Priemgetallen - Stijn Vermeeren
Priemgetallen - Stijn Vermeeren
Priemgetallen - Stijn Vermeeren
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
§7 – Zoeken naar steeds grotere priemgetallen<br />
Al sinds Euclides het begrip priemgetallen definieerde, lijkt het wel een wedstrijd<br />
om steeds grotere priemgetallen te ontdekken. In 1588 stond het record op 2 19 -1,<br />
een 6-cijferig priemgetal dat met gewone, primitieve proefdelingen ontdekt was door<br />
Cataldi. Met meer geavanceerde wiskundige stellingen kon Lucas (een van de<br />
ontdekkers van de eerder vernoemde Lucas-Lehmer-test) in 1876 bewijzen dat 2 127 -<br />
1, een getal van 39 cijfers, priem was. Sinds de intrede van computers in de tweede<br />
helft van de vorige eeuw, gaat het vinden van priemgetallen veel sneller. Het grootst<br />
bekende priemgetal (op 25 februari 2004) bestaat uit meer dan 7 miljoen cijfers!<br />
Dat het zoeken naar grote<br />
priemgetallen al lange tijd belangrijk is,<br />
daarvan getuigt deze speciale<br />
poststempel. Het wiskundedepartement<br />
van de Universiteit van<br />
Illinois was zo trots op de ontdekking<br />
van het nieuwe Mersenne-priemgetal 2 11213 -1 in 1963, dat ze deze speciale stempel<br />
lieten maken! (13)<br />
Wil je zelf zoeken naar hele grote priemgetallen, is het handig om met<br />
Mersenne-getallen te werken. Van getallen in de vorm Mp = 2 p – 1 (p is priem) is<br />
namelijk bekend dat er vele grote priemgetallen tussen zitten. Verder is het handig<br />
om gebruik te maken van Fermats kleine stelling. Zoals we dadelijk zullen zien, kan<br />
je dan snel vele getallen elimineren die zeker samengesteld zijn.<br />
Fermats kleine stelling: Als het priemgetal p geen deler is van a, dan<br />
heeft<br />
a<br />
p<br />
p−1<br />
een rest van 1. (14)(15)<br />
Stel nu dat je een bepaald getal a hebt. Als je dan een priemgetal p kunt vinden<br />
waarvoor<br />
a<br />
p<br />
p−1<br />
niet rest 1 levert, dan is a deelbaar door p en dus samengesteld!<br />
Deze test is heel snel uit te voeren met moderne computers, ook voor grote<br />
getallen. Van de meeste getallen kunnen we door Fermats kleine stelling toe te<br />
passen, heel snel zeggen dat ze samengesteld zijn. Helaas werkt de test niet in de<br />
andere richting. Stel dat Fermats kleine stelling telkens een rest van 1 oplevert voor<br />
a, dan kunnen we nog niet zeggen dat a priem is. We moeten nog eerst a volledig<br />
controleren op zijn deelbaarheid, een proces dat wel een tijdje duurt.<br />
Maar door Fermats kleine stelling kunnen we al meteen een hele hoop getallen<br />
elimineren, getallen die zeker samengesteld zijn. De andere getallen, ‘kandidaatpriemgetallen’,<br />
moeten nog volledig op hun deelbaarheid gecontroleerd worden.<br />
De GIMPS, de Great Internet Mersenne Prime Search, werkt op die manier. Van<br />
Mersenne-getallen wordt eerst onderzocht of het ‘kandidaat-priemgetallen’ zijn, zo ja<br />
wordt er uitgebreid gecontroleerd of het getal ook echt priem is.<br />
15