Hoofdstuk 1 Basisbegrippen

Hoofdstuk 1
Basisbegrippen
1.1 De fuzzy-set
Het begrip 'fuzzy'
In de klassieke verzamelingenleer behoort een element wel of niet tot een verzameling. De vage
logica daarentegen gaat er van uit dat een element ook ten delen tot een verzameling kan horen. Zo
krijgen we een 'vage' omlijning van het beschouwde begrip of de beschouwde verzameling.
Neem als voorbeeld het begrip of de definitie 'jong'. Iemand is 'jong' indien hij of zij niet oud is dan
20 jaar. Dit is een scherp omlijnde definitie. Ofwel is deze definitie van toepassing ofwel niet. Een
persoon die 20 jaar en 1 dag oud is, is bijgevolg niet meer jong. Twee dagen geleden was hij of zij
wel nog jong. Deze plotse overgang van jong naar niet jong is eigenlijk in strijd met de menselijk
denkwijze. Als mens gaan we het begrip 'jong' ruimer zien en minder afgelijnd. 25 jaar is ook nog
jong maar niet in dezelfde mate als 20 jaar. Laten we daarom jong definiëren met de curve uit figuur
1.1. Voor elke ouderdom wordt aangegeven in welke mate de betreffende ouderdom 'jong' is. Voor
leeftijden kleiner dan 20 jaar is de uitspraak 'deze leeftijd is jong' voor 100% waar. Leeftijden groter
dan 40 jaar zijn niet meer 'jong'. Tussen deze twee leeftijdsgrenzen in neemt de waarheidsgraad
geleidelijk af.
1
Waarheidsgraad
0.5
0
20 40 Leeftijd
Figuur 1.1: Definitie van het begrip jong.
De linguïstische variabele
In de fuzzy-set theorie wordt gewerkt met begrippen als variabelen. Een mogelijk begrip is "de
betreffende temperatuur is warm" of kortweg "warm". Wat juist verstaan wordt onder "warm", is
afhankelijk van de beschouwde situatie en moet gedefinieerd worden. Voor elke temperatuur wordt
aangegeven in welke mate deze temperatuur warm is. Dit kan gebeuren via de lidmaatschapsfunctie
of het waarheidsgehalte zoals aangegeven in figuur 1.1 voor de variabele "jong".
Baeten J.
- 1.1 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
De lidmaatschapsgraad en de lidmaatschapsfunctie
De lidmaatschapsgraad (of de waarheidsgraad) geeft het waarheidsgehalte aan van een bewering of
geeft aan in welke mate het beschouwde element tot de verzameling behoort. Een functie of een
curve die deze waarheidsgraden weergeeft voor alle mogelijke elementen is de lidmaatschapsfunctie
of -curve. De verzameling van alle beschouwde elementen is de populatie of het universum,
aangeduid met de hoofdletter U. Een willekeurig element uit die populatie wordt dan aangeduid met
u. Het symbool voor de waarheidsgraad is µ.
Neem als voorbeeld het begrip "lange mannen". Een man met een lengte van 180 cm behoort met
een waarheidsgehalte van 90% tot de verzameling van lange mannen. Een man van twee meter
behoort met een waarheidsgehalte van 100% tot de verzameling van lange mannen. Een man van
210 cm is weliswaar lang maar heeft een waarheidsgehalte van 70%. In de categorie van 'extreem'
lange mensen scoort hij echter met 100%.
Er bestaat geen eenduidige werkwijze die aangeeft hoe de lidmaatschapsfuncties bepaald moeten
worden. In feite moet de lidmaatschapsfunctie een weerspiegeling zijn van de menselijke ervaring
of van het intuïtief aanvoelen van het begrip. Dit is dan ook de enige regel.
Lidmaatschapsfuncties kunnen in een formule of grafisch weergegeven worden. Bij de grafische
voorstelling geeft de horizontale as de elementen uit de populatie en de verticale as de
waarheidsgraad µ voor elk van de elementen voor de beschouwde linguïstische variabele. Figuur
1.2.a geeft een voorbeeld. Het geheel van waarheidsgraden voor een populatie betreffende een
linguïstische variabele wordt een fuzzy-set genoemd.
µ , Waarheidsgraad of lidmaatschapsgraad
1
Lidmaatschapscurve
1
Verzameling "lange mannen"
0.5
Linguïstische variabele =
"Lange mannen"
0
0
180 200 U = lengte van de man (in cm)
Universum of populatie
a) b)
Figuur 1.2: a) De fuzzy-set vergeleken met b) een 'crisp'-set.
180 220
De fuzzy-set staat in tegenstelling tot de 'crisp'-set uit de binaire logica waar de verzameling perfect
afgelijnd is zoals weergegeven in figuur 1.2.b.
Baeten J.
- 1.2 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
Het formalisme
Voor alle elementen u van het universum U wordt de fuzzy-set A voorgesteld door:
A = {[u, µ A (u)] ∀u ∈ U} met 0 ≤ µ A (u) ≤ 1
Een fuzzy-set is in feite een geheel van geordende elementen. Hierbij spelen twee grootheden een
rol: de plaats of de waarde van het element in de populatie en de bijbehorende waarheidsgraad.
Bij een discreet opgebouwde populatie wordt de set A voorgesteld door
A = µ A (u 1 )/u 1 + µ A (u 2 )/u 2 + ...
+ µ A (u n )/u n
waarin u 1 , u 2 , ..., u n elementen zijn van het universum of de populatie U.
De lidmaatschapsfunctie ligt hier vervat in de set van waarheidsgraden µ A
(u 1
), ... , µ A
(u n
).
Het deelteken en het sommatieteken slaan niet op de respectievelijke wiskundige bewerkingen.
Bij een continu opgebouwde populatie wordt de fuzzy-set weergegeven door:
A = ∫ A
µ A (u)/u
Neem als voorbeeld het begrip: "ongeveer gelijk aan 10". Deze set kan gedefinieerd worden door de
uitdrukking:
A = ∫ ≅10
1
1 + [u − 10] 2 /u
met lidmaatschapsfunctie
µ A (u) =
1
1 + [u − 10] 2
Voor u = 0 is µ A
(0) = 1/101 , voor u = 1 is µ A
(1) = 1/82 , ... voor u = 10 is µ A
(10) = 1 enz. ...
Figuur 1.3 geeft de gedefinieerde fuzzy-set grafisch weer.
1
0.9
Waarheidsgraad µ
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 5 1 0 1 5 2 0
Figuur 1.3: Grafische voorstelling van de fuzzy-set "ongeveer gelijk aan 10".
Getallen
Baeten J.
- 1.3 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
Vormen van lidmaatschapsfuncties
Zoals eerder vermeld moet in elke specifieke toepassing de aard, de grootte en de vorm van de
lidmaatschapscurve door de gebruiker zelf gekozen worden.
De lidmaatschapsfunctie kan zeer uiteenlopende vormen aannemen. Figuur 1.4 geeft de meest
voorkomende basisvormen.
1
µ(u)
1
µ(u)
1
µ(u)
1
µ(u)
0.5
0.5
0.5
0.5
s z z s
0
u
0
Z-vorm S-vorm Klok-vorm (Gauss-curve)
u
0
u
0
u
Inverse klokvorm
Figuur 1.4: Basisvormen van lidmaatschapsfuncties.
De basisvormen uit figuur 1.4 kunnen vergeleken worden van een laagdoorlaat-, hoogdoorlaat,
band- en bandsperfilter. Alle vier vormen kunnen afgeleid worden uit de algemene S-vorm uitfiguur
1.5.
1
S(a,b,c)
µ(u)
b = (a + c) /2
0,5
0
a b c
u
Figuur 1.5: Algemene S-vorm.
Deze algemene S-vorm stemt met de volgende formules overeen:
S(u)=0 u ∈ [−∞, a]
S(u)=2(u − a) 2 /(c − a) 2 u ∈ [a, b]
S(u)=1 − 2(u − c) 2 /(c − a) 2 u ∈ [b, c]
S(u)=1 u ∈ [c, ∞]
De continu verlopende lidmaatschapscurves hebben het nadeel dat ze meestal voorgesteld worden
door redelijk lange (of ingewikkelde) formules. Dit zal de rekentijd van het fuzzy algoritme nadelig
beïnvloeden. Daarom worden meestal zeer eenvoudige fuzzy sets gekozen, zoals weergegeven in
figuur 1.6.
De vereenvoudigde functies zijn samengesteld uit rechte stukken, zodat er een (deelsgewijs) lineair
verband bestaat tussen het element uit de populatie en de waarheidsgraad voor dit element.
Baeten J.
- 1.4 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
µ(u) µ(u) µ(u) µ(u)
Z-vorm S-vorm
-vorm Π -vorm
1 1 1 1
0
0 0 0
u u u u
Figuur 1.6: Vereenvoudigde basisvormen.
Zoals later uit de rekenvoorbeelden zal blijken, leveren deze vereenvoudigde lidmaatschapsfuncties
evenzeer goede resultaten.
1.2 Basisbewerkingen
Unie
De unie van de sets A en B (universum U) wordt symbolisch voorgesteld door:
A ∪ B
Zij komt overeen met de 'OR'-functie. Met behulp van de unie worden uit reeds gedefinieerde
begrippen zoals bijvoorbeeld "groot" en "zeer groot" de definitie bepaald voor het begrip "groot OF
zeer groot". Het waarheidsgehalte van de uitspraak "groot of zeer groot" is gelijk aan het maximum
van de waarheidsgehaltes overeenstemmend "groot" en "zeer groot":
µ A∪B (u) = max [µ A (u), µ B (u)]
Neem als voorbeeld de lidmaatschapsfuncties voor "groot" en "zeer groot" zoals gedefinieerd in
figuur 1.7.a. Indien we voor elk element het maximum nemen van de twee gegeven curven,
bekomen figuur 1.7.b. Dit is de lidmaatschapsfunctie voor "groot of zeer groot".
1
µ(u)
Groot
Zeer groot
Unie
1
µ(u)
Groot of zeer groot
0,5
0
180 200 220
u
MAX
" OF "
a) b)
0,5
0
180 200 220
u
Figuur 1.7: Toepassing van de unie voor de definitie "groot of zeer groot".
Baeten J.
- 1.5 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
Volgend voorbeeld illustreert de unie bij definities over een discrete populatie. We definiëren:
"groot" = 0/170 + 0/180 + .5/190 + 1/200 + .5/210 + 0/220
"zeer groot" = 0/170 + 0/180 + 0/190 + 0/200 + .5/210 + 1/220
De unie geeft dan:
"groot of zeer groot" = 0/170 + 0/180 + .5/190 + 1/200 + .5/210 + 1/220
Merk op dat max-operator ook werkt bij de binaire logica. De uitgang van een OF-poort is gelijk
aan de maximale ingang (enkel binaire signalen zijn toegelaten). Tabel 1.1 geeft de uitgang van een
OF-poort met twee ingangen.
1e ing. 2e ing. "OF" uitg.
1 1 = 1
1 0 max 1
0 1 nemen 1
0 0 0
Tabel 1.1: OF-poort = max-operator.
Doorsnede
De doorsnede van de sets A en B (universum U) wordt symbolisch voorgesteld door:
A ∩ B
Zij komt overeen met de 'AND'-functie. De lidmaatschapsfunctie is:
µ A∩B (u) = min [µ A (u), µ B (u)]
Een element uit de doorsnede maakt deel uit van de verzameling A en van B. Als voorbeeld nemen
we de reeds gedefinieerde begrippen "groot" en "zeer groot". Figuur 1.8 geeft dan de
lidmaatschapsfunctie voor "groot en zeer groot".
µ(u)
µ(u)
1
Groot
Zeer groot
Doorsnede
1
0,5
MIN
0,5
Groot en zeer groot
0
180 200 220
u
" EN "
0
180 200 220
u
Figuur 1.8: Toepassing van de doorsnede voor de definitie "groot en zeer groot".
Voor de eerder gegeven discrete populatie vinden we:
"groot en zeer groot" = 0/170 + 0/180 + 0/190 + 0/200 + .5/210 + 0/220
Baeten J.
- 1.6 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
Ook hier kunnen we de vergelijking maken met de binaire EN-poort. De uitgang van de EN-poort is
gelijk aan het minimum van de aangelegde ingangen zoals tabel 1.2 aangeeft voor twee ingangen.
1e ing. 2e ing. "EN" uitg.
1 1 = 1
1 0 min 0
0 1 nemen 0
0 0 0
Tabel 1.2: EN-poort = min-operator.
Complement
Het complement van een fuzzy-set A wordt symbolisch voorgesteld door:
¬ A
De lidmaatschapsfunctie wordt gedefinieerd als:
µ ¬ A(u) = 1 − µ A (u)
Het complement van een fuzzy-set correspondeert met de gekende 'NOT'-functie of negatie.
De lidmaatschapsfunctie voor "niet groot" wordt dan bijvoorbeeld:
"niet groot" = 1/170 + 1/180 + .5/190 + 0/200 + .5/210 + 1/220
of grafisch zoals weergegeven in figuur 1.9.
1
µ(u)
Groot
Complement
1
µ(u)
Niet groot
0,5
1 - µ
0,5
0
180 200 220
u
" NIET "
0
180 200 220
u
Figuur 1.9: Toepassing van de negatie voor de definitie "niet groot".
Ook het complement of de negatie stemt overeen met de binaire logica. Tabel 1.3 geeft een
voorbeeld.
ing. "NIET" uitg.
1 = 0
0 1 - bin. waarde 1
Tabel 1.3: 'NIET'-poort = 1 - ingang.
Baeten J.
- 1.7 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
Versterking
Voor een fuzzy-set kan ook een versterkende graad gedefinieerd worden. Indien A een gegeven set
is, dan wordt "zeer A" of "echt A" gedefinieerd als:
ZEER A = ∫ A
µ A 2 (u)/u
Het versterken van het gegeven begrip komt dus overeen met het kwadrateren van de afzonderlijke
toebehoringsgraden µ.
Neem bijvoorbeeld
"klein" = 1/1 + .7/2 + .2/3 + 0/4 + 0/5
dan is
"zeer klein" = 1/1 + .49/2 + .04/3 + 0/4 + 0/5
Figuur 1.10 geeft nog een tweede voorbeeld.
µ(u)
µ(u)
1
Goed
Versterking
1
Echt goed
0,5
µ²
0,5
0
-1 0
1
u
0
-1 0 1
u
Figuur 1.10: Toepassing van de versterking voor de definitie van "echt goed".
Toepassing
Reken voor de hierboven gegeven definities de lidmaatschapsfuncties uit voor:
"Klein, maar niet echt klein" bij een discrete populatie (elementen 1 tot 5)
"Goed of niet zeer goed" bij een continue populatie van -1 tot 1
"Niet Goed, maar zeer goed"
Oplossing zie figuur 1.11.
1
µ(u)
Goed of niet zeer goed
1
µ(u)
Niet goed en zeer goed
0,5
0,5
0
-1 0
1
u
0
-1 0 1
u
Figuur 1.11: Toepassing - voorbeeld
"Klein, maar niet echt klein" = 0/1 + .51/2 + .2/3 + 0/4 + 0/5.
Baeten J.
- 1.8 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
Opmerkingen
1) Niet alle Booleaanse wetten zijn van toepassing in de fuzzy-set theorie. Zo is er bijvoorbeeld
geen wet van het uitgesloten derde en geen wet van de contradictie. In de Booleaanse algebra geldt
steeds:
en
A∪ ¬ A = U
A∩ ¬ A =∅
(De unie van A met het complement van A geeft het volledige universum).
(De doorsnede van A met het complement van A is de lege verzameling).
In de fuzzy-set theorie krijgen we afwijkende resultaten. Stel A(u) = 0.7.
en
A(u)∪ ¬ A(u)=max(0.7, 0.3)=0.7 < 1
A(u)∩ ¬ A(u)=min(0.7, 0.3)=0.3 > 0
Figuur 1.12 geeft dezelfde vaststelling grafisch weer. De toebehoringsfunctie van
niet steeds 1 of 100% en de waarheidsgehalte van A(u)∩ ¬ A(u) is niet steeds 0%.
A(u)∪ ¬ A(u)
is
1
µ(u)
'Goed en niet goed' cte 0 %
1
µ(u)
'Goed of niet goed' cte 100 %
0,5
0,5
0
-1 0
1
u
0
-1 0 1
u
Figuur 1.12: Voorstelling van "goed en niet goed" en "goed of niet goed".
2) In de literatuur worden nog andere mogelijke operatoren voorgesteld voor de unie en de
doorsnede van twee fuzzy sets. (Algemeen wordt hierbij de unie-operator een s-norm genoemd, de
doorsnede-operator een t-norm). We vermelden enkele mogelijke sets van operatoren:
Waarschijnlijkheidsoperatoren
µ A∩B (u)=µ A (u).µ B (u)
µ A∪B (u)=µ A (u)+µ B (u) − µ A (u).µ B (u)
(algebraïsch product)
(algebraïsche som)
Operatoren van Giles
µ A∩B (u)=max {0, µ A (u)+µ B (u) − 1}
µ A∪B (u)=min {1, µ A (u)+µ B (u)}
(begrensd verschil)
(begrensde som)
Voor verdere mogelijk operatoren wordt naar de literatuur verwezen. In wat volgt zullen we enkel
de minimum- en maximum operatoren gebruiken omdat deze het eenvoudigst zijn.
Baeten J.
- 1.9 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
1.3 Fuzzy relaties
In deze paragraaf wordt een methode aangegeven om relaties tussen ingangsinformatie en uitgangsinformatie
bij een fuzzy systeem voor te stellen. Hierbij hebben ingang en uitgang meestal een
verschillende dimensie. In de relatie zit de kennis vervat over de te ondernemen regelactie.
Neem een fuzzy-set A in het universum U en een fuzzy-set B in het universum V. Om A met B te
verbinden gebruiken we de regel:
"Indien A, dan B."
Bovenstaande regel veronderstelt een relatie die wordt aangeduid door R = A*B. Indien A slechts
voor 50 % waar is, dan zal actie B ook slechts voor 50 % toegepast worden. Zulk een relatie kan
ook weergegeven worden in matrixvorm.
Bijvoorbeeld: de relatie "Indien ingang groot, dan uitgang groot" is weergegeven in de volgende
matrix, waarbij de linguïstische variabelen "ingang groot" en "uitgang groot" respectievelijk op een
rij en een kolom slaan.
Groot
1
0 0
Middel
0
0
0
Klein
0 0 0
Groot Middel Klein
Linguïstische variabelen
voor de ingang.
Linguïstische variabelen
voor de uitgang
In principe volstaat deze matrixvoorstelling of het eenvoudig opsommen van de "indien-dan"-
regels, om alle regelacties te specifiëren. De volgende paragrafen beschrijven niettemin deze relatie
iets meer in detail.
Gedetailleerde uitwerking bij continue populaties
Neem voor de definitie van A "ingang groot" en B "uitgang groot" de fuzzy-sets uit figuur 1.13.
µ
1
"Ingang is groot"
1
µ
"Uitgang is groot"
.5
0.5
0
Ingang
Figuur 1.13: Definitie van "ingang groot" en "uitgang groot".
0
Uitgang
Baeten J.
- 1.10 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
De juiste wiskundige weergave van de relatie tussen deze continu verlopende populaties is:
R = A ∗ B = ∫ uv
µ A (u) ∩ µ B (v) /(u, v)
De bovenvermelde matrixvoorstelling breidt dan uit naar een driedimensionale figuur waarbij de
x-as de ingangspopulatie weergeeft, de y-as de uitgangspopulatie en de z-as de toebehoringsgraad.
Figuur 1.14 geeft een voorbeeld.
µ
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
20
30
10
20
10
0 0
Ingang
Uitgang
Figuur 1.14: Voorstelling van de relatie "indien ingang groot, dan uitgang groot".
"Ingang is groot"
Ingang
25
20
15
10
µ = 0.9
µ = 0.7
µ = 0.5
µ = 0.3
µ = 0.1
"Indien ingang groot, dan uitgang groot"
5
1
.5
5 10 15 20 25 30
µ
0
1
0.5
µ
"Uitgang is groot"
0
Figuur 1.15: Voortselling van de relatie R met hoogtelijen.
Uitgang
We kunnen figuur 1.14 ook tweedimensionaal beschouwen en de waarheidsgraden voor de relatie
voorstellen met behulp van 'hoogtelijnen' of lijnen van constante waarheid over de beschouwde
Baeten J.
- 1.11 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
universums U en V, zoals figuur 1.15 aangeeft. In de marge van de figuur worden ook de vormen
van de lidmaatschapsfuncties voor "ingang groot" en "uitgang groot" gegeven.
Gedetailleerde uitwerking bij discrete populaties
Bij discrete sets over een eindige populatie wordt de relatie:
µ R (u, v) = µ A∗B (u, v)=min [µ A (u), µ B (v)] ∀u ∈ U, v ∈ V
Deze relatie kan geschreven worden in matrixvorm.
⎡
⎢
A ∗ B =
⎢
⎣
min [µ A (u 1 ), µ B (v 1 )] ...
min [µ A (u 1 ), µ B (v m )]
.. . ...
...
min [µ A (u n ), µ B (v 1 )] .. . min [µ A (u n ), µ B (v m )]
⎤
⎥
⎥
⎦
Neem als voorbeeld de regel "Indien te snel, dan remmen". We definiëren te snel en remmen als
volgt:
"Te snel" = 0/20 + 0/40 + 0.1/60 / + 0.6/90 + 1/ 120 (met u = de snelheid in km/h)
"Remmen" = 0 /ND + 0.5/LD + 1/HD (met ND, LD, HD resp. niet, lichtjes en hard de rem indrukken)
In dit voorbeeld is A = het begrip "te snel" en B = het begrip "remmen".
De fuzzy relatie R (Indien A dan B) wordt hier weergegeven door:
R =
0
0
0.1
0.6
1
↑
A, B →
⎡ 0 0 0 ⎤
⎢
0 0 0
⎥
⎢
0 0.1 0.1
⎢
⎥
0 0.5 0.6
⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 0.5 1 ⎦
0 0.5 1
Uitbreiding
Voor de regel "Indien A, dan B, dan C" wordt de fuzzy relatie R gegeven door:
of
A ∗ B ∗ C = ∫ u,v,w
µ A (u)∩µ B (v)∩µ C (w) /(u, v, w)
A ∗ B ∗ C = Σ u,v,w
µ A (u)∩µ B (v)∩µ C (w) /(u, v, w)
met universums U, V, W.
Baeten J.
- 1.12 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
1.4 Samenstellingsregels
Bij de efficiënte controle van complexe processen zijn vaak veel gedragsregels nodig. Toch is het
onmogelijk regels te voorzien voor alle mogelijke situaties die zich kunnen voordoen. Juist daarom
is het nodig de samenstellings- of inferentieregel te gebruiken.
Neem bijvoorbeeld de regel "Indien veel te snel, dan hard remmen". Als de voorwaarde "veel te
snel" maar voor 50% voldaan is , dan zullen we ook maar voor 50% "hard remmen". Dit is een
vorm van inferentie (afleiden). De volledige set van regels zou kunnen zijn:
"Indien veel te snel, dan hard remmen"
"Indien te snel, dan lichtjes remmen"
"Indien goed, dan niets doen"
"Indien te traag, dan gas bijgeven"
(veel te snel = VTS, hard remmen = HR)
(te snel = TS, lichtjes remmen = LR)
(goed = G, niets doen = ND)
(te traag = TT, gas bijgeven = GB)
We kunnen al deze regels samenvoegen in een regelmatrix.
VTS
TS
R =
G
TT
1 0 0 0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
HR LR ND GB
Als de werkelijke snelheid gekend is, kan bepaald worden in welke mate VTS, TS, G, en TT waar
zijn. Neem bijvoorbeeld:
"Werkelijke snelheid" = 0/VTS + 0.4/TS + 0.6/G + 0/TT
Volgens de inferentieregel zal dan LR voor 40% en ND voor 60% van toepassing zijn zodat:
"Werkelijke actie" = 0/HR + 0.4/LR + 0.6/ND + 0/GB
In bovenstaand voorbeeld is "de werkelijke snelheid" een fuzzy-set over de linguïstische
ingangsvariabele. "De werkelijke actie", het resultaat van de inferentieregel, is een fuzzy-set over de
linguïstische uitgangsvariabelen. Algemeen geldt:
Gegeven een set A' en een relatie R, dan wordt de overeenkomstige uitgangsset B':
B = A R = A A ∗ B
waarbij de relatie R overeenstemt met "Indien A dan B".
Baeten J.
- 1.13 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
De operator ° stelt het maximum-minimum produkt voor. De lidmaatschapsfunctie van de
uitgangsset B' wordt gegeven door:
µ B (v) = max min [µ A (u), µ R (u, v)]
We nemen eerst het minimum over de ingangsvariabelen u en vervolgens het maximum over de
kolommen in de (resterende) matrix. Laten we dit verduidelijken met het bovenstaand voorbeeld.
Het verband min [µ A (u), µ R (u, v)] wordt:
min(0,1) min(0,0) min(0,0) min(0,0)
min(.4,0) min(.4,1) min(.4,0) min(.4,0)
= =
min(.6,0) min(.6,0) min(.6,1) min(.6,0)
min(0,0) min(0,0) min(0,0) min(0,1)
0 0 0 0
0 .4 0 0
0 0 .6 0
0 0 0 0
HR LR ND GB
VTS
TS
G
TT
en
µ B (v) = max min [µ A (u), µ R (u, v)]
wordt:
µ (v) =
B'
0 0 0 0
0 .4 0 0
max max max max = 0/HR + 0.4/LR + 0.6/ND + 0/GB
0 0 .6 0
0 0 0 0
In dit voorbeeld is het resultaat van het max-min produkt evident. Nemen we daarom eens een iets
uitgebreidere regelmatrix opgebouwd uit de sets A en B:
zodat
A = 0/1 + .2/2 + .5/3 + 1/4
B = 1/a + .8/b + .4/c + 0/d
R =
0 0 0 0
.2
.5
1
.2
.5
.8
.2
.4
.4
0
0
0
a b c d
1
2
3
4
Neem als set A' = 0/1 + .3/2 + .6/3 + .7/4
Baeten J.
- 1.14 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
Het verband min [µ A (u), µ R (u, v)] wordt:
min(0,0) min(0,0) min(0,0) min(0,0)
min(.3,.2) min(.3,.2) min(.3,..2) min(.3,0)
= =
min(.6,.5) min(.6,.5) min(.6,.4) min(.6,0)
min(.7,1) min(.7,.8) min(.7,.4) min(.7,0)
0 0 0 0
.2 .2 .2 0
.5 .5 .4 0
.7 .7 .4 0
µ B (v) = max min [µ A (u), µ R (u, v)]
wordt hier
µ (v) =
B'
0 0 0 0
.2 .2 .2 0
max max max max = .7/a + .7/b + 0.4/c + 0/d
.5 .5 .4 0
.7 .7 .4 0
Merk op dat de bovenstaande regelmatrix of regel "indien A dan B" nooit van toepassing zal zijn
voor de waarde '1' en bijgevolg nooit de waarde 'd' zal aansturen. Dit komt ook tot uiting bij de regel
"indien warm, dan verwarming dicht". Deze regel vertelt niets over de actie die ondernomen moet
worden indien het koud zou zijn. Wel kunnen we uit deze regel door inferentie bepalen wat we
zouden ondernemen indien het niet echt warm is, maar slechts een beetje warm, laten we zeggen
voor 30% warm. In dit geval zegt de inferentieregel dat we de verwarming voor 30% dicht moeten
zetten. Deze redenering komt overeen met de minimum-operator. Indien er nog een tweede regel
van toepassing zou zijn op de uitgang "dicht" en deze regel zou voor 50% waar zijn. Dan moeten we
kiezen tussen 30% of 50% als regelwaarde voor "dicht". We zullen de sterkste actie weerhouden, dit
wil zeggen dat de regel die het meest van toepassing is, toegepast wordt. We nemen bijgevolg het
maximum van de twee aangeboden waarden voor eenzelfde uitgang. De combinatie van de twee
redeneringen resulteert in max-min operator. Het uitgebreid voorbeeld uit hoofdstuk 2 verduidelijkt
nog de algemene werkwijze.
Sommige programma's werken niet rechtstreeks met de regelmatrix als weerspiegeling van de
opgestelde regels. De verschillende regels worden alleen gebundeld in één enkele regel (met EN- en
OF-operatoren) per mogelijke (linguïstische) variabele. Bijvoorbeeld:
Indien (A en B) of (C en D) of (A en niet D), dan actie 1.
De EN-operator stemt overeen met een minimum, de OF-operator met het maximum. Zo krijgen we
weer het max-min-produkt.
Baeten J.
- 1.15 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
1.5 Het fuzzy regelalgoritme
Het geheel van logische stuurregels is het fuzzy-regelalgoritme. Het algoritme bepaalt het gedrag
van de fuzzy-regelaar.
Een fuzzy-regelaar moet een niet-fuzzy ingang kunnen verwerken en omvormen tot een fuzzy-set.
Dit gebeurt in de fuzzyficatiestap. Een fuzzy-regelaar moet tevens een niet-fuzzy uitgang kunnen
afleveren. Dit gebeurt bij de defuzzyficatiestap. Het hart van de fuzzy-regelaar vormt de schakel
tussen de fuzzy ingangsset en de fuzzy uitgangsset en bestaat uit een opsomming van de regels of
uit een regelmatrix. In het eerste geval dienen de regels iteratief toegepast te worden waarbij 'en' en
'of' overeenstemmen met het minimum en het maximum van de betreffende waarheidsgraden. In
het tweede geval wordt de inferentieregel toegepast om de uitgangsset te bekomen volgens het
max-min produkt beschreven in de vorige paragraaf.
De fuzzy-regelaar bestaat dus uit drie onderdelen zoals weergegeven in figuur 1.16.
Ingang
Fuzzyficatie
Regelmatrix R
of
Opsomming van regels
Indien ... dan ...
Indien ... dan ...
Defuzzyficatie
Uitgang
Figuur 1.16: Blokschema vam de fuzzy-regelaar.
De fuzzyficatiestap
Elk meetresultaat wordt vergeleken met een vooraf gedefinieerde fuzzy ingangssetverzameling. De
meting dient zich als een 'singleton' aan. Voor elke linguïstische variabele wordt nagegaan wat de
lidmaatschapsgraad is voor de gegeven meting of ingangsvariabele.
µ
100
NL NM NS ZO PS PM PL
ijskoud koud koel goed warm heet zeer heet
80
60
40
20
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Ingang
Temperatuur in °c
Figuur 1.17: Voorbeeld fuzzyficatie.
Figuur 1.17 geeft een voorbeeld van de fuzzyficatiestap. Een temperatuur van 15°C is voor 20%
koel en voor 70% koud, de overige waarheidsgraden zijn 0.
Baeten J.
15°C = .7/koud + .2/koel
- 1.16 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
Figuur 1.17 geeft ook de standaard afkortingen gebruikt bij de fuzzyficatiecurven voor het
foutsignaal. Deze zijn:
NL Negative Large NG Negatief Groot
NM Negative Medium NM Negatief Middelgroot
NS Negative Small NK Negatief Klein
ZO Zero of ON Ongeveer Nul
PS Positive Small PK Positief Klein
PM Positive Medium PM Positief Middelgroot
PL Positive Large PG Positief Groot
Bijvoorbeeld: Een temperatuur van 36°C geeft:
36°C = 0/NL + 0/NM + 0/NS + .87/ZO + .12/PS + 0/PM + 0/PL
De lidmaatschapsfuncties hoeven niet symmetrisch te zijn en worden zelfs vaak scheef genomen.
Zie figuur 1.18. Wel wordt er best gezorgd voor een overlapping waarbij bij een bepaalde ingang
maximaal 2 en minimaal 1 fuzzyficatiecurve(s) een waarde opleveren verschillend van 0. Figuur
1.19 geeft enkele foutieve lidmaatschapsfuncties.
µ
1
NG NM NK ON PK PM PG
0
Figuur 1.18: Scheve lidmaatschapsfuncties.
Onvoldoende werking
Instabiele werking
Figuur 1.19: Foutieve lidmaatschapsfuncties.
De verschillende lidmaatschapsfuncties zijn met behulp van vergelijkingen in het procesbeheerssysteem
opgenomen. Door de substitutie van de waarde van de ingangsvariabele (meting) in deze
vergelijkingen wordt bepaald wat de lidmaatschapsgraad of het waarheidsgehalte is.
De vereenvoudigde vormen van lidmaatschapskrommes maken het mogelijk ook in kleinere
automatiseringssystemen met voldoende snelheid de fuzzyficatieberekeningen uit te voeren. Wil
men gebruik maken van moeilijkere lidmaatschapskrommes dan moet speciale hard- en software
voorhanden zijn. De programma's worden dan in Pascal of C geschreven en later gecompileerd.
Baeten J.
- 1.17 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
De regels
Zoals eerder vermeld hangen de regels af van de toepassing en steunen ze vooral op ervaringsgegevens.
De regels zijn van de vorm
"Indien ..... , dan ...."
"Indien ..... , dan ...."
...
Om de uitgang te vinden, wordt het max-min produkt toegepast op de regelmatrix of de minimumen
maximum-operatoren volgens de EN en OF voorwaardenstructuur uit de regels.
Tabel 1.4 geeft een voorbeeld van het relatieschema met twee ingangen en een uitgang. De ingangen
zijn het foutsignaal e en de verandering van het foutsignaal de. De uitgang is u.
Niet alle vakjes moeten opgevuld worden. Indien men bij een bepaalde combinatie van ingangen
geen actie wens te ondernemen, kan het betreffende vakje open gelaten worden.
de \ e NG NM NK NU PK PM PG
NG UNG UNG UNG UNG UNM UNK UNU
NM UNG UNG UNG UNM UNK UNU UPK
NK UNG UNG UNM UNK UNU UPK UPM
NU UNG UNM UNK UNU UPK UPM UPG
PK UNM UNK UNU UPK UPM UPG UPG
PM UNK UNU UPK UPM UPG UPG UPG
PG UNU UPK UPM UPG UPG UPG UPG
Tabel 1.4: Relatieschema overeenstemmend met een PD-regelaar.
Enkele mogelijke regels uit tabel 1.4 zijn hieronder uitgeschreven.
"Indien e = PG en de = NU, dan u = UPG.
"Indien e = PM en de = NU, dan u = UPM.
"Indien e = NU en de = PG, dan u = UPG.
"Indien e = NU en de = NU, dan u = UNU.
"Indien e = NG en de = PG, dan u = UNU.
enz...
Waarbij bijvoorbeeld UPG betekent "Uitgang Positief Groot"
Is men overtuigd van de juistheid van sommige regels en twijfelt men aan andere regels dan is het
mogelijk om de uitkomst van de ene regel t.o.v. de andere regel met een vermenigvuldigingsfactor
op te waarderen. Dit gebeurt door het toekennen van gewichtsfactoren aan de regels. (Dit zal verder
niet worden toegepast).
Baeten J.
- 1.18 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
De defuzzyficatiestap
In de vorige paragraaf zijn de regels behandeld waarin de ervaringen en het gewenst regelgedrag
zijn vastgelegd. Op basis van de momentele waarden van de verschillende ingangsvariabelen volgt
na bewerking van deze regels per regel een waarheidsgehalte voor de linguïstische
uitgangsvariabele. De defuzzyficatie is de berekening van een concreet uitgangssignaal op basis van
de verschillende waarheidsgehaltes.
µ
100
NG NK ON PK PG
80
60
40
20
0
-100 -40 0 40 100
Uitgang
Figuur 1.20: Lidmaatschapsfucnties voor de uitgang van de regelaar.
De waarheidsgehaltes voor de uitgangsset kunnen op verschillende manieren in de lidmaatschapskrommes
van de uitgangsvariabelen worden verwerkt. Men spreekt hierbij van inferentie
(gevolgtrekking). De meest gebruikte methoden zijn de minimum-inferentie en de produktinferentie
methoden. Bij minimum-inferentie wordt de lidmaatschapskromme begrensd (afgeknot)
op de minimumwaarde zoals figuur 1.21.a aangeeft.
set = 0.8/klein + 0.4/medium + 0/groot
µ
µ
100
Klein Medium Groot
100
Klein Medium Groot
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0
Uitgang
a) b)
Figuur 1.21: Voorbeelden van a) minimum-inferentie en b) produkt-inferentie.
Uitgang
Bij produkt inferentie wordt de lidmaatschapskromme begrensd op de waarde die volgt uit het
produkt van de waarheidsgraad en de oorspronkelijke lidmaatschapsfunctie. Figuur 1.21.b geeft een
voorbeeld.
Stel dat de uitgangsset overeenkomstig de krommes uit figuur 1.20 gelijk is aan:
u = 0/NG + /NK + .2/ON + .8/PK + .4/PG
Volgens de minimum-inferentie regel geeft dit het resultaat uit figuur 1.22.
Baeten J.
- 1.19 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
µ
100
NG NK ON PK PG
80
60
40
20
0
-100 -40 0 40 100
Uitgang
Figuur 1.22: Voorbeeld: bepaling van de uitgang van de regelaar.
Figuur 1.22 geeft weer dat een "kleine positieve" uitgang de hoogste waarheidsgraad kent. Een
logische gevolgtrekking kan dus zijn dat de uitgang ongeveer gelijk moet zijn aan 40. Maar ook
niets doen (ON) en sterk aansturen (PG) scoren. Deze waarden moeten in de berekening van de
effectieve uitgang meegenomen worden.
In feite is het totaal gearceerde oppervlak maatgevend voor de regelaarsuitgang. De meest gebruikte
methode is dan ook de zwaartelijn- of de zwaartepuntmethode. De ligging van de zwaartelijn of het
zwaartepunt van het totaal gearceerd oppervlak is de gezochte (enkelvoudige) uitgang.
Nochtans, bij het toepassen van de zwaartepuntmethode ontstaan problemen aan de boven- en
ondergrens van de uitgangsvariabele. Neem als voorbeeld de driehoeksvorm voor PG uit figuur
1.22. Stel dat de lidmaatschapsgraad voor PG 100% is. Het zwaartepunt van de driehoek ligt dan
echter niet in 100 maar rond 80. Nochtans waren alle andere lidmaatschapsgraden gelijk aan 0. Zie
figuur 1.23.a.
µ
100
PG
µ
100
PG
80
80
60
60
40
40
20
20
0
40 100 Uitgang
a) b)
0
40
100
140
Uitgang
Figuur 1.23: a) maximale uitgang is niet berijkbaar en b) correctie volgens uitgebreide zwaartelijnmethode.
Dit wil zeggen dat de maximale uitgang (100) nooit bereikt kan worden. De uitgebreide zwaartepuntmethode
corrigeert dit door de lidmaatschapskrommes die uiterst links en rechts liggen bij de
zwaartelijnberekening te spiegelen. Zie figuur 1.23.b. Het zwaartepunt in figuur 1.23.b ligt nu wel
in 100.
De defuzzyficatie vergt veel rekentijd. Daarom is gezocht naar vereenvoudigingen die het
regelresultaat nauwelijks beïnvloeden maar de berekeningen sneller laten verlopen. Bij de
Baeten J.
- 1.20 -

Automatisering: Fuzzy-regeltechniek
Hoofdstuk 1: Basisbegrippen
zwaartelijn bepaling moet het oppervlak worden bepaald van de omhullende kromme van alle
lidmaatschapscurves van de uitgangsvariabele. Dit oppervlak kent overlappingen. Door uit te gaan
van de afzonderlijke figuren bij de berekening van het totaal oppervlak worden deze overlappingen
dubbel gerekend. De berekening zelf is echter eenvoudiger en wordt de vereenvoudigde zwaartelijn
methode genoemd.
Een derde vereenvoudiging of aanpassing kan erin bestaan de lidmaatschapsfuncties voor de
linguïstische uitgangsvariabelen te definiëren als singletons. De uitgang wordt dan bekomen door
het gewogen gemiddelde te nemen van de fuzzy uitgangsset:
uitgang = Σ i v i µ(v i )
Σ i µ(v i )
We noemen dit de singletonmethode.
Nemen we terug het voorbeeld uit figuur 1.22. We herdefiniëren de uitgangsbegrippen als
singletons. Zie figuur 1.24.
µ
100
fuzzy set = 0/NG + 0/NK + .4/ON + .8/PK + .2/PG
NG NK ON PK PG
80
60
40
20
0
-100 -40 0 40 100
Figuur 1.24: Voorbeeld - Singletonmethode.
Uitgang
De uitgangswaarde of het zwaartepunt is hier dan:
40 ∗ 0 + 80 ∗ 40 + 20 ∗ 100
40 + 80 + 20
= 37, 14%
Het volgend hoofdstuk geeft een uitgewerkt voorbeeld waarbij de verschillende stappen van de
fuzzy-regelaar uitvoerig aan bod komen.
Baeten J.
- 1.21 -