Katholieke Hogeschool Limburg Automatisering â Systeemtheorie
Katholieke Hogeschool Limburg Automatisering â Systeemtheorie
Katholieke Hogeschool Limburg Automatisering â Systeemtheorie
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Katholieke</strong> <strong>Hogeschool</strong> <strong>Limburg</strong><br />
<strong>Automatisering</strong> – <strong>Systeemtheorie</strong><br />
Johan Baeten<br />
Cursus gedoceerd aan 3e jaar Industrieel Ingenieur<br />
opties Elektromechanica en Elektronica<br />
15 september 2002
c○<br />
<strong>Katholieke</strong> <strong>Hogeschool</strong> <strong>Limburg</strong><br />
Departement industriële wetenschappen en technologie<br />
Universitaire campus gebouw B, bus 3, B-3590 Diepenbeek, Belgium<br />
Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/of<br />
openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm, elektronisch of op<br />
welke andere wijze ook zonder voorafgaandelijke schriftelijke toestemming van de uitgever.
Inhoudstafel<br />
Inhoudstafel<br />
I<br />
1 Inleiding 1<br />
2 De Laplace-transformatie 3<br />
2.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
2.2 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
2.3 De Laplace-getransformeerde van enkele functies . . . . . . . . . . . . . 4<br />
2.4 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.4.1 Lineariteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.4.2 Differentiatietheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.4.3 Integratietheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
2.4.4 Eindwaardetheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2.4.5 Beginwaardetheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2.4.6 Schaalfactortheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2.4.7 Eerste verschuivingstheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.4.8 Tweede verschuivingstheorema (reële translatie) . . . . . . . . . 9<br />
2.4.9 Vermenigvuldiging met t (complexe differentiatie) . . . . . . . . 9<br />
2.4.10 Deling door t (complexe integratie) . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.4.11 Convolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.5 De inverse Laplace-transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
2.6 De Laplace-transformatie bij de analyse van continue systemen . . . . . 13<br />
2.7 Transformatietabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
3 Systemen van eerste orde 15<br />
3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
3.2 Voorbeeld van een eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
3.3 De transfertfunctie van het eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . 16<br />
3.4 Tijd- en frequentierespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
3.5 Tijdrespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
3.6 Frequentierespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
3.7 Frequentierespons van het eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
3.8 Het Bode-diagram van het eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
3.9 Het Nyquist-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3.10 Het Black- of Nichols-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
3.11 Het nulpunten-polen-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
3.12 Eerste orde met differentiërende werking . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
I
Inhoudstafel<br />
3.13 De zuivere integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3.14 De zuivere differentiator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
3.15 Het ’omgekeerde’ eerste orde systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
3.16 Bode-diagram van een willekeurig systeem . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
3.17 Samenvatting van het nulpunten-polen-beeld . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
3.18 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
3.19 Bewijs “p = jω” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
4 Het tweede orde systeem 37<br />
4.1 Inleidend voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
4.2 Het standaard tweede orde systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
4.3 De staprespons van het tweede orde systeem . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
4.4 Doorschot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
4.5 Frequentierespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
4.6 Het nulpunten-polen-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
4.7 Afleiding van de staprespons voor het tweede orde systeem . . . . . . . 47<br />
4.8 Doorschot bij een tweede orde systeem met complexe polen . . . . . . . 50<br />
4.9 Afleiding resonantiefrequentie en resonantiepiek . . . . . . . . . . . . . 51<br />
4.10 Voorbeeld: de RLC-keten als 2e orde systeem . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
5 Systemen van hogere orde en systemen met dode tijd 55<br />
5.1 Hogere orde systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
5.2 Tijddomeinspecificaties voor hogere orde . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
5.3 Frequentierespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
5.4 Systemen met looptijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
5.5 Frequentieanalyse van een systeem met looptijd . . . . . . . . . . . . . 58<br />
5.6 Voorbeeld: oefening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
Bibliografie 61<br />
A Ideale systemen 63<br />
A.1 Fysische veranderlijken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
A.2 Elementtype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
A.2.1 Veralgemeende inductantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
A.2.2 Veralgemeende capaciteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
A.2.3 Veralgemeende weerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
A.3 Het vermogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
A.4 Ideale bronnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
A.5 Ideale transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
A.6 Verbindingsvoorwaarden tussen elementen . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
A.7 Equivalente systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
A.8 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
II
Hoofdstuk 1<br />
Inleiding<br />
Deze cursus beschrijft en analyseert het gedrag van elementaire systemen. Zulk een systeem<br />
wordt in het meest eenvoudige geval voorgesteld door een blokje. Een aaneenschakeling van<br />
systemen elk beschreven door blokjes levert dan een blokkendiagram op. De blokken stellen<br />
de fysische processen voor. Elk proces zet bepaalde grootheden om in andere grootheden.<br />
Bijvoorbeeld, een lamp, als proces, zet elektriciteit om in licht. Figuur 1.1 stelt een proces<br />
schematisch voor. De aankomende pijl duidt de ingangsgrootheid of het ingangssignaal<br />
aan. De vertrekkende pijl geeft het uitgangssignaal weer.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 1.1: Voorstelling van een proces als blokje; a) algemeen, b) versterker<br />
<br />
Figuur 1.2 geeft nog twee basiselementen uit een blokkendiagram: het vergelijkingspunt,<br />
om signalen te combineren (optellen) of te vergelijken (aftrekken) en de aftakking, om een<br />
signaal meerdere malen te gebruiken.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 1.2: Bewerkingen op signalen<br />
De hier beschouwde systemen zijn allen causaal (zie later), lineair of lineariseerbaar, en<br />
tijdinvariant 1 . Verder beperken we ons in deze cursus tot analoge systemen met één enkele<br />
(continue) ingang en één enkele (continue) uitgang of SISO-systemen (Eng.:‘Single Input,<br />
Single Output’).<br />
<br />
1 Een systeem is tijdinvariant indien de coëfficiënten van de beschrijvende differentiaalvergelijking constant<br />
zijn.<br />
1
1 Inleiding<br />
De beoogde analyse is meestal tweevoudig. Enerzijds onderzoeken we het gedrag van het<br />
systeem in de tijd, zoals bijvoorbeeld de reactie van het systeem op een plotse stapvormige<br />
wijziging aan de ingang. Anderzijds is ook het frequentiegedrag van een systeem belangrijk.<br />
De frequentieanalyse onderzoekt hoe het systeem reageert op een continue, sinusvormige<br />
ingang.<br />
Vertrekkend vanuit de differentiaalvergelijking, die het systeem beschrijft, zullen we<br />
eerst met behulp van de Laplace-transformatie de transfertfunktie (TF) opstellen. Deze<br />
ligt aan de basis van de analyse van het systeemgedrag in tijd- en in frequentiedomein.<br />
De cursus is als volgt opgedeeld. Hoofdstuk 2 beschrijft de Laplace-transformatie.<br />
Hoofdstukken 3 en 4 behandelen systemen van eerste en tweede orde. Hoofdstuk 5 beschrijft<br />
kort systemen van hogere orde en analyseert het enige niet-lineaire blokje, dat we<br />
voorlopig zullen toelaten in een blokschema, namelijk dit voor een dode tijd.<br />
De hier geziene leerstof beperkt zich tot de essentiële basis voor de (latere) cursus<br />
regeltechniek. Belangrijke aspecten uit de systeemtheorie die voorlopig nog niet aan bod<br />
komen zijn de analyse digitale systemen, de analyse van MIMO-systemen (Eng.:‘Multiple<br />
Inputs, Multiple Outputs’) en de beschrijving van het systeem in de toestandsruimte als<br />
een alternatief voor de TF.<br />
2 Johan Baeten
Hoofdstuk 2<br />
De Laplace-transformatie<br />
2.1 Inleiding<br />
Het gedrag of de evolutie van een systeem (in de tijd) wordt klassiek beschreven met behulp<br />
van differentiaalvergelijkingen welke een verband leggen tussen ingangs- en uitgangssignaal<br />
(of signalen) van het systeem. Bijvoorbeeld, voor een capaciteit C met als ingang de stroom<br />
i(t) en als uitgang de spanning V (t) is de beschrijvende differentiaalvergelijking:<br />
V (t) = V (0) + 1 C<br />
∫ t<br />
i(t)dt.<br />
0<br />
Een meer beknopte beschrijving van een systeem is de transfertfunctie (TF). Deze geeft<br />
het verband tussen ingang en uitgang van het systeem weer als een algebraïsche vergelijking<br />
(dit is zonder afgeleiden of integralen). Om tot de gezochte TF te komen moeten we de<br />
Laplace-transformatie (welk een integraaltransformatie is) toepassen.<br />
Naast het bekomen van de TF laat het gebruik van de Laplace-transformatie ook toe<br />
om differentiaalvergelijkingen op een alternatieve manier op te lossen. Zoals we later zullen<br />
zien, verschaft de Laplace-transformatie bovendien inzicht in de frequentie-eigenschappen<br />
van een systeem.<br />
2.2 Definitie<br />
De Laplace-getransformeerde van een functie f(t) wordt gedefinieerd als:<br />
F (p) = L {f(t)} =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
f(t)e −pt dt (2.1)<br />
op voorwaarde dat deze integraal bestaat (of dat de functie f(t)e −pt convergeert).<br />
De invers Laplace-getransformeerde is:<br />
f(t) = L −1 {F (p)} = 1<br />
2πj<br />
∫<br />
a+j∞<br />
a−j∞<br />
F (p)e pt dp (2.2)<br />
3
2 De Laplace-transformatie<br />
Bovenstaande formules geven in feite de eenzijdige Laplace-transformatie weer. Dit wil<br />
zeggen dat de integraal enkel genomen wordt voor positieve tijden in de veronderstelling<br />
dat de functie f(t) een causale functie is. Causale functies bestaan enkel voor positieve<br />
tijden en zijn nul voor negatieve tijden. (Indien op tijdstip t = 0 een Dirac-impuls optreedt<br />
(zie verder) moet als ondergrens voor de integraal 0 − genomen worden.)<br />
Indien F (p) de Laplace-getransformeerde is van f(t) (en dus f(t) de invers Laplacegetransformeerde<br />
van F (p)) dan vormen deze beide functies een transformatiepaar. We<br />
stellen dit schematisch voor als:<br />
f(t) ↔ F (p)<br />
2.3 De Laplace-getransformeerde van enkele functies<br />
Deze paragraaf past de Laplace-transformatie toe op enkele eenvoudige functies. Er wordt<br />
niet naar gestreefd om een wiskundig zo correct mogelijke afleiding te geven, doch eerder<br />
om op een eenvoudige, soms intuïtieve wijze tot de correcte oplossing te komen.<br />
• De Dirac-impuls: f(t) = δ(t). De Dirac-impuls wordt gedefinieerd als een functie die<br />
0 is, voor alle tijdstippen verschillend van 0, en ∞ voor t = 0:<br />
{<br />
∞ voor t = 0,<br />
δ(t) =<br />
(2.3)<br />
0 voor t ≠ 0.<br />
Het oppervlak van (of onder) deze functie is in principe 0 · ∞ of onbepaald. Per<br />
definitie stellen we echter dat het oppervlak onder de puls 1 is:<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
δ(t)dt =<br />
∫ 0+<br />
0 − δ(t)dt ≡ 1<br />
De Laplace-getransformeerde van de Dirac-impuls wordt dan:<br />
L{δ(t)} =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
δ(t)e −pt dt =<br />
∫ 0+<br />
0 − δ(t)e −p·0 dt +<br />
∫ ∞<br />
0 + 0 · e −pt dt = 1 + 0 (2.4)<br />
Bijgevolg is de Dirac-impuls het tijdsignaal dat overeenstemt met de eenheid in het<br />
Laplace-domein:<br />
δ(t) ↔ 1<br />
• Stap: f(t) = a (met a een constant reëel getal)<br />
∫ ∞<br />
[ e<br />
L{f(t)} = L{a} = ae −pt −pt<br />
dt = a<br />
−p<br />
op voorwaarde dat p > 0.<br />
0<br />
] ∞<br />
0<br />
= a p<br />
4 Johan Baeten
2.3 De Laplace-getransformeerde van enkele functies<br />
• Exponentiële: f(t) = e at (met a een constant reëel getal)<br />
∫ ∞<br />
∫ ∞ [ e<br />
L{e at } = e at e −pt dt = e (a−p)t (a−p)t<br />
dt =<br />
a − p<br />
op voorwaarde dat p > a.<br />
0<br />
0<br />
] ∞<br />
0<br />
= 1<br />
p − a<br />
• Talud of ‘ramp’: f(t) = t<br />
L{t} =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
te −pt dt =<br />
∫ ∞<br />
op voorwaarde dat p > 0.<br />
0<br />
( ) e<br />
−pt<br />
td =<br />
−p<br />
[<br />
− t p e−pt ] ∞<br />
0<br />
+ 1 p<br />
∫ ∞<br />
0<br />
e −pt dt = 0+ 1 p<br />
[ e<br />
−pt<br />
−p<br />
] ∞<br />
0<br />
= 1 p 2<br />
• f(t) = t n (bv. met n = 2 parabolisch of kwadratisch)<br />
L{t n } = n!<br />
p n<br />
∫∞<br />
0<br />
e −pt dt = n!<br />
p n+1<br />
op voorwaarde dat p > 0 (zonder bewijs).<br />
• Cosinus: f(t) = cos at<br />
L{cos at} =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
cos at e −pt dt =<br />
[ cos at e<br />
−pt<br />
=<br />
−p<br />
= 1 p − a p<br />
∫ ∞<br />
0<br />
] ∞<br />
0<br />
−<br />
∫ ∞<br />
0<br />
∫ ∞<br />
0<br />
( ) e<br />
−pt<br />
cos at d<br />
−p<br />
(2.5)<br />
(−a sin at) e−pt<br />
dt (2.6)<br />
−p<br />
sin at e −pt dt. (2.7)<br />
De overgang van vergelijking 2.5 naar vergelijking 2.6 stemt overeen met vergelijking<br />
2.13. Het tweede gedeelte van vergelijking 2.7 lossen we nu op dezelfde wijze<br />
op:<br />
∫ ∞<br />
0<br />
sin at e −pt dt =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
( ) e<br />
−pt<br />
sin at d<br />
−p<br />
[ sin at e<br />
−pt<br />
=<br />
−p<br />
= a p<br />
∫ ∞<br />
0<br />
] ∞<br />
0<br />
−<br />
∫ ∞<br />
0<br />
(a cos at) e−pt<br />
−p dt<br />
cos at e −pt dt = a L{cos at} (2.8)<br />
p<br />
Johan Baeten 5
2 De Laplace-transformatie<br />
De overblijvende integraal in vergelijking 2.8 is per definitie de Laplacegetransformeerde<br />
van cos at. Substitutie van vergelijking 2.8 in 2.7 levert:<br />
of<br />
L{cos at} = 1 p − a2<br />
L{cos at}<br />
p2 L{cos at} =<br />
p<br />
p 2 + a 2 . △ (2.9)<br />
• De Laplace-getransformeerde van een sinus, f(t) = sin at, kan op analoge wijze als<br />
die van de cosinus afgeleid worden. L{sin at} volgt echter rechtstreeks uit vergelijkingen<br />
2.8 en 2.9:<br />
L{sin at} =<br />
∫ ∞<br />
2.4 Eigenschappen<br />
2.4.1 Lineariteit<br />
0<br />
sin at e −pt dt = a a<br />
L{cos at} =<br />
p<br />
p 2 + a 2 . (2.10)<br />
De Laplace-transformatie is lineair omdat de som en de vermenigvuldiging lineair zijn of:<br />
L {a.f (t) + b.g (t)} = a.L {f (t)} + b.L {g (t)} = aF (p) + bG(p) (2.11)<br />
met a en b willekeurige constanten.<br />
Bijvoorbeeld:<br />
L{cosh at} = L{ eat + e −at<br />
} = 1 2 2 L{eat } + 1 2 L{e−at } = 1 2<br />
[ 1<br />
p − a + 1 ]<br />
=<br />
p + a<br />
p<br />
p 2 − a 2<br />
op voorwaarde dat p > |a|. Verifieer zelf op analoge wijze dat L{sinh at} = a/(p 2 − a 2 )<br />
wetende dat sinh at = (e at − e −at )/2.<br />
2.4.2 Differentiatietheorema<br />
De Laplace-getransformeerde van de afgeleide functie is gelijk aan de Laplacegetransformeerde<br />
van die functie vermenigvuldigd met p minus de beginvoorwaarde.<br />
Indien f(t) ↔ F (p) dan df(t)<br />
dt<br />
↔ pF (p) − f(o). (2.12)<br />
Kortweg zeggen we: “Afleiden komt overeen met een vermenigvuldiging met p”. Het bewijs<br />
voor deze zeer belangrijke eigenschap maakt gebruik van volgende vergelijking:<br />
∫ b<br />
f ′ gdt = fg| b a −<br />
∫ b<br />
fg ′ dt. (2.13)<br />
a<br />
a<br />
6 Johan Baeten
2.4 Eigenschappen<br />
De functie g is nu e −pt of<br />
L{f ′ (t)} =<br />
∫ ∞<br />
f ′ (t)e −pt dt = f(t)e −pt | ∞ 0<br />
−<br />
∫ ∞<br />
f(t)e −pt (−p)dt<br />
0<br />
0<br />
∫ ∞<br />
= f(∞)e −p∞ − f(0) + p f(t)e −pt dt.<br />
De Laplace-getransformeerde L{f ′ (t)} bestaat op voorwaarde dat f(t) van exponentiële<br />
orde is of met andere woorden dat f(∞)e −p∞ = 0 en is<br />
0<br />
L{f ′ (t)} = pL{f(t)} − f(0).<br />
△<br />
Voor een tweede afgeleide vinden we door herhaaldelijk toepassen van eigenschap 2.12<br />
L{f ′′ (t)} = pL{f ′ (t)} − f ′ (0)<br />
= p[pF (p) − f(0)] − f ′ (0)<br />
= p 2 F (p) − pf(0) − f ′ (0).<br />
Voor een hogere orde afgeleide wordt dit<br />
d n f(t)<br />
dt n<br />
↔ p n F (p) − p n−1 n−2 df(0)<br />
f(o) − p − · · · − dn−1 f(0)<br />
.<br />
dt<br />
dt n−1<br />
Bijvoorbeeld: om de Laplace-getransformeerde van een sinus te berekenen in de veronderstelling<br />
dat we deze voor een cosinus reeds kennen, kunnen we het afleidingstheorema<br />
op de volgende wijze gebruiken<br />
d cos at<br />
dt<br />
= −a sin at of sin at = − 1 d cos at<br />
a dt<br />
Toepassing van de Laplace-transformatie op linker- en rechterlid geeft<br />
L{sin at} = − 1 { } d cos at<br />
a L = − 1 (<br />
)<br />
p<br />
p ·<br />
dt a p 2 + a − 1 a<br />
=<br />
2 p 2 + a . 2<br />
Dit stemt natuurlijk overeen met vergelijking 2.10.<br />
2.4.3 Integratietheorema<br />
De Laplace-getransformeerde van de geïntegreerde functie is gelijk aan de Laplacegetransformeerde<br />
van die functie gedeeld door p of<br />
∫<br />
Indien f(t) ↔ F (p) dan f(t)dt ↔ F (p)<br />
p . (2.14)<br />
Johan Baeten 7
2 De Laplace-transformatie<br />
Kortweg zeggen we: “Integreren komt overeen met een deling door p”. Het bewijs voor<br />
deze eigenschap maakt gebruik van het differentiatietheorema (eigenschap 2.12).<br />
Stel g(t) =<br />
Verder geldt<br />
dus<br />
∫ t<br />
0<br />
f(t)dt dan is g(t) continu en is f(t) = dg(t) .<br />
dt<br />
{ } dg(t)<br />
F (p) = L{f(t)} = L = pG(p) − g(0) met g(0) =<br />
dt<br />
{∫<br />
L<br />
}<br />
f(t)dt = L{g(t)} = G(p) = F (p)<br />
p . △<br />
2.4.4 Eindwaardetheorema<br />
∫ 0<br />
0<br />
f(0)dt = 0<br />
De eindwaarde van de tijdfunctie f(t) wordt verkregen als de limiet voor p gaande naar<br />
nul van de Laplace-getransformeerde van f(t), vermenigvuldigd met p.<br />
Bewijs:<br />
Indien f(t) ↔ F (p) dan lim<br />
t→∞<br />
f(t) = lim<br />
p→0<br />
pF (p).<br />
lim<br />
p→0<br />
pF (p) = lim<br />
p→0<br />
⎛<br />
= lim ⎝<br />
p→0<br />
=<br />
∫ ∞<br />
0<br />
(pF (p) − f(0) + f(0))<br />
⎞<br />
∫ ∞<br />
0<br />
f ′ (t)e −pt dt + f(0) ⎠<br />
f ′ (t)dt + f(0) = f(∞) − f(0) + f(0)<br />
= f(∞). △<br />
2.4.5 Beginwaardetheorema<br />
Indien f(t) ↔ F (p) dan lim<br />
p→∞<br />
pF (p) = f(0).<br />
2.4.6 Schaalfactortheorema<br />
Het schaalfactortheorema is vooral nuttig wanneer de tijdbasis moet omgerekend worden<br />
naar een andere tijdeenheid.<br />
Indien f(t) ↔ F (p) dan f(at) ↔ 1 ( p<br />
)<br />
a F .<br />
a<br />
Zonder bewijs.<br />
8 Johan Baeten
2.4 Eigenschappen<br />
2.4.7 Eerste verschuivingstheorema<br />
Men noemt dit theorema ook het theorema van de complexe translatie omdat het betrekking<br />
heeft op een toename van p, waar p (zoals we later zullen zien) een ‘complex getal’ is.<br />
Indien<br />
f(t) ↔ F (p) dan e at f(t) ↔ F (p − a).<br />
Verifieer dit aan de hand van de definitie van de Laplace-transformatie.<br />
2.4.8 Tweede verschuivingstheorema (reële translatie)<br />
Let er op dat de tijdfuncties causaal zijn en dit na verschuiving moeten blijven.<br />
Indien f(t) ↔ F (p) dan f(t − a) ↔ e −ap F (p). (2.15)<br />
Zonder bewijs.<br />
2.4.9 Vermenigvuldiging met t (complexe differentiatie)<br />
dF (p)<br />
Indien f(t) ↔ F (p) dan tf(t) ↔ −<br />
dp<br />
of door herhaaldelijk toepassen:<br />
Indien f(t) ↔ F (p) dan t n f(t) ↔ (−1) n d n F (p)<br />
dp n .<br />
Zonder bewijs.<br />
2.4.10 Deling door t (complexe integratie)<br />
Indien f(t) ↔ F (p) dan f(t)<br />
t<br />
∫ ∞<br />
↔ F (u)du.<br />
p<br />
Zonder bewijs.<br />
2.4.11 Convolutie<br />
Het symbool ∗ geeft de convolutiebewerking weer.<br />
Indien f(t) ↔ F (p) en g(t) ↔ G(p) dan f(t) ∗ g(t) ↔ F (p) · G(p).<br />
De Laplace-getransformeerde van de convolutie van twee tijdsignalen stemt overeen met de<br />
vermenigvuldiging van de Laplace-getransformeerden van deze signalen. Zonder bewijs.<br />
Johan Baeten 9
2 De Laplace-transformatie<br />
2.5 De inverse Laplace-transformatie<br />
De bewerking L −1 {F (p)} = f(t) wordt de inverse Laplace-transformatie genoemd. De<br />
complexe functie F (p) is voor de hier beschouwde klasse van systemen steeds voor te<br />
stellen als een verhouding van veeltermen in p.<br />
F (p) = T (p)<br />
N(p)<br />
Voor fysisch realiseerbare systemen is de graad van de tellerveelterm T (p) kleiner dan of<br />
maximaal gelijk aan de graad van de noemerveelterm N(p). In deze gevallen kan door splitsing<br />
in partieelbreuken de echte breuk die F (p) voorstelt, herleid worden tot een som van<br />
eenvoudigere breuken waarvan we via de tabel met elementaire Laplace-transformatieparen<br />
(samengevat in paragraaf 2.7) tot de corresponderende tijdfunctie kunnen komen. In feite<br />
maken we hier gebruik van de lineariteitseigenschap van de inverse Laplace-transformatie<br />
L −1 {c 1 F (p) + c 2 G(p)} = c 1 L −1 {F (p)} + c 2 L −1 {G(p)} = c 1 f(t) + c 2 g(t) (2.16)<br />
met c 1 en c 2 willekeurige constanten.<br />
Voor elke enkelvoudige wortel p i van de noemerveelterm (of pool 1 ) van F (p) geeft de<br />
partieelbreuksplitsing een breuk van de vorm<br />
A i<br />
p − p i<br />
met A i = lim<br />
p→pi<br />
(p − p i )F (p). (2.17)<br />
Voor elke meervoudige pool p i (r-keer) in F (p) bevat de partieelbreuksplitsing volgende<br />
breuken<br />
A 0<br />
(p − p i ) r +<br />
A 1<br />
(p − p i ) r−1 + · · · + A r−1<br />
p − p i<br />
met A j = 1 j! lim<br />
p→p j<br />
d j<br />
dp j [(p − p i) r F (p)] . (2.18)<br />
De coëfficiënt die hoort bij de enkelvoudige pool volgt rechtstreeks uit vergelijking 2.17.<br />
De coëfficiënten die horen bij de meervoudige polen daarentegen kan men beter niet bepalen<br />
met vergelijking 2.18 maar door gelijkstelling van de tellers in linker- en rechterlid nadat<br />
de partieelbreuken op gelijke noemer werden gebracht.<br />
Dit geldt ook voor complex toegevoegde polen die zullen leiden tot sinusvormige tijdsignalen<br />
in overeenstemming met de formules 12 tot en met 15 uit de transformatietabel op<br />
pagina 14. Voor elk complex toegevoegd polenpaar a ± jb bevat de partieelbreuksplitsing<br />
volgende term<br />
Bp + C<br />
(p − a) 2 + b 2 . (2.19)<br />
Bij zuiver complex toegevoegde polen is a = 0 en is de bovenstaande breuk eenvoudig de<br />
som van een cosinus en een sinus (respectievelijk met coëfficiënten B en C). Indien a ≠ 0<br />
moet de teller Bp + C nog herschreven worden als (B(p − a) + (C + a/B) en komt de<br />
totale breuk overeen met een gedempte cosinus en een gedempte sinus respectievelijk met<br />
1 De wortels van de noemerveelterm van F (p) zijn per definitie de polen van F (p).<br />
10 Johan Baeten
2.5 De inverse Laplace-transformatie<br />
coëfficiënten B en (C +a/B)/b. Leer deze laatste twee formules echter niet vanbuiten maar<br />
leid ze telkens weer af!<br />
De mogelijkheid tot meervoudige (of samenvallende) complex toegevoegde polen laten<br />
we hier buiten beschouwing.<br />
Voorbeelden:<br />
{<br />
}<br />
• Gevraagd L −1 p − 1<br />
(p + 2)(p + 1)p<br />
p − 1<br />
(p + 2)(p + 1)p ≡ A<br />
(p + 2) + B<br />
(p + 1) + C p<br />
Volgens vergelijking 2.17 zijn<br />
(p + 2)(p − 1)<br />
A = lim<br />
p→−2(p + 2)(p + 1)p<br />
(p + 1)(p − 1)<br />
B = lim<br />
p→−1(p + 2)(p + 1)p<br />
(−2 − 1)<br />
=<br />
(−2 + 1)(−2) = −3 2<br />
(−1 − 1)<br />
=<br />
(−1 + 2)(−1) = 2<br />
(p)(p − 1)<br />
C = lim<br />
p→0 (p + 2)(p + 1)p = (−1)<br />
(2)(1) = −1 2<br />
Dit geeft:<br />
{<br />
}<br />
L −1 p − 1<br />
(p + 2)(p + 1)p<br />
{ −3<br />
= L −1 2(p + 2) + 2<br />
(p + 1) − 1<br />
2p<br />
}<br />
= − 3 2 L−1 { 1<br />
(p + 2)<br />
}<br />
+ 2L −1 { 1<br />
(p + 1)<br />
}<br />
− 1 { } 1<br />
2 L−1 p<br />
= − 3 2 e−2t + 2e −t − 1 2<br />
△<br />
{ } p<br />
• Gevraagd L −1 2 + 1<br />
(p − 2) 3<br />
of<br />
p 2 + 1<br />
(p − 2) ≡ A<br />
3 (p − 2) + B<br />
(p − 2) + C<br />
2 (p − 2) = A(p − 2)2+ B(p − 2) + c<br />
3 (p − 2) 3<br />
p 2 + 1 ≡ Ap 2 + (B − 4A)p + 4A − 2B + C<br />
Dan is<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
A = 1<br />
B − 4A = 0 → B = 4<br />
4A − 2B + C = 1 → C = 5<br />
Johan Baeten 11
2 De Laplace-transformatie<br />
of<br />
{ } { } { } { }<br />
p<br />
L −1 2 + 1<br />
1<br />
= L −1 + 4L −1 1<br />
+ 5L −1 1<br />
(p − 2) 3 (p − 2)<br />
(p − 2) 2 (p − 2) 3<br />
{ }<br />
• Gevraagd L −1 p<br />
p 2 + 4p + 5<br />
= e 2t + 4te 2t + 5 2 t2 e 2t<br />
= 1 2 e2t (5t 2 + 8t + 2)<br />
De wortels van de noemer zijn −2 ± j. Dit geeft voor de partieelbreuksplitsing<br />
p<br />
p 2 + 4p + 5 =<br />
p<br />
(p + 2) 2 + 1 ≡ Ap + B<br />
(p + 2) 2 + 1<br />
Bijgevolg is A = 1 en B = 0. Voor de inverse transformatie moet bovenstaande<br />
breuk echter herschreven worden als een som van de formules 14 en 15 uit de transformatietabel<br />
(zie paragraaf 2.7). Dit geeft:<br />
p<br />
(p + 2) 2 + 1<br />
≡<br />
C(p + 2)<br />
(p + 2) 2 + 1 + D<br />
(p + 2) 2 + 1<br />
Eenvoudige gelijkstelling levert C = 1 en D = −2, of<br />
{ } {<br />
} {<br />
}<br />
L −1 p<br />
= L −1 p + 2<br />
− L −1 2<br />
p 2 + 4p + 5 (p + 2) 2 + 1 (p + 2) 2 + 1<br />
= e −2t cos t − 2e −2t sin t<br />
Later zullen we zien, dat we de som van een sinus en een cosinus (met dezelfde<br />
pulsatie) nog kunnen herschrijven als een sinus met faseverschuiving.<br />
12 Johan Baeten
2.6 De Laplace-transformatie bij de analyse van continue systemen<br />
2.6 De Laplace-transformatie bij de analyse van continue<br />
systemen<br />
De oplossing van elke differentiaalvergelijking van de vorm<br />
met<br />
D y |y(t)| = D x |x(t)|<br />
D y = b n<br />
d n<br />
dt n + · · · + b 0<br />
en D x = a n<br />
d n<br />
dt n + · · · + a 0<br />
kan teruggebracht worden tot eenvoudige algebraïsche bewerkingen via de Laplacetransformatie.<br />
Toepassing van de Laplace-transformatie op beide leden levert:<br />
b n [p n Y (p) − y(0)p n−1 − y ′ (0)p n−2 − · · · − y n−1 (0)]<br />
+b n−1 [p n−1 Y (p) − y(0)p n−2 − y ′ (0)p n−3 − · · · − y n−2 (0)]<br />
+ · · · + b 1 [pY (p) − y(0)] + b 0 Y (p)<br />
= a n [p n X(p) − x(0)p n−1 − x ′ (0)p n−2 − · · · − x n−1 (0)]<br />
+a n−1 [p n−1 X(p) − x(0)p n−1 − x ′ (0)p n−2 − · · · − x n−2 (0)]<br />
+ · · · + a 1 [pX(p) − x(0)] + a 0 X(p).<br />
Dit is een algebraïsche vergelijking die als volgt herschikt kan worden<br />
Y (p) = H(p)X(p) + E(p) met H(p) = a np n + a n−1 p n−1 + · · · + a 0<br />
b n p n + b n−1 p n−1 + · · · + b 0<br />
en E(p) een verhouding van rationele veeltermen in p. De coëfficiënten van de tellerveelterm<br />
zijn functie van y(0), y ′ (0) · · · y n−1 (0), de beginvoorwaarden voor de uitgang (de eerste<br />
n − 1 afgeleiden van de uitgang op tijdstip 0), en de waarden x(0), x ′ (0) · · · x n−1 (0) de<br />
beginvoorwaarden voor de ingang. De noemerveelterm is dezelfde als die van H(p).<br />
De functie H(p) wordt de systeemfunctie of de transfertfunctie van het door de differentiaalvergelijking<br />
beschreven systeem, genoemd.<br />
Johan Baeten 13
2 De Laplace-transformatie<br />
2.7 Transformatietabel<br />
Onderstaande tabel geeft een samenvatting van enkele Laplace-transformatieparen.<br />
tabel geeft voor elk tijdsignaal ook het verloop aan.<br />
De<br />
f(t) (grafisch) f(t) (formule) F(p)<br />
1. δ(t) 1<br />
2.<br />
f(t)<br />
δ(t − nT) e −nTp<br />
3. u(t) 1<br />
1<br />
p<br />
f(t)<br />
4. tu(t) 1<br />
5.<br />
p 2<br />
1<br />
2 t2 u(t) 1<br />
p 3<br />
f(t)<br />
6. t n u(t) n!<br />
p n+1<br />
f(t)<br />
7. e −at u(t) 1<br />
p + a<br />
8.<br />
f(t)<br />
te −at u(t) 1<br />
(p + a) 2<br />
9.<br />
f(t)<br />
f(t)<br />
f(t)<br />
f(t)<br />
nT<br />
tijd<br />
tijd<br />
tijd<br />
tijd<br />
tijd<br />
tijd<br />
1<br />
2 t2 e −at u(t) 1<br />
(p + a) 3<br />
10.<br />
f(t)<br />
t n e −at u(t) n!<br />
(p + a) n+1<br />
f(t)<br />
tijd<br />
tijd<br />
tijd<br />
tijd<br />
11. (1 − e −at )u(t)<br />
tijd<br />
a<br />
p(p + a)<br />
f(t)<br />
12. sin (ωt)u(t) ω<br />
tijd<br />
p 2 + ω 2<br />
f(t)<br />
13. cos (ωt)u(t)<br />
tijd<br />
p<br />
p 2 + ω 2<br />
f(t)<br />
14. e −at sin (ωt)u(t) ω<br />
tijd<br />
(p + a) 2 + ω 2<br />
15.<br />
f(t)<br />
e −at cos (ωt)u(t) p + a<br />
(p + a) 2 + ω 2<br />
tijd<br />
Figuur 2.1: Tabel met Laplace-transformatieparen<br />
14 Johan Baeten
Hoofdstuk 3<br />
Systemen van eerste orde<br />
3.1 Inleiding<br />
Het meest eenvoudige systeem is dit van eerste orde (naast een zuivere versterking of verzwakking<br />
hetgeen in feite een nulde orde systeem is). Na de definitie en een voorbeeld van<br />
een eerste orde systeem, zal dit hoofdstuk de verschillende mogelijke ’voorstellingswijzen’<br />
van systemen aan de hand van het eerste orde model behandelen. We onderscheiden hierin<br />
twee grote groepen, namelijk de tijdrespons en de frequentierespons.<br />
Andere mogelijke voorstellingswijzen zijn het nulpunten-polen-diagram en de transfertfunctie.<br />
Elk van de diagrammen, responscurven of modellen vertalen hetzelfde systeem op<br />
een eigen specifieke wijze qua eigenschappen en interprtatie.<br />
3.2 Voorbeeld van een eerste orde systeem<br />
Deze paragraaf beschrijft bij wijze van voorbeeld de afleiding van een elektrisch eerste orde<br />
systeem. Merk hierbij op dat er evengoed elektronische, thermodynamische, hydraulische,<br />
pneumatische, thermische, (bio)chemische of mechanische eerste orde systemen bestaan.<br />
Uiteindelijk zullen al deze eerste orde systemen (van welke aard ook) beschreven worden<br />
door dezelfde transfertfunctie. Alle eerste orde systemen gedragen zich dan ook op dezelfde<br />
wijze niettegenstaande dat het telkens om verschillende ingangs- en uitgangsgrootheden<br />
gaat.<br />
Laten we eerst de transfertfunctie berekenen van het systeem uit figuur 3.1, namelijk<br />
de RC-kring. Hierbij is V in de ingangsspanning en V uit , de spanning over de condensator,<br />
de uitgangsspanning.<br />
We weten dat we de condensator waarde C mogen vervangen door de veralgemeende<br />
impedantiewaarde van een condensator 1/pC. Nu mogen we de condensator als een gewone<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.1: Voorbeeld 1e orde systeem: RC-kring<br />
15
3 Systemen van eerste orde<br />
weerstand beschouwen. De TF volgt dan uit de volgende regel:<br />
Dus<br />
“Spanningen verhouden zich zoals de weerstanden waarover ze staan.”<br />
TF = V uit(p)<br />
V in (p) =<br />
1/pC<br />
R + 1/pC = 1<br />
1 + RCp .<br />
De hoogste macht van p in de noemer is 1. Per definitie (zie later) is dit dan een eerste orde<br />
systeem. In de voorgaande berekeningen werd onmiddellijk de eenvoudigste weg gevolgd.<br />
Men kan de transfertfunctie ook op een andere manier berekenen. Veronderstel dat er een<br />
stroom i door de kring vloeit. Dan geldt<br />
V in (t) = Ri(t) + V uit (t) met V uit (t) = 1 C<br />
Substitutie geeft<br />
V in (t) = RC dV uit(t)<br />
dt<br />
+ V uit (t).<br />
∫<br />
i(t)dt of i(t) = C dV uit(t)<br />
dt<br />
Toepassing van de Laplace-transformatie op deze differentiaalvergelijking levert dezelfde<br />
transfertfunctie op als voorheen.<br />
V in (p) = (RCp + 1) V uit (p) → V uit(p)<br />
V in (p) = 1<br />
1 + RCp .<br />
Bij de Laplace-transformatie werd verondersteld dat de beginspanning over de condensator<br />
V uit (0) gelijk is aan nul of met andere woorden dat de beginspanning over de condensator als<br />
referentiespanning moet beschouwd worden. De spanning V uit , voor tijdstippen verschillend<br />
van 0, is bijgevolg de afwijking van de werkelijke spanning over de condensator t.o.v. de<br />
spanning op ogenblik t = 0.<br />
3.3 De transfertfunctie van het eerste orde systeem<br />
De orde van een systeem is gelijk aan de hoogste macht van p in de noemer van de transfertfunctie.<br />
Dit wil zeggen dat bij een eerste orde systeem de hoogste macht van p in de<br />
noemer gelijk is aan 1. De hoogste macht van p komt in feite overeen met de graad van<br />
de differentiaalvergelijking die het systeem beschrijft. De orde van een systeem is dus ook<br />
gelijk aan de hoogste afgeleide in de differentiaalvergelijking (zie voorgaand voorbeeld).<br />
Bij fysische systemen weten we verder dat de graad van de teller van de transfertfunctie<br />
nooit groter kan zijn dan die van noemer. Er zijn dan nog vier mogelijk transfertfuncties<br />
die voldoen aan de eisen van een eerste orde systeem.<br />
1<br />
τ i p<br />
,<br />
1<br />
1 + τp<br />
,<br />
τ d p<br />
1 + τp<br />
,<br />
1 + τ v p<br />
1 + τp<br />
Bij elk van deze transfertfuncties kan nog een versterking K staan.<br />
16 Johan Baeten
3.4 Tijd- en frequentierespons<br />
Indien men echter spreekt van ’het eerste orde systeem’, dan gaat het steeds om de<br />
volgende TF:<br />
T F 1e orde =<br />
K<br />
1 + τp<br />
In deze transfertfunctie staan twee parameters.<br />
• K is de statische versterking.<br />
(3.1)<br />
• τ is de tijdconstante.<br />
De tijdconstante heeft als dimensie seconden op voorwaarde dat de in- en uitgangsgrootheden<br />
dezelfde dimensie hebben. De statische versterkingsfactor is dan dimensieloos.<br />
Verder onderscheiden we de integrator- en differentiatortransfertfunctie.<br />
T F int. = 1<br />
τ i p<br />
en<br />
T F diff. = τ d p<br />
met τ i de integratietijdconstante en τ d de differentiatietijdconstante. De differentiator zal<br />
in de praktijk nooit alleen voorkomen maar steeds in combinatie met andere systemen.<br />
(De differentiator is in feite ook geen eerste orde systeem).<br />
De volgende paragrafen beschrijven om te beginnen het gedrag van het eerste orde systeem<br />
in tijd- en frequentiedomein. Daarna komen dan o.a. de integrator en de differentiator<br />
op dezelfde wijze kort aan bod.<br />
3.4 Tijd- en frequentierespons<br />
De reactie van een systeem op een wel bepaald ingangssignaal bepaalt per definitie de<br />
eigenschappen van dit systeem. Bij de analyse van een systeem zal men een gekend signaal<br />
aanleggen en het hieruit voortvloeiend uitgangssignaal of de respons bestuderen.<br />
Hierbij onderscheidt men twee soorten van ingangssignalen: willekeurige (nietperiodische)<br />
signalen of periodische signalen. De eerste groep worden tijdsignalen of tijdfuncties<br />
genoemd, de tweede groep frequentiesignalen. De meest gebruikte tijdfuncties zijn<br />
de stap-, de impuls- en de ‘ramp’- of taludfunctie. Het meest gebruikte frequentiesignaal<br />
is een sinus. De keuze van het aangelegde signaal hangt samen met de beoogde analyse.<br />
Dit kan een tijdrespons of een frequentierespons zijn. Figuur 3.2 geeft een overzicht.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.2: Overzicht analysemogelijkheden<br />
Johan Baeten 17
3 Systemen van eerste orde<br />
3.5 Tijdrespons<br />
Bij de gebruikte tijdfuncties als ingangssignalen is de stapfunctie de belangrijkste. Volledigheidshalve<br />
komen echter ook de impulsrespons en de taludrespons aan bod. Figuur 3.3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.3: Tijdfuncties met overeenkomstige Laplace-formules<br />
geeft de stap-, ramp- en impulsfunctie grafisch weer samen met de Laplace-formules. Merk<br />
op dat een stap de integraal is van een impuls en dat een talud de integraal is van een stap,<br />
waarbij integreren overeenstemt met een vermenigvuldiging met 1/p. De constante krijgt<br />
bij de integratiestap telkens een andere naam.<br />
Uit de definitie van de transfertfunctie volgt dat de uitgang gelijk is aan de ingang<br />
maal de transfertfunctie (met alle veranderlijken of functies i.f.v. p). De staprespons S(p)<br />
is bijgevolg gelijk aan de TF maal de ingang (-stap) E/p of<br />
S(p) =<br />
K<br />
1 + τp · E<br />
p<br />
Dit geeft onmiddellijk het uitgangssignaal i.f.v. p. Het uitgangssignaal i.f.v. de tijd is<br />
de invers Laplace-getransformeerde van bovenstaande formule. Dit gebeurt via partieelbreuksplitsing<br />
en de Laplace-transformatietabel. Partieelbreuksplitsing geeft:<br />
S(p) =<br />
K<br />
1 + τp · E<br />
p =<br />
A<br />
1<br />
+ p + B p<br />
τ<br />
De nog ongekende waarden A en B, volgen uit de gelijkstelling 1 van rechter en linker lid.<br />
K<br />
1 + τp · E<br />
p<br />
=<br />
τAp + (1 + τp) B<br />
(1 + τp) p<br />
→ KE = B + τ (A + B) p<br />
of B = KE en A = −KE. Met behulp van de transformatietabel op pagina 14 wordt de<br />
staprespons<br />
)<br />
S(t) = Ae − t τ + B = KE<br />
(1 − e − t τ<br />
1 Gebruik ook eens vergelijking 2.17 om A en B te bepalen.<br />
18 Johan Baeten
3.5 Tijdrespons<br />
Deze functie is nul voor t = 0, gelijk aan KE voor t = ∞ en bereikt na een tijd τ 63%<br />
van haar uiteindelijke waarde (=KE). De afgeleide van deze functie op het tijdstip t = 0,<br />
levert de hoek α waarmee de curve vertrekt en is<br />
α =bgtg ( KE<br />
τ<br />
)<br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.4: Staprespons van een eerste orde systeem<br />
Figuur 3.4 geeft de staprespons weer. Uit de oplossing volgt dat de uitgang zijn uiteindelijke<br />
waarde zo goed als bereikt heeft na 5 maal de tijdconstante. De tijdconstante is<br />
dus een indicatie voor de snelheid van het systeem. Systemen met een grote tijdconstante<br />
zijn langzame systemen, systemen met een kleine tijdconstante zijn snelle systemen.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.5: Impuls- en ramprespons van het eerste orde systeem<br />
<br />
<br />
Nu kunnen we de statische versterkingsfactor en de tijdconstante definiëren:<br />
• De tijdconstante is de tijd waarbij de uitgang (van een eerste orde systeem) als<br />
respons op een stap, 63% van de uiteindelijke waarde bereikt of ook de tijd waarbij<br />
de uitgang de uiteindelijke waarde bereikt indien ze met dezelfde snelheid zou blijven<br />
toenemen als op het tijdstip nul.<br />
• De statische versterkingsfactor is de factor waarmee het ingangssignaal versterkt<br />
wordt indien dit niet meer verandert en indien men lang genoeg wacht of m.a.w. de<br />
statische versterkingsfactor is de factor waarmee ’statische’ signalen (frequentie nul)<br />
versterkt worden door het systeem.<br />
Johan Baeten 19
3 Systemen van eerste orde<br />
De impuls- en ramprespons kunnen op analoge wijze behandeld worden. Figuur 3.5<br />
geeft de oplossing.<br />
3.6 Frequentierespons<br />
De frequentierespons van een systeem is de blijvende reactie van het systeem op een sinusoïdaal<br />
signaal, dat meestal bestaat uit één enkele sinus met een bepaalde frequentie f<br />
of pulsatie ω en met een bepaalde amplitude A. Zie volgende figuur.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.6: Frequentieanalyse<br />
<br />
Het uiteindelijk uitgangssignaal zal terug een sinus zijn maar met een andere amplitude<br />
en met een faseverschuiving t.o.v. het ingangssignaal. In het voorbeeld getekend in<br />
figuur 3.6, is de faseverschuiving ϕ negatief.<br />
Een negatieve faseverschuiving geeft aan dat de uitgangssinus later door nul gaat dan<br />
de ingangssinus of dat de uitgang naijlt op de ingang. Bij een positieve faseverschuiving<br />
ijlt de uitgang voor op de ingang.<br />
De frequentieanalyse gaat na hoe groot de versterking of verzwakking en hoe groot de<br />
faseverschuiving veroorzaakt door het systeem, zijn en dit voor alle mogelijk pulsatiewaarden,<br />
dus voor ω gaande van 0 tot ∞.<br />
De onmiddellijke reactie op een plots aangelegde sinus bestaat in feite uit twee delen,<br />
het overgangsverschijnsel en de regimetoestand. Het overgangsverschijnsel sterft vlug<br />
uit, zodat de frequentierespons enkel de regimetoestand beschrijft. Figuur 3.7 geeft een<br />
schematisch voorbeeld.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.7: Overgangsverschijnsel en regimetoestand<br />
Het resultaat van de frequentieanalyse kan op verschillende wijzen worden voorgesteld.<br />
De twee belangrijkste voorstellingswijzen zijn het Bode-diagram en het Nyquist-diagram.<br />
20 Johan Baeten
3.7 Frequentierespons van het eerste orde systeem<br />
Indien de transfertfunctie van het systeem gekend is, kan men de versterking en de faseverschuiving<br />
gemakkelijk vinden door p gelijk te stellen aan jω en in te vullen in de<br />
transfertfunctie. Het bewijs hiervoor volgt uit de invers Laplace-transformatie van de uitgang<br />
bij een sinus als ingangsignaal. Voor het eerste orde systeem worden de afleidingen<br />
en berekeningen voor dit bewijs gegeven op het einde van dit hoofdstuk (paragraaf 3.19).<br />
3.7 Frequentierespons van het eerste orde systeem<br />
De karakteristieken van de frequentierespons volgen uit de gelijkstelling van p met jω in<br />
de TF:<br />
T F 1eorde = G(p) =<br />
K<br />
1 + pτ → G(jω) = K<br />
1 + jωτ<br />
(3.2)<br />
G(jω) is een complex getal dat verandert i.f.v. de pulsatie ω. De absolute waarde van<br />
G(jω), voorgesteld door M, is gelijk aan de versterking. De hoek van G(jω) is gelijk aan<br />
de faseverschuiving ϕ.<br />
en<br />
K<br />
G(jω) =<br />
1 + jωτ = Mejϕ met<br />
M = |G(jω)| =<br />
K<br />
∣1 + jωτ ∣ = K<br />
|1 + jωτ| = K<br />
√ (3.3)<br />
1 + ω2 τ 2<br />
ϕ = ∠G(jω) = ∠Teller − ∠Noemer = 0 − bgtg(ωτ) (3.4)<br />
M en ϕ zijn functies van ω. Deze waarden worden meestal in figuren, zoals het Bode-, het<br />
Nyquist- en het Black-diagram, weergegeven.<br />
3.8 Het Bode-diagram van het eerste orde systeem<br />
In het Bode-diagram wordt enerzijds de versterking A in dB en anderzijds de faseverschuiving<br />
ϕ in graden i.f.v. de pulsatie ω uitgezet, waarbij de pulsatie-as een logaritmische<br />
schaalverdeling heeft.<br />
De decibel-waarde van een versterking is gelijk aan het 20 maal het logaritme van die<br />
waarde:<br />
A = 20 log M = 20 log |G(jω)|<br />
Bij een logaritmische schaalverdeling stemt een vermenigvuldiging met een factor (bijvoorbeeld<br />
·10) overeen met een vaste afstand op de logaritmische schaal. Figuur 3.8 geeft<br />
de opbouw van het Bode-diagram weer. Om het amplitudegedeelte van het Bode-diagram<br />
te tekenen gaan we de functie die A weergeeft i.f.v. ω, evalueren voor zeer kleine ω-waarden,<br />
voor ω = 1/τ en voor zeer grote ω-waarden.<br />
( )<br />
K<br />
A(ω) = 20 log M(ω) = 20 log √ = 20 log K − 20 log √ 1 + ω 2 τ 2<br />
1 + ω2 τ 2<br />
Johan Baeten 21
3 Systemen van eerste orde<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.8: Het Bode-diagram<br />
• Voor zeer kleine ω-waarden geldt<br />
ωτ > 1 → A = 20 log K − 20 log (ωτ) .<br />
Dit is een rechte die voor de waarde ω = 1/τ gelijk is aan 20 log K. Indien we ook nog<br />
de helling kennen van deze rechte dan kunnen we deze tekenen. De helling vinden we<br />
met de volgende redenering: Indien ω met een factor 10 vergroot, dan gaat de rechte<br />
door het punt met grootte A 2 :<br />
ω 2 = 10ω 1 → A 2 = 20 log K − 20 log (ω 2 τ)<br />
A 2 = 20 log K − 20 log (10ω 1 τ)<br />
A 2 = 20 log K − 20 log (ω 1 τ) − 20 log (10)<br />
A 2 = A 1 − 20 log (10) = A 1 − 20dB<br />
Dit komt erop neer dat de rechte een helling heeft van -20 dB per decade waarbij een<br />
decade de afstand is die op de logaritmische schaal overeenstemt met een factor 10.<br />
In feite werden nu drie punten exact berekend:<br />
• de asymptotische waarde voor ω gaande naar 0,<br />
• de waarde bij de breekpulsatie ω = 1/τ en<br />
• de asymptotische waarde voor ω gaande naar ∞.<br />
22 Johan Baeten
3.8 Het Bode-diagram van het eerste orde systeem<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.9: Bode-diagram van het eerste orde systeem<br />
Het asymptotisch amplitudegedeelte van het Bode-diagram bestaat uit twee asymptoten.<br />
Het werkelijke verloop is rakend aan de asymptoten en heeft in het breekpunt (bij de<br />
breekpulsatie) een afwijking van -3 dB. Figuur 3.9 geeft het volledige Bode-diagram. Het<br />
faseverloop volgt rechtstreeks uit de formule die de faseverschuiving beschrijft i.f.v. ω. De<br />
faseverschuiving is nul bij ω = 0, is −45 ◦ bij ω = 1/τ en wordt −90 ◦ voor ω gaande naar<br />
∞. Merk op dat ω = ∞ en ω = 0 op een logaritmische schaal de limietwaarden vormen.<br />
Voorbeeld: Teken het Bode-diagram van het volgende eerste orde systeem:<br />
G(p) = 10<br />
2p + 1<br />
Gegeven: τ = 2 sec en K = 10.<br />
Bepaal eerst de breekpulsatie ω k = 1/τ = 1/2 rad/sec = 0,5 rad/sec (Let op de eenheid!)<br />
• Teken een horizontale die de verticale as snijdt in 20log(K) = 20 dB;<br />
• Teken een rechte met helling -20dB/dekade die de vorige horizontale rechte snijdt bij<br />
de breekpulsatie;<br />
• Teken het punt dat 3 dB lager ligt dan het snijpunt van de twee rechten;<br />
• Teken tenslotte een vloeiende lijn door dit punt en rakend aan de twee rechten.<br />
• Teken nu het faseverloop onder het amplitudeverloop. Duid hiervoor het punt aan<br />
waarbij de fase −45 ◦ wordt, en teken hierdoor een vloeiende curve beginnend bij nul<br />
en eindigend bij −90 ◦ .<br />
Johan Baeten 23
3 Systemen van eerste orde<br />
Een goede benadering voor het faseverloop is een rechte die vertrekt in 0 ◦ bij 1/10 van de<br />
breekpulsatie en die aankomt in -90 ◦ bij 10 keer de breekpulsatie. Voor het eerste punt is<br />
de fase omzeggens 0 ◦ , na het tweede punt is de fase bijna 90 ◦ . Vergelijk nu het resultaat<br />
met figuur 3.10.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.10: Bode-diagram van eerste orde systeem met K = 10 en τ = 2 sec<br />
Interpretatie: In het gebied ω = 0 tot ω = 1/τ worden de sinusvormige signalen<br />
vrijwel onverzwakt (met dezelfde versterking) doorgelaten. Dit frequentiegebied noemen<br />
we de bandbreedte van het systeem. Daar enkel de lage frequenties onverzwakt worden<br />
doorgelaten, noemt men dit ook een laagdoorlaatfilter.<br />
3.9 Het Nyquist-diagram<br />
Het Nyquist-diagram vormt naast het Bode-diagram een tweede mogelijke manier om het<br />
frequentiegedrag van een systeem voor te stellen. In het Nyquist-diagram wordt het reëel<br />
en het imaginair deel van de transfertfunctie uitgezet en dit voor alle pulsaties gaande van<br />
nul tot oneindig. Bij elk uitgezet punt wordt vermeld bij welke frequentie dit punt behoort.<br />
De Nyquist-curve moet dus gegradueerd worden naar de pulsatie ω.<br />
Een schets van het Nyquist-diagram is meestal voldoende. Deze schets wordt afgeleid<br />
uit het Bode-diagram, zodat er in feite geen berekeningen nodig zijn. Volledigheidshalve<br />
worden de formules toch gegeven.<br />
G(jω) =<br />
Re [G (jω)] =<br />
K<br />
1 + jτω = K<br />
(1 − jτω) (3.5)<br />
1 + τ 2 ω2 K<br />
en Im [G (jω)] = − Kτω<br />
(3.6)<br />
1 + τ 2 ω 2 1 + τ 2 ω 2<br />
24 Johan Baeten
3.9 Het Nyquist-diagram<br />
Men kan het Nyquist-diagram ook opbouwen door voor elke pulsatie ω een vector met<br />
lengte M uit te zetten onder een hoek ϕ.<br />
Figuur 3.11 geeft de algemeenheden van het Nyquist-diagram weer. De positieve zin<br />
voor de hoek ϕ is tegenuurwijzerszin. De getekende hoek is bijgevolg negatief.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.11: Het Nyquist-diagram<br />
Om het Nyquist-diagram van het eerste orde systeem te tekenen bepalen we eerst enkele<br />
punten<br />
ω = 0 → Re = K Im = 0 M = K ϕ = 0 ◦<br />
ω = 1/τ → Re = K/2 Im = −K/2 M = K √ 2/2 ϕ = −45 ◦<br />
ω = ∞ → Re = 0 Im = 0 M = 0 ϕ = −90 ◦<br />
Men kan wiskundig afleiden dat het Nyquist-diagram voor het eerste orde systeem in<br />
feite een halve cirkel is. Zie figuur 3.12.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
K<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.12: Nyquiqst-diagram van het eerste orde systeem<br />
De pijl geeft de toenemende waarde van ω aan. De hoek is negatief in uurwijzerszin.<br />
Schets nu bij wijze van oefening het Nyquist-diagram van 10/(1+2p), (zie vorige oefening).<br />
Figuur 3.13 geeft de oplossing.<br />
Johan Baeten 25
3 Systemen van eerste orde<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.13: Het Nyquist-diagram van 10/(1 + 2p)<br />
3.10 Het Black- of Nichols-diagram<br />
In het Black- of Nichols-diagram wordt de versterking A (in dB) uitgezet in functie van<br />
de faseverschuiving ϕ (in graden). Zoals bij het Nyquist-diagram tekent men enkel het<br />
kwadrant waar de TF betrekking op heeft. In dit geval kwadrant 3. Zie figuur 3.14.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.14: Black- of Nichols-diagram van het eerste orde systeem met K = 1<br />
Ook het Black-diagram wordt gegradueerd naar de pulsatie ω. Dit wil zeggen dat we bij<br />
enkele set van punten (versterking, faseverschuiving) de (bijbehorende) pulsatie aangeven.<br />
3.11 Het nulpunten-polen-diagram<br />
De nulpunten van een systeem zijn de nulpunten van de teller van de transfertfunctie. De<br />
polen van een systeem zijn de nulpunten van de noemer van de transfertfunctie.<br />
26 Johan Baeten
3.11 Het nulpunten-polen-diagram<br />
Het nulpunten-polen-diagram geeft de nulpunten en de polen van het systeem weer,<br />
getekend in het complex vlak. Een nulpunt wordt aangeduid met een ‘o’ en een pool met<br />
een ‘x’. Zoals bij de staprespons gezien is, bepalen de polen het transiënt gedrag van het<br />
systeem. Elke (reële) pool a komt overeen met een exponentieel tijdgedrag:<br />
1<br />
→ e at .<br />
p − a<br />
• Indien a positief is dan wordt de exponentiële functie steeds groter. Het ‘transiënt’<br />
gedrag sterft niet uit of het systeem is instabiel.<br />
• Indien a negatief is dan sterft de ‘reactie’ vanzelf uit, zodat het systeem stabiel<br />
is. (Met reactie bedoelen we de uitgang als respons op een willekeurige ingang bijvoorbeeld<br />
ruis). Naarmate a meer negatief is, zal het overgangsverschijnsel vlugger<br />
uitsterven.<br />
• Indien a = 0, dan bevindt het systeem zich op de rand van de stabiliteit. Het<br />
overgangsverschijnsel sterft niet uit en wordt ook niet noodzakelijk oneindig groot.<br />
De ligging van de polen en de nulpunten geeft dus informatie over de vorm van de<br />
transfertfunctie en over het tijdgedrag van het systeem. Figuur 3.15 geeft het nulpuntenpolen-diagram<br />
van het eerste orde systeem.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.15: Nulpunten-polen-diagram van het eerste orde systeem<br />
Merk op dat 1/τ de breekpulsatie is uitgedrukt in rad/sec en dat −1/τ de pool is van<br />
het eerste orde systeem. Figuur 3.16 geeft het verband tussen de ligging van de pool en<br />
het transiënt gedrag.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.16: Verband tussen het nulpunten-polen-diagram en het transiënt gedrag<br />
In de volgende paragrafen worden Bode-, Nyquist- Black- en nulpunten-polendiagrammen<br />
gegeven voor het eerste orde systeem met differentiërende werking, de integrator,<br />
de differentiator en het ‘omgekeerde eerste orde systeem’. De figuren volgen<br />
allemaal uit de transfertfunctie op een analoge wijze als in de voorgaande paragrafen.<br />
Johan Baeten 27
3 Systemen van eerste orde<br />
3.12 Eerste orde met differentiërende werking<br />
Neem als voorbeeld de CR-kring uit figuur 3.17. De transfertfunctie hiervoor is<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.17: Voorbeeld: 1e orde systeem met differentiërende werking: CR-kring<br />
V uit<br />
= RCp<br />
V in RCp + 1 =<br />
τp<br />
τp + 1<br />
met τ = RC [sec] .<br />
De statische versterking K voor deze kring is gelijk aan 1. Figuur 3.18 geeft de eenheidsstaprespons<br />
en de ramprespons . Figuur 3.19 geeft het Bode-, Nyquist- en Black-diagram.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.18: Stap- en ramprespons van een systeem met differentiërende werking<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.19: Frequentiediagrammen voor eerste orde systeem met differentiërende werking<br />
28 Johan Baeten
3.13 De zuivere integrator<br />
3.13 De zuivere integrator<br />
Als voorbeeld nemen we een vloeistofreservoir. Zie figuur 3.20.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.20: Het vloeistofreservoir als voorbeeld van een zuivere integrator<br />
Het instromend water zal een verandering van de hoogte veroorzaken. We schrijven:<br />
Φ in (t) = ρA dh(t)<br />
dt<br />
of<br />
H(p)<br />
φ in (p) = 1<br />
τp<br />
met ρA = τ [sec]<br />
De uitgang van de integrator is het geïntegreerde (of ’continu opgetelde’) ingangssignaal.<br />
De transfertfunctie is<br />
T F integrator = 1<br />
pτ i<br />
. (3.7)<br />
De staprespons van de integrator is een lineair stijgende lijn. De impulsrespons van de<br />
integrator is een stap. Zie figuur 3.21.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.21: Stap- en impulsrespons van de integrator<br />
De frequentierespons vinden we weerom door p te vervangen door jω.<br />
G i (jω) = −j 1<br />
ωτ i<br />
→ M = 1<br />
ωτ i<br />
en ϕ = −90 ◦<br />
→ Re = 0 en Im = − 1<br />
ωτ i<br />
Figuur 3.22 geeft het Bode-, het Nyquist- en het nulpunten-polen diagram van de<br />
integrator.<br />
Johan Baeten 29
3 Systemen van eerste orde<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.22: Frequentierespons van de integrator<br />
3.14 De zuivere differentiator<br />
De uitgang van de differentiator is de afgeleide van het ingangssignaal. De transfertfunctie<br />
is<br />
T F differentiator = pτ d . (3.8)<br />
Een benaderend voorbeeld van een zuivere differentiator is een drukvat. Zie figuur 3.23.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.23: Het drukvat als voorbeeld van een zuivere differentiator<br />
Voor dit systeem geldt<br />
dP (t)<br />
Φ uit (t) = C<br />
dt<br />
→<br />
Φ uit(p)<br />
P (p)<br />
= pC = pτ d .<br />
Dit geeft inderdaad de TF van de differentiator. De staprespons van de differentiator is<br />
een impuls. De impulsrespons van de differentiator is oneindig en heeft geen betekenis.<br />
Figuur 3.24 geeft de staprespons weer.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.24: Staprespons van de differentiator<br />
De frequentierespons vinden we weerom door p te vervangen door jω.<br />
G d (jω) = jωτ d → M = ωτ d en ϕ = 90 ◦<br />
→ Re = 0 en Im = ωτ d<br />
.<br />
Figuur 3.25 geeft het Bode-, het Nyquist- en Black-diagram van de differentiator.<br />
30 Johan Baeten
3.15 Het ’omgekeerde’ eerste orde systeem<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.25: Frequentierespons van de differentiator<br />
3.15 Het ’omgekeerde’ eerste orde systeem<br />
De transfertfunctie is<br />
T F = 1 + τ v p. (3.9)<br />
Dit systeem komt in feite nooit alleen voor. De transfertfunctie moet gezien worden als<br />
een deel van de totale transfertfunctie van het gehele systeem. De staprespons heeft geen<br />
directe betekenis en wordt derhalve niet besproken. De frequentierespons is wel belangrijk.<br />
(We zullen later zien dat dit in feite de TF is van de ideale PD-regelaar).<br />
Gelijkstelling van p met jω geeft:<br />
G(jω) = 1 + jτ v ω → Re =<br />
√<br />
1 Im = τ v ω<br />
M = 1 + (τ v ω) 2 ϕ = bgtg (τω) .<br />
Figuur 3.26 geeft het Bode- en Nyquist-diagram overeenkomstig deze transfertfunctie.<br />
Hierbij is vooral het Bode-diagram belangrijk. Voor zeer kleine pulsaties is de versterking<br />
gelijk aan 1 of dus 0 dB, voor zeer grote pulsaties is de versterking gelijk aan τω en neemt<br />
ze dus evenredig toe met ω.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.26: Frequentierespons van het ’omgekeerde’ eerste orde systeem<br />
Om het Bode-diagram van het omgekeerde eerste orde systeem te bekomen, moet men<br />
het Bode-diagram van het eerste orde systeem spiegelen rond de pulsatie-as.<br />
Johan Baeten 31
3 Systemen van eerste orde<br />
Mnemotechnisch trucje: Als p in de teller staat van de TF, zal het amplitude- en faseverloop<br />
naar ‘boven’ toe verlopen, als p in de noemer van de TF staat, zal het amplitudeen<br />
faseverloop naar ‘onder’ toe verlopen.<br />
3.16 Bode-diagram van een willekeurig systeem<br />
Met de kennis over de Bode-diagrammen van de afzonderlijke stukken, waaruit de TF<br />
bestaat, kan gemakkelijk het volledige Bode-diagram opgesteld worden. Neem bijvoorbeeld<br />
een TF die bestaat uit drie stukken<br />
G(p) =<br />
A<br />
B.C<br />
Het Bode-diagram geeft de fase en de versterking:<br />
20 log G(jω) = 20 log( ∣ ∣<br />
A ∣) = 20 log |A| + 20 log( ∣ ∣<br />
1 ∣) + 20 log( ∣ ∣<br />
1 ∣)<br />
B.C<br />
B<br />
C<br />
∠G(jω) = ∠( A ) = ∠A + ∠( 1 ) + ∠( 1 )<br />
B.C B C<br />
Het totale Bode-diagram bestaat dus uit de som van de afzonderlijke Bode-diagrammen.<br />
Teken daarom eerst deze afzonderlijke stukken en tel ze vervolgens op om de volledige<br />
frequentierespons te bekomen.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.27: Oefening<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
• Voorbeeld Teken het Bode-diagram van G(p) =<br />
(1 + 5p)<br />
. Teken eerst de afzonder-<br />
p(1 + 10p)<br />
lijke stukken overeenkomstig<br />
(1 + 5p) ,<br />
1<br />
(1 + 10p)<br />
en<br />
1 p<br />
en tel deze vervolgens op. Figuur 3.27 geeft enkel het asymptotisch verloop. Het<br />
werkelijk verloop is natuurlijk vloeiender en wordt weergegeven in figuur 3.28.<br />
32 Johan Baeten
3.17 Samenvatting van het nulpunten-polen-beeld<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.28: Voorbeeld Bode-diagram van (1 + 5p)/(1 + 10p)p<br />
3.17 Samenvatting van het nulpunten-polen-beeld<br />
Deze paragraaf geeft voor de verschillende besproken systemen het nulpunten-polen-beeld.<br />
Zoals eerder vermeld, is een nulpunt de wortel van de teller van de TF, en een pool de<br />
wortel van de noemer van de TF. Nulpunten duiden we schematisch aan met een bolletje<br />
(‘o’), polen met een kruisje (‘x’). Zie figuur 3.29.<br />
Het eerste orde systeem met integrerende werking benadert de zuivere integrator des<br />
te meer naarmate −1/τ naar 0 gaat of naarmate τ toeneemt. Het eerste orde systeem<br />
met differentiërende werking benadert de zuivere differentiator des te meer naarmate −1/τ<br />
naar −∞ gaat of naarmate τ afneemt.<br />
3.18 Oefeningen<br />
• De ‘LAG’-COMPENSATOR of naijlingsketen<br />
Bereken de TF voor het systeem uit figuur 3.30.a. Vervang de tijdconstante in de<br />
teller door τ, in de noemer door kτ. Bereken en teken de stapweergave, het Bode-,<br />
Nyquist- en Black-diagram.<br />
Bereken eveneens de TF=x 2 /x 1 voor het systeem uit figuur 3.30.b. Wat stel je vast<br />
• De ‘LEAD’-COMPENSATOR of voorijlingsketen<br />
Bereken de TF voor het systeem uit figuur 3.31. Vervang de tijdconstante in de<br />
noemer door τ en in de teller door kτ. Bereken en teken de stapweergave, het Bode-,<br />
Nyquist- en Black-diagram.<br />
Johan Baeten 33
3 Systemen van eerste orde<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.29: Samenvatting : Nulpunten-polen-beeld of nulpunten-polen-diagram<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.30: Oefening : a) elektrisch voorbeeld; b) mechanisch voorbeeld<br />
3.19 Bewijs “p = jω”<br />
Om aan te tonen dat “p = jω” 2 , berekenen we de respons het eerste orde systeem op een<br />
sinus.<br />
2 p is in het algemeen een complex getal. Te stellen dat “p = jω” houdt in dat het overgangsverschijnsel<br />
verwaarloosd wordt om zo enkel de regimerespons over te houden. p is dus niet identiek gelijk aan “p = jω”<br />
maar door de gelijkstelling kan wel de frequentierespons op eenvoudige wijze berekend worden.<br />
34 Johan Baeten
3.19 Bewijs “p = jω”<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 3.31: Oefening: elektrisch voorbeeld<br />
V uit (p)<br />
V in (p) =<br />
K<br />
1 + pτ<br />
met V in (p) =<br />
A ω zodat V<br />
p 2 + ω 2 uit (p) = K<br />
1 + pτ . A ω<br />
p 2 + ω . 2<br />
De tijdfunctie V uit (t) is gelijk aan de invers-Laplace-getransformeerde van V uit (p). Hiervoor<br />
voeren we eerst een partieelbreuksplitsing door.<br />
V uit (p) =<br />
K<br />
1 + pτ . A ω<br />
p 2 + ω 2 =<br />
X<br />
p + 1/τ + Y ′<br />
p + jω + Z′<br />
p − jω<br />
De complexe constanten Y ′ en Z ′ brengen echter heel wat rekenwerk met zich mee. De<br />
partieelbreuksplitsing kan daarom beter op de volgende wijze gebeuren:<br />
V uit (p) =<br />
K<br />
1 + pτ . Aω<br />
p 2 + ω 2 =<br />
X<br />
p + 1/τ + Y p + Z<br />
p 2 + ω . (3.10)<br />
2<br />
De waarde van X volgt uit de toepassing van vergelijking 2.17. Y en Z volgen dan uit de<br />
gelijkstelling van linker- en rechterlid van vergelijking 3.10.<br />
en<br />
X =<br />
K/τ<br />
1/τ + p ·<br />
(p + 1/τ) K/τ<br />
lim<br />
p→−1/τ 1/τ + p<br />
Aω<br />
p 2 + ω 2 =<br />
·<br />
A ω<br />
p 2 + ω 2 =<br />
X<br />
p + 1/τ + Y p + Z<br />
p 2 + ω 2<br />
KAωτ<br />
1 + τ 2 ω 2<br />
= (p + 1/τ)(Y p + Z) + X(p2 + ω 2 )<br />
.<br />
(p + 1/τ)(p 2 + ω 2 )<br />
Waaruit volgt<br />
KAω<br />
τ<br />
≡ (X + Y )p 2 + ( Y τ + Z)p + Xω2 + Z τ<br />
of Y = −X en Z = X/τ.<br />
Het eerste stuk (X/(p + 1/τ)) uit vergelijking 3.10 komt overeen met een exponentieel<br />
dalende functie e −t/τ , die uiteindelijk (voor grote t-waarden) uitsterft. Zij zorgt voor het<br />
overgangsverschijnsel. Het tweede deel vormt de regimerespons van het eerste orde systeem.<br />
Johan Baeten 35
3 Systemen van eerste orde<br />
De volgende vergelijkingen herschrijven dit deel als de som van een sinus en een cosinus en<br />
vervolgens als een sinus met een faseverschuiving.<br />
V uit−regime (p) = Y p + Z<br />
p 2 + ω 2 =<br />
KA ( ω<br />
1 + ω 2 τ 2 p 2 + ω − ωτ 2<br />
De overeenstemmende regimerespons in de tijd is:<br />
V uit−regime (t) =<br />
KA [sin(ωt) − ωτ cos(ωt)]<br />
1 + ω 2 τ<br />
2<br />
)<br />
p<br />
p 2 + ω 2<br />
Deze laatste vergelijking herschrijven we als een sinus met een faseverschuiving.<br />
sin(ωt) − ωτ cos(ωt) = L [sin(ωt + ϕ)]<br />
= L [sin(ωt) cos ϕ + cos(ωt) sin ϕ]<br />
Gelijkstellen van linker- en rechterlid levert de formules voor L en ϕ.<br />
L cos ϕ = 1 → tgϕ = −ωτ<br />
L sin ϕ = −ωt → L = √ 1 + ω 2 τ 2<br />
De regimerespons wordt uiteindelijk<br />
V uit (t) =<br />
KA [sin(ωt) − ωτ cos(ωt)]<br />
1 + ω 2 τ<br />
2<br />
= KA L [sin(ωt + ϕ)]<br />
1 + ω 2 τ<br />
2<br />
KA<br />
= √ [sin(ωt − bgtg(ωτ)]<br />
1 + ω2 τ<br />
2<br />
Dit wil zeggen dat de uitgang (in regimetoestand) eveneens een sinus is met dezelfde<br />
frequentie ω als de ingang, maar in fase verschoven over ϕ = −bgtg(ωτ) en met versterking<br />
M = K/( √ 1 + ω 2 τ 2 ).<br />
Dit resultaat wordt onmiddellijk verkregen door in de transfertfunctie p te vervangen<br />
door jω en vervolgens te absolute waarde en de hoek te berekenen:<br />
met<br />
en<br />
G(p) =<br />
K<br />
1 + pτ → G(jω) = K<br />
1 + jωτ = Mejϕ<br />
M = |G(jω)| =<br />
K<br />
∣1 + jωτ ∣ =<br />
K<br />
|1 + jωτ| = K<br />
√<br />
1 + ω2 τ 2<br />
ϕ = ∠G(jω) = ∠Teller − ∠Noemer = 0 − bgtg(ωτ).<br />
△<br />
36 Johan Baeten
Hoofdstuk 4<br />
Het tweede orde systeem<br />
4.1 Inleidend voorbeeld<br />
Neem het massa-veer-demper systeem uit figuur 4.1. De ingangsgrootheid van dit systeem<br />
is de aangelegde kracht. De uitgangsgrootheid is de verplaatsing van de massa. Merk op<br />
dat zulke systemen zeer frequent voorkomen, denk maar aan de ophanging van een auto,<br />
demping van bewegende onderdelen, enz.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 4.1: Voorbeeld: massa-veer-demper systeem<br />
De transfertfunctie volgt uit de krachtenvergelijking. De aangelegde kracht veroorzaakt<br />
een versnelling van de massa, wordt tegengewerkt door de demper (kracht evenredig met<br />
de snelheid) en ondervindt een tegenwerkende kracht van de veer (veerkracht evenredig<br />
met de verplaatsing). Dit geeft volgende vergelijkingen bij krachtenevenwicht:<br />
F (t) = m.a(t) + F f (t) + F x (t) = m.a(t) + b.v(t) + k.x(t)<br />
= m · d2 x(t)<br />
dt 2<br />
+ b · dx(t)<br />
dt<br />
+ k.x(t) . (4.1)<br />
Toepassing van de Laplace-transformatie op vergelijking 4.1 geeft de TF.<br />
F (p) = ( m.p 2 + b.p + k ) X(p) → T F = X(p)<br />
F (p) = 1<br />
m.p 2 + b.p + k<br />
De hoogste macht van p (in de noemer) is gelijk aan twee. Dit systeem is derhalve een<br />
tweede orde systeem.<br />
37
4 Het tweede orde systeem<br />
Indien de wortels van de noemer (dit zijn per definitie de polen van het systeem)<br />
reëel zijn, dan kan de transfertfunctie gezien worden als een samenvoeging van twee eerste<br />
orde systemen (waarbij de uitgang van het eerste systeem de ingang is voor het tweede<br />
systeem). Bij samenvallende polen geeft de ontbinding zelfs twee identieke eerste orde<br />
systemen. Indien echter de polen complex toegevoegd zijn, dan is er geen ontbinding in<br />
twee eerste orde systemen mogelijk en ziet de reactie van het systeem er ook volledig anders<br />
uit dan bij een aaneenschakeling van twee eerste orde systemen.<br />
De berekeningen en afleidingen, worden toegelicht aan de hand van de standaardvorm<br />
van het tweede orde systeem.<br />
4.2 Het standaard tweede orde systeem<br />
De TF van het standaard tweede orde systeem is:<br />
Kω 2 n<br />
G(p) =<br />
p 2 + 2ζω n p + ωn<br />
2<br />
met<br />
• ω n de natuurlijke eigenpulsatie,<br />
(4.2)<br />
• ζ (‘zeta’) de dempingscoëfficiënt 1 en<br />
• K de statische versterkingsfactor.<br />
Bij gelijkstelling van de oplossing uit voorgaand voorbeeld met vergelijking 4.2 geldt<br />
voor het massa-veer-demper systeem:<br />
√<br />
1<br />
m.p 2 + b.p + k = Kωn<br />
2 k b<br />
→ ω<br />
p 2 + 2ζω n p + ωn<br />
2 n = ζ =<br />
m 2 √ K = 1<br />
km k<br />
De dempingscoëfficiënt ζ is evenredig met de demping b, aanwezig in het systeem, maar<br />
niet identiek gelijk aan b. Indien er geen demping is in het systeem (b = 0), dan is ζ = 0.<br />
4.3 De staprespons van het tweede orde systeem<br />
Deze paragraaf analyseert de staprespons van het tweede orde systeem. Neem als voorbeeld<br />
het massa-veer-demper systeem, zet dit in verticale positie, breng de masse uit haar<br />
evenwichtspositie en laat ze dan plots los. Wat zal er gebeuren Hoe zal de plaats van de<br />
massa in functie van de tijd evolueren Intuïtief weten we dat de massa terug naar haar<br />
evenwichtspositie zal gaan. Indien de demping in het systeem klein is, dan zal de massa<br />
eerst voorbij haar evenwichtspositie schieten en vervolgens lichtjes oscillerend naar haar<br />
eindwaarde toegaan. Indien de demping in het systeem groot is, dan zal de massa langzaam<br />
en zonder oscillatie naar de eindwaarde toe bewegen. Figuur 4.2 geeft een overzicht<br />
van de ‘testopstelling’ en geeft een mogelijke beweging van de massa bij ‘weinig’ demping.<br />
De standaard TF van het tweede orde systeem is nu juist zodanig gekozen dat de waarde<br />
van ζ bepaalt hoe de reactie van het systeem zal zijn.<br />
1 ζ wordt ook vaak aangeduid met de letter z.<br />
38 Johan Baeten
4.3 De staprespons van het tweede orde systeem<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 4.2: Voorbeeld staprespons van een tweede orde systeem<br />
• Indien ζ > 1, dan zal er geen oscillatie optreden. De demping in het systeem is in dit<br />
geval te groot om een oscillatie toe te laten. Naarmate ζ groter is, zal ook de demping<br />
in het systeem groter zijn en zal elke verandering trager verlopen. Het systeem<br />
is overgedempt. Paragraaf 4.7 toont aan dat de staprespons van een overgedempt<br />
systeem wiskundig weergegeven wordt door de formule:<br />
Staprespons ζ>1 =<br />
( √<br />
( √<br />
ζ2 − 1 − ζ<br />
K 1 −<br />
2 √ ζ 2 − 1 e−ωnt ζ+<br />
)<br />
ζ 2 −1<br />
− ζ + √ ζ 2 ( √<br />
) )<br />
− 1<br />
2 √ ζ 2 − 1 e−ωnt ζ− ζ 2 −1<br />
. (4.3)<br />
De staprespons bevat twee exponentieel afnemende termen. Voor de tijd t gaande<br />
naar oneindig worden deze twee termen gelijk aan nul en blijft enkel de waarde K<br />
over. (De aangelegde stap had grootte één).<br />
Voor ζ > 1 zijn de twee polen van het systeem reëel. Deze twee reële polen stemmen<br />
overeen met de exponentiële termen uit de staprespons. De polen zijn:<br />
P 1,2 = −ω n<br />
(ζ ± √ )<br />
ζ 2 − 1 .<br />
In feite is het tweede orde systeem voor ζ > 1 niets anders dan een aaneenschakeling<br />
van twee eerste orde systemen.<br />
• Indien ζ = 1, is het systeem kritisch gedempt. Elke verandering zal zo snel mogelijk<br />
gevolgd worden, zonder oscillatie en zonder doorschot (Eng.:‘overshoot’). Wiskundig<br />
ziet de staprespons eruit als:<br />
Staprespons ζ=1 = K [ 1 − (1 + ω n t) e −ωnt] . (4.4)<br />
De twee polen vallen nu samen en zijn:<br />
P 1 = P 2 = −ω n .<br />
Een tweede orde systeem met ζ = 1 is hetzelfde als een aaneenschakeling van twee<br />
eerste orde systemen met dezelfde polen, zoals figuur 4.3 aangeeft.<br />
Johan Baeten 39
4 Het tweede orde systeem<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 4.3: Ontbinding van 2e orde in cascade van 2 eerste orde systemen<br />
• Indien ζ < 1 worden de polen van het tweede orde systeem complex (toegevoegd):<br />
(<br />
P 1 = −ω n ζ + j √ )<br />
(<br />
1 − ζ 2 en P1 ∗ = −ω n ζ − j √ )<br />
1 − ζ 2<br />
De staprespons ziet er nu helemaal anders uit. Zoals in figuur 4.2 geschetst is, zal de<br />
eindwaarde eerst overschreden en nadien, eventueel oscillerend, bereikt worden. Dit<br />
wordt een gedempte oscillatie genoemd. De wiskundige formule van de staprespons<br />
voor ζ < 1 is:<br />
(<br />
√ ))<br />
Staprespons ζ 1 , ζ = 1 en ζ < 1<br />
Figuur 4.6 geeft tenslotte de staprespons van een ongedempt tweede orde systeem (ζ<br />
= 0). Door het aanleggen van een stap wordt een blijvende oscillatie opgewekt met een<br />
pulsatie ω n . Voor een systeem met ω n = 1 r/s, is de frequentie van de oscillatie ω n /2π of<br />
0,16 Hz. Vergelijk deze waarde met figuur 4.6.<br />
40 Johan Baeten
4.4 Doorschot<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 4.5: 2e orde staprespons voor verschillende ζ waarden met ω n = 1 r/s en K = 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 4.6: Staprespons voor ζ = 0 , ω n = 1 r/s en K = 1<br />
4.4 Doorschot<br />
De doorschot (Eng.:’overshoot’) D wordt gedefinieerd als:<br />
D = V stap max − K<br />
K<br />
(4.7)<br />
Figuur 4.7 geeft deze definitie grafisch weer. De doorschot wordt normaal in procent<br />
uitgedrukt. Figuur 4.7 geeft ook aan hoe uit de staprespons de eigenpulsatie (ω p = 2π/T p )<br />
bepaald kan worden.<br />
Johan Baeten 41
4 Het tweede orde systeem<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 4.7: Doorschot D en eigenperiode T p<br />
Paragraaf 4.8 toont aan dat de doorschot enkel afhangt van de demping in het systeem of<br />
m.a.w. enkel bepaald wordt door de dempingscoëfficiënt ζ. Het verband wordt weergegeven<br />
door de formule:<br />
−ζπ<br />
√<br />
D = e 1 − ζ<br />
2<br />
of ζ =<br />
− ln D<br />
√<br />
ln 2 D + π 2 (4.8)<br />
Figuur 4.8 geeft eveneens dit verband of deze formule weer. (Vergelijk figuren 4.5<br />
en 4.8). Dit eenduidig verband is vooral belangrijk bij de identificatie van een systeem:<br />
door de doorschot te meten, kan de dempingscoëfficiënt bepaald worden.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 4.8: Doorschot D i.f.v. de dempingscoëfficiënt ζ<br />
Opmerking: De grootte van de doorschot D volgt uit de eerste piek. Het tijdstip waarop<br />
deze piek optreedt T piek , is gelijk aan de halve eigenperiode T p .<br />
T piek = T p<br />
2 = π ω p<br />
.<br />
Met vergelijking 4.5 levert dit<br />
(<br />
√ )<br />
π<br />
D = − e−ζωn ωp<br />
√ sin π<br />
1 − ζ<br />
2<br />
ω p + bgtg<br />
1 − ζ<br />
2 ω p ζ<br />
( (<br />
π<br />
= − e−ζωn ωp<br />
√ − sin bgtg<br />
1 − ζ<br />
2<br />
<br />
√ ))<br />
1 − ζ<br />
2<br />
ζ<br />
42 Johan Baeten
4.5 Frequentierespons<br />
of<br />
D = e −ζωn π − √<br />
ωp = e ζπ<br />
1−ζ 2<br />
△<br />
4.5 Frequentierespons<br />
De frequentierespons van het tweede orde systeem volgt uit de TF, na substitutie van p door<br />
jω. Dit geeft een complexe functie waarvan de absolute waarde de versterking voorstelt<br />
(van ingang naar uitgang) en waarvan de hoek overeenkomt met de faseverschuiving:<br />
G(p) =<br />
Kω 2 n<br />
p 2 + 2ζω n p + ω 2 n<br />
→ G(jω) =<br />
Kω 2 n<br />
ω 2 n − ω 2 + j2ζω n ω<br />
De versterking M is:<br />
M = |G(jω)| =<br />
of met u = ω/ω n wordt dit<br />
M =<br />
Kω 2 n<br />
√(ω 2 n − ω 2 ) 2 + (2ζω n ω) 2 =<br />
K<br />
√ ( ( ) ) 2 2<br />
ω<br />
1 −<br />
ω n<br />
+<br />
(<br />
2ζ ω ω n<br />
) 2<br />
(4.9)<br />
K<br />
√(1 − u 2 ) 2 + (2ζu) 2 . (4.10)<br />
De faseverschuiving is:<br />
ϕ = ∠G(jω) = −bgtg<br />
( ) 2ζωn ω<br />
ωn 2 − ω 2<br />
of<br />
( ) 2ζu<br />
ϕ = −bgtg . (4.11)<br />
1 − u 2<br />
De variabele u stelt hierbij de genormeerde pulsatie voor.<br />
Figuren 4.9 en 4.10 geven de frequentierespons voor verschillende ζ waarden weer, voorgesteld<br />
in Bode- en Nyquist-diagram. De natuurlijke eigenpulsatie ω n is steeds gelijk aan<br />
1 r/s (zodat we in feite een genormeerd diagram krijgen u = ω) en de statische versterkingsfactor<br />
K is eveneens gelijk aan 1.<br />
Toets figuren 4.9 en 4.10 aan de formules 4.10 en 4.11 (met K = 1). Dit geeft:<br />
• voor u = 0, M = 1 en ϕ = 0 ◦ . A = 20 log M = 0 dB.<br />
• vooru = 1, M = 1/2ζ en ϕ = −90 ◦ . Voor ζ < 0, 5 is de versterking M > 1.<br />
• voor u = ∞, M = 0, ϕ = −180 ◦ en A= 20 log(0) = -∞.<br />
Ook hier kunnen we een asymptotisch Bode-diagram tekenen. Indien ζ ≥ 1, komt<br />
dit overeen met het tekenen en optellen van het asymptotisch diagram van de twee eerste<br />
orde systemen, waarin het tweede orde systeem ontbindt. Indien ζ < 1, verloopt het<br />
Johan Baeten 43
4 Het tweede orde systeem<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 4.9: Bode-diagram van 2e orde systeem voor ζ = 0,1; 0,3; 0,707; 1 en 5 (ω n = 1r/s, K=1)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 4.10: Nyquist-diagram voor verschillende ζ waarden, gegradueerd naar ω (ω n = 1r/s)<br />
asymptotisch Bode-diagram horizontaal tot aan het breekpunt u = 1 (ω = ω n ) en vanaf<br />
dan 40 dB/decade dalend.<br />
Zoals figuur 4.9 toont zullen bepaalde frequenties rond de natuurlijke eigenfrequentie<br />
(u = 1) door een tweede orde systeem (met een kleine ζ waarde) versterkt worden. De<br />
44 Johan Baeten
4.5 Frequentierespons<br />
frequentie of pulsatie die het meest versterkt wordt, wordt de resonantiefrequentie of resonantiepulsatie<br />
genoemd. Zoals uit de berekeningen uit paragraaf 4.9 volgt, wordt de<br />
resonantiepulsatie ω r gegeven door<br />
ω r = ω n<br />
√<br />
1 − 2ζ2 . (4.12)<br />
Deze resonantiepulsatie bestaat enkel indien<br />
ζ ≤ 1 √<br />
2<br />
= 0, 707.<br />
De maximale versterking die bij deze pulsatie optreedt is<br />
max |G(jω)| = |G(jω r)| =<br />
ω=0→∞<br />
K<br />
2ζ √ 1 − ζ 2<br />
De resonantiepulsatie ω r is nooit groter dan de eigenpulsatie ω n . De piek in het amplitudegedeelte<br />
van het Bode-diagram treedt dus steeds op voor de natuurlijke eigenpulsatie.<br />
Enkel in het geval dat er geen demping is in het systeem (ζ = 0), is de resonantiepulsatie<br />
gelijk aan de natuurlijke eigenpulsatie. De grootte van de resonantiepiek is hier zelfs<br />
oneindig.<br />
Dit speciale geval wordt weergegeven in figuur 4.11. Het amplitudeverloop toont een<br />
oneindige piek juist bij de natuurlijke eigenpulsatie, het faseverloop is trapvormig en springt<br />
van 0 ◦ op 180 ◦ bij de natuurlijke eigenpulsatie. (Vergelijk de figuur met de formules op<br />
de voorgaande pagina’s). De oneindige resonantiepiek stemt overeen met de blijvende<br />
oscillatie t.g.v. een stap (zie figuur 4.6). Beide geven de rand van de stabiliteit aan.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 4.11: Bode-diagram van 2e orde systeem met ζ ≃ 0<br />
Johan Baeten 45
4 Het tweede orde systeem<br />
4.6 Het nulpunten-polen-diagram<br />
Het nulpunten-polen-diagram geeft de ligging van de polen van het systeem weer in het<br />
complex vlak. Zoals paragraaf 4.3 aangeeft heeft het tweede orde systeem afhankelijk van<br />
de dempingscoëfficiënt twee reële of twee complex toegevoegde polen. Daar waar vroeger<br />
bij het eerste orde systeem de polen enkel reëel waren en dus steeds op de reële as lagen,<br />
kunnen nu ook complex toegevoegde polen voorkomen en vormt dus het volledige complexe<br />
vlak de mogelijke verzameling van polen van een tweede orde systeem.<br />
De ligging van de polen bepaalt het transiënt gedrag en hiermee de stabiliteit van het<br />
systeem. Dit volgt rechtstreeks uit het volgend Laplace-transformatiepaar:<br />
1<br />
(p − a) 2 + b 2 ↔ 1 b eat sin bt.<br />
De complexe pool a + jb, veroorzaakt (zoals eerder gezien bij de staprespons) een<br />
transiënt gedrag dat bestaat uit een exponentiële factor en een sinus.<br />
• Een negatieve waarde voor a, geeft een uitdempende sinus.<br />
• Indien a positief is, divergeert de sinus.<br />
• b stemt in de twee gevallen overeen met de pulsatie van de sinus.<br />
Figuur 4.12 geeft deze relaties weer.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 4.12: Verband tussen de ligging van de complexe polen en het transiënt gedrag<br />
<br />
46 Johan Baeten
4.7 Afleiding van de staprespons voor het tweede orde systeem<br />
4.7 Afleiding staprespons voor tweede orde systeem<br />
De algemene TF is:<br />
V 2 (p)<br />
V 1 (p) =<br />
Kω 2 n<br />
.<br />
p 2 + 2ζω n p + ωn<br />
2<br />
Hierbij is V 2 de uitgangsgrootheid en V 1 de ingangsgrootheid.<br />
wordt<br />
Met V 1 (p) = 1/p (stap)<br />
V 2 (p) =<br />
Kω 2 n<br />
p 2 + 2ζω n p + ω 2 n<br />
· 1<br />
p .<br />
Afhankelijk van de waarde van ζ, bezit het systeem reële, samenvallende of complex<br />
toegevoegde polen.<br />
1. ζ > 1: Overgedempt systeem: Cascadeschakeling van twee eerste orde systemen.<br />
p 1,2 = −ω n<br />
(ζ ± √ )<br />
ζ 2 − 1 zodat de partiëelbreuksplitsing eruit ziet als<br />
met<br />
V 2 (p)| ζ>1 = A p +<br />
A =<br />
Dit geeft<br />
Kω 2 n<br />
(−p 1 ) (−p 2 ) =<br />
B<br />
p − p 1<br />
+<br />
C<br />
p − p 2<br />
=<br />
Kω 2 n<br />
ω 2 n (ζ 2 − (ζ 2 − 1)) = K<br />
Kω 2 n<br />
(p) (p − p 1 ) (p − p 2 )<br />
Kωn<br />
2 B =<br />
(p 1 ) (p 1 − p 2 ) = Kωn<br />
2 K<br />
−ω n<br />
(ζ + √ ) √ =<br />
ζ 2 − 1 (−2)ω n ζ2 − 1<br />
Kω 2 n<br />
C =<br />
(p 2 ) (p 2 − p 1 ) = Kωn<br />
2<br />
−ω n<br />
(ζ − √ ) √<br />
ζ 2 − 1 2ω n ζ2 − 1<br />
V 2 (t)| ζ>1 =<br />
( √ ) ( √ ))<br />
(K + Be −ωnt ζ+ ζ 2 −1<br />
+ Ce −ωnt ζ− ζ 2 −1<br />
K<br />
= −<br />
(<br />
ζ − √ )<br />
ζ 2 − 1<br />
2 √ ζ 2 − 1<br />
(<br />
ζ + √ ζ 2 − 1<br />
2 √ ζ 2 − 1<br />
)<br />
.<br />
of<br />
V 2 (t)| ζ>1 = K<br />
(<br />
1 + ζ − √ ζ 2 ( √<br />
− 1<br />
2 √ ζ 2 − 1 e−ωnt ζ+<br />
)<br />
ζ 2 −1<br />
− ζ + √ ζ 2 ( √<br />
) )<br />
− 1<br />
2 √ ζ 2 − 1 e−ωnt ζ− ζ 2 −1<br />
.<br />
Controle op de juistheid : vul t = 0 in, dan moet V 2 (t) = 0 !!<br />
Johan Baeten 47
4 Het tweede orde systeem<br />
2. ζ = 1: Kritisch gedempt systeem: Cascade van twee identieke 1e orde systemen. Het<br />
kritisch gedempt 2e orde systeem komt overeen met de cascade schakeling van twee<br />
identieke eerste orde systemen met tijdconstante gelijk aan 1/ω n . De polen zijn<br />
p 1 = p 2 = −ω n zodat de partiëelbreuksplitsing eruit ziet als<br />
met<br />
V 2 (p)| ζ=1 = A p + Bp + C<br />
(p − p 1 ) 2 = Kω 2 n<br />
(p) (p − p 1 ) 2<br />
A =<br />
waaruit volgt dat<br />
Dit geeft<br />
Kω2 n<br />
(−p 1 ) 2 = K en (Bp + C) p + K (p + ω n) 2 = Kω 2 n<br />
B + K = 0 → B = −K en C + 2Kω n = 0 → C = −2Kω n .<br />
V 2 (t)| ζ=1 = A + B d ( ) te<br />
−ω nt<br />
+ C ( te −ωnt)<br />
dt<br />
= 1 − K ( e −ωnt − ω n te −ωnt) − 2Kω n te −ωnt<br />
= K [ 1 − (1 + ω n t) e −ωnt] .<br />
Ofwel op de volgende manier<br />
V 2 (p)| ζ=1 = A p +<br />
B<br />
(p − p 1 ) + C<br />
(p − p 1 ) 2 = Kωn<br />
2<br />
(p) (p − p 1 ) 2<br />
met A = K en K(p + ω n ) 2 + B(p + ω n )p + Cp ≡ Kω 2 n waaruit volgt dat<br />
bij p 2 → K + B = 0 → B = −K<br />
bij p 1 → 2Kω n + Bω n + C = 0 → C = −Kω n<br />
.<br />
Dit geeft natuurlijk hetzelfde eindresultaat:<br />
V 2 (t)| ζ=1 = A + Be −ωnt + Cte −ωnt = K [ 1 − (1 + ω n t) e −ωnt] .<br />
3. ζ < 1 : Ondergedempt systeem: Oscillerend overgangsgedrag.<br />
De complex toegevoegde polen zijn<br />
(<br />
p 1 = −ω n ζ + j √ )<br />
(<br />
1 − ζ 2 en p ∗ 1 = −ω n ζ − j √ )<br />
1 − ζ 2<br />
zodat de partiëelbreuksplitsing eruit ziet als<br />
V 2 (p)| ζ
4.7 Afleiding van de staprespons voor het tweede orde systeem<br />
met<br />
A =<br />
B =<br />
C =<br />
Kω 2 n<br />
(−p 1 ) (−p ∗ 1 ) =<br />
Kω 2 n<br />
Kω 2 n<br />
ω 2 n (ζ 2 + (1 − ζ 2 )) = K<br />
(p 1 ) (p 1 − p ∗ 1 ) = Kω<br />
(<br />
n<br />
2<br />
−ω n ζ + j √ ) √<br />
1 − ζ 2 (−2j)ω n 1 − ζ 2<br />
Kω 2 n<br />
(p ∗ 1 ) (p∗ 1 − p 1 ) = Kω<br />
(<br />
n<br />
2<br />
−ω n ζ − j √ ) √<br />
1 − ζ 2 (2j)ω n 1 − ζ 2<br />
Merk op dat C het complex toegevoegde is van B. Substitutie geeft<br />
(<br />
) (<br />
))<br />
V 2 (t)| ζ
4 Het tweede orde systeem<br />
Het uiteindelijk resultaat wordt<br />
(<br />
V 2 | ζ
4.9 Afleiding resonantiefrequentie en resonantiepiek<br />
De piektijden worden gegeven door T piek . Bij de eerste piek treedt het maximum op.<br />
Invullen van deze tijd in de oplossing voor de staprespons (vergelijking 4.13) geeft de<br />
grootte van de uitgang en zo ook de mogelijkheid om de doorschot D te berekenen.<br />
√ (<br />
1−ζ<br />
V 2 max = K<br />
(1 2 √<br />
√ ) )<br />
− e−ωnζπ′ωn √ sin ω n 1 − ζ<br />
2 √π<br />
+ bgtg 1−ζ 2<br />
1 − ζ<br />
2<br />
ω n 1−ζ 2 ζ<br />
√ (<br />
= K<br />
(1 − e−ζπ′ 1−ζ √ ) )<br />
2<br />
1−ζ<br />
√ sin π + bgtg<br />
2<br />
1 − ζ<br />
2<br />
ζ<br />
= K<br />
√ (<br />
(1 + e−ζπ′ 1−ζ √<br />
2<br />
√ sin bgtg<br />
1 − ζ<br />
2<br />
1−ζ 2<br />
ζ<br />
) ) √1−ζ<br />
== K<br />
(1 + e−ζπ′ 2 √<br />
√ 1 − ζ<br />
2<br />
1 − ζ<br />
2<br />
)<br />
of<br />
) √1−ζ<br />
V 2 max = K<br />
(1 + e −ζπ′ 2<br />
→ D = V 2 max − K<br />
K<br />
= e −ζπ′ √1−ζ 2 . △ (4.14)<br />
4.9 Afleiding resonantiefrequentie en resonantiepiek<br />
De versterking wordt gegeven door<br />
M =<br />
K<br />
√(1 − u 2 ) 2 + (2ζu) 2 met u = ω ω n<br />
de genormeerde pulsatie.<br />
Deze functie is maximaal indien de noemer minimaal is. Bovendien is de wortel (in de noemer)<br />
minimaal indien dat wat onder de wortel staat minimaal is. De maximale versterking<br />
treedt bijgevolg op bij de pulsatie waarvoor<br />
of<br />
d [<br />
(1 − u 2 ) 2 + (2ζu) 2] = 0<br />
du<br />
2(1 − u 2 )(−2u) + 8ζ 2 u = 0<br />
u 2 − 1 + 2ζ 2 = 0<br />
u = √ 1 − 2ζ 2 → ω r = ω n<br />
√<br />
1 − 2ζ2 .<br />
Deze waarde bestaat enkel indien ζ ≤ 1/ √ 2.<br />
De versterking voor ω r is<br />
M max =<br />
K<br />
√<br />
(1 − (1 − 2ζ 2 )) 2 +<br />
(2ζ √ ) =<br />
2<br />
1 − 2ζ 2<br />
K<br />
2ζ √ 1 − ζ 2 .<br />
De maximale versterking wordt de resonantiepiek genoemd. Deze is enkel afhankelijk van<br />
ζ en wordt oneindig bij ζ = 0.<br />
Johan Baeten 51
4 Het tweede orde systeem<br />
4.10 Voorbeeld: de RLC-keten als 2e orde systeem<br />
Gelijkstelling van de TF voor de RLC-schakeling uit figuur 4.13 met de standaard TF geeft<br />
of<br />
V 2 (p)<br />
V 1 (p) =<br />
V 2 (p)<br />
V 1 (p) =<br />
Hieruit volgt<br />
⎧<br />
⎪⎨ ωn 2 = 1<br />
CL<br />
2ζω n = R L<br />
⎪⎩<br />
K = 1<br />
1/pC<br />
R + pL + 1/pC ≡<br />
Kω 2 n<br />
p 2 + 2ζω n p + ω 2 n<br />
1<br />
1/pC<br />
R + pL + 1/pC = CL<br />
p 2 + Rp + 1<br />
L<br />
⎧ √<br />
1<br />
ω n =<br />
CL<br />
⎪⎨ √<br />
→ C<br />
ζ = R 2<br />
⎪⎩<br />
L<br />
K = 1<br />
CL<br />
=<br />
Kω 2 n<br />
.<br />
p 2 + 2ζω n p + ωn<br />
2<br />
. (4.15)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 4.13: RLC-keten als tweede orde systeem<br />
• Oefening 1: Gegeven: ω n = 10000 r/s, ζ = 5; 1; 0,707; 0,3 en 0,1. Gevraagd: Welke<br />
componenten moeten we gebruiken bij een RLC-keten om aan de gegeven waarden<br />
te voldoen Hoe groot zijn de doorschot en de eigenpulsatie voor de verschillende ζ<br />
waarden<br />
Antwoord: Kies bijvoorbeeld L = 100 mH, dan moet C = 100 nF en R = 10 kΩ,<br />
2 kΩ, 1,4 kΩ, 600 Ω, 200 Ω. De doorschot D en eigenpulsatie ω p bestaan enkel voor<br />
de kleinste ζ waarden. We vinden volgende waarden:<br />
ζ D ω p<br />
0,70 4,6 % 7141 r/s<br />
0,30 37,2 % 9539 r/s<br />
0,10 72,9 % 9950 r/s<br />
• Oefening 2: Leid de TF’s af voor de schakelingen uit figuur 4.14. Hoe groot zijn de<br />
eindwaarden van de spanningen indien de ingangsspanning een stap van 1 Volt is<br />
Oplossing: De TF’s voor de verschillende spanningen zijn:<br />
V R (p)<br />
V 1 (p) =<br />
pRCω 2 n<br />
p 2 + 2ζω n p + ω 2 n<br />
en<br />
V L(p)<br />
V 1 (p) = p 2<br />
p 2 + 2ζω n p + ω 2 n<br />
52 Johan Baeten
4.10 Voorbeeld: de RLC-keten als 2e orde systeem<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 4.14: CRL- en CLR-keten<br />
met ζ en ω n gegeven in vergelijking 4.15.<br />
De eindwaarden (t → ∞) zijn (bij een aangelegde stap met grootte 1):<br />
V R (∞) = 0 en V L (∞) = 0<br />
Merk op dat met V 1 (p) = 1/p, de som V 2 (p) + V R (p) + V L (p) = 1/p of V 2 (t) + V R (t) +<br />
V L (t) ≡ 1. Dit moet zo zijn want de som van de drie spanningen in de kring moet<br />
steeds gelijk zijn aan de aangelegde spanning.<br />
• Oefening 3: Bereken de resonantiepulsatie voor een tweede orde systeem met ω n =<br />
10000 r/s, ζ = 0,3. Hoe groot is de versterking voor deze frequentie Vergelijk het<br />
resultaat met figuur 4.9.<br />
Oplossing: ω r = 9055 r/s of f r = 1441 Hz. Versterking M = 1,747 en A = 4,9 dB.<br />
• Oefening 4: Schets het Black-diagram voor het tweede orde systeem voor verschillende<br />
ζ waarden.<br />
Johan Baeten 53
4 Het tweede orde systeem<br />
54 Johan Baeten
Hoofdstuk 5<br />
Hogere orde systemen en dode tijd<br />
5.1 Hogere orde systemen<br />
De parameters K en τ beschrijven volledig het eerste orde systemen. Tweede orde systemen<br />
worden volledig beschreven door K, ω n en ζ bij ondergedempte systemen of door de twee<br />
tijdconstanten τ 1 en τ 2 bij overgedempte systemen. Voor hogere orde systemen zijn w n en ζ<br />
echter niet gespecificeerd omdat deze niet bestaan 1 . Praktisch zullen we trachten de hogere<br />
orde systemen te benaderen door een aaneenschakeling van systemen van eerste en tweede<br />
orde. In het geval dat het fysisch systeem effectief bestaat uit zulk een aaneenschakeling<br />
van eerste en tweede orde systemen is deze zienswijze volledig juist. Vaak kan men het<br />
fysisch systeem echter niet meer opdelen in kleinere delen en stelt het wiskundig model dat<br />
die opsplitsing wel voorziet dus niet meer ‘exact’ de werkelijkheid voor.<br />
Bovendien mag men niet vergeten dat vele fysische systemen een orde bezitten die naar<br />
oneindig toegaat. Hier is een vereenvoudiging noodzakelijk.<br />
5.2 Tijddomeinspecificaties voor hogere orde<br />
Om de staprespons van een hoger orde systeem te beschrijven zijn volgende parameters<br />
belangrijk:<br />
• De maximum doorschot D: uitgedrukt in % van de stapgrootte;<br />
• Het aantal oscillaties;<br />
• De stijgtijd (Eng.:’rise time’) T r : dit is de tijd die het systeem nodig heeft om van<br />
10% naar 90% van de eindwaarde te gaan als het ingangssignaal een stap is. Zie<br />
figuur 5.1;<br />
• De eindwaarde tijd (Eng.:’settling time’) T s voor x%: dit is de tijd die een systeem<br />
nodig heeft om zijn staprespons binnen x% van de eindwaarde te krijgen;<br />
• De piektijd (Eng.:’peak time’) T piek : dit is de tijd nodig om het eerste maximum te<br />
bereiken;<br />
1 Er kunnen wel waarden voor w n en ζ opgegeven worden overeenkomstig de dominante polen<br />
55
5 Systemen van hogere orde en systemen met dode tijd<br />
• De statische fout of stationaire fout (Eng.:’steady state error’) ε ss : dit is de fout die<br />
bestaat tussen de werkelijke en de gewenste uitgang als de tijd naar oneindig gaat.<br />
Figuur 5.1 geeft de hierboven vermelde definities en waarden weer.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 5.1: Tijddomeinspecificaties voor hogere orde systemen<br />
Meestal zal men een hoger orde systeem identificeren aan de hand van een opgemeten<br />
staprespons. De verschillende identificatiemethodes (die in de cursus regeltechniek en in de<br />
bijbehorende labo’s aan bod komen) zullen aan de hand van de staprespons een benaderend<br />
model geven. Vaak komt hierbij ook een dode tijd of looptijd voor (zie verder).<br />
5.3 Frequentierespons<br />
Vermits een hoger orde systeem bestaat uit een aaneenschakeling van eerste en tweede orde<br />
systemen, dan kunnen we de frequentierespons van het geheel gemakkelijk berekenen of<br />
tekenen:<br />
• De totale versterking is immers het produkt van de afzonderlijke versterkingen (uitgedrukt<br />
als factor) of de som van de afzonderlijke versterkingen uitgedrukt in dB.<br />
• De totale faseverschuiving is de som van de afzonderlijke faseverschuivingen.<br />
Zoals paragraaf 3.16 aangaf, volgt het Bode-diagram voor het geheel uit de som van de<br />
Bode-diagrammen van de afzonderlijke systemen. Dit zal later nog herhaaldelijk aan bod<br />
komen bij de oefeningen.<br />
5.4 Systemen met looptijd<br />
De looptijd wordt ook wel de vertragingstijd, de dode tijd (Eng.:‘Dead Time’) of de voortplantingstijd<br />
genoemd.<br />
56 Johan Baeten
5.4 Systemen met looptijd<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 5.2: Voorbeelden van systemen met looptijd of dode tijd<br />
De looptijd of dode tijd is de tijd die voorbij gaat tussen het aanleggen van het ingangssignaal<br />
en de eerste reactie van het systeem hierop.<br />
Figuur 5.2 geeft enkele voorbeelden.<br />
In het eerste voorbeeld wordt een last via een loopband op een vrachtwagen geplaatst.<br />
Na het lossen van de last duurt het nog 3 seconden voor de vrachtwagen het ’plots vallen’<br />
van de last voelt en hierop reageert (bijvoorbeeld door lichtjes te zakken). De looptijd is 3<br />
seconden.<br />
In het tweede voorbeeld zal de sensor die de staaldikte van een pas gewalste plaat meet<br />
steeds 2 seconden achteroplopen met de uitgegeven informatie. Immers de dikte die nu<br />
gewalst wordt, wordt pas na twee seconden gemeten. Men kan de looptijd verkleinen door<br />
de sensor dichter bij de wals te plaatsen. Kunnen we de looptijd echter volledig teniet<br />
doen<br />
In het derde voorbeeld regelen we de temperatuur van het water (bijvoorbeeld bij een<br />
douche) samengesteld uit een warme en een koude stroom. Elke actie die we ondernemen<br />
heeft enige tijd nodig vooraleer we deze actie waarnemen: dit tijdsverschil is de looptijd.<br />
Figuur 5.2 geeft ook het tijddiagram weer voor een zuivere vertraging. Hiervoor geldt:<br />
y(t) = x(t − T v )<br />
Volgens het tweede verschuivingstheorema van de Laplace-transformatie, vergelijking 2.15,<br />
wordt dit<br />
Indien f(t) ↔ F (p) dan f(t − a) ↔ e −ap F (p)<br />
Y (p) = X(p)e −pTv (5.1)<br />
Johan Baeten 57
5 Systemen van hogere orde en systemen met dode tijd<br />
De dode tijd wordt dus wiskundig voorgesteld als een negatieve exponentiële macht in<br />
het p-domein. De eenheid van T v is seconden.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 5.3: Fasegedeelte van Bode-diagram voor zuivere looptijd; Amplitude is steeds 0 dB<br />
5.5 Frequentieanalyse van een systeem met looptijd<br />
De TF voor een systeem dat bestaat uit een zuivere vertraging T v , is:<br />
G(p) = e −pTv<br />
Om de frequentierespons van dit systeem te kennen, stellen we weerom p = jω.<br />
G(jω) = e −jωT v = cos ωT v − j sin ωT v<br />
Dit geeft de versterking M of A en de faseverschuiving ϕ:<br />
√<br />
M = |G(jω)| = (cos ωT v ) 2 + (sin ωT v ) 2 = 1 (5.2)<br />
of<br />
A = 20 log M = 20 log 1 = 0 dB (5.3)<br />
en<br />
[ ] − sin ωTv<br />
ϕ = bgtg<br />
= bgtg [−tg (ωT v )] = −ωT v . (5.4)<br />
cos ωT v<br />
Vermits ω wordt uitgedrukt in rad/sec en T v in sec, is de eenheid voor de faseverschuiving<br />
in vergelijking 5.4 radialen!!<br />
58 Johan Baeten
5.6 Voorbeeld: oefening<br />
De looptijd verandert niets aan het amplitudediagram, maar wel aan het fasediagram.<br />
De faseverschuiving is evenredig met de frequentie of pulsatie. Voor ω = 1/T v is ϕ = −1 radiaal<br />
of -57 ◦ . Tengevolge van de logaritmische schaalverdeling voor ω in het Bode-diagram<br />
loopt de kromme voor ϕ echter onverwacht snel weg! Zie figuur 5.3. Merk op dat de x-as<br />
van figuur 5.3, omwille van de algemeenheid, ω · T v aangeeft!<br />
Het Nyquist-diagram voor een systeem bestaande uit een zuivere looptijd is weergegeven<br />
in figuur 5.4 en is een perfecte cirkel. Door de evenredigheid tussen ω en ϕ ontstaat een<br />
gelijkmatige ω-verdeling langs de cirkel.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 5.4: Nyquist-diagram van een zuivere looptijd<br />
5.6 Voorbeeld: oefening<br />
Opgave 1: Bereken enkele punten uit het Bode-diagram (dit is vooral belangrijk voor het<br />
faseverloop) en teken het Bode-diagram voor het volgend systeem.<br />
G(p) =<br />
e−p<br />
1 + 5p<br />
Oplossing: De dode tijd is 1 seconde. De tijdconstante τ = 5 seconden. De breekpulsatie<br />
ω k = 1/τ = 0, 2 r/s. De statische versterking K = 1. Het asymptotisch amplitudeverloop<br />
begint bij 0 dB en daalt vanaf ω = 0, 2 r/s met 20 dB/dekade. Het faseverloop bestaat<br />
uit een stuk t.g.v. het eerste orde systeem (zie eerder) en uit een stuk t.g.v. de dode tijd.<br />
Figuur 5.5 geeft het resultaat.<br />
Opgave 2: Hoe ziet de stap- of impulsrespons eruit voor het hierboven gegeven systeem<br />
Johan Baeten 59
5 Systemen van hogere orde en systemen met dode tijd<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur 5.5: Bode-diagram van een eerste orde systeem (τ = 5 s) met dode tijd (T v = 1 s)<br />
60 Johan Baeten
Bibliografie<br />
[1] Jacques Denis “Wiskunde – Laplace Transformatie” KHLim, IWT<br />
[2] Victor Berwaerts “<strong>Automatisering</strong> – Regeltechniek” Standaard uitgeverij<br />
[3] Hendrik Van Brussel “Systemen en signalen,” KULeuven<br />
[4] http://www.khlim.be/∼jbaeten → Cursussen → <strong>Systeemtheorie</strong><br />
61
Bijlage A<br />
Ideale systemen<br />
Deze appendix bespreekt de ideale systeemelementen en geeft een samenvatting. Door<br />
de algemene aanpak en de analogieën die hieruit voortvloeien kunnen verbanden gelegd<br />
worden tussen elektrische, mechanische en andere systemen. Deze verbanden worden ook<br />
benadrukt door de gelijkvormige TF’s.<br />
A.1 Fysische veranderlijken<br />
De fysische veranderlijken worden opgedeeld in de zogenaamde lopende veranderlijken<br />
(Eng.:‘through-variables’) en staande veranderlijken (Eng.:‘across-variables’).<br />
De lopende veranderlijken meten de doorgang van een grootheid door een systeemelement<br />
zoals de stroom door een weerstand, de kracht door een veer of het vloeistofdebiet<br />
door een leiding. Om de lopende veranderlijke te meten moet de kring onderbroken worden.<br />
Het algemeen symbool voor de lopende veranderlijke is f.<br />
De staande veranderlijken meten het verschil in de toestand tussen de uiteinden van<br />
het systeemelement, zoals de drukval over een leiding, de spanning over een weerstand of<br />
het snelheidsverschil tussen de uiteinden van een demper. Om de staande veranderlijke te<br />
meten wordt het meettoestel “over de klemmen”geplaatst. Het algemeen symbool voor de<br />
staande veranderlijke is v (met als indices de punten tussen dewelke gemeten wordt).<br />
A.2 Elementtype<br />
Er bestaan verschillende ideale (fysische) elementen met empirische verbanden tussen<br />
staande en lopende veranderlijken al dan niet in geïntegreerde vorm. We gebruiken volgende<br />
algemene variabelen:<br />
v Staande veranderlijke<br />
∫<br />
x Geïntegreerde staande veranderlijke ( vdt)<br />
f Lopende veranderlijke<br />
∫<br />
h Geïntegreerde lopende veranderlijke (<br />
fdt)<br />
63
A Ideale systemen<br />
A.2.1<br />
Veralgemeende inductantie<br />
Bij de zuivere, ideale veralgemeende inductantie is de geïntegreerde staande veranderlijke<br />
evenredig met de lopende veranderlijke of de staande veranderlijke evenredig met de afgeleide<br />
van de lopende veranderlijke, met evenredigheidsconstante L ,de inductantiewaarde.<br />
x 12 = Lf of v 12 = L df<br />
dt<br />
Figuur A.1 geeft twee voorbeelden van veralgemeende inductanties.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur A.1: Inductanties<br />
<br />
<br />
<br />
A.2.2<br />
Veralgemeende capaciteit<br />
Bij de zuivere, ideale veralgemeende capaciteit is de geïntegreerde lopende veranderlijke<br />
evenredig met de staande veranderlijke of de lopende veranderlijke evenredig met de afgeleide<br />
van de staande veranderlijke, met evenredigheidsconstante C ,de waarde van de<br />
veralgemeende capaciteit.<br />
h = Cv 12 of f = C dv 12<br />
dt<br />
Figuur A.2 geeft twee voorbeelden van veralgemeende capaciteiten.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur A.2: Capaciteiten<br />
<br />
<br />
A.2.3<br />
Veralgemeende weerstand<br />
Bij de zuivere veralgemeende weerstand is de staande veranderlijke evenredig met de lopende<br />
veranderlijke met als evenredigheidsconstante R of 1/R, waarbij de tekens steeds<br />
gelijk zijn.<br />
v 12 = 1 R f<br />
Figuur A.3 geeft twee voorbeelden van veralgemeende weerstanden. Voorbeelden:<br />
64 Johan Baeten
A.3 Het vermogen<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A.3 Het vermogen<br />
Figuur A.3: Weerstanden<br />
Het vermogen dat in een element door de uiteinden 1 en 2 gaat is steeds gelijk aan het<br />
produkt van de staande en de lopende veranderlijke.<br />
P = fv 12<br />
Voor een weerstand zijn de tekens van f en v 12 steeds gelijk. Het vermogen geleverd aan<br />
de veralgemeende weerstand P = f · v 12 is steeds positief. Een veralgemeende weerstand<br />
dissipeert dus energie. Voor een capaciteit en een inductantie is de energie gelijk aan de<br />
integraal van het vermogen:<br />
E =<br />
∫ t<br />
P dt =<br />
∫ t<br />
fv 12 dt<br />
0<br />
0<br />
De enige uitzondering op deze energiebetrekkingen is het thermisch systeem. Daar is het<br />
vermogen de lopende veranderlijke zelf (de warmteflux q) en de energie is de geïntegreerde<br />
lopende veranderlijke (de hoeveelheid overgebrachte warmt).<br />
A.4 Ideale bronnen<br />
Een toestel dat energie aan een systeem kan toevoeren of ontnemen wordt een bron genoemd.<br />
Bij de analyse van systemen is het nuttig ideale bronnen te beschouwen.<br />
Indien de bronveranderlijke een staande veranderlijke is, noemen we dit een v-bron.<br />
Deze bron is ideaal wanneer de bronveranderlijke onafhankelijk is van de f-veranderlijke<br />
die door de bron moet geleverd worden.<br />
Indien de bronveranderlijke een lopende veranderlijke is, noemen we dit een f-bron.<br />
Deze f-bron is ideaal wanneer de bronveranderlijke onafhankelijk is van de v-waarde die<br />
over de bron ontstaat.<br />
A.5 Ideale transformatoren<br />
Bij een veralgemeende zuivere ideale transformator bestaat er een eenduidig verband tussen<br />
twee paren van staande of geïntegreerde staande veranderlijken of tussen twee lopende<br />
veranderlijke met transformatieverhouding n,<br />
x b = nx a of v b = nv a<br />
Johan Baeten 65
A Ideale systemen<br />
waarbij de totale energieflux in het toestel nul is<br />
P = f a v a + f b v b = 0 zodat f b = − 1 n f a.<br />
Voorbeelden van ideale transformatoren worden gegeven in de samenvattende tabel A.2 in<br />
paragraaf A.8.<br />
Opmerkingen: Indien er een kruiselings verband is tussen een staande en een lopende<br />
veranderlijke voor twee gekoppelde systeemelementen dan spreekt men van een gyrator. Indien<br />
de veranderlijken betrekking hebben op twee verschillende energiesoorten dan worden<br />
dit omzetters genoemd, bijvoorbeeld opnemers of sensoren.<br />
A.6 Verbindingsvoorwaarden tussen elementen<br />
Door de wijze waarop de verschillende systeemelementen op elkaar inwerken worden voorwaarden<br />
opgelegd aan de betrekkingen tussen de paren veranderlijken die elk van de systeemelementen<br />
definiëren. Deze voorwaarden zijn de evenwichtsvoorwaarden en de verenigbaarheidsvoorwaarden.<br />
Evenwichtsvoorwaarden zijn steeds betrekkingen tussen lopende veranderlijken. Zij<br />
worden, naargelang de discipline, soms knooppuntvergelijkingen of continuïteitsvergelijkingen<br />
genoemd. Voorbeelden zijn de stroomwet van Kirchhoff in een knooppunt van een elektrisch<br />
netwerk, het krachtenevenwicht in een punt van een mechanische structuur of de<br />
continuïteitsvoorwaarde van een vloeistofstroom.<br />
Verenigbaarheidsvoorwaarden zijn altijd betrekkingen tussen staande veranderlijken.<br />
Zij worden soms kringloopvergelijkingen of verbindingsvoorwaarden genoemd. Voorbeelden<br />
zijn de spanningswet van Kirchhoff in de kringloop of geometrische verbindingsvoorwaarden<br />
in mechanische systemen.<br />
A.7 Equivalente systemen<br />
Door de analogieën, weergegeven in figuur A.5, kunnen mechanische structuren die bestaan<br />
uit ideale elementen omgerekend worden naar volledig equivalente elektrische schema’s.<br />
Hiervoor laten we de kracht overeenkomen met de stroom en de snelheid of het<br />
snelheidsverschil (eventueel t.o.v. stilstand) met de spanning of het spanningsverschil in de<br />
overeenstemmende punten (of omgekeerd). Een massa komt zo overeen met een capaciteit,<br />
een veer met een inductantie en een demper met een weerstand. Samengevat geeft dit<br />
volgende equivalente waarden voor mechanische en elektrische systemen:<br />
⎧<br />
{<br />
F ↔ i<br />
⎪⎨ m ↔ C<br />
→ 1/k ↔ L .<br />
v 12 ↔ V 12 ⎪⎩<br />
b ↔ 1/R<br />
Deze analogieën geven in feite weer dat alle (ideale) systemen zich op een gelijkaardige<br />
manier gedragen. Zo kan het elektrisch equivalent van een mechanische structuur gebruikt<br />
worden om gesimuleerde ‘testen’ uit te voeren op de structuur door het meten van de<br />
elektrische schakeling.<br />
Figuur A.4 geeft voorbeelden van equivalente systemen. De TF’s van deze systemen<br />
zijn dan ook dezelfde.<br />
66 Johan Baeten
A.8 Samenvatting<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur A.4: Voorbeelden van mechanisch-elektrisch-equivalenten<br />
A.8 Samenvatting<br />
Gebruikte variabelen:<br />
E energie P vermogen<br />
ω hoeksnelheid M moment<br />
ϑ temperatuur q warmtestroom<br />
v translatiesnelheid V elektrische spanning<br />
f veralgemeende lopende veranderlijke i stroom<br />
h veralg. geïntegreerde lopende veranderlijke F kracht<br />
v veralgemeende staande veranderlijke P druk<br />
x veralg. geïntegreerde staande veranderlijke Q debiet<br />
Gebruikte constanten:<br />
R elektrische weerstand L elektrische inductantie<br />
C elektrische capaciteit b demping (translatie)<br />
k veerstijfheid m massa<br />
B demping (rotatie) K rotatieveerstijfheid<br />
I traagheidsmoment R f hydraulische weerstand<br />
I hydraulische inertantie C f hydraulische capaciteit<br />
R t thermische weerstand C t thermische capaciteit<br />
Johan Baeten 67
A Ideale systemen<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur A.5: Ideale systeemelementen<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Tabel A.1: Staande en lopende veranderlijken<br />
68 Johan Baeten
A.8 Samenvatting<br />
Systeem Grootheid Brontype<br />
Batterij Elektrische spanning v<br />
Hydraulische pomp Debiet f<br />
Smeltend ijs Temperatuur v<br />
Koppelmotor Koppel f<br />
Oceaandiepte Druk v<br />
Tabel A.2: Voorbeelden van fysische v- en f-bronnen<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Figuur A.6: Ideale transformatoren<br />
Johan Baeten 69