Priemgetallen - Stijn Vermeeren

Mersenne onderzocht priemgetallen en hij probeerde een formule te vinden
waaruit men alle priemgetallen kon vinden. Hij is hier niet in geslaagd, maar hij heeft
wel belangrijk werk verricht aangaande priemgetallen van een bepaalde vorm. Deze
getallen noemt met tegenwoordig Mersenne-getallen. Ze hebben allemaal de
volgende vorm:
Mp = 2 p – 1 (p is priem)
Enkele kleine voorbeelden:
M2 = 3
M3 = 7
M5 = 31
M7 = 127
…
Tot nu toe heeft men 41 Mersenne-getallen gevonden die priem zijn. Het 41 ste is
2 24,036,583 -1. Dit getal bestaat uit maar liefst 7.235.733 cijfers! Over dergelijke
‘priemreuzen’ zullen we het in de volgende paragraaf nog uitgebreid hebben.
Maar hoe weet je of een Mersenne-getal priem is? Hiervoor gebruikt men de
Lucas-Lehmer test.
Lucas-Lehmer test: Als p een priemgetal (groter dan 2) is, is het Mersenne-getal
2 p -1 priem als en slechts als S(p-1) deelbaar is door 2 p -1,
waarbij S(n+1) = S(n) 2 -2 en S(1) = 4. (12)
De theorie voor de test is uitgevonden door Lucas rond 1870. Lehmer heeft de
test vereenvoudigd, tot de hierboven vermelde test, rond 1930.
Om de test te verduidelijken, geven we een voorbeeldje voor een heel klein
Mersenne-getal. Als we willen weten of M3 = 7 priem is, dan zoeken we dus eerst
S(2).
S(2) = S(1)²-2
= 4²-2
= 16-2
= 14
Dan controleren we of 14 deelbaar is door 2 p -1 = 7, en dat is natuurlijk waar. Dus
M3 = 7 is inderdaad priem!
Voor heel grote Mersenne-getallen geldt bij de Lucas-Lehmer test opnieuw
hetzelfde probleem als bij Pepins test: zelfs moderne computer kunnen niet goed
overweg met zulke grote getallen. Daarom blijft het een uitdaging om steeds grotere
priemgetallen proberen te vinden. En daarover gaat dan ook de volgende paragraaf.
14