?
˚A konstruere en vinkel α er det samme som ˚a konstruere en lengde
som tilsvarer cos α. For eksempel, ˚a tredele en vinkel p˚a 60 ◦ betyr
˚a konstruere cos 20 ◦ .

Hva betyr det algebraisk ˚a tredele en vinkel?
˚A konstruere en vinkel α er det samme som ˚a konstruere en lengde
som tilsvarer cos α. For eksempel, ˚a tredele en vinkel p˚a 60 ◦ betyr
˚a konstruere cos 20 ◦ .
cos 60 ◦ = cos 40 ◦ cos 20 ◦ − sin 40 ◦ sin 20 ◦
= (cos 2 20 ◦ − sin 2 20 ◦ ) cos 20 ◦ − 2 sin 20 ◦ cos 20 ◦ sin 20 ◦
= cos 3 20 ◦ − (1 − cos 2 20 ◦ ) cos 20 ◦ − 2 cos 20 ◦ (1 − cos 2 20 ◦ )
= 4 cos 3 20 ◦ − 3 cos 20 ◦
Med andre ord, ˚a konstruere en løsning til likningen 1
2 = 4x 3 − 3x.

C
q
D
O
3q
B
E
A

La O = (0, 0) og radiusen |OA| = 1. La D = (p, q) og
C = (−a, 0). Linja CB er gitt ved y = q
a+p (x + a), hvor (p, q)
oppfyller p2 + q2 = 1. Sett ∠DCO = α, og cos α = −p.
Kombinerer vi p2 + q2 = 1 med (p + a) 2 + q2 = 1 f˚ar vi a = −2p.
Skjæringspunktet mellom linja CB og sirkelen er gitt ved
x 2 + q
a + p (x + a) 2
= 1
Dette gir
(a 2 + 2ap + p 2 + q 2 )x 2 + (2aq 2 )x + (a 2 q 2 − a 2 − 2ap − p 2 ) = 0
Substitusjon med a = −2p (og p 2 + q 2 = 1) gir
x 2 + (4p 3 − 4p)x + (3p 2 − 4p 4 ) = 0
Vi løser 2.gradslikningen og f˚ar
x = 2p − 2p 3 ± (2p 3 − p) =
p
−4p 3 + 3p
Setter vi cos α = −p, f˚ar vi x = 4 cos α 3 − 3 cos α = cos 3α.

Passer og linjal:
1) Skjæring mellom to linjer.
2) Skjæring mellom linje og
sirkel
3) Skjæring mellom to sirkler

Alle tall vi kan konstruere med passer og linjal er løsninger av
kvadratiske likninger, mens tredeling av vinkler svarer til løsning av
en tredjegradslikning.

Alle tall vi kan konstruere med passer og linjal er løsninger av
kvadratiske likninger, mens tredeling av vinkler svarer til løsning av
en tredjegradslikning.
Derfor kan vi ikke tredele vinkler med passer og linjal.

Abelforelesningene:
Georg Sverdrups Hus,
22. mai 2013 kl 11:00 - 15:45
11.00 Abel Laureate 2013, Professor Pierre Deligne: Hidden
symmetries of algebraic varieties.
12.45 Professor Nicholas Katz, Princeton University: Life Over
Finite Fields.
13.30 Professor Claire Voisin, École Polytechnique and CNRS:
Mixed Hodge structures and the topology of algebraic varieties.
14:45 Science Lecture: Professor Ravi Vakil, Stanford University:
Algebraic geometry and the ongoing unification of mathematics.