Opdrachten - Plantyn

Hoofdstuk 3
VERANDERINGEN EN AFGELEIDEN
3.1 Toenamediagrammen
3.2 Gemiddelde verandering over een interval – Differentiequotiënt
3.3 Ogenblikkelijke verandering in een punt – Afgeleide
3.4 Afgeleide functies

3
3.1
Toenamediagrammen
In hoofdstuk 1 onderzochten we reeds grafisch het stijgen en het dalen van functies.
In dit hoofdstuk gaan we hierop dieper in. We zoeken een maat voor het stijgen of het dalen
van een functie in een interval en in een punt.
3.1 Toenamediagrammen
1
Hieronder zie je de grafiek van de temperatuur in Ukkel (in °C) gedurende één
bepaalde dag.
18
T (in °C)
16
14
12
10
8
6
4
2
t (in uur)
0
3 6 9 12 15 18 21 24
1 We verdelen de 24 uur in 8 gelijke deelintervallen van 3 uur. We kunnen de
temperaturen T en de temperatuursveranderingen T (delta T) dan weergeven
in een tabel. Vul deze tabel verder aan.
tijd t (in uur)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
temperatuur T (in °C)
3
4
5
7
14
18
14
10
7
verandering van de
temperatuur T (in °C)
1
...
...
...
...
...
...
...
84

Veranderingen en afgeleiden
3
2 We kunnen deze temperatuursveranderingen ook weergeven met een
toenamediagram.
Vul dit diagram verder aan.
∆T (in °C)
1
0
t (in uur)
3 6 9 12 15 18 21 24
• Voorbeeld
Beschouwen we de functie f(x) x 2 8x.
– We kunnen de verandering van deze functie in het interval [0, 8] weergeven
door aan de tabel van de functiewaarden een verschilrij toe te voegen.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
0
7
12
15
16
15
12
7
0
f(x)
7
5
3
1
1
3
5
7
De getallen in deze verschilrij geven aan met hoeveel f(x) is toegenomen of
afgenomen in elk deelinterval. We stellen deze toename van f(x) voor door
f(x) of “delta f(x)”.
y
15
10
y f(x)
5
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
– We kunnen de verandering
van deze functie ook
weergeven door op de grafiek
met verticale pijltjes aan te
duiden met hoeveel de
functiewaarden per eenheid
zijn gestegen of gedaald.
Zetten we deze verticale pijltjes
in een aparte figuur, dan
bekomen we een
toenamediagram.
85

3
3.1 Toenamediagrammen
∆y
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
9
– Zowel in de verschilrij als in
het toenamediagram zien we
dat f(x) vanaf 1 steeds minder
sterk toeneemt, dat f(x) vanaf
4 begint af te nemen en daarna
steeds meer afneemt.
5
• Algemeen
– Bij een functie kunnen we de verandering (toename of afname) van f(x)
weergeven d.m.v. een verschilrij. Hierbij nemen we voor x deelintervallen
van gelijke lengte. De lengte van die deelintervallen, d.i. de toename van x,
stellen we vaak voor door x (lees: delta x).
De verschilrij geeft dan aan met hoeveel f(x) is toegenomen of afgenomen
in elk deelinterval.
Deze toename of afname stellen we vaak voor door f(x) of y.
– We kunnen deze verandering van f(x) ook grafisch weergeven in een
toenamediagram.
Hierbij zetten we op de x-as deelintervallen van gelijke lengte x uit.
De lengtes f(x) van de verticale pijlen geven dan aan met hoeveel f(x) is
toegenomen of afgenomen in elk deelinterval.
2
Laten we een steen van een toren vallen, dan is de afgelegde weg s (in meter)
ongeveer gegeven door s(t) 5t 2 waarbij t de tijd in seconden voorstelt.
1 Maak een tabel met t, s en s voor de eerste 5 seconden. Neem deelintervallen
van 1 s.
2 Maak een toenamediagram voor de eerste 5 seconden.
3 Welke van de volgende beweringen is correct
a De afgelegde weg vertoont een constante stijging.
b De afgelegde weg vertoont een toenemende stijging.
c De afgelegde weg vertoont een afnemende stijging.
4 Wat betekent dit voor de snelheid van de steen
86

Veranderingen en afgeleiden
3
3
Hieronder links vind je een toenamediagram, met een stapgrootte van 1 dag, van
de koers van de dollar t.o.v. de euro gedurende één week.
Vul de grafiek van de koers van de dollar hieronder rechts verder aan. De
beginkoers (dag 0) was gelijk aan € 0,973.
toename koers $ (in €) koers $ (in €)
0,01
0,98
0,005
0,975
0,005
0 1 2 3 4 5 6 7
t (in dagen)
0,97
0,01
0,965
0
t (in dagen)
1 2 3 4 5 6 7
87

3
3.2 Gemiddelde verandering over een interval – Differentiequotiënt
3.2 Gemiddelde verandering over een interval –
Differentiequotiënt
4
Kathleen heeft een virale infectie. Hoe slecht ze zich voelt, hangt af van de snelheid
waarmee haar temperatuur stijgt.
t (in uur)
0
7
10
12
15
19
24
T (in °C)
36,6
37,0
37,5
38,5
39,0
39,3
38,6
T (in °C)
0,4
...
...
...
...
...
1 Vul de waarden van T verder aan in de tabel.
2 Wat is de gemiddelde stijging van haar temperatuur per uur in elke deelperiode
(in °C/u)
3 Gedurende welke periode van de dag voelt Kathleen zich het slechtst
• Een andere methode om de verandering van een functie weer te geven is de
gemiddelde verandering van de functiewaarden over een interval te bepalen.
Met deze methode kunnen we de veranderingen van een functie ook
vergelijken tussen intervallen met verschillende lengte.
• Voorbeeld
Beschouwen we opnieuw de functie f(x) x 2 8x.
x 1 2 3
x
1
2
4
7
f(x)
7
12
16
7
f(x)
5
4
9
Om de gemiddelde verandering van de functiewaarden in het interval [1, 2] te
zoeken, berekenen we de toename van f(x) per eenheid in het interval [1, 2].
f(x) 12 7 5
We vinden: 1 5.
x 2 1
De gemiddelde verandering van de functiewaarden in het interval [2, 4] is
gelijk aan
f(x) 16 12 4
2 2.
x 4 2
De gemiddelde verandering van de functiewaarden in het interval [4, 7] is
gelijk aan
f(x) 7 16 9
3.
x 7 4 3
88

Veranderingen en afgeleiden
3
We bekijken nu de grafische betekenis y
van deze resultaten.
16
(4, 16) 3
–
14
f(x) 12 7 5 4
Het getal 1
(2, 12)
5 12
x 2 1
2
10
is de richtingscoëfficiënt van de
5
8
verbindingslijn van de punten (1, 7) (1, 7)
6 1
en (2, 12).
9
(7, 7)
–
4
f(x) 16 12 4 y f(x)
Het getal 2 2 2
x 4 2
x
is de richtingscoëfficiënt van de
verbindingslijn van de punten (2, 12)
en (4, 16).
0 1 2 3 4 5 6 7 8
–
f(x) 7 16 9
Het getal 3 is de richtingscoëfficiënt van de
x 7 4 3
verbindingslijn van de punten (4, 16) en (7, 7).
• Algemeen
– De gemiddelde verandering van
een functie f over het interval [a, b]
is gelijk aan:
de verandering van f(x) over [a, b]
de verandering van x over [a, b]
f(x)
x
f(b) f(a)
b a
y
f(b)
0
– Een ander woord voor verandering
is differentie.
x en f(x) zijn dus de differenties van x, resp. f(x).
f(a)
f(
x)
noemen we het differentiequotiënt.
x
(a, f(a))
a
(b, f(b))
y f(x)
∆x
∆f(x)
b
x
– De gemiddelde verandering of het differentiequotiënt van f over het
interval [a, b] is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de verbindingslijn van
de punten (a, f(a)) en (b, f(b)).
We spreken ook over de gemiddelde helling van de grafiek in het interval
[a, b].
5
Bereken de gemiddelde verandering van de volgende functies over het interval
[1, 4].
1 f(x) x 2 3 f(x) x
1
2 f(x) x 3 4 f(x) x
89

3
3.2 Gemiddelde verandering over een interval – Differentiequotiënt
6
De tabel hieronder geeft een schatting van de bevolking in Europa tussen 400 v.C.
en 1500 n.C.
jaar
400
0
200
700
1 000
1 100
1 200
1 300
1 400
1 500
bevolking
in miljoenen
23
37
67
27
42
48
61
73
45
69
De gemiddelde verandering van de bevolking in het tijdsinterval [400, 0] is gelijk
aan:
verandering van de bevolking
verandering van de tijd
14
400
0,035.
De bevolking nam dus gemiddeld toe met 0,035 miljoen of 350 000 mensen per jaar.
Er zijn twee periodes waarin de Europese bevolking daalde:
• de periode tussen 200 en 700: ondergang van het Romeinse Rijk, volksverhuizingen,
oorlogen ten tijde van de Merovingers, ...
• de periode tussen 1300 en 1400, d.i. de “waanzinnige” 14de eeuw: 100-jarige
oorlog, pest, ...
Tijdens welke van die twee periodes daalde de bevolking het snelst
7
Een van de lastigste beklimmingen uit de Tour de France is ongetwijfeld deze van
de Mont Ventoux. Hieronder vind je een schema van deze beklimming.
plaats
Bédoin
Saint-Estève
Le Chalet Reynard
top Ventoux
horizontale afgelegde
weg (in km)
0
5,5
15
21
hoogte (in m)
275
500
1 419
1 909
1 Bereken de gemiddelde verandering van de hoogte over elk traject in m/km,
in km/km en in %.
2 Welk traject is gemiddeld het meest steile
3 Bepaal de gemiddelde verandering van de hoogte over de totale beklimming
in m/km, in km/km en in %.
8
Christine is met haar auto gestopt voor een verkeerslicht. Als het licht op groen
slaat, trekt ze de auto gedurende 30 seconden op vanuit stilstand.
De afgelegde weg s (in m) is een functie van de tijd t (in s). Het voorschrift is
s(t) 0,6t 2 .
1 Maak een tabel van s(t) voor t gaande van 0 tot 30 seconden met stappen van
5 seconden.
2 Bereken de gemiddelde snelheid, d.i. de gemiddelde verandering van de
afgelegde weg, over het tijdsinterval [10, 20] en over het tijdsinterval [20, 25] in
m/s en in km/u.
90

Veranderingen en afgeleiden
3
3.3 Ogenblikkelijke verandering in een punt – Afgeleide
9
Gegeven is de functie f(x) x 3 7x 2 14x 3. We willen weten of de functie stijgt
of daalt voor x 1.
1 Bereken het differentiequotiënt over het interval [1, 3]. Is de functie stijgend of
dalend over dit interval
2 Plot de grafiek van de functie. Wat kun je zeggen over het stijgen of dalen voor
x 1
3 Hoe zouden we het interval kunnen aanpassen zó dat het differentiequotiënt
wel een goed idee geeft over het stijgen of het dalen voor x 1
• Het differentiequotiënt over een interval geeft de gemiddelde verandering van een
functie over dit interval. Het is dus een maat voor het stijgen of dalen over het
hele interval.
Willen we iets te weten komen over de ogenblikkelijke verandering in een punt,
dan moeten we dit interval kleiner en kleiner maken. We krijgen dan een maat
voor het stijgen of dalen in een bepaald punt.
• Voorbeeld
Beschouwen we opnieuw de functie
f(x) x 2 8x. We zoeken de
ogenblikkelijke verandering van f(x)
voor x 1, m.a.w. we willen een maat
voor het stijgen of het dalen van de
functiewaarden in het punt (1, 7).
y
16
14
12
10
(3, 15)
8
y f(x)
8
Een eerste schatting voor de
6
ogenblikkelijke verandering van f(x)
4
in het punt (1, 7) is de gemiddelde
verandering van f(x) over het interval 2
[1, 3], d.i. is de richtingscoëfficiënt van
0
de verbindinglijn van (1, 7) en (3, 15).
f(x) 15 7 8
We vinden 4.
x 3 1 2
Een betere schatting is de gemiddelde y
verandering van f(x) over het interval 16
[1, 2], d.i. de richtingscoëfficiënt van de 14
verbindinglijn van (1, 7) en (2, 12).
12
f(x) 12 7 5
We vinden: 5. 10
x 2 1 1
8
6
(1, 7)
1
(1, 7)
2
2 3 4
y f(x)
(2, 12)
5
1
x
4
2
0
1
2 3 4
x
91

3
3.3 Ogenblikkelijke verandering in een punt – Afgeleide
Om nog betere schattingen te
bekomen, moeten we inzoomen om
de koorde nog te kunnen tekenen.
We merken dat de grafiek meer en
meer nadert tot een rechte en dat de
verbindingslijn en de grafiek
praktisch samenvallen. De
richtingscoëfficiënt van de rechte,
waartoe we onbeperkt naderen is
gelijk aan de ogenblikkelijke
verandering van f(x) in het
punt (1, 7).
(1,001; 7,0067)
(1, 7)
0,001
y f(x)
0,0067
We zoeken met de rekenmachine de gemiddelde verandering van f(x) over de
intervallen [1; 1,1], [1; 1,01], [1; 1,001] en [1; 1,0001].
We zien dat deze gemiddelde verandering steeds dichter tot 6 nadert. De
ogenblikkelijke verandering van f(x) in het punt (1, 7) is dus gelijk aan 6.
Zoomen we terug uit, dan zien we
dat deze rechte de raaklijn is aan de
grafiek van f in het punt (1, 7). De
ogenblikkelijke verandering van f(x)
in het punt (1, 7) is dus de richtingscoëfficiënt
van de raaklijn t aan de
grafiek van f in het punt (1, 7).
y
16
14
12
10
8
6
(1, 7)
t
y f(x)
4
2
0
1
2 3 4
x
92

Veranderingen en afgeleiden
3
• Ogenblikkelijke verandering van een functie en afgeleide
– Om de ogenblikkelijke verandering van een functie f voor x a te
bepalen, gaan we als volgt te werk:
1 We bepalen de gemiddelde verandering over een interval [a, b]. Deze is
gelijk aan f(
x)
x
f(b ) f(a)
b .
a
2 We laten de lengte van dit interval [a, b], d.i. x, onbeperkt tot 0 naderen.
– De ogenblikkelijke verandering van een functie f voor x a noemen we de
afgeleide van f voor x a.
We noteren deze afgeleide als f’(a).
• Afgeleide als limiet
– We hebben: als x onbeperkt nadert tot 0, dan nadert f( x)
onbeperkt tot
x
de afgeleide f’(a),
en we noteren dit: als x → 0, dan f( x)
→ f’(a).
x
– We zeggen ook: de limiet van f( x)
als x tot 0 nadert is de afgeleide f’(a),
x
en we noteren dit lim f( x)
f’(a).
x → 0 x
De afgeleide is dus de limiet van het differentiequotiënt.
• Grafische betekenis van de afgeleide
Grafisch vinden we de afgeleide van een functie f voor x a als volgt:
1 We bepalen de gemiddelde helling van
de grafiek van f over een interval [a, b].
Deze is gelijk aan de richtingscoëfficiënt
van de verbindingslijn van
de punten (a, f(a)) en (b, f(b)).
y
f(b)
(b, f(b))
∆y
y f(x)
f(a)
0
(a, f(a))
a
∆x
b
x
2 We zoomen in rond het punt (a, f(a)). De
grafiek van f en de verbindingslijn naderen
tot elkaar. De richtingscoëfficiënt van deze
rechte, waar we onbeperkt toe naderen, is de
afgeleide van f voor x a.
(a, f(a))
y f(x)
93

3
3.3 Ogenblikkelijke verandering in een punt – Afgeleide
3 Wanneer we terug uitzoomen, zien we
dat deze rechte de raaklijn is aan de
grafiek van f in (a, f(a)). De afgeleide
van f voor x a of de helling van de
grafiek in het punt (a, f(a)) is dus de
richtingscoëfficiënt van de raaklijn t aan
de grafiek van f in het punt (a, f(a)).
y
f(b)
f(a)
0
(a, f(a))
a
(b, f(b))
b
y f(x)
x
t
De grafische betekenis van de afgeleide van een functie f voor x a is de
richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a, f(a)).
• Afgeleide en het verloop van een functie
De afgeleide geeft ons een maat voor het stijgen of het dalen van een functie
voor x a.
Is f’(a) 0, dan is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn positief. De functie is
dan stijgend voor x a.
Is f’(a) 0, dan is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn negatief. De functie is
dan dalend voor x a.
Is f’(a) 0, dan is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan 0. De
raaklijn is dan evenwijdig met de x-as. De functie is dan noch stijgend, noch
dalend voor x a.
• Berekening van afgeleiden d.m.v. de rekenmachine
Voorbeeld 1: bepaal de afgeleide van de functie f(x) x 2 voor x 2.
– Benadering met de rekenmachine
We berekenen het differentiequotiënt, enerzijds over de intervallen
[2; 1,9], [2; 1,99], [2; 1,999] en [2; 1,999 9] en anderzijds over
de intervallen [2,1; 2], [2,01; 2], [2,001; 2] en [2,000 1; 2].
We vinden: f’(2) 4. De functie f is dus dalend voor x 2.
94

Veranderingen en afgeleiden
3
– Rechtstreekse bepaling met de rekenmachine
20
of
4 4
Voorbeeld 2: bepaal de afgeleide van de functie f(x) x 2 voor x 0
– Benadering met de rekenmachine
We berekenen het differentiequotiënt, enerzijds over de intervallen [0; 0,1],
[0; 0,01], [0; 0,001] en [0; 0,000 1] en anderzijds over de intervallen [0,1; 0],
[0,01; 0], [0,001; 0] en [0,000 1; 0].
5
We vinden: f’(0) 0. De functie f is noch stijgend, noch dalend voor x 0.
– Rechtstreekse bepaling met de rekenmachine
20
of
4 4
Voorbeeld 3: bepaal de afgeleide van de functie f(x) x 2 voor x 3
– Benadering met de rekenmachine
We berekenen het differentiequotiënt, enerzijds over de intervallen [3; 3,1],
[3; 3,01], [3; 3,001] en [3; 3,000 1] en anderzijds over de intervallen [2,9; 3],
[2,99; 3], [2,999; 3] en [2,999 9; 3].
5
95

3
3.3 Ogenblikkelijke verandering in een punt – Afgeleide
We vinden: f’(3) 6. De functie f is stijgend voor x 3.
– Rechtstreekse bepaling met de rekenmachine
20
of
4 4
5
• Overzicht
gemiddelde verandering van f
x → 0
over het interval [a, b]
differentiequotiënt van f over het
interval [a, b]
f( x)
x
f(b x → 0
) f(a)
b
a
richtingscoëfficiënt van de
verbindingslijn van de punten
(a, f(a)) en (b, f(b))
maat voor het stijgen of het dalen
van f over het interval [a, b]
gemiddelde helling van de grafiek
van f over het interval [a, b]
x → 0
x → 0
x → 0
ogenblikkelijke verandering
van f voor x a
afgeleide van f voor x a
als x → 0, dan f( x)
→ f’(a).
x
richtingscoëfficiënt van de
raaklijn aan de grafiek van f in
het punt (a, f(a))
maat voor het stijgen of het
dalen van f voor x a
helling van de grafiek in het
punt (a, f(a))
• Toepassing: snelheid
Een beweging wordt vaak bepaald door de afgelegde weg s te geven als functie
van de tijd t.
gt 2
Zo geldt voor een voorwerp in vrije val: s(t) (t in seconden, s in meter).
2
Hierbij is g 9,81 m/s 2 10 m/s 2 , zodat we bij benadering hebben: s(t) 5t 2 .
96

Veranderingen en afgeleiden
3
De snelheid v op het tijdstip t 0
is de ogenblikkelijke
verandering van s(t) voor t t 0
.
De snelheid v op het tijdstip t 0
is dus de afgeleide
van s(t) voor t t 0
, of kort: v(t) s’(t).
Zo is de snelheid (in m/s) van een vallend
voorwerp na 4 s de afgeleide van s(t) 5t 2 voor
t 4.
Met de rekenmachine vinden we dat deze snelheid
gelijk is aan 40 m/s of 144 km/u.
• De afgeleide is een wiskundig instrument om ogenblikkelijke verandering,
helling in een punt en snelheid op een bepaald moment weer te geven. De
afgeleide is daarom een van de kernbegrippen van de wiskunde. De afgeleiden
werden uitgevonden door twee meesterlijke breinen uit de 2de helft van de
17de eeuw: de Engelsman Isaac Newton en de Duitser Gottfried Wilhelm
Leibniz. Meer hierover vind je in de historieken pag. 116 en 187.
10
Bereken met je rekenmachine de afgeleiden van de volgende functies in de
aangegeven x-waarden.
Leid eruit af of de functies stijgend of dalend zijn in die punten.
1 f(x) 3x 2 voor x 2 en x 5
2
2 f(x) voor x 1 en x 2
x
3 f(x) x
voor x 1 en x 4
11
Een kabelspoor heeft de vorm van een parabool.
1 3
Bij deze parabool hoort het voorschrift y x 2 x.
50 10
Bepaal met je rekenmachine de helling in het punt P(5, 2). Zet deze helling om in %.
y
5
4
3
2
1
0
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
Christine is met haar auto gestopt voor een verkeerslicht. Als het licht op groen
slaat, trekt ze de auto gedurende 30 seconden op vanuit stilstand.
De afgelegde weg s (in m) is een functie van de tijd t (in s). Het voorschrift is
s(t) 0,6 t 2 .
Bereken met je rekenmachine de snelheid van Christine na 20 seconden in m/s en
in km/h.
97

3
3.4 Afgeleide functies
3.4 Afgeleide functies
13
1 Maak d.m.v. je rekenmachine een tabel met de
afgeleiden van de functie f(x) x 2 voor x gelijk aan
5, 4, 3, ...
2 Schrijf de formule die f’(x) geeft voor een
willekeurige waarde van x.
• Afgeleide functie van f(x) x 2
– In de vorige paragraaf bepaalden we de afgeleide van de functie f(x) x 2
voor een aantal concrete waarden van x. Nu bepalen we de afgeleide voor
een willekeurige waarde van x.
1 We berekenen f(x):
f(x) f(x x) f(x)
(x x) 2 x 2
x 2 2x x (x) 2 x 2
2x x (x) 2 .
y
f(x ∆x)
y x 2
2 We berekenen het differentiequotiënt:
∆f(x)
f(
x) 2x x (x) 2
x
x
2x x.
f(x)
0
x
∆x
x ∆x
x
3 We laten x onbeperkt tot 0 naderen:
f(
x)
→ 2x.
x
De afgeleide van de functie f(x) x 2 voor een willekeurige x-waarde is
dus 2x.
Zo is f’(1) 2 1 2 en f’(2) 2 (2) 4.
De functie f’(x) 2x noemen we de afgeleide functie van f(x).
– Omdat ze voor elke x-waarde de helling of de richtingscoëfficiënt van de
raaklijn in (x, f(x)) geeft, noemt men de afgeleide functie van f ook de
hellingfunctie van f.
De grafiek van f’ noemen we de hellinggrafiek van f. Op deze hellinggrafiek
lezen we immers de helling of de richtingscoëfficiënt van de raaklijnen aan
de grafiek van f af.
Zo zien we op de hellinggrafiek dat f’(1) 2.
98

Veranderingen en afgeleiden
3
De helling of de richtingscoëfficiënt
van de raaklijn aan de grafiek van f
voor x 1 is dus 2. f is dus stijgend
voor x 1.
(2, 4)
1
y
5
4
y x 2
Zo zien we ook op de hellinggrafiek
3
4
dat f’(2) 4.
2
2
De helling of de richtingscoëfficiënt
(1, 1)
van de raaklijn aan de grafiek van f
1
1
voor x 2 is dus 4. f is dus dalend
x
y x 3
voor x 2.
2 1 0 1 2
– Uit het tekenverloop van f’ kunnen we
y
het verloop van de functie f afleiden.
2
x
0
1
2
f'(x) 0
x
f(x) min
2 1 0 1 2
1
4
Voor x 0 geldt f’(x) 0. De functie f
is dan dalend.
2
3
Voor x 0 geldt f’(x) 0. De functie f
is dan stijgend.
Voor x 0 gaat f’(x) over van negatief
naar positief.
y 2x
4
De functie f gaat dan over van dalend naar stijgend, m.a.w. ze bereikt een
minimum.
• Afgeleide functie van f(x) x 3
– We berekenen de afgeleide van f(x) x 3 voor een willekeurige x-waarde.
1 We berekenen f(x):
f(x) f(x x) f(x)
(x x) 3 x 3
x 3 3x 2 x 3x (x) 2 (x) 3 x 3
3x 2 x 3x (x) 2 (x) 3 .
y
2 We berekenen het differentiequotiënt:
f(x ∆x)
f(
x) 3x 2 x 3x (x) 2 (x) 3
x
x
3x 2 3x x (x) 2 .
f(x)
∆x
∆f(x)
x
0 x x ∆x
3 We laten x onbeperkt tot 0 naderen:
f(
x)
→ 3x 2 .
x
Besluit: f’(x) 3x 2 . Zo is f’(1) 3 1 2 3.
99

3
3.4 Afgeleide functies
– Op de hellinggrafiek, d.i. de grafiek van
f’(x) 3x 2 lezen we weer de helling of de
richtingscoëfficiënt van de raaklijnen aan
de grafiek van f af.
Zo zien we op de hellinggrafiek dat f’(1) 3.
De helling of de richtingscoëfficiënt van de
raaklijn aan de grafiek van f voor x 1 is dus
3; f is bijgevolg stijgend voor x 1.
– Uit het tekenverloop van f’ leiden we het
verloop van f af.
x
f'(x)
f(x)
Voor x 0 geldt f’(x) 0. De functie f is dan
stijgend.
Voor x 0 geldt f’(x) 0. De raaklijn aan de
grafiek van f is dan evenwijdig met de x-as,
maar er is geen extremum (maximum of
minimum) omdat de afgeleide niet van teken
verandert.
0
0
horizontale
raaklijn
y
8
y x 3
6
4
2 1 3
x
2 1 0
2
1 2
4
6
8
y
8
6
4
2
3
y 3x 2
2 1 0
2
4
6
8
1 2
x
• Afgeleide functie van f(x) x
y
De grafiek van f is een rechte door de
oorsprong met richtingscoëfficiënt 1.
De grafiek heeft dus overal als helling 1.
De afgeleide is dus 1 voor elke x-waarde.
2
1
2 1 0 1
1
2
1
x
Dus: f’(x) 1.
y x
1
2
• Afgeleide functie van f(x) 1
De grafiek van f is een rechte evenwijdig met
de x-as.
De grafiek heeft dus overal als helling 0.
De afgeleide is dus 0 voor elke x-waarde.
Dus: f’(x) 0.
y
2
2 1
1
0 1
y 1
2
1
2
x
100

Veranderingen en afgeleiden
3
• Afgeleide functie van f(x) x n
We kunnen de vorige resultaten als volgt samenvatten:
– als f(x) 1 x 0 , dan geldt f’(x) 0 0 x 1
– als f(x) x x 1 , dan geldt f’(x) 1 1 x 0
– als f(x) x 2 , dan geldt f’(x) 2x 2 x 1
– als f(x) x 3 , dan geldt f’(x) 3 x 2
We kunnen dit als volgt veralgemenen voor elke n Ù:
Als f(x) x n , dan geldt: f’(x) nx n1 .
• Algemeen
– Nemen we een willekeurige functie f.
De functie y f’(x), die de helling geeft van de grafiek van f in elk punt
(x, f(x)), noemen we de afgeleide functie van f. Eens de afgeleide functie
van een functie f bepaald is, kunnen we gemakkelijk de afgeleide voor een
willekeurige waarde van x bepalen.
– Omdat de afgeleide van f voor x a ook de
helling of de richtingscoëfficiënt is van de
raaklijn aan de grafiek van f in (a, f(a)),
noemen we de afgeleide functie van f ook de
hellingfunctie van f.
De grafiek van de afgeleide functie noemen
we de hellinggrafiek van f.
Op de hellinggrafiek lezen we voor elke
x-waarde de helling of de richtingscoëfficiënt
af van de raaklijn aan de grafiek van f.
y
y f(x)
b
0
max
1
c a
f'(a)
x
– Het verloop van een functie (stijgen, dalen,
extrema) kunnen we afleiden uit de tekentabel
van de afgeleide functie.
y
x
f'(x)
f(x)
b
0
min
c
0
max
y f'(x)
b
0 c a
f'(a)
x
101

3
3.4 Afgeleide functies
• Vergelijking van de raaklijn
Ook om een vergelijking van de raaklijn aan een grafiek te bepalen, maken we
gebruik van afgeleide functies.
Voorbeeld
Bepaal een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f(x) x 3 in het punt (2, 8).
Uit f’(x) 3x 2 volgt: f’(2) 3 2 2 12.
De raaklijn heeft als richtingscoëfficiënt 12.
Een vergelijking is dus van de vorm y 12x b.
Om b te bepalen, drukken we uit dat de
raaklijn door het punt (2, 8) gaat.
We vinden: 8 12 2 b of b 16.
Een gevraagde vergelijking is dus y 12x 16.
Met de rekenmachine kunnen we de raaklijn
aan een grafiek tekenen en tegelijk een
vergelijking bepalen.
15
1 4
5
14
Bereken de afgeleide functie van de volgende functies. Bepaal daaruit het verloop
(stijgen, dalen, extrema).
1 f(x) x 4 2 f(x) x 5
15
Bepaal, zonder je rekenmachine te gebruiken, een vergelijking van de raaklijn aan
de grafiek van de gegeven functies in de aangegeven punten. Controleer daarna
met je rekenmachine.
1 f(x) x 2 in (4, 16) en in (1, 1) 2 f(x) x 3 in (1, 1) en in ,
8
1
2
1
16
Hiernaast vind je de grafiek van een functie f en
daaronder de grafiek van f’.
1 Wat is de afgeleide van f voor x 4, voor
x 0 en voor x 6
2 De hellingfunctie heeft als nulpunten 2 en 4.
Wat betekent dit voor de grafiek van f
3 In het interval [2, 4] is de hellingfunctie
negatief. Wat betekent dit voor de grafiek
van f
y
8
y f(x)
6
4
2
x
4 2 0
2
2 4 6
4
6
8
y
8
y f'(x)
4
4 2 0 2 4 6
x
4
102
8

Veranderingen en afgeleiden
3
17
Hieronder staan zes grafieken van functies. Daaronder staan de grafieken van hun
hellingfuncties, maar niet in de goede volgorde. Zoek bij elke functie de juiste
hellingfunctie.
1 2 3
y
y
y
1
1
1
1
0
1
x
1
0
1
x
1
0
1
x
1
1
1
4 5 6
y
y
y
1
1
1
1
0
1
x
1
0
1
x
1
0
1
x
1
1
1
a b c
y
y
y
1
1
1
1
0
1
x
1
0
1
x
1
0
1
x
1
1
1
d e f
y
y
y
1
1
1
1
0
1
x
1
0
1
x
1
0
1
x
1
1
1
103

3
Opdrachten
OPDRACHTEN
104Opdrachten
3.1 Toenamediagrammen
EERSTE REEKS
18
19
20
Maak een toenamediagram bij de volgende functies in de gegeven intervallen en
met de gegeven x.
1 f(x) 2x in het interval [5, 5] met x 1.
2 f(x) x 2 4x in het interval [5, 5] met x 1.
1
3 f(x) in het interval [1, 1] met x 0,2.
x
Schets een mogelijke grafiek van de functies die horen bij de volgende
toenamediagrammen en waarbij f(0) gelijk is aan 0.
1
2
4 3 2 1 0 1 2 3 4
Uit de lengte van een dier kan men redelijk nauwkeurig het gewicht afleiden.
lengte l (in cm)
gewicht G (in kg)
∆y
4 3 2 1 0 1 2 3 4
∆y
5
5
5
5
40
7
45
8,7
1 Geef de toename van het gewicht weer door een verschilrij toe te voegen aan
de tabel.
2 Stel de verschilrij grafisch voor in een toenamediagram.
3 Welk gewicht heeft een dier met een lengte van 70 cm volgens deze tabel
x
x
50
10,6
55
12,7
60
15
65
17,5

Veranderingen en afgeleiden
3
TWEEDE REEKS
21
22
23
Hoe ziet het toenamediagram eruit bij een constante functie Bij een
eerstegraadsfunctie Bij een tweedegraadsfunctie
Op een spaarrekening staat € 3000, uitgezet tegen een jaarlijkse intrest van 5%.
Op het einde van het jaar wordt de intrest bij het spaargeld gestort. Er wordt
verder geen geld op de rekening gezet of geld afgehaald.
1 Maak een tabel met het spaarbedrag b gedurende de eerste 5 jaar.
2 Geef de toename van het spaarbedrag weer door een verschilrij b toe te
voegen aan de tabel.
3 Wat kun je zeggen over het toenemen van het spaarbedrag
a De toename is constant.
b De toename stijgt gelijkmatig.
c De toename stijgt steeds sneller.
4 Stel een voorschrift op om het spaarbedrag b (in €) te berekenen in functie van
de tijd t (in jaar).
Onder de daglengte l verstaan we de tijd die verloopt tussen zonsopgang en
zonsondergang.
Hieronder zie je een tabel die de daglengte geeft om de 30 dagen voor Ukkel
tussen 22 december 2002 en 17 december 2003.
datum 22 dec 21 jan 20 feb 22 mrt 21 apr 21 mei
nummer dag t 0 30 60 90 120 150
daglengte l (in uur)
7,9
8,7
1 Geef de verandering l van de daglengte weer door een verschilrij toe te
voegen aan de tabel.
2 Stel de verschilrij grafisch voor in een toenamediagram.
3 In welke periode neemt de daglengte toe Neemt de lengte gelijkmatig toe in
deze periode
4 In welke periode neemt de daglengte af Neemt de lengte gelijkmatig af in
deze periode
10,4
12,3
14,2
15,8
datum 20 jul 19 aug 18 sep 18 okt 17 nov 17 dec
nummer dag t 210 240 270 300 330 360
daglengte l (in uur)
15,9
14,4
12,5
10,6
8,9
8,0
20 jun
180
16,5
105Opdrachten

3
Opdrachten
3.2 Gemiddelde verandering - Differentiequotiënt
106Opdrachten
EERSTE REEKS
24
25
26
27
Bereken de differentiequotiënten van de volgende functies in de intervallen [2, 4],
[4, 6], [6, 8] en [8, 10]. Wat kun je daaruit besluiten over het verloop van deze
functies in het interval [2, 10]
a de functie stijgt gelijkmatig d de functie daalt steeds sneller
b de functie daalt gelijkmatig e de functie stijgt steeds trager
c de functie stijgt steeds sneller f de functie daalt steeds trager
1 f 1
(x) 0,5x 2 4
2
f 4
(x) x
2 f 2
(x) 3x 2 5 f 5
(x) x 1
3 f 3
(x) x 2 1 6
1
f 6
(x) x
Gegeven zijn de functies f(x) 0,5x 2 , g(x) 0,5x 2 2 en h(x) 0,5x 2 1.
Bereken voor elke functie de gemiddelde verandering over het interval [1, 4]. Wat
stel je vast Hoe kan je dit verklaren
De volgende tabel geeft de groei van een kolonie bacteriën weer.
tijd t (in dagen)
aantal bacteriën N(t)
1 Bereken de gemiddelde toename in de intervallen [0, 2], [2, 4], [4, 6], ..., [10, 12].
2 Hoe evolueert deze gemiddelde toename
TWEEDE REEKS
Waar of niet waar
0
50
2
85
1 Als een functie in elk punt van een interval stijgend is, dan is het differentiequotiënt
van die functie over dit interval positief.
2 Als het differentiequotiënt van een functie over een interval positief is, dan is
die functie stijgend in elk punt van dit interval.
3 Als een functie constant is in een interval, dan is het differentiequotiënt van die
functie over dit interval gelijk aan 0.
4 Als het differentiequotiënt van een functie over een interval gelijk is aan 0, dan
is die functie constant in dit interval.
4
145
6
245
8
420
10
700
12
1200

Veranderingen en afgeleiden
3
28
29
Gegeven zijn de functies f(x) x 3 , g(x) 2x 3 en h(x) 0,25x 3 . Bereken voor elke
functie de gemiddelde verandering over het interval [2, 4]. Wat stel je vast
Hoe kan je dit verklaren
Hieronder zie je de tijden van de twee beste renners in een tijdrit over 55 km in de
Tour de France.
Renner A:
tijd t (in min)
0
32
74
afstand s (in km)
0
25
55
Renner B:
1 Wie won de tijdrit
2 Vergelijk de gemiddelde snelheid (in km/h) van de beide renners over de
eerste 25 km, over de laatste 30 km en over de hele tijdrit.
3.3 Verandering in een punt - Afgeleide
EERSTE REEKS
30
tijd t (in min)
afstand s (in km)
0
0
De onderstaande functies zijn gegeven door hun grafiek. In sommige gevallen is
ook de raaklijn t aan de grafiek getekend. Bepaal telkens de afgeleide van de
functie voor x 2.
1 2 3
y
y
y f(x) y
5
5
6
4
4
5
4
3
3 y f(x)
y f(x)
3
2
2
2
1
1
1
x
x
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
3 2 1 0
34
25
72
55
1 2 3
t
x
107Opdrachten

3
Opdrachten
108Opdrachten
31
32
33
34
4 5 6
y
y
y
t
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
t
2
2
2
y f(x)
1
1
1
x
y f(x) x
2 1 0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 5
0
Bepaal met je rekenmachine de afgeleiden van de volgende functies in de
aangegeven x-waarden. Leid eruit af of de functies daar stijgend of dalend zijn.
1
1 f(x) x 2 2x voor x 2 3 f(x) voor x 1
x 1
2 f(x) x 4 voor x 0 4 f(x) x 1 voor x 9
TWEEDE REEKS
Bij de volgende bewegingen wordt de afgelegde weg (in m) gegeven als functie
van de tijd (in s).
Bepaal de snelheid in m/s na 1 seconde, na 4 seconden en na 10 seconden.
1 s(t) 0,15 t 2 2 s(t) t t 2
y f(x)
1 2 3 4 5
1
Teken telkens een grafiek die in P(2, 3) een helling heeft gelijk aan 1, 1, 2 en .
2
x

Veranderingen en afgeleiden
3
s in km
10
0 5 10 15
t in min
Bij het buitenrijden van de stad heeft Marleen veel tijd verloren. Zodra zij buiten het
centrum komt duwt zij het gaspedaal dan ook duchtig in. Even buiten de stad wordt zij
echter aangehouden door agent Steven. Die wijst haar op de borden met snelheidsbeperking:
maximum 60 km/h. Marleen beweert dat het onmogelijk is dat zij te snel reed. “Ik
heb in het afgelopen kwartier slechts 10 km afgelegd”, zegt ze, “dat is dus 40 km/h”.
1 Welke twee snelheden verwart Marleen
2 Hierboven vind je een grafiek van de afgelegde weg van Marleen (in km) in
functie van de tijd (in min). Hoe snel reed Marleen ongeveer toen agent Steven
haar aanhield
109Opdrachten

3
Opdrachten
3.4 Afgeleide functies
110Opdrachten
EERSTE REEKS
35
36
37
38
Bepaal de afgeleide functie van de volgende functies:
1 f(x) x 5 4 f(x) 30
2 f(x) x 8 5 f(x) x t
3 f(x) x 2000 6 f(x) x n1
Bepaal, zonder je rekenmachine te gebruiken, een vergelijking van de raaklijn aan
de grafiek van de gegeven functies in de aangegeven punten. Controleer daarna
met je rekenmachine.
1
1 f(x) x 2 in (2 , f (2)) en in , f 1 2
2
2 f(x) x 3 in (1 , f (1)) en in , f
Hiernaast vind je de grafiek van een functie f
en daaronder de grafiek van f‘.
1 Wat is de afgeleide van f voor x 4,
voor x 1 en voor x 3
2 De hellingfunctie heeft als nulpunten 3,
1 en 5.
Wat betekent dit voor de grafiek van f
3 In het interval [3, 1] is de hellingfunctie
positief.
Wat betekent dit voor de grafiek van f
4 In het interval [1, 5] is de hellingfunctie
negatief.
Wat betekent dit voor de grafiek van f
Teken een hellinggrafiek bij de volgende functies.
1 y
2
4
2
x
4 2 0 2 4
2
4
y f(x)
2
3
2
3
54321
54321
y
4
2
4 2 0 2 4
2
4
y
8
6
4
2
2
4
6
8
y
8
6
4
2
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
y f(x)
x
y f(x)
y f'(x)
x
x

Veranderingen en afgeleiden
3
3 y
4
3
1
x
3 1
1
0 1 3
3
y f(x)
y
8
y f(x)
6
4
2
4 2 0 2 4
x
TWEEDE REEKS
39
40
41
1 Onderzoek d.m.v. een tekentabel van de afgeleide het verloop (stijgen, dalen,
extrema) van de functies f(x) x 4 , g(x) x 5 en h(x) x 6 .
2 Veralgemeen deze resultaten voor k(x) x n met n even en n oneven.
1 Bepaal een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f(x) x 2 voor x a.
2 Waar snijdt deze raaklijn de x-as Waar snijdt ze de y-as
3 Leid hieruit een constructie af van de raaklijn aan de parabool y x 2 in een
willekeurig punt.
1
Waar heeft de grafiek van de volgende functies als helling 1, 0, 2, 2
1 f(x) x 2 2 f(x) x 3
111Opdrachten

3
Herhalingsopdrachten
HERHALINGSOPDRACHTEN
112Herhalingsopdrachten
42
43
44
Hieronder vind je zes grafieken en zes toenamediagrammen. Zet bij elke grafiek
het juiste toenamediagram.
Hieronder staan vier grafieken. Maak bij elke grafiek een tekentabel van de
afgeleide functie.
Gegeven zijn twee tekentabellen van afgeleide functies f’. Voeg aan elke tabel een
derde lijn toe, waarop je aanduidt of de functie f stijgend of dalend is.
1
2
1
gelijkmatig
stijgend
y
x
f'(x)
x
f'(x)
y
2
1
1
1
1
x
x
x
x
2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2
1
1
1
1
2
2
toenemend
stijgend
y
1 2 3 4
3
0
2
3
afnemend
stijgend
y
y
2
2
0
4
gelijkmatig
dalend
0
0
1
y
2
2
0
5
toenemend
dalend
x
x
x
x
x
0 0 0 0 0 0
a b c d e f
y
0
x
y
y y y y y
x
0
x 0
x
x 0
0 0
y
4
0
3,5
6
afnemend
dalend
y
y
2
2
0
x
x

Veranderingen en afgeleiden
3
45
Gegeven zijn drie functies f met hun hellingfuncties f’. Bepaal telkens de
richtingscoëfficiënt van de raaklijn in de punten A, B, C en D aan de grafiek van f.
1 2 3
y y f(x)
y D
y
A 4
D
4 y f(x)
4
y f(x)
2
2
2
B
D
C x
B C x
C
x
4 2 0 2 4 4 2 0 2 4 4 2 0 2 4
A
2
2
A 2
B
4
4
4
4
y
y f'(x)
2
x
4 2 0 2 4
2
4
4
y
y f'(x)
2
x
4 2 0 2 4
2
4
4
2
y f'(x)
x
4 2 0 2 4
2
4
y
46
47
48
Gegeven zijn de functie f en het punt P(a, f(a)).
Bepaal, zonder je rekenmachine te gebruiken, de afgeleide van f voor x a en een
vergelijking van de raaklijn in P aan de grafiek van f.
Controleer daarna met je rekenmachine.
1 f(x) x 3 en P (1, f(1))
2 f(x) x 4 en P (2, f(2))
3 f(x) x 5 en P (1, f(1))
De volgende tabel geeft de evolutie van de wereldbevolking vanaf 1850.
jaar
aantal mensen
(in miljard)
Bereken de gemiddelde toename van de bevolking in miljoenen per jaar tussen
1850 en 1930, 1930 en 1960, ..., 1987 en 1998. Wat stel je vast
Vic wordt vanaf zijn geboorte om de 3 jaar gewogen. De tabel vind je hieronder.
leeftijd (in jaren)
gewicht (in kg)
0
3
1850
1
3
16
1930
2
6
21
1960
Bepaal de gemiddelde toename van het gewicht van Vic per jaar in elk
leeftijdsinterval. Tijdens welke periode neemt het gewicht van Vic het snelst toe
3
9
28
1975
4
12
37
1987
15
55
5
18
66
1998
6
21
72
113Herhalingsopdrachten

3
Herhalingsopdrachten
114Herhalingsopdrachten
49
50
51
52
Hieronder vind je links vier grafieken van functies en rechts hun hellingsgrafieken.
Plaats bij elke grafiek de juiste hellinggrafiek.
Een wandelaar maakt een tocht van 2 uur. Hij start met een snelheid van 1 km/h.
Elk kwartier laat hij zijn snelheid toenemen met 1 2 km/h.
1 Teken de grafiek van de afgelegde weg s(t) (in km) als functie van de tijd t (in uur).
2 Maak een toenamediagram, waarbij t gelijk is aan één kwartier.
3 Bepaal de afgeleide functie in elk interval van één kwartier.
4 Teken een hellinggrafiek.
Een bol rolt van een hellend vlak. Het verband tussen tijd (in s) en afgelegde weg
(in m) is s(t) 0,2 t 2 .
1 Bereken de gemiddelde snelheid in de tijdsintervallen [1,5; 2], [1,5; 1,6],
[1,5; 1,51] en [1,5; 1,501].
2 Bepaal de snelheid in m/s voor t 1,5.
Een trein vertrekt vanuit stilstand en versnelt eenparig gedurende 20 s. Na die 20 s
is de snelheid 40 m/s (144 km/h). Je ziet hieronder de grafieken van de afgelegde
weg en van de snelheid.
s (in m)
400
300
200
100
0
I
y
4
3
2
1
x
4 3 2 1 0 1 2 3 4
1
III
2
3
4
IV
5 10 15 20
II
t (in s)
a b
4
c d
3
v (in m/s)
40
Hoe zouden de grafieken er hebben uitgezien als de trein dezelfde afstand in
dezelfde tijd tegen een constante snelheid had afgelegd
35
30
25
20
15
10
5
0
y
2
1
x
4 3 2 1 0 1 2 3 4
1
2
3
4
5 10 15 20
t (in s)

Veranderingen en afgeleiden
3
53
De volgende grafiek toont de valweg s (in meter) van een parachutist als functie
van de tijd t (in seconden). De parachutist is uit een helikopter gesprongen op een
hoogte van 3200 meter.
Gedurende 20 seconden is de beweging versneld,
maar dan wordt de snelheid constant omwille
van de luchtweerstand. Bij het openen van de
parachute neemt de luchtweerstand plotseling
toe, zodat de snelheid sterk daalt. De parachutist
valt nu terug met een constante snelheid,
waarmee hij ook zal landen.
s (in m)
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
t (in s)
1 Na hoeveel tijd opent de parachutist zijn valscherm Op welke hoogte bevindt
hij zich dan
2 Welke constante snelheid (in km/h) heeft de parachutist tijdens de vrije val
3 Met welke snelheid (in km/h) komt de parachutist op de grond terecht
115Herhalingsopdrachten

Isaac Newton
HISTORIEK
1642 Voortijdig geboren op Kerstdag in het Engelse dorpje
Woolsthorpe (Lincolnshire).
Zijn vader, een gegoede landbouwer, sterft vóór de geboorte
van zijn zoon. Isaac heeft weinig belangstelling voor
schoolwerk, maar is erg creatief in het knutselen van allerlei
speelgoed: vliegers, zonnewijzers, graanmolentjes enz.
1661 Onder invloed van zijn oom, zelf oud-student van Cambridge,
gaat hij studeren aan het Trinity College van de befaamde
universiteit. Hij betaalt zijn onkosten door het opknappen van
allerlei klusjes.
Wiskunde krijgt hij van Isaac Barrow, naast wiskundige ook
een zeer begaafd theoloog.
1665 De builenpest woedt over Engeland. De universiteit wordt gesloten. Newton keert terug
naar de ouderlijke boerderij. Tijdens deze periode ontwikkelt hij zijn belangrijkste
ontdekkingen: de binomiaalformule (1) , de theorie der afgeleiden, de wet van de
zwaartekracht, de samenstelling van het licht.
1667 Hij keert terug naar Cambridge en houdt zich bezig met optisch onderzoek.
1669 Barrow geeft zijn ambt als hoogleraar op ten voordele van zijn 27 jarige leerling Newton.
De publicatie van zijn bevindingen i.v.m. optica, ten gerieve van de Royal Society, bezorgen
hem niet alleen bewondering maar ook afgunst en dwaze kritiek. Deze pijnlijke ervaring
verklaart zijn latere aarzelingen tot publiceren.
1687 Het is slechts op sterk aandringen van zijn vriend, de astronoom Halley, dat Newton
toelating geeft tot publicatie van zijn voornaamste werk: “Philosophiae naturalis principia
Mathematica”, waarin hij zijn visie op de werking van ons zonnestelsel op wiskundige basis
verklaart.
Zijn meeste andere werken worden pas na zijn dood uitgegeven.
1689 Hij wordt verkozen om de universiteit van Cambridge te vertegenwoordigen in het
Parlement.
1696 Hij krijgt een betrekking aan de Munt, waarvan hij later directeur benoemd wordt.
1703 Wordt tot voorzitter van de Royal Society gekozen en wordt tot aan zijn dood jaarlijks
herverkozen.
1705 Hij wordt opgenomen in de ridderorde.
1727 Op 20 maart sterft Sir Isaac Newton en wordt begraven in Westminster Abbey.
(1)
De binomiaalformule is de formule om (a b) n uit te werken, waarbij n een willekeurig reëel getal
is.
116