Statistische fysica - Theoretical Nuclear Physics and Statistical Physics

MASTERPROEVEN IN DE STATISTISCHE FYSICA (2008­2009)
Groepsleden: Jan Ryckebusch, Natalie Jachowicz, Kris Van Houcke,
Simon Standaert, Klaas Vantournhout
Algemene situering van het onderzoek
De studie van systemen met heel veel vrijheidsgraden vormt een theoretische uitdaging.
Ludwig Boltzmann, één van de grondleggers van de statistische fysica, kwam tot het inzicht
dat dergelijke systemen op statistische wijze bestudeerd kunnen worden. Een dergelijke
benadering levert niet alleen een uiterst krachtig formalisme, het leert bovendien dat
fysische fenomenen zoals faseovergangen doorgaans evenveel te maken hebben met de
statistische eigenschappen van het systeem als met de details van de microscopische
structuur van de interacties.
Het onderzoek omvat de ontwikkeling en het gebruik van numerieke technieken voor
kwantum en klassieke statistische fysica. De kwantum Monte­Carlo techniek werd door de
groep in het verleden reeds aangewend voor de studie van o.a. atoomkernen en ultrakoude
atomaire gassen. Deze laatste systemen trekken de laatste jaren wereldwijd heel wat
aandacht. De groep maakt ook gebruik van de moleculaire dynamica techniek voor de
simulatie van bijvoorbeeld kernmaterie onder verschillende dichtheidsomstandigheden.
Een eindwerk in de statistische fysica omvat dikwijls een voorstudie van een fysisch
probleem (literatuurstudie), het uitwerken van een gemiddeld­veld benadering voor dit
systeem, en/of de verbetering van deze benadering met behulp van een meer exacte
methode (bijvoorbeeld: Monte­Carlo, moleculaire dynamica en renormalizatie­groep
methodes).
Mogelijke thesisonderwerpen
Titel: Monte­Carlo simulatie van Feynman diagrammen
(Begeleiding: Kris Van Houcke)
De standaardstrategie voor het benaderend oplossen van veeldeeltjessystemen is het maken
van expansies. Voor kwantumsystemen kan men bijvoorbeeld een perturbatieve expansie
maken in de interactie tussen de deeltjes. Om de boekhouding van de mogelijke termen te
vereenvoudigen, bedacht Richard Feynman een handige visuele voorstelling in de vorm van
diagrammen (Feynman­diagrammen). Een van de problemen is echter dat het aantal
mogelijke diagrammen exponentieel stijgt met de orde van de expansie. Binnen de
onderzoeksgroep wordt momenteel de mogelijkheid onderzocht om dit probleem met
Monte Carlo technieken aan te pakken (in samenwerking met Umass Amherst en ETH
Zürich).

Een belangrijke en veelgebruikte techniek binnen analytische diagrammatische
benaderingen is het gebruik van zogenaamde “vette lijnen”, die een gedeeltelijke of
complete som van de expansie voorstellen. Recent werd een veelbelovende Monte Carlo
techniek ontwikkeld die de numerieke tegenhanger vormt van deze “vette lijnen” truuk
binnen diagrammatische benaderingen.
Het doel van dit project is het verkennen en toepassen van de “bold diagrammatic Monte
Carlo” techniek, en deze toe te passen op een verstrooiingsprobleem.
Titel: “Studie van ultrakoude bosonen”
(Begeleiding: Kris Van Houcke)
Het optreden van Bose­Einstein condensatie werd in 1925 door Bose en Einstein voorspeld,
en precies 70 jaar later voor het eerst experimenteel gerealiseerd met een ijl gas van
atomen. Sindsdien is de experimentele studie van deze exotische vorm van materie (waarin
alle deeltjes zich in dezelfde kwantumtoestand bevinden) niet meer te stoppen. Zo is men er
bijvoorbeeld in geslaagd om een optisch rooster van staande lasergolven te vullen met een
condensaat. Naargelang de sterkte van de laserbundels gaat het gas over van een Bose­
Einstein gecondenseerde fase naar een Mott­insulator fase. Het gedrag van bosonen in een
optisch rooster wordt goed beschreven door het Bose­Hubbard model. Recent werden in de
onderzoeksgroep Monte Carlo methodes ontwikkeld die toelaten dit model op te lossen.
Het thesisproject omvat de studie van ultrakoude bosonen in een optisch rooster, gebruik
makend van gemiddeld veld benaderingen en/of kwantum Monte Carlo methodes.
Titel: “Studie van ultrakoude fermionen”
(Begeleiding: Kris Van Houcke)
Wegens het Pauli uitsluitingsprincipe kan Bose­Einstein condensatie niet optreden voor
fermionen. Bij extreem lage temperatuur vullen fermionen alle laagste energietoestanden
op. In 2004 werd deze toestand voor het eerst experimenteel bereikt in een ultrakoud
fermionisch gas (bij een temperatuur van enkele nanokelvin). Het interessante aan deze
experimenten is dat men een enorme controle heeft op de interactie tussen de fermionen.
Men kan bijvoorbeeld de interactie sterk attractief maken zodanig dat de fermionen diatomische
moleculen (met een bosonisch karakter) vormen, waarna Bose­Einstein
condensatie van moleculen optreedt. Men kan deze fermionen ook in een optisch rooster
plaatsen. Dergelijke experimenten krijgen recentelijk bijzondere aandacht omdat men op
deze manier een “optisch rooster emulator” tracht te bouwen. Deze emulatoren bootsen
gekende systemen en zelfs theoretische modellen na in een gecontroleerde omgeving. Zo

tracht men momenteel bijvoorbeeld hoge temperatuur supergeleiders na te bootsen met
ulrakoude fermionen in een optisch rooster.
Het thesisproject omvat de studie van ultrakoude fermionen in een optisch rooster, gebruik
makend van gemiddeld veld benaderingen en/of kwantum Monte Carlo benaderingen.
Titel : “Pastafases in gefrustreerde materie”
(Begeleiding : Natalie Jachowicz en Klaas Vantournhout)
De wijze waarop nucleaire materie zich organiseert, wordt bepaald door de invloed van
twee krachten : de kernkracht met korte dracht, en de Coulombkracht met lange dracht.
Onder normale omstandigheden zijn de lengteschalen waarover deze krachten werken,
gescheiden. Nucleonen groeperen zich dan tot atoomkernen, die geordend worden in een
kristalrooster.
Onder extreme dichtheidsomstandigheden, die bijvoorbeeld heersen in astrofysische
objecten, kunnen de lengteschalen voor beide types krachten met elkaar in competitie
treden. Door de concurrentie in sterkte tussen de krachten, treedt frustratie op in het
systeem. De nucleonen gaan zich dan niet langer in sferische systemen ordenen, maar de
energieminimalisatie wordt gerealiseerd met meer exotische configuraties, zoals
materielaagjes of (anti)lasagna, en holle buisjes of (anti)spaghetti. Deze processen zijn van
belang voor de toestandsvergelijking en interacties van de materie.
In dit eindwerk wordt dit fenomeen onder de loep genomen met technieken ontleend aan de
kwantummechanische moleculaire dynamica, en de invloed van de beschrijving van de
interacties onderzocht. Er wordt nagegaan in welke systemen dit fenomeen kan optreden en
hoe deze zich laten beschrijven.
Referenties :
[1]‘Understandig nuclear pasta : current status and future prospects’,
http://xxx.lanl.gov/abs/nucl­th/0610116.

Titel : “Econofysica: correlaties en complexiteit in financiële markten”
(Begeleiding : Simon Standaert en Jan Ryckebusch)
Probleemstelling:
Men noemt een systeem complex wanneer het kan beschreven worden met behulp van
variabelen die sterk afhankelijk zijn van elkaar. Met andere woorden: complexe systemen
zijn systemen die bestaan uit sterk interagerende entiteiten. Complexe systemen vertonen
dikwijls emergent gedrag: het systeem gaat aan bepaalde wetmatigheden voldoen die niet
direct gecodeerd zijn in de interactie tussen de verschillende entiteiten. De studie van
complexe systemen is een relatief nieuw vakgebied in de fysica en heeft recent zijn weg
gevonden naar biologie, sociologie, computerwetenschappen en economie. De belangrijkste
vorm van informatie omtrent complexe systemen komt van computersimulaties. Hierbij
wordt de theoretische basis gelegd met behulp van kennis opgebouwd rond de dynamica
van stochastische systemen en de studie van kritische fenomenen (of tweede­orde
faseovergangen) binnen de context van statistische fysica.
Doelstelling:
De verworven kennis omtrent complexe systemen heeft mogelijke toepassingen in
"financial risk management". Heel wat bestaande modellen voor de risicoanalyse van
financiele operaties, zijn gebaseerd op de zogenaamde "efficient market hypothesis". In de
taal van een fysicus: de dynamica van financiële markten kan gemodelleerd worden in
termen van een "random walk" of van een Brownsiaanse beweging in een
evenwichtssysteem. Binnen dergelijke modellen is de kans op een “crash” of “extreme
schommelingen” zo goed als onbestaande. Bedoeling van de thesis is een link te leggen
tussen een “vloeistofmodel” en een meer realistische beschrijving van de dynamica van
financiële markten. Hierbij zal veel aandacht besteed worden aan het genereren van
situaties van anomale diffusie. Binnen dergelijk vloeistofmodel kan een meer realistische
modellering van de risico's bereikt worden (zoals het optreden van vette staarten: extreme
evenementen worden meer waarschijnlijk dan wat de Gaussische distributie voorspelt). Het
is de bedoeling computersimulaties uit te voeren met behulp van de klassieke moleculairedynamica
techniek. Deze techniek heeft het voordeel dat ondermeer faseovergangen (of,
crashes) in rekening kunnen gebracht worden. Verder laat de moleculaire­dynamica
techniek toe om het systeem in een toestand van niet­evenwicht te bestuderen. Ook kunnen
verschillende investeringshorizonten (korte, middellange en lange termijn) gemodelleerd
worden.
Referentie:
Thomas Lux, “Applications of Statistical Physics in Finance and Economics”,

http://opus.zbw­kiel.de/volltexte/2007/5533/pdf/EWP­2007­05.pdf