hent - HFB

OP SL AG
HFB 2012 / 13
358
Matematik
Aritmetisk række (differensrække):
Geometrisk række (kvotientrække):
Trekantberegning
Retvinklet trekant:
Skævvinklet trekant:
Trigonometriske formler
MATEMATIK OG TRIGOMETRISKE FORMLER
www.hfb.dk ·© Byggecentrum

HFB 2012 / 13
Trigonometriske funktioner
grafisk fremstilling og grænseværdier
Flader
areal og tyngdepunkt
www.hfb.dk ·© Byggecentrum
Kvadrant
MATEMATIK OG TRIGOMETRISKE FORMLER
I II III IV Grad 0 30 45 60 90 180 270 360
sin + + – – sin 0 +1 0 –1 0
cos + – – + cos +1 + 1
2
+
2 2
2
0 –1 0 +1
1√2 + 1 +
√3
2 2
1 + 1√3 + 1√2 tg + – + – tg 0 +1 +√3 ∞ 0 ∞ 0
ctg + – + – ctg ∞ +√3 +1 + 0 ∞ 0 ∞
1 +
√3
3
1√3 3
Betegnelse Areal Tyngdepunkt
Trekant
h = højden vinkelret på a
s = 1 ( a + b + c)
2
Rektangel
Parallelogram
Trapez
Regelmæssig n-kant
Cirkel
Periferien 0 = 2 π r
Cirkelafsnit
F = 1 ah
2
= 1 ab sin γ
2
= √s (s – a) ( s – b) (s – c)
F = a • b
F = ah = • √b 2 – c 2
F = 1 h (a + b)
2
F = na2 ctg
α
4 2
= nR2
sin α
2
= nr2 tg α
2
F = πr 2
= π d 2
4
⎝
F =
⎝
r2 • π
– sin α
2 180
α
⎝
x = h
3
S 0 ligger i medianernes skæringspunkt
x = b 2
S 0 ligger i diagonalernes skæringspunkt
x = h
2
S 0 ligger i diagonalernes skæringspunkt
x = 1 h
a + 2b
3 a + b
Konstruktionen af S 0 fremgår
af tegningen
S 0 ligger i centrum
S 0 ligger i centrum
x = S3
12 F
359
OP SL AG

OP SL AG
HFB 2012 / 13
360
Flader, fortsat
areal og tyngdepunkt
MATEMATIK OG TRIGOMETRISKE FORMLER
Betegnelse Areal Tyngdepunkt
Cirkeludsnit
Cirkelring
Tværsnit
areal, tyngdepunkt, inerti- og modstandmoment
S 0 ligger i centrum
Areal Tyngdepunktets Inertimoment Modstandsmoment
Tværsnit F afstand J
W = J
e
e
3√3 a 2
2
bh h bh 3 bh 2
2 12 6
h 2 h h 4 h 3
2 12 6
h2 h h
√2
4 √2 3 3
h = 0,1179 h
2 12 12
bh 2 bh3 bh2 h
2 3 36 24
I en ligesidet trekant bliver h = 0,8660 b
0,4333 b 2 0,5778 b ~ 0,0181 b 4 ~ 0,0313 b 3
= 2,598 a 2
F = 1 br = ϕ° r 2 π
2 360
⎛b
= πr
ϕ°
= 0,01745 rϕ°
⎝ 180
F = π (R 2 – r 2 )
a
= π (D 2 – d 2 )
4
√ 3 = 0,866 a
4
a
x = 2 r s
3 b
for ϕ = 60° x = 2r = 0,6366 r
π
for ϕ = 90° x = 4 √2 r = 0,6002 r
3 π
for ϕ = 180° x = 4 r 3 π
= 0,4244 r
5√3
16 a4 = 0,5413 a 4
5√3
16
a 3 = 0,5413 a 3
2,828 R2 0,924 R 0,6906 R3 = 0,6381 R4 1+2 √2 4 R
6
Sidelængde
⎝
⎛
0,8284 d2 0,0547d 4 0,1095 d3 a = d
= 0,4142 d
1+ √2
5 a 3
8
www.hfb.dk ·© Byggecentrum

HFB 2012 / 13
Tværsnit, fortsat
areal og tyngdepunkt, inerti- og modstandmoment
www.hfb.dk ·© Byggecentrum
MATEMATIK OG TRIGOMETRISKE FORMLER
π d4 = π r4 π d3 = π r3
= 0,0491 d4 ~ 0,05 d4 = 0,0982 d3 ~ 0,1 d3 πr2 =
π d2 Areal Tyngdepunktets Inertimoment Modstandsmoment
Tværsnit F afstand J
W =
4
d
2
J
e e
64 4 32
4
Legemer
Volumen, overflade, tyngdepunkt m.m.
V = volumen; O = overflade; M = lodret eller skråtstillet overflade;
x = tyngdepunktets afstand fra grundfladen.
Terning
Retvinklet prisme
πab a π ba 3 = 0,7854 ba 3
4
π r 2
2
b (H – h)
e 1 = 0,4244 r
e 2 = 0,5756 r
H
2
A2 2 – a
A
2
A 2 – a 2 A √2
2
π (D 2 – d 2 )
4
V = a 3
O = 6a 2
x = a
2
d = a√3
= 1,7321 a
V = abh
O = 2 (ab + ah + bh)
x = h
2
d = √a 2 + b 2 + h 2
D
2
= 0,1098 r 4
b (H 3 – h 3 )
12
A 4 – a 4
12
A 4 – a 4
12
π (D 4 – d 4 )
64
= π (R 4 – r 4 )
4
Sekssidet prisme
= 0,7854 r 4 = 0,7854 r 3
Prisme
med regulær
mangekant-grundflade
G = grundflade
a = sidelængde
n = sidetal
π ba 2 = 0,7854 ba 2
4
W 1 = 0,2587 r 3
W 2 = 0,1908 r 3
b (H 3 – h 3 )
6H
1 A 4 – a 4
6 A
A4 – a4 √2
12A
= 0,1179 (A4 – a 4 )
A
π D 4 – d 4
32 D
= π (R4 – r 4 )
4 R
V = 2,598 a 2 h
O = 5,1963 a 2 + 6ah
x = h
2
d = √ h 2 + 4a 2
(jf. figuren for retv. prisme)
V = Gh
O = 2G + nha
M = nha
x = h
2
361
OP SL AG

OP SL AG
HFB 2012 / 13
362
Legemer, fortsat
volumen, overflade, tyngdepunkt m.m.
Cylinder
Cylinderkappe (rør)
Afskåret cylinder
Kegle
Keglestub
Pyramide
Pyramidestub
V = r 2 πh = Gh
O = 2πr (r + h)
M = 2πrh
x = h
2
V = πh (R 2 – r 2 )
= πs (2R – s)h
= πhs (2r + s)
x = h
2
V = R 2 π h 1 + h 2
2
M = Rπ (h 1 + h 2)
D = √4R 2 + (h 2 – h 1 ) 2
x = h 1 + h 2 · ⎛ 1 + (h 2 – h 1 ) 2
⎞
2 ⎝ 4(h 2 + h 1 ) 2 ⎠
V = πR2h ; x =
h
3 4
M = πRs
s = √R 2 + h 2
V = πh (R2 + Rr + r2 )
3
=
4 3
h ⎡πσ2 + 1 πδ2 ⎤
⎣ ⎦
M = πsσ
σ = R + r δ
δ = R – r
2 + h2 √
4 R2 + Rr + r2 x = h ⋅
R + 2Rr + 3r2
V = Gh
x = h3
4
V = h (G + g +
x = h √Gg)
3
·
G + 2√Gg + 3g
4 G + √Gg + g
Ring med cirk. tv.
Kugle
Kuglekalot
Kugleudsnit
Kuglebælte
Ellipsoide
Omdrejningsparaboloide
MATEMATIK OG TRIGOMETRISKE FORMLER
V = 2π 2 Rr 2
= 1 /4 π 2 Dd 2
O = 4π 2 Rr
= π 2 Dd
V = 4πr3
= πd3
3 6
O = 4πr 2 = πd 2
r = √ 3V
4π
V = πh (3a2 + h2 )
6
= πh2 (3h – h)
M = 2πrh = π (a2 + h2 )
a2 = h (2r – h)
x = 3 3
·
(2r – h)2
4 3r – h
V = 2πr2 h
3
O = πr (2h + a)
x = 3 (2r – h)
8
V = πh (3a2 + 3b2 +h2 )
6
M = 2πrh
r2 = a2 + ⎛a2 – b2 – h ⎞ 2
⎝ 2h ⎠
V = 4 π abc
3
D u = underfladens diameter
V = d u 2 ⋅π ⋅ h
4 2
www.hfb.dk ·© Byggecentrum