You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Hoofdstuk</strong> 3<br />
<strong>Kansrek<strong>en</strong>ing</strong> <strong>en</strong> <strong>simulatie</strong><br />
3.1 Basisbegripp<strong>en</strong><br />
We introducer<strong>en</strong> de basisbegripp<strong>en</strong> uit de kansrek<strong>en</strong>ing met het experim<strong>en</strong>t het<br />
gooi<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> dobbelste<strong>en</strong>. Dit experim<strong>en</strong>t is vaak herhaalbaar <strong>en</strong> de uitkomst is<br />
onvoorspelbaar. De uitkomst wordt bepaald door het toeval.<br />
De uitkomst<strong>en</strong>verzameling of het universum is de verzameling van alle mogelijke<br />
U = 1,2,3,4,5,6 .<br />
uitkomst<strong>en</strong> van het experim<strong>en</strong>t : { }<br />
Voor het experim<strong>en</strong>t het gooi<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> dobbelste<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> we gebeurt<strong>en</strong>iss<strong>en</strong><br />
beschouw<strong>en</strong> zoals :<br />
A : “ De uitkomst is ev<strong>en</strong> ”<br />
B : “ De uitkomst is e<strong>en</strong> priemgetal ”<br />
C : “ De uitkomst is 1 ”<br />
D : “ De uitkomst is groter dan 7 ”<br />
E : “ De uitkomst is kleiner dan 10 ”<br />
Met deze gebeurt<strong>en</strong>iss<strong>en</strong> corresponder<strong>en</strong> deelverzameling<strong>en</strong> van U, die we<br />
noter<strong>en</strong> met dezelfde letter :<br />
A = { 2,4,6}<br />
, B = { 2,3,5}<br />
, { 1}<br />
C = , D = ∅ <strong>en</strong> E = U .<br />
Algeme<strong>en</strong> definiër<strong>en</strong> we e<strong>en</strong> gebeurt<strong>en</strong>is als e<strong>en</strong> deelverzameling van de<br />
uitkomst<strong>en</strong>verzameling U.<br />
Als het experim<strong>en</strong>t e<strong>en</strong> uitkomst u∈ A oplevert, dan zegg<strong>en</strong> we dat de gebeurt<strong>en</strong>is<br />
A is opgetred<strong>en</strong>.<br />
E<strong>en</strong> singleton zoals C noem<strong>en</strong> we e<strong>en</strong> elem<strong>en</strong>taire gebeurt<strong>en</strong>is. De lege<br />
verzameling ∅ noem<strong>en</strong> we de onmogelijke gebeurt<strong>en</strong>is <strong>en</strong> U de zekere<br />
gebeurt<strong>en</strong>is.<br />
41
Met gebeurt<strong>en</strong>iss<strong>en</strong> kan m<strong>en</strong> o.a. de volg<strong>en</strong>de nieuwe gebeurt<strong>en</strong>iss<strong>en</strong> opbouw<strong>en</strong> :<br />
de doorsnede A∩ B<br />
te lez<strong>en</strong> als “A <strong>en</strong> B”<br />
de unie A∪ B<br />
te lez<strong>en</strong> als “ A of B ”<br />
het complem<strong>en</strong>t van A A= U \ A<br />
te lez<strong>en</strong> als “ niet A”<br />
Merk op dat A∩<br />
C =∅. We zegg<strong>en</strong> dat de gebeurt<strong>en</strong>iss<strong>en</strong> A <strong>en</strong> C disjunct of<br />
gescheid<strong>en</strong> zijn.<br />
“De kans dat we e<strong>en</strong> 2 gooi<strong>en</strong>” kan als volgt bepaald word<strong>en</strong> : gooi de dobbelste<strong>en</strong><br />
n keer <strong>en</strong> stel f het aantal keer dat de uitkomst 2 was op die n worp<strong>en</strong>.<br />
f<br />
Beschouw vervolg<strong>en</strong>s de relatieve frequ<strong>en</strong>tie van de uitkomst 2 voor<br />
n<br />
n= 6, n= 60, n= 600, n= 6000, … .<br />
De relatieve frequ<strong>en</strong>tie zal steeds dichter naar 1/6 gaan; hetge<strong>en</strong> te verwacht<strong>en</strong> was<br />
omwille van de symmetrie van de dobbelste<strong>en</strong>.<br />
We noter<strong>en</strong> de kans om 2 te gooi<strong>en</strong> met P (2) <strong>en</strong> stell<strong>en</strong> derhalve P (2) = 1/ 6 .<br />
We gev<strong>en</strong> nog <strong>en</strong>kele voorbeeld<strong>en</strong> van experim<strong>en</strong>t<strong>en</strong> met hun uitkomst<strong>en</strong>verzameling<br />
:<br />
• Gooi twee dobbelst<strong>en</strong><strong>en</strong>.<br />
U = {(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1), …(6,6)} = {( x, y) | x, y=<br />
1, …,6}<br />
• Gooi e<strong>en</strong> muntstuk. U = { K,<br />
M}<br />
• Gooi drie muntstukk<strong>en</strong>.<br />
U =<br />
{ MMM , MMK, MKM , KMM , MKK, KMK, KKM , KKK}<br />
• Tel het aantal fietsers die voorbij je voordeur rijd<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> zaterdag tuss<strong>en</strong><br />
14.00 uur <strong>en</strong> 15.00 uur.<br />
U = 0,1,2,3,4, … = ; de uitkomst<strong>en</strong>verzameling is oneindig aftelbaar.<br />
{ }<br />
• Kies lukraak e<strong>en</strong> getal tuss<strong>en</strong> 0 <strong>en</strong> 1.<br />
De uitkomst<strong>en</strong>verzameling U = ]0,1[ is overaftelbaar.<br />
3.2 Simulatie<br />
3.2.1 Toevalsgetall<strong>en</strong><br />
Simulatie van toevalsexperim<strong>en</strong>t<strong>en</strong> is e<strong>en</strong> krachtige techniek om kans<strong>en</strong> van<br />
gebeurt<strong>en</strong>iss<strong>en</strong> of kansverdeling<strong>en</strong> van stochastische veranderlijk<strong>en</strong> (zie verder)<br />
b<strong>en</strong>ader<strong>en</strong>d te bepal<strong>en</strong>.<br />
42
Het principe is e<strong>en</strong>voudig :<br />
Herhaal het toevalsexperim<strong>en</strong>t e<strong>en</strong> groot aantal keer. De relatieve frequ<strong>en</strong>tie van<br />
het optred<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> gebeurt<strong>en</strong>is b<strong>en</strong>adert dan de kans op die gebeurt<strong>en</strong>is.<br />
Het toeval wordt gesimuleerd door e<strong>en</strong> g<strong>en</strong>erator van toevalsgetall<strong>en</strong>. Simulatie<br />
met toevalsgetall<strong>en</strong> noemt m<strong>en</strong> ook de Monte Carlo-methode.<br />
Druk MATH 1:rand. De functie rand levert e<strong>en</strong> lukraak getal uit het<br />
interval ]0,1[ . Het commando rand(5) levert e<strong>en</strong> lijst van 5 dergelijke<br />
toevalsgetall<strong>en</strong>.<br />
Door na het uitvoer<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> commando herhaaldelijk op ENTER te drukk<strong>en</strong><br />
wordt dit commando telk<strong>en</strong>s opnieuw uitgevoerd.<br />
Na toek<strong>en</strong>ning van waard<strong>en</strong> voor A <strong>en</strong> B (STO) bepaal je met A+(B-A)rand<br />
lukraak e<strong>en</strong> getal tuss<strong>en</strong> A <strong>en</strong> B. Het commando randInt(1,6) bepaalt lukraak<br />
e<strong>en</strong> geheel getal tuss<strong>en</strong> 1 <strong>en</strong> 6 (gr<strong>en</strong>z<strong>en</strong> inbegrep<strong>en</strong>) <strong>en</strong> randInt(1,6,5) e<strong>en</strong><br />
lijst van vijf zo’n getall<strong>en</strong>.<br />
randInt(1,6,4) + randInt(1,6,4) simuleert vier keer het tell<strong>en</strong> van het<br />
totaal aantal og<strong>en</strong> bij het werp<strong>en</strong> van twee dobbelst<strong>en</strong><strong>en</strong>.<br />
Het rek<strong>en</strong>toestel g<strong>en</strong>ereert e<strong>en</strong> reeks toevalsgetall<strong>en</strong><br />
uitgaande van e<strong>en</strong> bepaalde startwaarde of “zaadje”.<br />
Dergelijke startwaarde legt de reeks volledig vast. Je<br />
kan e<strong>en</strong> startwaarde kiez<strong>en</strong> door e<strong>en</strong> natuurlijk getal op<br />
te slaan in rand. rand staat standaard ingesteld op 0.<br />
3.2.2 E<strong>en</strong> muntstuk opwerp<strong>en</strong><br />
We simuler<strong>en</strong> honderd worp<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> eerlijk muntstuk <strong>en</strong> volg<strong>en</strong> de relatieve<br />
frequ<strong>en</strong>tie van het aantal keer dat er munt gegooid wordt. Dit is het aantal keer<br />
munt gedeeld door het aantal worp<strong>en</strong>.<br />
43
Hiertoe coder<strong>en</strong> we munt met 1 <strong>en</strong> kop met 0. Het commando randInt(0,1)<br />
levert telk<strong>en</strong>s het resultaat van één worp.<br />
Het aantal worp<strong>en</strong>, seq(X,X,1,100), houd<strong>en</strong> we bij in L1 <strong>en</strong> het resultaat van<br />
de <strong>simulatie</strong> van honderd keer werp<strong>en</strong>, randint(0,1,100), komt in L2.<br />
In L3 komt het aantal keer munt, cumSum(L2), <strong>en</strong> in L4 volg<strong>en</strong> we de relatieve<br />
frequ<strong>en</strong>tie van het aantal keer munt.<br />
Na 100 worp<strong>en</strong> is de relatieve frequ<strong>en</strong>tie van het aantal keer munt al redelijk in de<br />
buurt van 0.5.<br />
Om deze converg<strong>en</strong>tie naar 0.5 grafisch te illustrer<strong>en</strong>, plott<strong>en</strong> we de data in L1<br />
versus L4 sam<strong>en</strong> met de horizontale lijn Y1=0.5. Definieer Plot1 (zie hoofdstuk<br />
4) zoals hieronder aangegev<strong>en</strong>. Druk ZOOM 9:ZoomStat.<br />
Opnieuw 100 keer werp<strong>en</strong> levert e<strong>en</strong> andere rij die ook in de buurt van 0.5 eindigt.<br />
Maar merk op dat 200 keer werp<strong>en</strong> niet noodzakelijk e<strong>en</strong> resultaat oplevert dichter<br />
bij 0.5.<br />
Klasopgave<br />
Laat elke stud<strong>en</strong>t 100 worp<strong>en</strong> simuler<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> muntstuk <strong>en</strong> bepaal de<br />
relatieve frequ<strong>en</strong>tie van het aantal keer munt van de hele klas. Laat iedere<strong>en</strong><br />
lukraak e<strong>en</strong> startwaarde kiez<strong>en</strong> voor de toevalsg<strong>en</strong>erator.<br />
Welk resultaat verwacht je <br />
44
3.2.3 E<strong>en</strong> dobbelste<strong>en</strong> werp<strong>en</strong><br />
We simuler<strong>en</strong> het 120 keer werp<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> dobbelste<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> bewar<strong>en</strong> het aantal og<strong>en</strong> in L1.<br />
Welke frequ<strong>en</strong>tieverdeling van het aantal og<strong>en</strong> verwacht<br />
je <br />
Definieer Plot1 als het histogram van L1 (zie hoofdstuk 4), definieer Y1=20 <strong>en</strong><br />
plot beide grafiek<strong>en</strong> met de hieronder afgebeelde v<strong>en</strong>sterinstelling<strong>en</strong>. Verander<br />
Xscl in 0.2 om e<strong>en</strong> staafdiagram te plott<strong>en</strong>.<br />
Klasopgave<br />
Simulatie van n .120 worp<strong>en</strong> met n het aantal stud<strong>en</strong>t<strong>en</strong>.<br />
Noteer de frequ<strong>en</strong>ties van elke stud<strong>en</strong>t <strong>en</strong> maak e<strong>en</strong> globaal staafdiagram voor<br />
de hele klas. Welk resultaat verwacht je <br />
Voortaan zull<strong>en</strong> we nog vaak gebruik mak<strong>en</strong> van <strong>simulatie</strong>.<br />
3.3 Kans<strong>en</strong> berek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
3.3.1 Kansfunctie<br />
Stel U { u u u u }<br />
=<br />
1, 2, 3, …, n<br />
e<strong>en</strong> eindige uitkomst<strong>en</strong>verzameling.<br />
Met elke uitkomst ui<br />
∈ U associër<strong>en</strong> we e<strong>en</strong> getal Pu ( )<br />
i<br />
, de kans op u<br />
i<br />
, zodat :<br />
⎧ Pu (<br />
i<br />
) ≥ 0<br />
⎨<br />
⎩ Pu (<br />
1) + Pu (<br />
2) + + Pu (<br />
n<br />
) = 1<br />
45
De relatieve frequ<strong>en</strong>tiebetek<strong>en</strong>is van het begrip kans leidt tot de volg<strong>en</strong>de definitie.<br />
De kans op e<strong>en</strong> willekeurige gebeurt<strong>en</strong>is A ⊂ U is de som van de kans<strong>en</strong> op al de<br />
uitkomst<strong>en</strong> in A :<br />
PA ( ) = ∑ Pu ( ).<br />
We stell<strong>en</strong> bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> P( ∅ ) = 0 .<br />
u∈A<br />
i<br />
Op die manier is er e<strong>en</strong> kansfunctie of kansverdeling P gedefinieerd die met elke<br />
P u = P u<br />
gebeurt<strong>en</strong>is e<strong>en</strong> kans associeert. Merk op dat ({ i}<br />
) (<br />
i)<br />
Fundam<strong>en</strong>tele eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> (bewijs als oef<strong>en</strong>ing)<br />
Voor gebeurt<strong>en</strong>iss<strong>en</strong> A,<br />
B⊂ U geldt :<br />
1. PU ( ) = 1<br />
2. PA≥ ( ) 0<br />
3. Somregel voor disjuncte gebeurt<strong>en</strong>iss<strong>en</strong><br />
A∩ B=∅ ⇒ P( A∪ B) = P( A) + P( B)<br />
4. A⊂ B ⇒ P( A) ≤ P( B)<br />
5. P( A) = 1 − P( A)<br />
6. Algem<strong>en</strong>e somregel<br />
PA ( ∪ B) = PA ( ) + PB ( ) −PA ( ∩ B)<br />
Deze eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> blijv<strong>en</strong> geldig voor oneindig aftelbare <strong>en</strong> overaftelbare<br />
uitkomst<strong>en</strong>verzameling<strong>en</strong>.<br />
3.3.2 Het Laplace-model<br />
=<br />
1, 2, 3, …, n<br />
waarbij alle<br />
1<br />
uitkomst<strong>en</strong> dezelfde kans hebb<strong>en</strong>. Dan geldt : Pu (<br />
i<br />
) = ( i= 1,2,3, …, n)<br />
.<br />
n<br />
Beschouw e<strong>en</strong> eindige uitkomst<strong>en</strong>verzameling U { u u u u }<br />
Met dergelijke situaties, die in de praktijk vaak optred<strong>en</strong>, heeft de Fransman Pierre-<br />
Simon Laplace (1749-1827) de waarschijnlijkheidsleer opgebouwd.<br />
i<br />
46
Voor elke gebeurt<strong>en</strong>is A⊂ U geldt dan :<br />
# A<br />
PA ( ) = of<br />
n<br />
aantal elem<strong>en</strong>t<strong>en</strong> in A<br />
PA ( ) = of<br />
aantal elem<strong>en</strong>t<strong>en</strong> in U<br />
aantal gunstige uitkomst<strong>en</strong><br />
PA= ( )<br />
.<br />
aantal mogelijke uitkomst<strong>en</strong><br />
Voor het tell<strong>en</strong> van het aantal gunstige <strong>en</strong> mogelijke uitkomst<strong>en</strong> is de<br />
combinatoriek zeer behulpzaam.<br />
3.3.3 Kansbom<strong>en</strong><br />
E<strong>en</strong> sam<strong>en</strong>gesteld experim<strong>en</strong>t of stochastisch proces (het woord stochastisch is van<br />
Griekse oorsprong <strong>en</strong> betek<strong>en</strong>t toevallig) bestaat uit e<strong>en</strong> ope<strong>en</strong>volging van<br />
<strong>en</strong>kelvoudige experim<strong>en</strong>t<strong>en</strong>. Voorbeeld<strong>en</strong> van <strong>en</strong>kelvoudige experim<strong>en</strong>t<strong>en</strong> zijn :<br />
e<strong>en</strong> muntstuk één keer werp<strong>en</strong>, e<strong>en</strong> dobbelste<strong>en</strong> één keer werp<strong>en</strong>, e<strong>en</strong> rad één keer<br />
draai<strong>en</strong>, uit e<strong>en</strong> urne één knikker hal<strong>en</strong>, …<br />
We bekijk<strong>en</strong> het volg<strong>en</strong>de voorbeeld :<br />
In e<strong>en</strong> vaas ligg<strong>en</strong> 5 briefjes waarop telk<strong>en</strong>s één letter staat : 3 briefjes met de letter<br />
a <strong>en</strong> twee briefjes met de letter b.<br />
a) Trekking<strong>en</strong> met teruglegg<strong>en</strong><br />
Uit de vaas wordt lukraak e<strong>en</strong> letter getrokk<strong>en</strong>. Deze wordt g<strong>en</strong>oteerd <strong>en</strong><br />
teruggelegd. Vervolg<strong>en</strong>s trekk<strong>en</strong> we opnieuw e<strong>en</strong> letter. Het verloop van e<strong>en</strong><br />
sam<strong>en</strong>gesteld experim<strong>en</strong>t kan m<strong>en</strong> overzichtelijk voorstell<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> kansboom :<br />
3/5 2/5<br />
a<br />
b<br />
3/5<br />
2/5 3/5<br />
2/5<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
We voorzi<strong>en</strong> elke tak van de bijbehor<strong>en</strong>de kans in het deelexperim<strong>en</strong>t. Merk op dat<br />
de kans<strong>en</strong> bij de tweede trekking onafhankelijk zijn van het resultaat van de eerste<br />
trekking. We sprek<strong>en</strong> over onafhankelijke deelexperim<strong>en</strong>t<strong>en</strong>.<br />
De uitkomst<strong>en</strong>verzameling van het sam<strong>en</strong>gesteld experim<strong>en</strong>t wordt gegev<strong>en</strong> door<br />
U = aa, ab, ba,<br />
bb . Elke uitkomst correspondeert met e<strong>en</strong> “weg” in de boom.<br />
{ }<br />
Om bijvoorbeeld Pab ( ) te bepal<strong>en</strong> red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> we als volgt.<br />
aantal herhaling<strong>en</strong> van het sam<strong>en</strong>gesteld experim<strong>en</strong>t.<br />
Stel N e<strong>en</strong> groot<br />
47
Welk deel hiervan zal de weg “ab” volg<strong>en</strong> <br />
Welnu, 3 ⋅ N van deze herhaling<strong>en</strong> zull<strong>en</strong> eerst a oplever<strong>en</strong> <strong>en</strong> 2 van deze 3 ⋅ N<br />
5<br />
5 5<br />
gevall<strong>en</strong> zull<strong>en</strong> vervolg<strong>en</strong>s b oplever<strong>en</strong>. Derhalve zull<strong>en</strong> er 3 2<br />
5 ⋅ ⋅ N herhaling<strong>en</strong><br />
5<br />
de weg “ab” volg<strong>en</strong>.<br />
Deze intuïtieve red<strong>en</strong>ering leidt tot de volg<strong>en</strong>de belangrijke definitie.<br />
De productregel voor kans<strong>en</strong><br />
De kans op e<strong>en</strong> weg is gelijk aan het product van de kans<strong>en</strong> langs die weg.<br />
De productregel levert de volg<strong>en</strong>de kansverdeling :<br />
u aa ab ba bb<br />
Pu ( ) 9/25 6/25 6/25 4/25<br />
Kans<strong>en</strong> drukk<strong>en</strong> we vaak uit in perc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>. Zo is<br />
9<br />
Paa ( ) = = 36% .<br />
25<br />
b) Trekking<strong>en</strong> zonder teruglegg<strong>en</strong><br />
Uit dezelfde vaas trekk<strong>en</strong> we nu twee keer e<strong>en</strong><br />
letter, zonder de eerste letter terug te legg<strong>en</strong>. De<br />
bijbehor<strong>en</strong>de kansboom <strong>en</strong> kansverdeling wordt<br />
dan :<br />
3/5 2/5<br />
a b<br />
u aa ab ba bb<br />
Pu ( ) 3/10 3/10 3/10 1/10<br />
1/2<br />
a<br />
1/2 3/4<br />
b a<br />
1/4<br />
b<br />
Merk op dat de kans<strong>en</strong> bij de tweede trekking afhankelijk zijn van het resultaat van<br />
de eerste trekking. We sprek<strong>en</strong> over afhankelijke deelexperim<strong>en</strong>t<strong>en</strong>.<br />
3.4 Uitgewerkte voorbeeld<strong>en</strong><br />
3.4.1 Gezinsplanning<br />
E<strong>en</strong> koppel zou graag e<strong>en</strong> meisje hebb<strong>en</strong> <strong>en</strong> besluit derhalve kindjes te kop<strong>en</strong> tot ze<br />
e<strong>en</strong> meisje hebb<strong>en</strong> of tot ze 3 kinder<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong>. Schat via <strong>simulatie</strong> de kans dat het<br />
koppel e<strong>en</strong> meisje zal hebb<strong>en</strong>. Berek<strong>en</strong> vervolg<strong>en</strong>s de exacte kans.<br />
48
We mak<strong>en</strong> hiertoe de volg<strong>en</strong>de veronderstelling<strong>en</strong> :<br />
• P(jong<strong>en</strong>) = P(meisje) = 0.5<br />
• de ope<strong>en</strong>volg<strong>en</strong>de geboortes zijn onafhankelijke “experim<strong>en</strong>t<strong>en</strong>”, d.w.z. dat de<br />
kans<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> jong<strong>en</strong> of e<strong>en</strong> meisje ongewijzigd blijv<strong>en</strong>.<br />
We coder<strong>en</strong> e<strong>en</strong> jong<strong>en</strong> met 0, e<strong>en</strong> meisje met 1 <strong>en</strong> simuler<strong>en</strong> 50 geboortes met<br />
MATH 5:randInt(0,1,50). Dit levert hier de volg<strong>en</strong>de 27 gezinn<strong>en</strong><br />
op met als kinder<strong>en</strong> :<br />
01 01 000 001 1 1 1 01 1 001 1 01 1 1<br />
1 000 01 001 1 000 1 001 1 01 01 1 001<br />
Bij deze 27 gezinn<strong>en</strong> werd er 24 keer e<strong>en</strong> meisje gebor<strong>en</strong>. Via onze <strong>simulatie</strong><br />
schatt<strong>en</strong> we de kans dat het koppel e<strong>en</strong> meisje heeft op 24 0.889<br />
27 = .<br />
De exacte kans kunn<strong>en</strong> we berek<strong>en</strong><strong>en</strong> met de hieronder afgebeelde kansboom.<br />
P(meisje) = P({M, JM, JJM})<br />
= P(M) + P(JM) + P(JJM)<br />
2 3<br />
= 0.5 + 0.5 + 0.5 = 0.875<br />
Of sneller : P(meisje) = 1 - P(3 jong<strong>en</strong>s) = 1 – P(JJJ)<br />
3<br />
= 1 – 0.5 =0.875.<br />
3.4.2 Runs in binaire toevalsgetall<strong>en</strong><br />
0.5<br />
0.5<br />
M<br />
0.5<br />
J<br />
0.5<br />
M<br />
0.5<br />
J<br />
0.5<br />
M<br />
J<br />
Als experim<strong>en</strong>t beschouw<strong>en</strong> we het 10 keer werp<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> muntstuk. Voor de<br />
<strong>simulatie</strong> coder<strong>en</strong> we munt met 1 <strong>en</strong> kop met 0.<br />
We beschouw<strong>en</strong> opnieuw de 50 bits uit het vorige voorbeeld, maar gegroepeerd per<br />
ti<strong>en</strong> bits : 0101000001 1110110011 0111100001 0011000100 1101011001.<br />
De tweede groep vertoont e<strong>en</strong> “run” met l<strong>en</strong>gte 3; d.i. e<strong>en</strong> blok van 3<br />
ope<strong>en</strong>volg<strong>en</strong>de gelijke bits. De eerste groep is de <strong>en</strong>ige groep waarvan de langste<br />
run l<strong>en</strong>gte 5 heeft.<br />
We b<strong>en</strong>ader<strong>en</strong> de kans op de gebeurt<strong>en</strong>is “de langste run in e<strong>en</strong> lukrake rij van 10<br />
bits heeft l<strong>en</strong>gte 5” via <strong>simulatie</strong>. Als ruwe schatting hebb<strong>en</strong> we reeds 1/5 = 20 %.<br />
Uiteraard moet<strong>en</strong> we het experim<strong>en</strong>t dat bestaat uit het lukraak kiez<strong>en</strong> van 10 bits<br />
vaak herhal<strong>en</strong> om e<strong>en</strong> goed idee te hebb<strong>en</strong> over de kans. Daartoe herhal<strong>en</strong> we het<br />
experim<strong>en</strong>t 50 keer.<br />
49
Om het geheug<strong>en</strong> van de TI-83 niet te overbelast<strong>en</strong>, gaan we als volgt te werk :<br />
0→ T (T telt het aantal groep<strong>en</strong> met als langste run l<strong>en</strong>gte 5)<br />
Herhaal 50 keer :<br />
G<strong>en</strong>ereer e<strong>en</strong> rijtje van 10 bits in L1<br />
Bepaal de l<strong>en</strong>gte S van de langste run in L1<br />
Verhoog T met 1 als S = 5<br />
Berek<strong>en</strong> T/50<br />
We schrijv<strong>en</strong> e<strong>en</strong> programma om dit te automatiser<strong>en</strong> :<br />
PROGRAM:RUN<br />
ClrHome<br />
basisscherm wiss<strong>en</strong><br />
0üT<br />
initialisatie van T<br />
For(I,1,50)<br />
50 keer herhal<strong>en</strong><br />
randInt(0,1,10)üL1<br />
10 bits in L1<br />
1üS<br />
initialisatie van S<br />
1üK<br />
K telt de l<strong>en</strong>gte van elke run<br />
1üJ<br />
J is de positie van de bit in L1<br />
While J
Klasopgave<br />
B<strong>en</strong>ader de kans door de resultat<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> ganse klas te groeper<strong>en</strong>.<br />
Wijzig het programma zodat je in het begin kan kiez<strong>en</strong> hoe vaak je het<br />
experim<strong>en</strong>t w<strong>en</strong>st te herhal<strong>en</strong> (in bov<strong>en</strong>staand programma is dit telk<strong>en</strong>s 50<br />
keer).<br />
B<strong>en</strong>ader de kans op e<strong>en</strong> langste run van l<strong>en</strong>gte 3 (exact : 185/512 = 0.361) <strong>en</strong><br />
de kans op e<strong>en</strong> langste run van l<strong>en</strong>gte minst<strong>en</strong>s 5 (exact : 111/512 = 0.217)<br />
Opmerking<br />
De wet van de grote aantall<strong>en</strong> garandeert dat de relatieve frequ<strong>en</strong>tie op de lange<br />
duur de exacte kans b<strong>en</strong>adert.<br />
Als m<strong>en</strong> je vraagt e<strong>en</strong> lukraak rijtje van 10 bits op te schrijv<strong>en</strong>, zal je wellicht nooit<br />
e<strong>en</strong> run met l<strong>en</strong>gte 5 of meer durv<strong>en</strong> opschrijv<strong>en</strong>. De kans hierop is nochtans<br />
0.217. Intuïtief heb je de neiging te gelov<strong>en</strong> in de onbestaande “wet der kleine<br />
aantall<strong>en</strong>” waarbij de relatieve frequ<strong>en</strong>tie al vrij snel de exacte kans op 1 of 0 zou<br />
moet<strong>en</strong> b<strong>en</strong>ader<strong>en</strong>.<br />
Ziehier de kans op e<strong>en</strong> langste run van kop (0) of munt (1) met l<strong>en</strong>gte u :<br />
u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
1 88 185 127 63 28 12 5 2 1<br />
Pu ( )<br />
512 512 512 512 512 512 512 512 512 512<br />
3.4.3 Het verjaardag<strong>en</strong>probleem<br />
In e<strong>en</strong> klas zitt<strong>en</strong> 15 leerling<strong>en</strong> (ge<strong>en</strong> tweeling<strong>en</strong>). Bepaal de kans dat er minst<strong>en</strong>s 2<br />
van de 15 leerling<strong>en</strong> dezelfde verjaardag hebb<strong>en</strong>.<br />
We veronderstell<strong>en</strong> dat e<strong>en</strong> jaar bestaat uit 365 dag<strong>en</strong>, die als verjaardag<strong>en</strong><br />
allemaal ev<strong>en</strong> waarschijnlijk zijn.<br />
We simuler<strong>en</strong> het experim<strong>en</strong>t als volgt.<br />
We simuler<strong>en</strong> de verjaardag<strong>en</strong> van 15 person<strong>en</strong> <strong>en</strong> sorter<strong>en</strong> deze 15 dag<strong>en</strong> in<br />
stijg<strong>en</strong>de volgorde in lijst L1. Je kan deze lijst manueel overlop<strong>en</strong> om na te gaan of<br />
er minst<strong>en</strong>s twee gelijke getall<strong>en</strong> in zijn.<br />
51
Via de lijst L2, de voorwaartse differ<strong>en</strong>ties van L1 gedefinieerd door<br />
L2( k) = L1( k + 1) −L 1( k)<br />
, volstaat het echter om null<strong>en</strong> op te spor<strong>en</strong>.<br />
We licht<strong>en</strong> het laatste plaatje nog ev<strong>en</strong> toe. Bijvoorbeeld de uitdrukking<br />
1,5,7,12,5 5<br />
1= 5,5= 5,7 = 5,12 = 5,5= 5 .<br />
{ } = is hetzelfde als de lijst { }<br />
De TI-83 werkt dit uit tot de lijst {0,1,0,0,1} waarbij 0 staat voor onwaar <strong>en</strong> 1<br />
voor waar.<br />
sum({0,1,0,0,1}), de som van de elem<strong>en</strong>t<strong>en</strong> uit de lijst {0,1,0,0,1}, levert als<br />
resultaat 2. Wat wil zegg<strong>en</strong> dat het aantal elem<strong>en</strong>t<strong>en</strong> uit de oorspronkelijke lijst<br />
{1,5,7,12,5} die gelijk zijn aan 5, twee bedraagt.<br />
In bov<strong>en</strong>staande <strong>simulatie</strong> war<strong>en</strong> er klaarblijkelijk ge<strong>en</strong> gelijke verjaardag<strong>en</strong>. In de<br />
volg<strong>en</strong>de plaatjes simuleerd<strong>en</strong> we 18 bije<strong>en</strong>komst<strong>en</strong> van 15 lukraak gekoz<strong>en</strong><br />
person<strong>en</strong>. Vier keer war<strong>en</strong> er minst<strong>en</strong>s 2 person<strong>en</strong> met dezelfde verjaardag.<br />
Als b<strong>en</strong>adering voor de gevraagde kans vind<strong>en</strong> we de relatieve frequ<strong>en</strong>tie van<br />
4/18=0.22. Op 2 decimal<strong>en</strong> nauwkeurig is de exacte kans 0.25 (zie verder).<br />
Het is niet moeilijk om e<strong>en</strong> programma te schrijv<strong>en</strong> met als input het aantal<br />
<strong>simulatie</strong>s N <strong>en</strong> als output de relatieve frequ<strong>en</strong>tie of de experim<strong>en</strong>tele kans:<br />
PROGRAM:VERJAAR<br />
ClrHome<br />
Prompt N<br />
0üS<br />
For(I,1,N)<br />
randInt(1,365,15)ü L1<br />
SortA(L1)<br />
If sum((¾List(L1)=0)ø0<br />
S+1üS<br />
End<br />
Disp "RELFREQ=",S/N<br />
52
E<strong>en</strong> groter aantal <strong>simulatie</strong>s impliceert niet noodzakelijk e<strong>en</strong> betere kansb<strong>en</strong>adering<br />
(vergelijk N=10 met N=50 in onderstaande <strong>simulatie</strong>). De exacte kans voor dit<br />
probleem kun je berek<strong>en</strong><strong>en</strong> zoals rechtsonder afgebeeld.<br />
Hier valt het nog mee om de exacte kans te berek<strong>en</strong><strong>en</strong>. Dit is echter niet altijd zo,<br />
zodat <strong>simulatie</strong> zich dan zeker opdringt (zie voorbeeld 3.4.5).<br />
Opgave<br />
In e<strong>en</strong> zaal bevind<strong>en</strong> zich k person<strong>en</strong>. Hoe groot is de kans dat er minst<strong>en</strong>s<br />
twee person<strong>en</strong> dezelfde verjaardag hebb<strong>en</strong> <br />
Stel e<strong>en</strong> tabel op met de TI-83 voor k = 2,3,4, … . Vanaf welke waarde van k<br />
wordt de kans groter dan 0.5 <br />
3.4.4 Bur<strong>en</strong> bij de lotto<br />
Bij het lotto-spel word<strong>en</strong> elke week 6 winn<strong>en</strong>de nummers uit de 42 getall<strong>en</strong><br />
1,2,3,…,42 getrokk<strong>en</strong> (lukraak <strong>en</strong> zonder teruglegg<strong>en</strong>).<br />
Ziehier de resultat<strong>en</strong> van zo’n trekking : 4, 12, 13, 25, 27, 38.<br />
In deze trekking hebb<strong>en</strong> we de bur<strong>en</strong> 12 <strong>en</strong> 13.<br />
Is dit zeld<strong>en</strong> Wat is de kans op minst<strong>en</strong>s 2 bur<strong>en</strong> <br />
We simuler<strong>en</strong> 50 lottotrekking<strong>en</strong> met het volg<strong>en</strong>de programma.<br />
PROGRAM:LOTTO<br />
ClrHome<br />
0üT<br />
For(I,1,50)<br />
Repeat sum(¾List(L1)=0)=0 Lijst<strong>en</strong> met id<strong>en</strong>tieke getall<strong>en</strong> neger<strong>en</strong>.<br />
randInt(1,42,6)üL1<br />
SortA(L1)<br />
End<br />
If sum(¾List(L1)=1)ø0 Zijn er bur<strong>en</strong> in de gesorteerde lijst <br />
T+1üT<br />
End<br />
Disp "DE EXPERIMENTELE"<br />
Disp "KANS IS"<br />
Disp T/50<br />
53
E<strong>en</strong> <strong>simulatie</strong> levert 0.58 als resultaat. De exacte kans is<br />
0.557. Bur<strong>en</strong> in de lotto zijn dus helemaal niet zeld<strong>en</strong>.<br />
E<strong>en</strong> andere <strong>simulatie</strong> van 50 lottotrekking<strong>en</strong> leverde<br />
0.46 als resultaat. De wet der grote aantall<strong>en</strong> zegt<br />
jammer g<strong>en</strong>oeg niet hoe vaak je het experim<strong>en</strong>t moet<br />
simuler<strong>en</strong> om e<strong>en</strong> betrouwbare experim<strong>en</strong>tele kans te<br />
krijg<strong>en</strong>.<br />
De exacte kans berek<strong>en</strong><strong>en</strong> we als volgt.<br />
Beeld je de getall<strong>en</strong> 1 tot 42 in als e<strong>en</strong> rij van knikkers : de 6 getrokk<strong>en</strong> cijfers als<br />
zwarte knikkers <strong>en</strong> de 36 andere als witte knikkers. Voor de complem<strong>en</strong>taire<br />
gebeurt<strong>en</strong>is “ge<strong>en</strong> bur<strong>en</strong>” mog<strong>en</strong> er ge<strong>en</strong> twee zwarte knikkers naast elkaar ligg<strong>en</strong>.<br />
Om zo e<strong>en</strong> rij te vorm<strong>en</strong> volstaat het 6 zwarte knikkers tuss<strong>en</strong> de 36 witte knikkers<br />
te voeg<strong>en</strong>. Hiervoor zijn er 37 plaats<strong>en</strong> (links van elke witte knikker <strong>en</strong> rechts van<br />
de laatste witte knikker). Hieruit kiez<strong>en</strong> we 6 plaats<strong>en</strong>. Bijgevolg geldt :<br />
⎛37⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 6 ⎠<br />
P( minst<strong>en</strong>s 2 bur<strong>en</strong>)<br />
= 1 −P(ge<strong>en</strong> bur<strong>en</strong>) =1 − = 0.557.<br />
⎛42⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 6 ⎠<br />
3.4.5 Het probleem van de garderobejuffrouw<br />
Zes her<strong>en</strong> gev<strong>en</strong> hun hoed<strong>en</strong> af bij de garderobe. De garderobejuffrouw geeft de<br />
hoed<strong>en</strong> later lukraak terug. Hoe groot is de kans dat er minst<strong>en</strong>s één heer zijn eig<strong>en</strong><br />
hoed krijgt <br />
Hetzelfde probleem vind<strong>en</strong> we terug bij de volg<strong>en</strong>de opgave. E<strong>en</strong> secretaris typt 6<br />
briev<strong>en</strong> <strong>en</strong> adresseert 6 briefomslag<strong>en</strong>. Dan steekt hij de briev<strong>en</strong> lukraak in de<br />
briefomslag<strong>en</strong>. Hoe groot is de kans dat er minst<strong>en</strong>s één brief in de juiste <strong>en</strong>velop<br />
komt <br />
Het probleem is nu de opgave te vertal<strong>en</strong> of te coder<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> wiskundig model dat<br />
zich le<strong>en</strong>t tot <strong>simulatie</strong>.<br />
Nummer de her<strong>en</strong> (briev<strong>en</strong>) van 1 tot 6, nummer de hoed<strong>en</strong> (briefomslag<strong>en</strong>) ook<br />
van 1 tot 6 <strong>en</strong> zorg ervoor dat heer (brief) met nummer x hoort bij hoed<br />
(briefomslag) met nummer x.<br />
E<strong>en</strong> lukrake keuze van de garderobejuffrouw levert e<strong>en</strong> bijectie van {1,2,3,4,5,6}<br />
(de her<strong>en</strong>) naar {1,2,3,4,5,6} (de hoed<strong>en</strong>).<br />
54
Minst<strong>en</strong>s één heer krijgt zijn eig<strong>en</strong> hoed wanneer de gekoz<strong>en</strong> permutatie van<br />
{1,2,3,4,5,6} minst<strong>en</strong>s één “vast punt” heeft, bijvoorbeeld 4 gaat naar 4. Zo e<strong>en</strong><br />
permutatie kunn<strong>en</strong> we voorstell<strong>en</strong> door e<strong>en</strong> rijtje van beeld<strong>en</strong>, hor<strong>en</strong>de bij<br />
argum<strong>en</strong>t<strong>en</strong> in natuurlijke volgorde.<br />
Zo levert de permutatie (2,4,3,1,6,5) één vast punt op : 1 gaat naar 2, 2 naar 4, 3<br />
naar 3, 4 naar 1, 5 naar 6 <strong>en</strong> 6 naar 5. Het elem<strong>en</strong>t 3 van de rij (2,4,3,1,6,5) staat<br />
op zijn natuurlijke plaats.<br />
Om dit te simuler<strong>en</strong> volstaat het lukraak 6 (verschill<strong>en</strong>de) getall<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> 0 <strong>en</strong> 1 te<br />
g<strong>en</strong>erer<strong>en</strong> <strong>en</strong> te onderzoek<strong>en</strong> of er getall<strong>en</strong> bij zijn die op hun natuurlijke plaats<br />
staan. Zo levert de rij (0.87 , 0.45 , 0.92 , 0.68 , 0.38 , 0.15) of de permutatie<br />
(5 , 3 , 6 , 4 , 2 , 1 ) één vast punt.<br />
Als relatieve frequ<strong>en</strong>tie vind<strong>en</strong> we 13/18 = 0,72.<br />
1 1 1 1 1 1 1<br />
De exacte kans is gelijk aan 1 −( − + − + − + ) = 0,6319 . Dit is<br />
0! 1! 2! 3! 4! 5! 6!<br />
niet zo e<strong>en</strong>voudig aan te ton<strong>en</strong>.<br />
Het bepal<strong>en</strong> van de exacte kans maakt gebruik van de reeksontwikkeling van Mac-<br />
∞ k<br />
x x<br />
Laurin van de expon<strong>en</strong>tiële functie : e = ∑<br />
k<br />
.<br />
k = 0<br />
!<br />
De veralgem<strong>en</strong>ing voor n her<strong>en</strong> met n hoed<strong>en</strong> ligt voor de hand.<br />
Algeme<strong>en</strong> is de exacte kans<br />
1<br />
( −1)<br />
k!<br />
n k<br />
−∑ .<br />
k = 0<br />
1<br />
We krijg<strong>en</strong> als kans telk<strong>en</strong>s e<strong>en</strong> b<strong>en</strong>adering van 1− = 0.6321.<br />
e<br />
De gevraagde kans is dus steeds ongeveer 2 , onafhankelijk van n (met n >2).<br />
3<br />
Met bov<strong>en</strong>staande <strong>simulatie</strong> kunn<strong>en</strong> we echter meer. Hiermee is het o.a. mogelijk<br />
de kans te b<strong>en</strong>ader<strong>en</strong> dat er juist twee her<strong>en</strong> hun eig<strong>en</strong> hoed krijg<strong>en</strong>, <strong>en</strong>z.<br />
55
3.5 Opdracht<strong>en</strong><br />
1. Hoe groot is de kans om bij het trekk<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> kaart uit 52 kaart<strong>en</strong> e<strong>en</strong><br />
klaver<strong>en</strong> of e<strong>en</strong> hart<strong>en</strong> te trekk<strong>en</strong> <br />
2. Hoe groot is de kans dat bij het gooi<strong>en</strong> met 2 dobbelst<strong>en</strong><strong>en</strong> de som van het<br />
aantal og<strong>en</strong> minst<strong>en</strong>s 3 is <br />
3. Hoe groot is de kans dat e<strong>en</strong> getrokk<strong>en</strong> kaart uit 52 e<strong>en</strong> klaver<strong>en</strong> of e<strong>en</strong> aas is<br />
4. Veralgem<strong>en</strong>ing van de somregel. Stel e<strong>en</strong> formule op voor PA ( ∪B∪ C)<br />
.<br />
5. We gooi<strong>en</strong> met drie muntstukk<strong>en</strong>. Hoe groot is de kans op het gooi<strong>en</strong> van<br />
minst<strong>en</strong>s 1 keer munt Simuleer dit ook.<br />
6. Hoe groot is de kans om met zes worp<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> dobbelste<strong>en</strong> zes verschill<strong>en</strong>de<br />
resultat<strong>en</strong> te krijg<strong>en</strong> Simuleer dit ook.<br />
7. In e<strong>en</strong> doos zitt<strong>en</strong> 15 gloeilamp<strong>en</strong> waarvan 10 goede <strong>en</strong> 5 slechte. M<strong>en</strong> neemt<br />
lukraak in één greep 3 lamp<strong>en</strong> uit de doos. Wat is de kans dat<br />
(a) de 3 lamp<strong>en</strong> slecht zijn <br />
(b) de 3 lamp<strong>en</strong> goed zijn <br />
(c) één lamp slecht is <strong>en</strong> twee lamp<strong>en</strong> goed zijn <br />
Wijzig<strong>en</strong> de oplossing<strong>en</strong> indi<strong>en</strong> we de lamp<strong>en</strong> één na één uit de doos nem<strong>en</strong> <br />
B<strong>en</strong>ader de kans op 3 slechte lamp<strong>en</strong> via <strong>simulatie</strong>.<br />
8. Uit e<strong>en</strong> groep van 10 vrouw<strong>en</strong> <strong>en</strong> 7 mann<strong>en</strong> kiez<strong>en</strong> we lukraak zes person<strong>en</strong>.<br />
Berek<strong>en</strong> de kans dat t<strong>en</strong> hoogste twee van de zes person<strong>en</strong> vrouw<strong>en</strong> zijn.<br />
B<strong>en</strong>ader deze kans via <strong>simulatie</strong>.<br />
9. E<strong>en</strong> dobbelste<strong>en</strong> is aan e<strong>en</strong> zijde verzwaard zodat de kans op zes og<strong>en</strong> 1/2 is.<br />
De overige 5 uitkomst<strong>en</strong> zijn ev<strong>en</strong> waarschijnlijk. Berek<strong>en</strong> de kans<br />
(a) om e<strong>en</strong> ev<strong>en</strong> aantal og<strong>en</strong> te gooi<strong>en</strong>,<br />
(b) om e<strong>en</strong> aantal og<strong>en</strong> te gooi<strong>en</strong> dat deelbaar is door drie,<br />
(c) om t<strong>en</strong>minste vijf te gooi<strong>en</strong>.<br />
10. Op twee normale dobbelst<strong>en</strong><strong>en</strong> heeft m<strong>en</strong> op het zijvlak dat gewoonlijk zes<br />
og<strong>en</strong> heeft er slechts vijf aangebracht. Berek<strong>en</strong> de kans dat de som van het<br />
aantal og<strong>en</strong> bij het werp<strong>en</strong> van deze twee st<strong>en</strong><strong>en</strong> minst<strong>en</strong>s 9 is.<br />
56
11. Bij het lotto-spel word<strong>en</strong> elke week 6 winn<strong>en</strong>de nummers plus e<strong>en</strong> bijkom<strong>en</strong>d<br />
getal uit de 42 getall<strong>en</strong> 1,2,3,…,42 getrokk<strong>en</strong> (lukraak <strong>en</strong> zonder teruglegg<strong>en</strong>).<br />
Kies lukraak 6 getall<strong>en</strong> uit 1,2,…42.<br />
Bepaal de kans om het volg<strong>en</strong>de aantal winn<strong>en</strong>de nummers te hebb<strong>en</strong> :<br />
(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 5 plus bijkom<strong>en</strong>d getal (e) 6<br />
(f) Hoe groot is de kans dat je e<strong>en</strong> prijs wint (minst<strong>en</strong>s 3 winn<strong>en</strong>de nummers) <br />
Overtuig jezelf door <strong>simulatie</strong> dat je slechts zeld<strong>en</strong> e<strong>en</strong> prijs (meestal slechts 3<br />
winn<strong>en</strong>de nummers) wint.<br />
12. E<strong>en</strong> oud gokspel bestaat erin met 4 dobbelst<strong>en</strong><strong>en</strong> te gooi<strong>en</strong> (of met één<br />
ste<strong>en</strong> 4 keer na elkaar). Als er minst<strong>en</strong>s één zes bij is, wint m<strong>en</strong>. Toon aan dat<br />
de kans op winst groter is dan 50 %.<br />
E<strong>en</strong> zekere Chevalier de Méré bedacht e<strong>en</strong> andere versie. Vermits het werp<strong>en</strong><br />
van e<strong>en</strong> dubbele zes (kans 1/36) met twee st<strong>en</strong><strong>en</strong> 6 keer moeilijker is dan één<br />
zes met één worp (kans 1/6), red<strong>en</strong>eerde hij als volgt.<br />
Als m<strong>en</strong> 4 keer moet gooi<strong>en</strong> met één ste<strong>en</strong> om met gunstige kans minst<strong>en</strong>s één<br />
zes te hebb<strong>en</strong>, dan volstaat het om 6 x 4 = 24 keer te gooi<strong>en</strong> met twee st<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
om met dezelfde kans minst<strong>en</strong>s één dubbele zes te werp<strong>en</strong>. Hij verloor hierbij<br />
echter e<strong>en</strong> groot deel van zijn fortuin.<br />
Blaise Pascal (1623-1662) heeft to<strong>en</strong> de kans voor hem uitgerek<strong>en</strong>d. Hoe groot<br />
is die kans om bij 24 worp<strong>en</strong> met twee st<strong>en</strong><strong>en</strong> minst<strong>en</strong>s één keer (6,6) te<br />
hebb<strong>en</strong> Er wordt beweerd dat dit probleem de studie van de<br />
waarschijnlijkheidsleer heeft opgestart (1654).<br />
13. Stel A <strong>en</strong> B gebeurt<strong>en</strong>iss<strong>en</strong> met PA= ( ) 3/8, ( ) 1/2 P A∩ B =1/4.<br />
Berek<strong>en</strong>: (a) PA ( ∪ B)<br />
(b) PA ( ) <strong>en</strong> PB ( ) (c) PA ( ∩ B)<br />
(d) PA ( ∪ B)<br />
(e) PA ( ∩ B)<br />
(f) PB ( ∩ A)<br />
PB = <strong>en</strong> ( )<br />
14. Gegev<strong>en</strong> de kans<strong>en</strong> PA ( ∪ B) = 3/ 4 , ( ) 2/3 P A∩ B = 1/4 .<br />
Berek<strong>en</strong> : (a) PA ( ) (b) PB ( ) (c) PA ( ∩ B)<br />
PA= , ( )<br />
15. In e<strong>en</strong> donkere gang ligg<strong>en</strong> 4 zwarte, 6 rode <strong>en</strong> 2 witte sokk<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> lade. Er<br />
word<strong>en</strong> lukraak 2 sokk<strong>en</strong> gekoz<strong>en</strong>. Hoe groot is de kans dat ze dezelfde kleur<br />
hebb<strong>en</strong> <br />
16. E<strong>en</strong> urne bevat 3 zwarte <strong>en</strong> 5 witte ball<strong>en</strong>. Er word<strong>en</strong> 2 ball<strong>en</strong> na elkaar <strong>en</strong><br />
zonder teruglegg<strong>en</strong> getrokk<strong>en</strong>. Wat is de kans dat de tweede bal zwart is <br />
57
17. E<strong>en</strong> onderwijzer verloot e<strong>en</strong> boek onder zijn 24 leerling<strong>en</strong> door h<strong>en</strong><br />
achtere<strong>en</strong>volg<strong>en</strong>s e<strong>en</strong> getal te lat<strong>en</strong> rad<strong>en</strong> van 1 tot 24. Telk<strong>en</strong>s er iemand<br />
gerad<strong>en</strong> heeft zegt hij “verkeerd” of “juist”. De vijfde leerling raadt juist <strong>en</strong><br />
krijgt het boek. Jantje die op de laatste bank zit roept: “Dat is niet eerlijk, ik<br />
heb niet e<strong>en</strong>s mog<strong>en</strong> rad<strong>en</strong>!” De meester beweert dat het wel eerlijk is omdat<br />
iedere<strong>en</strong> dezelfde kans heeft om het boek te winn<strong>en</strong>. Wie heeft gelijk <br />
18. Uit elk van de onderstaande vaz<strong>en</strong> wordt lukraak e<strong>en</strong> getal getrokk<strong>en</strong> <strong>en</strong> de<br />
drie getall<strong>en</strong> word<strong>en</strong> met elkaar verm<strong>en</strong>igvuldigd <strong>en</strong> met elkaar opgeteld .<br />
Hoe groot is de kans dat het resultaat ev<strong>en</strong> is <br />
2 3 4 5 1 2<br />
4 5 6 7 5 8 10<br />
19. In e<strong>en</strong> vaas ligg<strong>en</strong> twee witte <strong>en</strong> drie zwarte knikkers. Twee spelers hal<strong>en</strong> om<br />
beurt e<strong>en</strong> knikker uit de vaas zonder teruglegg<strong>en</strong>. Winnaar is dieg<strong>en</strong>e die eerst<br />
e<strong>en</strong> witte knikker trekt. Hoe groot is de kans dat de eerste speler wint<br />
20. Ti<strong>en</strong> jagers, die steeds raak schiet<strong>en</strong>, wacht<strong>en</strong> geduldig voor e<strong>en</strong> rots op hun<br />
prooi. Plots land<strong>en</strong> er ti<strong>en</strong> e<strong>en</strong>d<strong>en</strong> op die rots. De jagers kunn<strong>en</strong> maar één keer<br />
schiet<strong>en</strong> <strong>en</strong> schiet<strong>en</strong> gelijktijdig. Elke jager kiest hierbij lukraak zijn<br />
slachtoffer.<br />
Hoeveel e<strong>en</strong>d<strong>en</strong> zull<strong>en</strong> er gemiddeld overlev<strong>en</strong> per experim<strong>en</strong>t, als dit<br />
experim<strong>en</strong>t vaak herhaald wordt Leg uit waarom het theoretische gemiddelde<br />
3.5 is.<br />
21. Op e<strong>en</strong> meerkeuzetoets van 10 vrag<strong>en</strong> met elk vier alternatiev<strong>en</strong> staan 10<br />
punt<strong>en</strong> : 1 punt per vraag, juist of fout. E<strong>en</strong> stud<strong>en</strong>t antwoordt lukraak op elke<br />
vraag. B<strong>en</strong>ader via <strong>simulatie</strong> de kans dat deze stud<strong>en</strong>t minst<strong>en</strong>s de helft haalt.<br />
Tip : gebruik int(0.25+rand) voor <strong>simulatie</strong> van de score op één vraag.<br />
22. E<strong>en</strong> spel bestaat uit het lukraak kiez<strong>en</strong> van 3 getall<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> uit {0,1,2,...,99}<br />
(herhaling is toegestaan). M<strong>en</strong> wint het spel als de som van deze drie getall<strong>en</strong><br />
deelbaar is door 5. Bepaal de experim<strong>en</strong>tele kans op winst d.m.v. <strong>simulatie</strong>.<br />
23. E<strong>en</strong> moedige wiskundeleraar is bereid om tijd<strong>en</strong>s de grote vakantie twee uur<br />
per dag bijles te gev<strong>en</strong> aan zijn buurjong<strong>en</strong>. Zijn vader is e<strong>en</strong> gokker <strong>en</strong> werpt<br />
na de bijles dagelijks e<strong>en</strong> muntstuk op tot er drie keer kop achter elkaar<br />
verschijnt. Het totaal aantal worp<strong>en</strong> dat hiervoor nodig is, bepaalt het bedrag in<br />
Euro dat hij die dag aan de leraar geeft.<br />
Voorspel hoeveel Euro de vader betaalt in 60 dag<strong>en</strong> d.m.v. <strong>simulatie</strong>.<br />
58
24. In e<strong>en</strong> vierkant met zijde 1 tek<strong>en</strong><strong>en</strong> we e<strong>en</strong> kwartcirkel met straal 1 <strong>en</strong> als<br />
middelpunt één van de hoekpunt<strong>en</strong> van het vierkant. We kiez<strong>en</strong> lukraak e<strong>en</strong><br />
punt van het vierkant. De kans dat we binn<strong>en</strong> de kwartcirkel terecht kom<strong>en</strong> is<br />
π /4.<br />
Bepaal d.m.v. <strong>simulatie</strong> van dit experim<strong>en</strong>t e<strong>en</strong> b<strong>en</strong>adering van π .<br />
z1<br />
2<br />
0<br />
− x<br />
25. B<strong>en</strong>ader e dx met de Monte Carlo-methode (cfr. vorige opgave).<br />
59