Priemgetallen - Stijn Vermeeren

§7 – Zoeken naar steeds grotere priemgetallen
Al sinds Euclides het begrip priemgetallen definieerde, lijkt het wel een wedstrijd
om steeds grotere priemgetallen te ontdekken. In 1588 stond het record op 2 19 -1,
een 6-cijferig priemgetal dat met gewone, primitieve proefdelingen ontdekt was door
Cataldi. Met meer geavanceerde wiskundige stellingen kon Lucas (een van de
ontdekkers van de eerder vernoemde Lucas-Lehmer-test) in 1876 bewijzen dat 2 127 -
1, een getal van 39 cijfers, priem was. Sinds de intrede van computers in de tweede
helft van de vorige eeuw, gaat het vinden van priemgetallen veel sneller. Het grootst
bekende priemgetal (op 25 februari 2004) bestaat uit meer dan 7 miljoen cijfers!
Dat het zoeken naar grote
priemgetallen al lange tijd belangrijk is,
daarvan getuigt deze speciale
poststempel. Het wiskundedepartement
van de Universiteit van
Illinois was zo trots op de ontdekking
van het nieuwe Mersenne-priemgetal 2 11213 -1 in 1963, dat ze deze speciale stempel
lieten maken! (13)
Wil je zelf zoeken naar hele grote priemgetallen, is het handig om met
Mersenne-getallen te werken. Van getallen in de vorm Mp = 2 p – 1 (p is priem) is
namelijk bekend dat er vele grote priemgetallen tussen zitten. Verder is het handig
om gebruik te maken van Fermats kleine stelling. Zoals we dadelijk zullen zien, kan
je dan snel vele getallen elimineren die zeker samengesteld zijn.
Fermats kleine stelling: Als het priemgetal p geen deler is van a, dan
heeft
a
p
p−1
een rest van 1. (14)(15)
Stel nu dat je een bepaald getal a hebt. Als je dan een priemgetal p kunt vinden
waarvoor
a
p
p−1
niet rest 1 levert, dan is a deelbaar door p en dus samengesteld!
Deze test is heel snel uit te voeren met moderne computers, ook voor grote
getallen. Van de meeste getallen kunnen we door Fermats kleine stelling toe te
passen, heel snel zeggen dat ze samengesteld zijn. Helaas werkt de test niet in de
andere richting. Stel dat Fermats kleine stelling telkens een rest van 1 oplevert voor
a, dan kunnen we nog niet zeggen dat a priem is. We moeten nog eerst a volledig
controleren op zijn deelbaarheid, een proces dat wel een tijdje duurt.
Maar door Fermats kleine stelling kunnen we al meteen een hele hoop getallen
elimineren, getallen die zeker samengesteld zijn. De andere getallen, ‘kandidaatpriemgetallen’,
moeten nog volledig op hun deelbaarheid gecontroleerd worden.
De GIMPS, de Great Internet Mersenne Prime Search, werkt op die manier. Van
Mersenne-getallen wordt eerst onderzocht of het ‘kandidaat-priemgetallen’ zijn, zo ja
wordt er uitgebreid gecontroleerd of het getal ook echt priem is.
15