Kepler's Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel - Wiskunde

Kepler’s Derde Wet en deStabiliteit van het ZonnestelselHenk BroerJohann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en InformaticaRijksuniversiteit Groningen

Summaryi. Stability of solar systemii. Chaos versus chanceiii. ...Email: h.w.broer@rug.nlURL: http://www.math.rug.nl/˜broer

Korte Geschiedenis Zonnestelsel• Tot 1500 vijf planeten:Mercurius, Venus, Mars, Jupiter en Saturnus• Toen kwamen Copernicus, Brahe en Kepler ...• ... en NewtonEmail: h.w.broer@rug.nlURL: http://www.math.rug.nl/˜broer

Systema Saturnium (1659)Saturnus en zijn ringenChristiaan HuygensCees D. Andriesen, Titan Kan Niet Slapen, een biografie van Christaan Huygens, UitgeverijContact 1993

Komeet van HalleyKomeet van Halley 1086, ..., 1531, 1607, 1682,...,1986Edmond Halley (1656-1742) drukte Newton’sPrincipia

UranusWilliam Herschel en een van zijn telescopen(1738-1822)Ontdekking Uranus in 1781

Gauß en CeresCarl Friedrich Gauß en het 10-Mark biljet(1777-1855)Herontdekking planetoïde Ceres in 1801

Neptunus ontdekt 1821Friedrich Wilhelm Bessel en Neptunus(1784-1846)Vorm baan Uranus ‘voorspelt’ bestaan Neptunus

Rozetbaan MercuriusSunPerihelium-beweging Mercurius kan niet volledigmet Newtoniaanse mechanica begrepen worden

Getijden-resonantieMaan ‘gevangen’ in 1 : 1 resonantiePluto en Charon hebben elkaar ‘gevangen’Uiteindelijk lot van het Aarde-Maan systeem...Mercurius ‘gevangen’ in een 3 : 2 resonantie

Ontwakende wetenschap• ‘Betere’ natuurfilosofie(Copernicus)• Nauwkeuriger waarnemingen(Brahe)• Wiskundige berekeningen en principes(Kepler, Newton)• Betere wiskunde – infinitesimaalrekening(Newton, Leibniz, de Bernoulli’s, etc.)

Brahe en KeplerTycho Brahe Johannes Kepler(1546-1601) (1571-1630)Waarneming en berekening aan Zonnestelsel

Harmonice MundiHarmonie in de Kosmos?Pythagoras: verhoudingen in toonsafstanden1 : 2 ∼ octaaf,2 : 3 ∼ kwint,3 : 4 ∼ kwart Harmonie der Sferen...

Platonische lichamen- viervlak (tetraëder)∼vuur- kubus (hexaëder)∼aarde- achtvlak (octaëder)∼lucht- twaalfvlak (dodecaëder)∼quintessence- twintigvlak (icosaëder)∼waterEuclides, Elementen boek XIII

Kepler’s wetten I & IIKepler I: Planeetbaan is ellips met Zon in brandpuntKepler II: Gelijke tijden ⇔ gelijke ‘perken’

Kepler’s wet III• Kepler ellips: Afmeting en omloopstijd- halve lange asA- omloopstijdT• Dan geldtT 2 = cst. A 3• Kepler vindt dit door bestudering waarnemingenNewton geeft dit als theoretisch resultaatuit wiskundige principes• Harmonie: Zie de natuurlijke getallen2en3 !

De PrincipiaPhilosophiæ Naturalis Principia MathematicaIsaac Newton, 1687

Cirkel in centraal krachtveld• Puntmassa m in vlak centraal krachtveldF = − kmr 2 e r (1)• Cirkelbaanr(t) =( x(t)y(t))= R( cos(2πT t) )sin( 2πT t)(in dit geval A = R)• VerbandRenT ? Kepler III uit mathematische principes!

Cirkel in centraal krachtveldy0FrxCirkelbaan in centraal krachtveld F

Snelheid cirkelbewegingx ′ (t) = − 2πRT sin ( 2πT t )y ′ (t) =2πRT cos ( 2πT t )enGeeft snelheid cirkelbeweging( ) ( xv(t) =′ (t) −2πy ′ = RT sin(2π T t) )2π(t)T cos(2π T t)

Snelheid cirkelbewegingyv0xSnelheidvraakt aan de cirkelbaan

Centripetale versnellingy0axVersnellingawijst naar het centrum

Versnelling en krachtVersnelling cirkelbeweging (= middelpuntzoekend)( ) (xa(t) =′′ (t) − ( )2π 2cos)2πy ′′ = RT T t(t) − ( )2π 2sin 2πT T t ( ) 2 2π= −R e r , vgl. BINAS... (2)TCombinatie (1), (2) en (3)Newton II: F = ma (3) Kepler III:T 2 = 4π2k R3

ScholiumUit bovenstaande blijktNewtons inverse kwadraatwet (1):F = kmr 2 e r⇔Kepler III:T 2 = 4π2k R3

Literatuur I- Henk Broer, De chaotische schommel, Pythagoras 35(5) 1997, 11-15- Henk Broer, Computergebruik en demathematisering, Nieuw Archief voor Wiskunde (3)5/8(3), september 2007, 201-205- Joost Hulshof, Differentiaalvergelijkingen, oscillaties en planeetbanen (vakantiecursus),Nieuw Archief voor Wiskunde 5/8(4), december 2007, 270-277- Rainer Kaenders, Dubbelplaneten (vakantiecursus), Nieuw Archief voor Wiskunde 5/8(4),december 2007, 287-298

Newton en FlamsteedSir Isaac Newton John Flamsteed(1642-1727) (1646-1719)Universele gravitatie...

Galileïsche manen JupiterIo, Europa, Ganymedes en Callistobanen vrijwel cirkelvormigomloopstijden ongeveerIo: 2 dagen, Europa: 4 dagen,Ganymedes: 1 week, Callisto: 2 weken

Galileïsche manen Jupiter (ctd.)Geldt hiervoor Kepler III?Check Flamsteed: JA

Universele gravitatie• Klassiek: alleen Zon trekt de planeten aanalles ‘valt’ naar het centrum van de wereld• Flamsteed: ook Jupiter trekt zijn manen aan• Hierna postuleert Newton algemeenF = − km 1m 2r 2e rtussen elk tweetal (punt-) massa’s• Toen pas universele gravitatie...

Conclusies• Gedaan is het met die ordelijke ellipsen!• Storingsrekening is het gevolg:woeste berekeningen aan MaanbaanSterbedekkingen i.v.m. lengtebepaling op zee• Cruciaal experiment FlamsteedVergelijk check Eddington bij Zonsverduisteringin 1919(betreft Algemene Relativiteitstheorie)• Drie lichamen al heel lastig! CHAOSVan Poincaré naar speelgoedmodel Hénon-Heiles

Hénon-Heiles 1964Gekoppelde oscillatorenx ′′ = − ∂V∂xy ′′ = − ∂V∂y• potentiele energieV(x,y) = 1 2 (x2 +y 2 +2x 2 y − 2 3 y3 )(behoud energieE = 1 2 (x ′ ) 2 +(y ′ ) 2) +V(x,y)• Viax ′ = u eny ′ = v naar 4D fase-ruimteR 4 = {x,y,u,v}

De 3-sfeerS 3 ⊂ R 4• Energie hyperoppervlakx 2 +y 2 +u 2 +v 2 +2x 2 y − 2 3 y3 = E≈ 3-dimensionale sfeerS 3 ⊂ R 4• Meetkunde van S 3 ≈ R 3 ∪{∞}S 3 ≈ de vereniging van twee ‘volle’ tori,geplakt langs gemeenschappelijke rand T 2 ...2-dimensionale torusT 2

De 3-sfeerS 3 , ctd.2 4 -2-2-40220-4 -2 0 24• Seiffert foliatie van de 3-sfeerS 3 in2–tori• Poincaré sectie dwars op zulke 2-tori...

Hénon-Heiles IIGeeft idee van de dynamicaEnergieE = 0.005 enE = 0.010overwegend (multi-) periodiek⇔‘stabiel’

Hénon-Heiles IIIEnergieE = 0.012(multi-) periodiek naast chaotisch...

... een beetje draaien

Verder ...Henri PoincaréJacques Laskar• Zonnestelsel multi-periodiek of chaotisch?Op welke termijn?• Jacques Laskar (Observatoire de Paris):‘Problemen’ over ∼ 100.000.000 jaar

Literatuur II- M. Caspar, Johannes Kepler, Stuttgartt 1995- H.F. Cohen, De Herschepping van de Wereld, Uitgeverij Bert Bakker 2008- A. Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson 1959; Danube Edition 1968, 2nd edition 1979- C.M. Linton, From Eudoxus to Einstein, A History of Mathematical Astronomy,Cambridge University Press 2004- H.-O. Peitgen, H. Juergens en D. Saupe, Chaos and Fractals, New Frontiers of Science,Springer-Verlag 1992- H.W. Broer en F. Takens, Dynamical Systems and Chaos, Appl. Math. Sciences 172,Springer-Verlag 2011- E.J. Dijksterhuis, De Mechanisering van het Wereldbeeld, Meulenhof 1950- R.S. Westfall, Never at Rest. A biography of Isaac Newton, Cambridge University Press1980