Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen
Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen
2) Elke toevalsvariabele X (ook stochastische veranderlijke of stochast genoemd) wordt gekenmerkt door de volgende getallen: • E ( X ) , ook genoteerd met µ , d.i. de verwachtingswaarde of het gemiddelde van X . 2 ( ) • Var ( X ) E ( X µ ) = − , ook genoteerd met 2 σ , d.i. de variantie van X . • i.p.v. de variantie vermeldt men vaak σ = Var( X ), d.i. de standaardafwijking van X. 2 De notatie µ voor E ( X ) en σ voor ( ) is uit een populatie, dan is E ( X ) het populatiegemiddelde µ en ( ) populatievariantie Var X is verantwoord: als X een lukrake trekking Var X de 2 σ . We spreken dan kort over de populatie met variabele X. Voor een normaal verdeelde populatie geeft de dichtheidskromme nu ook de kansverdeling aan van de toevalsvariabele X, met deze verdeling wordt het toevalsmechanisme aangestuurd. In deze context is P ( a< X < b) nu de kans dat de variabele X , lukraak gekozen uit de populatie, een waarde aanneemt tussen a en b. Na een lukrake keuze uit de populatie verkrijgen we een concreet getal x, d.i. een waarde die de variabele X door het toevalsmechanisme heeft aangenomen. Indien we vaak een lukrake trekking doen uit een normaal verdeelde populatie (en het verkregen getal telkens terugplaatsen in de populatie), dan zal het dichtheidshistogram van deze lukraak verkregen data op de lange duur de vorm van de normale dichtheidsfunctie aannemen (als we een kleine klassenbreedte kiezen). Via simulatie kan men op die manier de kansverdeling laten ontstaan van een toevalsvariabele. Je kan het ook als volgt bekijken: met simulatie van trekkingen uit een populatie A produceer je op de lange duur een nieuwe populatie B met dezelfde verdeling (en dus 2 dezelfde µ en σ ) als populatie A. 3) Als de toevalsvariabele X normaal verdeeld is met gemiddelde µ en standaardafwijking σ , dan noteren we dit als volgt: X N ( µ , σ ) ∼ . X − µ = ∼ (Z is standaard normaal verdeeld). σ Door deze transformatie wordt een concrete waarde x van X getransformeerd in de waarde x − µ z = van Z . We noemen het getal z de standaardscore of z-score van x. σ 4) Als X ∼ N ( µ , σ ) dan is Z N( 0,1) 3
Uit de formule x = µ + z ⋅ σ leren we dat de z-score aangeeft hoeveel standaardafwijkingen σ de waarde x verwijderd is van het gemiddelde µ . Een z-score tussen -1 en 1 is "normaal" en een z-score met een absolute waarde groter dan 2 is zelden (zie ook volgende figuur). De z-scores worden o.a. gebruikt om data van verschillende normale verdelingen te vergelijken. • • µ − 3σ − 3 µ − 2σ µ − σ µ µ + σ µ + 2 σ µ + 3σ − 2 − 1 0 1 2 3 x z 5) Gegeven een populatie met variabele X , met gemiddelde µ en standaardafwijking σ . Beschouw een steekproef X1, X2, X3, … Xn uit de populatie (dit zijn onafhankelijke toevalsvariabelen met dezelfde verdeling als X ), dan heeft het steekproefgemiddelde X1+ X2 + … + Xn σ X = ook gemiddelde µ maar standaardafwijking . n n a) Als X normaal verdeeld is, dan is ook X normaal verdeeld: X1+ X2 + … + X ∼ dan is X n ⎛ σ ⎞ = N µ , n ⎜ ⎟. ⎝ n ⎠ Als X N ( µ , σ ) b) Als de populatie (met eindige variantie) niet normaal verdeeld is dan geldt toch bij σ benadering dat X normaal verdeeld is met gemiddelde µ en standaardafwijking n als n voldoende groot is (centrale limietstelling). 4
- Page 1 and 2: Cahiers T 3 Europe Vlaanderen nr. 8
- Page 4: Inhoud Betrouwbaarheidsintervallen
- Page 7: • Populatiedata worden o.a. geken
- Page 11 and 12: Nu is P( X ) 9.8 < < 10.2 = 38.3% :
- Page 13 and 14: Derhalve noemen we voor een concret
- Page 15 and 16: σ Merk op dat de foutmarge zα /2
- Page 17 and 18: Met de Java-applets van de webpagin
- Page 19 and 20: Oplossingen 1) a) Met 1− α = 0.9
- Page 21 and 22: -----------------------------------
- Page 23 and 24: Opgave Van 20000 Belgen onderzoekt
- Page 25 and 26: 5.1 normalpdf normalpdf is de dicht
- Page 27 and 28: Het testen van hypothesen 1 Inleidi
- Page 29 and 30: IV De weg naar de beslissing Als de
- Page 31 and 32: (1) noemt men een type I fout (onte
- Page 33 and 34: VIII Werd de nulhypothese terecht v
- Page 35 and 36: VI Op hoeveel verschillende maniere
- Page 37 and 38: Opgaven: 1) Een krantenartikel bewe
- Page 39 and 40: 4 Test voor het gemiddelde van een
- Page 41 and 42: Deze kans is klein en vormt een goe
- Page 43 and 44: Dit laatste kan verwarrend overkome
- Page 46: Dit cahier behandelt betrouwbaarhei
Uit de formule x = µ + z ⋅ σ ler<strong>en</strong> we dat de z-score aangeeft hoeveel standaardafwijking<strong>en</strong><br />
σ de waarde x verwijderd is <strong>van</strong> <strong>het</strong> gemiddelde µ .<br />
E<strong>en</strong> z-score tuss<strong>en</strong> -1 <strong>en</strong> 1 is "normaal" <strong>en</strong> e<strong>en</strong> z-score met e<strong>en</strong> absolute waarde groter dan<br />
2 is zeld<strong>en</strong> (zie ook volg<strong>en</strong>de figuur). De z-scores word<strong>en</strong> o.a. gebruikt om data <strong>van</strong><br />
verschill<strong>en</strong>de normale verdeling<strong>en</strong> te vergelijk<strong>en</strong>.<br />
•<br />
•<br />
µ − 3σ<br />
− 3<br />
µ − 2σ<br />
µ − σ µ µ + σ µ + 2 σ µ + 3σ<br />
− 2<br />
− 1<br />
0 1 2 3<br />
x<br />
z<br />
5) Gegev<strong>en</strong> e<strong>en</strong> populatie met variabele X , met gemiddelde µ <strong>en</strong> standaardafwijking σ .<br />
Beschouw e<strong>en</strong> steekproef X1, X2, X3, … Xn<br />
uit de populatie (dit zijn onafhankelijke<br />
toevalsvariabel<strong>en</strong> met dezelfde verdeling als X ), dan heeft <strong>het</strong> steekproefgemiddelde<br />
X1+ X2 + … + Xn<br />
σ<br />
X =<br />
ook gemiddelde µ maar standaardafwijking .<br />
n<br />
n<br />
a) Als X normaal verdeeld is, dan is ook X normaal verdeeld:<br />
X1+ X2 + … + X<br />
∼ dan is X<br />
n ⎛ σ ⎞<br />
= N µ ,<br />
n<br />
⎜ ⎟.<br />
⎝ n ⎠<br />
Als X N ( µ , σ )<br />
b) Als de populatie (met eindige variantie) niet normaal verdeeld is dan geldt toch bij<br />
σ<br />
b<strong>en</strong>adering dat X normaal verdeeld is met gemiddelde µ <strong>en</strong> standaardafwijking<br />
n<br />
als n voldo<strong>en</strong>de groot is (c<strong>en</strong>trale limietstelling).<br />
4
Change language