studenten in de Mobiliteitswetenschappen - UHasselt
studenten in de Mobiliteitswetenschappen - UHasselt
studenten in de Mobiliteitswetenschappen - UHasselt
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
VOORKENNIS WISKUNDE<br />
Inlei<strong>de</strong>n<strong>de</strong> begrippen<br />
Voor <strong>stu<strong>de</strong>nten</strong> <strong>in</strong> <strong>de</strong> <strong>Mobiliteitswetenschappen</strong><br />
L. Motmans
WOORD VOORAF<br />
In het eerste jaar van <strong>de</strong> bacheloropleid<strong>in</strong>g <strong>Mobiliteitswetenschappen</strong> is ’Wiskun<strong>de</strong> voor<br />
verkeerskundigen’ een belangrijk on<strong>de</strong>rsteunend vak. Daarom wordt van <strong>de</strong> beg<strong>in</strong>nen<strong>de</strong> stu<strong>de</strong>nt<br />
een behoorlijke vaardigheid <strong>in</strong> elementaire rekentechnieken en een basiskennis van <strong>de</strong><br />
fundamentele wiskundige begrippen verwacht. De cursustekst ’Voorkennis wiskun<strong>de</strong>, Inlei<strong>de</strong>n<strong>de</strong><br />
begrippen’ wil een hulpmid<strong>de</strong>l zijn bij het opfrissen van een aantal on<strong>de</strong>rwerpen die wer<strong>de</strong>n<br />
behan<strong>de</strong>ld <strong>in</strong> het secundair on<strong>de</strong>rwijs, zon<strong>de</strong>r evenwel diep op <strong>de</strong> <strong>in</strong>houd <strong>in</strong> te gaan.<br />
Naast het zelfstandig doornemen van <strong>de</strong>ze tekst wordt aan beg<strong>in</strong>nen<strong>de</strong> <strong>stu<strong>de</strong>nten</strong> <strong>de</strong> mogelijkheid<br />
gebo<strong>de</strong>n over <strong>de</strong>ze materie vier lesdagen te volgen (september, vóór <strong>de</strong> start van het<br />
aca<strong>de</strong>miejaar). Een lesdag is opgesplitst <strong>in</strong> een uiteenzett<strong>in</strong>g <strong>in</strong> <strong>de</strong> voormiddag, gevolgd door een<br />
oefen<strong>in</strong>gensessie <strong>in</strong> kle<strong>in</strong>e groepjes <strong>in</strong> <strong>de</strong> namiddag. Vooral <strong>stu<strong>de</strong>nten</strong> die <strong>in</strong> het verle<strong>de</strong>n een<br />
beperkt wiskun<strong>de</strong>pakket hebben gevolgd wor<strong>de</strong>n verwacht op <strong>de</strong>ze lessencyclus. Ook an<strong>de</strong>ren,<br />
met een grondigere wiskun<strong>de</strong>vorm<strong>in</strong>g, zijn welkom <strong>in</strong>dien zij bij het doornemen van <strong>de</strong> leerstof<br />
(en vooral bij het maken van <strong>de</strong> opdrachten) problemen on<strong>de</strong>rv<strong>in</strong><strong>de</strong>n.<br />
Het gebruik van het grafisch rekentoestel TI - 84 Plus is louter exemplarisch. De stu<strong>de</strong>nt kan<br />
blijven werken met het GRT waar hij vertrouwd mee is.<br />
L. Motmans<br />
Mevr. V. Mebis stond <strong>in</strong> voor het zeer verzorg<strong>de</strong> tikwerk, waarvoor hartelijk dank.
INHOUD<br />
1 Veeltermen ontb<strong>in</strong><strong>de</strong>n <strong>in</strong> factoren 1<br />
1.1 Gemeenschappelijkefactor(en)afzon<strong>de</strong>ren ............... 1<br />
1.2 Merkwaardigeproducten......................... 1<br />
1.3 Ontb<strong>in</strong><strong>de</strong>n van ax 2 + bx + c (a = 0)................... 2<br />
1.4 HetalgoritmevanHorneren<strong>de</strong>reststell<strong>in</strong>g............... 3<br />
1.5 Een factor van <strong>de</strong> vorm x − a afzon<strong>de</strong>ren................ 5<br />
1.6 Opdrachten ................................ 6<br />
2 Sommatieteken, faculteit, b<strong>in</strong>omiaalcoëfficiënt 10<br />
2.1 Het sommatieteken (met één<strong>in</strong><strong>de</strong>x)................... 10<br />
2.2 De begrippen faculteit en b<strong>in</strong>omiaalcoëfficiënt ............. 12<br />
2.3 Opdrachten ................................ 13<br />
3 Vergelijk<strong>in</strong>gen 17<br />
3.1 Eerstegraadsvergelijk<strong>in</strong>gen (met éénonbeken<strong>de</strong>) ............ 17<br />
3.2 Twee<strong>de</strong>graadsvergelijk<strong>in</strong>gen ....................... 19<br />
3.3 Vergelijk<strong>in</strong>genherleidbaartotvierkantsvergelijk<strong>in</strong>gen ......... 22<br />
3.4 Vergelijk<strong>in</strong>genmetvierkantswortels ................... 23<br />
3.5 Opdrachten ................................ 25<br />
4 Stelsels van l<strong>in</strong>eaire vergelijk<strong>in</strong>gen 27<br />
4.1 Substitutiemetho<strong>de</strong> . ........................... 27<br />
4.2 Comb<strong>in</strong>atiemetho<strong>de</strong>............................ 27<br />
4.3 Elim<strong>in</strong>atiemetho<strong>de</strong>vanGauss ...................... 28<br />
4.4 CanonieketrapvormenGRT....................... 32<br />
4.5 Opdrachten ................................ 34
5 Enkele basisbegrippen over reële functies van één reële veran<strong>de</strong>rlijke<br />
35<br />
5.1 Def<strong>in</strong>itiesenvoorbeel<strong>de</strong>n......................... 35<br />
5.2 De <strong>in</strong>verse van een functie <strong>in</strong> IR ..................... 36<br />
5.3 Opdrachten ................................ 38<br />
6 Constante functies, eerstegraadsfuncties, twee<strong>de</strong>graadsfuncties, homografische<br />
functies 39<br />
6.1 Constantefuncties ............................ 39<br />
6.2 Eerstegraadsfuncties ........................... 40<br />
6.3 Twee<strong>de</strong>graadsfuncties........................... 43<br />
6.4 Homografischefuncties.......................... 48<br />
6.5 Opdrachten ................................ 51<br />
7 Richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt (hell<strong>in</strong>g) van een rechte 53<br />
7.1 Voorbeeld ................................. 53<br />
7.2 Algemeen ................................. 54<br />
7.3 Gevolgen.................................. 55<br />
7.4 Opdrachten ................................ 57<br />
8 Veeltermongelijkhe<strong>de</strong>n en rationale ongelijkhe<strong>de</strong>n <strong>in</strong> één onbeken<strong>de</strong> 59<br />
8.1 Algemenewerkwijze ........................... 59<br />
8.2 Voorbeel<strong>de</strong>n................................ 59<br />
8.3 Praktische werkwijze voor het tekenon<strong>de</strong>rzoek van een veelterm of<br />
vaneenbreukvanveeltermen ...................... 61<br />
8.4 Opdrachten ................................ 63<br />
9 Absolute waar<strong>de</strong> van een reëel getal 64<br />
9.1 Def<strong>in</strong>itieengevolgen ........................... 64<br />
9.2 Eigenschappen .............................. 65
9.3 Opdrachten ................................ 66<br />
10 Exponentiële en logaritmische functies 67<br />
10.1 Machten van een reëelgetal ....................... 67<br />
10.2 Exponentiëlefuncties........................... 69<br />
10.3Logaritmen ................................ 71<br />
10.4Logaritmischefuncties .......................... 72<br />
10.5 Exponentiëlevergelijk<strong>in</strong>gen ....................... 74<br />
10.6Logaritmischevergelijk<strong>in</strong>gen....................... 76<br />
10.7Opdrachten ................................ 77<br />
11 De voornaamste begrippen uit <strong>de</strong> goniometrie 80<br />
11.1Inleid<strong>in</strong>g.................................. 80<br />
11.2Metenvaneenhoek............................ 81<br />
11.3 Goniometrische getallen van een hoek / Goniometrische functies . . . 83<br />
11.3.1 S<strong>in</strong>usvaneenhoek/S<strong>in</strong>usfunctie................ 83<br />
11.3.2 Cos<strong>in</strong>usvaneenhoek/Cos<strong>in</strong>usfunctie ............. 85<br />
11.3.3 Tangensvaneenhoek/Tangensfunctie............. 86<br />
11.3.4 Overigegoniometrischegetallen ................. 89<br />
11.4Opdrachten ................................ 89<br />
12 Limieten 91<br />
12.1 De verzamel<strong>in</strong>g IR ............................. 91<br />
12.2Informele<strong>in</strong>voer<strong>in</strong>gvanhetlimietbegrip ................ 93<br />
12.3Limietstell<strong>in</strong>gen.............................. 97<br />
12.4Praktischebereken<strong>in</strong>gvanlimieten ...................103<br />
12.5Opdrachten ................................110<br />
13 Asymptoten bij <strong>de</strong> grafiek van een functie 113<br />
13.1Verticaleenhorizontaleasymptoten...................113
13.2Schu<strong>in</strong>easymptoten............................118<br />
13.3Opdrachten ................................121<br />
14 De natuurlijke exponentiële en logaritmische functies 123<br />
14.1 Het getal e .................................123<br />
14.2 De natuurlijke exponentiëlefunctie ...................126<br />
14.3Denatuurlijkelogaritmischefunctie...................127<br />
14.4Opdrachten ................................129<br />
Oploss<strong>in</strong>gen 132<br />
Appendix: TI-84 Plus: een kennismak<strong>in</strong>g 144
1 Veeltermen ontb<strong>in</strong><strong>de</strong>n <strong>in</strong> factoren<br />
Een veelterm ontb<strong>in</strong><strong>de</strong>n <strong>in</strong> factoren betekent <strong>de</strong> veelterm schrijven als een product<br />
van veeltermen die een lagere graad hebben dan <strong>de</strong> gegeven veelterm.<br />
Elke veelterm kan ontbon<strong>de</strong>n wor<strong>de</strong>n <strong>in</strong> factoren van <strong>de</strong> eerste graad en factoren<br />
van <strong>de</strong> twee<strong>de</strong> graad met (strikt) negatieve discrim<strong>in</strong>ant.<br />
Soms is het wel moeilijk om <strong>de</strong>ze ontb<strong>in</strong>d<strong>in</strong>g te v<strong>in</strong><strong>de</strong>n.<br />
We beschrijven enkele werkwijzen.<br />
1.1 Gemeenschappelijke factor(en) afzon<strong>de</strong>ren<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
1) x 3 + x 2 = x 2 (x +1)<br />
2) a(x − y)+3(y − x) =(x − y)(a − 3)<br />
3) ax + ay + bx + by = a(x + y)+b(x + y) =(x + y)(a + b)<br />
1.2 Merkwaardige producten<br />
In sommige gevallen kan men gebruik maken van één van <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> formules.<br />
(a + b)(a − b) =a 2 − b 2<br />
(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2<br />
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2<br />
(a + b) 3 = a 3 +3a 2 b +3ab 2 + b 3<br />
(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b +3ab 2 − b 3<br />
(a − b)(a 2 + ab + b 2 )=a 3 − b 3<br />
(a + b)(a 2 − ab + b 2 )=a 3 + b 3<br />
(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2ab +2ac +2bc<br />
1
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
1) 25x 2 − 36 = (5x − 6)(5x +6)<br />
2) 6a 2 − 24ab +24b 2 =6(a 2 − 4ab +4b 2 )=6(a − 2b) 2<br />
3) 8a 3 − 27b 3 =(2a − 3b)(4a 2 +6ab +9b 2 )<br />
4) 125x 3 +1=(5x + 1)(25x 2 − 5x +1)<br />
5) x 4 + xy 3 +3x 3 y +3x 2 y 2 = x(x 3 +3x 2 y +3xy 2 + y 3 )=x(x + y) 3<br />
6) x 3 +1=(x +1)(x 2 − x +1)<br />
7) r 3 − 5 √ 5=r 3 − ( √ 5) 3 =(r − √ 5)(r 2 + √ 5r +5)<br />
1.3 Ontb<strong>in</strong><strong>de</strong>n van ax 2 + bx + c (a = 0)<br />
Men berekent <strong>de</strong> discrim<strong>in</strong>ant D = b 2 − 4ac.<br />
Als D
2) x 2 + x + 1 is onontb<strong>in</strong>dbaar <strong>in</strong> IR want D =1− 4=−3 < 0<br />
1.4 Het algoritme van Horner en <strong>de</strong> reststell<strong>in</strong>g<br />
Dit algoritme kan gebruikt wor<strong>de</strong>n voor het <strong>de</strong>len van een veelterm door een veelterm<br />
van <strong>de</strong> vorm x − a, zoals bijvoorbeeld x − 5, x +2,x − √ 2, x − 7 3 .<br />
Voorbeeld 1<br />
5x 3 − 7x 2 − 4te<strong>de</strong>lendoorx − 2 (dus a =2)<br />
Schema<br />
5 −7 0 −4 Q(x) =5x 2 +3x +6<br />
2 ↓ 10 6 12 R =8<br />
5 3 6 8<br />
Werkwijze<br />
- Deeltal rangschikken volgens dalen<strong>de</strong> machten van x. Schrijf <strong>de</strong> coëfficiënten<br />
op <strong>in</strong> <strong>de</strong>ze volgor<strong>de</strong> (eventuele nullen niet vergeten).<br />
-Bepaala.<br />
- Maak <strong>de</strong> bereken<strong>in</strong>gen zoals aangegeven <strong>in</strong> het schema.<br />
- Op <strong>de</strong> laatste regel lezen we : <strong>de</strong> coëfficiënten van het quotiënt Q(x) en<strong>de</strong><br />
rest.<br />
Omdat <strong>in</strong> het algemeen geval, waarbij een veelterm D(x) wordt ge<strong>de</strong>eld door een<br />
veelterm d(x)(metd(x) verschillend van <strong>de</strong> nulveelterm en met grd D(x) ≥ graad d(x)),<br />
geldt dat<br />
D(x) =d(x) · Q(x)+R(x)<br />
met grd R(x)
1) grd Q(x) =grd D(x) − 1<br />
2) <strong>de</strong> rest is een constante.<br />
Voorbeeld 2<br />
2x 3 − 7x 2 y +7xy 2 − 2y 3 te <strong>de</strong>len door x − 2y<br />
Schema<br />
2 −7y 7y 2 −2y 3<br />
2y ↓ 4y −6y 2 2y 3<br />
2 −3y y 2 0<br />
Q(x) =2x 2 − 3xy + y 2<br />
R =0<br />
Voorbeeld 3<br />
a 4 + a 2 b 2 + b 4 te <strong>de</strong>len door a + b<br />
Schema<br />
1 0 b 2 0 b 4<br />
−b ↓ −b b 2 −2b 3 2b 4<br />
1 −b 2b 2 −2b 3 3b 4<br />
Q(x) =a 3 − a 2 b +2ab 2 − 2b 3<br />
R =3b 4<br />
Bij een <strong>de</strong>l<strong>in</strong>g van een veelterm door x − a zijn we soms enkel geïnteresseerd <strong>in</strong><br />
<strong>de</strong> rest. In <strong>de</strong>rgelijke gevallen is <strong>de</strong> reststell<strong>in</strong>g <strong>in</strong>teressant.<br />
4
Reststell<strong>in</strong>g<br />
De rest bij <strong>de</strong>l<strong>in</strong>g van een veelterm V (x) doorx − a is gelijk aan <strong>de</strong> getalwaar<strong>de</strong> van<br />
die veelterm <strong>in</strong> a, dus V (a).<br />
Voorbeeld<br />
V (x) =5x 3 − 7x 2 − 4te<strong>de</strong>lendoorx − 2<br />
R = V (2) = 8<br />
Gevolg<br />
Een veelterm V (x) is<strong>de</strong>elbaar door x − a als en slechts als V (a) =0.<br />
1.5 Een factor van <strong>de</strong> vorm x − a afzon<strong>de</strong>ren<br />
Als we voor een veelterm V (x) een <strong>de</strong>ler van <strong>de</strong> vorm x − a hebben gevon<strong>de</strong>n dan is<br />
V (x) =(x − a)Q(x)<br />
zodat V (x) geschrevenisalshetproductvan<strong>de</strong>veeltermenx − a en Q(x), waarbij<br />
Q(x) met het algoritme van Horner kan bepaald wor<strong>de</strong>n. Probeer nu Q(x) ver<strong>de</strong>r<br />
te ontb<strong>in</strong><strong>de</strong>n.<br />
Om <strong>de</strong>lers van <strong>de</strong> vorm x − a van een veelterm V (x) optesporen(metzowela als<br />
alle coëfficiënten van <strong>de</strong> veelterm V (x) gehele getallen) gaat men als volgt tewerk :<br />
1) Als <strong>de</strong> constante term <strong>in</strong> V (x) nul is, dan kunnen we x afzon<strong>de</strong>ren.<br />
2) Schrijf alle gehele <strong>de</strong>lers op van <strong>de</strong> constante term <strong>in</strong> V (x). Deze waar<strong>de</strong>n zijn<br />
kanshebbers voor a.<br />
3) Controleer met behulp van <strong>de</strong> reststell<strong>in</strong>g of <strong>de</strong> rest bij <strong>de</strong>l<strong>in</strong>g door x − a nul<br />
is.<br />
5
Voorbeeld<br />
V (x) =x 3 +4x 2 − 3x − 18<br />
<strong>de</strong>l(−18) = {1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6, 9, −9, 18, −18}<br />
<strong>de</strong>ler x − 1? V (1) = −16 = 0 x − 1 is geen <strong>de</strong>ler<br />
<strong>de</strong>ler x +1? V (−1) = −12 = 0 x + 1 is geen <strong>de</strong>ler<br />
<strong>de</strong>ler x − 2? V (2) = 0 x − 2 is een <strong>de</strong>ler<br />
Vandaar : (Horner)<br />
Q(x) =x 2 +6x +9<br />
1 4 −3 −18<br />
2 ↓ 2 12 18<br />
1 6 9 0<br />
x 3 +4x 2 − 3x − 18 = (x − 2)(x 2 +6x +9)=(x − 2)(x +3) 2<br />
In het algemeen zal men <strong>de</strong> werkwijze om x − a af te zon<strong>de</strong>ren blijven herhalen<br />
totdat <strong>de</strong> laatste factor van graad twee is. Het teken van <strong>de</strong> discrim<strong>in</strong>ant geeft dan<br />
aan of er nog ver<strong>de</strong>r kan ontbon<strong>de</strong>n wor<strong>de</strong>n.<br />
1.6 Opdrachten<br />
De <strong>in</strong>lei<strong>de</strong>n<strong>de</strong> oefen<strong>in</strong>gen 1 en 2 hebben als doel het rekenen met gebroken vormen<br />
op te frissen. Soms zal er gebruik gemaakt wor<strong>de</strong>n van merkwaardige producten.<br />
1. Vereenvoudig :<br />
a − b<br />
b − a ;<br />
xy<br />
x 2 − xy ;<br />
a − b<br />
(b − a) 2 ; a 2 − b 2<br />
(a + b) ; (a + b)2 − (a − b) 2<br />
2 ab<br />
; a6 − 1 100 − 4x2<br />
;<br />
1 − a4 25 + 5x<br />
2. Werk uit :<br />
a)<br />
1<br />
x + y +<br />
2y<br />
x 2 − y 2 6
)<br />
1<br />
x +1 − 2<br />
x +2 + 1<br />
x − 3<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
1<br />
1+a + 1<br />
1 − a<br />
2<br />
1+a 2 + 4<br />
a 2 − 1<br />
<br />
3ax 2<br />
2x − a · a − 1 <br />
x<br />
f) am − b m<br />
a n − b n<br />
g) 1 2<br />
· a2n − b 2n<br />
a 2m − b 2m<br />
a + b<br />
a − b − a − b <br />
a 2 + b 2<br />
− 1<br />
a + b 2ab<br />
h) (a + b)2 − c 2<br />
a 2 + ab − ac · a<br />
(a + c) 2 − b · (a − b)2 − c 2<br />
2 ab − b 2 − bc<br />
1<br />
i) (a + b) :<br />
a + 1 <br />
b<br />
j) a2 x 2 − x 4<br />
a 3 − x 3 :<br />
k)<br />
ax 2 + x 3<br />
a 2 + ax + x 2<br />
<br />
a +<br />
ab <br />
<br />
:<br />
b + b2<br />
a − b a − b<br />
l)<br />
a − 2+ 3 a<br />
m) 2a −<br />
n)<br />
1+ 1 a 2<br />
1<br />
a 2 + b 2<br />
2ab<br />
2a<br />
1 − 3a<br />
1+3a<br />
:<br />
− 1<br />
1<br />
a 2 + b 2<br />
2ab<br />
+1<br />
7
3. Bereken met behulp van merkwaardige producten :<br />
a) (2x − 4) 3<br />
b) (x +3) 2 − 3(x +2) 3 +3(x +1) 3 − x 3<br />
c) (1 + x + x 2 ) 2<br />
4. Bepaal rest en quotiënt met <strong>de</strong> regel van Horner :<br />
(4x 3 − 8+3x 4 − 5x) :(x +2)<br />
(x 3 − 7x +6):(x − 1)<br />
(3a 5 − 7a 3 +9a 2 − 10a +20):(a +2)<br />
(x 7 − 9x 3 y 4 +2xy 6 − 4y 7 ):(x − 3y)<br />
(2x 4 +4x 3 +5x 2 − 8x +6):(2x − 1)<br />
5. Bepaal p zodat volgen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l<strong>in</strong>gen opgaan (zon<strong>de</strong>r <strong>de</strong> <strong>de</strong>l<strong>in</strong>g uit te voeren) :<br />
(px 3 − 2x 2 − 7px − 10) : (x − 2)<br />
(2x 3 +(p − 1)x 2 − px +1):(x +1)<br />
6. Bepaal a en b zodat volgen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l<strong>in</strong>gen opgaan (zon<strong>de</strong>r <strong>de</strong> <strong>de</strong>l<strong>in</strong>g uit te voeren) :<br />
(ax 3 +2bx 2 − 4x − a) :[(x +1)(x − 1)]<br />
(5x 3 + ax 2 − bx +2):[(x − 1)(x +2)]<br />
7. Ontb<strong>in</strong>d <strong>in</strong> factoren :<br />
a) x 3 − 4x 2<br />
b) 2a(−x − y) − 7(x + y)<br />
c) x 4 + x 3 − x − 1<br />
d) x 2 − (y +2) 2<br />
e) 64a 3 − 125b 3<br />
f) x 8 +8x 4 +16<br />
g) 250a 3 +300a 2 b 2 +120ab 4 +16b 6<br />
8
h) 2ax − a 2 x 2 − 1+9a 2<br />
i) 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5<br />
j) 4x 2 − 3x − 1<br />
k) −x 2 +5x +14<br />
l) x 3 − 49x − 120<br />
9
2 Sommatieteken, faculteit, b<strong>in</strong>omiaalcoëfficiënt<br />
2.1 Het sommatieteken (met één <strong>in</strong><strong>de</strong>x)<br />
Voorbeeld 1<br />
De som x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5<br />
behulp van het sommatieteken <br />
S), namelijk<br />
kanopeenkortemaniergenoteerdwor<strong>de</strong>nmet<br />
(of sigmateken, <strong>de</strong> Griekse hoofdletter voor<br />
5<br />
i=1<br />
We maken dus <strong>de</strong> som van <strong>de</strong> termen x i ,voori gaan<strong>de</strong> van 1 tot en met 5.<br />
x i<br />
De sommatie-<strong>in</strong><strong>de</strong>x i beg<strong>in</strong>t te lopen met <strong>de</strong> waar<strong>de</strong> die on<strong>de</strong>r het sommatieteken<br />
vermeld staat, maakt telkens sprongen met één, en houdt op met <strong>de</strong> waar<strong>de</strong> die<br />
boven het sommatieteken geschreven staat. In plaats van i mag ook een an<strong>de</strong>re<br />
letter gebruikt wor<strong>de</strong>n :<br />
5<br />
x i =<br />
i=1<br />
5 5<br />
x j = x n = ...<br />
j=1 n=1<br />
(= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 )<br />
Voorbeeld 2<br />
k<br />
x i = x 1 + x 2 + ...+ x k (met k ∈ N 0 )<br />
i=1<br />
Voorbeeld 3<br />
k 2<br />
i=k 1<br />
x i = x k1 + x k1 +1 + ...+ x k2 (met k 1 ,k 2 ∈ N en k 1 ≤ k 2 )<br />
10
Het is ook mogelijk dat elke term dient berekend te wor<strong>de</strong>n met behulp van <strong>de</strong><br />
waar<strong>de</strong> van <strong>de</strong> sommatie-<strong>in</strong><strong>de</strong>x (zie voorbeel<strong>de</strong>n 4, 5, 6, 7).<br />
Voorbeeld 4<br />
5<br />
2 i =2+4+8+16+32=62<br />
i=1<br />
Voorbeeld 5<br />
10<br />
n=1<br />
n =1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55<br />
Voorbeeld 6<br />
4<br />
n=1<br />
(−1) n n<br />
n +1<br />
= −1<br />
2 + 2 3 − 3 4 + 4 5 = 13<br />
60<br />
Voorbeeld 7<br />
5<br />
3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5.3 = 15<br />
n=1<br />
↑ ↑ ↑ ↑ ↑<br />
n =1 n =2 n =3 n =4 n =5<br />
Eigenschappen<br />
Veron<strong>de</strong>rstel dat n ∈ N 0 en a, b ∈ IR<br />
1)<br />
2)<br />
3)<br />
4)<br />
n<br />
a = na<br />
i=1<br />
n <br />
ax i = a n<br />
i=1<br />
x i<br />
i=1<br />
n<br />
<br />
(x i + a) =na + n<br />
i=1<br />
x i<br />
i=1<br />
n<br />
<br />
(ax i + by i )=a n <br />
x i + b n<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
y i<br />
11
2.2 De begrippen faculteit en b<strong>in</strong>omiaalcoëfficiënt<br />
Def<strong>in</strong>itie faculteit<br />
(a) Het product van <strong>de</strong> eerste n van nul verschillen<strong>de</strong> natuurlijke getallen noteert<br />
men n! enleestmenals “n faculteit”.<br />
n! =1· 2 · 3 ...· (n − 1) · n<br />
(b) 0! = 1 lees “nul faculteit”.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
1! = 1<br />
2! = 1 · 2=2<br />
3! = 1 · 2 · 3=6<br />
4! = 1 · 2 · 3 · 4=24<br />
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120<br />
Controleer <strong>de</strong>ze resultaten met behulp van een grafisch rekentoestel (GRT).<br />
Eigenschap<br />
∀n ∈ IN 0 geldt dat n! =n · (n − 1)!<br />
Def<strong>in</strong>itie b<strong>in</strong>omiaalcoëfficiënt<br />
<br />
Voor n, p ∈ IN met n ≥ p <strong>de</strong>f<strong>in</strong>ieert men <strong>de</strong> b<strong>in</strong>omiaalcoëfficiënt<br />
p”) als volgt :<br />
<br />
n<br />
p<br />
<br />
=<br />
n!<br />
p!(n − p)!<br />
n<br />
p<br />
<br />
(lees “n over<br />
12
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
<br />
5<br />
3<br />
<br />
=<br />
5!<br />
3!(5 − 3)! = 5!<br />
3!2! = 3! · 4 · 5 =10<br />
3! · 2<br />
<br />
2<br />
0<br />
<br />
= 2!<br />
0!2! =1 <br />
3<br />
3<br />
<br />
= 3!<br />
3!0! =1<br />
<br />
2<br />
1<br />
<br />
= 2!<br />
1!1! =2 <br />
4<br />
0<br />
<br />
= 4!<br />
0!4! =1<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
= 2!<br />
2!0! =1 <br />
4<br />
1<br />
<br />
= 4!<br />
1!3! =4<br />
<br />
3<br />
0<br />
<br />
= 3!<br />
0!3! =1 <br />
4<br />
2<br />
<br />
= 4!<br />
2!2! =6<br />
<br />
3<br />
1<br />
<br />
= 3!<br />
1!2! =3 <br />
4<br />
3<br />
<br />
= 4!<br />
3!1! =4<br />
<br />
3<br />
2<br />
<br />
= 3!<br />
2!1! =3 <br />
4<br />
4<br />
<br />
= 4!<br />
4!0! =1<br />
2.3 Opdrachten<br />
1. Gegeven<br />
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
x i 1 0 −2 5 9 2 6 6 −3 4<br />
Bereken <strong>de</strong> getalwaar<strong>de</strong> :<br />
<br />
a) 10<br />
x i<br />
i=1<br />
b)<br />
7<br />
i=5<br />
x i<br />
13
c)<br />
3<br />
d) 10<br />
e)<br />
x i<br />
i=3<br />
<br />
2x i<br />
i=1<br />
4<br />
x 2 i<br />
i=1<br />
f) 10<br />
g)<br />
<br />
(x i +1)<br />
i=1<br />
4<br />
x i+1<br />
i=2<br />
2. Bereken <strong>de</strong> getalwaar<strong>de</strong> :<br />
a)<br />
b)<br />
2<br />
3 2n−1<br />
n=0<br />
4<br />
(n 2 − 1)<br />
n=1<br />
3. Is <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> bewer<strong>in</strong>g waar ?<br />
<br />
<br />
Voor elke n ∈ N 0 geldt dat n n<br />
<br />
2<br />
x 2 i = x i .<br />
i=1 i=1<br />
Zo ja : bewijs.<br />
Zo neen : geef een tegenvoorbeeld.<br />
4. Schrijf voluit :<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
3<br />
a k x k<br />
k=1<br />
n<br />
b<br />
j=1<br />
3<br />
(y i − a)<br />
i=1<br />
3<br />
y i − a<br />
i=1<br />
14
e)<br />
5<br />
n=1<br />
1<br />
n<br />
f)<br />
3 (−1) n+1 5 n−1<br />
2<br />
n=0<br />
5) Bereken :<br />
4! + 3!<br />
5! − 4!<br />
10!<br />
6!<br />
6! 7!<br />
8!<br />
1! 2! 3! 4!<br />
8!<br />
10! gebruik een GRT<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
7<br />
3<br />
12<br />
0<br />
8<br />
7<br />
<br />
controleer met een GRT<br />
<br />
<br />
n<br />
n − 1<br />
<br />
3<br />
n!<br />
n=0<br />
⎛<br />
3<br />
⎞<br />
p=0<br />
⎝ 3 p<br />
⎠ 2 3−p 3 p 15
6) Vereenvoudig :<br />
n!<br />
(n +1)! =<br />
(2n − 1)!<br />
(2n +1)! =<br />
2n!<br />
(2n)! =<br />
(2n +1)!<br />
(2n)!<br />
=<br />
(2(n + 1))!<br />
(2n)!<br />
=<br />
(2n +1)!<br />
(2n +3)! =<br />
(3n +3)!<br />
(3n)!<br />
(3n − 1)!<br />
(3n)!<br />
=<br />
=<br />
(n!) 2<br />
n 2 =<br />
16
3 Vergelijk<strong>in</strong>gen<br />
Een vergelijk<strong>in</strong>g is een gelijkheid die slechts geldt voor geschikte waar<strong>de</strong>n van <strong>de</strong><br />
letters die er <strong>in</strong> voorkomen. Deze letters noemt men onbeken<strong>de</strong>n. Bekomt men voor<br />
een stel waar<strong>de</strong>n van <strong>de</strong> onbeken<strong>de</strong>n van een vergelijk<strong>in</strong>g <strong>de</strong>zelf<strong>de</strong> getalwaar<strong>de</strong> voor<br />
bei<strong>de</strong> le<strong>de</strong>n dan heet dit stel getallen een oploss<strong>in</strong>g. Een vergelijk<strong>in</strong>g oplossen is al<br />
haar oploss<strong>in</strong>gen bepalen.<br />
3.1 Eerstegraadsvergelijk<strong>in</strong>gen (met één onbeken<strong>de</strong>)<br />
Standaardvorm : ax + b =0 (a = 0)<br />
Oploss<strong>in</strong>g : x = − b a<br />
In feite v<strong>in</strong>dt men <strong>de</strong> oploss<strong>in</strong>g door gewoon te rekenen.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
1) 6x + 296 = 150x − 70x (termen met x <strong>in</strong> 1ste lid)<br />
6x +70x − 150x = −296<br />
−74x = −296<br />
x = −296<br />
−74 =4<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = {4}.<br />
2) x − 2<br />
3<br />
− 12 − x<br />
2<br />
=<br />
5x − 36<br />
4<br />
− 1<br />
(noemers wegwerken)<br />
4(x − 2) − 6(12 − x) =3(5x − 36) − 12<br />
4x − 8 − 72 + 6x =15x − 108 − 12<br />
4x +6x − 15x = −108 − 12+8+72<br />
−5x = −40<br />
x = −40<br />
−5 =8<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = {8}.<br />
17
Opdracht<br />
Los <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>gen <strong>in</strong> <strong>de</strong>ze voorbeel<strong>de</strong>n op met behulp van een GRT. Gebruik<strong>de</strong><br />
optie ‘Solver’.<br />
Opmerk<strong>in</strong>g<br />
Indien een vergelijk<strong>in</strong>g geen reële oploss<strong>in</strong>g heeft, dan spreekt men van een valse<br />
vergelijk<strong>in</strong>g. Indien een vergelijk<strong>in</strong>g voldaan is voor elke reële waar<strong>de</strong> van <strong>de</strong><br />
veran<strong>de</strong>rlijke, dan spreekt men van een i<strong>de</strong>ntiteit.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
1) x 3 +2+5x 12 = 3x 4 +3<br />
4x +24+5x =9x +36<br />
0x = 12 geen oploss<strong>in</strong>gen (valse vergelijk<strong>in</strong>g)<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = φ.<br />
2) 2x 3 +5= 3x 2 +3− 5x 6 +2<br />
4x +30=9x +18− 5x +12<br />
4x − 9x +5x = −30 + 18 + 12<br />
0x =0 elkex voldoet (i<strong>de</strong>ntiteit)<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = IR.<br />
Opdrachten<br />
1) Ga na dat <strong>in</strong> voorbeeld 1 het gebruik van een GRT leidt tot <strong>de</strong> meld<strong>in</strong>g: ERR:<br />
no sign chng.<br />
2) Los voorbeeld 2 op met een GRT. Gebruik eerst <strong>de</strong> (standaard) startwaar<strong>de</strong><br />
0. Merk op dat als oploss<strong>in</strong>g 0 wordt gegeven. Geef nu een an<strong>de</strong>re willekeurige<br />
18
startwaar<strong>de</strong> <strong>in</strong>, bijvoorbeeld 12.345. Nu wordt 12.345 als oploss<strong>in</strong>g voorgesteld.<br />
Of bijvoorbeeld <strong>de</strong> startwaar<strong>de</strong> π geeft als antwoord π. In<strong>de</strong>rdaad, uit <strong>de</strong><br />
manuele bereken<strong>in</strong>gen weten we dat elk reëel getal een oploss<strong>in</strong>g is. Laat je<br />
dus niet op het verkeer<strong>de</strong> been zetten door je GRT.<br />
3.2 Twee<strong>de</strong>graadsvergelijk<strong>in</strong>gen<br />
Synoniemen voor twee<strong>de</strong>graadsvergelijk<strong>in</strong>gen zijn :<br />
vierkantsvergelijk<strong>in</strong>g.<br />
kwadratische vergelijk<strong>in</strong>g en<br />
Standaardvorm : ax 2 + bx + c =0 (a = 0)<br />
Oploss<strong>in</strong>gen :<br />
als D = b 2 − 4ac ≥ 0danx 1,2 = −b ± √ b 2 − 4ac<br />
2a<br />
D = b 2 − 4ac wordt <strong>de</strong> discrim<strong>in</strong>ant genoemd.<br />
als b 2 − 4ac < 0dangeenreële oploss<strong>in</strong>g<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
1) 3x 2 − 5x − 2=0<br />
x 1,2 = 5 ± √ 25 + 24<br />
6<br />
= 5 ± 7<br />
6<br />
Dus : x 1 =2;x 2 = − 1 3<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = {2, − 1 3 }.<br />
2) 4x 2 − 4x +1=0<br />
x 1,2 = 4 ± √ 16 − 16<br />
8<br />
= 1 2<br />
19
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = { 1 2 }.<br />
3) x 2 + x +1=0<br />
D = b 2 − 4ac = −3 dus geen reële oploss<strong>in</strong>g (valse vergelijk<strong>in</strong>g)<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = φ.<br />
4) k 2 + k = 1 breng <strong>in</strong> <strong>de</strong> standaardvorm<br />
k 2 + k − 1=0<br />
D =5<br />
k 1,2 = −1 ± √ 5<br />
2<br />
−1+√ 5<br />
2<br />
−1 − √ 5<br />
2<br />
−1+ √ 5<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g =<br />
, −1 − √ <br />
5<br />
.<br />
2 2<br />
5) Los op naar x :<br />
2x 2 + xy = −2y 2 − xy − 1<br />
Eerst brengen we <strong>de</strong>ze vergelijk<strong>in</strong>g <strong>in</strong> <strong>de</strong> standaardvorm :<br />
2 x 2 + 2y x +2y<br />
<br />
2 +1=0<br />
<br />
a<br />
b<br />
c<br />
D =4y 2 − 8(2y 2 +1)=−12y 2 − 8 < 0<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = φ.<br />
6) 7x 2 − 1 = 0 (<strong>de</strong> gewone werkwijze is nu omweg !)<br />
x 2 = 1 7<br />
x 1 = √ 1 en x 2 = √ −1<br />
7 7<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g =<br />
1 √7 , √ −1 <br />
7<br />
20
7) −5x 2 +8x = 0 (zelf<strong>de</strong> bemerk<strong>in</strong>g !)<br />
x(−5x +8)=0<br />
x 1 =0 en x 2 = 8 5<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g =<br />
<br />
0, 8 5<br />
<br />
.<br />
Opdracht<br />
Los <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>gen <strong>in</strong> <strong>de</strong> voorbeel<strong>de</strong>n 1-2-3-4 op met behulp van een GRT. Gebruik<br />
<strong>de</strong> optie ‘Solver’. Om <strong>de</strong> twee<strong>de</strong> oploss<strong>in</strong>g te v<strong>in</strong><strong>de</strong>n <strong>in</strong> <strong>de</strong> voorbeel<strong>de</strong>n 1 en 4<br />
gebruik je als startwaar<strong>de</strong> een schatt<strong>in</strong>g van het resultaat.<br />
In <strong>de</strong>ze cursus gaan we niet <strong>in</strong> op het v<strong>in</strong><strong>de</strong>n van gepaste startwaar<strong>de</strong>n. Evenm<strong>in</strong><br />
maken we bij vergelijk<strong>in</strong>gen die moeilijker zijn een studie om vooraf het precieze<br />
aantal oploss<strong>in</strong>gen te bepalen.<br />
Opmerk<strong>in</strong>g 1<br />
Men kan eenvoudig nagaan dat voor <strong>de</strong> twee oploss<strong>in</strong>gen x 1 en x 2 van een vierkantsvergelijk<strong>in</strong>g<br />
ax 2 + bx + c =0(metD ≥ 0) geldt dat<br />
s = x 1 + x 2 = − b a<br />
en<br />
p = x 1 · x 2 = c a<br />
Soms (bijvoorbeeld als a =1enb, c ∈ Z) kan <strong>de</strong>ze eigenschap handig zijn<br />
om een vierkantsvergelijk<strong>in</strong>g op te lossen.<br />
21
Voorbeeld<br />
Los op : x 2 − 3x +2=0<br />
s = − b a =3<br />
p = c a =2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
x 1 =1<br />
x 2 =2<br />
Opmerk<strong>in</strong>g 2 (zie ook voorbeeld 6)<br />
Als k ≥ 0 dan geldt :<br />
x 2 = k<br />
<br />
x = ± √ k<br />
3.3 Vergelijk<strong>in</strong>gen herleidbaar tot vierkantsvergelijk<strong>in</strong>gen<br />
a) Vergelijk<strong>in</strong>gen van <strong>de</strong> vorm ax 2n + bx n + c =0<br />
Om een <strong>de</strong>rgelijke vergelijk<strong>in</strong>g op te lossen voert men een hulponbeken<strong>de</strong><br />
x n = y <strong>in</strong> zodat <strong>de</strong> gegeven vergelijk<strong>in</strong>g overgaat <strong>in</strong> een vierkantsvergelijk<strong>in</strong>g<br />
ay 2 + by + c =0.<br />
Als nu y een oploss<strong>in</strong>g van <strong>de</strong>ze vergelijk<strong>in</strong>g is, dan v<strong>in</strong>dt men x door <strong>de</strong> n-<strong>de</strong><br />
machtswortel(s) van y te bepalen.<br />
Voorbeeld<br />
x 6 +7x 3 − 8=0<br />
Substitutie : x 3 = y zodat y 2 +7y − 8 = 0 met als oploss<strong>in</strong>gen y 1 =1en<br />
y 2 = −8.<br />
Uit : x 3 =1enx 3 = −8 volgt x 1 =1enx 2 = −2.<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = {1, −2}.<br />
b) Vergelijk<strong>in</strong>gen van <strong>de</strong> vorm a[f(x)] 2 + bf(x)+c =0<br />
22
Voorbeeld<br />
(2x 2 − x) 2 − 4(2x 2 − x) + 3 = 0<br />
Substitutie : 2x 2 − x = y zodat y 2 − 4y + 3 = 0 met als oploss<strong>in</strong>gen y 1 =1en<br />
y 2 =3<br />
Uit : 2x 2 − x =1en2x 2 − x =3volgtx 1 =1;x 2 = − 1 2 en x 3 = −1; x 4 = 3<br />
<br />
2<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = 1, − 1 2 , −1, 3 <br />
2<br />
Opdracht<br />
Los <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g <strong>in</strong> dit voorbeeld op met behulp van een GRT (optie ‘Solver’).<br />
3.4 Vergelijk<strong>in</strong>gen met vierkantswortels<br />
Om een <strong>de</strong>rgelijke vergelijk<strong>in</strong>g op te lossen zal men :<br />
1) <strong>de</strong> voorwaar<strong>de</strong>n opschrijven waaraan x moet voldoen om <strong>de</strong> uitdrukk<strong>in</strong>gen<br />
on<strong>de</strong>r <strong>de</strong> worteltekens niet negatief te maken;<br />
2) door opeenvolgen<strong>de</strong> afzon<strong>de</strong>r<strong>in</strong>gen en kwadrater<strong>in</strong>gen <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g wortelvrij<br />
maken;<br />
3) bij elke kwadrater<strong>in</strong>g <strong>de</strong> voorwaar<strong>de</strong>n opschrijven waaraan x moet voldoen<br />
(uitdrukken dat bei<strong>de</strong> le<strong>de</strong>n hetzelf<strong>de</strong> teken hebben);<br />
4) <strong>de</strong> e<strong>in</strong>dvergelijk<strong>in</strong>g oplossen en alleen die oploss<strong>in</strong>gen behou<strong>de</strong>n die aan alle<br />
beperken<strong>de</strong> voorwaar<strong>de</strong>n voldoen.<br />
Opmerk<strong>in</strong>g<br />
Men kan ook tij<strong>de</strong>ns <strong>de</strong> bereken<strong>in</strong>gen <strong>de</strong> voorwaar<strong>de</strong>n over het hoofd zien, en<br />
achteraf, via <strong>in</strong>vullen <strong>in</strong> <strong>de</strong> opgave, nagaan welke gevon<strong>de</strong>n waar<strong>de</strong>n ook echt oploss<strong>in</strong>gen<br />
zijn.<br />
23
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
1) x + √ 3x +1=1<br />
Bestaansvoorwaar<strong>de</strong> : x ≥− 1 3<br />
Omvorm<strong>in</strong>g : √ 3x +1=1− x<br />
Kwadrater<strong>in</strong>gsvoorwaar<strong>de</strong> : 1 − x ≥ 0 of x ≤ 1<br />
Kwadrater<strong>in</strong>g : 3x +1=1− 2x + x 2<br />
x 2 − 5x =0<br />
Dit geeft : x 1 =0 en x 2 = 5 (te verwerpen)<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = {0}.<br />
2) √ 2x +1=4− √ x − 3<br />
⎧<br />
⎨ 2x +1≥ 0<br />
Bestaansvoorwaar<strong>de</strong> :<br />
→ x ≥ 3<br />
⎩ x − 3 ≥ 0<br />
Omvorm<strong>in</strong>g : √ 2x +1 + √ x − 3=4<br />
Geen kwadrater<strong>in</strong>gsvoorwaar<strong>de</strong><br />
Kwadrater<strong>in</strong>g : 2x +1+x − 3+2 (2x +1)(x − 3) = 16<br />
2 (2x +1)(x − 3) = 18 − 3x<br />
Kwadrater<strong>in</strong>gsvoorwaar<strong>de</strong> : 18 − 3x ≥ 0 → x ≤ 6<br />
Kwadrater<strong>in</strong>g : 4(2x +1)(x − 3) = (18 − 3x) 2<br />
x 2 − 88x +336=0<br />
Dit geeft : x 1 =4 en x 2 = 84 (te verwerpen)<br />
Opdracht<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = {4}.<br />
Los <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g <strong>in</strong> voorbeeld 2 op met behulp van een GRT (optie ‘Solver’).<br />
24
Merk op dat <strong>de</strong> startwaar<strong>de</strong>, <strong>in</strong> overeenstemm<strong>in</strong>g met <strong>de</strong> hogervermel<strong>de</strong> bestaansvoorwaar<strong>de</strong>,<br />
groter of gelijk aan 3 moet zijn. Zoniet verschijnt <strong>de</strong> meld<strong>in</strong>g: ERR: NON<br />
REAL ANS. Dit dient geïnterpreteerd te wor<strong>de</strong>n als: geen reële oploss<strong>in</strong>g te v<strong>in</strong><strong>de</strong>n<br />
met <strong>de</strong>ze startwaar<strong>de</strong>. Fout is <strong>de</strong>nken dat er geen reële oploss<strong>in</strong>gen zijn voor <strong>de</strong><br />
vergelijk<strong>in</strong>g !<br />
3.5 Opdrachten<br />
1. Los op :<br />
a) x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = x − 17<br />
b) x − 3<br />
4<br />
= 4 − x<br />
3<br />
c) x 6 − x − 0, 5<br />
3<br />
= 1 3<br />
2<br />
5 − x 3<br />
<br />
d) x 2 − 4+x 3 =7+5x 6<br />
2. Los op :<br />
a) (x − 3) 2 +(x − 1) 2 =2<br />
b) 4x 2 − 12ax +9(a 2 − b 2 )=0<br />
c) x + 1<br />
x − 3 =5<br />
d) x − a<br />
2a = 2a<br />
x − a<br />
e) (3x − 2) 2 − 5(3x − 2) − 14 = 0<br />
25
f) x 4 − 10x 2 +9=0<br />
g) x 2 + 1 x 2 = a2 + 1 a 2<br />
h) (x 2 + x +1) 2 =4(x 2 + x +1)+5<br />
3. Los op :<br />
a) √ x − 4+3= √ x +11<br />
b) 2 √ x = √ x − 37 + √ x +39<br />
Controleer <strong>de</strong> gevon<strong>de</strong>n oploss<strong>in</strong>gen met behulp van een GRT (optie ‘Solver’).<br />
26
4 Stelsels van l<strong>in</strong>eaire vergelijk<strong>in</strong>gen<br />
L<strong>in</strong>eaire vergelijk<strong>in</strong>g : <strong>de</strong> onbeken<strong>de</strong>(n) komen voor <strong>in</strong> <strong>de</strong> eerste graad.<br />
We bespreken vier metho<strong>de</strong>s.<br />
4.1 Substitutiemetho<strong>de</strong><br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
3x − 4y =5<br />
x +7y =10<br />
gegeven<br />
<strong>de</strong> twee<strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g lossen we op naar x<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
3x − 4y =5<br />
x =10− 7y<br />
we substitueren x door 10 − 7y <strong>in</strong> <strong>de</strong> 1e vergelijk<strong>in</strong>g<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
3(10 − 7y) − 4y =5<br />
x =10− 7y<br />
<strong>de</strong> eerste vergelijk<strong>in</strong>g is een vergelijk<strong>in</strong>g <strong>in</strong> één onbeken<strong>de</strong> !<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
y =1<br />
x =10− 7y<br />
we vervangen y door 1 <strong>in</strong> <strong>de</strong> 2e vergelijk<strong>in</strong>g.<br />
⎧<br />
⎨ x =3<br />
oploss<strong>in</strong>g<br />
⎩ y =1<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = {(3, 1)}<br />
4.2 Comb<strong>in</strong>atiemetho<strong>de</strong><br />
Pr<strong>in</strong>cipe : een vergelijk<strong>in</strong>g van het stelsel mag vervangen wor<strong>de</strong>n door een l<strong>in</strong>eaire<br />
comb<strong>in</strong>atie van <strong>de</strong>ze vergelijk<strong>in</strong>g en een an<strong>de</strong>re vergelijk<strong>in</strong>g.<br />
27
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
+<br />
3x − 4y =5 ×1<br />
x +7y =10<br />
3x − 4y =5<br />
−3x − 21y<br />
−25y<br />
= −30<br />
= −25<br />
×(−3)<br />
y =1<br />
Vervang één <strong>de</strong>r vergelijk<strong>in</strong>gen (liefst <strong>de</strong> “moeilijkste”!) door y =1<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
y =1<br />
x +7y =10<br />
we vervangen y door1<strong>in</strong><strong>de</strong>2evergelijk<strong>in</strong>g<br />
⎧<br />
⎨ x =3<br />
oploss<strong>in</strong>g<br />
⎩ y =1<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = {(3, 1)}<br />
4.3 Elim<strong>in</strong>atiemetho<strong>de</strong> van Gauss<br />
Werkwijze<br />
Gegeven is een stelsel van l<strong>in</strong>eaire vergelijk<strong>in</strong>gen,<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
bijvoorbeeld<br />
⎪⎩<br />
x 1 + x 2 − x 3 = −5<br />
2x 1 +3x 2 + x 3 = −7<br />
−2x 2 − 3x 3 =3<br />
De gezochte oploss<strong>in</strong>gen zijn geor<strong>de</strong>n<strong>de</strong> drietallen (x 1 ,x 2 ,x 3 ) welke aan <strong>de</strong> drie<br />
vergelijk<strong>in</strong>gen voldoen.<br />
1) Schrijf <strong>de</strong> uitgebrei<strong>de</strong> matrix op, d.w.z. vorm een matrix met alleen <strong>de</strong> getallen<br />
van het stelsel.<br />
28
⎛<br />
1 1 −1 −5<br />
⎜ 2 3 1 −7<br />
⎝<br />
0 −2 −3 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2) Pas elementaire rij-operaties toe totdat we een trapvorm bekomen.<br />
On<strong>de</strong>r een elementaire rij-operatie verstaan we één van <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> bewerk<strong>in</strong>gen:<br />
- het verwisselen van twee rijen;<br />
- een rij vervangen door een niet-nul veelvoud van zichzelf;<br />
- bij een rij een veelvoud van een an<strong>de</strong>re rij tellen.<br />
Een matrix <strong>in</strong> trapvorm is een matrix die voldoet aan <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> voorwaar<strong>de</strong>n:<br />
- eventuele nulrijen staan on<strong>de</strong>raan <strong>in</strong> <strong>de</strong> matrix;<br />
- het eerste niet-nulelement van een niet-nulrij ligt l<strong>in</strong>ks t.o.v. het eerste<br />
niet-nulelement <strong>de</strong>r volgen<strong>de</strong> rijen.<br />
Toegepast op het voorbeeld:<br />
⎛<br />
1 1 −1 −5<br />
⎜ 2 3 1 −7<br />
⎝<br />
0 −2 −3 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
R 2 /R 2 − 2R 1<br />
→<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 1 −1 −5<br />
0 1 3 3<br />
0 −2 −3 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
R 3 /R 3 +2R 2<br />
29
→<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 1 −1 −5<br />
0 1 3 3<br />
0 0 3 9<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
trapvorm !<br />
Het stelsel is nu<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
x 1 + x 2 − x 3 = −5 (1)<br />
x 2 +3x 3 =3 (2)<br />
3x 3 =9 (3)<br />
3) Pas nu achterwaartse substitutie toe:<br />
Uit (3) volgt: x 3 =3<br />
Uit (2) volgt: x 2 = −6<br />
Uit (1) volgt: x 1 =4<br />
We hebben dus precies één oploss<strong>in</strong>g gevon<strong>de</strong>n nl. het geor<strong>de</strong>nd drietal (4, −6, 3).<br />
Besluit: oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = {(4, −6, 3)}.<br />
In het algemeen kunnen we, i.v.m. het aantal oploss<strong>in</strong>gen van een stelsel<br />
van l<strong>in</strong>eaire vergelijk<strong>in</strong>gen, drie gevallen on<strong>de</strong>rschei<strong>de</strong>n.<br />
- Er zijn geen oploss<strong>in</strong>gen. Dit geval treedt op wanneer <strong>de</strong> trapvorm een<br />
<br />
<br />
rij van <strong>de</strong> vorm 0 0 ... 0 c met c = 0bevat.<br />
-Erisjuistéén oploss<strong>in</strong>g. Dit geval doet zich voor wanneer het aantal<br />
vergelijk<strong>in</strong>gen <strong>in</strong> het ‘stelsel <strong>in</strong> trapvorm’ gelijk is aan het aantal onbeken<strong>de</strong>n.<br />
- Er zijn one<strong>in</strong>dig veel oploss<strong>in</strong>gen wanneer het aantal vergelijk<strong>in</strong>gen <strong>in</strong> het<br />
‘stelsel <strong>in</strong> trapvorm’ kle<strong>in</strong>er is dan het aantal onbeken<strong>de</strong>n.<br />
30
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
⎧<br />
⎨ x +3y =1<br />
1)<br />
⎩ −2x − 6y =0<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎝ 1 3 1 ⎠<br />
−2 −6 0<br />
R 2 /R 2 +2R 1<br />
⎛ ⎞<br />
→ ⎝ 1 3 1 ⎠<br />
0 0 2<br />
trapvorm<br />
2)<br />
Uit <strong>de</strong> laatste rij volgt dat 0 · x +0· y = 2 dus een vergelijk<strong>in</strong>g die nooit<br />
voldaan kan zijn.<br />
Besluit: het gegeven stelsel heeft geen oploss<strong>in</strong>gen.<br />
⎧<br />
x + y +3z =2<br />
⎪⎨<br />
3x +4y +2z =3<br />
⎪⎩ 2x +3y − z =1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 1 3 2<br />
3 4 2 3<br />
2 3 −1 1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
R 2 /R 2 − 3R 1<br />
⎛<br />
→ ⎜<br />
⎝<br />
1 1 3 2<br />
0 1 −7 −3<br />
0 1 −7 −3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
R 3 /R 3 − 2R 1<br />
R 3 /R 3 − R 2<br />
31
⎛<br />
→ ⎜<br />
⎝<br />
1 1 3 2<br />
0 1 −7 −3<br />
0 0 0 0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
trapvorm !<br />
Het stelsel is nu te schrijven als<br />
⎧<br />
⎨ x + y +3z =2<br />
⎩ y − 7z = −3<br />
Dit is een stelsel met 3 onbeken<strong>de</strong>n en slechts 2 vergelijk<strong>in</strong>gen. Neem bijvoorbeeld<br />
z als nevenonbeken<strong>de</strong> en <strong>de</strong> veran<strong>de</strong>rlijken x en y als hoofdonbeken<strong>de</strong>n.<br />
De nevenonbeken<strong>de</strong> kan vrij wor<strong>de</strong>n gekozen. Vervolgens kunnen <strong>de</strong> an<strong>de</strong>re<br />
onbeken<strong>de</strong>n wor<strong>de</strong>n berekend <strong>in</strong> functie van die vrij gekozen veran<strong>de</strong>rlijke.<br />
⎧<br />
z = t met t ∈ IR<br />
⎪⎨<br />
y =7t − 3<br />
⎪⎩ x = −10t +5<br />
Besluit: oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = {(−10t +5, 7t − 3,t) | t ∈ IR}.<br />
4.4 Canonieke trapvorm en GRT<br />
Bij het toepassen van <strong>de</strong> elim<strong>in</strong>atiemetho<strong>de</strong> van Gauss is het mogelijk rij-operaties<br />
toe te passen tot we <strong>de</strong> canonieke trapvorm bekomen.<br />
De canonieke trapvorm van <strong>de</strong> uitgebrei<strong>de</strong> matrix is die trapvorm waarbij<br />
- <strong>de</strong> lei<strong>de</strong>r <strong>in</strong> elke rij gelijk is aan 1 (een lei<strong>de</strong>r is het eerste element <strong>in</strong> een rij<br />
van een matrix dat niet nul is);<br />
- boven <strong>de</strong> lei<strong>de</strong>rs zijn alle elementen <strong>in</strong> <strong>de</strong>zelf<strong>de</strong> kolom van die 1 gelijk aan nul.<br />
32
Toegepast op het voorbeeld:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 1 −1 −5<br />
0 1 3 3<br />
0 0 3 9<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(zie hoger)<br />
R 3 /3<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 1 −1 −5<br />
0 1 3 3<br />
0 0 1 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
R 1 /R 1 − R 2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 −4 −8<br />
0 1 3 3<br />
0 0 1 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
R 1 /R 1 +4R 3<br />
R 2 /R 2 − 3R 3<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 0 4<br />
0 1 0 −6<br />
0 0 1 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Besluit: oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g= {(4, −6, 3)}.<br />
Aangezien met een GRT <strong>de</strong> canonieke trapvorm van een matrix gemakkelijk kan<br />
gevon<strong>de</strong>n wor<strong>de</strong>n met <strong>de</strong> optie ‘rijgereduceer<strong>de</strong> echelonvorm’ (rref), biedt dit mogelijkhe<strong>de</strong>n<br />
voor het oplossen van een stelsel van l<strong>in</strong>eaire vergelijk<strong>in</strong>gen.<br />
33
Opdracht<br />
Los het stelsel uit <strong>de</strong> <strong>in</strong>leid<strong>in</strong>g en <strong>de</strong> twee stelsels uit <strong>de</strong> voorbeel<strong>de</strong>n op m.b.v. een<br />
GRT. Indien nodig, pas achterwaartse substitutie toe.<br />
4.5 Opdrachten<br />
1. Los <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> stelsels “manueel” op:<br />
⎧<br />
⎨ 12x − 7y = −2<br />
a)<br />
⎩ 8x +21y =50<br />
⎧<br />
⎨ 2x − 3y =5b − a<br />
b)<br />
⎩ 3x − 2y = a +5b<br />
⎧<br />
5x +3y − 2z =3<br />
⎪⎨<br />
c) 9y =8z<br />
⎪⎩ 3y +4z =5<br />
⎧<br />
x ⎪⎨ 1 =2x 2<br />
d) x 2 =2x 3<br />
⎪⎩ x 1 + x 2 + x 3 =14<br />
2. Los <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> stelsels op door gebruik te maken van een GRT:<br />
⎧<br />
4x +2y +5z =21<br />
⎪⎨<br />
a) 3x +6y + z =31<br />
⎪⎩ x +8y +3z =37<br />
⎧<br />
2x +4y +7z =82<br />
⎪⎨<br />
b) 6x − 3y + z =11<br />
⎪⎩ x +2y − 5z = −27<br />
34
5 Enkele basisbegrippen over reële functies van<br />
één reële veran<strong>de</strong>rlijke<br />
5.1 Def<strong>in</strong>ities en voorbeel<strong>de</strong>n<br />
Def<strong>in</strong>ities<br />
Een functie van E ⊂ IR naar IR is een relatie die aan elk reëel getal x uit E juist<br />
één beeld toekent.<br />
Zulk een functionele relatie noemt men een reëlefunctievanéén reële veran<strong>de</strong>rlijke<br />
(<strong>in</strong> ’t vervolg kortweg : functie).<br />
Notatie : f : E ⊂ IR → IR : x → f(x)<br />
E noemt men het dome<strong>in</strong> van f, ook genoteerd dom f<br />
dom f = {x ∈ IR : ∃y ∈ IR : y = f(x)}<br />
Ver<strong>de</strong>r <strong>de</strong>f<strong>in</strong>ieert men het beeld van f als<br />
bld f = {y ∈ IR : ∃x ∈ E : f(x) =y}<br />
α is een nulpunt van f ⇔ f(α) =0⇔ α is een oploss<strong>in</strong>g van <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g<br />
f(x) =0.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
1) f 1 :[0, 10] → IR : x → √ x<br />
f 2 : IR + → IR : x → √ x<br />
Merk op dat f 1 en f 2 niet <strong>de</strong>zelf<strong>de</strong> functies zijn : <strong>de</strong> bei<strong>de</strong> functies hebben wel<br />
hetzelf<strong>de</strong> voorschrift, maar dom f 1 = dom f 2 .<br />
Het grootst mogelijke dome<strong>in</strong> <strong>in</strong> IR waarvoor het voorschrift “trek <strong>de</strong> vierkantswortel<br />
uit x” z<strong>in</strong>vol is, is IR + . We spreken af dat, als we het grootst mogelijk<br />
dome<strong>in</strong> <strong>in</strong> IR bedoelen, we gebruik maken van <strong>de</strong> verkorte notatie :<br />
y = f(x) = √ x.<br />
35
2) Met <strong>de</strong> verkorte notatie y = f(x) = 1 x bedoelen we f : IR 0 → IR : x → 1 x<br />
omdat IR 0 het grootst mogelijke dome<strong>in</strong> <strong>in</strong> IR is.<br />
In <strong>de</strong>ze cursus zullen we enkele belangrijke reële functies van één veran<strong>de</strong>rlijke behan<strong>de</strong>len<br />
zoals constante functies, eerstegraadsfuncties, twee<strong>de</strong>graadsfuncties, goniometrische,<br />
logaritmische en exponentiële functies.<br />
5.2 De <strong>in</strong>verse van een functie <strong>in</strong> IR<br />
De <strong>in</strong>verse van een functie f <strong>in</strong> IR is een relatie f −1 <strong>in</strong> IR diewebekomendoor<strong>in</strong><br />
alle koppels van f <strong>de</strong> twee elementen on<strong>de</strong>rl<strong>in</strong>g te verwisselen.<br />
Bijgevolg geldt dat<br />
dom f −1 = bld f<br />
en<br />
bld f −1 = dom f<br />
Voorbeeld<br />
f : IR → IR : x → x 2 x −2 −1 0 1 2<br />
f(x) 4 1 0 1 4<br />
De twee getallen <strong>in</strong> <strong>de</strong> koppels on<strong>de</strong>rl<strong>in</strong>g verwisselen geeft<br />
x 4 1 0 1 4<br />
f −1 (x) −2 −1 0 1 2<br />
Berekenen van het nieuwe voorschrift :<br />
y = x 2<br />
x = ± √ y<br />
herletteren nl.<br />
y = ± √ x<br />
36
dus f −1 : IR → IR : x → ± √ x<br />
Merk op dat dom f = IR = bld f −1 en bld f = IR + = dom f −1<br />
Verbandtussen<strong>de</strong>grafieken van f en f −1<br />
Welnu, (a, b) ∈ f ⇔ (b, a) ∈ f −1<br />
y<br />
y<br />
a<br />
(b,a)<br />
f -1<br />
f<br />
b<br />
(a,b)<br />
b<br />
a<br />
x<br />
x<br />
Vandaar (we werken <strong>in</strong> een orthonormaal assenstelsel) :<br />
• De grafieken van twee relaties die elkaars <strong>in</strong>verse zijn, zijn symmetrisch t.o.v.<br />
<strong>de</strong> eerste bissectrice.<br />
In het besproken voorbeeld blijkt dat f −1 geen functie is, want bijvoorbeeld<br />
4 → 2<br />
4 → −2<br />
Het is dui<strong>de</strong>lijk dat<br />
• <strong>de</strong> <strong>in</strong>verse relatie f −1 van een functie f <strong>in</strong> IR is een functie<br />
ASA<br />
f is een bijectie van dom f op bld f.<br />
37
5.3 Opdrachten<br />
1. Gegeven : f : IR → IR : x →<br />
Gevraagd :<br />
a) dom f<br />
b) nulpunten van f<br />
2x +3<br />
−x +8<br />
2. Gegeven : f : IR → IR : x → 2x<br />
Gevraagd :<br />
a) bld f<br />
b) nulpunten van f<br />
3. Gegeven : f : IR → IR : x → 1+ 3√ x<br />
Gevraagd :<br />
a) f −1<br />
b) nulpunten van f<br />
c) nulpunten van f −1 38
6 Constante functies, eerstegraadsfuncties, twee<strong>de</strong>graadsfuncties,<br />
homografische functies<br />
6.1 Constante functies<br />
Def<strong>in</strong>itie<br />
Een functie die elk reëel getal afbeeldt op a met a ∈ IR, noemt men een constante<br />
functie.<br />
Dit betekent dat y = f(x) =a met a ∈ IR.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
y = f(x) =3<br />
y = f(x) =− 3 4<br />
Eigenschappen<br />
1) Het dome<strong>in</strong> van een constante functie is IR.<br />
2) Het beeld van een constante functie is een s<strong>in</strong>gleton nl. bld f = {a}.<br />
Grafiek<br />
De grafiek van een constante functie is een rechte evenwijdig met <strong>de</strong> x-as. De grafiek<br />
van y = f(x) =a is <strong>de</strong> rechte l : y = a<br />
y<br />
(0,a)<br />
l<br />
x<br />
39
Nulpunt(en)<br />
De verzamel<strong>in</strong>g <strong>de</strong>r nulpunten van een constante functie is ofwel <strong>de</strong> lege verzamel<strong>in</strong>g<br />
ofwel IR. Verklaar !<br />
Tekenon<strong>de</strong>rzoek<br />
Bij een constante functie hebben <strong>de</strong> beel<strong>de</strong>n van alle elementen hetzelf<strong>de</strong> teken.<br />
Voorbeeld<br />
y = f(x) =3<br />
x<br />
f(x) +<br />
6.2 Eerstegraadsfuncties<br />
Def<strong>in</strong>itie<br />
Een functie die elk reëel getal x afbeeldt op ax + b met a ∈ IR 0 en b ∈ IR noemt<br />
men een eerstegraadsfunctie of een l<strong>in</strong>eaire functie.<br />
Dit betekent dat y = f(x) =ax + b<br />
met a ∈ IR 0 en b ∈ IR.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
Tegenvoorbeel<strong>de</strong>n<br />
y = f(x) =−3x +6 y = f(x) =7<br />
y = f(x) = √ 5x + 1 y = f(x) =x 2 +2x<br />
2<br />
y = f(x) = √ x<br />
Eigenschappen<br />
1) Het dome<strong>in</strong> van een eerstegraadsfunctie is IR.<br />
2) Het beeld van een eerstegraadsfunctie is IR.<br />
Verklaar !<br />
40
Grafiek<br />
De grafiek van een eerstegraadsfunctie is een rechte die bei<strong>de</strong> assen snijdt.<br />
Voorbeeld<br />
y = f(x) =−3x +2heeftalsgrafiek <strong>de</strong> rechte<br />
l : y = −3x +2<br />
y<br />
(0,2)<br />
x<br />
l<br />
(2,-4)<br />
Opmerk<strong>in</strong>g<br />
Niet alle rechten zijn grafieken van eerstegraadsfuncties. In<strong>de</strong>rdaad,<br />
1) De rechte l : y = 2 is geen grafiek van een eerstegraadsfunctie maar van <strong>de</strong><br />
constante functie f met f(x) =2.<br />
2) De rechte k : x =3isgeengrafiek van een eerstegraadsfunctie maar van <strong>de</strong><br />
relatie {(3, 0), (3, 1),...} diegeenfunctieis.<br />
Besluit : De rechten die evenwijdig zijn met <strong>de</strong> x-as of <strong>de</strong> y-as zijn geen grafieken<br />
van eerstegraadsfuncties.<br />
41
Nulpunt(en)<br />
De verzamel<strong>in</strong>g<br />
<br />
<strong>de</strong>r nulpunten van een eerstegraadsfunctie y = f(x) =ax + b is het<br />
s<strong>in</strong>gleton − b <br />
.<br />
a<br />
Voorbeeld<br />
y = f(x) =3x +6<br />
Om het nulpunt te bepalen, moeten we <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g 3x + 6 = 0 oplossen. Het<br />
nulpunt is dus −2.<br />
Tekenon<strong>de</strong>rzoek<br />
Voor y = f(x) =2x − 4 on<strong>de</strong>rzoeken Voor y = f(x) =−x + 4 on<strong>de</strong>rzoeken<br />
we voor welke getallen x geldt : we voor welke getallen x geldt :<br />
f(x) =0,f(x) > 0, f(x) < 0. f(x) =0,f(x) > 0, f(x) < 0.<br />
y<br />
1<br />
1<br />
_<br />
+<br />
x<br />
y<br />
1<br />
1<br />
+<br />
_<br />
x<br />
x 2<br />
y =2x − 4 − 0 +<br />
x 4<br />
y = −x +4 + 0 −<br />
42
Men kan algemeen bewijzen dat het tekenon<strong>de</strong>rzoek van <strong>de</strong> 1ste graadsfunctie y =<br />
ax + b als volgt verloopt :<br />
x<br />
−b/a<br />
y = f(x) =ax + b tegengesteld teken van a 0 teken van a<br />
In <strong>de</strong> praktijk is het echter handiger om het teken te bepalen via het <strong>in</strong>vullen van<br />
een (gemakkelijke) x-waar<strong>de</strong>.<br />
Voorbeeld<br />
y = f(x) =2x − 4<br />
nulpunt ? 2x − 4 = 0 dus x =2<br />
x 2<br />
y =2x − 4 − 0 +<br />
↑<br />
neem voor x bijvoorbeeld <strong>de</strong> waar<strong>de</strong> 0<br />
het beeld van 0 is −4 dus <strong>in</strong> dit gebied zijn <strong>de</strong> beel<strong>de</strong>n negatief.<br />
Opdracht<br />
Gebruik een GRT om <strong>de</strong> grafiek van <strong>de</strong> functie f(x) =2x − 4teplotten<strong>in</strong>het<br />
<strong>in</strong>terval [−1, 3]. Kies voor 0: ZoomFit. Volg met ‘trace’ <strong>de</strong> grafiek en bereken met<br />
‘calc’ het nulpunt.<br />
6.3 Twee<strong>de</strong>graadsfuncties<br />
Def<strong>in</strong>itie<br />
Een functie die elk reëel getal x afbeeldt op ax 2 + bx + c met a ∈ IR 0 en b, c ∈ IR<br />
noemt men een twee<strong>de</strong>graadsfunctie of een kwadratische functie. Dit betekent<br />
dat y = f(x) =ax 2 + bx + c met a ∈ IR 0 en b, c ∈ IR.<br />
43
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
y = f(x) =6x 2 − 5x +1<br />
y = f(x) =3x 2 +7<br />
y = f(x) =−2x 2<br />
Eigenschap<br />
Het dome<strong>in</strong> van een twee<strong>de</strong>graadsfunctie is IR.<br />
Grafiek<br />
De grafiek van <strong>de</strong> twee<strong>de</strong>graadsfunctie y = f(x) =ax 2 + bx + c is een parabool<br />
waarbij <strong>de</strong> rechte s : x = −b <strong>de</strong> symmetrie-as is.<br />
2a<br />
Het snijpunt van <strong>de</strong> symmetrie-as met <strong>de</strong> parabool<br />
noemt men <strong>de</strong> top van <strong>de</strong> parabool.<br />
De coörd<strong>in</strong>atenvan<strong>de</strong>topzijndus −b −b<br />
2a ,f .<br />
2a<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
We tekenen <strong>de</strong> grafiek van<br />
y = f(x) =x 2 +4x +3 y = f(x) =−x 2 +4x − 3<br />
s : x = −2 s : x =+2<br />
Enkele koppels van f : Enkele koppels van f :<br />
x −4 −3 −2 −1 0<br />
y = x 2 +4x +3 3 0 −1 0 3<br />
x 0 1 2 3 4<br />
y = −x 2 +4x − 3 −3 0 1 0 −3<br />
44
y<br />
y<br />
1<br />
1<br />
x<br />
1<br />
1<br />
x<br />
De top van <strong>de</strong> parabool is (−2, −1) De top van <strong>de</strong> parabool is (2, 1)<br />
We merken op dat<br />
a>0 ⇒ <strong>de</strong> functie bereikt een m<strong>in</strong>imum a0, <strong>de</strong> vierkantsvergelijk<strong>in</strong>g ax 2 + bx + c = 0 twee oploss<strong>in</strong>gen heeft nl.<br />
x 1 = −b − √ D<br />
2a<br />
en<br />
x 2 = −b + √ D<br />
2a<br />
2) D = 0 <strong>de</strong> vierkantsvergelijk<strong>in</strong>g ax 2 + bx + c =0slechtséén oploss<strong>in</strong>g (of twee<br />
samenvallen<strong>de</strong> oploss<strong>in</strong>gen) heeft nl.<br />
x 1 = x 2 = −b<br />
2a<br />
45
3) D 0 D = 0 D < 0<br />
a > 0<br />
x 1<br />
x 2<br />
x 1<br />
= x 2<br />
x<br />
y y y<br />
a < 0<br />
x 1 x 2<br />
x 1<br />
= x 2<br />
x<br />
46
Tekenon<strong>de</strong>rzoek<br />
Voor wat betreft het tekenverloop van een twee<strong>de</strong>graadsfunctie leren bovenstaan<strong>de</strong><br />
figuren :<br />
D>0<br />
x x 1 x 2<br />
teken van teken van a 0 teken van −a 0 teken van a<br />
y = ax 2 + bx + c<br />
D =0<br />
x x 1 = x 2<br />
teken van teken van a 0 teken van a<br />
y = ax 2 + bx + c<br />
D
Opdracht<br />
Gebruik een GRT om <strong>de</strong> grafiek van f(x) =−x 2 +4x − 3 te plotten <strong>in</strong> het <strong>in</strong>terval<br />
[−1, 5]. Kies voor 0:ZoomFit. Volg met ‘trace’ <strong>de</strong> grafiek en bereken met ‘calc’ <strong>de</strong><br />
nulpunten en <strong>de</strong> maximale waar<strong>de</strong>.<br />
6.4 Homografische functies<br />
Def<strong>in</strong>itie<br />
Een functie die een reëel getal x afbeeldt op ax + b<br />
cx + d met c ∈ IR 0 en a, b, d ∈ IR en<br />
ad − bc = 0 noemt men een homografische functie.<br />
Dit betekent dat y = f(x) = ax + b<br />
cx + d met c ∈ IR 0 en a, b, d ∈ IR en ad − bc = 0.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
2x +1<br />
y = f(x) =<br />
3x − 7<br />
y = f(x) = 1 x<br />
y = f(x) = 1<br />
x − 1<br />
y = f(x) =<br />
−x<br />
x + √ 2<br />
Tegenvoorbeeld<br />
y = f(x) = 3x − 6 is geen homografische functie want ad−bc =3·(−2)−(−6)·1 =0.<br />
x − 2<br />
Wat is <strong>de</strong> grafiek van <strong>de</strong>ze functie ?<br />
3(x − 2)<br />
y = f(x) = dom f = IR\{2}<br />
x − 2<br />
48
y<br />
3<br />
f<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
x<br />
Bemerk dat <strong>de</strong>ze grafiek dui<strong>de</strong>lijk afwijkt van <strong>de</strong> grafieken van <strong>de</strong> homografische<br />
functies (zie ver<strong>de</strong>r).<br />
Eigenschap<br />
Het dome<strong>in</strong> van een homografische functie is IR\<br />
<br />
− d <br />
.Gana!<br />
c<br />
Grafiek<br />
De grafiek van een homografische functie y = f(x) = ax + b is een hyperbool waarbij<br />
cx + d<br />
<strong>de</strong> rechte x = − d c een verticale asymptoot (V.A) en <strong>de</strong> rechte y = a een horizontale<br />
c<br />
asymptoot (H.A) is (zie hoofdstuk asymptoten).<br />
Voorbeeld<br />
We tekenen <strong>de</strong> grafiek van y = f(x) = 3x − 1<br />
2x +2<br />
V.A : x = −1<br />
H.A : y = 3 2<br />
49
Enkele koppels van f :<br />
x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3<br />
y = 3x − 1<br />
2x +2<br />
2<br />
13<br />
6<br />
5<br />
2<br />
7<br />
2<br />
/ − 1 2<br />
1<br />
2<br />
5<br />
6<br />
1<br />
y<br />
1<br />
1<br />
x<br />
Opdracht<br />
Gebruik een GRT om <strong>de</strong> grafiek van f(x) = 3x − 1 te plotten <strong>in</strong> het ka<strong>de</strong>r [−4, 3]×<br />
2x +2<br />
[−2, 5]. Maak dus enkel gebruik van [w<strong>in</strong>dow] (en niet van [zoom]).<br />
50
6.5 Opdrachten<br />
1. In welk punt snijdt <strong>de</strong> rechte gegeven door <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g y = ax + b <strong>de</strong> x-as.<br />
a) y = −3x +1<br />
b) y =3x<br />
c) y =1<br />
2. Zoek het snijpunt van <strong>de</strong> twee rechten waarvan <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>gen gegeven zijn.<br />
a) y =3x − 1<br />
y =1− x<br />
b) y =2x<br />
y =1− x<br />
c) y = −x<br />
y =2<br />
3. Maak het tekenon<strong>de</strong>rzoek<br />
a) y = −5x +7<br />
b) y = x<br />
c) y = mx + n (m, n ∈ IR 0 )<br />
4. a) De functie y = f(x) =−x 2 + px − 5 heeft een maximum voor x =1.<br />
Bereken p en <strong>de</strong> maximale functiewaar<strong>de</strong>.<br />
b) De functie y = f(x) =px 2 +4x + p heeft een maximum. De maximale<br />
functiewaar<strong>de</strong> is 3. Bereken p.<br />
5. a) Maak <strong>de</strong> grafieken van <strong>de</strong> functies y = f(x) =2x 2 − 4x +1en<br />
y = g(x) =3x − 1. Gebruik een GRT.<br />
51
) Volg met ‘trace’ één van <strong>de</strong> grafieken en bereken met ‘calc’ <strong>de</strong> snijpunten<br />
van<strong>de</strong>rechteen<strong>de</strong>parabool.Bereken<strong>de</strong>snijpuntenookmanueel.<br />
6. Zelf<strong>de</strong> vraag als 5. met y = f(x) =2x 2 − 1eny = g(x) =2x.<br />
7. In welke punten snijdt <strong>de</strong> parabool, gegeven door <strong>de</strong> kwadratische functie<br />
y = f(x), <strong>de</strong> x-as.<br />
a) y = f(x) =−3x 2 +2x +1<br />
b) y = f(x) =x 2 +3x − 1<br />
c) y = f(x) =x 2 +4x<br />
d) y = f(x) =−x 2 − 1<br />
e) y = f(x) =4x 2<br />
f) y = f(x) =2x 2 − 6x + 9 2<br />
8. Maak het tekenon<strong>de</strong>rzoek.<br />
a) y = f(x) =1− 3x + x 2<br />
b) y = f(t) =1− 2t 2<br />
c) y = f(x) =x 2 +3x +6<br />
d) p = f(q) =9q 2 +6q +1<br />
9. Teken <strong>de</strong> grafiek van <strong>de</strong> functies y = f(x) = 1 x<br />
en y = g(x) =x. Bereken <strong>de</strong><br />
snijpunten van <strong>de</strong> hyperbool y = 1 x<br />
en <strong>de</strong> rechte y = x.<br />
10. Zelf<strong>de</strong> vraag als 9. met y = f(x) = 2x − 1<br />
x +1<br />
en y = g(x) =3x − 1.<br />
52
7 Richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt (hell<strong>in</strong>g) van een rechte<br />
7.1 Voorbeeld<br />
y<br />
(3,7)<br />
(2,5)<br />
(<br />
3<br />
,4)<br />
2<br />
(0,1)<br />
a<br />
(1,0)<br />
x<br />
Voor <strong>de</strong> rechte a geldt dat <strong>de</strong> verhoud<strong>in</strong>g<br />
verticale veran<strong>de</strong>r<strong>in</strong>g<br />
horizontale veran<strong>de</strong>r<strong>in</strong>g<br />
constant is.<br />
Zo is bijvoorbeeld 7 − 5<br />
3 − 2 = 4 − 1<br />
3<br />
− 0 (= 2).<br />
2<br />
We zeggen dat 2 <strong>de</strong> richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt van <strong>de</strong> rechte a is.<br />
53
7.2 Algemeen<br />
y<br />
(x 2<br />
,y 2<br />
)<br />
(x 1<br />
,y 1<br />
)<br />
(x 4<br />
,y 4<br />
)<br />
(x 3<br />
,y 3<br />
)<br />
x<br />
Voor <strong>de</strong> twee (verschillen<strong>de</strong>) punten (x 1 ,y 1 )en(x 2 ,y 2 ) op een rechte a (niet evenwijdig<br />
met <strong>de</strong> y-as) geldt dat<br />
(1) <strong>de</strong> verhoud<strong>in</strong>g y 2 − y 1<br />
x 2 − x 1<br />
<strong>de</strong>zelf<strong>de</strong> waar<strong>de</strong> aanneemt voor alle mogelijke puntenparen<br />
op <strong>de</strong> rechte a;<br />
(2) <strong>de</strong> verhoud<strong>in</strong>g y 2 − y 1<br />
x 2 − x 1<br />
<strong>de</strong>zelf<strong>de</strong> waar<strong>de</strong> aanneemt voor alle mogelijke puntenparen<br />
op een rechte evenwijdig met a.<br />
Deze verhoud<strong>in</strong>g y 2 − y 1<br />
x 2 − x 1<br />
, die dus enkel afhankelijk is van <strong>de</strong> “steilte” van <strong>de</strong> rechte<br />
a, wordt <strong>de</strong> hell<strong>in</strong>g van <strong>de</strong> rechte a of <strong>de</strong> richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt van <strong>de</strong> rechte a<br />
genoemd.<br />
54
7.3 Gevolgen<br />
1) Elke rechte evenwijdig met <strong>de</strong> x-as (bv. door <strong>de</strong> punten (−2, 4) en (1, 4)) heeft<br />
een richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt nul.<br />
2) Wanneer <strong>de</strong> formule wordt gebruikt voor twee punten gelegen op een rechte<br />
evenwijdig met <strong>de</strong> y-as (bv. (3, 1) en (3, 5)), dan komt er een nul <strong>in</strong> <strong>de</strong> noemer.<br />
Vandaar : een rechte evenwijdig met <strong>de</strong> y-as heeft geen richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt.<br />
3) Als <strong>de</strong> richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt van een rechte positief (resp. negatief) is, dan<br />
stijgt (resp. daalt) <strong>de</strong> rechte. Hoe groter <strong>de</strong> absolute waar<strong>de</strong> van <strong>de</strong> richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt,<br />
hoe steiler <strong>de</strong> rechte.<br />
4) Opstellen van <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g van een rechte (niet evenwijdig met <strong>de</strong> y-as)<br />
waarvan een punt (x 1 ,y 1 )en<strong>de</strong>richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt m is gegeven. Welnu, als<br />
(x, y) een willekeurig punt is op <strong>de</strong> gevraag<strong>de</strong> rechte dan weten we :<br />
y − y 1<br />
x − x 1<br />
= m<br />
Herschrijven geeft y − y 1 = m(x − x 1 )<br />
5) Elke rechte niet evenwijdig met <strong>de</strong> y-as, heeft een vergelijk<strong>in</strong>g die kan geschreven<br />
wor<strong>de</strong>n <strong>in</strong> <strong>de</strong> vorm y = mx + n waarbij m <strong>de</strong> richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt is en (0,n)<br />
het snijpunt met <strong>de</strong> y-as.<br />
6) Om <strong>de</strong> richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt van een rechte te bepalen vertrekken<strong>de</strong> van <strong>de</strong><br />
vergelijk<strong>in</strong>g ax + by + c = 0, zal men proberen <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g te herschrijven<br />
tot y = mx + n. Indien dit mogelijk is, dan is m <strong>de</strong> richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt<br />
55
van <strong>de</strong> rechte. Als men hier niet <strong>in</strong> slaagt, dan betekent dit dat <strong>de</strong> rechte<br />
evenwijdig is met <strong>de</strong> y-as.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n :<br />
a) 5x +2y +1=0<br />
<br />
y = − 5 2 x − 1 2<br />
m = − 5 2<br />
b) −2y +8=0<br />
<br />
y =0· x +4<br />
m =0<br />
↓<br />
rechte // x-as<br />
c) 7x +3=0<br />
<br />
7x +0y +3=0<br />
<br />
0y = −7x − 3<br />
<br />
y = ... is onmogelijk<br />
De rechte is evenwijdig met <strong>de</strong> y-as (<strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g is x = −3<br />
7 )<br />
7) Wanneer op een rechte a <strong>de</strong> punten (x 1 ,y 1 )en(x 2 ,y 2 )zó wor<strong>de</strong>n gekozen dat<br />
x 2 = x 1 + 1 dan is <strong>de</strong> richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt<br />
m = y 2 − y 1<br />
x 2 − x 1<br />
= y 2 − y 1<br />
x 1 +1− x 1<br />
= y 2 − y 1<br />
56
y<br />
y 2<br />
y 1<br />
1<br />
1<br />
m<br />
x<br />
1 x 1 x 2<br />
m.a.w.<br />
: met een horizontale toename van 1 correspon<strong>de</strong>ert een verticale<br />
veran<strong>de</strong>r<strong>in</strong>g gelijk aan <strong>de</strong> richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt m.<br />
7.4 Opdrachten<br />
1. Stel <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>gen op van <strong>de</strong> rechten die aan <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> voorwaar<strong>de</strong>n voldoen.<br />
Eerste reeks<br />
Twee<strong>de</strong> reeks<br />
(x 1 ,y 1 ) behoort tot <strong>de</strong> rechte (x 1 ,y 1 )en(x 2 ,y 2 ) behoren tot <strong>de</strong> rechte<br />
rc (x 1 ,y 1 ) vergelijk<strong>in</strong>g (x 1 ,y 1 ) (x 2 ,y 2 ) vergelijk<strong>in</strong>g<br />
a −3 (−2, 1) a (1, 2) (3, 4)<br />
b 2 (0, 6) b (−1, 3) (−2, 6)<br />
c 0 (3, 4) c (5, 6) (3, 0)<br />
d 1 (0, 0) d (2, 3) (2, 9)<br />
e −2 (−4, −5) e (0, 6) (4, 0)<br />
d<br />
5<br />
2<br />
(6, − 1 2 ) f (1 2 , 2 3 ) (−3 4 , −5 6 )<br />
57
2. Stel <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g op van <strong>de</strong> rechte door (1, 2) en (3, 4). Gebruik hiervoor<br />
een GRT. Verifieerofhetresultaatovereenstemtmethetantwoorduit<strong>de</strong><br />
vorige oefen<strong>in</strong>g. Plot ook <strong>de</strong>ze rechte <strong>in</strong> het <strong>in</strong>terval [−2, 2]. Kies voor een<br />
orthonormaal assenstelsel. (Zoom/ZSquare).<br />
3. Gegeven : a : y = −4x +3<br />
Stel <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g op van <strong>de</strong> rechte b als je weet dat b a en (1, −4) ∈ b.<br />
4. Teken <strong>de</strong> rechte a (zon<strong>de</strong>r <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g te zoeken) als je weet dat <strong>de</strong> rechte<br />
a <strong>de</strong> y-as snijdt <strong>in</strong> (0, −4) en dat <strong>de</strong> richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt 3 is.<br />
5. Zelf<strong>de</strong>vraagvoor<strong>de</strong>rechtebmetsnijpunty-as is (0, 2) en richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt<br />
is 3.<br />
6. Bepaal <strong>de</strong> richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt van <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> rechten.<br />
a) x + y − 5=0<br />
b) 7x =3<br />
c) −2y + x =1+x + y<br />
58
8 Veeltermongelijkhe<strong>de</strong>n en rationale ongelijkhe<strong>de</strong>n<br />
<strong>in</strong> één onbeken<strong>de</strong><br />
8.1 Algemene werkwijze<br />
Bij het oplossen van een veeltermongelijkheid of een rationale ongelijkheid kan <strong>de</strong><br />
volgen<strong>de</strong> werkwijze wor<strong>de</strong>n gevolgd :<br />
• Maak één lid nul;<br />
• Schrijf het an<strong>de</strong>re lid als een breuk van twee veeltermen;<br />
• Ontb<strong>in</strong>d <strong>de</strong> teller (respectievelijk <strong>de</strong> noemer) <strong>in</strong> factoren van <strong>de</strong> eerste en <strong>de</strong><br />
twee<strong>de</strong> graad;<br />
• Zoek van alle factoren <strong>de</strong> nulpunten;<br />
• Gebruik nu een tabel om te komen tot het tekenverloop.<br />
Wanneer <strong>de</strong> opgave eenvoudig is, zijn sommige stappen natuurlijk overbodig.<br />
8.2 Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
(1) Los op : 3x − 8 ≥ 4<br />
3x ≥ 4+8<br />
3x ≥ 12<br />
x ≥ 12 3<br />
x ≥ 4<br />
Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = { x ∈ IR | x ≥ 4 }<br />
(2) Los op : 3x − 5 − 4x − 5 < 25<br />
2 6<br />
3(3x − 5) − (4x − 5) < 6.25<br />
9x − 15 − 4x +5< 150<br />
59
5x
−8x 2 − 4x +12<br />
≥ 0<br />
x 2 +4x − 5<br />
nulpunten teller : − 3 2 en 1<br />
nulpunten noemer : 1 en −5<br />
x −5 −3/2 1<br />
−8x 2 − 4x +12 − − − 0 + 0 −<br />
x 2 +4x − 5 + 0 − − − 0 +<br />
−8x 2 − 4x +12<br />
x 2 +4x − 5<br />
− | + 0 − | −<br />
Besluit : Oploss<strong>in</strong>gsverzamel<strong>in</strong>g = { x ∈ IR | − 5
- voor voldoen<strong>de</strong> grote x heeft <strong>de</strong> veelterm hetzelf<strong>de</strong> teken als <strong>de</strong> coëfficiënt van<br />
<strong>de</strong> hoogstegraadsterm a n ;<br />
-alswex laten veran<strong>de</strong>ren van groot naar kle<strong>in</strong> dan veran<strong>de</strong>rt het teken van <strong>de</strong><br />
veelterm wanneer we voorbij een nulpunt met oneven multipliciteit gaan.<br />
Tekenverloop van een breuk van veeltermen :<br />
- “bestaat niet” voor <strong>de</strong> x-waar<strong>de</strong>n waarvoor <strong>de</strong> noemer nul wordt;<br />
- “nul” voor <strong>de</strong> nulpunten van <strong>de</strong> teller die geen nulpunten zijn van <strong>de</strong> noemer;<br />
- wat <strong>de</strong> plustekens en <strong>de</strong> m<strong>in</strong>tekens betreft merken we op dat het teken van<br />
A(x)<br />
(een breuk van veeltermen) gelijk is aan het teken van <strong>de</strong> veelterm<br />
B(x)<br />
A(x) · B(x) zodat <strong>de</strong> vorige werkwijze kan wor<strong>de</strong>n gevolgd.<br />
Voorbeeld<br />
Geef het tekenverloop van A(x)<br />
B(x) = (2 − x)4 (x 2 + x + 1)(3 − x) 3 (x − 1) 4<br />
(x +7)(2x − 1) 5 (1 − x)<br />
x −7 1/2 1 2 3<br />
A(x)<br />
B(x)<br />
+ | − | + | − 0 − 0 +<br />
<strong>de</strong> coëfficiënt van <strong>de</strong> hoogstegraadsterm <strong>in</strong> A(x) · B(x) is2 5 dus positief.<br />
Toemaatje<br />
De beschreven praktische werkwijze geldt natuurlijk ook voor veeltermen van <strong>de</strong><br />
eerste of twee<strong>de</strong> graad.<br />
62
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
x 1<br />
x 2 − 2x +1 + 0 +<br />
x 2<br />
−4x +8 + 0 −<br />
8.4 Opdrachten<br />
Los <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> ongelijkhe<strong>de</strong>n op :<br />
(1) x − 3<br />
4<br />
+ 2x − 5<br />
5<br />
< 1 − 3x<br />
(2) (5x − 2)(7x − 14) > 0<br />
(3) −2(x − 2)(x +2)(−x +3)≤ 0<br />
(4) (x − 3)(2x +4)≤ (x − 3)(−3x +9)<br />
(5) x 2 +13≤ 7x +1<br />
(6) (x 2 +5x + 6)(2x − 1) < 0<br />
(7) −x2 +3x +4<br />
−x +4<br />
> 0<br />
(8) (−x 2 +2x +5)(3x 2 +2x +5)< 0<br />
(9) 1 x + x<br />
x +1 > 0<br />
(10) (x 3 − 3x 2 − x +3)(x − 3) > 0<br />
63
9 Absolute waar<strong>de</strong> van een reëel getal<br />
9.1 Def<strong>in</strong>itie en gevolgen<br />
Def<strong>in</strong>itie<br />
Voor a ∈ IR <strong>de</strong>f<strong>in</strong>iëren we <strong>de</strong> absolute waar<strong>de</strong> van a (genoteerd door |a|) als volgt :<br />
als a ≥ 0dan|a| = a<br />
als a
9.2 Eigenschappen<br />
(1) Als a ≥ 0 dan geldt |x| ≤ a ⇔−a ≤ x ≤ a<br />
gebied voor x<br />
-a 0 a<br />
We merken op dat een x die voldoet aan <strong>de</strong> ongelijkheid op m<strong>in</strong><strong>de</strong>r dan een<br />
afstand a van 0 gelegen is.<br />
Voorbeeld :<br />
|2x − 1| ≤ 3<br />
−3 ≤ 2x − 1 ≤ 3<br />
−2 ≤ 2x ≤ 4<br />
−1 ≤ x ≤ 2<br />
(2) Als a ≥ 0 dan geldt |x| ≥ a ⇔ x ≤−a of x ≥ a<br />
-a 0 a<br />
We merken op dat een x die voldoet aan <strong>de</strong> ongelijkheid op meer dan een<br />
afstand a van 0 gelegen is.<br />
Voorbeeld :<br />
|3 − x| > 2<br />
3 − x2<br />
x>5 of x
(4) Als a ≥ 0 dan geldt x 2 ≤ a ⇔ |x| ≤ √ a<br />
Voorbeeld : x 2 ≤ 9 ⇔ |x| ≤ 3 (1)<br />
⇔−3 ≤ x ≤ 3<br />
(5) Als a ≥ 0 dan geldt x 2 >a ⇔ |x| > √ a<br />
Voorbeeld : x 2 > 4 ⇔ |x| > 2 (2)<br />
⇔ x2<br />
9.3 Opdrachten<br />
1. Los op (met x ∈ IR).<br />
(1) |x − 4| < 1<br />
(2) |x +2| < 5<br />
(3) |x + 1 2 | ≥ 2 5<br />
(4) (x − 2) 2 < 9<br />
(5) (3x − 2) 2 ≤ 1<br />
(6) |3 − x| > 2<br />
(7)<br />
x +1<br />
2 < 1<br />
(8) 1 2<br />
< (3 − 4x)2<br />
2. Maak <strong>de</strong> grafiek van <strong>de</strong> functie<br />
(1) f(x) =|x|<br />
(2) f(x) =x + |x|<br />
x<br />
(let op: dom f = IR 0 )<br />
Plot, ter controle, <strong>de</strong> grafieken met een GRT.<br />
66
10 Exponentiële en logaritmische functies<br />
10.1 Machten van een reëel getal<br />
Def<strong>in</strong>ities<br />
1) Voor a ∈ IR en n ∈ IN 0 ,steltmen<br />
Voor a ∈ IR 0 stelt men<br />
a n = a · a...a <br />
n maal<br />
a 0 =1<br />
2) Voor a ∈ IR 0 en n ∈ IN, steltmen<br />
a −n = 1 a n<br />
3) Als a, b ∈ IR en n ∈ IN 0 ,dannoemtmenb een n-<strong>de</strong> machtswortel van a als<br />
b n = a.<br />
Voorbeeld :<br />
2 is <strong>de</strong> 5-<strong>de</strong> machtswortel uit 32 omdat 2 5 =32<br />
2en−2 zijn bei<strong>de</strong> 4-<strong>de</strong> machtswortels van 16 omdat 2 4 =16en(−2) 4 =16.<br />
Notatie :<br />
— Als n oneven is, dan heeft elk reëel getal a juist één n-<strong>de</strong> machtswortel,<br />
genoteerd door n√ a<br />
— Als n even is, dan<br />
- hebben <strong>de</strong> negatieve getallen geen n-<strong>de</strong> machtswortel;<br />
67
- hebben <strong>de</strong> positieve getallen twee n-<strong>de</strong> machtswortels die tegengesteld<br />
zijn.<br />
We noteren<br />
<strong>de</strong> positieve n-<strong>de</strong> machtswortel door n√ a<br />
<strong>de</strong> negatieve n-<strong>de</strong> machtswortel door − n√ a<br />
Opmerk<strong>in</strong>gen:<br />
(1) n√ 0=0<br />
(2) Voor <strong>de</strong> 2-<strong>de</strong> machtswortel schrijven we √ 2<br />
a i.p.v. √ a.<br />
4) Als a ∈ IR 0 + en m, n ∈ IN (n = 0)dansteltmen<br />
a m n = n√ a m .<br />
a − m n = 1<br />
a m n<br />
= 1<br />
n√ a<br />
m<br />
Voorbeeld : 3 7 2 = √ 3 7 ; 3 − 7 2 = 1 √<br />
3<br />
7 ; 102 3 = 3√ 10 2<br />
5) Het machtsbegrip kan nog ver<strong>de</strong>r uitgebreid wor<strong>de</strong>n zodat bv. ook 2 √3 en 4 π<br />
een betekenis krijgen (dit wordt hier niet behan<strong>de</strong>ld).<br />
Eigenschappen<br />
Als a, b ∈ IR + 0<br />
en x, y ∈ IR dan geldt<br />
1) a x · a y = a x+y<br />
2) ax<br />
a y = ax−y<br />
3) (a x ) y = a xy 68
4) (ab) x = a x b x<br />
5)<br />
a<br />
b<br />
x<br />
=<br />
a x<br />
b x<br />
10.2 Exponentiële functies<br />
We noemen exponentiële functie met grondtal a <strong>de</strong> functie<br />
f : IR → IR<br />
met a ∈ IR +<br />
x → a x 0 \{1}<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
y = f(x) = 2 x<br />
y<br />
y = f(x) = ( 1 )<br />
2<br />
x<br />
y<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x<br />
1<br />
1<br />
a > 1<br />
a < 1<br />
69
Algemeen<br />
y<br />
y<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x<br />
grafiek van y = a x<br />
met a > 1<br />
grafiek van y = a x<br />
met 0 < a < 1<br />
- dom f = IR<br />
- bld f = IR 0 + (dus a x > 0voorelkex ∈ IR)<br />
-grafiekgaatdoor(0, 1)<br />
-alsa>1 dan is <strong>de</strong> functie stijgend<br />
als a
10.3 Logaritmen<br />
Def<strong>in</strong>itie<br />
De a-logaritme van een reëel getal x is gelijk aan y a.s.a. we aan a <strong>de</strong> exponent y<br />
moeten geven om x te bekomen.<br />
Of<br />
log a x = y ⇔ x = a y<br />
De a <strong>in</strong> log a x heet het grondtal van <strong>de</strong> logaritme.<br />
Men neemt steeds een grondtal a dat reëel is, strikt positief en verschillend van 1.<br />
Bijgevolg geldt : negatieve getallen en het getal 0 hebben geen logaritme want als<br />
a>0isooka y > 0.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
log 2 8=3want8=2 3<br />
−3 1<br />
log 1 8=−3 want8=<br />
2<br />
2<br />
log 3<br />
√<br />
3=<br />
1<br />
2 want √ 3=(3) 1 2<br />
Eigenschappen<br />
Stel x, y ∈ IR + 0 , r ∈ IR, a ∈ IR+ 0 \{1} 71
log a (x · y) =log a x +log a y<br />
x<br />
log a =log<br />
y<br />
a x − log a y<br />
log a (x r )=r log a x<br />
log a x = log b x<br />
log b a<br />
Deze laatste formule geeft het verband aan tussen <strong>de</strong> logaritmen van<br />
eenzelf<strong>de</strong> reëel getal x t.o.v. twee verschillen<strong>de</strong> grondtallen.<br />
Opmerk<strong>in</strong>gen<br />
(1) Voor <strong>de</strong> 10-logaritme van x schrijven we log x i.p.v. log 10 x.<br />
(2) Voor praktische bereken<strong>in</strong>gen zal men veelal gebruik maken van een rekentoestel<br />
en <strong>de</strong> formule log a x = log x<br />
log a of log a x = ln x (zie ver<strong>de</strong>r).<br />
ln a<br />
10.4 Logaritmische functies<br />
De functie f : IR → IR : x → log a x met a ∈ IR 0 + \{1} noemen we <strong>de</strong> logaritmische<br />
functie met grondtal a.<br />
72
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
y = f(x) = log 2<br />
x<br />
y<br />
y<br />
y = f(x) = log x 1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
x<br />
1<br />
1<br />
x<br />
a > 1<br />
a < 1<br />
Algemeen<br />
y<br />
y<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x<br />
grafiek van y = log a<br />
x<br />
met a > 1<br />
grafiek van y = log a<br />
x<br />
met a < 1<br />
73
- dom f = IR 0<br />
+<br />
- bld f = IR<br />
-grafiekgaatdoor(1, 0)<br />
-alsa>1 dan is <strong>de</strong> functie stijgend<br />
als a
1. Door overgang op logaritmen<br />
Voorbeeld 1<br />
7 x =9<br />
x log 7 = log 9<br />
x = log 9 ≈ 1, 129<br />
log 7<br />
Voorbeeld 2<br />
5 x−1 =2 x−3<br />
log 5 x−1 =log2 x−3<br />
(x − 1) log 5 = (x − 3) log 2<br />
x(log 5 − log 2) = log 5 − 3log2<br />
x =<br />
log 5 − log 23<br />
log 5 − log 2<br />
x ≈−0, 513<br />
2. Bei<strong>de</strong> le<strong>de</strong>n schrijven als machten van eenzelf<strong>de</strong> constant grondtal<br />
Voorbeeld 1<br />
2 x =8<br />
2 x =2 3<br />
x =3<br />
Voorbeeld 2<br />
2 x+1 =2 −x<br />
x +1=−x<br />
2x = −1<br />
x = − 1 2<br />
75
Voorbeeld 3<br />
8 x−1 =4<br />
(2 3 ) x−1 =2 2<br />
2 3x−3 =2 2 waaruit 3x − 3=2ofx = 5 3<br />
3. Invoer<strong>in</strong>g van een nieuwe onbeken<strong>de</strong> (substitutie)<br />
Voorbeeld<br />
2 x+3 +4 x+1 = 320<br />
2 3 · 2 x +4· 4 x − 320 = 0 of 4 · 2 2x +8· 2 x − 320 = 0<br />
Stel : 2 x = y<br />
Zo ontstaat <strong>de</strong> vierkantsvergelijk<strong>in</strong>g<br />
4y 2 +8y − 320 = 0 of y 2 +2y − 80 = 0<br />
met als oploss<strong>in</strong>gen : y =8eny = −10<br />
Dit geeft nog op te lossen :<br />
2 x =8 en2 x = −10<br />
2 x =2 3 Valse vergelijk<strong>in</strong>g<br />
x =3<br />
10.6 Logaritmische vergelijk<strong>in</strong>gen<br />
Een logaritmische vergelijk<strong>in</strong>g <strong>in</strong> IR is een vergelijk<strong>in</strong>g <strong>in</strong> IR waarbij <strong>de</strong> onbeken<strong>de</strong><br />
achter een logaritme-teken of <strong>in</strong> het grondtal van <strong>de</strong> logaritme voorkomt.<br />
Voorbeeld<br />
log 2 x · log x 6=log 2 x +log 2 (7 − x 2 )<br />
76
Bestaansvoorwaar<strong>de</strong>n ⎧<br />
:<br />
x ∈ IR ⎪⎨<br />
0<br />
+<br />
x ∈ IR 0 + \{1}<br />
⎪⎩ 7 − x 2 > 0<br />
Samengevatte bestaansvoorwaar<strong>de</strong> : x ∈ ]0, √ 7[ \{1}.<br />
Oploss<strong>in</strong>g van <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g (formules gebruiken)<br />
log 2 x · log x 6=log 2 x +log 2 (7 − x 2 )<br />
log 2 x · log 2 6<br />
log 2 x =log 2 x +log 2 (7 − x 2 )<br />
log 2 6=log 2 (x(7 − x 2 ))<br />
6=x(7 − x 2 )<br />
x 3 − 7x +6=0<br />
(x − 1)(x − 2)(x +3)=0<br />
x = 1 te verwerpen<br />
x =2<br />
x = −3 teverwerpen<br />
10.7 Opdrachten<br />
1. Vereenvoudig (a, b, c ∈ IR + 0 )<br />
(−8) 2 3 (−8) − 2 3<br />
3√ −96<br />
−8<br />
◦<br />
(5.2 −2 ) −3 −(−2) 4<br />
(−2.3 2 ) −1 5 √ −256a −35 c 15<br />
<br />
3 4√<br />
a<br />
6<br />
<br />
3 n√<br />
a<br />
6n+1<br />
b<br />
2 <br />
ab 3 c − 7 5 −1.<br />
2 ab 7 2<br />
77
2. Bereken (zon<strong>de</strong>r gebruik te maken van een rekentoestel)<br />
(1) log 2 32 (7) log 3<br />
1<br />
5√<br />
27<br />
(13) log 4 8 √ 2<br />
(2) log 2<br />
1<br />
64<br />
(8) log 5 5 (14) log 7<br />
√<br />
7<br />
7<br />
1<br />
(3) log 2 3√ (9) log 1 64 (15) log √<br />
2<br />
2<br />
3 81<br />
(4) log 4 2 (10) log 0, 1 (16) log π π<br />
(5) log 4 8 (11) log 3√ 100 (17) log 0,5 0, 25<br />
(6) log 4<br />
3 √ 4 (12) log 9<br />
1<br />
3<br />
(18) log √ 7 7<br />
3. Bereken x, als<br />
(1) log 5 x = −1 (3) log 2 x = 3 2<br />
(5) log x 4=2<br />
(2) log x<br />
√<br />
2=2 (4) logx = −3 (6) logx<br />
1<br />
3 =2<br />
4. Maak <strong>de</strong> oefen<strong>in</strong>gen uit opgave 3. opnieuw, maar gebruik nu een GRT (optie<br />
‘Solver’).<br />
H<strong>in</strong>t:<br />
log 5 x = −1 veran<strong>de</strong>r van grondtal<br />
log x<br />
log 5 = −1<br />
1+ log x<br />
log 5 =0 78
neem een strikt positieve startwaar<strong>de</strong>, bijvoorbeeld 1.<br />
H<strong>in</strong>t: <strong>de</strong>nk per oefen<strong>in</strong>g na over een geschikte startwaar<strong>de</strong>, reken<strong>in</strong>g hou<strong>de</strong>nd<br />
met <strong>de</strong> bestaansvoorwaar<strong>de</strong>n.<br />
5. Los op naar x, eerst manueel, vervolgens m.b.v. een GRT (optie ‘Solver’).<br />
(1) 27 1 x · 243 1<br />
x+2 =81<br />
1<br />
x−1<br />
(2) 0, 86 x =0, 0719<br />
(3) 16 x − 7.4 x =8<br />
(4) 5 x+1 +2· 5 −x =7<br />
(5) log x 4=log 4 x<br />
(6) log 2 (log x 81) = 2<br />
6. Maak <strong>de</strong> grafiek van y = f(x) =3 −x .<br />
79
11 De voornaamste begrippen uit <strong>de</strong> goniometrie<br />
11.1 Inleid<strong>in</strong>g<br />
Teken <strong>in</strong> het vlak, voorzien van een orthonormaal assenstelsel, een cirkel met straal<br />
1 en met <strong>de</strong> oorsprong als mid<strong>de</strong>lpunt.<br />
y<br />
1<br />
0<br />
1<br />
x<br />
Indien we naar <strong>de</strong>ze cirkel willen verwijzen, zullen we spreken van <strong>de</strong> goniometrische<br />
cirkel. Zij nu α een georiënteer<strong>de</strong> hoek :<br />
a<br />
We plaatsen <strong>de</strong> georiënteer<strong>de</strong> hoek α <strong>in</strong> het vlak, zodanig dat het hoekpunt samenvalt<br />
met <strong>de</strong> oorsprong en <strong>de</strong> eerste halfrechte samenvalt met <strong>de</strong> positieve x-as :<br />
y<br />
1<br />
0<br />
a<br />
a<br />
1<br />
x<br />
80
De georiënteer<strong>de</strong> hoek α wordt nu ondubbelz<strong>in</strong>nig voorgesteld door het punt a.<br />
Afspraak : <strong>in</strong> ’t vervolg bedoelen we met “hoek” steeds “georiënteer<strong>de</strong> hoek”.<br />
Bemerk dat <strong>de</strong> assen <strong>de</strong> goniometrische cirkel <strong>in</strong> vier kwadranten ver<strong>de</strong>len :<br />
y<br />
kwadrant II<br />
kwadrant III<br />
kwadrant I<br />
kwadrant IV<br />
x<br />
11.2 Meten van een hoek<br />
Meten van een hoek <strong>in</strong> gra<strong>de</strong>n<br />
We ver<strong>de</strong>len <strong>de</strong> cirkel <strong>in</strong> 360 gelijke <strong>de</strong>len die we gra<strong>de</strong>n noemen.<br />
We doorlopen <strong>de</strong> cirkel <strong>in</strong> positieve z<strong>in</strong> (tegenwijzerz<strong>in</strong>) :<br />
90°, 450°, ..., -270°, ...<br />
135°, ...<br />
45°, ...<br />
180°, 540°, ..., -180°, ...<br />
0°, 360°, 720°, ..., -360°, ...<br />
225°, ... 315°, ...<br />
270°, 630°, ..., -90°, ...<br />
Meten van een hoek <strong>in</strong> radialen<br />
Als men <strong>de</strong> straal (radius) tot lengte-eenheid kiest om <strong>de</strong> cirkel te meten dan is <strong>de</strong><br />
lengte van <strong>de</strong> cirkel gelijk aan 2πrad.<br />
Wedoorlopen<strong>de</strong>cirkel<strong>in</strong>positievez<strong>in</strong>:<br />
81
p , 5p , ..., 3p, ...<br />
2 2 2<br />
3p, ... p , ...<br />
4 4<br />
p, 3p, ..., -p, ... 0, 2p, 4p, ..., -2p, ...<br />
5p<br />
4<br />
, ... 7p<br />
4<br />
, ...<br />
, 7p , ..., p , ...<br />
2 2<br />
3p<br />
2<br />
1<br />
0<br />
Afspraak : we vermel<strong>de</strong>n <strong>de</strong> lengte-eenheid niet als <strong>de</strong>ze <strong>de</strong> radiaal is.<br />
Opmerk<strong>in</strong>gen<br />
• Maatgetallen die een geheel veelvoud van 360 ◦ (= 2πrad) van elkaar verschillen,<br />
dui<strong>de</strong>n <strong>de</strong>zelf<strong>de</strong> georiënteer<strong>de</strong> hoek aan. Zo is bijvoorbeeld 45 ◦ ↔<br />
−315 ◦ ↔ 405 ◦ ↔ ...↔ π 4 ↔−15π 4 ↔ ...<br />
• Bemerk dat we elk reëel getal kunnen opvatten als het maatgetal (<strong>in</strong> radialen)<br />
van een hoek.<br />
82
• Verband graad-radiaal:<br />
2π ↔ 360 ◦<br />
π ↔ 180 ◦<br />
π<br />
2<br />
↔ 90 ◦<br />
1 ↔ 360◦<br />
2π<br />
≈ 57◦ 18 <br />
11.3 Goniometrische getallen van een hoek / Goniometrische<br />
functies<br />
11.3.1 S<strong>in</strong>us van een hoek / S<strong>in</strong>usfunctie<br />
Def<strong>in</strong>itie<br />
y<br />
1<br />
s<strong>in</strong> a<br />
0<br />
a<br />
a<br />
1<br />
x<br />
-1<br />
We beschouwen <strong>de</strong> (georiënteer<strong>de</strong>) hoek α en het correspon<strong>de</strong>rend punt a op <strong>de</strong><br />
goniometrische cirkel.<br />
De y-coörd<strong>in</strong>aat van het punt a noemen we <strong>de</strong> s<strong>in</strong>us van <strong>de</strong> hoek α.<br />
83
Gevolgen van <strong>de</strong> <strong>de</strong>f<strong>in</strong>itie<br />
(1)<br />
α 0<br />
π<br />
2<br />
π<br />
3π<br />
2<br />
2π<br />
s<strong>in</strong> α 0 1 0 −1 0<br />
(2) −1 ≤ s<strong>in</strong> α ≤ 1<br />
(3) Het teken van <strong>de</strong> s<strong>in</strong>us <strong>in</strong> <strong>de</strong> verschillen<strong>de</strong> kwadranten :<br />
+ +<br />
- -<br />
Grafiek van y =s<strong>in</strong>x<br />
y<br />
+1<br />
p<br />
· · · ·<br />
-p p 0 p 3p 2p 5p<br />
2<br />
-1 2 2 2<br />
x<br />
Opgelet : x moet wor<strong>de</strong>n uitgedrukt <strong>in</strong> radialen.<br />
De s<strong>in</strong>usfunctie is periodiek met perio<strong>de</strong> 2π.<br />
Opdracht<br />
Gebruik een GRT om <strong>de</strong> grafiek van <strong>de</strong> s<strong>in</strong>usfunctie te plotten (Zoom/7:ZTrig).<br />
84
11.3.2 Cos<strong>in</strong>us van een hoek / Cos<strong>in</strong>usfunctie<br />
Def<strong>in</strong>itie<br />
De x-coörd<strong>in</strong>aat van het punt a noemen we <strong>de</strong> cos<strong>in</strong>us van <strong>de</strong> hoek α.<br />
y<br />
1<br />
a<br />
-1 0 cos a<br />
a<br />
1<br />
x<br />
Gevolgen van <strong>de</strong> <strong>de</strong>f<strong>in</strong>itie<br />
(1)<br />
α 0<br />
π<br />
2<br />
π<br />
3π<br />
2<br />
2π<br />
cos α 1 0 −1 0 1<br />
(2) −1 ≤ cos α ≤ 1<br />
(3) Het teken van <strong>de</strong> cos<strong>in</strong>us <strong>in</strong> <strong>de</strong> verschillen<strong>de</strong> kwadranten :<br />
- +<br />
- +<br />
(4) Grondbetrekk<strong>in</strong>g van <strong>de</strong> goniometrie : cos 2 α +s<strong>in</strong> 2 α =1<br />
(cf. stell<strong>in</strong>g van Pythagoras !)<br />
85
Hierbij is cos 2 α, respectievelijk s<strong>in</strong> 2 α, <strong>de</strong> notatie voor (cos α) 2 , respectievelijk<br />
(s<strong>in</strong> α) 2 .<br />
Voorbeeld<br />
cos 2 π π 2 +s<strong>in</strong>2 2 =02 +1 2 =1<br />
Grafiek van y =cosx<br />
y<br />
+1<br />
· · ·<br />
0<br />
· ·<br />
-p p p· · 3p 2p<br />
5p·<br />
·<br />
p<br />
3p<br />
2<br />
-1 2 2 2<br />
x<br />
De cos<strong>in</strong>usfunctie is periodiek met perio<strong>de</strong> 2π.<br />
Opdracht<br />
Gebruik een GRT om <strong>de</strong> grafiek van <strong>de</strong> cos<strong>in</strong>usfunctie te plotten (Zoom/7:ZTrig).<br />
11.3.3 Tangens van een hoek / Tangensfunctie<br />
Def<strong>in</strong>itie<br />
y<br />
a<br />
1<br />
0<br />
tan a<br />
x<br />
-1<br />
86
Gevolgen van <strong>de</strong> <strong>de</strong>f<strong>in</strong>itie<br />
(1)<br />
α 0<br />
π<br />
4<br />
π<br />
2<br />
3π<br />
4<br />
π<br />
5π<br />
4<br />
3π<br />
2<br />
7π<br />
4<br />
2π<br />
tan α 0 1 / −1 0 1 / −1 0<br />
(2) Het teken van <strong>de</strong> tangens <strong>in</strong> <strong>de</strong> verschillen<strong>de</strong> kwadranten :<br />
- +<br />
+ -<br />
Grafiek van y = tan x<br />
y<br />
3p·<br />
·-p p· ·<br />
0<br />
· p · p · 3p · 2p · 5p<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
x<br />
De tangensfunctie is periodiek met perio<strong>de</strong> π.<br />
87
Opdracht<br />
Gebruik een GRT om <strong>de</strong> grafiek van <strong>de</strong> tangensfunctie te plotten (Zoom/7:ZTrig).<br />
Eigenschappen<br />
(1) tan α = s<strong>in</strong> α<br />
cos α<br />
voor cos α = 0<br />
(2) De tangens van <strong>de</strong> hell<strong>in</strong>gshoek van een rechte is gelijk aan <strong>de</strong> richt<strong>in</strong>gscoëfficiënt<br />
van die rechte (<strong>in</strong> een orthonormaal assenstelsel)<br />
Verklar<strong>in</strong>g :<br />
y<br />
1<br />
y = ax<br />
a : y = ax + b<br />
0<br />
a<br />
a = tan a<br />
a x<br />
1<br />
α is <strong>de</strong> hell<strong>in</strong>gshoek van <strong>de</strong> rechte a<br />
evenwijdige rechten hebben <strong>de</strong>zelf<strong>de</strong> hell<strong>in</strong>gshoek.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
a : y = x +2 ⇒ rc a =1 ⇒ tan α =1 ⇒ α =45 ◦<br />
b : y = −x ⇒ rc b = −1 ⇒ tan β = −1 ⇒ β = 135 ◦<br />
c : y =1 ⇒ rc c =0 ⇒ tan γ =0 ⇒ γ =0 ◦<br />
88
11.3.4 Overige goniometrische getallen<br />
De volgen<strong>de</strong> goniometrische getallen komen sporadisch voor.<br />
Def<strong>in</strong>ities :<br />
cotangens : cotan α = cos α<br />
s<strong>in</strong> α<br />
voor s<strong>in</strong> α = 0<br />
secans : sec α =1/ cos α voor cos α = 0<br />
cosecans : cosec α =1/ s<strong>in</strong> α voor s<strong>in</strong> α = 0<br />
11.4 Opdrachten<br />
1. Gevraagd : duid op <strong>de</strong> goniometrische cirkel het (<strong>de</strong>) punt(en) aan van <strong>de</strong><br />
correspon<strong>de</strong>ren<strong>de</strong> hoek(en).<br />
(1) tan α = − 3 2<br />
(2) s<strong>in</strong> α =0, 7<br />
√<br />
2<br />
(3) cos α =<br />
2<br />
2. Bereken <strong>de</strong> overige goniometrische getallen (cos / s<strong>in</strong> / tan):<br />
(1) s<strong>in</strong> α = 12<br />
13 en 0 < α < π 2<br />
(2) cos α = 3 5 en 3π 2 < α < 2π<br />
(3) tan α = 7 24 en π < α < 3π 2<br />
3. Bewijs <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> gelijkhe<strong>de</strong>n :<br />
(1) cos 4 x − s<strong>in</strong> 4 x =cos 2 x − s<strong>in</strong> 2 x<br />
(2) s<strong>in</strong> 2 x =(1+cosx)(1 − cos x)<br />
(3)<br />
tan x − 1 s<strong>in</strong> x +cosx<br />
·<br />
s<strong>in</strong> x − cos x tan x +1 =1<br />
4. Bereken <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> uitdrukk<strong>in</strong>g. Maak eventueel gebruik van een GRT.<br />
−29π<br />
tan − s<strong>in</strong> 2π 4 3 +cos7π 6<br />
89
5. De volgen<strong>de</strong> tabel voor <strong>de</strong> goniometrische getallen van enkele veel voorkomen<strong>de</strong><br />
hoeken is een klassieker. Overtuig jezelf dat je <strong>de</strong> resultaten kan v<strong>in</strong><strong>de</strong>n m.b.v.<br />
een GRT.<br />
α 0 π/6 π/4 π/3 π/2<br />
s<strong>in</strong> α 0=<br />
√<br />
0<br />
2<br />
√<br />
1<br />
2 = 1 2<br />
√<br />
2<br />
2<br />
√<br />
3<br />
2<br />
1=<br />
√<br />
4<br />
2<br />
cos α 1=<br />
√<br />
4<br />
2<br />
√<br />
3<br />
2<br />
√<br />
2<br />
2<br />
√<br />
1<br />
2 = 1 2<br />
0=<br />
√<br />
0<br />
2<br />
tan α 0<br />
√<br />
3<br />
3<br />
1<br />
√<br />
3 /<br />
90
12 Limieten<br />
12.1 De verzamel<strong>in</strong>g IR<br />
Gegeven is een <strong>de</strong>elverzamel<strong>in</strong>g van IR.<br />
Soms bestaat er een getal dat groter (kle<strong>in</strong>er) of gelijk is aan alle elementen uit die<br />
<strong>de</strong>elverzamel<strong>in</strong>g.<br />
Voorbeeld : ∀x ∈]3, 4] geldt dat x ≤ 4.<br />
Dit is echter niet altijd het geval.<br />
Voorbeeld<br />
{2, 4, 6, 8, 10,...}<br />
Daarom brei<strong>de</strong>n we IR uit met <strong>de</strong> elementen plus-one<strong>in</strong>dig en m<strong>in</strong>-one<strong>in</strong>dig die we<br />
zullen noteren als +∞ en −∞.<br />
Def<strong>in</strong>itie<br />
IR = IR ∪ {−∞, +∞ } met ∀x ∈ IR : −∞
De rekenregels <strong>in</strong> IR wor<strong>de</strong>n uitgebreid als volgt :<br />
∀x ∈ IR : x +(+∞) =(+∞)+x =+∞<br />
x +(−∞) =(−∞)+x = −∞<br />
∀x ∈ IR 0 + : x · (+∞) =(+∞) · x =+∞<br />
x · (−∞) =(−∞) · x = −∞<br />
∀x ∈ IR 0 − : x · (+∞) =(+∞) · x = −∞<br />
x · (−∞) =(−∞) · x =+∞<br />
Bovendien :<br />
(+∞)+(+∞) =+∞<br />
(−∞)+(−∞) =−∞<br />
(+∞) · (+∞) =(−∞) · (−∞) =+∞<br />
(+∞) · (−∞) =(−∞) · (+∞) =−∞<br />
1<br />
∞ =0<br />
1<br />
→∞(onbepaaldheid !)<br />
0<br />
Ook <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> uitdrukk<strong>in</strong>gen zijn onbepaaldhe<strong>de</strong>n :<br />
0<br />
0 , ∞ ∞ , +∞−∞, 0 · ∞, 00 , 1 ∞ , ∞ 0<br />
Afspraak :Met∞ bedoelen we +∞ of −∞.<br />
92
12.2 Informele <strong>in</strong>voer<strong>in</strong>g van het limietbegrip<br />
Voorbeeld 1<br />
y<br />
f<br />
f(x)<br />
b<br />
f(x)<br />
x a x<br />
Als x na<strong>de</strong>rt tot a, na<strong>de</strong>rtf(x) totb.<br />
An<strong>de</strong>rs geformuleerd : voor x dicht bij a, maar verschillend van a, isf(x) dichtbij<br />
b. Wezeggen:<strong>de</strong>limiet van f(x) voorx gaan<strong>de</strong> naar a is b.<br />
Notatie : lim<br />
x→a<br />
f(x) =b<br />
x<br />
Voorbeeld 2<br />
f : IR → IR : x → 2x2 − 2x<br />
x − 1<br />
of f : IR → IR : x →<br />
2x(x − 1)<br />
x − 1<br />
dom f = IR\{1}<br />
y<br />
f<br />
2<br />
1<br />
1<br />
x<br />
Als x na<strong>de</strong>rt tot 1, na<strong>de</strong>rt f(x) tot 2.<br />
We zeggen : lim<br />
x→1<br />
f(x) =2.<br />
93
Merk op dat 1 /∈ dom f. Toch bestaat <strong>de</strong> limiet voor x → 1.<br />
Gebruik een GRT om<strong>in</strong>voorbeeld2eentabelmetfunctiewaar<strong>de</strong>ntecreëren.<br />
On<strong>de</strong>rzoek f(x) voorx → 1. Kies bijvoorbeeld 0.9, 0.99, 0.999, ... en 1.1, 1.01,<br />
1.001, ... als x waar<strong>de</strong>n. Let op <strong>de</strong> meld<strong>in</strong>g ‘ERROR’ als beeld van 1.<br />
Voorbeeld 3<br />
y<br />
f(2) = 4<br />
f<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1 2<br />
x<br />
Als x na<strong>de</strong>rt tot 2, na<strong>de</strong>rt f(x) tot 3.<br />
We zeggen : lim<br />
x→2<br />
f(x) = 3. Merk op dat 2 ∈ dom f. Toch is lim<br />
x→2<br />
f(x) = f(2).<br />
Voorbeeld 4<br />
f : IR → IR : x → 1<br />
(x − 2) 2 dom f = IR\{2} Als x na<strong>de</strong>rt tot 2, na<strong>de</strong>rt<br />
f(x) tot+∞.<br />
We zeggen : lim<br />
x→2<br />
f(x) =+∞.<br />
Volkomen analoog zeggen we :<br />
lim x→+∞ = 0<br />
lim x→−∞ = 0<br />
94
y<br />
1<br />
1 2<br />
x<br />
Voorbeeld 5<br />
y<br />
2<br />
1<br />
1 2 3<br />
x<br />
We zeggen : lim<br />
x→3<br />
f(x) bestaat niet.<br />
Indien echter x na<strong>de</strong>rt tot 3 langs rechts (dus neem x>3) dan na<strong>de</strong>rt f(x) tot2.<br />
We zeggen :<br />
lim f(x) =2<br />
x → > 3<br />
“rechterlimiet”<br />
Indien x na<strong>de</strong>rt tot 3 langs l<strong>in</strong>ks (dus neem x
Het is dui<strong>de</strong>lijk dat<br />
lim f(x)<br />
x→+∞<br />
= +∞<br />
lim f(x)<br />
x→−∞<br />
= −∞<br />
Voorbeeld 6<br />
f : IR → IR : x → x − 1<br />
x − 2<br />
dom f = IR\{2}<br />
y<br />
2<br />
1<br />
-1<br />
1 2<br />
3 4 5<br />
x<br />
lim f(x) bestaat niet<br />
x→2<br />
lim<br />
x → > 2 f(x) =+∞<br />
lim f(x) =−∞<br />
x → < 2<br />
96
lim f(x) =1<br />
x→+∞<br />
f(x) =1<br />
lim<br />
x→−∞<br />
lim<br />
x→4 f(x) =f(4) = 3 2<br />
Opdracht<br />
Gebruik een GRT om <strong>in</strong> <strong>de</strong> voorbeel<strong>de</strong>n 4 en 6 <strong>de</strong> vermel<strong>de</strong> limieten te verifiëren.<br />
Creëer hiervoor tabellen.<br />
Gebruik vervolgens een GRT voor een grafische controle van <strong>de</strong> vermel<strong>de</strong> limieten.<br />
We zullen niet <strong>in</strong>gaan op <strong>de</strong> formele <strong>de</strong>f<strong>in</strong>ities van limiet van een functie <strong>in</strong> een<br />
punt.<br />
12.3 Limietstell<strong>in</strong>gen<br />
1. Enkele belangrijke limieten<br />
(a) lim<br />
x→a<br />
(mx + n) =ma + n<br />
(m, n ∈ IR)<br />
y<br />
f(x)<br />
f(a)<br />
f(x)<br />
y = mx + n<br />
x a x<br />
x<br />
97
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
lim (3x − 4) = 3(−2) − 4=−10<br />
x→−2<br />
lim (3x − 4) = 3(+∞) − 4=+∞<br />
x→+∞<br />
lim (−4) = −4<br />
x→−∞<br />
lim(−4) = −4<br />
x→3<br />
(b)<br />
1<br />
lim<br />
x→+∞ x =0<br />
1<br />
lim<br />
x→−∞ x =0<br />
lim 1<br />
x → x = −∞<br />
< 0<br />
lim 1<br />
x → x =+∞<br />
> 0<br />
y<br />
1<br />
1<br />
x<br />
98
2. Stell<strong>in</strong>gen <strong>in</strong> verband met <strong>de</strong> limiet van een bewerk<strong>in</strong>g<br />
Indien bei<strong>de</strong> le<strong>de</strong>n van volgen<strong>de</strong> uitdrukk<strong>in</strong>gen ge<strong>de</strong>f<strong>in</strong>ieerdzijn<strong>in</strong>IR, kanmener<br />
<strong>de</strong> gelijkheid van aantonen.<br />
Deze eigenschappen blijven eveneens geldig bij beperk<strong>in</strong>g tot l<strong>in</strong>ker- of rechterlimieten.<br />
1. lim<br />
x→a<br />
rf = r lim<br />
x→a<br />
f<br />
(r ∈ IR)<br />
2. lim<br />
x→a<br />
(f + g) = lim<br />
x→a<br />
f +lim<br />
x→a<br />
g<br />
3. lim f · g = lim f · lim g<br />
x→a x→a x→a<br />
1<br />
4. lim<br />
x→a f = 1<br />
lim<br />
x→a f<br />
f<br />
lim f<br />
5. lim<br />
x→a g = x→a<br />
lim g<br />
x→a<br />
6. lim<br />
<br />
n<br />
f(x) = n lim f(x) (n ∈ IN 0 )<br />
x→a x→a<br />
7. lim<br />
x→a<br />
[f(x)] p = [lim<br />
x→a<br />
f(x)] p<br />
(p ∈ IR)<br />
8. lim[f(x)] g(x) = [lim f(x)] lim g(x)<br />
x→a<br />
x→a x→a<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
−x<br />
1) lim<br />
x→+∞ 5 = −1 5 lim x = −1 (+∞) =−∞<br />
x→+∞ 5<br />
2) lim (x + 1<br />
x → x ) = lim 1<br />
x + lim =0+(−∞) =−∞<br />
< 0 x → 0<br />
x → x<br />
< 0<br />
3) lim<br />
x→2<br />
((x − 1) · (x + 2)) = lim<br />
x→2<br />
(x − 1) · lim<br />
x→2<br />
(x +2)=1· 4=4<br />
4) lim<br />
x→+∞<br />
1<br />
2x +1 = 1 1<br />
=<br />
lim (2x +1) +∞ =0<br />
x→+∞<br />
99
3x − 2<br />
lim(3x − 2)<br />
5) lim<br />
x→2 x 2 +1 = x→2<br />
lim<br />
x→2 (x2 +1) = 4 5<br />
<br />
1<br />
x = 5<br />
6) lim<br />
x→−∞<br />
7) lim<br />
x→+∞<br />
5<br />
1<br />
lim<br />
x→−∞ x = 5√ 0=0<br />
<br />
3 (x3 +2x +1) 2 = 3 [ lim<br />
x→+∞ (x3 +2x +1)] 2 = 3 (+∞) 2 =+∞<br />
5x+1<br />
1<br />
x<br />
8) lim<br />
x→+∞ x<br />
<br />
=<br />
lim<br />
x→+∞<br />
<br />
1 lim<br />
5x+1<br />
x→+∞ x<br />
x<br />
<br />
=<br />
lim<br />
x→+∞<br />
<br />
1 lim (5+ 1<br />
x→+∞ x ) =0 5 =0<br />
x<br />
Opmerk<strong>in</strong>g<br />
De voorgaan<strong>de</strong> stell<strong>in</strong>gen bevatten een voorwaar<strong>de</strong> :<br />
“<strong>in</strong>dien <strong>de</strong> som, het product, het veelvoud ... ge<strong>de</strong>f<strong>in</strong>ieerd is <strong>in</strong> IR”.<br />
De limietstell<strong>in</strong>g van <strong>de</strong> optell<strong>in</strong>g kan men als volgt formuleren.<br />
⎧<br />
⎨<br />
lim f(x) + lim g(x) ∈ IR ⇒<br />
x→a x→a ⎩<br />
Het omgekeer<strong>de</strong> is echter geen stell<strong>in</strong>g.<br />
lim(f(x)+g(x)) bestaat<br />
x→a<br />
en lim(f(x)+g(x)) = lim<br />
x→a<br />
f(x) + lim g(x)<br />
x→a x→a<br />
Dit betekent dat, als lim f(x) + lim g(x) nietge<strong>de</strong>f<strong>in</strong>ieerd is <strong>in</strong> IR, menniet mag<br />
x→a x→a<br />
besluiten dat lim(f(x)+g(x)) niet bestaat. M.a.w. lim(f(x)+g(x)) kan bestaan,<br />
x→a x→a<br />
terwijl lim f(x) + lim g(x) nietge<strong>de</strong>f<strong>in</strong>ieerd is <strong>in</strong> IR.<br />
x→a x→a<br />
B.v. lim<br />
x→−∞ (x2 + x) = lim<br />
x→−∞ x2 + lim x → (+∞)+(−∞).<br />
x→−∞<br />
Deze laatste vorm is niet ge<strong>de</strong>f<strong>in</strong>ieerd <strong>in</strong> IR.<br />
We zullen echter ver<strong>de</strong>r aantonen dat<br />
lim<br />
x→−∞ (x2 + x) =+∞.<br />
3. Stell<strong>in</strong>g <strong>in</strong> verband met <strong>de</strong> limiet van een samengestel<strong>de</strong> functie<br />
Als lim f(x) =b en lim g(x) =g(b)<br />
x→a x→b<br />
dan lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(b)<br />
x→a x→a<br />
Voorbeeld<br />
lim<br />
x→+∞ log a<br />
x +1<br />
x<br />
=log a<br />
<br />
lim<br />
x→+∞<br />
<br />
x +1<br />
=log<br />
x<br />
a lim (1 + 1 <br />
x→+∞ x ) =log a 1=0<br />
100
4. Stell<strong>in</strong>g <strong>in</strong> verband met het bestaan van een limiet<br />
Veron<strong>de</strong>rstel dat f ge<strong>de</strong>f<strong>in</strong>ieerd is <strong>in</strong> een omgev<strong>in</strong>g van a ∈ IR.<br />
Opmerk<strong>in</strong>g<br />
lim f(x) =b<br />
x→a<br />
asa<br />
lim f(x) =b en<br />
x → < a<br />
(a ∈ IR)<br />
lim f(x) =b<br />
x → > a<br />
(l<strong>in</strong>ker- en rechterlimiet bestaan en zijn gelijk)<br />
Met een omgev<strong>in</strong>g van a bedoelen we een verzamel<strong>in</strong>g<br />
]a − δ,a+ δ[ <strong>in</strong>dien a ∈ IR (δ ∈ IR + 0 )<br />
]c, +∞] <strong>in</strong>dien a =+∞ (c ∈ IR)<br />
[−∞,c[ <strong>in</strong>dien a = −∞ (c ∈ IR)<br />
5. Limieten van exponentiële functies, logaritmische functies en<br />
goniometrische functies<br />
• a>1<br />
y<br />
lim<br />
x→+∞ ax =+∞<br />
lim<br />
x→−∞ ax =0<br />
1<br />
x<br />
101
• 0 0<br />
y<br />
1<br />
x<br />
102
• 0
Stell<strong>in</strong>g<br />
Als f ge<strong>de</strong>f<strong>in</strong>ieerdis<strong>in</strong>eenomgev<strong>in</strong>gvana (a ∈ IR) dangeldt:<br />
(limietwaar<strong>de</strong> gelijk aan functiewaar<strong>de</strong>)<br />
lim f(x) =f(a)<br />
x→a<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
(1) lim (3x +5)=3(+∞)+5=+∞ +5=+∞<br />
x→+∞<br />
1<br />
(2) lim<br />
x→−∞ x = 1<br />
−∞ =0<br />
(3) lim<br />
x→5<br />
7=7<br />
(4) lim tan x =tan π<br />
x→<br />
π<br />
4<br />
4 =1<br />
(5) lim log 2 x =log 2 16 = 4<br />
x→16<br />
Om lim<br />
x→a<br />
f(x) te berekenen zal men steeds <strong>de</strong> hoofdregel “limietwaar<strong>de</strong> is gelijk aan<br />
functiewaar<strong>de</strong>” toepassen. Dit leidt vaak tot vormen die niet ge<strong>de</strong>f<strong>in</strong>ieerd zijn <strong>in</strong> IR.<br />
Dit betekent dat <strong>de</strong> toepass<strong>in</strong>g van <strong>de</strong> stell<strong>in</strong>g faalt (oorzaak : a/∈ dom f) endat<br />
niet eens geweten is of <strong>de</strong> gevraag<strong>de</strong> limiet bestaat. We zeggen dat het on<strong>de</strong>rzoek<br />
tot een onbepaal<strong>de</strong> vorm geleid heeft. Via bijzon<strong>de</strong>re rekentechnieken zullen we er<br />
soms <strong>in</strong> slagen <strong>de</strong> gevraag<strong>de</strong> limiet te bepalen.<br />
We herhalen hier enkele van <strong>de</strong>ze rekentechnieken en stell<strong>in</strong>gen.<br />
Opmerk<strong>in</strong>g : Treffen we bij het berekenen van een limiet een onbepaal<strong>de</strong> vorm<br />
aan van het type 0 0 of ∞ , dan kan <strong>de</strong> onbepaaldheid dikwijls opgeheven wor<strong>de</strong>n<br />
∞<br />
door <strong>de</strong> stell<strong>in</strong>g van <strong>de</strong> l’Hôpital toe te passen. Ook an<strong>de</strong>re onbepaal<strong>de</strong> vormen<br />
(0 · ∞, 0 0 , 1 ∞ , ∞ 0 ) kunnen we via <strong>de</strong>ze weg on<strong>de</strong>rzoeken, maar dan moeten ze eerst<br />
omgezet wor<strong>de</strong>n tot het type 0 0 of ∞ ∞ . 104
Voor een behan<strong>de</strong>l<strong>in</strong>g van <strong>de</strong> stell<strong>in</strong>g van <strong>de</strong> L’Hôpital verwijzen we naar <strong>de</strong> cursus<br />
van het eerste jaar.<br />
1Deonbepaal<strong>de</strong>vorm 0 0<br />
(a) Rationale functies<br />
De limiet van een rationale functie <strong>in</strong> a waarbij zowel <strong>de</strong> teller als <strong>de</strong> noemer<br />
limiet nul hebben, v<strong>in</strong><strong>de</strong>n we door <strong>in</strong> teller en noemer factoren x − a af te<br />
zon<strong>de</strong>ren en te <strong>de</strong>len door x − a.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
2x 2 + x − 3<br />
1) lim<br />
→ 0<br />
x→1 x 2 − 1 0<br />
Dus lim<br />
x→1<br />
2x 2 + x − 3<br />
x 2 − 1<br />
2x 3 − 8x 2 +8x<br />
2) lim<br />
→ 0<br />
x→2 x 2 − 4x +4 0<br />
=lim<br />
x→1<br />
2x +3<br />
x +1 = 5 2<br />
2x 3 − 8x 2 +8x 2x 2 − 4x<br />
Dus lim<br />
= lim = lim 2x =4<br />
x→2 x 2 − 4x +4 x→2 x − 2 x→2<br />
(b) Irrationale functies<br />
De limiet van een irrationale functie <strong>in</strong> a waarbij f(x) een breuk is waarvan<br />
teller en noemer als limiet nul hebben, v<strong>in</strong>dt men als volgt :<br />
Rationaliseer teller en/of noemer, <strong>de</strong>el teller en noemer door x − a.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
1) lim<br />
x→1<br />
√ x − 1<br />
x − 1 → 0 0<br />
105
√ x − 1<br />
Dus lim<br />
x→1 x − 1<br />
= lim ( √ x − 1)( √ x +1)<br />
x→1 (x − 1)( √ x +1)<br />
x − √ x<br />
2) lim<br />
x→1 2 − √ x +3 → 0 0<br />
Dus lim<br />
x→1<br />
x − √ x<br />
2 − √ x +3 = lim<br />
x→1<br />
1<br />
= lim √ = 1<br />
x→1 x +1 2<br />
(x − √ x)(x + √ x)(2 + √ x +3)<br />
(2 − √ x +3)(x + √ x)(2 + √ x +3)<br />
(x 2 − x)(2 + √ x +3)<br />
= lim<br />
x→1 (4 − x − 3)(x + √ x) = lim x(x − 1)(2 + √ x +3)<br />
x→1 −(x − 1)(x + √ x)<br />
= − lim<br />
x→1<br />
x(2 + √ x +3)<br />
x + √ x<br />
= −2<br />
2. De onbepaal<strong>de</strong> vorm r 0 met r ∈ IR 0<br />
In dit geval on<strong>de</strong>rzoekt men <strong>de</strong> rechter- en l<strong>in</strong>kerlimiet.<br />
Indien <strong>de</strong>ze limieten ge<strong>de</strong>f<strong>in</strong>ieerd zijn <strong>in</strong> IR, dan zijn ze ofwel gelijk aan +∞ ofwel<br />
aan −∞. We verdui<strong>de</strong>lijken dit met enkele voorbeel<strong>de</strong>n.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
x 2 − x<br />
1) lim<br />
x→3 (x − 3)(2x − 1) → 6 0<br />
lim<br />
x → < 3<br />
lim<br />
x → > 3<br />
x 2 − x<br />
(x − 3)(2x − 1) = lim x 2 − x<br />
x → 2x − 1 · lim 1<br />
< 3 x → x − 3 = 6 (−∞) =−∞<br />
5<br />
< 3<br />
x 2 − x<br />
(x − 3)(2x − 1) = lim x 2 − x<br />
x → 2x − 1 · lim 1<br />
> 3 x → x − 3 = 6 (+∞) =+∞<br />
5<br />
> 3<br />
x 2 − x<br />
dus bestaat lim<br />
x→3 (x − 3)(2x − 1)<br />
niet <strong>in</strong> IR.<br />
106
−3<br />
2) lim<br />
x→−1 −3x 3 − 4x 2 + x +2 → −3<br />
0<br />
= lim<br />
x→−1<br />
3) lim<br />
x → > 3<br />
lim<br />
x → > 3<br />
4) lim<br />
x→<br />
π<br />
2<br />
lim<br />
x → <<br />
lim<br />
x → ><br />
−3<br />
(x +1) 2 (−3x +2) = lim<br />
x→−1<br />
x<br />
√ x − 3<br />
→ 3 0<br />
x 3<br />
x − 3 − 0 +<br />
1<br />
x − 3<br />
− / +<br />
L.L R.L<br />
−∞ +∞<br />
−3<br />
−3x +2· lim<br />
x→−1<br />
x<br />
1<br />
√ = lim x · lim √ =3· (+∞) =+∞<br />
x − 3 x − 3<br />
x → > 3 x → > 3<br />
tan x = lim<br />
x→<br />
π<br />
2<br />
π<br />
2<br />
π<br />
2<br />
tan x =<br />
tan x =<br />
s<strong>in</strong> x<br />
cos x → 1 0<br />
lim<br />
x → <<br />
lim<br />
x → ><br />
π<br />
2<br />
π<br />
2<br />
s<strong>in</strong> x ·<br />
s<strong>in</strong> x ·<br />
dus bestaat lim tan x niet.<br />
x→<br />
π<br />
2<br />
lim<br />
x → <<br />
lim<br />
x → ><br />
π<br />
2<br />
π<br />
2<br />
1<br />
cos x<br />
1<br />
cos x<br />
1<br />
= −3 =−∞<br />
(x +1)<br />
2<br />
5·(+∞)<br />
=1· (+∞) =+∞<br />
=1· (−∞) =−∞<br />
x<br />
π<br />
2<br />
cos x + 0 −<br />
1<br />
cos x<br />
+ / −<br />
L.L R.L<br />
+∞ −∞<br />
107
Verifieer <strong>de</strong> resultaten aan <strong>de</strong> hand van <strong>de</strong> grafiek van y =tanx.<br />
3. De limiet van een veeltermfunctie <strong>in</strong> ±∞<br />
De limiet van een veeltermfunctie <strong>in</strong> ±∞ is gelijk aan <strong>de</strong> limiet van <strong>de</strong> term met <strong>de</strong><br />
hoogste graad.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
1) lim<br />
x→−∞ (−2x3 − x + 5) = lim<br />
x→−∞ (−2x3 )=−2(−∞) 3 =+∞<br />
2) lim x(1 − x)(x −<br />
x→+∞ 2)2 = lim<br />
x→+∞ −x4 = −(+∞) 4 = −∞<br />
4. De limiet van een rationale functie <strong>in</strong> ±∞<br />
De limiet van een rationale functie <strong>in</strong> ±∞ is gelijk aan <strong>de</strong> limiet van het quotiënt<br />
van <strong>de</strong> hoogstegraadstermen <strong>in</strong> teller en noemer.<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
3x 4 − 6x 3 +1<br />
1) lim<br />
x→+∞ x 3 + x + √ 2 = lim 3x 4<br />
x→+∞ x = lim 3x =+∞<br />
3 x→+∞<br />
2x 2 − x +1<br />
2) lim<br />
x→−∞ −3x 2 +5 = lim 2<br />
x→−∞ −3 = −2 3<br />
x 3 − x 2 − 1<br />
3) lim<br />
x→+∞ 3 − x + x = lim x 3<br />
5 x→+∞ x = 5<br />
lim<br />
x→+∞<br />
1<br />
x 2 =0<br />
5. De limiet van een irrationale functie <strong>in</strong> ±∞ als f(x) een breuk is<br />
De limiet van een irrationale functie <strong>in</strong> ±∞ als f(x) een breuk is v<strong>in</strong><strong>de</strong>n we door<br />
<strong>in</strong> teller en noemer <strong>de</strong> hoogste macht van x vooraan te brengen en te vereenvoudigen.<br />
108
Opletten ! ⎧<br />
√ ⎨ +x als x>0<br />
x2 = |x| =<br />
⎩ −x als x0<br />
x6 = |x 3 | =<br />
⎩ −x 3 als x0<br />
x<br />
12<br />
= |x 3 | =<br />
⎩ −x 3 als x
4) lim<br />
x→−∞<br />
x<br />
= lim<br />
x→−∞<br />
4√<br />
x4 +5x − 1+7x<br />
−x<br />
1+ 4 5 − 1 +7x<br />
x<br />
= lim<br />
3 x 4<br />
x→−∞ 2x − 1<br />
2x − 1<br />
<br />
<br />
− 4 1+ 5 − 1 +7<br />
x 3 x 4<br />
x(2 − 1) = lim<br />
x→−∞<br />
x<br />
− 4 1+ 5 x 3 − 1 x 4 +7<br />
2 − 1 x<br />
=3<br />
12.5 Opdrachten<br />
Bereken <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> limieten.<br />
rechterlimiet.<br />
Maak zo nodig een on<strong>de</strong>rscheid tussen l<strong>in</strong>ker- en<br />
1. lim<br />
x→0<br />
x 2 − 4x +2<br />
x 2 − x − 4<br />
2. lim<br />
x→3<br />
x 2 − 4x +3<br />
x − 3<br />
3. lim<br />
x→2<br />
√ x +2− 2<br />
x − 2<br />
4. lim<br />
x→4<br />
x 3 − 7x 2 +14x − 8<br />
x 2 − 7x +12<br />
5. lim<br />
x→2<br />
√ x +2−<br />
√<br />
2x<br />
√ x − 2<br />
2<br />
6. lim<br />
x→1 1 − x − 3 <br />
2 1 − x 3<br />
7. lim<br />
x→5<br />
x 3 − 3x +2<br />
x 2 − 6x +5<br />
110
1<br />
8. lim<br />
x→0 x tan x<br />
9. lim<br />
x→10<br />
x √ x − 3<br />
(x − 10) 2<br />
10. lim<br />
x→∞<br />
2x 2 +3x +4<br />
x 2 +2x +5<br />
11. lim<br />
x→∞<br />
x(x − 1)(x − 2)(x − 3) 2<br />
12. lim<br />
x→∞<br />
<br />
x − 1<br />
4+x<br />
13. lim<br />
x→∞<br />
√<br />
x2 − 1<br />
2x +3<br />
√<br />
x2 +2− x<br />
14. lim<br />
x→∞ 4√<br />
x4 − 4x 2<br />
15. lim<br />
x→∞<br />
3 √ 1 − 8x 3<br />
x<br />
x +3 √ x<br />
16. lim<br />
x→∞ 2 √ x +2x<br />
17. lim<br />
x→<br />
π<br />
4<br />
1 − cos 2 x<br />
x s<strong>in</strong> 2x<br />
18. lim<br />
x→∞<br />
x 3 − 4<br />
2x 2 − 4x +6<br />
19. lim<br />
x→∞<br />
x 6 (x − 2) − x 5 (x 2 − 3)<br />
x +1<br />
20. lim √<br />
x→−1 x2 +2x +2− 1<br />
111
21. lim<br />
x→+∞ 3−x<br />
22. lim<br />
x→−∞ 3−x<br />
23. lim<br />
x→+∞ (x log 10 x)<br />
24. lim<br />
x→0<br />
log 5 x<br />
25. lim (√ x 2 − 1 − x) → +∞−∞onbepaaldheid.<br />
x→+∞<br />
H<strong>in</strong>t: vermenigvuldig teller en noemer met √ x 2 − 1+x.<br />
112
13 Asymptoten bij <strong>de</strong> grafiek van een functie<br />
13.1 Verticale en horizontale asymptoten<br />
Voorbeeld<br />
y = f(x) = x − 2<br />
x − 3<br />
y<br />
1<br />
1<br />
2 3<br />
x<br />
We zeggen : <strong>de</strong> rechte met vergelijk<strong>in</strong>g x = 3 is een verticale asymptoot (V.A.) ;<br />
<strong>de</strong> rechte met vergelijk<strong>in</strong>g y = 1 is een horizontale asymptoot (H.A.).<br />
Def<strong>in</strong>itie<br />
De rechte met vergelijk<strong>in</strong>g x = a (a ∈ IR) iseen<br />
verticale asymptoot van f<br />
lim<br />
x → a<br />
<<br />
asa<br />
f(x) =±∞ en/of<br />
lim<br />
x → a<br />
><br />
f(x) =±∞<br />
113
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
y<br />
y<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
y<br />
y<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
Opmerk<strong>in</strong>gen<br />
(1) Wanneer zowel <strong>de</strong> teller als <strong>de</strong> noemer veeltermen zijn, dan zijn <strong>de</strong> waar<strong>de</strong>n a<br />
<strong>in</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>f<strong>in</strong>itie voor V.A. <strong>de</strong> nulpunten van <strong>de</strong> noemer die geen nulpunten zijn<br />
van <strong>de</strong> teller.<br />
(2) In het algemeen zijn <strong>de</strong> kanshebbers voor <strong>de</strong> waar<strong>de</strong> a <strong>in</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>f<strong>in</strong>itie voor V.A.<br />
<strong>de</strong> (reële) randpunten van het dome<strong>in</strong> die niet tot het dome<strong>in</strong> behoren.<br />
114
Def<strong>in</strong>itie<br />
De rechte met vergelijk<strong>in</strong>g y = b (b ∈ IR) iseen<br />
horizontale asymptoot van f<br />
asa<br />
lim f(x) =b en/of lim f(x) =b.<br />
x→−∞ x→+∞<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
y<br />
y<br />
b<br />
b 1<br />
x<br />
x<br />
b 2<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n op het zoeken van V.A. en H.A.<br />
2x +1<br />
(1) y = f(x) =<br />
x − 1<br />
V.A. : x =1<br />
2x +1<br />
H.A. : lim f(x) = lim<br />
x→∞ x→∞ x − 1 = lim 2x<br />
x→∞ x =2<br />
y =2voor x → +∞ en x →−∞.<br />
x<br />
(2) y = f(x) =<br />
x 2 − 4x +3<br />
V.A. : x =3en x =1<br />
x<br />
H.A. : lim f(x) = lim<br />
x→∞ x→∞<br />
y =0voor x → +∞ en x →−∞.<br />
1<br />
(3) y = f(x) =<br />
x 2 + x +1<br />
V.A. : geen<br />
x 2 − 4x +3 = lim<br />
x→∞<br />
H.A. : y =0voor x → +∞ en x →−∞.<br />
x<br />
x 2 =0<br />
115
(4) y = f(x) = x2 − 2x<br />
x − 2<br />
V.A. : geen (Verklaar !)<br />
H.A. : lim f(x) =<br />
x→∞<br />
H.A.<br />
lim<br />
x→±∞<br />
x 2 − 2x<br />
x − 2 = lim x 2<br />
x→±∞ x =<br />
lim x = ±∞ /∈ IR dus geen<br />
x→±∞<br />
Merk op dat y = f(x) = x2 − 2x<br />
x − 2<br />
en als x = 2danf(x) =x<br />
=<br />
x(x − 2)<br />
x − 2<br />
met dom f = IR\{2}<br />
y<br />
1<br />
1 2<br />
x<br />
(5) y = f(x) =tanx<br />
dom f = IR\{ π + kπ|k ∈ Z}.<br />
2<br />
Bijgevolg zijn alle elementen van { π 2<br />
Bemerk dat<br />
+ kπ|k ∈ Z} kanshebbers voor a.<br />
lim<br />
x → π 2<br />
<<br />
lim<br />
x → 3π 2<br />
<<br />
tan x =+∞ en lim<br />
x → π 2<br />
><br />
tan x =+∞ en lim<br />
x → 3π 2<br />
><br />
tan x = −∞<br />
tan x = −∞<br />
enz... zodat<br />
V.A. :<br />
x = π 2<br />
x = − π 2<br />
x = 3π 2<br />
x = − 3π 2<br />
x = 5π 2<br />
x = − 5π 2<br />
enz...<br />
enz...<br />
116
H.A. : lim<br />
x→∞<br />
tan x bestaat niet <strong>in</strong> IR dus geen H.A.<br />
(6) y = f(x) =log 2 x<br />
V.A. : dom f = IR 0 + dus a = 0 is een kanshebber.<br />
We on<strong>de</strong>rzoeken lim<br />
x→a<br />
f(x).<br />
Welnu, lim<br />
x →> 0 f(x) =−∞ zodat x = 0 is een V.A. voor x → > 0.<br />
H.A. :<br />
lim f(x) bestaat niet <strong>in</strong> IR<br />
x→−∞<br />
lim f(x) =+∞ /∈ IR<br />
x→+∞<br />
dus geen H.A.<br />
Gevolgen van <strong>de</strong> <strong>de</strong>f<strong>in</strong>ities voor V.A. en H.A.<br />
(1) Bij <strong>de</strong> grafiek van een functie f kunnen meer<strong>de</strong>re V.A. voorkomen (zelfs<br />
one<strong>in</strong>dig veel).<br />
(2) Bij <strong>de</strong> grafiek van een functie f kunnen ten hoogste twee H.A. voorkomen,<br />
bijvoorbeeld een H.A. voor x → +∞ en een an<strong>de</strong>re H.A. voor x →−∞.<br />
(3) Bijeenbreukvantweeveeltermengeldt:<br />
grd T ≤ grd N dan precies één H.A.<br />
grd T>grd N dan geen H.A.<br />
(4) Een veeltermfunctie (met grd ≥ 1) heeft geen V.A. en geen H.A.<br />
117
13.2 Schu<strong>in</strong>e asymptoten<br />
y<br />
y=f(x)<br />
ax + b<br />
f(x)<br />
y = ax + b<br />
x<br />
x<br />
Def<strong>in</strong>itie<br />
De rechte met vergelijk<strong>in</strong>g y = ax + b<br />
van f asa<br />
Gevolg<br />
lim [f(x) − (ax + b)] = 0 en/of lim<br />
x→+∞<br />
(a ∈ IR 0 , b ∈ IR) iseenschu<strong>in</strong>e asymptoot<br />
[f(x) − (ax + b)] = 0.<br />
x→−∞<br />
Uit <strong>de</strong> <strong>de</strong>f<strong>in</strong>itie volgt dat men a en b als volgt kan berekenen :<br />
a =lim<br />
x→∞<br />
f(x)<br />
x<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
(a ∈ IR 0 ) b =lim<br />
x→∞<br />
[f(x) − ax]<br />
(b ∈ IR)<br />
Bereken <strong>de</strong> asymptoten van <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> functies :<br />
(1) y = f(x) = x2 − 1<br />
x<br />
V.A. : x =0<br />
H.A. : geen<br />
118
S.A. :<br />
f(x)<br />
a = lim<br />
x→∞ x<br />
= lim x 2 − 1<br />
=1∈ IR<br />
x→∞ x 2 0<br />
b =lim[f(x)−ax] = lim [ x2 − 1<br />
x 2 − 1 − x 2<br />
−x] = lim<br />
x→∞ x→∞ x<br />
x→∞ x<br />
Besluit : <strong>de</strong> rechte met vergelijk<strong>in</strong>g y = x is een S.A.<br />
y<br />
−1<br />
= lim<br />
x→∞ x<br />
=0∈ IR<br />
1<br />
1<br />
x<br />
(2) y = f(x) = √ x 2 − 1<br />
V.A. : geen (dom f =] −∞, −1] ∪ [1, +∞[ dus geen randpunten die niet tot<br />
het dome<strong>in</strong> behoren)<br />
H.A. :<br />
S.A. :<br />
lim f(x) = lim f(x) =+∞ /∈ IR dus geen H.A.<br />
x→±∞ x→±∞<br />
∗ voor x → +∞<br />
a =<br />
b =<br />
lim<br />
x→+∞<br />
fx)<br />
x = lim<br />
x→+∞<br />
lim [f(x) − ax] = lim<br />
x→+∞<br />
−1<br />
√ =0∈ IR<br />
x2 − 1+x<br />
√<br />
x2 − 1<br />
=1∈ IR 0<br />
x<br />
(√ x 2 − 1 − x) =<br />
x→+∞<br />
= lim<br />
x→+∞<br />
Besluit : y = x is S.A. voor x → +∞.<br />
lim<br />
x→+∞<br />
x 2 − 1 − x 2<br />
√<br />
x2 − 1+x<br />
119
∗ voor x →−∞<br />
a =<br />
√ −x<br />
f(x)<br />
lim<br />
x→−∞ x = lim<br />
x2 − 1<br />
= lim<br />
x→−∞ x x→−∞<br />
b = lim [f(x)−ax] = lim [√ x 2 − 1+x] =<br />
x→−∞ x→−∞<br />
Besluit : y = −x is S.A. voor x →−∞.<br />
<br />
1 − 1 x 2<br />
x<br />
lim<br />
x→−∞<br />
= −1 ∈ IR 0<br />
−1<br />
√ =0∈ IR<br />
x2 − 1 − x<br />
y<br />
1<br />
1<br />
x<br />
Gevolgen van <strong>de</strong> <strong>de</strong>f<strong>in</strong>itie voor S.A.<br />
(1) Bij <strong>de</strong> grafiek van een functie f kunnen ten hoogste twee S.A. voorkomen,<br />
bijvoorbeeld een S.A. voor x → +∞ en een an<strong>de</strong>re S.A. voor x →−∞.<br />
(2) Bij een breuk van twee veeltermen geldt : grd T =grdN + 1 dan heeft f<br />
precies één S.A.; <strong>in</strong> <strong>de</strong> an<strong>de</strong>re gevallen heeft f geen S.A.<br />
(3) Een veeltermfunctie (met grd ≥ 2) heeft geen S.A.<br />
120
(4) Wanneer men voor een functie f het aantal H.A. optelt met het aantal S.A.<br />
danv<strong>in</strong>dtmen2of1of0:<br />
+∞ kan ofwel een H.A. ofwel een S.A. opleveren;<br />
−∞ kan ofwel een H.A. ofwel een S.A. opleveren.<br />
13.3 Opdrachten<br />
Zoek <strong>de</strong> asymptoten van <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> functies<br />
1. f(x) = x2 − 2<br />
x +1<br />
2. f(x) =<br />
√<br />
x2 + x +1− 1<br />
x<br />
3. f(x) = 2x2 − 3x +5<br />
x 2 − 5x +4<br />
4. f(x) =<br />
<br />
3 (x − 2)<br />
2<br />
x +3<br />
5. f(x) = x − 1<br />
x 2 +3x<br />
6. f(x) = √ x 2 +2x − 3<br />
7. f(x) = x3 +1<br />
x 2<br />
8. f(x) = 2x2 − 2x +1<br />
x − 1<br />
121
De oefen<strong>in</strong>gen 9 t.e.m. 12 zijn bedoeld voor ‘gevor<strong>de</strong>r<strong>de</strong>n’. Je moet o.a. <strong>de</strong> regel<br />
van <strong>de</strong> l’Hôpital beheersen.<br />
9. f(x) = ln x<br />
x<br />
10. f(x) =e 1/x<br />
11. f(x) = bgs<strong>in</strong> x<br />
x<br />
12. f(x) = (x + √ x 2 +1)(x − 1)<br />
x − 3<br />
122
14 De natuurlijke exponentiële en logaritmische<br />
functies<br />
14.1 Het getal e<br />
<br />
Creëer een tabel met functiewaar<strong>de</strong>n voor f(x) = 1+<br />
x 1 x<br />
. Gebruik een GRT.<br />
<br />
Ga na dat, aangezien het grondtal <strong>in</strong> 1+<br />
x 1 x<br />
strikt positief moet zijn, dom f =<br />
] −∞, −1[∪]0, +∞[.<br />
<br />
x 1+<br />
x 1 x<br />
x<br />
1 2<br />
(tot op 4 <strong>de</strong>cimalen)<br />
2 2,25 -2 4<br />
3 2,3704 -3 3,375<br />
.<br />
10 2,5937 -10 2,868<br />
.<br />
100 2,7048 -100 2,732<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
<br />
1+ 1 x<br />
x<br />
1 000 2,7169 -1 000 2,7196<br />
.<br />
10 000 2,7181 -10 000 2,7184<br />
.<br />
1 000 000 000 2,7183 -1 000 000 000 2,7183<br />
.<br />
.<br />
(tot op 4 <strong>de</strong>cimalen)<br />
<br />
Men kan bewijzen dat lim 1+ 1 x <br />
en lim 1+<br />
x→+∞ x 1 x<br />
bestaan <strong>in</strong> IR en gelijk<br />
x→−∞ x<br />
zijn. Dat reële getal <strong>de</strong>f<strong>in</strong>iëren we als ‘het getal e’.<br />
123
Def<strong>in</strong>itie<br />
<br />
lim 1+ 1 x<br />
= e<br />
x→∞ x<br />
Opmerk<strong>in</strong>gen<br />
-In<strong>de</strong><strong>de</strong>f<strong>in</strong>itie wor<strong>de</strong>n <strong>in</strong> feite twee limieten opgeschreven:<br />
<br />
lim 1+ 1 x <br />
= e en lim 1+<br />
x→+∞ x 1 x<br />
= e<br />
x→−∞ x<br />
-In<strong>de</strong><strong>de</strong>f<strong>in</strong>itie gaat x →∞met x ∈ IR. Bij het maken van een illustratieve<br />
tabel moet dus niet noodzakelijk gekozen wor<strong>de</strong>n voor gehele x-waar<strong>de</strong>n.<br />
- e ≈ 2, 71828<br />
-Hetgetale is een irrationaal getal (e ∈ IR\IQ), d.w.z.<br />
- e is niet te schrijven als een breuk van gehele getallen;<br />
-alse <strong>de</strong>cimaal wordt genoteerd is er geen repetitie na <strong>de</strong> komma.<br />
- lim<br />
1+ 1 x<br />
‘vul <strong>in</strong>’<br />
−→ 1 ∞<br />
x→∞ x<br />
Toch is <strong>de</strong> limiet niet gelijk aan 1. De uitdrukk<strong>in</strong>g 1 ∞ is dus dui<strong>de</strong>lijk een<br />
onbepaaldheid.<br />
-Aanhetgetale kan een belangrijke economische <strong>in</strong>terpretatie gegeven wor<strong>de</strong>n.<br />
Het getal e ontstaat namelijk op een natuurlijke wijze bij “het pr<strong>in</strong>cipe van<br />
cont<strong>in</strong>u samengestel<strong>de</strong> <strong>in</strong>terest”.<br />
De volgen<strong>de</strong> eigenschap is soms handig.<br />
Eigenschap<br />
∀r ∈ IR<br />
lim<br />
1+ r x<br />
= e<br />
r<br />
x→∞ x<br />
124
Het bewijs (voor r ∈ IR 0 ) is een gewone bereken<strong>in</strong>g:<br />
<br />
lim 1+ r x<br />
= lim<br />
1+<br />
x→∞ x 1 x→∞<br />
x<br />
r<br />
x<br />
<br />
= lim 1+ 1<br />
x→∞<br />
x<br />
r<br />
<br />
=<br />
=<br />
<br />
lim<br />
x→∞<br />
<br />
lim x<br />
r →∞<br />
<br />
1+ 1 x<br />
r<br />
1+ 1 x<br />
r<br />
x<br />
r<br />
r<br />
x<br />
r<br />
r<br />
x<br />
r<br />
x →∞⇔ x r →∞<br />
r<br />
=<br />
<br />
lim<br />
y→∞<br />
<br />
1+ 1 y<br />
Substitutie: y = x r<br />
y r<br />
<strong>de</strong>f<strong>in</strong>itie getal e<br />
= e r<br />
Voorbeel<strong>de</strong>n<br />
1. lim<br />
1+ 3 x<br />
= e 3<br />
x→∞ x<br />
<br />
2. lim 1 − 1 x<br />
= e −1 = 1<br />
x→−∞ x<br />
e<br />
√ x<br />
2<br />
3. lim 1+ = e √ 2<br />
x→−∞ x<br />
Zoals wordt aangegeven door het volgen<strong>de</strong> overzicht blijven <strong>de</strong> klassieke rekenregels<br />
geldig.<br />
125
Overzicht<br />
Veron<strong>de</strong>rstel dat x, y ∈ IR<br />
e x · e y = e x+y<br />
e x<br />
e y = ex−y<br />
(e x ) y = e xy<br />
e −x = 1 e x<br />
e 0 =1<br />
14.2 De natuurlijke exponentiële functie<br />
De exponentiële functie f(x) =a x waarbij het grondtal a gelijk wordt genomen aan<br />
het getal e noemen we <strong>de</strong> natuurlijke exponentiële functie.<br />
f : IR → IR : x → e x<br />
Ook nu is dom f = IR en bld f = IR + 0 en is <strong>de</strong> functie stijgend (e >1).<br />
In <strong>de</strong> literatuur wordt soms ook exp(x) als notatie voor e x gebruikt.<br />
Enkele koppels:<br />
x -2 -1 0 1 2<br />
e x e −2 ≈ 0.1 e −1 ≈ 0.4 1 e ≈ 2.7 e 2 ≈ 7.4<br />
126
y<br />
y = e x<br />
1<br />
1<br />
x<br />
Gebruik een GRT om <strong>de</strong> grafiekvan<strong>de</strong>natuurlijkeexponentiëlefunctieteplotten.<br />
Kies bijvoorbeeld voor y ∈ [0, 8] en een orthonormaal assenstelsel (5:ZSquare).<br />
Bemerk dat<br />
lim<br />
x→+∞ ex =+∞<br />
lim<br />
x→−∞ ex =0<br />
14.3 De natuurlijke logaritmische functie<br />
De logaritmische functie f(x) =log a x waarbij het grondtal a gelijk wordt genomen<br />
aan het getal e noemen we <strong>de</strong> natuurlijke logaritmische functie en noteren we<br />
als f(x) =lnx.<br />
f : IR → IR : x → ln x<br />
Ook nu is dom f = IR + 0<br />
en bld f = IR.<br />
127
Enkele koppels:<br />
x e −2 ≈ 0.1 e −1 ≈ 0.4 1 e ≈ 2.7 e 2 ≈ 7.4<br />
ln x -2 -1 0 1 2<br />
y<br />
y = ln x<br />
1<br />
1<br />
x<br />
Gebruik een GRT om <strong>de</strong> grafiek van <strong>de</strong> natuurlijke logaritmische functie te plotten.<br />
Kies bijvoorbeeld voor x ∈ [0, 8] en een orthonormaal assenstelsel (5:ZSquare).<br />
Bemerk dat<br />
lim ln x =+∞<br />
x→+∞<br />
lim ln x = −∞<br />
x →0<br />
><br />
Vanzelfsprekend is <strong>de</strong> natuurlijke logaritmische functie <strong>de</strong> <strong>in</strong>verse functie van <strong>de</strong><br />
natuurlijke exponentiële functie. De grafiek van y =lnx is dan ook het spiegelbeeld<br />
t.o.v. <strong>de</strong> eerste bissectrice van <strong>de</strong> grafiek van y = e x .<br />
Omdat <strong>de</strong> natuurlijke logaritme een speciaal geval is van <strong>de</strong> logaritme met grondtal<br />
a, blijven <strong>de</strong> klassieke rekenregels en eigenschappen geldig zoals door het volgen<strong>de</strong><br />
overzicht wordt aangegeven.<br />
128
Overzicht<br />
ln x is enkel ge<strong>de</strong>f<strong>in</strong>ieerd voor x>0<br />
ln is een stijgen<strong>de</strong> functie<br />
ln 1 = 0<br />
ln e =1<br />
ln x = y ⇔ x = e y (x ∈ IR + 0 )<br />
e ln x = x (x ∈ IR + 0 )<br />
ln e x = x<br />
(x ∈ IR)<br />
ln(x · y) =lnx +lny (x, y ∈ IR<br />
<br />
0 + )<br />
x<br />
ln =lnx − ln y (x, y ∈ IR 0 + )<br />
y<br />
ln 1<br />
x<br />
= − ln x (x ∈ IR<br />
+<br />
0 )<br />
ln x r = r ln x<br />
log a x = ln x<br />
ln a = log x<br />
log a<br />
(x ∈ IR 0 + ,r ∈ IR)<br />
(x ∈ IR + 0 ,a∈ IR+ 0 \{1})<br />
a x = e x ln a (x ∈ IR, a ∈ IR + 0 )<br />
Er zijn geen eenvoudige formules voor ln(x + y) enln(x − y).<br />
De voorlaatste formule is handig om log a x te berekenen met behulp van een rekentoestel.<br />
De natuurlijke logaritme van x noemt men ook <strong>de</strong> Neperiaanse logaritme van x.<br />
14.4 Opdrachten<br />
1. Ga na dat <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> gelijkhe<strong>de</strong>n (met x, y, z ∈ IR + 0 )juistzijn.<br />
x<br />
<br />
a) ln x − 2=ln<br />
e 2<br />
b) ln x − ln y +lnz =ln<br />
xz<br />
y<br />
c) 3 + 2 ln x =ln(e 3 x 2 )<br />
d) 1 2 ln x − 3 <br />
<br />
1 x<br />
2<br />
2 ln − ln(x +1)=ln<br />
x<br />
x +1<br />
129
2. Vereenvoudig:<br />
1√e<br />
a) e ln x − ln e x d) ln<br />
g) ln √ e<br />
b) ln[x 4 e −x ] e) ln e 10 ln x2<br />
h) e<br />
c) e ln x2 −2lny<br />
f) e − ln x i) e 3ln2<br />
3. Schets <strong>de</strong> grafiek van f(x) =e −x (manueel of GRT).<br />
Vul <strong>in</strong>:<br />
lim<br />
x→+∞ e−x =<br />
lim<br />
x→−∞ e−x =<br />
4. Vul <strong>in</strong>: lim<br />
x→+∞<br />
1<br />
√<br />
2π<br />
e − 1 2 x2 = ... en<br />
lim<br />
x→−∞<br />
1<br />
√<br />
2π<br />
e − 1 2 x2 = ...<br />
Gebruik een GRT om <strong>de</strong> grafiek van <strong>de</strong> functie f(x) = 1 √<br />
2π<br />
e − 1 2 x2<br />
(met bijvoorbeeld x ∈ [−3, 3] en 0:ZoomFit).<br />
te plotten<br />
U ziet een voorbeeld van een Gausscurve. Verfieer <strong>de</strong> bereken<strong>de</strong> limieten.<br />
5. Gegeven is <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> functie:<br />
Bereken t 0 zodat N(t 0 ) = 500.<br />
N : IR + → IR : t → 1000<br />
1+999e −t<br />
Los <strong>de</strong> gebruikte vergelijk<strong>in</strong>g op zowel manueel als met een GRT (optie<br />
‘Solver’).<br />
1000<br />
6. Gegeven is y = f(x) =<br />
(k ∈ IR)<br />
1 + 999e−k.1000.x 1<br />
Bovendien is gegeven dat<br />
10 , 20 ∈ f.<br />
Bereken k (antwoord op 4 <strong>de</strong>cimalen).<br />
Los <strong>de</strong> gebruikte vergelijk<strong>in</strong>g op zowel manueel als met een GRT (optie<br />
‘Solver’).<br />
130
7. Veron<strong>de</strong>rstel dat V (t) =20− 20e −kt (k ∈ IR).<br />
Bovendien is gegeven dat V (2) = 4.<br />
Bereken V (10).<br />
Los <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g om k te berekenen zowel manueel op als met een GRT<br />
(optie ‘Solver’).<br />
8. Veron<strong>de</strong>rstel dat Q(t) =Q 0 e kt (Q 0 ,k ∈ IR).<br />
Bovendien is gegeven dat Q(5568) = Q 0<br />
2 .<br />
Bereken t 1 zodat Q(t 1 )=0, 1Q 0 .<br />
9. Bereken <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> limieten steunend op lim<br />
1+ r x<br />
= e r . Veron<strong>de</strong>rstel<br />
x→∞ x<br />
dat a, b ∈ IR.<br />
a) lim<br />
1+ 1<br />
x→∞ x<br />
b) lim<br />
x→∞<br />
1+ a x<br />
c) lim<br />
x→∞<br />
<br />
x<br />
x +1<br />
ax<br />
xb<br />
d) lim<br />
x→0<br />
(1 + ax) b x<br />
x+1<br />
10. Gegeven y = a · b cx (met a, b, c ∈ IR, a>0, b>0enb = 1,c = 0).<br />
Ga na dat ln y een eerstegraadsfunctie is <strong>in</strong> x.<br />
131
Oploss<strong>in</strong>gen<br />
1.6. 1. −1;<br />
y<br />
x − y ; 1<br />
a − b ;<br />
a − b<br />
a + b ; 4; + a 2 +1<br />
−a4 ;<br />
a 2 +1<br />
4(5 − x)<br />
5<br />
2. a)<br />
1<br />
x − y<br />
b)<br />
6x +2<br />
(x +1)(x +2)(x − 3)<br />
c)<br />
2<br />
1 − a 2 d)<br />
6a 2 +2<br />
a 4 − 1<br />
e) 3 f)<br />
a n + b n<br />
a m + b m<br />
g)<br />
a − b<br />
a + b<br />
h)<br />
1<br />
b<br />
i) ab j) 1<br />
k)<br />
a<br />
b<br />
l)<br />
a(a 2 − 2a +3)<br />
a 2 +1<br />
m) −6a 2 n)<br />
(a + b) 2<br />
(a − b) 2<br />
3. a) 8x 3 − 48x 2 +96x − 64<br />
b) −x 3 − 8x 2 − 21x − 12<br />
c) 1 + x 2 + x 4 +2x +2x 2 +2x 3<br />
4. Q(x) =3x 3 − 2x 2 +4x − 13; R(x) =18<br />
Q(x) =x 2 + x − 6; R(x) =0<br />
Q(a) =3a 4 − 6a 3 +5a 2 − a − 8; R =36<br />
132
Q(x) =x 6 +3yx 5 +9y 2 x 4 +27y 3 x 3 +72y 4 x 2 +216y 5 x+650y 6 ; R =1946y 7<br />
Q(x) =x 3 + 5 2 x2 + 15<br />
4 x − 17<br />
8 ; R = 31 8<br />
5. p = −3<br />
p =1<br />
6. a =4enb =2<br />
a =4enb =11<br />
7. a) x 2 (x − 4)<br />
b) −(x + y)(2a +7)<br />
c) (x +1)(x − 1)(x 2 + x +1)<br />
d) (x − y − 2)(x + y +2)<br />
e) (4a − 5b)(16a 2 +20ab +25b 2 )<br />
f) (x 4 +4) 2<br />
g) 2(5a +2b 2 ) 3<br />
h) (3a − ax + 1)(3a + ax − 1)<br />
i) (x +1)(x 4 + x 2 +1)<br />
j) (x − 1)(4x +1)<br />
k) −(x − 7)(x +2)<br />
l) (x +3)(x − 8)(x +5)<br />
2.3. 1.<br />
a) 28 e) 30<br />
b) 17 f) 38<br />
c) −2 g) 12<br />
d) 56<br />
133
2. a)<br />
91<br />
3<br />
b) 26<br />
3. De bewer<strong>in</strong>g is niet waar.<br />
4. a) a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3<br />
b) nb<br />
c) −3a + Y 1 + Y 2 + Y 3<br />
d) −a + Y 1 + Y 2 + Y 3<br />
e) 137<br />
60<br />
f) 52<br />
5<br />
5.<br />
30 35<br />
96 1<br />
5040 8<br />
90 n<br />
1<br />
140<br />
10<br />
3 628 800 125<br />
6.<br />
1<br />
n +1<br />
(2n +1) (3n +1)(3n + 2)(3n +3)<br />
1<br />
(2n)(2n +1)<br />
2<br />
(n +1)(n +2)...(2n)<br />
(2n + 1)(2n +2)<br />
1<br />
(2n + 2)(2n +3)<br />
1<br />
3n<br />
[(n − 1)!] 2<br />
134
3.5. 1. a) −60 b) 25 7<br />
c) 3 5<br />
d) vals<br />
2.<br />
a) 2 b)<br />
3(a + b)<br />
2<br />
3(a − b)<br />
;<br />
2<br />
c) 4 d) 3a ; −a<br />
e) 3; 0 f) ±1; ±3<br />
g) ±a; ± 1 a<br />
h)<br />
−1 − √ 17<br />
; −1+√ 17<br />
2 2<br />
3. a) 5<br />
b) 361<br />
4.5. 1. a) x =1,y =2<br />
b) x = a + b, y = a − b<br />
c) x = 1 2 , y = 2 3 , z = 3 4<br />
d) x 1 =8,x 2 =4,x 3 =2<br />
2. a) x =2,y =4,z =1<br />
b) x =3,y =5,z =8<br />
5.3 1. a) IR\{8}<br />
b) −3<br />
2<br />
2. a) IR<br />
b) 0<br />
3. a) f −1 : IR → IR : x → y =(x − 1) 3<br />
135
) −1<br />
c) 1<br />
6.5. 1.<br />
2.<br />
1<br />
3 , 0 <br />
;(0, 0); geen snijpunt met X-as.<br />
1<br />
2 2<br />
, 1 1<br />
;<br />
3 , 2 ;(−2, 2)<br />
3<br />
3. a)<br />
x<br />
7<br />
5<br />
y + 0 −<br />
x 0<br />
b)<br />
y − 0 +<br />
c) 1e geval : m>0<br />
2e geval : m
7. a)<br />
− 1 <br />
3 , 0 en (1, 0)<br />
b)<br />
<br />
−3+ √ <br />
13 −3 − √ <br />
13<br />
, 0 en<br />
, 0<br />
2<br />
2<br />
c) (0, 0) en (−4, 0)<br />
d) geen snijpunt met x-as<br />
e) (0, 0)<br />
3<br />
f)<br />
2 , 0<br />
8. a)<br />
3 − √ 5 3+ √ 5<br />
x<br />
2<br />
2<br />
y + 0 − 0 +<br />
b)<br />
√ √<br />
2 2<br />
t −<br />
2 2<br />
y − 0 + 0 −<br />
c)<br />
x<br />
y +<br />
d)<br />
q − 1 3<br />
p + 0 +<br />
9. (1, 1) en (−1, −1)<br />
10. (0, −1)<br />
137
7.4.<br />
1. a : y = −3x − 5 a : y = x +1<br />
b : y =2x +6 b : y = −3x<br />
c : y =4 c : y =3x − 9<br />
d : y = x d : x =2<br />
e : y = −2x − 13 e : y = − 3 2 x +6<br />
f : y = 5 2 x − 31 2<br />
f : y = 6 5 x + 1 15<br />
3. y = −4x<br />
6. a) −1 b)geen c)0<br />
8.4. 1) x< 55<br />
73<br />
2) x< 2 5<br />
of x>2<br />
3) x ≤−2of2≤ x ≤ 3<br />
4) 1 ≤ x ≤ 3<br />
5) 3 ≤ x ≤ 4<br />
6) x
5) 1 3 ≤ x ≤ 1<br />
6) x5<br />
7) −3
3)<br />
1.<br />
1<br />
5<br />
3.<br />
√<br />
8 5. 2<br />
2.<br />
4√<br />
2 4.<br />
1<br />
1000<br />
6.<br />
1<br />
√<br />
3<br />
5. 1) x =3ofx = − 1 2<br />
2) x =<br />
log 0, 0719<br />
log 0, 86<br />
≈ 17, 454<br />
3) x = 3 2<br />
4) x =0ofx = log 2 − 1 ≈−0, 569<br />
log 5<br />
5) x =4ofx = 1 4<br />
6) x =3<br />
11.4. 2. 1) cos α = 5 13<br />
tan α = 12<br />
5<br />
2) s<strong>in</strong> α = − 4 5<br />
tan α = − 4 3<br />
3) s<strong>in</strong> α = − 7 25<br />
4. −1 − √ 3<br />
cos α = − 24<br />
25<br />
140
12.5.<br />
1. − 1 2<br />
13.<br />
1<br />
2 / − 1 2<br />
2. 2 14. 0/2<br />
3.<br />
1<br />
4<br />
15. −2<br />
4. 6 16.<br />
5. 0 17.<br />
1<br />
2<br />
2<br />
π<br />
6. − 1 2<br />
18. +∞/ −∞<br />
7. −∞/ + ∞ 19. −∞<br />
8. +∞ 20. −∞/ + ∞<br />
9. +∞ 21. 0<br />
10. 2 22. +∞<br />
11. +∞/ −∞ 23. +∞<br />
12. 1 24. −∞<br />
141
13.3.<br />
1. x = −1 y = x − 1<br />
2. y =1 y = −1<br />
3. x =1 x =4 y =2<br />
4. x = −3 y =0<br />
5. x =0 x = −3 y =0<br />
6. y = x +1 y = −x − 1<br />
7. x =0 y = x<br />
8. x =1 y =2x<br />
9. V.A. : x =0 voorx →<br />
><br />
0<br />
H.A. : y =0 voorx → +∞<br />
10. V.A. : x =0 voorx →<br />
><br />
0<br />
H.A. : y =1 voorx → ±∞<br />
11. geen asymptoten<br />
12. V.A. : x =3<br />
H.A. : y =0 voorx →−∞<br />
S.A. : y =2x +4 voorx → +∞<br />
14.4 2. a) 0<br />
b) 4 ln x − x<br />
c) x2<br />
y 2<br />
d) − 1 2<br />
142
e) 10<br />
f) 1 x<br />
g) 1 2<br />
h) x 2<br />
i) 8<br />
3. 0/ + ∞<br />
4. 0/0<br />
5. ln 999 ≈ 6.9<br />
1 999<br />
6. ln<br />
100 49 ≈ 0.0301<br />
7. V (10) ≈ 13, 45<br />
8. k ≈−0, 000 124 t 1 ≈ 18 500<br />
9. a) e a<br />
b) e ab<br />
c) 1 e<br />
d) e ab<br />
10. ln y =lna +(c ln b)x<br />
143
Appendix: TI-84 Plus: een kennismak<strong>in</strong>g<br />
DEL-toets : teken on<strong>de</strong>r cursor verwij<strong>de</strong>ren<br />
CLEAR-toets : <strong>in</strong>voerregel wordt gewist; <strong>in</strong>dien cursor op lege regel : alles op<br />
zichtbare ge<strong>de</strong>elte van het basisscherm wordt leeg gemaakt<br />
[2nd][quit] : menu verlaten (zon<strong>de</strong>r een keuze te maken)<br />
[2nd][ans] : om laatste antwoord terug te roepen (om bv te gebruiken <strong>in</strong> volgen<strong>de</strong><br />
bereken<strong>in</strong>g)<br />
[2nd][entry] : om laatste <strong>in</strong>voerregel terug te roepen (om bv iets te corrigeren)<br />
[2nd][entry][2nd][entry] : om voorlaatste <strong>in</strong>voerregel terug te roepen, enz...<br />
terug zetten op fabrieks<strong>in</strong>stell<strong>in</strong>gen : [2nd][mem] / kies 7: reset / enter / kies 2:<br />
<strong>de</strong>faults / enter / kies 2: reset /enter<br />
’kiezen’ : ofwel keuze maken met pijltjestoetsen en dan enter, ofwel gepaste cijfer of<br />
letter tikken, dus zon<strong>de</strong>r enter<br />
Zoek <strong>de</strong> waar<strong>de</strong> van 2x 3 − 9x 2 +7x +6 voor x =0.5, vervolgens voor<br />
x =0.25<br />
tik .5 / [sto] / [X,T,θ,n] / enter<br />
nu is <strong>de</strong> waar<strong>de</strong> 0.5 opgeslagen <strong>in</strong> <strong>de</strong> variabele X<br />
tik <strong>de</strong> veelterm (geen vermenigv.-teken nodig, voor x gebruik je toets [X,T,θ,n]) /<br />
enter Antwoord :7.5<br />
[2nd][entry][2nd][entry] / vervang .5 door.25 / enter / [2nd][entry][2nd][entry] /<br />
enter<br />
Antwoord :7.218 75<br />
144
Zoek <strong>de</strong> oploss<strong>in</strong>gen van <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g 2x 3 − 9x 2 +7x +6=0<br />
[math] / kies 0: solver / ga naar eerste regel / tik <strong>de</strong> veelterm / enter<br />
[alpha][solve] je ziet X = −0.499 999 ... als geen schatt<strong>in</strong>g (startwaar<strong>de</strong>) werd<br />
<strong>in</strong>gevoerd wordt <strong>de</strong> oploss<strong>in</strong>g het dichtst bij 0 gegeven<br />
geef nieuwe schatt<strong>in</strong>g <strong>in</strong> na X = ... bv 1 [alpha][solve] je ziet X =2.000 000 ...<br />
geef nieuwe schatt<strong>in</strong>g <strong>in</strong> bv 4 [alpha] [solve] je ziet X =2.999 999 ...<br />
De oploss<strong>in</strong>gen zijn x 1 = −0, 5 x 2 =2 x 3 =3<br />
Een antwoord (bereken<strong>de</strong> oploss<strong>in</strong>g) naar basisscherm overbrengen :<br />
[2nd][quit] / [2nd][rcl] / X / enter<br />
Maak een grafiek van <strong>de</strong> functie f(x) =2x 3 − 9x 2 +7x +6<br />
De toetsen op <strong>de</strong> eerste rij bovenaan zijn nu belangrijk.<br />
[Y=] / tik 2x 3 − 9x 2 +7x +6(nabvY 1 =)<br />
[w<strong>in</strong>dow] / tik −1 bijXm<strong>in</strong> =/tik3.5 bijXmax =<br />
[zoom] / kies 0: ZoomFit / [graph] (<strong>in</strong>dien nodig)<br />
De keuze ZoomFit laat toe het gebied voor x te kiezen. De grafiek wordt dan<br />
aangepast aan <strong>de</strong> maximale en m<strong>in</strong>imale y-waar<strong>de</strong> <strong>in</strong> dat gebied.<br />
Bij <strong>de</strong> keuze 6: ZStandaard is x [−10, 10] en y [−10, 10].<br />
Als je <strong>in</strong> [w<strong>in</strong>dow] Xm<strong>in</strong> =,Xmax =,Ym<strong>in</strong> =,Ymax = <strong>in</strong>vult, dan kan je [zoom]<br />
overslaan, dus onmid<strong>de</strong>llijk [graph].<br />
[trace] : om op <strong>de</strong> grafiek <strong>de</strong> cursor te verplaatsen (uitzetten : [clear])<br />
145
Grafiek van <strong>de</strong> functie f(x) =2x 3 − 9x 2 +7x +6on<strong>de</strong>rzoeken(numerieke<br />
bena<strong>de</strong>r<strong>in</strong>g)<br />
Functiewaar<strong>de</strong> berekenen : [2nd][calc] / kies 1: value / tik x-waar<strong>de</strong> / enter<br />
Nulpunt zoeken (bij tekenveran<strong>de</strong>r<strong>in</strong>g) : [2nd][calc] / kies 2: zero<br />
l<strong>in</strong>kergrens van gebied rond (bv kle<strong>in</strong>ste) nulpunt aangeven : met cursor <strong>in</strong> buurt<br />
van nulpunt zo dat y-waar<strong>de</strong> is neg. / enter<br />
analoog zo dat y-waar<strong>de</strong> is pos. / enter<br />
guess ? (startwaar<strong>de</strong>, niet noodzakelijk <strong>in</strong>vullen) / enter resultaat : nulpunt −0.5<br />
analoog voor <strong>de</strong> twee an<strong>de</strong>re nulpunten<br />
Lokaal maximum/m<strong>in</strong>imum zoeken : analoog<br />
Creëer een tabel met functiewaar<strong>de</strong>n voor f(x) =2x 3 − 9x 2 +7x +6<br />
met x [−2,...] en stapgrootte 0.1<br />
[Y=] / tik 2x 3 −9x 2 +7x+6 (na bv Y 1 =) / [2nd][tblset] / tik −2/tik.1 / [2nd][table]<br />
Als je na [2nd][tblset] kiest voor Indpnt (<strong>in</strong><strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt) : Ask (i.p.v. Auto) kan je <strong>in</strong><br />
[2nd][table] zelf geschikte x-waar<strong>de</strong>n <strong>in</strong>geven.<br />
Zoek <strong>de</strong> vergelijk<strong>in</strong>g van <strong>de</strong> rechte door (3, 5) en (4, 7) en teken <strong>de</strong>ze<br />
rechte<br />
[stat] / kies 1: edit / tik <strong>in</strong> L 1 -kolom <strong>de</strong> x-waar<strong>de</strong>n3en4/tik<strong>in</strong><strong>de</strong>L 2 -kolom <strong>de</strong><br />
y-waar<strong>de</strong>n 5 en 7<br />
[stat] / ga nr CALC / kies 4: L<strong>in</strong>Reg(ax+b) / [2nd]L 1 ,[2nd]L 2 /enterAntw :<br />
y =2x − 1<br />
[Y=] / [vars] / kies 5: statistics / ga naar EQ / kies 1: RegEQ / zie uitleg maken<br />
grafiek<br />
146
Stelsel van l<strong>in</strong>eaire vergelijk<strong>in</strong>gen oplossen<br />
Mogelijkheid 1<br />
tik [[1,2,3][4,5,6]] / enter<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
x +2y =3<br />
4x +5y =6<br />
je ziet <strong>de</strong> uitgebrei<strong>de</strong> matrix van het stelsel<br />
[2nd][matrix] / ga naar MATH / kies B: rref( je ziet rref( op basisscherm<br />
[2nd][ans] / enter ⎧ je ziet <strong>de</strong> canonieke trapvorm ⎧ van <strong>de</strong> matrix<br />
⎨ 1x +0y = −1 ⎨ x = −1<br />
het stelsel is nu :<br />
⎩ 0x +1y =2 ⎩ y =2<br />
Mogelijkheid 2<br />
[2nd][matrix] / ga naar EDIT / kies (bv) 1: [A]<br />
vul<strong>in</strong>:2enter/3enter/1enter/2enter/3enter/4enter/5enter/6enter<br />
[2nd][quit]<br />
nu is <strong>de</strong> matrix A ge<strong>de</strong>f<strong>in</strong>ieerd<br />
[2nd][matrix] / ga naar MATH / kies B: rref(<br />
[2nd][matrix] / kies 1: [A] 2x3 / enter<br />
je ziet rref( op basisscherm<br />
Enkele tips<br />
waar<strong>de</strong> /[sto] / tik letter of [X,T,θ,n] / enter : slaat die waar<strong>de</strong> op <strong>in</strong> <strong>de</strong> gekozen<br />
variabele (letter of [X,T,θ,n])<br />
[2nd][rcl] / tik letter of [X,T,θ,n] / enter : roept <strong>de</strong> huidige waar<strong>de</strong> vd variabele<br />
terug<br />
Met [trace] kan je <strong>de</strong> grafiek ook ’buiten het zichtbare venster’ volgen<br />
In [Y =] bv Y 3 = x 2 − 1welge<strong>de</strong>f<strong>in</strong>ieerd laten, maar niet <strong>in</strong> <strong>de</strong> grafiek : cursor op<br />
=-teken / enter (aan/uit pr<strong>in</strong>cipe)<br />
Faculteit : bv 5! tik 5 / [math] / ga naar PRB / kies 4: ! / enter<br />
147