Mathematiseren en oplossen van problemen voor ... - T³ - Vlaanderen
Mathematiseren en oplossen van problemen voor ... - T³ - Vlaanderen Mathematiseren en oplossen van problemen voor ... - T³ - Vlaanderen
We gaan nu eens na wat de gemiddelde snelheid is als die afstand 8 km bedraagt:8km 1• Duur heenrit: = uur = 30 minuten .16km/h 28km 1• Duur terugrit: = uur = 20 minuten .24km/h 3• Duur van heen- en terugrit samen: 50 minuten.• Johan rijdt 16 km in 50 minuten.16kmZijn gemiddelde snelheid bedraagt dus = 0, 32 km/min = 19,2 km/h.50minEn wat is die gemiddelde snelheid als de afstand van huis naar school bijvoorbeeld 6 kmbedraagt?6km 3• Duur heenrit: = uur = 22,5 minuten .16km/h 86km 1• Duur terugrit: = uur = 15 minuten .24km/h 4• Duur van heen- en terugrit samen: 37,5 minuten.• Johan rijdt 12 km in 37,5 minuten.12kmZijn gemiddelde snelheid bedraagt dus = 0, 32 km/min = 19,2 km/h.37,5minWe vinden telkens een gemiddelde snelheid van 19,2 kilometer per uur. Is dit nu toevallig ofzou die gemiddelde snelheid steeds gelijk blijven?Stap 2: mathematiserenStellen we nu even de afstand van huis naar school gelijk aan s.s km s• Duur heenrit: = uur .16km/h 16s km s• Duur terugrit: = uur .24km/h 24⎛ s s ⎞• Duur van heen- en terugrit samen: ⎜ + ⎟ uur.⎝ 16 24 ⎠⎛ s s ⎞• Johan rijdt 2s kilometer in ⎜ + ⎟ uur.⎝ 16 24 ⎠2sZijn gemiddelde snelheid bedraagt dus km/h.s s +16 2421
Stap 3: berekenen2ss s+16 24=2s3s2s+48 48=2s5s4848= 2s.=5s965= 19,2Stap 4: controlerenAls de gemiddelde snelheid 19,2 km/h bedraagt, dan rijdt Johan in totaals sDe heenrit duurt uur en de terugrit 16 24uur.2s19,2uur.Nu iss s 3s2s5ss 2s+ = + = = = . Dit is inderdaad de totale tijdsduur.16 24 48 48 48 9,6 19,2Conclusie:De gemiddelde snelheid bedraagt steeds 19,2 km/h (ongeacht de afstand tussen thuis enschool).Merk op:Misschien is nu een ideaal moment aangebroken om het even te hebben over het begrip‘harmonisch gemiddelde’, een begrip dat de meeste leerlingen uit een twee-uursrichtingwellicht niet kennen.s s 2sTijdens het controleren van de oplossing in situatie 2, stelden we vast dat + = .16 24 19,2We kunnen beide leden delen door s wat meteen aantoont dat de gemiddelde snelheid niet1 1 2afhankelijk is van de afstand. We bekomen: + = .16 24 19,2Deze laatste formule is een speciaal geval van de definitie van ‘harmonisch gemiddelde’:Het harmonisch gemiddelde h van n getallen x1, x2, …,xnvoldoet aan:1=1.n∑h n i=11xiHet harmonisch gemiddelde van 2 getallen x1en x2voldoet dus aan:1h=1 ⎛ 1.⎜2 ⎝ x1+1 ⎞⎟x2⎠of nog:2h1 1= + .x x12Als x1en x2respectievelijk de snelheden voorstellen tijdens de heen- en terugrit, dan is h degemiddelde snelheid behaald op de heen- en terugrit samen.22
- Page 2: Mathematiseren en oplossen vanprobl
- Page 5 and 6: Het aanleren van zinvolle technieke
- Page 7 and 8: Deze stappenmethode kan een goed hu
- Page 9 and 10: Hopelijk bezorgt dit cahier aan hee
- Page 11 and 12: OplossingStap 1: explorerenWe maken
- Page 13 and 14: Situatie 2Een boer heeft een rechth
- Page 15 and 16: D = ( −20)2− 4.( −4).200000=
- Page 17 and 18: Stap 2: mathematiserenDe oorspronke
- Page 19 and 20: Stap 2: mathematiserenDe oorspronke
- Page 21 and 22: 2 Met de fiets naar schoolWe behand
- Page 23: 4) Johan rijdt 8 km in 25 minuten.8
- Page 27 and 28: Situatie 4Johan fietst ’s morgens
- Page 29 and 30: 3 WindenergieDe laatste jaren wordt
- Page 31 and 32: Stap 3: berekenenH −363 230,0001.
- Page 33 and 34: Stap 4: controlerenDe oorspronkelij
- Page 35 and 36: Telkens we nu waarden toekennen aan
- Page 37 and 38: Stap 2: mathematiseren1) De groeifa
- Page 39 and 40: Situatie 2De patiënt wordt vier we
- Page 41 and 42: Om nu te achterhalen vanaf wanneer
- Page 43 and 44: Eerste mogelijkheid:De eindwaardeA
- Page 45 and 46: Tweede mogelijkheid−4( 1−1,03)
- Page 47 and 48: 1200002) De maandelijkse kapitaalsa
- Page 49 and 50: • Misschien hebben sommige leerli
- Page 51 and 52: OplossingStap 1: explorerenDe laats
- Page 53 and 54: Merk op:Als deze opdracht gegeven w
- Page 55 and 56: Als 20 % van de gegevens kleiner is
- Page 58: In de leerplannen voor de derde gra
Stap 3: berek<strong>en</strong><strong>en</strong>2ss s+16 24=2s3s2s+48 48=2s5s4848= 2s.=5s965= 19,2Stap 4: controler<strong>en</strong>Als de gemiddelde snelheid 19,2 km/h bedraagt, dan rijdt Johan in totaals sDe he<strong>en</strong>rit duurt uur <strong>en</strong> de terugrit 16 24uur.2s19,2uur.Nu iss s 3s2s5ss 2s+ = + = = = . Dit is inderdaad de totale tijdsduur.16 24 48 48 48 9,6 19,2Conclusie:De gemiddelde snelheid bedraagt steeds 19,2 km/h (ongeacht de afstand tuss<strong>en</strong> thuis <strong>en</strong>school).Merk op:Misschi<strong>en</strong> is nu e<strong>en</strong> ideaal mom<strong>en</strong>t aangebrok<strong>en</strong> om het ev<strong>en</strong> te hebb<strong>en</strong> over het begrip‘harmonisch gemiddelde’, e<strong>en</strong> begrip dat de meeste leerling<strong>en</strong> uit e<strong>en</strong> twee-uursrichtingwellicht niet k<strong>en</strong>n<strong>en</strong>.s s 2sTijd<strong>en</strong>s het controler<strong>en</strong> <strong>van</strong> de oplossing in situatie 2, steld<strong>en</strong> we vast dat + = .16 24 19,2We kunn<strong>en</strong> beide led<strong>en</strong> del<strong>en</strong> door s wat mete<strong>en</strong> aantoont dat de gemiddelde snelheid niet1 1 2afhankelijk is <strong>van</strong> de afstand. We bekom<strong>en</strong>: + = .16 24 19,2Deze laatste formule is e<strong>en</strong> speciaal geval <strong>van</strong> de definitie <strong>van</strong> ‘harmonisch gemiddelde’:Het harmonisch gemiddelde h <strong>van</strong> n getall<strong>en</strong> x1, x2, …,xnvoldoet aan:1=1.n∑h n i=11xiHet harmonisch gemiddelde <strong>van</strong> 2 getall<strong>en</strong> x1<strong>en</strong> x2voldoet dus aan:1h=1 ⎛ 1.⎜2 ⎝ x1+1 ⎞⎟x2⎠of nog:2h1 1= + .x x12Als x1<strong>en</strong> x2respectievelijk de snelhed<strong>en</strong> <strong>voor</strong>stell<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s de he<strong>en</strong>- <strong>en</strong> terugrit, dan is h degemiddelde snelheid behaald op de he<strong>en</strong>- <strong>en</strong> terugrit sam<strong>en</strong>.22
Change language