Newtons tre lover og tyngdekraften - Verdensrommet

Nat104 / Grimstad
Forelesningsnotater
Våren 2011
Newtons 3 lover
UiA / Tarald Peersen

1 Newtons 3 lover
1.1 Forelesning: Newtons tre fundamentale lover for bevegelse
I leksjon 1 lærte vi ”språket” som beskriver en bevegelse uten å tenke på hvordan den ble satt i
gang. I denne leksjonen skal vi se på årsaken til bevegelsen. Av erfaringer fra dagliglivet vet vi
at det er krefter som må til. Det kan være muskelkrefter, gravitasjonskrefter, magnetiske krefter
eller elektriske krefter. Generelt kan man si at en krafts virkning på legemer er gitt av Newtons
tre lover. Historien bak lovene (også gravitasjonsloven) til Sir Isaac Newton (1642-1727) er lang,
den er et resultat av flere generasjoners arbeid fra Copernicus, Tycho Brahe, Kepler og Galilei.
Newtons tre lover og gravitasjonsloven gjelder når systemet ikke er i akselerasjon og når farten
på systemet ikke er sammenliknbar med lyshastigheten. Newtons lover (1687) er fundamentale
og universelle. Loven er fundamental når den baserer seg på erfaring og når den ikke kan utledes
av andre prinsipper. Keplers lover er ikke fundamentale fordi disse kan utledes av Keplers lover.
Loven er universell dersom loven gjelder overalt i Universet.
Begrepet masse i fysikken
Mengden av det stoffet et legeme er bygd opp av kalles masse. Symbolet for masse er m. En
fysisk størrelse har alltid måltall og enhet. Enheten for masse er gitt av standardlegemet. Som
standardlegeme er valgt (SI-systemet) en metallsylinder. Denne sylinderen (masseprototypen)
blir oppbevart i Paris.
Definisjonen av masseenheten 1kg (ett kilogram): Ett kilogram (1kg) er massen av
kilogramprototypen
Fire egenskaper som er knyttet til massen av legemet:
(a) Masse og treghet:
En trenger bare å sparke til en kule av jern for å bli overbevist om at kula setter seg imot
hastighetsforandringen. Vi sier at legemet er tregt. Jo større masse et legeme har jo tregere er
legemet
Newtons 1.lov (treghetsloven) sier at et legeme er i ro eller har konstant fart langs en rett linje
dersom nettokraften på legemet er null.
Dersom nettokraften på Månen (en planet) er null vil Månen bevege seg langs en rett linje og
forsvinne ut i verdensrommet.
2

(b) Masse og vekt (eng. weight)
Om høsten faller eplet fra treet og ned på marka fordi eplet har tyngde, det oppstår en
tiltrekningskraft mellom jorden og eplet på grunn av deres masser. Det er denne
tiltrekningskraften som vi kan kalle eplets tyngde. (Newtons gravitasjons lov)
(c) Masse og energi
Kjernekraftverkene produserer elektrisk energi av grunnstoffet uran. Det var Einstein som i 1905
satte likhet mellom energi og masse.
(d) Masse, akselerasjon og kraft
Dersom samme kraft virker på to legemer med ulik masse, vil forholdet mellom massene
bestemme deres akselerasjon i forhold til hverandre.
Newtons 1. lov og en partikkel i likevekt eller konstant fart
a) Newtons 1. lov når legemet er i ro
Kraftdiagram for klossen
n
w
Figur 2.1 viser en vogn som ligger i ro på en rullebane. Ingen krefter virker på vognen i
horisontalretning (x-retning) fordi banen har ingen helning.
I vertikalretning derimot virker to krefter på vognen. Den ene er underlagskraften som vi
kan kalle normalkraften (n), det er banen som setter opp denne kraften. Den andre
kraften er vognens tyngde (w), det Jordens som trekker på vognen med denne kraften.
Normalkraften og tyngden må være like store og motsatt rettet (Newtons 1. lov).
”Free-Body” diagram for klossen
3

n
w
y
x
Fig 2.2 viser klossen i et ”Tree-Body” diagram er redusert til et punkt, diagrammet viser
kun kreften som virker i y-retning
Formelen for Newtons 1. lov: ∑Fy 0 Vi bruker formelen og får: n w
b) Newtons 1. lov når legemet har konstant fart
Kraftdiagram for klossen
f
n
w
v
T
4

”Free-Body” diagram for klossen
f
n
y
w
Skal klossen gli med konstant kraft m nettokraften i x- og y-retning være null. De to
kreftene i x-retning må være like, det samme må kreftene i y-retning være.
Formlene for Newtons 1. lov: ∑Fx 0 og ∑Fy 0 Vi bruker formlene og får:
T f og n w
Newtons 2. lov og en partikkel i akselerasjon
Dersom en ytre nettokraft angriper et legeme, vil legemet akselerere. Retningen på
akselerasjonen er den samme som retningen på nettokraften. Nettokraften er lik legemets masse
multiplisert med akselerasjonen.
Legemet i dette kurset skal kun bevege seg enten i x-retning eller i y-retning. Newton 2. lov for
disse to retningene er:
∑Fx m⋅ ax ∑Fy m⋅ ay Akselerasjon på skråplan – et forsøk (Grimstad mangler utstyr)
Vi skal i dette forsøket undersøke hva som skjer med vognens akselerasjon når vi ender
skråplanets helningsvinkel. Benytter samme utstyr og forsøksfil (”posisjonsfunksjonen.ds”) som
tidligere. Velg 6 vinkler og bestem vognas akselerasjon i alle tilfelene. Framstill deretter
resultatet i et koordinatsystem der y-aksen er akselerasjonen (a) og x-aksen er sinus til vinkelen
(x/y). Foreta en lineær tilpassning og bestem linjens stigningstall. Hva forteller dette
stigningstallet og avles usikkerheten? Hvilken akselerasjon har klossen når x er lik y?
T
x
5

Vi skal i denne forelesningen vise hvordan forsøket utføres, studentene skal utføre øvelsen på
laben. Ideen bak denne øvelsen er å komme fram til et resultat som ikke er kjent på forhånd og
som vi senere skal forklare ved hjelp av Newtons andre lov.
x
y
α
Vognas helningsvinkel er definert av forholdet (se figuren): x
. I matematikken defineres dette
forholdet lik sinus til vinkelen). Sinus til vinkelen er lik forholdet mellom x (høydeforskjellen
mellom de skråplanets ender) og y (lengden av skråplanet lik 228,5 cm).
Faglærer foreslår følgende høydeforskjeller:
Figuren viser et typisk resultat, vi ser at målepunktene ligger tilnærmet på en rett linje.
Stigningstallet for linjen er 9,62, en usikkerhet på 0,12. Hva viser dette tallet?
Tilleggsoppgave
Undersøk påstanden til Aristoteles (384-322 f. Kr):
y
x:= ( 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0)
”En stor stein faller dobbelt så fort som en liten stein dersom den store steinen veier dobbelt så
mye”
6

Teori som forklarer forsøksresultatet – Newtons 2. lov
Vi erfarer tyngdekraften i hverdagslivet. Vi skal diskutere og lære om konsekvensene av denne
fantastiske kraften i Fys110 til våren. Størrelsen på tyngdekraften er lik legemets masse
multiplisert med tyngdeakselerasjonen:
Det er tyngdekraftens parallellkomponent som akselerer vogna (wx):
y
x
x
w m⋅ g
wx m⋅ a
w
y
α
w
wx
Tyngdekraften (w) angriper i vognens tyngdepunkt, tyngden vises som en pil (vektor), den har
retning mot Jordens sentrum. Vi kan erstatte w-vektoren med vektorkomponentene wx og wy.
Legg merke til at w-vektoren er diagonal i rektangelet der sidene er gitt av wx og wy. Legg også
merke til at helningsvinkelen er lik vinkelen mellom vektorene w og wy i rektangelet. De to gule
trekantene i figuren er ensformet, det vil si vinklene i de to trekantene er like store. Vi kan derfor
sette opp følgende forhold mellom sidene i trekantene.
Vi setter inn for utrykkene for wx og w
m⋅a m⋅g w x
w
x
y
x
y
α
y
7

Forkorter vi bort massen får vi
Vognas akselerasjon nedover skråplanet øker proporsjonalt med vinkelen når vinkelen er mindre
enn ca. 15 grader. Proporsjonalitetskonstanten er g, tyngdens akselerasjon. Vårt resultat i
forsøket var 9,6m/s 2 . At målt verdi for tyngdens akselerasjon er noe lavere enn tabellverdien på
9.8m/s 2 skyldes friksjonen. Legg merke til at når x er lik y vil vogna falle fritt parallelt med
skråplanet, akselerasjonen er da 9.8m/s 2 .
I dette kurset skal kreftene som virker på et legeme kun ligge i x- retning eller (og) y-retning.
Legemet skal kun ha akselerasjon i en av disse retningene. I alle oppgavene skal kreftene være
konstante under bevegelsen
Newtons lover gjelder når bevegelsen referer seg til et system som ikke er i akselerasjon. Dette
systemet blir kalt for et referansesystem (treghetssystem)
Jorden for eksempel er hele tiden i akselerasjon. Den akselerer hele tiden i sin bane rundt Solen
og når den roterer. Et system som roterer har akselerasjon. Jordens akselerasjon er ubetydelig, av
den grunn gjelder Newtons lover her på Jorden.
Et lite tenkeeksperiment: Du sitter i toget på vei til Oslo. Foran deg har du et bord. Du tar fram
ballen du har i veska og legger den på bordet. Den ligger i utgangspunktet i ro. Men plutselig
begynner den å trille ut mot vinduet uten at noen krefter virker på ballen. Hvordan kan du
forklare denne bevegelsen?
Kraftenheten: Newton (N)
a g x
⋅
y
Det er den andre loven til Newton som definerer enheten for kraft i det internasjonale
enhetssystemet (SI-systemet)
En newton er den kraften som gir massen på 1kg en akselerasjon på 1m/s 2 .
Benytter 2. loven til Newton får vi: N kg m
s 2
⋅
Newtons 3. lov og krefter mellom to systemer
Fotballspilleren angriper ballen med en kraft (FA on B), som kalles for aksjonskraften.
I kontaktøyeblikket angriper ballen fotballspilleren (FB on A), som kalles reaksjonskraften. Disse
to
kreftene er like store, motsatt rettet og angriper forskjellig legemer. I dette tilfellet ball og
fotballspiller. Legg også merke til at de to kreftene ligger på samme linje.
8

Newtons 3. lov:
A
B
FB
on A
Denne loven er fundamental fordi den baserer seg på erfaring og kan ikke utledes fra
grunnregeler. Denne loven er også universell for den gjelder overalt i Universet. Vi må for
eksempel ta utgangspunkt i Newtons 3. lov når vi skal forklare hvorfor Jorden går i bane rundt
Solen.
Fysikkoppgave løst med ISEE-metoden
Identifisering / “Identify”
F AonB
− FBonA Systemet vi skal betrakte i denne oppgaven består av tre deler, systemet beveger seg i
vertikalretning. Den øverste klossen angripes av en kraft på 200N, retningen på denne kraften er
opp (i positiv y-retning). Tyngden av de tre delene peker i negativ y- retning. Den øverste
klossen har massen 6,00kg, den nederste klossen og tauet som binder klossene sammen har
henholdsvis massene 5,00kg og 4,00kg). Figuren under viser de fire ytre kreftene som virker på
systemet. Vi skal undersøke om systemet har akselerasjon og vi skal finne de kreftene som virker
i tauets to ender. Til slutt skal vi finne kraften i tauet midt mellom klossene.
F A on B
Et system består av to kosser som er koplet sammen med et homogent tau som har
massen m2 := 4.00⋅ kg . Den øverste klossen har massen: m1 := 6.00⋅ kg.
Systemet beveger
seg i vertikalretning. Den øverste klossen angripes av en kraft på: F1 := 200⋅N , retning
oppover. Den nederste klossen har massen m3 := 5.00⋅ kg . a) Tegn “free body” diagram
for hver del i systemet. b) Finn systemets akselerasjon. c) Finn kraften i tauet nærmest
den øverste klossen d) Finn kraften i tauet nærmest den nederste klossen e) (vanskelig)
Finn kraften i midt mellom klossene.
9

F
w
m
w
1
1
w
3
2
2
=200N
m
m
3
1
=4,00kg
= 6,00kg
=5,00kg
Figuren viser de to klossene og tauet mellom klossene, de ytre kreftene er markert
Analyse og strukturering / “Set up”
Kreftene er konstant og bevegelsen går langs en rett linje. Vi benytter Newtons 2. og 3. lov
∑Fy m⋅ ay Kjente størrelser
a) ”Free body” diagram for hvert delsystem
y
F
1
w
1
F
2 on 1
F AonB
Øverste klossen Tauet Nederste klossen
y
F
1 on 2
w
2
F
3 on 2
− FBonA m1 := 6⋅kg m2 := 4⋅kg m3 := 5⋅kg F1 :=
200⋅N y
F
2 on 3
w w3
10

Beregningene/Utførelse “Execute”
b) Systemets akselerasjon: Vi anvender Newtons lov for hele systemet:
w1 := m1⋅g w2 := m2⋅g w3 := m3⋅g F1 − w1 − w2 − w3 m1 + m2 + m1 Vurderinger og refleksjon/ “Evaluate”
( ) ⋅ ay F1 − w1 − w2 − w3 ay := a
m1 + m2 + m
y 3.53
3
m
s 2
=
Akselerasjonen er rett oppover, den er 3,53 m/s 2 .
c) Kraften i tauet nærmest den øvre klossen: Vi anvender Newtons lov på den øverste klossen
F1 − w1 − F2on1 m1⋅ ay F2on1 := −ay⋅m1 − w1 + F1 F2on1 = 120N
Tauet virker på øverste klossen med en kraft nedover, kraften størrelse er 120N
d) Kraften i tauet nærmest den nedre klossen: Vi anvender Newtons lov på tauet
F1on2 := F2on1 F1on2 − w2 − F3on2 m2⋅ ay ( )
F3on2 := −m2⋅ay − w2 + F1on2 F3on2 = 66.7N
Vi kan kontrollere beregningene ved å anvende Newtons 2 lov på den nederste klossen:
F2on3 − w3 m3⋅ ay F2on3 := F3on2 m3⋅ay = 17.633N F2on3 − w3 = 17.633N
Vi ser at utrykkene på begge sider av likhetstegnet gir samme svar, vi har regnet rett
e) Strekket midt i tauet:
Skal vi løse dette problemet kan vi enten velge øverste halvdelen av tauet som systemet. Eller vi kan velge den
nedre halvdelen av tauet som system.
Vi anvender Newtons 2. lov på den øvre delen av tauet
w2 F1on2 − − T
2
midten
m2 2 a w2 m2 ⋅ y Tmidten F1on2 −
2 2 a := − ⋅ y Tmidten =
93.3N
Systemets akselerasjon er bestemt av de ytre kreftene som angiriper systemet. De ytre kreftene er
200N og tyngden av de tre delene. Skal vi finne kraften i tauet må vi splitte systemet opp i de tre
delene. Tauet vil angripe den øverste klossen med en kraft som er rettet nedover, vi beregner
11

denne kraften til 120N (nedover). Strekket eller kraften midt i tauet reduseres til 93N. Kraften i
tauets nedre del er 68 N. Tauet vil eventuelt først ryke øversts dersom det ikke tåler belastningen.
Vi undersøker Newtons 3. lov på rullebanen (Grimstad mangler utstyr)
Rullebanen plasseres i horisontal stilling (benytt nivåføttene). Vi plasserer et ekkolodd i begge
ender av rullebanen. Midt mellom ekkoloddene plasser vi de to vognene. Benytt vekten og
bestem massen for de to vognene. Den ene vognen skal ha spent fjær, denne settes mot den andre
vogna. Ta utgangspunkt i forsøksfilen ”Newtons 3 lov Lik kraft på lik masse.ds” og dataloggeren
SW750. Vi skal utløse fjæren og finne farten for de to vognene etter kraftstøtet.
Grafene i figuren viser et typisk resultat. Kommenter resultatet.
1.2 Vi regner oppgaver
Øvingsoppgaver
Oppgave 1
Det er ofte nyttig å vite hvor mye masse som befinner seg innenfor et bestemt volum, denne
størrelsen kaller vi tetthet: ρ m
har tettheten enheten: kg
m 3
usikkerheten i målingene.
V
. Symbolet ρ er den greske bokstaven "rho". I SI-systemet
. Benytt passende måleutstyr og finn tettheten av en trekloss, finn
12

Oppgave 2
Et legeme har masse ml Oppgave 3 Et legeme med masse m l
1.3 Laboratorieøving (UiA Grimstad mangler utstyr, ikke pensum)
Lab øving 1
:= 4⋅kg . Det blir påvirket av en kraft: F 16⋅N Akselerasjon på skråplan – et forsøk (se side 7)
:= 3⋅kg har hastigheten v0 6 m
⋅
:= Finn akselerasjonen.
:= . Det blir angrepet av en
konstant kraft slik at hastigheten blir null i løpet av tiden t := 3⋅s . (a) Hvor stor er
akselerasjonen? (b) Hvor stor er kraften. (c) Hvor langt går legemet i løpet av de 3 sekundene?
Lab øving 2
Universitet i Agder har en del vekter av ulik kvalitet, undersøk disse og finn den minste
massen som kan måles på de vektene som undersøkes. Angi også vektens målenøyaktighet.
s
13