computeralgebrasystemen en interactieve ... - KAHO Sint-Lieven

COMPUTERALGEBRASYSTEMEN
EN
INTERACTIEVE
MEETKUNDESOFTWARE
een beknopt overzicht
Dirk Keppens – KaHo Sint–Lieven – juli 2006

2 Computeralgebra
De voorbije vijf jaar hebben computeralgebrasystemen en software
voor dynamische meetkunde een vaste plaats verworven in het wiskundig
leerproces.
Deze hulpmiddelen kunnen op een uiterst zinvolle manier worden ingezet
in het wiskundeonderwijs van aan de lagere school tot aan de universiteit.
In deze syllabus geven we een beknopt overzicht van computeralgebrasystemen
en van programma’s voor dynamische meetkunde, geschikt voor het
secundair en het hoger onderwijs.
Uiteraard is zo’n overzicht nooit volledig en het is ook slechts een momentopname
(we geven hier de toestand medio 2006).
• Dirk Keppens • juni 2006

Computeralgebra en interactieve
meetkunde software
1. Wat is een computeralgebrasysteem ?
Een computeralgebrasysteem (CAS) is software waarmee symbolische wiskunde
mogelijk is, d.w.z. dat bewerkingen mogelijk zijn met symbolen die wiskundige objecten
voorstellen. Voorbeelden van zulke objecten zijn veeltermen, functies, matrices,
vergelijkingen, . . .
Onder “bewerkingen met symbolische uitdrukkingen” verstaat men o.a. : vereenvoudiging
van uitdrukkingen, substitutie van numerieke of symbolische waarden in
uitdrukkingen, omzetting van uitdrukkingen naar een andere vorm, afleiding en integratie
van functies, exact oplossen van verschillende soorten vergelijkingen, matrixbewerkingen,
enz.
De meeste computeralgebrasystemen laten niet alleen symbolisch rekenen toe, maar
zijn ook geschikt voor numerieke berekeningen en voor het genereren van allerhande
grafieken.
Een modern computeralgebrasysteem wordt dan ook meestal gedefinieerd als een
programma met volgende mogelijkheden :
• symbolische rekenmogelijkheden : een nodige voorwaarde om een CAS te
hebben.
• numerieke rekenmogelijkheden : rekenen met getallen zowel in floating point
als “exact”.
• grafische mogelijkheden : visuele voorstelling van bvb. functiegrafieken, al
dan niet met dynamische effecten (animaties met bewegende beelden).
• programmeermogelijkheden : het computeralgebrasysteem fungeert als een
volwaardige programmeertaal.
Het gros van de computeralgebrasystemen die momenteel op de markt zijn, is bedoeld
voor gebruik op PC’s of op grote computersystemen.
Toch zijn er sinds kort ook zakrekenmachines waarop een CAS is geïnstalleerd.
Dat is bijvoorbeeld het geval bij de Hewlett–Packard HP 49G en HP 49G+, bij de
Texas Instruments TI 89, TI 89 Titanium en Voyage 200 en bij de Casio FX 9860G
en Casio Algebra FX 2.0+.
3

4 Computeralgebra
2. Computeralgebrasystemen : een overzicht
De eerste computeralgebrasystemen zijn ontstaan in het begin van de jaren ‘70 vooral
op vraag van fysici voor het uitvoeren van lange berekeningen. De programmeertaal
lisp die ontstond in de omgeving van Artificiële intelligentie, bleek uitermate geschikt
voor aanwending in computeralgebra.
2.1 De CAS van de eerste generatie : REDUCE en Macsyma
REDUCE
Reduce is één van de eerste computeralgebrasystemen die werden ontwikkeld (geschreven
in Standard Lisp) en het programma is nog steeds op de markt.
De ontwikkeling ervan startte in 1960 door de fysicus Anthony C. Hearn en sedertdien
is door tientallen mensen verder gewerkt aan het programma.
De recentste versie 3.8 werd uitgebracht in 2004.
Reduce was aanvankelijk een programma voor grote computersystemen, maar ondertussen
zijn er ook PC–versies voor MS–Windows, Linux, en Mac OS X.
De nadruk van dit computeralgebrasysteem ligt op symbolische berekeningen; de grafische
mogelijkheden zijn beperkt.
Website : http://reduce-algebra.com/
Macsyma en MAXIMA
Macsyma werd ontwikkeld tussen 1967 en 1982 aan het befaamde Massachusetts
Institute of Technology (MIT). Net als Reduce werd het geschreven in Lisp.
In 1982 werd door enkele onderzoekers besloten om Macsyma te commercialiseren,
evenwel zonder toestemming van MIT. De ontwikkeling werd verdergezet in een afdeling
van de firma Symbolics die vooral actief was in de verkoop van computers speciaal
ontworpen voor Lisp.
Door allerlei belangenconflicten mislukte het project en in 1999 werd een punt gezet
achter het Macsyma–verhaal.
Ondertussen was wel de versie blijven bestaan die tot 1982 aan MIT was ontwikkeld,
en die – om haar te onderscheiden van de Macsyma voor Symbolics – DOE Macsyma
werd genoemd (DOE voor Department of Energy van het MIT). Deze versie werd verder
ontwikkeld door William Schelter. In 1988 werd de broncode daarvan vrijgegeven
onder de GNU General Public License en werd de naam omgevormd tot Maxima om
ze te onderscheiden van het ter ziele gegane Macsyma.
Deze weliswaar minder krachtige Macsyma–kloon bestaat nog altijd en de laatste
voorlopige versie 5.9 die dateert van 2006 is beschikbaar voor MS–Windows, Linux
en Mac OS X.
Website : http://maxima.sourceforge.net/
• Dirk Keppens • juni 2006

Computeralgebra 5
2.2 De populaire CAS : Derive, Maple, Mathematica, MuPAD
Sinds het midden van de jaren tachtig zijn een viertal computeralgebrasystemen op
de voorgrond getreden. Enerzijds is dat het bescheiden Derive en anderzijds de drie
grote populaire CAS : Maple, Mathematica en MuPAD. Met uitzondering van Derive,
zijn deze CAS alle geschreven in de programmeertaal C.
muMATH / DERIVE
In 1979 wordt The Soft Warehouse opgericht door Albert Rich en David Stoutemyer
met de bedoeling om een computeralgebrasysteem te ontwerpen voor mini–computers.
In 1983 wordt muMATH uitgebracht voor de IBM PC. Het programma is geschreven
in muLISP, een dialect van Lisp.
In 1988 wordt de naam muMATH vervangen door Derive.
Het programma werkt oorspronkelijk onder MS–DOS en vanaf 1996 komt er een
Windows–versie. Er zijn geen versies voor andere besturingssystemen beschikbaar.
De populariteit van Derive als CAS voor het secundair onderwijs is vooral te wijten
aan het feit dat slechts weinig geheugen nodig is om dit programma te laten draaien,
waardoor het ook op oudere en minder krachtige toestellen bruikbaar is.
In 1999 wordt de firma Soft Warehouse opgekocht door Texas Instruments die een
versie van Derive implementeert op de symbolische rekenmachines TI-89 en Voyage
200.
De recentste Derive–versie 6.1 dateert van 2005.
Website : http://www.derive-europe.com/main.asp
MAPLE
Maple werd ontwikkeld vanaf 1981 door de Symbolic Computation Group aan de University
of Waterloo in Ontario, Canada.
Het programma is geschreven in de programmeertaal C en in de Maple–taal zelf.
De eerste publieke versie van Maple kwam uit in 1985 en vanaf 1988 werd het gecommercialiseerd
door Waterloo Maple Inc., ook gekend als Maplesoft, een firma die
eveneens in Waterloo, Ontario is gevestigd.
De wiskundige mogelijkheden van dit programma zijn enorm. In de recentste versies
wordt ook meer aandacht geschonken aan een gebruiksvriendelijke grafische interface
en aan educatieve toevoegingen die het leerproces moeten ondersteunen zoals de
mogelijkheid tot het maken van maplets (java applets binnen Maple).
Het programma is beschikbaar voor grote computersystemen en voor PC’s onder MS–
Windows, Linux of Mac OS X.
De huidige versie, uitgebracht in 2005, is Maple 10.
Website : http://www.maplesoft.com/
juni 2006
• Dirk Keppens •

6 Computeralgebra
MATHEMATICA
Een concurrent van Maple is Mathematica.
Dit computeralgebrasysteem, eveneens geschreven in C, werd vanaf 1986 ontwikkeld
door de Britse fysicus Stephen Wolfram aan de University of Illinois in de VS.
Wolfram zelf zorgde ook voor de commercialisering van Mathematica door de oprichting
van de firma Wolfram Research.
De eerste versie van Mathematica kwam uit in 1988 voor de Apple Macintosh. Nadien
werden ook MS–Windows en Linux–versies uitgebracht.
Net zoals Maple laat Mathematica veel méér toe dan alleen symbolisch rekenen. Het
programma verenigt numerieke en symbolische rekenmogelijkheden met een uitstekende
grafische omgeving en programmeermogelijkheden.
De recentste versie 5.2 dateert van 2005.
Website : http://www.wolfram.com/
MuPAD
MuPAD is sinds kort uitgegroeid tot een volwaardig alternatief voor Maple en Mathematica.
Dit computeralgebrasysteem (geschreven in C en C++) wordt sedert 1990 ontwikkeld
door een research groep aan de Universiteit van Paderborn in Duitsland, onder leiding
van professor Benno Fuchssteiner, en sedert 1997 in samenwerking met een spin–off
van deze groep : SciFace Software GmbH die voor de verdeling in Europa zorgt.
Buiten Europa is de verdeler MacKichan Software die ook Scientific Workplace met
een geïntegreerde versie van MuPAD, verdeelt (zie verder).
Oorspronkelijk was MuPAD een gratis programma voor educatieve doeleinden (versie
2.5 Light is nog steeds gratis te downloaden), maar met de komst van MuPAD Pro
(een professioneler versie waarbij ook de grafische mogelijkheden sterk verbeterd zijn)
is dat niet langer het geval.
Eén van de wezenlijke verschillen tussen MuPAD en Maple of Mathematica is de
mogelijkheid om object–geöriënteerd te programmeren. MuPAD is beschikbaar voor
Linux, voor MS–Windows en voor Mac OS X.
De laatste versie 3.2 is uitgebracht in 2005.
Website : http://www.mupad.de/ en http://www.sciface.com/
• Dirk Keppens • juni 2006

Computeralgebra 7
2.3 Kleine freeware CAS : Giac / XCAS, GiNaC, AXIOM, Yacas,
Mathomatic, SymbMath en Eigenmath
De laatste jaren komen er steeds meer computeralgebrasystemen bij. De meeste daarvan
zijn ontstaan als kleine projecten van onderzoeksgroepen aan universiteiten en
als gratis programma’s hebben ze niet echt de bedoeling om de gevestigde grote CAS
te beconcurreren. De mogelijkheden zijn trouwens veel beperkter.
Giac / XCAS
Giac/XCAS is een gratis computeralgebrasysteem (GNU Licensie) voor Windows,
Mac OS X and Linux/Unix.
De naam van het programma is een letterwoord dat staat voor Giac Is A Computer
Algebra System.
Giac is beschikbaar als een C++ bibliotheek die deze programmeertaal uitbreidt of
als een zelfstandig programma met een grafische interface (XCAS) die ook modi heeft
compatibel met Maple, MuPAD of TI–89.
Giac is ontwikkeld door Bernard Parisse aan het Institut Fourier in Grenoble, Frankrijk
vanaf 2000.
Website : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/∼parisse/giac.html
GiNaC
Dit letterwoord staat voor Ginac is Not a CAS.
In tegenstelling tot andere computeralgebrasystemen, beschikt dit programma niet
over een eenvoudige interface, maar vormt het een uitbreiding op de programmeertaal
C++. Omwille van het ontbreken van die interface, is de naam van het programma
zo gekozen. Kennis van C++ is dus noodzakelijk om met GiNaC te kunnen werken.
De mogelijkheden zijn wel een stuk beperkter dan in de populaire computeralgebrasystemen
Derive, Maple, Mathematica en MuPAD.
De eerste versie van dit gratis programma (onder de GNU Licensie) werd uitgebracht
in 1999.
Website : http://www.ginac.de/
Yacas
Yacas staat voor Yet Another Computer Algebra System.
Het is nog een jong programma (eerste versie uitgebracht in 1999), geschreven in
C++ waarvan Ayal Pinkus de belangrijkste ontwikkelaar is.
Aanvankelijk werd Yacas uitgebracht voor Unix–systemen, maar ondertussen is ook
een Windows–versie en een Mac–versie beschikbaar.
Yacas is gratis en open source (onder de GNU licensie) en het is ook mogelijk om het
programma zonder het te installeren on–line te gebruiken als een Java–applet.
juni 2006
• Dirk Keppens •

8 Computeralgebra
De recentste versie is versie 1.0.
Website : http://www.xs4all.nl/∼apinkus/yacas.html
of http://yacas.sourceforge.net/
AXIOM
AXIOM is een computeralgebrasysteem, geschreven in de taal Aldor, aanvankelijk
ontwikkeld door IBM onder de naam Scratchpad (uitgebracht in 1973), maar het
programma werd geen succes.
In 1990 werd het verkocht aan de Numerical Algorithms Group die het verder ontwikkelde
onder de naam AXIOM.
In 2001 hield ook deze groep het voor bekeken en AXIOM werd vrije open–source
software onder de GNU licensie.
Website : http://wiki.axiom-developer.org/FrontPage
SymbMath
SymbMath (afkorting van Symbolic Mathematics) (voorheen DrMath en VisualMath)
is een klein computeralgebrasysteem ontwikkeld vanaf 1999 door Weiguang HUANG
uit Sydney, Australië.
Het kan uitgevoerd worden als een DOS–programma of on–line als een Java–applet
vanop elke computer waarop Java is geïnstalleerd.
Website : http://www.symbmath.com/
Mathomatic
Mathomatic is een klein gratis computeralgebrasysteem (onder de GNU licensie).
Het werd aanvankelijk geschreven in C voor MS–DOS door George Gesslein II uit
New–York, U.S.A.
Er zijn ondertussen ook versies voor Linux en MS–Windows beschikbaar.
Website : http://mathomatic.orgserve.de/math/
Eigenmath
Eigenmath is een heel beperkt gratis computeralgebrasysteem (onder de GNU Licensie)
geschreven in C en beschikbaar voor MS–Windows, Linux en Mac OS X.
Website : http://eigenmath.sourceforge.net/
• Dirk Keppens • juni 2006

Computeralgebra 9
2.4 Een webgebaseerd computeralgebrasysteem : Wiris
WIRISonline
Wiris is een computerprogramma dat sinds 1998 wordt ontwikkeld aan het departement
van toegepaste wiskunde van de polytechnische universiteit van Catalonië in
Spanje.
Het is een server–applicatie die via een eenvoudige interface in een webpagina kan
worden uitgevoerd. Om het programma uit te voeren moet men enkel beschikken
over een browser met Java–ondersteuning.
Het programma combineert een (beperkt) computeralgebrasysteem met een pakket
voor twee– en driedimensionale analytische meetkunde en men kan er ook dynamische
webpagina’s mee creëren.
Wiris is platformonafhankelijk en kan dus worden gebruikt op computers met Windows,
Linux of Mac als besturingssysteem.
Voor de commercialisering van het product werd de firma Maths for More opgericht.
Website : http://www.wiris.com/
2.5 Programma’s die verwant zijn met een CAS :
Mathcad, MATLAB, Scilab, OCTAVE, Freemat, Scientific Workplace
Alhoewel de grote computeralgebrasystemen naast symbolische bewerkingen ook numerieke
berekeningen toelaten en mogelijkheden bieden voor wetenschappelijke tekstverwerking,
zijn er specifieke programma’s op de markt waarbij de numerieke component
of de tekstverwerkingscomponent sterker ontwikkeld is. De snelheid waarmee
zware numerieke berekeningen worden uitgevoerd in een CAS is kleiner dan in een
specifiek programma voor numerieke berekeningen.
De grote computeralgebrasystemen Maple, Mathematica en MuPAD kunnen gemakkelijk
gekoppeld worden aan zo’n numeriek pakket (bvb. MATLAB, Scilab, . . .) en
omgekeerd maken de grote numerieke pakketten gebruik van Maple of MuPAD voor
symbolische berekeningen.
Hieronder geven we een overzicht van enkele van zulke programma’s.
MATHCAD
Dit programma kan ook gerekend worden tot de computeralgebrasystemen al was de
oorspronkelijke bedoeling om een tekstverwerker te combineren met de mogelijkheid
om wiskundige berekeningen en grafieken te maken en dit op zulke wijze dat alle
elementen in een werkblad worden aangepast bij wijziging van één component ervan.
Het gedeelte van Mathcad dat toelaat om symbolisch te rekenen is overigens een
afgeslankte versie van de Maple–kern.
De eerste versie van Mathcad werd uitgebracht in 1990.
juni 2006
• Dirk Keppens •

10 Computeralgebra
Het programma dat enkel beschikbaar is voor Windows, wordt verdeeld door de firma
Mathsoft.
De huidige versie, Mathcad 13, werd uitgebracht in 2005.
Website : http://www.mathcad.com/
MATLAB
MATLAB is een afkorting voor MATrix LABoratory.
Het programma werd ontwikkeld einde de jaren zeventig door Cleve Moler, het toenmalige
hoofd van de Computer Science Department van de Universiteit van New
Mexico.
Op vrij korte tijd kreeg MATLAB een brede gebruikersgroep in de gemeenschap van
toegepaste wiskunde.
Toen Jack Little, een ingenieur, in contact kwam met Moler zag hij meteen commerciële
mogelijkheden voor het programma. In 1984 herschreven Little en Moler
MATLAB in C and richtten zij de firma The MathWorks op.
Deze zorgde voor de verdere ontwikkeling en commercialisering van het product.
MATLAB is een hogere programmeertaal speciaal ontwikkeld voor het visualiseren
van data, voor data–analyse en voor numerieke berekeningen i.h.b. in de lineaire
algebra. In het programma is ook Simulink geïntegreerd, software voor het modelleren
en simuleren van dynamische processen.
Door middel van add–on toolboxen kunnen extra functionaliteiten aan MATLAB
worden toegevoegd. Eén daarvan is de toolbox voor symbolische berekeningen die
gebruik maakt van de kern van Maple.
Vanin Maple, Mathematica en MuPAD kunnen koppelingen naar MATLAB worden
gemaakt.
MATLAB (recentste versie 7.2 van 2006) is beschikbaar voor MS–Windows, Linux
en Mac OS X.
Website : http://www.mathworks.com/products/matlab/
Scilab
Scilab is een gratis en open source programma voor numerieke berekeningen ontwikkeld
door INRIA (Institut National de Reserche en Informatique et en Automatique)
in Frankrijk vanaf 1990. Sinds 2003 wordt Scilab onderhouden door Scilab Consortium.
De syntax is vergelijkbaar met MATLAB maar beide programma’s zijn niet compatibel.
Het is wel mogelijk om een MATLAB–bestand te converteren naar een
Scilab–bestand.
Scilab kan gekoppeld worden aan Maple en aan MuPAD.
• Dirk Keppens • juni 2006

Computeralgebra 11
Het programma is beschikbaar voor MS–Windows en Linux.
Website : http://www.scilab.org/
Octave
Octave is een gratis programma (onder de GNU Licensie) voor numerieke berekeningen,
compatibel met MATLAB. Doordat er geen symbolische berekeningen mogelijk
zijn, is het geen computeralgebrasysteem.
Het Octave–project werd gestart door John W. Eaton in 1992, aanvankelijk ter ondersteuning
van berekeningen in Chemical Reactor Design.
Het programma is geschreven in C++ en werkt onder Linux, MS–Windows en Mac
OS X.
Website : http://www.gnu.org/software/octave/octave.html
Freemat
Freemat is een gratis programma (onder de GNU Licensie) voor numerieke berekeningen,
vergelijkbaar met Octave en compatibel met MATLAB.
Het programma is nog vrij jong (eerste versie in 2004) en het is beschikbaar voor
Linux, MS–Windows and Mac OS X.
Website : http://freemat.sourceforge.net/index.html
Scientific Workplace en Scientific Notebook
Scientific Workplace combineert een menugebaseerde shell voor het tekstopmaaksysteem
LaTeX met computeralgebra MuPAD.
Scientific Notebook combineert een mathematische tekstverwerker, niet gebaseerd op
LaTeX, met MuPAD.
In 1981 werd de firma Triad Computing opgericht die één van de eerste wetenschappelijke
tekstverwerkers uitbracht. In 1988 werd begonnen met de ontwikkeling van een
tekstverwerker gebaseerd op LaTeX onder de naam Scientific Word. In 1994 kwam de
eerste versie van Scientific WorkPlace uit, een programma dat de mogelijkheden van
Scientific Word combineert met een ingebouwd computeralgebrasysteem. Daarvoor
werd Maple gekozen.
In 1996 kwam ook Scientific Notebook op de markt met dezelfde functionaliteiten qua
computeralgebra als Scientific Workplace, maar met een beperktere tekstverwerker,
niet gebaseerd op LaTeX.
Ondertussen was de firmanaam eerst gewijzigd in TCI Software Research en nadien
in MacKichan Software.
juni 2006
• Dirk Keppens •

12 Computeralgebra
Tot en met versie 3.0 van Scientific Workplace was het ingebouwde CAS Maple, maar
vanaf versie 4.0 werd dit vervangen door MuPAD.
De huidige versie van de Scientific–producten is 5.5, uitgebracht in 2006.
Website : http://www.mackichan.com/
Livemath Maker
Begin de jaren ’90 ontstond het computeralgebrasysteem Theorist ontwikkeld door
Allan Bonadio. In 1994 werd zijn firma opgekocht door Waterloo Maple en veranderde
de naam van het programma in MathView. In 1999 werd de afdeling die MathView
ontwikkelde verkocht en veranderde de naam van de software nogmaals in de huidige
naam LiveMath Maker.
Het is een klein computeralgebrasysteem waarin geen gebruik gemaakt wordt van
commando’s. Het is vooral bedoeld om educatieve wiskundige toepassingen te maken.
LiveMath is beschikbaar voor MS–Windows, Linux en Mac OS X.
Website : http://www.livemath.com/
2.6 CAS voor specifieke domeinen : Macaulay, Fermat, SINGULAR,
PARI/GP, Cocoa, GAP, GRG, Magma, SIMATH
De computeralgebrasystemen die hierboven werden besproken, zijn alle general purpose
wat betekent dat ze ontwikkeld zijn voor meerdere deelgebieden uit de wiskunde
terzelfdertijd (bvb. zowel algebra als analyse).
Voor zeer specifieke domeinen zijn ook special purpose computeralgebrasystemen
ontwikkeld (naast speciale pakketten om te gebruiken binnen de bestaande CAS als
Maple).
Hieronder sommen we enkele van dergelijke programma’s op zonder volledigheid na
te streven. Veel van deze programma’s zijn freeware.
• Macaulay2 : een gratis programma, vooral voor polynoomberekeningen in commutatieve
algebra en algebraïsche meetkunde.
Website : http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/
• Fermat : een shareware computeralgebrasysteem voor polynoom– en matrixalgebra
over de rationale getallen en over eindige velden.
Website : http://www.bway.net/∼lewis/
• Dirk Keppens • juni 2006

Computeralgebra 13
• SINGULAR : is een gratis computeralgebrasysteem voor polynoomberekeningen
i.h.b. voor commutatieve algebra, algebraïsche meetkunde en singulariteitstheorie.
Website : http://www.singular.uni–kl.de/
• PARI/GP : is een gratis computeralgebrasysteem voor snelle berekeningen in
getaltheorie.
Website : http://pari.math.u–bordeaux.fr/
• CoCoA : is een gratis computeralgebrasysteem voor commutatieve algebra
(Computations in Commutative Algebra)
Website : http://cocoa.dima.unige.it/
• GAP : GAP (Groups, Algorithms, and Programming) is een computeralgebrasysteem
speciaal voor berekeningen in groepentheorie.
Website : http://www–gap.mcs.st-and.ac.uk/
• GRG : is een gratis computeralgebrasysteem voor problemen uit de differentiaalmeetkunde,
veldentheorie en gravitatietheorie. Het programma is gebaseerd
op REDUCE en laat o.a. berekeningen toe met tensoren, spinoren, vectoren en
differentiaalvormen.
Website : http://www.reduce–algebra.com/grg32.htm
• Magma : is een CAS voor problemen uit de algebra, de getaltheorie, de meetkunde
en de combinatoriek. Het is de opvolger van het oudere programma
Cayley.
Website : http://magma.maths.usyd.edu.au/
• SIMATH : is een CAS speciaal voor getaltheorie.
Website : http://tnt.math.metro–u.ac.jp/simath/
• LiDIA : is een gratis C++ bibliotheek voor getaltheorie.
Website : http://www.informatik.tu–darmstadt.de/TI/LiDIA/
• CASA : een gratis computeralgebrasysteem voor algebraïsche meetkunde ontwikkeld
door de Computer Algebra Group aan het Research Institute for Symbolic
Computation (RISC-Linz) van de universiteit van Linz in Oostenrijk. Het
programma is gebouwd rond de kern van Maple.
Website : http://www.risc.uni–linz.ac.at/software/casa/casa.html
juni 2006
• Dirk Keppens •

14 Computeralgebra
3. Interactieve meetkunde software
Parallel met de ontwikkeling van computeralgebrasystemen wordt er gewerkt aan programma’s
voor dynamische meetkunde. Dit is software die toelaat om constructies
en transformaties uit te voeren met meetkundige objecten in het vlak of in de ruimte.
De term “dynamisch” verwijst naar het feit dat de constructie in real time wordt
aangepast wanneer men een element ervan wijzigt of verplaatst.
Programma’s voor dynamische meetkunde, ook gekend als IGS (Interactive Geometry
Software) zijn geen computeralgebrasystemen, maar ze worden wel vaak gebruikt als
aanvulling van een CAS bij het uitvoeren van meetkundige constructies.
Net zoals computeralgebrasystemen hebben dynamische meetkundeprogramma’s een
belangrijke plaats ingenomen in het hedendaags wiskundeonderwijs.
Hieronder geven we een (onvolledig) overzicht van enkele programma’s die momenteel
op de markt zijn als commercieel pakket of die vrij kunnen worden gedownload.
The Geometer’s Sketchpad :
Is in de V.S. de meest populaire IGS voor Windows en Mac OS X. en zeker één
van de krachtigste commerciële pakketten die op de markt zijn.
Texas Instruments heeft een versie van het programma geïmplementeerd op de
symbolische rekenmachines TI-89 en Voyage 200.
Website : http://www.keypress.com/sketchpad/
Cabri Geometry II + :
Is voor Europa wat The Geometer’s Sketchpad voor de V.S. betekent. Een zeer
krachtig programma voor dynamische meetkunde.
Het werd in 1980 ontworpen aan de Joseph Fourier Universiteit in Grenoble
(France) als een CAhier de BRouillon Interactif : een educatief pakket voor
vlakke analytische meetkunde.
Cabri werd gecommercialiseerd door de firma Cabrilog.
Het is beschikbaar voor MS–Windows en voor Mac OS X.
Texas Instruments implementeerde een versie Cabri Jr.
terwijl Cabri zelf geïnstalleerd is op de TI-89.
Website : http://www.cabri.com
voor de TI-84 Plus,
• Dirk Keppens • juni 2006

Computeralgebra 15
Cinderella :
Deze commerciële IGS, geschreven in Java, is beschikbaar voor MS–Windows,
Linux en Mac OS X.
Cinderella is vergelijkbaar met Cabri en The Geometer’s Sketchpad, maar laat
ook constructies toe in niet–euclidische meetkunde.
Het programma werd ontwikkeld aan de Technische Universiteiten van München
en van Berlijn in Duitsland.
Website : http://cinderella.de/tiki–index.php
C.a.R (Compass and Ruler) :
Een freeware en open–source alternatief onder de GNU–Licensie ontwikkeld door
R. Grothmann. Het programma maakt gebruik van Java en kan gebruikt worden
op computers met MS–Windows, Linux of Mac OS X.
De oorspronkelijke versie was duitstalig en heette Z.u.L. (Zirkel und Lineal). De
nederlanstalige versie heet ook P.e.L. (Passer en Liniaal).
Website : http://mathsrv.ku–eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/index.html
Euklid DynaGeo :
Is een shareware–programma voor dynamische meetkunde ontwikkeld door Ronald
Mechling, enkel beschikbaar voor MS–Windows.
Website : http://www.dynageo.com/eng/index.html
GeoGebra :
Een freeware en open–source (onder de GNU Licensie) IGS–programma gecombineerd
met een beperkt CAS waardoor niet alleen meetkundige constructies
mogelijk zijn, maar ook bewerkingen uit de algebra en de analyse.
Geogebra is ontwikkeld vanaf 2002 door Markus Hohenwarter aan de Universiteit
van Salzburg in Oostenrijk.
Het programma maakt gebruik van Java en is beschikbaar voor MS–Windows,
Linux en Mac OS X.
Website : http://www.geogebra.at/
Geometrix :
Een gratis educatief programma geschreven door Jacques Gressier sinds 1990 in
Prolog, Python en Visual Basic. Geometrix is een combinatie van een dynamisch
meetkundepakket met een programma voor automatische bewijsvoering.
Website : http://perso.wanadoo.fr/jgressier/
juni 2006
• Dirk Keppens •

16 Computeralgebra
GeoProof :
Een freeware programma (onder de GNU Licensie) voor dynamische meetkunde
dat tevens automatische bewijsvoering toelaat. Het programma is nog in een
ontwikkelingsfase en momenteel is enkel een testversie voor Linux beschikbaar.
Website : http://home.gna.org/geoproof/
Kig, KGeo, Dr. Geo :
Drie freeware IGP (onder de GNU Licensie) voor gebruik in KDE : de vrije
grafische desktop omgeving voor Linux en Unix.
Websites : http://edu.kde.org/kig/ en http://kgeo.sourceforge.net/
en http://www.ofset.org/drgeo
GEUP :
Een programma voor dynamische meetkunde ontwikkeld door Ramon Alvarez
uit Tenerife.
Er is enkel een Windows–versie. GEUP is niet gratis, maar men kan wel een
gratis versie downloaden waarmee geen bestanden kunnen worden opgeslagen
of afgedrukt.
Website : http://www.geup.net/index − eng.htm
GeoNE X T
Freeware meetkundeprogramma (onder de GNU Licensie) ontwikkeld aan de
Universiteit van Bayreuth in Duitsland.
GeoNExT is beschikbaar voor MS–Windows, Linux en Mac OS X en kan ook
als Java–applet online worden gebruikt zonder het te installeren.
Website : http://geonext.uni–bayreuth.de/
GeometryExpressions
Dit veelbelovend gloednieuw programma (eerste versie uitgebracht in 2006) combineert
meetkundesoftware met symbolische algebra.
Voorlopig enkel verkrijgbaar voor MS–Windows, maar een versie voor Linux en
Mac OS is verwacht.
Website : http://www.geometryexpressions.com/index.php
• Dirk Keppens • juni 2006