Symmetrie en behoudswetten spelen een belangrijke rol in de ... - IIHE

Symmetrie en behoudswetten spelen een belangrijke rol in de beschrijving en het begrip vaninteracties ti tussen elementaire deeltjes. Interacties ti zullen plaats grijpen voor zover ze kinematischtoegelaten zijn en voor zover een aantal behoudswetten gelden, zoals behoud van lading, vanenergie en impuls, van impulsmoment. Daarboven zijn er nog een aantal behoudswetten die nietnoodzakelijk gelden voor alle soorten interacties. Deze behoudswetten zijn het gevolg van deinvariantie van de hamiltoniaan van een systeem onder bepaalde (unitaire) transformaties. Metdeze behoudswetten kan men kwantumgetallen associëren die al dan niet behouden zijn, en eendeeltje karakteriseren. De behoudswetten en bijhorende kwantumgetallen werden in de loop derjaren opgesteld als gevolg van experimentele observaties, zoals het al dan niet plaats grijpen vanbepaalde interacties.In dit hoofdstuk wordt eerst besproken wat bedoeld wordt met symmetrie en behoudswetten, endit aan de hand van twee voorbeelden: symmetrie onder translaties en behoud van impuls, ensymmetrie onder rotaties en behoud van impulsmoment. Nadien bespreken we ruimte-inversie (P,pariteit), ladingstoevoeging (C-pariteit), tijdsinversie (T transformatie), en de gezamelijketransformaties CPT en CP.Nadien worden isospin en G-pariteit ingeleid, symmetrieën die enkel betrekking hebben ophadronen en de sterke wisselwerking.Het hoofdstuk wordt afgesloten met een herhaling h van baryon en leptongetal l en vreemdheid, enmet een overzicht van alle gezien behoudswetten.1

Operatoren en de Schrödinger vergelijking zijn beschreven in hoofdstuk II, en kunnen gevondenworden in elk boek over kwantummechanica. Een fysische grootheid wordt beschreven door eenhermitische operator.De hamiltoniaan operator stelt de totale energie voor: kinetische + potentiële energie. Voor eenvrij (geïsoleerd) deeltje is V(r)=0.Men spreekt van een behouden grootheid indien de hamiltoniaan en de golffunctie invariant zijnonder de geässocieerde symmetrie operatie.4

Een gesloten systeem is een systeem waarop geen externe potentiaal werkt.De metingen en resultaten van een experiment zijn niet afhankelijk van waar mende opstelling plaatst, voor zover het verband tussen de lokaties translaties zijn.I is de identiteitsoperator.5

Op blz 4 hebben we gezien dat een grootheid behouden is indien zijn operatorcommuteert met de hamiltoniaan.6

Het impulsmoment werd besproken in hoofdstuk II. Men kiest meestal deimpulsvector als z-as.7

O(ε 2 ) wordt verwaarloosd.9

Ruimte-reflectie is een discrete transformatie. Het effect ervan op de golffunctie van een deeltje isdat een linkshandig deeltje transformeert t in een rechtshandig h deeltje. Het wijzigt i het teken van deimpuls, maar laat het impulsmoment onveranderd. Alle deeltjes komen voor in eigentoestandenvan ruimte-inversie, of pariteitstransformatie. Ze hebben een intrinsieke pariteit. Deze isgedefinieerd in hun eigen rustsysteem.In dit deel wordt het effect van de P operatie op de golffunctie besproken evenals de bepaling vande pariteit van een aantal deeltjes. We zullen zien dat P behouden is in de sterke enelektromagnetische wisselwerkingen. Dit laat ons toe om experimenteel de pariteit van deeltjes tebepalen. P is maximaal geschonden in de zwakke wisselwerkingen. Dit wordt op het einde vandeel 2 besproken.10

(x1,x2,x3) vormen een rechtshandig assenstelsel. (x’1,x’2,x’3) vormen eenlinkshandig assenstelsel.Vermits de impuls van teken verandert en het impulsmoment niet, transformeertmen van een rechtshandig (heliciteit +1) naar een linkshandig (heliciteit -1)deeltje.Indien de hamiltoniaan invariant is voor ruimte-inversie, of eenpariteitstransformatie, dan commuteert de hamiltoniaan operator met depariteitsoperator. Beide operatoren hebben een stel gezamelijke eigenfuncties.11

Wanneer men de pariteits operator tweemaal laat opereren bekomt men terug de originelegolffunctie. De operator P 2 is bijgevolg de eenheidsoperator I.We hebben gezien in hoofdstuk II dat de bolfuncties Y lm eigenfuncties zijn van orbitaalimpulsmoment. Men kan veronderstellen dat een systeem van deeltjes invariant is onder rotatiesen bijgevolg sferisch symmetrisch. Bijgevolg kan men het ruimtelijk deel van de golffunctieafzonderen van het hoekafhankelijk deel. De eigenfuncties van orbitaal impulsmoment zijn enkelafhankelijk van de hoeken.12

Het feit dat pariteit behouden is in de sterke en elektromagnetische interacties (of vervallen)betekent tdat men de pariteit van deeltjes kan bepalen uit het experiment. Dit wordt met enkelevoorbeelden aangetoond verder in dit deel van het hoofdstuk. Zwakke wisselwerkingen kunnenniet gebruikt worden om de experimenteel de pariteit van deeltjes te bepalen.De schending van behoud van pariteit in de zwakke wisselwerkingen was een belangrijke mijlpaalin de deeltjesfysica. Dit wordt later in dit deel besproken.13

Baryonen zijn fermionen.Historisch gezien werd pariteit ingevoerd in de jaren 1950 vòòr het quark model.De pariteiten van proton, neutron en lambda hyperon werden ad hoc ingevoerd.De waarden komen overeen met wat men bekomt vertrekkend van gebondenquark systemen.15

Het deuteron is een gebonden (p+n) systeem in de grondtoestand (=0). Depariteit van het deuteron is bijgevolg P d =(+1)(+1)(-1) 0 =+1.De spin van het pion werd besproken in hoofdstuk II.16

De twee neutronen bevinden zich in posities (r 1 ,r 2 ), zodat de ruimtelijkegolffunctie is f(r 1 ,r 2 ). Verwisseling van neutron-1 met neutron-2 betekent dat degolffunctie transformeert in f(r 2 ,r 1 )= f(-r 1 ,-r 2 ), wat een ruimte-inversie inhoudt.Indien l f even is dan is de golffunctie f symmetrische; indien l f oneven is dan isdeze golffunctie anti-symmetrisch.17

De verschillende vormen van de α golffuncties worden bekomen door spinssamen te stellen met de Clebsch Gordan tabellen.In de spin golffunctie α(S,Sz) stelt S de totale spin van het (nn) systeem voor enSz de z-projectie.18

De 3 (nn) toestanden komen overeen met wat toegelaten is wegens behoud vantotaal impulsmoment. De samenstelling van het impulsmoment van de (n+n)toestand moet berekend worden met behulp van de tabellen van Clebsch-Gordancoëfficiënten.De symmetrie van de golffunctie Ψ onder verwisseling van de 2 neutronen hangtaf van de symmetrie van het ruimtelijk deel f en van het spin deel α. Deverschillende mogelijkheden worden in de kader gegeven. Aangezien het (nn)systeem een systeem is met 2 identieke e e fermionen e moet de totale golffunctie ψantisymmetrische zijn onder verwisseling van de 2 neutronen, zowel in ruimtelijkepositie als in spin orientatie.19

Bij een pariteitstransformatie zal de linkerfiguur transformeren in de rechterfiguur.De spin van de cobalt kern blijft ongewijzigd (zie begin deel 2) en de impulsvectorvan het elektron transformeert in zijn spiegelbeeld. Pariteitsbehoud in dit zwakverval betekent dat beide figuren even frequent voorkomen.Aangezien de Co-kernen gepolariseerd zijn kan men de richting van de Cospinvector kiezen als z-as. Bij behoud van pariteit zijn er evenveel elektronengeproduceerd bij een hoek q met de z-as als bij een hoek (p-q). Dat heeft totgevolg g dat de hoekverdeling e isotroop oop moet zijn en men evenveel e ee elektronen e everwacht in de voorwaartse als de achterwaartse hemisfeer (ten opzichte van deCo spinvector). Het experiment van Wu toonde echter een asymmetrie in dehoekverdeling, wat wijst op schending van pariteitsbehoud. De elektronen zijn bijvoorkeur geproduceerd in de achterwaartse richting.23

Heliciteit is de projectie van de spinvector op de impulsvector (hoofdstuk II).In plaats van het experiment te baseren op elektron detectie kon men proberenom het anti-neutrino te detecteren. Dit is niet haalbaar omwille van de extreemlage werkzame doorsnede voor neutrino interactie. Men zou waargenomenhebben dat het anti-neutrino enkel voorwaarts (0 graden) geproduceerd wordt (isrechtshandig).24

De ladingstoevoeging operatie, of C operator, transformeert de golffunctie vaneen deeltje in deze van zijn anti-deeltje. In de meeste gevallen introduceert diteen fasefactor. Enkel deeltjes die hun eigen anti-deeltje zijn (zoals het neutraalpion) hebben een intrinsieke C-pariteit. De sterke en elektromagnetischewisselwerkingen zijn invariant onder een C-transformatie. De zwakkewisselwerkingen zijn niet invariant onder C-transformatie. De intrinsieke C-pariteitvan neutrale hadronen kan bepaald worden in experimenten die verlopen volgensde sterke of elektromagnetische wisselwerkingen.In de zwakke wisselwerkingen is er zowel schending van behoud van pariteit Pals van ladingstoevoeging C. Deze wisselwerkingen zijn echter invariant ondergecombineerde CP transformaties. Er is hierop een uitzondering in het neutraalkaon systeem. Daarin is er evidentie voor een klein CP-schendend effect.Schending van CP-symmetrie werd ook waargenomen in het neutrale B-mesonsysteem (mesonen met B quark, zie hdst VIII). CP-schending in de zwakkewisselwerkingen wordt besproken in deel 4.25

De C-operatie transformeert de golffunctie Ψ in de golffunctie Ψ’, waarin de deeltjes vervangenworden door anti-deeltjes. De golffunctie is deze van een systeem van deeltjes, of van eenindividueel deeltje. Niet alle deeltjes kunnen voorkomen in een eigentoestand van de C-operator.Deeltjes met een duidelijk onderscheiden anti-deeltje (bvb elektron en positron) zijn geeneigentoestand van C-pariteit en hebben geen intrinsieke C-pariteit. De minimum vereiste om eenintrinsieke C-pariteit te bezitten is dat het deeltje neutraal is. Het neutraal pion is een Ceigentoestand. Het neutron niet omdat het een magnetisch moment heeft dat van teken verandertbij C-transformatie.In de kader links stellen de deeltjes a deeltjes voor die geen intrinsieke C-pariteit bezitten, en dedeeltjes β zijn deeltjes met intrinsieke C-pariteit.Het feit dat de sterke en elektromagnetische wisselwerkingen invariant zijn onder C-transformaties betekent dat hun hamiltoniaan invariant is en commuteert met de C-operator.Er dient hier opgemerkt te worden dat de keuze om het elektron een ‘deeltje’ te noemen loutereen conventie is.26

De multiplicatieve eigenschap van de C-pariteit van een systeem van deeltjesheeft enkel betekenis voor deeltjes met intrinsieke C-pariteit.Het kwadraat (η Cγ ) 2 is +1 welke ook de C-pariteit van het foton weze (+1 of -1).Onder een C-pariteitsoperatie veranderen alle geladen deeltjes hun lading vanteken, en flipt bijgevolg ook de potentiaal van teken.28

Het foton is een vector deeltje met spin 1, en wordt beschreven door devectorpotentiaal A.29

Het gedrag van de golffunctie onder pariteits transformatie wordt besproken indeel 2. Het (pi+,pi-) systeem is in een eigentoestand met orbitaal impulsmomentl.Mesonen zijn bosonen en deeltje en anti-deeltje hebben dezelfde intrinsieke C-pariteit.In de afleiding wordt de golffunctie van het (pi+,pi-) systeem gesplitst in een deelf afhankelijk van ruimte en orbitaal impulsmoment en een deel β afhankelijk vande interne quantumgetallen (lading, …)31

Voor systemen met spin kan men de golffunctie schrijven als een productΨ=Φ(r)α(spin)β(interne quantumgetallen). Dit is analoog als wat gedaan werd voorde bepaling van de pariteit van het pion (deel 3). Dit leidt tot de factor (-1) (l +S) .De intrinsieke C-pariteit van bosonen en anti-bosonen zijn gelijk, wat leidt tot defactor (η C ) in het kwadraat.32

De symmetrie van een systeem van 2 fermionen (n+n) werd besproken onder depariteit van het pion, (dit hoofdstuk deel 2); de symmetrie van de spin golffunctiewordt daar uitvoerig besproken.Voor fermionen geldt dat het deeltje en het antideeltje een tegengestelde C-pariteit hebben. Dit betekent dat het product van de C-pariteiten altijd -1 is. Deexponent +2 werd weggelaten omdat een even exponent een factor +1 geeft engeen verschil maakt.33

De heliciteit van een deeltje wordt besproken in H II. De heliciteit van het neutrinowerd besproken in deel 2 van dit hoofdstuk (pariteit in zwakke wisselwerkingen).C-symmetrie in de zwakke wisselwerkingen zou leiden tot het feit datlinkshandige en rechtshandige neutrino’s op dezelfde wijze interageren.Rechtshandige neutrino’s werden echter niet waargenomen, zodat die symetriegebroken is.34

CPT symmetrie is een noodzakelijk ingredient in quantum veldentheorie (ziemaster).36

Aangezien in de zwakke wisselwerkingen vreemdheid niet behouden is kan menaan de hand van hun vreemdheid het K0 en anti-K0 verval niet van elkaaronderscheiden.37

Aan de hand van de formules op de vorige blz kan men de golffunctie van het K0uitschrijven als een superpositie van de golffuncties van het K 0 1 en K 0 2. Analoogkan men de golffunctie van het anti-K0 uitschrijven. De probabiliteit dat het K0voorkomt in een van de toestanden K 0 1 of K 0 2 wordt gegeven door het kwadraatvan de golffunctie. De coefficient 1/√2 leidt tot de probabiliteit van 50% voor elk vande twee toestanden.Het feit dat het K 0 1 zwak vervalt in pi+pi en het K 0 2 in 3 pionen is een bewijs datCP een symmetrie e is van de zwakke wisselwerkingen.e 38

Het zijn het K 0 S en het K 0 L die opgenomen zijn in de PDG deeltjestabellen.De moeilijkheid om CP schending in de K 0 L vervallen te bestuderen was deproductie van K 0 L bundels.CP schending is in het standaard model opgenomen door een mixing tussen dequarks in te voeren, de zgn CKM mixing (zie master).Experimenten die in CERN CP schending in het neutrale kaon systeembestuderen zijn NA48 en NA62. De BaBar en Belle experimenten in de VSA enJapan bestuderen CP schending in neutrale B-meson systemen.39

De T operator heeft een effect op de hamiltoniaan van het systeem en op degolffunctie. Voor de sterke en elektromagnetische wisselwerkingen is dehamiltoniaan invariant onder T-operaties. Voor de zwakke wisselwerkingen is datmeestal ook het geval, behalve in systemen als het neutraal kaon.40

Vergelijking (3) wordt bekomen door de complex toegevoegde te nemen vanvergelijking (1).Vergelijking (4) wordt bekomen door T-transformatie toe te passen op vergelijking(3). Zij is van dezelfde vorm als vergelijking (1) voor zover men ψ vervangt door decomplex toegevoegde en t door –t.Het matrix element, of transitie amplitude, M wordt besproken in hoofdstuk V(interacties) en VI (werkzame doorsnede).De probabiliteiten voor optreden van de reacties a+b->c+d en c+d->a+b zijn gelijk(zelfde transitieamplitudes) maar de rates zullen verschillend zijn omdat dekinematische factoren (massa’s enz) in begin- en eindtoestand verschillend zijn.Invariantie onder T-operatie werd gebruikt om de spin van het pion te bepalen(hdst III).41

De figuur toont 2 curven. De schaal links en onder heeft betrekking op de eerstereactie (punten) en de schaal boven en rechts op de tweede reactie (volle lijn).Statistische methodes, zoals bvb de Kolmogorov test, laten toe beide curven tevergelijken en een bovenlimiet te plaatsen op de afwijking tussen beide, rekeninghoudend met de fouten op de metingen.42

In de formule voor het magnetisch moment voor een spin ½ puntdeeltje is s despin van het deeltje en q zijn lading. De massa van het neutron is m n .Het magnetisch dipoolmoment van het neutron wordt verder besproken inhoofdstuk VIII bij de testen van het quark model.We hebben in hoofdstuk II gezien dat nucleonen typisch een afmeting hebbenvan 1fm = 10 -15 m.In de formule voor het elektrisch dipoolmoment staat d voor de lengte van dedipool.43

De enige ruimtelijke voorkeurrichting in het neutron is de spin richting. De spintransformeert onder een T-operatie als het impulsmoment.44

Isospin en G-pariteit zijn nauw met elkaar verwant. Het zijn symmetrieën van de sterkewisselwerkingen wat betekent tdat de isospin i en G-pariteit kwantumgetallen t enkel betekenishebben voor hadronen.Het formalisme dat isospin beschrijft is volledig analoog aan het formalisme dat spin beschrijft (ziedit hoofdstuk deel 1). Men kan isospin symmetrie, net zoals spin symmetrie, mathematischbeschrijven aan de hand van de groep SU(2). Invariantie van de sterke wisselwerkingen onderisospin transformatie betekent invariantie onder rotaties in een abstracte isospin ruimte. Detransformatie matrices vormen een SU(2) groep, de isospin SU I (2) groep.Toen men de vreemde deeltjes ontdekt heeft in 1947 leek het evident om isospin symmetrie uit tebreiden naar een driedimensionale symmetrie gebaseerd op isospin en vreemdheid. Dezetransformaties vormen de SU(3) groep SU F (3), flavour SU(3). De symmetrie van de sterkewisselwerkingen onder SU F (3) transformaties heeft geleid tot de hypothese van het quark model.Dit wordt in het volgend hoofdstuk (VIII) besproken.45

Indien men de zwakke en elektromagnetische wisselwerkingen zou kunnen afzetten dan stellenhet proton en het neutron dezelfde energietoestand t voor, en bezitten bijgevolg dezelfde massa.Het isospin kwantumgetal heeft geen betekenis voor de zwakke en elektromagnetischewisselwerkingen. Deze processen zijn niet gevoelig aan isospin.Een deeltje met spin J=½ kan voorkomen in 2 toestanden overeenkomend met J z =+1/2 (spin up)en J z =-1/2 (spin down). De twee toestanden van het deeltje (spin up en spin down) hebbendezelfde massa. Analoog heeft het nucleon isospin I=1/2 en kan het voorkomen in 2 toestandenovereenkomend met I 3 =+1/2(p) en I 3 =-1/2(n). De twee toestanden van het nucleon hebbendezelfde massa (op elektromagnetische effecten na).46

De spiegelkernen hebben hetzelfde aantal nucleonen maar verschillen in zoverre dat een neutronin de ene kern overeenkomt met een proton in de andere kern. 3 H=(pnn) en 3 He=(ppn).Behoud van spin (zie deel 1, dit hoofdstuk) is het gevolg van invariantie van debewegingsvergelijkingen onder rotaties in de ruimte. Analoog is behoud van isospin het gevolgvan invariantie onder rotaties in een abstracte, interne isospin ruimte. Daarom gebruikt men decomponenten I 1 ,I 2 ,I 3 ipv I x ,I y ,I z .47

Geassocieerde vreemde deeltjes productie wordt besproken in hoofdstuk III. We zullen inhoofdstuk VIII (quark model) zien dat men hadronen met eenzelfde spin-pariteit it it kan schikken inSU(3) multipletten van isospin en hyperlading.48

Men kan deeltjes groeperen in isospin multipletten. Dit betekent dat een transformatie (inabstracte t isopsin i ruimte) van de ene toestand t (deeltje) naar een andere toestand t (deeltje) desterke wisselwerking invariant laat (bvb zelfde werkzame doorsnedes).Het Δ(1236) baryon bvb bestaat in 4 toestanden, alle 4 met dezelfde massa, spin-pariteit,hyperlading en isospin. Elke toestand komt overeen met een verschillende I 3 waarde gaande van–I tot +I. Voor de sterke wisselwerkingen zijn de 4 toestanden volledig gelijk. Enkel deelektromagnetische wisselwerkingen onderscheiden de 4 toestanden die een verschillende lading,en bijgevolg I 3 , hebben.De isospin van andere hadronen kan men vinden in de PDG deeltjestabellen.49

We gebruiken hoofdletters I,I 3 voor de operatoren en kleine letters i,i 3 voor de eigenwaarden.Om de notaties te vereenvoudigen gebruiken we Dirac haakjes als voorstelling van de golffunctie.De splitsing van de golffunctie in een product van 3 onafhankelijke delen is enkel toegelatenomdat we de benadering maken dat de deeltjes niet-relativistisch zijn.Een multiplet met gegeven isospin i bevat (2i+1) eigentoestanden met verschillende i 3 , gaandevan –i tot +i.50

De operator I 2 commuteert met elke projectie operator I j . We kiezen hieruit I 3 . Bijgevolg hebben deoperatoren I 2 en I 3 een gezamelijk stel eigentoestanden t die een multiplet l t vormen: |i,ii 3 >, met i 3 =-i,… +i. Een deeltje zit bijgevolg in een bepaalde eigentoestand gekenmerkt door i en i 3 .De coëfficiënten C zijn de Clebsch-Gordan coëfficiënten, gegeven in hoofdstuk II.Samenstelling van isospin is volledig analoog als samenstelling van spin. Dit werd besproken inhoofdstuk II. Een voorbeeld wordt gegeven in wat volgt: bepaling isospin van het deuteron.51

De symmetrie van de ruimte golffunctie f staat beschreven in deel 2 van dit hoofdstuk (pariteit).De symmetrie van de spin golffunctie α staat beschreven in deel 2 van dit hoofdstuk (pariteit pion).Daar hebben we gezien dat men een neutron met spin up en neutron met spin down, en viceversa, kon combineren tot een spin triplet dat symmetrisch was onder verwisseling van de 2neutronen, en een singlet dat anti-symmetrisch was.De golffunctie van het (pn) systeem moet anti-symmetrisch zijn onder verwisseling van de 2nucleonen. Voor de sterke wisselwerkingen zijn deze deeltjes identiek.Om een totaal anti-symmetrische golffunctie y te bekomen kan men 2 combinaties maken:1. Spin 1 (S) en isospin 0(A)2. Spin 0(A) en isospin 1(S)Vermits het deuteron spin 1 heeft is de spin golffunctie symmetrisch en moet zijn isospin 0 zijn.52

De werkzame doorsnedes verhouden zich als het kwadraat van detransitieamplitudes. We beschouwen hier enkel het isospin afhankelijk deel enveronderstellen dat de reactie plaats grijpt op een bepaalde plaats met bepaaldespin. De golffuncties voor het (pp) en (pn) systeem kunnen bekomen worden uitde Clebsch Gordan tabellen.53

We hebben gezien in deel 3 (C-operator) dat enkel mesonen die hun eigen antideeltje zijn eenintrinsieke i i C-pariteit hebben. Dit kan enkel indien hun lading, en alle andere additievekwantumgetallen, nul zijn. G-pariteit geeft de mogelijkheid om C-symmetrie uit te breiden naardeeltjes die niet neutraal zijn. G-pariteit heeft enkel betekenis voor de sterke wisselwerkingen.Behoud van G-pariteit laat toe na te gaan of bepaalde sterke wisselwerkingen toegelaten zijn, enlaat tevens toe na te gaan van welk type een interactie is. Dit wordt verder in dit deel besproken.De G-pariteit van de hadronen staat vermeld in de PDG tabellen.55

de G-pariteit van het pion werd als volgt bepaald: de eigenfuncties van isospinzijn de bolfuncties (zie orbitaal impulsmoment in hoofdstuk II). Een onderzoekvan het gedrag van deze eigenfuncties onder een G-transformatie toont dat deG-pariteit van het pion -1 is.56

De reactie (1) is elektromagnetisch omdat er in de eindtoestand enkel fotonen optreden.De G-pariteit van het η meson werd besproken op de vorige blz.57

Behoud van charme en beauty is analoog als behoud van vreemdheid. Menspreekt van de quark flavours (hoofdstuk VIII).59