Newtons tre lover og tyngdekraften - Verdensrommet
Newtons tre lover og tyngdekraften - Verdensrommet
Newtons tre lover og tyngdekraften - Verdensrommet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Nat104 / Grimstad<br />
Forelesningsnotater<br />
Våren 2011<br />
<strong>Newtons</strong> 3 <strong>lover</strong><br />
UiA / Tarald Peersen
1 <strong>Newtons</strong> 3 <strong>lover</strong><br />
1.1 Forelesning: <strong>Newtons</strong> <strong>tre</strong> fundamentale <strong>lover</strong> for bevegelse<br />
I leksjon 1 lærte vi ”språket” som beskriver en bevegelse uten å tenke på hvordan den ble satt i<br />
gang. I denne leksjonen skal vi se på årsaken til bevegelsen. Av erfaringer fra dagliglivet vet vi<br />
at det er krefter som må til. Det kan være muskelkrefter, gravitasjonskrefter, magnetiske krefter<br />
eller elektriske krefter. Generelt kan man si at en krafts virkning på legemer er gitt av <strong>Newtons</strong><br />
<strong>tre</strong> <strong>lover</strong>. Historien bak lovene (<strong>og</strong>så gravitasjonsloven) til Sir Isaac Newton (1642-1727) er lang,<br />
den er et resultat av flere generasjoners arbeid fra Copernicus, Tycho Brahe, Kepler <strong>og</strong> Galilei.<br />
<strong>Newtons</strong> <strong>tre</strong> <strong>lover</strong> <strong>og</strong> gravitasjonsloven gjelder når systemet ikke er i akselerasjon <strong>og</strong> når farten<br />
på systemet ikke er sammenliknbar med lyshastigheten. <strong>Newtons</strong> <strong>lover</strong> (1687) er fundamentale<br />
<strong>og</strong> universelle. Loven er fundamental når den baserer seg på erfaring <strong>og</strong> når den ikke kan utledes<br />
av andre prinsipper. Keplers <strong>lover</strong> er ikke fundamentale fordi disse kan utledes av Keplers <strong>lover</strong>.<br />
Loven er universell dersom loven gjelder overalt i Universet.<br />
Begrepet masse i fysikken<br />
Mengden av det stoffet et legeme er bygd opp av kalles masse. Symbolet for masse er m. En<br />
fysisk størrelse har alltid måltall <strong>og</strong> enhet. Enheten for masse er gitt av standardlegemet. Som<br />
standardlegeme er valgt (SI-systemet) en metallsylinder. Denne sylinderen (masseprototypen)<br />
blir oppbevart i Paris.<br />
Definisjonen av masseenheten 1kg (ett kil<strong>og</strong>ram): Ett kil<strong>og</strong>ram (1kg) er massen av<br />
kil<strong>og</strong>ramprototypen<br />
Fire egenskaper som er knyttet til massen av legemet:<br />
(a) Masse <strong>og</strong> <strong>tre</strong>ghet:<br />
En <strong>tre</strong>nger bare å sparke til en kule av jern for å bli overbevist om at kula setter seg imot<br />
hastighetsforandringen. Vi sier at legemet er <strong>tre</strong>gt. Jo større masse et legeme har jo <strong>tre</strong>gere er<br />
legemet<br />
<strong>Newtons</strong> 1.lov (<strong>tre</strong>ghetsloven) sier at et legeme er i ro eller har konstant fart langs en rett linje<br />
dersom nettokraften på legemet er null.<br />
Dersom nettokraften på Månen (en planet) er null vil Månen bevege seg langs en rett linje <strong>og</strong><br />
forsvinne ut i verdensrommet.<br />
2
(b) Masse <strong>og</strong> vekt (eng. weight)<br />
Om høsten faller eplet fra <strong>tre</strong>et <strong>og</strong> ned på marka fordi eplet har tyngde, det oppstår en<br />
til<strong>tre</strong>kningskraft mellom jorden <strong>og</strong> eplet på grunn av deres masser. Det er denne<br />
til<strong>tre</strong>kningskraften som vi kan kalle eplets tyngde. (<strong>Newtons</strong> gravitasjons lov)<br />
(c) Masse <strong>og</strong> energi<br />
Kjernekraftverkene produserer elektrisk energi av grunnstoffet uran. Det var Einstein som i 1905<br />
satte likhet mellom energi <strong>og</strong> masse.<br />
(d) Masse, akselerasjon <strong>og</strong> kraft<br />
Dersom samme kraft virker på to legemer med ulik masse, vil forholdet mellom massene<br />
bestemme deres akselerasjon i forhold til hverandre.<br />
<strong>Newtons</strong> 1. lov <strong>og</strong> en partikkel i likevekt eller konstant fart<br />
a) <strong>Newtons</strong> 1. lov når legemet er i ro<br />
Kraftdiagram for klossen<br />
n<br />
w<br />
Figur 2.1 viser en v<strong>og</strong>n som ligger i ro på en rullebane. Ingen krefter virker på v<strong>og</strong>nen i<br />
horisontalretning (x-retning) fordi banen har ingen helning.<br />
I vertikalretning derimot virker to krefter på v<strong>og</strong>nen. Den ene er underlagskraften som vi<br />
kan kalle normalkraften (n), det er banen som setter opp denne kraften. Den andre<br />
kraften er v<strong>og</strong>nens tyngde (w), det Jordens som <strong>tre</strong>kker på v<strong>og</strong>nen med denne kraften.<br />
Normalkraften <strong>og</strong> tyngden må være like store <strong>og</strong> motsatt rettet (<strong>Newtons</strong> 1. lov).<br />
”Free-Body” diagram for klossen<br />
3
n<br />
w<br />
y<br />
x<br />
Fig 2.2 viser klossen i et ”Tree-Body” diagram er redusert til et punkt, diagrammet viser<br />
kun kreften som virker i y-retning<br />
Formelen for <strong>Newtons</strong> 1. lov: ∑Fy 0 Vi bruker formelen <strong>og</strong> får: n w<br />
b) <strong>Newtons</strong> 1. lov når legemet har konstant fart<br />
Kraftdiagram for klossen<br />
f<br />
n<br />
w<br />
v<br />
T<br />
4
”Free-Body” diagram for klossen<br />
f<br />
n<br />
y<br />
w<br />
Skal klossen gli med konstant kraft m nettokraften i x- <strong>og</strong> y-retning være null. De to<br />
kreftene i x-retning må være like, det samme må kreftene i y-retning være.<br />
Formlene for <strong>Newtons</strong> 1. lov: ∑Fx 0 <strong>og</strong> ∑Fy 0 Vi bruker formlene <strong>og</strong> får:<br />
T f <strong>og</strong> n w<br />
<strong>Newtons</strong> 2. lov <strong>og</strong> en partikkel i akselerasjon<br />
Dersom en y<strong>tre</strong> nettokraft angriper et legeme, vil legemet akselerere. Retningen på<br />
akselerasjonen er den samme som retningen på nettokraften. Nettokraften er lik legemets masse<br />
multiplisert med akselerasjonen.<br />
Legemet i dette kurset skal kun bevege seg enten i x-retning eller i y-retning. Newton 2. lov for<br />
disse to retningene er:<br />
∑Fx m⋅ ax ∑Fy m⋅ ay Akselerasjon på skråplan – et forsøk (Grimstad mangler utstyr)<br />
Vi skal i dette forsøket undersøke hva som skjer med v<strong>og</strong>nens akselerasjon når vi ender<br />
skråplanets helningsvinkel. Benytter samme utstyr <strong>og</strong> forsøksfil (”posisjonsfunksjonen.ds”) som<br />
tidligere. Velg 6 vinkler <strong>og</strong> bestem v<strong>og</strong>nas akselerasjon i alle tilfelene. Framstill deretter<br />
resultatet i et koordinatsystem der y-aksen er akselerasjonen (a) <strong>og</strong> x-aksen er sinus til vinkelen<br />
(x/y). Foreta en lineær tilpassning <strong>og</strong> bestem linjens stigningstall. Hva forteller dette<br />
stigningstallet <strong>og</strong> avles usikkerheten? Hvilken akselerasjon har klossen når x er lik y?<br />
T<br />
x<br />
5
Vi skal i denne forelesningen vise hvordan forsøket utføres, studentene skal utføre øvelsen på<br />
laben. Ideen bak denne øvelsen er å komme fram til et resultat som ikke er kjent på forhånd <strong>og</strong><br />
som vi senere skal forklare ved hjelp av <strong>Newtons</strong> andre lov.<br />
x<br />
y<br />
α<br />
V<strong>og</strong>nas helningsvinkel er definert av forholdet (se figuren): x<br />
. I matematikken defineres dette<br />
forholdet lik sinus til vinkelen). Sinus til vinkelen er lik forholdet mellom x (høydeforskjellen<br />
mellom de skråplanets ender) <strong>og</strong> y (lengden av skråplanet lik 228,5 cm).<br />
Faglærer foreslår følgende høydeforskjeller:<br />
Figuren viser et typisk resultat, vi ser at målepunktene ligger tilnærmet på en rett linje.<br />
Stigningstallet for linjen er 9,62, en usikkerhet på 0,12. Hva viser dette tallet?<br />
Tilleggsoppgave<br />
Undersøk påstanden til Aristoteles (384-322 f. Kr):<br />
y<br />
x:= ( 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0)<br />
”En stor stein faller dobbelt så fort som en liten stein dersom den store steinen veier dobbelt så<br />
mye”<br />
6
Teori som forklarer forsøksresultatet – <strong>Newtons</strong> 2. lov<br />
Vi erfarer <strong>tyngdekraften</strong> i hverdagslivet. Vi skal diskutere <strong>og</strong> lære om konsekvensene av denne<br />
fantastiske kraften i Fys110 til våren. Størrelsen på <strong>tyngdekraften</strong> er lik legemets masse<br />
multiplisert med tyngdeakselerasjonen:<br />
Det er <strong>tyngdekraften</strong>s parallellkomponent som akselerer v<strong>og</strong>na (wx):<br />
y<br />
x<br />
x<br />
w m⋅ g<br />
wx m⋅ a<br />
w<br />
y<br />
α<br />
w<br />
wx<br />
Tyngdekraften (w) angriper i v<strong>og</strong>nens tyngdepunkt, tyngden vises som en pil (vektor), den har<br />
retning mot Jordens sentrum. Vi kan erstatte w-vektoren med vektorkomponentene wx <strong>og</strong> wy.<br />
Legg merke til at w-vektoren er diagonal i rektangelet der sidene er gitt av wx <strong>og</strong> wy. Legg <strong>og</strong>så<br />
merke til at helningsvinkelen er lik vinkelen mellom vektorene w <strong>og</strong> wy i rektangelet. De to gule<br />
<strong>tre</strong>kantene i figuren er ensformet, det vil si vinklene i de to <strong>tre</strong>kantene er like store. Vi kan derfor<br />
sette opp følgende forhold mellom sidene i <strong>tre</strong>kantene.<br />
Vi setter inn for utrykkene for wx <strong>og</strong> w<br />
m⋅a m⋅g w x<br />
w<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
α<br />
y<br />
7
Forkorter vi bort massen får vi<br />
V<strong>og</strong>nas akselerasjon nedover skråplanet øker proporsjonalt med vinkelen når vinkelen er mindre<br />
enn ca. 15 grader. Proporsjonalitetskonstanten er g, tyngdens akselerasjon. Vårt resultat i<br />
forsøket var 9,6m/s 2 . At målt verdi for tyngdens akselerasjon er noe lavere enn tabellverdien på<br />
9.8m/s 2 skyldes friksjonen. Legg merke til at når x er lik y vil v<strong>og</strong>na falle fritt parallelt med<br />
skråplanet, akselerasjonen er da 9.8m/s 2 .<br />
I dette kurset skal kreftene som virker på et legeme kun ligge i x- retning eller (<strong>og</strong>) y-retning.<br />
Legemet skal kun ha akselerasjon i en av disse retningene. I alle oppgavene skal kreftene være<br />
konstante under bevegelsen<br />
<strong>Newtons</strong> <strong>lover</strong> gjelder når bevegelsen referer seg til et system som ikke er i akselerasjon. Dette<br />
systemet blir kalt for et referansesystem (<strong>tre</strong>ghetssystem)<br />
Jorden for eksempel er hele tiden i akselerasjon. Den akselerer hele tiden i sin bane rundt Solen<br />
<strong>og</strong> når den roterer. Et system som roterer har akselerasjon. Jordens akselerasjon er ubetydelig, av<br />
den grunn gjelder <strong>Newtons</strong> <strong>lover</strong> her på Jorden.<br />
Et lite tenkeeksperiment: Du sitter i t<strong>og</strong>et på vei til Oslo. Foran deg har du et bord. Du tar fram<br />
ballen du har i veska <strong>og</strong> legger den på bordet. Den ligger i utgangspunktet i ro. Men plutselig<br />
begynner den å trille ut mot vinduet uten at noen krefter virker på ballen. Hvordan kan du<br />
forklare denne bevegelsen?<br />
Kraftenheten: Newton (N)<br />
a g x<br />
⋅<br />
y<br />
Det er den andre loven til Newton som definerer enheten for kraft i det internasjonale<br />
enhetssystemet (SI-systemet)<br />
En newton er den kraften som gir massen på 1kg en akselerasjon på 1m/s 2 .<br />
Benytter 2. loven til Newton får vi: N kg m<br />
s 2<br />
⋅<br />
<strong>Newtons</strong> 3. lov <strong>og</strong> krefter mellom to systemer<br />
Fotballspilleren angriper ballen med en kraft (FA on B), som kalles for aksjonskraften.<br />
I kontaktøyeblikket angriper ballen fotballspilleren (FB on A), som kalles reaksjonskraften. Disse<br />
to<br />
kreftene er like store, motsatt rettet <strong>og</strong> angriper forskjellig legemer. I dette tilfellet ball <strong>og</strong><br />
fotballspiller. Legg <strong>og</strong>så merke til at de to kreftene ligger på samme linje.<br />
8
<strong>Newtons</strong> 3. lov:<br />
A<br />
B<br />
FB<br />
on A<br />
Denne loven er fundamental fordi den baserer seg på erfaring <strong>og</strong> kan ikke utledes fra<br />
grunnregeler. Denne loven er <strong>og</strong>så universell for den gjelder overalt i Universet. Vi må for<br />
eksempel ta utgangspunkt i <strong>Newtons</strong> 3. lov når vi skal forklare hvorfor Jorden går i bane rundt<br />
Solen.<br />
Fysikkoppgave løst med ISEE-metoden<br />
Identifisering / “Identify”<br />
F AonB<br />
− FBonA Systemet vi skal betrakte i denne oppgaven består av <strong>tre</strong> deler, systemet beveger seg i<br />
vertikalretning. Den øverste klossen angripes av en kraft på 200N, retningen på denne kraften er<br />
opp (i positiv y-retning). Tyngden av de <strong>tre</strong> delene peker i negativ y- retning. Den øverste<br />
klossen har massen 6,00kg, den nederste klossen <strong>og</strong> tauet som binder klossene sammen har<br />
henholdsvis massene 5,00kg <strong>og</strong> 4,00kg). Figuren under viser de fire y<strong>tre</strong> kreftene som virker på<br />
systemet. Vi skal undersøke om systemet har akselerasjon <strong>og</strong> vi skal finne de kreftene som virker<br />
i tauets to ender. Til slutt skal vi finne kraften i tauet midt mellom klossene.<br />
F A on B<br />
Et system består av to kosser som er koplet sammen med et hom<strong>og</strong>ent tau som har<br />
massen m2 := 4.00⋅ kg . Den øverste klossen har massen: m1 := 6.00⋅ kg.<br />
Systemet beveger<br />
seg i vertikalretning. Den øverste klossen angripes av en kraft på: F1 := 200⋅N , retning<br />
oppover. Den nederste klossen har massen m3 := 5.00⋅ kg . a) Tegn “free body” diagram<br />
for hver del i systemet. b) Finn systemets akselerasjon. c) Finn kraften i tauet nærmest<br />
den øverste klossen d) Finn kraften i tauet nærmest den nederste klossen e) (vanskelig)<br />
Finn kraften i midt mellom klossene.<br />
9
F<br />
w<br />
m<br />
w<br />
1<br />
1<br />
w<br />
3<br />
2<br />
2<br />
=200N<br />
m<br />
m<br />
3<br />
1<br />
=4,00kg<br />
= 6,00kg<br />
=5,00kg<br />
Figuren viser de to klossene <strong>og</strong> tauet mellom klossene, de y<strong>tre</strong> kreftene er markert<br />
Analyse <strong>og</strong> strukturering / “Set up”<br />
Kreftene er konstant <strong>og</strong> bevegelsen går langs en rett linje. Vi benytter <strong>Newtons</strong> 2. <strong>og</strong> 3. lov<br />
∑Fy m⋅ ay Kjente størrelser<br />
a) ”Free body” diagram for hvert delsystem<br />
y<br />
F<br />
1<br />
w<br />
1<br />
F<br />
2 on 1<br />
F AonB<br />
Øverste klossen Tauet Nederste klossen<br />
y<br />
F<br />
1 on 2<br />
w<br />
2<br />
F<br />
3 on 2<br />
− FBonA m1 := 6⋅kg m2 := 4⋅kg m3 := 5⋅kg F1 :=<br />
200⋅N y<br />
F<br />
2 on 3<br />
w w3<br />
10
Beregningene/Utførelse “Execute”<br />
b) Systemets akselerasjon: Vi anvender <strong>Newtons</strong> lov for hele systemet:<br />
w1 := m1⋅g w2 := m2⋅g w3 := m3⋅g F1 − w1 − w2 − w3 m1 + m2 + m1 Vurderinger <strong>og</strong> refleksjon/ “Evaluate”<br />
( ) ⋅ ay F1 − w1 − w2 − w3 ay := a<br />
m1 + m2 + m<br />
y 3.53<br />
3<br />
m<br />
s 2<br />
=<br />
Akselerasjonen er rett oppover, den er 3,53 m/s 2 .<br />
c) Kraften i tauet nærmest den øvre klossen: Vi anvender <strong>Newtons</strong> lov på den øverste klossen<br />
F1 − w1 − F2on1 m1⋅ ay F2on1 := −ay⋅m1 − w1 + F1 F2on1 = 120N<br />
Tauet virker på øverste klossen med en kraft nedover, kraften størrelse er 120N<br />
d) Kraften i tauet nærmest den nedre klossen: Vi anvender <strong>Newtons</strong> lov på tauet<br />
F1on2 := F2on1 F1on2 − w2 − F3on2 m2⋅ ay ( )<br />
F3on2 := −m2⋅ay − w2 + F1on2 F3on2 = 66.7N<br />
Vi kan kontrollere beregningene ved å anvende <strong>Newtons</strong> 2 lov på den nederste klossen:<br />
F2on3 − w3 m3⋅ ay F2on3 := F3on2 m3⋅ay = 17.633N F2on3 − w3 = 17.633N<br />
Vi ser at utrykkene på begge sider av likhetstegnet gir samme svar, vi har regnet rett<br />
e) S<strong>tre</strong>kket midt i tauet:<br />
Skal vi løse dette problemet kan vi enten velge øverste halvdelen av tauet som systemet. Eller vi kan velge den<br />
nedre halvdelen av tauet som system.<br />
Vi anvender <strong>Newtons</strong> 2. lov på den øvre delen av tauet<br />
w2 F1on2 − − T<br />
2<br />
midten<br />
m2 2 a w2 m2 ⋅ y Tmidten F1on2 −<br />
2 2 a := − ⋅ y Tmidten =<br />
93.3N<br />
Systemets akselerasjon er bestemt av de y<strong>tre</strong> kreftene som angiriper systemet. De y<strong>tre</strong> kreftene er<br />
200N <strong>og</strong> tyngden av de <strong>tre</strong> delene. Skal vi finne kraften i tauet må vi splitte systemet opp i de <strong>tre</strong><br />
delene. Tauet vil angripe den øverste klossen med en kraft som er rettet nedover, vi beregner<br />
11
denne kraften til 120N (nedover). S<strong>tre</strong>kket eller kraften midt i tauet reduseres til 93N. Kraften i<br />
tauets nedre del er 68 N. Tauet vil eventuelt først ryke øversts dersom det ikke tåler belastningen.<br />
Vi undersøker <strong>Newtons</strong> 3. lov på rullebanen (Grimstad mangler utstyr)<br />
Rullebanen plasseres i horisontal stilling (benytt nivåføttene). Vi plasserer et ekkolodd i begge<br />
ender av rullebanen. Midt mellom ekkoloddene plasser vi de to v<strong>og</strong>nene. Benytt vekten <strong>og</strong><br />
bestem massen for de to v<strong>og</strong>nene. Den ene v<strong>og</strong>nen skal ha spent fjær, denne settes mot den andre<br />
v<strong>og</strong>na. Ta utgangspunkt i forsøksfilen ”<strong>Newtons</strong> 3 lov Lik kraft på lik masse.ds” <strong>og</strong> datal<strong>og</strong>geren<br />
SW750. Vi skal utløse fjæren <strong>og</strong> finne farten for de to v<strong>og</strong>nene etter kraftstøtet.<br />
Grafene i figuren viser et typisk resultat. Kommenter resultatet.<br />
1.2 Vi regner oppgaver<br />
Øvingsoppgaver<br />
Oppgave 1<br />
Det er ofte nyttig å vite hvor mye masse som befinner seg innenfor et bestemt volum, denne<br />
størrelsen kaller vi tetthet: ρ m<br />
har tettheten enheten: kg<br />
m 3<br />
usikkerheten i målingene.<br />
V<br />
. Symbolet ρ er den greske bokstaven "rho". I SI-systemet<br />
. Benytt passende måleutstyr <strong>og</strong> finn tettheten av en <strong>tre</strong>kloss, finn<br />
12
Oppgave 2<br />
Et legeme har masse ml Oppgave 3 Et legeme med masse m l<br />
1.3 Laboratorieøving (UiA Grimstad mangler utstyr, ikke pensum)<br />
Lab øving 1<br />
:= 4⋅kg . Det blir påvirket av en kraft: F 16⋅N Akselerasjon på skråplan – et forsøk (se side 7)<br />
:= 3⋅kg har hastigheten v0 6 m<br />
⋅<br />
:= Finn akselerasjonen.<br />
:= . Det blir angrepet av en<br />
konstant kraft slik at hastigheten blir null i løpet av tiden t := 3⋅s . (a) Hvor stor er<br />
akselerasjonen? (b) Hvor stor er kraften. (c) Hvor langt går legemet i løpet av de 3 sekundene?<br />
Lab øving 2<br />
Universitet i Agder har en del vekter av ulik kvalitet, undersøk disse <strong>og</strong> finn den minste<br />
massen som kan måles på de vektene som undersøkes. Angi <strong>og</strong>så vektens målenøyaktighet.<br />
s<br />
13