Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Stel X het aantal personen met bloedgroep O bij een steekproef van 200 personen, dan is X
binomiaal verdeeld met parameters n = 200 en p = kans op succes (bloedgroep O) :
X
2
∼ B( n,
p)
met E ( X) = µ
X
= np en Var ( X ) = σ
X
= np ( 1−
p)
Door de centrale limietstelling weten we dat X bij benadering normaal verdeeld is met
np 1− p .
gemiddelde np en standaardafwijking ( )
We kunnen X immers schrijven als X = X1+ X2 + X3+… Xn
, d.i. een som van
n onafhankelijke toevalsvariabelen met een Bernouilli verdeling met parameter p.
Hierbij neemt X
i
de waarde 1 aan met kans p als de i-de persoon bloedgroep O heeft en de
= p en Var ( X ) = p( 1− p)
,
waarde 0 als dit niet het geval is. Men rekent vlug na dat E ( Xi
)
zodat E ( X) = E( X1) + E( X2) + … E( Xn
) = np
en Var ( X ) = Var ( X ) + Var ( X ) + … Var ( X ) = np ( − p)
1 2 n
1
Hieruit volgt dat de toevalsvariabele X
P = bij benadering normaal verdeeld is met
n
p ( 1−
p)
gemiddelde p en standaardafwijking
:
n
( ) ( )
⎛ X ⎞ 1
E ( P) = E⎜
⎟= E( X)
= p en ⎛ X ⎞ 1 p 1−
p
Var P = Var ⎜ ⎟= Var X =
2
⎝ n ⎠ n
⎝ n ⎠ n n
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a) Exacte oplossing:
i
( )
In 95% der gevallen neemt P dus een waarde ˆp aan binnen 1.96 standaardafwijkingen van
( 1 )
het gemiddelde p of ˆ 1.96 p −
p− p ≤ p met 95% zekerheid.
n
Concreet vonden we voor onze steekproef x = 80 en n = 200 zodat
( 1−
p)
80
p ˆ = = 0.40 en
200
p
0.4 − p ≤ 1.96 met 95% zekerheid. We lossen de ongelijkheid grafisch op:
200
Als interval verkrijgen we 0.3346 < p < 0.4692 met 95 % zekerheid.
16