ANTWOORDEN OP VEEL GESTELDE VRAGEN ALGEBRA ...

ANTWOORDEN OP VEEL GESTELDE VRAGEN
ALGEBRA – HOOFDSTUK 3
• Men spreekt van een reële of een komplexe vektorruimte naargelang
het veld van de skalairen R of C is. Wil dit ook zeggen dat vektoren
van de vektorruimte reële of komplexe komponenten hebben ?
Antwoord :
Neen, om een vektorruimte op te bouwen, moet men over twee strukturen
beschikken : een groep V, + (de elementen van V worden vektoren genoemd,
maar dit kunnen naast meetkundige vektoren ook funkties, koppels, matrices,
e.a. zijn) en een veld F, +, . van skalairen (in onze kursus steeds R of C).
Beide strukturen worden aan elkaar ”gelinkt” via een afbeelding F × V →
V die aan bepaalde axioma’s moet voldoen (deze afbeelding noemt men de
vermenigvuldiging met een skalair).
De aard van de vektoren is volledig onafhankelijk van de aard van de skalairen.
Beschouw bvb. als vektoren koppels komplexe getallen, V = C × C = C 2
en neem als veld van skalairen de reële getallen, F = R. Definieert men de
vermenigvuldiging van een vektor met een skalair als r(z 1 , z 2 ) = (rz 1 , rz 2 ) dan
bekomt men een reële vektorruimte waarvan de vektoren nochtans komplexe
komponenten hebben.
Men kan de gekozen verzameling vektoren echter ook struktureren tot een komplexe
vektorruimte, wanneer men voor het veld van de skalairen C neemt.
De benaming reële/komplexe vektorruimte verwijst dus steeds naar het veld
waartoe de skalairen behoren en niet naar de vektorenverzameling.
• Wat is eigenlijk het belang of het nut van lineaire afbeeldingen?
Antwoord :
Bij de studie van wiskundige strukturen is men steeds geïnteresseerd in afbeeldingen
die ”struktuurbehoudend” zijn (zogeheten morfismen). Is deze struktuur
bvb. een meetkunde (affien, euklidisch, . . .) dan zal men trachten na te
gaan welke afbeeldingen de objekten van die meetkunde (punten, rechten) afbeelden
op objekten van hetzelfde type en daarbij de fundamentele begrippen
(evenwijdigheid, loodrechte stand, . . .) invariant laten.
1

Is de wiskundige struktuur een vektorruimte, dan zijn de morfismen precies
de lineaire afbeeldingen. Vektoren worden afgebeeld op vektoren en de fundamentele
begrippen vektoroptelling en vermenigvuldiging van een vektor met
een skalair blijven invariant.
Zijn de vektoren i.h.b. meetkundige vektoren van het vlak of de ruimte, dan
zullen de lineaire afbeeldingen interessant zijn om bvb. spiegelingen, rotaties
en bepaalde vervormingen van figuren te beschrijven.
• Is de algebraïsche multipliciteit van een eigenwaarde niet steeds gelijk
aan de meetkundige multipliciteit ervan ?
Antwoord :
De algebraïsche multipliciteit van eigenwaarde λ is de multipliciteit van λ als
wortel van de karakteristieke vergelijking. De meetkundige multipliciteit van λ
is de dimensie van de eigenruimte E λ = Ker(T − λI).
Het is mogelijk om te bewijzen dat de meetkundige multipliciteit steeds kleiner
dan of gelijk is aan de algebraïsche multipliciteit. De gelijkheid geldt echter
niet altijd (zie het voorbeeld in de kursus op p. 3 − 18).
Het is precies wanneer voor alle eigenwaarden beide multipliciteiten gelijk zijn
dat we te maken hebben met een diagonaliseerbare lineaire afbeelding of matrix.
• Wat is precies het belang van eigenwaarden en eigenvektoren ?
Antwoord :
Het bestaan van eigenwaarden en bijhorende eigenvektoren en de mogelijkheid
om een matrix te diagonaliseren heeft heel wat belangrijke toepassingen in diverse
disciplines zoals in de dynamika (traagheidstensor), in de kwantumfysika
(energiespektra), in de elasticiteitsleer, in de analytische meetkunde (reduktie
van de vergelijking van een kegelsnede of kwadriek op de hoofdassen), in de
trillingsleer (bepalen van eigenfunkties), bij de studie van partiële differentiaalvergelijkingen
enz.
Eigenwaardevraagstukken zijn dus uitermate belangrijk.
2

• Als een matrix A diagonaliseerbaar is, m.a.w. als er een inverteerbare
matrix P bestaat zó dat P −1 · A · P = D met D een diagonaalmatrix,
is die diagonaalmatrix D dan uniek bepaald ?
Antwoord :
De elementen op de hoofddiagonaal van D zijn de eigenwaarden van A. De
matrix D is uniek, op de volgorde van die eigenwaarden na.
• Is elke lineaire afbeelding van een komplexe vektorruimte diagonaliseerbaar
?
Antwoord :
Neen ! De karakteristieke vergelijking is dit geval een n–de graadsvergelijking
over C en deze bezit n wortels (niet noodzakelijk alle verschillend). Als alle
wortels verschillend zijn, dan leert de stelling op p. 3 − 20 dat de bijhorende
eigenvektoren lineair onafhankelijk zijn en dus een basis vormen. In dat geval
is de afbeelding dus diagonaliseerbaar.
Als er samenvallende wortels zijn (dus eigenwaarden met algebraïsche multipliciteit
> 1) dan kan de lineaire afbeelding al dan niet diagonaliseerbaar zijn.
Dat zal afhangen van de meetkundige multipliciteit van de eigenwaarden.
Het enige wat wel waar is voor lineaire afbeeldingen van een komplexe vektorruimte
is dat ze steeds minstens één eigenwaarde bezit, terwijl er lineaire
afbeeldingen van een reële vektorruimte bestaan zonder eigenwaarden.
• Hebben de eigenvektoren van een lineaire afbeelding van Mat(n, 1, C)
die horen bij een reële eigenwaarde steeds reële komponenten ?
Oplossing :
Neen, niet noodzakelijk. Wel is het zo dat de eigenruimte bij een reële eigenwaarde
reële eigenvektoren zal bevatten als de matrix van de lineaire afbeelding
enkel reële elementen bevat.
Enkele voorbeelden illustreren de verschillende mogelijkheden die kunnen optreden.
3

( ) 1 −3j
– T A : Mat(2, 1, C) −→ Mat(2, 1, C) met A =
bezit de reële
j −1
eigenwaarden λ 1 = −2 en λ 2 = 2
De bijhorende eigenruimten zijn :
E λ1 = {k(1, −j) | k ∈ C} en E λ2 = {k(3, j) | k ∈ C}. Deze bevatten enkel
eigenvektoren waarbij minstens één van beide komponenten komplex is.
( ) 1 j
– T A : Mat(2, 1, C) −→ Mat(2, 1, C) met A = bezit de reële eigenwaarde
λ 1 = 1 en de imaginaire eigenwaarde λ 2 = j
0 j
De eigenruimte horende bij de reële eigenwaarde is E λ1 = {k(1, 0) | k ∈ C}
en deze bevat naast eigenvektoren met minstens één komplexe komponent
(bvb. (j, 0)) ook eigenvektoren met reële komponenten (bvb. (1, 0)).
( ) 1 3
– T A : Mat(2, 1, C) −→ Mat(2, 1, C) met A = bezit de reële eigenwaarde
λ 1 = 1 (dubbel geteld)
0 1
De eigenruimte horende bij deze reële eigenwaarde is E λ1 = {k(1, 0) | k ∈ C}
en deze bevat naast eigenvektoren met minstens één komplexe komponent
(bvb. (j, 0)) ook eigenvektoren met reële komponenten (bvb. (1, 0)).
Als A niet uitsluitend reële elementen bevat kan het dus gebeuren dat de eigenruimte
bij een reële eigenwaarde geen eigenvektoren bevat met alle komponenten
reëel.
• Zijn er naast het standaardinprodukt op R n nog andere inprodukten
mogelijk ?
Antwoord :
Ja, een vektorruimte kan eventueel op meerder manieren voorzien worden van
een inprodukt en kan dus aanleiding geven tot verschillende inproduktruimten.
Voor R n kan men bvb. aantonen dat < ⃗x, ⃗y >= [⃗y] t · A · [⃗x] een inprodukt is als
A een symmetrische, positief–definiete matrix is. Dat is een matrix waarvoor
geldt : A t = A (symmetrisch) en waarvoor de n determinanten |a 11 |,
∣ a ∣
11 a 12 ∣∣∣
,
a 21 a 22
. . ., detA strikt positief zijn (positief–definiet).
4

Voor A de eenheidsmatrix bekomt men het standaardinprodukt < ⃗x, ⃗y >=
n∑
x i y i .
i=1
( ) 1 1
Voorbeeld : voor A = (deze matrix is symmetrisch en positief–
1 2
definiet) bekomt men een inprodukt in R 2 verschillend van het standaardinprodukt.
• Waarom definieert men het standaardinprodukt op C n als < ⃗x, ⃗y >=
∑ n
i=1 x iy i en niet als < ⃗x, ⃗y >= ∑ n
i=1 x iy i (zonder de komplexe toevoeging)?
Antwoord :
Omdat dat laatste geen inprodukt is op C n . Er is immers niet voldoen aan de
eerste voorwaarde voor inprodukt < ⃗x, ⃗x >= 0 ⇐⇒ ⃗x = ⃗o zoals bvb. blijkt
uit < (1, j), (1, j) >= 1 · 1 + j · j = 0.
Door in de definitie de komplex toegevoegde te nemen, bekomt men wel een
inprodukt.
• Wat is eigenlijk de zin van orthogonaliteit van vektoren in een vektorruimte
waarin de vektoren geen meetkundige vektoren zijn ?
Antwoord :
Het begrip ”orthogonaal” in een inproduktruimte heeft niet noodzakelijk de
meetkundige betekenis van ”loodrecht” die we ermee associëren in een vektorruimte
waarvan de vektoren meetkundige vektoren zijn. Zo kan men dus
spreken over orthogonale funkties, orthogonale veeltermen enz. Deze begrippen
hebben wel degelijk praktische toepassingen o.a. bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen
die hun oorsprong vinden in de fysika (o.a. DV van Legendre)
en bij reeksontwikkeling van funkties (o.a. Fourierreeksen)
5

• Axioma (iii) in de definitie van inprodukt betekent dat het inprodukt
lineariteit vertoont in de eerste komponent. Is er ook lineariteit in
de tweede komponent ?
Antwoord :
< ⃗v, k 1 ⃗w 1 + k 2 ⃗w 2 > = < k 1 ⃗w 1 + k 2 ⃗w 2 , ⃗v >
= k 1 < ⃗w 1 , ⃗v > +k 2 < ⃗w 2 , ⃗v >
= ¯k 1 < ⃗w 1 , ⃗v > + ¯k 2 < ⃗w 2 , ⃗v >
= ¯k 1 < ⃗v, ⃗w 1 > + ¯k 2 < ⃗v, ⃗w 2 >
In het geval van een reële inproduktruimte is ¯k 1 = k 1 en ¯k 2 = k 2 zodat in dat
geval het inprodukt ook lineair is in de tweede komponent. Men zegt dan ook
dat het inprodukt in dat geval een bilineaire vorm is.
In het geval van een komplexe inproduktruimte is er enkel lineariteit in de eerste
komponent en slechts gedeeltelijk in de tweede komponent. men spreekt in dit
geval van een sesquilineaire vorm.
• Een orthogonale lineaire transformatie wordt o.a. gekarakteriseerd
door de eigenschap dat ze een georthonormeerde basis omzet in een
georthonormeerde basis. Is het niet voldoende dat een orthogonale
basis wordt omgezet in een orthogonale basis ?
Antwoord :
Neen, beschouw bvb. de lineaire afbeelding T van R 2 waarvoor T (⃗e 1 ) = ⃗e 1 en
T (⃗e 2 ) = 2⃗e 2 met {⃗e 1 = (1, 0), ⃗e 2 = (0, 1)} een orthogonale basis. Het beeld van
die orthogonale basis is dan de orthogonale basis {⃗e 1 , 2⃗e 2 }
Nochtans is T geen orthogonale afbeelding, want T bewaart het inprodukt niet,
zoals blijkt uit
< (1, 1), (1, −1) >= 0 maar < T (1, 1), T (1, −1) >=< (1, 2), (1, −2) >≠ 0.
• Is de matrix van een orthogonale lineaire afbeelding steeds een orthogonale
matrix ?
Antwoord :
Neen, de matrix van een orthogonale lineaire afbeelding t.o.v. een georthonormeerde
basis is een orthogonale matrix zoals in de kursus wordt bewezen.
6

Verandert men van basis dan is de nieuwe matrix terug een orthogonale matrix
indien die nieuwe basis ook een georthonormeerde basis is.
Inderdaad, stel dat B en B ′ georthonormeerde basissen zijn en dat de matrix
A = [T ] B gekend is (deze is dus orthogonaal).
We hebben dan : C = [T ] B
′ = P −1 · A · P met P de overgangsmatrix van basis
B naar basis B ′ .
We berekenen nu C · C t waarbij we steunen op het feit dat A · A t = I (A is
orthogonaal) en op P · P t = I (de overgangsmatrix tussen georthonormeerde
basissen is orthogonaal, zie kursus p. 3–29).
C · C t = (P −1 AP ) · (P −1 AP ) t = P −1 AP P t A t (P −1 ) t = P −1 (P −1 ) t = (P t P ) −1 =
I. De matrix C = [T ] B
′ is dus ook een orthogonale matrix.
De matrix van een orthogonale lineaire afbeelding t.o.v. een willekeurige (niet
noodzakelijk georthonormeerde basis) is over het algemeen geen orthogonale
matrix.
Hetzelfde kan overigens gezegd worden over symmetrische, unitaire en hermitische
afbeeldingen. De matrix van dergelijke afbeeldingen is symmetrisch, unitair
of hermitisch t.o.v. een georthonormeerde basis.
• In de kursus wordt bewezen dat elke symmetrische lineaire afbeelding
van een reële inproduktruimte en elke hermitische lineaire afbeelding
van een komplexe inproduktruimte diagonaliseerbaar is. Is dat geen
zwakke stelling want symmetrisch of hermitisch zijn is toch een vrij
sterke voorwaarde ?
Antwoord :
De voorwaarde van symmetrisch of hermitisch zijn lijkt inderdaad op het eerste
gezicht een sterke voorwaarde. Toch blijken de lineaire afbeeldingen die men
ontmoet in disciplines zoals kwantumfysika, trillingsleer e.a. dikwijls te voldoen
aan die voorwaarde. Symmetrie is nu eenmaal dikwijls aanwezig in de natuur.
Natuurlijk zijn er ook afbeeldingen die niet symmetrisch of hermitisch zijn.
Maar zelfs voor deze beschikt men over enkele stellingen.
Zo zijn bvb. alle normale lineaire afbeeldingen van een eindig–dimensionale
komplexe inproduktruimte diagonaliseerbaar.
7

De matrix van een normale lineaire afbeelding t.o.v. een georthonormeerde basis
is een normale matrix, wat betekent dat A · A † = A † · A met A † de hermitisch
toegevoegde van A. Zo zijn i.h.b. alle hermitische, unitaire en anti–hermitische
lineaire afbeeldingen diagonaliseerbaar.
Voor lineaire afbeeldingen van reële inproduktruimten beschikt men niet over
zo’n algemene stelling.
Overigens kan men naast de vraag naar diagonaliseerbaarheid ook vragen stellen
m.b.t. andere kanonieke vormen (o.a. triangulariseerbaarheid, d.i. welke matrices
zijn gelijkvormig met een bovendriehoeksmatrix).
8