Meetkunde en Fysica - Wiskunde - Rijksuniversiteit Groningen

Meetkunde en FysicaHenk BroerInstituut voor Wiskunde en InformaticaRijksuniversiteit GroningenMeetkunde en Fysica – p.1/22

OverzichtMeetkundige aspecten van natuurkunde:- Newton en schalingswetten van de ruimte- Kromming in dimensie twee en drie- IDEE: lichtstralen zijn geodeten- Beltrami-Klein meetkunde van het HEDEN inMinkowski-ruimteEmail: broer@math.rug.nlURL: http://www.math.rug.nl/˜broerMeetkunde en Fysica – p.2/22

Kepler & NewtonIohannes Kepler Isaac Newton(1571-1630) (1642-1727)Meetkunde en Fysica – p.3/22

Cirkel & bol (1)Uitgangspunt: NATUURKUNDE is gebonden aan deMEETKUNDE van vlak en ruimteSCHALINGSWETTEN cirkel en bol:- OMTREK vlakke cirkel straal 2πrHoek (in radialen) = lengte langs eenheidscirkel- OPPERVLAKTE bol 4πr 2Ruimtehoek = oppervlakte op eenheidsbolMeetkunde en Fysica – p.4/22

Hoek & ruimtehoek1r r Hoek = lengte boogLengte ∼ r1RuimtehoekMeetkunde en Fysica – p.5/22

Flux krachtveld: plat en ruimtelijkVLAK zwaartekrachtsveld: F = − 1 r e rFLUX door cirkelboog met straal r :HOEK boog, onafhankelijk van rMichael Faraday, James Clerk MaxwellRUIMTELIJK zwaartekrachtsveld: F = − 1 r 2 e rFLUX door oppervlakje op bol met straal r :RUIMTEHOEK oppervlakje, onafhankelijk van rIsaac Newton MAN VAN HET MILLENIUMMeetkunde en Fysica – p.6/22

Faraday & MaxwellMichael Faraday James Clerk Maxwell(1791-1867) (1831-1897)Meetkunde en Fysica – p.7/22

Scholium IKrachtvelden met ‘alle’ oplossingen periodiekplaneetbeweging periodiek (ellips: Kepler I)Perihelium-draaiïng Mercurius ⇐≠⇒ Newtonontdekt in 19e eeuwPhilosophiæ Naturalis Principia Mathematica 1687(Newton I ∼ schaling boloppervlak)Kepler I, II, III & observaties Flamsteed:Jupiter + satellieten minizonnestelsel hypothese UNIVERSELE zwaartekracht⇒ planeetbewegingen chaotisch?Meetkunde en Fysica – p.8/22

Kromming (1): Bol versus vlakLocaal ziet bol er uit als vlakOoit dacht men “de Aarde is plat” (denk ook aan atlas)Hoe zit dat?- Bol zonder punt ∼ = vlak:topologie = rubbermeetkundeFilosofie: “∞ is far away”- Stereografische projectiehoektrouwvoert cirkels in cirkels overbewaart geen afstanden ...“Noordpool” ∼ ∞- Vergelijk Mercator kaart-projectie(veelgebruikt in atlassen)Meetkunde en Fysica – p.9/22

Stereografische projectieCirkel zonder “Noordpool” ∼ = lijnBol zonder “Noordpool” ∼ = vlakMeetkunde en Fysica – p.10/22

Kromming (2): PlatlandersBeschouw VLAKKE cirkel met straal rOmtrek:O(r) = 2πr, dus O(r) = 2π, (1)ronafhankelijk van de straal rHoe zit dat op de BOL?Afstand = booglengte langs grote cirkels (= geodeten)Beschouw cirkel op eenheidsbol met als ‘straal’ hoek α.Omtrek:O(α) = 2π sin α, m.a.w.O(α)= 2π sinα (α α = 2π 1 − 1 )6 α2 + O(α 4 ) (2)Meetkunde en Fysica – p.11/22

Cirkel op bolsin Cirkel met ‘straal’ α ...doorsneden met meridiaanvlakMeetkunde en Fysica – p.12/22

Scholium IIVergelijk (1) en (2): Merk op dat (1) constant is(d.w.z., niet van r afhangt)Echter, zelfs voor kleine α is (2) niet constant:dit heet KROMMING ⇒ bol niet-Euclidisch (elliptisch)- Kromming locale eigenschap- Meetbaar voor PLATLANDERMeetkunde en Fysica – p.13/22

Elliptische meetkunde & RiemannAlle geodeten hebben twee snijpuntenGeorg Friedrich Bernhard Riemann(1826-1866)Meetkunde en Fysica – p.14/22

EigentijdIDEE: AFSTAND = REISTIJD LICHT (EIGENTIJD)Lorentz - Minkowski - Einstein Lichtstralen zijn geodetenAfbuigen fotonen door massa ⇔ gekromde ruimteWaarnemingen bij totale Zonsverduistering: sterrenlichtdat vlak langs Zon gaat wordt afgebogenMeetkunde en Fysica – p.15/22

Lorentz & MinskowskiHendrik Antoon Lorentz Hermann Minkowski(1853-1928) (1864-1909)Meetkunde en Fysica – p.16/22

Scholium IIIRUIMTE-TIJD- Minkowski-ruimte voor PLATLANDERSR 2 × R = {(x,y),t};met krom ‘ruimteachtig deel’, b.v.:S 2 = {(u,v,w) ∈ R 3 | u 2 + v 2 + w 2 = 1}- Uitdijend heelal: opgeblazen ballon ⇒ alleonderlinge afstanden vergroten- 3D Minkowski-ruimte R 3 × R = {(x,y,z),t}met krom ‘ruimte-achtig deel’, b.v.:S 3 = {(u,v,w,z) ∈ R 4 | u 2 + v 2 + w 2 + z 2 = 1}DE SITTER HEELAL (Sneek 1872 - Leiden 1934)Wat is waarheid?Meetkunde en Fysica – p.17/22

Einstein & de SitterAlbert Einstein Willem de Sitter(1879-1955) (1872-1934)Meetkunde en Fysica – p.18/22

Minkowski-ruimte en lichtkegelTerug naar Minkowski-ruimte voor PLATLANDERS:R 2 × R = {(x,y),t)}‘Lichtkegel’= {((x,y),t) | x 2 + y 2 = c 2 t 2 }Ruimte-achtige schijf, het “HEDEN”D T = {(x,y,T) ∈ R 3 | x 2 + y 2 ≤ c 2 T 2 }heeft Beltrami-Klein meetkunde∼ meetkunde van Poincaré-model (hyperbolisch)Meetkunde en Fysica – p.19/22

Lichtkegel en Beltrami-KleintTD TD TxyHet “HEDEN” D T in de lichtkegel ... ... heeft Beltrami-Klein meetkundeMeetkunde en Fysica – p.20/22

Beltrami-Klein en Poincaré modelBeltrami-Klein en Poincaré modellen hyperbolischemeetkunde equivalent:D TD TVan B-K naar halve bol ...en stereografische projectieMeetkunde en Fysica – p.21/22

Volgens M.C. Escher (1898-1972)Circle Limit IIIMeetkunde en Fysica – p.22/22