Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen

• Populatiedata worden o.a. gekenmerkt door het populatiegemiddelde µ en de
populatiestandaardafwijking σ , als maat voor de spreiding van de data t.o.v. µ .
Vaak neemt het dichtheidshistogram van de populatiedata, getekend met een kleine
klassenbreedte, de klokvorm aan van de normale dichtheidsfunctie (zie voorgaande
grafiek). We zeggen dan dat de populatiedata normaal verdeeld zijn.
De normale dichtheidsfunctie is dus een wiskundig model voor de verdeling van
dergelijke populatiedata.
Relatieve frequenties of proporties van populatiedata van een variabele X, gelegen in
een interval, worden genoteerd met P( a< X < b) , P( X < a) , P( X > a)
,… en
berekend als oppervlakte onder de dichtheidskromme boven het beschouwde interval.
De aard van de beschouwde ongelijkheden (al dan niet strikt) speelt hierbij geen rol.
• De oppervlakte van het gebied begrensd door de dichtheidskromme en de x-as is gelijk
aan 1.
• De kromme is klokvormig en symmetrisch t.o.v. de rechte x = µ , het gemiddelde valt
dus samen met de mediaan: µ = Med .
• Ook de standaardafwijking σ heeft een meetkundige betekenis: de punten op de
kromme gelegen op een afstand σ van de symmetrieas zijn de buigpunten van de
kromme. Dit zijn de punten waar de vorm van de kromme overgaat van bol naar hol
(opwaarts kijkend naar de kromme) of omgekeerd. Een buigpunt wordt ook
gekenmerkt als een punt waar de raaklijn het steilst is. De hoogte van het buigpunt is
ongeveer 60% van de tophoogte.
• De 68 - 95 - 99.7 regel:
voor een normale verdeling met gemiddelde µ en standaardafwijking σ geldt:
• Ongeveer 68% van de waarnemingen ligt binnen een afstand σ van µ
• Ongeveer 95% van de waarnemingen ligt binnen een afstand 2σ van µ
• Ongeveer 99.7% van de waarnemingen ligt binnen een afstand 3σ van µ
Deze regel illustreert de rol van σ als maat van de spreiding van de populatiedata
omheen het populatiegemiddelde µ .
We verifiëren de 68 - 95 - 99.7 regel voor een normale verdeling met gemiddelde
µ = 10 en standaardafwijking σ = 2 . Na keuze van een geschikt venster kan de
oppervlakte ook worden gearceerd via 2nd[DISTR] 1:ShadeNorm( .
2