Systeemtheorie
Systeemtheorie
Systeemtheorie
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Systeemtheorie</strong><br />
De Brabanter Jos
Deel I<br />
Inleiding<br />
1
Hoofdstuk 1<br />
Signalen en Systemen<br />
1.1 Signalen en classificatie van signalen<br />
Een signaal wordt mathematisch voorgesteld als een functie van een onafhankelijke variabele<br />
t.In deze curcus wordt een signaal aangeduid door x (t) .<br />
(i) Continue tijdssignalen en discrete tijdssignalen: Een signaal x (t) is een continu<br />
tijdssignaal als t ∈ R. Als t ∈ Z, dan is x (t) een discreet tijdssignaal. Een<br />
discreet tijdssignaal wordt dikwijls voorgesteld als een rij van getallen, genoteerd<br />
als x[n], waarbij n ∈ Z. Een illustratie van een continu tijdssignaal x(t) en een<br />
discreet tijdssignaal x[n] wordt weergegeven in Figuur 1.1<br />
Figuur 1.1: Grafische voorstelling van (a) een continu tijdssignaal en (b) een discreet<br />
tijdssignaal<br />
(ii) Analoog- en digitale signalen: indien een continu tijdssignaal x(t) elke waarde<br />
in het interval (−∞, ∞) kan aannemen, dan noemen we het signaal x(t) analoog.<br />
Indien een discreet tijdssignaal x[n] enkel een eindig aantal verschillende waarden<br />
kan aannemen, noemen we het een digitaal signaal.<br />
(iii) Deterministische- en willekeurige signalen: Deterministische signalen zijn signalen<br />
waarvan de waarden compleet gespecifieerd zijn voor eender welk tijdstip.<br />
Dus, een deterministisch signaal kan gemodelleerd worden door een gekende functie<br />
van tijd t. Willekeurige signalen zijn signalen waarvan de waarden willekeurig zijn<br />
bij eender welke tijd en moeten statistisch gekarakteriseerd worden. Willekeurige<br />
signalen behoren niet tot het doel van deze cursus.<br />
2
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 3<br />
(iv) Even- en oneven signalen: x(t) of x[n] is een even signaal als<br />
x(−t) = x(t)<br />
x[−n] = x[n] (1.1)<br />
Een signaal x(t) of x[n] is een oneven signaal als<br />
x(−t) = −x(t)<br />
x[−n] = −x[n] (1.2)<br />
Voorbeelden van even en oneven signalen worden getoond in Figuur 1.2<br />
Figuur 1.2: Voorbeelden van even signalen (a,b) en oneven signalen (c,d)<br />
(v) Periodische- en niet-periodische signalen: Een continu tijdssignaal x(t) wordt<br />
periodisch genoemd met periode T als er een T ∈ R + 0 bestaat waarvoor<br />
x(t + T ) = x(t) ∀t (1.3)<br />
Een voorbeeld van een periodisch signaal wordt voorgesteld in Figuur 1.3(a).<br />
Uit (1.3) of Figuur 1.3(a) volgt dat<br />
x(t + mT ) = x(t) (1.4)<br />
∀t en m ∈ N. Elk continu signaal welke niet periodiek is, wordt niet-periodisch of<br />
aperiodiek genoemd.<br />
Periodieke discrete signalen worden op analoge manier gedefinieerd. Een discreet<br />
signaal x[n] wordt periodiek genoemd met periode N indien er een natuurlijk getal<br />
N bestaat waarvoor geldt dat<br />
x[n + N] = x[n] ∀n. (1.5)
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 4<br />
Figuur 1.3: Voorbeelden van periodieke signalen<br />
Een voorbeeld van een periodiek discreet signaal is weergegeven in Figuur 1.3(b).<br />
Uit (1.5) en Figuur 1.3(b) volgt dat<br />
x[n + mN] = x[n]<br />
voor alle n en elk natuurlijk getal m. De fundamentele periode N 0 van x[n] is het<br />
kleinste positieve geheel getal N uit (1.5). Elk discreet signaal welke niet periodiek<br />
is, wordt niet-periodiek of aperiodisch genoemd.<br />
(vi) Energie- en vermogensignalen: Zij v(t) het voltage over een weerstand R en<br />
i(t) de stroom door de weerstand. Het ogenblikkelijke vermogen p(t) per ohm is<br />
gedefinieerd als<br />
p(t) = v(t)i(t) = i 2 (t) (1.6)<br />
R<br />
De totale energie E en het gemiddeld vermogen P op een per-ohm basis zijn<br />
E =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
1<br />
P = lim<br />
T →∞ T<br />
i 2 (t) dt joules (1.7)<br />
∫ T/2<br />
−T/2<br />
i 2 (t) dt watt (1.8)<br />
Voor een willekeurig continu tijdssignaal x(t), wordt de genormaliseerde energie<br />
hoeveelheid E van x(t) gedefinieerd als<br />
E =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
|x(t)| 2 dt (1.9)<br />
Het genormaliseerd gemiddeld vermogen P van x(t) wordt gedefinieerd als<br />
1<br />
P = lim<br />
T →∞ T<br />
∫ T/2<br />
−T/2<br />
|x(t)| 2 dt (1.10)
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 5<br />
Voor een discreet tijdssignaal x[n] wordt de genormaliseerde energie hoeveelheid E<br />
van x[n] gedefinieerd als<br />
∞∑<br />
E = |x[n]| 2 (1.11)<br />
n=−∞<br />
Het genormaliseerd gemiddeld vermogen P van x[n] wordt gedefinieerd als<br />
1<br />
P = lim<br />
N→∞ 2N + 1<br />
N∑<br />
n=−N<br />
|x[n]| 2 . (1.12)<br />
Gebaseerd op de definities (1.9) tot (1.12), kunnen we volgende klassen van signalen<br />
definiëren<br />
1. x(t) (of x[n]) is een energie-signaal als en slechts als 0 < E < ∞ en dus P = 0<br />
2. x(t) (of x[n]) is een vermogen-signaal als en slechts 0 < P < ∞ en hieruit volgt<br />
dat E = ∞<br />
3. Signalen welke niet voldoen aan voorgaande eigenschappen worden noch energiesignalen<br />
noch vermogen-signalen genoemd<br />
Merk wel op dat een periodiek signaal een vermogen-signaal is als de energie-inhoud<br />
per periode eindig is, en het gemiddelde vermogen van dit signaal moet enkel worden<br />
berekend over een periode.<br />
1.2 Continue signalen<br />
1.2.1 De stapfunctie<br />
De stapfunctie u(t) of Heaviside unit functie, is gedefinieerd als<br />
u(t) =<br />
{ 1, t > 0;<br />
0, t < 0.<br />
(1.13)<br />
welke wordt voorgesteld in Figuur 1.4(a). Merk op dat de stapfunctie discontinu is bij<br />
t = 0 en dat de waarde bij t = 0 ongedefinieerd is. Gelijkaardig wordt de verschoven<br />
stapfunctie gedefinieerd als<br />
u(t − t 0 ) =<br />
{ 1, t > t0 ;<br />
0, t < t 0 .<br />
(1.14)<br />
welke wordt voorgesteld in Figuur 1.4(b)<br />
1.2.2 Hellingsfunctie<br />
De hellingsfunctie r(t) wordt gedefinieerd als<br />
r(t) =<br />
{ t, t ≥ 0;<br />
0, t < 0.<br />
(1.15)
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 6<br />
Figuur 1.4: (a) stapfunctie; (b) verschoven stapfunctie<br />
welke wordt voorgesteld in Figuur 1.5. Merk op dat voor t ≥ 0 de richtingscoëfficiënt<br />
1 is. De hellingsfunctie r(t) is gelijk aan de integraal van de stapfunctie<br />
u(t)<br />
r(t) =<br />
∫ t<br />
−∞<br />
u(λ) dλ<br />
Omgekeerd is de eerste afgeleide van r(t) naar de tijd gelijk aan u(t), behalve bij t = 0,<br />
waar de afgeleide van r(t) niet gedefinieerd is.<br />
Figuur 1.5: hellingsfunctie<br />
1.2.3 De impulsfunctie<br />
De eenheidimpulsfunctie of Dirac functie, is een mathematische onregelmatigheid. Dirac<br />
(1930), gebruikte de impulsfunctie eerst in zijn werk over quantum mechanica. Hij<br />
definieerde de delta functie δ (t) door volgende vergelijkingen<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
welke is voorgesteld in Figuur 1.6.<br />
De belangrijkste eigenschap van de delta functie is<br />
δ (t) dt = 1 (1.16)<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
δ (t) = 0 voor t ≠ 0. (1.17)<br />
f (t) δ (t) dt = f (0) (1.18)<br />
met f (t) een reguliere functie die continu is in t = 0. Merk op dat (1.18) een symbolische<br />
uitdrukking is en moet niet beschouwd worden als een gewone Riemann integraal. In deze<br />
context, δ (t) wordt dikwijls een gegeneraliseerde functie genoemd en f (t) is gekend als
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 7<br />
Figuur 1.6:<br />
een testfunctie. Dirac noemde de delta functie een oneigelijke functie omdat in die tijd<br />
geen rigoreuze mathematische bewijsvorming bestond. In 1950 publiseerde Schwarts The<br />
theory of distributions, welke een mathematische basis bevatte voor de delta functie.<br />
Op gelijkaardige wijze wordt de verschoven delta functie δ(t − t 0 ) gedefinieerd door<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
f (t) δ (t − t 0 ) dt = f (t 0 ) (1.19)<br />
met f (t) een reguliere functie die continu is in t = t 0 . De functies δ (t) en δ (t − t 0 ) worden<br />
grafisch weergegeven in Figuur 1.7.<br />
Figuur 1.7: (a) éénheidsimpulsfunctie;(b) verschoven éénheidsimpulsfunctie<br />
Enkele eigenschappen van δ (t) zijn<br />
δ (at) = 1 δ (t) (1.20)<br />
|a|<br />
als x (t) continu is in t = 0.<br />
δ (−t) = δ (t) (1.21)<br />
x (t) δ (t) = x (0) δ (t) (1.22)<br />
x (t) δ (t − t 0 ) = x (t 0 ) δ (t − t 0 ) (1.23)
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 8<br />
als x (t) continu is in t = t 0 . Gebruikmakend van (1.18) en (1.21), elk continu tijdsignaal<br />
x (t) kan geschreven worden als<br />
x (t) =<br />
1.2.4 Sinusoïdale signalen<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
x (τ) δ (t − τ) dτ. (1.24)<br />
Een continu sinussignaal kan worden geschreven als<br />
x(t) = A cos(ω 0 t + θ) (1.25)<br />
met A de amplitude, ω 0 de hoekfrequentie en θ de fasehoek. Het sinusoïdaal signaal wordt<br />
voorgesteld in Figuur 1.8. Een sinusoïdaal signaal is een voorbeeld van een periodiek<br />
signaal.<br />
Figuur 1.8: Continu sinusoïdaal tijdssignaal<br />
1.3 Discrete basissignalen<br />
1.3.1 De éénheidstapsequentie<br />
De éénheidstapsequentie u[n] is gedefinieerd als<br />
u[n] =<br />
{ 1 n ≥ 0<br />
0 n < 0<br />
(1.26)<br />
welke getoond wordt in Figuur 1.9(a).<br />
Merk op dat de waarde van u[n] bij n = 0 gedefinieerd is (de continue stapfunctie u(t)<br />
is niet gedefinieerd bijt = 0) en gelijk is aan de éénheid. Op een gelijkaardige wijze wordt<br />
de verschoven éénheidstapsequentie u[n − k] gedefinieerd als<br />
u[n − k] =<br />
{ 1 n ≥ k<br />
0 n < k<br />
(1.27)<br />
welke wordt voorgesteld in Figuur 1.9(b).
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 9<br />
Figuur 1.9: (a) Eenheidstapsequentie; (b) verschoven éénheidstapsequentie<br />
1.3.2 De éénheidimpulssequentie<br />
De éénheidimpulssequentie δ[n] is gedefinieerd als<br />
δ[n] =<br />
{ 1 n = 0<br />
0 n ≠ 0<br />
(1.28)<br />
welke wordt voorgesteld in Figuur 1.10(a). Op een gelijkaardige wijze wordt de verschoven<br />
Figuur 1.10: (a) Eenheidimpulssequentie; (b) verschoven éénheidsimpulssequentie<br />
éénheidimpulssequentie δ[n − k] gedefinieerd als<br />
δ[n − k] =<br />
{ 1 n = k<br />
0 n ≠ k<br />
(1.29)<br />
Dit wordt geïllustreerd in Figuur 1.10(b). Anders dan bij de continue impulsfunctie δ(t),<br />
is δ[n] gedefinieerd zonder mathematische moeilijkheden. De eigenschappen van δ[n] zijn<br />
analoog met (1.20) tot (1.23).<br />
1.4 Systemen en classificatie van systemen<br />
Gegeven een ingangsignaal en een uitgangsignaal x en y. Een systeem is een mathematisch<br />
model van een fysisch proces dat y in functie van x weergeeft. Het systeem kan worden<br />
opgevat als een mapping en wordt voorgesteld door<br />
y = T [x] (1.30)<br />
waarbij T een operator is. Relatie (1.30) is weergegeven in Figuur 1.11. Meervoudige<br />
ingangsignalen en/of uitgangsignalen zijn mogelijk en worden weergegeven in Figuur 1.11.
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 10<br />
Figuur 1.11: Systeem met enkelvoudige of meervoudige ingang-uitgangsignalen<br />
Systemen kunnen worden ingedeeld op verschillende manieren, nl:<br />
(a) Lineaire- en niet-lineaire systemen<br />
Als de operator T in (1.30) voldoet aan de volgende twee voorwaarden, dan is T<br />
een lineaire operator en het systeem voorgesteld door de lineaire operator wordt dan<br />
een lineair systeem genoemd.<br />
(1) Additiviteit: Gegeven dat y 1 = T [x 1 ] en y 2 = T [x 2 ] , dan<br />
voor alle signalen x 1 en x 2 .<br />
(2) Homogeniciteit (schaling):<br />
y 1 + y 2 = T [x 1 + x 2 ] (1.31)<br />
αy = T [αx] , α ∈ R (1.32)<br />
voor alle signalen x 1 en x 2 .<br />
Elk systeem dat niet voldoet aan (1.31) en (1.32) wordt geclassificieerd als<br />
niet-lineair systeem. Vergelijkingen (1.31) en (1.32)<br />
kunnen geschreven worden als een voorwaarde, zoals<br />
α 1 y 1 + α 2 y 2 = T [α 1 x 1 + α 2 x 2 ] , α 1 , α 2 ∈ R. (1.33)<br />
Vergelijking (1.33) is gekend als de superpositie eigenschap. Een ander belangrijke<br />
eigenschap van een lineair systeem is dat een zero ingang een zero<br />
respons geeft (α = 0 in (1.32)).<br />
(b) Continue- en discrete tijdssystemen<br />
Als x, y ∈ R, dan wordt het systeem een continu systeem genoemd, zie Figuur 1.12<br />
(a).<br />
Figuur 1.12: (a) continu tijdsysteem; (b) discreet tijdsysteem<br />
Als x, y ∈ Z, dan wordt het systeem een discreet systeem genoemd, Figuur 1.12 (b).
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 11<br />
(c) Causale en niet-causale systemen<br />
Een systeem wordt causaal genoemd als voor elke tijd t 0 de uitgangrespons y (t 0 ) ,<br />
gegenereerd door ingang x (t) , niet afhankelijk is van de ingang x (t) voor t > t 0 .<br />
Dus in een causaal systeem is het niet mogelijk een uitgang te bekomen voordat<br />
er een ingang wordt aangelegd aan het systeem (verondersteld dat er geen initiële<br />
energie aanwezig is). Een systeem wordt niet-causaal genoemd als het niet causaal<br />
is.<br />
(d) Systemen met geheugen en zonder geheugen<br />
Een causaal systeem wordt geheugenloos genoemd als voor elke tijd t 0 de uitgang<br />
bij t 0 enkel afhankelijk is van de ingang bij tijd t 0 .<br />
(e) Tijdsinvariante en tijdsveranderlijke systemen<br />
Een systeem wordt tijdsinvariant genoemd als een tijdsverschuiving in het ingangsignaal<br />
dezelfde tijdsvertraging veroorzaakt in het uitgangsignaal. Voor een continu<br />
systeem, het systeem is tijdsinvariant als<br />
y (t − τ) = T [x (t − τ)] , τ ∈ R. (1.34)<br />
Voor een discreet systeem, het systeem is tijdsinvariant als<br />
y [n − k] = T [x [n − k]] , k ∈ Z. (1.35)<br />
(f) Lineaire tijdsinvariante systemen<br />
Als het systeem lineair en tijdsinvariant is, dan wordt het een lineair tijdsinvariant<br />
(LTI) syteem genoemd.<br />
(g) Stabiele systemen<br />
Een systeen is begrensd-ingang/begrensd-uitgang (BIBO) stabiel als voor elk begrensde<br />
ingang |x| ≤ k 1 de overeenstemmende uitgang y ook begrensd is ( |y| ≤<br />
k 2 ),waarbij k 1 , k 2 ∈ R. Merk op dat er vele andere definities van stabiliteit zijn (zie<br />
volgende hoofdstukken).<br />
(h) Teruggekoppelde systemen<br />
Een teruggekoppeld systeem wordt voorgested in Figuur 1.13.<br />
Figuur 1.13: Teruggekoppeld systeem<br />
Het uitgangsignaal wordt teruggekoppeld en opgeteld bij het ingangsignaal van het<br />
systeem.
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 12<br />
1.5 Voorbeelden van continue systemen<br />
Auto op horizontaal vlak<br />
Beschouw een auto op een horizontaal vlak voorgesteld in Figuur 1.14.<br />
Figuur 1.14: Auto met voorwaartse- of remkracht x(t)<br />
Zoals aangegeven, de uitgang y(t) is de positie van de auto in functie van tijd t t.o.v.<br />
een bepaalde referentie en de ingang x(t) is de kracht toegepast op de auto op tijdstip t.<br />
Volgens Newton’s tweede wet van beweging, zijn y(t) en x(t) gerelateerd door volgende<br />
tweede orde vergelijking<br />
M d2 y(t)<br />
dt 2<br />
+ k w<br />
dy(t)<br />
dt<br />
= x(t) (1.36)<br />
waarbij M de massa van de auto en k w de wrijvingscoëfficiënt voorstellen.<br />
RC-netwerk<br />
Gegeven een RC-netwerk, Figuur 1.15. De RC kring kan worden voorgesteld als een<br />
ingang-uitgang continu systeem met ingang x(t) gelijk aan de stroom i(t) en met uitgang<br />
y(t) gelijk aan de spanning v C (t) over de capaciteit.<br />
Figuur 1.15: RC circuit<br />
Door toepassing van Kirchoff’s stroomwet<br />
De spanning-stroom relatie voor de capaciteit is<br />
i C (t) + i R (t) = i(t) (1.37)<br />
i C (t) = C dv C(t)<br />
dt<br />
(1.38)
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 13<br />
en voor de weerstand<br />
i R (t) = 1 R v C(t) (1.39)<br />
Substitutie van (1.38) en (1.39) in (1.37) geeft de volgende lineaire differentiaalvergelijking<br />
C dy(t)<br />
dt<br />
+ 1 y(t) = x(t) (1.40)<br />
R<br />
Mathematische slinger<br />
Beschouw een slinger van lengte L en massa M, zie Figuur (1.16). De ingang x(t) is<br />
de toegepaste kracht op de massa M rakend aan de bewegingsrichting van de massa, en<br />
Mg sin θ(t) is de kracht t.g.v. de gravitatie rakend aan de bewegingsrichting. De uitgang<br />
y(t) wordt gedefinieerd als de hoek θ(t) tussen de slinger en de verticale positie.<br />
Figuur 1.16: Mathematische slinger<br />
Volgens de wetten van de mechanica, de ingang en de uitgang zijn gerelateerd door<br />
volgende tweede orde differentiaalvergelijking<br />
I d2 θ(t)<br />
dt 2 + MgL sin θ(t) = Lx(t) (1.41)<br />
waarbij g de gravitatieconstante en I het traagheidsmoment is gegeven door I = ML 2 .<br />
Door de aanwezigheid van de term sin θ(t) is de ingangs-uitgangs differentiaalvergelijking<br />
(1.41) een niet lineaire differentiaalvergelijking. Door deze niet lineariteit kan de differentiaalvergelijking<br />
niet in een expliciete uitdrukking y(t) in functie van x(t) worden bepaald.<br />
y(t) kan nu wel numeriek benaderd worden door numerieke technieken voor het oplossen<br />
van niet lineaire<br />
differentiaalvergelijkingen.<br />
Indien de grootte |θ(t)| van de hoek θ(t) klein is, kan de sin θ(t) worden benaderd door<br />
θ(t) zelf, de niet lineaire differentiaalvergelijking (1.41) wordt dan<br />
I d2 θ(t)<br />
dt 2 + MgLθ(t) = Lx(t) (1.42)
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 14<br />
1.6 Voorbeelden van discrete systemen<br />
Terugbetaling banklening<br />
De terugbetaling van een banklening kan behandeld worden als een discreet tijdssysteem<br />
op volgende manier: Met n = 0, 1, 2, . . . , de ingang x[n] is de terugbetaling van de lening<br />
in de n-de maand, en de uitgang y[n] is de balans van de lening na de n-de maand. Hier is<br />
n de tijdsindex welke de maand voorstelt, de ingang x[n] en de uitgang y[n] zijn discrete<br />
tijdssignalen welk functie zijn van n. De beginvoorwaarde y[0] is het bedrag van de lening.<br />
Normaal zijn de terugbetalingen x[n] constant; dit is, x[n] = c, n = 0, 1, 2, . . ., waarbij<br />
c een constante is. In dit voorbeeld is x[n] toegelaten te variëren van maand tot maand<br />
(bv. de terugbetalingen kunnen niet gelijk zijn). De terugbetaling van de lening wordt<br />
beschreven door volgende verschilvergelijking<br />
(<br />
y[n] − 1 + I )<br />
y[n − 1] = −x[n], n = 0, 1, 2, . . . (1.43)<br />
12<br />
waarbij I het jaarlijkse intrestpercentage bedraagt in decimale vorm. Stel dat het jaarlijkse<br />
intrestpercentage 10% bedraagt dan is I = 0.1. Vergelijking (1.43) is een eerste orde<br />
lineaire verschilvergelijking.<br />
Discrete tijdsbehandelig van analoge signalen<br />
De meeste discrete tijdssignalen worden monsters te nemen van continue tijdssignalen<br />
zoals spraak- en audiosignalen,... Het proces welke deze signalen converteert in een digitale<br />
vorm wordt analog-to-digital (A/D) conversie genoemd. Het omgekeerd proces dat<br />
het analoog signaal reconstrueert via zijn monsters is gekend als digital-to-analog (D/A)<br />
conversie. Figuur 1.17 bestaat uit een opeenvolging van een A/D convertor, een discreet<br />
tijdssysteem en een D/A convertor.<br />
Figuur 1.17: Behandelen van een analoog signaal gebruikmakend van een discreet tijdsysteem.<br />
C/D=continu/discreet en D/C=discreet/continu<br />
Het ingangsignaal x a (t) en het uitgangsignaal y a (t) zijn analoge signalen, T s is de bemonsteringsperiode,<br />
x[n] en y[n] zijn de respectievelijke discrete ingang- en uitgangsignaal<br />
en H(e (jω) ) is de systeemfunctie van het discreet systeem.
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 15<br />
1.7 Matlab en Signaal Analyse<br />
Een continu signaal x (t) gegeven in een analytische vorm kan gedefinieerd en afgebeeld<br />
worden gebruikmakend van het software pakket Matlab. Om het gebruik te illustreren<br />
beschouwen we het volgende signaal<br />
( ) 2<br />
x (t) = exp (−0.1t) sin<br />
3 t . (1.44)<br />
Een plot van x (t) versus t voor verschillende waarden van t kan gegenereerd worden met<br />
Matlab. Bijvoorbeeld, voor t variërend van 0 tot 30 in stappen van 0.1 seconden, de<br />
Matlab commando’s voor het genereren van x (t) zijn<br />
Algoritme 1.1 Een continu signaal x (t) .<br />
t = 0:0.1:30;<br />
x = exp(-0.1*t).*sin(2/3*t);<br />
plot(t,x)<br />
axis([0 30 -1 1]);<br />
grid<br />
ylabel(’x(t)’)<br />
xlabel(’Time (sec)’)<br />
De resulterende plot van x (t) wordt getoond in Figuur(1.18). In contrast met een continu<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
x(t)<br />
0<br />
−0.2<br />
−0.4<br />
−0.6<br />
−0.8<br />
−1<br />
0 5 10 15 20 25 30<br />
Time (sec)<br />
Figuur 1.18: Matlab plot van het signaal x (t) = exp (−0, 1t) sin ( 2<br />
3 t) .<br />
signaal x (t), het discreet signaal voorgesteld door x [n] wordt in Matlab afgebeeld in een
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 16<br />
stem plot. De waarden van x [n] worden gemerkt in de plot door gesloten cirkels welke met<br />
lijnen verbonden zijn met de tijd-as. Bijvoorbeeld, veronderstel dat het discreet signaal<br />
x [n] wordt gegeven door<br />
x [−2] = 0, x [−1] = 0, x [0] = 1, x [1] = 2, x [2] = 1, x [3] = 0, (1.45)<br />
x [4] = −1, x [5] = 0, x [6] = 0<br />
De stem plot van x [n] is weergegeven in Figuur (1.19). Een plot van dit signaal kan<br />
worden gegenereerd gebruikmakend van volgende Matlab commando’s<br />
Algoritme 1.2 Een discreet signaal x [n] .<br />
n = -2:6;<br />
x=[0 0 1 2 1 0 -1 0 0];<br />
stem(n,x);<br />
xlabel(’n’)<br />
ylabel(’x[n]’)<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
x[n]<br />
0.5<br />
0<br />
−0.5<br />
−1<br />
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6<br />
n<br />
Figuur 1.19: Matlab plot voor x [n] .
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 17<br />
Verschillende elementaire functies (eenheidstapfunctie, hellingfunctie en impulsfunctie)<br />
worden gedefinieerd in Matlab als volgt<br />
function u = step_function(t) u = 0.5*(sign(t + eps) + 1);<br />
% Functie voor het genereren van de hellingfunctie<br />
%<br />
function r = ramp_function(t) r = 0.5*t.*(sign(t) + 1);<br />
%Functie voor het genereren van de eenheidimpuls<br />
%<br />
function impuls = impuls_function(t, delta) impuls = (<br />
step_function(t+delta/2) - (step_function(t-delta/2))/delta;<br />
Om het gebruik van deze functies te demonstreren genereren we volgende functies. Het<br />
resultaat (zie Figuur 1.20) en de programma’s worden hieronder weergegeven.<br />
1. een stapfunctie met beginpunt t = 2 naar rechts gaande.<br />
2. Een hellingsfunctie met helling 2 vertrekkende vanaf t = 4.<br />
3. Een éénheidimpuls voortkomend bij t = −3.5.<br />
Algoritme 1.3 Construeren van een Stap-, helling- en impulsfunctie<br />
t = -10 : 0.005 : 10; x = step_function(t-2); y =<br />
2*ramp_function(4+t); z = impuls_function(t+3.5, 0.05);<br />
subplot(3,1,1) plot(t,x) axis([-10 10 0 1.5]) xlabel(’t’)<br />
ylabel(’u(t-2)’) subplot(3,1,2) plot(t,y) xlabel(’t’)<br />
ylabel(’2r(4+t)’) subplot(3,1,3) plot(t,z) axis([-10 10 0 25])<br />
xlabel(’t’) ylabel(’delta(t+3)’)
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 18<br />
1.5<br />
u(t−2)<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10<br />
t<br />
30<br />
2r(4+t)<br />
20<br />
10<br />
delta(t+3)<br />
0<br />
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10<br />
t<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10<br />
t<br />
Figuur 1.20: Verschillende elementaire signalen bepaald en geplot met Matlab.<br />
Verdere voorbeelden van elementaire signalen en het bouwen van meer complexe signalen<br />
worden nu besproken. Bijvoorbeeld, het construeren van<br />
s (t) = 4u (t − 1) + (−4)u(t − 2). (1.46)<br />
De plot van s (t) is weergegeven in Figuur (1.21). Een plot van dit signaal kan worden<br />
gegenereerd gebruikmakend van volgende Matlab commando’s<br />
Algoritme 1.4 Construeren van een rechthoekige puls<br />
t = -10 : 0.005 : 10; x<br />
=4*step_function(t-1)+(-4)*step_function(t-2); plot(t,x)<br />
axis([0 5 -5 5])<br />
xlabel(’t’)<br />
ylabel(’s(t)’)<br />
Een eenvoudige manier om een rechthoekige pulstrein te construeren is gebruikmaken van<br />
de eigenschap dat de stapfunctie gelijk is aan 0 wanneer zijn argument negatief is. De<br />
functie<br />
( ( )) πt<br />
s (t) = u sin<br />
(1.47)<br />
T<br />
is nul wanneer sin ( )<br />
πt<br />
T negatief is. De plot is weergegeven in Figuur (1.22). Een plot van<br />
dit signaal kan worden gegenereerd gebruikmakend van volgende Matlab commando’s
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 19<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
s(t)<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
−5<br />
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5<br />
t<br />
Figuur 1.21: Constructie van een rechthoekige puls met een stapfunctie.<br />
Algoritme 1.5 Construeren van een rechthoekige puls trein.<br />
t = -0.2 : 0.005 : 6; T=1; x = step_function(sin(pi*t/T)); plot(t,x)<br />
axis([-0.2 5.8 -1 2])<br />
xlabel(’t’)<br />
ylabel(’s(t)’)<br />
Als laatste voorbeeld, beschouw een puls zoals voorgesteld in Figuur(blz 33, Network analyse<br />
and synthese). Deze puls kan met de elementaire functies als volgt worden geschreven:<br />
1. Voor dalende t, de eerste van nul verschillende component is de functie 2 (t − 1) u (t − 1) .<br />
2. Bij t = 2, het stijgen van de rechte lijn wordt gestopt met de term −2 (t − 2) u (t − 2)<br />
3. Het niveau wordt op nul gebracht met −2u (t − 2) .<br />
Dit wordt samengevat in Figuur (blz 33, Network analyse and synthese). De plot is<br />
weergegeven in Figuur (1.23). Een plot van dit signaal kan worden gegenereerd gebruikmakend<br />
van volgende Matlab commando’s
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 20<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
s(t)<br />
0.5<br />
0<br />
−0.5<br />
−1<br />
0 1 2 3 4 5<br />
t<br />
Figuur 1.22: Het signaal u ( sin ( ))<br />
πt<br />
T met Matlab.<br />
Algoritme 1.6 Construeren van een driehoekpuls.<br />
t = 0: 0.005 : 5;<br />
x=2*ramp_function(t-1).*step_function(t-1)-2*ramp_function(t-2).*<br />
step_function(t-2)-2*step_function(t-2);<br />
plot(t,x)<br />
axis([-5 6 -1 6])<br />
xlabel(’t’)<br />
ylabel(’s(t)’)
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 21<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
s(t)<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
−0.5<br />
−1<br />
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5<br />
t<br />
1.8 Oefeningen<br />
Signalen en classificatie van signalen<br />
Figuur 1.23: Driehoekpuls met Matlab.<br />
Oefening 1.1<br />
Gegeven een continu tijdssignaal x(t), zie Figuur 1.24. Teken elk van de volgende signalen<br />
(a) x(t − 2), Figuur 1.25(a)<br />
(b) x(2t), Figuur 1.25(b)<br />
(c) x( t ), Figuur 1.25(c)<br />
2<br />
(d) x(−t), Figuur 1.25(d)
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 22<br />
Figuur 1.24:<br />
Oplossing<br />
Figuur 1.25:
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 23<br />
Oefening 1.2<br />
Gegeven twee discrete tijdssignalen x 1 [n] en x 2 [n], zie Figuur 1.26. Stel volgende signalen<br />
op een grafiek voor<br />
(a) y 1 [n] = x 1 [n] + x 2 [n], Figuur 1.27(a)<br />
(b) y 2 [n] = 2x 1 [n], Figuur 1.27(b)<br />
(c) y 3 [n] = x 1 [n]x 2 [n], Figuur 1.27(c)<br />
Oplossing<br />
Figuur 1.26:<br />
Figuur 1.27:
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 24<br />
Oefening 1.3<br />
Gegeven een continu tijdssignaal x(t), Figuur 1.28. Teken de volgende signalen<br />
(a) x(t)u(1 − t)<br />
(b) x(t)[u(t) − u(t − 1)]<br />
(c) x(t)δ(t − 3 2 ) Figuur 1.28:<br />
Oplossing<br />
(a) Volgens de definitie van de stapfunctie geldt<br />
u(1 − t) =<br />
{ 1, t < 1;<br />
0, t > 1.<br />
en x(t)u(1 − t) is voorgesteld in Figuur 1.29(a)<br />
(b) Volgens de definitie van de stap<br />
u(t) − u(t − 1) =<br />
{ 1, 0 < t ≤ 1;<br />
0, anders.<br />
en x(t)[u(t) − u(t − 1)] is voorgesteld in Figuur 1.29(b)<br />
(c) Volgens (1.23)<br />
(<br />
x(t)δ t − 3 ) ( ( 3<br />
= x δ t −<br />
2 2)<br />
3 ) (<br />
= 2δ t − 3 )<br />
2<br />
2<br />
wordt voorgesteld in Figuur 1.29(c)
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 25<br />
Figuur 1.29:<br />
Oefening 1.4<br />
Bereken volgende integralen<br />
(a) ∫ 1<br />
−1 (3t2 + 1)δ(t) dt<br />
(b) ∫ 2<br />
1 (3t2 + 1)δ(t) dt<br />
(c) ∫ ∞<br />
−∞ (t2 + cos πt)δ(t − 1) dt<br />
(d) ∫ ∞<br />
−∞ e−t δ(2t − 2) dt<br />
Oplossing<br />
(a) Volgens vergelijking (1.18), met a = −1 en b = 1 geldt<br />
∫ 1<br />
−1<br />
(3t 2 + 1)δ(t) dt = (3t 2 + 1) ∣ ∣<br />
t=0<br />
= 1<br />
(b) Volgens vergelijking (1.18), met a = 1 en b = 2 geldt<br />
(c) Volgens vergelijking (1.19)<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
∫ 2<br />
1<br />
(3t 2 + 1)δ(t) dt = 0<br />
(t 2 + cos πt)δ(t − 1) dt = (t 2 + cos πt) ∣ ∣<br />
t=1<br />
= 1 + cos π = 1 − 1 = 0
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 26<br />
(d) Gebruikmakend van vergelijkingen (1.19) en (1.20)<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
e −t δ(2t − 2) dt =<br />
=<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
e −t δ[2(t − 1)] dt<br />
e −t 1 δ(t − 1) dt<br />
|2|<br />
= 1 2 e−t∣ ∣<br />
t=1<br />
= 1 2e
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 27<br />
Oefening 1.5<br />
Beschouw de condensator in Figuur 1.30<br />
(a) Bepaal de ingang-uitgang relatie<br />
(b) Bepaal of het systeem (i) geheugenloos, (ii) causaal, (iii) lineair of (iv) tijdsinvariant<br />
is.<br />
Figuur 1.30:<br />
Oplossing<br />
(a) Indien we aannemen dat de capaciteit C constant is, dan bestaat er volgend verband<br />
tussen het uitgangsvoltage y(t) over de condensator en de ingangsstroom x(t)<br />
y(t) = T {x(t)} = 1 C<br />
∫ t<br />
−∞<br />
x(τ) dτ (1.48)<br />
(b)<br />
(i) Uit vergelijking (1.48) kunnen we zien dat de uitgang y(t) van vorige en huidige<br />
waarde van de ingang afhangt. Dus het systeem is niet geheugenloos<br />
(ii) aangezien de uitgang y(t) dus niet afhankelijk is van toekomstige waarden van<br />
de ingang is het systeem causaal<br />
(iii) Stel x(t) = α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t). Dan is<br />
∫ t<br />
y(t) = T {x(t)} = 1 [α 1 x 1 (τ) + α 2 x 2 (τ)] dτ<br />
C −∞<br />
[ ∫ 1 t<br />
] [ ∫ 1 t<br />
]<br />
= α 1 x 1 (τ) dτ + α 2 x 2 (τ) dτ<br />
C<br />
C<br />
−∞<br />
= α 1 y 1 (t) + α 2 y 2 (t)<br />
of m.a.w. het systeem is lineair<br />
(iv) Stel y 1 (t) is de uitgang afkomstig van de verschoven ingangsstroom in de tijd<br />
x 1 (t) = x(t − t 0 ). Er geldt<br />
y 1 (t) = T {x(t − t 0 )} = 1 C<br />
= 1 C<br />
∫ t−t0<br />
−∞<br />
Het systeem is dus tijdsinvariant<br />
∫ t<br />
−∞<br />
x(λ) dλ = y(t − t 0 )<br />
−∞<br />
x(τ − t 0 ) dτ
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 28<br />
Oefening 1.6<br />
Het discrete tijdssysteem, Figuur 1.31, is bekend als The Unit Delay Element. Bepaal of<br />
het systeem (a) geheugenloos, (b) causaal, (c) lineair of (d) tijdsinvariant is.<br />
Figuur 1.31: Unit Delay element<br />
Oplossing<br />
(a) De ingang-uitgangsrelatie wordt gegeven door<br />
y[n] = T {x[n]} = x[n − 1] (1.49)<br />
Aangezien de uitgangswaarden bij n afhankelijk zijn van de ingangswaarden bij<br />
n − 1, zal het systeem niet geheugenloos zijn.<br />
(b) Aangezien de uitgang niet afhangt van toekomstige ingangswaarden, zal het systeem<br />
causaal zijn.<br />
(c) Stel x[n] = α 1 x 1 [n] + α 2 x 2 [n]. Dan geldt<br />
y[n] = T {α 1 x 1 [n] + α 2 x 2 [n]} = α 1 x 1 [n − 1] + α 2 x 2 [n − 1]<br />
Het systeem is dus lineair<br />
= α 1 y 1 [n] + α 2 y 2 [n]<br />
(d) Stel y 1 [n] is de respons op x 1 [n] = x[n − n 0 ]. Bijgevolg zal<br />
y 1 [n] = T {x 1 [n]} = x 1 [n − 1] = x[n − 1 − n 0 ]<br />
en<br />
y[n − n 0 ] = x[n − n 0 − 1] = x[n − 1 − n 0 ] = y 1 [n]<br />
Het systeem is tijdsinvariant.
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 29<br />
Oefening 1.7<br />
Gegeven de ingang-uitgang relatie y = T [x] = x 2 . Toon aan dat het systeem niet-lineair<br />
is.<br />
oplossing<br />
T [x 1 + x 2 ] = (x 1 + x 2 ) 2 = x 2 1 + 2x 1 x 2 + x 2 2 (1.50)<br />
T [x 1 ] + T [x 2 ] = x 2 1 + x 2 2 (1.51)<br />
(1.50) ≠ (1.51), dus het systeem is niet-lineair.<br />
Oefening 1.8<br />
Gegeven de ingang-uitgang relatie y = T [x] = ax + b. Toon aan dat het systeem nietlineair<br />
is<br />
oplossing<br />
T [x 1 + x 2 ] = a (x 1 + x 2 ) + b (1.52)<br />
T [x 1 ] + T [x 2 ] = ax 1 + b + ax 2 + b<br />
= a (x 1 + x 2 ) + 2b (1.53)<br />
(1.52) ≠ (1.53), dus het systeem is niet-lineair.<br />
Oefening 1.9<br />
Laat T een continu LTI systeem voorstellen. Toon aan dat T [exp (st)] = λ exp (st) , s is<br />
een complexe variabele en λ ∈ C.<br />
bewijs<br />
Laat y (t) de uitgang van het systeem zijn met als ingang x (t) = exp (st) . Dan<br />
Daar het systeem tijdsinvariant is, hebben we<br />
T [exp (st)] = y (t) . (1.54)<br />
T [exp (s (t + t 0 ))] = y (t + t 0 ) (1.55)<br />
voor een willekeurige t 0 . Het systeem is lineair, en we kunnen (1.55) schrijven als<br />
T [exp (s (t + t 0 ))] = T [exp (st) exp (st 0 )]<br />
= exp (st 0 ) T [exp (st)]<br />
= exp (st 0 ) y (t) . (1.56)<br />
Uit (1.54) en (1.56)<br />
Stel t = 0 en we verkrijgen<br />
y (t + t 0 ) = exp (st 0 ) y (t) . (1.57)<br />
y (t 0 ) = exp (st 0 ) y (0) . (1.58)
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 30<br />
Daar t 0 is willekeurig, vervangen van t 0 door t, kunnen we (1.58) herschrijven als<br />
y (t) = exp (st) y (0)<br />
= λ exp (st) (1.59)<br />
of<br />
T [exp (st)] = λ exp (st) , (1.60)<br />
waarbij λ = y (0) . Een functie x (·) dat voldoet aan de vergelijking<br />
T [x (·)] = λx (·) (1.61)<br />
wordt een eigenfunctie (of karakteristieke functie) van de operator T genoemd, en de<br />
constante λ is de eigenwaarde.
HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 31<br />
Oefening 1.10<br />
Bepaal de ingang-uitgang relatie van het teruggekoppelde systeem voorgesteld in Figuur<br />
1.32.<br />
Figuur 1.32:<br />
oplossing<br />
De ingang van de eenheid vertragingselement is x [n] − y [n] . Dus de uitgang y [n] van het<br />
vertragingselement is<br />
y [n] = x [n − 1] − y [n − 1] . (1.62)<br />
Herschikken van (1.62) geeft<br />
y [n] + y [n − 1] = x [n − 1] . (1.63)<br />
De ingang-uitgang relatie van het systeem kan geschreven worden als een eerste-orde<br />
verschilvergelijking met constante coëfficiënten.