Seminar2010-2011 ANCOVA

Multipele regressiemodel3Multipele regressieanalyse- Eén afhankelijk variabele (Y )Meetniveau: interval- Meer dan één predictor (X 1 , X 2 , ...)Meetniveau: interval (X 1 ) of dichotoom (X 2 )X 1X 2…YE

(Meerweg)AN(C)OVA4Enkelvoudige ANOVA- Eén afhankelijke variabele (Y )- Eén factor (X )X 1YEMeerweg ANOVA- Eén afhankelijke variabele (Y )- Meer dan één factor (X 1 , ...)X 1YEX 2ANCOVA- Eén afhankelijke variabele (Y )- Eén (of meer) factoren (X 1 , ...)- Eén (of meer) covariaten (X 2 , ...)X 1X 2YE

Voorbeeld Sesamstraat5Afhankelijke variabele• prenumb (kennis van getallen)Factoren• age3 (leeftijd)- 1 = jong = ‘jonger dan 47 maanden’- 2 = midden = ‘tussen 47 en 58 maanden’- 3 = oud = ‘ouder dan 58 maanden’• sexe (sekse)- 1 = ‘jongen’- 2 = ‘meisje’3×2 factorieel design

Model en nulhypothesen6Y X 1 X 2Ykennis getallen142229262115152226123321123112122211X 1 = age3X 2 = sexe1 = jong 1 = jongen2 = midden 2 = meisje3 = oudNulhypothesenH 0 : model verklaart niets van YH 0 : geen hoofdeffect van sekseH 0 : geen hoofdeffect van leeftijdH 0 : geen interactie-effect vansekse × leeftijd

Beschrijvende statistiek7Descriptive StatisticsDependent Variable: PRENUMBAGE31 jonger dan 47maanden2 tussen 47 en 58maanden3 ouder dan 58 maandenTotalSEX1 male2 femaleTotal1 male2 femaleTotal1 male2 femaleTotal1 male2 femaleTotalStd.Mean Deviation N14.0000 7.46924 2015.2414 9.49306 2914.7347 8.66212 4921.8267 10.02210 7520.5067 10.04500 7521.1667 10.02173 15025.5500 13.21273 2028.9048 9.36432 2127.2683 11.38645 4121.1130 10.78235 11520.6960 10.63487 12520.8958 10.68538 240

Hoofd- en interactie-effecten (1)9ABx J x Mx Ox J x M x OHoofdeffect Leeftijd?Hoofdeffect Sekse?Interactie-effect?AneejaneeBjajanee

Nulhypothese toetsingNulhypothesenH 0 : model verklaart niets in YH 0 : geen hoofdeffect van sekseH 0 : geen hoofdeffect van leeftijdH 0 : geen interactie-effect vansekse en leeftijdα = 5%11Dependent Variable: PRENUMBSourceCorrected ModelInterceptAGE3SEXAGE3 * SEXErrorTotalCorrected TotalTests of Between-Subjects EffectsType III Sumof Squares df Mean Square F Sig.3734.833 a 5 746.967 7.421 .00076081.547 1 76081.547 755.855 .0003518.017 2 1759.009 17.475 .00051.412 1 51.412 .511 .476198.867 2 99.433 .988 .37423553.563 234 100.656132081.000 24027288.396 239a. R Squared = .137 (Adjusted R Squared = .118)

F -ratio bij eenweg ANOVA12F bij eenweg ANOVAF =MSMSMRMS =MMS =RSSdfSSdfMMRRKansverdeling FF(df M, df R) metdf M= k – 1df R= n – kToetsinggrootheid F• Quotiënt van de systematische variantie (MS M ) en deonsystematische variantie (MS R )• Vergelijkt de door model verklaarde variantie (MS M ) met de nietdoor model verklaarde variantie (MS R )

F -ratio bij tweeweg ANOVA13F bij tweeweg ANOVADe verklaarde variantie (MS M ) bepaald door:- effect eerste onafhankelijke variabele A (MS A )- effect tweede onafhankelijke variabele B (MS B )- interactie-effect A en B (MS AxB )F =AF =BMSMSMSMSARBRF =MSMSMRMSA×BFA× B=MSR

Effectgrootte (2)16F (2, 234) = 0.99, p = .37, η 2 = .01Conclusie effecten1. Model: Effectgrootte η 2 = .14 (matig)2. Hoofdeffect Sekse: Effectgrootte η 2 = .00 (geen)3. Hoofdeffect Leeftijd: Effectgrootte η 2 = .13 (matig)4. Interactie-effect: Effectgrootte η 2 = .01 (geen)

ANCOVA Voorbeeld 117Afhankelijke variabele• RekenvaardigheidFactor• Sekse (Gender)- 1. jongen- 2. meisjeCovariaat• X (Voorbereiding in uren)

Datamatrix18iY iX 1X 2Y i = rekenvaardigheid123744111462X 1 = factor sekse1 = jongen2 = meisje.48.10.2.6X 2 = covariaat voorbereiding49521250429

Beschrijvende statistieken19

Beschrijvende statistieken207.136.684.35

Toetsen ANOVA21Hypothese ANOVAEr is een verschil in gemiddelde rekenvaardigheid van jongensen meisjes (H 0 : µ j = µ m ; H 1 : µ j ≠ µ m )Dependent Variable: YSourceCorrected ModelInterceptGENDERErrorTotalCorrected TotalTests of Between-Subjects EffectsType III Sumof Squares df Mean Square F Sig..098 a 1 .098 .307 .5822385.076 1 2385.076 7446.805 .000.098 1 .098 .307 .58215.374 48 .3202400.548 5015.472 49a. R Squared = .006 (Adjusted R Squared = -.014)ConclusieVerschil in gemiddelde rekenvaardigheid tussen jongens enmeisjes is niet significant, F (1, 48) = 0.31, p = .58.

Toetsen ANCOVA (1)22Hypothese 1Voorbereiding (X) heeft invloed op rekenvaardigheid(H 0 : B X = 0; H 1 : B X ≠ 0 )Dependent Variable: YSourceCorrected ModelInterceptXGENDERErrorTotalCorrected TotalTests of Between-Subjects EffectsType III Sumof Squares df Mean Square F Sig.8.438 a 2 4.219 28.190 .00051.008 1 51.008 340.826 .0008.339 1 8.339 55.723 .0001.788 1 1.788 11.947 .0017.034 47 .1502400.548 5015.472 49a. R Squared = .545 (Adjusted R Squared = .526)ConclusieInvloed van voorbereiding op rekenvaardigheid is significant ,F (1, 47) = 55.72, p < .001.

Toetsen ANCOVA (2)23Hypothese 2De gecorrigeerde gemiddelden van jongens en meisjesverschillen (H 0 : µ adj.j = µ adj.m ; H 1 : µ adj.j ≠ µ adj.m )Dependent Variable: YSourceCorrected ModelInterceptXGENDERErrorTotalCorrected Totala.Tests of Between-Subjects EffectsType III Sumof Squares df Mean Square F Sig.8.438 a 2 4.219 28.190 .00051.008 1 51.008 340.826 .0008.339 1 8.339 55.723 .0001.788 1 1.788 11.947 .0017.034 47 .1502400.548 5015.472 49R Squared = .545 (Adjusted R Squared = .526)ConclusieVerschil in gemiddelde rekenvaardigheid tussen jongens enmeisjes, gecorrigeerd voor voorbereiding, is significant,F (1, 47) = 11.95, p = .001.

Van ANOVA naar ANCOVA (1)24Verschil = -0.09Verschil = +0.45

Van ANOVA naar ANCOVA (2)25Error-reductieF =MSMSMRToename power (onderscheidingsvermogen)

Aannames ANCOVA-model1. Onafhankelijkheid van waarnemingen (observaties) bijrespondenten (independence)2. Meetniveau Y en X3. Spreiding (variantie) van residuen per X-categorie gelijk(homoscedastisch / homogeneity of variance)4. Residuen per X-categorie normaalverdeeld (normallydistributed errors)5. Geen uitbijters (outliers) en ‘te’ invloedrijke respondenten(influential cases)• Lineaire samenhang afhankelijke variabele en covariaat• Homogene regressie (homogeneity of regression slopes)→ geen interactie-effect factor en covariaat op Y→ regressielijnen lopen evenwijdig (parallel)26

Homogene regressie27YGroep AGroep BX

Geen homogene regressie28YGroep AGroep BX

Hypothese homogene regressie29Hypothese homogene regressieIn de twee populaties (normaal en dyslectisch) is regressie vanvoorbereiding op prestatie gelijk (homogeen)Toetsing homogene regressieHomogene regressie toetsen door toevoeging van interactietermcovariaat en factor aan regressievergelijking

Modelvergelijking AN(C)OVA30Modelvergelijking ANOVAY = B 0 + B 1 D 1 + EModelvergelijking ANCOVAY = B 0 + B 1 D 1 + B 2 X 2 + EModelvergelijking als aanname homogene regressie bijANCOVA geschondenY = B 0 + B 1 D 1 + B 2 X 2 + B 3 D 1 X 2 + E

Toets homogene regressie31Dependent Variable: Y prestatieSourceCorrected ModelInterceptD1XD1XXErrorTotalCorrected TotalTests of Between-Subjects EffectsType III Sumof Squares df Mean Square F Sig.32.672 a 3 10.891 38.309 .00047.942 1 47.942 168.638 .000.253 1 .253 .891 .3506.656 1 6.656 23.413 .0001.352 1 1.352 4.754 .03413.077 46 .2842513.609 5045.750 49a. R Squared = .714 (Adjusted R Squared = .696)ConclusieVerschil in regressie in de twee groepen is significant,F (1, 46) = 4.75, p = .03 → ANCOVA niet toegestaan, er isgeen algemene uitspraak mogelijk over verschil in gemiddeldentussen dyslectische en ‘normale’ groep