Priemgetallen - Stijn Vermeeren
Priemgetallen - Stijn Vermeeren
Priemgetallen - Stijn Vermeeren
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Hoofdstuk 2: VERRASSENDE EIGENSCHAPPEN<br />
§1 – Het vermoeden van Goldbach<br />
Er zijn heel wat stellingen over priemgetallen, zowel eenvoudige stellingen als<br />
stellingen die alleen beroepswiskundigen kunnen begrijpen. Ook zijn sommige van<br />
deze stellingen nog steeds niet bewezen, we spreken dan van een ‘vermoeden’. Om<br />
het boeiend te houden, zullen we in dit eindwerk de meeste stellingen over<br />
priemgetallen links laten liggen. Maar het vermoeden van Goldbach, de meest<br />
beruchte van alle stellingen, verdient wel een eigen paragraaf.<br />
De Duitse wiskundige Christian Goldbach leefde van 1690 tot 1764. Hij werd<br />
geboren in Königsberg in het toenmalige Pruisen (17) . Hij studeerde aanvankelijk<br />
Rechten, maar was vooral geboeid door de getaltheorie. Goldbach was zo sterk dat<br />
hij werd aangesteld als persoonlijke leraar van de aanstaande tsaar Peter II in<br />
Moskou. Dit gaf hem de mogelijkheid om veel te reizen, waardoor hij in contact<br />
kwam met de verschillende belangrijke wiskundigen uit zijn tijd. Zo hield hij<br />
uitgebreide briefwisselingen met onder andere Leibniz, Daniel Bernoulli en Leonard<br />
Euler. (18)<br />
In de marge van een van zijn brieven aan Euler, pende Goldbach op 7 juni 1742<br />
het volgende zinnetje neer: “Het lijkt erop dat elk getal groter dan twee kan<br />
geschreven worden als de som van drie priemgetallen.” (19) (Een ingescande versie<br />
van de brief vind je in bijlage 1.) Goldbach beschouwde 1 overigens als een<br />
priemgetal.<br />
Euler verwoordde de stelling in een iets vereenvoudigde, maar evenwaardige<br />
vorm, die later bekend zou worden als het vermoeden van Goldbach.<br />
Vermoeden van Goldbach: Elk even getal groter dan twee is de som van twee<br />
priemgetallen.<br />
Enkele kleine voorbeelden:<br />
4 = 2 + 2<br />
6 = 3 + 3<br />
8 = 3 + 5<br />
10 = 3 + 7 = 5 + 5<br />
12 = 5 + 7<br />
14 = 3 + 11 = 7 + 7<br />
...<br />
17