Opdrachten - Plantyn

3
3.4 Afgeleide functies
3.4 Afgeleide functies
13
1 Maak d.m.v. je rekenmachine een tabel met de
afgeleiden van de functie f(x) x 2 voor x gelijk aan
5, 4, 3, ...
2 Schrijf de formule die f’(x) geeft voor een
willekeurige waarde van x.
• Afgeleide functie van f(x) x 2
– In de vorige paragraaf bepaalden we de afgeleide van de functie f(x) x 2
voor een aantal concrete waarden van x. Nu bepalen we de afgeleide voor
een willekeurige waarde van x.
1 We berekenen f(x):
f(x) f(x x) f(x)
(x x) 2 x 2
x 2 2x x (x) 2 x 2
2x x (x) 2 .
y
f(x ∆x)
y x 2
2 We berekenen het differentiequotiënt:
∆f(x)
f(
x) 2x x (x) 2
x
x
2x x.
f(x)
0
x
∆x
x ∆x
x
3 We laten x onbeperkt tot 0 naderen:
f(
x)
→ 2x.
x
De afgeleide van de functie f(x) x 2 voor een willekeurige x-waarde is
dus 2x.
Zo is f’(1) 2 1 2 en f’(2) 2 (2) 4.
De functie f’(x) 2x noemen we de afgeleide functie van f(x).
– Omdat ze voor elke x-waarde de helling of de richtingscoëfficiënt van de
raaklijn in (x, f(x)) geeft, noemt men de afgeleide functie van f ook de
hellingfunctie van f.
De grafiek van f’ noemen we de hellinggrafiek van f. Op deze hellinggrafiek
lezen we immers de helling of de richtingscoëfficiënt van de raaklijnen aan
de grafiek van f af.
Zo zien we op de hellinggrafiek dat f’(1) 2.
98