ICT en DEMATHEMATISERING? - Wiskunde - Rijksuniversiteit ...

ICT en DEMATHEMATISERING?Lerarendag Wiskunde RuG19 december 2006Henk BroerWiskunde & InformaticaRijksuniversiteit GroningenEmail: broer@math.rug.nlURL: http:\\math.rug.nl\~broer1

Outline- Wiskunde in de maatschappij- ICT en Wiskunde- ‘Ouderwetse’ Wiskunde- ModellerenVoorbeeld: ‘Oscillaties’2

Wiskunde in de maatschappij IWiskunde is overal om ons heen,vaak onzichtbaar . . .In veel wetenschappen: Bèta-, Econom(etr)ie‘Nieuwe’ Wiskunde in: Natuurkunde (snaren,&c), Biologie (gentechnologie, verspreidingvan ziekten, neurobiologie), Meteorologie(klimaatverandering)‘Gesettlede’ Wiskunde: via electromagnetisme(Faraday, Maxwell) in- electronica, technologie, ICT(uw notebook & mobieltje, pinpas)vliegverkeer (vliegen zelf, logistiek eromheen)uw CD’s, uw nieuwe auto, &c, &c- medische technologie(uw MRI-scan en uw pacemaker)3

Wiskunde in de maatschappij II∗ Onzichtbaarheid:Wiskunde vaak achter knoppenen schakelaars (remote control), ofhelemaal volautomatisch (Control Theorie)Deze tendens vindt weerslag in onderwijs(DEMATHEMATISERING)‘Stelling’ 1: De huidige tendens vanDEMATHEMATISERING, onder meer in hetVWO, HAVO en HBO is schadelijk voor dekwaliteit van de abituriëntenO.m. in het natuurkunde-onderwijs∗ UNIVERSELE KLACHT: bij veelvervolgonderwijs en bij aankomende leraren4

Wiskunde en ICTBand Wiskunde en ICT via numeriek en symbolischrekenen en grafische mogelijkhedenVindt weerslagin vrijwel alle toepassingsgebieden∗ Diagnose: klakkeloos gebruik van ICT(zoals de GRM) is belangrijke redenvoor de UNIVERSELE KLACHT:want belemmert inzicht en formule-vaardigheid‘Stelling’ 2: Verantwoord gebruik van ICTis nodig bij het Wiskundeonderwijs,het huidige gebruik is echter ernstig aan bezinningtoecTWO visiedocument:‘Use to learn’ versus ‘learn to use’5

‘Ouderwetse’ Wiskunde I‘Ouderwetse’ Wiskunde:(Hoofd-) rekenen, rekenen met letters,haakjes verdrijven, &c., met inzicht (symbolsense)Algebra (Calculus): sin(2ϕ) = 2 sin(ϕ) cos(ϕ),differentiëren met de Kettingregel, &cWie beoefenen dit alles ‘nog’ ?Veel Bèta’s, Econom(etrist)en, MathematischBiologen, &c (intensiteit varieert en wordtdeels gecompenseerd door ICT)VRAAG: hoe zit dit met huisarts,doktersassistente, kassajuffrouw?NB: Enige beheersing van ‘ouderwetse’ Wiskundeis plezierig en je kunt er ‘leuke’ dingen mee6

‘Ouderwetse’ Wiskunde II1. Kogelbaan in constante gravitatiey(t) = 1 2 gt2 + v 0 t + y 0x(t) = ht + x 0❀ ‘fijn’ oefenen met grafieken(o.m. parabolen) en vierkantsvergelijkingen2. Exponentiële afname / groei3. Oscillaties (zie hieronder)mechanica, electrische netwerken, &c4. Optica: brekingsindex, Fermat, Snellius,lenzen, &c.5. DATABASE !!7

Modelleren IBrede trend van wiskundig modelleren viacomputer tools (technisch, wetenschappelijk,TNO, KNP, Europees Galileoproject, &c)❀ meer onderwijs met modelleer toolsRelatie tot UNIVERSELE KLACHT?FEIT: Modelleren is moeilijk, zeker wanneerhet om ‘realistische’ situaties gaat:Klimaatvariabiliteit (wordt Europa binnen enigedecennia warmer of kouder?)de verspreiding van vogelgriep overhet Aardoppervlakhet vliegen van een BOEING 747 (laat staanvan een meeuw)&c.∗ Groot gevaar:black box situaties met remote controls(meer van hetzelfde . . .)8

Modelleren II‘SCHOOLS’ modelleren via first principles:kracht- en ladingsevenwichten, &c.wetten Newton, Hooke, Ohm, Kirchhoff, &c,❀ vergelijkingen voor mechanische,electrische systemen, e.d.∗ Inzet ICT zeker wenselijk,maar niet te vroeg en niet teveelvermijd black box situatiesNB: bij numerieke methoden worden keuzengemaakt (b.v. stapgrootten): ❀ vele pitfalls∗ Daarna complexer modelleren, via toolsSteeds respect voor Wiskunde i.v.m.kritische houding leerling9

Oscillaties IVoorbeeld modelleren en van inzet ICTgebruikt algebra (= calculus)‘First principle’ Newton II:F = m × a❀ 2 e orde differentiaalvergelijking:F (x) = mx ′′Onbekende functie x = x(t), waarinx ′ (t) = d x(t) snelheiddtx ′′ (t) = d2dt2x(t) versnellingHier: x één-dimensionaal10

Oscillaties II1. Veer: x ′′ = −ω 2 xHooke + Newton II: ω 2 = k/m2. Slinger: x ′′ = −ω 2 sin xNewton II: ω 2 = g/lOvereenkomst:Oscillatie voor kleine waarden van (x, x ′ )benadering sin x ≈ x :❀ ‘kleine oscillaties’ slinger11

Oscillaties III1. Lineariteit VEER → ‘oplosbaarheid’.Algemene oplossing: x(t) = R cos(ωt+φ)2. Periode = 2π/ω,onafhankelijk van amplitudo R(isochronie: Galileo en Huygens)3. Analoog programma voor slingerniet uitvoerbaar❀ ‘omweg’ via FASEVLAK12

Oscillaties IVNoem y = x ′Gegeven algemene oscillator❀ vectorveldx ′′ = −F (x)x ′ = yy ′ = −F (x)1. Determinisme:gegeven heden (x(0), y(0))ligt hele toekomst (x(t), y(t)), t > 0 vastals integraalkromme in (x, y)-FASEVLAK2. Eliminatie t doorx ′ dxy ′ = dtdydt= dxdy ❀LIJNELEMENTENVELDydy + F (x)dx = 0(∗)13

Oscillaties VStelling 3: STEL H(x, y) =2 1 y2 + V (x),waarbij dVdx(x) = F (x). DAN zijn de niveaukrommenH(x, y) = c de integraalkrommen vanydy + F (x)dx = 0 (BEHOUD van ENERGIE)1. Substitueer 1 2 y2 + V (x) = c in (∗)2. VEER: V (x) = 1 2 ω2 x 2❀ integraalkrommen 1 2 y2 + 1 2 ω2 x 2 = c(c = 1 2 ω2 R 2 ≥ 0, ellipsen!)3. SLINGER: V (x) = −ω 2 cos x❀ integraalkrommen 1 2 y2 − ω 2 cos x = c(c ≥ −ω 2 )4. Niet-lineariteit SLINGER:periode varieert met amplitudo (anisochronie)5. Modelleer tools: experimenteer metwrijving (lineair, Coulomb, &c.),met periodieke aandrijving (chaos), &c.14

VeerV (x) = 1 2 x2yxx15

SlingerV (x) = − cos xxyx16

‘Willekeurig’V (x) = 1 5 x5 − 10 3 x3 + 9xxyx17

Chaos18

Achtergrond informatieVisiedocument cTWO Rijk aan betekenis: Visieop vernieuwd wiskundeonderwijsVisiedocument Commissie Vernieuwing NatuurkundeonderwijsNatuurkunde leeftwww.natuurkunde.nl19

Anecdotes IIn PR over ZWARTE GATEN geen achterliggendeWiskunde (Differentiaalmeetkunde, Relativiteitstheorie,Einstein c.s.)Niemand had huidige achteruitgang verwacht:factoren GRM, realistische wiskunde, nieuweleren, basisvorming (1993)Het VWO Natuurkundeonderwijs is duchtigge-DEMATHEMATISEERD,(goede plannen in visiedocument Natuurkundeleeft!!)net als vrijwel alle HBO onderwijs (inclusieflerarenopleiding Wiskunde)Eric Bergshoeff 3de jaars Natuurkundestudenten;Tom Snijders met SPSS bij promovendiPPSW;20

Anecdotes IICALCULUS ‘de’ uitvinding van de mensheid(vergelijkbaar met het WIEL)Newton is man van het milleniumFormule en rekenvaardigheid (met symbol sense)❀ mogelijkheid van leuke problemenLION projecten RUG en RU over Wiskundein de Mechanica (Newton, Kepler)INTERNET, GOOGLE, POWERPOINT zegeningenOSCILLATIES ook in L-C netwerken, waterin U-buis, &c., wrijving moeilijker21