Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen

More documents

Recommendations

Info

$Cahier 17: Onderzoekscompetenties: fractalen met de TI-84 Plus.$

Betrouwbaarheidsintervallen 1 Inleiding Statistische inferentie of Statistische besluitvorming trekt aan de hand van steekproefdata conclusies over de populatie waarvan de data afkomstig zijn. Deze conclusies zijn enkel betrouwbaar indien de steekproefdata op een correcte wijze werden verkregen, zodat we kunnen aannemen dat de populatie goed wordt vertegenwoordigd door de steekproefdata. Eerst moet er dus veel aandacht gaan naar het verwerven van gegevens; uit slordig verkregen data kan men geen zinvol besluit formuleren. In wat volgt nemen we aan dat we werken met een enkelvoudige aselecte steekproef uit een populatie, waarbij elke steekproef van dezelfde omvang dezelfde kans op selectie heeft. In de onderstaande tekst bespreken we twee belangrijke begrippen uit de statistische besluitvorming: betrouwbaarheidsintervallen en hypothesetesten. We beperken ons hierbij tot toepassingen op de normale en de binomiale verdeling, verdelingen die worden bestudeerd in het secundair onderwijs. Het is de bedoeling om vertrouwd te geraken met de begrippen en de toepassingsgebieden aan de hand van concrete voorbeelden, hierbij worden het grafisch rekentoestel TI-84 Plus en Java-applets van de K.U.Leuven ingezet. 2 De normale verdeling In deze paragraaf vatten we eerst enkele eigenschappen van de normale verdeling en van toevalsvariabelen samen. Voor een overzicht van de normale verdeling met de TI-84 Plus verwijzen we naar paragraaf 5. 1) Over de grafiek van de normale dichtheidsfunctie: • σ • µ − 3σ µ − 2σ µ − σ µ µ + σ µ + 2 σ µ + 3σ 68% 95% 99.7% 1
• Populatiedata worden o.a. gekenmerkt door het populatiegemiddelde µ en de populatiestandaardafwijking σ , als maat voor de spreiding van de data t.o.v. µ . Vaak neemt het dichtheidshistogram van de populatiedata, getekend met een kleine klassenbreedte, de klokvorm aan van de normale dichtheidsfunctie (zie voorgaande grafiek). We zeggen dan dat de populatiedata normaal verdeeld zijn. De normale dichtheidsfunctie is dus een wiskundig model voor de verdeling van dergelijke populatiedata. Relatieve frequenties of proporties van populatiedata van een variabele X, gelegen in een interval, worden genoteerd met P( a< X < b) , P( X < a) , P( X > a) ,… en berekend als oppervlakte onder de dichtheidskromme boven het beschouwde interval. De aard van de beschouwde ongelijkheden (al dan niet strikt) speelt hierbij geen rol. • De oppervlakte van het gebied begrensd door de dichtheidskromme en de x-as is gelijk aan 1. • De kromme is klokvormig en symmetrisch t.o.v. de rechte x = µ , het gemiddelde valt dus samen met de mediaan: µ = Med . • Ook de standaardafwijking σ heeft een meetkundige betekenis: de punten op de kromme gelegen op een afstand σ van de symmetrieas zijn de buigpunten van de kromme. Dit zijn de punten waar de vorm van de kromme overgaat van bol naar hol (opwaarts kijkend naar de kromme) of omgekeerd. Een buigpunt wordt ook gekenmerkt als een punt waar de raaklijn het steilst is. De hoogte van het buigpunt is ongeveer 60% van de tophoogte. • De 68 - 95 - 99.7 regel: voor een normale verdeling met gemiddelde µ en standaardafwijking σ geldt: • Ongeveer 68% van de waarnemingen ligt binnen een afstand σ van µ • Ongeveer 95% van de waarnemingen ligt binnen een afstand 2σ van µ • Ongeveer 99.7% van de waarnemingen ligt binnen een afstand 3σ van µ Deze regel illustreert de rol van σ als maat van de spreiding van de populatiedata omheen het populatiegemiddelde µ . We verifiëren de 68 - 95 - 99.7 regel voor een normale verdeling met gemiddelde µ = 10 en standaardafwijking σ = 2 . Na keuze van een geschikt venster kan de oppervlakte ook worden gearceerd via 2nd[DISTR] 1:ShadeNorm( . 2
Page 1 and 2: Cahiers T 3 Europe Vlaanderen nr. 8
Page 4: Inhoud Betrouwbaarheidsintervallen
Page 9 and 10: Uit de formule x = µ + z ⋅ σ le
Page 11 and 12: Nu is P( X ) 9.8 < < 10.2 = 38.3% :
Page 13 and 14: Derhalve noemen we voor een concret
Page 15 and 16: σ Merk op dat de foutmarge zα /2
Page 17 and 18: Met de Java-applets van de webpagin
Page 19 and 20: Oplossingen 1) a) Met 1− α = 0.9
Page 21 and 22: -----------------------------------
Page 23 and 24: Opgave Van 20000 Belgen onderzoekt
Page 25 and 26: 5.1 normalpdf normalpdf is de dicht
Page 27 and 28: Het testen van hypothesen 1 Inleidi
Page 29 and 30: IV De weg naar de beslissing Als de
Page 31 and 32: (1) noemt men een type I fout (onte
Page 33 and 34: VIII Werd de nulhypothese terecht v
Page 35 and 36: VI Op hoeveel verschillende maniere
Page 37 and 38: Opgaven: 1) Een krantenartikel bewe
Page 39 and 40: 4 Test voor het gemiddelde van een
Page 41 and 42: Deze kans is klein en vormt een goe
Page 43 and 44: Dit laatste kan verwarrend overkome
Page 46: Dit cahier behandelt betrouwbaarhei

Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?