Cement-3-2010-72-78-Tandoplegging-berekend

foto: Peter de Koning
Berekening volgens NEN 6720 (VBC 1995)
Tandoplegging
berekend
In een eerder artikel in Cement is ingegaan op de berekeningswijze van een tandoplegging
volgens NEN 6720 (VBC 1995) [1] en de achtergronden daarvan [2]. Uit de
vergelijking van diverse proefresultaten met de berekeningsresultaten bleek dat de
berekeningsmethode volgens NEN 6720 bij adequate detaillering van de wapening
leidt tot een voldoend veilige tandoplegging. In dit artikel wordt het toegezegde
uitgewerkte voorbeeld van een tandoplegging beschreven.
72
3 2 0 10
Tandoplegging berekend

ir. Simon Wijte 1 )
Adviesbureau ir. J.G. Hageman B.V.
ir. Jan Gijsbers 1 )
TNO Bouw en Ondergrond
dr.ir. Cor van der Veen 1 )
TU Delft, fac. CiTG
prof.ir. Cees Kleinman
TU Eindhoven, fac. Bouwkunde
1 Aanzicht van de beschouwde balk
q-last
680
8000
1
Gegeven
In dit voorbeeld wordt een balk beschouwd met tandopleggingen
(fig. 1).
Balk:
L = 8 m
q d
= 62,5 kN/m
q rep
= 48,0 kN/m
Balkgeometrie:
h = 680 mm
b = 300 mm
Beton: C 45/55
Betonstaal: FeB 500
Milieuklasse: XC1
Oplegmateriaal: Vilt, 150 × 250 mm 2
Berekening balkgebied
Krachtsverdeling:
M rep
= ⅛ q rep
L 2 = ⅛ · 48,0 · 82 = 384 kNm
M d
= ⅛ q d
L 2 = ⅛ · 62,5 · 82 = 500 kNm
V rep
= ½ q rep
L = ½ · 48 · 8 = 195 kN
V d
= ½ q d
L = ½ · 62,5 · 8 = 250 kN
Bepaling van benodigde dekking:
Milieuklasse XC1: c = 25 mm
Bepaling
Bepaling van nuttige hoogte:
d = h – c – Ø beugel
– Ø/2 = 680 – 25 – 10 – 25/2 = 632 mm
benodigde hoeveelheid buigwapening:
keuze wapening: 4Ø25 = 1964 mm 2
x u
= 4/3 f s
A s
/(b f`b) = 4/3 · 435 · 1964/(300 · 33) = 115 mm
z u
= d – 7/18 x u
= 632 – 7/18 · 115 = 587 mm
M u
= A s
f s
z u
= 1964 · 435 · 587 · 10 -6 = 501 kNm
M u
≥ M d
De gekozen hoeveelheid wapening is voldoende.
Toets van de scheurvorming:
σ b
= M rep
/W = 6 · 384 · 106 / (300 · 680²) = 16,6 N/mm 2
f bm
= 3,8 N/mm 2
In het veld is sprake van een volledig ontwikkeld scheurenpatroon:
σ s
≈ f s
M rep
/M u
= 435 · 384/501 = 333 N/mm 2
Ø km
= 25 mm
s = b/n = 300/4 = 75 mm
Eis ten aanzien van scheurvorming:
Ø km
≤ k 1
ξ/σ s
= 5000 · 1/333 = 15 mm
of:
s ≤ 100(k 2
ξ/σ s
– 1,3) = 100(1000 · 1/333 – 1,3) = 170 mm
De staafafstand s is voldoende klein, aan de eis met betrekking
tot scheurvorming wordt voldaan.
Noot: Vooralsnog wordt trek door verhindering verwaarloosd.
Bepaling van benodigde hoeveelheid dwarskrachtwapening:
τ d
= V d
/(bd) = 250 · 103/(300 · 632) = 1,32 N/mm 2
τ 1
= 0,4 f b
= 0,4 · 1,90 = 0,76 N/mm 2
τ s
= τ d
– τ 1
= 1,32 – 0,76 = 0,56 N/mm 2
A sv
= τ s
b /(0,9 f s
sin α(cotg θ + cotg α))
1
) Deze auteurs zijn lid van TGB Betonconstructies / VC20
Tandoplegging berekend 3 2 0 10 73

2 Detail van de tandoplegging
3 Vakwerkmodel
4 Krachtsverdeling in ophangwapening bij
gebruik van een grote spreidingslengte
5 Detaillering van de ophangwapening
θ
betondrukzone
trekspanning in ophangwapening
F
4
Met θ = 45º en α = 90º volgt:
A sv
= 0,56 · 300/(0,9 · 435) = 0,429 mm 2 /mm
Beugelsafstand: s = 300mm
A beugel
= A sv
s = 0,429 · 300 = 129 mm 2
beugels Ø10, A beugel
= 157 mm 2
Ontwerp van de tandwapening
Het detail van de tandoplegging is weergegeven in figuur 2.
Zoals in [2] is beschreven is de kracht in de ophangwapening
gebaseerd op het in figuur 3 geschetste vakwerkmodel.
Overeenkomstig de inhoud van het artikel mogen deze beugels
worden uitgespreid over een lengte gelijk aan h tand
cotg θ. Voor
θ mag een hoek tussen 30º en 60º worden gekozen. Bij een
hoek van 30º resulteert een lengte van 335 cotg 30º = 580 mm.
Het verdelen van de ophangwapening over deze grote lengte
heeft een aantal nadelen:
Benodigde hoeveelheid ophangwapening
Als eerste wordt de ophangwapening in de balk ontworpen. De
ophangwapening moet voldoen aan het gestelde in 9.11.7.2 van
NEN 6720. De ophangwapening moet in staat zijn de volledige
dwarskracht in de balk te kunnen opnemen en deze, zoals
gesteld in 9.11.7.1, over de gehele hoogte te kunnen overbrengen.
Hiervoor is de volgende hoeveelheid wapening benodigd:
A s,o,ben
= V d
/f s
= 250 · 10 3 /435 = 575 mm 2
Dit kan worden opgenomen door vier beugels Ø10: 4 × 157 =
628 mm 2 .
300
150 150
– De hefboomsarm voor het bepalen van het optredende
moment bij het dimensioneren van de trekband wordt
vergroot als een grotere lengte wordt gehanteerd.
– Bij toepassing van een grote spreidingslengte is het mogelijk
dat er juist voor het bezwijken geen sprake is van een gelijkmatige
verdeling van de kracht in de verschillende beugels,
zodat, terwijl in de beugels dicht bij de tand de vloeispanning
aanwezig is, de spanning in de beugels die verder van de tand
af liggen lager is (fig. 4). De capaciteit van de ophangwapening
kan dan niet worden ontleend aan de sommatie van de
volledige capaciteit van de afzonderlijke beugels.
– In de bruikbaarheidsgrenstoestand zal bij toepassing van een
grote spreidingslengte eveneens geen sprake zijn van een
gelijkmatige verdeling van de spanningen over de verschillende
beugels. De spanning in de ophangwapening dicht bij
de keel zal dan relatief groot zijn, zodat de scheurwijdte op
680
335
150
2 3
74
3 2 0 10
Tandoplegging berekend

goede goede verankering
ophangwapening,
boven boven in de in de ligger ligger
geen geen goede goede verankering
ophangwapening,
boven boven in de in de ligger ligger
drukdiagonaal
trekkracht in in
ophangwapening
drukdiagonaal
F
F
F
F
drukdiagonaal en en
trekkracht in de in de
ophangwapening kunnen
geen geen evenwicht maken
(a) (a)
(b) (b)
5
die plaats ook groter zal zijn dan wanneer de spreidingslengte
van de ophangwapening kleiner is.
Daarom wordt geadviseerd de ophangwapening zo dicht mogelijk
bij de keel aan te brengen en de spreidingslengte waarover
de ophangwapening wordt verdeeld kleiner te kiezen dan een
afstand gelijk aan h tand
, oftewel θ groter dan 45º. In de hier
beschouwde situatie worden de vier beugels respectievelijk op
75, 85, 135 en 185 mm vanaf het einde van de hoge balk aangebracht
(fig. 8). Het zwaartepunt van de ophangwapening is
zodoende gelegen op 120 mm vanaf het einde van de hoge balk.
Detaillering van de ophangwapening
Zoals in [2] reeds is beschreven, is de wijze van detailleren van
de ophangwapening van groot belang voor het gedrag van de
tandconstructie. Als er bij het ontwerp van de tand wordt
uitgegaan van een vakwerkmodel waarbij een drukdiagonaal in
de tand evenwicht moet maken met de trekkracht in de
ophangwapening, dan moet de ophangwapening zo zijn gedetailleerd
dat dit mogelijk is.
Uit figuur 5a blijkt dat bij de toepassing van beugels een goede
knoop kan worden verkregen waarin de drukdiagonaal uit de
tand en de trekkracht in de ophangwapening, tezamen met een
drukkracht in de lengterichting van de ligger, evenwicht
kunnen maken. Bij figuur 5b is dit niet het geval.
Ook andere vormen van ophangwapening zijn mogelijk (fig. 6)
Bijvoorbeeld ophangwapening die de tand in wordt gebogen,
zoals beschreven in [3], of de toepassing van een combinatie
van een schuine staaf en beugels. Op deze laatste mogelijkheid
wordt later in dit artikel ingegaan.
Tabel 1 Wrijvingscoëfficiënten bij verschillende wijze van opleggingen
(bron: wijzigingsblad A4 bij NEN 6720)
wijze van opleggen
wrijvingscoëfficiënt
mortel op beton 0,8
oplegvilt 0,3
oplegrubber 0,2
glijdfolie 0,1
Benodigde hoeveelheid trekbandwapening
De trekbandwapening moet in staat zijn trekkrachten op te
nemen die worden veroorzaakt door het moment ten gevolge
van de oplegreactie en de wrijving in het oplegmateriaal.
Tandopleggingen worden veelal toegepast bij een dilatatie in
een constructie. Het is dan ook te verwachten dat ten gevolge
van opgelegde vervormingen, veroorzaakt door krimp en/of
temperatuursveranderingen, er een verschuiving tussen beide
constructiedelen bij de tand wil optreden. Afhankelijk van het
toegepaste oplegmateriaal zal hierbij een wrijvingskracht optreden
die mede afhankelijk is van de grootte van de oplegkracht.
In wijzigingsblad A4 bij NEN 6720 zijn voor een aantal toepassingen
aanbevelingen voor de wrijvingscoëfficiënt gegeven, zie
tabel 1. Geadviseerd wordt om voor de aan te houden wrijvingscoëfficiënt
ook de productinformatie van het beoogde
oplegmateriaal te raadplegen. Daarbij dient ook de verwachte
oplegdrukspanning te worden getoetst aan de toegestane
waarde. Een te hoge drukspanning kan namelijk leiden tot een
aanzienlijk hogere wrijvingscoëfficiënt.
In het beschouwde voorbeeld is oplegvilt toegepast. Op basis
van de gegeven wrijvingscoëfficiënt resulteert dit in een wrijvingskracht
van H d
= 0,3 · 250 = 75 kN.
Hierna wordt de trekkracht in de trekbandwapening ten
gevolge van het moment in de tand bepaald. Overeenkomstig
wijzigingsblad A4 moet bij een tand het moment worden
bepaald ten opzichte van de resulterende kracht in de ophangwapening.
Het zwaartepunt van de ophangwapening ten
opzichte van het einde van de hoge balk is 120 mm. De grootte
van de variabele a volgt dan uit:
a = 150 + 120 = 270 mm
Voor het bepalen van de trekkracht moet worden nagegaan of
de tand gedrongen is. Volgens 8.1.4 is de tand gedrongen als
geldt:
2 a/h = 2 · 270/335 = 1,61 ≤ 2,0
Tandoplegging berekend 3 2 0 10 75

A
F
F
F
F
B
6 7
Aan de voorwaarde wordt voldaan, de tand moet als gedrongen
worden beschouwd. De grootte van de inwendige hefboomsarm
z volgt dan uit:
z = 0,4 a + 0,4 h = 0,4 · 270 + 0,4 · 335 = 242 mm
≤ 1,6a = 1,6 · 270 = 432 mm
z = 242 mm
De gekozen wapening van de tandconstructie is geschetst in
figuur 8.
Controle dwarskrachtcapaciteit van de tand
Bij de controle van de dwarskrachtcapaciteit in een gedrongen
constructie mag worden aangenomen dat d gelijk is aan h.
Overeenkomstig wordt de volgende grootte van τ d
bepaald:
De benodigde wapening ten gevolge van het moment dat wordt
veroorzaakt door de oplegkracht en de horizontale kracht volgt
dan uit:
M d
= a F d
+ (z + c + Ø bgl
+ Ø/2) H d
= 0,27 · 250 + (0,242 + 0,025 + 0,01 + 0,01)75 = 89,0 kNm
F s,t
= M d
/ z = 89,0/0,242 = 368 kN
A s,t,ben
= F s,t
/f s
= 368 · 10 3 /435 = 845 mm²
τ d
= V d
/(b h) = 250 · 10 3 /(300 · 335) = 2,49 N/mm 2
De controle van de dwarskrachtcapaciteit van de tand wordt
uitgevoerd volgens 8.2.3 van NEN 6720. Eerst worden de
dwarskrachtslankheid en de bijbehorende coëfficiënt k λ
bepaald. De waarde van k λ
kan alleen groter zijn dan 1 als de
ophangwapening zodanig is gedimensioneerd en gedetailleerd
dat in de tand een drukdiagonaal kan ontstaan.
Gekozen wordt om 3Ø20 (942 mm 2 ) als trekbandwapening toe
te passen.
λ v
= M d
/(h V d
) = a/h = 270/335 = 0,81
g λ
= 1 + λ v
2
= 1 + 0,81 2 = 1,65
Detaillering van de trekbandwapening
Uitgaande van het in figuur 7 geschetste vakwerkmodel, dat
ook de basis is voor het ontwerp van de ophangwapening, moet
de trekbandwapening ten minste worden doorgezet tot voorbij
punt A. De trekkracht in de trekband is nagenoeg constant tot
punt A. Pas vanaf dit punt kan de wapening worden verankerd.
In het vakwerk dat in figuur 7 is gegeven, is bij punt A ook
sprake van een verticale trekstaaf. De hiervoor benodigde capaciteit
kan worden geleverd door de in de balk toe te passen
dwarskrachtwapening. Hierbij wordt, zoals bij een betonnen
ligger gebruikelijk is, door middel van de afschuifsterkte τ 1
een
deel van de capaciteit ontleend aan de betontrekstekte van de
ligger. Een voorwaarde voor het op deze wijze dimensioneren
van de bewuste trekstaaf is dat met het aanbrengen van de
dwarskrachtwapening niet te ver vanaf de ophangwapening
wordt begonnen. De over een lengte d benodigde hoeveelheid
dwarskrachtwapening moet aanwezig zijn in een denkbeeldige
scheur die onder 45º vanuit de ophangwapening, bij punt B,
omhoog loopt.
Voor de bepaling van k λ
is de grootte van het oplegvlak van
belang. Een tandconstructie met ophangwapening heeft feitelijk
twee oplegvlakken. Ten eerste het oplegvlak ter plaatse van
de oplegging waarbij in dit geval de afmetingen van het oplegvilt
gelijk zijn aan 150×250 mm². Het tweede oplegvlak wordt
gevormd door het door de ophangwapening omsloten oppervlak
van de knoop waarin de drukdiagonaal en de trekkracht in
de ophangwapening elkaar ontmoeten. De afstand tussen de
eerste en laatste beugel van de ophangwapening is gelijk aan
185 – 75 + 10 = 120 mm. Uitgaande van een dekking van 25
mm is de breedte van de beugel gelijk aan 300 – 2 · 25 = 250
mm. Het oplegvlak ter plaatste van de ophangwapening is
daarom aan te nemen op 120×250 mm².
A o
= 120 · 250 = 30000 mm 2
k λ
= 12/g λ
[A o
/(bh)] 1/3 = 12/1,65 [30000/(300 · 335)] 1/3 = 4,86
k h
= 1,6 – h = 1,6 – 0,335 = 1,27
ω o
= A s,t
/(bh) 100% = 942/(300 · 335) · 100% = 0,94%
f b
= 1,9 N/mm²
76
3 2 0 10
Tandoplegging berekend

6 Andere mogelijke vormen van ophangwapening,
een in de tand gebogen ophangwapening
(links) en een combinatie van
beugels en een schuine staaf (rechts)
7 Vakwerkmodel
8 Gekozen wapening voor de tandconstructie
9 Beoordeling momentcapaciteit bij het ontstaan
van een schuine scheur
τ 1
= 0,4 f b
k λ
k h
³√ω o
= 0,4 · 1,9 · 4,83 · 1,27 · ³√0,93
= 4,55 N/mm² ≥ 0,4 f b
= 0,76 N/mm 2
τ 1
= 4,55 N/mm 2
Vanwege de horizontale trekkracht in de tand, veroorzaakt
door de wrijving in het oplegvlak, moet de grootte van τ 1
nog
worden verminderd:
τ 1
= τ 1
– 0,5 H d
/(bh) = 4,55 – 0,5 · 75 · 10 3 /(300 · 335)
= 4,18 N/mm 2
De waarde van τ 1
is groter dan die van τ d
. Hieruit kan worden
geconcludeerd dat de dwarskrachtcapaciteit van de tand
voldoende groot is en dat in de tand geen dwarskrachtwapening
noodzakelijk is. In een situatie dat wel dwarskrachtwapening
benodigd is, moet deze overeenkomstig artikel 8.2.4,
afhankelijk van de gedrongenheid van de tandconstructie, ook
in horizontale richting worden aangebracht. Opgemerkt wordt
dat bij relatief hoge waarden van τ d
ook de waarde van τ 2
moet
worden getoetst.
In aanvulling op het voorgaande wordt geadviseerd om – ook
als geen berekende dwarskrachtwapening nodig is – enkele
praktisch verticale beugels en/of een of meer horizontale haarspelden
aan te brengen zodat de knopen van het vakwerk,
waarin relatief hoge drukspanningen optreden, goed zijn ingepakt.
Het beton van de tand moet echter nog wel goed kunnen
worden aangebracht.
Detaillering buigwapening in de balk
De trekkracht in de ophangwapening moet in punt B (fig. 7)
evenwicht maken met de trekkracht in de onderwapening en
de drukdiagonaal in het beton. Uitgaande van een helling van
45º van de drukdiagonaal is de trekkracht in de onderwapening
gelijk aan de trekkracht in de ophangwapening. Om dit mogelijk
te maken moet de onderwapening na punt B voldoende
verankerd zijn.
In de hier beschouwde situatie is de trekkracht in de onderwapening
die moet worden verankerd, gelijk aan 250 kN. De
verankeringslengte van de staven Ø25 volgt uit:
α 1
= 0,40(1 – 0,1 c/Ø k
) = 0,40(1 – 0,1 · 25/25) = 0,36
l v
= l vo
= a 1
Ø k
f s
f`b-0,5
= 0,36 · 25 · 435 · 33 -0,5 = 681 mm
Bij de toegepaste wapening 4Ø25 komt dit neer op een spanning
250 · 10 3 /1964 = 127 N/mm 2 zodat de gereduceerde verankeringslengte
gelijk is aan:
l vr
= σ sd
/f s
l v
= 127/435 · 681 = 199 mm
Schuine scheur
Naar aanleiding van hetgeen gesteld is in 8.1.1 moet ook de situatie
met een verschoven momentenlijn worden beschouwd. Dit
komt overeen met het beschouwen van het inwendige evenwicht
na het ontstaan van een schuine scheur. Deze schuine scheur is
tevens beschreven in de toelichting bij 9.11.7.2 waarin ook wordt
gesproken over het verschuiven van de momentenlijn.
Hierbij moet het uitwendige moment, hier uitgedrukt ten
opzichte van het aangrijpingspunt van de betondrukkracht
boven in de ligger, kleiner zijn dan de momentcapaciteit van de
gescheurde doorsnede. Deze momentcapaciteit is de som van
de momentcapaciteit van de trekbandwapening en de momentcapaciteit
van de ophangwapening (fig. 9).
2bgls010
ophangwapening
4bgls010
geadviseerde
spreidingslengte
reguliere
dwarskrachtwapening
bgls010-300
680
335
(A)
3020
F s,t
Z s,t
a v;schuin
4025
H d
F d
a h;schuin
θ
F s,o
z s,o
150 150 75
l v
025
300 85
135
8 185 150 300 300
9
Tandoplegging berekend 3 2 0 10 77

B
H d Fu1
F u2
α s
10 Twee vakwerkmodellen bij toepassing
van een combinatie van verticale ophangwapening
en een schuine staaf
10
M d
≤ M u
F d
a h;schuin
+ H d
a v;schuin
≤ F s,t
z s,t
+ F s,o
z s,o
De capaciteit van de tand bij het beoordelen van de schuine
scheur is niet maatgevend ten opzichte van de twee afzonderlijk
beschouwde situaties voor de ophangwapening en de trekbandwapening
als voldaan is aan de volgende voorwaarden:
– de capaciteit van de ophangwapening is ten minste gelijk aan
de oplegreactie;
– de hefboomsarm bij het bepalen van de benodigde hoeveelheid
trekbandwapening is niet groter dan de hefboomsarm
voor de trekbandwapening bij het beoordelen van de schuine
scheur.
Schuine staaf
De capaciteit van de tandconstructie bij de toepassing van een
schuine staaf in combinatie met verticale ophangwapening (fig.
6, rechts), kan worden beschouwd door middel van superpositie
van de twee in figuur 10 geschetste vakwerkmodellen.
De capaciteit van het linker model volgt uit de hiervoor
beschreven rekenmethoden. De capaciteit van het rechter
model is eenvoudig af te leiden uit de capaciteit van de schuine
staaf. Uitgangspunt hierbij is wel dat de schuine staaf doorloopt
tot recht boven het aangrijpingspunt van de belasting en dat bij
de beoordeling van de capaciteit van de schuine staaf rekening
wordt gehouden met de capaciteit van de verankering van de
staaf na het punt B:
Als een schuine staaf op basis van de uitgevoerde berekening
voor het verkrijgen van voldoende sterkte niet noodzakelijk is,
kan door de ontwerper toch worden gekozen om deze staaf toe
te passen. Op die wijze wordt namelijk de grootte van de wijdte
van een eventuele scheur, die ontstaat in de keel, beperkt.
Scheurvorming
Bij toepassing van tandconstructies in milieuklassen anders
dan XC1 kan scheurvorming met een relatief grote scheurwijdte
aanleiding geven tot duurzaamheidproblemen in de
betonconstructie. NEN 6720 geeft geen directe aanwijzingen
hoe de scheurwijdte kan worden berekend bij de trekband in
een gedrongen tandconstructie en ophangwapening.
De volgende maatregelen kunnen worden genomen om de
grootte van de scheurwijdte te beperken:
– het verzorgen van een goed glijdend oplegvlak om zo de
effecten van opgelegde vervormingen te verkleinen;
– het verlagen van de staalspanning in zowel de horizontale
trekband als in de ophangwapening;
– het toepassen van wapening met kleine diameters;
– het geconcentreerd, dicht bij de keel, aanbrengen van de
ophangwapening.
In een volgend nummer zal een voorbeeld worden uitgewerkt
van de berekening van een tandconstructie volgens NEN-EN
1992-1-1.
F u2
= A s,s
f s
sin α s
waarin:
A s,s
is de oppervlakte van de doorsnede van de schuine staaf;
α s
is de hoek tussen de schuine staaf en de liggeras.
Aanbevolen wordt om, overeenkomstig [4], F u,2
niet groter dan
70 % van de totale capaciteit te laten zijn.
● Literatuur
1 NEN 6720, TGB 1990 – Voorschriften Beton –
Constructieve eisen en rekenmethoden (VBC 1995)
inclusief wijzigingsblad A4: 2007; NEN 1995.
2 Gijsbers, F.B.J., van der Veen, C., en Wijte, S., Tandopleggingen
volgens NEN 6720. Cement 2009/1.
3 De Bruijn, W.A., Slenders, B.M.A. en Kleinman, C.S.,
Gezonde tanden (3) – Beproevingen in het Van
Musschenbroek Laboratorium. Cement 2009/1.
4 Schlaich, J. en Schafer, K., Konstruieren im Stahlbetonbau.
BK 89; Teil II.
78
3 2 0 10
Tandoplegging berekend