1.7 Lineær uavhengighet og ikkesingulære matriser - IfI

1.7 Lineær uavhengighet og ikkesingulære
matriser
N˚a er det grunnleggende om lineære likninger og
behandling av matriser unnagjort.
Vi skal studere et av de mest sentrale begrepene i lineær
algebra, nemlig lineær uavhengighet. Mye av det som
kommer senere avhenger av at man har forst˚aelse for
dette begrepet.
De idéene vi ser p˚a idag er grunnlaget for hele kapittel 2.
Vi skal starte med noen eksempler før vi gir
definisjonen.
Lin.alg. Seksjon 1.7: #1 of 10

Lineær uavhengighet.
Betrakt matrisen
⎡ ⎤
5 −1 3
A = ⎣ ⎦ .
1 4 9
Den har kolonnevektorer
⎡
A1 = ⎣ 5
⎤ ⎡
⎦ , A2 = ⎣
1
−1
⎤
⎦ , A3 =
4
⎡
⎣ 3
9
Fra disse tre vektorene kan vi lage nye vektorer ved ˚a
gange hver vektor med en skalar og deretter beregne
vektorsummen. (Husk: disse operasjonene har vi jo
definert for matriser og dermed for vektorer i IR n ;deer
jo n × 1 matriser). F.eks.
1A1+0A2+2A3 =
⎡
⎣ 11
19
⎤
⎤
⎦
⎦ , (−1)A1+3A2−5A3 =
⎡
⎣ −23
−34
Det er n˚a to spørsm˚al som det er noks˚a naturlig ˚a sep˚a:
1. hvilke vektorer er det mulig ˚a “lage slik”?
2. kan nullvektoren “lages slik”?
Det første spørsm˚alet vil vi se p˚a senere, s˚avi
konsentrer oss her om det siste spørsm˚alet. Først: de
vektorene vi kan “lage slik” er mer presist alle vektorer
p˚aformen
x1A1+x2A2+x3A3
der x1,x2 og x3 er reelle tall. Enhver vektor p˚a denne
formen kalles en lineærkombinasjon av vektorene
A1, A2 og A3.
Lin.alg. Seksjon 1.7: #2 of 10
⎤
⎦

Det er jo klart at vi f˚ar nullvektoren ved ˚a velge
x1 = x2 = x3 = 0 for da blir jo 0A1 + 0A2 + 0A3 = 0.
Dette vil jo alltid være tilfelle uansett hvilke vektorer vi
starter med!
Men vi spør n˚a: kan nullvektoren skrives som en
ikketriviell lineærkombinasjon av vektorene A1, A2 og
A3?
“Ikketriviell” betyr at minst ett av tallene x1,x2,x3 er
ulik 0. Kan jo (foreløpig) se nøyere p˚a vektorene og
prøve oss fram. F.eks. har vi at
⎡
1A1 + 2A2 − A3 = ⎣ 5
⎤ ⎡
⎦ + 2 ⎣
1
−1
4
⎤
⎦ −
⎡
⎣ 3
9
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 0
0
Svaret er alts˚a JA!. Vi sier da at vektorene A1, A2 og A3 er
lineært avhengige. Forklaring p˚a denne betegnelsen er
at vi har fra forrige likning f˚ar f.eks. at
A3 = A1 + 2A2
som er en slags avhengighet mellom vektorene.
Vi kan n˚a gi en generell definisjon av disse begrepene.
⎤
⎦ .
Lin.alg. Seksjon 1.7: #3 of 10

Definisjon 9. En mengde med vektorer
v1, v2,...,vp ∈IR n kalles lineært uavhengige hvis den
eneste løsningen til likningen
x1v1 + x2v2 + ...+xpvp =0
er x1 = x2 = ...=xp =0. Vektorene (eller mengden av
vektorer) kalles lineært avhengige hvis de ikke er lineært
uavhengige, dvs. hvis nullvektoren kan skrives som en
ikketriviell lineærkombinasjon av v1, v2,...,vp.
1. Hvorfor er disse begrepene viktige?
2. Hvordan avgjøre om gitte vektorer er lin. uavhengige?
For ˚a gi svar la oss se p˚a en omformulering. La alts˚a
v1, v2,...,vp ∈IR n være gitt og innfør n × p matrisen
V som har vj som kolonne j. La videre x ∈ IR p .Alts˚a:
⎡ ⎤
V =
v1 v2 ... vp
Vi vet fra matrisealgebraen at
⎢
⎢
, x= ⎢
⎣
x1
x2
.
xn
Vx = x1v1 + x2v2 + ...+xpvp.
⎥
⎥.
⎥
⎦
Men dette betyr jo at v1, v2,...,vp ∈IR n er lineært
uavhengige hvis og bare hvis eneste løsning av det
lineære likningsystemet
er x = 0 (nullvektoren).
Vx = 0
Lin.alg. Seksjon 1.7: #4 of 10

Konklusjon: Vi kan avgøre om vektorene er lineært
uavhengige ved ˚a løse det lineære systemet Vx = 0.
Finner vi en x = 0,s˚aerv1,v2,...,vp lineært avhengige.
Hvis x = 0 er eneste løsning, er vektorene lineært
uavhengige.
I eksemplet v˚art hadde vi
⎡ ⎤
5 −1 3
A = ⎣ ⎦ .
1 4 9
Løser Ax = 0 og finner
⎡ ⎤
1 0 1
ref(A) = ⎣ ⎦
0 1 2
s˚a løsningen er x1 =−x3,x2=−2x3mens x3 er
vilk˚arlig. Vi velger (f.eks.) x3 =−1og f˚ar da x1 = 1,
x2 = 2. Alts˚a:
som før.
3
j=1
xjAj = 1A1 + 2A2 − A3 = 0
Merk: Ved ˚a løse systemet Vx = 0 finner ikke bar ut om
v1, v2,...,vp lineært avhengige, vi finner ogs˚a alle
lineærkombinasjoner av vektorene som gir
nullvektoren. Mengden av slike vektorer x kalles
nullrommet til matrisen V; vi skal vende tilbake til dette.
(Kommentar: nok ˚asep˚a redusert trappeform for V.)
Lin.alg. Seksjon 1.7: #5 of 10

Eksempel: Avgjør om vektorene
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 3 1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ 0 ⎥ ⎢
⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢
⎥ ⎢ 5 ⎥
⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥
⎢
⎣ 0 ⎥ ⎢
⎦ ⎣ 0 ⎥ ⎢
⎦ ⎣ 6 ⎥
⎦
0 0 0
er lineært uavhengige. Her er
⎡ ⎤
1 0 0
⎢ ⎥
⎢ 0 1 0 ⎥
ref(V) = ⎢ ⎥
⎢
⎣ 0 0 1 ⎥
⎦
0 0 0
s˚a eneste løsning av Vx = 0 er x = 0. Alts˚a er vektorene
lineært uavhengige.
Forbindelsen melllom lineær uavhengighet og redusert
trappeform er tema i følgende teorem. Først minner vi
om at vi har definert rangen tilenmatriseVsom antall
ledende enere i ref(V). Dette tallet betegnes med
rank(V).
Teorem ∗. La V være en n × p matrise med
kolonnevektorer v1,...,vp ∈IR n .Daerv1,...,vp lineært
uavhengige hvis og bare hvis rank(V) = p.
Alts˚a: kolonnene er lineært uavhengige hvis og bare
hvis matrisen har rang lik antall kolonner; vi sier da at
matrisen har full kolonnerang.
Lin.alg. Seksjon 1.7: #6 of 10

Bevis. Anta at rank(V) = p. Da inneholder hver
kolonne i ref(V) en ledende ener og siden nullradene
kommer til slutt m˚a da
⎡
⎤
1 0 0 ... 0
⎢
⎥
⎢ 0 1 0 ... 0
⎥
⎢
⎥
⎢ 0 0 1 ... 0 ⎥
⎢
⎥
⎢
ref(V) = ⎢
.
. ⎥
⎢
⎥.
⎢ 0 0 0 ... 1 ⎥
⎢
⎥
⎢ 0 0 0 ... 0 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎣ .
. ⎥
⎦
0 0 0 ... 0
S˚a eneste løsning av Vx = 0 er x = 0. Omvendt: dersom
rank(V) n,s˚a er disse vektorene lineært avhengige.
Bevis. la V være n × p matrisen med de gitte vektorene
som kolonner. Vi har alltid at rank(V) ≤ min{n, p},s˚a
her blir rank(V) ≤ n

Ikkesingulære matriser.
Definisjon 9. En kvadratisk matrise A kalles
ikkesingulær dersom eneste løsning av Ax = 0 er
x = 0. Matrisen kalles singulær hvis den ikke er
ikkesingulær (ikke sant!)
Merk: dette begrepet gjelder bare for kvadratiske
matriser. Følgende blir n˚a opplagt.
Teorem 12. A er ikkesingulær hvis og bare hvis
kolonnene i A er lineært uavhengige.
Eksempel: Identitetsmatrisen
⎡
⎤
1 0 0 ... 0
⎢
⎥
⎢ 0 1 0 ... 0
⎥
⎢
⎥
In = ⎢ 0 0 1 ... 0 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎣
.
. ⎥
⎦
0 0 0 ... 1
er ikkesingulær. Begrunnelse: In er p˚a redusert
trappeform allerede og rank(In) = n,s˚aTeorem∗gir
resultatet.
Vi har alts˚a sett at ˚a avklare lineær uavhengighet av gitte
vektorer, eller ˚a avklare om en gitt kvadratisk matrise er
ikkesingulær koker ned til ˚a bestemme rangen til en
matrise. Matematisk er dette enkelt ˚a greit, vi løser
problemet ved elementære operasjoner p˚aetlineært
system.
Lin.alg. Seksjon 1.7: #8 of 10

Numerisk, derimot, kan vi f˚a problemer ved at sm˚atall
rundes av til null. Numerisk beregning av rang gjøres
derfor med algoritmer som er mest mulig numerisk
stabile; man beregner gjerne den s˚akalt singulærverdi
dekomposisjonen til matrisen og leser rangen ut fra
denne. Mer om dette i et senere kurs (SAM 200).
Vi vender n˚a tilbake til spørsm˚alet: Hvorfor er lineær
uavhengighet av interesse.
Teorem 13. La A være en n × n matrise. Da har den
lineære likningen Ax = b en unik løsning for enhver
b ∈ IR n hvis og bare hvis A er ikkesingulær.
S˚a: hvis A er ikkesingulær og b ∈ IR n vet vi at det fins en
løsning av Ax = b, og dessuten er det én eneste slik
løsning. Hvis A derimot er singulær, er det enten ingen
løsning eller uendelig mange løsninger.
Lin.alg. Seksjon 1.7: #9 of 10

Bevis. (Teorem 13) Anta Ax = b har en unik løsning for
enhver b ∈ IR n .Velgb=0og unik løsning viser
ikkesingularitet. Omvendt, anta A ikkesingulær og la
C = ref([A|b]). SidenAerikkesingulær er rank(A) = n
(ved Teorem ∗) s˚avim˚ahaat
C= In h
der den siste kolonnen h er resultatet av ˚a anvende
visse elementære radoperasjoner p˚a b. Men dette
systemet har unik løsning (x = h) og da har ogs˚a
Ax = b unik løsning (de er radekvivalente).
Neste gang: 1.8 Eksempler og anvendelser.
Lin.alg. Seksjon 1.7: #10 of 10