Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen

Derhalve noemen we voor een concrete observatie x het interval
⎡ σ σ ⎤
⎢x
− 1.96 , x + 1.96 ⎥ een 95% betrouwbaarheidsinterval voor µ , of een
⎣ n n⎦
betrouwbaarheidsinterval met betrouwbaarheidsniveau 95%.
σ
We noteren dit interval ook met x ± 1.96 .
n
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Formeel loopt de bovenstaande redenering als volgt:
X1+ X2 + … + X
Aangezien X
n ⎛ σ ⎞
= N µ ,
n
⎜ ⎟
⎝ n ⎠
X − µ
σ
is Z = ∼ N( 0,1)
n
Uit P( Z )
−1.96 ≤ ≤ 1.96 = 0.95
volgt dat
X − µ
P( −1.96 ≤ ≤ 1.96) = 0.95
σ
n
of
σ
σ
P( −1.96 ≤ X −µ
≤ 1.96 ) = 0.95
n
n
(1)
uit (1) volgt nu
σ
σ
P( µ −1.96 ≤ X ≤ µ + 1.96 ) = 0.95
n
n
uit (1) volgt echter ook
σ
σ
P( −X −1.96 ≤−µ
≤− X + 1.96 ) = 0.95
n
n
waaruit
σ
σ
PX ( + 1.96 ≥ µ ≥ X− 1.96 ) = 0.95
n
n
of
σ
σ
PX ( −1.96 ≤ µ ≤ X+ 1.96 ) = 0.95
n
n
bijgevolg noemen we
⎡ σ
⎢x
− 1.96
⎣ n
, x + 1.96
voor µ .
σ ⎤
⎥
n⎦ een 95% betrouwbaarheidsinterval
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8