Hoofdstuk 4 De Laplace transformatie
Hoofdstuk 4 De Laplace transformatie
Hoofdstuk 4 De Laplace transformatie
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Hoofdstuk</strong> 4<br />
<strong>De</strong> <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong><br />
4.1 Inleiding<br />
In <strong>Hoofdstuk</strong> 3 hebben we de klassieke methoden voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen<br />
behandeld. <strong>De</strong> verkregen oplossingen zijn oplossingen in het tijdsdomein. In dit<br />
hoofdstuk zullen we <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong>s gebruiken om differentiaalvergelijkingen te<br />
transformeren naar het frequentiedomein, waarbij de onafhankelijke variabele s de complexe<br />
frequentie voorstelt.<br />
Beschouw de lineaire differentiaalvergelijking<br />
ϕ(y(t)) = x(t) (4.1)<br />
waarbij x(t) de ’forcing function’ is, y(t) de onbekende en ϕ(y(t)) de differentiaalvergelijking.<br />
Laat P(·) het <strong>transformatie</strong>proces en s de frequentievariabele voorstellen. Toepassen<br />
van de <strong>transformatie</strong> operator op beide leden van (4.1) geeft<br />
P[ϕ(y(t))] = P[x(t)]. (4.2)<br />
Stel X(s) = P[x(t)] en Y (s) = P[y(t)] dan kan (4.2) als volgt worden geschreven<br />
Ψ(Y (s)) = X(s) (4.3)<br />
waarbij Ψ(Y (s)) een polynoom in s is. <strong>De</strong> essentie van het <strong>transformatie</strong>proces is dat<br />
de differentiaalvergelijking in het tijdsdomein getransformeerd is naar een algebraïsche<br />
vergelijking in het frequentiedomein. We kunnen (4.3) algebraïsch oplossen om Y (s) te<br />
verkrijgen. Als een laatste stap passen we de inverse <strong>transformatie</strong> toe om y(t) te verkrijgen<br />
y(t) = P −1 [Y (s)]. (4.4)<br />
79
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 80<br />
Figuur 4.1 geeft het gebruik van <strong>transformatie</strong>methodes in diagramvorm weer.<br />
Figuur 4.1: Transformatiemethode<br />
4.2 <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong><br />
<strong>De</strong>finitie 4.1 (<strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong>) Gegeven een continu tijdssignaal x(t). <strong>De</strong> <strong>Laplace</strong><br />
<strong>transformatie</strong> X(s) is gedefinieerd als<br />
L[x(t)] = X(s) =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
x(t)e −st dt (4.5)<br />
waarbij de variabele s ∈ C de volgende vorm heeft s = σ + jω. <strong>De</strong> <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong><br />
gedefinieerd in (4.5) is de bilaterale <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong>. <strong>De</strong> <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong>,<br />
welke gedefinieerd is als<br />
X(s) =<br />
∫ ∞<br />
0 − x(t)e −st dt (4.6)<br />
waarbij 0 − = lim (0 − ε), wordt de unilaterale <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong> genoemd. <strong>De</strong><br />
ε→0, ε 0 en X(σ) is<br />
absoluut convergent voor σ 0 ∈ R, dat is<br />
∫ ∞<br />
0 − |x(t)| e −σ 0t dt < +∞ (4.7)<br />
dan is x(t) <strong>Laplace</strong> transformeerbaar voor Re(s) > σ 0 .<br />
Voorbeeld 4.1 Beschouw het signaal<br />
x(t) = e −at u(t),<br />
a ∈ R<br />
Volgens (4.5) wordt de <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong> van x(t) gegeven<br />
∫ ∞<br />
∫ ∞<br />
X(s) = e −at u(t) e −st dt = e −(s+a)t dt<br />
−∞<br />
0 +<br />
= − 1 [ ] e<br />
−(s+a)t ∞<br />
= 1 Re(s) > −a (4.8)<br />
s + a<br />
0 + s + a<br />
omdat lim<br />
t→∞<br />
e −(s+a)t = 0 enkel als Re(s) > −a. Het convergentiegebied voor dit voorbeeld<br />
wordt gespecifieerd in (4.8) als Re(s) > −a en is afgebeeld in het complexe vlak, zie<br />
Figuur 4.2, door het gearceerde gebied rechts van de lijn −a.
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 81<br />
Figuur 4.2: Convergentiegebied voor voorbeeld 4.1
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 82<br />
4.2.1 <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong>s van eenvoudige functies<br />
<strong>De</strong> <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong>s van eenvoudige signalen zijn getabelleerd in Figuur 4.3 1<br />
Figuur 4.3: Eenvoudige <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong>s<br />
1 ROC = Region of Convergence = Convergentiegebied
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 83<br />
4.2.2 Eigenschappen van de <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong><br />
Basiseigenschappen van de <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong> worden voorgesteld in Tabel 4.1<br />
1. Lineariteit L [ ∑ n<br />
k=1 a kx k (t)]<br />
∑ n<br />
k=1 a kX k (s)<br />
2. Translatie L [e at x (t)] X (s − a)<br />
1<br />
3. Schaling L [x (at)] X ( )<br />
s<br />
a a<br />
[ ]<br />
4. Differentiëren L d n x(t)<br />
s n X (s) − s n−1 x (t)|<br />
dt n t=0<br />
− s n−2 dx(t)<br />
dt<br />
∣ −<br />
∣ ∣ t=0<br />
. . . − s dn−2 x(t) ∣∣t=0<br />
− dn−1 x(t) ∣∣t=0<br />
dt n−2<br />
dt n−1<br />
[ ∫ ]<br />
t<br />
5. Integreren L x (τ) dτ 0<br />
1<br />
X (s) s<br />
6. Vermenigvuldigen met t L [t n x (t)] (−1) n d n<br />
ds n (x (s))<br />
7. <strong>De</strong>len door t L [ 1<br />
t x (t)]<br />
8. Periodieke functies L [x (t)]<br />
∫ ∞<br />
X (λ) dλ<br />
s<br />
∫ T<br />
0<br />
e−st x(t)dt<br />
1−e −st<br />
9. initiële waarde theorema lim t→0 x (t) lim s→∞ sX (s)<br />
10. Einde waarde theorema lim t→∞ x (t) lim s→0 sX (s)<br />
11. Convolutie L [x 1 (t) ∗ x 2 (t)] X 1 (s) X 2 (s)<br />
Tabel 4.1: Enkele belangrijke eigenschappen van de <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong><br />
1. Lineariteit<br />
Voorbeeld 4.2<br />
2. Translatie<br />
L [ 4t 2 − 3 cos (2t) + 5e −t] = 4L [ t 2] − 3L [cos (2t)] + 5L [ e −t]<br />
( ) ( ) ( )<br />
2! s<br />
1<br />
= 4 − 3 + 5<br />
s 3 s 2 + 4 s + 1<br />
= 8 s − 3s<br />
3 s 2 + 4 + 5<br />
s + 1 .<br />
Voorbeeld 4.3 Bepaal L [e −t cos (2t)] . Met L [cos (2t)] =<br />
L [ e −t cos (2t) ] =<br />
s wordt<br />
s 2 +4<br />
s + 1<br />
(s + 1) 2 + 4 = s + 1<br />
s 2 + 2s + 5 .
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 84<br />
3. Schaling<br />
Voorbeeld 4.4 Bepaal L [sin (3t)] . Met L [sin (t)] = 1 wordt<br />
s 2 +1<br />
( 1 1<br />
L [sin (3t)] = )<br />
3)<br />
2<br />
= 3<br />
+ 1 s 2 + 9 .<br />
4. Differentiëren<br />
Voorbeeld 4.5 Bepaal L [ d<br />
(cos (3t))] . Met L [cos (3t)] =<br />
dt<br />
[ ] ( )<br />
d s<br />
L<br />
dt (cos (3t)) = s − cos (0)<br />
s 2 + 9<br />
( ) s<br />
= s − 1<br />
s 2 + 9<br />
5. Integreren<br />
( s<br />
3<br />
= − 9<br />
s 2 + 9<br />
s wordt<br />
s 2 +9<br />
[ ∫ ]<br />
t<br />
Voorbeeld 4.6 Bepaal L sin (2t) . Met L [sin (2t)] = 2 wordt<br />
0 s 2 +4<br />
6. Vermenigvuldigen met t<br />
[∫ t<br />
]<br />
L sin (2t) =<br />
0<br />
2<br />
s (s 2 + 4) .<br />
Voorbeeld 4.7 Bepaal L [t 2 e 2t ] . Met L [e 2t ] = 1<br />
s−2 wordt<br />
7. <strong>De</strong>len door t<br />
L [ t 2 e 2t] ( )<br />
= d2 1<br />
ds 2 s − 2<br />
=<br />
2<br />
(s − 2) 3 .<br />
Voorbeeld 4.8 Bepaal L [ 1<br />
sin (t)] . Met L [sin (t)] = 1<br />
t<br />
wordt<br />
[ ] ∫ 1 ∞<br />
(<br />
L<br />
t sin (t) 1<br />
1<br />
=<br />
u 2 + 1 du = bgtg s<br />
8. Periodieke functies<br />
Voorbeeld 4.9 Gegeven<br />
x (t) =<br />
s<br />
{ sin (t) 0 < t < π<br />
0 π < t < 2π .<br />
s 2 +1<br />
)<br />
.<br />
en lim t→0 sin(t)<br />
t<br />
= 1
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 85<br />
<strong>De</strong> grafiek is weergegeven in Figuur 4.4.<br />
Bepaal L [x (t)] . Met T = 2π<br />
9. Initiële waarde theorema<br />
Figuur 4.4: Halve sinus<br />
∫<br />
1 2π<br />
L [x (t)] =<br />
e −st x (t) dt<br />
1 − e −2πs 0<br />
∫<br />
1 π<br />
=<br />
e −st sin (t) dt<br />
1 − e −2πs 0<br />
( )∣<br />
1 e −st (−s sin (t) − cos (t)) ∣∣∣<br />
π<br />
=<br />
1 − e −2πs s 2 + 1<br />
0<br />
( )<br />
1 1 + e<br />
−πs<br />
=<br />
1 − e −2πs s 2 + 1<br />
1<br />
=<br />
(1 − e −2πs ) (s 2 + 1) .<br />
Theorema 4.1 Het initiële waarde theorema laat ons lim t→0 − x (t) bepalen op basis<br />
van zijn <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong> als lim<br />
s→∞<br />
sX(s) bestaat<br />
lim x (t) = lim sX (s) . (4.9)<br />
t→0− s→∞<br />
Bewijs. <strong>Laplace</strong> operator L toepassen op de afgeleide geeft<br />
[ ] ∫ dx (t) ∞<br />
dx (t)<br />
L = e −st dt = sX (s) − x (t)|<br />
dt 0 dt<br />
t=0 − . (4.10)<br />
−<br />
lim nemen van (4.10) geeft<br />
s→∞<br />
∫ ∞<br />
lim<br />
s→∞<br />
dx (t)<br />
0 dt<br />
−<br />
e −st dt = lim<br />
s→∞<br />
(sX (s) − x (t)| t=0 −)<br />
Uitwerken geeft<br />
lim (sX (s) − x (t)|<br />
s→∞<br />
t=0<br />
) = 0<br />
−<br />
x ( 0 −) = lim<br />
s→∞<br />
sX (s)
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 86<br />
10. Einde waarde theorema<br />
Theorema 4.2 Het einde waarde theorema laat ons lim t→∞ x (t) bepalen op basis<br />
van zijn <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong> als sX(s) geen polen heeft in het rechter halfvlak of<br />
op de imaginaire as.<br />
lim<br />
t→∞<br />
x (t) = lim sX (s) . (4.11)<br />
s→0<br />
Bewijs. <strong>Laplace</strong> operator L toepassen op de afgeleide geeft<br />
[ ] ∫ dx (t) ∞<br />
dx (t)<br />
L = e −st dt = sX (s) − x (t)|<br />
dt 0 dt<br />
t=0 − . (4.12)<br />
−<br />
lim s→0 −<br />
nemen van (4.12) geeft<br />
lim<br />
s→0<br />
∫ ∞<br />
dx (t)<br />
0 dt<br />
−<br />
e −st dt = lim<br />
s→0<br />
(sX (s) − x (t)| t=0 −)<br />
Uitwerken geeft<br />
x (∞) − x (t)| t=0 − = lim<br />
s→0<br />
(sX (s) − x (t)| t=0 −)<br />
x (∞) = lim<br />
s→0<br />
sX (s)<br />
11. Convolutie<br />
<strong>De</strong>ze eigenschap is een van de meest toegepaste eigenschappen in de studie en analyse<br />
van lineaire systemen. Het reduceert de complexiteit van het evalueren van de<br />
convolutie integraal naar een eenvoudige vermenigvuldiging.<br />
Theorema 4.3 Gegeven twee continue tijdfuncties x 1 (t) en x 2 (t) met L [x 1 (t)] =<br />
X 1 (s) en L [x 2 (t)] = X 2 (s) . <strong>De</strong> convolutie eigenschap stelt dat<br />
L [x 1 (t) ∗ x 2 (t)] = X 1 (s) X 2 (s) (4.13)<br />
Bewijs. <strong>De</strong> convolutie van x 1 (t) en x 2 (t) , beide signalen zijn causaal, is als volgt<br />
gedefinieerd<br />
x 1 (t) ∗ x 2 (t) =<br />
∫ ∞<br />
0 − x 1 (τ) x 2 (t − τ) dτ.<br />
Toepassen van de L-operator op beide leden resulteert in<br />
L [x 1 (t) ∗ x 2 (t)] =<br />
∫ ∞<br />
0 − [∫ ∞<br />
0 − x 1 (τ) x 2 (t − τ) dτ<br />
]<br />
e −st dt.<br />
Onderling de volgorde van de integralen verwisselen geeft<br />
∫ ∞<br />
[∫ ∞<br />
]<br />
L [x 1 (t) ∗ x 2 (t)] = x 1 (τ) x 2 (t − τ) e −st dt dτ.<br />
0 − 0 −
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 87<br />
Stel η = t − τ in de tweede integraal, x 2 (η) = 0 voor η < 0, de nieuwe grenzen<br />
worden −τ, ∞. Maar aangezien met causale signalen gewerkt wordt, blijven de<br />
grenzen 0 − , ∞.<br />
∫ ∞<br />
[∫ ∞<br />
]<br />
L [x 1 (t) ∗ x 2 (t)] = x 1 (τ) e −sτ x 2 (η) e −sη dη dτ<br />
0 − 0 −<br />
= X 1 (s) X 2 (s) . (4.14)<br />
4.2.3 Toepassen van de tabellen<br />
Voorbeeld 4.10 Bepaal de <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong> van volgende functie<br />
x(t) = 4e 5t + 6t 3 + 3 sin(4t) + 2 cos(2t)<br />
oplossing<br />
Gebruikmakend van Figuur 4.3 en de lineariteit van de operator, wordt de <strong>Laplace</strong><br />
<strong>transformatie</strong> van x(t) geschreven als<br />
L[4e 5t + 6t 3 + 3 sin(4t) + 2 cos(2t)] = 4L[e 5t ] + 6L[t 3 ] − 3L[sin(4t)] + 2L[cos(2t)]<br />
( ) ( ) ( )<br />
1 3! 4<br />
= 4 + 6 − 3<br />
+<br />
s − 5 s 4 s 2 + 16<br />
( ) s<br />
2<br />
s 2 + 4<br />
4<br />
=<br />
s − 5 + 36<br />
s − 12<br />
4 s 2 + 16 + 2s<br />
s 2 + 4<br />
Voorbeeld 4.11 Bepaal de <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong> van volgende functie<br />
x(t) = e −4t + sin(t − 2) + t 2 e −2t<br />
oplossing<br />
<strong>De</strong> <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong> van e −4t , sin(t) en t 2 zijn gegeven in Figuur 4.3<br />
L[e −4t ] = 1<br />
s + 4<br />
L[sin(t)] = 1<br />
s 2 + 1<br />
Gebruikmakend van de translatie-eigenschap (zie Tabel 4.1)<br />
L[sin(t − 2)] =<br />
e−2s<br />
s 2 + 1<br />
L[t 2 e −2t ] =<br />
L[t 2 ] = 2 s 3<br />
2<br />
(s + 2) 2 .<br />
Daar L een lineaire operator is, wordt de <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong> van x(t) geschreven<br />
als<br />
L[x(t)] = 1<br />
s + 4 + e−2s<br />
s 2 + 1 + 2<br />
(s + 2) 2
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 88<br />
Voorbeeld 4.12 Bepaal de <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong> van volgende functie<br />
x(t) = e −2t (3 cos(6t) − 5 sin(6t) + sin(4t))<br />
oplossing<br />
Gebruikmakend van Figuur 4.3 en de lineariteit van de operator, wordt de <strong>Laplace</strong><br />
<strong>transformatie</strong> van x(t) geschreven als<br />
L[3 cos(6t) − 5 sin(6t) + sin(4t)] =<br />
( ) ( ) ( )<br />
s<br />
6<br />
4<br />
3<br />
− 5<br />
+<br />
s 2 + 36 s 2 + 36 s 2 + 16<br />
=<br />
3s − 30<br />
s 2 + 36 + 4<br />
s 2 + 16 .<br />
Gebruikmakend van de translatie-eigenschap<br />
L[e −2t (3 cos(6t) − 5 sin(6t) + sin(4t))] =<br />
=<br />
=<br />
3(s + 2) − 30<br />
(s + 2) 2 + 36 + 4<br />
(s + 2) 2 + 16<br />
3s − 24<br />
s 2 + 4s + 40 + 4<br />
(s + 2) 2 + 16<br />
3s 3 − 8s 2 − 20s − 320<br />
(s 2 + 4s + 40)(s 2 + 4s + 20)
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 89<br />
4.3 <strong>De</strong> Inverse <strong>Laplace</strong> Transformatie<br />
<strong>De</strong> <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong> L [x (t)] = X (s) transformeert een probleem in het t-domein<br />
naar het complex s-domein. Nadat een oplossing gevonden is in het s-domein, is het nodig<br />
het inverse te nemen om een oplossing te vinden in het t-domein.<br />
4.3.1 Complexe analyse<br />
Cauchy integraal formule<br />
Theorema 4.4 (Cauchy integraal formule) Laat C een gesloten curve zijn die een gebied<br />
R begrenst, zie Figuur 4.5.<br />
Figuur 4.5: Een regio R begrensd door een gesloten curve C<br />
Stel f (s) is analytisch in het gebied R en op C, s = x + yj. Als a ∈ R, dan<br />
f (a) = 1 ∮<br />
f (s)<br />
ds (4.15)<br />
2πj (s − a)<br />
C<br />
Het theorema vertelt ons dat als een functie f analytisch is in het gebied R en op C, dan<br />
is de waarde f (a), a ∈ R volledig bepaalt door de waarde van f op C.<br />
∮<br />
cos(s)<br />
Voorbeeld 4.13 bepaal ds waarbij C een cirkel is gedefinieerd als |s − 1| = 3<br />
(s−π)<br />
(cirkel met straal 3 en center (1, 0)).<br />
C<br />
Oplossing<br />
∮<br />
1<br />
Omdat s = π ∈ gebied, begrensd door C, is<br />
2πj<br />
∮<br />
C<br />
cos(s)<br />
cos (s) , a = π. Dan, ds = −2πj.<br />
(s−a)<br />
C<br />
f(s)<br />
ds = cos (π) = −1 met f (s) =<br />
(s−a)<br />
Singuliere punten, polen en Taylor reeksen<br />
Een singulier punt van een functie f (s) is een waarde van s voor dewelke f (s) niet<br />
analytisch is. Als f (s) overal analytisch is in een bepaalde regio R uitgezonderd in een<br />
punt s = a ∈ R dan wordt dat punt een geïsoleerde singulariteit van f (s) genoemd.
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 90<br />
Voorbeeld 4.14 Als f (s) = 1<br />
(s−3) 2 dan is s = 3 een geïsoleerde singulariteit van f (s) .<br />
Als f (s) =<br />
φ(s) n , φ (a) ≠ 0 waarbij φ (s) overal analytisch is in R, a ∈ R en n ∈ N,<br />
(s−a)<br />
dan heeft f (s) een geïsoleerde singulariteit in s = a welke een pool van graad n wordt<br />
genoemd. Als n = 1 wordt het een enkelvoudige pool genoemd; als n = 2 is wordt het<br />
een dubbele pool genoemd, enz.<br />
s<br />
Voorbeeld 4.15 f (s) = heeft twee singulariteiten: een dubbele pool in s = 3,<br />
(s−3) 2 (s+1)<br />
en een enkelvoudige pool in s = −1.<br />
Voorbeeld 4.16 f (s) = 3s−1<br />
(s 2 +4) = 3s−1<br />
(s+2j)(s−2j)<br />
heeft twee enkelvoudige polen in s = ±2j.<br />
Een functie kan nog andere andere singulariteiten bevatten dan polen. Bij voorbeeld,<br />
f (s) = √ s heeft een ”branch”punt in s = 0. <strong>De</strong> functie f (s) = sin(s) heeft een singulariteit<br />
s<br />
sin(s)<br />
in s = 0. Maar, daar lim s→0 eindig is, wordt deze singulariteit een verwijderbare<br />
s<br />
singulariteit genoemd.<br />
Theorema 4.5 Zij f een analytische functie in het gebied |s − a| < R 0 , zie Figuur 4.6,<br />
met middelpunt a en straal R 0 .<br />
Figuur 4.6: open schijf rond het punt a<br />
Voor ieder punt s ∈ |s − a| < R 0 , f(s) heeft de volgende reeksontwikkeling<br />
f(s) =<br />
∞∑<br />
b i (s − a) i (4.16)<br />
i=0<br />
waarbij<br />
b i = f (i) (a<br />
,<br />
i!<br />
i = 1, 2, . . . (4.17)<br />
(4.16) kan als volgt worden geschreven<br />
f(s) = f(a) + a (2)(a)<br />
f<br />
(s − a) + (s − a) 2 + · · ·<br />
1! 2!<br />
(4.18)
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 91<br />
Laurent reeksen<br />
Als een functie f niet analytisch is in een bepaald punt a kan Taylor’s theorema in dat<br />
punt niet worden toegepast. Het is dikwijls mogelijk dat een reeksontwikkeling voor f (s)<br />
kan worden geschreven bestaande uit zowel positieve en negative machten van (s − a).<br />
Theorema 4.6 Stel f (s) is analytisch in het gebied R 1 < |s − a| < R 2 en laat C een<br />
gesloten curve zijn rondom a, zie Figuur 4.7.<br />
Figuur 4.7: Gesloten curve rond het punt a<br />
Dan, in ieder punt s ∈ R 1 < |s − a| < R 2 , f (s) heeft een reeksontwikkeling<br />
∞∑<br />
f (s) = c k (s − a) k , (R 1 < |s − a| < R 2 ) (4.19)<br />
k=−∞<br />
waarbij<br />
c k = 1 ∮<br />
2πj<br />
C<br />
f (s)<br />
ds, k = 0, ±1, ±2, ... (4.20)<br />
k+1<br />
(s − a)<br />
Residu’s en residu theorema<br />
Theorema 4.7 Een geïsoleerd singulier punt a van een functie f is een pool van de graad<br />
m als en slechts als f(s) geschreven kan worden als<br />
f(s) =<br />
waarbij φ(s) analytisch is en φ(a) ≠ 0. Zodat<br />
φ(s)<br />
(s − a) m (4.21)<br />
en<br />
Res f(s) = φ(a), m = 1 (4.22)<br />
s=a<br />
Res<br />
s=a f(s) = φ(m−1) (a)<br />
(m − 1)! , m ≥ 2 (4.23)
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 92<br />
Voorbeeld 4.17 Bepaal de residu’s van de functie f(s) = 1<br />
s(s+2) 3 .<br />
1. Enkelvoudige pool, s = 0. <strong>De</strong> functie f(s) kan als volgt worden geschreven<br />
f(s) = φ(s)<br />
s ,<br />
waarbij φ(s) = 1<br />
(s+2) 3 . Daaruit volgt dat het residu gegeven wordt door<br />
Res<br />
s=a f(s) = φ(a) = 1 2 3 = 1 8<br />
2. Driedubbele pool, s = −2. <strong>De</strong> functie f(s) kan als volgt worden geschreven<br />
f(s) =<br />
φ(s)<br />
(s + 2) 2 ,<br />
waarbij φ(s) = 1 . Daaruit volgt dat het residu gegeven wordt door<br />
s<br />
Res f(s) = φ(m−1) (a)<br />
= 1 ( ) 2<br />
= − 1<br />
s=a (m − 1)! 2 −2 3 8<br />
Theorema 4.8 (Residu theorema) Laat C een gesloten curve zijn die een gebied R begrenst.<br />
Stel f (s) is analytisch in het gebied R en op C uitgezonderd voor een eindig<br />
aantal singuliere punten a k , k = 1, ..., n in C, dan<br />
∮<br />
n∑<br />
f (s) ds = 2πj Res s=ak f (s) . (4.24)<br />
C<br />
k=1<br />
4.3.2 <strong>De</strong> complex inversie formule<br />
<strong>De</strong>finitie 4.3 (Complex inverse formule). Als L [x (t)] = X (s) , dan wordt L −1 [X (s)]<br />
gegeven door<br />
x (t) = 1 ∫ γ+jω<br />
X (s) e st ds, t > 0 (4.25)<br />
2πj γ−jω<br />
waarbij x (t) = 0, t > 0, γ ≥ 0 en γ > σ 0 met σ 0 de convergentiestraal van X (s) . Dit<br />
resultaat wordt de complex inverse integraal genoemd. Het is ook gekend als Bromwich’s<br />
integraal formule. <strong>De</strong> integraal in (4.25) moet geëvalueerd worden langsheen de lijn s = γ<br />
in het complexe vlak. Het reëel getal γ wordt gekozen zodat s = γ rechts ligt van alle<br />
singulariteiten.<br />
In praktijk wordt de integraal (4.25) geëvalueerd door gebruik te maken van het residu<br />
theorema. Beschouw de lijnintegraal<br />
∮<br />
1<br />
X(s)e st ds<br />
2πj<br />
C<br />
waarbij C de contour is, voorgesteld in Figuur 4.8. Stel Γ gelijk aan de boog BJKLA en<br />
T = √ R 2 − γ 2 ,<br />
1<br />
x(t) = lim<br />
R→∞ 2πj<br />
[ ∮ 1<br />
= lim<br />
R→∞ 2πj<br />
∫ γ+γT<br />
γ−γT<br />
C<br />
X(s)e st ds<br />
X(s)e st ds − 1<br />
2πj<br />
∫<br />
Γ<br />
]<br />
X(s)e st ds<br />
(4.26)
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 93<br />
Veronderstel dat de enige singulariteiten van X(s) polen zijn dewelke allen links van de<br />
lijn s = γ voor een reële constante γ. Veronderstel verder dat de integraal langsheen Γ in<br />
4.26 nul benadert als R → ∞. Dan kan volgens het residu theorema, (4.26) geschreven<br />
worden als<br />
x(t) = ∑ residu’s van e st X(s) in de polen van X(s). (4.27)<br />
Figuur 4.8: Bromwich contour<br />
Voorbeeld 4.18 Bepaal x (t) via de de complex inverse integraal van volgende functie<br />
X (s) =<br />
<strong>De</strong> integraal wordt als volgt geschreven<br />
∮<br />
1<br />
x (t) = lim<br />
R→∞ 2πj<br />
1<br />
s 2 + ω 2<br />
e st<br />
(s + jω) (s − jω) ds<br />
Het gekozen pad is Γ 1 , zie Figuur 4.9. Volgende residu’s worden bepaald<br />
Figuur 4.9: Het pad van integratie in het s-vlak
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 94<br />
Res<br />
Res<br />
Het tijdsignaal wordt<br />
[<br />
(s − jω)<br />
[<br />
(s + jω)<br />
1<br />
s 2 + ω 2 ]∣<br />
∣∣∣s=jω<br />
=<br />
1<br />
s 2 + ω 2 ]∣<br />
∣∣∣s=−jω<br />
=<br />
x (t) = ∑ Res = ejωt − e −jωt<br />
2jω<br />
e st<br />
(s + jω) ∣ = ejωt<br />
s=jω<br />
2jω<br />
e st<br />
(s − jω) ∣ = e−jωt<br />
s=−jω<br />
−2jω<br />
=<br />
sin ωt<br />
ω .<br />
In praktijk is het zelden nodig dat (4.25) gebruikt wordt. Een eenvoudige techniek voor<br />
het vinden van de inverse <strong>Laplace</strong> <strong>transformatie</strong> (voldoende voor controle problemen)<br />
wordt voorgesteld in subsectie ’Splitsen in partieelbreuken’<br />
4.3.3 Splitsen in partieelbreuken<br />
Beschouw X (s) als een rationele functie in s<br />
X (s) = a ms m + a m−1 s m−1 + · · · + a<br />
b n s n + a n−1 s n−1 + · · · + b 0<br />
= Z (s)<br />
P (s) . (4.28)<br />
Als graad Z (s) ≥ graad P (s) moeten we eerst de deling Z(s)<br />
P (s)<br />
van de deling leiden we volgende betrekking af<br />
Z (s)<br />
P (s)<br />
= Q (s) +<br />
R (s)<br />
P (s)<br />
uitvoeren. Uit de formule<br />
(4.29)<br />
waarbij graad R (s) < graad P (s) en Q (s) is steeds een veelterm. <strong>De</strong> breuk R(s)<br />
P (s)<br />
splitsen in partieelbreuken. Men moet eerst P (s) in factoren ontbinden<br />
P (s) = (s − a) α (s − b) β · · · (s 2 + cs + d ) γ<br />
waarbij a, b, ..., c, d ∈ R met c 2 − 4d < 0 en α, β, γ ∈ N 0 . <strong>De</strong> splitsing is dan<br />
R (s)<br />
P (s) = A 1<br />
(s − a) + A 2<br />
(s − a) 2 + · · · + A α<br />
(s − a) α<br />
+ · · ·<br />
kan men<br />
(4.30)<br />
+ C 1s + D 1<br />
s 2 + cs + d + C 2s + D 2<br />
(s 2 + cs + d) 2 + · · · + C γs + D γ<br />
(s 2 + cs + d) γ . (4.31)<br />
<strong>De</strong> vorm van de partieelbreuk is afhankelijk van het type factoren in P (s) . Er zijn vier<br />
verschillende gevallen die we met behulp van voorbeelden zullen behandelen voor het<br />
bepalen van de ongekende coëfficienten, A 1 , ..., A α , C 1 , ..., C γ , D 1 , ..., D γ .<br />
Geval 4.1 (Enkelvoudige lineaire factoren) In het algemeen wordt de rationale functie<br />
geschreven als<br />
waarbij<br />
R (s)<br />
P (s) = A 11<br />
(s − a 1 ) + A 12<br />
(s − a 2 ) + · · · + A 1n<br />
(s − a n )<br />
A i = lim<br />
s→ai<br />
(s − a i ) R (s)<br />
P (s)<br />
(4.32)<br />
(4.33)
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 95<br />
Voorbeeld 4.19 Beschouw de rationale functie<br />
37 − 11s<br />
X (s) =<br />
s 3 − 4s 2 + s + 6<br />
37 − 11s<br />
=<br />
(s + 1) (s − 2) (s − 3)<br />
<strong>De</strong> functie X (s) kan gesplitst worden in volgende vorm<br />
37 − 11s<br />
s 3 − 4s 2 + s + 6 = A 11<br />
(s + 1) + A 12<br />
(s − 2) + A 13<br />
(s − 3)<br />
<strong>De</strong> waarden van A 1 , A 2 en A 3 worden verkregen door het toepassen van (4.33)<br />
37 − 11s<br />
A 11 = (s + 1)<br />
(s + 1) (s − 2) (s − 3) ∣ s=−1<br />
37 − 11s<br />
=<br />
(s − 2) (s − 3) ∣ = 4<br />
s=−1<br />
<strong>De</strong> functie X (s) wordt dan<br />
37 − 11s<br />
A 12 = (s − 2)<br />
∣<br />
(s + 1) (s − 2) (s − 3)<br />
37 − 11s<br />
=<br />
(s + 1) (s − 3) ∣ = −5<br />
s=2<br />
37 − 11s<br />
A 13 = (s − 3)<br />
∣<br />
(s + 1) (s − 2) (s − 3)<br />
37 − 11s<br />
=<br />
(s + 1) (s − 2) ∣ = 1<br />
s=3<br />
X (s) =<br />
∣<br />
s=2<br />
∣<br />
s=3<br />
4<br />
(s + 1) − 5<br />
(s − 2) + 1<br />
(s − 3) .<br />
Geval 4.2 (Herhaalde lineaire factoren) In het algemeen wordt de rationale functie<br />
geschreven als<br />
R (s)<br />
P (s) = A 1<br />
(s − a) + A 2<br />
(s − a) 2 + · · · + A α<br />
(s − a) α (4.34)<br />
waarbij<br />
en<br />
A i =<br />
( ) 1<br />
lim<br />
(α − i)! s→a i<br />
d (α−i)<br />
ds (s − a i) α R (s)<br />
(α−i) P (s)<br />
A α = lim<br />
s→aα<br />
(s − a α ) α R (s)<br />
P (s)<br />
, i = 1, ..., α − 1 (4.35)<br />
(4.36)
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 96<br />
Voorbeeld 4.20 Beschouw de rationale functie<br />
X (s) = 2s2 − 25s − 33<br />
s 3 − 3s 2 − 9s − 5<br />
= 2s2 − 25s − 33<br />
(s − 5) (s + 1) 2<br />
<strong>De</strong> functie X (s) kan gesplitst worden in volgende vorm<br />
2s 2 − 25s − 33<br />
s 3 − 3s 2 − 9s − 5 = A 11<br />
(s − 5) + A 1<br />
(s + 1) + A 2<br />
(s + 1) 2<br />
<strong>De</strong> waarden van A 11 , A 2 en A 3 worden verkregen door het toepassen van (4.33),(4.35) en<br />
(4.36)<br />
∣<br />
A 11 = (s − 5) 2s2 − 25s − 33 ∣∣∣<br />
(s − 5) (s + 1) 2 s=5<br />
∣<br />
= 2s2 − 25s − 33 ∣∣∣<br />
(s + 1) 2 = −3<br />
s=5<br />
A 1 =<br />
∣<br />
A 2 = (s + 1) 2 2s 2 − 25s − 33 ∣∣∣<br />
(s − 5) (s + 1) 2 s=−1<br />
= 2s2 − 25s − 33<br />
(s − 5) ∣ = −1<br />
s=−1<br />
( ) ∣<br />
1 d<br />
(2 − 1)! ds (s + 2s 2 − 25s − 33 ∣∣∣ 1)2<br />
(s − 5) (s + 1) 2 s=−1<br />
( )∣ 2s 2 − 25s − 33 ∣∣∣s=−1<br />
= 5<br />
= d ds<br />
<strong>De</strong> functie X (s) wordt dan<br />
(s − 5)<br />
X (s) = − 3<br />
(s − 5) + 5<br />
(s + 1) − 1<br />
(s + 1) 2 .<br />
Geval 4.3 (Enkelvoudige onherleidbare tweede graads factoren) In het algemeen<br />
wordt de rationale functie geschreven als<br />
R (s)<br />
P (s) =<br />
Cs + D<br />
s 2 + cs + d . (4.37)<br />
<strong>De</strong> beste manier om de coëfficienten te bepalen is gebruik maken van de Methode van de<br />
onbepaalde coëfficienten. Beschouw de rationale functie<br />
s 2 − s − 21<br />
X (s) =<br />
2s 3 − s 2 + 8s − 4<br />
= 2s2 − 25s − 33<br />
(s 2 + 4) (2s − 1)<br />
<strong>De</strong> functie X (s) kan gesplitst worden in volgende vorm<br />
s 2 − s − 21<br />
2s 3 − s 2 + 8s − 4 = Cs + D<br />
(s 2 + 4) + A 11<br />
(2s − 1)
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 97<br />
Voorbeeld 4.21 <strong>De</strong> coëfficienten C, D en A 11 vinden we door de veeltermbreuken in het<br />
tweede lid op te tellen en door uit te drukken dat de teller van de som gelijk is aan de<br />
term R (s) = s 2 − s − 21, dit geeft volgend resultaat<br />
s 2 − s − 21 = (Cs + D) (2s − 1) + C ( s 2 + 4 )<br />
= (2C + A 11 ) s 2 + (2D − C) s + (4A 11 − D)<br />
Stel de coëfficienten van gelijke machten in s van beide leden aan elkaar gelijk en men<br />
krijgt volgend stelsel<br />
⎧<br />
⎨ 2C − A 11 = 1<br />
2D − C = −1 .<br />
⎩<br />
4A 11 − D = −21<br />
Met A 11 = −5, C = 3 en D = 1, de functie X (s) wordt dan<br />
X (s) = 3s + 1<br />
(s 2 + 4) − 5<br />
(2s − 1) .<br />
Geval 4.4 (Herhaalbare onherleidbare tweede graadsfactoren) In het algemeen<br />
wordt de rationale functie geschreven als<br />
R (s)<br />
P (s) = C 1s + D 1<br />
s 2 + cs + d + C 2s + D 2<br />
(s 2 + cs + d) 2 + · · · + C γs + D γ<br />
(s 2 + cs + d) γ (4.38)<br />
<strong>De</strong> beste manier om de coëfficienten te bepalen is gebruik maken van de Methode van de<br />
onbepaalde coëfficienten. Beschouw de rationale functie<br />
X (s) = s4 − 6s + 7<br />
(s 2 − 4s + 5) 2<br />
= s4 − 6s + 7<br />
((s 2 − 2) + 1) 2<br />
<strong>De</strong> functie X (s) kan gesplitst worden in volgende vorm<br />
s 4 − 6s + 7<br />
(s 2 − 4s + 5) 2 = C 1s + D 1<br />
(s 2 − 2) + 1 + C 2s + D 2<br />
((s 2 − 2) + 1) 2<br />
Voorbeeld 4.22 <strong>De</strong> coëfficienten C 1 , C 2 , D 1 en D 2 vinden we door de veeltermbreuken<br />
in het tweede lid op te tellen en door uit te drukken dat de teller van de som gelijk is aan<br />
de term R (s) = s 4 − 6s + 7, dit geeft volgend resultaat<br />
s 2 − s − 21 = C 1 s 3 + (D 1 − 4C 1 )s 2 + (5C 1 + C 2 )s + D 2 − 5D 1<br />
Stel de coëfficienten van gelijke machten in s van beide leden aan elkaar gelijk en men<br />
krijgt volgend stelsel ⎧⎪ ⎨<br />
⎪ ⎩<br />
C 1 = 0<br />
D 1 − 4C 1 = 1<br />
5C 1 + C 2 = −6<br />
5D 1 + D 2 = 7<br />
Met C 1 = 0, C 2 = −6, D 1 = 1 en D 2 = 2, de functie X (s) wordt dan<br />
X (s) =<br />
1<br />
((s 2 − 2) + 1) 2 − 6s − 2<br />
(s 2 − 2) + 1<br />
.
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 98<br />
4.3.4 Voorbeelden<br />
Voorbeeld 4.23 Bepaal de inverse <strong>transformatie</strong> van de volgende veeltermbreuk<br />
10<br />
X (s) =<br />
s 2 + 10s + 16<br />
10<br />
=<br />
(s + 2) (s + 8)<br />
(4.39)<br />
(4.39) kan gesplitst worden in volgende vorm<br />
10<br />
(s + 2) (s + 8) = A 1<br />
(s + 2) + A 2<br />
(s + 8) .<br />
<strong>De</strong> coëfficienten A 1 , A 2 vinden we door de veeltermbreuken in het tweede lid op te tellen<br />
en door uit te drukken dat de teller van de som gelijk is aan de term R (s) = 10, dit geeft<br />
volgend resultaat<br />
10 = (s + 8) A 1 + (s + 2) A 2<br />
= (A 1 + A 2 )s + (8A 1 + 2A 2 )<br />
Stel de coëfficienten van gelijke machten in s van beide leden aan elkaar gelijk en men<br />
krijgt volgend stelsel {<br />
A1 + A 2 = 0<br />
8A 1 + 2A 2 = 10 .<br />
Met A 1 = 5 en A 3 2 = − 5 , de tijdsfunctie wordt<br />
3<br />
[ ( 5 1<br />
L −1 3 (s + 2) − 1 )]<br />
= 5 (<br />
e −2t − e −8t) u (t)<br />
(s + 8) 3<br />
Residu theorema toegepast op het voorbeeld (4.39) geeft<br />
A 1 = 10<br />
(s + 8) ∣ = 5<br />
s=−2<br />
3<br />
en<br />
<strong>De</strong> tijdsfunctie wordt<br />
L −1 [ 5<br />
3<br />
A 2 = 10<br />
(s + 2) ∣ = − 5<br />
s=−8<br />
3 .<br />
( 1<br />
(s + 2) − 1 )]<br />
= 5 (<br />
e −2t − e −8t) u (t)<br />
(s + 8) 3<br />
Voorbeeld 4.24 Bepaal de inverse <strong>transformatie</strong> van de volgende veeltermbreuk<br />
X (s) =<br />
s − 3<br />
(s 2 + 5s + 6)<br />
(4.40)<br />
(4.40) kan gesplitst worden in volgende vorm<br />
s − 3<br />
(s + 2) (s + 3) = A 1<br />
(s + 2) + A 2<br />
(s + 3) .
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 99<br />
<strong>De</strong> coëfficienten A 1 , A 2 , A 3 vinden we door de veeltermbreuken in het tweede lid op te<br />
tellen en door uit te drukken dat de teller van de som gelijk is aan de term R (s) = s 2 + 3,<br />
dit geeft volgend resultaat<br />
s − 3 = A 1 (s + 3) + A 2 (s + 2) .<br />
Stel de coëfficienten van gelijke machten in s van beide leden aan elkaar gelijk en men<br />
krijgt volgend stelsel {<br />
A1 + A 2 = 1<br />
3A 1 + 2A 2 = −3 .<br />
Met A 1 = −5 en A 2 = 6, de tijdsfunctie wordt<br />
[ ] [ ]<br />
L −1 [X (s)] = −5L −1 1<br />
+ 6L −1 1<br />
(s + 2) (s + 3)<br />
= 5e −2t + 6e −3t , t > 0.<br />
Residu theorema toegepast op het voorbeeld (4.40) geeft<br />
A 1 = s − 3<br />
(s + 3) ∣ = −5<br />
s=−2<br />
<strong>De</strong> tijdsfunctie wordt<br />
A 2 = s − 3<br />
(s + 2) ∣ = 6<br />
s=−3<br />
L −1 [X (s)] = 5e −2t + 6e −3t , t > 0. (4.41)<br />
Voorbeeld 4.25 Bepaal de inverse <strong>transformatie</strong> van de volgende veeltermbreuk<br />
X (s) =<br />
s + 1<br />
(<br />
(s + 2) 2 + 1 ) (s + 3)<br />
(4.42)<br />
(4.42) kan gesplitst worden in volgende vorm<br />
s + 1<br />
(<br />
(s + 2) 2 + 1 ) (s + 3) = A 1<br />
(s + 3) + Cs + D<br />
(<br />
(s + 2) 2 + 1 ).<br />
<strong>De</strong> coëfficient A 1 wordt als volgt bepaald<br />
A 1 =<br />
s + 1<br />
(<br />
(s + 2) 2 + 1 ) ∣<br />
∣∣∣∣s=−3<br />
= −1<br />
Om de coëfficienten C en D te bepalen combineren we beide fracties<br />
s + 1<br />
(<br />
(s + 2) 2 + 1 ) (s + 3) = A (<br />
1 (s + 2) 2 + 1 ) + (Cs + D) (s + 3)<br />
(<br />
(s + 2) 2 + 1 ) (s + 3)<br />
en we krijgen<br />
s + 1 = − ( s 2 + 4s + 5 ) Cs 2 + (D + 3C) s + 3D
HOOFDSTUK 4. DE LAPLACE TRANSFORMATIE 100<br />
Stel de coëfficienten van gelijke machten in s van beide leden aan elkaar gelijk en men<br />
krijgt volgend stelsel<br />
⎧<br />
⎨ −1 + C = 0<br />
−4 + D + 3C = 1 .<br />
⎩<br />
−5 + 3D = 1<br />
Met C = 1 en D = 2, de tijdsfunctie wordt<br />
[<br />
]<br />
L −1 −1<br />
(s + 3) + s + 2<br />
(<br />
(s + 2) 2 + 1 ) = −e −3t + e −2t cos t, t > 0.<br />
Voorbeeld 4.26 Bepaal de inverse <strong>transformatie</strong> van de volgende veeltermbreuk<br />
X (s) = s3 + 2s 2 + 3s + 1<br />
s 2 (s + 1)<br />
<strong>De</strong> teller veelterm wordt gedeeld door de noemer veelterm en we krijgen<br />
X (s) = 1 + s2 + 3s + 1<br />
s 2 (s + 1)<br />
Stel X (s) = s2 +3s+1, en X (s) kan gesplitst worden in volgende vorm<br />
s 2 (s+1)<br />
s 2 + 3s + 1<br />
s 2 (s + 1) = A 1<br />
s + A 2<br />
s 2 + A 3<br />
(s + 1) .<br />
<strong>De</strong> coëfficient A 3 kan als volgt worden bepaald<br />
Volgende algemene formule<br />
A i =<br />
1<br />
(α − i)!<br />
A 3 = lim<br />
s→−1 (s + 1) s2 + 3s + 1<br />
s 2 (s + 1)<br />
( d<br />
(α−i)<br />
= −1<br />
(4.43)<br />
ds (α−i) (X (s)) (s − s i) α )∣<br />
∣∣∣s=si<br />
, k = 1, ..., α. (4.44)<br />
kan gebruik worden voor het bepalen van de coëfficienten A 1 en A 2 , met α = 2 (dubbele<br />
pool)<br />
( ( ))∣<br />
1 d s 2 + 3s + 1<br />
∣∣∣s=0<br />
A 1 =<br />
(2 − 1)! ds s 2 (s + 1) (s − 0)2<br />
= d ( )∣ s 2 + 3s + 1 ∣∣∣s=0<br />
ds (s + 1)<br />
= − s2 + 3s + 1<br />
(s + 1) 2 + 2s + 3<br />
∣ = 2<br />
(s + 1)<br />
∣<br />
s=0<br />
( )∣<br />
1 s 2 + 3s + 1 ∣∣∣s=0<br />
A 2 =<br />
(2 − 2)! s 2 (s + 1) (s − 0)2 = s2 + 3s + 1<br />
(s + 1) ∣ = 1<br />
s=0<br />
Met A 1 = 2, A 2 = 1 en A 3 = −1 de tijdsfunctie wordt<br />
[<br />
L −1 1 + 2 s + 1 s − 1 ]<br />
= δ (t) + 2 + t − e −t , t > 0.<br />
2 (s + 1)