Litt om egenverdier og determinanter. - IfI

Litt om egenverdier og determinanter.
Til slutt i lineær algebra skal vi gi en liten smakebit p˚a
egenverdier og determinanter (seksjon 4.1. og 4.2). Den
virkelige behandlingen av dette stoffet er i MAT120.
Vi skal se p˚a egenverdiproblemet. Dette problemet har
flere anvendelser, bl.a.
• analyse av modeller for populasjonsvekst (som i
oblig.1)
• løse systemer av differensiallikninger
• beregne potenser av matriser
• forenkle kvadratiske former (f.eks. ellipser)
Her er egenverdiproblemet:
La A være en n × n matrise. Finn alle skalarer λ slik at
likningen
Ax = λx
har en ikkenull løsning x. En slik skalar λ kalles en
egenverdi for matrisen A og enhver ikkenull vektor x
som oppfyller likningen Ax = λx kalles en egenvektor
som svarer til egenverdien λ.
Lin.alg. Seksjon 4.1, 4.2: #1 of 9

Hvorfor er dette et interessant problem?
Vi kan gi et foreløpig svar ved ˚a sep˚a et eksempel vi
kjenner.
Eksempel: populasjonsvekst. La x ∈ IR 2 være en vektor
som angir befolkningsmengden i 2 ulike regioner. Anta
at endringen i befolkningsmengden fra et ˚ar til neste er
beskrevet ved en 2 × 2 matrise A gitt ved
⎡ ⎤
0.8 0.2
A = ⎣ ⎦
0.2 0.8
Her er ai,j andelen av populasjonen i region j som
flytter til region i (hvis i = j: andelen som blir boende i
denne regionen). Hvis xk er populasjonsvektoren i ˚ar k
har derfor at
xk+1 = Axk (k = 1, 2,...)
der x0 er startpopulasjonen.
Man kan her vise at λ1 = 1 og λ2 = 0.6 er to egenverdier
for A. De korresponderende egenvektorene kaller vi u1
og u2. Disse viser seg ˚a være lineært uavhengige, s˚a
startpopulasjonsvektoren x0 kan skrives
x0 = a1u1 + a2u2
for passende a1 og a2 (som vi kan regne ut).
Spørsm˚alet er: hvordan vil befolkningsfordelingen bli “i
det lange løp”?
Lin.alg. Seksjon 4.1, 4.2: #2 of 9

Har at
Videre blir
Generelt blir
x1 = Ax0 = A(a1u1 + a2u2) =
= a1Au1 + a2Au2 = a1λ1u1 + a2λ2u2 =
= a1u1 + (0.6a2)u2.
x2 = Ax1 = A(a1u1 + 0.6a2u2) =
= a1Au1 + 0.6a2Au2 =
= a1u1 + (0.62a2)u2. xk = a1u1 + (0.6 k a2)u2.
Legg merke til hvor enkle beregningene ble pga.
egenverdiene. Vi ser forresten at xk vil nærme seg a1u1
n˚ar k g˚ar mot uendelig, og siden b˚ade a1 og u1 er kjente
harvifunnetsvarp˚a det spørsm˚alet vi stilte.
Hvordan kan vi finne egenverdiene til en matrise?
Ser p˚a dette for 2 × 2 matriser, s˚ala
⎡ ⎤
A= ⎣
a b
⎦
c d
At Ax = λx har en ikkenull løsning betyr jo at
(A − λI)x = 0 for en ikkenull vektor x. Dette betyr videre
at matrisen A − λI er singulær.
Lin.alg. Seksjon 4.1, 4.2: #3 of 9

Men matrisen
⎡
⎤
a − λ b
A − λI = ⎣ ⎦
c d−λ
er singulær hvis og bare hvis
(∗) (a−λ)(d − λ) − bc = 0.
Tallet til venstre i (∗) kalles determinanten til matrisen
A − λI. Vibrukteat:en kvadratisk matrise er singulær
hvis og bare hvis determinanten er null.
Legg merke til at likningen (∗) er en annegradslikning
som vi kan løse og de to røttene er egenverdiene til A.
Generelt: hvis A er en n × n matrise kan egenverdiene
(matematisk sett) finnes ved ˚a bestemme alle røttene til
et polynom av grad n. Dette polynomet kalles det
karakteristiske polynomet til A. Siden et polynom av
grad n har n røtter (ved Algebraens
Fundamentalteorem), der røtter kan sammenfalle, vil A
ha n egenverdier. Merk at egenverdiene kan være
komplekse tall.
Lin.alg. Seksjon 4.1, 4.2: #4 of 9

Eksempel.
⎡ ⎤
⎡
⎤
5 1
A = ⎣ ⎦ ,
1 3
5−λ
A−λI = ⎣
1
1
⎦
3−λ
Karakteristisk likning blir
(5 − λ)(3 − λ) − 1 · 1 = 0
s˚a egenverdiene er λ1 = 4 + √ 2 og λ2 = 4 − √ 2. Deretter
finner vi en egenvektor som svarer til λ1 ved ˚a finne en
ikkenull vektor u1 i nullrommet til A − λ1I (s˚a
Au1 = λ1u1 og u1 ≠ 0). Vi finner f.eks. egenvektoren
u1 =
⎡
⎣ 1 + √ 2
1
Tilsvarende finner vi en egenvektor som svarer til λ2.
Merk at det er (uendelig mange) egenvektorer som
svarer til en egenverdi; nemlig de ikkenull vektorene
som ligger i nullrommet til matrisen A − λI. Siden
denne matrisen er singulær, er nullrommet av
dimensjon minst 1. Dette holder alts˚a generelt.
⎤
⎦
Lin.alg. Seksjon 4.1, 4.2: #5 of 9

Determinanter.
Determinanten til en hvadratisk matrise er et tall som
bl.a. sier oss om matrisen er singulær (da er tallet null).
Vi definerer determinanten til en 2 × 2 matrise
⎡
A = ⎣ a1,1
⎤
a1,2 ⎦
ved
det(A) =
a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
a2,1 a2,2
= a1,1a2,2 − a1,2a2,1.
Vi vet at A er singulær hvis og bare hvis de to
kolonnevektorene er parallelle. Men disse vektorene er
parallelle nettopp n˚ar a1,1a2,2 − a1,2a2,1 = 0 (sjekk
dette!). S˚a vi ser at A er singulær hvis og bare hvis
det(A) = 0.
Vi definerer determinanten til en 3 × 3 matrise
⎡
⎤
a1,1 a1,2 a1,3
⎢
⎥
A = ⎢
⎣ a2,1 a2,2 a2,3
⎥
⎦
ved
det(A) =
a1,1
a2,2 a2,3
a3,2 a3,3
a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
− a1,2
a3,1 a3,2 a3,3
=
a2,1 a2,3
a3,1 a3,3
+ a1,3
a2,1 a2,2
a3,1 a3,2
Lin.alg. Seksjon 4.1, 4.2: #6 of 9
.

S˚a: 3 × 3 determinanter kan beregnes ut fra flere 2 × 2
determinanter.
Generelt kan man definere n × n determinanter via
(n − 1) × (n − 1) determinanter slik. Determinanten til
en n × n matrise A er
n
det(A) = (−1) 1+j a1,j det(M1,j)
j=1
der M1,j er den kvadratiske matrisen av orden n − 1 som
fremkommer ved ˚a slette første rad og kolonne j i
matrisen A.
Vi kaller M1,j en minor matrise til A og tallet
(−1) i+j a1,jdet(M1,j) kalles en kofaktor. Formelen over
uttrykker determinanten til A ved kofaktor ekspansjon
av første rad.
Tilsvarende kan kan gi kofaktor ekspansjon av rad i (der
i ≤ n) og dessuten for hver kolonne. Et viktig resultat er
at man hele tiden f˚ar samme tall, nemlig
determinanten til A.
Lin.alg. Seksjon 4.1, 4.2: #7 of 9

Beregning av determinanter.
N˚ar n er liten kan vi regne ut determinanter ved
kofaktor ekspansjon. Men for n (selv moderat) stor gir
dette altfor mye arbeid (og numeriske problemer).
Det viser seg at man kan beregne det(A) ved hjelp av
Gauss eliminasjon (en enklere variant av Gauss-Jordan
der man ikke eliminerer variable i tidligere likninger).
Vi tar ikke disse detaljene her, men poenget er at Gauss
eliminasjon gir oss A skrevet som produkt av to andre
matriser
A = LU
der L er nedre triangulær og U er øvre triangulær. Og
determinanten til en triangulær matrise er rett og slett
produktet av diagonalelementene!
OPPGAVE: Vis at determinanten til en nedre triangulær
matrise er produktet av diagonalelementene!
Lin.alg. Seksjon 4.1, 4.2: #8 of 9

Sluttkommentarer:
• Mer om determinanter i MAT 120
• Man kan gi en “pen” formel for den inverse til en
matrise ved hjelp av determinanter. Ogs˚afor
løsningen av Ax = b der A er ikkesingulær (formelen
kalles Cramer’s regel).
• Se kapittel 5 i boka (kke pensum i dette kurset).
• Determinanter har ogs˚a en tilknytning til volumer.
Kolonnevektorene til en 2 × 2 matrise A utspenner
et parallellogram og arealet viser seg ˚a værelik
absuluttverdien til determinanten til A. Forn=3vil
de tre kolonnevektorene til en 3 × 3 matrise
utspenne en boks (parallelepiped). Volumet av
boksen blir lik |det(A)|. Tilsvarende i IR n !!!
Lin.alg. Seksjon 4.1, 4.2: #9 of 9