Systeemtheorie

Systeemtheorie 

De Brabanter Jos

Deel I 

Inleiding 

1

Hoofdstuk 1 

Signalen en Systemen 

1.1 Signalen en classificatie van signalen 

Een signaal wordt mathematisch voorgesteld als een functie van een onafhankelijke variabele 

t.In deze curcus wordt een signaal aangeduid door x (t) . 

(i) Continue tijdssignalen en discrete tijdssignalen: Een signaal x (t) is een continu 

tijdssignaal als t ∈ R. Als t ∈ Z, dan is x (t) een discreet tijdssignaal. Een 

discreet tijdssignaal wordt dikwijls voorgesteld als een rij van getallen, genoteerd 

als x[n], waarbij n ∈ Z. Een illustratie van een continu tijdssignaal x(t) en een 

discreet tijdssignaal x[n] wordt weergegeven in Figuur 1.1 

Figuur 1.1: Grafische voorstelling van (a) een continu tijdssignaal en (b) een discreet 

tijdssignaal 

(ii) Analoog- en digitale signalen: indien een continu tijdssignaal x(t) elke waarde 

in het interval (−∞, ∞) kan aannemen, dan noemen we het signaal x(t) analoog. 

Indien een discreet tijdssignaal x[n] enkel een eindig aantal verschillende waarden 

kan aannemen, noemen we het een digitaal signaal. 

(iii) Deterministische- en willekeurige signalen: Deterministische signalen zijn signalen 

waarvan de waarden compleet gespecifieerd zijn voor eender welk tijdstip. 

Dus, een deterministisch signaal kan gemodelleerd worden door een gekende functie 

van tijd t. Willekeurige signalen zijn signalen waarvan de waarden willekeurig zijn 

bij eender welke tijd en moeten statistisch gekarakteriseerd worden. Willekeurige 

signalen behoren niet tot het doel van deze cursus. 

2

HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 3 

(iv) Even- en oneven signalen: x(t) of x[n] is een even signaal als 

x(−t) = x(t) 

x[−n] = x[n] (1.1) 

Een signaal x(t) of x[n] is een oneven signaal als 

x(−t) = −x(t) 

x[−n] = −x[n] (1.2) 

Voorbeelden van even en oneven signalen worden getoond in Figuur 1.2 

Figuur 1.2: Voorbeelden van even signalen (a,b) en oneven signalen (c,d) 

(v) Periodische- en niet-periodische signalen: Een continu tijdssignaal x(t) wordt 

periodisch genoemd met periode T als er een T ∈ R + 0 bestaat waarvoor 

x(t + T ) = x(t) ∀t (1.3) 

Een voorbeeld van een periodisch signaal wordt voorgesteld in Figuur 1.3(a). 

Uit (1.3) of Figuur 1.3(a) volgt dat 

x(t + mT ) = x(t) (1.4) 

∀t en m ∈ N. Elk continu signaal welke niet periodiek is, wordt niet-periodisch of 

aperiodiek genoemd. 

Periodieke discrete signalen worden op analoge manier gedefinieerd. Een discreet 

signaal x[n] wordt periodiek genoemd met periode N indien er een natuurlijk getal 

N bestaat waarvoor geldt dat 

x[n + N] = x[n] ∀n. (1.5)


Figuur 1.3: Voorbeelden van periodieke signalen 

Een voorbeeld van een periodiek discreet signaal is weergegeven in Figuur 1.3(b). 

Uit (1.5) en Figuur 1.3(b) volgt dat 

x[n + mN] = x[n] 

voor alle n en elk natuurlijk getal m. De fundamentele periode N 0 van x[n] is het 

kleinste positieve geheel getal N uit (1.5). Elk discreet signaal welke niet periodiek 

is, wordt niet-periodiek of aperiodisch genoemd. 

(vi) Energie- en vermogensignalen: Zij v(t) het voltage over een weerstand R en 

i(t) de stroom door de weerstand. Het ogenblikkelijke vermogen p(t) per ohm is 

gedefinieerd als 

p(t) = v(t)i(t) = i 2 (t) (1.6) 

R 

De totale energie E en het gemiddeld vermogen P op een per-ohm basis zijn 

E = 

∫ ∞ 

−∞ 

1 

P = lim 

T →∞ T 

i 2 (t) dt joules (1.7) 

∫ T/2 

−T/2 

i 2 (t) dt watt (1.8) 

Voor een willekeurig continu tijdssignaal x(t), wordt de genormaliseerde energie 

hoeveelheid E van x(t) gedefinieerd als 

E = 

∫ ∞ 

−∞ 

|x(t)| 2 dt (1.9) 

Het genormaliseerd gemiddeld vermogen P van x(t) wordt gedefinieerd als 

1 

P = lim 

T →∞ T 

∫ T/2 

−T/2 

|x(t)| 2 dt (1.10)


Voor een discreet tijdssignaal x[n] wordt de genormaliseerde energie hoeveelheid E 

van x[n] gedefinieerd als 

∞∑ 

E = |x[n]| 2 (1.11) 

n=−∞ 

Het genormaliseerd gemiddeld vermogen P van x[n] wordt gedefinieerd als 

1 

P = lim 

N→∞ 2N + 1 

N∑ 

n=−N 

|x[n]| 2 . (1.12) 

Gebaseerd op de definities (1.9) tot (1.12), kunnen we volgende klassen van signalen 

definiëren 

1. x(t) (of x[n]) is een energie-signaal als en slechts als 0 < E < ∞ en dus P = 0 

2. x(t) (of x[n]) is een vermogen-signaal als en slechts 0 

dat E = ∞ 

3. Signalen welke niet voldoen aan voorgaande eigenschappen worden noch energiesignalen 

noch vermogen-signalen genoemd 

Merk wel op dat een periodiek signaal een vermogen-signaal is als de energie-inhoud 

per periode eindig is, en het gemiddelde vermogen van dit signaal moet enkel worden 

berekend over een periode. 

1.2 Continue signalen 

1.2.1 De stapfunctie 

De stapfunctie u(t) of Heaviside unit functie, is gedefinieerd als 

u(t) = 

{ 1, t > 0; 

0, t < 0. 

(1.13) 

welke wordt voorgesteld in Figuur 1.4(a). Merk op dat de stapfunctie discontinu is bij 

t = 0 en dat de waarde bij t = 0 ongedefinieerd is. Gelijkaardig wordt de verschoven 

stapfunctie gedefinieerd als 

u(t − t 0 ) = 

{ 1, t > t0 ; 

0, t < t 0 . 

(1.14) 

welke wordt voorgesteld in Figuur 1.4(b) 

1.2.2 Hellingsfunctie 

De hellingsfunctie r(t) wordt gedefinieerd als 

r(t) = 

{ t, t ≥ 0; 

0, t < 0. 

(1.15)


Figuur 1.4: (a) stapfunctie; (b) verschoven stapfunctie 

welke wordt voorgesteld in Figuur 1.5. Merk op dat voor t ≥ 0 de richtingscoëfficiënt 

1 is. De hellingsfunctie r(t) is gelijk aan de integraal van de stapfunctie 

u(t) 

r(t) = 

∫ t 

−∞ 

u(λ) dλ 

Omgekeerd is de eerste afgeleide van r(t) naar de tijd gelijk aan u(t), behalve bij t = 0, 

waar de afgeleide van r(t) niet gedefinieerd is. 

Figuur 1.5: hellingsfunctie 

1.2.3 De impulsfunctie 

De eenheidimpulsfunctie of Dirac functie, is een mathematische onregelmatigheid. Dirac 

(1930), gebruikte de impulsfunctie eerst in zijn werk over quantum mechanica. Hij 

definieerde de delta functie δ (t) door volgende vergelijkingen 

∫ ∞ 

−∞ 

welke is voorgesteld in Figuur 1.6. 

De belangrijkste eigenschap van de delta functie is 

δ (t) dt = 1 (1.16) 

∫ ∞ 

−∞ 

δ (t) = 0 voor t ≠ 0. (1.17) 

f (t) δ (t) dt = f (0) (1.18) 

met f (t) een reguliere functie die continu is in t = 0. Merk op dat (1.18) een symbolische 

uitdrukking is en moet niet beschouwd worden als een gewone Riemann integraal. In deze 

context, δ (t) wordt dikwijls een gegeneraliseerde functie genoemd en f (t) is gekend als


Figuur 1.6: 

een testfunctie. Dirac noemde de delta functie een oneigelijke functie omdat in die tijd 

geen rigoreuze mathematische bewijsvorming bestond. In 1950 publiseerde Schwarts The 

theory of distributions, welke een mathematische basis bevatte voor de delta functie. 

Op gelijkaardige wijze wordt de verschoven delta functie δ(t − t 0 ) gedefinieerd door 

∫ ∞ 

−∞ 

f (t) δ (t − t 0 ) dt = f (t 0 ) (1.19) 

met f (t) een reguliere functie die continu is in t = t 0 . De functies δ (t) en δ (t − t 0 ) worden 

grafisch weergegeven in Figuur 1.7. 

Figuur 1.7: (a) éénheidsimpulsfunctie;(b) verschoven éénheidsimpulsfunctie 

Enkele eigenschappen van δ (t) zijn 

δ (at) = 1 δ (t) (1.20) 

|a| 

als x (t) continu is in t = 0. 

δ (−t) = δ (t) (1.21) 

x (t) δ (t) = x (0) δ (t) (1.22) 

x (t) δ (t − t 0 ) = x (t 0 ) δ (t − t 0 ) (1.23)


als x (t) continu is in t = t 0 . Gebruikmakend van (1.18) en (1.21), elk continu tijdsignaal 

x (t) kan geschreven worden als 

x (t) = 

1.2.4 Sinusoïdale signalen 

∫ ∞ 

−∞ 

x (τ) δ (t − τ) dτ. (1.24) 

Een continu sinussignaal kan worden geschreven als 

x(t) = A cos(ω 0 t + θ) (1.25) 

met A de amplitude, ω 0 de hoekfrequentie en θ de fasehoek. Het sinusoïdaal signaal wordt 

voorgesteld in Figuur 1.8. Een sinusoïdaal signaal is een voorbeeld van een periodiek 

signaal. 

Figuur 1.8: Continu sinusoïdaal tijdssignaal 

1.3 Discrete basissignalen 

1.3.1 De éénheidstapsequentie 

De éénheidstapsequentie u[n] is gedefinieerd als 

u[n] = 

{ 1 n ≥ 0 

0 n < 0 

(1.26) 

welke getoond wordt in Figuur 1.9(a). 

Merk op dat de waarde van u[n] bij n = 0 gedefinieerd is (de continue stapfunctie u(t) 

is niet gedefinieerd bijt = 0) en gelijk is aan de éénheid. Op een gelijkaardige wijze wordt 

de verschoven éénheidstapsequentie u[n − k] gedefinieerd als 

u[n − k] = 

{ 1 n ≥ k 

0 n < k 

(1.27) 

welke wordt voorgesteld in Figuur 1.9(b).


Figuur 1.9: (a) Eenheidstapsequentie; (b) verschoven éénheidstapsequentie 

1.3.2 De éénheidimpulssequentie 

De éénheidimpulssequentie δ[n] is gedefinieerd als 

δ[n] = 

{ 1 n = 0 

0 n ≠ 0 

(1.28) 

welke wordt voorgesteld in Figuur 1.10(a). Op een gelijkaardige wijze wordt de verschoven 

Figuur 1.10: (a) Eenheidimpulssequentie; (b) verschoven éénheidsimpulssequentie 

éénheidimpulssequentie δ[n − k] gedefinieerd als 

δ[n − k] = 

{ 1 n = k 

0 n ≠ k 

(1.29) 

Dit wordt geïllustreerd in Figuur 1.10(b). Anders dan bij de continue impulsfunctie δ(t), 

is δ[n] gedefinieerd zonder mathematische moeilijkheden. De eigenschappen van δ[n] zijn 

analoog met (1.20) tot (1.23). 

1.4 Systemen en classificatie van systemen 

Gegeven een ingangsignaal en een uitgangsignaal x en y. Een systeem is een mathematisch 

model van een fysisch proces dat y in functie van x weergeeft. Het systeem kan worden 

opgevat als een mapping en wordt voorgesteld door 

y = T [x] (1.30) 

waarbij T een operator is. Relatie (1.30) is weergegeven in Figuur 1.11. Meervoudige 

ingangsignalen en/of uitgangsignalen zijn mogelijk en worden weergegeven in Figuur 1.11.


Figuur 1.11: Systeem met enkelvoudige of meervoudige ingang-uitgangsignalen 

Systemen kunnen worden ingedeeld op verschillende manieren, nl: 

(a) Lineaire- en niet-lineaire systemen 

Als de operator T in (1.30) voldoet aan de volgende twee voorwaarden, dan is T 

een lineaire operator en het systeem voorgesteld door de lineaire operator wordt dan 

een lineair systeem genoemd. 

(1) Additiviteit: Gegeven dat y 1 = T [x 1 ] en y 2 = T [x 2 ] , dan 

voor alle signalen x 1 en x 2 . 

(2) Homogeniciteit (schaling): 

y 1 + y 2 = T [x 1 + x 2 ] (1.31) 

αy = T [αx] , α ∈ R (1.32) 

voor alle signalen x 1 en x 2 . 

Elk systeem dat niet voldoet aan (1.31) en (1.32) wordt geclassificieerd als 

niet-lineair systeem. Vergelijkingen (1.31) en (1.32) 

kunnen geschreven worden als een voorwaarde, zoals 

α 1 y 1 + α 2 y 2 = T [α 1 x 1 + α 2 x 2 ] , α 1 , α 2 ∈ R. (1.33) 

Vergelijking (1.33) is gekend als de superpositie eigenschap. Een ander belangrijke 

eigenschap van een lineair systeem is dat een zero ingang een zero 

respons geeft (α = 0 in (1.32)). 

(b) Continue- en discrete tijdssystemen 

Als x, y ∈ R, dan wordt het systeem een continu systeem genoemd, zie Figuur 1.12 

(a). 

Figuur 1.12: (a) continu tijdsysteem; (b) discreet tijdsysteem 

Als x, y ∈ Z, dan wordt het systeem een discreet systeem genoemd, Figuur 1.12 (b).


(c) Causale en niet-causale systemen 

Een systeem wordt causaal genoemd als voor elke tijd t 0 de uitgangrespons y (t 0 ) , 

gegenereerd door ingang x (t) , niet afhankelijk is van de ingang x (t) voor t > t 0 . 

Dus in een causaal systeem is het niet mogelijk een uitgang te bekomen voordat 

er een ingang wordt aangelegd aan het systeem (verondersteld dat er geen initiële 

energie aanwezig is). Een systeem wordt niet-causaal genoemd als het niet causaal 

is. 

(d) Systemen met geheugen en zonder geheugen 

Een causaal systeem wordt geheugenloos genoemd als voor elke tijd t 0 de uitgang 

bij t 0 enkel afhankelijk is van de ingang bij tijd t 0 . 

(e) Tijdsinvariante en tijdsveranderlijke systemen 

Een systeem wordt tijdsinvariant genoemd als een tijdsverschuiving in het ingangsignaal 

dezelfde tijdsvertraging veroorzaakt in het uitgangsignaal. Voor een continu 

systeem, het systeem is tijdsinvariant als 

y (t − τ) = T [x (t − τ)] , τ ∈ R. (1.34) 

Voor een discreet systeem, het systeem is tijdsinvariant als 

y [n − k] = T [x [n − k]] , k ∈ Z. (1.35) 

(f) Lineaire tijdsinvariante systemen 

Als het systeem lineair en tijdsinvariant is, dan wordt het een lineair tijdsinvariant 

(LTI) syteem genoemd. 

(g) Stabiele systemen 

Een systeen is begrensd-ingang/begrensd-uitgang (BIBO) stabiel als voor elk begrensde 

ingang |x| ≤ k 1 de overeenstemmende uitgang y ook begrensd is ( |y| ≤ 

k 2 ),waarbij k 1 , k 2 ∈ R. Merk op dat er vele andere definities van stabiliteit zijn (zie 

volgende hoofdstukken). 

(h) Teruggekoppelde systemen 

Een teruggekoppeld systeem wordt voorgested in Figuur 1.13. 

Figuur 1.13: Teruggekoppeld systeem 

Het uitgangsignaal wordt teruggekoppeld en opgeteld bij het ingangsignaal van het 

systeem.


1.5 Voorbeelden van continue systemen 

Auto op horizontaal vlak 

Beschouw een auto op een horizontaal vlak voorgesteld in Figuur 1.14. 

Figuur 1.14: Auto met voorwaartse- of remkracht x(t) 

Zoals aangegeven, de uitgang y(t) is de positie van de auto in functie van tijd t t.o.v. 

een bepaalde referentie en de ingang x(t) is de kracht toegepast op de auto op tijdstip t. 

Volgens Newton’s tweede wet van beweging, zijn y(t) en x(t) gerelateerd door volgende 

tweede orde vergelijking 

M d2 y(t) 

dt 2 

+ k w 

dy(t) 

dt 

= x(t) (1.36) 

waarbij M de massa van de auto en k w de wrijvingscoëfficiënt voorstellen. 

RC-netwerk 

Gegeven een RC-netwerk, Figuur 1.15. De RC kring kan worden voorgesteld als een 

ingang-uitgang continu systeem met ingang x(t) gelijk aan de stroom i(t) en met uitgang 

y(t) gelijk aan de spanning v C (t) over de capaciteit. 

Figuur 1.15: RC circuit 

Door toepassing van Kirchoff’s stroomwet 

De spanning-stroom relatie voor de capaciteit is 

i C (t) + i R (t) = i(t) (1.37) 

i C (t) = C dv C(t) 

dt 

(1.38)


en voor de weerstand 

i R (t) = 1 R v C(t) (1.39) 

Substitutie van (1.38) en (1.39) in (1.37) geeft de volgende lineaire differentiaalvergelijking 

C dy(t) 

dt 

+ 1 y(t) = x(t) (1.40) 

R 

Mathematische slinger 

Beschouw een slinger van lengte L en massa M, zie Figuur (1.16). De ingang x(t) is 

de toegepaste kracht op de massa M rakend aan de bewegingsrichting van de massa, en 

Mg sin θ(t) is de kracht t.g.v. de gravitatie rakend aan de bewegingsrichting. De uitgang 

y(t) wordt gedefinieerd als de hoek θ(t) tussen de slinger en de verticale positie. 

Figuur 1.16: Mathematische slinger 

Volgens de wetten van de mechanica, de ingang en de uitgang zijn gerelateerd door 

volgende tweede orde differentiaalvergelijking 

I d2 θ(t) 

dt 2 + MgL sin θ(t) = Lx(t) (1.41) 

waarbij g de gravitatieconstante en I het traagheidsmoment is gegeven door I = ML 2 . 

Door de aanwezigheid van de term sin θ(t) is de ingangs-uitgangs differentiaalvergelijking 

(1.41) een niet lineaire differentiaalvergelijking. Door deze niet lineariteit kan de differentiaalvergelijking 

niet in een expliciete uitdrukking y(t) in functie van x(t) worden bepaald. 

y(t) kan nu wel numeriek benaderd worden door numerieke technieken voor het oplossen 

van niet lineaire 

differentiaalvergelijkingen. 

Indien de grootte |θ(t)| van de hoek θ(t) klein is, kan de sin θ(t) worden benaderd door 

θ(t) zelf, de niet lineaire differentiaalvergelijking (1.41) wordt dan 

I d2 θ(t) 

dt 2 + MgLθ(t) = Lx(t) (1.42)


1.6 Voorbeelden van discrete systemen 

Terugbetaling banklening 

De terugbetaling van een banklening kan behandeld worden als een discreet tijdssysteem 

op volgende manier: Met n = 0, 1, 2, . . . , de ingang x[n] is de terugbetaling van de lening 

in de n-de maand, en de uitgang y[n] is de balans van de lening na de n-de maand. Hier is 

n de tijdsindex welke de maand voorstelt, de ingang x[n] en de uitgang y[n] zijn discrete 

tijdssignalen welk functie zijn van n. De beginvoorwaarde y[0] is het bedrag van de lening. 

Normaal zijn de terugbetalingen x[n] constant; dit is, x[n] = c, n = 0, 1, 2, . . ., waarbij 

c een constante is. In dit voorbeeld is x[n] toegelaten te variëren van maand tot maand 

(bv. de terugbetalingen kunnen niet gelijk zijn). De terugbetaling van de lening wordt 

beschreven door volgende verschilvergelijking 

( 

y[n] − 1 + I ) 

y[n − 1] = −x[n], n = 0, 1, 2, . . . (1.43) 

12 

waarbij I het jaarlijkse intrestpercentage bedraagt in decimale vorm. Stel dat het jaarlijkse 

intrestpercentage 10% bedraagt dan is I = 0.1. Vergelijking (1.43) is een eerste orde 

lineaire verschilvergelijking. 

Discrete tijdsbehandelig van analoge signalen 

De meeste discrete tijdssignalen worden monsters te nemen van continue tijdssignalen 

zoals spraak- en audiosignalen,... Het proces welke deze signalen converteert in een digitale 

vorm wordt analog-to-digital (A/D) conversie genoemd. Het omgekeerd proces dat 

het analoog signaal reconstrueert via zijn monsters is gekend als digital-to-analog (D/A) 

conversie. Figuur 1.17 bestaat uit een opeenvolging van een A/D convertor, een discreet 

tijdssysteem en een D/A convertor. 

Figuur 1.17: Behandelen van een analoog signaal gebruikmakend van een discreet tijdsysteem. 

C/D=continu/discreet en D/C=discreet/continu 

Het ingangsignaal x a (t) en het uitgangsignaal y a (t) zijn analoge signalen, T s is de bemonsteringsperiode, 

x[n] en y[n] zijn de respectievelijke discrete ingang- en uitgangsignaal 

en H(e (jω) ) is de systeemfunctie van het discreet systeem.


1.7 Matlab en Signaal Analyse 

Een continu signaal x (t) gegeven in een analytische vorm kan gedefinieerd en afgebeeld 

worden gebruikmakend van het software pakket Matlab. Om het gebruik te illustreren 

beschouwen we het volgende signaal 

( ) 2 

x (t) = exp (−0.1t) sin 

3 t . (1.44) 

Een plot van x (t) versus t voor verschillende waarden van t kan gegenereerd worden met 

Matlab. Bijvoorbeeld, voor t variërend van 0 tot 30 in stappen van 0.1 seconden, de 

Matlab commando’s voor het genereren van x (t) zijn 

Algoritme 1.1 Een continu signaal x (t) . 

t = 0:0.1:30; 

x = exp(-0.1*t).*sin(2/3*t); 

plot(t,x) 

axis([0 30 -1 1]); 

grid 

ylabel(’x(t)’) 

xlabel(’Time (sec)’) 

De resulterende plot van x (t) wordt getoond in Figuur(1.18). In contrast met een continu 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

x(t) 

0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

−1 

0 5 10 15 20 25 30 

Time (sec) 

Figuur 1.18: Matlab plot van het signaal x (t) = exp (−0, 1t) sin ( 2 

3 t) . 

signaal x (t), het discreet signaal voorgesteld door x [n] wordt in Matlab afgebeeld in een


stem plot. De waarden van x [n] worden gemerkt in de plot door gesloten cirkels welke met 

lijnen verbonden zijn met de tijd-as. Bijvoorbeeld, veronderstel dat het discreet signaal 

x [n] wordt gegeven door 

x [−2] = 0, x [−1] = 0, x [0] = 1, x [1] = 2, x [2] = 1, x [3] = 0, (1.45) 

x [4] = −1, x [5] = 0, x [6] = 0 

De stem plot van x [n] is weergegeven in Figuur (1.19). Een plot van dit signaal kan 

worden gegenereerd gebruikmakend van volgende Matlab commando’s 

Algoritme 1.2 Een discreet signaal x [n] . 

n = -2:6; 

x=[0 0 1 2 1 0 -1 0 0]; 

stem(n,x); 

xlabel(’n’) 

ylabel(’x[n]’) 

2 

1.5 

1 

x[n] 

0.5 

0 

−0.5 

−1 

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 

n 

Figuur 1.19: Matlab plot voor x [n] .


Verschillende elementaire functies (eenheidstapfunctie, hellingfunctie en impulsfunctie) 

worden gedefinieerd in Matlab als volgt 

function u = step_function(t) u = 0.5*(sign(t + eps) + 1); 

% Functie voor het genereren van de hellingfunctie 

% 

function r = ramp_function(t) r = 0.5*t.*(sign(t) + 1); 

%Functie voor het genereren van de eenheidimpuls 

% 

function impuls = impuls_function(t, delta) impuls = ( 

step_function(t+delta/2) - (step_function(t-delta/2))/delta; 

Om het gebruik van deze functies te demonstreren genereren we volgende functies. Het 

resultaat (zie Figuur 1.20) en de programma’s worden hieronder weergegeven. 

1. een stapfunctie met beginpunt t = 2 naar rechts gaande. 

2. Een hellingsfunctie met helling 2 vertrekkende vanaf t = 4. 

3. Een éénheidimpuls voortkomend bij t = −3.5. 

Algoritme 1.3 Construeren van een Stap-, helling- en impulsfunctie 

t = -10 : 0.005 : 10; x = step_function(t-2); y = 

2*ramp_function(4+t); z = impuls_function(t+3.5, 0.05); 

subplot(3,1,1) plot(t,x) axis([-10 10 0 1.5]) xlabel(’t’) 

ylabel(’u(t-2)’) subplot(3,1,2) plot(t,y) xlabel(’t’) 

ylabel(’2r(4+t)’) subplot(3,1,3) plot(t,z) axis([-10 10 0 25]) 

xlabel(’t’) ylabel(’delta(t+3)’)


1.5 

u(t−2) 

1 

0.5 

0 

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 

t 

30 

2r(4+t) 

20 

10 

delta(t+3) 

0 

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 

t 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 

t 

Figuur 1.20: Verschillende elementaire signalen bepaald en geplot met Matlab. 

Verdere voorbeelden van elementaire signalen en het bouwen van meer complexe signalen 

worden nu besproken. Bijvoorbeeld, het construeren van 

s (t) = 4u (t − 1) + (−4)u(t − 2). (1.46) 

De plot van s (t) is weergegeven in Figuur (1.21). Een plot van dit signaal kan worden 

gegenereerd gebruikmakend van volgende Matlab commando’s 

Algoritme 1.4 Construeren van een rechthoekige puls 

t = -10 : 0.005 : 10; x 

=4*step_function(t-1)+(-4)*step_function(t-2); plot(t,x) 

axis([0 5 -5 5]) 

xlabel(’t’) 

ylabel(’s(t)’) 

Een eenvoudige manier om een rechthoekige pulstrein te construeren is gebruikmaken van 

de eigenschap dat de stapfunctie gelijk is aan 0 wanneer zijn argument negatief is. De 

functie 

( ( )) πt 

s (t) = u sin 

(1.47) 

T 

is nul wanneer sin ( ) 

πt 

T negatief is. De plot is weergegeven in Figuur (1.22). Een plot van 

dit signaal kan worden gegenereerd gebruikmakend van volgende Matlab commando’s


5 

4 

3 

2 

1 

s(t) 

0 

−1 

−2 

−3 

−4 

−5 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 

t 

Figuur 1.21: Constructie van een rechthoekige puls met een stapfunctie. 

Algoritme 1.5 Construeren van een rechthoekige puls trein. 

t = -0.2 : 0.005 : 6; T=1; x = step_function(sin(pi*t/T)); plot(t,x) 

axis([-0.2 5.8 -1 2]) 


ylabel(’s(t)’) 

Als laatste voorbeeld, beschouw een puls zoals voorgesteld in Figuur(blz 33, Network analyse 

and synthese). Deze puls kan met de elementaire functies als volgt worden geschreven: 

1. Voor dalende t, de eerste van nul verschillende component is de functie 2 (t − 1) u (t − 1) . 

2. Bij t = 2, het stijgen van de rechte lijn wordt gestopt met de term −2 (t − 2) u (t − 2) 

3. Het niveau wordt op nul gebracht met −2u (t − 2) . 

Dit wordt samengevat in Figuur (blz 33, Network analyse and synthese). De plot is 

weergegeven in Figuur (1.23). Een plot van dit signaal kan worden gegenereerd gebruikmakend 

van volgende Matlab commando’s


2 

1.5 

1 

s(t) 

0.5 

0 

−0.5 

−1 

0 1 2 3 4 5 

t 

Figuur 1.22: Het signaal u ( sin ( )) 

πt 

T met Matlab. 

Algoritme 1.6 Construeren van een driehoekpuls. 

t = 0: 0.005 : 5; 

x=2*ramp_function(t-1).*step_function(t-1)-2*ramp_function(t-2).* 

step_function(t-2)-2*step_function(t-2); 

plot(t,x) 

axis([-5 6 -1 6]) 


ylabel(’s(t)’)


3 

2.5 

2 

1.5 

s(t) 

1 

0.5 

0 

−0.5 

−1 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 

t 

1.8 Oefeningen 

Signalen en classificatie van signalen 

Figuur 1.23: Driehoekpuls met Matlab. 

Oefening 1.1 

Gegeven een continu tijdssignaal x(t), zie Figuur 1.24. Teken elk van de volgende signalen 

(a) x(t − 2), Figuur 1.25(a) 

(b) x(2t), Figuur 1.25(b) 

(c) x( t ), Figuur 1.25(c) 

2 

(d) x(−t), Figuur 1.25(d)


Figuur 1.24: 

Oplossing 

Figuur 1.25:


Oefening 1.2 

Gegeven twee discrete tijdssignalen x 1 [n] en x 2 [n], zie Figuur 1.26. Stel volgende signalen 

op een grafiek voor 

(a) y 1 [n] = x 1 [n] + x 2 [n], Figuur 1.27(a) 

(b) y 2 [n] = 2x 1 [n], Figuur 1.27(b) 

(c) y 3 [n] = x 1 [n]x 2 [n], Figuur 1.27(c) 

Oplossing 

Figuur 1.26: 

Figuur 1.27:


Oefening 1.3 

Gegeven een continu tijdssignaal x(t), Figuur 1.28. Teken de volgende signalen 

(a) x(t)u(1 − t) 

(b) x(t)[u(t) − u(t − 1)] 

(c) x(t)δ(t − 3 2 ) Figuur 1.28: 

Oplossing 

(a) Volgens de definitie van de stapfunctie geldt 

u(1 − t) = 

{ 1, t < 1; 

0, t > 1. 

en x(t)u(1 − t) is voorgesteld in Figuur 1.29(a) 

(b) Volgens de definitie van de stap 

u(t) − u(t − 1) = 

{ 1, 0 < t ≤ 1; 

0, anders. 

en x(t)[u(t) − u(t − 1)] is voorgesteld in Figuur 1.29(b) 

(c) Volgens (1.23) 

( 

x(t)δ t − 3 ) ( ( 3 

= x δ t − 

2 2) 

3 ) ( 

= 2δ t − 3 ) 

2 

2 

wordt voorgesteld in Figuur 1.29(c)


Figuur 1.29: 

Oefening 1.4 

Bereken volgende integralen 

(a) ∫ 1 

−1 (3t2 + 1)δ(t) dt 

(b) ∫ 2 

1 (3t2 + 1)δ(t) dt 

(c) ∫ ∞ 

−∞ (t2 + cos πt)δ(t − 1) dt 

(d) ∫ ∞ 

−∞ e−t δ(2t − 2) dt 

Oplossing 

(a) Volgens vergelijking (1.18), met a = −1 en b = 1 geldt 

∫ 1 

−1 

(3t 2 + 1)δ(t) dt = (3t 2 + 1) ∣ ∣ 

t=0 

= 1 

(b) Volgens vergelijking (1.18), met a = 1 en b = 2 geldt 

(c) Volgens vergelijking (1.19) 

∫ ∞ 

−∞ 

∫ 2 

1 

(3t 2 + 1)δ(t) dt = 0 

(t 2 + cos πt)δ(t − 1) dt = (t 2 + cos πt) ∣ ∣ 

t=1 

= 1 + cos π = 1 − 1 = 0


(d) Gebruikmakend van vergelijkingen (1.19) en (1.20) 

∫ ∞ 

−∞ 

e −t δ(2t − 2) dt = 

= 

∫ ∞ 

−∞ 

∫ ∞ 

−∞ 

e −t δ[2(t − 1)] dt 

e −t 1 δ(t − 1) dt 

|2| 

= 1 2 e−t∣ ∣ 

t=1 

= 1 2e


Oefening 1.5 

Beschouw de condensator in Figuur 1.30 

(a) Bepaal de ingang-uitgang relatie 

(b) Bepaal of het systeem (i) geheugenloos, (ii) causaal, (iii) lineair of (iv) tijdsinvariant 

is. 

Figuur 1.30: 

Oplossing 

(a) Indien we aannemen dat de capaciteit C constant is, dan bestaat er volgend verband 

tussen het uitgangsvoltage y(t) over de condensator en de ingangsstroom x(t) 

y(t) = T {x(t)} = 1 C 

∫ t 

−∞ 

x(τ) dτ (1.48) 

(b) 

(i) Uit vergelijking (1.48) kunnen we zien dat de uitgang y(t) van vorige en huidige 

waarde van de ingang afhangt. Dus het systeem is niet geheugenloos 

(ii) aangezien de uitgang y(t) dus niet afhankelijk is van toekomstige waarden van 

de ingang is het systeem causaal 

(iii) Stel x(t) = α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t). Dan is 

∫ t 

y(t) = T {x(t)} = 1 [α 1 x 1 (τ) + α 2 x 2 (τ)] dτ 

C −∞ 

[ ∫ 1 t 

] [ ∫ 1 t 

] 

= α 1 x 1 (τ) dτ + α 2 x 2 (τ) dτ 

C 

C 

−∞ 

= α 1 y 1 (t) + α 2 y 2 (t) 

of m.a.w. het systeem is lineair 

(iv) Stel y 1 (t) is de uitgang afkomstig van de verschoven ingangsstroom in de tijd 

x 1 (t) = x(t − t 0 ). Er geldt 

y 1 (t) = T {x(t − t 0 )} = 1 C 

= 1 C 

∫ t−t0 

−∞ 

Het systeem is dus tijdsinvariant 

∫ t 

−∞ 

x(λ) dλ = y(t − t 0 ) 

−∞ 

x(τ − t 0 ) dτ


Oefening 1.6 

Het discrete tijdssysteem, Figuur 1.31, is bekend als The Unit Delay Element. Bepaal of 

het systeem (a) geheugenloos, (b) causaal, (c) lineair of (d) tijdsinvariant is. 

Figuur 1.31: Unit Delay element 

Oplossing 

(a) De ingang-uitgangsrelatie wordt gegeven door 

y[n] = T {x[n]} = x[n − 1] (1.49) 

Aangezien de uitgangswaarden bij n afhankelijk zijn van de ingangswaarden bij 

n − 1, zal het systeem niet geheugenloos zijn. 

(b) Aangezien de uitgang niet afhangt van toekomstige ingangswaarden, zal het systeem 

causaal zijn. 

(c) Stel x[n] = α 1 x 1 [n] + α 2 x 2 [n]. Dan geldt 

y[n] = T {α 1 x 1 [n] + α 2 x 2 [n]} = α 1 x 1 [n − 1] + α 2 x 2 [n − 1] 

Het systeem is dus lineair 

= α 1 y 1 [n] + α 2 y 2 [n] 

(d) Stel y 1 [n] is de respons op x 1 [n] = x[n − n 0 ]. Bijgevolg zal 

y 1 [n] = T {x 1 [n]} = x 1 [n − 1] = x[n − 1 − n 0 ] 

en 

y[n − n 0 ] = x[n − n 0 − 1] = x[n − 1 − n 0 ] = y 1 [n] 

Het systeem is tijdsinvariant.


Oefening 1.7 

Gegeven de ingang-uitgang relatie y = T [x] = x 2 . Toon aan dat het systeem niet-lineair 

is. 

oplossing 

T [x 1 + x 2 ] = (x 1 + x 2 ) 2 = x 2 1 + 2x 1 x 2 + x 2 2 (1.50) 

T [x 1 ] + T [x 2 ] = x 2 1 + x 2 2 (1.51) 

(1.50) ≠ (1.51), dus het systeem is niet-lineair. 

Oefening 1.8 

Gegeven de ingang-uitgang relatie y = T [x] = ax + b. Toon aan dat het systeem nietlineair 

is 

oplossing 

T [x 1 + x 2 ] = a (x 1 + x 2 ) + b (1.52) 

T [x 1 ] + T [x 2 ] = ax 1 + b + ax 2 + b 

= a (x 1 + x 2 ) + 2b (1.53) 

(1.52) ≠ (1.53), dus het systeem is niet-lineair. 

Oefening 1.9 

Laat T een continu LTI systeem voorstellen. Toon aan dat T [exp (st)] = λ exp (st) , s is 

een complexe variabele en λ ∈ C. 

bewijs 

Laat y (t) de uitgang van het systeem zijn met als ingang x (t) = exp (st) . Dan 

Daar het systeem tijdsinvariant is, hebben we 

T [exp (st)] = y (t) . (1.54) 

T [exp (s (t + t 0 ))] = y (t + t 0 ) (1.55) 

voor een willekeurige t 0 . Het systeem is lineair, en we kunnen (1.55) schrijven als 

T [exp (s (t + t 0 ))] = T [exp (st) exp (st 0 )] 

= exp (st 0 ) T [exp (st)] 

= exp (st 0 ) y (t) . (1.56) 

Uit (1.54) en (1.56) 

Stel t = 0 en we verkrijgen 

y (t + t 0 ) = exp (st 0 ) y (t) . (1.57) 

y (t 0 ) = exp (st 0 ) y (0) . (1.58)


Daar t 0 is willekeurig, vervangen van t 0 door t, kunnen we (1.58) herschrijven als 

y (t) = exp (st) y (0) 

= λ exp (st) (1.59) 

of 

T [exp (st)] = λ exp (st) , (1.60) 

waarbij λ = y (0) . Een functie x (·) dat voldoet aan de vergelijking 

T [x (·)] = λx (·) (1.61) 

wordt een eigenfunctie (of karakteristieke functie) van de operator T genoemd, en de 

constante λ is de eigenwaarde.


Oefening 1.10 

Bepaal de ingang-uitgang relatie van het teruggekoppelde systeem voorgesteld in Figuur 

1.32. 

Figuur 1.32: 

oplossing 

De ingang van de eenheid vertragingselement is x [n] − y [n] . Dus de uitgang y [n] van het 

vertragingselement is 

y [n] = x [n − 1] − y [n − 1] . (1.62) 

Herschikken van (1.62) geeft 

y [n] + y [n − 1] = x [n − 1] . (1.63) 

De ingang-uitgang relatie van het systeem kan geschreven worden als een eerste-orde 

verschilvergelijking met constante coëfficiënten.

Systeemtheorie

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?