Knopen

i) Als K 1 en K 2 equivalente geöriënteerde knopen zijn dan V K1 (t) = V K2 (t);
ii) V K (t) = 1 voor de triviale knoop K;
iii) Er geldt de schematische relatie:
1
t V K +
− tV K− = ( √ t − 1 √
t
)V K0 ,
waarbij de knoop K − (respectievelijk de knoop K 0 ) uit de knoop K + ontstaat door
één kruising van type + te vervangen door een van type − (respectievelijk van type
0), zie de figuur.
K + K − K 0
Het Jones-polynoom voldoet aan de regels i) en ii). Met een berekening volgt dat het
Jones-polynoom ook aan iii) voldoet. (Probeer dit zelf!) Dat polynoom is door de
regels i), ii) en iii) ook volledig bepaald. Daarmee kunnen we nu snel rekenen, Neem
bijvoorbeeld de knoop K + uit het rijtje van drie knopen hieronder
K + K − K 0
Het is niet moeilijk in te zien dit dit een vermomde triviale knoop is, evenals K − en dus
dat regel iii) zegt
1
t − t = (√ t − 1 √
t
)V K0 ,
waaruit volgt dat V K0 = −( √ t + 1/ √ t).
Het nut van dit polynoom is nu dat je ermee kunt laten zien dat vele knopen
of schakels echt verchillend zijn door gewoon het polynoom uit te rekenen. Maar we
kunnen er meer mee doen zoals in de volgende paragraaf zal blijken.
Het Jones-polynoom is een wezenlijke verfijning van een eerdere invariant, het
Alexanderpolynoom, die al in 1928 was gevonden door Alexander, met behulp van de
topologie. Het Alexander-polynoom A K (t) kan ook door axioma’s als voor het Jonespolynoom
worden gegeven. Het verschil met het Jonespolynoom zit in regel iii), die nu
luidt
iii)’ Er geldt de schematische relatie:
A K+ (t) − A K− (t) = (t 1/2 − t −1/2 )A K0 ,
Zo vinden we nu voor K = twee disjuncte cirkels dat A K = 0; voor de Hopfschakel
vinden we A K = t −1/2 − t 1/2 en voor de klaverbladknoop A K = t −1 − 1 + t. Conway
definieerde een variant C K (t) daarvan door naast regels i) en ii) als derde regel te nemen
C K+ (t) − C K− (t) = tC K0 .
Dit is dan een polynoom C K = c 0 + c 1 t + c 2 t 2 + . . . + c m t m in t. Het blijkt dat c 0 = 1
als het aantal componenten van de schakel K gelijk aan 1 is, en c 0 = 0 anders, en dat
c 1 het schakelgetal is als K uit precies 2 componenten bestaat en c 1 = 0 anders. Deze
11