Protocol ERWD vo (pdf) - Steunpunt Taal en Rekenen VO
Protocol ERWD vo (pdf) - Steunpunt Taal en Rekenen VO
Protocol ERWD vo (pdf) - Steunpunt Taal en Rekenen VO
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Protocol</strong> Ernstige Rek<strong>en</strong>Wiskunde-problem<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
Dyscalculie
<strong>Protocol</strong> Ernstige<br />
Rek<strong>en</strong>Wiskunde-problem<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> Dyscalculie<br />
<strong>VO</strong> <strong>en</strong> VSO<br />
Mieke van Gro<strong>en</strong>estijn<br />
Gerjan van Dijk<strong>en</strong><br />
Dolf Janson<br />
2012
© 2012, Koninklijke Van Gorcum BV, Postbus 43, 9400 AA Ass<strong>en</strong>.<br />
Behoud<strong>en</strong>s de in of kracht<strong>en</strong>s de Auteurswet gestelde uitzondering<strong>en</strong> mag niets uit deze uitgave word<strong>en</strong><br />
verveel<strong>vo</strong>udigd, opgeslag<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> geautomatiseerd gegev<strong>en</strong>sbestand, of op<strong>en</strong>baar gemaakt, in <strong>en</strong>ige <strong>vo</strong>rm<br />
of op <strong>en</strong>ige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnam<strong>en</strong> of op <strong>en</strong>ige andere manier,<br />
zonder <strong>vo</strong>orafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het mak<strong>en</strong> van reprografische<br />
verveel<strong>vo</strong>udiging<strong>en</strong> uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 h Auteurswet di<strong>en</strong>t m<strong>en</strong> de<br />
daar<strong>vo</strong>or wettelijk verschuldigde vergoeding<strong>en</strong> te <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong> aan de Stichting Reprorecht (Postbus 3060,<br />
2130 KB Hoofddorp www.reprorecht.nl). Voor het overnem<strong>en</strong> van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezing<strong>en</strong>,<br />
readers <strong>en</strong> andere compilatiewerk<strong>en</strong> (artikel 16 Auteurswet) kan m<strong>en</strong> zich w<strong>en</strong>d<strong>en</strong> tot Stichting<br />
PRO (Stichting Publicatie- <strong>en</strong> Reproductierecht<strong>en</strong> Organisatie, Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.<br />
stichting-pro.nl).<br />
NUR 120, 846<br />
ISBN 978 90 232 4972 6<br />
Foto op pagina 97 door Rutger van Hamersvelt<br />
Met medewerking van Parcival College te Groning<strong>en</strong><br />
Grafische verzorging: Koninklijke Van Gorcum, Ass<strong>en</strong>
Inhoud<br />
5<br />
Voorwoord 11<br />
De kern van de zaak 13<br />
Leeswijzer 15<br />
Sam<strong>en</strong>vatting 17<br />
Deel 1 Visie <strong>en</strong> organisatie 29<br />
Hoofdstuk 1 Aandacht <strong>vo</strong>or ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> 30<br />
1.1 Waarom aandacht <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het <strong>vo</strong>? 32<br />
1.2 Waarom is er e<strong>en</strong> <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2? 36<br />
1.3 Wie gaan werk<strong>en</strong> met dit protocol? 41<br />
Hoofdstuk 2 Visie <strong>en</strong> uitgangspunt<strong>en</strong> 42<br />
2.1 Visie op ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> 44<br />
2.2 Functionele gecijferdheid 46<br />
2.3 Uitgangspunt<strong>en</strong> van dit protocol 47<br />
Hoofdstuk 3 Rek<strong>en</strong>beleid 56<br />
3.1 Omgaan met on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>prestaties 58<br />
3.2 Configuraties van rek<strong>en</strong>onderwijs 58<br />
3.3 Organisatie 59<br />
3.4 Deskundigheid 60<br />
3.5 Sam<strong>en</strong>werking 60<br />
3.6 Informatie<strong>vo</strong>orzi<strong>en</strong>ing 61<br />
3.7 T<strong>en</strong> slotte 62<br />
Hoofdstuk 4 Checklist rek<strong>en</strong><strong>en</strong> 64<br />
4.1 Rek<strong>en</strong>beleid 66<br />
4.2 Inhoud van het rek<strong>en</strong>onderwijs 66<br />
4.3 Inrichting van het rek<strong>en</strong>onderwijs 66<br />
4.4 Bekwaamheid rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>didactiek 67<br />
4.5 Docum<strong>en</strong>taire informatie<strong>vo</strong>orzi<strong>en</strong>ing over rek<strong>en</strong><strong>en</strong> 67
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
6<br />
4.6 Communicatie bij (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong>/of dyscalculie 68<br />
4.7 Plaatsing van leerling<strong>en</strong> bij binn<strong>en</strong>komst in het eerste leerjaar 68<br />
4.8 Signalering van (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> 69<br />
4.9 Begeleiding bij (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie 69<br />
4.10 Begeleiding in categorie 1 70<br />
4.11 Begeleiding in categorie 2 70<br />
4.12 Begeleiding in categorie 3 71<br />
4.13 Traject ‘psychodiagnostisch onderzoek’ 72<br />
4.14 Vaststell<strong>en</strong> van dyscalculie <strong>en</strong> het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van e<strong>en</strong><br />
dyscalculieverklaring 73<br />
Deel 2 Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> 81<br />
Hoofdstuk 5 Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> 82<br />
5.1 Vier Hoofdlijn<strong>en</strong> bij ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> 84<br />
5.2 Hoofdlijn 1: verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming 86<br />
5.3 Hoofdlijn 2: verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van<br />
oplossingsprocedures 87<br />
5.4 Hoofdlijn 3: vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong> 87<br />
5.5 Hoofdlijn 4: flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong> 88<br />
5.6 De vier Hoofdlijn<strong>en</strong> bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> 88<br />
5.7 Inzet van IT bij het rek<strong>en</strong>onderwijs 89<br />
Hoofdstuk 6 Hoofdlijn 1: verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming 92<br />
6.1 Begrips<strong>vo</strong>rming 94<br />
6.2 Verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is aan rek<strong>en</strong>handeling<strong>en</strong> 94<br />
6.3 Ontwikkel<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> 97<br />
6.4 Ontwikkel<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>taal 99<br />
6.5 Sam<strong>en</strong>hang bij begrips<strong>vo</strong>rming als geheel 101<br />
6.6 Signalering bij begrips<strong>vo</strong>rming 102<br />
6.7 Begeleiding bij begrips<strong>vo</strong>rming 102<br />
Hoofdstuk 7 Hoofdlijn 2: verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van<br />
oplossingsprocedures 104<br />
7.1 Oplossingsprocedures 106<br />
7.2 Basisbewerking<strong>en</strong> 107<br />
7.3 Complexere bewerking<strong>en</strong> 108<br />
7.4 Hoofdrek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op papier 109<br />
7.5 Schatt<strong>en</strong> <strong>en</strong> precies rek<strong>en</strong><strong>en</strong> 111<br />
7.6 Werk<strong>en</strong> met de rek<strong>en</strong>machine 111<br />
7.7 Signalering bij oplossingsprocedures 113<br />
7.8 Begeleiding bij het verder ontwikkel<strong>en</strong> van oplossingsprocedures 114<br />
Hoofdstuk 8 Hoofdlijn 3: vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong> 116<br />
8.1 Oef<strong>en</strong><strong>en</strong> 118<br />
8.2 Automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> 122<br />
8.3 Vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong>: onderhoud<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> 125
Inhoud<br />
8.4 Signalering bij vlot (ler<strong>en</strong>) rek<strong>en</strong><strong>en</strong> 125<br />
8.5 Begeleiding bij vlot (ler<strong>en</strong>) rek<strong>en</strong><strong>en</strong> 125<br />
Hoofdstuk 9 Hoofdlijn 4: flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong> 126<br />
9.1 Flexibel toepass<strong>en</strong> 128<br />
9.2 Flexibiliser<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> 128<br />
9.3 Strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> 132<br />
9.4 Signalering bij flexibel toepass<strong>en</strong> 133<br />
9.5 Begeleiding bij flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong> 134<br />
7<br />
Deel 3 Afstemm<strong>en</strong> 135<br />
Hoofdstuk 10 Het Handelingsmodel 136<br />
10.1 De handelingstheorie 138<br />
10.2 Het Handelingsmodel 138<br />
10.3 Schakel<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> handelingsniveaus 140<br />
10.4 Verwoord<strong>en</strong>/communicer<strong>en</strong> <strong>en</strong> m<strong>en</strong>taal handel<strong>en</strong> 142<br />
10.5 De betek<strong>en</strong>is van het Handelingsmodel <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> 142<br />
10.6 Het Handelingsmodel als model <strong>vo</strong>or observatie (in de groep) 143<br />
10.7 Het Handelingsmodel als model <strong>vo</strong>or afstemming van de didactiek 146<br />
10.8 Het Handelingsmodel als model <strong>vo</strong>or begeleiding 149<br />
Hoofdstuk 11 Het Drieslagmodel 152<br />
11.1 Het Drieslagmodel als model <strong>vo</strong>or probleemoploss<strong>en</strong>d handel<strong>en</strong> 154<br />
11.2 Het Drieslagmodel als didactisch model 156<br />
11.3 Het Drieslagmodel als model <strong>vo</strong>or observatie <strong>en</strong> interv<strong>en</strong>tie 159<br />
11.4 Wat betek<strong>en</strong>t het Drieslagmodel <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>? 163<br />
Hoofdstuk 12 Sam<strong>en</strong>hang <strong>en</strong> afstemming tuss<strong>en</strong> beide modell<strong>en</strong> 166<br />
12.1 Sam<strong>en</strong>hang 168<br />
12.2 Leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> <strong>en</strong> de sam<strong>en</strong>hang met beide modell<strong>en</strong> 168<br />
12.3 De sam<strong>en</strong>hang in beeld 170<br />
12.4 Reflectie <strong>en</strong> onthoud<strong>en</strong> 171<br />
Hoofdstuk 13 Aandachtspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het signaler<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> 174<br />
13.1 Signaleringspunt<strong>en</strong> bij de vier Hoofdlijn<strong>en</strong> 176<br />
13.2 Aandachtspunt<strong>en</strong> t<strong>en</strong> aanzi<strong>en</strong> van het leerproces van de leerling 178<br />
13.3 Aandachtspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or reflectie door de leraar 179<br />
Deel 4 Begeleiding 181<br />
Hoofdstuk 14 Begeleiding <strong>en</strong> ondersteuning bij rek<strong>en</strong>onderwijs 182<br />
14.1 Rek<strong>en</strong>geschied<strong>en</strong>is van de leerling bij overgang po-<strong>vo</strong> 184<br />
14.2 Continuïteit in begeleiding van po naar <strong>vo</strong> 186<br />
14.3 Begeleiding in het <strong>vo</strong> 187<br />
14.4 Roll<strong>en</strong>, tak<strong>en</strong> <strong>en</strong> deskundighed<strong>en</strong> 189
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
14.5 De leerling 193<br />
14.6 Vastlegg<strong>en</strong> van <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> <strong>en</strong> evaluatie 194<br />
8<br />
Hoofdstuk 15 Begeleidingscategorie 1 196<br />
15.1 Verschill<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> het <strong>vo</strong> 198<br />
15.2 De leerling<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 1 198<br />
15.3 Hanter<strong>en</strong> van doel<strong>en</strong> 200<br />
15.4 Opzet van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>les 200<br />
15.5 Instructie<strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> 202<br />
15.6 Oef<strong>en</strong><strong>en</strong> 205<br />
15.7 Reflectie 206<br />
15.8 Evaluatie 206<br />
Hoofdstuk 16 Begeleidingscategorie 2 208<br />
16.1 De leerling<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 2 210<br />
16.2 Afstemming 210<br />
16.3 Resultaat van e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek 211<br />
16.4 Doel<strong>en</strong> op lange <strong>en</strong> op korte termijn 211<br />
16.5 Leerstofinhoud 212<br />
16.6 Leeractiviteit<strong>en</strong> 214<br />
16.7 Uit<strong>vo</strong>ering (planning <strong>en</strong> organisatie) 214<br />
16.8 Evaluatie van het individuele handelingsplan 215<br />
16.9 Ver<strong>vo</strong>lgstapp<strong>en</strong> na de begeleiding in categorie 2 215<br />
Hoofdstuk 17 Begeleidingscategorie 3 216<br />
17.1 De leerling<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 3 218<br />
17.2 Het belang van psychodiagnostisch onderzoek 219<br />
17.3 Adviez<strong>en</strong> vanuit het psychodiagnostisch onderzoek 220<br />
17.4 Het individuele handelingsplan 221<br />
17.5 Evaluatie van begeleidingscategorie 3 221<br />
17.6 Ver<strong>vo</strong>lgactiviteit<strong>en</strong> 222<br />
Deel 5 Onderzoek 223<br />
Hoofdstuk 18 Diagnostiek in begeleidingscategorie 2<br />
(diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek) 224<br />
18.1 Welke leerling komt in aanmerking? 226<br />
18.2 E<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>onderzoek 226<br />
18.3 K<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de diagnostiek bij het rek<strong>en</strong>onderzoek 227<br />
18.4 Doel van het rek<strong>en</strong>onderzoek <strong>en</strong> de onderzoeksvraag 229<br />
18.5 Inhoud van het rek<strong>en</strong>onderzoek 230<br />
18.6 Pedagogische aspect<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> diagnostisch gesprek 230<br />
18.7 Didactische aspect<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> diagnostisch gesprek 231<br />
18.8 Opbr<strong>en</strong>gst van het rek<strong>en</strong>onderzoek 233<br />
18.9 Ver<strong>vo</strong>lgactiviteit<strong>en</strong> 233
Inhoud<br />
Hoofdstuk 19 Diagnostiek in begeleidingscategorie 3<br />
(psychodiagnostisch onderzoek) 236<br />
19.1 Welke leerling komt in aanmerking? 238<br />
19.2 Aanvraag <strong>en</strong> intakegesprek 239<br />
19.3 E<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek 240<br />
19.4 Opbr<strong>en</strong>gst<strong>en</strong> van het psychodiagnostisch onderzoek 241<br />
19.5 Ver<strong>vo</strong>lgactiviteit<strong>en</strong> 242<br />
19.6 Dyscalculieverklaring 243<br />
Bijlag<strong>en</strong> 247<br />
Bijlage A Achtergrond<strong>en</strong> van ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> 248<br />
Bijlage B De leerling in het <strong>vo</strong>ortgezet (speciaal) onderwijs 260<br />
9<br />
Literatuur 270
Voorwoord<br />
11<br />
De Nederlandse Ver<strong>en</strong>iging tot Ontwikkeling van het Rek<strong>en</strong>-Wiskunde Onderwijs (N<strong>VO</strong>RWO)<br />
heeft inmiddels e<strong>en</strong> lange geschied<strong>en</strong>is met het onderwerp ernstige rek<strong>en</strong>wiskunde-problem<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
dyscalculie Zij heeft dit onderwerp op de onderwijsag<strong>en</strong>da geplaatst <strong>en</strong> stapp<strong>en</strong> ondernom<strong>en</strong> om<br />
te kom<strong>en</strong> tot landelijke e<strong>en</strong>duidigheid op dit gebied<br />
De resultat<strong>en</strong> van de eerste verk<strong>en</strong>ning<strong>en</strong> <strong>en</strong> expertbije<strong>en</strong>komst<strong>en</strong> werd<strong>en</strong> vastgelegd in e<strong>en</strong> oranje<br />
<strong>en</strong> e<strong>en</strong> rood boek: Dyscalculie in discussie (Dolk & Van Gro<strong>en</strong>estijn [Eds], 2006) <strong>en</strong> Dyscalculie in<br />
discussie, deel 2 (Van Gro<strong>en</strong>estijn & Vedder [Eds], 2008)<br />
In 2008 heeft het ministerie van OCW e<strong>en</strong> subsidie toegek<strong>en</strong>d om het project Ontwikkeling van e<strong>en</strong><br />
landelijk protocol <strong>vo</strong>or de integrale aanpak van ernstige rek<strong>en</strong>wiskunde-problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie (<strong>ERWD</strong>)<br />
bij leerling<strong>en</strong> van 4 tot 12 jaar uit te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> In 2011 versche<strong>en</strong> het <strong>Protocol</strong> Ernstige Rek<strong>en</strong>Wiskundeproblem<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> Dyscalculie (Van Gro<strong>en</strong>estijn, Borghouts & Janss<strong>en</strong>, 2011) Dit <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>1 is bedoeld<br />
<strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> in het basisonderwijs, het speciaal basisonderwijs <strong>en</strong> het speciaal onderwijs<br />
In 2010 gaf het ministerie van OCW aan N<strong>VO</strong>RWO de ver<strong>vo</strong>lgopdracht het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>1 te<br />
<strong>vo</strong>orzi<strong>en</strong> van uitbreiding<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs, <strong>vo</strong>ortgezet speciaal onderwijs <strong>en</strong> middelbaar<br />
beroepsonderwijs Eind 2012 verschijn<strong>en</strong> de protocoll<strong>en</strong> <strong>ERWD</strong>2 <strong>vo</strong>or <strong>vo</strong> <strong>en</strong> vso <strong>en</strong> <strong>ERWD</strong>3<br />
<strong>vo</strong>or mbo<br />
Deze twee protocoll<strong>en</strong> zijn van groot belang nu de c<strong>en</strong>trale rek<strong>en</strong>toets<strong>en</strong> 2F <strong>en</strong> 3F in het <strong>vo</strong> <strong>en</strong> de<br />
c<strong>en</strong>trale rek<strong>en</strong>exam<strong>en</strong>s 2F <strong>en</strong> 3F in het mbo inge<strong>vo</strong>erd gaan word<strong>en</strong> Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> staat duidelijk op de<br />
kaart Alle zeil<strong>en</strong> moet<strong>en</strong> word<strong>en</strong> bijgezet om ook de rek<strong>en</strong>zwakke leerling <strong>en</strong> de leerling met ernstige<br />
rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> tot het gew<strong>en</strong>ste refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau te br<strong>en</strong>g<strong>en</strong><br />
Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 biedt vele handreiking<strong>en</strong> aan schol<strong>en</strong> om leerling<strong>en</strong> goed rek<strong>en</strong>onderwijs te<br />
gev<strong>en</strong> Het <strong>Protocol</strong> b<strong>en</strong>adrukt dat goed rek<strong>en</strong>onderwijs staat of valt met de professionaliteit van<br />
lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong> e<strong>en</strong> adequate begeleiding van leerling<strong>en</strong> Het rek<strong>en</strong>onderwijs in het <strong>vo</strong> heeft te mak<strong>en</strong><br />
met e<strong>en</strong> <strong>en</strong>orme variëteit aan leerling<strong>en</strong> in de verschill<strong>en</strong>de leerroutes Ook kan het rek<strong>en</strong>niveau<br />
binn<strong>en</strong> klass<strong>en</strong> <strong>en</strong> groep<strong>en</strong> <strong>en</strong>orm uite<strong>en</strong>lop<strong>en</strong> Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 richt zich in het bijzonder op<br />
het signaler<strong>en</strong> van allerlei <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>zwakte <strong>en</strong> op het bied<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>onderwijs dat aansluit<br />
bij deze verscheid<strong>en</strong>heid aan rek<strong>en</strong>niveaus Doel blijft dat zoveel mogelijk leerling<strong>en</strong> t<strong>en</strong>minste<br />
hun rek<strong>en</strong>toets hal<strong>en</strong><br />
Bij e<strong>en</strong> <strong>en</strong>kele leerling die ernstige <strong>en</strong> hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervaart, kan int<strong>en</strong>sieve begeleiding<br />
on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de zijn Dan komt er wellicht e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring Deze mag echter niet<br />
remm<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> op de verdere ontwikkeling van de leerling, maar moet juist perspectief op ade-
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
quate hulp bied<strong>en</strong>, zodat e<strong>en</strong> leerling zich kan blijv<strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong> in rek<strong>en</strong><strong>en</strong> D<strong>en</strong>k bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
aan het bereik<strong>en</strong> van Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau 2F Het past om omzichtig om te gaan met het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van<br />
e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring Deze kan mogelijk <strong>vo</strong>or de leerling de toegang blokker<strong>en</strong> tot bepaalde<br />
ver<strong>vo</strong>lgopleiding<strong>en</strong> D<strong>en</strong>k aan medische <strong>en</strong> verpleegkundige beroep<strong>en</strong> <strong>en</strong> aan de lerar<strong>en</strong>opleiding<br />
basisonderwijs<br />
12<br />
Bij het ontwikkel<strong>en</strong> van dit protocol zijn vele deskundig<strong>en</strong> betrokk<strong>en</strong> geweest Wij d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> aan de<br />
led<strong>en</strong> van de stuurgroep, de resonansgroep, het <strong>Steunpunt</strong> taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>vo</strong> <strong>en</strong> de leesgroep De<br />
N<strong>VO</strong>RWO bedankt al deze person<strong>en</strong> <strong>en</strong> de verteg<strong>en</strong>woordiger van de NVvW, maar in het bijzonder<br />
Mieke van Gro<strong>en</strong>estijn, Gerjan van Dijk<strong>en</strong> <strong>en</strong> Dolf Janson <strong>vo</strong>or hun werkzaamhed<strong>en</strong> in de projectgroep<br />
<strong>en</strong> als auteur De N<strong>VO</strong>RWO bedankt ook Marjan Zandberg<strong>en</strong>, onze contactpersoon bij het<br />
ministerie van OCW <strong>en</strong> haar collega’s E<strong>en</strong> bijzonder woord van dank is er <strong>vo</strong>or Agnes Laev<strong>en</strong> Zij<br />
was projectsecretaris in de meest uit<strong>vo</strong>erige betek<strong>en</strong>is van dit woord<br />
Jaap Vedder<br />
<strong>vo</strong>orzitter N<strong>VO</strong>RWO
De kern van de zaak<br />
13<br />
Dit boek is het <strong>Protocol</strong> Ernstige Rek<strong>en</strong>Wiskunde-problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> Dyscalculie <strong>vo</strong>or het <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs<br />
<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ortgezet speciaal onderwijs In deze uitgave verwijz<strong>en</strong> wij naar dit protocol met de afkorting<br />
<strong>ERWD</strong>2 Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 is geschrev<strong>en</strong> in opdracht van het ministerie van OCW<br />
Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 is e<strong>en</strong> ver<strong>vo</strong>lg op het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>1 <strong>ERWD</strong>1 versche<strong>en</strong> in 2011 als het<br />
<strong>Protocol</strong> <strong>vo</strong>or het basisonderwijs, het speciaal basisonderwijs <strong>en</strong> het speciaal onderwijs De ingezette<br />
lijn is doorgetrokk<strong>en</strong> naar het <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs <strong>en</strong> het middelbaar beroepsonderwijs in<br />
twee afzonderlijke publicaties <strong>ERWD</strong>2 <strong>en</strong> <strong>ERWD</strong>3 die tegelijkertijd verschijn<strong>en</strong> De uitgangspunt<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> de uitwerking van de drie protocoll<strong>en</strong> sluit<strong>en</strong> geheel op elkaar aan<br />
De lijn van <strong>ERWD</strong> start in het primair onderwijs Dit verklaart de letters RW in de naam In de Wet<br />
op het primair onderwijs heet het vak waar het om gaat ‘rek<strong>en</strong><strong>en</strong>/wiskunde’ De afkorting <strong>ERWD</strong><br />
blijkt inmiddels al helemaal ingeburgerd Daarom is deze aanduiding gehandhaafd, hoewel in <strong>vo</strong><br />
<strong>en</strong> mbo het ‘vak’ met alle<strong>en</strong> het woord ‘rek<strong>en</strong><strong>en</strong>’ wordt aangeduid<br />
Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 biedt e<strong>en</strong> leidraad waarmee m<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> kan werk<strong>en</strong> om iedere leerling<br />
kwalitatief goed rek<strong>en</strong>onderwijs te gev<strong>en</strong> De focus ligt op de positie van rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
<strong>vo</strong>or wie ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> veel tot zeer veel moeite kost De aanwijzing<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or school- <strong>en</strong> afdelingspecifiek<br />
rek<strong>en</strong>beleid help<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> dat deze leerling<strong>en</strong> te weinig r<strong>en</strong>dem<strong>en</strong>t uit de rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
kunn<strong>en</strong> hal<strong>en</strong> ‘Rek<strong>en</strong><strong>en</strong>’ heeft e<strong>en</strong> belangrijke positie bij de exam<strong>en</strong>s <strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de bijbehor<strong>en</strong>de<br />
zak-/slaagregel in het <strong>vo</strong> Slag<strong>en</strong> of zakk<strong>en</strong> wordt (sterk) afhankelijk gemaakt van de resultat<strong>en</strong> op<br />
de c<strong>en</strong>trale rek<strong>en</strong>toets Dit zou kunn<strong>en</strong> betek<strong>en</strong><strong>en</strong> dat rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> ge<strong>en</strong> diploma hal<strong>en</strong><br />
Daarom is het van belang dat het r<strong>en</strong>dem<strong>en</strong>t van de rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> zo hoog mogelijk is Dit is in het<br />
belang van de leerling <strong>en</strong> uiteraard ook van de school<br />
Goed rek<strong>en</strong>onderwijs is afgestemd op zowel zwakke als sterke rek<strong>en</strong>aars Het doel van dit protocol<br />
is schol<strong>en</strong> richtlijn<strong>en</strong> te bied<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het <strong>vo</strong>rm <strong>en</strong> inhoud gev<strong>en</strong> aan goed rek<strong>en</strong>onderwijs ‘Goed’<br />
verwijst in dit verband naar e<strong>en</strong> combinatie van de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong>:<br />
• Het rek<strong>en</strong>onderwijs sluit aan bij de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong>, ook als die heel<br />
specifiek zijn op het gebied van ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
• Het rek<strong>en</strong>onderwijs is gericht op zowel het consolider<strong>en</strong> van reeds verworv<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis, vaardighed<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> inzicht<strong>en</strong>, als op het verder uitbreid<strong>en</strong> daarvan<br />
• Het rek<strong>en</strong>onderwijs is gericht op het be<strong>vo</strong>rder<strong>en</strong> van functionele gecijferdheid, zodat de leerling<strong>en</strong><br />
zich in de sam<strong>en</strong>leving <strong>en</strong> in hun ver<strong>vo</strong>lgopleiding<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> redd<strong>en</strong> in de wereld van<br />
getall<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
• Het rek<strong>en</strong>onderwijs is gericht op het <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> van problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> op het <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> van het<br />
groter word<strong>en</strong> van reeds onderk<strong>en</strong>de problem<strong>en</strong> bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong><br />
• Het rek<strong>en</strong>onderwijs is erop gericht de ondersteuningsmogelijkhed<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de school of afdeling<br />
optimaal te b<strong>en</strong>utt<strong>en</strong> <strong>en</strong> de sam<strong>en</strong>werking <strong>en</strong> afstemming tuss<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong> vaklerar<strong>en</strong><br />
te stimuler<strong>en</strong><br />
14<br />
Goed rek<strong>en</strong>onderwijs draagt in hoge mate bij aan het strev<strong>en</strong> zoveel mogelijk leerling<strong>en</strong> op het<br />
gew<strong>en</strong>ste eindniveau te br<strong>en</strong>g<strong>en</strong><br />
De behoefte aan duidelijkheid over de diagnose ‘dyscalculie’ is groot Toch kiest dit protocol niet<br />
<strong>vo</strong>or de gemakkelijke weg van simpele definities <strong>en</strong> e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udig op te plakk<strong>en</strong> etikett<strong>en</strong> In dit protocol<br />
wordt ‘dyscalculie’ alle<strong>en</strong> gebruikt in gevall<strong>en</strong> waarin e<strong>en</strong> diagnosticus heeft vastgesteld dat de<br />
rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> die e<strong>en</strong> leerling ervaart zowel ernstig als hardnekkig zijn Juist de hardnekkigheid<br />
onderscheidt deze leerling van die met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 richt zich op alle leerling<strong>en</strong> die e<strong>en</strong> bepaalde mate van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong><br />
Dit kan lop<strong>en</strong> van geringe problem<strong>en</strong> tot ernstige <strong>en</strong> hardnekkige problem<strong>en</strong> Dit protocol<br />
beschrijft hoe leerling<strong>en</strong> die grote moeite hebb<strong>en</strong> met rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, adequate begeleiding kunn<strong>en</strong><br />
k rijg<strong>en</strong><br />
Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 biedt hiertoe handvatt<strong>en</strong> om goed rek<strong>en</strong>onderwijs te gev<strong>en</strong> Het beschrijft de<br />
zorgvuldige procedures om rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> te signaler<strong>en</strong> <strong>en</strong> vanuit hoge verwachting<strong>en</strong> te begeleid<strong>en</strong><br />
Dat vraagt van de school als geheel, dan wel van de afdeling<strong>en</strong> afzonderlijk, sam<strong>en</strong>hang<strong>en</strong>d<br />
rek<strong>en</strong>beleid <strong>en</strong> de beschikbaarheid van veel deskundigheid, zowel bij de lerar<strong>en</strong> van deze leerling<strong>en</strong><br />
als bij de (interne) ondersteuningsteams<br />
Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 bestaat uit vijf del<strong>en</strong> Achtere<strong>en</strong><strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s kom<strong>en</strong> aan de orde:<br />
• visie <strong>en</strong> organisatie: de visie op rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> de ge<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or beleid <strong>en</strong> organisatie;<br />
• rek<strong>en</strong><strong>en</strong>: de didactiek van rek<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• afstemm<strong>en</strong>: de signalering <strong>en</strong> observatie van rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong>;<br />
• begeleid<strong>en</strong>: de manier<strong>en</strong> van begeleid<strong>en</strong> bij verschill<strong>en</strong>de gradaties van rek<strong>en</strong>problematiek;<br />
• onderzoek<strong>en</strong>: de werkwijze bij de diagnostiek van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
Alle betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong>, van leidinggev<strong>en</strong>d<strong>en</strong> tot (rek<strong>en</strong>)lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>specialist<strong>en</strong> tot m<strong>en</strong>tor<strong>en</strong>,<br />
vind<strong>en</strong> in dit protocol informatie die <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> directe <strong>en</strong> praktische relevantie heeft<br />
De sam<strong>en</strong>stellers zijn ervan overtuigd dat de informatie in dit protocol binn<strong>en</strong> schol<strong>en</strong> <strong>en</strong> afdeling<strong>en</strong><br />
– door sam<strong>en</strong>werking <strong>en</strong> gericht <strong>en</strong> actief beleid – zal leid<strong>en</strong> tot goed <strong>en</strong> op de leerling<strong>en</strong> afgestemd<br />
rek<strong>en</strong>onderwijs Hierdoor zal het aantal leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong><br />
afnem<strong>en</strong> Bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> zal het r<strong>en</strong>dem<strong>en</strong>t van het rek<strong>en</strong>onderwijs groter word<strong>en</strong>
Leeswijzer<br />
15<br />
Wegwijs in het boek<br />
Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 richt zich op verschill<strong>en</strong>de soort<strong>en</strong> gebruikers, zoals schoolleiders/afdelingsleiders,<br />
ondersteuningsteams, m<strong>en</strong>tor<strong>en</strong>, rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong>, rek<strong>en</strong>specialist<strong>en</strong>, ondersteuningscoördinator<strong>en</strong>,<br />
gedragswet<strong>en</strong>schappers <strong>en</strong> andere betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> Iedere gebruiker kan zijn eig<strong>en</strong> leesroute<br />
door het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 uitstippel<strong>en</strong><br />
Het boek heeft vijf del<strong>en</strong>, elk met e<strong>en</strong> eig<strong>en</strong> thema Elk hoofdstuk behandelt e<strong>en</strong> subthema <strong>en</strong> bevat<br />
bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> verwijzing<strong>en</strong> naar andere hoofdstukk<strong>en</strong> of paragraf<strong>en</strong> Via deze structuur kan de<br />
lezer gericht op zoek naar uitgebreidere informatie over e<strong>en</strong> bepaald onderwerp Naast de sam<strong>en</strong>vatting<br />
van elk hoofdstuk <strong>vo</strong>orin het boek staat <strong>vo</strong>orafgaand aan elk hoofdstuk e<strong>en</strong> korte inleiding<br />
Deze geeft nog beknopter de kern van het betreff<strong>en</strong>de hoofdstuk weer<br />
De gebruiker kan met de inhoudsopgave, de sam<strong>en</strong>vatting<strong>en</strong> van <strong>en</strong> de inleiding<strong>en</strong> op elk hoofdstuk<br />
snel bepal<strong>en</strong> welke hoofdstukk<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or hem het meest relevant zijn<br />
Gebruikte term<strong>en</strong><br />
In het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 duidt wij op de groep auteurs <strong>en</strong> ander<strong>en</strong> die dit protocol (mede) hebb<strong>en</strong><br />
ontwikkeld<br />
Met <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs (<strong>vo</strong>) bedoel<strong>en</strong> wij het <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs <strong>en</strong> het <strong>vo</strong>ortgezet speciaal onderwijs<br />
In de Wet op het <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs is sprake van de schoolsoort<strong>en</strong> vbo <strong>en</strong> ma<strong>vo</strong> Het begrip vmbo<br />
is inmiddels zo ingeburgerd, dat wij in dit protocol deze term gebruik<strong>en</strong> om vbo <strong>en</strong> ma<strong>vo</strong> aan te<br />
duid<strong>en</strong><br />
Wij gebruik<strong>en</strong> het woord leerroute <strong>vo</strong>or de opleiding die de leerling <strong>vo</strong>lgt om e<strong>en</strong> diploma te hal<strong>en</strong><br />
Wij onderscheid<strong>en</strong> de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de leerroutes in het <strong>vo</strong>: vmbo-bbl, vmbo-kbl, vmbo-gl, vmbo-tl, ha<strong>vo</strong><br />
<strong>en</strong> vwo<br />
Met basisonderwijs bedoel<strong>en</strong> wij het basisonderwijs, het speciaal basisonderwijs <strong>en</strong> het speciaal<br />
onderwijs<br />
Wij gebruik<strong>en</strong> aanduiding<strong>en</strong> van functies <strong>en</strong> roll<strong>en</strong> van lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong> andere medewerkers, die niet in<br />
alle instelling<strong>en</strong> onder die naam bek<strong>en</strong>d zijn In het overzicht in afbeelding 41 staan de tak<strong>en</strong> ge-
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
noemd die bij de verschill<strong>en</strong>de functies <strong>en</strong> roll<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> hor<strong>en</strong> De lezer kan daarmee zelf nagaan<br />
welke aanduiding in de eig<strong>en</strong> organisatie daarbij past<br />
Voor de leesbaarheid gebruik<strong>en</strong> wij soms het woord ‘rek<strong>en</strong><strong>en</strong>’ <strong>en</strong> we bedoel<strong>en</strong> daarmee de domein<strong>en</strong><br />
van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> zoals die ook in de refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus zijn beschrev<strong>en</strong>: getall<strong>en</strong>, verhouding<strong>en</strong>,<br />
met<strong>en</strong> <strong>en</strong> meetkunde, <strong>en</strong> verband<strong>en</strong><br />
16<br />
Wij verwijz<strong>en</strong> naar de leerling, de leraar of andere betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> met hij of hem Uiteraard bedoel<strong>en</strong><br />
wij dit in e<strong>en</strong> g<strong>en</strong>der-neutrale zin
Sam<strong>en</strong>vatting<br />
17<br />
Het <strong>Protocol</strong> Ernstige Rek<strong>en</strong>Wiskunde-problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> Dyscalculie <strong>vo</strong>, afgekort <strong>ERWD</strong>2, is ont wikkeld<br />
<strong>vo</strong>or de integrale aanpak van (Ernstige) Rek<strong>en</strong>Wiskunde-problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> Dyscalculie in het <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs<br />
<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ortgezet speciaal onderwijs. Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 is tot stand gekom<strong>en</strong> in o pdracht van het<br />
ministerie van OCW.<br />
Kern van de zaak<br />
Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>1 versche<strong>en</strong> in 2011 als het <strong>Protocol</strong> <strong>vo</strong>or het basisonderwijs, het speciaal basisonderwijs<br />
<strong>en</strong> het speciaal onderwijs (Van Gro<strong>en</strong>estijn, Borghouts & Janss<strong>en</strong>, 2011) De ingezette<br />
lijn van <strong>ERWD</strong>1 is doorgetrokk<strong>en</strong> naar het <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs <strong>en</strong> het <strong>vo</strong>ortgezet speciaal onderwijs<br />
in <strong>ERWD</strong>2 <strong>en</strong> naar het middelbaar beroepsonderwijs in e<strong>en</strong> afzonderlijke publicatie <strong>ERWD</strong>3<br />
(Van Gro<strong>en</strong>estijn, Van Dijk<strong>en</strong> & Janson, 2012) <strong>ERWD</strong>2 <strong>en</strong> <strong>ERWD</strong>3 verschijn<strong>en</strong> tegelijkertijd De<br />
uitgangspunt<strong>en</strong> <strong>en</strong> de uitwerking van de drie protocoll<strong>en</strong> sluit<strong>en</strong> geheel op elkaar aan<br />
De lijn van <strong>ERWD</strong> start in het primair onderwijs Hier heet het vak waar het om gaat ‘rek<strong>en</strong><strong>en</strong>/<br />
wiskunde’ Dit verklaart de letters RW in de naam De afkorting <strong>ERWD</strong> blijkt inmiddels al helemaal<br />
ingeburgerd Daarom is deze b<strong>en</strong>aming gehandhaafd, hoewel dit in het <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs<br />
<strong>en</strong> het middelbaar beroepsonderwijs alle<strong>en</strong> met het woord ‘rek<strong>en</strong><strong>en</strong>’ wordt aangeduid De inhoud<br />
van ‘rek<strong>en</strong><strong>en</strong>’ dekt echter dezelfde rek<strong>en</strong>wiskundige domein<strong>en</strong> als ‘rek<strong>en</strong><strong>en</strong>/wiskunde’ in het<br />
p rimair onderwijs<br />
Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 bestaat uit vijf del<strong>en</strong>:<br />
• visie <strong>en</strong> organisatie: de visie op rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> de ge<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or beleid <strong>en</strong> organisatie;<br />
• rek<strong>en</strong><strong>en</strong>: de didactiek van rek<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• afstemm<strong>en</strong>: de signalering <strong>en</strong> observatie van rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong>;<br />
• begeleiding: de manier<strong>en</strong> van begeleid<strong>en</strong> bij verschill<strong>en</strong>de gradaties van rek<strong>en</strong>problematiek;<br />
• onderzoek: de werkwijze bij de diagnostiek van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
Alle betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong>, van leidinggev<strong>en</strong>d<strong>en</strong> tot (rek<strong>en</strong>)lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>specialist<strong>en</strong> tot m<strong>en</strong>tor<strong>en</strong>,<br />
vind<strong>en</strong> in dit protocol informatie die <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> directe <strong>en</strong> praktische relevantie heeft<br />
De sam<strong>en</strong>stellers zijn ervan overtuigd dat de informatie in dit protocol door sam<strong>en</strong>werking <strong>en</strong><br />
g ericht <strong>en</strong> actief beleid zal leid<strong>en</strong> tot goed <strong>en</strong> op de leerling<strong>en</strong> afgestemd rek<strong>en</strong>onderwijs Hierdoor<br />
zal het aantal leerling<strong>en</strong> met (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> afnem<strong>en</strong> E<strong>en</strong> <strong>en</strong> ander zal op<br />
termijn de kwaliteit <strong>en</strong> het r<strong>en</strong>dem<strong>en</strong>t van al het rek<strong>en</strong>onderwijs t<strong>en</strong> goede kom<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Deze sam<strong>en</strong>vatting is e<strong>en</strong> korte weergave van de hoofdstukk<strong>en</strong> waaruit het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 is<br />
o pgebouwd De sam<strong>en</strong>vatting <strong>vo</strong>lgt het <strong>Protocol</strong> op de <strong>vo</strong>et Via de inhoudsopgave kan de lezer snel<br />
bij de betreff<strong>en</strong>de passage in het <strong>Protocol</strong> verder lez<strong>en</strong><br />
Deel 1. Visie <strong>en</strong> organisatie<br />
18<br />
Hoofdstuk 1. Aandacht <strong>vo</strong>or ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardigheid zijn tuss<strong>en</strong> 2005 <strong>en</strong> 2010 hoog op de maatschappelijke <strong>en</strong> politieke<br />
ag<strong>en</strong>da gekom<strong>en</strong> De media <strong>vo</strong>edd<strong>en</strong> de onrust over de rek<strong>en</strong>vaardigheid van scholier<strong>en</strong> <strong>en</strong> stud<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
Ook de resultat<strong>en</strong> van internationale vergelijk<strong>en</strong>de onderzoek<strong>en</strong> droeg<strong>en</strong> daaraan bij Om in<br />
de maatschappij van de 21ste eeuw te kunn<strong>en</strong> functioner<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> alle burgers e<strong>en</strong> fundam<strong>en</strong>teel<br />
niveau van ‘functionele gecijferdheid’ nodig<br />
Er wordt wetgeving opgesteld <strong>en</strong> beleid ontwikkeld met betrekking tot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> In het <strong>vo</strong> kom<strong>en</strong><br />
de rek<strong>en</strong>toets<strong>en</strong> 2F <strong>en</strong> 3F <strong>en</strong> wordt rek<strong>en</strong>onderwijs aangebod<strong>en</strong> De aanleiding hiertoe gev<strong>en</strong> wij in<br />
vijf punt<strong>en</strong> weer<br />
Het <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs zet de lijn <strong>vo</strong>ort die in het basisonderwijs is ingezet Ook hier krijgt rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
speciale aandacht Sinds 2011 wordt het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>1 <strong>vo</strong>or het basisonderwijs geïmplem<strong>en</strong>teerd<br />
Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 is hierop e<strong>en</strong> ver<strong>vo</strong>lg, maar dan speciaal gericht op het <strong>vo</strong> <strong>en</strong> het vso<br />
Schol<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or Praktijkonderwijs gebruik<strong>en</strong> <strong>ERWD</strong>1<br />
<strong>ERWD</strong>2 is e<strong>en</strong> leidraad <strong>vo</strong>or de ondersteuning van <strong>en</strong> afstemming op rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> in<br />
het <strong>vo</strong> Het biedt handvatt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het inricht<strong>en</strong> van goed rek<strong>en</strong>onderwijs Wat rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
‘goed’ maakt <strong>vo</strong>or zwakke rek<strong>en</strong>aars is ook goed <strong>vo</strong>or alle andere rek<strong>en</strong>aars<br />
Wij gev<strong>en</strong> aan wat wij onder ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie verstaan <strong>en</strong> wat het verschil is<br />
Wij schets<strong>en</strong> hoe <strong>ERWD</strong>2 aankijkt teg<strong>en</strong> onderwijs- <strong>en</strong> leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> die van invloed zijn op<br />
het ontstaan van <strong>en</strong> de begeleiding bij rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> Wij gev<strong>en</strong> e<strong>en</strong> beeld van de gevarieerde<br />
mate van rek<strong>en</strong>vaardigheid van leerling<strong>en</strong> bij hun instroom in het <strong>vo</strong> Hoe eerder deze diversiteit<br />
wordt onderk<strong>en</strong>d, hoe beter het <strong>vo</strong> op deze verschill<strong>en</strong> kan inspel<strong>en</strong>, hoe beter de leerling<strong>en</strong> zijn<br />
geholp<strong>en</strong> <strong>en</strong> hoe hoger uiteindelijk het onderwijsr<strong>en</strong>dem<strong>en</strong>t zal zijn<br />
Hoofdstuk 2. Visie <strong>en</strong> uitgangspunt<strong>en</strong><br />
Wij gev<strong>en</strong> onze visie op rek<strong>en</strong>onderwijs <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> Sleutelwoord<strong>en</strong> zijn succesbeleving,<br />
motivatie, afstemming <strong>en</strong> actieve deelname Doel van het rek<strong>en</strong>onderwijs is dat leerling<strong>en</strong> aan het<br />
eind van hun <strong>vo</strong> e<strong>en</strong> vastgesteld refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> behal<strong>en</strong> Wij gaan in op de positie<br />
van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> als aparte activiteit <strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de andere vakk<strong>en</strong><br />
Binn<strong>en</strong> alle onderwijssector<strong>en</strong> <strong>en</strong> leerroutes zull<strong>en</strong> er leerling<strong>en</strong> zijn met problem<strong>en</strong> op het gebied<br />
van ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> In e<strong>en</strong> aantal gevall<strong>en</strong> zijn die ernstig <strong>en</strong> soms bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> hardnekkig <strong>ERWD</strong>2<br />
richt zich met name op leerling<strong>en</strong> die binn<strong>en</strong> hun eig<strong>en</strong> leerroute ernstige (<strong>en</strong> hardnekkige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
ondervind<strong>en</strong> Wij beschrijv<strong>en</strong> de (int<strong>en</strong>sieve <strong>en</strong> specifieke) ondersteuning <strong>en</strong> begeleiding<br />
die zij nodig hebb<strong>en</strong> Bepal<strong>en</strong>d hier<strong>vo</strong>or is de afstemming op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de<br />
leerling
Sam<strong>en</strong>vatting<br />
In zev<strong>en</strong> uitgangspunt<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> wij onze opvatting<strong>en</strong> concreter Ze <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> de basis <strong>vo</strong>or <strong>ERWD</strong>2<br />
In de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de hoofdstukk<strong>en</strong> werk<strong>en</strong> wij ze diepgaand uit in praktische handelingsadviez<strong>en</strong>, gericht<br />
op alle betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> Dit zijn onze uitgangspunt<strong>en</strong>:<br />
1 Functionele gecijferdheid is de opbr<strong>en</strong>gst van goed rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
2 De ontwikkeling van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardigheid stopt niet bij binn<strong>en</strong>komst in het <strong>vo</strong><br />
3 Iedere leerling is anders <strong>en</strong> dit heeft ook consequ<strong>en</strong>ties bij ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
4 Er is onderscheid tuss<strong>en</strong> ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie<br />
5 Lerar<strong>en</strong> spel<strong>en</strong> in op gesignaleerde rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> door te differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong><br />
6 Onderzoekers diagnosticer<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> handelingsgericht<br />
7 Begeleiders van leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> of met dyscalculie werk<strong>en</strong> resultaatgericht<br />
19<br />
Het onderscheid tuss<strong>en</strong> ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie is cruciaal <strong>vo</strong>or <strong>ERWD</strong>2<br />
k ERn<br />
Onderscheid tuss<strong>en</strong> ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie<br />
Ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> ontstaan als er on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de afstemming wordt gerealiseerd<br />
tuss<strong>en</strong> het (rek<strong>en</strong>)onderwijs <strong>en</strong> de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling. De k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
van het onderwijs sluit<strong>en</strong> dan niet of on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de aan bij de (aangebor<strong>en</strong> <strong>en</strong> verworv<strong>en</strong>)<br />
k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de leerling.<br />
Wij sprek<strong>en</strong> van dyscalculie als ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>, ondanks langdurige deskundige<br />
begeleiding <strong>en</strong> zorgvuldige afstemming, hardnekkig blijk<strong>en</strong> <strong>en</strong> onveranderd blijv<strong>en</strong><br />
bestaan.<br />
Hoofdstuk 3. Rek<strong>en</strong>beleid<br />
Rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> zijn primair e<strong>en</strong> knelpunt <strong>vo</strong>or de leerling zelf Vanwege de verplichte c<strong>en</strong>trale<br />
rek<strong>en</strong>toets aan het einde van het <strong>vo</strong> <strong>en</strong> de invloed hiervan op het slag<strong>en</strong> of zakk<strong>en</strong>, speelt <strong>vo</strong>or de<br />
school ook het onderwijsr<strong>en</strong>dem<strong>en</strong>t De zorg <strong>vo</strong>or de rek<strong>en</strong>zwakke leerling is dan ook e<strong>en</strong> beleidskwestie<br />
<strong>en</strong> daardoor in het belang van de school zelf<br />
Wij gaan in op de keuzes die e<strong>en</strong> school kan mak<strong>en</strong> om het rek<strong>en</strong>beleid <strong>vo</strong>rm <strong>en</strong> inhoud te gev<strong>en</strong>,<br />
anders gezegd om tegemoet te kom<strong>en</strong> aan de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van met name de rek<strong>en</strong>zwakke<br />
leerling<strong>en</strong> Daarbij gaan wij in op vrag<strong>en</strong> die <strong>vo</strong>or de school (kunn<strong>en</strong>) spel<strong>en</strong><br />
Hoe kan de leraar omgaan met on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>prestaties? Welke variant<strong>en</strong> zijn zoal mogelijk om het<br />
rek<strong>en</strong>onderwijs op te zett<strong>en</strong>? Hoe organiseert e<strong>en</strong> school dat leerling<strong>en</strong> hun rek<strong>en</strong>vaardigheid onderhoud<strong>en</strong>?<br />
Hoe stemt e<strong>en</strong> school het aanbod binn<strong>en</strong> e<strong>en</strong> leerroute af op de behoeft<strong>en</strong>? Welke deskundighed<strong>en</strong><br />
heeft e<strong>en</strong> school nodig om rek<strong>en</strong>onderwijs <strong>en</strong> zorg te bied<strong>en</strong> in de eerste, tweede <strong>en</strong> derde lijn? Hoe zorgt de<br />
school dat betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong> <strong>en</strong> relevante informatie (kunn<strong>en</strong>) del<strong>en</strong>?<br />
Hoofdstuk 4. Checklist<br />
Om e<strong>en</strong> school tegemoet te kom<strong>en</strong> bij de uitwerking van haar rek<strong>en</strong>beleid, biedt <strong>ERWD</strong>2 e<strong>en</strong><br />
u it<strong>vo</strong>erige checklist De aandachtspunt<strong>en</strong> kan de school gebruik<strong>en</strong> om prioriteit<strong>en</strong> te stell<strong>en</strong>,<br />
(beleids)keuzes te mak<strong>en</strong> <strong>en</strong> de resultat<strong>en</strong> te monitor<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Veel aspect<strong>en</strong> van het rek<strong>en</strong>beleid kom<strong>en</strong> aan bod, zoals inhoud, <strong>vo</strong>rm, tijd, ruimte, informatie<strong>vo</strong>orzi<strong>en</strong>ing,<br />
deskundigheidsbe<strong>vo</strong>rdering, communicatie met leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> ouders/verzorgers<br />
In drie tabell<strong>en</strong> vatt<strong>en</strong> wij sam<strong>en</strong> wat de kern is van de grote uitdaging <strong>vo</strong>or het rek<strong>en</strong>onderwijs in<br />
het <strong>vo</strong> Deze uitdaging is e<strong>en</strong> aanbod te lever<strong>en</strong> dat aansluit op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong><br />
met e<strong>en</strong> grote variëteit aan rek<strong>en</strong>vaardigheid<br />
20<br />
De eerste tabel bevat e<strong>en</strong> overzicht van alle betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> bij het rek<strong>en</strong>onderwijs in de eerste, de<br />
tweede <strong>en</strong> de derde lijn Wie zijn de betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> in welke rol? Welke gew<strong>en</strong>ste kwalificaties<br />
bevel<strong>en</strong> wij aan? Welke tak<strong>en</strong> zijn met deze roll<strong>en</strong> verbond<strong>en</strong>?<br />
De tweede tabel toont de aansluiting van het rek<strong>en</strong>onderwijs in het primair onderwijs met dat in<br />
het <strong>vo</strong> Dat is de schakel tuss<strong>en</strong> <strong>ERWD</strong>1 <strong>en</strong> <strong>ERWD</strong>2 Deze gegev<strong>en</strong>s zijn van belang om leerling<strong>en</strong><br />
bij binn<strong>en</strong>komst in het eerste leerjaar te kunn<strong>en</strong> indel<strong>en</strong> <strong>en</strong> hun onderwijsbehoeft<strong>en</strong> te onderk<strong>en</strong>n<strong>en</strong><br />
In de derde tabel staat e<strong>en</strong> sam<strong>en</strong>vatting van de begeleiding, uitgesplitst naar deze vijf typ<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong><br />
In het kort gev<strong>en</strong> wij de kern van:<br />
1 signalering;<br />
2 observatie <strong>en</strong> onderzoek;<br />
3 begeleiding<br />
Deel 2. Rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Hoofdstuk 5. Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het <strong>vo</strong><br />
De rek<strong>en</strong>ontwikkeling van leerling<strong>en</strong> verloopt aan de hand van vier Hoofdlijn<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> alle (sub-)<br />
domein<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Wij gev<strong>en</strong> inzicht in deze vier Hoofdlijn<strong>en</strong> Hierdoor kunn<strong>en</strong> betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> bij leerling<strong>en</strong> signaler<strong>en</strong> <strong>en</strong> de begeleiding van rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
toespits<strong>en</strong> op wat zij nodig hebb<strong>en</strong><br />
Het rek<strong>en</strong>onderwijs in het <strong>vo</strong> richt zich op vier activiteit<strong>en</strong>: verder ontwikkel<strong>en</strong>, consolider<strong>en</strong>, onderhoud<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong> Deze activiteit<strong>en</strong> krijg<strong>en</strong> in de diverse leerroutes e<strong>en</strong> verschill<strong>en</strong>d acc<strong>en</strong>t<br />
In de Hoofdlijn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het <strong>vo</strong> zijn deze activiteit<strong>en</strong> als <strong>vo</strong>lgt geïntegreerd:<br />
• Hoofdlijn 1: verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming<br />
• Hoofdlijn 2: verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van oplossingsprocedures<br />
• Hoofdlijn 3: vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong><br />
• Hoofdlijn 4: flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong>
Sam<strong>en</strong>vatting<br />
Verder ontwikkel<strong>en</strong><br />
van<br />
begrips<strong>vo</strong>rming<br />
Flexibel toepass<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong><br />
Verder ontwikkel<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van<br />
oplossingsprocedures<br />
21<br />
Vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
<strong>en</strong><br />
onderhoud<strong>en</strong><br />
Afbeelding 5.2 Vier Hoofdlijn<strong>en</strong> in de rek<strong>en</strong>ontwikkeling in het <strong>vo</strong><br />
Elke Hoofdlijn besprek<strong>en</strong> wij uitgebreid in de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de vier hoofdstukk<strong>en</strong> De Hoofdlijn<strong>en</strong> spel<strong>en</strong><br />
in de praktijk op elkaar in Bij elke Hoofdlijn kom<strong>en</strong> de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de vrag<strong>en</strong> aan bod:<br />
• Welke ontwikkeling mak<strong>en</strong> (met name rek<strong>en</strong>zwakke) leerling<strong>en</strong> globaal door?<br />
• Welke knelpunt<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> hierbij ervar<strong>en</strong>?<br />
• Welke signaleringspunt<strong>en</strong> zijn er?<br />
• Welke aandachtspunt<strong>en</strong> zijn er bij begeleiding?<br />
Hoofdstuk 6. Hoofdlijn 1: verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming<br />
De eerste Hoofdlijn bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming Bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
van rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> is het nodig dat leerling<strong>en</strong> begrip blijv<strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong><br />
van wat ze do<strong>en</strong> <strong>en</strong> waarom ze dat do<strong>en</strong> Dit betek<strong>en</strong>t dat de leerling zich iets kan <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong><br />
bij e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>activiteit of e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>kundige handeling in e<strong>en</strong> bepaalde s ituatie <strong>en</strong> begrijpt<br />
wat er gebeurt in die situatie Dit noem<strong>en</strong> we ‘betek<strong>en</strong>is verl<strong>en</strong><strong>en</strong>’ Verder is inzicht in rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong><br />
nodig om adequaat te kunn<strong>en</strong> handel<strong>en</strong> in rek<strong>en</strong>situaties Hier<strong>vo</strong>or is het beheers<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>taal<br />
onmisbaar Leerling<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> deze rek<strong>en</strong>taal om te kunn<strong>en</strong> vertell<strong>en</strong> hoe zij d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> om over rek<strong>en</strong><strong>en</strong> te kunn<strong>en</strong> communicer<strong>en</strong> In het <strong>vo</strong> is het van groot belang dat<br />
leerling<strong>en</strong> over rek<strong>en</strong><strong>en</strong> red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> discussiër<strong>en</strong> met de leraar <strong>en</strong> met elkaar<br />
Hoofdstuk 7. Hoofdlijn 2: verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van<br />
oplossingsprocedures<br />
De tweede Hoofdlijn bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van oplossingsprocedures<br />
Begrips<strong>vo</strong>rming (Hoofdlijn 1) gebeurt door te werk<strong>en</strong> met context<strong>en</strong> Context<strong>en</strong> op hun beurt<br />
bied<strong>en</strong> de leerling de mogelijkheid om oplossingsprocedures te ontwikkel<strong>en</strong> die gebaseerd zijn op<br />
begrip Daardoor krijgt het formele rek<strong>en</strong><strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is <strong>vo</strong>or de leerling<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
De oplossingsproce dures die leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> zijn:<br />
• basisbewerking<strong>en</strong>;<br />
• complexere bewerking<strong>en</strong>;<br />
• hoofdrek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op papier;<br />
• schatt<strong>en</strong> <strong>en</strong> precies rek<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• werk<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>machine <strong>en</strong> met e<strong>en</strong> spreadsheet<br />
22<br />
Hoofdstuk 8. Hoofdlijn 3: vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong><br />
De derde Hoofdlijn bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong> Om vlot te kunn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
is regelmatig <strong>en</strong> systematisch oef<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> noodzakelijk<br />
Alle<strong>en</strong> zo kom<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> tot automatiser<strong>en</strong>, memoriser<strong>en</strong> <strong>en</strong> paraat hebb<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis<br />
<strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> Door oef<strong>en</strong>ing kunn<strong>en</strong> zij hun rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong><br />
Hoofdstuk 9. Hoofdlijn 4: flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong><br />
De vierde Hoofdlijn bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong> Gebruikelijk ligt de<br />
n adruk in het rek<strong>en</strong>onderwijs op het vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (Hoofdlijn 3) als vaardigheid op zich Het acc<strong>en</strong>t<br />
ligt doorgaans veel minder op de gebruikswaarde ervan (Hoofdlijn 4) In het dagelijks lev<strong>en</strong> is<br />
r ek<strong>en</strong><strong>en</strong> ev<strong>en</strong>wel altijd ingebed in functionele situaties We gebruik<strong>en</strong> onze rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong><br />
als gereedschap bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van onze alledaagse activiteit<strong>en</strong> Daarom is het nodig<br />
dat leerling<strong>en</strong> hun k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> gedur<strong>en</strong>de de gehele schoolperiode flexibel (verder)<br />
ler<strong>en</strong> toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> hierdoor verdiep<strong>en</strong> (Hoofdlijn 4)<br />
Veelal wordt verondersteld dat leerling<strong>en</strong> vanzelf de stap van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op school naar rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in<br />
het ‘gewone lev<strong>en</strong>’ kunn<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> Dat is echter niet vanzelfsprek<strong>en</strong>d De school heeft de taak te<br />
werk<strong>en</strong> aan transfer van schoolse k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> naar functionele k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong><br />
De oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> di<strong>en</strong><strong>en</strong> om de leerling<strong>en</strong> uit te dag<strong>en</strong> Zij ler<strong>en</strong> verschill<strong>en</strong>de oplossingsprocedures<br />
adequaat gebruik<strong>en</strong> bij het oploss<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>vraagstukk<strong>en</strong>, pass<strong>en</strong>d bij de context Zij ler<strong>en</strong> ook<br />
strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> om keuzes te mak<strong>en</strong> <strong>en</strong> beslissing<strong>en</strong> te nem<strong>en</strong> bij het oploss<strong>en</strong><br />
van rek<strong>en</strong>vraagstukk<strong>en</strong>
Sam<strong>en</strong>vatting<br />
Deel 3. Afstemm<strong>en</strong><br />
In <strong>ERWD</strong> staan twee modell<strong>en</strong> c<strong>en</strong>traal om leerling<strong>en</strong> te observer<strong>en</strong> bij hun rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
ev<strong>en</strong>tuele problem<strong>en</strong> te signaler<strong>en</strong> <strong>en</strong> te analyser<strong>en</strong><br />
Hoofdstuk 10. Het Handelingsmodel<br />
Het Handelingsmodel is e<strong>en</strong> schematische weergave van de rek<strong>en</strong>ontwikkeling die alle leerling<strong>en</strong><br />
doormak<strong>en</strong> Het model geeft de opbouw van <strong>en</strong> de sam<strong>en</strong>hang tuss<strong>en</strong> de verschill<strong>en</strong>de niveaus van<br />
handel<strong>en</strong> systematisch weer<br />
23<br />
M<strong>en</strong>taal handel<strong>en</strong><br />
Verwoord<strong>en</strong> / communicer<strong>en</strong><br />
Formeel handel<strong>en</strong><br />
(formele bewerking<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong>)<br />
Voorstell<strong>en</strong> - abstract<br />
(repres<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> van de werkelijkheid aan de hand van d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong>)<br />
Voorstell<strong>en</strong> - concreet<br />
(repres<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> van object<strong>en</strong> <strong>en</strong> werkelijkheidssituaties in<br />
concrete afbeelding<strong>en</strong>)<br />
Informeel handel<strong>en</strong> in werkelijkheidssituaties (do<strong>en</strong>)<br />
Afbeelding 10.1 Het Handelingsmodel <strong>en</strong> de handelingsniveaus<br />
E<strong>en</strong> goede ontwikkeling op de twee onderste handelingsniveaus in het schema is <strong>vo</strong>orwaarde <strong>vo</strong>or<br />
het handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> functioner<strong>en</strong> op de twee bov<strong>en</strong>ste niveaus Het laagste handelingsniveau is tev<strong>en</strong>s<br />
de link met het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in dagelijkse situaties <strong>en</strong> daardoor de basis <strong>vo</strong>or functionele gecijferdheid<br />
Wij beschrijv<strong>en</strong> hoe het Handelingsmodel werkt <strong>en</strong> hoe e<strong>en</strong> leraar aan de hand van het model:<br />
• kan vaststell<strong>en</strong> op welke handelingsniveaus leerling<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (observer<strong>en</strong> <strong>en</strong> signaler<strong>en</strong>);<br />
• zijn onderwijs kan afstemm<strong>en</strong> op handelingsniveaus van leerling<strong>en</strong>;<br />
• handeling<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> kan observer<strong>en</strong>, analyser<strong>en</strong> <strong>en</strong> interpreter<strong>en</strong> om te bepal<strong>en</strong> wanneer<br />
interv<strong>en</strong>ties nodig zijn <strong>en</strong> welke interv<strong>en</strong>ties dat zijn (begeleiding, rek<strong>en</strong>onderzoek)
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Hoofdstuk 11. Het Drieslagmodel<br />
Het Drieslagmodel is e<strong>en</strong> model <strong>vo</strong>or probleemoploss<strong>en</strong>d handel<strong>en</strong> Het laat zi<strong>en</strong> hoe e<strong>en</strong> leerling<br />
de oplossingsprocedure bij contextopdracht<strong>en</strong> doorloopt De leerling gaat stapsgewijs van context<br />
naar bewerking (plann<strong>en</strong>), vandaar naar oplossing (uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van de bewerking) <strong>en</strong> van de oplossing<br />
terug naar het oorspronkelijke probleem (reflecter<strong>en</strong>) Het eig<strong>en</strong>lijke rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is slechts e<strong>en</strong><br />
onderdeel van het probleemoploss<strong>en</strong>d handel<strong>en</strong>, maar meestal wel ess<strong>en</strong>tieel <strong>vo</strong>or het resultaat<br />
24<br />
Context<br />
Reflecter<strong>en</strong><br />
Plann<strong>en</strong><br />
Oplossing<br />
Uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Bewerking<br />
Afbeelding 11.2 Het Drieslagmodel<br />
Wij beschrijv<strong>en</strong> hoe het Drieslagmodel werkt <strong>en</strong> hoe e<strong>en</strong> leraar het kan inzett<strong>en</strong> als didactisch<br />
model <strong>en</strong> als model <strong>vo</strong>or observatie <strong>en</strong> interv<strong>en</strong>tie Leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> het Drieslagmodel ook zelf<br />
ler<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> bij probleemoploss<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> Het model biedt aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de leraar<br />
om te reflecter<strong>en</strong> op zijn eig<strong>en</strong> didactische handel<strong>en</strong><br />
Hoofdstuk 12. Sam<strong>en</strong>hang <strong>en</strong> afstemming tuss<strong>en</strong> beide modell<strong>en</strong><br />
Het Handelingsmodel <strong>en</strong> het Drieslagmodel zijn allebei bruikbaar in reguliere lessituaties Ze zijn<br />
e<strong>en</strong> refer<strong>en</strong>tiepunt bij de begeleiding van rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong>; iedere leraar <strong>en</strong> begeleider verwijst<br />
steeds naar de modell<strong>en</strong> bij zijn interv<strong>en</strong>ties Hierbij spel<strong>en</strong> ook leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> e<strong>en</strong> rol,<br />
omdat deze altijd van invloed zijn op het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Ze spel<strong>en</strong> dus ook e<strong>en</strong> rol bij de afstemming<br />
op de ontwikkeling van het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> van de leerling<br />
Het Handelingsmodel <strong>en</strong> het Drieslagmodel kunn<strong>en</strong> word<strong>en</strong> gekoppeld Tijd<strong>en</strong>s de stapp<strong>en</strong> van<br />
het probleemoploss<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> hun rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> op verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus<br />
uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Het Handelingsmodel kan binn<strong>en</strong> het Drieslagmodel word<strong>en</strong> gebruikt
Sam<strong>en</strong>vatting<br />
Hoofdstuk 13. Aandachtspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or afstemming<br />
Wij gebruik<strong>en</strong> het Handelingsmodel, het Drieslagmodel <strong>en</strong> leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> lijst met<br />
aandachtspunt<strong>en</strong> om rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> te signaler<strong>en</strong> <strong>en</strong> te analyser<strong>en</strong> De lijst is niet uitputt<strong>en</strong>d<br />
Het is e<strong>en</strong> praktisch hulpmiddel om systematisch te kijk<strong>en</strong> naar het rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, de rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> die leerling<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong><br />
De aandachtspunt<strong>en</strong> zijn relevant in begeleidings- <strong>en</strong> onderzoekssituaties om de afstemming<br />
o ptimaal te mak<strong>en</strong> <strong>en</strong> de <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> te bekijk<strong>en</strong> In de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> r ek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>specialist<strong>en</strong> problem<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> vroeg stadium ontdekk<strong>en</strong> <strong>en</strong> analyser<strong>en</strong>, waardoor zij tijdig<br />
kunn<strong>en</strong> ingrijp<strong>en</strong> <strong>en</strong> het onderwijs beter kunn<strong>en</strong> afstemm<strong>en</strong><br />
25<br />
Deel 4. Begeleiding<br />
Hoofdstuk 14. Begeleiding van leerling<strong>en</strong> met rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
Leerling<strong>en</strong> die in het <strong>vo</strong> in aanmerking kom<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or afstemming van begeleiding bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong> word<strong>en</strong><br />
ingedeeld in drie begeleidingscategorieën<br />
Plaatsing van leerling<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> van de drie categorieën gebeurt bij de start in het <strong>vo</strong> op basis van<br />
gegev<strong>en</strong>s van het basisonderwijs of tijd<strong>en</strong>s het <strong>vo</strong> op basis van <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> die zij aantoonbaar al<br />
of niet mak<strong>en</strong><br />
Naarmate de problem<strong>en</strong> to<strong>en</strong>em<strong>en</strong> wordt de begeleiding steeds specifieker afgestemd <strong>en</strong> int<strong>en</strong>siever<br />
In dit hoofdstuk beschrijv<strong>en</strong> wij de mate van betrokk<strong>en</strong>heid <strong>en</strong> de roll<strong>en</strong> van de (rek<strong>en</strong>)lerar<strong>en</strong>,<br />
de m<strong>en</strong>tor, de rek<strong>en</strong>specialist <strong>en</strong> andere functionariss<strong>en</strong><br />
Hoofdstuk 15. Begeleiding in categorie 1<br />
De leerling in begeleidingscategorie 1 is in principe in staat het onderwijs te <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> in de leerroute<br />
waarin hij is geplaatst Daarbinn<strong>en</strong> kan hij geringe rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> op specifieke onderdel<strong>en</strong><br />
van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Hij heeft soms extra, meer afgestemde instructie <strong>en</strong> meer oef<strong>en</strong>tijd nodig<br />
Daarmee komt de leerling in subcategorie 1b De leerling krijgt deze extra, afgestemde instructie in<br />
subgroepjes binn<strong>en</strong> de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>leraar biedt extra instructie, ev<strong>en</strong>tueel in overleg met de rek<strong>en</strong>specialist Hij stemt het<br />
onderwijs af met behulp van de vier Hoofdlijn<strong>en</strong> <strong>en</strong> het Handelingsmodel De rek<strong>en</strong>leraar <strong>vo</strong>ert<br />
korte rek<strong>en</strong>gesprekk<strong>en</strong> met zijn leerling<strong>en</strong> om d<strong>en</strong>kprocess<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong> helder te krijg<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> te kunn<strong>en</strong> analyser<strong>en</strong> Hierbij maakt hij gebruik van het Drieslagmodel<br />
Bij aantoonbaar <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> blijft de leerling in categorie 1 Bij aantoonbaar on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de<br />
<strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> gaat hij door naar begeleidingscategorie 2
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Hoofdstuk 16. Begeleiding in categorie 2<br />
26<br />
In begeleidingscategorie 2 word<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> geplaatst die ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ondervind<strong>en</strong><br />
De begeleiding start met e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek De rek<strong>en</strong>specialist <strong>vo</strong>ert dit rek<strong>en</strong>onderzoek<br />
uit Hij stelt e<strong>en</strong> individueel handelingsplan op De rek<strong>en</strong>specialist <strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>leraar werk<strong>en</strong><br />
dit handelingsplan uit naar concrete lesdoel<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>specialist biedt afgestemde instructie op basis van het handelingsplan De rek<strong>en</strong>leraar<br />
biedt aanvull<strong>en</strong>de instructie tijd<strong>en</strong>s de rek<strong>en</strong>les <strong>en</strong> begeleidt de leerling bij het oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Bij aantoonbaar <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> gaat de leerling terug naar begeleidingscategorie 1 Bij aantoonbaar<br />
on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> gaat de leerling door naar begeleidingscategorie 3<br />
Hoofdstuk 17. Begeleiding in categorie 3<br />
Begeleiding in categorie 3 start met e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek Op basis van de resultat<strong>en</strong><br />
van dat onderzoek stelt de diagnosticus e<strong>en</strong> handelingsadvies op De rek<strong>en</strong>specialist koppelt dit<br />
advies aan het individuele handelingsplan <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> dat in begeleidingscategorie 2 al is opgesteld<br />
Hij stemt het handelingsplan nog specifieker af op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling<br />
Bij aantoonbaar <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> gaat de leerling terug naar categorie 2 Bij aantoonbaar<br />
on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> of in geval van e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring krijgt de leerling blijv<strong>en</strong>de,<br />
structurele begeleiding op maat in begeleidingscategorie 3<br />
Deel 5. Onderzoek<br />
Hoofdstuk 18. Diagnostiek in begeleidingscategorie 2 (diagnostisch<br />
rek<strong>en</strong>onderzoek)<br />
E<strong>en</strong> leerling komt in aanmerking <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek wanneer het vermoed<strong>en</strong><br />
bestaat dat er sprake is van ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> Dit onderzoek wordt uitge<strong>vo</strong>erd door de<br />
r ek<strong>en</strong>specialist Wij beschrijv<strong>en</strong> het verloop <strong>en</strong> de inhoud van het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek<br />
Dit hoort bij de begeleiding in categorie 2<br />
Het rek<strong>en</strong>onderzoek is e<strong>en</strong> onderzoek naar het repertoire van de leerling op het gebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong>:<br />
welke inzicht<strong>en</strong>, k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> heeft hij inmiddels <strong>en</strong> waar ligg<strong>en</strong> de gr<strong>en</strong>z<strong>en</strong> daarvan?<br />
E<strong>en</strong> diagnostisch gesprek met de leerling <strong>vo</strong>rmt de kern van het onderzoek<br />
Verder onderzoekt hij welke specifieke omgevingsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> (onder andere de onderwijsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> de thuis- <strong>en</strong> op<strong>vo</strong>edingssituatie) e<strong>en</strong> rol spel<strong>en</strong> <strong>en</strong> welke leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> het leerproces<br />
beïnvloed<strong>en</strong><br />
Soms zijn meerdere gesprekk<strong>en</strong> met de leerling nodig om dat repertoire in kaart te br<strong>en</strong>g<strong>en</strong> E<strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong>onderzoek is per definitie niet gestandaardiseerd, maar adaptief, inspel<strong>en</strong>d op wat de leerling<br />
weet, doet <strong>en</strong> zegt De onderzoeker <strong>vo</strong>ert dit gesprek in e<strong>en</strong> min of meer formele setting<br />
De diagnostiek bij het rek<strong>en</strong>onderzoek vereist dat zij wordt uitge<strong>vo</strong>erd door e<strong>en</strong> onderzoeker met<br />
ervaring in het <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van diagnostische gesprekk<strong>en</strong> Hij heeft zowel pedagogische <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>didactische<br />
als diagnostische k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> Hij werkt <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s het model van handelingsgerichte<br />
diagnostiek (HGD) (Pameijer & Van Beukering, 2004)
Sam<strong>en</strong>vatting<br />
Na het diagnostisch gesprek analyseert de rek<strong>en</strong>specialist de resultat<strong>en</strong>, hij komt tot conclusies <strong>en</strong><br />
stelt e<strong>en</strong> verslag op Hij beschrijft daarin zijn bevinding<strong>en</strong> <strong>en</strong> de analyse van het diagnostisch<br />
g esprek, de positieve aanknopingspunt<strong>en</strong> wat betreft rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong>, omgevingsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> zijn handelingsadviez<strong>en</strong><br />
De handelingsadviez<strong>en</strong> word<strong>en</strong> vertaald naar int<strong>en</strong>sieve <strong>en</strong> specifieke begeleiding van de leerling<br />
Op basis van het rapport wordt e<strong>en</strong> individueel handelingsplan opgesteld Hiermee kan de school<br />
pass<strong>en</strong>de begeleiding bied<strong>en</strong><br />
27<br />
Hoofdstuk 19. Diagnostiek in begeleidingscategorie 3 (psychodiagnostisch<br />
onderzoek)<br />
E<strong>en</strong> leerling komt in aanmerking <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek wanneer het vermoed<strong>en</strong><br />
bestaat dat er sprake is van ernstige <strong>en</strong> hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> (dyscalculie) Dit vermoed<strong>en</strong><br />
blijkt uit het leerlingdossier Wij zijn van m<strong>en</strong>ing dat er zonder onderbouwd vermoed<strong>en</strong> ge<strong>en</strong> psychodiagnostisch<br />
onderzoek plaats mag vind<strong>en</strong> Verder zijn wij van m<strong>en</strong>ing dat e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring<br />
na de basisschool alle<strong>en</strong> nog in de eerste twee leerjar<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> kan word<strong>en</strong> afgegev<strong>en</strong><br />
E<strong>en</strong> dyscalculieverklaring is te beschouw<strong>en</strong> als e<strong>en</strong> verbod<strong>en</strong>toegangsverklaring <strong>vo</strong>or diverse ver<strong>vo</strong>lgopleiding<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> beroep<strong>en</strong><br />
Het psychodiagnostisch onderzoek gaat dieper in op de achterligg<strong>en</strong>de problematiek van het ler<strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> de taalontwikkeling van de leerling dan e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek De onderzoeker<br />
probeert te achterhal<strong>en</strong> wat bij deze leerling de condities zijn <strong>vo</strong>or het ler<strong>en</strong> in het algeme<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het bijzonder<br />
E<strong>en</strong> gekwalificeerde <strong>en</strong> geregistreerde diagnosticus <strong>vo</strong>ert het onderzoek uit <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s het model van<br />
handelingsgerichte diagnostiek (HGD) Hij is gespecialiseerd in rek<strong>en</strong><strong>en</strong> of werkt nauw sam<strong>en</strong><br />
met e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>specialist<br />
Na het onderzoek maakt de diagnosticus e<strong>en</strong> verslag met zijn diagnose <strong>en</strong> e<strong>en</strong> conceptadvies <strong>vo</strong>or<br />
de verdere begeleiding van de leerling Hij gaat in op:<br />
• primaire <strong>en</strong> secundaire verklar<strong>en</strong>de factor<strong>en</strong>, de IQ-bepaling <strong>en</strong> comorbiditeit;<br />
• specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling op het gebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• het perspectief op lange termijn (koersbepaling);<br />
• pass<strong>en</strong>de <strong>en</strong> haalbare handelingsadviez<strong>en</strong> <strong>en</strong> concrete aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de begeleiding<br />
Op basis van het rapport wordt e<strong>en</strong> individueel handelingsplan opgesteld <strong>vo</strong>or de begeleiding van<br />
de leerling op het gebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Na e<strong>en</strong> half jaar van int<strong>en</strong>sieve begeleiding stelt de diagnosticus vast of er wel of ge<strong>en</strong> sprake is van<br />
dyscalculie Wanneer er sprake is van dyscalculie kan de diagnosticus e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring<br />
aan de leerling verl<strong>en</strong><strong>en</strong> (onder <strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong>)
Deel 1<br />
Visie <strong>en</strong> organisatie<br />
1 Aandacht <strong>vo</strong>or ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
2 Visie <strong>en</strong> uitgangspunt<strong>en</strong><br />
3 Rek<strong>en</strong>beleid<br />
4 Checklist rek<strong>en</strong><strong>en</strong>
1 Aandacht <strong>vo</strong>or ler<strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong>
In dit hoofdstuk schets<strong>en</strong> wij de positie van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het <strong>vo</strong>. Wij b eschrijv<strong>en</strong><br />
de rol die dit <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 heeft bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, wat wij onder ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> dyscalculie verstaan <strong>en</strong> hoe die e<strong>en</strong> rol spel<strong>en</strong> in de verschill<strong>en</strong>de<br />
leerroutes binn<strong>en</strong> het <strong>vo</strong>. T<strong>en</strong> slotte gev<strong>en</strong> wij aan op wie dit protocol zich primair<br />
richt.<br />
1
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
1.1 Waarom aandacht <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het <strong>vo</strong>?<br />
32<br />
‘Rek<strong>en</strong><strong>en</strong>’ kwam tot <strong>vo</strong>or kort niet <strong>vo</strong>or op het lesrooster in het <strong>vo</strong> M<strong>en</strong> ging ervan uit dat de leerling<strong>en</strong><br />
kond<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Aang<strong>en</strong>om<strong>en</strong> werd dat zij hun rek<strong>en</strong>vaardigheid <strong>en</strong> -k<strong>en</strong>nis kond<strong>en</strong> inzett<strong>en</strong><br />
<strong>vo</strong>or alle vakk<strong>en</strong> Dit werd meestal aangeduid als ‘rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in de vakk<strong>en</strong>’ Gedacht werd dat<br />
leerling<strong>en</strong> hiermee ook hun rek<strong>en</strong>vaardigheid <strong>en</strong> -k<strong>en</strong>nis op peil zoud<strong>en</strong> houd<strong>en</strong> Er werd weinig<br />
aandacht geschonk<strong>en</strong> aan algem<strong>en</strong>e rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> die nodig zijn <strong>vo</strong>or functioner<strong>en</strong> in de<br />
maatschappij of <strong>vo</strong>or doorstroom naar beroepsonderwijs of universiteit Het gaat in die gevall<strong>en</strong><br />
om functionele gecijferdheid Functionele gecijferdheid wordt internationaal ook wel aangeduid<br />
als numeracy. De definitie die de PIAAC Numeracy Expert Group van de Organisation for Economic<br />
Co-operation and Developm<strong>en</strong>t (OECD) – ook wel bek<strong>en</strong>d als OESO – gebruikt, luidt als <strong>vo</strong>lgt<br />
k ERn<br />
Numeracy<br />
Numeracy is the ability to access, use, interpret, and communicate mathematical information<br />
and ideas, in order to <strong>en</strong>gage in and manage the mathematical demands of a<br />
range of situations in adult life.<br />
Geciteerd naar PIAAC Numeracy Expert Group (2009, p. 21).<br />
Sinds 2010 krijgt rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in alle sector<strong>en</strong> van het <strong>vo</strong> steeds meer aandacht Het is weliswaar nog<br />
steeds niet e<strong>en</strong> ‘echt’ vak, maar het komt op veel <strong>vo</strong>-schol<strong>en</strong> inmiddels wel op het lesrooster <strong>vo</strong>or<br />
Hier<strong>vo</strong>or war<strong>en</strong> verschill<strong>en</strong>de aanleiding<strong>en</strong> Wij licht<strong>en</strong> de belangrijkste hierna kort toe Deze <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong><br />
de context waarbinn<strong>en</strong> dit protocol gaat functioner<strong>en</strong><br />
• Aanleiding 1: ongerustheid <strong>en</strong> wetgeving<br />
Ongerustheid over de rek<strong>en</strong>vaardigheid van leerling<strong>en</strong> was de primaire aanleiding om te kom<strong>en</strong><br />
tot wetgeving op het gebied van Nederlandse taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in alle onderwijssoort<strong>en</strong> <strong>en</strong> daarmee<br />
ook in het <strong>vo</strong><br />
Door media-aandacht groeide het besef dat de rek<strong>en</strong>vaardigheid van leerling<strong>en</strong> in alle onderwijssector<strong>en</strong><br />
tekortschoot Rek<strong>en</strong>vaardigheid die de leerling<strong>en</strong> in het basisonderwijs al verworv<strong>en</strong> hadd<strong>en</strong>,<br />
liep in het <strong>vo</strong> weer snel terug Dit gold zeker in de onderwijssector<strong>en</strong> waar ge<strong>en</strong> aandacht aan<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> werd besteed Leerling<strong>en</strong> die rek<strong>en</strong><strong>en</strong> wild<strong>en</strong> mijd<strong>en</strong>, koz<strong>en</strong> richting<strong>en</strong> waar rek<strong>en</strong>vaardigheid<br />
ge<strong>en</strong> grote rol speelde Dit vermijdingsgedrag kwam ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s ook terug bij de doorstroming<br />
naar middelbaar <strong>en</strong> hoger beroepsonderwijs <strong>en</strong> naar de universiteit In de route via mbo <strong>en</strong><br />
hbo kon hierdoor e<strong>en</strong> ongew<strong>en</strong>st stapeleffect ontstaan Dit kwam bij<strong>vo</strong>orbeeld <strong>vo</strong>or bij leerling<strong>en</strong><br />
die via het mbo naar de pabo doorstroomd<strong>en</strong> Deze tr<strong>en</strong>d had op zijn beurt ongunstige ge<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong><br />
<strong>vo</strong>or de rek<strong>en</strong>vaardigheid van nieuwe basisschoollerar<strong>en</strong> Daardoor kwam ook de kwaliteit van het<br />
rek<strong>en</strong>onderwijs op de basisschool onder druk te staan Zo ontstond iets dat op e<strong>en</strong> vicieuze cirkel<br />
ging lijk<strong>en</strong><br />
Ook de resultat<strong>en</strong> van internationaal vergelijk<strong>en</strong>de onderzoek<strong>en</strong>, zoals de PISA-onderzoek<strong>en</strong><br />
(OECD, 2001, 2007), droeg<strong>en</strong> bij aan het doordring<strong>en</strong>d besef dat de rek<strong>en</strong>vaardigheid terugliep<br />
Deze onderzoek<strong>en</strong> lek<strong>en</strong> namelijk te suggerer<strong>en</strong> dat de positie van Nederland achteruitging t<strong>en</strong><br />
opzichte van andere land<strong>en</strong><br />
De ongerustheid over de kwaliteit van het taal- <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>onderwijs was in 2007 de aanleiding <strong>vo</strong>or<br />
de to<strong>en</strong>malige staatssecretaris van OCW om de Expertgroep Doorlop<strong>en</strong>de Leerlijn<strong>en</strong> <strong>Taal</strong> <strong>en</strong> Rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
te installer<strong>en</strong> Deze ‘Commissie Meijerink’ adviseerde in 2008 om ope<strong>en</strong><strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus<br />
<strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> Nederlandse taal vast te stell<strong>en</strong> Dit advies resulteerde uiteindelijk in april
hoofdstuk 1 Aandacht <strong>vo</strong>or ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
2010 in de publicatie van de Wet refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus Nederlandse taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Deze wet is per 1 augustus<br />
2010 in werking getred<strong>en</strong><br />
De wet introduceert e<strong>en</strong> systeem van op elkaar aansluit<strong>en</strong>de drempelmom<strong>en</strong>t<strong>en</strong>, met daarmee<br />
verbond<strong>en</strong> refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus <strong>vo</strong>or Nederlandse taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> heeft hierdoor in het <strong>vo</strong><br />
e<strong>en</strong> bijzondere positie gekreg<strong>en</strong> Het <strong>vo</strong> heeft de opdracht er<strong>vo</strong>or te zorg<strong>en</strong> dat alle leerling<strong>en</strong> ook<br />
na de basisschool hun rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardigheid onderhoud<strong>en</strong>, verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> blijv<strong>en</strong><br />
toepass<strong>en</strong><br />
• Aanleiding 2: drempelmom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> <strong>en</strong> verplichte rek<strong>en</strong>toets<strong>en</strong><br />
Op drempelmom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> in de schoolloopbaan wordt het rek<strong>en</strong>niveau van de leerling<strong>en</strong> getoetst<br />
33<br />
De Wet refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus Nederlandse taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> heeft tot ge<strong>vo</strong>lg dat de drempelmom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> aan<br />
het begin <strong>en</strong> eind van de opleiding<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> gekoppeld zijn aan e<strong>en</strong> bepaald refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau<br />
De wet veronderstelt dat leerling<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> t<strong>en</strong> minste Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau 1F (F staat <strong>vo</strong>or fundam<strong>en</strong>teel<br />
niveau) beheers<strong>en</strong> als ze instrom<strong>en</strong> in het vmbo Voor leerling<strong>en</strong> die start<strong>en</strong> in ha<strong>vo</strong> of<br />
vwo is dat t<strong>en</strong> minste Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau 1S (S staat <strong>vo</strong>or streefniveau) Eind vmbo is niveau 2F vereist<br />
Eind ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo is 3F vereist Het doel hiervan is het waarborg<strong>en</strong> van t<strong>en</strong> minste e<strong>en</strong> fundam<strong>en</strong>teel<br />
niveau <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
E<strong>en</strong> afgeleid ge<strong>vo</strong>lg van de Wet Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus Nederlandse taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is dat <strong>vo</strong>or al deze niveaus<br />
c<strong>en</strong>traal ontwikkelde rek<strong>en</strong>toets<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> als onderdeel van de eindexam<strong>en</strong>s <strong>vo</strong>or vmbo, ha<strong>vo</strong><br />
<strong>en</strong> vwo De eis<strong>en</strong> die aan de rek<strong>en</strong>toets<strong>en</strong> word<strong>en</strong> gesteld, word<strong>en</strong> vastgelegd in rek<strong>en</strong>toetswijzers<br />
Dit zijn regelgev<strong>en</strong>de docum<strong>en</strong>t<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or respectievelijk 2F (vmbo) <strong>en</strong> 3F (ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo) Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is<br />
inmiddels e<strong>en</strong> van de kernvakk<strong>en</strong> van het eindexam<strong>en</strong> Het behaalde resultaat bij deze toetsing telt<br />
mee bij de beslissing over zakk<strong>en</strong> of slag<strong>en</strong>, conform de betreff<strong>en</strong>de uitslagregel Daarmee zijn de<br />
schol<strong>en</strong> aan zet<br />
Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is in de kernvakk<strong>en</strong>regel expliciet <strong>vo</strong>or alle leerroutes in het <strong>vo</strong> opg<strong>en</strong>om<strong>en</strong>, met uitzondering<br />
van het Praktijkonderwijs Hierdoor is er naast de kernvakk<strong>en</strong> Nederlandse taal, Engelse<br />
taal <strong>en</strong> wiskunde dus ook e<strong>en</strong> kernvak rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is echter ge<strong>en</strong> exam<strong>en</strong>vak, maar e<strong>en</strong> basisvaardigheid.<br />
Hoe schol<strong>en</strong> dat <strong>vo</strong>rmgev<strong>en</strong> is aan h<strong>en</strong>, mits het maar leidt tot onderhoud <strong>en</strong> verhoging van<br />
wat op de basisschool is geleerd. 1 Dit protocol spreekt daarom van het kernvak rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Op alle refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus gaat het bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong> om vier domein<strong>en</strong>: getall<strong>en</strong>, verhouding<strong>en</strong>, met<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> meetkunde, verband<strong>en</strong> Deze domein<strong>en</strong> zijn dezelfde als die in het basisonderwijs Opmerkelijk<br />
is wel dat hierdoor ook in het <strong>vo</strong> meetkunde e<strong>en</strong> onderdeel is van het kernvak rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Bij het<br />
ontwikkel<strong>en</strong> van k<strong>en</strong>nis, inzicht <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> elk domein gaat het om de drie compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
paraat hebb<strong>en</strong>, functioneel gebruik<strong>en</strong> <strong>en</strong> wet<strong>en</strong> waarom.<br />
1 “Aanpassing<strong>en</strong> in examinering <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs” (communicatie van het ministerie van OCW, 3 november,<br />
2011).
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
k ERn<br />
Drie compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
• Paraat hebb<strong>en</strong>: <strong>vo</strong>lledige beheersing van feit<strong>en</strong>, begripp<strong>en</strong>, routines <strong>en</strong> techniek<strong>en</strong>.<br />
• Functioneel gebruik<strong>en</strong>: kunn<strong>en</strong> toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> van k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> in<br />
allerlei situaties waarin gerek<strong>en</strong>d <strong>en</strong> gered<strong>en</strong>eerd moet word<strong>en</strong>.<br />
• Wet<strong>en</strong> waarom: inzicht in principes, formaliser<strong>en</strong>, abstraher<strong>en</strong>, overzicht.<br />
Geciteerd naar Expertgroep Doorlop<strong>en</strong>de Leerlijn<strong>en</strong> <strong>Taal</strong> <strong>en</strong> Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (2008, p. 49).<br />
34<br />
• Aanleiding 3: ‘pass<strong>en</strong>d onderwijs’<br />
E<strong>en</strong> derde aanleiding om specifiek op de rek<strong>en</strong>vaardigheid van leerling<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> te lett<strong>en</strong>, zijn<br />
de (<strong>vo</strong>orgestelde) aanpassing<strong>en</strong> van de Wet op het <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs (W<strong>VO</strong>) op grond van de herzi<strong>en</strong>ing<br />
van de organisatie <strong>en</strong> financiering van de ondersteuning van leerling<strong>en</strong> in het basisonderwijs,<br />
speciaal <strong>en</strong> <strong>vo</strong>ortgezet speciaal onderwijs, <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs <strong>en</strong> beroepsonderwijs, meestal aangeduid<br />
als ‘pass<strong>en</strong>d onderwijs’ 2<br />
Op grond van deze aanpassing<strong>en</strong> in de W<strong>VO</strong> is het onder meer noodzakelijk dat schol<strong>en</strong> expliciter<strong>en</strong><br />
welke leerling<strong>en</strong> ‘extra ondersteuning behoev<strong>en</strong>’ Dat geldt ook als leerling<strong>en</strong> die extra ondersteuning<br />
behoev<strong>en</strong> vanwege problem<strong>en</strong> bij (de ontwikkeling van) de rek<strong>en</strong>vaardigheid Alle<strong>en</strong> op<br />
basis van deze nadere analyse van de ondersteuningsbehoefte kan de school bepal<strong>en</strong> of het onderwijs<br />
(door h<strong>en</strong>zelf) ‘pass<strong>en</strong>d’ gemaakt kan word<strong>en</strong>, of dat aanvull<strong>en</strong>de maatregel<strong>en</strong> nodig zijn,<br />
bij<strong>vo</strong>orbeeld vanuit het sam<strong>en</strong>werkingsverband pass<strong>en</strong>d onderwijs Indi<strong>en</strong> de problem<strong>en</strong> dusdanig<br />
zijn dat extra ondersteuning of zelfs e<strong>en</strong> afwijking van het lesprogramma noodzakelijk is, zijn<br />
schol<strong>en</strong> verplicht in e<strong>en</strong> onderbouwd ontwikkelingsperspectief bij de leerling pass<strong>en</strong>de doel<strong>en</strong> vast<br />
te stell<strong>en</strong> Deze aanpassing<strong>en</strong> word<strong>en</strong> jaarlijks geëvalueerd <strong>en</strong> aan de ouders/verzorgers van de<br />
leerling gerapporteerd (wwwpass<strong>en</strong>donderwijsnl)<br />
De bijna gelijktijdige in<strong>vo</strong>ering van zowel de Wet Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus Nederlandse taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> als<br />
van aanpassing<strong>en</strong> in het kader van Pass<strong>en</strong>d onderwijs kan praktische ge<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong><br />
met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> of met dyscalculie Als het beheers<strong>en</strong> van Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau 1F<br />
<strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>vo</strong>orwaarde is <strong>vo</strong>or instroom in het vmbo – zoals in het overzicht van drempelmom<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
is aangegev<strong>en</strong> – kan dat betek<strong>en</strong><strong>en</strong> dat leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> of met<br />
dyscalculie tuss<strong>en</strong> wal <strong>en</strong> schip terechtkom<strong>en</strong> Zij <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong> niet aan de toelatingscriteria <strong>vo</strong>or het<br />
Praktijkonderwijs, waardoor schol<strong>en</strong> dan e<strong>en</strong> beroep zoud<strong>en</strong> gaan do<strong>en</strong> op de ‘<strong>vo</strong>orzi<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or<br />
extra ondersteuning’ die sam<strong>en</strong>werkingsverband<strong>en</strong> pass<strong>en</strong>d onderwijs kunn<strong>en</strong> toewijz<strong>en</strong> Dit zou<br />
tot e<strong>en</strong> vergrote vraag naar de middel<strong>en</strong> van het sam<strong>en</strong>werkingsverband leid<strong>en</strong>, terwijl de groei in<br />
het kader van ‘de herzi<strong>en</strong>ing van de organisatie <strong>en</strong> financiering’ budgettair is gelimiteerd<br />
Dat maakt het extra belangrijk dat er tuss<strong>en</strong> het basisonderwijs <strong>en</strong> het <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs goede<br />
afsprak<strong>en</strong> bestaan over de informatie die nodig is om tot pass<strong>en</strong>de oplossing<strong>en</strong> te kom<strong>en</strong> Alle<strong>en</strong><br />
dan kunn<strong>en</strong> de schol<strong>en</strong> – in overleg met de ouders/verzorgers van de leerling <strong>en</strong> de leerling zelf<br />
– be<strong>vo</strong>rder<strong>en</strong> dat leerling<strong>en</strong> ontwikkelingsmogelijkhed<strong>en</strong> krijg<strong>en</strong> die recht do<strong>en</strong> aan hun tal<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> behoeft<strong>en</strong><br />
2 https://zoek.officielebek<strong>en</strong>dmaking<strong>en</strong>.nl/kst-33106-B.html
hoofdstuk 1 Aandacht <strong>vo</strong>or ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
• Aanleiding 4: sam<strong>en</strong>leving vraagt ‘functionele gecijferdheid’<br />
In e<strong>en</strong> wat breder perspectief is het be<strong>vo</strong>rder<strong>en</strong> van functionele gecijferdheid e<strong>en</strong> belangrijke red<strong>en</strong><br />
om rek<strong>en</strong><strong>en</strong> e<strong>en</strong> plek te gev<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> Functionele gecijferdheid gaat verder dan het kunn<strong>en</strong><br />
mak<strong>en</strong> van ‘kale somm<strong>en</strong>’<br />
Uit diverse onderzoek<strong>en</strong> (onder andere Nibud, 2011) blijkt dat veel jonger<strong>en</strong>, met name de wat lager<br />
opgeleide jonger<strong>en</strong>, moeite hebb<strong>en</strong> hun uitgav<strong>en</strong> te overzi<strong>en</strong> <strong>en</strong> in de hand te houd<strong>en</strong> E<strong>en</strong> reclamecampagne<br />
als Pas op! Geld l<strong>en</strong><strong>en</strong> kost geld! is er niet <strong>vo</strong>or niets Het niet herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> van de betek<strong>en</strong>is<br />
van mat<strong>en</strong> <strong>en</strong> getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> de consequ<strong>en</strong>ties van financiële verplichting<strong>en</strong> zijn actuele <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong><br />
van zwakke gecijferdheid Zie afbeelding 11 <strong>vo</strong>or meer <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong><br />
35<br />
Voor het <strong>vo</strong>lwaardig kunn<strong>en</strong> functioner<strong>en</strong> in de sam<strong>en</strong>leving <strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het met succes kunn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong><br />
van beroepsopleiding<strong>en</strong> is functionele gecijferdheid blijkbaar e<strong>en</strong> noodzaak<br />
Gecijferd of ongecijferd?<br />
De tijdwinst door de verhoging van de maximumsnelheid op snelweg<strong>en</strong> van 120 km naar 130 km is<br />
(per uur) maximaal<br />
5 minut<strong>en</strong><br />
15 minut<strong>en</strong><br />
25 minut<strong>en</strong><br />
De oppervlakte van Nederland is ongeveer<br />
60 duiz<strong>en</strong>d m 2<br />
60 miljo<strong>en</strong> m 2<br />
60 miljard m 2<br />
Je wilt e<strong>en</strong> usb-stick kop<strong>en</strong> om daarop 150 foto’s te zett<strong>en</strong> van gemiddeld 7 MB. Dan heb je minimaal e<strong>en</strong><br />
opslagcapaciteit nodig van<br />
1 GB<br />
10 GB<br />
100 GB<br />
D<strong>en</strong>nis van 14 koopt e<strong>en</strong> fraaie tv op afbetaling. Dat kost hem € 20,-- per maand (looptijd 76 maand<strong>en</strong>).<br />
Hoe oud is D<strong>en</strong>nis als hij de tv heeft afbetaald?<br />
15 jaar<br />
17 jaar<br />
20 jaar<br />
Afbeelding 1.1 Voorbeeld<strong>en</strong> van meerkeuzeopgav<strong>en</strong> die e<strong>en</strong> beroep do<strong>en</strong> op functionele gecijferdheid
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
• Aanleiding 5: moderne tijd drijft op rek<strong>en</strong>vaardigheid<br />
In e<strong>en</strong> nog ruimer perspectief is rek<strong>en</strong><strong>en</strong> belangrijk vanwege de bijdrage die het levert aan vaardighed<strong>en</strong><br />
die in de 21ste eeuw belangrijk zull<strong>en</strong> zijn <strong>vo</strong>or jonger<strong>en</strong> van nu<br />
36<br />
Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> maakt onderdeel uit van <strong>en</strong> draagt bij aan wat g<strong>en</strong>erieke vaardighed<strong>en</strong> word<strong>en</strong> g<strong>en</strong>oemd<br />
(Boswinkel & Schram, 2011) Het gaat dan onder meer om d<strong>en</strong>kvaardighed<strong>en</strong> <strong>en</strong> om het kunn<strong>en</strong><br />
drag<strong>en</strong> van verantwoordelijkheid In Binkley et al (2010) staan dergelijke vaardighed<strong>en</strong> opgesomd<br />
(zie afbeelding 12)<br />
G<strong>en</strong>erieke vaardighed<strong>en</strong> die belangrijk zijn in de 21ste eeuw<br />
A Manier<strong>en</strong> van d<strong>en</strong>k<strong>en</strong><br />
1 Creatief <strong>en</strong> innovatief d<strong>en</strong>k<strong>en</strong><br />
2 Kritisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong>, oplossingsgericht d<strong>en</strong>k<strong>en</strong>, beslissing<strong>en</strong> nem<strong>en</strong><br />
3 Ler<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> (metacognitie)<br />
B Manier<strong>en</strong> van werk<strong>en</strong><br />
4 Communicer<strong>en</strong><br />
5 Sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong> (teamwerk)<br />
C Instrum<strong>en</strong>t<strong>en</strong> (b<strong>en</strong>odigdhed<strong>en</strong> om te kunn<strong>en</strong> werk<strong>en</strong>)<br />
6 Informatievaardighed<strong>en</strong><br />
7 ICT-vaardighed<strong>en</strong><br />
D Wereldburgerschap<br />
8 Burgerschap (lokaal <strong>en</strong> wereldwijd)<br />
9 Lev<strong>en</strong> <strong>en</strong> werk<strong>en</strong> (relaties <strong>en</strong> loopbaan)<br />
10 Persoonlijke <strong>en</strong> sociale verantwoordelijkheid (inclusief cultureel bewustzijn <strong>en</strong> culturele compet<strong>en</strong>tie)<br />
Afbeelding 1.2 KSAVE-model (Knowledge, Skills and Attitudes, Values and Ethics) (Binkley et al., 2010)<br />
1.2 Waarom is er e<strong>en</strong> <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2?<br />
Dit protocol is gemaakt als e<strong>en</strong> ver<strong>vo</strong>lg op het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>1 <strong>vo</strong>or het primair onderwijs De stapp<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> aanpakk<strong>en</strong> die in dit eerste protocol beschrev<strong>en</strong> staan, zull<strong>en</strong> te zijner tijd geld<strong>en</strong> als de<br />
uitgangssituatie <strong>vo</strong>or het <strong>vo</strong> Wanneer het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>1 <strong>vo</strong>lledig geïmplem<strong>en</strong>teerd is in het basisonderwijs,<br />
is de rek<strong>en</strong>geschied<strong>en</strong>is van elke leerling bek<strong>en</strong>d Het is dan van elke leerling duidelijk<br />
of er sprake is geweest van e<strong>en</strong> stagner<strong>en</strong>de of e<strong>en</strong> moeizaam verlop<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
In e<strong>en</strong> dergelijk geval is de leerling gesignaleerd, begeleid <strong>en</strong> indi<strong>en</strong> nodig nader gediagnosticeerd<br />
conform dat protocol<br />
Tot het mom<strong>en</strong>t van de <strong>vo</strong>lledige implem<strong>en</strong>tatie zull<strong>en</strong> er leerling<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> instrom<strong>en</strong> van wie<br />
nog niet precies bek<strong>en</strong>d is hoe hun rek<strong>en</strong>ontwikkeling is verlop<strong>en</strong> Dit kan betek<strong>en</strong><strong>en</strong> dat de grote<br />
diversiteit aan verworv<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis, inzicht<strong>en</strong> <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> die deze leerling<strong>en</strong> meebr<strong>en</strong>g<strong>en</strong>, niet<br />
adequaat is gedocum<strong>en</strong>teerd
hoofdstuk 1 Aandacht <strong>vo</strong>or ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Tot 2010 was het belang van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> <strong>vo</strong>oral geleg<strong>en</strong> in de toepassing<strong>en</strong> in andere vakk<strong>en</strong><br />
Vanaf 2010 is rek<strong>en</strong><strong>en</strong> e<strong>en</strong> kernvak geword<strong>en</strong> <strong>en</strong> heeft daarmee e<strong>en</strong> besliss<strong>en</strong>de positie gekreg<strong>en</strong> in de<br />
exam<strong>en</strong>regeling<strong>en</strong> Als ge<strong>vo</strong>lg hiervan is het <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> nog belangrijker dat rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
tijdig word<strong>en</strong> herk<strong>en</strong>d Alle<strong>en</strong> dan zijn deze schol<strong>en</strong> in staat pass<strong>en</strong>de maatregel<strong>en</strong> te nem<strong>en</strong><br />
Daarnaast is er ook <strong>vo</strong>or de school e<strong>en</strong> belang Het slagingsperc<strong>en</strong>tage hangt <strong>vo</strong>or bepaalde groep<strong>en</strong><br />
leerling<strong>en</strong> sterk af van hun <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Als deze leerling<strong>en</strong> niet het vereiste niveau bereikt<br />
hebb<strong>en</strong> <strong>en</strong> op de rek<strong>en</strong>toets (in combinatie met de andere kernvakk<strong>en</strong>) niet het vereiste resultaat<br />
behal<strong>en</strong>, dan blokkeert dit hun verdere opleiding <strong>en</strong> het daarmee verbond<strong>en</strong> beroepsperspectief<br />
Daarnaast is het natuurlijk ev<strong>en</strong>min in het belang van de betreff<strong>en</strong>de school dat leerling<strong>en</strong> ‘slechts’<br />
vanwege hun rek<strong>en</strong>prestaties de opleiding niet gediplomeerd kunn<strong>en</strong> afsluit<strong>en</strong><br />
37<br />
Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 kan daarom word<strong>en</strong> gezi<strong>en</strong> als e<strong>en</strong> leidraad <strong>vo</strong>or de ondersteuning van <strong>en</strong><br />
afstemming op rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> Het biedt tev<strong>en</strong>s handvatt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het inricht<strong>en</strong> van goed<br />
rek<strong>en</strong>onderwijs in het <strong>vo</strong> Daarmee draagt het <strong>vo</strong>or de lerar<strong>en</strong> bij aan de in het <strong>vo</strong> noodzakelijke<br />
k<strong>en</strong>nisbasis <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, <strong>en</strong> biedt het de leerling<strong>en</strong> perspectief op functionele gecijferdheid<br />
1.2.1 Onderwijsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> <strong>en</strong> leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
Bij (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie spel<strong>en</strong> <strong>en</strong>erzijds onderwijsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> <strong>en</strong> anderzijds<br />
leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> e<strong>en</strong> rol Onder onderwijsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> verstaan wij de specifieke factor<strong>en</strong> vanuit<br />
het onderwijs die van invloed zijn op de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van de leerling Leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
zijn sociaal-emotionele <strong>en</strong> cognitieve factor<strong>en</strong> die de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van de leerling positief of<br />
negatief beïnvloed<strong>en</strong><br />
Het onderscheid tuss<strong>en</strong> (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie wordt bepaald door de hardnekkigheid<br />
van de problem<strong>en</strong> ‘Hardnekkigheid’ betek<strong>en</strong>t dat de be<strong>vo</strong>rder<strong>en</strong>de invloed van de onderwijsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
na e<strong>en</strong> periode van e<strong>en</strong> half jaar nog steeds ontoereik<strong>en</strong>d is In zo’n geval heeft de<br />
deskundige begeleiding van de leerling – zorgvuldig afgestemd op zijn individuele onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
– de invloed van leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> op de ontwikkeling van het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> dan on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de<br />
kunn<strong>en</strong> verminder<strong>en</strong><br />
In verreweg de meeste gevall<strong>en</strong> is de oorzaak van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> te herleid<strong>en</strong> tot het ontbrek<strong>en</strong><br />
van dit type zorgvuldig afgestemde begeleiding Het gaat dan om rek<strong>en</strong>onderwijs waarin lerar<strong>en</strong><br />
bij<strong>vo</strong>orbeeld:<br />
• niet of te laat de risico’s in de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van e<strong>en</strong> leerling herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong>;<br />
• leerstof aanbied<strong>en</strong> die niet aansluit bij de <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis (dit kan zowel rek<strong>en</strong>inhoudelijk zijn, als<br />
wat betreft algem<strong>en</strong>e k<strong>en</strong>nis van de betek<strong>en</strong>is van getall<strong>en</strong>, mat<strong>en</strong> <strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> bepaalde<br />
context);<br />
• leerstof aanbied<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> manier die niet aansluit bij het niveau van d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong>,<br />
bij<strong>vo</strong>orbeeld op e<strong>en</strong> te verbale of abstracte manier instructie gev<strong>en</strong>;<br />
• opdracht<strong>en</strong> <strong>en</strong> oef<strong>en</strong><strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> aanbied<strong>en</strong> die niet pass<strong>en</strong> bij de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling,<br />
bij<strong>vo</strong>orbeeld door de leerling te e<strong>en</strong>zijdige oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> aan te bied<strong>en</strong> (steeds hetzelfde<br />
materiaal, hetzelfde model of alle<strong>en</strong> ‘kale somm<strong>en</strong>’);<br />
• het legg<strong>en</strong> van de koppeling tuss<strong>en</strong> handel<strong>en</strong>, <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong>, verwoord<strong>en</strong> <strong>en</strong> noter<strong>en</strong>, te weinig<br />
uitlokk<strong>en</strong> <strong>en</strong> ev<strong>en</strong>min <strong>vo</strong>ordo<strong>en</strong> (modeling);<br />
• de leerling niet, of te weinig, actief <strong>en</strong> doelgericht lat<strong>en</strong> oef<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• niet opmerk<strong>en</strong> dat emotionele blokkades e<strong>en</strong> rol gaan spel<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
De leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> die hierbij e<strong>en</strong> rol spel<strong>en</strong> <strong>en</strong> die specifieke afstemming noodzakelijk mak<strong>en</strong><br />
zijn onder meer de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de:<br />
38<br />
a De leerling heeft moeite met het onderscheid<strong>en</strong>, herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> van <strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is verl<strong>en</strong><strong>en</strong> aan<br />
getall<strong>en</strong><br />
Dit kan blijk<strong>en</strong> uit problem<strong>en</strong> bij:<br />
• koppel<strong>en</strong> van hoeveelheid, uitspraak <strong>en</strong> schrijfwijze;<br />
• uitsprek<strong>en</strong> van grote getall<strong>en</strong>;<br />
• betek<strong>en</strong>is verl<strong>en</strong><strong>en</strong> aan de cijfers in e<strong>en</strong> getal;<br />
• b<strong>en</strong>oem<strong>en</strong> van de getall<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de context van mat<strong>en</strong> of geld;<br />
• herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> van de sam<strong>en</strong>hang tuss<strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong> <strong>en</strong> het effect daarvan op getall<strong>en</strong>;<br />
• schatt<strong>en</strong> van (grotere) hoeveelhed<strong>en</strong>, ook met visuele ondersteuning<br />
b De leerling ervaart problem<strong>en</strong> die te mak<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> met de sterkte <strong>en</strong>/of de organisatie van<br />
het geheug<strong>en</strong> (zowel werkgeheug<strong>en</strong> als langetermijngeheug<strong>en</strong>)<br />
Dit kan blijk<strong>en</strong> uit problem<strong>en</strong> met:<br />
• herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> <strong>en</strong> vasthoud<strong>en</strong> van ess<strong>en</strong>tiële informatie, hetzij auditief, hetzij visueel;<br />
• vasthoud<strong>en</strong> van de <strong>vo</strong>lgorde binn<strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong>;<br />
• systematisch werk<strong>en</strong> bij complexe bewerking<strong>en</strong> zoals algoritm<strong>en</strong>;<br />
• terugvind<strong>en</strong> van opgeslag<strong>en</strong> feit<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis;<br />
• compleet <strong>en</strong> in sam<strong>en</strong>hang opslaan van feit<strong>en</strong> <strong>en</strong> procedures;<br />
• beschikbaar hebb<strong>en</strong> van basisk<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> basisvaardighed<strong>en</strong> (zowel geautomatiseerde als g ememo<br />
riseerde k<strong>en</strong>nis 3 );<br />
• zich visueel kunn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> van situaties<br />
k ERn<br />
Dyscalculie?<br />
Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 maakt nadrukkelijk onderscheid tuss<strong>en</strong> ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
dyscalculie. Daarmee wil dit protocol <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> dat het etiket ‘dyscalculie’ te gemakkelijk<br />
wordt gebruikt. Indi<strong>en</strong> er inderdaad sprake is van dyscalculie, heeft dat namelijk ernstige<br />
consequ<strong>en</strong>ties <strong>vo</strong>or de keuze van e<strong>en</strong> beroep <strong>en</strong> de toelating tot daarop gerichte<br />
beroepsopleiding<strong>en</strong>. Dit geldt ook <strong>vo</strong>or de keuze van met deze opleiding<strong>en</strong> verbond<strong>en</strong><br />
beroep<strong>en</strong>. Dit betek<strong>en</strong>t dat het strev<strong>en</strong> moet zijn slechts in uitzonderlijke gevall<strong>en</strong> deze<br />
kwalificatie toe te k<strong>en</strong>n<strong>en</strong>.<br />
Leerling<strong>en</strong> op wie de kwalificatie ‘dyscalculie’ van toepassing is, zull<strong>en</strong> in verschill<strong>en</strong>de<br />
mate in staat zijn de problem<strong>en</strong> bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong> te comp<strong>en</strong>ser<strong>en</strong> of te omzeil<strong>en</strong>. Dit is afhankelijk<br />
van het cognitief niveau <strong>en</strong> ev<strong>en</strong>tueel andere tal<strong>en</strong>t<strong>en</strong>. Daardoor zal het merkbare effect<br />
van dyscalculie bij e<strong>en</strong> gymnasiumleerling anders zijn dan bij e<strong>en</strong> vmbo-bbl-leerling.<br />
E<strong>en</strong> dyscalculieverklaring is ge<strong>en</strong> toegangsbewijs tot faciliteit<strong>en</strong>, maar eerder e<strong>en</strong> verbod<strong>en</strong>toegangsbewijs<br />
<strong>vo</strong>or diverse beroep<strong>en</strong> <strong>en</strong> opleiding<strong>en</strong>. Dyscalculie wijst op e<strong>en</strong> beperking<br />
die in diverse beroep<strong>en</strong> e<strong>en</strong> handicap blijkt te zijn. Daarom is omzichtigheid<br />
gebod<strong>en</strong> bij het toek<strong>en</strong>n<strong>en</strong> van de kwalificatie ‘dyscalculie’.<br />
Wie beschikt over e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring kan niet meer zin<strong>vo</strong>l deelnem<strong>en</strong> aan groepsinstructie<br />
in de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong>, maar is aangewez<strong>en</strong> op individuele <strong>en</strong> zeer deskundige<br />
begeleiding.<br />
3 Automatiser<strong>en</strong> is het leerproces dat erop is gericht zonder eerst te hoev<strong>en</strong> nad<strong>en</strong>k<strong>en</strong> de (e<strong>en</strong>) weg naar de oplossing<br />
te wet<strong>en</strong> (bij<strong>vo</strong>orbeeld 9x7 = (10x7) – (1x7) = 70 – 7 = 63) (procesk<strong>en</strong>nis). Memoriser<strong>en</strong> is het leerproces dat<br />
erop is gericht zonder te hoev<strong>en</strong> nad<strong>en</strong>k<strong>en</strong> direct het antwoord te wet<strong>en</strong> (9 x 7 = 63) (feit<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis).
hoofdstuk 1 Aandacht <strong>vo</strong>or ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
De ope<strong>en</strong><strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de reeks van drie protocoll<strong>en</strong> – van basisonderwijs tot <strong>en</strong> met mbo – mak<strong>en</strong> het<br />
straks mogelijk te zorg<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or continuïteit in de begeleiding van leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> stud<strong>en</strong>t<strong>en</strong> Dat geldt<br />
trouw<strong>en</strong>s ook <strong>vo</strong>or de hierbij gebruikte term<strong>en</strong> Door dezelfde taal te del<strong>en</strong> is in de communicatie<br />
duidelijk wat wordt bedoeld met <strong>en</strong> verstaan onder bij<strong>vo</strong>orbeeld:<br />
• Wat is e<strong>en</strong> risico <strong>vo</strong>or de rek<strong>en</strong>ontwikkeling?<br />
• Wat zijn handelingsniveaus?<br />
• Wat is het Drieslagmodel?<br />
• Wanneer is er sprake van ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> of van dyscalculie?<br />
1.2.2 De instroom in het <strong>vo</strong><br />
39<br />
Wanneer leerling<strong>en</strong> binn<strong>en</strong>kom<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> word<strong>en</strong> zij geplaatst in e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> pass<strong>en</strong>de leerroute<br />
Dat kan variër<strong>en</strong> van praktijkonderwijs (pro), <strong>vo</strong>ortgezet speciaal onderwijs (vso) <strong>en</strong> vmbo<br />
tot gymnasium De plaatsing is gebaseerd op het advies van de basisschool, in overleg met de ouders/verzorgers<br />
van de leerling <strong>en</strong> de <strong>vo</strong>-school Leerling<strong>en</strong> vanuit speciaal basisonderwijs <strong>en</strong> speciaal<br />
onderwijs kom<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> indicatiestelling <strong>en</strong> word<strong>en</strong> meestal geplaatst in pro of vso<br />
of in vmbo met leerwegondersteuning Vso-leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> in het reguliere <strong>vo</strong> in alle leerroutes<br />
<strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong><br />
Binn<strong>en</strong> elke leerroute kan e<strong>en</strong> leerling e<strong>en</strong> goede, gemiddelde of zwakke leerling zijn Dit is afhankelijk<br />
van zijn algem<strong>en</strong>e capaciteit<strong>en</strong> <strong>en</strong> van zijn totale functioner<strong>en</strong> in alle vakk<strong>en</strong> <strong>en</strong> op alle domein<strong>en</strong><br />
Binn<strong>en</strong> één vak of onderdeel van e<strong>en</strong> vak kan e<strong>en</strong> leerling wel of niet specifieke problem<strong>en</strong><br />
ondervind<strong>en</strong> Deze problem<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> in verschill<strong>en</strong>de gradaties optred<strong>en</strong> Voor<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> kan dat variër<strong>en</strong> van ge<strong>en</strong> problem<strong>en</strong> tot ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> zelfs dyscalculie<br />
Soms kom<strong>en</strong> specifieke problem<strong>en</strong> in meerdere vakk<strong>en</strong> of onderdel<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or, bij<strong>vo</strong>orbeeld wanneer<br />
tegelijk sprake is van dyslexie <strong>en</strong> dyscalculie We sprek<strong>en</strong> dan van comorbiditeit<br />
De focus van het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 ligt natuurlijk op leerling<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or wie ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in brede zin<br />
e<strong>en</strong> zware opgave is Over het algeme<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> deze leerling<strong>en</strong> weinig plezier aan rek<strong>en</strong><strong>en</strong> beleefd<br />
Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> kan dan ook <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> emotioneel belad<strong>en</strong> zijn<br />
De kans is groter dat e<strong>en</strong> leerling in het vmbo-bbl of vmbo-kbl moeite ondervindt met rek<strong>en</strong><strong>en</strong> dan<br />
dat dit bij e<strong>en</strong> gymnasiast het geval is Toch kunn<strong>en</strong> ook vwo-leerling<strong>en</strong> ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
ervar<strong>en</strong> De score op de eindtoets in het basisonderwijs zegt namelijk niet alles Comp<strong>en</strong>satie met<br />
hoge scores op de andere vakk<strong>en</strong> kan e<strong>en</strong> lage score op rek<strong>en</strong><strong>en</strong> verdoezel<strong>en</strong> Het is dus zaak om<br />
bij alle leerling<strong>en</strong> op alle leerroutes alert te zijn op de mogelijkheid van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
Leerling<strong>en</strong> in vmbo-bbl <strong>en</strong> vmbo-kbl<br />
In het algeme<strong>en</strong> is de verwachting dat er in het vmbo meer leerling<strong>en</strong> instrom<strong>en</strong> die zich tijd<strong>en</strong>s<br />
de basisschoolperiode nog on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de hebb<strong>en</strong> ontwikkeld op het gebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Dit betek<strong>en</strong>t<br />
dat zij niveau 1F niet (goed) beheers<strong>en</strong> Volg<strong>en</strong>s de uitgangspunt<strong>en</strong> van dit protocol sluit het<br />
onderwijsaanbod in het <strong>vo</strong> aan bij de stand van hun rek<strong>en</strong>ontwikkeling bij instroom Leerling<strong>en</strong><br />
zijn op die leeftijd nog <strong>vo</strong>lop in ontwikkeling <strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> zich met e<strong>en</strong> goede didactische begeleiding<br />
op het gebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> nog verder ontwikkel<strong>en</strong> Doorgaans zal de leerstof van de bov<strong>en</strong>bouw<br />
basisonderwijs nog uitgebreid aan de orde moet<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> Voorwaarde is dan wel dat dit<br />
gebeurt op e<strong>en</strong> manier die past bij hun leeftijd <strong>en</strong> belevingswereld, zodat hun motivatie ge<strong>en</strong> belemmering<br />
hoeft te zijn
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Bij leerling<strong>en</strong> in het vmbo-bbl betek<strong>en</strong>t dat: goede handelingsgerichte instructie bestaande uit concrete<br />
doe-activiteit<strong>en</strong>, doelgericht oef<strong>en</strong><strong>en</strong>, automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> Wanneer zij niveau 1F<br />
beheers<strong>en</strong>, kan het onderwijs gaan toewerk<strong>en</strong> naar niveau 2F (het vereiste uitstroomniveau) Dit<br />
zal <strong>vo</strong>or veel leerling<strong>en</strong> e<strong>en</strong> hele opgave zijn, ook op emotioneel gebied<br />
40<br />
Leerling<strong>en</strong> in vmbo-kbl hebb<strong>en</strong> over het algeme<strong>en</strong> e<strong>en</strong> betere basis op gebied van taal, lez<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Zij zijn sterk praktijkgericht <strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> goede conceptontwikkeling <strong>en</strong> goede rek<strong>en</strong>vaardigheid<br />
bereik<strong>en</strong> Voorwaarde daar<strong>vo</strong>or is wel dat het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> aansluit bij hun interesses <strong>en</strong> gericht<br />
is op concrete activiteit<strong>en</strong><br />
Binn<strong>en</strong> deze groep<strong>en</strong> (vmbo-bbl <strong>en</strong> vmbo-kbl) zijn er ook leerling<strong>en</strong> die specifieke problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong><br />
met rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Dat kan variër<strong>en</strong> van geringe tot zeer ernstige problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> zelfs tot hardnekkige<br />
problem<strong>en</strong> Wanneer leerling<strong>en</strong> bij instroom e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring hebb<strong>en</strong>, wordt in het<br />
vmbo hun individuele begeleiding <strong>vo</strong>ortgezet op basis van hun specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
Bij andere leerling<strong>en</strong> die (ook) ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ondervind<strong>en</strong> is het (vaak) moeilijk in te<br />
schatt<strong>en</strong> waar de oorzaak van die problem<strong>en</strong> precies ligt Dit komt doordat deze leerling<strong>en</strong> over de<br />
hele lijn, dus ook met taal, lez<strong>en</strong> <strong>en</strong> andere vakk<strong>en</strong>, e<strong>en</strong> wat langzame of beperkte ontwikkeling<br />
lat<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> Dat vraagt analyse <strong>en</strong> ondersteuning op maat<br />
Leerling<strong>en</strong> in vmbo-gl <strong>en</strong> vmbo-tl<br />
Leerling<strong>en</strong> in vmbo-gl <strong>en</strong> vmbo-tl hebb<strong>en</strong> over het algeme<strong>en</strong> niveau 1F aan het eind van het basisonderwijs<br />
wel bereikt <strong>en</strong> zijn op weg naar 2F Deze verdere ontwikkeling vraagt e<strong>en</strong> goede didactische<br />
begeleiding <strong>vo</strong>or alle leerling<strong>en</strong> Het acc<strong>en</strong>t ligt hierbij op goede conceptontwikkeling, oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> probleemoploss<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> Betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (aansluit<strong>en</strong>d bij hun leefwereld) is <strong>vo</strong>or<br />
deze leerling<strong>en</strong> ess<strong>en</strong>tieel, zowel vanwege de conceptontwikkeling als <strong>vo</strong>or hun motivatie<br />
Daarnaast is het van belang om <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de tijd te (blijv<strong>en</strong>) bested<strong>en</strong> aan effectief oef<strong>en</strong><strong>en</strong>, automatiser<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> van basisbewerking<strong>en</strong>, inclusief het adequaat gebruik van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>machine<br />
Ook binn<strong>en</strong> deze groep<strong>en</strong> zijn er leerling<strong>en</strong> die specifieke problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> Dat betek<strong>en</strong>t dat zij<br />
specifieke ondersteuning op maat nodig hebb<strong>en</strong> <strong>en</strong> in het geval van e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring: individuele<br />
begeleiding<br />
Leerling<strong>en</strong> in ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo<br />
Leerling<strong>en</strong> in ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo hebb<strong>en</strong> bij instroom in het <strong>vo</strong> e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardigheid op minimaal niveau<br />
1S In deze leerroutes wordt e<strong>en</strong> beroep gedaan op vaardighed<strong>en</strong> als abstract d<strong>en</strong>k<strong>en</strong>, analyser<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> verband<strong>en</strong> zi<strong>en</strong>, wiskundig red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> complexere rek<strong>en</strong>vraagstukk<strong>en</strong> oploss<strong>en</strong> Deze<br />
vaardighed<strong>en</strong> zijn nodig <strong>vo</strong>or het behal<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>toets op het niveau 3F Afhankelijk van hun<br />
<strong>vo</strong>orgeschied<strong>en</strong>is kan ook bij ha<strong>vo</strong>- <strong>en</strong> vwo-leerling<strong>en</strong> blijk<strong>en</strong> dat sommig<strong>en</strong> e<strong>en</strong> magere k<strong>en</strong>nisbasis<br />
hebb<strong>en</strong> Dit betek<strong>en</strong>t dat zij gebaat kunn<strong>en</strong> zijn bij rek<strong>en</strong>onderwijs dat deze k<strong>en</strong>nisbasis versterkt<br />
In dergelijke gevall<strong>en</strong> kan dat betek<strong>en</strong><strong>en</strong> dat aanvulling <strong>en</strong> herstel nodig is van fragm<strong>en</strong>tarische<br />
k<strong>en</strong>nis of maar half begrep<strong>en</strong> onderdel<strong>en</strong> Daarnaast geldt <strong>vo</strong>or alle leerling<strong>en</strong> dat onderhoud<br />
van basisk<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> nodig blijft, omdat anders het vaardigheidsniveau snel terugloopt<br />
In ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo kom<strong>en</strong> ook leerling<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or die veel moeite hebb<strong>en</strong> met rek<strong>en</strong><strong>en</strong> of zelfs ernstige<br />
(<strong>en</strong> hardnekkige) problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> Deze leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> specifieke (individuele) ondersteuning<br />
nodig
hoofdstuk 1 Aandacht <strong>vo</strong>or ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Dyscalculie bij e<strong>en</strong> leerling hoeft niet te verhinder<strong>en</strong> dat die leerling soms wel goed wiskundig kan<br />
ler<strong>en</strong> red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> problem<strong>en</strong> analyser<strong>en</strong> E<strong>en</strong> <strong>en</strong>kele maal komt het zelfs <strong>vo</strong>or dat e<strong>en</strong> leerling<br />
correct kan aangev<strong>en</strong> welke bewerking<strong>en</strong> nodig zijn, terwijl hij niet of nauwelijks in staat is om<br />
deze bewerking<strong>en</strong> (zonder rek<strong>en</strong>machine) zelf uit te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Dit alles betek<strong>en</strong>t dat leerling<strong>en</strong> op wie dit protocol zich richt, wel in grotere aantall<strong>en</strong> in het vmbo<br />
aangetroff<strong>en</strong> zull<strong>en</strong> word<strong>en</strong>, maar dat ook op ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo alertheid nodig blijft<br />
1.3 Wie gaan werk<strong>en</strong> met dit protocol?<br />
41<br />
Dit eerste deel van het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 is bedoeld <strong>vo</strong>or school- <strong>en</strong> afdelingsleiders Op basis van de<br />
uitgangspunt<strong>en</strong> van dit protocol zull<strong>en</strong> zij keuzes mak<strong>en</strong> over de organisatie van rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong>, de<br />
inzet van m<strong>en</strong>s<strong>en</strong> <strong>en</strong> het verwerv<strong>en</strong> van deskundigheid<br />
Voor de schoolleiders is het van belang te beseff<strong>en</strong> dat de in<strong>vo</strong>ering van dit protocol e<strong>en</strong> veranderingsproces<br />
binn<strong>en</strong> de school of leerroute betek<strong>en</strong>t Het is niet iets dat ev<strong>en</strong> kan word<strong>en</strong> ‘geregeld’<br />
Zeker als de consequ<strong>en</strong>tie zou zijn dat er meer gediffer<strong>en</strong>tieerd gaat word<strong>en</strong> in de rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong>,<br />
kunn<strong>en</strong> lerar<strong>en</strong> dat als ingrijp<strong>en</strong>d ervar<strong>en</strong> Dit geldt ook als sam<strong>en</strong>werking tuss<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
vaklerar<strong>en</strong> onderdeel van de verandering is<br />
Daarnaast is dit protocol bedoeld <strong>vo</strong>or ondersteuningsteams, m<strong>en</strong>tor<strong>en</strong>, rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong>, rek<strong>en</strong>specialist<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> andere betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de school De hoofdstukk<strong>en</strong> die gaan over de didactische<br />
aspect<strong>en</strong> bied<strong>en</strong> h<strong>en</strong> aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or hun eig<strong>en</strong> werk Zij zijn in veel gevall<strong>en</strong> ook de intermediair<br />
naar de verschill<strong>en</strong>de lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong> ander<strong>en</strong> die met de gesignaleerde leerling<strong>en</strong> te mak<strong>en</strong><br />
hebb<strong>en</strong> In die rol kunn<strong>en</strong> zij bepaalde del<strong>en</strong> van dit protocol gebruik<strong>en</strong> om deze lerar<strong>en</strong> te informer<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> te <strong>vo</strong>orzi<strong>en</strong> van praktijkgerichte <strong>en</strong>/of achtergrondinformatie Daarmee kunn<strong>en</strong> zij op<br />
inhoudelijk niveau de veranderingsprocess<strong>en</strong> faciliter<strong>en</strong><br />
Het is w<strong>en</strong>selijk dat alle betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> e<strong>en</strong> proactieve houding hebb<strong>en</strong> Dit betek<strong>en</strong>t dat zij niet<br />
wacht<strong>en</strong> tot de cijfers zo laag zijn dat er e<strong>en</strong> probleem is Op basis van <strong>vo</strong>orinformatie (bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
vanuit het basisonderwijs) <strong>en</strong> waarneming<strong>en</strong> in de less<strong>en</strong> gaat m<strong>en</strong> dan direct tot actie over In alle<br />
gevall<strong>en</strong> dat de <strong>vo</strong>orinformatie aangeeft dat sprake is van (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>, speelt de<br />
ontvang<strong>en</strong>de school daarop vanaf het begin op adequate wijze in Deze <strong>vo</strong>rm van ‘tijdigheid’ vraagt<br />
deskundigheid, heldere communicatie met alle betrokk<strong>en</strong> lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong> duidelijke afsprak<strong>en</strong> over<br />
begeleiding, condities <strong>en</strong> aanpak Die behoefte aan duidelijkheid geldt zeker ook <strong>vo</strong>or de betrokk<strong>en</strong><br />
leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> hun ouders/verzorgers<br />
Soms <strong>ERWD</strong>1<br />
Schol<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or praktijkonderwijs hebb<strong>en</strong> e<strong>en</strong> bijzondere positie Zij zijn wat betreft de inhoud <strong>en</strong><br />
aanpak van het rek<strong>en</strong>onderwijs aangewez<strong>en</strong> op wat beschrev<strong>en</strong> staat in <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>1 Ditzelfde<br />
geldt in sommige gevall<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het vso, namelijk wanneer e<strong>en</strong> leerling e<strong>en</strong> laag cognitief niveau<br />
heeft
2 Visie <strong>en</strong> uitgangspunt<strong>en</strong>
In dit hoofdstuk beschrijv<strong>en</strong> wij het belang van functionele gecijferdheid <strong>en</strong> de<br />
visie op ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>. Daarop gebaseerd formuler<strong>en</strong> wij de<br />
uitgangspunt<strong>en</strong> die aan dit protocol t<strong>en</strong> grondslag ligg<strong>en</strong>.<br />
2
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
2.1 Visie op ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
44<br />
Leerling<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> zijn nog <strong>vo</strong>lop in ontwikkeling Onderwijs is slechts e<strong>en</strong> onderdeel van alles<br />
waarmee deze jonger<strong>en</strong> zich bezig houd<strong>en</strong> Jonger<strong>en</strong> op deze leeftijd zijn geïnteresseerd in veel<br />
verschill<strong>en</strong>de onderwerp<strong>en</strong> Zij will<strong>en</strong> in ieder geval deel zijn van e<strong>en</strong> groep, van e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong><br />
herk<strong>en</strong>baar deel van de sam<strong>en</strong>leving<br />
Hoe beter hun schoolloopbaan verloopt, hoe meer gemotiveerd zij zijn <strong>en</strong> hoe meer succes zij ervar<strong>en</strong><br />
Wie echter minder succes<strong>vo</strong>l is, verliest motivatie <strong>en</strong> wordt al snel bevestigd in de m<strong>en</strong>ing<br />
dat het met dit vak toch niet lukt (Butterworth, 1999) Zo’n leerling kan zelfs weerstand teg<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong><br />
of faalangst in rek<strong>en</strong>situaties ontwikkel<strong>en</strong> In beide gevall<strong>en</strong> leidt dit tot e<strong>en</strong> zichzelf<br />
versterk<strong>en</strong>d patroon Leerling<strong>en</strong> die goed prester<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> positieve virtuoze cirkel<br />
Deg<strong>en</strong><strong>en</strong> die problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> met ler<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> negatieve vicieuze cirkel Bed<strong>en</strong>k hierbij<br />
dat het om iteratieve (zich systematisch herhal<strong>en</strong>de) process<strong>en</strong> gaat; daarom is er sprake van e<strong>en</strong><br />
positieve virtuoze spiraal respectievelijk van e<strong>en</strong> negatieve vicieuze spiraal<br />
Curr<strong>en</strong>t state<br />
of understanding<br />
v.<br />
curr<strong>en</strong>t target<br />
No improvem<strong>en</strong>t<br />
Curr<strong>en</strong>t state<br />
of understanding<br />
v.<br />
curr<strong>en</strong>t target<br />
Better understanding<br />
Bad performance<br />
Good performance<br />
A<strong>vo</strong>idance<br />
Vicious<br />
circle<br />
More maths<br />
Virtuous<br />
circle<br />
Anxiety<br />
External<br />
discouragem<strong>en</strong>t<br />
Enjoym<strong>en</strong>t<br />
of maths<br />
External<br />
<strong>en</strong>couragem<strong>en</strong>t<br />
Internal<br />
discouragem<strong>en</strong>t<br />
Internal<br />
<strong>en</strong>couragem<strong>en</strong>t<br />
Negatieve vicieuze cirkel<br />
Positieve virtuoze cirkel<br />
Afbeelding 2.1 De negatieve vicieuze cirkel <strong>en</strong> de positieve virtuoze cirkel (ontle<strong>en</strong>d aan Butterworth, 1999,<br />
pp. 283-284)<br />
Als leerling<strong>en</strong> merk<strong>en</strong> dat zij op meerdere gebied<strong>en</strong> fal<strong>en</strong>, zull<strong>en</strong> sommig<strong>en</strong> zich op school op e<strong>en</strong><br />
andere manier waar will<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> Ander<strong>en</strong> hak<strong>en</strong> gewoon af <strong>en</strong> stek<strong>en</strong> hun <strong>en</strong>ergie in ding<strong>en</strong><br />
buit<strong>en</strong> school<br />
Lerar<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> de motivatie van de leerling<strong>en</strong> stimuler<strong>en</strong> <strong>en</strong> b<strong>en</strong>utt<strong>en</strong> Dit bereik<strong>en</strong> zij door hun<br />
onderwijs af te stemm<strong>en</strong> op de ontwikkeling van deze leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> in te spel<strong>en</strong> op hun leefwereld<br />
Dit kan <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> dat leerling<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ortijdig uitvall<strong>en</strong> of afstrom<strong>en</strong> naar e<strong>en</strong> lager onderwijsniveau<br />
Leerling<strong>en</strong> die in de <strong>vo</strong>orgaande jar<strong>en</strong> al ernstige problem<strong>en</strong> met ler<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> onder<strong>vo</strong>nd<strong>en</strong>,<br />
lop<strong>en</strong> nu als puber in het <strong>vo</strong> e<strong>en</strong> extra risico<br />
Leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> eig<strong>en</strong> doel<strong>en</strong>, <strong>vo</strong>orkeur<strong>en</strong> <strong>en</strong> – naarmate zij verder kom<strong>en</strong> in het onderwijs –<br />
e<strong>en</strong> beroepsperspectief E<strong>en</strong> goede taal- <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardigheid <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> mede de basis <strong>vo</strong>or schoolsucces<br />
<strong>en</strong> zijn nodig om te kunn<strong>en</strong> functioner<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> opleiding, in e<strong>en</strong> werksituatie <strong>en</strong> <strong>vo</strong>or participatie<br />
in de sam<strong>en</strong>leving Dat is de red<strong>en</strong> dat het onderdeel rek<strong>en</strong><strong>en</strong> e<strong>en</strong> aparte plaats heeft in de
hoofdstuk 2 Visie <strong>en</strong> uitgangspunt<strong>en</strong><br />
exam<strong>en</strong>regeling<strong>en</strong> In de praktijk blijk<strong>en</strong> er op alle <strong>vo</strong>-niveaus leerling<strong>en</strong> te zijn die ge<strong>en</strong> of slechts<br />
e<strong>en</strong> vaag beroepsperspectief hebb<strong>en</strong> Dit maakt dat niet iedere leerling de noodzaak van taal- <strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong>vaardigheid als e<strong>en</strong> eig<strong>en</strong> doel kan zi<strong>en</strong> Bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> is de rol van rek<strong>en</strong>vaardigheid ook afhankelijk<br />
van de mogelijkhed<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong> Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is ev<strong>en</strong>wel e<strong>en</strong> kernvak Daarom is het de<br />
taak van elke <strong>vo</strong>-school de leerling<strong>en</strong> ook <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> e<strong>en</strong> optimale basis te bied<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or hun verdere<br />
toekomst Voor vmbo-leerling<strong>en</strong> moet dit uiteindelijk leid<strong>en</strong> tot beheersing op Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau<br />
2F <strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de ha<strong>vo</strong>- <strong>en</strong> vwo-leerling<strong>en</strong> op niveau 3F<br />
Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> heeft weliswaar de positie van apart kernvak, maar is in het <strong>vo</strong> <strong>vo</strong>oral ingebed in andere<br />
vakk<strong>en</strong> In die andere vakk<strong>en</strong> is rek<strong>en</strong>vaardigheid ondergeschikt aan die specifieke vakk<strong>en</strong>nis,<br />
maar zij fungeert wel als e<strong>en</strong> basisvaardigheid binn<strong>en</strong> die vakgebied<strong>en</strong> Over het algeme<strong>en</strong> gaan<br />
lerar<strong>en</strong> ervan uit dat leerling<strong>en</strong> hun rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> in de less<strong>en</strong> in die andere vakk<strong>en</strong><br />
kunn<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> Ongeveer de helft van de vmbo-leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> e<strong>en</strong> kwart van de ha<strong>vo</strong>- <strong>en</strong><br />
vwo-leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> echter gedur<strong>en</strong>de hun basisschoolperiode daartoe on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis<br />
<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> ontwikkeld (Inspectie van het Onderwijs, 2009) Zij kunn<strong>en</strong> daardoor<br />
niet optimaal profiter<strong>en</strong> van het onderwijs in de leerroute waarin zij zijn geplaatst Dit betek<strong>en</strong>t dat<br />
zij wel in staat zijn om te ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, mits hun lerar<strong>en</strong> het (rek<strong>en</strong>)onderwijs afstemm<strong>en</strong> op wat<br />
zij nodig hebb<strong>en</strong> om weer te kunn<strong>en</strong> <strong>en</strong> te durv<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> in vmbo-bbl <strong>en</strong> vmbokbl<br />
hebb<strong>en</strong> meer tijd nodig om zich die basisstof eig<strong>en</strong> te mak<strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> in ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo hebb<strong>en</strong><br />
over het algeme<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oral regelmatig herhaling nodig om de basisstof te consolider<strong>en</strong><br />
Daarnaast zal in het hele <strong>vo</strong> systematisch aan verdere ontwikkeling van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong><br />
van alle leerling<strong>en</strong> moet<strong>en</strong> word<strong>en</strong> gewerkt om h<strong>en</strong> de Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus 2F (vmbo) of 3F<br />
(ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo) te lat<strong>en</strong> bereik<strong>en</strong><br />
45<br />
Binn<strong>en</strong> alle onderwijssector<strong>en</strong> <strong>en</strong> leerroutes zull<strong>en</strong> er leerling<strong>en</strong> zijn met problem<strong>en</strong> op het gebied<br />
van ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Bij sommig<strong>en</strong> zijn die problem<strong>en</strong> hardnekkig In dit protocol mak<strong>en</strong> wij onderscheid<br />
tuss<strong>en</strong> ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> – bij hardnekkigheid daarvan – dyscalculie (zie hoofdstuk<br />
1) In bijlage A staan achtergrond<strong>en</strong> over (ler<strong>en</strong>) rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Hierin gev<strong>en</strong> wij e<strong>en</strong> overzicht van<br />
de daarover in de wet<strong>en</strong>schap heers<strong>en</strong>de opvatting<strong>en</strong><br />
Naarmate de rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ernstiger zijn, vraagt dat van de gebod<strong>en</strong> ondersteuning <strong>en</strong> begeleiding<br />
e<strong>en</strong> steeds zorgvuldigere afstemming op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling Zijn de rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
ernstig <strong>en</strong> hardnekkig (dyscalculie), dan is zelfs groepsinstructie <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> niet<br />
meer zin<strong>vo</strong>l<br />
Binn<strong>en</strong> e<strong>en</strong> onderwijssituatie is de mate waarin e<strong>en</strong> leerling in staat is tot ler<strong>en</strong> in hoge mate afhankelijk<br />
van de condities die lerar<strong>en</strong> creër<strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> die veel moeite hebb<strong>en</strong> met het ler<strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, zijn daardoor nog sterker afhankelijk van de aanwezigheid van specifieke condities Voor<br />
h<strong>en</strong> is e<strong>en</strong> deskundige afstemming nog sterker gebod<strong>en</strong><br />
De focus in dit protocol ligt met name op ondersteuning <strong>en</strong> begeleiding van alle leerling<strong>en</strong> die binn<strong>en</strong><br />
hun eig<strong>en</strong> leerroute ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ondervind<strong>en</strong> Het maakt hierbij niet uit of zij<br />
wel of niet e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring hebb<strong>en</strong> Zij hebb<strong>en</strong> int<strong>en</strong>sieve <strong>en</strong> specifieke ondersteuning<br />
<strong>en</strong> begeleiding nodig Daarnaast zijn er leerling<strong>en</strong> die meer in het algeme<strong>en</strong> extra moeite moet<strong>en</strong><br />
do<strong>en</strong> om zich leerstof eig<strong>en</strong> te mak<strong>en</strong> Deze leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> dus ook ondersteuning <strong>en</strong> begeleiding<br />
nodig bij het (ler<strong>en</strong>) rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Daarom zijn de handvatt<strong>en</strong> die wij aanreik<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de specifieke<br />
(individuele) ondersteuning bij ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> in principe ook van toepassing op alle<br />
rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
2.2 Functionele gecijferdheid<br />
k ERn<br />
Het langetermijndoel van het rek<strong>en</strong>onderwijs is functionele gecijferdheid<br />
Iemand die gecijferd is kan adequaat handel<strong>en</strong> in rek<strong>en</strong>wiskundige situaties in het persoonlijk<br />
<strong>en</strong> maatschappelijk lev<strong>en</strong> <strong>en</strong> in het beroep. Hij is tev<strong>en</strong>s in staat om zijn k<strong>en</strong>nis<br />
<strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> flexibel te kunn<strong>en</strong> aanpass<strong>en</strong> aan nieuwe ontwikkeling<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> continu<br />
verander<strong>en</strong>de maatschappij (Van Gro<strong>en</strong>estijn, 2002, 2010).<br />
46<br />
Om dit te kunn<strong>en</strong> beschikt e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lwass<strong>en</strong>e over:<br />
1 functionele rek<strong>en</strong>wiskundige k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong>;<br />
2 compet<strong>en</strong>ties <strong>vo</strong>or het manag<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>wiskundige situaties;<br />
3 compet<strong>en</strong>ties <strong>vo</strong>or het zelfstandig verwerv<strong>en</strong> van nieuwe informatie.<br />
Ad 1. Functionele rek<strong>en</strong>wiskundige k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong><br />
Bij functionele rek<strong>en</strong>wiskundige k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> word<strong>en</strong> de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de domein<strong>en</strong><br />
onderscheid<strong>en</strong>:<br />
• getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong>;<br />
• verhouding<strong>en</strong>, breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>;<br />
• met<strong>en</strong> <strong>en</strong> meetkunde, waaronder het metriek stelsel, geld <strong>en</strong> tijd;<br />
• verband<strong>en</strong>, waaronder data, kans <strong>en</strong> groei/informatieverwerking.<br />
Hierbij wordt verondersteld dat iedere <strong>vo</strong>lwass<strong>en</strong>e beschikt over:<br />
• e<strong>en</strong> set van elem<strong>en</strong>taire rek<strong>en</strong>wiskundige k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> als basis om verder<br />
te kunn<strong>en</strong> ler<strong>en</strong>;<br />
• specifieke rek<strong>en</strong>wiskundige k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong>, afhankelijk van de individuele<br />
persoon, beroep <strong>en</strong> maatschappelijke positie.<br />
Ad 2. Compet<strong>en</strong>ties <strong>vo</strong>or het manag<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>wiskundige situaties<br />
Voor het kunn<strong>en</strong> manag<strong>en</strong> van situaties waarin rek<strong>en</strong>wiskundige activiteit<strong>en</strong> word<strong>en</strong> verlangd,<br />
mag van e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lwass<strong>en</strong>e word<strong>en</strong> verwacht dat hij:<br />
• e<strong>en</strong> algeme<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>wiskundige houding heeft ontwikkeld met e<strong>en</strong> goed ‘ge<strong>vo</strong>el <strong>vo</strong>or<br />
getall<strong>en</strong>’. Dat betek<strong>en</strong>t onder andere dat hij betek<strong>en</strong>is kan gev<strong>en</strong> aan getall<strong>en</strong> in hun<br />
context, kan bered<strong>en</strong>er<strong>en</strong> of getall<strong>en</strong> klopp<strong>en</strong>, mat<strong>en</strong> <strong>en</strong> afstand<strong>en</strong> kan schatt<strong>en</strong>;<br />
• situaties kan id<strong>en</strong>tificer<strong>en</strong> waarin e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>wiskundig probleem of activiteit ingebed<br />
is;<br />
• deze situaties kan analyser<strong>en</strong> <strong>en</strong> kan bepal<strong>en</strong> welke rek<strong>en</strong>wiskundige informatie aanwezig<br />
is <strong>en</strong> welke activiteit<strong>en</strong> nodig zijn om e<strong>en</strong> probleem op te loss<strong>en</strong> of op e<strong>en</strong><br />
andere wijze adequaat kan handel<strong>en</strong>;<br />
• kan communicer<strong>en</strong> over rek<strong>en</strong>wiskundige informatie <strong>en</strong> vraagstukk<strong>en</strong>;<br />
• effectieve beslissing<strong>en</strong> kan nem<strong>en</strong> op basis van berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong>;<br />
• e<strong>en</strong> onderzoek<strong>en</strong>de houding heeft ontwikkeld <strong>vo</strong>or de betek<strong>en</strong>is van getall<strong>en</strong> in nieuwe<br />
situaties;<br />
• e<strong>en</strong> reflectieve houding heeft ontwikkeld om het eig<strong>en</strong> handel<strong>en</strong> te kunn<strong>en</strong> beoordel<strong>en</strong><br />
op juistheid <strong>en</strong> effectiviteit;<br />
• constructief kan sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong>.
hoofdstuk 2 Visie <strong>en</strong> uitgangspunt<strong>en</strong><br />
Ad 3. Compet<strong>en</strong>ties <strong>vo</strong>or het zelfstandig verwerv<strong>en</strong> van nieuwe informatie<br />
De snelle ontwikkeling<strong>en</strong> in onze huidige k<strong>en</strong>nismaatschappij do<strong>en</strong> e<strong>en</strong> groot beroep op<br />
de flexibiliteit <strong>en</strong> het aanpassingsvermog<strong>en</strong> van elk individu. Dit betek<strong>en</strong>t <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>de<br />
bij- <strong>en</strong> nascholing, zowel formeel als informeel, ofwel lifelong learning. Scholing vraagt<br />
om e<strong>en</strong> positieve <strong>en</strong> op<strong>en</strong> attitude t<strong>en</strong> aanzi<strong>en</strong> van ontwikkeling<strong>en</strong> <strong>en</strong> inzicht in eig<strong>en</strong><br />
leervermog<strong>en</strong> <strong>en</strong> leervaardighed<strong>en</strong>. Het betek<strong>en</strong>t ook kunn<strong>en</strong> sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong> <strong>en</strong> ler<strong>en</strong> van<br />
<strong>en</strong> aan elkaar in werksituaties.<br />
In het onderwijs wordt veel aandacht besteed aan de eerste compon<strong>en</strong>t <strong>en</strong> niet of minder<br />
aan de tweede <strong>en</strong> derde compon<strong>en</strong>t. Waarschijnlijk wordt verondersteld dat leerling<strong>en</strong><br />
die laatste twee als vanzelf ontwikkel<strong>en</strong> in de course of life, terwijl deze juist de ess<strong>en</strong>tie<br />
<strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van de transfer van schoolse k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> naar toepasbare bruikbare<br />
k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong>.<br />
Het is e<strong>en</strong> taak van het onderwijs om situaties te creër<strong>en</strong> waarin de hier g<strong>en</strong>oemde compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
alle drie bewust word<strong>en</strong> ingebed. Dit is de basis <strong>vo</strong>or het ontwikkel<strong>en</strong> van gecijferd<br />
gedrag <strong>en</strong> van e<strong>en</strong> goede attitude <strong>vo</strong>or lifelong learning. Tev<strong>en</strong>s kan dit bijdrag<strong>en</strong><br />
aan verdere ontwikkeling van de sam<strong>en</strong>leving.<br />
47<br />
Alle<strong>en</strong> door de hierbov<strong>en</strong> g<strong>en</strong>oemde drie compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong> gezam<strong>en</strong>lijk in te bedd<strong>en</strong> in het<br />
onderwijs kan e<strong>en</strong> houding <strong>vo</strong>or lifelong learning groei<strong>en</strong>. Het ler<strong>en</strong> is na het verlat<strong>en</strong> van<br />
school of beroepsonderwijs niet afgerond.<br />
Geciteerd naar Van Gro<strong>en</strong>estijn (2010, pp. 16-18).<br />
2.3 Uitgangspunt<strong>en</strong> van dit protocol<br />
De uitdaging <strong>vo</strong>or het rek<strong>en</strong>onderwijs in het <strong>vo</strong> is om de juiste aansluiting te vind<strong>en</strong> bij de <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis<br />
van de leerling<strong>en</strong> Dit betek<strong>en</strong>t rek<strong>en</strong>ing houd<strong>en</strong> met wat zij al beheers<strong>en</strong> <strong>en</strong> aanbied<strong>en</strong> wat zij<br />
nog nodig hebb<strong>en</strong> In feite is dit niet anders dan bij andere vakk<strong>en</strong> Voor leerling<strong>en</strong> die ernstige<br />
problem<strong>en</strong> ondervind<strong>en</strong> met (ler<strong>en</strong>) rek<strong>en</strong><strong>en</strong> vraagt dit wel specifieke ondersteuning <strong>en</strong> begeleiding<br />
Vorm gev<strong>en</strong> aan rek<strong>en</strong>onderwijs dat aan deze eis<strong>en</strong> tegemoet kan kom<strong>en</strong> lukt meestal niet<br />
zonder specifieke aandacht <strong>en</strong> afsprak<strong>en</strong> hierover Het vraagt e<strong>en</strong> duidelijke school- of afdelingsvisie<br />
op rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, rek<strong>en</strong>onderwijs <strong>en</strong> het omgaan met rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> heeft bij het exam<strong>en</strong><br />
e<strong>en</strong> aparte positie gekreg<strong>en</strong>, maar is inhoudelijk natuurlijk verbond<strong>en</strong> met het vak wiskunde<br />
Daarnaast is rek<strong>en</strong><strong>en</strong> e<strong>en</strong> basisvaardigheid binn<strong>en</strong> veel andere vakk<strong>en</strong> Dit betek<strong>en</strong>t dat in principe<br />
veel lerar<strong>en</strong> in veel verschill<strong>en</strong>de vakk<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> te mak<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> met rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Deze complexe<br />
rol van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> maakt dat m<strong>en</strong> op school niet zonder meer kan aannem<strong>en</strong> dat het allemaal ‘vanzelf’<br />
wel goed gaat<br />
Aansluit<strong>en</strong>d bij de visie zoals in paragraaf 21 is verwoord, baser<strong>en</strong> wij ons in dit protocol op de<br />
<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de uitgangspunt<strong>en</strong> Deze uitgangspunt<strong>en</strong> werk<strong>en</strong> wij verder uit in de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de del<strong>en</strong> van dit<br />
boek<br />
1 Functionele gecijferdheid is de opbr<strong>en</strong>gst van goed rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
2 De ontwikkeling van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardigheid stopt niet bij binn<strong>en</strong>komst in het <strong>vo</strong><br />
3 Iedere leerling is anders <strong>en</strong> dit heeft ook consequ<strong>en</strong>ties bij ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
4 Er is onderscheid tuss<strong>en</strong> ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
5 Lerar<strong>en</strong> spel<strong>en</strong> in op gesignaleerde rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> door te differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong><br />
6 Onderzoekers diagnosticer<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> handelingsgericht<br />
7 Begeleiders van leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> of met dyscalculie werk<strong>en</strong> resultaatgericht<br />
De eerste vier uitgangspunt<strong>en</strong> typer<strong>en</strong> onze visie op ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie De<br />
uitgangspunt<strong>en</strong> 5, 6 <strong>en</strong> 7 <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> de basis <strong>vo</strong>or onze visie op het handel<strong>en</strong> in de praktijk<br />
48<br />
• Uitgangspunt 1: functionele gecijferdheid is de opbr<strong>en</strong>gst van goed rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
Rek<strong>en</strong>onderwijs is de kwalificatie ‘goed’ pas waardig, als het de leerling<strong>en</strong> br<strong>en</strong>gt tot functionele<br />
gecijferdheid Wij beschrev<strong>en</strong> in paragraaf 22 al wat wij onder dit begrip verstaan<br />
Buit<strong>en</strong> de school hebb<strong>en</strong> getall<strong>en</strong> altijd betek<strong>en</strong>is <strong>en</strong> bestaan er ge<strong>en</strong> ‘kale somm<strong>en</strong>’<br />
Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het dagelijks lev<strong>en</strong> is altijd ingebed in e<strong>en</strong> functionele situatie Rek<strong>en</strong>onderwijs heeft<br />
daarom tot hoofddoel het ontwikkel<strong>en</strong> van bruikbare rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> om daarmee<br />
optimaal te kunn<strong>en</strong> functioner<strong>en</strong> in de maatschappij Goed kunn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is ge<strong>en</strong> doel op zichzelf,<br />
maar e<strong>en</strong> middel, e<strong>en</strong> stuk gereedschap in hand<strong>en</strong> van mondige burgers (zie ook Boekaerts &<br />
Simons, 1995) Goede taal- <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardigheid zijn kerncompet<strong>en</strong>ties die aanzi<strong>en</strong>lijk kunn<strong>en</strong><br />
bijdrag<strong>en</strong> aan ‘e<strong>en</strong> lev<strong>en</strong> lang ler<strong>en</strong>’ <strong>en</strong> burgerschap (OECD, 2007) Daarom is e<strong>en</strong> bepaald minimum<br />
van functionele gecijferdheid noodzakelijk In Nederland is dat niveau vastgesteld op 2F, in<br />
aansluiting op Europese afsprak<strong>en</strong> daarover (Council of Europe, 2001) Dit refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau is ook<br />
de basis om verder te kunn<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> beroep<br />
k ERn<br />
Functionele gecijferdheid: ge<strong>en</strong> dag zonder rek<strong>en</strong><strong>en</strong>!<br />
Functionele gecijferdheid omvat meer dan technische rek<strong>en</strong>vaardigheid. Het gaat om<br />
het adequaat kunn<strong>en</strong> handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> het kunn<strong>en</strong> nem<strong>en</strong> van beslissing<strong>en</strong> op basis van getalsmatige<br />
informatie, in functionele, dagelijkse situaties. Dit kan veel <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong>,<br />
zoals blijkt uit de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong>:<br />
• Het kunn<strong>en</strong> interpreter<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> vertrekstaat op e<strong>en</strong> NS-station <strong>en</strong> dat omzett<strong>en</strong> in<br />
handel<strong>en</strong>: naar het juiste perron gaan <strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> of je op tijd b<strong>en</strong>t om die trein<br />
te hal<strong>en</strong>.<br />
• Herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> of je g<strong>en</strong>oeg wisselgeld terugkrijgt.<br />
• Kunn<strong>en</strong> inschatt<strong>en</strong> hoelang je doet over 10 km fiets<strong>en</strong>.<br />
• E<strong>en</strong> recept kunn<strong>en</strong> aanpass<strong>en</strong> aan het aantal eters, <strong>vo</strong>or wie het gerecht bestemd is.<br />
• Bij allerlei werkzaamhed<strong>en</strong> in <strong>en</strong> om huis adequaat met de bijbehor<strong>en</strong>de getall<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
mat<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> omgaan. Hoeveel muurverf heb ik nodig <strong>vo</strong>or deze kamer? Hoeveel<br />
schroev<strong>en</strong> heb ik nodig <strong>vo</strong>or dit wandje? Past die loungeset op ons terras?<br />
• Voordelige aanbieding<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> terugbr<strong>en</strong>g<strong>en</strong> tot hun ess<strong>en</strong>tie, zoals ‘elke vierde<br />
fles gratis’ betek<strong>en</strong>t ‘25% korting op de prijs van elke fles’.<br />
• Inschatt<strong>en</strong> of je g<strong>en</strong>oeg MB geheug<strong>en</strong> vrij hebt op je telefoon of tablet om e<strong>en</strong> app te<br />
download<strong>en</strong>.<br />
• Je uitgav<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> afstemm<strong>en</strong> op je inkomst<strong>en</strong> <strong>en</strong> op de periode tot je <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de<br />
salaris op je bankrek<strong>en</strong>ing staat.<br />
Bij functionele gecijferdheid handelt het steeds weer om situaties die vrag<strong>en</strong> om het begrijp<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
analyser<strong>en</strong> van, meestal getalsmatige, informatie Dat is nodig om daaraan betek<strong>en</strong>is te kunn<strong>en</strong><br />
verl<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> op basis daarvan te bepal<strong>en</strong> welke actie of berek<strong>en</strong>ing nodig is om het beoogde doel te
hoofdstuk 2 Visie <strong>en</strong> uitgangspunt<strong>en</strong><br />
bereik<strong>en</strong> Bij dat alles zijn zowel het herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> <strong>en</strong> b<strong>en</strong>utt<strong>en</strong> van de onderlinge sam<strong>en</strong>hang als e<strong>en</strong><br />
hoog tempo belangrijk<br />
Bij functionele gecijferdheid hoort echter ook: je k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> durv<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> <strong>en</strong> erop<br />
durv<strong>en</strong> vertrouw<strong>en</strong> dat je getalsmatige informatie juist interpreteert Soms betek<strong>en</strong>t dat: die informatie<br />
herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> als dit is ook <strong>vo</strong>or mij bedoeld, ik moet er wat mee In de praktijk ler<strong>en</strong> m<strong>en</strong>s<strong>en</strong> van<br />
hun eig<strong>en</strong> success<strong>en</strong> <strong>en</strong> fout<strong>en</strong> Iemand zonder goede basis zal bij e<strong>en</strong> foute beslissing al gauw tot<br />
de conclusie kom<strong>en</strong>: Zie je wel, ik snap/kan dat toch niet Hij raakt ontmoedigd<br />
Voor leerling<strong>en</strong> die ernstige problem<strong>en</strong> ondervind<strong>en</strong> met rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is het daarom van groot belang<br />
om alles op alles te zett<strong>en</strong> om h<strong>en</strong> e<strong>en</strong> zo stevig mogelijke basis van functionele gecijferdheid te<br />
lat<strong>en</strong> verwerv<strong>en</strong> Alle betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> (lerar<strong>en</strong>, leerling <strong>en</strong> ouders/verzorgers) werk<strong>en</strong> daaraan vanuit<br />
e<strong>en</strong> gedeeld perspectief van functionele gecijferdheid Dit vraagt dat zij ook ieder hun rol nem<strong>en</strong><br />
om de leerling zo ver mogelijk te lat<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> in zijn ontwikkeling<br />
49<br />
• Uitgangspunt 2: de ontwikkeling van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardigheid stopt niet bij binn<strong>en</strong>komst<br />
in het <strong>vo</strong><br />
De ontwikkeling van rek<strong>en</strong>compet<strong>en</strong>ties is in het basisonderwijs in gang gezet De leerling is gebaat<br />
bij continuïteit in <strong>en</strong> onderhoud van zijn rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong><br />
Continuïteit betek<strong>en</strong>t <strong>en</strong>erzijds het <strong>vo</strong>ortzett<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> ontwikkeling die nog niet is <strong>vo</strong>ltooid, anderzijds<br />
het doorgaan met e<strong>en</strong> didactiek waaraan de leerling<strong>en</strong> al gew<strong>en</strong>d zijn Onderhoud betek<strong>en</strong>t<br />
dat reeds verworv<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> op peil gehoud<strong>en</strong> moet<strong>en</strong> word<strong>en</strong> door deze regelmatig<br />
te gebruik<strong>en</strong> <strong>en</strong> toe te pass<strong>en</strong> Onderhoud kan ook betek<strong>en</strong><strong>en</strong> dat er wat herstelwerk<br />
nodig is, doordat feit<strong>en</strong> of procedures zijn weggezakt Als blijkt dat e<strong>en</strong> leerling de onderligg<strong>en</strong>de<br />
concept<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong>ortraject nooit goed heeft begrep<strong>en</strong>, is ook herstelwerk gew<strong>en</strong>st<br />
Goede rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> zijn e<strong>en</strong> noodzakelijke <strong>vo</strong>orwaarde <strong>vo</strong>or het ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> begrijp<strong>en</strong> van<br />
pass<strong>en</strong>de oplossingsprocedures Onbegrep<strong>en</strong> procedures leid<strong>en</strong> tot fragm<strong>en</strong>tarische k<strong>en</strong>nis, inadequaat<br />
handel<strong>en</strong>, het niet b<strong>en</strong>utt<strong>en</strong> van verband<strong>en</strong> <strong>en</strong> zelfs tot het ontwikkel<strong>en</strong> van misconcept<strong>en</strong><br />
Wanneer e<strong>en</strong> leerling bepaalde procedures niet heeft begrep<strong>en</strong>, kan hij deze in nieuwe situaties<br />
niet opnieuw bered<strong>en</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> zo reconstruer<strong>en</strong> Daardoor is e<strong>en</strong> groot beroep op het geheug<strong>en</strong><br />
nodig <strong>en</strong> dit leidt weer vaker tot fout<strong>en</strong> (zie ook Fosnot & Dolk, 2002; Dolk, 2005) Het k<strong>en</strong>n<strong>en</strong> van<br />
verband<strong>en</strong>, zoals eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> van getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong> <strong>en</strong> hun onderlinge relaties, <strong>en</strong> het<br />
ontwikkel<strong>en</strong> van netwerk<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis is ess<strong>en</strong>tieel om flexibel met nieuwe rek<strong>en</strong>situaties te<br />
kunn<strong>en</strong> omgaan<br />
k ERn<br />
Voorbeeld<strong>en</strong> van nuttige verband<strong>en</strong><br />
• K<strong>en</strong>n<strong>en</strong> én begrijp<strong>en</strong> van de relaties tuss<strong>en</strong> maate<strong>en</strong>hed<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> het metriek stelsel<br />
<strong>en</strong> de betek<strong>en</strong>is van de gebruikte <strong>vo</strong>or<strong>vo</strong>egsels (zoals kilo-, deci-, micro-, giga-) daarbij.<br />
• Het met begrip kunn<strong>en</strong> inzett<strong>en</strong> van het systeem van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met geld, zoals bij<br />
budgetter<strong>en</strong> <strong>en</strong> het omrek<strong>en</strong><strong>en</strong> van vreemde valuta.<br />
• Begrijp<strong>en</strong> <strong>en</strong> herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> dat breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> verhoudingsgetall<strong>en</strong><br />
zijn <strong>en</strong> als zodanig met elkaar te mak<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong>.<br />
• Wet<strong>en</strong> <strong>en</strong> begrijp<strong>en</strong> dat heel verschill<strong>en</strong>de berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> dezelfde uitkomst kunn<strong>en</strong><br />
1<br />
hebb<strong>en</strong>. Voorbeeld: 4x125 = 2x250 = _ x1000 =<br />
1_ x1500 =<br />
2_<br />
2 3 3 van 750.
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
50<br />
Zoals al aangegev<strong>en</strong> in hoofdstuk 1, hebb<strong>en</strong> we in het <strong>vo</strong> te mak<strong>en</strong> met nogal verschill<strong>en</strong>de groep<strong>en</strong><br />
leerling<strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> in de diverse leerroutes verton<strong>en</strong> ook t<strong>en</strong> aanzi<strong>en</strong> van hun rek<strong>en</strong>vaardigheid<br />
grote verschill<strong>en</strong> In vmbo-bbl <strong>en</strong> vmbo-kbl zal het onderwijs nog veel aandacht moet<strong>en</strong> bested<strong>en</strong><br />
aan het verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> veranker<strong>en</strong> van goede rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> bijpass<strong>en</strong>de vaardighed<strong>en</strong><br />
In vmbo-gl <strong>en</strong> vmbo-tl gaat het met name om het onderhoud<strong>en</strong> Ook hier beheers<strong>en</strong> veel leerling<strong>en</strong><br />
de basis van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de Daarom is het ook <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> van belang dat zij hun rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis-<br />
<strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> in stand houd<strong>en</strong> <strong>en</strong> verder ontwikkel<strong>en</strong> Uiteindelijk is het doel h<strong>en</strong> te<br />
br<strong>en</strong>g<strong>en</strong> tot niveau 2F<br />
Leerling<strong>en</strong> in ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo hebb<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oral veel oef<strong>en</strong>ing nodig <strong>vo</strong>or onderhoud <strong>en</strong> consolidatie van<br />
de leerstof van de basisschool Daarnaast is uitbreiding van k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> nodig <strong>vo</strong>or het<br />
bereik<strong>en</strong> van het niveau 3F Ook hier is e<strong>en</strong> goede conceptontwikkeling van belang Juist deze<br />
leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> met inzicht te werk gaan <strong>en</strong> mog<strong>en</strong> ge<strong>en</strong> g<strong>en</strong>oeg<strong>en</strong> nem<strong>en</strong> met ‘trucjes’<br />
• Uitgangspunt 3: iedere leerling is anders <strong>en</strong> dit heeft ook consequ<strong>en</strong>ties bij ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Het feit dat er verschill<strong>en</strong> bestaan tuss<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> betek<strong>en</strong>t onder meer dat iedere leerling de<br />
rek<strong>en</strong>doel<strong>en</strong> op zijn eig<strong>en</strong> manier <strong>en</strong> in zijn eig<strong>en</strong> tempo bereikt, ook al hebb<strong>en</strong> zij dezelfde rek<strong>en</strong>methode<br />
ge<strong>vo</strong>lgd<br />
Tuss<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> die het <strong>vo</strong> binn<strong>en</strong>kom<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> grote verschill<strong>en</strong> in rek<strong>en</strong>ontwikkeling bestaan<br />
Deze verschill<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> oplop<strong>en</strong> tot wel <strong>en</strong>kele jar<strong>en</strong> Door de leerling<strong>en</strong> in verschill<strong>en</strong>de<br />
leerroutes te plaats<strong>en</strong>, ontstaat e<strong>en</strong> zekere homog<strong>en</strong>iteit in e<strong>en</strong> klas Desondanks blijv<strong>en</strong> er ook<br />
binn<strong>en</strong> elke leerroute verschill<strong>en</strong> in de rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
Er zijn leerling<strong>en</strong> die de basisbewerking<strong>en</strong> nog on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de beheers<strong>en</strong> <strong>en</strong> meer tijd nodig hebb<strong>en</strong><br />
om zich de complexe leerstof van de bov<strong>en</strong>bouw basisonderwijs eig<strong>en</strong> te mak<strong>en</strong> (breuk<strong>en</strong>, decimale<br />
getall<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>, metriek stelsel <strong>en</strong> complexe bewerking<strong>en</strong>) Onder deze leerling<strong>en</strong> bevind<strong>en</strong><br />
zich ook leerling<strong>en</strong> die ernstige problem<strong>en</strong> ondervind<strong>en</strong> bij het (ler<strong>en</strong>) rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Dat vraagt<br />
afstemming van het onderwijs <strong>en</strong> extra begeleiding op hun specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
k ERn<br />
Struikelblokk<strong>en</strong> bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
• vlot uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van de basisbewerking<strong>en</strong> (+, –, x, :);<br />
• direct herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> wat de ess<strong>en</strong>tie is van e<strong>en</strong> probleem <strong>en</strong> welke aanpak daarbij past;<br />
• begrip van <strong>en</strong> vaardigheid met breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>;<br />
• herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> <strong>en</strong> b<strong>en</strong>utt<strong>en</strong> van de sam<strong>en</strong>hang tuss<strong>en</strong> breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>;<br />
• k<strong>en</strong>nis van <strong>en</strong> vaardigheid met het toepass<strong>en</strong> van het metriek stelsel;<br />
• efficiënt <strong>en</strong> met begrip complexe bewerking<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong>.<br />
Het behal<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>toets is onderdeel van de exam<strong>en</strong>s aan het einde van de opleiding Juist<br />
hierom is het van belang tijdig de individuele ontwikkeling van leerling<strong>en</strong> te k<strong>en</strong>n<strong>en</strong> <strong>en</strong> daarop in<br />
te spel<strong>en</strong> Sommige leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> meer tijd <strong>en</strong>/of andere instructie nodig om zich bepaalde<br />
concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> procedures eig<strong>en</strong> te mak<strong>en</strong> dan andere leerling<strong>en</strong><br />
In het systeem van externe differ<strong>en</strong>tiatie zijn de leerling<strong>en</strong> geplaatst in <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> pass<strong>en</strong>d geachte<br />
leerroutes Hierbinn<strong>en</strong> zijn er toch nog leerling<strong>en</strong> die gebaat zijn bij specifiek op h<strong>en</strong> afgestemde<br />
instructie <strong>en</strong> oef<strong>en</strong>ing Dat vraagt van lerar<strong>en</strong> dat zij in hun (rek<strong>en</strong>)less<strong>en</strong> oog hebb<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or die individuele<br />
verschill<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de groep Deze afstemming op specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong> binn<strong>en</strong><br />
de klas heet interne differ<strong>en</strong>tiatie
hoofdstuk 2 Visie <strong>en</strong> uitgangspunt<strong>en</strong><br />
• Uitgangspunt 4: er is onderscheid tuss<strong>en</strong> ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie<br />
Het onderscheid tuss<strong>en</strong> ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie wordt bepaald door de hardnekkigheid<br />
van de problem<strong>en</strong> Hardnekkigheid betek<strong>en</strong>t dat de be<strong>vo</strong>rder<strong>en</strong>de invloed van de onderwijsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
na e<strong>en</strong> half jaar nog steeds on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de blijkt te zijn<br />
Bij (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie spel<strong>en</strong> <strong>en</strong>erzijds onderwijsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> <strong>en</strong> anderzijds<br />
leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> e<strong>en</strong> rol Onder onderwijsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> verstaan wij de specifieke factor<strong>en</strong> vanuit<br />
het onderwijs die van invloed zijn op de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van de leerling Leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
zijn sociaal-emotionele <strong>en</strong> cognitieve factor<strong>en</strong> die de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van de leerling positief of<br />
negatief beïnvloed<strong>en</strong> Bij dyscalculie heeft de deskundige begeleiding van de leerling – zorgvuldig<br />
afgestemd op zijn individuele onderwijsbehoeft<strong>en</strong> – de invloed van leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> die de ontwikkeling<br />
van het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> belemmer<strong>en</strong>, on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de kunn<strong>en</strong> verminder<strong>en</strong> Dit sluit echter niet<br />
uit dat er – soms pas op latere leeftijd of binn<strong>en</strong> e<strong>en</strong> specifieke betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle context – nog verdere<br />
ontwikkeling kan plaatsvind<strong>en</strong><br />
51<br />
k ERn<br />
Onderscheid tuss<strong>en</strong> ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie<br />
Ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> ontstaan als er on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de afstemming wordt gerealiseerd<br />
tuss<strong>en</strong> het (rek<strong>en</strong>)onderwijs <strong>en</strong> de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling. De k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
van het onderwijs sluit<strong>en</strong> dan niet aan bij de (aangebor<strong>en</strong> <strong>en</strong> verworv<strong>en</strong>) k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
van de leerling.<br />
Wij sprek<strong>en</strong> van dyscalculie als ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ondanks langdurige deskundige<br />
begeleiding <strong>en</strong> zorgvuldige (poging<strong>en</strong> tot) afstemming hardnekkig blijk<strong>en</strong> <strong>en</strong> onveranderd<br />
blijv<strong>en</strong> bestaan. De k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de leerling blijv<strong>en</strong> dan <strong>vo</strong>oralsnog dominant.<br />
Bij rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> zal het rek<strong>en</strong>onderwijs steeds zorgvuldig afgestemd moet<strong>en</strong> word<strong>en</strong> op de<br />
(rek<strong>en</strong>)ontwikkeling van de leerling Naarmate de rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ernstiger van aard word<strong>en</strong>,<br />
moet<strong>en</strong> de aandacht <strong>en</strong> begeleiding int<strong>en</strong>siever word<strong>en</strong><br />
Het is van belang om het etiket ‘dyscalculie’ zo min mogelijk te gebruik<strong>en</strong>, al was het maar doordat<br />
deze kwalificatie ernstige maatschappelijk ge<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> heeft <strong>vo</strong>or de betrokk<strong>en</strong> leerling<br />
In de dagelijkse lespraktijk is de gr<strong>en</strong>s tuss<strong>en</strong> ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie moeilijk te<br />
trekk<strong>en</strong> Daar<strong>vo</strong>or is dan (extern) psychodiagnostisch onderzoek nodig, ge<strong>vo</strong>lgd door e<strong>en</strong> periode<br />
van int<strong>en</strong>sieve, deskundige begeleiding Pas daarna kan bij uitblijv<strong>en</strong>d effect zo nodig e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring<br />
word<strong>en</strong> verstrekt Dit vindt bij <strong>vo</strong>orkeur plaats <strong>vo</strong>or het einde van het tweede leerjaar<br />
Zie hier<strong>vo</strong>or deel 5 van dit protocol<br />
k ERn<br />
Waarneembare verschijnsel<strong>en</strong> bij dyscalculie<br />
• Er is e<strong>en</strong> grote discrepantie tuss<strong>en</strong> de ontwikkeling van de leerling in het algeme<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> zijn rek<strong>en</strong>ontwikkeling.<br />
• De achterstand is hardnekkig. De leerling laat – ondanks gerichte deskundige begeleiding<br />
– bijna ge<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oruitgang zi<strong>en</strong>. Dit is vastgesteld op grond van zowel e<strong>en</strong><br />
kwalitatieve als e<strong>en</strong> kwantitatieve analyse van leerresultat<strong>en</strong> van de leerling.<br />
• De problem<strong>en</strong> zijn ontstaan vanaf het verwerv<strong>en</strong> van de basisvaardighed<strong>en</strong> in het<br />
domein getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> beïnvloed<strong>en</strong> ook de ontwikkeling op het domein verhouding<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> het domein met<strong>en</strong> <strong>en</strong> meetkunde (inclusief de leerstoflijn<strong>en</strong> tijd <strong>en</strong> geld).
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
52<br />
k ERn<br />
Consequ<strong>en</strong>ties van dyscalculie<br />
• Zowel in wiskunde als in andere vakk<strong>en</strong> (zoals natuurkunde, scheikunde, aardrijkskunde,<br />
economie, techniek) is gebrek aan basale rek<strong>en</strong>vaardigheid e<strong>en</strong> handicap.<br />
• Gedur<strong>en</strong>de de hele schoolloopbaan én in het maatschappelijk verkeer blijft die<br />
beperkte rek<strong>en</strong>vaardigheid stor<strong>en</strong>d, vanwege het praktische ongemak <strong>en</strong> door de<br />
sociaal-emotionele ge<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>.<br />
• Problem<strong>en</strong> met de basisvaardighed<strong>en</strong> blijv<strong>en</strong> ook op latere leeftijd bestaan <strong>en</strong> daarmee<br />
de invloed op beroepsperspectiev<strong>en</strong> <strong>en</strong> maatschappelijke redzaamheid.<br />
• Sommige beroepsopleiding<strong>en</strong> zijn geblokkeerd <strong>en</strong> bepaalde beroep<strong>en</strong> zijn uitgeslot<strong>en</strong>.<br />
• Uitgangspunt 5: lerar<strong>en</strong> spel<strong>en</strong> in op gesignaleerde rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> door te differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong><br />
Differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong> in less<strong>en</strong> betek<strong>en</strong>t rek<strong>en</strong>ing houd<strong>en</strong> met verschill<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> door aanpassing<strong>en</strong><br />
in de instructie, in de opdracht<strong>en</strong> <strong>en</strong> in de begeleiding van leerling<strong>en</strong> Dat is in het <strong>vo</strong> niet<br />
algeme<strong>en</strong> gebruikelijk<br />
De manier van lesgev<strong>en</strong> komt in veel gevall<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ort uit (al dan niet bewuste) opvatting<strong>en</strong> van lerar<strong>en</strong><br />
over hoe ler<strong>en</strong> gaat (zie bijlage A)<br />
Verwacht mag word<strong>en</strong> dat leerling<strong>en</strong> die ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> of bij wie g<strong>en</strong>oemde<br />
verschijnsel<strong>en</strong> van dyscalculie zijn waar te nem<strong>en</strong>, al in het basisonderwijs zijn gesignaleerd <strong>en</strong><br />
gediagnosticeerd E<strong>en</strong> goede intake bij aanmelding <strong>vo</strong>or het <strong>vo</strong> kan in zulke gevall<strong>en</strong> waarde<strong>vo</strong>lle<br />
informatie oplever<strong>en</strong><br />
Het kan echter ook gebeur<strong>en</strong> dat dergelijke problem<strong>en</strong> pas in het <strong>vo</strong> werkelijk zichtbaar word<strong>en</strong><br />
Juist dan is het belangrijk direct te signaler<strong>en</strong> <strong>en</strong> adequaat te handel<strong>en</strong>: dit verkleint de kans op<br />
negatieve ge<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> succes<strong>vo</strong>lle schoolloopbaan<br />
Dit vraagt van het beleid van de school ofwel de afdeling dat er <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de condities zijn die snel<br />
signaler<strong>en</strong> mogelijk mak<strong>en</strong> Tijdige <strong>en</strong> adequate signalering kan door:<br />
• het herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> van mogelijke risico’s in de <strong>vo</strong>orgeschied<strong>en</strong>is van e<strong>en</strong> leerling;<br />
• het organiser<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> nulmeting;<br />
• het analyser<strong>en</strong> van de resultat<strong>en</strong> van zowel intake als nulmeting;<br />
• het <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> van pass<strong>en</strong>de begeleiding;<br />
• het be<strong>vo</strong>rder<strong>en</strong> van de deskundigheid van lerar<strong>en</strong> om zowel e<strong>en</strong> analyse als het mak<strong>en</strong> van e<strong>en</strong><br />
begeleidingopzet mogelijk te mak<strong>en</strong><br />
(Rek<strong>en</strong>)lerar<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> alle<strong>en</strong> verantwoord differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong> in hun less<strong>en</strong> als zij de verschill<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong><br />
leerling<strong>en</strong> (her)k<strong>en</strong>n<strong>en</strong> Dat vraagt om e<strong>en</strong> manier van lesgev<strong>en</strong> waarbij het (rek<strong>en</strong>)gedrag van<br />
de leerling<strong>en</strong> leidraad is <strong>vo</strong>or de interv<strong>en</strong>ties van met name de rek<strong>en</strong>leraar Deze kan zijn instructie<br />
<strong>en</strong> werk<strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> beter afstemm<strong>en</strong> op wat de leerling<strong>en</strong> nodig hebb<strong>en</strong> door:<br />
• het analyser<strong>en</strong> <strong>en</strong> interpreter<strong>en</strong> van resultat<strong>en</strong>;<br />
• het aansluit<strong>en</strong>d daarop <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van korte rek<strong>en</strong>gesprekk<strong>en</strong> in de groep;<br />
• het observer<strong>en</strong> van de aanpak van leerling<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>leraar zal hierbij extra aandacht sch<strong>en</strong>k<strong>en</strong> aan de resultat<strong>en</strong> (onder andere van tuss<strong>en</strong>tijdse<br />
toets<strong>en</strong>) van leerling<strong>en</strong> bij wie al rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> – of grote risico’s op het ontstaan daarvan<br />
– zijn gesignaleerd
hoofdstuk 2 Visie <strong>en</strong> uitgangspunt<strong>en</strong><br />
Deze wijze van werk<strong>en</strong> is met name van belang in groep<strong>en</strong> waarvan bek<strong>en</strong>d is dat er grote verschill<strong>en</strong><br />
in rek<strong>en</strong>vaardigheid zijn <strong>en</strong> waarin ook veel rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> (Inspectie van<br />
het Onderwijs, 2009) D<strong>en</strong>k hierbij met name aan vmbo-bbl <strong>en</strong> vmbo-kbl Ook in vergelijkbare<br />
situaties in andere leerroutes blijft het van belang dat (rek<strong>en</strong>)lerar<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s hun less<strong>en</strong> differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong><br />
De verderop in dit protocol beschrev<strong>en</strong> ‘Hoofdlijn<strong>en</strong> bij ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong>’ <strong>en</strong> de twee modell<strong>en</strong><br />
(Handelingsmodel <strong>en</strong> Drieslagmodel) zijn ess<strong>en</strong>tiële hulpmiddel<strong>en</strong> om de differ<strong>en</strong>tiatie doelgericht<br />
af te stemm<strong>en</strong> op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van subgroep<strong>en</strong> in de klas Zie verder deel 2 <strong>en</strong> deel<br />
3 van dit protocol<br />
53<br />
• Uitgangspunt 6: onderzoekers diagnosticer<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> handelingsgericht<br />
Handelingsgerichte diagnostiek (HGD) is erop gericht aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de begeleiding<br />
van de leerling te g<strong>en</strong>erer<strong>en</strong> Dit geldt zowel <strong>vo</strong>or diagnostische rek<strong>en</strong>onderzoek<strong>en</strong> als <strong>vo</strong>or psychodiagnostische<br />
onderzoek<strong>en</strong><br />
HGD biedt e<strong>en</strong> systematische aanpak <strong>vo</strong>or diagnostisch onderzoek, maar is tegelijk gericht op het<br />
opspor<strong>en</strong> van aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or effectieve begeleiding op school Hierdoor onderscheidt<br />
HGD zich van hypothesetoets<strong>en</strong>de diagnostiek (die zich beperkt tot het vaststell<strong>en</strong> of e<strong>en</strong> hypothese<br />
over de rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> al dan niet moet word<strong>en</strong> verworp<strong>en</strong>) <strong>en</strong> ook van classificer<strong>en</strong>de<br />
diagnostiek (die alle<strong>en</strong> gericht is op het al dan niet toek<strong>en</strong>n<strong>en</strong> van het label dyscalculie)<br />
Als werkwijze bij e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>onderzoek of e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek kiez<strong>en</strong> wij daarom<br />
<strong>vo</strong>or de procedure van handelingsgerichte diagnostiek (zie bij<strong>vo</strong>orbeeld Pameijer & Van Beukering,<br />
2004)<br />
Diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek kan op school door de rek<strong>en</strong>specialist word<strong>en</strong> uitge<strong>vo</strong>erd Het heeft als<br />
doel te achterhal<strong>en</strong> welke concept<strong>en</strong>, inzicht<strong>en</strong>, k<strong>en</strong>nis van rek<strong>en</strong>feit<strong>en</strong> <strong>en</strong> -procedures <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong><br />
e<strong>en</strong> leerling heeft Het is niet gestandaardiseerd, maar interactief <strong>en</strong> adaptief, zodat de leerling<br />
de geleg<strong>en</strong>heid heeft <strong>vo</strong>oral te lat<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> <strong>en</strong> hor<strong>en</strong> wat hij al kan <strong>en</strong> weet <strong>en</strong> hoe hij dat beleeft<br />
Hierop kan de begeleiding dan later aansluit<strong>en</strong><br />
Als blijkt dat e<strong>en</strong> leerling die ernstige problem<strong>en</strong> heeft met (ler<strong>en</strong>) rek<strong>en</strong><strong>en</strong> on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de profiteert<br />
van de differ<strong>en</strong>tiatie <strong>en</strong> afgestemde begeleiding, kan e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek plaatsvind<strong>en</strong><br />
Dit vindt bij <strong>vo</strong>orkeur plaats <strong>vo</strong>or het einde van het tweede leerjaar<br />
Diagnostiek van ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie kan alle<strong>en</strong> word<strong>en</strong> uitge<strong>vo</strong>erd door e<strong>en</strong><br />
gedragswet<strong>en</strong>schapper, in sam<strong>en</strong>werking met e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>specialist (zie <strong>vo</strong>or bekwaamheidscriteria<br />
paragraaf 196) Het resultaat van het psychodiagnostische onderzoek zijn handelingsgerichte adviez<strong>en</strong>,<br />
die kunn<strong>en</strong> word<strong>en</strong> vertaald in e<strong>en</strong> individueel handelingsplan <strong>vo</strong>or de leerling Die hebb<strong>en</strong><br />
betrekking op het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> mogelijk ook op andere aspect<strong>en</strong> (Van Luit, Bloemert,<br />
Ganzinga & Mönch, 2012) In dit plan staat het verwachte ontwikkelingsperspectief van de leerling<br />
(vakoverstijg<strong>en</strong>d) beschrev<strong>en</strong> <strong>en</strong> word<strong>en</strong> haalbaar geachte rek<strong>en</strong>doel<strong>en</strong> (vakspecifiek) op lange termijn<br />
geformuleerd Door e<strong>en</strong> int<strong>en</strong>sieve begeleiding van e<strong>en</strong> half jaar kan m<strong>en</strong> nagaan wat het<br />
effect van deze int<strong>en</strong>sieve ondersteuning is Blijkt dat de deskundige hulp werkt, dan kan deze<br />
word<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ortgezet Is er ondanks deze hulp echter on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de resultaat (hardnekkigheid), dan<br />
kan e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring word<strong>en</strong> verle<strong>en</strong>d Ook dan zal hulp nodig blijv<strong>en</strong>, maar moet<strong>en</strong> de<br />
verwachting<strong>en</strong> over het effect word<strong>en</strong> bijgesteld (zie hoofdstuk 1)
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
In verband met de verminderde validiteit van de diagnose-instrum<strong>en</strong>t<strong>en</strong> naarmate leerling<strong>en</strong> ouder<br />
word<strong>en</strong> adviser<strong>en</strong> wij dring<strong>en</strong>d e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring alle<strong>en</strong> af te gev<strong>en</strong> in de bov<strong>en</strong>bouw<br />
van de basisschool of in de eerste twee leerjar<strong>en</strong> van het <strong>vo</strong><br />
54<br />
• Uitgangspunt 7: begeleiders van leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> of met dyscalculie<br />
werk<strong>en</strong> resultaatgericht<br />
Begeleiders werk<strong>en</strong> vanuit heel concrete doel<strong>en</strong>, zoals die in individuele handelingsplann<strong>en</strong> staan<br />
aangegev<strong>en</strong> Hierdoor zijn zij gericht op het lat<strong>en</strong> behal<strong>en</strong> van concrete <strong>en</strong> haalbare opbr<strong>en</strong>gst<strong>en</strong><br />
door de begeleide leerling<br />
Het toewerk<strong>en</strong> naar haalbare resultat<strong>en</strong> heeft e<strong>en</strong> belangrijke motiver<strong>en</strong>de functie <strong>vo</strong>or de betrokk<strong>en</strong><br />
leerling Het is evid<strong>en</strong>t dat begeleiding bij ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> nodig is <strong>en</strong> blijft Het<br />
strev<strong>en</strong> is steeds weer de ontwikkeling van rek<strong>en</strong>vaardigheid verder te vergrot<strong>en</strong> <strong>en</strong> te versterk<strong>en</strong><br />
Ook na vaststelling van dyscalculie blijft resultaatgerichte begeleiding nodig Bij deze leerling<strong>en</strong> is<br />
die <strong>en</strong>erzijds gericht op het onderhoud<strong>en</strong> van reeds verworv<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> Anderzijds<br />
is de begeleiding gericht op redzaamheid in concrete situaties bij andere vakk<strong>en</strong> <strong>en</strong> buit<strong>en</strong> de<br />
school In alle gevall<strong>en</strong> is het noodzakelijk dat de resultat<strong>en</strong> herk<strong>en</strong>baar zijn <strong>vo</strong>or de begeleider,<br />
maar ook <strong>vo</strong>or de leerling zelf Deze resultat<strong>en</strong> l<strong>en</strong><strong>en</strong> zich <strong>vo</strong>or evaluatie van de begeleiding <strong>en</strong><br />
ondersteuning Ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s kan deze zo nodig word<strong>en</strong> bijgesteld Deze begeleiding biedt e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>specialist<br />
veelal in sam<strong>en</strong>werking met de rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> de m<strong>en</strong>tor van de betreff<strong>en</strong>de leerling<br />
Zie verder deel 4 van dit protocol
3 Rek<strong>en</strong>beleid
In dit hoofdstuk gev<strong>en</strong> wij aan welke beleidskeuzes in het perspectief van dit<br />
protocol <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> school aan de orde (kunn<strong>en</strong>) zijn. Tev<strong>en</strong>s gev<strong>en</strong> wij mogelijkhed<strong>en</strong><br />
aan om deze keuzes <strong>vo</strong>rm <strong>en</strong> inhoud te gev<strong>en</strong>.<br />
Het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 gaat met name over leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>,<br />
over leerling<strong>en</strong> bij wie deze problem<strong>en</strong> dusdanig hardnekkig blijk<strong>en</strong> dat sprake is<br />
van dyscalculie <strong>en</strong> over leerling<strong>en</strong> die door hun rek<strong>en</strong>zwakte het risico lop<strong>en</strong> alsnog<br />
ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> te ontwikkel<strong>en</strong>.<br />
3
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
3.1 Omgaan met on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>prestaties<br />
58<br />
E<strong>en</strong> <strong>vo</strong>-school of e<strong>en</strong> afdeling daarvan die <strong>vo</strong>rm <strong>en</strong> inhoud wil gev<strong>en</strong> aan dit protocol, zal het rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
zo organiser<strong>en</strong> dat zij aan de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van deze leerling<strong>en</strong> tegemoet kan kom<strong>en</strong><br />
Wat in de praktijk ‘tegemoet kom<strong>en</strong>’ kan betek<strong>en</strong><strong>en</strong>, licht<strong>en</strong> wij nu eerst toe Het feit dat er<br />
leerling<strong>en</strong> zijn <strong>vo</strong>or wie ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> e<strong>en</strong> zware opgave is, kan e<strong>en</strong> leraar op verschill<strong>en</strong>de manier<strong>en</strong><br />
b<strong>en</strong>ader<strong>en</strong><br />
1 Wie alle<strong>en</strong> op de resultat<strong>en</strong> afgaat <strong>en</strong> veel on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>des ziet als het bewijs dat e<strong>en</strong> leerling k<strong>en</strong>nelijk<br />
overvraagd wordt, zal deze leerling verwijz<strong>en</strong> naar e<strong>en</strong> lager niveau van onderwijs Deze<br />
beslissing zal m<strong>en</strong> nem<strong>en</strong> ‘in het belang van de leerling’<br />
2 Wie on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>des ziet als e<strong>en</strong> signaal dat (de hoeveelheid <strong>en</strong>/of de <strong>vo</strong>rm van) de stof niet aansluit<br />
bij wat de leerling aankan, zal prober<strong>en</strong> te variër<strong>en</strong> in de hoeveelheid (oef<strong>en</strong>)stof (bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
door het gev<strong>en</strong> van extra huiswerk) of in de <strong>vo</strong>rm van de opgav<strong>en</strong> (bij<strong>vo</strong>orbeeld niet op<br />
papier lat<strong>en</strong> oef<strong>en</strong><strong>en</strong>, maar op de computer) Hier<strong>vo</strong>or kiest m<strong>en</strong> ‘in het belang van de leerling’<br />
3 Wie on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>des ziet als het ge<strong>vo</strong>lg van e<strong>en</strong> mismatch tuss<strong>en</strong> de acties van de leraar <strong>en</strong> de<br />
onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling, zal op zoek gaan naar andere manier<strong>en</strong> van uitlegg<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
oef<strong>en</strong><strong>en</strong>, die beter bij die behoeft<strong>en</strong> aansluit<strong>en</strong> Ook hier<strong>vo</strong>or kiest m<strong>en</strong> ‘in het belang van de<br />
leerling’<br />
In al deze gevall<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> lerar<strong>en</strong> tegemoet aan wat zij zi<strong>en</strong> als het belang van de leerling De<br />
manier van attribuer<strong>en</strong> (toeschrijv<strong>en</strong> aan e<strong>en</strong> oorzaak) is heel verschill<strong>en</strong>d Het effect hiervan op de<br />
leerling zal daardoor ev<strong>en</strong>e<strong>en</strong>s erg verschill<strong>en</strong> Bij het <strong>vo</strong>rm <strong>en</strong> inhoud gev<strong>en</strong> aan rek<strong>en</strong>beleid is het<br />
van belang na te gaan welke opvatting op dit mom<strong>en</strong>t bij lerar<strong>en</strong> leid<strong>en</strong>d is Vanuit het perspectief<br />
van dit protocol is het w<strong>en</strong>selijk dat de derde optie uitgangspunt is <strong>vo</strong>or het schoolbeleid Dit kan<br />
betek<strong>en</strong><strong>en</strong> dat de school met de betrokk<strong>en</strong> lerar<strong>en</strong> nagaat welke consequ<strong>en</strong>ties deze derde keuze<br />
heeft <strong>vo</strong>or manier<strong>en</strong> van lesgev<strong>en</strong> <strong>en</strong> omgaan met leerling<strong>en</strong> die rek<strong>en</strong>zwak zijn, dan wel ernstige<br />
(<strong>en</strong> zelfs hardnekkige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong><br />
3.2 Configuraties van rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
Bij de invulling van rek<strong>en</strong>onderwijs zijn allerlei configuraties te onderscheid<strong>en</strong>, die afzonderlijk of<br />
in combinatie kunn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> Wij noem<strong>en</strong> hier de meest <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong>de variant<strong>en</strong><br />
a Er zijn ge<strong>en</strong> aparte rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong>, vanuit de gedachte dat rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de aan bod komt in<br />
wiskundeless<strong>en</strong> <strong>en</strong> bij andere vakk<strong>en</strong><br />
b Er zijn ‘bijspijkerless<strong>en</strong>’ georganiseerd <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> die bepaalde rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> zelf<br />
will<strong>en</strong> of op last van de school moet<strong>en</strong> ophal<strong>en</strong><br />
c Er zijn rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or alle leerling<strong>en</strong>, waarin reeds verworv<strong>en</strong> inzicht<strong>en</strong>, k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong><br />
word<strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong><br />
d Er zijn rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> waarin leerling<strong>en</strong> instructie <strong>en</strong> oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> krijg<strong>en</strong> die zijn gericht op het<br />
te behal<strong>en</strong> refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau <strong>vo</strong>or de betreff<strong>en</strong>de leerroute Zie ook bijlage B<br />
e Er is afstemming georganiseerd tuss<strong>en</strong> lerar<strong>en</strong> die rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> verzorg<strong>en</strong> <strong>en</strong> lerar<strong>en</strong> die in hun<br />
vak rek<strong>en</strong>vaardigheid van leerling<strong>en</strong> verwacht<strong>en</strong><br />
f Er zijn rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> georganiseerd <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> die vanuit het basisonderwijs gekom<strong>en</strong> zijn<br />
met e<strong>en</strong> nog on<strong>vo</strong>lledige beheersing van basisvaardighed<strong>en</strong> Deze leerling<strong>en</strong> krijg<strong>en</strong> instructie<br />
<strong>en</strong> begeleiding om hun basale rek<strong>en</strong>ontwikkeling <strong>vo</strong>ort te zett<strong>en</strong>
hoofdstuk 3 Rek<strong>en</strong>beleid<br />
g Er zijn lerar<strong>en</strong> die rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> gev<strong>en</strong> (hierna aangeduid als ‘rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong>’) <strong>en</strong> die toegerust<br />
zijn om verschill<strong>en</strong> in rek<strong>en</strong>vaardigheid op te merk<strong>en</strong> <strong>en</strong> daarop in de less<strong>en</strong> in te spel<strong>en</strong> door<br />
middel van e<strong>en</strong> gediffer<strong>en</strong>tieerde aanpak<br />
h Er zijn rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong> die tijd<strong>en</strong>s hun less<strong>en</strong> ook korte rek<strong>en</strong>gesprekk<strong>en</strong> <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Hiermee kunn<strong>en</strong><br />
zij bepaalde leerling<strong>en</strong> begeleid<strong>en</strong> <strong>en</strong> achterhal<strong>en</strong> hoe leerling<strong>en</strong> de opdracht<strong>en</strong> aanpakk<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> hun eig<strong>en</strong> vaardigheid belev<strong>en</strong><br />
i Er zijn naast de rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> mogelijkhed<strong>en</strong> gecreëerd om leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
of dyscalculie buit<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> te begeleid<strong>en</strong><br />
j Er zijn binn<strong>en</strong> de school lerar<strong>en</strong> die zijn opgeleid om diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek te do<strong>en</strong><br />
(rek<strong>en</strong>specialist<strong>en</strong>) Zij word<strong>en</strong> hiertoe ingeschakeld bij leerling<strong>en</strong> die e<strong>en</strong> (ernstige) stagnatie<br />
van hun rek<strong>en</strong>ontwikkeling lat<strong>en</strong> zi<strong>en</strong><br />
59<br />
Elk van deze verschijnings<strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>onderwijs is gebaseerd op keuzes die de schoolleiding<br />
maakt op grond van de visie van de school of afdeling Deze visie is niet altijd zo expliciet, vaak<br />
wordt het rek<strong>en</strong>onderwijs ‘er gewoon bij gedaan’ Inmiddels word<strong>en</strong> de refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus <strong>en</strong> de<br />
daarmee verbond<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>toets<strong>en</strong> inge<strong>vo</strong>erd Schol<strong>en</strong> will<strong>en</strong> de ondersteuning <strong>en</strong> de begeleiding<br />
van leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> of dyscalculie (her)inricht<strong>en</strong> Om dit weloverwog<strong>en</strong><br />
te kunn<strong>en</strong> do<strong>en</strong>, is e<strong>en</strong> herijking van de visie van de school of afdeling aan te bevel<strong>en</strong> Hierbij gaat<br />
het zowel om de plek van rek<strong>en</strong>onderwijs binn<strong>en</strong> de school als om de verantwoordelijkheid van<br />
lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong> andere betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> t<strong>en</strong> opzichte van leerling<strong>en</strong> die niet g<strong>en</strong>oeg hebb<strong>en</strong> aan standaardrek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
In het licht van dit protocol <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong> niet alle hier<strong>vo</strong>or g<strong>en</strong>oemde configuraties om het<br />
rek<strong>en</strong>onderwijs in te richt<strong>en</strong> aan die eis Het <strong>Protocol</strong> geeft daarom handreiking<strong>en</strong> om de eig<strong>en</strong><br />
visie te toets<strong>en</strong> <strong>en</strong> het rek<strong>en</strong>onderwijs de daarbij pass<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>rm <strong>en</strong> inhoud te gev<strong>en</strong><br />
3.3 Organisatie<br />
De keuze <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> manier van organiser<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> hangt nauw sam<strong>en</strong> met de opvatting<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> beeld<strong>en</strong> die in de school lev<strong>en</strong> Vanuit welk beeld formuleert m<strong>en</strong> de noodzaak om rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
te plann<strong>en</strong> <strong>en</strong> inhoud te gev<strong>en</strong>? Deze noodzaak kan m<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> vwo-afdeling anders<br />
belev<strong>en</strong> dan op e<strong>en</strong> vmbo-bbl-afdeling Zo kan m<strong>en</strong> zich op de vwo-afdeling afvrag<strong>en</strong> of het met het<br />
oog op het slag<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de 3F-toets nodig is alle leerling<strong>en</strong> te lat<strong>en</strong> deelnem<strong>en</strong> aan wekelijkse rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
E<strong>en</strong> ver<strong>vo</strong>lgvraag is dan hoe lerar<strong>en</strong> in het vwo het onderhoud<strong>en</strong> van eerder verworv<strong>en</strong><br />
vaardighed<strong>en</strong> gaan inricht<strong>en</strong> Laat m<strong>en</strong> daartoe de leerling<strong>en</strong> wel met grote regelmaat rek<strong>en</strong>opgav<strong>en</strong><br />
mak<strong>en</strong>, <strong>en</strong> gaan die oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> dan verder dan rijtjes ‘kale somm<strong>en</strong>’?<br />
Op de vmbo-afdeling zal m<strong>en</strong> zich zo’n vraag misschi<strong>en</strong> niet e<strong>en</strong>s stell<strong>en</strong> De lerar<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> zich<br />
juist zorg<strong>en</strong> over de verschill<strong>en</strong> in rek<strong>en</strong>vaardigheid die zij moet<strong>en</strong> bedi<strong>en</strong><strong>en</strong> in hun rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
Dit betek<strong>en</strong>t dat de keuzes die e<strong>en</strong> school maakt, pass<strong>en</strong> bij het type leerling<strong>en</strong> van de verschill<strong>en</strong>de<br />
leerroutes<br />
Los daarvan zal m<strong>en</strong> in alle leerroutes rek<strong>en</strong>ing will<strong>en</strong> houd<strong>en</strong> met leerling<strong>en</strong> die alle<strong>en</strong> op rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
uitvall<strong>en</strong> Dit zijn leerling<strong>en</strong> die verder wat betreft mogelijkhed<strong>en</strong> <strong>en</strong> resultat<strong>en</strong> prima pass<strong>en</strong><br />
binn<strong>en</strong> de betreff<strong>en</strong>de leerroute Dit vraagt dat de school mogelijkhed<strong>en</strong> creëert om specifieke<br />
deskundigheid in te zett<strong>en</strong> op de mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> dat deze leerling<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>onderwijs krijg<strong>en</strong><br />
Rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> word<strong>en</strong> gegev<strong>en</strong> door rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong> Wij beschouw<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong> de m<strong>en</strong>tor<strong>en</strong><br />
als de eerste lijn van <strong>vo</strong>orzi<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> die e<strong>en</strong> school organiseert De ondersteun<strong>en</strong>de deskundigheid
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
van collega’s in de roll<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>specialist <strong>en</strong> de ondersteuningscoördinator is te beschouw<strong>en</strong> als<br />
de tweede lijn In de derde lijn kunn<strong>en</strong> ook deskundig<strong>en</strong> van buit<strong>en</strong> de school betrokk<strong>en</strong> zijn Deze<br />
derde lijn komt in actie als er sprake is van langdurige ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> of als er sprake<br />
lijkt te zijn van dyscalculie Zie <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> overzicht van de verschill<strong>en</strong>de deskundig<strong>en</strong>, hun aanbe<strong>vo</strong>l<strong>en</strong><br />
kwalificaties <strong>en</strong> tak<strong>en</strong> in het kader van dit protocol hoofdstuk 4, afbeelding 41<br />
60<br />
3.4 Deskundigheid<br />
Rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong> operer<strong>en</strong> in de eerste lijn Het is vanzelfsprek<strong>en</strong>d dat zij affiniteit met rek<strong>en</strong><strong>en</strong> hebb<strong>en</strong><br />
Zij wet<strong>en</strong> wat ess<strong>en</strong>ties (‘cruciale leermom<strong>en</strong>t<strong>en</strong>’) zijn binn<strong>en</strong> de verschill<strong>en</strong>de domein<strong>en</strong> Zij<br />
zijn goed op de hoogte van specifieke rek<strong>en</strong>didactiek, zodat zij wet<strong>en</strong> hoe zij de leerling<strong>en</strong> die<br />
‘cruciale leermom<strong>en</strong>t<strong>en</strong>’ kunn<strong>en</strong> lat<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> Tegelijk wordt verwacht dat zij leerling<strong>en</strong> (kunn<strong>en</strong>)<br />
signaler<strong>en</strong> die meer nodig hebb<strong>en</strong> dan de standaardinstructie Dit geldt trouw<strong>en</strong>s niet alle<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or<br />
rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong>, maar ook <strong>vo</strong>or lerar<strong>en</strong> die rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> andere vakk<strong>en</strong> b<strong>en</strong>utt<strong>en</strong><br />
Naast deze inhoudelijke <strong>en</strong> vakdidactische deskundigheid, is het ook nodig dat lerar<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s de<br />
les kunn<strong>en</strong> inspel<strong>en</strong> op verschill<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> (differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong>) Dit is niet <strong>vo</strong>or elke leraar in<br />
het <strong>vo</strong> vanzelfsprek<strong>en</strong>d Dit is dan ook e<strong>en</strong> aandachtspunt zodra e<strong>en</strong> school kiest <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
die aansluit<strong>en</strong> bij wat de leerling<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or hun rek<strong>en</strong>ontwikkeling nodig hebb<strong>en</strong> In het verl<strong>en</strong>gde<br />
van deze differ<strong>en</strong>tiatie is het nodig dat rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong> de vaardigheid bezitt<strong>en</strong> om ’rek<strong>en</strong>gesprekk<strong>en</strong>’<br />
te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Dergelijke korte gesprekk<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s de les help<strong>en</strong> de leraar zijn less<strong>en</strong> af te stemm<strong>en</strong> op<br />
wat leerling<strong>en</strong> nodig hebb<strong>en</strong>, <strong>vo</strong>oral als er sprake is van (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
In de tweede lijn is deskundigheid nodig om de inzet van de ondersteuning te coördiner<strong>en</strong> <strong>en</strong> indi<strong>en</strong><br />
nodig bij te stur<strong>en</strong> Daarnaast heeft e<strong>en</strong> school e<strong>en</strong> of meer rek<strong>en</strong>specialist<strong>en</strong> nodig om met<br />
e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek specifieke knelpunt<strong>en</strong> in de rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis, -vaardighed<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
-inzicht<strong>en</strong> bij leerling<strong>en</strong> op te spor<strong>en</strong> Op basis hiervan zijn zij in staat de rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong> te adviser<strong>en</strong><br />
over hun aanpak in de klas Bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> zull<strong>en</strong> zij vanuit hun deskundigheid de rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong> in<br />
staat moet<strong>en</strong> stell<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie te begeleid<strong>en</strong> Waar<br />
deze deskundigheid nog niet <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de aanwezig is, zal deze via scholing of via (tijdelijke) externe<br />
inzet word<strong>en</strong> aangevuld<br />
In de derde lijn is deskundigheid nodig <strong>vo</strong>or het do<strong>en</strong> van psychodiagnostisch onderzoek Dit zal<br />
gebeur<strong>en</strong> in nauwe sam<strong>en</strong>werking met e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>specialist Het is niet per se noodzakelijk dat<br />
deze psychodiagnostische deskundigheid binn<strong>en</strong> de schoolorganisatie aanwezig is Wel is het dan<br />
aan te bevel<strong>en</strong> sam<strong>en</strong>werking te zoek<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> vaste externe partner, zodat de afstemming van de<br />
adviez<strong>en</strong> op de schoolpraktijk steeds specifieker mogelijk is<br />
3.5 Sam<strong>en</strong>werking<br />
Het adequaat begeleid<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> of dyscalculie stelt hoge eis<strong>en</strong><br />
aan de onderlinge afstemming tuss<strong>en</strong> lerar<strong>en</strong> die ermee te mak<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> Zo moet<strong>en</strong> vaklerar<strong>en</strong><br />
op de hoogte zijn van de aanpak die de school <strong>vo</strong>orstaat bij deze leerling<strong>en</strong> Zij moet<strong>en</strong> inzicht<br />
hebb<strong>en</strong> in de individuele afstemmingsafsprak<strong>en</strong> die <strong>vo</strong>or deze leerling<strong>en</strong> geld<strong>en</strong> Het is noodzakelijk<br />
dat zij aan deze leerling<strong>en</strong> eis<strong>en</strong> stell<strong>en</strong> <strong>en</strong> van h<strong>en</strong> e<strong>en</strong> werkwijze verwacht<strong>en</strong> die overe<strong>en</strong>stemm<strong>en</strong><br />
met de in de rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> gemaakte afsprak<strong>en</strong> Doel daarvan is om bij de leerling<strong>en</strong> zo min
hoofdstuk 3 Rek<strong>en</strong>beleid<br />
mogelijk ruis <strong>en</strong> onzekerheid te veroorzak<strong>en</strong> E<strong>en</strong>duidigheid is e<strong>en</strong> van de manier<strong>en</strong> om dit te be<strong>vo</strong>rder<strong>en</strong><br />
Ook is afstemming nodig tuss<strong>en</strong> wat e<strong>en</strong> leraar in de rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> doet <strong>en</strong> wat de begeleid<strong>en</strong>de collega’s<br />
in de tweede lijn bijdrag<strong>en</strong> Er moet zowel wat betreft timing als praktische uitwerking aansluiting<br />
zijn tuss<strong>en</strong> hun activiteit<strong>en</strong> Groepsless<strong>en</strong>, lesmom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> in subgroep<strong>en</strong> <strong>en</strong> individuele<br />
begeleiding moet<strong>en</strong> e<strong>en</strong> sam<strong>en</strong>hang<strong>en</strong>d pakket <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> Hier<strong>vo</strong>or is soms fysieke ruimte nodig<br />
(bij<strong>vo</strong>orbeeld e<strong>en</strong> rustige plek om ongestoord met e<strong>en</strong> of meer leerling<strong>en</strong> te kunn<strong>en</strong> werk<strong>en</strong>), is<br />
afstemming van roosters gew<strong>en</strong>st <strong>en</strong> is inzet van de juiste deskundig<strong>en</strong> vereist Dit vraagt e<strong>en</strong><br />
<strong>vo</strong>rm van sam<strong>en</strong>werking binn<strong>en</strong> de schoolorganisatie, waarbij het belang <strong>en</strong> de onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
van de leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> of met dyscalculie uitgangspunt zijn<br />
61<br />
In het kader van sam<strong>en</strong>werking is het zaak dat de overdracht van informatie vanuit de toelever<strong>en</strong>de<br />
basisschol<strong>en</strong> goed is geregeld Het gaat erom dat de school de gew<strong>en</strong>ste informatie verkrijgt <strong>en</strong> dat<br />
zij die informatie gebruikt Dit geldt in het bijzonder wanneer e<strong>en</strong> leerling lage subscores <strong>vo</strong>or<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op de eindtoets (afwijk<strong>en</strong>d van de andere subscores) heeft of wanneer de basisschool aangeeft<br />
dat er sprake is van ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> of zelfs van dyscalculie Er zijn heldere procedures,<br />
gecoördineerde actie, gedeelde verantwoordelijkheid <strong>en</strong> e<strong>en</strong> vanzelfsprek<strong>en</strong>de sam<strong>en</strong>werking<br />
nodig om de eig<strong>en</strong> organisatie direct te lat<strong>en</strong> inspel<strong>en</strong> op dergelijke signal<strong>en</strong><br />
3.6 Informatie<strong>vo</strong>orzi<strong>en</strong>ing<br />
Zodra bij e<strong>en</strong> leerling ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> zijn gesignaleerd, is het nodig dat de school zowel<br />
de leerling als zijn ouders/verzorgers duidelijkheid verschaft over de gang van zak<strong>en</strong> op de school<br />
Zij moet<strong>en</strong> wet<strong>en</strong> wie welke acties onderneemt, wanneer <strong>en</strong> met welk doel<br />
De medewerking van de ouders/verzorgers kan cruciaal zijn <strong>vo</strong>or het organiser<strong>en</strong> van de juiste<br />
ondersteuning (al was het maar het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van toestemming <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek)<br />
Daarom is e<strong>en</strong> goede verstandhouding <strong>en</strong> onderling vertrouw<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> school <strong>en</strong> ouders/verzorgers<br />
w<strong>en</strong>selijk<br />
Heldere <strong>en</strong> tijdige informatie kan doorslaggev<strong>en</strong>d zijn De school kan bij<strong>vo</strong>orbeeld aannemelijk<br />
mak<strong>en</strong> dat niet het slagingsperc<strong>en</strong>tage (schoolbelang), maar de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> (belang van de<br />
leerling) <strong>vo</strong>orop staan<br />
Ook de leerling is gebaat bij grote duidelijkheid Hoe hard de school zich ook inspant, de leerling<br />
zal zelf het echte werk moet<strong>en</strong> do<strong>en</strong> De leerling moet zichzelf actief will<strong>en</strong> inzett<strong>en</strong>, maar wel in<br />
het vertrouw<strong>en</strong> dat hij kan rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op ondersteuning <strong>en</strong> begeleiding vanuit de school<br />
Zodra de rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> hardnekkig lijk<strong>en</strong>, wordt nader psychodiagnostisch onderzoek gedaan<br />
om meer gegev<strong>en</strong>s te verzamel<strong>en</strong> over de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van deze leerling Het initiatief tot<br />
dergelijk onderzoek zal in veel gevall<strong>en</strong> uitgaan van de school Soms is dat traject al gestart op de<br />
basisschool Soms zull<strong>en</strong> ouders/verzorgers dit initiatief nem<strong>en</strong> In alle gevall<strong>en</strong> is e<strong>en</strong> goede afstemming<br />
tuss<strong>en</strong> school <strong>en</strong> ouders/verzorgers ess<strong>en</strong>tieel Het gaat er immers om, op school uit<strong>vo</strong>ering<br />
te gev<strong>en</strong> aan de bevinding<strong>en</strong> <strong>en</strong> aanbeveling<strong>en</strong> die in de rapportage over het onderzoek<br />
staan vermeld Op grond hiervan zal de school snel duidelijk moet<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> welke begeleiding zij<br />
kan bied<strong>en</strong>, maar ook wat dat ev<strong>en</strong>tueel betek<strong>en</strong>t bij het exam<strong>en</strong> Ook zal de school <strong>vo</strong>oraf met de<br />
leerling <strong>en</strong> zijn ouders/verzorgers moet<strong>en</strong> besprek<strong>en</strong> welke ingrijp<strong>en</strong>de consequ<strong>en</strong>ties e<strong>en</strong> mogelijke<br />
dyscalculieverklaring kan hebb<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de verdere schoolloopbaan <strong>en</strong> het perspectief op be-
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
paalde beroep<strong>en</strong> Met zo’n verklaring zijn bepaalde beroep<strong>en</strong> <strong>en</strong> de toeleid<strong>en</strong>de opleiding<strong>en</strong> niet<br />
meer w<strong>en</strong>selijk <strong>vo</strong>or deze leerling<br />
3.7 T<strong>en</strong> slotte<br />
62<br />
E<strong>en</strong> school <strong>vo</strong>or <strong>vo</strong> heeft de verantwoordelijkheid tegemoet te kom<strong>en</strong> aan de onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
van leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> of dyscalculie Daartoe schept zij condities die betrekking<br />
hebb<strong>en</strong> op:<br />
• de manier waarop rek<strong>en</strong>onderwijs is georganiseerd, inclusief alle <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van ondersteuning<br />
<strong>en</strong> begeleiding;<br />
• de deskundigheid van de deg<strong>en</strong><strong>en</strong> die e<strong>en</strong> rol spel<strong>en</strong> bij het gev<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>onderwijs <strong>en</strong> de<br />
begeleiding van (individuele) leerling<strong>en</strong>;<br />
• de wijze van sam<strong>en</strong>werking tuss<strong>en</strong> betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong>, inclusief de leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> hun ouders/<br />
verzorgers<br />
Het succes van het rek<strong>en</strong>beleid van e<strong>en</strong> school wordt bepaald door de mate waarin zij erin slaagt<br />
het rek<strong>en</strong>onderwijs adequaat <strong>en</strong> structureel af te stemm<strong>en</strong> op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de doelgroep<br />
rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong>
4 Checklist rek<strong>en</strong><strong>en</strong>
In dit hoofdstuk b<strong>en</strong>oem<strong>en</strong> wij aandachtspunt<strong>en</strong> bij het <strong>vo</strong>rm <strong>en</strong> inhoud gev<strong>en</strong><br />
aan e<strong>en</strong> school- of afdelingspecifiek rek<strong>en</strong>beleid. Gezi<strong>en</strong> het doel van dit protocol<br />
legg<strong>en</strong> wij e<strong>en</strong> verbinding tuss<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>beleid <strong>en</strong> ondersteuningsbeleid.<br />
Met deze lijst aandachtspunt<strong>en</strong> kan elke school of afdeling nagaan welke punt<strong>en</strong><br />
al zijn gerealiseerd <strong>en</strong> welke punt<strong>en</strong> moet<strong>en</strong> word<strong>en</strong> omgezet in actiepunt<strong>en</strong>. Op<br />
basis daarvan kan dan indi<strong>en</strong> nodig e<strong>en</strong> prioriteits<strong>vo</strong>lgorde word<strong>en</strong> bepaald. Deze<br />
lijst is als download beschikbaar op de website www.n<strong>vo</strong>rwo.nl.<br />
4
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
4.1 Rek<strong>en</strong>beleid<br />
De school heeft in haar schoolbeleid e<strong>en</strong> visie vastgelegd op rek<strong>en</strong>onderwijs <strong>en</strong> de wijze waarop<br />
het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> wordt ingevuld, georganiseerd <strong>en</strong> ondersteund (zie hoofdstuk 3)<br />
66<br />
De school heeft deze visie vertaald in doelstelling<strong>en</strong> die zij wil bereik<strong>en</strong> met leerling<strong>en</strong> in de<br />
verschill<strong>en</strong>de leerroutes Daarbinn<strong>en</strong> zijn er specifieke doelstelling<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de leerling<strong>en</strong> die<br />
ernstige (<strong>en</strong> hardnekkige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> (inclusief de leerling<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring)<br />
De school heeft de plaats van het kernvak rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het curriculum vastgesteld De wijze van<br />
inrichting <strong>en</strong> van ondersteuning is bepaald<br />
De verantwoordelijkheid <strong>vo</strong>or de uit<strong>vo</strong>ering van het totale rek<strong>en</strong>beleid (inclusief ondersteuningsbeleid)<br />
berust bij één van de directieled<strong>en</strong><br />
De school heeft bepaald op welke wijze zij het rek<strong>en</strong>beleid opneemt in haar beleidscyclus Dit<br />
houdt in dat de gestelde doel<strong>en</strong> periodiek word<strong>en</strong> geëvalueerd <strong>en</strong> de uit<strong>vo</strong>ering indi<strong>en</strong> nodig<br />
wordt bijgesteld<br />
4.2 Inhoud van het rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
Het programma van de school sluit aan op de leerstoflijn<strong>en</strong> <strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>didactiek die in het<br />
basisonderwijs gebruikelijk zijn<br />
De doorlop<strong>en</strong>de leerstoflijn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> zijn <strong>vo</strong>or de verschill<strong>en</strong>de afdeling<strong>en</strong> <strong>en</strong> leerroutes concreet<br />
uitgewerkt in e<strong>en</strong> curriculum <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, zodat leerling<strong>en</strong> de Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus 2F of<br />
3F kunn<strong>en</strong> bereik<strong>en</strong><br />
De school heeft het ‘rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in de vakk<strong>en</strong>’ <strong>en</strong> het curriculum <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op elkaar afgestemd<br />
De school hanteert e<strong>en</strong> e<strong>en</strong>duidige rek<strong>en</strong>didactiek bij rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> <strong>en</strong>/of rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in de vakk<strong>en</strong><br />
De school stemt het onderwijsaanbod <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de diverse leerroutes af op de (specifieke)<br />
onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
4.3 Inrichting van het rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
De school heeft <strong>vo</strong>or elke leerroute bepaald op welke wijze zij het reguliere rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
inricht <strong>en</strong> <strong>vo</strong>or welke leerjar<strong>en</strong> zij dit doet Zij stelt daarbij vast hoeveel tijd per leerjaar zij aan<br />
het reguliere rek<strong>en</strong>onderwijs besteedt <strong>en</strong> hoe de continuïteit over de leerjar<strong>en</strong> wordt gewaarborgd<br />
Bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> stelt de school <strong>vo</strong>or elke leerroute vast hoe het rek<strong>en</strong>onderwijs efficiënt <strong>en</strong><br />
effectief kan word<strong>en</strong> georganiseerd, gelet op de verschill<strong>en</strong> in de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong>
hoofdstuk 4 Checklist rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
De school heeft <strong>vo</strong>or elke leerroute bepaald op welke wijze zij het rek<strong>en</strong>onderwijs inricht <strong>vo</strong>or<br />
leerling<strong>en</strong> die niet g<strong>en</strong>oeg hebb<strong>en</strong> aan het reguliere onderwijsprogramma <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Zij<br />
heeft daarbij vastgesteld hoeveel tijd per leerjaar zij aan dit rek<strong>en</strong>onderwijs besteedt, als aanvulling<br />
op het reguliere rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
De school heeft intern e<strong>en</strong> deskundig ondersteuningsteam <strong>vo</strong>or het vakgebied rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
De school participeert in e<strong>en</strong> sam<strong>en</strong>werkingsverband van schol<strong>en</strong> in het kader van pass<strong>en</strong>d<br />
onderwijs Dit verband kan de participer<strong>en</strong>de schol<strong>en</strong> ondersteun<strong>en</strong> op het gebied van r ek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
67<br />
De school heeft maatregel<strong>en</strong> getroff<strong>en</strong> om e<strong>en</strong> effectieve taakverdeling van de m<strong>en</strong>tor, de rek<strong>en</strong>leraar,<br />
de rek<strong>en</strong>specialist <strong>en</strong> de ondersteuningscoördinator te realiser<strong>en</strong> (zie afbeelding 41<br />
van dit hoofdstuk <strong>en</strong> paragraaf 144 in deel 4) Zij zijn de direct betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> bij de begeleiding<br />
van leerling<strong>en</strong> die (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong><br />
De school heeft maatregel<strong>en</strong> getroff<strong>en</strong> om e<strong>en</strong> structurele inroostering van de m<strong>en</strong>tor, de rek<strong>en</strong>leraar,<br />
de rek<strong>en</strong>specialist <strong>en</strong> de ondersteuningscoördinator te realiser<strong>en</strong><br />
De school heeft e<strong>en</strong> interne procedure <strong>en</strong> e<strong>en</strong> instrum<strong>en</strong>t <strong>vo</strong>or het <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> van de <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong><br />
van (rek<strong>en</strong>zwakke) leerling<strong>en</strong><br />
De eerstelijns-, tweedelijns- <strong>en</strong> derdelijnsondersteuning is toegerust om effectief te functioner<strong>en</strong><br />
bij (e<strong>en</strong> vermoed<strong>en</strong> van) geringe rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> op deelgebied<strong>en</strong>, ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> bij ernstige <strong>en</strong> hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> (mogelijk dyscalculie) Er is grondige<br />
k<strong>en</strong>nis van rek<strong>en</strong>didactiek <strong>en</strong> (didactische) diagnostiek binn<strong>en</strong> het ondersteuningsteam aanwezig<br />
4.4 Bekwaamheid rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>didactiek<br />
Zie <strong>vo</strong>or toelichting de paragraf<strong>en</strong> 143 <strong>en</strong> 144 in deel 4<br />
De school heeft zowel de bestaande als de gew<strong>en</strong>ste rek<strong>en</strong>deskundigheid van de rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong>,<br />
de lerar<strong>en</strong> in de andere vakk<strong>en</strong> <strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>specialist in kaart gebracht Zij heeft beleid ontwikkeld<br />
om de deskundigheid op peil te houd<strong>en</strong> <strong>en</strong> verder te ontwikkel<strong>en</strong><br />
De school heeft de bestaande <strong>en</strong> de gew<strong>en</strong>ste deskundigheid <strong>vo</strong>or de ondersteuning bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
in kaart gebracht Dit geldt <strong>vo</strong>or zowel de eerstelijns-, als de tweedelijns- <strong>en</strong> derdelijnsondersteuning<br />
Zij heeft beleid ontwikkeld om de deskundigheid op peil te houd<strong>en</strong> <strong>en</strong> verder te<br />
ontwikkel<strong>en</strong><br />
4.5 Docum<strong>en</strong>taire informatie<strong>vo</strong>orzi<strong>en</strong>ing over rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
De school heeft e<strong>en</strong> interne procedure opgesteld <strong>vo</strong>or het verzamel<strong>en</strong>, het beher<strong>en</strong>, het toegankelijk<br />
mak<strong>en</strong> <strong>en</strong> het tijdig beschikbaar stell<strong>en</strong> van informatie uit het leerlingadministratiesysteem
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
De school beschikt over e<strong>en</strong> up-to-date digitaal leerlingadministratiesysteem waarin leerlingdossiers<br />
van alle leerling<strong>en</strong> zijn opg<strong>en</strong>om<strong>en</strong><br />
De school heeft in e<strong>en</strong> procedure beschrev<strong>en</strong> wie (in welke rol of functie) welke gegev<strong>en</strong>s vastlegt<br />
in het leerlingadministratiesysteem <strong>en</strong> wanneer hij dit doet Hierin staat ook wie <strong>vo</strong>or<br />
welke handeling<strong>en</strong> (lez<strong>en</strong> <strong>en</strong>/of schrijv<strong>en</strong>) is geautoriseerd <strong>en</strong> wordt gewez<strong>en</strong> op de verantwoordelijkheid<br />
van betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> om deze gegev<strong>en</strong>s te lez<strong>en</strong> <strong>en</strong> te b<strong>en</strong>utt<strong>en</strong><br />
68<br />
Afhankelijk van de autorisaties <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong> andere betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> de gegev<strong>en</strong>s van leerling<strong>en</strong><br />
in Zij vermeld<strong>en</strong> daarbij bijzonderhed<strong>en</strong> in de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van individuele leerling<strong>en</strong><br />
Indi<strong>en</strong> nodig beschrijv<strong>en</strong> zij de uitge<strong>vo</strong>erde interv<strong>en</strong>ties<br />
Bij uitstroom naar middelbaar beroepsonderwijs, hoger beroepsonderwijs <strong>en</strong> wet<strong>en</strong>schappelijk<br />
onderwijs verstrekt de school aan elke leerling in begeleidingscategorie 2 of 3 e<strong>en</strong> docum<strong>en</strong>t<br />
(uitstroomrapportage) met relevante informatie over zijn <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> <strong>en</strong> begeleiding<br />
Deze informatie is gebaseerd op zijn leerlingdossier <strong>en</strong> is uitgewerkt conform de daar<strong>vo</strong>or<br />
geld<strong>en</strong>de regels <strong>en</strong>/of afsprak<strong>en</strong>, <strong>vo</strong>or zover deze bestaan Zo nodig licht de school dit docum<strong>en</strong>t<br />
toe bij het ver<strong>vo</strong>lgonderwijs, in afschrift aan of in aanwezigheid van de leerling <strong>en</strong> zijn<br />
ouders/verzorgers<br />
4.6 Communicatie bij (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong>/of dyscalculie<br />
De school heeft heldere afsprak<strong>en</strong> gemaakt over de interne communicatie met betrekking tot<br />
docum<strong>en</strong>tatie <strong>en</strong> overdracht van informatie <strong>en</strong> ervaring<strong>en</strong> naar all<strong>en</strong> die binn<strong>en</strong> de school bij<br />
het rek<strong>en</strong>onderwijs betrokk<strong>en</strong> zijn<br />
De school heeft vastgelegd hoe de interne communicatie verloopt tuss<strong>en</strong> alle betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> bij<br />
het rek<strong>en</strong>onderwijs Daarbij moet de leerling zelf niet word<strong>en</strong> overgeslag<strong>en</strong><br />
De school heeft in e<strong>en</strong> procedure vastgelegd hoe de informatie<strong>vo</strong>orzi<strong>en</strong>ing verloopt over de<br />
condities <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> in toets<strong>en</strong>, schoolexam<strong>en</strong>s <strong>en</strong> c<strong>en</strong>trale exam<strong>en</strong>s Deze informatie<br />
is gericht aan alle person<strong>en</strong> die binn<strong>en</strong> de school bij het rek<strong>en</strong>onderwijs betrokk<strong>en</strong> zijn<br />
<strong>en</strong> aan de leerling <strong>en</strong> zijn ouders/verzorgers<br />
De school heeft in e<strong>en</strong> procedure vastgelegd op welk mom<strong>en</strong>t contact wordt opg<strong>en</strong>om<strong>en</strong> met<br />
de ouders/verzorgers van de leerling <strong>en</strong> op welke wijze zij bij de begeleidings- <strong>en</strong> ev<strong>en</strong>tuele<br />
onderzoekstraject<strong>en</strong> van hun zoon of dochter word<strong>en</strong> betrokk<strong>en</strong><br />
4.7 Plaatsing van leerling<strong>en</strong> bij binn<strong>en</strong>komst in het eerste leerjaar<br />
Zie <strong>vo</strong>or toelichting de paragraf<strong>en</strong> 141, 142 <strong>en</strong> 143 in deel 4<br />
De school biedt, <strong>vo</strong>oruitlop<strong>en</strong>d op e<strong>en</strong> nadere behoeft<strong>en</strong>analyse, de leerling<strong>en</strong> direct bij aanvang<br />
van het schooljaar de (individuele) begeleiding die zij nodig hebb<strong>en</strong> Vanuit de overdracht<br />
po-<strong>vo</strong> is bek<strong>en</strong>d welke leerling<strong>en</strong> in aanmerking kom<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or int<strong>en</strong>sieve begeleiding op maat (begeleidingscategorie<br />
2) <strong>en</strong> <strong>vo</strong>or zeer int<strong>en</strong>sieve begeleiding op maat (begeleidingscategorie 3) bij
hoofdstuk 4 Checklist rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (zie afbeelding<strong>en</strong> 42 <strong>en</strong> 43) Ieder van h<strong>en</strong> wordt ingedeeld in begeleidingscategorie<br />
2 of 3 (zie respectievelijk paragraaf 411 <strong>en</strong> paragraaf 412) Dit gebeurt ook <strong>vo</strong>oruitlop<strong>en</strong>d op e<strong>en</strong><br />
ev<strong>en</strong>tuele nadere behoeft<strong>en</strong>analyse, als daartoe aanleiding lijkt<br />
De school maakt e<strong>en</strong> ver<strong>vo</strong>lgselectie van leerling<strong>en</strong> op basis van hun scores bij e<strong>en</strong> nulmeting<br />
die aan alle leerling<strong>en</strong> wordt afg<strong>en</strong>om<strong>en</strong><br />
Op grond van het resultaat van de nulmeting <strong>en</strong> zijn rek<strong>en</strong>geschied<strong>en</strong>is in het basisonderwijs<br />
wordt de leerling in de best pass<strong>en</strong>de begeleidingscategorie ingedeeld<br />
69<br />
De school stelt e<strong>en</strong> individueel handelingsplan op <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> die in aanmerking kom<strong>en</strong><br />
<strong>vo</strong>or begeleidingscategorie 2 <strong>en</strong> 3, zie respectievelijk paragraaf 411 <strong>en</strong> paragraaf 412 (In sommige<br />
gevall<strong>en</strong> kan de school <strong>vo</strong>ortbouw<strong>en</strong> op het individuele handelingsplan dat de leerling<br />
vanuit het basisonderwijs ‘me<strong>en</strong>eemt’)<br />
4.8 Signalering van (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
De school heeft e<strong>en</strong> interne procedure <strong>vo</strong>or de signalering van leerling<strong>en</strong> die gedur<strong>en</strong>de de<br />
schoolperiode in het <strong>vo</strong> rek<strong>en</strong>achterstand oplop<strong>en</strong><br />
Alle lerar<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> deze procedure e<strong>en</strong> actieve rol <strong>en</strong> meld<strong>en</strong> ev<strong>en</strong>tuele problem<strong>en</strong> bij<br />
de m<strong>en</strong>tor<br />
De m<strong>en</strong>tor bespreekt de problem<strong>en</strong> met de rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong>/of de rek<strong>en</strong>specialist Dit overleg<br />
leidt tot ver<strong>vo</strong>lgstapp<strong>en</strong><br />
4.9 Begeleiding bij (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie<br />
Zie <strong>vo</strong>or toelichting paragraaf 143 <strong>en</strong> 144 in deel 4 <strong>en</strong> <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> sam<strong>en</strong>vatt<strong>en</strong>d overzicht afbeelding 43<br />
Alle (bij rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> betrokk<strong>en</strong>) lerar<strong>en</strong> drag<strong>en</strong> gezam<strong>en</strong>lijk verantwoordelijkheid <strong>vo</strong>or<br />
e<strong>en</strong> optimale begeleiding (van de rek<strong>en</strong>ontwikkeling) van alle leerling<strong>en</strong><br />
De school heeft e<strong>en</strong> interne procedure <strong>vo</strong>or de begeleiding van leerling<strong>en</strong> Deze procedure<br />
omvat het in kaart br<strong>en</strong>g<strong>en</strong> van de begeleidingsbehoefte van elke leerling <strong>en</strong> het op basis daarvan<br />
bij rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> gev<strong>en</strong> van adequate begeleiding aan leerling<strong>en</strong> (<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de drie begeleidingscategorieën<br />
in dit protocol)<br />
De school onderscheidt drie categorieën in de begeleiding van leerling<strong>en</strong> bij hun rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
Afhankelijk van hun onderwijsbehoeft<strong>en</strong> op het gebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> word<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong><br />
bij e<strong>en</strong> van deze categorieën ingedeeld <strong>en</strong> krijg<strong>en</strong> daarbij pass<strong>en</strong>de ondersteuning vanuit het<br />
primaire proces, de eerstelijns-, tweedelijns- of derdelijnsondersteuning
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
4.10 Begeleiding in categorie 1<br />
Begeleidingscategorie 1: begeleiding van leerling<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de reguliere less<strong>en</strong>.<br />
Zie <strong>vo</strong>or toelichting de hoofdstukk<strong>en</strong> 14 <strong>en</strong> 15 in deel 4<br />
70<br />
Alle (bij rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> betrokk<strong>en</strong>) lerar<strong>en</strong> zijn deskundig om leerling<strong>en</strong> te observer<strong>en</strong> bij<br />
rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> <strong>en</strong> mogelijke rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> te signaler<strong>en</strong> Op basis hiervan kunn<strong>en</strong> zij<br />
waar nodig differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>leraar is deskundig op het gebied van rek<strong>en</strong>inhoud <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>didactiek Hij geeft les,<br />
observeert rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong>, houdt korte rek<strong>en</strong>gesprekk<strong>en</strong>, signaleert (mogelijke) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>,<br />
analyseert resultat<strong>en</strong> (toets, observatie <strong>en</strong> leerlingwerk) <strong>en</strong> interpreteert de analyse om de<br />
<strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> te <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> <strong>en</strong> te beoordel<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>leraar stemt de leerstof <strong>en</strong> zijn didactische aanpak af op de ontwikkeling van de leerling<strong>en</strong><br />
die geringe rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> op deelgebied<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> Hij differ<strong>en</strong>tieert tijd<strong>en</strong>s de rek<strong>en</strong>les<br />
Waar nodig vraagt hij advies aan de rek<strong>en</strong>specialist<br />
De rek<strong>en</strong>leraar stelt in overleg met de rek<strong>en</strong>specialist de doel<strong>en</strong> vast met inachtname van het<br />
beoogde refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau van de betreff<strong>en</strong>de leerroute Hij zorgt daarbinn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de<br />
mogelijkhed<strong>en</strong> tot differ<strong>en</strong>tiatie <strong>en</strong> afstemming op de ontwikkeling van alle leerling<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>specialist beoordel<strong>en</strong> in overleg met de m<strong>en</strong>tor – na analyse van<br />
toetsresultat<strong>en</strong>, observaties <strong>en</strong> leerlingwerk – of er sprake is van <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de, on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de of<br />
ge<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oruitgang van de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van e<strong>en</strong> leerling<br />
Bij on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de of ge<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oruitgang zet de rek<strong>en</strong>specialist in overleg met de ondersteuningscoördinator<br />
ver<strong>vo</strong>lgactiviteit<strong>en</strong> in gang <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de interne procedure Deze leerling<strong>en</strong> word<strong>en</strong><br />
ingedeeld bij begeleidingscategorie 2<br />
4.11 Begeleiding in categorie 2<br />
Begeleidingscategorie 2: begeleiding van leerling<strong>en</strong> op basis van e<strong>en</strong> individueel handelingsplan bij ernstige<br />
rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>.<br />
Zie <strong>vo</strong>or toelichting op de begeleiding in categorie 2 de hoofdstukk<strong>en</strong> 14 <strong>en</strong> 16 in deel 4 <strong>en</strong> op het<br />
diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek hoofdstuk 18 in deel 5<br />
De school heeft e<strong>en</strong> interne procedure afgesprok<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de aanmelding <strong>vo</strong>or, het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van<br />
<strong>en</strong> het rapporter<strong>en</strong> <strong>en</strong> communicer<strong>en</strong> over het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek Door middel van<br />
e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek word<strong>en</strong> de specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling<br />
bepaald<br />
De school heeft vastgelegd wie het initiatief neemt tot overleg met de leerling <strong>en</strong> zijn ouders/<br />
verzorgers Doel van dit overleg is h<strong>en</strong> te informer<strong>en</strong> over het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek<br />
De rek<strong>en</strong>specialist <strong>vo</strong>ert het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek uit <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de interne procedure
hoofdstuk 4 Checklist rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>specialist stelt met de rek<strong>en</strong>leraar op basis van het onderzoeksverslag het individuele<br />
handelingsplan op <strong>vo</strong>or de verdere begeleiding van de leerling Dit doet hij in overleg met de<br />
m<strong>en</strong>tor <strong>en</strong> de ondersteuningscoördinator In bepaalde gevall<strong>en</strong> kan word<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lstaan met het<br />
actualiser<strong>en</strong> van het in e<strong>en</strong> al eerder traject opgestelde individueel handelingsplan Zie hoofdstuk<br />
16 <strong>vo</strong>or het opstell<strong>en</strong>, uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> evaluer<strong>en</strong> van het individuele handelingsplan<br />
De ondersteuningscoördinator stelt de betrokk<strong>en</strong> lerar<strong>en</strong> op de hoogte van de specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
van de betreff<strong>en</strong>de leerling <strong>en</strong> tot welke begeleidingscategorie deze daardoor<br />
behoort De school heeft e<strong>en</strong> procedure <strong>vo</strong>or het mak<strong>en</strong> van afsprak<strong>en</strong> over de begeleiding van<br />
de leerling <strong>en</strong> de afstemming van het onderwijsaanbod op de specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
van de leerling<br />
71<br />
De school biedt de leerling begeleiding in categorie 2 op basis van het individuele handelingsplan<br />
De int<strong>en</strong>sieve <strong>en</strong> deskundige begeleiding van de leerling vindt plaats door de rek<strong>en</strong>leraar<br />
binn<strong>en</strong> <strong>en</strong> door de rek<strong>en</strong>specialist buit<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>specialist <strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>leraar evaluer<strong>en</strong> na e<strong>en</strong> half jaar het effect van de begeleiding<br />
E<strong>en</strong> analyse van de resultat<strong>en</strong> (toets<strong>en</strong>, observaties, geleverd werk) van de leerling maakt hier<br />
deel van uit De rek<strong>en</strong>specialist stelt in overleg met de ondersteuningscoördinator het individuele<br />
handelingsplan bij Daarnaast is het mogelijk om in overleg met de ondersteuningscoördinator<br />
ver<strong>vo</strong>lgactiviteit<strong>en</strong> in gang te zett<strong>en</strong>, waarbij hij de interne procedure <strong>vo</strong>lgt<br />
Bij aantoonbaar <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>oruitgang gaat de rek<strong>en</strong>specialist na of er <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de condities<br />
aanwezig zijn om de leerling al terug te plaats<strong>en</strong> naar begeleidingscategorie 1 Indi<strong>en</strong> dat niet<br />
het geval is blijft de leerling in categorie 2 Bij aantoonbaar on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de of ge<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oruitgang<br />
wordt de leerling geplaatst in begeleidingscategorie 3<br />
4.12 Begeleiding in categorie 3<br />
Begeleidingscategorie 3: int<strong>en</strong>sieve <strong>en</strong> structurele begeleiding op basis van e<strong>en</strong> individueel handelingsplan<br />
bij ernstige <strong>en</strong> hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>.<br />
Zie <strong>vo</strong>or toelichting op de begeleiding in categorie 3 de hoofdstukk<strong>en</strong> 14, 16 <strong>en</strong> 17 in deel 4 <strong>en</strong> op<br />
het psychodiagnostisch onderzoek hoofdstuk 19 in deel 5<br />
De rek<strong>en</strong>specialist actualiseert e<strong>en</strong> eerder opgesteld handelingsplan of stelt e<strong>en</strong> nieuw handelingsplan<br />
op, dat is gebaseerd op de adviez<strong>en</strong> uit de rapportage over e<strong>en</strong> psychodiagnostisch<br />
onderzoek De rek<strong>en</strong>specialist doet dit in afstemming met de rek<strong>en</strong>leraar, de m<strong>en</strong>tor <strong>en</strong> de<br />
ondersteuningscoördinator, zo mogelijk in overleg met de diagnosticus of andere (externe)<br />
deskundig<strong>en</strong><br />
De school stelt de bij de leerling betrokk<strong>en</strong> lerar<strong>en</strong> op de hoogte van zijn specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
De school heeft e<strong>en</strong> procedure <strong>vo</strong>or het mak<strong>en</strong> van afsprak<strong>en</strong> over de begeleiding<br />
van de leerling <strong>en</strong> de afstemming van het onderwijsaanbod op de specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
van de leerling<br />
De school biedt de leerling blijv<strong>en</strong>de begeleiding in categorie 3 op basis van het individuele<br />
handelingsplan De zeer int<strong>en</strong>sieve <strong>en</strong> deskundige (individuele) begeleiding van de leerling<br />
vindt plaats binn<strong>en</strong> <strong>en</strong> buit<strong>en</strong> de groep door de rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>specialist, maar kan in
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
specifieke gevall<strong>en</strong> ook plaatsvind<strong>en</strong> door of in nauwe sam<strong>en</strong>werking met e<strong>en</strong> vakleraar Dat<br />
laatste gebeurt in gevall<strong>en</strong> dat de context van het vak de leerling nadrukkelijk helpt (e<strong>en</strong> deel<br />
van) zijn problem<strong>en</strong> te overwinn<strong>en</strong><br />
72<br />
De rek<strong>en</strong>specialist evalueert <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de interne procedure <strong>vo</strong>or begeleiding het effect van de<br />
begeleiding Hij doet dit sam<strong>en</strong> met de rek<strong>en</strong>leraar, de m<strong>en</strong>tor <strong>en</strong> de ondersteuningscoördinator,<br />
zo mogelijk in overleg met de diagnosticus E<strong>en</strong> analyse van de resultat<strong>en</strong> (toets<strong>en</strong>, observaties,<br />
leerlingwerk) van de leerling maakt daarvan deel uit Zij stell<strong>en</strong> de begeleiding <strong>en</strong>/of het<br />
individuele handelingsplan zo nodig bij<br />
4.13 Traject ‘psychodiagnostisch onderzoek’<br />
Zie <strong>vo</strong>or toelichting op het psychodiagnostisch onderzoek in begeleidingscategorie 3 hoofdstuk 19<br />
in deel 5<br />
De ondersteuningscoördinator neemt het initiatief tot overleg met de leerling <strong>en</strong> zijn ouders/<br />
verzorgers Doel van dit overleg is h<strong>en</strong> te informer<strong>en</strong> over de noodzaak van e<strong>en</strong> psychodiagnostisch<br />
onderzoek Tev<strong>en</strong>s moet dit overleg leid<strong>en</strong> tot formele toestemming <strong>vo</strong>or het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
van dit onderzoek (op grond van het reglem<strong>en</strong>t persoonsge<strong>vo</strong>elige gegev<strong>en</strong>s) <strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het informer<strong>en</strong><br />
van de school over het resultaat Deze toestemming wordt in het dossier van de leerling<br />
opg<strong>en</strong>om<strong>en</strong><br />
De school heeft e<strong>en</strong> interne procedure <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s HGD opgesteld <strong>vo</strong>or de aanmelding <strong>vo</strong>or, het<br />
uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van, het advies uitbr<strong>en</strong>g<strong>en</strong> aan <strong>en</strong> het rapporter<strong>en</strong> <strong>en</strong> communicer<strong>en</strong> over het psychodiagnostisch<br />
onderzoek<br />
De diagnosticus <strong>vo</strong>ert het psychodiagnostisch onderzoek uit <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de interne procedure <strong>en</strong><br />
zijn beroepscode<br />
De rek<strong>en</strong>specialist stelt op basis van de analyse <strong>en</strong> de handelingsadviez<strong>en</strong> uit het onderzoeksverslag<br />
van de diagnosticus e<strong>en</strong> individueel handelingsplan op<br />
De school biedt de leerling in begeleidingscategorie 3 zeer int<strong>en</strong>sieve <strong>en</strong> deskundige (individuele)<br />
begeleiding op maat op basis van het individuele handelingsplan Gedur<strong>en</strong>de de begeleidingsperiode<br />
wordt – indi<strong>en</strong> nodig – tuss<strong>en</strong>tijds overleg ge<strong>vo</strong>erd met de diagnosticus aan de<br />
hand van tuss<strong>en</strong>tijdse rapport<strong>en</strong><br />
De diagnosticus evalueert na e<strong>en</strong> half jaar het effect van de begeleiding E<strong>en</strong> analyse van de<br />
resultat<strong>en</strong> (toets<strong>en</strong>, observaties, leerlingwerk) van de leerling maakt daar deel van uit Het resultaat<br />
van de evaluatie van de begeleiding kan het <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de betek<strong>en</strong><strong>en</strong>:<br />
1 De leerling blijft in begeleidingscategorie 3 <strong>en</strong> krijgt daar begeleiding onder de vastgestelde,<br />
tot (<strong>en</strong>ig) resultaat leid<strong>en</strong>de condities Zie verder paragraaf 412 <strong>vo</strong>or de begeleiding in<br />
categorie 3<br />
2 De leerling laat zo veel <strong>vo</strong>oruitgang zi<strong>en</strong>, dat de condities van begeleidingscategorie 2 toereik<strong>en</strong>d<br />
zijn De ondersteuningscoördinator zet hier<strong>vo</strong>or ver<strong>vo</strong>lgactiviteit<strong>en</strong> in gang, waarbij hij<br />
de interne procedure <strong>vo</strong>lgt Zie verder paragraaf 411 <strong>vo</strong>or de begeleiding in categorie 2
hoofdstuk 4 Checklist rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
3 Als er sprake is van dyscalculie, blijk<strong>en</strong>d uit de hardnekkigheid van de ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>,<br />
blijft de leerling onder de condities van begeleidingscategorie 3<br />
4.14 Vaststell<strong>en</strong> van dyscalculie <strong>en</strong> het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring<br />
Zie <strong>vo</strong>or toelichting op het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring in begeleidingscategorie 3 paragraaf<br />
196 in deel 5<br />
73<br />
De diagnosticus stelt vast welke specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong> de leerling heeft; mogelijk zijn<br />
er aanwijsbare oorzak<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> of is er sprake is van dyscalculie<br />
• Ongeacht of de diagnosticus dyscalculie vaststelt, blijft de leerling vanwege de geconstateerde<br />
ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> in categorie 3 <strong>vo</strong>or perman<strong>en</strong>te, specifieke <strong>en</strong> int<strong>en</strong>sieve<br />
(individuele) begeleiding De ondersteuningscoördinator zet hier<strong>vo</strong>or ver<strong>vo</strong>lgactiviteit<strong>en</strong> in<br />
gang, waarbij hij de interne procedure <strong>vo</strong>lgt Zie verder paragraaf 412 <strong>vo</strong>or de begeleiding<br />
in categorie 3<br />
• De diagnosticus kan op basis van het onderzoek dyscalculie vaststell<strong>en</strong> als naast de inhoudelijke<br />
k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> <strong>en</strong> het al g<strong>en</strong>oemde criterium van hardnekkigheid ook aan bepaalde<br />
<strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> wordt <strong>vo</strong>ldaan (zie paragraaf 196) Indi<strong>en</strong> hieraan is <strong>vo</strong>ldaan kan de diagnosticus<br />
de leerling e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring verl<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
De school informeert alle lerar<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de interne procedure dat de diagnosticus e<strong>en</strong> leerling<br />
e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring heeft verle<strong>en</strong>d Volg<strong>en</strong>s de daar<strong>vo</strong>or geld<strong>en</strong>de regels <strong>en</strong>/of afsprak<strong>en</strong><br />
maakt de school hiervan melding aan andere instanties
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
74<br />
Tak<strong>en</strong><br />
Overzicht van roll<strong>en</strong>, tak<strong>en</strong> <strong>en</strong> aanbe<strong>vo</strong>l<strong>en</strong> kwalificaties<br />
Managem<strong>en</strong>t<br />
Initiër<strong>en</strong> <strong>en</strong> vaststell<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>beleid:<br />
• schepp<strong>en</strong> van rand<strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong>onderwijs, -begeleiding<br />
<strong>en</strong> -ondersteuning;<br />
• faciliter<strong>en</strong> dat aan deze rand<strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> wordt <strong>vo</strong>ldaan<br />
(onder andere deskundigheidsbe<strong>vo</strong>rdering).<br />
Schepp<strong>en</strong> van rand<strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het primaire proces <strong>en</strong> <strong>vo</strong>or<br />
begeleiding <strong>en</strong> ondersteuning (op basis van rek<strong>en</strong>beleid):<br />
• implem<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> van schoolbreed ontwikkeld rek<strong>en</strong>beleid binn<strong>en</strong><br />
de leerroutes;<br />
• bijdrag<strong>en</strong> aan tot stand kom<strong>en</strong> <strong>en</strong> evaluer<strong>en</strong> van het rek<strong>en</strong>beleid<br />
binn<strong>en</strong> de school c.q. afdeling;<br />
• monitor<strong>en</strong> <strong>en</strong> evaluer<strong>en</strong> van het begeleidingsproces binn<strong>en</strong> de<br />
verschill<strong>en</strong>de leerroutes;<br />
• coördiner<strong>en</strong> van <strong>en</strong> rapporter<strong>en</strong> over de activiteit<strong>en</strong> in de<br />
eerstelijns-, tweedelijns- <strong>en</strong> derdelijnsondersteuning met<br />
betrekking tot het rek<strong>en</strong>beleid (organisatorisch <strong>en</strong> rand<strong>vo</strong>orwaardelijk);<br />
• faciliter<strong>en</strong> van de eerstelijns, tweedelijns- <strong>en</strong> derdelijnsondersteuning<br />
(onder meer tijd, informatie<strong>vo</strong>orzi<strong>en</strong>ing, <strong>vo</strong>orlichting,<br />
deskundigheidsbe<strong>vo</strong>rdering);<br />
• aanschaff<strong>en</strong> van leermaterial<strong>en</strong>.<br />
Primaire proces (in de eerste lijn)<br />
Als onderdeel van onderwijsactiviteit<strong>en</strong> (rek<strong>en</strong>methode <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>d; 2F/3F<br />
in acht nem<strong>en</strong>d):<br />
• <strong>vo</strong>orbereid<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> op de c<strong>en</strong>trale rek<strong>en</strong>toets;<br />
• signaler<strong>en</strong> (rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>) <strong>en</strong> observer<strong>en</strong> (rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong>);<br />
• aansluit<strong>en</strong> op rek<strong>en</strong>strategieën van de leerling<strong>en</strong> (inhoudelijk<br />
differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong>);<br />
• analyser<strong>en</strong> van leerresultat<strong>en</strong> op (mogelijke) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>;<br />
• inlicht<strong>en</strong> van de m<strong>en</strong>tor bij (mogelijke) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>.<br />
Aanduiding functie/rol <strong>en</strong><br />
aanbe<strong>vo</strong>l<strong>en</strong> kwalificatie (cursief )<br />
Schoolleider/afdelingsleider<br />
als eindverantwoordelijke <strong>vo</strong>or de vertaling<br />
van het algem<strong>en</strong>e schoolbeleid<br />
naar het rek<strong>en</strong>beleid van de school c.q.<br />
de eig<strong>en</strong> afdeling<br />
PM<br />
Rek<strong>en</strong>specialist / ondersteuningscoordinator<br />
(mogelijk) als staflid/beleidsmedewerker<br />
PM<br />
Rek<strong>en</strong>leraar<br />
als vakbekwame leraar<br />
Eerste- of tweedegraads be<strong>vo</strong>egdheid met<br />
specialisatie rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Zie <strong>vo</strong>or de begeleidingsactiviteit<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de groep (subgroepjes)<br />
bij ‘ondersteuning vanuit de eerste lijn’.<br />
Als onderdeel van onderwijsactiviteit<strong>en</strong> in de andere vakk<strong>en</strong>:<br />
• expliciter<strong>en</strong> van de rol van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> binn<strong>en</strong> het eig<strong>en</strong> vak;<br />
• afstemm<strong>en</strong> op de rek<strong>en</strong>didactiek <strong>en</strong> -aanpak van de school;<br />
• signaler<strong>en</strong> (rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>) <strong>en</strong> observer<strong>en</strong> (rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong>);<br />
• aansluit<strong>en</strong> op rek<strong>en</strong>strategieën van de leerling<strong>en</strong> (inhoudelijk<br />
differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong>);<br />
• analyser<strong>en</strong> van toetsresultat<strong>en</strong> op (mogelijke) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>;<br />
• inlicht<strong>en</strong> van de m<strong>en</strong>tor <strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>leraar bij (mogelijke)<br />
rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>;<br />
• op<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> van de adviez<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>specialist (<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>leraar)<br />
over afstemming (begeleidingscategorie 1, 2 <strong>en</strong> 3).<br />
Leraar andere vakk<strong>en</strong><br />
als vakbekwame leraar<br />
Eerste- of tweedegraads be<strong>vo</strong>egdheid
hoofdstuk 4 Checklist rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Overzicht van roll<strong>en</strong>, tak<strong>en</strong> <strong>en</strong> aanbe<strong>vo</strong>l<strong>en</strong> kwalificaties<br />
Ondersteuning (vanuit de eerste lijn)<br />
Bij (resultaatgerichte) begeleiding van de leerling<strong>en</strong> in zijn m<strong>en</strong>torgroep:<br />
• coach<strong>en</strong> op koers, keuzes, planning, <strong>vo</strong>ortgang <strong>en</strong> op<br />
motivationeel-affectief gebied;<br />
• monitor<strong>en</strong> van de studie<strong>vo</strong>ortgang (leerresultat<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>niveau);<br />
• analyser<strong>en</strong> <strong>en</strong> interpreter<strong>en</strong> van toetsresultat<strong>en</strong>;<br />
• signaler<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> (hulpvraag leerling <strong>en</strong>/of<br />
(rek<strong>en</strong>)leraar);<br />
• actualiser<strong>en</strong> van de (digitale) leerlingdossiers in het leerlingadministratiesysteem.<br />
M<strong>en</strong>tor<br />
als eerste aanspreekpunt <strong>vo</strong>or de<br />
leerling bij studie- of persoonlijke<br />
problem<strong>en</strong><br />
Eerste of tweedegraads be<strong>vo</strong>egdheid met<br />
specialisatie coachingsvaardighed<strong>en</strong><br />
75<br />
Bij begeleiding van leerling<strong>en</strong> die rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong>:<br />
in begeleidingscategorie 1:<br />
• coördiner<strong>en</strong> van de begeleiding van de leerling<strong>en</strong> in de eerstelijnsondersteuning;<br />
• besprek<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> die rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> (reguliere<br />
leerlingbespreking<strong>en</strong>);<br />
• communicer<strong>en</strong> met de leerling <strong>en</strong> zijn ouders/verzorgers in<br />
overleg met de rek<strong>en</strong>leraar of de rek<strong>en</strong>specialist;<br />
• communicer<strong>en</strong> met de rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> de betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> in de<br />
tweedelijnsondersteuning (afstemming onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ortgang);<br />
• regel<strong>en</strong> van doorverwijzing<strong>en</strong> naar de tweedelijnsondersteuning.<br />
in begeleidingscategorie 2 <strong>en</strong> 3:<br />
• bijdrag<strong>en</strong> aan het opstell<strong>en</strong>, evaluer<strong>en</strong> <strong>en</strong> bijstell<strong>en</strong> van individuele<br />
handelingsplann<strong>en</strong> (begeleidingscategorie 2 <strong>en</strong> 3);<br />
• bijdrag<strong>en</strong> aan het <strong>vo</strong>orbereid<strong>en</strong> van de diagnostische rek<strong>en</strong>onderzoek<strong>en</strong><br />
in begeleidingscategorie 2 (hulpvrag<strong>en</strong> inbr<strong>en</strong>g<strong>en</strong>);<br />
• ev<strong>en</strong>tueel bijdrag<strong>en</strong> aan het <strong>vo</strong>orbereid<strong>en</strong> van psychodiagnostische<br />
onderzoek<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 3 (hulpvrag<strong>en</strong><br />
inbr<strong>en</strong>g<strong>en</strong>).<br />
Als onderdeel van de onderwijsactiviteit<strong>en</strong> (rek<strong>en</strong>methode <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>d;<br />
2F/3F in acht nem<strong>en</strong>d):<br />
• uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van de begeleiding in categorie 1 in subgroep;<br />
• afstemm<strong>en</strong> op de verschill<strong>en</strong> in onderwijsbehoeft<strong>en</strong> in de<br />
subgroep (differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong>);<br />
• signaler<strong>en</strong> (rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>) <strong>en</strong> observer<strong>en</strong> (rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong>);<br />
• <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van korte rek<strong>en</strong>gesprekk<strong>en</strong>;<br />
• analyser<strong>en</strong> van leerresultat<strong>en</strong> (toets, rek<strong>en</strong>gesprek, observaties);<br />
• uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van de begeleiding in categorie 2 <strong>en</strong> 3 naast de<br />
rek<strong>en</strong>specialist (subgroep).<br />
Bij onderzoek <strong>en</strong> individuele handelingsplann<strong>en</strong>:<br />
• bijdrag<strong>en</strong> aan het opstell<strong>en</strong>, evaluer<strong>en</strong> <strong>en</strong> bijstell<strong>en</strong> van individuele<br />
handelingsplann<strong>en</strong> (begeleidingscategorie 2 <strong>en</strong> 3);<br />
• bijdrag<strong>en</strong> aan het <strong>vo</strong>orbereid<strong>en</strong> van de diagnostische rek<strong>en</strong>onderzoek<strong>en</strong><br />
in begeleidingscategorie 2 (hulpvrag<strong>en</strong> inbr<strong>en</strong>g<strong>en</strong>);<br />
• ev<strong>en</strong>tueel bijdrag<strong>en</strong> aan het <strong>vo</strong>orbereid<strong>en</strong> van psychodiagnostische<br />
onderzoek<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 3 (hulpvrag<strong>en</strong><br />
inbr<strong>en</strong>g<strong>en</strong>).<br />
Bij instroom van leerling<strong>en</strong> (administratieve intake):<br />
• verzamel<strong>en</strong> van gegev<strong>en</strong>s vanuit de basisschool met betrekking<br />
tot rek<strong>en</strong>problematiek;<br />
• registrer<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>problematiek in de (digitale) leerlingdossiers<br />
van het leerlingadministratiesysteem.<br />
Rek<strong>en</strong>leraar<br />
als differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong>de leraar<br />
Eerste- of tweedegraads be<strong>vo</strong>egdheid met<br />
specialisatie rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
M<strong>en</strong>tor/(leerjaar)coördinator<br />
PM
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
76<br />
Overzicht van roll<strong>en</strong>, tak<strong>en</strong> <strong>en</strong> aanbe<strong>vo</strong>l<strong>en</strong> kwalificaties<br />
Ondersteuning (vanuit de tweede lijn)<br />
Bij (resultaatgerichte) begeleiding in categorie 2:<br />
• coördiner<strong>en</strong> van de begeleiding van de leerling in de tweedelijnsondersteuning;<br />
• communicer<strong>en</strong> met betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> in de eerstelijns-, tweedelijns-<br />
<strong>en</strong> derdelijnsondersteuning.<br />
Bij (resultaatgerichte) begeleiding van de leerling<strong>en</strong>:<br />
• uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van de (zeer) int<strong>en</strong>sieve begeleiding op basis van<br />
individuele handelingsplann<strong>en</strong> (begeleidingscategorie 2 <strong>en</strong> 3),<br />
buit<strong>en</strong> de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong>;<br />
• evaluer<strong>en</strong> <strong>en</strong> bijstell<strong>en</strong> van de individuele handelingsplann<strong>en</strong><br />
in overleg met de rek<strong>en</strong>leraar, de m<strong>en</strong>tor <strong>en</strong> de ondersteuningscoördinator<br />
(begeleidingscategorie 2);<br />
• idem <strong>vo</strong>or begeleidingscategorie 3 in overleg met de ondersteuningscoördinator,<br />
de rek<strong>en</strong>leraar, de m<strong>en</strong>tor <strong>en</strong> andere<br />
(externe) betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• adviser<strong>en</strong> over afstemming aan de (rek<strong>en</strong>)lerar<strong>en</strong> (begeleidingscategorie<br />
2 <strong>en</strong> 3);<br />
• communicer<strong>en</strong> met de leerling <strong>en</strong> zijn ouders/verzorgers in<br />
overleg met het ondersteuningsteam (begeleidingscategorie 2).<br />
Rek<strong>en</strong>specialist<br />
als ondersteuner van collega’s <strong>en</strong><br />
leerling<strong>en</strong><br />
Eerste- of tweedegraads be<strong>vo</strong>egdheid<br />
<strong>en</strong> Master Special Educational Needs<br />
(Master SEN) met specialisatie rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
Bij onderzoek <strong>en</strong> individuele handelingsplann<strong>en</strong>:<br />
• uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van de diagnostische rek<strong>en</strong>onderzoek<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s<br />
HGD (begeleidingscategorie 2);<br />
• bijdrag<strong>en</strong> aan het <strong>vo</strong>orbereid<strong>en</strong> van de psychodiagnostische<br />
onderzoek<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 3;<br />
• opstell<strong>en</strong> van de individuele handelingsplann<strong>en</strong> in overleg met<br />
de rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> de m<strong>en</strong>tor (begeleidingscategorie 2);<br />
• idem <strong>vo</strong>or begeleidingscategorie 3 in overleg met de gedragswet<strong>en</strong>schapper/diagnosticus<br />
<strong>en</strong> de ondersteuningscoördinator,<br />
de rek<strong>en</strong>leraar, de m<strong>en</strong>tor <strong>en</strong> andere (externe) betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong>.<br />
Inzet <strong>vo</strong>or team <strong>en</strong> school:<br />
• ondersteun<strong>en</strong> van de (rek<strong>en</strong>)lerar<strong>en</strong> over rek<strong>en</strong>didactiek <strong>en</strong><br />
-aanpak (tips <strong>en</strong> adviez<strong>en</strong>);<br />
• adviser<strong>en</strong> over de aanschaf van leermaterial<strong>en</strong>.<br />
Bij (resultaatgerichte) begeleiding in categorie 2 <strong>en</strong> 3:<br />
• coördiner<strong>en</strong> van de begeleiding van de leerling in de derdelijnsondersteuning;<br />
• communicer<strong>en</strong> met betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> in de eerstelijns-, tweedelijns-<br />
<strong>en</strong> derdelijnsondersteuning.<br />
Bij (resultaatgerichte) begeleiding van de leerling<strong>en</strong>:<br />
• bijdrag<strong>en</strong> aan het evaluer<strong>en</strong> <strong>en</strong> bijstell<strong>en</strong> van individuele handelingsplann<strong>en</strong><br />
(begeleidingscategorie 2 <strong>en</strong> 3);<br />
• adviser<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>specialist (pedagogische adviez<strong>en</strong>);<br />
• coach<strong>en</strong> van de leerling (m<strong>en</strong>tal coach), bij<strong>vo</strong>orbeeld in verband<br />
met beperking keuze ver<strong>vo</strong>lgopleiding;<br />
• gev<strong>en</strong> van <strong>vo</strong>orlichting over de aard <strong>en</strong> de consequ<strong>en</strong>ties van<br />
ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> aan alle betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• communicer<strong>en</strong> met de leerling <strong>en</strong> zijn ouders/verzorgers in<br />
overleg met het ondersteuningsteam (begeleidingscategorie 3).<br />
Ondersteuningscoördinator<br />
als adviseur van collega’s <strong>en</strong> coach van<br />
leerling<strong>en</strong><br />
Master SEN specialisatie leerproblem<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> gedragsproblem<strong>en</strong><br />
Bij onderzoek <strong>en</strong> individuele handelingsplann<strong>en</strong>:<br />
• regel<strong>en</strong> van doorverwijzing<strong>en</strong> naar <strong>en</strong> coördiner<strong>en</strong> van de<br />
derdelijnsondersteuning;<br />
• bijdrag<strong>en</strong> aan het <strong>vo</strong>orbereid<strong>en</strong> van de diagnostische rek<strong>en</strong>onderzoek<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> de psychodiagnostische onderzoek<strong>en</strong> in<br />
begeleidingscategorie 2 <strong>en</strong> 3 (hulpvrag<strong>en</strong> inbr<strong>en</strong>g<strong>en</strong>);<br />
• bijdrag<strong>en</strong> aan het opstell<strong>en</strong> van individuele handelingsplann<strong>en</strong><br />
(begeleidingscategorie 2 <strong>en</strong> 3).
hoofdstuk 4 Checklist rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Overzicht van roll<strong>en</strong>, tak<strong>en</strong> <strong>en</strong> aanbe<strong>vo</strong>l<strong>en</strong> kwalificaties<br />
Ondersteuning (vanuit de derde lijn)<br />
Uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van <strong>en</strong> adviser<strong>en</strong> vanuit psychodiagnostisch onderzoek<br />
(HGD <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>d):<br />
• uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van psychodiagnostisch onderzoek bij ernstige <strong>en</strong><br />
hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> in sam<strong>en</strong>werking met de rek<strong>en</strong>specialist<br />
van de school/afdeling (handelingsadviez<strong>en</strong>);<br />
• evaluer<strong>en</strong> van de begeleiding na het psychodiagnostisch<br />
onderzoek bij e<strong>en</strong> vermoed<strong>en</strong> van dyscalculie <strong>en</strong> vaststell<strong>en</strong> of<br />
er sprake is van dyscalculie (wel/ge<strong>en</strong> dyscalculieverklaring);<br />
• uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van aanvull<strong>en</strong>d psychodiagnostisch onderzoek op<br />
het gebied van leer<strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, zo nodig in<br />
sam<strong>en</strong>werking met de rek<strong>en</strong>specialist van de school/afdeling<br />
(handelingsadviez<strong>en</strong>);<br />
• (ev<strong>en</strong>tueel) adviser<strong>en</strong> bij de vertaling van de resultat<strong>en</strong> naar<br />
de praktijk van de leerroute waarin de leerling functioneert<br />
(in sam<strong>en</strong>werking met de ondersteuningscoördinator <strong>en</strong> de<br />
rek<strong>en</strong>specialist).<br />
Gedragswet<strong>en</strong>schapper<br />
als diagnosticus<br />
BIG-registratie als GZ-psycholoog of<br />
NIP-registratie als Kinder- <strong>en</strong> Jeugd-psycholoog<br />
of N<strong>VO</strong>-registratie als Orthopedagoog-G<strong>en</strong>eralist<br />
77<br />
Afbeelding 4.1 Sam<strong>en</strong>vatt<strong>en</strong>d overzicht van roll<strong>en</strong>, tak<strong>en</strong> <strong>en</strong> aanbe<strong>vo</strong>l<strong>en</strong> kwalificaties
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Kleur<br />
fas<strong>en</strong><br />
in po<br />
Omschrijving van de fas<strong>en</strong> in onderwijsbehoeft<strong>en</strong> bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Fase blauw: leerling die e<strong>en</strong> zeer goede <strong>en</strong> snelle rek<strong>en</strong>ontwikkeling heeft doorgemaakt<br />
78<br />
Uit schriftelijke overdracht po-<strong>vo</strong> zijn bek<strong>en</strong>d:<br />
• resultat<strong>en</strong> uit het leerling<strong>vo</strong>lgsysteem <strong>en</strong> de eindtoets;<br />
• tot hoever de leerling is gekom<strong>en</strong> op het niveau van 1S;<br />
• aanvull<strong>en</strong>de informatie over de leerling.<br />
Fase gro<strong>en</strong>: leerling die e<strong>en</strong> ‘normale’ rek<strong>en</strong>ontwikkeling heeft doorgemaakt<br />
Uit schriftelijke overdracht po-<strong>vo</strong> zijn de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de gegev<strong>en</strong>s bek<strong>en</strong>d:<br />
• resultat<strong>en</strong> uit het leerling<strong>vo</strong>lgsysteem <strong>en</strong> de eindtoets;<br />
• tot hoever de leerling is gekom<strong>en</strong> op het niveau van 1F/1S;<br />
• aanvull<strong>en</strong>de informatie over de leerling.<br />
Fase geel: leerling die op deelgebied<strong>en</strong> (geringe) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> heeft ervar<strong>en</strong><br />
Uit schriftelijke overdracht po-<strong>vo</strong> zijn bek<strong>en</strong>d:<br />
• gegev<strong>en</strong>s zie fase gro<strong>en</strong>;<br />
• beschrijving van bij welke onderdel<strong>en</strong> van het rek<strong>en</strong>onderwijs extra begeleiding is gegev<strong>en</strong>.<br />
Fase oranje: leerling die ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervaart <strong>en</strong> op dat gebied specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
heeft<br />
Uit schriftelijke <strong>en</strong> mondelinge overdracht po-<strong>vo</strong> zijn bek<strong>en</strong>d:<br />
• gegev<strong>en</strong>s zie fase gro<strong>en</strong>;<br />
• beschrijving van welke specifieke begeleiding is gegev<strong>en</strong>;<br />
• stand van zak<strong>en</strong> van <strong>en</strong> informatie over het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek bij de leerling.<br />
Fase rood: leerling die ernstige, maar tev<strong>en</strong>s hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervaart (dyscalculie)<br />
Uit schriftelijke <strong>en</strong> mondelinge overdracht po-<strong>vo</strong> zijn bek<strong>en</strong>d:<br />
• gegev<strong>en</strong>s zie fase gro<strong>en</strong>;<br />
• beschrijving van welke specifieke begeleiding is gegev<strong>en</strong>;<br />
• stand van zak<strong>en</strong> van <strong>en</strong> informatie over het psychodiagnostisch onderzoek bij de leerling;<br />
• of wel of (nog) ge<strong>en</strong> dyscalculieverklaring aan de leerling is verle<strong>en</strong>d.<br />
Afbeelding 4.2 Overzicht informatieoverdracht bij de overgang po-<strong>vo</strong>
hoofdstuk 4 Checklist rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Sam<strong>en</strong>vatt<strong>en</strong>d overzicht van begeleidingscategorieën 1(a <strong>en</strong> b), 2 <strong>en</strong> 3<br />
Fas<strong>en</strong> in Signalering in <strong>vo</strong> Observatie <strong>en</strong> onderzoek in <strong>vo</strong> Begeleiding in <strong>vo</strong><br />
onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
in po<br />
Primaire proces (in de eerste lijn)<br />
Begeleidingscategorie 1a<br />
Begeleidingscategorie 1a<br />
Begeleidingscategorie 1a<br />
Signalering (S1a):<br />
bij rek<strong>en</strong>ontwikkeling zonder<br />
problem<strong>en</strong>.<br />
Observatie <strong>en</strong> onderzoek (O1a):<br />
- observatie,<br />
- begeleiding B1a.<br />
Aantoonbaar resultaat:<br />
+: leerling blijft in B1a<br />
0/-: leerling naar O1b<br />
Begeleiding (B1a):<br />
in de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
zonder extra <strong>vo</strong>orzi<strong>en</strong>ing<strong>en</strong><br />
(<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> van r ek<strong>en</strong>methode; met<br />
inachtname van r efer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus<br />
2F/3F).<br />
79<br />
Ondersteuning (vanuit de eerste lijn)<br />
Begeleidingscategorie 1b<br />
Signalering (S1b):<br />
bij vermoed<strong>en</strong> of vastgestelde<br />
rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>.<br />
Probleem kan van tijdelijke aard<br />
zijn <strong>en</strong>/of op slechts e<strong>en</strong> onderdeel<br />
betrekking hebb<strong>en</strong>.<br />
Begeleidingscategorie 1b<br />
Observatie <strong>en</strong> onderzoek (O1b):<br />
- observatie op onderdel<strong>en</strong><br />
van de lesstof,<br />
- korte rek<strong>en</strong>gesprekk<strong>en</strong>,<br />
- begeleiding B1b,<br />
- evaluatie na 0,5 jaar.<br />
Aantoonbaar resultaat:<br />
+: leerling gaat naar B1a<br />
0/-: leerling naar O2<br />
Begeleidingscategorie 1b<br />
Begeleiding (B1b):<br />
in de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> (subgroep<br />
<strong>en</strong> hele groep) op basis<br />
van observaties <strong>en</strong> gesprekk<strong>en</strong><br />
met behulp van rek<strong>en</strong>methode.<br />
Ondersteuning (vanuit de tweede lijn)<br />
Begeleidingscategorie 2 Begeleidingscategorie 2<br />
Begeleidingscategorie 2<br />
Signalering (S2):<br />
bij vermoed<strong>en</strong> van of<br />
v astgestelde ernstige<br />
r ek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>.<br />
Observatie <strong>en</strong> onderzoek (O2):<br />
- diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek,<br />
- individueel handelingsplan,<br />
- begeleiding B2,<br />
- evaluatie na 0,5 jaar.<br />
Begeleiding (B2):<br />
individueel <strong>en</strong> in de (sub)groep<br />
op basis van i ndividueel handelingsplan.<br />
Aantoonbaar resultaat:<br />
+: leerling naar B1, mits condities<br />
oké<br />
0/-: leerling naar O3<br />
Ondersteuning (vanuit de derde lijn)<br />
Begeleidingscategorie 3 Begeleidingscategorie 3<br />
Begeleidingscategorie 3<br />
Signalering (S3):<br />
bij vermoed<strong>en</strong> van of vastgestelde<br />
ernstige <strong>en</strong> hardnekkige<br />
rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> (dyscalculie) of<br />
bij ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> met<br />
geringe of ge<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oruitgang.<br />
Observatie <strong>en</strong> onderzoek (O3):<br />
- psychodiagnostisch onderzoek;<br />
indi<strong>en</strong> gericht op<br />
vaststell<strong>en</strong> dyscalculie bij<br />
<strong>vo</strong>orkeur alle<strong>en</strong> in eerste <strong>en</strong><br />
tweede leerjaar,<br />
- individueel handelingsplan,<br />
- begeleiding B3,<br />
- evaluatie na 0,5 jaar <strong>en</strong><br />
(indi<strong>en</strong> van toepassing)<br />
diagnose vaststell<strong>en</strong> wel/<br />
ge<strong>en</strong> dyscalculie; handelingsplan<br />
bijstell<strong>en</strong>.<br />
Begeleiding (B3):<br />
individueel handelingsplan,<br />
instructies buit<strong>en</strong> de les <strong>en</strong> begeleiding<br />
bij het oef<strong>en</strong><strong>en</strong> zo mogelijk<br />
in de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong>.<br />
Aantoonbaar resultaat:<br />
+: leerling gaat naar B2, mits<br />
c ondities oké<br />
0/-: leerling blijft in B3<br />
Afbeelding 4.3 Sam<strong>en</strong>vatt<strong>en</strong>d overzicht van begeleidingscategorieën 1 (a <strong>en</strong> b), 2 <strong>en</strong> 3
Deel 2<br />
Rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
5 Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het <strong>vo</strong><br />
6 Hoofdlijn 1: verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming<br />
7 Hoofdlijn 2: verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van oplossingsprocedures<br />
8 Hoofdlijn 3: vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong><br />
9 Hoofdlijn 4: flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong>
5 Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het <strong>vo</strong>
Om het rek<strong>en</strong>onderwijs goed te kunn<strong>en</strong> afstemm<strong>en</strong> op de ontwikkeling van leerling<strong>en</strong><br />
bied<strong>en</strong> wij in deel 2 inzicht in de vier Hoofdlijn<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong><strong>en</strong>. Dit hoofdstuk<br />
biedt e<strong>en</strong> overzicht van de vier Hoofdlijn<strong>en</strong>.<br />
5
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
5.1 Vier Hoofdlijn<strong>en</strong> bij ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Goede k<strong>en</strong>nis van het ontwikkelingsproces binn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> biedt de leraar mogelijkhed<strong>en</strong> om het<br />
rek<strong>en</strong>onderwijs optimaal af te stemm<strong>en</strong> op de ontwikkeling van de leerling<strong>en</strong> Tev<strong>en</strong>s biedt het<br />
mogelijkhed<strong>en</strong> om e<strong>en</strong> goed ontwikkelingsperspectief te bied<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or individuele leerling<strong>en</strong><br />
84<br />
In dit hoofdstuk introducer<strong>en</strong> wij vier Hoofdlijn<strong>en</strong> bij ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Deze Hoofdlijn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> de<br />
basis waarmee lerar<strong>en</strong> het rek<strong>en</strong>onderwijs kunn<strong>en</strong> lat<strong>en</strong> aansluit<strong>en</strong> op de ontwikkeling van de leerling<br />
Zij kunn<strong>en</strong> daarmee leerstofinhoud<strong>en</strong>, instructie, oef<strong>en</strong>ing <strong>en</strong> begeleiding afstemm<strong>en</strong> op de<br />
k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong><br />
In de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de hoofdstukk<strong>en</strong> word<strong>en</strong> deze vier Hoofdlijn<strong>en</strong> verder uitgewerkt<br />
De vier Hoofdlijn<strong>en</strong> in de ontwikkeling van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> zijn:<br />
• begrips<strong>vo</strong>rming (conceptontwikkeling, rek<strong>en</strong>taal <strong>en</strong> het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is);<br />
• ontwikkel<strong>en</strong> van oplossingsprocedures;<br />
• vlot ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (oef<strong>en</strong><strong>en</strong>, automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong>);<br />
• flexibel toepass<strong>en</strong> (van k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong>)<br />
Begrips<strong>vo</strong>rming<br />
Flexibel toepass<strong>en</strong><br />
Ontwikkel<strong>en</strong> van<br />
oplossingsprocedures<br />
Vlot<br />
ler<strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Afbeelding 5.1 Vier Hoofdlijn<strong>en</strong> bij ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
In het rek<strong>en</strong>onderwijs kom<strong>en</strong> deze vier Hoofdlijn<strong>en</strong> steeds <strong>vo</strong>or Elke Hoofdlijn geeft richting <strong>en</strong><br />
inhoud aan het onderwijs dat e<strong>en</strong> leraar geeft Elke Hoofdlijn veronderstelt tegelijkertijd dat leerling<strong>en</strong><br />
e<strong>en</strong> actieve inbr<strong>en</strong>g hebb<strong>en</strong> in hun eig<strong>en</strong> leerproces De Hoofdlijn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> elkaar op in e<strong>en</strong><br />
cyclisch proces De vier Hoofdlijn<strong>en</strong> hak<strong>en</strong> als het ware als ope<strong>en</strong><strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de schakels aan elkaar<br />
Binn<strong>en</strong> deze cyclus kunn<strong>en</strong> zowel de leraar als de leerling<strong>en</strong> op eerdere stapp<strong>en</strong> teruggrijp<strong>en</strong> als<br />
blijkt dat e<strong>en</strong> leerling bepaalde leerstof nog niet begrijpt of beheerst<br />
Het verwerv<strong>en</strong> van nieuwe leerstof begint met begrips<strong>vo</strong>rming (Hoofdlijn 1) Hiermee bedoel<strong>en</strong> wij<br />
de geleidelijke ontwikkeling van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> door middel van het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>handeling<strong>en</strong><br />
in combinatie met de ontwikkeling van bijbehor<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>taal Deze rek<strong>en</strong>taal heeft de<br />
leerling nodig in de communicatie met de omgeving (ouders/verzorgers, lerar<strong>en</strong>, medeleerling<strong>en</strong>,<br />
familie, vri<strong>en</strong>d<strong>en</strong>) De leerling leert betek<strong>en</strong>is te verl<strong>en</strong><strong>en</strong> aan rek<strong>en</strong>handeling<strong>en</strong>
hoofdstuk 5 Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het <strong>vo</strong><br />
Bij het onderwerp breuk<strong>en</strong> bij<strong>vo</strong>orbeeld ontwikkelt de leerling conceptuele k<strong>en</strong>nis over hele getall<strong>en</strong><br />
(1, 2, 3, 4, 5 <strong>en</strong>zo<strong>vo</strong>ort) <strong>en</strong> getall<strong>en</strong> die ontstaan als e<strong>en</strong> kleiner getal wordt gedeeld door e<strong>en</strong><br />
groter getal ( _ 1<br />
,<br />
1_ ,<br />
3_<br />
5 ) De leerling leert e<strong>en</strong> breuk k<strong>en</strong>n<strong>en</strong> als e<strong>en</strong> verhoudingsgetal (e<strong>en</strong> deel van<br />
6 7<br />
iets, bij<strong>vo</strong>orbeeld de helft, e<strong>en</strong> kwart of driekwart van iets) <strong>en</strong> als resultaat van e<strong>en</strong> deling (bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
3 pizza’s del<strong>en</strong> met 6 person<strong>en</strong>: 3 del<strong>en</strong> door 6 = _ 1<br />
2<br />
) De leerling leert de begripp<strong>en</strong> teller <strong>en</strong><br />
noemer <strong>en</strong> kan daar betek<strong>en</strong>is aan gev<strong>en</strong> De leerling kan de waarde van e<strong>en</strong> breuk b<strong>en</strong>oem<strong>en</strong> t<strong>en</strong><br />
opzichte van het totaal<br />
Geleidelijk aan <strong>en</strong> vaak tegelijkertijd met Hoofdlijn 1 ontwikkelt de leerling oplossingsprocedures<br />
(Hoofdlijn 2) De leerling leert bewerking<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> om iets te kunn<strong>en</strong> uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> Goede oplossingsprocedures<br />
zijn gebaseerd op e<strong>en</strong> goede conceptuele ontwikkeling De leerling begrijpt wat hij<br />
doet Bij breuk<strong>en</strong> bij<strong>vo</strong>orbeeld leert de leerling optell<strong>en</strong> <strong>en</strong> aftrekk<strong>en</strong>, vere<strong>en</strong><strong>vo</strong>udig<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong><br />
met <strong>en</strong> del<strong>en</strong> door breuk<strong>en</strong> De leerling begrijpt bij verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> met breuk<strong>en</strong> waarom<br />
het antwoord kleiner is dan het te verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> getal, bij<strong>vo</strong>orbeeld: 2 _ 3 x6 = 4<br />
Omgekeerd begrijpt hij ook waarom bij del<strong>en</strong> door breuk<strong>en</strong> het antwoord groter is dan het te del<strong>en</strong><br />
getal, dus 4: 2 _ 3 = 6 De leerling kan dit tek<strong>en</strong><strong>en</strong> of verwoord<strong>en</strong><br />
85<br />
Om vlot te kunn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (Hoofdlijn 3) is regelmatig oef<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> van deze k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong><br />
oplossingsprocedures (vaardighed<strong>en</strong>) in veel verschill<strong>en</strong>de situaties noodzakelijk Dit leidt tot automatiser<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> De <strong>en</strong>e leerling heeft meer oef<strong>en</strong>tijd nodig dan de andere Optimaal<br />
oef<strong>en</strong><strong>en</strong> betek<strong>en</strong>t niet alle<strong>en</strong> meer tijd bested<strong>en</strong> aan oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong>, maar ook didactisch juist afstemm<strong>en</strong><br />
van de oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong><br />
Het uiteindelijke doel van het rek<strong>en</strong>onderwijs is dat leerling<strong>en</strong> hun k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> flexibel<br />
kunn<strong>en</strong> toepass<strong>en</strong> (Hoofdlijn 4) in functionele situaties Daar<strong>vo</strong>or is het nodig dat zij betek<strong>en</strong>is kunn<strong>en</strong><br />
gev<strong>en</strong> aan rek<strong>en</strong>situaties <strong>en</strong> begrijp<strong>en</strong> welke k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> zij op dat mom<strong>en</strong>t het<br />
beste kunn<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> om e<strong>en</strong> berek<strong>en</strong>ing aan te pakk<strong>en</strong> <strong>en</strong> uit te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Dit noem<strong>en</strong> we ‘strategisch<br />
d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong>’<br />
In de dagelijkse onderwijspraktijk lop<strong>en</strong> altijd meerdere Hoofdlijn<strong>en</strong> naast elkaar Leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong><br />
bij<strong>vo</strong>orbeeld conceptuele k<strong>en</strong>nis ontwikkeld over breuk<strong>en</strong> (Hoofdlijn 1) <strong>en</strong> beheers<strong>en</strong> de basisbewerking<strong>en</strong><br />
met breuk<strong>en</strong> (Hoofdlijn 2) Zij hebb<strong>en</strong> deze bewerking<strong>en</strong> nog niet <strong>vo</strong>lledig geautomatiseerd<br />
Er kom<strong>en</strong> nog nieuwe bewerking<strong>en</strong> bij, zoals bij<strong>vo</strong>orbeeld met sam<strong>en</strong>gestelde breuk<strong>en</strong><br />
Daarnaast wordt bij het metriek stelsel gewerkt aan conceptontwikkeling van decimale getall<strong>en</strong><br />
(Hoofdlijn 1) Zij ler<strong>en</strong> met<strong>en</strong> <strong>en</strong> weg<strong>en</strong> Zij ler<strong>en</strong> dat 1000 gram e<strong>en</strong> kilogram is <strong>en</strong> dat 750 gram<br />
hetzelfde is als 0,75 kilogram Zij ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met gramm<strong>en</strong> <strong>en</strong> kilogramm<strong>en</strong> (Hoofdlijn 2)<br />
Ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s ler<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> ook dat 3 _ 4 kilogram ev<strong>en</strong>veel is als 0,75 kilogram (conceptontwikkeling,<br />
Hoofdlijn 1)<br />
Voor vel<strong>en</strong> lijkt dit vanzelfsprek<strong>en</strong>d, maar rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> hier veel moeite mee<br />
hebb<strong>en</strong> Als het leerproces (te) snel verloopt zonder <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de aandacht <strong>vo</strong>or conceptontwikkeling<br />
<strong>en</strong> met on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de oef<strong>en</strong>tijd, kunn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> afhak<strong>en</strong> In het onderwijs verwacht<strong>en</strong><br />
we nogal snel dat als ingewikkelde concept<strong>en</strong> e<strong>en</strong>maal zijn uitgelegd de leerling<strong>en</strong> ze dan<br />
ook begrijp<strong>en</strong>, er vlot mee kunn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> ze kunn<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> in allerlei situaties<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> in het basisonderwijs wel k<strong>en</strong>nisgemaakt met de leerstof van de<br />
bov<strong>en</strong>bouw, zoals breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> het metriek stelsel, maar de meest<strong>en</strong> van h<strong>en</strong> zijn nog on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
vertrouwd met deze materie Zij hebb<strong>en</strong> meer tijd <strong>en</strong> begeleiding nodig <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> goede conceptontwikkeling<br />
<strong>en</strong> oef<strong>en</strong>ing Zij zijn aangewez<strong>en</strong> op verdere ontwikkeling in het <strong>vo</strong><br />
86<br />
Met de in<strong>vo</strong>ering van het Refer<strong>en</strong>tiekader taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> heeft het <strong>vo</strong> de plicht te werk<strong>en</strong> aan e<strong>en</strong><br />
doorgaande lijn <strong>vo</strong>or verdere ontwikkeling van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong><br />
<strong>vo</strong>or het behal<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>toets<strong>en</strong> 2F <strong>en</strong> 3F In het Refer<strong>en</strong>tiekader ligt de nadruk <strong>vo</strong>or het <strong>vo</strong><br />
op verder ontwikkel<strong>en</strong>, consolider<strong>en</strong>, onderhoud<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong><br />
Daarbij gaat het tev<strong>en</strong>s om paraat hebb<strong>en</strong>, functioneel gebruik<strong>en</strong> <strong>en</strong> wet<strong>en</strong> waarom.<br />
Deze compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong> zijn onderdeel van de vier Hoofdlijn<strong>en</strong> In de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de paragraf<strong>en</strong> beschrijv<strong>en</strong><br />
wij de sam<strong>en</strong>hang<br />
Het ultieme doel van het rek<strong>en</strong>onderwijs is te kom<strong>en</strong> tot functionele gecijferdheid op e<strong>en</strong> pass<strong>en</strong>d<br />
niveau <strong>vo</strong>or elke leerling Uiteindelijk heeft elke leerling als toekomstige <strong>vo</strong>lwass<strong>en</strong>e rek<strong>en</strong><strong>en</strong> nodig<br />
om te kunn<strong>en</strong> functioner<strong>en</strong> in de maatschappij De Europese Unie heeft geletterdheid <strong>en</strong> gecijferdheid<br />
als kerncompet<strong>en</strong>ties <strong>vo</strong>or de ontwikkeling van Europa als meest concurrer<strong>en</strong>de k<strong>en</strong>niseconomie<br />
bov<strong>en</strong> aan op de Europese onderwijsag<strong>en</strong>da staan (OECD 2008, 2010; Europese<br />
Commissie, 2010; Europese Unie, 2010) Nederland heeft zich daarbij aangeslot<strong>en</strong> Het strev<strong>en</strong><br />
naar e<strong>en</strong> beroepsbe<strong>vo</strong>lking op minimaal de niveaus 2F <strong>en</strong> 3F is e<strong>en</strong> belangrijke stap in die richting<br />
De c<strong>en</strong>trale rek<strong>en</strong>toets<strong>en</strong> zijn e<strong>en</strong> belangrijk doel <strong>en</strong> vereis<strong>en</strong> e<strong>en</strong> grote inspanning van de school<br />
Bov<strong>en</strong>staande betek<strong>en</strong>t in het algeme<strong>en</strong> dat <strong>vo</strong>-schol<strong>en</strong> e<strong>en</strong> goed programma ontwikkel<strong>en</strong> om deze<br />
doel<strong>en</strong> te bereik<strong>en</strong> Daarnaast vereist het van de lerar<strong>en</strong> e<strong>en</strong> professionele didactische aanpak in<br />
het algeme<strong>en</strong> <strong>en</strong> e<strong>en</strong> specifieke, deskundige begeleiding van rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> in het bijzonder<br />
(zie <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de hoofdstukk<strong>en</strong>)<br />
5.2 Hoofdlijn 1: verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming<br />
In het basisonderwijs hebb<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> elem<strong>en</strong>taire rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardigheid ontwikkeld<br />
op alle domein<strong>en</strong> Bij de instroom in het <strong>vo</strong> ton<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> grote variatie in het niveau waarop<br />
zij deze beheers<strong>en</strong><br />
Het <strong>vo</strong> biedt onderwijs dat aansluit op de <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> de mogelijkhed<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong> De<br />
aandacht <strong>vo</strong>or conceptuele ontwikkeling van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis zal in de diverse leerroutes verschill<strong>en</strong><br />
In de praktijk zal de noodzaak van het verder ontwikkel<strong>en</strong> van nieuwe k<strong>en</strong>nis gebaseerd op inzicht<br />
met name spel<strong>en</strong> bij leerling<strong>en</strong> in de leerroutes vmbo-bbl <strong>en</strong> vmbo-kbl De ervaring leert echter dat<br />
ook veel leerling<strong>en</strong> in de leerroutes vmbo-gl <strong>en</strong> vmbo-tl de leerstof van de basisschool nog on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de<br />
(inzichtelijk) beheers<strong>en</strong> Het gaat hierbij niet alle<strong>en</strong> om de basisk<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> de bijbehor<strong>en</strong>de<br />
basisbewerking<strong>en</strong> (optell<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> <strong>en</strong> del<strong>en</strong>) Het blijkt dat <strong>vo</strong>oral ook conceptontwikkeling<br />
op het domein verhouding<strong>en</strong> <strong>en</strong> het domein met<strong>en</strong> <strong>en</strong> meetkunde zwak is D<strong>en</strong>k<br />
hierbij aan bij<strong>vo</strong>orbeeld het verschil wet<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> ‘één op de vier’ <strong>en</strong> ‘één op vier’, het begrijp<strong>en</strong> van<br />
schaalberek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong>, k<strong>en</strong>nis van <strong>en</strong> inzicht in breuk<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong>, het metriek<br />
stelsel <strong>en</strong> de sam<strong>en</strong>hang tuss<strong>en</strong> de verschill<strong>en</strong>de (sub)domein<strong>en</strong><br />
Dit geldt ook <strong>vo</strong>or de leerling<strong>en</strong> in ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo De meest<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> e<strong>en</strong> goed begrip ontwikkeld<br />
met betrekking tot de basisschoolleerstof Toch zi<strong>en</strong> we ook hier regelmatig leerling<strong>en</strong> die nog<br />
on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de inzicht in de leerstof hebb<strong>en</strong> ontwikkeld <strong>en</strong> ‘trucmatig’ rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Ook zij hebb<strong>en</strong> nog
hoofdstuk 5 Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het <strong>vo</strong><br />
regelmatig instructie <strong>en</strong> oef<strong>en</strong>ing nodig Tev<strong>en</strong>s zal bij deze groep nog e<strong>en</strong> slag gemaakt moet<strong>en</strong><br />
word<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or verdere ontwikkeling naar niveau 2F <strong>en</strong> 3F<br />
5.3 Hoofdlijn 2: verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van oplossingsprocedures<br />
Vanwege beperkte of fragm<strong>en</strong>tarische begripsontwikkeling beheers<strong>en</strong> veel leerling<strong>en</strong> ook nog niet<br />
de standaard oplossingsprocedures (algoritmes) <strong>vo</strong>or optell<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> <strong>en</strong> del<strong>en</strong><br />
Voor leerling<strong>en</strong> in vmbo-bbl <strong>en</strong> vmbo-kbl kunn<strong>en</strong> we de vraag stell<strong>en</strong> of het zin<strong>vo</strong>l is om deze<br />
standaardprocedures te beheers<strong>en</strong> Er zijn meerdere manier<strong>en</strong> om de basisbewerking<strong>en</strong> uit te<br />
<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Van leerling<strong>en</strong> in de overige leerroutes wordt verwacht dat zij deze standaardprocedures<br />
wel beheers<strong>en</strong>, omdat deze procedures het algoritmisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> stimuler<strong>en</strong> Toch zijn er veel leerling<strong>en</strong>,<br />
ook in vmbo-tl <strong>en</strong> ha<strong>vo</strong>, die hier nog veel moeite mee hebb<strong>en</strong> De leraar in het <strong>vo</strong> zal nog<br />
regelmatig aandacht moet<strong>en</strong> bested<strong>en</strong> aan het verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong><br />
87<br />
Ook het mak<strong>en</strong> van berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> op papier <strong>en</strong> uit het hoofd op basis van eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> van <strong>en</strong><br />
relaties tuss<strong>en</strong> getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong> vraagt nog veel aandacht De leerling<strong>en</strong> rak<strong>en</strong> bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
in de war bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> met grotere getall<strong>en</strong> Zij kunn<strong>en</strong> on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de gebruik<br />
mak<strong>en</strong> van de structuur van getall<strong>en</strong> (honderdtall<strong>en</strong>, ti<strong>en</strong>tall<strong>en</strong> <strong>en</strong> e<strong>en</strong>hed<strong>en</strong>) bij de basisbewerking<strong>en</strong><br />
Voor de leerling<strong>en</strong> die deze procedures wel beheers<strong>en</strong> is het van belang ze te consolider<strong>en</strong><br />
Veel leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> nog veel tijd nodig om op basis van begrip hun oplossingsprocedures<br />
verder te ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> te consolider<strong>en</strong><br />
5.4 Hoofdlijn 3: vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong><br />
Om vlot te kunn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is regelmatig <strong>en</strong> systematisch oef<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis<br />
<strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> noodzakelijk Alle<strong>en</strong> zo kom<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> tot automatiser<strong>en</strong>, memoriser<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
paraat hebb<strong>en</strong> van hun k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong><br />
Uit ervaring blijkt dat leerling<strong>en</strong> hun vaardigheid verliez<strong>en</strong> als zij deze niet onderhoud<strong>en</strong> Daartoe<br />
geeft het Refer<strong>en</strong>tiekader schol<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or <strong>vo</strong> de taak om te werk<strong>en</strong> aan het onderhoud<strong>en</strong> van deze<br />
k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> De c<strong>en</strong>trale rek<strong>en</strong>toets<strong>en</strong> 2F <strong>en</strong> 3F aan het einde van het <strong>vo</strong> dwing<strong>en</strong> de<br />
schol<strong>en</strong> zelfs hiertoe<br />
Onderhoud<strong>en</strong> betek<strong>en</strong>t meer dan alle<strong>en</strong> somm<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> uit rek<strong>en</strong>boek<strong>en</strong> De beste manier van<br />
onderhoud<strong>en</strong> is functioneel gebruik<strong>en</strong> Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is e<strong>en</strong> kernvak Daarom is het van belang om rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
in het <strong>vo</strong> als speerpunt op te nem<strong>en</strong> in alle vakk<strong>en</strong>, met name ook in de andere vakk<strong>en</strong> dan<br />
wiskunde Theorie- <strong>en</strong> praktijkvakk<strong>en</strong> bied<strong>en</strong> juist mogelijkhed<strong>en</strong> om het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> actief te gebruik<strong>en</strong><br />
De lerar<strong>en</strong> in praktijkvakk<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> opdracht<strong>en</strong> lat<strong>en</strong> uitwerk<strong>en</strong> waarin rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong><br />
zijn opg<strong>en</strong>om<strong>en</strong> Zeker als leerling<strong>en</strong> bij opdracht<strong>en</strong> zelf kunn<strong>en</strong> bepal<strong>en</strong> wat er berek<strong>en</strong>d<br />
moet word<strong>en</strong> <strong>en</strong> hoe zij dat kunn<strong>en</strong> do<strong>en</strong>, blijft hun rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis actief aanwezig <strong>en</strong><br />
onderhoud<strong>en</strong> zij hun rek<strong>en</strong>vaardigheid Ook in theorievakk<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> lerar<strong>en</strong> situaties creër<strong>en</strong><br />
waarbij leerling<strong>en</strong> probleemoploss<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> D<strong>en</strong>k bij<strong>vo</strong>orbeeld aan het vergelijk<strong>en</strong> van be<strong>vo</strong>lkingsdichtheid<br />
van land<strong>en</strong> door het aantal inwoners per vierkante meter uit te rek<strong>en</strong><strong>en</strong> E<strong>en</strong> leraar<br />
Engels kan de leerling<strong>en</strong> lat<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met tijd <strong>en</strong> met kilometers <strong>en</strong> ‘miles per hour’
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Als lerar<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> in hun vakgebied(<strong>en</strong>) in kaart br<strong>en</strong>g<strong>en</strong>, kunn<strong>en</strong> zij met elkaar doelgericht<br />
<strong>en</strong> systematisch werk<strong>en</strong> aan het vlot ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong><br />
-vaardighed<strong>en</strong> Daardoor ontwikkel<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> ook parate k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong><br />
5.5 Hoofdlijn 4: flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong><br />
88<br />
Van alle leerling<strong>en</strong> wordt verwacht dat zij uiteindelijk hun k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> flexibel <strong>en</strong> adequaat<br />
kunn<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> in allerlei functionele situaties Zij kunn<strong>en</strong> keuzes mak<strong>en</strong> <strong>en</strong> wet<strong>en</strong> waarom<br />
ze die keuze mak<strong>en</strong> Zij kunn<strong>en</strong> uitlegg<strong>en</strong> waarom hun keuze in e<strong>en</strong> bepaalde situatie e<strong>en</strong><br />
adequate keuze is<br />
Van leerling<strong>en</strong> die meer aankunn<strong>en</strong> mag word<strong>en</strong> verwacht dat zij bij probleemoploss<strong>en</strong>d rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
de sam<strong>en</strong>hang doorzi<strong>en</strong> <strong>en</strong> verband<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> legg<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> bij<strong>vo</strong>orbeeld breuk<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
decimale getall<strong>en</strong> Ook begrijp<strong>en</strong> zij de structuur van het metriek stelsel Zij begrijp<strong>en</strong> eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong><br />
van bewerking<strong>en</strong>, bij<strong>vo</strong>orbeeld het effect van verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> met breuk<strong>en</strong>, <strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> daarvan<br />
gebruik mak<strong>en</strong> bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> controler<strong>en</strong> van hun berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> Zij kunn<strong>en</strong> zelfstandig<br />
of in sam<strong>en</strong>werking met andere leerling<strong>en</strong> complexe rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> oploss<strong>en</strong>, waarbij zij meerdere<br />
d<strong>en</strong>kstapp<strong>en</strong> moet<strong>en</strong> zett<strong>en</strong> Zij kunn<strong>en</strong> uitlegg<strong>en</strong> wat ze do<strong>en</strong> Dit leidt tot verdieping van<br />
k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> e<strong>en</strong> nog beter begrip van bewerking<strong>en</strong><br />
Dit probleemoploss<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> is onderdeel van 3F <strong>en</strong> dus onderdeel van rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> in ha<strong>vo</strong><br />
<strong>en</strong> vwo Dit vraagt meer dan alle<strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong> van k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> Ook <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong><br />
in het vmbo is het van belang dat zij probleemoploss<strong>en</strong>d ler<strong>en</strong> werk<strong>en</strong> <strong>en</strong> e<strong>en</strong> verdiepingsslag kunn<strong>en</strong><br />
mak<strong>en</strong>, wellicht met minder complexe opgav<strong>en</strong> <strong>en</strong> op het niveau van 2F<br />
Dit betek<strong>en</strong>t dat lerar<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oral uitdag<strong>en</strong>de opdracht<strong>en</strong> gev<strong>en</strong> aan de leerling<strong>en</strong> om h<strong>en</strong> aan het<br />
d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> te zett<strong>en</strong> Deze opdracht<strong>en</strong> zijn gerelateerd aan de reële werkelijkheid, maar kunn<strong>en</strong> ook<br />
meer wiskundig van aard zijn Het rek<strong>en</strong>kundig <strong>en</strong> wiskundig red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> bij probleemoploss<strong>en</strong>d<br />
werk<strong>en</strong> is e<strong>en</strong> belangrijk onderdeel hiervan Juist dit leidt tot verdieping<br />
5.6 De vier Hoofdlijn<strong>en</strong> bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het <strong>vo</strong><br />
Het rek<strong>en</strong>onderwijs in het <strong>vo</strong> richt zich op vier sam<strong>en</strong>hang<strong>en</strong>de activiteit<strong>en</strong>: verder ontwikkel<strong>en</strong>,<br />
consolider<strong>en</strong>, onderhoud<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong> Dit vraagt van de school e<strong>en</strong> goede opbouw van leerstof<br />
in de diverse leerroutes <strong>en</strong> e<strong>en</strong> professionele didactische aanpak Deze activiteit<strong>en</strong> zull<strong>en</strong> in de diverse<br />
leerroutes verschill<strong>en</strong>de acc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> In vmbo-bbl <strong>en</strong> vmbo-kbl zal de nadruk <strong>vo</strong>ornamelijk<br />
ligg<strong>en</strong> op verder ontwikkel<strong>en</strong>, consolider<strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong> In vmbo-gl, vmbo-tl, ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong><br />
vwo ligt het acc<strong>en</strong>t meer op onderhoud<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong>, maar ook op verder ontwikkel<strong>en</strong> De weg<br />
naar 2F is <strong>vo</strong>or veel leerling<strong>en</strong> nog e<strong>en</strong> lastige De leerling<strong>en</strong> in ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo moet<strong>en</strong> zich nog inspann<strong>en</strong><br />
om 3F te bereik<strong>en</strong><br />
Bov<strong>en</strong>staande activiteit<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> wij opg<strong>en</strong>om<strong>en</strong> in de vier Hoofdlijn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Bij alle<br />
Hoofdlijn<strong>en</strong> staat het begrijp<strong>en</strong> <strong>en</strong> dus het wet<strong>en</strong> waarom c<strong>en</strong>traal<br />
De vier Hoofdlijn<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> wij <strong>vo</strong>or het <strong>vo</strong> dan als <strong>vo</strong>lgt invull<strong>en</strong>
hoofdstuk 5 Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het <strong>vo</strong><br />
Verder ontwikkel<strong>en</strong><br />
van<br />
begrips<strong>vo</strong>rming<br />
Flexibel toepass<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong><br />
Verder ontwikkel<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van<br />
oplossingsprocedures<br />
89<br />
Vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
<strong>en</strong><br />
onderhoud<strong>en</strong><br />
Afbeelding 5.2 Vier Hoofdlijn<strong>en</strong> in de rek<strong>en</strong>ontwikkeling in het <strong>vo</strong><br />
In de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de hoofdstukk<strong>en</strong> van dit deel 2 bested<strong>en</strong> wij uitgebreid aandacht aan de vier Hoofdlijn<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> bied<strong>en</strong> wij aandachtspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de begeleiding van rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> in de klas De inhoud<br />
van deze hoofdstukk<strong>en</strong> biedt de rek<strong>en</strong>leraar handvatt<strong>en</strong> om zijn didactisch handel<strong>en</strong> af te<br />
stemm<strong>en</strong> op de ontwikkeling <strong>en</strong> onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 1<br />
(zie deel 4)<br />
5.7 Inzet van IT bij het rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
Het huidige rek<strong>en</strong>onderwijs is niet meer d<strong>en</strong>kbaar zonder IT De ontwikkeling<strong>en</strong> met betrekking<br />
tot het interactieve digibord <strong>en</strong> educatieve software bied<strong>en</strong> interessante mogelijkhed<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or alle<br />
<strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van instructie <strong>en</strong> oef<strong>en</strong><strong>en</strong> Interne netwerk<strong>en</strong> <strong>en</strong> interactieve bord<strong>en</strong> in de lokal<strong>en</strong> zijn<br />
bruikbare hulpmiddel<strong>en</strong> in het onderwijs <strong>vo</strong>or het verzamel<strong>en</strong> <strong>en</strong> aanbied<strong>en</strong> van goede leerstof De<br />
leraar kan functionele <strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle context<strong>en</strong>, d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong>, <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong> van standaardalgoritmes<br />
<strong>en</strong>zo<strong>vo</strong>ort <strong>vo</strong>orbereid<strong>en</strong> <strong>en</strong> opslaan op zijn computer Hij kan deze oproep<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s de les<br />
via het interactieve bord Bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> kan hij tek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> <strong>en</strong> uitgewerkte procedures bewar<strong>en</strong> die<br />
tijd<strong>en</strong>s de les op het bord word<strong>en</strong> geschrev<strong>en</strong> <strong>en</strong> getek<strong>en</strong>d Deze kan hij in e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de les weer<br />
oproep<strong>en</strong> De leraar kan eig<strong>en</strong> oef<strong>en</strong>stof opslaan <strong>en</strong> e<strong>en</strong> complete database van goede rek<strong>en</strong>elem<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
aanlegg<strong>en</strong> Dit kan uiteraard ook in e<strong>en</strong> gezam<strong>en</strong>lijke database op teamniveau gebeur<strong>en</strong><br />
Zo wordt e<strong>en</strong> goed <strong>en</strong> <strong>vo</strong>lledig systeem van context<strong>en</strong>, d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong> van goede<br />
oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> verzameld E<strong>en</strong> gestructureerde <strong>en</strong> gevulde database is de helft van e<strong>en</strong> goede rek<strong>en</strong>les<br />
<strong>en</strong> ondersteunt effectieve instructie tijd<strong>en</strong>s de less<strong>en</strong> aan groep<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> Ook bij hulp aan<br />
kleine groepjes leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> aan individuele leerling<strong>en</strong> kan deze database word<strong>en</strong> gebruikt (differ<strong>en</strong>tiatie)<br />
De leraar blijft echter de cruciale schakel <strong>vo</strong>or de afstemming van de leerstof op de<br />
onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong><br />
De meeste uitgevers bied<strong>en</strong> bij al hun materiaal steeds beter bruikbare IT-ondersteuning Meestal<br />
is dit materiaal bedoeld <strong>vo</strong>or oef<strong>en</strong><strong>en</strong>, minder vaak <strong>vo</strong>or instructie Geleidelijk aan komt steeds<br />
meer digitaal ondersteuningsmateriaal beschikbaar in de <strong>vo</strong>rm van betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle context<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> Hiermee kan de leraar zijn instructie visueel (<strong>en</strong> auditief) ondersteun<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
De leerling kan bij het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> ook verstandig gebruik mak<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>machine<br />
Het uitgangspunt blijft echter dat de leerling zelf goed kan rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, dus zonder rek<strong>en</strong>machine Dit<br />
staat nadrukkelijk beschrev<strong>en</strong> in de refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus <strong>en</strong> zal word<strong>en</strong> getoetst bij de c<strong>en</strong>trale eindtoets<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> De rek<strong>en</strong>machine kan word<strong>en</strong> gebruikt <strong>vo</strong>or het snel <strong>en</strong> accuraat uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong><br />
bij complexe opdracht<strong>en</strong> Tev<strong>en</strong>s kan de rek<strong>en</strong>machine e<strong>en</strong> hulpmiddel zijn <strong>vo</strong>or de<br />
leerling die minder rek<strong>en</strong>vaardig is Voorwaarde is echter wel dat hij begrijpt wat hij doet op de<br />
rek<strong>en</strong>machine <strong>en</strong> weet wanneer hij de rek<strong>en</strong>machine als hulpmiddel functioneel kan inzett<strong>en</strong><br />
90<br />
Tot slot bevel<strong>en</strong> wij het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met spreadsheets aan als basis <strong>vo</strong>or het werk<strong>en</strong> met rek<strong>en</strong>programma’s<br />
in toekomstige beroep<strong>en</strong> Opdracht<strong>en</strong> met onder andere Excel of andere spreadsheets<br />
zijn daar<strong>vo</strong>or heel geschikt Het ler<strong>en</strong> d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> in <strong>en</strong> het systematisch werk<strong>en</strong> met (zelfbedachte)<br />
formules vraagt e<strong>en</strong> andere manier van d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> over rek<strong>en</strong><strong>en</strong>
6 Hoofdlijn 1:<br />
verder ontwikkel<strong>en</strong> van<br />
begrips<strong>vo</strong>rming
Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is ge<strong>en</strong> doel op zich. Kunn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is belangrijk om de wereld beter te<br />
begrijp<strong>en</strong> <strong>en</strong> greep te krijg<strong>en</strong> op dagelijkse situaties waarin wordt gerek<strong>en</strong>d. E<strong>en</strong><br />
goede ontwikkeling van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> in combinatie met het kunn<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
van daarbij pass<strong>en</strong>de oplossingsprocedures is daar<strong>vo</strong>or de basis.<br />
6
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
6.1 Begrips<strong>vo</strong>rming<br />
94<br />
Bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> is het nodig dat leerling<strong>en</strong> begrip blijv<strong>en</strong><br />
ontwikkel<strong>en</strong> van wat ze do<strong>en</strong> <strong>en</strong> waarom ze dat do<strong>en</strong> Dit betek<strong>en</strong>t dat de leerling zich iets kan<br />
<strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> bij e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>activiteit in e<strong>en</strong> bepaalde situatie <strong>en</strong> begrijpt wat er gebeurt in die situatie<br />
Dit noem<strong>en</strong> we ‘betek<strong>en</strong>is verl<strong>en</strong><strong>en</strong>’ Inzicht in rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> is nodig om adequaat te kunn<strong>en</strong><br />
handel<strong>en</strong> in rek<strong>en</strong>situaties Hier<strong>vo</strong>or is het beheers<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>taal onmisbaar Leerling<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong><br />
deze rek<strong>en</strong>taal om te kunn<strong>en</strong> vertell<strong>en</strong> hoe zij d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> om over rek<strong>en</strong><strong>en</strong> te<br />
kunn<strong>en</strong> communicer<strong>en</strong> Juist in het <strong>vo</strong> is het van groot belang dat leerling<strong>en</strong> over rek<strong>en</strong><strong>en</strong> red<strong>en</strong>er<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> discussiër<strong>en</strong> met de leraar <strong>en</strong> met elkaar Daarom is het nodig dat zij hun rek<strong>en</strong>taal blijv<strong>en</strong><br />
ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> herhal<strong>en</strong><br />
Bij het (verder) ontwikkel<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>begripp<strong>en</strong> spel<strong>en</strong> dan ook drie zak<strong>en</strong> e<strong>en</strong> rol:<br />
• verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is aan rek<strong>en</strong>handeling<strong>en</strong>;<br />
• ontwikkel<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong>;<br />
• ontwikkel<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>taal<br />
Wij besprek<strong>en</strong> deze drie compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong> na elkaar, maar zij zijn nauw met elkaar verbond<strong>en</strong> In paragraaf<br />
65 besprek<strong>en</strong> wij hoe zij met elkaar sam<strong>en</strong>hang<strong>en</strong><br />
k ERn<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
Voor rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> blijft begrips<strong>vo</strong>rming e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d punt van aandacht.<br />
Gebrekkige begrips<strong>vo</strong>rming kan leid<strong>en</strong> tot fragm<strong>en</strong>tarische k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> soms tot stagnatie<br />
in hun rek<strong>en</strong>ontwikkeling.<br />
6.2 Verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is aan rek<strong>en</strong>handeling<strong>en</strong><br />
Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het dagelijks lev<strong>en</strong> is altijd ingebed in functionele situaties Het handel<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong><br />
(<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lwass<strong>en</strong><strong>en</strong>) in werkelijkheidssituaties heeft steeds e<strong>en</strong> doel <strong>en</strong> e<strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is In deze<br />
situaties zijn zij zélf de handel<strong>en</strong>de persoon Zij kop<strong>en</strong> bij<strong>vo</strong>orbeeld iets in e<strong>en</strong> winkel Zij gebruik<strong>en</strong><br />
mat<strong>en</strong>, beoordel<strong>en</strong> de ruimte <strong>en</strong> lez<strong>en</strong> de tijd af op de klok, hun mobieltje of horloge Zij lez<strong>en</strong><br />
de kilometerbord<strong>en</strong> langs de weg <strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> zo de begripp<strong>en</strong> afstand <strong>en</strong> snelheid (bij<strong>vo</strong>orbeeld:<br />
45 kilometer naar Utrecht, dat is ongeveer e<strong>en</strong> half uur rijd<strong>en</strong>) Alles gaat heel vanzelfsprek<strong>en</strong>d<br />
doordat zij zelf deel van de werkelijkheidssituatie zijn Zij belev<strong>en</strong> de ervaring zelf (subjectgebond<strong>en</strong>)<br />
Tijd<strong>en</strong>s dit handel<strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> spontaan rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> (persoonlijke) refer<strong>en</strong>ties<br />
Vanwege de combinatie van de werkelijkheidssituatie met het handel<strong>en</strong> zijn deze concept<strong>en</strong><br />
betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l Leerling<strong>en</strong> begrijp<strong>en</strong> wat ze do<strong>en</strong> <strong>en</strong> begrijp<strong>en</strong> daardoor ook het onder ligg<strong>en</strong>de<br />
concept Deze begripp<strong>en</strong> zijn in eerste instantie situatie- <strong>en</strong> subjectgebond<strong>en</strong> Door toepassing in<br />
verschill<strong>en</strong>de vergelijkbare situaties word<strong>en</strong> concept<strong>en</strong> meer losgekoppeld van specifieke situaties<br />
<strong>en</strong> hierdoor breder inzetbaar<br />
Op school ler<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> uit e<strong>en</strong> boek, mak<strong>en</strong> zij ‘kale somm<strong>en</strong>’ <strong>en</strong> kom<strong>en</strong> zij rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong><br />
teg<strong>en</strong> in andere vakk<strong>en</strong> De opdracht<strong>en</strong> zijn kunstmatig, omdat ze zijn ontworp<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or<br />
gebruik op school Dergelijke opdracht<strong>en</strong> bestaan meestal uit tekst <strong>en</strong> afbeelding<strong>en</strong>, als weergave<br />
van de werkelijkheid Leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> pas betek<strong>en</strong>is verl<strong>en</strong><strong>en</strong> aan de rek<strong>en</strong>opdracht als de opdracht<br />
herk<strong>en</strong>baar <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> is Die kans is het grootst als opdracht<strong>en</strong> aansluit<strong>en</strong> bij hun werkelijke<br />
lev<strong>en</strong> of als zij in staat zijn zich te verplaats<strong>en</strong> in de (kunstmatige) situatie die in de opdracht is
hoofdstuk 6 Hoofdlijn 1: verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming<br />
aangegev<strong>en</strong> Dit vraagt van de leerling<strong>en</strong> dat zij die situatie begrijp<strong>en</strong> door de objectieve feit<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
niet alle<strong>en</strong> door het herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> van de (subjectieve) beleving Dit type opdracht<strong>en</strong> noem<strong>en</strong> we ‘objectgebond<strong>en</strong>’<br />
Naarmate leerling<strong>en</strong> ouder word<strong>en</strong>, kunn<strong>en</strong> zij beter afstand nem<strong>en</strong> van zichzelf<br />
Ze kunn<strong>en</strong> zich beter verplaats<strong>en</strong> in opdracht<strong>en</strong> die e<strong>en</strong> werkelijkheidssituatie beschrijv<strong>en</strong> waarvan<br />
zij zelf ge<strong>en</strong> deel uitmak<strong>en</strong><br />
Wat is de reistijd van huis naar school?<br />
De afstand van huis naar school is ongeveer<br />
km<br />
95<br />
Hoelang doe je er ongeveer over?<br />
a. met de auto<br />
b. op de fiets<br />
c. lop<strong>en</strong>d<br />
d. met de scooter<br />
e. met op<strong>en</strong>baar ver<strong>vo</strong>er<br />
Afbeelding 6.1 Subjectgebond<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>opdracht<br />
Wat is de reistijd van Utrecht CS naar Bunnik NS?<br />
Zoek op internet bij de ANWB de route van Utrecht CS naar Bunnik NS.<br />
Hoelang doe je er ongeveer over?<br />
a. met de auto<br />
b.<br />
c. lop<strong>en</strong>d<br />
BUNNIK<br />
d. met op<strong>en</strong>baar ver<strong>vo</strong>er<br />
Afbeelding 6.2 Objectgebond<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>opdracht<br />
Leerling<strong>en</strong> functioner<strong>en</strong> in twee wereld<strong>en</strong>: de werkelijke wereld waarin getall<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> e<strong>en</strong> persoonlijke<br />
betek<strong>en</strong>is hebb<strong>en</strong> (subjectgebond<strong>en</strong>) <strong>en</strong> de schoolwereld, die door ander<strong>en</strong> bedacht is <strong>en</strong><br />
waarin getall<strong>en</strong> altijd e<strong>en</strong> didactisch doel di<strong>en</strong><strong>en</strong> (objectgebond<strong>en</strong>) Om deze twee wereld<strong>en</strong> te<br />
verbind<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> auteurs van rek<strong>en</strong>boek<strong>en</strong> gebruik van ‘context<strong>en</strong>’
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Context<strong>en</strong> zijn weergav<strong>en</strong> van werkelijkheidssituaties Ze zijn op de eerste plaats bedoeld om betek<strong>en</strong>is<br />
te kunn<strong>en</strong> verl<strong>en</strong><strong>en</strong> aan de informatie waarmee de leerling<strong>en</strong> gaan rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Op de tweede<br />
plaats word<strong>en</strong> specifieke context<strong>en</strong> gebod<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het (verder) ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong><br />
met bijbehor<strong>en</strong>de oplossingsprocedures Het tweede type context<strong>en</strong> heeft meer e<strong>en</strong> probleemkarakter,<br />
dat uitdaagt tot nad<strong>en</strong>k<strong>en</strong>, onderzoek<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> op verschill<strong>en</strong>de niveaus<br />
96<br />
Goede context<strong>en</strong> pass<strong>en</strong> bij het doel waar<strong>vo</strong>or de leraar ze wil inzett<strong>en</strong> Dat betek<strong>en</strong>t dat de <strong>en</strong>e<br />
keer de betek<strong>en</strong>isverl<strong>en</strong>ing <strong>vo</strong>oropstaat <strong>en</strong> e<strong>en</strong> andere keer het ontwikkel<strong>en</strong> van oplossingsprocedures<br />
of de complexiteit van het probleem E<strong>en</strong> context bestaat meestal uit e<strong>en</strong> afbeelding van e<strong>en</strong><br />
(herk<strong>en</strong>bare) situatie, soms in combinatie met tekst Context<strong>en</strong> die alle<strong>en</strong> uit tekst bestaan do<strong>en</strong><br />
e<strong>en</strong> groter beroep op het <strong>vo</strong>orstellingsvermog<strong>en</strong> (<strong>en</strong> het taalvermog<strong>en</strong>) van de leerling <strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong><br />
daarmee <strong>vo</strong>or bepaalde leerling<strong>en</strong> e<strong>en</strong> struikelblok Context<strong>en</strong> help<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> het formele rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
te begrijp<strong>en</strong><br />
k ERn<br />
Het rek<strong>en</strong>onderwijs kan niet zonder context<strong>en</strong><br />
• Context<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> de brug tuss<strong>en</strong> het formele rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op school <strong>en</strong> de wereld buit<strong>en</strong><br />
de school.<br />
• Zij zijn bruikbaar als zij pass<strong>en</strong> bij de belevingswereld van de leerling.<br />
• Zij activer<strong>en</strong> de leerling tot vertell<strong>en</strong> (verwoord<strong>en</strong>), visualiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> red<strong>en</strong>er<strong>en</strong>, bij<br />
<strong>vo</strong>orkeur in interactie met ander<strong>en</strong>.<br />
• Zij zijn bedoeld <strong>vo</strong>or het ontwikkel<strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong>.<br />
• Zij ondersteun<strong>en</strong> de leerling bij het (verder) ontwikkel<strong>en</strong> van oplossingsprocedures.<br />
• Zij help<strong>en</strong> de leerling bij het betek<strong>en</strong>is verl<strong>en</strong><strong>en</strong> aan rek<strong>en</strong>handeling<strong>en</strong>.<br />
Naarmate leerling<strong>en</strong> ouder word<strong>en</strong>, kunn<strong>en</strong> context<strong>en</strong> complexer word<strong>en</strong> <strong>en</strong> kan er ook meer (<strong>en</strong><br />
soms afleid<strong>en</strong>de) informatie in zitt<strong>en</strong> Dit komt beter overe<strong>en</strong> met de overdosis informatie waar zij<br />
zich in het dagelijks lev<strong>en</strong> doorhe<strong>en</strong> moet<strong>en</strong> werk<strong>en</strong> om de kern van e<strong>en</strong> situatie te achterhal<strong>en</strong><br />
Leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> zo relevante informatie te herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> <strong>en</strong> selecter<strong>en</strong><br />
k ERn<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
Sommige leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> moeite om zich te kunn<strong>en</strong> verplaats<strong>en</strong> in situaties die zij<br />
niet zelf hebb<strong>en</strong> meegemaakt. Opdracht<strong>en</strong> in rek<strong>en</strong>boek<strong>en</strong> of in andere boek<strong>en</strong> blijv<strong>en</strong><br />
opdracht<strong>en</strong> uit e<strong>en</strong> boek. Zij kunn<strong>en</strong> hun eig<strong>en</strong> informele ervaring<strong>en</strong> niet direct koppel<strong>en</strong><br />
aan de (formele) schoolse opdracht<strong>en</strong>. Zij ervar<strong>en</strong> dat als twee gescheid<strong>en</strong> wereld<strong>en</strong>. Dit<br />
maakt dat zij moeite kunn<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> met het begrijp<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> in e<strong>en</strong><br />
boek. Voor leerling<strong>en</strong> die bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> veel moeite hebb<strong>en</strong> met het lez<strong>en</strong> <strong>en</strong> begrijp<strong>en</strong> van<br />
tekst<strong>en</strong> kan dat e<strong>en</strong> struikelblok zijn.<br />
Hier ontstaat e<strong>en</strong> didactische valkuil. Bij deze rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> maakt de leraar<br />
soms snel de stap naar ‘kale somm<strong>en</strong>’. Dit leidt tot betek<strong>en</strong>isloos rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (goochel<strong>en</strong><br />
met getall<strong>en</strong>) <strong>en</strong> kan de rek<strong>en</strong>zwakke leerling juist (verder) in verwarring br<strong>en</strong>g<strong>en</strong>. De<br />
leerling verliest het doel (het kunn<strong>en</strong> toepass<strong>en</strong> in de echte wereld) uit het oog omdat hij<br />
zich niets bij de bewerking (oplossingsprocedure) kan <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong>. Het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> bestaat<br />
dan alle<strong>en</strong> uit formele rek<strong>en</strong>taal.
hoofdstuk 6 Hoofdlijn 1: verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming<br />
Juist <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> is het belangrijk dat zij de rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> begrijp<strong>en</strong><br />
door de inzet van goede (= <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle) context<strong>en</strong>. Alle<strong>en</strong> zulke context<strong>en</strong><br />
help<strong>en</strong> h<strong>en</strong> de stap te mak<strong>en</strong> van het informele betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle rek<strong>en</strong><strong>en</strong> naar het formeel<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> somm<strong>en</strong> mak<strong>en</strong>). Hierbij spel<strong>en</strong> de ontwikkeling<br />
van taal, het visueel <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> <strong>en</strong> het begrijp<strong>en</strong> van oplossingsprocedures e<strong>en</strong> cruciale<br />
rol.<br />
Als e<strong>en</strong> context van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>opdracht uit veel tekst bestaat, wordt de rek<strong>en</strong>opdracht e<strong>en</strong><br />
leesopdracht. Vaak gaat het hier alle<strong>en</strong> om e<strong>en</strong> toelichting bij e<strong>en</strong> (visuele) context. Bij<br />
e<strong>en</strong> goede, visueel sterke context is tekst als toelichting overbodig. Voor rek<strong>en</strong>zwakke<br />
leerling<strong>en</strong> kan veel of afleid<strong>en</strong>de informatie in e<strong>en</strong> context belemmer<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong>. Voor<br />
h<strong>en</strong> is het beter om context<strong>en</strong> te gebruik<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> goede afbeelding <strong>en</strong> weinig tekst,<br />
zodat zij de opdracht sneller doorzi<strong>en</strong> <strong>en</strong> minder ballast in hun werkgeheug<strong>en</strong> hoev<strong>en</strong> op<br />
te slaan.<br />
97<br />
Hoe reist Nederland dagelijks<br />
naar het werk?<br />
Ruim vijf miljo<strong>en</strong> m<strong>en</strong>s<strong>en</strong> gaan elke dag naar<br />
hun werk. Zes op de ti<strong>en</strong> m<strong>en</strong>s<strong>en</strong> stapp<strong>en</strong><br />
dagelijks in de auto. E<strong>en</strong> kwart gaat met de<br />
fiets <strong>en</strong> 3 proc<strong>en</strong>t gaat lop<strong>en</strong>d naar het werk.<br />
Nog ge<strong>en</strong> 10 proc<strong>en</strong>t reist met het op<strong>en</strong>baar<br />
ver<strong>vo</strong>er. Automobilist<strong>en</strong> rijd<strong>en</strong> gemiddeld<br />
ruim 22 kilometer <strong>en</strong> do<strong>en</strong> daar e<strong>en</strong> half uur<br />
over. Treinreizigers legg<strong>en</strong> met ruim 47 kilometer<br />
gemiddeld de langste afstand af <strong>en</strong> zijn daar<strong>vo</strong>or<br />
67 minut<strong>en</strong> onderweg. M<strong>en</strong>s<strong>en</strong> die lop<strong>en</strong> zijn ti<strong>en</strong><br />
minut<strong>en</strong> bezig.<br />
(Uit: CBS - 17/02/04)<br />
Afbeelding 6.3<br />
Visueel beeld<strong>en</strong>de context <strong>en</strong> talige context<br />
6.3 Ontwikkel<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong><br />
Van oudsher is het rek<strong>en</strong>onderwijs sterk gericht op het aanler<strong>en</strong> van oplossingsprocedures om het<br />
goede antwoord op e<strong>en</strong> som te vind<strong>en</strong> In die b<strong>en</strong>adering lijkt het alsof de leerling zich de b<strong>en</strong>odigde<br />
rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> vanzelf eig<strong>en</strong> maakt door <strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s het oploss<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> De<br />
didactiek van ‘Zo doe je dat!’ Wellicht dat e<strong>en</strong> sterke rek<strong>en</strong>aar dat op eig<strong>en</strong> kracht kan, maar de<br />
meeste leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> hierbij gerichte ondersteuning nodig Als e<strong>en</strong> leerling procedures leert<br />
zonder de onderligg<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> te begrijp<strong>en</strong>, doet dat e<strong>en</strong> groot beroep op zijn geheug<strong>en</strong><br />
in plaats van op zijn begrip De kans op fout<strong>en</strong> <strong>en</strong> op verget<strong>en</strong> ‘hoe het moet’ wordt groter<br />
De didactiek die dit protocol <strong>vo</strong>orstaat, werkt anders De leerling krijgt opdracht<strong>en</strong> vanuit goede<br />
context<strong>en</strong> Dit is e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orwaarde <strong>vo</strong>or het ontwikkel<strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong><br />
Hierdoor ontwikkelt de leerling inzicht Dit inzicht di<strong>en</strong>t ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s als basis om de aanpak van<br />
e<strong>en</strong> bepaald type opdracht in herinnering te roep<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
E<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orbeeld is de manier waarop inzicht in <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> verhouding<strong>en</strong> word<strong>en</strong><br />
geïntroduceerd Deze start gebeurt dikwijls met behulp van de ‘pizzacontext’ De hierbij behor<strong>en</strong>de<br />
oplossingsprocedures word<strong>en</strong> aanvankelijk geoef<strong>en</strong>d met afbeelding<strong>en</strong> Deze zijn e<strong>en</strong> weergave<br />
van verschill<strong>en</strong>de situaties waarin pizza’s eerlijk word<strong>en</strong> verdeeld onder e<strong>en</strong> aantal person<strong>en</strong> De<br />
leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> daarbij berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> door te tek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> resultat<strong>en</strong> te noter<strong>en</strong> Afgeleid<br />
van dergelijke concrete context<strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> die het oploss<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>vraagstukk<strong>en</strong><br />
rondom breuk<strong>en</strong> ondersteun<strong>en</strong><br />
98<br />
Rek<strong>en</strong>boek<strong>en</strong> bied<strong>en</strong> d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> aan die zijn gebaseerd op dergelijke context<strong>en</strong>, zoals bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
het d<strong>en</strong>kmodel van de pizzacontext (het pizzamodel) Aanvankelijk zijn d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> vrij<br />
concreet: het object of de situatie is zichtbaar of <strong>vo</strong>orstelbaar Daarna word<strong>en</strong> de modell<strong>en</strong> meer<br />
schematisch <strong>en</strong> de oplossingsprocedures steeds formeler Geleidelijk aan rak<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> steeds<br />
meer vertrouwd met de formele bewerking<strong>en</strong> met breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> neemt het schematiser<strong>en</strong> af Dan<br />
kunn<strong>en</strong> zij ook zonder context<strong>en</strong> <strong>en</strong> zonder ondersteuning van tek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> of d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> formele<br />
bewerking<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Hoeveel krijgt ieder?<br />
Wij del<strong>en</strong> 1 pizza<br />
met 2 person<strong>en</strong><br />
2<br />
1 –2 ieder krijgt ........... pizza<br />
Wij del<strong>en</strong> 1 pizza<br />
met 4 person<strong>en</strong><br />
4<br />
........... ieder krijgt ........... pizza<br />
Wij del<strong>en</strong> 1 pizza<br />
met 3 person<strong>en</strong><br />
3<br />
........... ieder krijgt ........... pizza<br />
Afbeelding 6.4 Het pizzamodel<br />
Naarmate e<strong>en</strong> leerling meer rek<strong>en</strong>ervaring heeft opgebouwd kan hij meer afstand nem<strong>en</strong> van de<br />
concrete situatie (objectiver<strong>en</strong>, objectgebond<strong>en</strong>) Hij kan zelf e<strong>en</strong> afbeelding of e<strong>en</strong> model mak<strong>en</strong><br />
of er e<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> Hiermee kan hij de situatie <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> of visualiser<strong>en</strong> via bij<strong>vo</strong>orbeeld e<strong>en</strong><br />
foto of tek<strong>en</strong>ing, e<strong>en</strong> strook, e<strong>en</strong> lijn of e<strong>en</strong> cirkel Naarmate de leerling verder <strong>vo</strong>rdert in rek<strong>en</strong><strong>en</strong>,<br />
kan hij zich steeds gemakkelijker <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> wat er gevraagd wordt <strong>en</strong> begrijp<strong>en</strong> wat de onderlinge<br />
relatie is tuss<strong>en</strong> de gegev<strong>en</strong>s (de getall<strong>en</strong>) uit de opdracht
hoofdstuk 6 Hoofdlijn 1: verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming<br />
Bij het herhal<strong>en</strong> <strong>en</strong> verder ontwikkel<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> (bij<strong>vo</strong>orbeeld breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>)<br />
is het nodig om deze stapp<strong>en</strong> telk<strong>en</strong>s weer opnieuw uit te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> De leraar laat de leerling zich<br />
eerst inlev<strong>en</strong> in de situatie (subjectgebond<strong>en</strong>), ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s laat hij hem zich deze situatie concreet<br />
<strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> <strong>en</strong> daarna weergev<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> afbeelding of e<strong>en</strong> model (objectgebond<strong>en</strong>) Deze stapp<strong>en</strong><br />
koppelt hij ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s of tegelijkertijd aan het formele rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
k ERn<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> hebb<strong>en</strong> vaak vanaf de eerste jar<strong>en</strong> dat ze hebb<strong>en</strong> ler<strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het basisonderwijs e<strong>en</strong> zwakke basis opgebouwd <strong>vo</strong>or het formele rek<strong>en</strong><strong>en</strong>.<br />
Zij hebb<strong>en</strong> moeite met het begrijp<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> <strong>en</strong> met name om zelf te herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> verwoord<strong>en</strong> hoe zij het meer concrete informele handel<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> koppel<strong>en</strong><br />
aan of vertal<strong>en</strong> in formele bewerking<strong>en</strong>. Hierdoor ontstaan on<strong>vo</strong>lledige, gebrekkige concept<strong>en</strong><br />
die leid<strong>en</strong> tot fragm<strong>en</strong>tarische k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> e<strong>en</strong> zwakke rek<strong>en</strong>kundige basis. Deze<br />
zwakke basis is belemmer<strong>en</strong>d <strong>vo</strong>or het ontwikkel<strong>en</strong> van meer complexe begripp<strong>en</strong> als<br />
breuk<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>, oppervlakte <strong>en</strong> ‘rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met schaal’.<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> blijk<strong>en</strong> minder in staat te zijn om het geleerde in relevante, associatieve<br />
netwerk<strong>en</strong> (paragraaf 8.2) op te slaan in hun geheug<strong>en</strong>. Dit komt doordat zij<br />
de onderlinge sam<strong>en</strong>hang tuss<strong>en</strong> bepaalde concept<strong>en</strong> miss<strong>en</strong>. Zij zi<strong>en</strong> bij<strong>vo</strong>orbeeld de<br />
sam<strong>en</strong>hang niet tuss<strong>en</strong> tell<strong>en</strong>, optell<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> <strong>en</strong> del<strong>en</strong>. Of de<br />
sam<strong>en</strong>hang tuss<strong>en</strong> breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> decimale getall<strong>en</strong>. Hierdoor kunn<strong>en</strong> zij de informatie<br />
gebrekkig onthoud<strong>en</strong>. Dit belemmert het verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> van deze rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong>.<br />
99<br />
Voor rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> blijft het <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> <strong>en</strong> verbind<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> e<strong>en</strong><br />
belangrijk aandachtspunt gedur<strong>en</strong>de hun hele schoolloopbaan.<br />
6.4 Ontwikkel<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>taal<br />
Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> kan niet zonder taal <strong>Taal</strong> is het middel om de betek<strong>en</strong>is van situaties <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>handeling<strong>en</strong><br />
te b<strong>en</strong>oem<strong>en</strong> <strong>en</strong> daarover te communicer<strong>en</strong> (semantiser<strong>en</strong>) Deze taal is ook nodig om na te<br />
d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> over rek<strong>en</strong>situaties <strong>en</strong> verband<strong>en</strong> te ler<strong>en</strong> herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong><br />
De ontwikkeling van taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> gaan hand in hand door spontane interactie <strong>en</strong> communicatie<br />
tuss<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>vo</strong>lwass<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> onderling In het onderwijs wordt bij het<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> naast de algem<strong>en</strong>e (meer informele) communicatietaal ook specifieke rek<strong>en</strong>taal gebruikt<br />
Lerar<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> e<strong>en</strong> meer formele instructietaal (schooltaal) tijd<strong>en</strong>s de less<strong>en</strong><br />
In het algeme<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> communicatietaal om te vertell<strong>en</strong> wat ze do<strong>en</strong> <strong>en</strong> om met<br />
elkaar te overlegg<strong>en</strong> Daarbinn<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> ze de rek<strong>en</strong>taal om rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> te verduidelijk<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> om formele bewerking<strong>en</strong>, notaties <strong>en</strong> de daarbij behor<strong>en</strong>de symbol<strong>en</strong> te b<strong>en</strong>oem<strong>en</strong> (optell<strong>en</strong>,<br />
aftrekk<strong>en</strong>, breuk<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>; +, –, _<br />
2 1 , %, =, ≈, >, < <strong>en</strong>zo<strong>vo</strong>ort) Rek<strong>en</strong>taal gebruikt de leerling <strong>vo</strong>or<br />
het begrijp<strong>en</strong> van <strong>en</strong> het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is aan situaties waarin rek<strong>en</strong>handeling<strong>en</strong> <strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong><br />
word<strong>en</strong> uitge<strong>vo</strong>erd Rek<strong>en</strong>taal ontwikkelt zich (verder) door dergelijke rek<strong>en</strong>handeling<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong> te verricht<strong>en</strong> <strong>en</strong> erover te prat<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
100<br />
Rek<strong>en</strong>kundig d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> speelt zich af in het hoofd van de leerling De leraar probeert de leerling te<br />
lat<strong>en</strong> expliciter<strong>en</strong> wat hij zich bij e<strong>en</strong> situatie (context) <strong>vo</strong>orstelt <strong>en</strong> hoe hij e<strong>en</strong> opdracht uitwerkt<br />
Hij laat de leerling vertell<strong>en</strong>, hardop d<strong>en</strong>k<strong>en</strong>d e<strong>en</strong> opdracht uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> (bij<strong>vo</strong>orbeeld de l<strong>en</strong>gte <strong>en</strong><br />
breedte van het lokaal opmet<strong>en</strong>) <strong>en</strong> laat hem tek<strong>en</strong><strong>en</strong> of schematiser<strong>en</strong> Daarmee laat de leerling<br />
zi<strong>en</strong> of hij e<strong>en</strong> situatie begrijpt Aan de taal die de leerling gebruikt om zijn rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> toe te<br />
licht<strong>en</strong> kan de leraar hor<strong>en</strong> of de leerling de situatie (context), het doel van de rek<strong>en</strong>opdracht <strong>en</strong> de<br />
gebruikte oplossingsprocedure begrijpt<br />
E<strong>en</strong> leerling heeft echt begrep<strong>en</strong> wat er in e<strong>en</strong> opdracht gevraagd wordt als hij zelf e<strong>en</strong> formele<br />
bewerking kan toelicht<strong>en</strong> <strong>en</strong> daar e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orbeeld (context) bij kan bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> de context ev<strong>en</strong>tueel<br />
kan tek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Discussies tuss<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> over rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong>, bij<strong>vo</strong>orbeeld hoe zij e<strong>en</strong> probleem oploss<strong>en</strong>,<br />
stimuleert de ontwikkeling <strong>en</strong> het gebruik<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>taal <strong>en</strong> daardoor tev<strong>en</strong>s het rek<strong>en</strong>kundig<br />
red<strong>en</strong>er<strong>en</strong><br />
Welke aanbieding heb je liever?<br />
1 Vijf hal<strong>en</strong>, vier betal<strong>en</strong>!<br />
2 Vier betal<strong>en</strong> plus één gratis!<br />
Afbeelding 6.5 Rek<strong>en</strong>kundig red<strong>en</strong>er<strong>en</strong><br />
Tijd<strong>en</strong>s de less<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> de leraar <strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> gebruik van instructietaal Dit is de taal die de<br />
leraar gebruikt om iets uit te legg<strong>en</strong>, opdracht<strong>en</strong> te gev<strong>en</strong> <strong>en</strong> te besprek<strong>en</strong> (bij<strong>vo</strong>orbeeld huiswerk)<br />
Het is ook de taal om sam<strong>en</strong> met de leerling<strong>en</strong> te reflecter<strong>en</strong> op wat zij hebb<strong>en</strong> gedaan <strong>en</strong> hoe, <strong>en</strong><br />
om het resultaat te beoordel<strong>en</strong> Voor leerling<strong>en</strong> die auditief <strong>en</strong> verbaal zwak zijn, is het van belang<br />
mondelinge instructie visueel te ondersteun<strong>en</strong> met <strong>vo</strong>orwerp<strong>en</strong> <strong>en</strong> gebar<strong>en</strong>, afbeelding<strong>en</strong>, schema’s<br />
<strong>en</strong> woord<strong>en</strong> op het bord Digibord<strong>en</strong> zijn e<strong>en</strong> uitstek<strong>en</strong>d hulpmiddel <strong>vo</strong>or visuele ondersteuning<br />
bij instructie
hoofdstuk 6 Hoofdlijn 1: verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming<br />
k ERn<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
Communicatietaal, rek<strong>en</strong>taal <strong>en</strong> instructietaal word<strong>en</strong> altijd door elkaar gebruikt tijd<strong>en</strong>s<br />
de rek<strong>en</strong>les. Voor leerling<strong>en</strong> die zwak zijn in taal <strong>en</strong> problem<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> met lez<strong>en</strong> is visuele<br />
ondersteuning belangrijk.<br />
Voor rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> is het van belang dat zij rek<strong>en</strong>taal <strong>en</strong> instructietaal ler<strong>en</strong><br />
onderscheid<strong>en</strong> De leraar maakt systematisch verschil tuss<strong>en</strong> beide. Hij gebruikt rek<strong>en</strong>taal<br />
om bij<strong>vo</strong>orbeeld concept<strong>en</strong> op te roep<strong>en</strong> (Waaraan d<strong>en</strong>k je als je 1 _ 3 ziet?). Instructietaal<br />
gebruikt de leraar om iets uit te legg<strong>en</strong> <strong>en</strong> om opdracht<strong>en</strong> te gev<strong>en</strong> (Kun je e<strong>en</strong> tek<strong>en</strong>ing<br />
mak<strong>en</strong> bij deze opdracht?). Bij rek<strong>en</strong>taal is het belangrijk dat de begripp<strong>en</strong> e<strong>en</strong>duidig<br />
word<strong>en</strong> gebruikt. Ook instructietaal moet helder <strong>en</strong> duidelijk zijn <strong>en</strong> wordt bij <strong>vo</strong>orkeur<br />
visueel ondersteund. Communicatietaal is spontaan <strong>en</strong> flexibel.<br />
101<br />
6.5 Sam<strong>en</strong>hang bij begrips<strong>vo</strong>rming als geheel<br />
Het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is, het ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>taal<br />
<strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> één geheel Dit noem<strong>en</strong> we ‘begrips<strong>vo</strong>rming’ In deze paragraaf besprek<strong>en</strong> wij de sam<strong>en</strong>hang<br />
Leerling<strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong> geleidelijk aan steeds meer begrip van belangrijke rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> Zij<br />
ontdekk<strong>en</strong> de betek<strong>en</strong>is van het getall<strong>en</strong>systeem, eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> van <strong>en</strong> verband<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> getall<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong> (Dolk, 2005) Leerling<strong>en</strong> verwerv<strong>en</strong> deze inzicht<strong>en</strong> in betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle situaties Bij<br />
veel leerling<strong>en</strong> ligt het begrijp<strong>en</strong> nog vaak op het niveau van het ervar<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> werkelijke situatie<br />
(subjectgebond<strong>en</strong>) Begrip ontstaat geleidelijk door experim<strong>en</strong>ter<strong>en</strong>, reflectie, interactie (uitlegg<strong>en</strong><br />
aan iemand anders), toepass<strong>en</strong> in andere situaties (transfer) <strong>en</strong> door oef<strong>en</strong><strong>en</strong> (subjectgebond<strong>en</strong>)<br />
Naarmate leerling<strong>en</strong> meer concrete ervaring<strong>en</strong> opdo<strong>en</strong>, kunn<strong>en</strong> zij op e<strong>en</strong> meer <strong>vo</strong>orstelbare manier<br />
omgaan met die ervaring<strong>en</strong> Ze hebb<strong>en</strong> deze concrete situaties minder nodig <strong>en</strong> het wordt<br />
makkelijker om complexere <strong>en</strong> meer abstracte begripp<strong>en</strong> te ontwikkel<strong>en</strong> (objectgebond<strong>en</strong>)<br />
Bij e<strong>en</strong> doorgaande rek<strong>en</strong>ontwikkeling gaan to<strong>en</strong>em<strong>en</strong>de begripsontwikkeling <strong>en</strong> semantisering (ontwikkeling<br />
van rek<strong>en</strong>taal) hand in hand (Neliss<strong>en</strong>, Boswinkel & De Goeij, 2007) Leerling<strong>en</strong> mak<strong>en</strong><br />
zich steeds meer rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> eig<strong>en</strong> <strong>en</strong> gaan de eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> van <strong>en</strong> relaties tuss<strong>en</strong> getall<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> steeds formeler niveau begrijp<strong>en</strong> Zij ontwikkel<strong>en</strong> getalnetwerk<strong>en</strong> die zij<br />
gebruik<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van oplossingsprocedures Deze ontwikkeling start in het basisonderwijs<br />
<strong>en</strong> zet zich <strong>vo</strong>ort in het <strong>vo</strong> Dit is de basis <strong>vo</strong>or functionele gecijferdheid<br />
Voorbeeld<strong>en</strong> van eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> van <strong>en</strong> relaties tuss<strong>en</strong> getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong> zijn:<br />
• de rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> rondom e<strong>en</strong>hed<strong>en</strong>, ti<strong>en</strong>tall<strong>en</strong>, honderdtall<strong>en</strong>, de betek<strong>en</strong>is van de nul <strong>en</strong><br />
het doorzi<strong>en</strong> van getalstructur<strong>en</strong> (verschil tuss<strong>en</strong> 3047 <strong>en</strong> 347);<br />
• het onderscheid <strong>en</strong> de sam<strong>en</strong>hang tuss<strong>en</strong> hele getall<strong>en</strong>, breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> decimale getall<strong>en</strong>;<br />
• de sam<strong>en</strong>hang tuss<strong>en</strong> breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> als onderdeel van verhouding<strong>en</strong>;<br />
• het mat<strong>en</strong>systeem van l<strong>en</strong>gte, gewicht <strong>en</strong> inhoud <strong>en</strong> de onderlinge relatie van deze mat<strong>en</strong> binn<strong>en</strong><br />
het metriek stelsel;<br />
• rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met geld, tijd <strong>en</strong> temperatuur;<br />
• concept<strong>en</strong> als oppervlakte, schaal, kwadraat, kubieke meter, snelheid per uur, windkracht <strong>en</strong>zo<strong>vo</strong>ort
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
6.6 Signalering bij begrips<strong>vo</strong>rming<br />
S1 – Problem<strong>en</strong> met het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> moeite met het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is aan getall<strong>en</strong> Context<strong>en</strong><br />
help<strong>en</strong> de leerling de stap te mak<strong>en</strong> van het informele betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle rek<strong>en</strong><strong>en</strong> naar het formele,<br />
abstracte rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> somm<strong>en</strong> mak<strong>en</strong>) Hierbij spel<strong>en</strong> de ontwikkeling<br />
van taal, het visueel <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> <strong>en</strong> oplossingsprocedures e<strong>en</strong> cruciale rol<br />
102<br />
S2 – Gebrekkige concept<strong>vo</strong>rming<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> vaak moeite met de ontwikkeling van goede rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> De<br />
koppeling van het concrete handel<strong>en</strong> aan formele bewerking<strong>en</strong> <strong>en</strong> de daarbij pass<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>taal<br />
gaat niet vanzelf Hierdoor kunn<strong>en</strong> gebrekkige concept<strong>en</strong> ontstaan E<strong>en</strong> zwakke basis kan met<br />
name belemmer<strong>en</strong>d zijn bij het ontwikkel<strong>en</strong> van complexere begripp<strong>en</strong> als breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
Voor rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> blijft concept<strong>vo</strong>rming e<strong>en</strong> struikelblok gedur<strong>en</strong>de hun hele schoolloopbaan<br />
Dit is e<strong>en</strong> signaal <strong>vo</strong>or mogelijke stagnatie in de rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
6.7 Begeleiding bij begrips<strong>vo</strong>rming<br />
• Bij begeleiding in de klas gaat het er in de eerste plaats om e<strong>en</strong> omgeving te creër<strong>en</strong> waarin<br />
leerling<strong>en</strong> met plezier rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> experim<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> met material<strong>en</strong> <strong>en</strong> modell<strong>en</strong> De<br />
<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de algem<strong>en</strong>e adviez<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> hierbij van di<strong>en</strong>st zijn<br />
- Breid de instructietijd zodanig uit dat er <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de geleg<strong>en</strong>heid is om aanvull<strong>en</strong>de, specifieke<br />
instructie te gev<strong>en</strong>, afgestemd op de individuele leerling<br />
- Zorg <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> cultuur waarin het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is <strong>en</strong> het koppel<strong>en</strong> van het informele<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> aan het formele rek<strong>en</strong><strong>en</strong> e<strong>en</strong> vanzelfsprek<strong>en</strong>d onderdeel is<br />
- B<strong>en</strong>ut concrete ervaring<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> toepassing<strong>en</strong> in andere vakk<strong>en</strong> als context<strong>en</strong><br />
- Zorg <strong>vo</strong>or <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de tijd <strong>en</strong> rust zodat de leerling<strong>en</strong> e<strong>en</strong> nieuw onderwerp in de vingers<br />
kunn<strong>en</strong> krijg<strong>en</strong> Belangrijk is dat leerling<strong>en</strong> hierbij red<strong>en</strong>er<strong>en</strong>, (aan elkaar) uitlegg<strong>en</strong>, fout<strong>en</strong><br />
durv<strong>en</strong> mak<strong>en</strong>, afwissel<strong>en</strong>d alle<strong>en</strong> <strong>en</strong> in tweetall<strong>en</strong>/groepjes werk<strong>en</strong>, zelfstandig nad<strong>en</strong>k<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> ook zelf oplossing<strong>en</strong> bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong><br />
- Besteed zorgvuldig aandacht aan rek<strong>en</strong>taal Laat de leerling<strong>en</strong> vertell<strong>en</strong>/verwoord<strong>en</strong> in<br />
combinatie met do<strong>en</strong>, tek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> schematiser<strong>en</strong> (visualiser<strong>en</strong>/<strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong>) Dit gebeurt in<br />
gesprek met de leraar <strong>en</strong> medeleerling<strong>en</strong> Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> belang bij e<strong>en</strong>duidig<br />
taalgebruik; gebruik steeds dezelfde omschrijving van e<strong>en</strong>zelfde begrip<br />
- Wees uitnodig<strong>en</strong>d, bevrag<strong>en</strong>d <strong>en</strong> spiegel<strong>en</strong>d Stimuleer de leerling, opper mogelijke procedures<br />
die aansluit<strong>en</strong> bij wat hij al weet <strong>en</strong> help hem nieuwe procedures ontdekk<strong>en</strong> Kan het<br />
ook anders?<br />
- Maak gebruik van aanknopingspunt<strong>en</strong> die rek<strong>en</strong>boek<strong>en</strong> bied<strong>en</strong> bij bepaalde activiteit<strong>en</strong><br />
- Besteed aandacht aan het associatief oef<strong>en</strong><strong>en</strong> Laat de leerling <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d de sam<strong>en</strong>hang<br />
tuss<strong>en</strong> de verschill<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> <strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> Bij<strong>vo</strong>orbeeld de<br />
sam<strong>en</strong>hang tuss<strong>en</strong> breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> Wet<strong>en</strong> dat 3 _ 4 hetzelfde is als<br />
0,75 of 75% Hierdoor ontwikkel<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> steeds weer betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle associatieve getall<strong>en</strong>netwerk<strong>en</strong><br />
• Houd er rek<strong>en</strong>ing mee dat bij de begeleiding van rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> verbetering van hun<br />
begrips<strong>vo</strong>rming altijd aandacht nodig heeft Dit geldt zowel <strong>vo</strong>or de betek<strong>en</strong>isverl<strong>en</strong>ing als <strong>vo</strong>or<br />
het ontwikkel<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> het gebruik van rek<strong>en</strong>taal
hoofdstuk 6 Hoofdlijn 1: verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming<br />
• Besteed gericht aandacht aan het onthoud<strong>en</strong> van informatie tijd<strong>en</strong>s de verk<strong>en</strong>ning van nieuwe<br />
onderwerp<strong>en</strong> Sluit aan bij de <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis van de leerling<strong>en</strong>, maar laat h<strong>en</strong> die wel eerst zelf<br />
activer<strong>en</strong> Oef<strong>en</strong> met het bewust b<strong>en</strong>oem<strong>en</strong> van de sam<strong>en</strong>hang tuss<strong>en</strong> de verschill<strong>en</strong>de concept<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> laat hiermee ook associatief oef<strong>en</strong><strong>en</strong> Hierbij gaat het met name om de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de punt<strong>en</strong>:<br />
- Het verwerv<strong>en</strong> van inzicht in getalstructur<strong>en</strong>, eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> van getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> de basisbewerking<strong>en</strong>,<br />
procedures van de basisbewerking<strong>en</strong> cijfer<strong>en</strong>d optell<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> del<strong>en</strong>, breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> decimale getall<strong>en</strong>, verhouding<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>, het metriek<br />
stelsel, het bepal<strong>en</strong> van refer<strong>en</strong>tiepunt<strong>en</strong> bij schatt<strong>en</strong>d rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
- Het verwerv<strong>en</strong> van inzicht in de sam<strong>en</strong>hang daartuss<strong>en</strong>, bij<strong>vo</strong>orbeeld tuss<strong>en</strong> de basisbewerking<strong>en</strong><br />
onderling, verhouding<strong>en</strong>, breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>, de maate<strong>en</strong>hed<strong>en</strong><br />
binn<strong>en</strong> het metriek stelsel<br />
103
7 Hoofdlijn 2:<br />
verder ontwikkel<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van<br />
oplossingsprocedures
Goede oplossingsprocedures <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> de basis van goede rek<strong>en</strong>vaardigheid.<br />
7
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
7.1 Oplossingsprocedures<br />
106<br />
De eerste Hoofdlijn (zie afbeelding 52) bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is aan rek<strong>en</strong>situaties<br />
<strong>en</strong> de conceptontwikkeling In de schoolsituatie gebeurt dat door te werk<strong>en</strong> met ‘context<strong>en</strong>’<br />
Context<strong>en</strong> bied<strong>en</strong> de leerling de mogelijkheid om oplossingsprocedures te ontwikkel<strong>en</strong> die<br />
gebaseerd zijn op begrip Daardoor krijgt het formele rek<strong>en</strong><strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is <strong>vo</strong>or de leerling<strong>en</strong><br />
Context<strong>en</strong> verbind<strong>en</strong> de eerste Hoofdlijn met de tweede De tweede Hoofdlijn is het (verder) ontwikkel<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van oplossingsprocedures De oplossingsprocedures waar het hier om<br />
gaat zijn:<br />
• basisbewerking<strong>en</strong>;<br />
• complexere bewerking<strong>en</strong>;<br />
• hoofdrek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op papier;<br />
• schatt<strong>en</strong> <strong>en</strong> precies rek<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• werk<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>machine <strong>en</strong> met e<strong>en</strong> spreadsheet<br />
Het beheers<strong>en</strong> van de basisbewerking<strong>en</strong> (tell<strong>en</strong>, optell<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> <strong>en</strong> del<strong>en</strong>) is<br />
<strong>vo</strong>orwaarde <strong>vo</strong>or het kunn<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van alle berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> Na de basisbewerking<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> de<br />
(complexere) bewerking<strong>en</strong> met verhouding<strong>en</strong>, breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> <strong>en</strong> berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong><br />
met tijd, geld <strong>en</strong> maate<strong>en</strong>hed<strong>en</strong> Veel rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> bestaan uit sam<strong>en</strong>gestelde bewerking<strong>en</strong><br />
waarbij leerling<strong>en</strong> meer d<strong>en</strong>kstapp<strong>en</strong> <strong>en</strong> handeling<strong>en</strong> moet<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van bewerking<strong>en</strong> op papier onderscheid<strong>en</strong> we <strong>en</strong>erzijds het gebruik mak<strong>en</strong> van<br />
standaardalgoritmes <strong>en</strong> anderzijds het ‘handig rek<strong>en</strong><strong>en</strong>’ Bij handig rek<strong>en</strong><strong>en</strong> bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong><br />
zelf berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> bij rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> zij deze op e<strong>en</strong> eig<strong>en</strong> wijze uit Bij e<strong>en</strong><br />
goede rek<strong>en</strong>vaardigheid is het handig rek<strong>en</strong><strong>en</strong> gebaseerd op k<strong>en</strong>nis van eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> van <strong>en</strong> inzicht<br />
in relaties tuss<strong>en</strong> getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong><br />
Bij alle bewerking<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> we onderscheid tuss<strong>en</strong> schatt<strong>en</strong> <strong>en</strong> precies rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met<br />
mooie getall<strong>en</strong> is de basis <strong>vo</strong>or schatt<strong>en</strong>d rek<strong>en</strong><strong>en</strong> In het dagelijks lev<strong>en</strong> zijn verschill<strong>en</strong>de situaties<br />
d<strong>en</strong>kbaar waarin schatt<strong>en</strong>d rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de is, zoals tijd<strong>en</strong>s het winkel<strong>en</strong> overzi<strong>en</strong> of je<br />
g<strong>en</strong>oeg geld bij je hebt om de boodschapp<strong>en</strong> in je winkelwag<strong>en</strong> te betal<strong>en</strong> Dit schatt<strong>en</strong>d rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
do<strong>en</strong> we meestal uit ons hoofd<br />
Bewerking<strong>en</strong> op papier zijn meestal bedoeld <strong>vo</strong>or het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van precieze berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> Hierbij<br />
is het van belang dat we e<strong>en</strong> bewerking kiez<strong>en</strong> waarvan we van te<strong>vo</strong>r<strong>en</strong> wet<strong>en</strong> dat het antwoord gaat<br />
klopp<strong>en</strong> als we de berek<strong>en</strong>ing goed uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Soms is daar<strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> algoritme de juiste keuze In<br />
e<strong>en</strong> andere situatie kan het zijn dat handig rek<strong>en</strong><strong>en</strong> tot e<strong>en</strong> snel <strong>en</strong> goed antwoord leidt<br />
Naast het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> uit het hoofd <strong>en</strong> op papier is het ook van belang dat de leerling e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>machine<br />
kan gebruik<strong>en</strong> bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van bewerking<strong>en</strong> Ook kan de leraar overweg<strong>en</strong> om leerling<strong>en</strong><br />
met e<strong>en</strong> spreadsheet te lat<strong>en</strong> werk<strong>en</strong> Dit doet e<strong>en</strong> beroep op goed ontwikkelde rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> leidt tot werkelijke verdieping van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> In ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo zijn<br />
leerling<strong>en</strong> zeker in staat om hiermee aan de slag te gaan
hoofdstuk 7 Hoofdlijn 2: verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van oplossingsprocedures<br />
7.2 Basisbewerking<strong>en</strong><br />
De basisbewerking<strong>en</strong> van oplossingsprocedures bestaan uit tell<strong>en</strong>, optell<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> del<strong>en</strong> K<strong>en</strong>nis van <strong>en</strong> inzicht in het ti<strong>en</strong>tallig stelsel (e<strong>en</strong>hed<strong>en</strong>, ti<strong>en</strong>tall<strong>en</strong>, honderdtall<strong>en</strong>,<br />
duiz<strong>en</strong>dtall<strong>en</strong> <strong>en</strong>zo<strong>vo</strong>ort) is <strong>vo</strong>orwaarde om de basisbewerking<strong>en</strong> te kunn<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Alle<br />
leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> hiermee ler<strong>en</strong> werk<strong>en</strong> in het basisonderwijs In het <strong>vo</strong> wordt ervan uitgegaan<br />
dat leerling<strong>en</strong> de waarde van de cijfers in e<strong>en</strong> getal kunn<strong>en</strong> b<strong>en</strong>oem<strong>en</strong> Zij begrijp<strong>en</strong> wat er gebeurt<br />
als getall<strong>en</strong> word<strong>en</strong> opgeteld, afgetrokk<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldigd of gedeeld Tev<strong>en</strong>s wordt verondersteld<br />
dat zij vlot kunn<strong>en</strong> tell<strong>en</strong> vanaf elk willekeurig getal De betere leerling<strong>en</strong> beschikk<strong>en</strong> meestal<br />
over e<strong>en</strong> goede k<strong>en</strong>nis van het getall<strong>en</strong>systeem Zij beheers<strong>en</strong> de basisbewerking<strong>en</strong> Voor h<strong>en</strong> is<br />
het <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de om de basisbewerking<strong>en</strong> te consolider<strong>en</strong> <strong>en</strong> te onderhoud<strong>en</strong><br />
107<br />
k ERn<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> over het algeme<strong>en</strong> nog veel behoefte aan visuele ondersteuning<br />
bij het formele rek<strong>en</strong><strong>en</strong>. Zij hebb<strong>en</strong> vaak nog on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de inzicht ontwikkeld in<br />
het getall<strong>en</strong>systeem, met name bij het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met getall<strong>en</strong> bov<strong>en</strong> de honderd <strong>en</strong> duiz<strong>en</strong>d.<br />
Zij hebb<strong>en</strong> hierdoor e<strong>en</strong> zwak fundam<strong>en</strong>t <strong>vo</strong>or het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van de basisbewerking<strong>en</strong>.<br />
Leerling<strong>en</strong> die de structuur van getall<strong>en</strong> niet begrijp<strong>en</strong>, kunn<strong>en</strong> moeite hebb<strong>en</strong> met het<br />
uitsprek<strong>en</strong> <strong>en</strong> schrijv<strong>en</strong> van grotere getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> met het mak<strong>en</strong> van berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong>. E<strong>en</strong><br />
getal als ti<strong>en</strong>duiz<strong>en</strong>d vier<strong>en</strong>twintig, bij<strong>vo</strong>orbeeld, schrijv<strong>en</strong> zij als 1024 in plaats van<br />
10.024. Het HTE-model (honderdtall<strong>en</strong>, ti<strong>en</strong>tall<strong>en</strong>, e<strong>en</strong>hed<strong>en</strong>) <strong>en</strong> de daarop aansluit<strong>en</strong>de<br />
ver<strong>vo</strong>lgmodell<strong>en</strong> zoals het DHTE- <strong>en</strong> het TDHTE-model kunn<strong>en</strong> ondersteuning bied<strong>en</strong><br />
bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van bewerking<strong>en</strong>. De leraar kan deze modell<strong>en</strong> ook gebruik<strong>en</strong> bij<br />
optell<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong> <strong>en</strong> verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong>.<br />
HTE-model <strong>en</strong> DHTE-model<br />
H T E D H T E<br />
321 4321<br />
3 0 0 4 0 0 0<br />
2 0 3 0 0<br />
1 2 0<br />
1<br />
Afbeelding 7.1 HTE-model <strong>en</strong> DHTE-model<br />
Als de leerling de basisbewerking<strong>en</strong> on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de beheerst, wordt ook het ler<strong>en</strong> <strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong><br />
van de tafels problematisch. Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> ton<strong>en</strong> soms gebrekkige<br />
k<strong>en</strong>nis van de tafels.
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> vaak fragm<strong>en</strong>tarische k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> gebrekkige oplossingsprocedures<br />
ontwikkeld. Daardoor miss<strong>en</strong> zij de basis <strong>en</strong> word<strong>en</strong> zij min of meer geforceerd<br />
om zonder inzicht op e<strong>en</strong> formeel niveau te werk<strong>en</strong>. Wanneer zij prober<strong>en</strong> om<br />
onbegrep<strong>en</strong> procedures uit te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong>, gaan zij goochel<strong>en</strong> met getall<strong>en</strong>. Dit levert e<strong>en</strong><br />
grote belasting van het geheug<strong>en</strong> op, waardoor verwarring kan ontstaan.<br />
108<br />
E<strong>en</strong> gebrekkige beheersing van de basisbewerking<strong>en</strong> kan leid<strong>en</strong> tot e<strong>en</strong> stagner<strong>en</strong>de ontwikkeling<br />
van het rek<strong>en</strong><strong>en</strong>.<br />
7.3 Complexere bewerking<strong>en</strong><br />
Beheersing van de basisbewerking<strong>en</strong> is <strong>vo</strong>orwaarde om complexere bewerking<strong>en</strong> uit te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Complexere bewerking<strong>en</strong> bestaan uit onderlinge combinaties van basisbewerking<strong>en</strong> Dit kunn<strong>en</strong><br />
bij<strong>vo</strong>orbeeld combinaties zijn van basisbewerking<strong>en</strong> met bewerking<strong>en</strong> uit de domein<strong>en</strong> verhouding<strong>en</strong>,<br />
met<strong>en</strong> <strong>en</strong> meetkunde <strong>en</strong> tot slot verband<strong>en</strong> Hierbij gaat het met name om berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong><br />
met breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> <strong>en</strong> om schaalberek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> K<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> begrip van verhouding<strong>en</strong>taal<br />
is hierbij <strong>vo</strong>orwaardelijk, bij<strong>vo</strong>orbeeld het verschil wet<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> één op de vier <strong>en</strong><br />
één op vier<br />
Bij breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> decimale getall<strong>en</strong> gaat het om het verwerv<strong>en</strong> van inzicht in <strong>en</strong> het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met<br />
kernbegripp<strong>en</strong> als de helft, e<strong>en</strong> kwart, e<strong>en</strong> ti<strong>en</strong>de, e<strong>en</strong> vijfde, e<strong>en</strong> derde Dit gebeurt in het basisonderwijs<br />
op informele wijze <strong>en</strong> met ondersteuning van afbeelding<strong>en</strong> <strong>en</strong> d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> In het <strong>vo</strong> is<br />
herhaling hiervan nog vaak gew<strong>en</strong>st <strong>en</strong> soms noodzakelijk<br />
Het verwerv<strong>en</strong> van inzicht in decimale getall<strong>en</strong>, bij<strong>vo</strong>orbeeld, wordt meestal gekoppeld aan het<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met geld <strong>en</strong> aan met<strong>en</strong> Het is niet vanzelfsprek<strong>en</strong>d dat de leerling tegelijkertijd ook de<br />
sam<strong>en</strong>hang met breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> leert begrijp<strong>en</strong> De leraar moet die sam<strong>en</strong>hang steeds blijv<strong>en</strong><br />
b<strong>en</strong>adrukk<strong>en</strong> De leerling weet bij<strong>vo</strong>orbeeld dat e<strong>en</strong> halve euro hetzelfde is als 50 c<strong>en</strong>t <strong>en</strong> dat<br />
je dat schrijft als € 0,50 Zo ook dat 10 c<strong>en</strong>t geschrev<strong>en</strong> wordt als € 0,10 <strong>en</strong> dat dit e<strong>en</strong> ti<strong>en</strong>de deel is<br />
van e<strong>en</strong> euro De leerling leert ook dat 1_<br />
10<br />
deel hetzelfde is als 10% van iets Bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van<br />
berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> op de rek<strong>en</strong>machine kan de leerling hierbij verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> met decimale getall<strong>en</strong>,<br />
bij<strong>vo</strong>orbeeld 010 keer e<strong>en</strong> getal om e<strong>en</strong> perc<strong>en</strong>tage van 10% uit te rek<strong>en</strong><strong>en</strong> of 09 keer e<strong>en</strong><br />
bedrag om e<strong>en</strong> prijs met e<strong>en</strong> korting van 10% uit te rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van bewerking<strong>en</strong> met breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> kan alle<strong>en</strong> tot goede<br />
resultat<strong>en</strong> leid<strong>en</strong> als leerling<strong>en</strong> ook echt inzicht hebb<strong>en</strong> in deze concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> de onderlinge sam<strong>en</strong>hang<br />
doorzi<strong>en</strong><br />
Bij het domein met<strong>en</strong> <strong>en</strong> meetkunde is het van belang dat leerling<strong>en</strong> zelf <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de experim<strong>en</strong>ter<strong>en</strong><br />
met l<strong>en</strong>gte, gewicht <strong>en</strong> inhoud Zij ler<strong>en</strong> mat<strong>en</strong> aflez<strong>en</strong>, b<strong>en</strong>oem<strong>en</strong> <strong>en</strong> vergelijk<strong>en</strong> <strong>en</strong> kunn<strong>en</strong><br />
berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> met mat<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Zij rak<strong>en</strong> zo steeds beter vertrouwd met met<strong>en</strong> <strong>en</strong> mat<strong>en</strong> Het<br />
metriek stelsel blijkt <strong>vo</strong>or veel leerling<strong>en</strong> e<strong>en</strong> ingewikkeld systeem te zijn Bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met mat<strong>en</strong><br />
kom<strong>en</strong> ook complexere berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> aan de orde, zoals het berek<strong>en</strong><strong>en</strong> van omtrek <strong>en</strong> oppervlakte,<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met schaal, rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met inhoud <strong>en</strong> <strong>vo</strong>lume Veel leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> hier nog veel moeite<br />
mee Ook het omrek<strong>en</strong><strong>en</strong> van mat<strong>en</strong> vraagt blijv<strong>en</strong>d onderhoud D<strong>en</strong>k bij<strong>vo</strong>orbeeld aan het omrek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
van kilometers naar meters <strong>en</strong> omgekeerd, of van c<strong>en</strong>tiliters naar liters Dit geldt ook <strong>vo</strong>or<br />
het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met geld <strong>en</strong> tijd
hoofdstuk 7 Hoofdlijn 2: verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van oplossingsprocedures<br />
K<strong>en</strong>nis van <strong>en</strong> ge<strong>vo</strong>el <strong>vo</strong>or refer<strong>en</strong>tiemat<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> de leerling help<strong>en</strong> bij het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met mat<strong>en</strong><br />
Wet<strong>en</strong> dat e<strong>en</strong> liter water of e<strong>en</strong> liter melk in e<strong>en</strong> melkpak van 1 liter (1000 ml) past <strong>en</strong> dat dit e<strong>en</strong><br />
kilo (= 1000 gram) weegt Verbinding<strong>en</strong> legg<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> e<strong>en</strong> halve kilo <strong>en</strong> e<strong>en</strong> halve liter<br />
Ook wet<strong>en</strong> dat e<strong>en</strong> kilometer ev<strong>en</strong> lang is als 1000 meter <strong>en</strong> dat e<strong>en</strong> deur ongeveer 2 meter hoog<br />
is<br />
k ERn<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
Met name <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> is het van belang om e<strong>en</strong> zorgvuldig uitgelijnd<br />
programma aan te bied<strong>en</strong> waarbij zij systematisch k<strong>en</strong>nismak<strong>en</strong> <strong>en</strong> ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met de<br />
basisk<strong>en</strong>nis binn<strong>en</strong> het domein verhouding<strong>en</strong> <strong>en</strong> het domein met<strong>en</strong> <strong>en</strong> meetkunde.<br />
109<br />
Voldo<strong>en</strong>de aandacht <strong>en</strong> tijd <strong>vo</strong>or conceptontwikkeling is <strong>vo</strong>orwaarde om complexere berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong><br />
op het terrein van breuk<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>, verhouding<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> met<strong>en</strong> te kunn<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Het ler<strong>en</strong> van oplossingsprocedures bij complexere bewerking<strong>en</strong> vraagt veel zorgvuldige<br />
aandacht <strong>en</strong> kost tijd<br />
7.4 Hoofdrek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op papier<br />
Alle leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> in het basisonderwijs ler<strong>en</strong> hoofdrek<strong>en</strong><strong>en</strong> Deze vaardigheid is van belang<br />
bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van snelle berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> in dagelijkse situaties, met name met mooie getall<strong>en</strong><br />
Hierbij is veel aandacht besteed aan het kunn<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> van eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> van getall<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
bewerking<strong>en</strong> <strong>en</strong> van relaties tuss<strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong> Dit leidt tot handig rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Zie bij<strong>vo</strong>orbeeld afbeelding<strong>en</strong><br />
72 <strong>en</strong> 73<br />
8x250 = 4x500 = 2x1000 = 2000<br />
Afbeelding 7.2 Verdubbel<strong>en</strong> <strong>en</strong> halver<strong>en</strong><br />
Getall<strong>en</strong> die eindig<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> 0 of e<strong>en</strong> 5 zijn altijd deelbaar door 5.<br />
Als je e<strong>en</strong> getal met 5 verm<strong>en</strong>igvuldigt, eindigt de uitkomst altijd op e<strong>en</strong> 0 of e<strong>en</strong> 5.<br />
Bij het verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> van onev<strong>en</strong> getall<strong>en</strong> met 5 eindigt de uitkomst altijd op e<strong>en</strong> 5.<br />
Bij het verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> van ev<strong>en</strong> getall<strong>en</strong> met 5 eindigt de uitkomst altijd op e<strong>en</strong> 0 (e<strong>en</strong> ti<strong>en</strong>tal).<br />
Bij de ev<strong>en</strong> getall<strong>en</strong> die word<strong>en</strong> verm<strong>en</strong>igvuldigd met e<strong>en</strong> 3 (3, 13, 23, 33 <strong>en</strong>zo<strong>vo</strong>ort)<br />
is de uitkomst altijd e<strong>en</strong> ev<strong>en</strong> getal.<br />
Bij de onev<strong>en</strong> getall<strong>en</strong> die word<strong>en</strong> verm<strong>en</strong>igvuldigd met e<strong>en</strong> 3 (3, 13, 23, 33 <strong>en</strong>zo<strong>vo</strong>ort)<br />
is de uitkomst altijd e<strong>en</strong> onev<strong>en</strong> getal.<br />
De regel hierbij is:<br />
ev<strong>en</strong> x ev<strong>en</strong> = ev<strong>en</strong><br />
onev<strong>en</strong> x onev<strong>en</strong> = onev<strong>en</strong><br />
ev<strong>en</strong> x onev<strong>en</strong> = ev<strong>en</strong><br />
Afbeelding 7.3 Eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> van bewerking<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Bij het hoofdrek<strong>en</strong><strong>en</strong> met grotere getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> complexere bewerking<strong>en</strong> mog<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> e<strong>en</strong> kladblaadje<br />
gebruik<strong>en</strong> Verondersteld wordt dat e<strong>en</strong> leerling bewerking<strong>en</strong> als 5x125 uit het hoofd kan<br />
uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> Hierbij kan hij tuss<strong>en</strong>stapp<strong>en</strong> onthoud<strong>en</strong> of ev<strong>en</strong> noter<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> kladblaadje, bij<strong>vo</strong>orbeeld:<br />
500+125 of 250+250+125<br />
110<br />
Daarnaast heeft de leerling geleerd om bewerking<strong>en</strong> op papier uit te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Dit kan op basis van<br />
standaardprocedures <strong>en</strong> algoritmes (cijfer<strong>en</strong>d optell<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> <strong>en</strong> del<strong>en</strong>) of<br />
aan de hand van vrije bewerking<strong>en</strong> Cijfer<strong>en</strong> wordt uitge<strong>vo</strong>erd met behulp van algoritmes E<strong>en</strong> algoritme<br />
is e<strong>en</strong> vaste procedure die altijd leidt tot de juiste oplossing De stapp<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> e<strong>en</strong> algoritme<br />
word<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> vaste <strong>vo</strong>lgorde uitge<strong>vo</strong>erd<br />
Bij het traditionele cijfer<strong>en</strong> <strong>en</strong> ook bij het kolomsgewijs cijfer<strong>en</strong> blijft inzicht e<strong>en</strong> noodzakelijke<br />
basis E<strong>en</strong> belangrijk aanknopingspunt is dat de leerling kan vertell<strong>en</strong> wat er gebeurt tijd<strong>en</strong>s het<br />
uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van het algoritme Welke stapp<strong>en</strong> neemt hij <strong>en</strong> waarom?<br />
Goed uitge<strong>vo</strong>erde algoritmes zijn efficiënt omdat ze leid<strong>en</strong> tot het juiste antwoord Onbegrep<strong>en</strong><br />
algoritmes zijn foutge<strong>vo</strong>elig <strong>en</strong> do<strong>en</strong> e<strong>en</strong> groot beroep op het geheug<strong>en</strong><br />
Van belang is bij<strong>vo</strong>orbeeld dat de leerling doorziet dat er bij e<strong>en</strong> staartdeling helemaal niet wordt<br />
gedeeld Het grootste getal wordt wel gedeeld door het kleinste getal (de deler) of omgekeerd, maar<br />
de uit<strong>vo</strong>ering van de procedure bestaat alle<strong>en</strong> uit verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> <strong>en</strong> aftrekk<strong>en</strong><br />
Staartdeling<br />
3704:8 =<br />
Lange staart Korte staart Traditionele staartdeling<br />
8 3704<br />
3200<br />
504<br />
400<br />
104<br />
80<br />
24<br />
24<br />
0<br />
400<br />
50<br />
10<br />
3<br />
463<br />
+<br />
8 3704<br />
3200<br />
504<br />
480<br />
24<br />
24<br />
0<br />
400<br />
60<br />
3 +<br />
463<br />
8 3704 463<br />
32<br />
350<br />
348<br />
24<br />
24<br />
0<br />
Afbeelding 7.4 Staartdeling<br />
De betere leerling zal deze procedures beheers<strong>en</strong> De vaardigheid bij zowel het hoofdrek<strong>en</strong><strong>en</strong> als<br />
het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op papier vraagt om blijv<strong>en</strong>d oef<strong>en</strong><strong>en</strong>, onderhoud<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> Dat geldt <strong>vo</strong>or<br />
alle leerling<strong>en</strong> Daarnaast kunn<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> bij complexere bewerking<strong>en</strong> ter ondersteuning e<strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong>machine gebruik<strong>en</strong> (zie paragraaf 76)
hoofdstuk 7 Hoofdlijn 2: verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van oplossingsprocedures<br />
k ERn<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
Voor rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> kan hoofdrek<strong>en</strong><strong>en</strong> e<strong>en</strong> groot probleem zijn. Leerling<strong>en</strong> die<br />
on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de vertrouwd zijn met het getall<strong>en</strong>systeem <strong>en</strong> die de basisbewerking<strong>en</strong> on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de<br />
beheers<strong>en</strong>, kunn<strong>en</strong> onzeker rak<strong>en</strong>. Voor h<strong>en</strong> is e<strong>en</strong> kladblaadje altijd w<strong>en</strong>selijk.<br />
Hiermee hangt sam<strong>en</strong> dat rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> met het verwerv<strong>en</strong><br />
van complexe procedures zoals algoritmes. Zij lop<strong>en</strong> vast bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> daarvan. Voor<br />
h<strong>en</strong> kan de rek<strong>en</strong>machine e<strong>en</strong> goed alternatief zijn. Toch is het raadzaam om ook de rek<strong>en</strong>zwakke<br />
leerling<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oral bij bewerking<strong>en</strong> met ‘mooie getall<strong>en</strong>’ eerst uit het hoofd of<br />
op papier te lat<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> daarna hun berek<strong>en</strong>ing te lat<strong>en</strong> controler<strong>en</strong> met de rek<strong>en</strong>machine.<br />
111<br />
7.5 Schatt<strong>en</strong> <strong>en</strong> precies rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Goede rek<strong>en</strong>aars zijn in staat om in e<strong>en</strong> situatie te bepal<strong>en</strong> of zij e<strong>en</strong> precieze berek<strong>en</strong>ing moet<strong>en</strong><br />
uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> of dat e<strong>en</strong> schatting <strong>vo</strong>ldoet Schatt<strong>en</strong>d rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is ook van belang om te kunn<strong>en</strong> bepal<strong>en</strong><br />
of e<strong>en</strong> precieze berek<strong>en</strong>ing tot de juiste uitkomst heeft geleid Goed kunn<strong>en</strong> schatt<strong>en</strong> is echter niet<br />
hetzelfde als rad<strong>en</strong> E<strong>en</strong> goede schatting is gebaseerd op k<strong>en</strong>nis van eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> van getall<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
bewerking<strong>en</strong> <strong>en</strong> op refer<strong>en</strong>tiepunt<strong>en</strong> <strong>en</strong> refer<strong>en</strong>tiemat<strong>en</strong> Zie bij<strong>vo</strong>orbeeld afbeelding<strong>en</strong> 72 <strong>en</strong> 73<br />
Hier<strong>vo</strong>or is het nodig dat leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met mooie ronde getall<strong>en</strong>, afrond<strong>en</strong>, verdubbel<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> halver<strong>en</strong>, tweelingsomm<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> (4x6 = 6x4), verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> factor 10 <strong>en</strong>zo<strong>vo</strong>ort<br />
Zij kunn<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> situatie waarin geschat moet word<strong>en</strong> snel bepal<strong>en</strong> welke refer<strong>en</strong>tiepunt<strong>en</strong><br />
zij nodig hebb<strong>en</strong> <strong>en</strong> welke berek<strong>en</strong>ing daarbij past<br />
k ERn<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
Voor rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> is schatt<strong>en</strong>d rek<strong>en</strong><strong>en</strong> e<strong>en</strong> groot probleem. Door hun gebrekkige<br />
k<strong>en</strong>nis van het getall<strong>en</strong>systeem <strong>en</strong> on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de beheersing van de basisbewerking<strong>en</strong><br />
is het <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> haast ondo<strong>en</strong>lijk om op adequate wijze e<strong>en</strong> schatting te mak<strong>en</strong>.<br />
Alle<strong>en</strong> bij e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udige bewerking<strong>en</strong> zoals optell<strong>en</strong> van twee getall<strong>en</strong> die mooi kunn<strong>en</strong><br />
word<strong>en</strong> afgerond, bij<strong>vo</strong>orbeeld 96+196, is e<strong>en</strong> schatting op basis van afrond<strong>en</strong> nog te<br />
overzi<strong>en</strong>. Afrond<strong>en</strong> op honderdtall<strong>en</strong> of ti<strong>en</strong>tall<strong>en</strong> lukt nog wel. Bij complexere bewerking<strong>en</strong><br />
zull<strong>en</strong> deze leerling<strong>en</strong> meer baat hebb<strong>en</strong> bij precieze berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> of e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>machine.<br />
7.6 Werk<strong>en</strong> met de rek<strong>en</strong>machine<br />
Voor het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van complexere bewerking<strong>en</strong> zijn veel leerling<strong>en</strong> gebaat bij het goed kunn<strong>en</strong><br />
inzett<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>machine Om het trucmatig handel<strong>en</strong> te <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> is het van belang dat de<br />
leraar <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d koppeling<strong>en</strong> legt met hoofdrek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> met bewerking<strong>en</strong> op papier Daarbij<br />
doet hij e<strong>en</strong> beroep op onderligg<strong>en</strong>d inzicht in oplossingsprocedures Zonder dit inzicht is het niet<br />
mogelijk zin<strong>vo</strong>l <strong>en</strong> effectief gebruik te mak<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>machine<br />
Het gebruik<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>machine is <strong>vo</strong>or de meeste leerling<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oral e<strong>en</strong> hulpmiddel <strong>vo</strong>or:<br />
• het controler<strong>en</strong> van berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> op papier <strong>en</strong> uit het hoofd;<br />
• het snel <strong>en</strong> met inzicht kunn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van complexere berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met lastige getall<strong>en</strong>, <strong>vo</strong>oral in functionele<br />
situaties;
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
• het comp<strong>en</strong>ser<strong>en</strong> van on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de beheerste oplossingsprocedures;<br />
• het controler<strong>en</strong> van schatting<strong>en</strong><br />
Berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> met de rek<strong>en</strong>machine gaat vaak ook veel sneller dan het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van<br />
berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> op papier of uit het hoofd De uitkomst<strong>en</strong> zijn ook betrouwbaar, mits de leerling de<br />
handeling<strong>en</strong> goed weet uit te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
112<br />
Om effectief <strong>en</strong> adequaat gebruik te kunn<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>machine is beheersing van de<br />
basisbewerking<strong>en</strong> noodzakelijk Het gebruik<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>machine zonder elem<strong>en</strong>taire k<strong>en</strong>nis<br />
van de onderligg<strong>en</strong>de principes, rek<strong>en</strong>regels <strong>en</strong> basisbewerking<strong>en</strong>, kan leid<strong>en</strong> tot trucmatig<br />
h andel<strong>en</strong><br />
k ERn<br />
Elem<strong>en</strong>taire rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis<br />
Met elem<strong>en</strong>taire rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis wordt, conform c<strong>en</strong>trale richtinggev<strong>en</strong>de docum<strong>en</strong>t<strong>en</strong> zoals<br />
de kerndoel<strong>en</strong>, TAL, TULE <strong>en</strong> het Refer<strong>en</strong>tiekader Rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, bedoeld:<br />
1. begrip van getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong>;<br />
2. basisk<strong>en</strong>nis t<strong>en</strong> aanzi<strong>en</strong> van elem<strong>en</strong>taire rek<strong>en</strong>feit<strong>en</strong> <strong>en</strong> hoofdrek<strong>en</strong>strategieën in het<br />
getall<strong>en</strong>gebied tot 100 <strong>en</strong> daarbov<strong>en</strong>;<br />
3. k<strong>en</strong>nis van rek<strong>en</strong>procedures op papier (cijfermatig of minder verkorte <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> daarvan)<br />
<strong>vo</strong>or gehele getall<strong>en</strong>, <strong>en</strong> <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udige kommagetall<strong>en</strong>, breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>;<br />
4. k<strong>en</strong>nis van schatstrategieën, werkwijz<strong>en</strong> bij het afrond<strong>en</strong> van getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> procedures<br />
om de <strong>en</strong>e getalsoort (breuk<strong>en</strong>) om te zett<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> andere (decimale getall<strong>en</strong>).<br />
Dit alles geldt zowel met betrekking tot kale opgav<strong>en</strong> als toepassingssituaties.<br />
Geciteerd naar SLO (2012, p. 6).<br />
Bij het uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> van bij<strong>vo</strong>orbeeld 10% korting met behulp van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>machine heeft de leerling<br />
inzicht in het begrip korting <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> Hij kan uit zijn hoofd of op papier met mooie<br />
perc<strong>en</strong>tages rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (bij<strong>vo</strong>orbeeld 10%, 20%, 50%, 25%)<br />
De betere leerling<strong>en</strong> zijn in staat om bij<strong>vo</strong>orbeeld 10% korting zelf uit het hoofd of op papier uit te<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> daarna het nieuwe bedrag te berek<strong>en</strong><strong>en</strong> Zij kunn<strong>en</strong> dit do<strong>en</strong> door bij<strong>vo</strong>orbeeld het<br />
bedrag te del<strong>en</strong> door 10 <strong>en</strong> daarna het perc<strong>en</strong>tage (de korting) af te trekk<strong>en</strong> Zij kunn<strong>en</strong> daarbij ter<br />
controle de rek<strong>en</strong>machine gebruik<strong>en</strong><br />
Op de rek<strong>en</strong>machine hoeft de leerling alle<strong>en</strong> maar in te tikk<strong>en</strong>: bedrag – 10% De rek<strong>en</strong>machine<br />
geeft ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s het juiste antwoord Ook kan de berek<strong>en</strong>ing word<strong>en</strong> uitge<strong>vo</strong>erd via de 1%-regel<br />
(del<strong>en</strong> door 100 x perc<strong>en</strong>tage) Daarna <strong>vo</strong>lgt altijd nog de laatste stap <strong>vo</strong>or het bepal<strong>en</strong> van het<br />
juiste antwoord: het aftrekk<strong>en</strong> E<strong>en</strong> andere mogelijkheid is gebruik te mak<strong>en</strong> van decimale getall<strong>en</strong>:<br />
bedrag x 09 Begrijpt de leerling waarom hij hier 09 kan intikk<strong>en</strong>?
hoofdstuk 7 Hoofdlijn 2: verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van oplossingsprocedures<br />
De rek<strong>en</strong>machine be<strong>vo</strong>rdert zo het ‘handig rek<strong>en</strong><strong>en</strong>’ Ook <strong>vo</strong>or complexe berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> kan de leerling<br />
ler<strong>en</strong> om de rek<strong>en</strong>machine verstandig te gebruik<strong>en</strong> Het is niet de bedoeling dat de leerling<br />
klakkeloos alle bewerking<strong>en</strong> met de rek<strong>en</strong>machine gaat uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Het is echter ook niet verstandig<br />
om de leerling te verbied<strong>en</strong> met de rek<strong>en</strong>machine te werk<strong>en</strong> E<strong>en</strong> verstandig gebruik <strong>en</strong> afwissel<strong>en</strong>d<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> uit het hoofd, op papier <strong>en</strong> met de rek<strong>en</strong>machine, of combinaties daarvan, is w<strong>en</strong>selijk<br />
Stimuleer <strong>vo</strong>oral het hoofdrek<strong>en</strong><strong>en</strong> met mooie ronde getall<strong>en</strong>, ook als schatting <strong>vo</strong>orafgaand<br />
aan e<strong>en</strong> precieze berek<strong>en</strong>ing of ter controle van e<strong>en</strong> berek<strong>en</strong>ing<br />
k ERn<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> mog<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>machine gebruik<strong>en</strong> ter comp<strong>en</strong>satie van on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de<br />
beheerste oplossingsprocedures. Dit zijn vaak de leerling<strong>en</strong> die er niet in slag<strong>en</strong><br />
de basisbewerking<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de te automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> te memoriser<strong>en</strong>, zoals bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
de tafels, maar die wel inzicht hebb<strong>en</strong> in rek<strong>en</strong><strong>en</strong>. Het zijn meestal de leerling<strong>en</strong> die e<strong>en</strong><br />
goed begrip hebb<strong>en</strong> van <strong>en</strong> inzicht in bij<strong>vo</strong>orbeeld concept<strong>en</strong> als breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>.<br />
Zij gebruik<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>machine omdat ze niet in staat zijn om berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> op papier of<br />
uit het hoofd foutloos uit te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong>. De rek<strong>en</strong>machine biedt h<strong>en</strong> goede mogelijkhed<strong>en</strong><br />
om toch goed te rek<strong>en</strong><strong>en</strong>. Doordat alle leerling<strong>en</strong> regelmatig met de rek<strong>en</strong>machine werk<strong>en</strong>,<br />
zijn de rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> die de rek<strong>en</strong>machine ter comp<strong>en</strong>satie gebruik<strong>en</strong>,<br />
ge<strong>en</strong> uitzondering in de groep <strong>en</strong> vall<strong>en</strong> zij minder op tijd<strong>en</strong>s de rek<strong>en</strong>les. Dit be<strong>vo</strong>rdert<br />
hun zelfvertrouw<strong>en</strong>.<br />
113<br />
7.7 Signalering bij oplossingsprocedures<br />
S3 – Problem<strong>en</strong> met het verwerv<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van de basisbewerking<strong>en</strong><br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> bouw<strong>en</strong> e<strong>en</strong> zwakke basis op <strong>vo</strong>or het formele rek<strong>en</strong><strong>en</strong> omdat de begrips<strong>vo</strong>rming<br />
gebrekkig verloopt E<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>zwakke leerling blijkt vaak slecht in staat te zijn om oplossingsprocedures<br />
te begrijp<strong>en</strong> Hij ontwikkelt fragm<strong>en</strong>tarische k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> houdt lang vast aan procedures<br />
die ondoelmatig zijn <strong>en</strong> weinig perspectief bied<strong>en</strong>, zoals tell<strong>en</strong> Daardoor ontstaat e<strong>en</strong><br />
gebrekkige basis <strong>vo</strong>or het ler<strong>en</strong> optell<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> <strong>en</strong> del<strong>en</strong><br />
S4 – Problem<strong>en</strong> met het automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> van de tafels<br />
E<strong>en</strong> leerling die de basisbewerking<strong>en</strong> on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de beheerst, valt vaak op doordat hij problem<strong>en</strong><br />
heeft met het onthoud<strong>en</strong> van de tafels Dit belemmert hem bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> Bij<br />
e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>zwakke leerling kan hierdoor de rek<strong>en</strong>ontwikkeling stagner<strong>en</strong><br />
S5 – Problem<strong>en</strong> met het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van complexere bewerking<strong>en</strong><br />
Het verwerv<strong>en</strong> van meer complexe rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> blijkt moeizaam te verlop<strong>en</strong> Rek<strong>en</strong>zwakke<br />
leerling<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> niet of moeizaam tot begrips<strong>vo</strong>rming <strong>en</strong> ontwikkeling van complexere oplossingsprocedures<br />
op het gebied van breuk<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>, verhouding<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
m et<strong>en</strong><br />
S6 – Problem<strong>en</strong> met het verwerv<strong>en</strong> van algoritmes<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> blijk<strong>en</strong> vaak moeite te hebb<strong>en</strong> met het verwerv<strong>en</strong> van de complexe procedures<br />
van algoritmes
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
7.8 Begeleiding bij het verder ontwikkel<strong>en</strong> van oplossingsprocedures<br />
114<br />
Zwakke rek<strong>en</strong>aars hebb<strong>en</strong> goede begeleiding nodig bij het oef<strong>en</strong><strong>en</strong>, onderhoud<strong>en</strong> <strong>en</strong> het verder<br />
ontwikkel<strong>en</strong> van oplossingsprocedures Dit houdt onder meer het <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de in:<br />
• Stimuleer actief ler<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s de instructie<br />
• Stimuleer <strong>en</strong> begeleid het zelfstandig d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> bij oplossingsprocedures<br />
• Structureer gesprekk<strong>en</strong> met <strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> waarin ze aan elkaar kunn<strong>en</strong> uitlegg<strong>en</strong> hoe<br />
ze d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
• Leer de leerling<strong>en</strong> hun aanpak te visualiser<strong>en</strong> met pass<strong>en</strong>d modelmateriaal, bij<strong>vo</strong>orbeeld e<strong>en</strong><br />
verhoudingstabel Dit gebruik<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> om zich bewust te word<strong>en</strong> van hun eig<strong>en</strong> aanpak<br />
<strong>en</strong> om hun uitleg aan ander<strong>en</strong> te ondersteun<strong>en</strong><br />
• Spits de instructie toe op de noodzakelijke onderligg<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> in combinatie met<br />
de beoogde oplossingsprocedures<br />
• Bouw met de instructie <strong>vo</strong>ort op de aanwezige begrep<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> concept<strong>en</strong> van de leerling<br />
• Zorg dat de instructie op het juiste mom<strong>en</strong>t <strong>en</strong> op de juiste manier wordt aangebod<strong>en</strong>
115
8 Hoofdlijn 3:<br />
vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong>
Om vlot te kunn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is regelmatig <strong>en</strong> systematisch oef<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> g ebruik<strong>en</strong><br />
van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> noodzakelijk.<br />
8
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
8.1 Oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Veel leerling<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> hebb<strong>en</strong> al <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de of e<strong>en</strong> goede vaardigheid ontwikkeld Zij kunn<strong>en</strong> vlot<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Deze leerling<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> we met name in de opleiding<strong>en</strong> vmbo-tl, ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo Voor h<strong>en</strong> is<br />
het <strong>vo</strong>oral nodig dat zij hun rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong> Daartoe<br />
is regelmatig oef<strong>en</strong><strong>en</strong> e<strong>en</strong> vereiste<br />
118<br />
Leerling<strong>en</strong> in vmbo-bbl, vmbo-kbl <strong>en</strong> vmbo-gl hebb<strong>en</strong> echter nog veel vaardighed<strong>en</strong> on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de<br />
geautomatiseerd <strong>en</strong> gememoriseerd Ook in vmbo-tl kunn<strong>en</strong> nog leerling<strong>en</strong> zijn met gebrekkige<br />
rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> In het algeme<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> we aannem<strong>en</strong> dat leerling<strong>en</strong> die 1F nog niet hebb<strong>en</strong><br />
gehaald nog veel systematische <strong>en</strong> gerichte oef<strong>en</strong>ing nodig hebb<strong>en</strong> Oef<strong>en</strong>ing is gericht op automatiser<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> van k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> om vlot te ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Er zijn diverse oef<strong>en</strong><strong>vo</strong>rm<strong>en</strong><br />
om de leerling<strong>en</strong> te activer<strong>en</strong> <strong>en</strong> hun motivatie te stimuler<strong>en</strong><br />
Bij oef<strong>en</strong><strong>en</strong> onderscheid<strong>en</strong> wij:<br />
• betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l oef<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• productief oef<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• associatief <strong>en</strong> flexibel oef<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• multi-channel oef<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• effectief oef<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• systematisch oef<strong>en</strong><strong>en</strong>;<br />
• regelmatig oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
8.1.1 Betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Oef<strong>en</strong><strong>en</strong> begint bij het werk<strong>en</strong> met context<strong>en</strong> Context<strong>en</strong> di<strong>en</strong><strong>en</strong> om leerling<strong>en</strong> de brug te lat<strong>en</strong> slaan<br />
naar werkelijkheidssituaties Hierdoor krijgt het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is <strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> oplossingsprocedures<br />
die zij begrijp<strong>en</strong> Als leerling<strong>en</strong> daarbij ook hun eig<strong>en</strong> ervaring<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> inzett<strong>en</strong>,<br />
zull<strong>en</strong> zij beter gemotiveerd zijn <strong>en</strong> begrijp<strong>en</strong> zij het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> ook beter Zij ler<strong>en</strong> daardoor betere <strong>en</strong><br />
snellere oplossingsprocedures te gebruik<strong>en</strong> Sommige leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> daar meer tijd <strong>vo</strong>or nodig<br />
dan andere Door leerling<strong>en</strong> te lat<strong>en</strong> vertell<strong>en</strong> <strong>en</strong> visualiser<strong>en</strong> (zich <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong>) kan de leraar hor<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> of <strong>en</strong> in welke mate zij de context <strong>en</strong> de oplossingsprocedure begrijp<strong>en</strong><br />
‘Betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l oef<strong>en</strong><strong>en</strong>’ is bedoeld om de leerling oplossingsprocedures ofwel bewerking<strong>en</strong> zich<br />
eig<strong>en</strong> te lat<strong>en</strong> mak<strong>en</strong>, gebaseerd op inzicht Het oef<strong>en</strong><strong>en</strong> van ‘kale somm<strong>en</strong>’ daar<strong>en</strong>teg<strong>en</strong> draagt<br />
niet bij aan betek<strong>en</strong>isverl<strong>en</strong>ing ‘Kale somm<strong>en</strong>’ zijn alle<strong>en</strong> geschikt <strong>vo</strong>or het ontwikkel<strong>en</strong> van vaardigheid<br />
als de leerling de bewerking al begrijpt Als het acc<strong>en</strong>t alle<strong>en</strong> maar of grot<strong>en</strong>deels ligt op<br />
oef<strong>en</strong><strong>en</strong> met ‘kale somm<strong>en</strong>’, verdwijnt de betek<strong>en</strong>is van het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> naar de achtergrond <strong>en</strong> raakt<br />
verlor<strong>en</strong><br />
k ERn<br />
Betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l oef<strong>en</strong><strong>en</strong> is de sleutel <strong>vo</strong>or functioneel rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Bij betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l oef<strong>en</strong><strong>en</strong> besteedt de leraar <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d aandacht aan de betek<strong>en</strong>is van<br />
het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het dagelijks lev<strong>en</strong>. Daar<strong>vo</strong>or zijn context<strong>en</strong> noodzakelijk.
hoofdstuk 8 Hoofdlijn 3: vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong><br />
Als de leerling e<strong>en</strong> formele bewerking op basis van inzicht kan uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong>, kan hij de context geleidelijk<br />
loslat<strong>en</strong> (zie het Handelingsmodel in hoofdstuk 10) De leraar kan het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van formele<br />
bewerking<strong>en</strong> (‘kale somm<strong>en</strong>’) regelmatig ondersteun<strong>en</strong> met d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> <strong>en</strong> koppel<strong>en</strong> aan context<strong>en</strong><br />
Dit draagt ertoe bij dat de leerling de betek<strong>en</strong>is van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> niet uit het oog verliest<br />
8.1.2 Productief oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l oef<strong>en</strong><strong>en</strong> gaat sam<strong>en</strong> met ‘productief oef<strong>en</strong><strong>en</strong>’ Bij productief oef<strong>en</strong><strong>en</strong> construer<strong>en</strong><br />
leerling<strong>en</strong> zelf pass<strong>en</strong>de bewerking<strong>en</strong> (tek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong>, schema’s, somm<strong>en</strong>) bij e<strong>en</strong> context Dit doet<br />
e<strong>en</strong> beroep op hun inzicht in de rek<strong>en</strong>situatie <strong>en</strong> op hun conceptuele k<strong>en</strong>nis<br />
119<br />
Inkop<strong>en</strong> do<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> feestje<br />
E<strong>en</strong> klas van 18 Inkop<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> do<strong>en</strong> organiseert <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> feestje e<strong>en</strong> feesta<strong>vo</strong>nd. Zij sprek<strong>en</strong> af dat iedere leerling 4 euro betaalt <strong>vo</strong>or<br />
drankjes <strong>en</strong> hapjes. E<strong>en</strong> klas van 18 leerling<strong>en</strong> organiseert e<strong>en</strong> feesta<strong>vo</strong>nd. Zij sprek<strong>en</strong> af dat iedere leerling 4 euro betaalt <strong>vo</strong>or<br />
Enkele leerling<strong>en</strong> drankjes gaan <strong>en</strong> hapjes. sam<strong>en</strong> naar de supermarkt <strong>en</strong> bested<strong>en</strong> het totaalbedrag aan stokbrood, frisdrank,<br />
Enkele leerling<strong>en</strong> gaan sam<strong>en</strong> naar de supermarkt <strong>en</strong> bested<strong>en</strong> het totaalbedrag aan stokbrood, frisdrank,<br />
blokjes kaas, borrelnot<strong>en</strong>,<br />
blokjes kaas, borrelnot<strong>en</strong>,<br />
warme<br />
warme<br />
hapjes,<br />
hapjes,<br />
chips<br />
chips<br />
<strong>en</strong>zo<strong>vo</strong>ort.<br />
<strong>en</strong>zo<strong>vo</strong>ort.<br />
Zij kiez<strong>en</strong> uit onderstaande Zij kiez<strong>en</strong> uit onderstaande lijst. Bed<strong>en</strong>k lijst. Bed<strong>en</strong>k wat wat zij kunn<strong>en</strong> kop<strong>en</strong> kop<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het <strong>vo</strong>or totaalbedrag het totaalbedrag van de leerling<strong>en</strong>. van de leerling<strong>en</strong>.<br />
De supermarkt in de buurt heeft de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de aanbieding<strong>en</strong>:<br />
1.95<br />
3.50<br />
De supermarkt in de buurt heeft de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de aanbieding<strong>en</strong>:<br />
1.95<br />
3.50<br />
JONGBELEGEN KAAS<br />
350 gram € 3,50<br />
Alle soort<strong>en</strong> keuze.<br />
BORRELNOTEN<br />
1 bakje van<br />
<strong>en</strong> PINDA’S<br />
250 gram<br />
naar € 1,95<br />
2 bakjes<br />
keuze. <strong>vo</strong>or € 3,50<br />
1 bakje van<br />
250 gram € 1,95<br />
2 bakjes<br />
<strong>vo</strong>or € 3,50<br />
JONGBELEGEN KAAS<br />
350 gram € 3,50<br />
3.50<br />
BAKJES SALADE naar keuze<br />
Kip-kerrie salade<br />
Sellery salade<br />
Eiersalade<br />
Zalmsalade<br />
Per bakje 200 gram<br />
Afbeelding 8.1<br />
Per<br />
Productief<br />
bakje<br />
oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
€ 1,75<br />
1<br />
2 bakjes <strong>vo</strong>or € 3,00<br />
Alle soort<strong>en</strong><br />
BORRELNOTEN<br />
<strong>en</strong> PINDA’S naar<br />
3.50<br />
BAKJES SALADE naar keuze<br />
Kip-kerrie salade<br />
Sellery salade<br />
Eiersalade<br />
Zalmsalade<br />
Per bakje 200 gram<br />
Per bakje € 1,75<br />
2 bakjes <strong>vo</strong>or € 3,00<br />
1.75 3.00<br />
3,50 1 zak<br />
1.15<br />
5.00<br />
1 zak<br />
SUPER CHIPS van<br />
200 gram <strong>vo</strong>or<br />
€ 1,15<br />
Per kilo € 5,00<br />
FRISDRANK<br />
Borrelball<strong>en</strong><br />
Cola, 7-up Naturel, of kip sinas, of satéfles 1,5 liter<br />
Per zak 20 stuks<br />
Per fles € 1,25 <strong>vo</strong>or € 1,90<br />
2 fless<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or € 2,00<br />
POPCORN 2 zakk<strong>en</strong><br />
à 250 gram<br />
€ 1,25<br />
1.25<br />
1.15<br />
5.00<br />
SUPER CHIPS van<br />
200 gram <strong>vo</strong>or<br />
€ 1,15<br />
Per kilo € 5,00<br />
FRISDRANK<br />
Cola, 7-up of sinas, fles 1,5 liter<br />
Per fles € 1,25<br />
2 fless<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or € 2,00<br />
1.25 2.00<br />
Verse STOKBRODEN!<br />
Per 2 stuks € 1,00<br />
1.25 2.00<br />
Verse STOKBRODEN!<br />
Per 2 stuks € 1,00<br />
1.90<br />
1.00<br />
Borrelball<strong>en</strong><br />
Naturel, kip of saté<br />
Per zak 20 stuks<br />
<strong>vo</strong>or € 1,90<br />
1.00<br />
POPCORN 2 zakk<strong>en</strong><br />
à 250 gram<br />
1.90
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Wat kunn<strong>en</strong> de afmeting<strong>en</strong> zijn van<br />
e<strong>en</strong> plant<strong>en</strong>bak?<br />
Tek<strong>en</strong>ing:<br />
Tek<strong>en</strong> drie verschill<strong>en</strong>de plant<strong>en</strong>bakk<strong>en</strong><br />
met e<strong>en</strong> inhoud van 1200 liter.<br />
120<br />
B<strong>en</strong>oem de mat<strong>en</strong> in c<strong>en</strong>timeters.<br />
Afbeelding 8.2 Productief oef<strong>en</strong><strong>en</strong> 2<br />
8.1.3 Associatief <strong>en</strong> flexibel oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Bij ‘associatief oef<strong>en</strong><strong>en</strong>’ ontwikkelt de leerling geord<strong>en</strong>de netwerk<strong>en</strong> van sam<strong>en</strong>hang<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis<br />
<strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> De leraar biedt binn<strong>en</strong> e<strong>en</strong> oef<strong>en</strong>ing opdracht<strong>en</strong> aan in onderlinge sam<strong>en</strong>hang,<br />
bij<strong>vo</strong>orbeeld over breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> Dit helpt de leerling om de sam<strong>en</strong>hang te<br />
ontdekk<strong>en</strong> <strong>en</strong> biedt hem steun bij het georganiseerd opslaan in zijn geheug<strong>en</strong> van deze sam<strong>en</strong>hang<br />
Hij zal nieuwe inzicht<strong>en</strong> koppel<strong>en</strong> aan <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> aan relevante andere oef<strong>en</strong>stof Dit<br />
stimuleert het ontwikkel<strong>en</strong> van geord<strong>en</strong>de, associatieve netwerk<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong><br />
Door associatief te oef<strong>en</strong><strong>en</strong> leert hij om verworv<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> flexibel in te zett<strong>en</strong> in<br />
andere situaties waarin gerek<strong>en</strong>d moet word<strong>en</strong> De leerling raakt vertrouwd met vergelijkbare oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong><br />
in verschill<strong>en</strong>de context<strong>en</strong> <strong>en</strong> situaties Zie ook hoofdstuk 9<br />
8.1.4 Multi-channel oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Bij ‘multi-channel oef<strong>en</strong><strong>en</strong>’ word<strong>en</strong> alle zintuig<strong>en</strong> optimaal ingezet In de meeste onderwijssituaties<br />
gaat het hierbij om sprek<strong>en</strong>, luister<strong>en</strong> <strong>en</strong> zi<strong>en</strong> In praktijksituaties kan het ook gaan om do<strong>en</strong>,<br />
<strong>vo</strong>el<strong>en</strong>, ruik<strong>en</strong> <strong>en</strong> proev<strong>en</strong> De leerling verwerft <strong>en</strong> verwerkt de leerstof actief In praktijkvakk<strong>en</strong><br />
waar leerling<strong>en</strong> actief aan het werk zijn met material<strong>en</strong> <strong>en</strong> machines zijn alle zintuig<strong>en</strong> ingeschakeld<br />
Als leerling<strong>en</strong> e<strong>en</strong> muurtje bouw<strong>en</strong>, plank<strong>en</strong> zag<strong>en</strong>, kleding ontwerp<strong>en</strong>, har<strong>en</strong> knipp<strong>en</strong>,<br />
<strong>vo</strong>edsel bereid<strong>en</strong> of foto’s vergrot<strong>en</strong> <strong>en</strong> verklein<strong>en</strong>, zijn zij tev<strong>en</strong>s actief met rek<strong>en</strong><strong>en</strong> bezig Dit zijn<br />
ideale situaties om leerling<strong>en</strong> op verschill<strong>en</strong>de manier<strong>en</strong> te stimuler<strong>en</strong> tot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Door de mat<strong>en</strong><br />
van muurtjes, plank<strong>en</strong>, kleding, foto’s, hoeveelhed<strong>en</strong> <strong>vo</strong>edsel of de l<strong>en</strong>gte van het haar te verander<strong>en</strong>,<br />
word<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> ongemerkt gestimuleerd hun rek<strong>en</strong>vaardigheid in te zett<strong>en</strong> Hierbij gaat<br />
het niet alle<strong>en</strong> om c<strong>en</strong>timeters <strong>en</strong> millimeters maar <strong>vo</strong>oral ook om het d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> in<br />
verhouding<strong>en</strong> De leraar kan hier e<strong>en</strong> actieve rol spel<strong>en</strong> bij de begeleiding van leerling<strong>en</strong> die meer<br />
ondersteuning nodig hebb<strong>en</strong><br />
Bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in de rek<strong>en</strong>les zijn multi-channel oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> geschikt om zowel verbale, auditieve als<br />
visuele vaardighed<strong>en</strong> naast elkaar te stimuler<strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> bij <strong>vo</strong>orkeur gebruik van hun<br />
sterke kant<strong>en</strong> E<strong>en</strong> leerling die sterk visueel is zal deze vaardigheid <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d inzett<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s<br />
het oef<strong>en</strong><strong>en</strong> Daardoor wordt het visueel waarnem<strong>en</strong> <strong>en</strong> interpreter<strong>en</strong> steeds beter, maar de ontwikkeling<br />
van de verbale <strong>en</strong> auditieve vaardighed<strong>en</strong> blijv<strong>en</strong> achter<br />
De leraar kan de zwakke kant<strong>en</strong> versterk<strong>en</strong> door oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> op verschill<strong>en</strong>de wijz<strong>en</strong> aan te bied<strong>en</strong><br />
Hij stimuleert e<strong>en</strong> visueel sterke leerling om zijn berek<strong>en</strong>ing ook mondeling toe te licht<strong>en</strong> Hij
hoofdstuk 8 Hoofdlijn 3: vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong><br />
stimuleert e<strong>en</strong> verbaal sterke leerling door hem tek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> <strong>en</strong> d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> aan te bied<strong>en</strong> of te<br />
lat<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> <strong>en</strong> die te lat<strong>en</strong> bered<strong>en</strong>er<strong>en</strong> Digibord<strong>en</strong> <strong>en</strong> goede software kunn<strong>en</strong> dit proces ondersteun<strong>en</strong><br />
Vaardighed<strong>en</strong> die niet word<strong>en</strong> gestimuleerd, nem<strong>en</strong> uiteindelijk af<br />
k ERn<br />
Verbaliser<strong>en</strong> <strong>en</strong> visualiser<strong>en</strong><br />
Leerling<strong>en</strong> die verbaal zwak zijn <strong>en</strong> visueel sterk, moet<strong>en</strong> aangemoedigd word<strong>en</strong> om hun<br />
handeling<strong>en</strong> goed te verwoord<strong>en</strong>. En andersom: leerling<strong>en</strong> die verbaal sterk zijn <strong>en</strong> visueel<br />
zwak, hebb<strong>en</strong> extra stimulans nodig om te visualiser<strong>en</strong>.<br />
8.1.5 Effectief oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
121<br />
Alle leerling<strong>en</strong> zijn gebaat bij effectieve instructie <strong>en</strong> effectief oef<strong>en</strong><strong>en</strong> Voor rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
geldt dit des te meer Hoe meer r<strong>en</strong>dem<strong>en</strong>t zij uit elke inspanning hal<strong>en</strong>, hoe sterker zij gemotiveerd<br />
word<strong>en</strong><br />
De huidige didactiek van het rek<strong>en</strong>onderwijs gaat uit van het begeleid (her)ontdekk<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> Oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> die hierop zijn gericht, noem<strong>en</strong> wij ‘effectieve oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong>’<br />
Dit soort oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> laat de leerling actief zijn eig<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> construer<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
reconstruer<strong>en</strong> Deze oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> gebruik van uitdag<strong>en</strong>de <strong>en</strong> begrijpelijke context<strong>en</strong> De<br />
oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> zett<strong>en</strong> de leerling aan om eig<strong>en</strong> d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> <strong>en</strong> eig<strong>en</strong> oplossingsprocedures te ontwerp<strong>en</strong><br />
Geleidelijk aan ontwikkelt de leerling hieruit formele bewerking<strong>en</strong> <strong>en</strong> standaardprocedures<br />
Zelf d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> <strong>en</strong> creatieve oplossingsprocedures ontdekk<strong>en</strong> doet echter e<strong>en</strong> groot beroep<br />
op het inzicht <strong>en</strong> het zelfvertrouw<strong>en</strong> van de leerling Goede begeleiding van dit proces vraagt veel<br />
deskundigheid <strong>en</strong> goede instructievaardighed<strong>en</strong> van de leraar (zie verder deel 4)<br />
8.1.6 Systematisch oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Met ‘systematisch oef<strong>en</strong><strong>en</strong>’ bedoel<strong>en</strong> wij dat alle leerstof systematisch aan bod moet kom<strong>en</strong> Vooral<br />
rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> hier behoefte aan De leerling slaat leerstof die niet systematisch<br />
<strong>en</strong> regelmatig wordt geoef<strong>en</strong>d minder goed op dan leerstof die wel systematisch <strong>en</strong> regelmatig aan<br />
bod komt<br />
De leraar analyseert de rek<strong>en</strong>boek<strong>en</strong> of rek<strong>en</strong>methode waarmee hij werkt om te bepal<strong>en</strong> of <strong>en</strong> hoe<br />
systematisch wordt geoef<strong>en</strong>d Hoe is de opbouw van de leerstoflijn <strong>en</strong> de oef<strong>en</strong>stof? Kom<strong>en</strong> alle<br />
domein<strong>en</strong> <strong>en</strong> leerstofonderdel<strong>en</strong> systematisch in de methode <strong>vo</strong>or? Daar waar hij gat<strong>en</strong> constateert,<br />
is aanvull<strong>en</strong>de oef<strong>en</strong>stof <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> noodzakelijk<br />
8.1.7 Regelmatig oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Regelmatig oef<strong>en</strong><strong>en</strong> is e<strong>en</strong> must De school bepaalt hoeveel tijd er in bepaalde leerroutes besteed<br />
wordt aan rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Het lijkt vanzelfsprek<strong>en</strong>d dat leerling<strong>en</strong> in vmbo-bbl, vmbo-kbl <strong>en</strong> vmbo-gl<br />
meer tijd nodig hebb<strong>en</strong> dan leerling<strong>en</strong> in vmbo-tl of ha<strong>vo</strong>/vwo Het is echter van ess<strong>en</strong>tieel belang<br />
dat leerling<strong>en</strong> regelmatig oef<strong>en</strong><strong>en</strong> Dit kan op school, maar leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> ook zin<strong>vo</strong>lle opdracht<strong>en</strong><br />
als huiswerk krijg<strong>en</strong> De leraar bespreekt ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s het gemaakte huiswerk met de leerling
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Oef<strong>en</strong><strong>en</strong> bestaat niet uit het mak<strong>en</strong> van vele bladzijd<strong>en</strong> (kale) somm<strong>en</strong>, maar uit e<strong>en</strong> gevarieerd <strong>en</strong><br />
multi-channel aanbod Dit kan de leraar invull<strong>en</strong> met gevarieerde rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong>, spelletjes of<br />
rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> op de computer De inhoud moet aansluit<strong>en</strong> bij het niveau van de leerling<br />
8.2 Automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong><br />
122<br />
Automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> zijn activiteit<strong>en</strong> waarbij het geheug<strong>en</strong> e<strong>en</strong> c<strong>en</strong>trale rol speelt Door<br />
te oef<strong>en</strong><strong>en</strong> ontwikkelt de leerling ook functies <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> die gebruik mak<strong>en</strong> van het werkgeheug<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> het langetermijngeheug<strong>en</strong> In bijlage A zijn <strong>en</strong>kele functies beschrev<strong>en</strong> van het werkgeheug<strong>en</strong><br />
(inhibitie, shifting <strong>en</strong> updating) Deze functies beïnvloed<strong>en</strong> het ontwikkel<strong>en</strong> van goede<br />
concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> procedures Ook het georganiseerd opslaan van k<strong>en</strong>nis in <strong>en</strong> het oproep<strong>en</strong> van k<strong>en</strong>nis<br />
uit het langetermijngeheug<strong>en</strong> spel<strong>en</strong> hierbij e<strong>en</strong> belangrijke rol<br />
Daar komt bij dat iedere<strong>en</strong> alle<strong>en</strong> die k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> opslaat in het geheug<strong>en</strong> die <strong>vo</strong>or<br />
hem betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l zijn Daarmee construeert iedere<strong>en</strong> zijn eig<strong>en</strong> geheug<strong>en</strong> Voork<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> eig<strong>en</strong><br />
interpretatie spel<strong>en</strong> hierbij e<strong>en</strong> belangrijke rol<br />
Leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> beter <strong>en</strong> vlotter rek<strong>en</strong><strong>en</strong> als nieuwe k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> procedures word<strong>en</strong> gekoppeld aan<br />
reeds begrep<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> procedures die opgeslag<strong>en</strong> zijn in ‘associatieve netwerk<strong>en</strong>’ De opgedane<br />
k<strong>en</strong>nis wordt georganiseerd in het geheug<strong>en</strong> opgeslag<strong>en</strong> <strong>en</strong> is daardoor meestal vrij snel weer op<br />
te roep<strong>en</strong> <strong>en</strong> goed te gebruik<strong>en</strong> Hierdoor ontstaat ‘parate k<strong>en</strong>nis’. Boekaerts <strong>en</strong> Simons (1995)<br />
onderscheid<strong>en</strong> de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de associatieve netwerk<strong>en</strong>:<br />
Declaratieve k<strong>en</strong>nis:<br />
feit<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis, conceptuele k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong><br />
semantische k<strong>en</strong>nis.<br />
Wet<strong>en</strong> dat...<br />
Procedurele k<strong>en</strong>nis:<br />
geautomatiseerde k<strong>en</strong>nis, procedures <strong>en</strong><br />
vaardighed<strong>en</strong>.<br />
Wet<strong>en</strong> hoe...<br />
Afbeelding 8.3 Associatieve netwerk<strong>en</strong>
hoofdstuk 8 Hoofdlijn 3: vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong><br />
8.2.1 Declaratieve k<strong>en</strong>nis<br />
Onder ‘declaratieve k<strong>en</strong>nis’ verstaan wij k<strong>en</strong>nis die is gememoriseerd <strong>en</strong> direct oproepbaar uit het<br />
langetermijngeheug<strong>en</strong> Met memoriser<strong>en</strong> bedoel<strong>en</strong> wij uit het hoofd ler<strong>en</strong> van:<br />
• feit<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis (niet gebaseerd op begrip);<br />
• conceptuele k<strong>en</strong>nis (gebaseerd op begrip <strong>en</strong> geautomatiseerde k<strong>en</strong>nis);<br />
• semantische k<strong>en</strong>nis (gebaseerd op begrip, maar niet op geautomatiseerde k<strong>en</strong>nis)<br />
Onder ‘feit<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis’ verstaan we k<strong>en</strong>nis van losse feit<strong>en</strong> waarbij niets te begrijp<strong>en</strong> valt, bij<strong>vo</strong>orbeeld:<br />
telefoonnummers, geboortedata, e<strong>en</strong> postcode, e<strong>en</strong> huisnummer, de nam<strong>en</strong> van klasg<strong>en</strong>ot<strong>en</strong>,<br />
wet<strong>en</strong> dat Amsterdam de hoofdstad van Nederland is <strong>en</strong> Parijs de hoofdstad van Frankrijk<br />
Feit<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis is ook het opzegg<strong>en</strong> van de (onbegrep<strong>en</strong>) tafelrij<strong>en</strong> als e<strong>en</strong> versje uit het hoofd<br />
Het ler<strong>en</strong> van losse feit<strong>en</strong> doet e<strong>en</strong> groot beroep op het werkgeheug<strong>en</strong>, omdat het niet associatief<br />
wordt opgeslag<strong>en</strong> Ook onbegrep<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis wordt ervar<strong>en</strong> als losse feit<strong>en</strong> <strong>en</strong> dus niet associatief<br />
opgeslag<strong>en</strong> Deze (fragm<strong>en</strong>tarische) k<strong>en</strong>nis wordt makkelijker weer verget<strong>en</strong>, zeker als zij niet regelmatig<br />
wordt gebruikt D<strong>en</strong>k bij<strong>vo</strong>orbeeld aan het uit het hoofd ler<strong>en</strong> van telefoonnummers<br />
123<br />
Onder ‘conceptuele k<strong>en</strong>nis’ verstaan we k<strong>en</strong>nis die is gebaseerd op begrip <strong>en</strong> inzicht Deze k<strong>en</strong>nis<br />
kan eerst geautomatiseerd zijn <strong>en</strong> daarna gememoriseerd<br />
Als de tafels goed zijn aangeleerd is deze k<strong>en</strong>nis geleerd op basis van inzicht <strong>en</strong> in onderlinge sam<strong>en</strong>hang<br />
door activiteit<strong>en</strong> als groeper<strong>en</strong>, structurer<strong>en</strong>, herhaald optell<strong>en</strong>, verdubbel<strong>en</strong> <strong>en</strong> halver<strong>en</strong>,<br />
werk<strong>en</strong> met tweelingsomm<strong>en</strong> (6x3 = 3x6) De tafels zijn hierbij eerst geautomatiseerd <strong>en</strong><br />
daarna als conceptuele k<strong>en</strong>nis gememoriseerd<br />
Het verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> van grotere getall<strong>en</strong>, bij<strong>vo</strong>orbeeld, is gebaseerd op associatieve netwerk<strong>en</strong><br />
van conceptuele k<strong>en</strong>nis E<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orbeeld: de leerling weet dat 4x25 = 2x50 = 100 De leerling weet<br />
ook de sam<strong>en</strong>hang tuss<strong>en</strong> verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> <strong>en</strong> del<strong>en</strong> Hij weet dat 4x25 = 100 <strong>en</strong> 100:4 = 25<br />
Datzelfde geldt ook <strong>vo</strong>or berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> als 4x250 <strong>en</strong> 1000:4<br />
Ook het geautomatiseerd splits<strong>en</strong> van getall<strong>en</strong> hoort hier bij Wet<strong>en</strong> dat 10 is 1+9, 4+6, 3+7, 5+5,<br />
maar ook dat 100 is 10+90 <strong>en</strong>zo<strong>vo</strong>ort Bij optelsomm<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> de getall<strong>en</strong> word<strong>en</strong> omgedraaid:<br />
90+10 = 10+90, 80+20 = 20+80 Bij aftreksomm<strong>en</strong> kan dat niet Waarom niet? Maar ook wet<strong>en</strong> dat<br />
8+7 = 15 <strong>en</strong> 28+7 = 35 <strong>en</strong> dat 280+70 = 350<br />
‘Semantische k<strong>en</strong>nis’ is gememoriseerde k<strong>en</strong>nis gebaseerd op afsprak<strong>en</strong>, begrip <strong>en</strong> inzicht maar<br />
niet op automatiser<strong>en</strong> Voorbeeld<strong>en</strong> zijn k<strong>en</strong>nis van het kal<strong>en</strong>dersysteem <strong>en</strong> het systeem van ur<strong>en</strong>,<br />
minut<strong>en</strong> <strong>en</strong> second<strong>en</strong> Ook wet<strong>en</strong> wat breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> zijn <strong>en</strong> dat _<br />
2 1 = 0,5<br />
= 50% zijn <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong> van semantische k<strong>en</strong>nis<br />
Het werk<strong>en</strong> met het metriek stelsel is ev<strong>en</strong>e<strong>en</strong>s gebaseerd op semantische k<strong>en</strong>nis Bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
wet<strong>en</strong> dat e<strong>en</strong> kilometer gelijk is aan 1000 meter, dat meter, liter <strong>en</strong> gram de standaardmat<strong>en</strong> zijn<br />
<strong>vo</strong>or l<strong>en</strong>gte, inhoud <strong>en</strong> gewicht <strong>en</strong> dat e<strong>en</strong> kwart liter ev<strong>en</strong>veel is als 25 c<strong>en</strong>tiliter, 250 ml <strong>en</strong> 2,5 dl<br />
8.2.2 Procedurele k<strong>en</strong>nis<br />
‘Procedurele k<strong>en</strong>nis’ is k<strong>en</strong>nis die opgebouwd is uit geautomatiseerde handeling<strong>en</strong> <strong>en</strong> procedures,<br />
bij<strong>vo</strong>orbeeld het cijfer<strong>en</strong> op basis van algoritmes Procedurele k<strong>en</strong>nis is in het onbewuste geheug<strong>en</strong><br />
opgeslag<strong>en</strong> We kunn<strong>en</strong> die k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> bijbehor<strong>en</strong>de procedures direct uit het geheug<strong>en</strong> oproep<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> in rek<strong>en</strong>situaties wanneer dat nodig is, bij<strong>vo</strong>orbeeld bij het uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> van 8x12<br />
(zie afbeelding 84)
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Automatiser<strong>en</strong> is het proces van het zich eig<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> van k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> door begrijp<strong>en</strong>,<br />
oef<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> toepass<strong>en</strong>, zoals bij het cijfer<strong>en</strong> Deze k<strong>en</strong>nis gebruik<strong>en</strong> we om rek<strong>en</strong>vraagstukk<strong>en</strong> op<br />
te loss<strong>en</strong> Om vlot te kunn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> moet<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>aars snel kunn<strong>en</strong> beschikk<strong>en</strong> over zowel declaratieve<br />
als procedurele k<strong>en</strong>nis<br />
124<br />
E<strong>en</strong> som als 8x12 kunn<strong>en</strong> we uit het hoofd wet<strong>en</strong>: 96<br />
(direct oproepbaar – gememoriseerd: declaratieve k<strong>en</strong>nis)<br />
Maar we kunn<strong>en</strong> het ook snel uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong>, gebruik mak<strong>en</strong>d van<br />
gememoriseerde k<strong>en</strong>nis: 8x10 <strong>en</strong> 8x2 = 80+16 = 96 (procedurele k<strong>en</strong>nis).<br />
Ook het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van standaardalgoritmes (cijfer<strong>en</strong>d optell<strong>en</strong>,<br />
aftrekk<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> <strong>en</strong> del<strong>en</strong>) <strong>en</strong> het werk<strong>en</strong> met formules<br />
(oppervlakte = l<strong>en</strong>gte x breedte) is procedurele k<strong>en</strong>nis.<br />
Afbeelding 8.4 Declaratieve <strong>en</strong> procedurele k<strong>en</strong>nis<br />
k ERn<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
Als leerling<strong>en</strong> goede associatieve netwerk<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> ontwikkeld <strong>en</strong> als het proces van<br />
automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> goed verloopt ontwikkel<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> parate k<strong>en</strong>nis.<br />
Wanneer e<strong>en</strong> leerling problem<strong>en</strong> ondervindt bij oef<strong>en</strong><strong>en</strong>, kan dit leid<strong>en</strong> tot problem<strong>en</strong> bij<br />
het automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong>. De leerling is het meest gebaat bij oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> die de<br />
leraar afstemt op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van deze leerling.<br />
Bij oef<strong>en</strong><strong>en</strong>, automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> we het werkgeheug<strong>en</strong> <strong>en</strong> het langetermijngeheug<strong>en</strong>.<br />
Problem<strong>en</strong> bij het automatiser<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> ontstaan door overbelasting<br />
van het werkgeheug<strong>en</strong>, door afleid<strong>en</strong>de informatie <strong>en</strong> door het wissel<strong>en</strong> van tak<strong>en</strong>.<br />
In deze gevall<strong>en</strong> wordt nieuwe informatie on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de verwerkt <strong>en</strong> ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s gebrekkig<br />
opgeslag<strong>en</strong> in het langetermijngeheug<strong>en</strong>. De rek<strong>en</strong>zwakke leerling die de basisk<strong>en</strong>nis <strong>en</strong><br />
basisbewerking<strong>en</strong> on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de heeft geautomatiseerd <strong>en</strong> gememoriseerd, beschikt<br />
daardoor vaak over fragm<strong>en</strong>tarische k<strong>en</strong>nis. Hij heeft ge<strong>en</strong> of weinig associatieve, geord<strong>en</strong>de<br />
netwerk<strong>en</strong> van k<strong>en</strong>nis ontwikkeld. Dit belemmert deze leerling bij het oproep<strong>en</strong><br />
van relevante (<strong>vo</strong>or)k<strong>en</strong>nis uit het langetermijngeheug<strong>en</strong> wanneer hij opdracht<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>ert<br />
<strong>en</strong> nieuwe informatie verwerkt.<br />
Bij complexere tak<strong>en</strong> raakt de rek<strong>en</strong>zwakke leerling de weg kwijt omdat zijn werkgeheug<strong>en</strong><br />
sneller overbelast raakt. Deze leerling is on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de in staat tijd<strong>en</strong>s het werk<strong>en</strong><br />
relevante informatie uit het langetermijngeheug<strong>en</strong> op te roep<strong>en</strong> <strong>en</strong> daarmee aan het<br />
werk te gaan.<br />
Onderzoek op dit terrein is nog in <strong>vo</strong>lle gang (Van Lieshout, 2006; Goswami, 2007;<br />
Kroesberg<strong>en</strong>, Van der V<strong>en</strong>, Kolkman, Van Luit & Leseman, 2009).
hoofdstuk 8 Hoofdlijn 3: vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong><br />
8.3 Vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong>: onderhoud<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong><br />
In het algeme<strong>en</strong> geldt <strong>vo</strong>or alle leerling<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> dat regelmatig oef<strong>en</strong><strong>en</strong> in allerlei gebruikssituaties<br />
ess<strong>en</strong>tieel is <strong>vo</strong>or het onderhoud<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong><br />
Dit is de basis <strong>vo</strong>or het ontwikkel<strong>en</strong> van parate k<strong>en</strong>nis De in paragraaf 81 beschrev<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van<br />
oef<strong>en</strong><strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> alle <strong>vo</strong>or dit doel word<strong>en</strong> gebruikt Het is met name zin<strong>vo</strong>l dat ook lerar<strong>en</strong> van<br />
andere vakk<strong>en</strong> bewust met rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> omgaan <strong>en</strong> deze expliciet e<strong>en</strong> plek<br />
gev<strong>en</strong> in hun less<strong>en</strong> Op deze wijze ler<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> dat rek<strong>en</strong><strong>en</strong> belangrijk <strong>en</strong> zin<strong>vo</strong>l is Over de<br />
wijze waarop dit gebeurt, kunn<strong>en</strong> in de school afsprak<strong>en</strong> word<strong>en</strong> gemaakt<br />
125<br />
8.4 Signalering bij vlot (ler<strong>en</strong>) rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
S7 – Onbegrep<strong>en</strong> procedures <strong>en</strong> losse feit<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis in de basisvaardighed<strong>en</strong> leid<strong>en</strong> tot fragm<strong>en</strong>tarische<br />
k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong><br />
Onbegrep<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> procedures word<strong>en</strong> niet of on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de opgeslag<strong>en</strong> in het geheug<strong>en</strong> De<br />
leraar kan dit waarnem<strong>en</strong> als e<strong>en</strong> leerling gaat ‘goochel<strong>en</strong> met getall<strong>en</strong>’ tijd<strong>en</strong>s het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van<br />
de basisvaardighed<strong>en</strong> optell<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> <strong>en</strong> del<strong>en</strong> Dit leidt tot fragm<strong>en</strong>tarische<br />
k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> waardoor e<strong>en</strong> zwakke basis ontstaat (‘gat<strong>en</strong>kaas’)<br />
S8 – Problem<strong>en</strong> met het automatiser<strong>en</strong> van standaardalgoritmes <strong>en</strong> complexe procedures belemmer<strong>en</strong><br />
het vlot ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Fragm<strong>en</strong>tarische k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> bij de basisbewerking<strong>en</strong> word<strong>en</strong> zichtbaar als e<strong>en</strong> leerling<br />
problem<strong>en</strong> heeft met het automatiser<strong>en</strong> van complexere procedures, zoals de algoritmes <strong>en</strong> bij<br />
bewerking<strong>en</strong> met verhouding<strong>en</strong>, breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
S9 – Problem<strong>en</strong> met het automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> zijn het ge<strong>vo</strong>lg van het niet goed georganiseerd<br />
opslaan van informatie<br />
Het ontwikkel<strong>en</strong> van associatieve k<strong>en</strong>nis leidt tot georganiseerd opslaan in het geheug<strong>en</strong> Daardoor<br />
is deze k<strong>en</strong>nis sneller oproepbaar Niet goed opgeslag<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis leidt tot problem<strong>en</strong> bij het automatiser<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> Als blijkt dat e<strong>en</strong> leerling minder snel informatie kan oproep<strong>en</strong> uit zijn<br />
geheug<strong>en</strong> of deze is verget<strong>en</strong>, kan dit e<strong>en</strong> signaal zijn dat hij de informatie niet goed georganiseerd<br />
heeft opgeslag<strong>en</strong> in zijn geheug<strong>en</strong><br />
Vergelijk dit met archiver<strong>en</strong> op de harde schijf De gebruiker organiseert de harde schijf in mapp<strong>en</strong><br />
Hij slaat informatie op in e<strong>en</strong> map met bij elkaar hor<strong>en</strong>de bestand<strong>en</strong> Hierdoor vindt hij die<br />
informatie makkelijker terug<br />
8.5 Begeleiding bij vlot (ler<strong>en</strong>) rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Voor het stimuler<strong>en</strong> van oef<strong>en</strong><strong>en</strong>, automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> is het van belang e<strong>en</strong> goed oef<strong>en</strong>programma<br />
op te stell<strong>en</strong> Zo’n programma past bij de leerling <strong>en</strong> sluit zo veel mogelijk aan bij<br />
de activiteit<strong>en</strong> van de klas waar de leerling in zit Voorbeeld<strong>en</strong> van goed oef<strong>en</strong><strong>en</strong> zijn beschrev<strong>en</strong> in<br />
paragraaf 81<br />
Leerling<strong>en</strong> oef<strong>en</strong><strong>en</strong> echter het best op mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> dat zij rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> ook werkelijk gebruik<strong>en</strong>,<br />
zoals bij<strong>vo</strong>orbeeld bij sport- <strong>en</strong> spelactiviteit<strong>en</strong> <strong>en</strong> in allerlei dagelijkse buit<strong>en</strong>schoolse situaties
9 Hoofdlijn 4:<br />
flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
verdiep<strong>en</strong>
In het dagelijks lev<strong>en</strong> is rek<strong>en</strong><strong>en</strong> altijd ingebed in functionele situaties. We g ebruik<strong>en</strong><br />
onze rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> als gereedschap bij het u it<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van<br />
onze alledaagse activiteit<strong>en</strong>.<br />
9
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
9.1 Flexibel toepass<strong>en</strong><br />
128<br />
In de praktijk van het rek<strong>en</strong>onderwijs ligt de nadruk op het vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (Hoofdlijn 3) als vaardigheid<br />
op zich <strong>en</strong> veel minder op de gebruikswaarde ervan (Hoofdlijn 4)<br />
Context<strong>en</strong> zijn bedoeld om de gebruikswaarde te verhog<strong>en</strong> door de brug te slaan naar de wereld<br />
buit<strong>en</strong> school Als de leraar niet expliciet aandacht aan context<strong>en</strong> in relatie tot het buit<strong>en</strong>schoolse<br />
lev<strong>en</strong> sch<strong>en</strong>kt, blijv<strong>en</strong> deze context<strong>en</strong> onderdeel van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> uit e<strong>en</strong> lesboek Veelal wordt verondersteld<br />
dat leerling<strong>en</strong> vanzelf de link met het ‘gewone lev<strong>en</strong>’ legg<strong>en</strong> <strong>en</strong> zelf de brug kunn<strong>en</strong> mak<strong>en</strong><br />
Dat is echter niet vanzelfsprek<strong>en</strong>d<br />
Dit betek<strong>en</strong>t dat de school de gebruikswaarde van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> expliciet in de doel<strong>en</strong> van het rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
moet opnem<strong>en</strong> De commissie Meijerink noemt dit ook nadrukkelijk in haar hoofdrapport<br />
Over de drempels met taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (Expertgroep Doorlop<strong>en</strong>de Leerlijn<strong>en</strong> <strong>Taal</strong> <strong>en</strong> Rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, 2008)<br />
Bij het flexibel toepass<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> onderscheid<strong>en</strong> wij twee compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong>:<br />
• adequaat kunn<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> van verschill<strong>en</strong>de oplossingsprocedures om rek<strong>en</strong>vraagstukk<strong>en</strong><br />
op te loss<strong>en</strong>, afgestemd op de situatie (zie Hoofdlijn 2 <strong>en</strong> 3);<br />
• strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> om keuzes te kunn<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> <strong>en</strong> beslissing<strong>en</strong> te nem<strong>en</strong> bij het<br />
oploss<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>vraagstukk<strong>en</strong><br />
Oplossingsprocedures zijn de ingrediënt<strong>en</strong> van het strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> om rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
in het dagelijks lev<strong>en</strong> <strong>en</strong> in beroepssituaties te kunn<strong>en</strong> oploss<strong>en</strong> Om dergelijke problem<strong>en</strong><br />
op e<strong>en</strong> effectieve manier aan te kunn<strong>en</strong> pakk<strong>en</strong> is het van belang dat we als burgers <strong>en</strong> werknemers<br />
beschikk<strong>en</strong> over meerdere oplossingsprocedures <strong>en</strong> hieruit goede keuzes kunn<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> We wet<strong>en</strong><br />
wat we kunn<strong>en</strong> <strong>en</strong> welke oplossingsprocedures in aanmerking kom<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het effectief oploss<strong>en</strong><br />
van e<strong>en</strong> specifiek rek<strong>en</strong>probleem We kunn<strong>en</strong> snel kiez<strong>en</strong> <strong>en</strong> de berek<strong>en</strong>ing juist uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Daarbij zorg<strong>en</strong> we dat we onze berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> controler<strong>en</strong><br />
De keuzes die iemand maakt zijn afhankelijk van zijn rek<strong>en</strong>capaciteit<strong>en</strong> <strong>en</strong> van zijn inzicht in het<br />
probleem (betek<strong>en</strong>is verl<strong>en</strong><strong>en</strong>) Dit doet e<strong>en</strong> beroep op zijn zelfk<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> zijn zelfvertrouw<strong>en</strong> Elke<br />
persoon stuurt zijn eig<strong>en</strong> strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> aan In het onderwijs wordt in het algeme<strong>en</strong><br />
weinig aandacht besteed aan het strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> Waarschijnlijk wordt aang<strong>en</strong>om<strong>en</strong><br />
dat leerling<strong>en</strong> deze sturing vanuit zichzelf ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> toepass<strong>en</strong> Bij rek<strong>en</strong>zwakke<br />
leerling<strong>en</strong> is dit niet zo vanzelfsprek<strong>en</strong>d <strong>en</strong> is gerichte aandacht hier<strong>vo</strong>or w<strong>en</strong>selijk<br />
9.2 Flexibiliser<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong><br />
Het uiteindelijke doel van het rek<strong>en</strong>onderwijs is dat de leerling<strong>en</strong> hun rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong><br />
kunn<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> in functionele situaties<br />
Neem bij<strong>vo</strong>orbeeld het inricht<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> slaapkamer Bij de b<strong>en</strong>odigde meet- <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong><br />
word<strong>en</strong> ge<strong>en</strong> somm<strong>en</strong> maar wel berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> gemaakt Er wordt gemet<strong>en</strong> <strong>en</strong> gerek<strong>en</strong>d Dit do<strong>en</strong><br />
we om te bepal<strong>en</strong> waar het bed, e<strong>en</strong> bureau <strong>en</strong> e<strong>en</strong> kast kom<strong>en</strong> te staan, hoeveel meter behang of<br />
vierkante meter muurverf nodig is <strong>en</strong> hoeveel meter vloerbedekking Hoe hoog kan de kast zijn?<br />
Hoe breed, hoe diep? Kiez<strong>en</strong> we e<strong>en</strong> scharnierdeur of past e<strong>en</strong> schuifdeur beter? Hoeveel gaat het<br />
kost<strong>en</strong>? Is die aanbieding van de bouwmarkt echt <strong>vo</strong>ordeliger dan die bij de verfwinkel om de<br />
hoek? Staat er g<strong>en</strong>oeg geld op de rek<strong>en</strong>ing om het allemaal te betal<strong>en</strong>?
hoofdstuk 9 Hoofdlijn 4: flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong><br />
Ess<strong>en</strong>tiële punt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het flexibel toepass<strong>en</strong> zijn:<br />
• in functionele situaties kunn<strong>en</strong> bepal<strong>en</strong> of <strong>en</strong> zo ja, welke rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> nodig zijn om adequaat<br />
te kunn<strong>en</strong> handel<strong>en</strong>;<br />
• kunn<strong>en</strong> communicer<strong>en</strong> over rek<strong>en</strong>kundige onderwerp<strong>en</strong>;<br />
• beslissing<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> nem<strong>en</strong> aan de hand van de resultat<strong>en</strong>;<br />
• constructief kunn<strong>en</strong> sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong><br />
Process<strong>en</strong> die hierbij e<strong>en</strong> rol spel<strong>en</strong> zijn onder meer de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de:<br />
• Het probleem begrijp<strong>en</strong> Informatie verwerk<strong>en</strong> <strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is kunn<strong>en</strong> gev<strong>en</strong> aan e<strong>en</strong> situatie of<br />
e<strong>en</strong> context Wat wordt er gevraagd? Wat is het probleem?<br />
• Informatie kunn<strong>en</strong> vertal<strong>en</strong> vanuit e<strong>en</strong> alledaagse gebruikssituatie naar e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>bewerking<br />
(horizontaal mathematiser<strong>en</strong>)<br />
• Relevante k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> oproep<strong>en</strong> uit het geheug<strong>en</strong> om te bepal<strong>en</strong> hoe het probleem<br />
het beste kan word<strong>en</strong> opgelost<br />
• Effectieve procedures kiez<strong>en</strong> <strong>en</strong> besliss<strong>en</strong> welke procedure in aanmerking komt (verticaal mathematiser<strong>en</strong>)<br />
• Het probleem oploss<strong>en</strong><br />
• Aan de hand van de situatie controler<strong>en</strong> of de oplossing past bij die situatie<br />
129<br />
In dit protocol gebruik<strong>en</strong> wij het Drieslagmodel om deze process<strong>en</strong> te analyser<strong>en</strong> <strong>en</strong> observer<strong>en</strong><br />
(zie verder hoofdstuk 11)<br />
In de schoolsituatie wordt e<strong>en</strong> ‘<strong>vo</strong>orstelbare’ werkelijkheid gerepres<strong>en</strong>teerd met behulp van context<strong>en</strong><br />
Deze zijn bedoeld <strong>vo</strong>or het betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l gebruik<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> Zij op<strong>en</strong><strong>en</strong> tev<strong>en</strong>s de<br />
weg <strong>vo</strong>or het probleemoploss<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> De leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> om hun probleemoploss<strong>en</strong>d d<strong>en</strong>k<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> hun k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> flexibel in te zett<strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> zelf ook ler<strong>en</strong><br />
om te werk<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s het Drieslagmodel bij het probleemoploss<strong>en</strong>d rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Zie hier<strong>vo</strong>or afbeelding<br />
118 van de leerlingkaart van het Drieslagmodel<br />
Bij het aanbied<strong>en</strong> van nieuwe onderwerp<strong>en</strong> in de klas is het van belang altijd te start<strong>en</strong> vanuit e<strong>en</strong><br />
context Als de leerling vertrouwd is met deze basiscontext <strong>en</strong> daarbij pass<strong>en</strong>de oplossingsprocedures<br />
begrijpt <strong>en</strong> beheerst, kan de leraar beginn<strong>en</strong> met flexibiliser<strong>en</strong><br />
Als de leerling bij<strong>vo</strong>orbeeld het concept proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> beheerst <strong>en</strong> weet hoe hij daarmee kan rek<strong>en</strong><strong>en</strong>,<br />
kan de leraar dit op verschill<strong>en</strong>de manier<strong>en</strong> flexibel oef<strong>en</strong><strong>en</strong> Dit kan hij do<strong>en</strong> met opdracht<strong>en</strong> over<br />
korting of over aanbieding<strong>en</strong> waarin ‘iets extra’ wordt gebod<strong>en</strong> In het <strong>vo</strong>orbeeld van afbeelding 91<br />
kan de leraar oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> met het berek<strong>en</strong><strong>en</strong> van het nieuwe gewicht bij 15% extra, vanuit<br />
het nieuwe gewicht terug naar het standaardgewicht of het berek<strong>en</strong><strong>en</strong> van het perc<strong>en</strong>tage dat de<br />
klant extra krijgt Door de context, het gewicht <strong>en</strong>/of het perc<strong>en</strong>tage te verander<strong>en</strong> kan de leraar<br />
opnieuw variër<strong>en</strong> Hierdoor kan hij het flexibel rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met perc<strong>en</strong>tages stimuler<strong>en</strong> Ook hier kan<br />
het interactieve bord goede di<strong>en</strong>st<strong>en</strong> do<strong>en</strong> Als de leerling<strong>en</strong> de verandering<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> <strong>en</strong> kunn<strong>en</strong><br />
vertell<strong>en</strong> wat zij do<strong>en</strong>, begrijp<strong>en</strong> zij ook wat ze do<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Rek<strong>en</strong> uit.<br />
15%<br />
extra<br />
??%<br />
extra<br />
130<br />
15%<br />
extra<br />
Inhoud standaard 400 gram.<br />
Nu: .....................<br />
Inhoud nu 460 gram.<br />
Standaard: .........<br />
Inhoud standaard 400 gram.<br />
Nu: 460 gram<br />
Afbeelding 9.1 Flexibiliser<strong>en</strong> 1<br />
Als de leraar de leerling<strong>en</strong> met wissel<strong>en</strong>de context<strong>en</strong> laat werk<strong>en</strong>, <strong>en</strong> deze <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d koppelt aan<br />
de <strong>vo</strong>rige activiteit, gaan leerling<strong>en</strong> steeds beter flexibel d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> zelf actief<br />
word<strong>en</strong> betrokk<strong>en</strong> bij het flexibiliser<strong>en</strong> Zij kunn<strong>en</strong> andere getall<strong>en</strong> bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> bij context<strong>en</strong>, of<br />
andere context<strong>en</strong> bij de getall<strong>en</strong> Bij<strong>vo</strong>orbeeld bij de scooter (in afbeelding 92) bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> wat de<br />
oorspronkelijke prijs is, de nieuwe prijs of het perc<strong>en</strong>tage korting De leerling<strong>en</strong> berek<strong>en</strong><strong>en</strong> afwissel<strong>en</strong>d<br />
de bedrag<strong>en</strong> <strong>en</strong> het perc<strong>en</strong>tage<br />
Hoeveel proc<strong>en</strong>t korting krijg je?<br />
Van:<br />
1.550,00<br />
Voor:<br />
930,00<br />
Afbeelding 9.2 Flexibiliser<strong>en</strong> 2<br />
Belangrijk bij al deze activiteit<strong>en</strong> is dat de leerling<strong>en</strong> hun eig<strong>en</strong> oplossingsprocedures hardop toelicht<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> met elkaar besprek<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s de rek<strong>en</strong>les De leerling<strong>en</strong> krijg<strong>en</strong> dan ook zicht op oplossingsprocedures<br />
van andere leerling<strong>en</strong> Dit stimuleert dat leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> van <strong>en</strong> aan elkaar Dit<br />
geldt <strong>vo</strong>or alle leerroutes
hoofdstuk 9 Hoofdlijn 4: flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong><br />
Aandachtspunt<strong>en</strong> bij het besprek<strong>en</strong> van oplossingsprocedures zijn:<br />
• e<strong>en</strong> goede probleemaanpak;<br />
• logisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> (oorzaak-ge<strong>vo</strong>lg, doel-middel-doel);<br />
• rek<strong>en</strong>kundig communicer<strong>en</strong>;<br />
• constructief sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong><br />
Complexe opdracht<strong>en</strong> <strong>en</strong> context<strong>en</strong> zijn uitstek<strong>en</strong>d geschikt <strong>vo</strong>or het stimuler<strong>en</strong> van strategisch<br />
d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> De leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> daarbij in tweetall<strong>en</strong> of in kleine groepjes sam<strong>en</strong> aan<br />
het werk gaan In onderling overleg besprek<strong>en</strong> zij het probleem <strong>en</strong> bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> ze hoe ze het kunn<strong>en</strong><br />
oploss<strong>en</strong> Ze besprek<strong>en</strong> mogelijke oplossingsmanier<strong>en</strong> <strong>en</strong> kiez<strong>en</strong> gezam<strong>en</strong>lijk de meest adequate<br />
manier om het probleem aan te pakk<strong>en</strong> <strong>en</strong> op te loss<strong>en</strong> Dat be<strong>vo</strong>rdert het rek<strong>en</strong>kundig communicer<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> leidt tev<strong>en</strong>s tot verdieping van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> Daarna <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> ze hun berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> uit<br />
<strong>en</strong> besprek<strong>en</strong> achteraf of de oplossing past binn<strong>en</strong> de context <strong>en</strong> of ze e<strong>en</strong> juiste keuze hebb<strong>en</strong><br />
gemaakt met betrekking tot de oplossingsprocedure Ze besprek<strong>en</strong> hun stapp<strong>en</strong> aan de hand van<br />
het Drieslagmodel (zie hoofdstuk 11)<br />
131<br />
Na afloop pres<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> zij hun bevinding<strong>en</strong> aan de andere leerling<strong>en</strong> van hun groep Als andere<br />
groep<strong>en</strong> aan hetzelfde onderwerp hebb<strong>en</strong> gewerkt, kunn<strong>en</strong> zij hun ervaring<strong>en</strong> uitwissel<strong>en</strong> Hierbij<br />
gaat het niet alle<strong>en</strong> om het vergelijk<strong>en</strong> van de juiste oplossing<strong>en</strong>, maar ook om het verduidelijk<strong>en</strong><br />
van de ge<strong>vo</strong>lgde procedure Bij de beoordeling van deze manier van werk<strong>en</strong> kan de leraar de leerling<strong>en</strong><br />
in feite drie beloning<strong>en</strong> gev<strong>en</strong>: één <strong>vo</strong>or de juiste oplossing, één <strong>vo</strong>or de sam<strong>en</strong>werking <strong>en</strong><br />
één <strong>vo</strong>or de pres<strong>en</strong>tatie<br />
Deze manier van werk<strong>en</strong> kan ook gebruikt word<strong>en</strong> bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van activiteit<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
project- of themawek<strong>en</strong> Via e<strong>en</strong> informele weg hanter<strong>en</strong> <strong>en</strong> manag<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> situaties<br />
waarin wordt gerek<strong>en</strong>d In de maatschappij <strong>en</strong> ook in het ver<strong>vo</strong>lgonderwijs wordt <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d e<strong>en</strong><br />
beroep gedaan op het vermog<strong>en</strong> tot constructief sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong> <strong>en</strong> op het vermog<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis<br />
flexibel in te kunn<strong>en</strong> zett<strong>en</strong> in allerlei situaties Op school kan hier<strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> goede basis word<strong>en</strong><br />
gelegd<br />
Het flexibel kunn<strong>en</strong> toepass<strong>en</strong> van de eig<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> bij context<strong>en</strong> in schoolsituaties<br />
– maar juist ook in werkelijkheidssituaties – leidt uiteindelijk tot functionele gecijferdheid<br />
k ERn<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
In het dagelijks lev<strong>en</strong> <strong>en</strong> in beroepssituaties hebb<strong>en</strong> we allemaal te mak<strong>en</strong> met situaties<br />
die <strong>vo</strong>or ons meer of minder vertrouwd zijn, e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udig of meer complex zijn <strong>en</strong> die al of<br />
niet e<strong>en</strong> beroep do<strong>en</strong> op rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardigheid. Afhankelijk van de mate van<br />
vertrouwdheid, de mate van complexiteit <strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>vaardigheid die we tot onze<br />
beschikking hebb<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> we e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>probleem goed, minder goed of niet oploss<strong>en</strong>.<br />
Hierbij kunn<strong>en</strong> we ook nog kiez<strong>en</strong> om al dan niet sam<strong>en</strong> te werk<strong>en</strong> met ander<strong>en</strong>.
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Bij rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> is met name het probleemoploss<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> <strong>en</strong> het flexibel<br />
kunn<strong>en</strong> inzett<strong>en</strong> van eig<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> e<strong>en</strong> probleem. De leerling<strong>en</strong><br />
kunn<strong>en</strong> vaak wel iets uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> maar zijn minder goed in staat om e<strong>en</strong> (complex) rek<strong>en</strong>vraagstuk<br />
te analyser<strong>en</strong> <strong>en</strong> ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s e<strong>en</strong> adequate oplossingsprocedure te bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong>.<br />
Ook zijn ze minder goed in het logisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong>, red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> communicer<strong>en</strong> over rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>.<br />
Aandacht <strong>vo</strong>or het ontwikkel<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> systematische probleemaanpak is<br />
<strong>vo</strong>or deze leerling<strong>en</strong> van belang. Zie hier<strong>vo</strong>or het Drieslagmodel in hoofdstuk 11.<br />
132<br />
9.3 Strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong><br />
Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op school is de basis <strong>vo</strong>or het functioner<strong>en</strong> in de maatschappij Daar<strong>vo</strong>or moet de leerling<br />
in staat zijn datg<strong>en</strong>e wat hij op school heeft geleerd flexibel toe te pass<strong>en</strong> in functionele situaties<br />
Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> wordt dan gebruikt als gereedschap om rek<strong>en</strong>vraagstukk<strong>en</strong> op te kunn<strong>en</strong> loss<strong>en</strong> Op<br />
school gebeurt dit in doe-activiteit<strong>en</strong> <strong>en</strong> aan de hand van (complexe) context<strong>en</strong> Het is de weg naar<br />
functionele gecijferdheid<br />
Het fundam<strong>en</strong>t <strong>vo</strong>or functionele gecijferdheid wordt gelegd in het basisonderwijs Daar wordt elke<br />
dag gerek<strong>en</strong>d Dit is de ideale plaats om rek<strong>en</strong><strong>en</strong> als gereedschap te ontwikkel<strong>en</strong> zodat de leerling<br />
uiteindelijk kan functioner<strong>en</strong> in de maatschappij Naarmate leerling<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rder<strong>en</strong> in het onderwijssysteem<br />
krijgt rek<strong>en</strong><strong>en</strong> steeds minder expliciete aandacht M<strong>en</strong> veronderstelt dat leerling<strong>en</strong> het<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (flexibel) kunn<strong>en</strong> toepass<strong>en</strong> in andere vakk<strong>en</strong> <strong>en</strong> in beroepsgerichte opleiding<strong>en</strong><br />
Flexibiliteit houdt dus ook de ‘transfer’ naar andere vakk<strong>en</strong> in Het is echter niet vanzelfsprek<strong>en</strong>d<br />
dat alle leerling<strong>en</strong> dit zomaar kunn<strong>en</strong><br />
Transfer naar andere situaties kan word<strong>en</strong> bereikt door collega’s van andere vakk<strong>en</strong> ook te betrekk<strong>en</strong><br />
bij het rek<strong>en</strong>onderwijs <strong>en</strong> onderwerp<strong>en</strong> op elkaar af te stemm<strong>en</strong> door e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>leerlijn neer te<br />
zett<strong>en</strong> Transfer wordt ook bereikt door de rek<strong>en</strong>leerlijn af te stemm<strong>en</strong> met de rek<strong>en</strong>tak<strong>en</strong> uit de<br />
leerlijn van de beroepsgerichte vakk<strong>en</strong> Daarom is het nodig probleemoploss<strong>en</strong>d ler<strong>en</strong> <strong>en</strong> werk<strong>en</strong><br />
regelmatig te oef<strong>en</strong><strong>en</strong> Elke opdracht in welk vak dan ook is zin<strong>vo</strong>l, mits rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong><br />
geïntegreerd word<strong>en</strong> toegepast Bij deze opdracht<strong>en</strong> gaat het met name om het ontwikkel<strong>en</strong><br />
van compet<strong>en</strong>ties om in rek<strong>en</strong>situaties adequaat te kunn<strong>en</strong> handel<strong>en</strong> Dit betek<strong>en</strong>t onder meer het<br />
<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de:<br />
• In e<strong>en</strong> functionele situatie getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> symbol<strong>en</strong> id<strong>en</strong>tificer<strong>en</strong> <strong>en</strong> er betek<strong>en</strong>is aan gev<strong>en</strong><br />
• Bepal<strong>en</strong> welke rek<strong>en</strong>handeling<strong>en</strong> nodig zijn om e<strong>en</strong> probleem op te loss<strong>en</strong> Het oploss<strong>en</strong> hoeft<br />
niet altijd te bestaan uit iets uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> Het kan ook bestaan uit informatie opnem<strong>en</strong> <strong>en</strong> ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s<br />
e<strong>en</strong> actie uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Bij<strong>vo</strong>orbeeld op e<strong>en</strong> reistijd<strong>en</strong>tabel van de spoorweg<strong>en</strong> uitzoek<strong>en</strong><br />
hoe laat e<strong>en</strong> trein vertrekt <strong>en</strong> vanaf welk perron<br />
• Communicer<strong>en</strong> over rek<strong>en</strong>vraagstukk<strong>en</strong><br />
• Effectieve beslissing<strong>en</strong> nem<strong>en</strong> op basis van berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong>, bij<strong>vo</strong>orbeeld bij de aankoop van<br />
meubilair<br />
• E<strong>en</strong> onderzoek<strong>en</strong>de houding ontwikkel<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het zelfstandig verwerv<strong>en</strong> van nieuwe informatie<br />
• Reflecter<strong>en</strong> op het eig<strong>en</strong> handel<strong>en</strong><br />
• Constructief kunn<strong>en</strong> sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong>
hoofdstuk 9 Hoofdlijn 4: flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong><br />
E<strong>en</strong> gecijferd persoon kan strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> Hij kan bepal<strong>en</strong> welke oplossingsprocedure<br />
in e<strong>en</strong> bepaalde situatie het meest effectief is Hij kiest bij <strong>vo</strong>orkeur zijn eig<strong>en</strong> meest effici<strong>en</strong>te<br />
manier om e<strong>en</strong> probleem aan te pakk<strong>en</strong> <strong>en</strong> op te loss<strong>en</strong> Hij kan zijn k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong><br />
flexibel toepass<strong>en</strong><br />
k ERn<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
Op school wordt veel aandacht besteed aan cognitieve k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> <strong>en</strong> veel<br />
minder – eig<strong>en</strong>lijk niet of nauwelijks – aan strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong>. M<strong>en</strong> gaat er<br />
min of meer van uit dat dit vanzelf gebeurt, afhankelijk van de cognitieve vaardighed<strong>en</strong>.<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> beschikk<strong>en</strong> echter meestal over minder zelfsturing. Hierdoor<br />
zijn zij minder goed in staat hun eig<strong>en</strong> cognitieve handeling<strong>en</strong> aan te stur<strong>en</strong>. Zij nem<strong>en</strong><br />
nieuwe informatie gebrekkig op <strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong> daardoor fragm<strong>en</strong>tarische k<strong>en</strong>nis of verget<strong>en</strong><br />
weer snel wat ze hebb<strong>en</strong> geleerd. Het automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> lukt maar<br />
t<strong>en</strong> dele of helemaal niet. Doordat de k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> niet beklijv<strong>en</strong>, kom<strong>en</strong> zij<br />
ook niet toe aan flexibiliser<strong>en</strong> <strong>en</strong> aan probleemoploss<strong>en</strong>d ofwel strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
handel<strong>en</strong>. Het ge<strong>vo</strong>lg daarvan is dat zij niet of nauwelijks bruikbare rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong><br />
ontwikkel<strong>en</strong>.<br />
In elke fase van het rek<strong>en</strong>onderwijs wordt e<strong>en</strong> beroep gedaan op het toepass<strong>en</strong> (gebruik<strong>en</strong>)<br />
van verworv<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong>. Over het algeme<strong>en</strong> wordt in het onderwijs<br />
te weinig tijd besteed aan e<strong>en</strong> probleemoploss<strong>en</strong>de aanpak. Met name de rek<strong>en</strong>zwakke<br />
leerling komt nauwelijks toe aan het toepass<strong>en</strong> van verworv<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong>.<br />
De leraar verwacht dat de rek<strong>en</strong>zwakke leerling dit niet kan, <strong>en</strong> dat hij stap <strong>vo</strong>or stap hulp<br />
van de leraar nodig heeft om problem<strong>en</strong> op te loss<strong>en</strong>. De leraar is al gauw bereid stap<br />
<strong>vo</strong>or stap hulp te bied<strong>en</strong> bij het oploss<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>. De leerling krijgt minder<br />
kans<strong>en</strong> om zijn k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> in werkelijkheidssituaties te gebruik<strong>en</strong>. Juist om<br />
hem te bescherm<strong>en</strong> krijgt hij minder vaak moeilijke context<strong>en</strong> <strong>en</strong> dus minder uitdaging.<br />
Deze misvatting kan de leraar doorbrek<strong>en</strong> door rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> juist wel te lat<strong>en</strong><br />
werk<strong>en</strong> aan motiver<strong>en</strong>de opdracht<strong>en</strong> die pass<strong>en</strong> bij het niveau van de leerling. Het betek<strong>en</strong>t<br />
wel dat de leraar in de groep rek<strong>en</strong>ing moet houd<strong>en</strong> met wie hij de rek<strong>en</strong>zwakke<br />
leerling laat sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong> <strong>en</strong> welke opdracht<strong>en</strong> hij kan bied<strong>en</strong>. Ook bij het gezam<strong>en</strong>lijk<br />
besprek<strong>en</strong> geeft de leraar de leerling de ruimte die hij aankan.<br />
133<br />
9.4 Signalering bij flexibel toepass<strong>en</strong><br />
S10 – Gebrekkige oplossingsprocedures <strong>en</strong> tekort<strong>en</strong> in het strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> belemmer<strong>en</strong><br />
het flexibel toepass<strong>en</strong><br />
Op school wordt veel aandacht besteed aan het ontwikkel<strong>en</strong> van cognitieve k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> veel minder aan het ontwikkel<strong>en</strong> van strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>zwakke leerling hanteert vaak gebrekkige oplossingsprocedures Deze kan hij dus ook<br />
niet optimaal inzett<strong>en</strong> bij het uitwerk<strong>en</strong> van complexere berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> Dit belemmert de ontwikkeling<br />
van het strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
9.5 Begeleiding bij flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong><br />
• Laat met name ook de rek<strong>en</strong>zwakke leerling probleemoploss<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> Dit is noodzakelijk<br />
om hem in de toekomst als gecijferde <strong>vo</strong>lwass<strong>en</strong>e door het lev<strong>en</strong> te lat<strong>en</strong> gaan <strong>Taal</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
zijn hier<strong>vo</strong>or de basisingrediënt<strong>en</strong> Bij probleemoploss<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> leert hij zijn rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis<br />
<strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> flexibel toepass<strong>en</strong><br />
134<br />
• Daag leerling<strong>en</strong> uit om strategisch te d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> te handel<strong>en</strong> Juist binn<strong>en</strong> het rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
kan hier expliciet aandacht aan word<strong>en</strong> besteed Ook spell<strong>en</strong> waarbij strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
handel<strong>en</strong> c<strong>en</strong>traal staan, zijn daar<strong>vo</strong>or geschikt (bij<strong>vo</strong>orbeeld damm<strong>en</strong>, schak<strong>en</strong>, Vier-op-e<strong>en</strong>rij,<br />
Risk, diverse computerspell<strong>en</strong>)<br />
• Stem het strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> af op de leeftijd <strong>en</strong> de belevingswereld van de leerling<br />
Rijke contextproblem<strong>en</strong> bied<strong>en</strong> hier<strong>vo</strong>or goede mogelijkhed<strong>en</strong>, maar juist ook opdracht<strong>en</strong><br />
die gerelateerd zijn aan het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in buit<strong>en</strong>schoolse situaties Tijd<strong>en</strong>s projectwek<strong>en</strong> of themawek<strong>en</strong><br />
kunn<strong>en</strong> rijke rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> word<strong>en</strong> ingebouwd<br />
• Gebruik het Drieslagmodel (zie hoofdstuk 11) om systematisch aan het probleemoploss<strong>en</strong>d<br />
d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> te werk<strong>en</strong> Zie afbeelding 118 van de leerlingkaart van het<br />
Drieslagmodel<br />
• Geef rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> niet <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d opdracht<strong>en</strong> waarbij het acc<strong>en</strong>t ligt op het technisch<br />
oef<strong>en</strong><strong>en</strong>, oef<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> nog e<strong>en</strong>s oef<strong>en</strong><strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> stress <strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> faalangst<br />
ontwikkel<strong>en</strong> als zij ‘het steeds weer niet kunn<strong>en</strong>’ Dit geldt met name als zij <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d word<strong>en</strong><br />
geconfronteerd met dergelijke opdracht<strong>en</strong>, bij<strong>vo</strong>orbeeld het mak<strong>en</strong> van ‘kale somm<strong>en</strong>’ die<br />
zij niet begrijp<strong>en</strong><br />
Met name goede opdracht<strong>en</strong> in context<strong>en</strong> <strong>en</strong> in meer informele situaties dag<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> uit<br />
hun aandacht te richt<strong>en</strong> op andere vaardighed<strong>en</strong> (bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> hoe je e<strong>en</strong> probleem kunt oploss<strong>en</strong>)<br />
<strong>en</strong> minder op de technische rek<strong>en</strong>aspect<strong>en</strong><br />
• Geef rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> zo veel opdracht<strong>en</strong> mee dat het <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> te overzi<strong>en</strong> valt Maak<br />
de hoeveelheid werk <strong>vo</strong>or de leerling overzichtelijk<br />
• Zorg <strong>vo</strong>or opdracht<strong>en</strong> met context<strong>en</strong> waarbij juist de rek<strong>en</strong>zwakke leerling succes kan behal<strong>en</strong><br />
Laat hem in de groep werk<strong>en</strong>, zodat strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> de sam<strong>en</strong>werking<br />
hierbij word<strong>en</strong> gestimuleerd Dit verhoogt de motivatie <strong>en</strong> dat biedt weer andere kans<strong>en</strong><br />
• Laat de rek<strong>en</strong>zwakke leerling op meer informele wijze <strong>en</strong> op zijn eig<strong>en</strong> manier rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Laat<br />
hem gerust kiez<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or zijn eig<strong>en</strong> beste oplossingsprocedures, zelfs al is dit e<strong>en</strong> oplossingsprocedure<br />
op e<strong>en</strong> lager niveau dan het formele Zo zal hij bij<strong>vo</strong>orbeeld meer tuss<strong>en</strong>stapp<strong>en</strong> mak<strong>en</strong><br />
bij e<strong>en</strong> verm<strong>en</strong>igvuldiging Dat is niet erg In ieder geval laat hij dan zi<strong>en</strong> wat hij kan in e<strong>en</strong><br />
functionele situatie Dit be<strong>vo</strong>rdert de motivatie <strong>en</strong> het zelfvertrouw<strong>en</strong> van de leerling De beste<br />
bijdrage lever<strong>en</strong> opdracht<strong>en</strong> die binn<strong>en</strong> de mogelijkhed<strong>en</strong> van de leerling pass<strong>en</strong>, zodat hij succeservaring<strong>en</strong><br />
beleeft
Deel 3<br />
Afstemm<strong>en</strong><br />
10 Het Handelingsmodel<br />
11 Het Drieslagmodel<br />
12 Sam<strong>en</strong>hang <strong>en</strong> afstemming tuss<strong>en</strong> beide modell<strong>en</strong><br />
13 Aandachtspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het signaler<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>
10 Het Handelingsmodel<br />
1
Het Handelingsmodel is e<strong>en</strong> model om de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van leerling<strong>en</strong> te<br />
<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>, te stimuler<strong>en</strong> <strong>en</strong> te begeleid<strong>en</strong>. Het model biedt aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or<br />
het observer<strong>en</strong>, analyser<strong>en</strong> <strong>en</strong> interpreter<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>handeling<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong>.<br />
Op grond hiervan kan de leraar vaststell<strong>en</strong> of er sprake is van knelpunt<strong>en</strong>. Als<br />
de rek<strong>en</strong>problematiek helder is, kan de leraar zijn onderwijsaanbod nauw keurig<br />
afstemm<strong>en</strong> op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van zijn leerling<strong>en</strong>.<br />
10
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
10.1 De handelingstheorie<br />
Het Handelingsmodel is afgeleid van de handelingstheorie In de wet<strong>en</strong>schap bestaan diverse theorieën<br />
over het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Wij kiez<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de handelingstheorie als de theoretische onderbouwing<br />
van de rek<strong>en</strong>ontwikkeling Het belangrijkste argum<strong>en</strong>t is dat het Handelingsmodel verhelder<strong>en</strong>d<br />
werkt bij het in beeld br<strong>en</strong>g<strong>en</strong> van deze ontwikkeling bij leerling<strong>en</strong> (Van Gro<strong>en</strong>estijn, 2002,<br />
2009a, 2009b) 1 Zie bijlage A: achtergrond<strong>en</strong> van ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
138<br />
De kern van de handelingstheorie is dat iedere<strong>en</strong> zelf k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> ontwikkelt door interactie<br />
met ander<strong>en</strong> in informele <strong>en</strong> formele situaties Het informele ler<strong>en</strong> is de basis van het<br />
formele ler<strong>en</strong> Informeel ler<strong>en</strong> bestaat <strong>vo</strong>oral uit do<strong>en</strong>, waarnem<strong>en</strong>, zich iets kunn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong>,<br />
communicer<strong>en</strong> <strong>en</strong> reflecter<strong>en</strong>, verwoord<strong>en</strong> <strong>en</strong> logisch ord<strong>en</strong><strong>en</strong> van informatie Hierop gebaseerd<br />
ontwikkel<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> in formele (schoolse) situaties formele handeling<strong>en</strong> <strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong> Het<br />
informele <strong>en</strong> het formele proces gaan sam<strong>en</strong> <strong>en</strong> verlop<strong>en</strong> vaak tegelijkertijd Informeel <strong>en</strong> formeel<br />
ler<strong>en</strong> gaan hand in hand Naarmate leerling<strong>en</strong> meer informele (buit<strong>en</strong>schoolse) ervaring<strong>en</strong> opdo<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> dit informele ler<strong>en</strong> beter verloopt, legg<strong>en</strong> zij e<strong>en</strong> betere basis <strong>vo</strong>or het formele ler<strong>en</strong> De<br />
stimulans van <strong>vo</strong>lwass<strong>en</strong><strong>en</strong> in de directe leef- <strong>en</strong> leeromgeving van de leerling is hierbij cruciaal<br />
Naarmate leerling<strong>en</strong> ouder word<strong>en</strong>, ler<strong>en</strong> zij ook steeds meer van vri<strong>en</strong>d<strong>en</strong>, van andere <strong>vo</strong>lwass<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
in buit<strong>en</strong>schoolse situaties <strong>en</strong> later ook van collega’s <strong>en</strong> werkgevers in beroepssituaties De<br />
school is belangrijk <strong>vo</strong>or het formeel <strong>en</strong> het beroepsgericht ler<strong>en</strong> De school neemt ev<strong>en</strong>wel maar<br />
e<strong>en</strong> deel van de dag in beslag E<strong>en</strong> belangrijke taak van de school is om bij het verwerv<strong>en</strong> van formele<br />
k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong>, zoals het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van formele rek<strong>en</strong>bewerking<strong>en</strong>, zo veel mogelijk<br />
de koppeling te mak<strong>en</strong> met informele k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> hierdoor betek<strong>en</strong>is<br />
te gev<strong>en</strong> aan opdracht<strong>en</strong> die hor<strong>en</strong> tot het formeel ler<strong>en</strong> Ze ler<strong>en</strong> hun formele k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong><br />
gebruik<strong>en</strong> in allerlei dagelijkse, functionele situaties In het <strong>vo</strong> kunn<strong>en</strong> de praktijkvakk<strong>en</strong>,<br />
zoals techniek, gezondheidskunde <strong>en</strong> verzorging, e<strong>en</strong> belangrijke schakel zijn tuss<strong>en</strong> school<br />
<strong>en</strong> maatschappij <strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> het formele <strong>en</strong> informele (of wellicht het semiformele) ler<strong>en</strong><br />
Ler<strong>en</strong> in informele situaties stopt nooit <strong>en</strong> is belangrijk <strong>vo</strong>or het ontwikkel<strong>en</strong> van praktische k<strong>en</strong>nis<br />
<strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> die nuttig zijn <strong>vo</strong>or het verdere lev<strong>en</strong> In de huidige maatschappij van e<strong>en</strong> lev<strong>en</strong><br />
lang ler<strong>en</strong> speelt het ler<strong>en</strong> zich <strong>vo</strong>or minst<strong>en</strong>s driekwart van de tijd af in informele leersituaties<br />
10.2 Het Handelingsmodel<br />
Het Handelingsmodel is (zie afbeelding 101) is e<strong>en</strong> schematische weergave van de rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
die geldt <strong>vo</strong>or alle leerling<strong>en</strong> Aan de hand van dit model kan de leraar gericht observer<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
signaler<strong>en</strong> hoe de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van de leerling<strong>en</strong> verloopt Daardoor biedt het model ook<br />
aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het afstemm<strong>en</strong> van het rek<strong>en</strong>onderwijs op de ontwikkeling van de leerling<strong>en</strong><br />
1 De rek<strong>en</strong>ontwikkeling van leerling<strong>en</strong> kan theoretisch word<strong>en</strong> onderbouwd <strong>en</strong> ondersteund met de handelingstheorie<br />
(Van Oers, 1987; Van Gro<strong>en</strong>estijn, 2002). Het Handelingsmodel is afgeleid van de oorspronkelijke handelingstheorie<br />
van Galperin (Van Parrer<strong>en</strong> & Neliss<strong>en</strong>, 1977).
hoofdstuk 10 Het Handelingsmodel<br />
M<strong>en</strong>taal handel<strong>en</strong><br />
Verwoord<strong>en</strong> / communicer<strong>en</strong><br />
Formeel handel<strong>en</strong><br />
(formele bewerking<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong>)<br />
Voorstell<strong>en</strong> - abstract<br />
(repres<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> van de werkelijkheid aan de hand van d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong>)<br />
Voorstell<strong>en</strong> - concreet<br />
(repres<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> van object<strong>en</strong> <strong>en</strong> werkelijkheidssituaties in<br />
concrete afbeelding<strong>en</strong>)<br />
Informeel handel<strong>en</strong> in werkelijkheidssituaties (do<strong>en</strong>)<br />
139<br />
Afbeelding 10.1 Het Handelingsmodel <strong>en</strong> de handelingsniveaus<br />
Leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> van elkaar <strong>en</strong> van <strong>vo</strong>lwass<strong>en</strong><strong>en</strong> op vier niveaus van handel<strong>en</strong> Daarom sprek<strong>en</strong> wij<br />
van ‘handelingsniveaus’<br />
• Handelingsniveau 1: informeel handel<strong>en</strong> in werkelijkheidssituaties (do<strong>en</strong>)<br />
Op dit laagste, eerste niveau, ler<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> op informele wijze door sam<strong>en</strong> iets te do<strong>en</strong><br />
• Handelingsniveau 2: <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> – concreet (repres<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> van object<strong>en</strong> <strong>en</strong> werkelijkheidssituaties in<br />
concrete afbeelding<strong>en</strong>)<br />
Op dit niveau ler<strong>en</strong> zij door elkaar over e<strong>en</strong> concrete situatie iets te vertell<strong>en</strong> <strong>en</strong> daarbij gebruik<br />
te mak<strong>en</strong> van afbeelding<strong>en</strong> van de werkelijkheid<br />
• Handelingsniveau 3: <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> – abstract (repres<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> van de werkelijkheid aan de hand van<br />
d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong>)<br />
Op het derde niveau ler<strong>en</strong> zij op e<strong>en</strong> meer abstract niveau te red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> aan de hand van schematische<br />
<strong>vo</strong>orstelling<strong>en</strong> van de werkelijkheid met d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong>, schema’s of werktek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong><br />
• Handelingsniveau 4: formeel handel<strong>en</strong> (formele bewerking<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong>)<br />
T<strong>en</strong> slotte ler<strong>en</strong> zij op het hoogste, vierde niveau red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> op basis van tekst, getall<strong>en</strong> of e<strong>en</strong><br />
combinatie van beide (formeel handel<strong>en</strong> door berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> uit te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> of te symboliser<strong>en</strong>)<br />
Dit proces is e<strong>en</strong> wisselwerking tuss<strong>en</strong> het m<strong>en</strong>taal handel<strong>en</strong> (d<strong>en</strong>k<strong>en</strong>) <strong>en</strong> het werkelijke handel<strong>en</strong><br />
(do<strong>en</strong>, waarnem<strong>en</strong>) Het m<strong>en</strong>taal handel<strong>en</strong> stuurt het werkelijke handel<strong>en</strong> aan, maar het m<strong>en</strong>taal<br />
handel<strong>en</strong> wordt ook steeds verder ontwikkeld tijd<strong>en</strong>s het doorlop<strong>en</strong> van deze vier niveaus In communicatie<br />
met ander<strong>en</strong> leert de leerling zijn handeling<strong>en</strong> verwoord<strong>en</strong>, beargum<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> <strong>en</strong> logisch<br />
red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> Het verwoord<strong>en</strong> <strong>en</strong> logisch red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> ondersteunt ook het m<strong>en</strong>taal handel<strong>en</strong> (Van<br />
Oers, 1987; Van Gro<strong>en</strong>estijn, 2002) Zie ook paragraaf 104
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Bij het ontwikkel<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> doorlop<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> deze handelingsniveaus<br />
E<strong>en</strong> goede ontwikkeling op de onderste twee niveaus is de basis <strong>vo</strong>or het handel<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
functioner<strong>en</strong> op de bov<strong>en</strong>ste twee<br />
140<br />
Naarmate leerling<strong>en</strong> ouder word<strong>en</strong>, functioner<strong>en</strong> zij (in het onderwijs) meer op de hoogste twee<br />
niveaus De koppeling met de lagere, concrete niveaus blijft echter altijd belangrijk Het informele<br />
handel<strong>en</strong> op deze niveaus is namelijk de schakel met het functioner<strong>en</strong> in het dagelijks lev<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
met het ontwikkel<strong>en</strong> van praktische k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> Met name <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> in het<br />
vmbo-bbl <strong>en</strong> vmbo-kbl maakt deze schakel het ler<strong>en</strong> op school concreet <strong>en</strong> relevant <strong>vo</strong>or de praktijk<br />
Als zij zich iets kunn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> bij opdracht<strong>en</strong> op school, kunn<strong>en</strong> zij deze koppel<strong>en</strong> aan<br />
praktische, bruikbare k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> Zo krijgt rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is Leerling<strong>en</strong> in<br />
vmbo-gl, vmbo-tl, ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo kunn<strong>en</strong> meer afstand nem<strong>en</strong> van concrete situaties Zij zijn beter<br />
in staat om op e<strong>en</strong> meer abstract niveau te red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> problem<strong>en</strong> op te loss<strong>en</strong> Zie bijlage B<br />
De vier handelingsniveaus zijn op iedere<strong>en</strong> van toepassing bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Het onderscheid<br />
in niveaus is kunstmatig maar uitermate geschikt om er praktische rek<strong>en</strong>didactiek op te baser<strong>en</strong><br />
Het model is e<strong>en</strong> hulpmiddel <strong>vo</strong>or de leraar om de ontwikkeling van leerling<strong>en</strong> te kunn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>,<br />
ev<strong>en</strong>tuele problem<strong>en</strong> te analyser<strong>en</strong> <strong>en</strong> het onderwijs af te stemm<strong>en</strong> op dat wat e<strong>en</strong> leerling nodig<br />
heeft<br />
10.3 Schakel<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> handelingsniveaus<br />
Voor de rek<strong>en</strong>zwakke leerling is het ess<strong>en</strong>tieel dat zijn rek<strong>en</strong>ontwikkeling steeds begint vanuit het<br />
lagere handelingsniveau Het is de taak van de leraar om de leerling abstracte onderwerp<strong>en</strong>, zoals<br />
breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>, zich eerst concreet te lat<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> Pas daarna kan<br />
hij ernaar toewerk<strong>en</strong> dat de leerling op de hogere, abstractere handelingsniveaus leert rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
De leerling zal steeds de koppeling will<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> naar concreet <strong>vo</strong>orstelbare situaties waarop de<br />
rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or hem van toepassing zijn De leraar kan hiertoe gebruik mak<strong>en</strong> van werkelijkheidssituaties<br />
Hij hoeft meestal niet op handelingsniveau 1 te beginn<strong>en</strong><br />
Wanneer de leraar e<strong>en</strong> opdracht aanbiedt op handelingsniveau 2 (<strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> – concreet), kan hij<br />
gebruik mak<strong>en</strong> van afbeelding<strong>en</strong> die verwijz<strong>en</strong> naar de leefwereld van de leerling Bij het ler<strong>en</strong> van<br />
breuk<strong>en</strong> bij<strong>vo</strong>orbeeld kan hij pizza’s, taart<strong>en</strong>, stokbrood, Turks brood, Italiaans brood van e<strong>en</strong> lokale<br />
pizzeria of supermarkt lat<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> Hoe meer e<strong>en</strong> afbeelding refereert aan werkelijkheidssituaties,<br />
hoe beter zij <strong>vo</strong>or de leerling herk<strong>en</strong>baar is Breuk<strong>en</strong> kan de leraar visueel <strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l<br />
mak<strong>en</strong> door de leerling<strong>en</strong> e<strong>en</strong> pizza te lat<strong>en</strong> verdel<strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> al tek<strong>en</strong><strong>en</strong>d (<strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong><br />
– abstract, niveau 3) verdeling<strong>en</strong> <strong>en</strong> berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> (formele bewerking<strong>en</strong>, niveau 4) mak<strong>en</strong> om de<br />
pizza eerlijk te verdel<strong>en</strong> De leraar laat de leerling<strong>en</strong> schakel<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> de handelingsniveaus
hoofdstuk 10 Het Handelingsmodel<br />
Eerlijk del<strong>en</strong>. Hoeveel krijgt ieder?<br />
141<br />
4<br />
........... ieder krijgt ........... pizza<br />
Afbeelding 10.2 Eerlijk del<strong>en</strong><br />
Afbeelding 102 geeft e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orbeeld om de opdracht te gev<strong>en</strong> dat vier leerling<strong>en</strong> drie pizza’s eerlijk<br />
moet<strong>en</strong> del<strong>en</strong> De opdracht schakelt tuss<strong>en</strong> vier handelingsniveaus<br />
• Handelingsniveau 1: informeel handel<strong>en</strong> in werkelijkheidssituaties<br />
De leraar maakt op dit niveau gebruik van pizza’s van bij<strong>vo</strong>orbeeld karton De leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong><br />
actief manipuler<strong>en</strong> met de pizza’s De leraar observeert wat er gebeurt <strong>en</strong> laat de leerling<strong>en</strong><br />
vertell<strong>en</strong> wat ze do<strong>en</strong><br />
• Handelingsniveau 2: <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> – concreet<br />
Op dit niveau maakt de leraar gebruik van e<strong>en</strong> afbeelding (foto of tek<strong>en</strong>ing) van drie pizza’s <strong>en</strong><br />
vier leerling<strong>en</strong> Dit kan bij<strong>vo</strong>orbeeld op e<strong>en</strong> interactief bord word<strong>en</strong> geprojecteerd De leerling<strong>en</strong><br />
besprek<strong>en</strong> hoe zij de pizza’s gaan verdel<strong>en</strong> <strong>en</strong> vertell<strong>en</strong> hoe zij rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
• Handelingsniveau 3: <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> – abstract<br />
Dit is het niveau van het pres<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> van de werkelijkheid aan de hand van d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> De<br />
leerling<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> op dit niveau gebruik van d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> In het <strong>vo</strong>orbeeld is dit e<strong>en</strong> cirkel,<br />
maar het kunn<strong>en</strong> ook vierkant<strong>en</strong> of rechthoek<strong>en</strong> of strok<strong>en</strong> zijn De leerling<strong>en</strong> tek<strong>en</strong><strong>en</strong> de<br />
verdeling <strong>en</strong> bepal<strong>en</strong> het resultaat<br />
• Handelingsniveau 4: formeel handel<strong>en</strong><br />
Op dit niveau <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> de formele bewerking uit De leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> dat 3÷4 =<br />
3_<br />
4<br />
Het is de taak van de leraar om de relatie te legg<strong>en</strong> (schakel<strong>en</strong>) tuss<strong>en</strong> de verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus<br />
In e<strong>en</strong> latere fase, als de leerling<strong>en</strong> berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> of somm<strong>en</strong> mak<strong>en</strong>, kan hij deze relaties<br />
weer oproep<strong>en</strong> door te verwijz<strong>en</strong> naar de pizzacontext De leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> hiermee e<strong>en</strong> d<strong>en</strong>kmodel<br />
gekreg<strong>en</strong> waaraan ze kunn<strong>en</strong> referer<strong>en</strong> Als de leraar beschikt over e<strong>en</strong> digibord kan hij zo’n<br />
situatie snel weer te<strong>vo</strong>orschijn lat<strong>en</strong> kom<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
10.4 Verwoord<strong>en</strong>/communicer<strong>en</strong> <strong>en</strong> m<strong>en</strong>taal handel<strong>en</strong><br />
142<br />
Dat de leerling vertelt <strong>en</strong> verwoordt hoe <strong>en</strong> waarom hij bepaalde handeling<strong>en</strong> verricht, draagt wez<strong>en</strong>lijk<br />
bij aan zijn rek<strong>en</strong>ontwikkeling In communicatie met ander<strong>en</strong> leert de leerling zijn gedacht<strong>en</strong><br />
logisch te ord<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> te verwoord<strong>en</strong> Door de reacties van ander<strong>en</strong> gaat de leerling steeds beter<br />
logisch red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> Dit levert e<strong>en</strong> ess<strong>en</strong>tiële bijdrage aan de beheersing van rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> die<br />
op dat mom<strong>en</strong>t aan de orde zijn (verinnerlijk<strong>en</strong>, begrijp<strong>en</strong>) In het <strong>vo</strong>orbeeld hierbov<strong>en</strong> laat de leraar<br />
de leerling<strong>en</strong> vertell<strong>en</strong> hoe ze de opdracht<strong>en</strong> aanpakk<strong>en</strong> Volg<strong>en</strong>s het Handelingsmodel stuurt<br />
de leraar hiermee het verwoord<strong>en</strong>/communicer<strong>en</strong> Dit is de rechter kolom in afbeelding 101<br />
De linker kolom is die van het m<strong>en</strong>taal handel<strong>en</strong> Dit speelt zich af op cognitief niveau (d<strong>en</strong>k<strong>en</strong>)<br />
Het verzorgt de aansturing van elke handeling op elk van de niveaus én van het vertell<strong>en</strong> over <strong>en</strong><br />
het verwoord<strong>en</strong> van deze handeling<strong>en</strong> Het m<strong>en</strong>taal handel<strong>en</strong> stuurt cognitieve process<strong>en</strong> aan zoals<br />
waarnem<strong>en</strong>, observer<strong>en</strong>, id<strong>en</strong>tificer<strong>en</strong>, analyser<strong>en</strong>, structurer<strong>en</strong> (ord<strong>en</strong><strong>en</strong>), construer<strong>en</strong>, reconstruer<strong>en</strong>,<br />
red<strong>en</strong>er<strong>en</strong>, interacter<strong>en</strong> <strong>en</strong> reflecter<strong>en</strong> Bij de rek<strong>en</strong>ontwikkeling pass<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> deze<br />
algem<strong>en</strong>e cognitieve vaardighed<strong>en</strong> specifiek toe op onderwerp<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>kundige aard<br />
Het doorlop<strong>en</strong> van de vier niveaus van rek<strong>en</strong>kundig handel<strong>en</strong> in combinatie met het erover communicer<strong>en</strong><br />
draagt op zijn beurt weer bij aan de ontwikkeling van het m<strong>en</strong>taal handel<strong>en</strong> Het m<strong>en</strong>taal<br />
handel<strong>en</strong> stuurt deze activiteit<strong>en</strong> aan, maar het werkt dus ook andersom Het m<strong>en</strong>taal handel<strong>en</strong><br />
wordt ontwikkeld door het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van die andere activiteit<strong>en</strong><br />
10.5 De betek<strong>en</strong>is van het Handelingsmodel <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Bij het ontwikkel<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> doorlop<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> de vier handelingsniveaus<br />
Het Handelingsmodel staat in verband met de Hoofdlijn<strong>en</strong> in hoofdstuk 6 <strong>en</strong> 7<br />
Hoofdlijn 1 is ‘verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming’ <strong>en</strong> Hoofdlijn 2 is ‘verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
consolider<strong>en</strong> van oplossingsprocedures’<br />
Bij jonge kinder<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> wij <strong>vo</strong>oral e<strong>en</strong> ontwikkeling die start bij niveau 1 Naarmate leerling<strong>en</strong> meer<br />
k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> ontwikkeld, kunn<strong>en</strong> zij op willekeurig andere niveaus instapp<strong>en</strong><br />
E<strong>en</strong> goede ontwikkeling op de onderste twee niveaus in afbeelding 101 is echter altijd noodzakelijk<br />
<strong>vo</strong>or het betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> functioner<strong>en</strong> op de bov<strong>en</strong>ste twee niveaus van het Handelingsmodel<br />
Het model geeft de opbouw van <strong>en</strong> de sam<strong>en</strong>hang tuss<strong>en</strong> de verschill<strong>en</strong>de niveaus van handel<strong>en</strong><br />
systematisch <strong>en</strong> in detail weer Het model biedt drie<strong>vo</strong>udige ondersteuning<br />
• Het biedt de leraar ondersteuning bij het observer<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s het rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, waardoor<br />
hij de overgang<strong>en</strong> van het <strong>en</strong>e naar e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>d of <strong>vo</strong>rig niveau van handel<strong>en</strong> kan herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong><br />
• Het biedt aanknopingspunt<strong>en</strong> om het onderwijsaanbod nauwkeurig af te stemm<strong>en</strong> op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
van leerling<strong>en</strong> bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
• Het biedt aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de begeleiding van de leerling<strong>en</strong> die meer ondersteuning<br />
nodig hebb<strong>en</strong> bij hun rek<strong>en</strong>ontwikkeling
hoofdstuk 10 Het Handelingsmodel<br />
De handelingstheorie leert ons twee zak<strong>en</strong> die met elkaar sam<strong>en</strong>hang<strong>en</strong> Zij leert dat leerling<strong>en</strong><br />
actief bij hun eig<strong>en</strong> ontwikkeling betrokk<strong>en</strong> moet<strong>en</strong> zijn <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> optimaal leerr<strong>en</strong>dem<strong>en</strong>t Het<br />
tweede punt is dat ler<strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is moet hebb<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong><br />
Ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is niet alle<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> uit e<strong>en</strong> boek <strong>en</strong> somm<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> Experim<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> <strong>en</strong> ervaring<strong>en</strong><br />
opdo<strong>en</strong> in sam<strong>en</strong>werking met ander<strong>en</strong> hor<strong>en</strong> er ook bij Dit <strong>vo</strong>rmt de basis om functionele k<strong>en</strong>nis<br />
<strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> te verwerv<strong>en</strong> Het is belangrijk dat de leraar in zijn onderwijsaanbod ruimte biedt<br />
<strong>vo</strong>or experim<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> De leraar wisselt dit af met meer stur<strong>en</strong>de activiteit<strong>en</strong> als uitlegg<strong>en</strong>, begeleid<br />
ler<strong>en</strong>, instruer<strong>en</strong>, <strong>vo</strong>ordo<strong>en</strong>-nado<strong>en</strong>, sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong>d ler<strong>en</strong> Hij laat de leerling<strong>en</strong> ook (regelmatig)<br />
oef<strong>en</strong><strong>en</strong> om de leerstof zelfstandig te verwerk<strong>en</strong> Hierdoor kunn<strong>en</strong> zij hun vaardigheid ontwikkel<strong>en</strong>,<br />
onderhoud<strong>en</strong>, automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> Ook dit is e<strong>en</strong> onmisbaar deel in het leerproces<br />
143<br />
De <strong>en</strong>e leerling heeft meer <strong>en</strong> andere ondersteuning <strong>en</strong> ook meer oef<strong>en</strong>tijd nodig dan de andere<br />
leerling De leraar zorgt <strong>vo</strong>or variatie bij de oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> Hij zorgt dat de leerling de verbinding kan<br />
mak<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> informeel <strong>en</strong> formeel ler<strong>en</strong> Oef<strong>en</strong><strong>en</strong> vraagt ook opdracht<strong>en</strong> die schakel<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> de<br />
verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus<br />
De leraar is cruciaal om de leerling te lat<strong>en</strong> schakel<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> formeel ler<strong>en</strong> op school <strong>en</strong> informeel<br />
ler<strong>en</strong> in buit<strong>en</strong>schoolse situaties E<strong>en</strong> leraar die zich hiervan bewust is, probeert informeel ler<strong>en</strong><br />
steeds in te bouw<strong>en</strong> in formeel ler<strong>en</strong> Tijd<strong>en</strong>s het leerproces legt hij verband<strong>en</strong> met buit<strong>en</strong>schoolse<br />
ervaring<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> laat hij leerling<strong>en</strong> experim<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> met werkelijkheidsmaterial<strong>en</strong><br />
Ler<strong>en</strong> op school krijgt daardoor betek<strong>en</strong>is vanuit het dagelijks lev<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> omgekeerd<br />
10.6 Het Handelingsmodel als model <strong>vo</strong>or observatie (in de groep)<br />
Het Handelingsmodel kan op de eerste plaats word<strong>en</strong> gebruikt om de ontwikkeling van leerling<strong>en</strong><br />
in de groep te <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> (observer<strong>en</strong>), ev<strong>en</strong>tuele knelpunt<strong>en</strong> tijdig te signaler<strong>en</strong> <strong>en</strong> deze te analyser<strong>en</strong><br />
Dit is <strong>vo</strong>orwaarde om het didactisch handel<strong>en</strong> te kunn<strong>en</strong> afstemm<strong>en</strong> op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van<br />
leerling<strong>en</strong>, in het bijzonder van de rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
Daarnaast kan dit model word<strong>en</strong> gebruikt <strong>vo</strong>or individuele observaties, diagnostische gesprekk<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> ondersteuning van leerling<strong>en</strong> die in begeleidingscategorie 2 <strong>en</strong> 3 vall<strong>en</strong> (zie deel 4)<br />
In de klass<strong>en</strong>situatie is het van belang dat de leraar de ontwikkeling van alle leerling<strong>en</strong> systematisch<br />
<strong>vo</strong>lgt, zeker die van de rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> Het Handelingsmodel biedt hem ondersteuning<br />
om ev<strong>en</strong>tuele knelpunt<strong>en</strong> te analyser<strong>en</strong> <strong>en</strong> te beschrijv<strong>en</strong> Door vanuit het Handelingsmodel<br />
te kijk<strong>en</strong> naar hoe leerling<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> naar de leerstof in de boek<strong>en</strong> kan de leraar zijn eig<strong>en</strong> didactisch<br />
handel<strong>en</strong> hierop afstemm<strong>en</strong><br />
Met behulp van het Handelingsmodel kan de leraar achterhal<strong>en</strong> of e<strong>en</strong> leerling rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong><br />
uit<strong>vo</strong>ert op basis van begrip <strong>en</strong> inzicht Als de leerling zelf goed kan uitlegg<strong>en</strong> wat hij doet, laat hij<br />
hor<strong>en</strong> dat hij begrijpt wat hij doet Het is dan ook van belang dat de leraar leerling<strong>en</strong> regelmatig<br />
laat verwoord<strong>en</strong> hoe zij hun berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Het is niet g<strong>en</strong>oeg als de leraar alle<strong>en</strong> maar<br />
uitlegt <strong>en</strong> <strong>vo</strong>ordoet hoe zij berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> moet<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Hierna <strong>vo</strong>lgt e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orbeeld van e<strong>en</strong> observatie waarmee de leraar onderzoekt of leerling<strong>en</strong> begrip<br />
hebb<strong>en</strong> van het concept oppervlakte <strong>en</strong> de daarbij pass<strong>en</strong>de berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
144<br />
Bij het <strong>vo</strong>orbeeld in afbeelding<strong>en</strong> 103 tot <strong>en</strong> met 106 kan de leraar via gerichte vrag<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s de<br />
les leerling<strong>en</strong> observer<strong>en</strong> of leerling<strong>en</strong> e<strong>en</strong> oppervlakte kunn<strong>en</strong> berek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> zo ja, hoe zij dat<br />
do<strong>en</strong> Met behulp van het Handelingsmodel kan de leraar systematisch analyser<strong>en</strong> <strong>en</strong> beschrijv<strong>en</strong><br />
welke knelpunt<strong>en</strong> hij signaleert Het gebruik van het model lijkt e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udig, maar in werkelijkheid<br />
vraagt dat om de nodige <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> oef<strong>en</strong>ing Het vraagt ook dat de leraar opdracht<strong>en</strong> aanbiedt<br />
die het de leerling<strong>en</strong> mogelijk mak<strong>en</strong> op de verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus te handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> dit te<br />
verwoord<strong>en</strong><br />
• Handelingsniveau 1: informeel handel<strong>en</strong> in werkelijkheidssituaties<br />
Op niveau 1 observeert de leraar de wijze waarop leerling<strong>en</strong> de oppervlakte van hun eig<strong>en</strong> klaslokaal<br />
berek<strong>en</strong><strong>en</strong> Hij laat ze vertell<strong>en</strong> wat zij wet<strong>en</strong> over het concept oppervlakte <strong>en</strong> hoe zij de oppervlakte<br />
bepal<strong>en</strong> Welke oplossingsprocedures gebruik<strong>en</strong> zij? Kunn<strong>en</strong> zij de l<strong>en</strong>gte <strong>en</strong> breedte van<br />
het lokaal met<strong>en</strong>? Hoe do<strong>en</strong> zij dat? Mak<strong>en</strong> zij bij<strong>vo</strong>orbeeld schatt<strong>en</strong>d gebruik van het aantal ram<strong>en</strong>?<br />
Mak<strong>en</strong> zij ev<strong>en</strong>tueel gebruik van de ban<strong>en</strong> linoleum? Hoe rek<strong>en</strong><strong>en</strong> zij als het lokaal niet<br />
rechthoekig is?<br />
De leerling<strong>en</strong> met<strong>en</strong> de l<strong>en</strong>gte <strong>en</strong> de breedte van het lokaal.<br />
Zij bepal<strong>en</strong> ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de oppervlakte van het lokaal.<br />
Afbeelding 10.3 Handelingsniveau 1: informeel handel<strong>en</strong> in werkelijkheidssituaties<br />
• Handelingsniveau 2: <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> – concreet<br />
Op niveau 2 is het de vraag of e<strong>en</strong> leerling aan de hand van e<strong>en</strong> foto of tek<strong>en</strong>ing met mat<strong>en</strong> kan<br />
aangev<strong>en</strong> wat de oppervlakte van het lokaal is <strong>en</strong> hoe hij die bepaalt Leerling<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> hierbij gebruik<br />
van de k<strong>en</strong>nis die zij al hebb<strong>en</strong> De leraar krijgt hier e<strong>en</strong> indruk van wat de leerling<strong>en</strong> al<br />
wet<strong>en</strong> over oppervlakte Welke begripp<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>taal gebruik<strong>en</strong> ze om te vertell<strong>en</strong> wat ze zi<strong>en</strong> in<br />
de afbeelding?
hoofdstuk 10 Het Handelingsmodel<br />
De l<strong>en</strong>gte <strong>en</strong> breedte van het lokaal zijn gegev<strong>en</strong> aan de hand van<br />
e<strong>en</strong> foto. De leerling<strong>en</strong> berek<strong>en</strong><strong>en</strong> de oppervlakte.<br />
145<br />
6,2 meter<br />
8,5 meter<br />
Afbeelding 10.4 Handelingsniveau 2: <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> – concreet<br />
• Handelingsniveau 3: <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> – abstract<br />
Op niveau 3 is het de vraag of e<strong>en</strong> leerling in staat is (e<strong>en</strong> weergave van) de werkelijkheid te vertal<strong>en</strong><br />
naar e<strong>en</strong> model of schematische tek<strong>en</strong>ing of, omgekeerd, achter zo’n model de werkelijke situatie<br />
te herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> Ook speelt op dit niveau de vraag of de leerling – zonder vertaling naar niveau 2 of 1<br />
– de k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van het model kan gebruik<strong>en</strong> om tot e<strong>en</strong> pass<strong>en</strong>de redering of e<strong>en</strong> juiste oplossing<br />
te kom<strong>en</strong><br />
Berek<strong>en</strong> de oppervlakte van lokaal 1.5.<br />
Afbeelding 10.5 Handelingsniveau 3: <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> – abstract
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
De leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> e<strong>en</strong> plattegrond van de klas met mat<strong>en</strong> erbij<br />
Kunn<strong>en</strong> alle leerling<strong>en</strong> de begripp<strong>en</strong> l<strong>en</strong>gte <strong>en</strong> breedte gebruik<strong>en</strong>? En van vierkante meters?<br />
Kunn<strong>en</strong> zij vertell<strong>en</strong> hoeveel meter(s) er in de l<strong>en</strong>gte <strong>en</strong> breedte gaan? Ook als het ge<strong>en</strong> hele meters<br />
zijn? Kunn<strong>en</strong> zij de oppervlakte bepal<strong>en</strong> aan de hand van het aantal vierkante meters?<br />
146<br />
• Handelingsniveau 4: formele bewerking<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Op niveau 4 t<strong>en</strong> slotte is het de vraag of de leerling<strong>en</strong> spontaan e<strong>en</strong> pass<strong>en</strong>de red<strong>en</strong>ering kunn<strong>en</strong><br />
gebruik<strong>en</strong> of de juiste procedure <strong>vo</strong>or het berek<strong>en</strong><strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> toepass<strong>en</strong> Met spontaan bedoel<strong>en</strong> we<br />
dat de leerling<strong>en</strong> niet eerst terugschakel<strong>en</strong> naar de niveaus 3, 2 of 1<br />
Berek<strong>en</strong> de oppervlakte.<br />
Oppervlakte = l<strong>en</strong>gte x breedte<br />
Mat<strong>en</strong>: l<strong>en</strong>gte = 8,5 m<br />
breedte = 6,2 m<br />
Afbeelding 10.6 Handelingsniveau 4: formele bewerking<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Kunn<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> de formule l<strong>en</strong>gte x breedte schrijv<strong>en</strong> als som? Kunn<strong>en</strong> zij de oppervlakte<br />
uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong>? Kunn<strong>en</strong> zij bered<strong>en</strong>er<strong>en</strong> wat <strong>en</strong> hoe zij dit uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong>? Kunn<strong>en</strong> zij hun antwoord<br />
controler<strong>en</strong> <strong>en</strong> bepal<strong>en</strong> of dit juist is?<br />
10.7 Het Handelingsmodel als model <strong>vo</strong>or afstemming van de didactiek<br />
Het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op school speelt zich meestal af op het formele, vierde handelingsniveau (somm<strong>en</strong><br />
mak<strong>en</strong>) Rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> ontstaan als de leraar de leerling<strong>en</strong> (te) snel op de hogere handelingsniveaus<br />
laat werk<strong>en</strong> <strong>en</strong> (te) weinig aandacht besteedt aan de relaties tuss<strong>en</strong> de verschill<strong>en</strong>de<br />
niveaus De onderligg<strong>en</strong>de niveaus zijn de basis <strong>vo</strong>or begrip <strong>en</strong> inzicht Op het hoogste niveau<br />
word<strong>en</strong> het formele rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> de oplossingsprocedures geoef<strong>en</strong>d Hierbij gaat het om het ler<strong>en</strong><br />
automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> van de basisbewerking<strong>en</strong> <strong>en</strong> van de tafels Verder gaat het om het<br />
ler<strong>en</strong> hoofdrek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> het werk<strong>en</strong> met algoritmes Ook berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> met breuk<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>,<br />
decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> met mat<strong>en</strong> hor<strong>en</strong> daarbij Het begrijp<strong>en</strong> van formele oplossingsprocedures<br />
wordt ontwikkeld door <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>de koppeling met de onderligg<strong>en</strong>de niveaus<br />
k ERn<br />
De leraar zorgt tijd<strong>en</strong>s zijn rek<strong>en</strong>aanbod <strong>vo</strong>or verschill<strong>en</strong>de niveaus van handel<strong>en</strong><br />
Sommige leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> veel moeite met de stap naar het formele niveau. Juist <strong>vo</strong>or<br />
h<strong>en</strong> is het belangrijk om systematisch de relatie te blijv<strong>en</strong> legg<strong>en</strong> met de onderligg<strong>en</strong>de<br />
niveaus. De leraar koppelt bewerking<strong>en</strong> op het formele niveau aan e<strong>en</strong> context (e<strong>en</strong> verhaal<br />
bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> bij e<strong>en</strong> som), hij laat de leerling<strong>en</strong> visualiser<strong>en</strong> (e<strong>en</strong> schets mak<strong>en</strong> van het<br />
verhaal of probleem) of hij laat h<strong>en</strong> werk<strong>en</strong> met d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> <strong>en</strong> hulpmaterial<strong>en</strong>. E<strong>en</strong><br />
systematische multi-channel aanpak in e<strong>en</strong> tempo dat afgestemd is op de individuele<br />
leerling kan meer <strong>en</strong> beter resultaat oplever<strong>en</strong> dan het blijv<strong>en</strong> aanbied<strong>en</strong> van oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong><br />
met somm<strong>en</strong> op het formele niveau.
hoofdstuk 10 Het Handelingsmodel<br />
Op basis van de interpretaties van zijn observaties zoals in paragraaf 106 beschrev<strong>en</strong> kan de leraar<br />
tijd<strong>en</strong>s de less<strong>en</strong> met behulp van het Handelingsmodel het onderwijsaanbod nauwkeurig afstemm<strong>en</strong><br />
op het handelingsniveau van de leerling<strong>en</strong> De vier niveaus van handel<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> elk e<strong>en</strong><br />
ingang om in te spel<strong>en</strong> op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> Dit is met name van toepassing<br />
bij de ontwikkeling van begrips<strong>vo</strong>rming (Hoofdlijn 1) <strong>en</strong> van oplossingsprocedures (Hoofdlijn 2)<br />
De leraar start op het handelingsniveau waarvan hij zeker weet dat de leerling<strong>en</strong> op dat niveau het<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> beheers<strong>en</strong>, bij<strong>vo</strong>orbeeld op niveau 2 (concrete afbeelding<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> situatie) Ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s<br />
zal hij de leerling<strong>en</strong> stimuler<strong>en</strong> om op e<strong>en</strong> hoger handelingsniveau te werk<strong>en</strong> Dan koppelt hij de<br />
uitwerking van de opdracht op het huidige niveau mete<strong>en</strong> aan het daarop aansluit<strong>en</strong>de hogere niveau<br />
(schematiser<strong>en</strong> van de situatie) Stel dat in het bov<strong>en</strong>staande <strong>vo</strong>orbeeld van oppervlakte berek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
de leraar niveau 2 wil koppel<strong>en</strong> aan niveau 3 De leraar laat de leerling<strong>en</strong> deze opdracht<br />
uitwerk<strong>en</strong> (bij<strong>vo</strong>orbeeld in tweetall<strong>en</strong>) <strong>en</strong> laat h<strong>en</strong> daarna hun oplossing<strong>en</strong> toelicht<strong>en</strong> De leraar<br />
bewaakt het proces van het werk<strong>en</strong> op <strong>vo</strong>orstellingsniveau, het verwoord<strong>en</strong> <strong>en</strong> het formuler<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
schrijv<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> berek<strong>en</strong>ing op papier<br />
147<br />
Voor het ontwikkel<strong>en</strong> van goede, inzichtelijke procedures <strong>en</strong> notatiesystem<strong>en</strong> is het noodzakelijk<br />
dat de leraar <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d de relatie legt tuss<strong>en</strong> het concrete handel<strong>en</strong>, het concrete <strong>vo</strong>orstellingsniveau,<br />
het schematiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> de bewerking<strong>en</strong> <strong>en</strong> dit regelmatig oef<strong>en</strong>t met de leerling<strong>en</strong> Op alle<br />
niveaus is het verwoord<strong>en</strong> van de handeling<strong>en</strong> <strong>en</strong> het (rek<strong>en</strong>kundig) communicer<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s <strong>en</strong><br />
over rek<strong>en</strong>handeling<strong>en</strong> ess<strong>en</strong>tieel<br />
Onderstaande <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong> zijn illustraties bij het werk<strong>en</strong> met het Handelingsmodel binn<strong>en</strong> verschill<strong>en</strong>de<br />
onderwijssituaties<br />
1. Berek<strong>en</strong> de be<strong>vo</strong>lkingsdichtheid van je<br />
eig<strong>en</strong> groep in jullie lokaal.<br />
Hint:<br />
Wat heb je daar<strong>vo</strong>or nodig?<br />
1 Aantal leerling<strong>en</strong> + leraar<br />
2 Oppervlakte lokaal<br />
3 Aantal vierkante meters per persoon<br />
2. Berek<strong>en</strong> de be<strong>vo</strong>lkingsdichtheid van<br />
Nederland.<br />
Afbeelding 10.7 Werk<strong>en</strong> met het Handelingsmodel 1
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Je eet driekwart pizza.<br />
Hoeveel van alle <strong>vo</strong>edingsstoff<strong>en</strong> krijg je binn<strong>en</strong>?<br />
148<br />
1 Pizza contains<br />
kcal<br />
796<br />
40%<br />
sugars<br />
9.0 g<br />
10%<br />
fat saturates sodium<br />
33.8 g 9.0 g 1.90 g<br />
48% 45% 79%<br />
perc<strong>en</strong>tage of the guideline amount for a 2000 kcal-diet<br />
1 Pizza contains<br />
kcal<br />
796<br />
sugars<br />
9.0 g<br />
fat<br />
33.8 g<br />
saturates<br />
9.0 g<br />
sodium<br />
1.90 g<br />
40%<br />
10%<br />
48%<br />
45%<br />
79%<br />
perc<strong>en</strong>tage of the guideline amount for a 2000 kcal-diet<br />
Afbeelding 10.8 Werk<strong>en</strong> met het Handelingsmodel 2<br />
Hoeveel bekers van 25 cl kun je vull<strong>en</strong> uit e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>l melkpak van 1,5 liter?<br />
Inhoud<br />
1,5 liter<br />
Afbeelding 10.9 Werk<strong>en</strong> met het Handelingsmodel 3
hoofdstuk 10 Het Handelingsmodel<br />
Berek<strong>en</strong> de oppervlakte van de gekleurde del<strong>en</strong>.<br />
Elk vierkantje in de tek<strong>en</strong>ing is 400 cm 2 .<br />
149<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
Afbeelding 10.10 Werk<strong>en</strong> met het Handelingsmodel 4<br />
10.8 Het Handelingsmodel als model <strong>vo</strong>or begeleiding<br />
In de <strong>vo</strong>rige paragraf<strong>en</strong> is het Handelingsmodel uitgelegd om de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van leerling<strong>en</strong><br />
in beeld te br<strong>en</strong>g<strong>en</strong> <strong>en</strong> om de rek<strong>en</strong>didactiek te beschrijv<strong>en</strong> Wij hebb<strong>en</strong> de normale rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
in de groep beschrev<strong>en</strong> Wanneer de leraar het rek<strong>en</strong>boek <strong>vo</strong>lgt, kan hij de meeste leerling<strong>en</strong><br />
<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de afstemming bied<strong>en</strong> op hun onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
k ERn<br />
De rol van de leraar<br />
Bij het ler<strong>en</strong> uit e<strong>en</strong> boek wordt verondersteld dat leerling<strong>en</strong> als vanzelf de stap mak<strong>en</strong><br />
van werkelijkheid (niveau 1) naar concrete <strong>vo</strong>orstelling<strong>en</strong> (niveau 2), schema’s <strong>en</strong> d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong><br />
(niveau 3) <strong>en</strong> somm<strong>en</strong> (niveau 4). Dit is echter niet zo vanzelfsprek<strong>en</strong>d.<br />
De leraar heeft hier e<strong>en</strong> cruciale rol. Hij legt de verbinding<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> de verschill<strong>en</strong>de niveaus.<br />
Door interactie (communicatie) <strong>en</strong> het lat<strong>en</strong> verwoord<strong>en</strong> van handeling<strong>en</strong> die de<br />
leerling doet, stuurt de leraar het m<strong>en</strong>tale proces aan <strong>en</strong> begeleidt hij de leerling van het<br />
<strong>en</strong>e naar het andere niveau.<br />
De leraar kan knelpunt<strong>en</strong> achterhal<strong>en</strong> door tijd<strong>en</strong>s de les korte rek<strong>en</strong>gesprekk<strong>en</strong> te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> met de<br />
leerling<strong>en</strong> over hun aanpak <strong>en</strong> h<strong>en</strong> uit te dag<strong>en</strong> om te vertell<strong>en</strong> wat ze do<strong>en</strong> <strong>en</strong> hoe ze het do<strong>en</strong> Zo<br />
krijgt de leraar zicht op het leerproces van de leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> kan hij bepal<strong>en</strong> of de leerstof <strong>en</strong> de instructie<br />
<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de zijn afgestemd of moet<strong>en</strong> word<strong>en</strong> bijgesteld<br />
Bij de rek<strong>en</strong>zwakke leerling is het van belang dat de leraar zijn onderwijsaanbod nauwkeuriger<br />
afstemt op di<strong>en</strong>s onderwijsbehoeft<strong>en</strong> Zijn aanbod zal dan op subgroepsniveau of zelfs individueel<br />
gericht zijn Om aan te sluit<strong>en</strong> bij de ontwikkeling van deze leerling moet de leraar preciezer bepal<strong>en</strong><br />
wat die nodig heeft Hiertoe gebruikt hij gegev<strong>en</strong>s afkomstig van observer<strong>en</strong>, analyser<strong>en</strong> <strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
interpreter<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s de les Hij maakt ook e<strong>en</strong> analyse van de toetsresultat<strong>en</strong> De afstemming van<br />
zijn onderwijsaanbod maakt hij bij <strong>vo</strong>orkeur in overleg met e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>specialist Sam<strong>en</strong> bepal<strong>en</strong> zij<br />
hoe de leerling op de verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus functioneert, waar ev<strong>en</strong>tuele knelpunt<strong>en</strong><br />
zitt<strong>en</strong> <strong>en</strong> wat de leraar daaraan kan do<strong>en</strong><br />
150
151
11 Het Drieslagmodel
Dagelijkse situaties vrag<strong>en</strong> doorgaans om probleemoploss<strong>en</strong>d handel<strong>en</strong>. Rek<strong>en</strong>vaardigheid<br />
is hier<strong>vo</strong>or vaak e<strong>en</strong> vereiste. Het oploss<strong>en</strong> van problem<strong>en</strong> gebeurt<br />
(onbewust) in e<strong>en</strong> drietal stapp<strong>en</strong>. Deze word<strong>en</strong> in dit hoofdstuk beschrev<strong>en</strong> als<br />
het Drieslagmodel.<br />
Deze stapp<strong>en</strong> zijn in veel situaties gekoppeld aan <strong>en</strong>ige mate van rek<strong>en</strong>vaardigheid.<br />
Dit hoofdstuk verbindt de drie stapp<strong>en</strong> van probleemoplossing aan de vier<br />
Hoofdlijn<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong><strong>en</strong>.<br />
11
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
11.1 Het Drieslagmodel als model <strong>vo</strong>or probleemoploss<strong>en</strong>d handel<strong>en</strong><br />
In het dagelijks lev<strong>en</strong> wordt van jonger<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>vo</strong>lwass<strong>en</strong><strong>en</strong> verwacht dat zij kunn<strong>en</strong> handel<strong>en</strong> in<br />
situaties waarin gerek<strong>en</strong>d wordt Daarom moet<strong>en</strong> zij over goede <strong>en</strong> efficiënte oplossingsprocedures<br />
<strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> beschikk<strong>en</strong> Hiertoe behor<strong>en</strong> het kunn<strong>en</strong> id<strong>en</strong>tificer<strong>en</strong> <strong>en</strong> analyser<strong>en</strong> van de aard<br />
van de situatie <strong>en</strong> het kunn<strong>en</strong> toepass<strong>en</strong> van geautomatiseerde <strong>en</strong> gememoriseerde flexibele k<strong>en</strong>nis<br />
<strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> Dit hebb<strong>en</strong> wij beschrev<strong>en</strong> bij de vier Hoofdlijn<strong>en</strong> in deel 2<br />
154<br />
Het ultieme doel van het rek<strong>en</strong>onderwijs is functionele gecijferdheid Dit houdt in dat leerling<strong>en</strong><br />
buit<strong>en</strong> school hun rek<strong>en</strong>vaardigheid optimaal kunn<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> in dagelijkse situaties Om probleemoploss<strong>en</strong>d<br />
te kunn<strong>en</strong> handel<strong>en</strong> in dagelijkse situaties moet<strong>en</strong> zij in staat zijn zelfstandig<br />
beslissing<strong>en</strong> te nem<strong>en</strong> Daar<strong>vo</strong>or is strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> cruciaal Dit is besprok<strong>en</strong> in<br />
hoofdstuk 9<br />
In dit hoofdstuk koppel<strong>en</strong> wij de vier Hoofdlijn<strong>en</strong> aan het Drieslagmodel Dit model gebruik<strong>en</strong> wij<br />
in dit protocol <strong>vo</strong>or het analyser<strong>en</strong> van probleemoploss<strong>en</strong>d handel<strong>en</strong> van de leerling (Van<br />
Gro<strong>en</strong>estijn, 2002) Het biedt ev<strong>en</strong>e<strong>en</strong>s aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het didactisch handel<strong>en</strong> van de<br />
leraar<br />
Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het dagelijks lev<strong>en</strong> is altijd ingebed in auth<strong>en</strong>tieke <strong>en</strong> functionele situaties Zo’n situatie<br />
is vaak e<strong>en</strong> complex, sam<strong>en</strong>hang<strong>en</strong>d geheel van tekst <strong>en</strong> beeld – soms in combinatie met geluid<br />
– waaruit informatie moet word<strong>en</strong> afgeleid (zoals in e<strong>en</strong> reclamefolder, e<strong>en</strong> tv-spot of e<strong>en</strong><br />
handleiding) Op basis hiervan neemt iemand e<strong>en</strong> beslissing, geeft e<strong>en</strong> reactie of <strong>vo</strong>ert e<strong>en</strong> handeling<br />
uit (zie afbeelding 111)<br />
Om dat te kunn<strong>en</strong> do<strong>en</strong> moet hij de situatie eerst id<strong>en</strong>tificer<strong>en</strong> <strong>en</strong> begrijp<strong>en</strong>, de getalsmatige informatie<br />
eruit filter<strong>en</strong> <strong>en</strong> deze betek<strong>en</strong>is gev<strong>en</strong> Dat hij zelf deel uitmaakt van de situatie <strong>en</strong> er soms<br />
emotioneel bij betrokk<strong>en</strong> is, maakt e<strong>en</strong> analyse extra ingewikkeld<br />
Ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s bepaalt hij wat hij met de informatie gaat do<strong>en</strong> In veel situaties zal hij daarbij iets<br />
moet<strong>en</strong> uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> Op grond van de uitkomst gaat hij al of niet tot actie over Daarna kan hij beoordel<strong>en</strong><br />
of zijn actie juist of verstandig is geweest<br />
€ 220,-<br />
Alle<strong>en</strong> deze week<br />
20% korting<br />
Afbeelding 11.1 Televisie in de aanbieding
hoofdstuk 11 Het Drieslagmodel<br />
In dergelijke situaties doorloopt iedere<strong>en</strong> altijd drie vaste stapp<strong>en</strong>: plann<strong>en</strong> (op basis van id<strong>en</strong>tificatie<br />
van de situatie), uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> (iets do<strong>en</strong>, bij<strong>vo</strong>orbeeld uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong>) <strong>en</strong> reflecter<strong>en</strong> (nagaan of het resultaat<br />
van zijn actie klopt <strong>en</strong> past bij de situatie) Het eig<strong>en</strong>lijke rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is slechts e<strong>en</strong> onderdeel van<br />
het probleemoploss<strong>en</strong>d handel<strong>en</strong>, maar meestal wel ess<strong>en</strong>tieel <strong>vo</strong>or het resultaat Dit proces visualiser<strong>en</strong><br />
we in het Drieslagmodel <strong>vo</strong>or probleemoploss<strong>en</strong>d handel<strong>en</strong> (zie afbeelding 112)<br />
Context<br />
155<br />
Reflecter<strong>en</strong><br />
Plann<strong>en</strong><br />
Oplossing<br />
Uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Bewerking<br />
Afbeelding 11.2 Het Drieslagmodel<br />
De context in het Drieslagmodel repres<strong>en</strong>teert e<strong>en</strong> dagelijkse situatie, bij<strong>vo</strong>orbeeld e<strong>en</strong> advert<strong>en</strong>tie<br />
<strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> televisie De pot<strong>en</strong>tiële koper ziet de advert<strong>en</strong>tie <strong>en</strong> bed<strong>en</strong>kt dat hij wel e<strong>en</strong> nieuwe televisie<br />
nodig heeft<br />
Tijd<strong>en</strong>s het plann<strong>en</strong> bed<strong>en</strong>kt hij wat hij allemaal moet wet<strong>en</strong> <strong>en</strong> do<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ordat hij de beslissing neemt<br />
de televisie aan te schaff<strong>en</strong> Hij id<strong>en</strong>tificeert <strong>en</strong> analyseert getalsmatige informatie, tekst <strong>en</strong> symbol<strong>en</strong><br />
in de advert<strong>en</strong>tie <strong>en</strong> geeft daaraan betek<strong>en</strong>is Onderdeel daarvan is het bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> van de oplossingsprocedure<br />
Hier<strong>vo</strong>or roept hij zijn k<strong>en</strong>nis over proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> op uit zijn geheug<strong>en</strong> <strong>en</strong> bed<strong>en</strong>kt hoe hij de<br />
korting <strong>en</strong> de nieuwe prijs kan berek<strong>en</strong><strong>en</strong> (bewerking) Ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s rek<strong>en</strong>t hij de nieuwe prijs uit zoals<br />
hij dat het beste kan (uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong>) <strong>en</strong> komt tot e<strong>en</strong> antwoord (oplossing) Hij relateert zijn antwoord aan<br />
de gegev<strong>en</strong>s in de advert<strong>en</strong>tie <strong>en</strong> bepaalt of het interessant is om deze televisie te kop<strong>en</strong> (reflecter<strong>en</strong>)<br />
In het dagelijks lev<strong>en</strong> gaan dit soort process<strong>en</strong> vrij snel We zijn ons meestal niet bewust van de<br />
tuss<strong>en</strong>stapp<strong>en</strong> die we nem<strong>en</strong>, de interpretaties die we mak<strong>en</strong> <strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> die we uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Het is e<strong>en</strong> sam<strong>en</strong>hang<strong>en</strong>d geheel, de stapp<strong>en</strong> zijn geïntegreerd Het eig<strong>en</strong>lijke rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is<br />
onderdeel van dit proces<br />
In vertrouwde situaties mak<strong>en</strong> we gebruik van bek<strong>en</strong>de procedures die we eerder met succes hebb<strong>en</strong><br />
toegepast Het toepass<strong>en</strong> van oplossingsprocedures verloopt heel snel <strong>en</strong> we bewak<strong>en</strong> (monitor<strong>en</strong>)<br />
<strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d of het goed gaat Meestal gaat het ook goed, maar er zijn mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> dat e<strong>en</strong><br />
oplossingsprocedure spaak loopt of dat we twijfel<strong>en</strong> over de oplossing Meestal is dat binn<strong>en</strong> e<strong>en</strong><br />
context waarin we ons niet vertrouwd <strong>vo</strong>el<strong>en</strong> (zoals <strong>vo</strong>or het eerst e<strong>en</strong> hypotheek afsluit<strong>en</strong>) Als er<br />
iets misgaat, word<strong>en</strong> we gedwong<strong>en</strong> na te d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> over wat er misging, <strong>en</strong> hoe we het anders had-
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
d<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> aanpakk<strong>en</strong> Als we ons onzeker <strong>vo</strong>el<strong>en</strong>, d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> we na over wat er zoal mis zou kunn<strong>en</strong><br />
gaan <strong>en</strong> bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> we alternatiev<strong>en</strong><br />
156<br />
In veel situaties moet<strong>en</strong> we gedur<strong>en</strong>de dit proces onze handeling<strong>en</strong> bijstell<strong>en</strong> Als we halverwege<br />
e<strong>en</strong> berek<strong>en</strong>ing constater<strong>en</strong> dat er iets niet klopt, beginn<strong>en</strong> we opnieuw We reflecter<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong>tijds<br />
op ons eig<strong>en</strong> handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> we stell<strong>en</strong> ons handel<strong>en</strong> bij Ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> we onze berek<strong>en</strong>ing opnieuw<br />
uit of bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> we e<strong>en</strong> andere oplossingsprocedure Daarna controler<strong>en</strong> we onze berek<strong>en</strong>ing<br />
nog e<strong>en</strong> keer Het bijstur<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s dit proces verloopt meestal in e<strong>en</strong> flits, hooguit in <strong>en</strong>kele<br />
second<strong>en</strong> (ev<strong>en</strong> nad<strong>en</strong>k<strong>en</strong>) Als ervar<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>aars gaan we <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d he<strong>en</strong> <strong>en</strong> weer in zo’n proces,<br />
zonder dat we ons dit bewust zijn De pijl<strong>en</strong> in het Drieslagmodel wijz<strong>en</strong> daarom in twee<br />
richting<strong>en</strong>: op alle mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> we teruggaan naar e<strong>en</strong> andere stap<br />
11.2 Het Drieslagmodel als didactisch model<br />
Het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op school verloopt meestal anders dan buit<strong>en</strong> school Op school wordt probleemoploss<strong>en</strong>d<br />
handel<strong>en</strong> (impliciet) geleerd met behulp van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met contextopdracht<strong>en</strong> Dit leidt<br />
uiteindelijk tot functionele gecijferdheid Het verschil met de dagelijkse werkelijkheidssituaties in<br />
de <strong>vo</strong>rige paragraaf is dat het probleem niet echt, maar slechts ‘<strong>vo</strong>orstelbaar’ is De leerling is zelf<br />
(meestal) ge<strong>en</strong> deel van de situatie Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met context<strong>en</strong> is meestal ook niet doelbewust gericht<br />
op functionele gecijferdheid Doorgaans hebb<strong>en</strong> de context<strong>en</strong> e<strong>en</strong> didactisch doel Het zijn betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle<br />
<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orstelbare situaties die de start zijn om nieuwe rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> te ler<strong>en</strong>,<br />
toe te pass<strong>en</strong> of te oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> er echter baat bij om de problem<strong>en</strong> die in de contextopdracht<strong>en</strong> verwerkt zijn<br />
op e<strong>en</strong> systematische <strong>en</strong> gestructureerde manier aan te pakk<strong>en</strong> <strong>en</strong> op te loss<strong>en</strong> Het Drieslagmodel<br />
biedt zo’n systematische aanpak <strong>vo</strong>or probleemoploss<strong>en</strong>d handel<strong>en</strong> (Van Gro<strong>en</strong>estijn, 2002) De<br />
leraar doet er goed aan zijn leerling<strong>en</strong> te ler<strong>en</strong> hoe zij met behulp van dit model contextopdracht<strong>en</strong><br />
kunn<strong>en</strong> oploss<strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> dit aan de hand van de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de drie sleutelwoord<strong>en</strong>:<br />
• plann<strong>en</strong> (id<strong>en</strong>tificer<strong>en</strong>, analyser<strong>en</strong>, betek<strong>en</strong>is verl<strong>en</strong><strong>en</strong>, <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis activer<strong>en</strong>, oplossing bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong>,<br />
);<br />
• uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> (do<strong>en</strong>);<br />
• reflecter<strong>en</strong> (controler<strong>en</strong>)<br />
k ERn<br />
‘Wat-vrag<strong>en</strong>’<br />
Het proces van het probleemoploss<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> start met ‘wat-vrag<strong>en</strong>’.<br />
Stap 1: Wat is het probleem? Wat moet je wet<strong>en</strong> om het probleem op te kunn<strong>en</strong> loss<strong>en</strong>?<br />
Deze vrag<strong>en</strong> leid<strong>en</strong> tot het plann<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> actie of e<strong>en</strong> bewerking.<br />
Stap 2: Wat doe je? Wat doe je eerst?<br />
De uit<strong>vo</strong>ering van de gekoz<strong>en</strong> bewerking(<strong>en</strong>) leidt tot het vind<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> oplossing.<br />
Stap 3: Wat heb je gedaan? Wat betek<strong>en</strong>t deze oplossing binn<strong>en</strong> de context waarmee je begon?<br />
Heb je de bewerking correct uitge<strong>vo</strong>erd?<br />
Bij stap 3 reflecteert de leerling op zijn oplossingsprocedure. Dit leidt tot het accepter<strong>en</strong><br />
of bijstell<strong>en</strong> van de ge<strong>vo</strong>nd<strong>en</strong> oplossing. Ook kunn<strong>en</strong> op grond hiervan zowel de leraar<br />
als de leerling e<strong>en</strong> conclusie trekk<strong>en</strong> over de manier van uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> of over de interpretatie<br />
van het probleem.
hoofdstuk 11 Het Drieslagmodel<br />
De leerling leert aan de hand van deze vrag<strong>en</strong> zijn rek<strong>en</strong>kundig red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> te ord<strong>en</strong><strong>en</strong>,<br />
te organiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> systematisch te werk<strong>en</strong><br />
Stap 1: plann<strong>en</strong><br />
De leerling bestudeert de informatie in de context (tekst, beeld, ev<strong>en</strong>tueel geluid), haalt de rek<strong>en</strong>kundige<br />
(of getalsmatige) informatie uit de context, analyseert deze informatie <strong>en</strong> beoordeelt de<br />
informatie op relevantie Daarmee geeft de leerling betek<strong>en</strong>is aan de informatie binn<strong>en</strong> deze context<br />
Hij kan hierbij teruggrijp<strong>en</strong> op eerdere ervaring<strong>en</strong> <strong>en</strong> gebruik mak<strong>en</strong> van verworv<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis<br />
De problematiek krijgt hierdoor betek<strong>en</strong>is Hij kan zich de situatie <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> <strong>en</strong> op zichzelf betrekk<strong>en</strong><br />
Daarna kan hij bepal<strong>en</strong> wat hij met de relevante informatie gaat do<strong>en</strong><br />
Hij stelt zich vrag<strong>en</strong> als: Wat is het probleem? Welke gegev<strong>en</strong>s heb ik nodig? Welke gegev<strong>en</strong>s uit de context<br />
zijn nuttig? Wat ga ik uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong>? Welke berek<strong>en</strong>ing past daarbij?<br />
157<br />
k ERn<br />
Leermom<strong>en</strong>t bij het plann<strong>en</strong><br />
Bij het plann<strong>en</strong> doet de leerling e<strong>en</strong> beroep op zijn <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis. Op het mom<strong>en</strong>t dat de<br />
b<strong>en</strong>odigde <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis niet aanwezig is, ontstaat er e<strong>en</strong> leermom<strong>en</strong>t. De leerling heeft<br />
behoefte aan instructie.<br />
Aan de hand van bov<strong>en</strong>staande vrag<strong>en</strong> maakt de leerling de stap van context naar bewerking Dit<br />
proces van betek<strong>en</strong>is verl<strong>en</strong><strong>en</strong> aan informatie, het analyser<strong>en</strong> van deze informatie uit e<strong>en</strong> context<br />
<strong>en</strong> het omzett<strong>en</strong> daarvan naar e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>bewerking of -actie, noem<strong>en</strong> we ‘horizontaal mathematiser<strong>en</strong>’<br />
(Treffers, 1991, 2005; Gravemeijer, 1994, 2005) Het woord ‘horizontaal’ verwijst naar het<br />
feit dat het probleem niet verandert, maar wordt ‘vertaald’ naar e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>actie: het blijft op hetzelfde<br />
handelingsniveau<br />
Stap 1: plann<strong>en</strong><br />
In afbeelding 11.1, <strong>vo</strong>orbeeld televisie in de aanbieding, bed<strong>en</strong>kt de leerling dat<br />
hij 20% korting <strong>en</strong> de nieuwe prijs gaat uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> ook op welke wijze hij<br />
dat gaat do<strong>en</strong>. Hij activeert zijn k<strong>en</strong>nis over proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> <strong>en</strong> bepaalt hoe hij dit<br />
probleem kan uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong>. Hierbij kan hij zich afvrag<strong>en</strong> of hij dat uit het hoofd<br />
kan, op papier, met e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>machine.<br />
Afbeelding 11.3 Stap 1 bij de probleemoplossing<br />
Stap 2: uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
De leerling <strong>vo</strong>ert de bewerking uit <strong>en</strong> komt tot e<strong>en</strong> oplossing De berek<strong>en</strong>ing is gebaseerd op zijn<br />
eig<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> Naarmate hij e<strong>en</strong> efficiëntere procedure gebruikt, zal hij sneller tot<br />
e<strong>en</strong> juiste oplossing kom<strong>en</strong> Elke leerling <strong>vo</strong>ert de rek<strong>en</strong>handeling uit op de manier waarop hij dat<br />
beste kan do<strong>en</strong> Dat kan op verschill<strong>en</strong>de niveaus van handel<strong>en</strong> zijn Zijn manier van oploss<strong>en</strong> past<br />
in het Handelingsmodel (zie paragraaf 102) Dit noem<strong>en</strong> we ‘verticaal mathematiser<strong>en</strong>’<br />
(Gravemeijer, 1994, 2005) Het woord ‘verticaal’ verwijst naar het niveau van handel<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s het<br />
uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> bewerking (zie afbeelding 101)<br />
Tijd<strong>en</strong>s het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van de bewerking stelt de leraar zich vrag<strong>en</strong> als: Welke oplossingsprocedure gebruikt<br />
de leerling? Begrijpt hij die procedure? Voert hij de berek<strong>en</strong>ing goed uit? Het gaat hier om<br />
technisch rek<strong>en</strong><strong>en</strong> De gebruikte oplossingsprocedure is afhankelijk van zijn k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
k ERn<br />
Leermom<strong>en</strong>t bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> kan de leerling e<strong>en</strong> nieuwe oplossingsprocedure ler<strong>en</strong> of oef<strong>en</strong><strong>en</strong>. Ook<br />
kan hij e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>opdracht op verschill<strong>en</strong>de manier<strong>en</strong> oploss<strong>en</strong>.<br />
Stap 2: uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
158<br />
In afbeelding 11.1, <strong>vo</strong>orbeeld televisie in de aanbieding, kan de leerling op<br />
verschill<strong>en</strong>de manier<strong>en</strong> de korting <strong>en</strong> het nieuwe bedrag uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong>.<br />
20% korting op e<strong>en</strong> tv van € 220,--<br />
• via de 1% regel (het bedrag del<strong>en</strong> door 100 <strong>en</strong> dan keer 20);<br />
• door eerst 10% uit te rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (del<strong>en</strong> door 10) <strong>en</strong> daarna te verdubbel<strong>en</strong><br />
tot 20%;<br />
• door het bedrag te del<strong>en</strong> door 5;<br />
• door het bedrag te verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> met 0,2.<br />
Tot slot mag de leerling niet verget<strong>en</strong> om de korting af te trekk<strong>en</strong> van het<br />
oorspronkelijke bedrag.<br />
In dit <strong>vo</strong>orbeeld word<strong>en</strong> vier oplossingsprocedures g<strong>en</strong>oemd die alle vier<br />
efficiënt zijn. Iedere<strong>en</strong> kiest, min of meer vanzelfsprek<strong>en</strong>d, de procedure die<br />
hij het beste beheerst.<br />
Technische rek<strong>en</strong>vaardigheid staat hier c<strong>en</strong>traal.<br />
Afbeelding 11.4 Stap 2 bij de probleemoplossing<br />
Stap 3: reflecter<strong>en</strong><br />
T<strong>en</strong> slotte koppelt de leerling de oplossing terug naar het oorspronkelijke probleem binn<strong>en</strong> de<br />
oorspronkelijke context Begrijp ik wat het antwoord betek<strong>en</strong>t? Is het antwoord juist? Als het antwoord<br />
niet juist is, gaat de leerling na wat er fout is gegaan tijd<strong>en</strong>s de oplossingsprocedure <strong>en</strong> <strong>vo</strong>ert hij de<br />
berek<strong>en</strong>ing opnieuw uit (terug naar stap 2) In sommige situaties kiest hij <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> ander type<br />
bewerking (terug naar stap 1) <strong>en</strong> e<strong>en</strong> andere manier van uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> (opnieuw stap 2) Ook kan hij<br />
ter controle de rek<strong>en</strong>machine gebruik<strong>en</strong> (stap 3)<br />
k ERn<br />
Leermom<strong>en</strong>t bij het reflecter<strong>en</strong><br />
Juist tijd<strong>en</strong>s de reflectie kan er e<strong>en</strong> bewust leermom<strong>en</strong>t optred<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de leerling. Hij<br />
ervaart wat er goed of niet goed is gegaan tijd<strong>en</strong>s deze hele procedure. Hij kan op basis<br />
daarvan in e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de vergelijkbare situatie sneller <strong>en</strong> efficiënter handel<strong>en</strong>.<br />
Juist bij leerling<strong>en</strong> die problem<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> met automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> is de reflectie e<strong>en</strong><br />
cruciale stap in het leerproces Hij wordt zich bewust van wat hij heeft geleerd <strong>en</strong> kan daardoor het<br />
geleerde beter associatief opslaan in zijn geheug<strong>en</strong> Naarmate de leerling beter in staat is het geleerde<br />
in e<strong>en</strong> associatief netwerk van k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> op te slaan, is de kans groter dat hij<br />
het geleerde onthoudt Als hij bij<strong>vo</strong>orbeeld weet dat 75% hetzelfde betek<strong>en</strong>t als driekwart van iets<br />
<strong>en</strong> als hij de berek<strong>en</strong>ing kan uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> door te del<strong>en</strong> door vier <strong>en</strong> te verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> met drie
hoofdstuk 11 Het Drieslagmodel<br />
Stap 3: reflecter<strong>en</strong><br />
In afbeelding 11.1, <strong>vo</strong>orbeeld televisie in de aanbieding, is er slechts één juist<br />
antwoord: € 176,00. Leerling<strong>en</strong> die als antwoord € 44,00 hebb<strong>en</strong> (het antwoord<br />
van hun kortingsberek<strong>en</strong>ing), moet<strong>en</strong> in deze stap ontdekk<strong>en</strong> dat dit nooit<br />
het gevraagde bedrag kan zijn.<br />
De reflectie vraagt dus niet alle<strong>en</strong> of het berek<strong>en</strong>de bedrag goed of fout is,<br />
maar ook of hiermee antwoord is gegev<strong>en</strong> op de vraag. In andere situaties<br />
kunn<strong>en</strong> er soms meerdere oplossingsmogelijkhed<strong>en</strong> zijn of is de oplossing<br />
minder expliciet. In alle gevall<strong>en</strong> is het terugplaats<strong>en</strong> in de context <strong>vo</strong>orwaarde<br />
om te kunn<strong>en</strong> bepal<strong>en</strong> of de berek<strong>en</strong>ing <strong>en</strong> het antwoord klopp<strong>en</strong>.<br />
159<br />
Afbeelding 11.5 Stap 3 bij de probleemoplossing<br />
Soms is het nodig tuss<strong>en</strong>tijds e<strong>en</strong> berek<strong>en</strong>ing bij te stell<strong>en</strong> als de leerling merkt dat zijn berek<strong>en</strong>ing<br />
niet klopt Dat is e<strong>en</strong> mom<strong>en</strong>t van reflectie Daarna gaat hij verder met de uit<strong>vo</strong>ering Hij kan ook<br />
opnieuw bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> (plann<strong>en</strong>) of hij dezelfde berek<strong>en</strong>ing op e<strong>en</strong> andere manier kan uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Bij complexere berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> gaat de leerling meerdere ker<strong>en</strong> door dit Drieslagmodel he<strong>en</strong> Daarbij<br />
kan hij he<strong>en</strong> <strong>en</strong> weer gaan tuss<strong>en</strong> plann<strong>en</strong>, uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> reflecter<strong>en</strong>, zoals de pijl<strong>en</strong> in het Drieslagmodel<br />
lat<strong>en</strong> zi<strong>en</strong><br />
Het Drieslagmodel laat zi<strong>en</strong> hoe e<strong>en</strong> leerling de oplossingsprocedure doorloopt De leerling gaat<br />
stapsgewijs van context naar e<strong>en</strong> bewerking (plann<strong>en</strong>), vandaar naar e<strong>en</strong> oplossing (uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van<br />
de bewerking) <strong>en</strong> van de oplossing terug naar het oorspronkelijke probleem (reflecter<strong>en</strong>)<br />
k ERn<br />
Werk<strong>en</strong> met het Drieslagmodel<br />
De leraar kan de leerling<strong>en</strong> uitlegg<strong>en</strong> hoe zij het model kunn<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong>, controler<strong>en</strong> of<br />
ze het Drieslagmodel begrijp<strong>en</strong> <strong>en</strong> systematisch toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> h<strong>en</strong> op hun handel<strong>en</strong><br />
lat<strong>en</strong> reflecter<strong>en</strong>. De leraar zal steeds de leerling<strong>en</strong> onderzoek<strong>en</strong>d bevrag<strong>en</strong> <strong>en</strong> h<strong>en</strong> lat<strong>en</strong><br />
expliciter<strong>en</strong> (visualiser<strong>en</strong> of verwoord<strong>en</strong>) hoe ze tot e<strong>en</strong> oplossing zijn gekom<strong>en</strong>.<br />
Daardoor kan hij nagaan in welke stap het goed of juist niet goed gaat <strong>en</strong> kan hij zijn<br />
didactisch handel<strong>en</strong> beter afstemm<strong>en</strong> op de leerling<strong>en</strong>.<br />
11.3 Het Drieslagmodel als model <strong>vo</strong>or observatie <strong>en</strong> interv<strong>en</strong>tie<br />
Het Drieslagmodel biedt tev<strong>en</strong>s aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de leraar om het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong><br />
bij context<strong>en</strong>, maar ook bij ‘kale bewerking<strong>en</strong>’, systematisch te analyser<strong>en</strong> <strong>en</strong> indi<strong>en</strong> nodig in<br />
te grijp<strong>en</strong> in het leerproces Dat kan door vrag<strong>en</strong> te stell<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s het oplossingsproces We onderscheid<strong>en</strong><br />
hierbij twee typ<strong>en</strong> hoofdvrag<strong>en</strong>: ‘wat-vrag<strong>en</strong>’ <strong>en</strong> ‘hoe-vrag<strong>en</strong>’<br />
De ‘wat-vrag<strong>en</strong>’ die we in de <strong>vo</strong>rige paragraaf hebb<strong>en</strong> besprok<strong>en</strong>, zijn de standaardvrag<strong>en</strong> <strong>en</strong> help<strong>en</strong><br />
de leerling zijn d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> te organiser<strong>en</strong> Bij het <strong>vo</strong>orbeeld van de aanbieding <strong>vo</strong>or de televisie<br />
kan de leerling aangev<strong>en</strong> dat hij gaat rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
‘Hoe-vrag<strong>en</strong>’ richt<strong>en</strong> zich op het proces Hierbij vraagt de leraar om e<strong>en</strong> kwalitatieve uitleg van het<br />
handel<strong>en</strong> van de leerling Dit biedt aanknopingspunt<strong>en</strong> om zijn instructie beter af te stemm<strong>en</strong> op<br />
dat wat de leerling al weet Zijn afstemming hangt sam<strong>en</strong> met het handelingsniveau van de leerling<br />
(zie paragraaf 102)<br />
160<br />
k ERn<br />
‘Hoe-vrag<strong>en</strong>’<br />
Bij observer<strong>en</strong> <strong>en</strong> interv<strong>en</strong>iër<strong>en</strong> gaat het er met name om dat de leraar ontdekt hoe e<strong>en</strong><br />
leerling handelt tijd<strong>en</strong>s de drie stapp<strong>en</strong>. Om greep te krijg<strong>en</strong> op het d<strong>en</strong>kproces van e<strong>en</strong><br />
leerling kan de leraar ‘hoe-vrag<strong>en</strong>’ stell<strong>en</strong>.<br />
Stap 1: Hoe ga je het do<strong>en</strong>? Hoe ga je dit probleem oploss<strong>en</strong>?<br />
Stap 2: Hoe doe je het? Hoe rek<strong>en</strong> je het uit?<br />
Stap 3: Hoe heb je het gedaan? Hoe heb je het uitgerek<strong>en</strong>d?<br />
Tijd<strong>en</strong>s de reflectie probeert de leraar de leerling<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> hoger handelingsniveau te br<strong>en</strong>g<strong>en</strong> Hij<br />
kan dit do<strong>en</strong> door de leerling<strong>en</strong> hun oplossing<strong>en</strong> te lat<strong>en</strong> vergelijk<strong>en</strong> <strong>en</strong> te lat<strong>en</strong> bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> welke<br />
oplossingsmanier<strong>en</strong> efficiënt zijn door bij<strong>vo</strong>orbeeld de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de vrag<strong>en</strong> te stell<strong>en</strong>:<br />
• Kun je nog e<strong>en</strong> andere manier bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> om het probleem op te loss<strong>en</strong>?<br />
• Kun je het ook op e<strong>en</strong> andere manier uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong>?<br />
• Kun je e<strong>en</strong> kortere manier bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> om het uit te rek<strong>en</strong><strong>en</strong>?<br />
Door zulke vrag<strong>en</strong> te stell<strong>en</strong> laat de leraar de leerling nad<strong>en</strong>k<strong>en</strong> over de (misschi<strong>en</strong> onbewust) gemaakte<br />
keuzes Daarmee doet hij e<strong>en</strong> beroep op de metacognitieve vaardighed<strong>en</strong> van de leerling<br />
<strong>en</strong> stimuleert daarmee het ler<strong>en</strong> Hij vraagt de leerling zijn verworv<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> toe te licht<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> verband<strong>en</strong> te legg<strong>en</strong> met andere k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> die hij al eerder heeft verworv<strong>en</strong><br />
Als de leerling bij<strong>vo</strong>orbeeld bij de berek<strong>en</strong>ing van de korting op de prijs van de televisie (zie afbeelding<br />
111) die korting heeft uitgerek<strong>en</strong>d aan de hand van de 1%-regel, kan de leraar vrag<strong>en</strong> om het<br />
via 10% uit te rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Hij kan daarbij de leerling de koppeling lat<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> met 1 _ 10 deel<br />
Ook kan hij de leerling uitdag<strong>en</strong> om hetzelfde probleem met de rek<strong>en</strong>machine op te loss<strong>en</strong> Hoe<br />
gaat het dan? Kan de leerling dit uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> met de proc<strong>en</strong>ttoets? Kan de leerling gebruik mak<strong>en</strong><br />
van decimale getall<strong>en</strong>?<br />
Wat gebeurt er als de leerling 08x220 in<strong>vo</strong>ert? En wat gebeurt er bij 09x220?<br />
Kan de leerling dat uitlegg<strong>en</strong>?<br />
Hierbij doet de leraar e<strong>en</strong> beroep op het rek<strong>en</strong>inzicht van de leerling Door de leerling ook op e<strong>en</strong><br />
andere manier hetzelfde probleem te lat<strong>en</strong> oploss<strong>en</strong>, werkt de leraar tev<strong>en</strong>s aan het bouw<strong>en</strong> van<br />
associatieve netwerk<strong>en</strong> Daardoor is de kans groter dat de leerling nieuwe informatie georganiseerd<br />
opslaat in het langetermijngeheug<strong>en</strong>, zodat hij die de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de keer weer snel kan oproep<strong>en</strong><br />
Doordat de leraar met de leerling in gesprek gaat over zijn rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong>, leert de<br />
leerling beter kijk<strong>en</strong> <strong>en</strong> reflecter<strong>en</strong> op zijn eig<strong>en</strong> handel<strong>en</strong> (monitor<strong>en</strong>) Op basis van zulke gesprekk<strong>en</strong><br />
kan de leraar bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> zijn instructie beter afstemm<strong>en</strong> op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van<br />
de leerling<br />
Het Drieslagmodel biedt hem de mogelijkheid het strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> de oplossingsprocedures<br />
van de leerling te observer<strong>en</strong>, te waarder<strong>en</strong> <strong>en</strong> te beïnvloed<strong>en</strong>
hoofdstuk 11 Het Drieslagmodel<br />
Om het d<strong>en</strong>kproces van de leerling goed te analyser<strong>en</strong> kan de leraar zich tijd<strong>en</strong>s dit proces bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de vrag<strong>en</strong> stell<strong>en</strong>:<br />
• Kan de leerling bij e<strong>en</strong> context e<strong>en</strong> bewerking bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong>?<br />
• Kan de leerling tijd<strong>en</strong>s het uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> hardop vertell<strong>en</strong>/lat<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> hoe hij rek<strong>en</strong>t?<br />
• Kan de leerling achteraf vertell<strong>en</strong> wat hij heeft gedaan <strong>en</strong> hoe hij het heeft gedaan?<br />
• Kan hij ook toelicht<strong>en</strong> waarom hij het zo heeft gedaan? Kan het ook anders?<br />
• Wat heeft de leerling ervan geleerd?<br />
• Weet de leerling van e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rige keer nog hoe hij to<strong>en</strong> e<strong>en</strong> soortgelijke opdracht heeft uitge<strong>vo</strong>erd?<br />
Is hij daarin <strong>vo</strong>oruitgegaan?<br />
• Kan de leerling nieuwe k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> koppel<strong>en</strong> aan reeds geleerde <strong>en</strong> geoef<strong>en</strong>de<br />
k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong>?<br />
161<br />
Antwoord<strong>en</strong> op bov<strong>en</strong>staande vrag<strong>en</strong> lever<strong>en</strong> informatie op <strong>vo</strong>or de leraar Op basis daarvan kan hij<br />
zijn didactisch handel<strong>en</strong> bijstell<strong>en</strong> Waar let hij zelf op? Welke acc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> legt hij in het onderwijs?<br />
Voor het verkrijg<strong>en</strong> van antwoord<strong>en</strong> kan de leraar de leerling op verschill<strong>en</strong>de manier<strong>en</strong> e<strong>en</strong> contextopdracht<br />
lat<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
De leraar kan met de leerling gericht oef<strong>en</strong><strong>en</strong> door bij verschill<strong>en</strong>de stapp<strong>en</strong> van het Drieslagmodel<br />
te beginn<strong>en</strong> <strong>en</strong> bewust link<strong>en</strong> te legg<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de of <strong>vo</strong>rige stap<br />
Van stap 1 naar stap 2<br />
De leraar start met e<strong>en</strong> context <strong>en</strong> laat de leerling daarbij e<strong>en</strong> bewerking bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
(van stap 1 naar stap 2) De leraar onderzoekt of de leerling de context kan lez<strong>en</strong> <strong>en</strong> of hij die begrijpt<br />
Hij probeert erachter te kom<strong>en</strong> of de leerling de informatie kan omzett<strong>en</strong> naar e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>probleem<br />
<strong>en</strong> e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>kundige bewerking<br />
Hoeveel proc<strong>en</strong>t<br />
krijg je extra tijd<strong>en</strong>s deze<br />
aanbieding?<br />
??%<br />
extra<br />
Inhoud standaard 400 gram.<br />
Nu: 460 gram<br />
Afbeelding 11.6 Van stap 1 naar stap 2<br />
Van stap 2 naar stap 1<br />
De leraar start bij de uit<strong>vo</strong>ering <strong>en</strong> biedt de leerling e<strong>en</strong> ‘kale som’ aan Hij vraagt de leerling e<strong>en</strong><br />
context bij die som te bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> (e<strong>en</strong> verhaal of e<strong>en</strong> tek<strong>en</strong>ing) Hij gaat na of de leerling met die<br />
context betek<strong>en</strong>is kan gev<strong>en</strong> aan de ‘kale som’
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Bed<strong>en</strong>k e<strong>en</strong> verhaal of tek<strong>en</strong>ing bij deze opgave.<br />
Van 400 naar 460.<br />
Hoeveel proc<strong>en</strong>t is erbij gekom<strong>en</strong>?<br />
Kun je hier e<strong>en</strong> verhaal bij bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong>?<br />
Of: Kun je hierbij e<strong>en</strong> tek<strong>en</strong>ing mak<strong>en</strong>?<br />
162<br />
Afbeelding 11.7 Van stap 2 naar stap 1<br />
Van stap 3 naar stap 2<br />
De leraar herhaalt e<strong>en</strong> eerdere opdracht <strong>en</strong> start met reflectie op e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rige situatie met dezelfde<br />
opdracht Hij vraagt bij<strong>vo</strong>orbeeld: Weet je nog hoe je het de <strong>vo</strong>rige keer hebt gedaan? De leraar gaat na<br />
of de leerling het eerder geleerde kan terugroep<strong>en</strong> uit zijn langetermijngeheug<strong>en</strong> Hij laat daarna<br />
de bewerking toepass<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> nieuwe opdracht Hij maakt hierbij gebruik van andere getall<strong>en</strong>,<br />
bij<strong>vo</strong>orbeeld van 300 naar 360 of van 500 naar 600<br />
Van stap 3 naar stap 1<br />
De leraar biedt e<strong>en</strong> nieuwe opdracht aan <strong>en</strong> start met reflectie op e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rige situatie waarbij e<strong>en</strong><br />
vergelijkbaar probleem aan de orde was, bij<strong>vo</strong>orbeeld van 500 naar 600 Daarbij werkt de leraar<br />
naar e<strong>en</strong> hoger handelingsniveau of naar e<strong>en</strong> nieuw onderwerp, bij<strong>vo</strong>orbeeld naar het BTWperc<strong>en</strong>tage<br />
Voor de leraar is het ev<strong>en</strong>e<strong>en</strong>s van belang te lett<strong>en</strong> op de koppeling<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> de drie stapp<strong>en</strong> in dit<br />
proces Kan de leerling de stap mak<strong>en</strong> van context naar bewerking? Van bewerking naar context?<br />
Reflecteert de leerling echt op zijn eig<strong>en</strong> handel<strong>en</strong>? Kan de leerling het geleerde onthoud<strong>en</strong>? Wat<br />
maakt dat hij iets goed kan onthoud<strong>en</strong>? Wanneer lukt dat niet? Heeft de leerling tuss<strong>en</strong>stapp<strong>en</strong><br />
nodig bij e<strong>en</strong> complexe opdracht? Is hij zich daarvan bewust? Kan hij die hulpstapp<strong>en</strong> zelf kiez<strong>en</strong>?<br />
De leraar kan leerling<strong>en</strong> e<strong>en</strong> leerlingkaart van het Drieslagmodel gev<strong>en</strong> De leerling kan deze kaart<br />
gebruik<strong>en</strong> als hulpmiddel om zijn probleemoploss<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> te structurer<strong>en</strong><br />
k ERn<br />
‘Ik-vrag<strong>en</strong>’<br />
Stap 1. Het proces van het probleemoploss<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> start met de context. Je kunt jezelf<br />
de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de vrag<strong>en</strong> daarbij stell<strong>en</strong>: Waar gaat het over? Wat weet ik al? Wat is<br />
nieuw? Wat ga ik do<strong>en</strong>?<br />
Je bepaalt e<strong>en</strong> actie of kiest e<strong>en</strong> bewerking om het rek<strong>en</strong>probleem op te loss<strong>en</strong> (ga<br />
naar stap 2).<br />
Stap 2. Het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van de actie of e<strong>en</strong> bewerking bij het antwoord uit stap 1 is de<br />
<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de stap. Je kunt jezelf de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de vrag<strong>en</strong> daarbij stell<strong>en</strong>: Wat doe ik? Hoe<br />
doe ik dat?<br />
Als je de gekoz<strong>en</strong> bewerking(<strong>en</strong>) hebt uitge<strong>vo</strong>erd, vind je e<strong>en</strong> oplossing <strong>en</strong> kun je<br />
hierop reflecter<strong>en</strong> (ga naar stap 3).
hoofdstuk 11 Het Drieslagmodel<br />
Stap 3. Tijd<strong>en</strong>s de reflectie kun je jezelf de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de vrag<strong>en</strong> te stell<strong>en</strong>: Is mijn oplossing<br />
juist? Wat heb ik gedaan? Hoe heb ik dat gedaan? Wat heb ik geleerd?<br />
Als het antwoord of de oplossing niet klopt met de context ga je terug door het<br />
Drieslagmodel om te zi<strong>en</strong> hoe je het anders kunt aanpakk<strong>en</strong>. Dan begint het<br />
proces opnieuw.<br />
Is mijn oplossing juist?<br />
Wat heb ik gedaan?<br />
Hoe heb ik dat gedaan?<br />
Wat heb ik geleerd?<br />
Context<br />
Waar gaat het over?<br />
Wat weet ik al?<br />
Wat is nieuw?<br />
Wat ga ik do<strong>en</strong>?<br />
163<br />
Reflecter<strong>en</strong><br />
Plann<strong>en</strong><br />
Oplossing<br />
Uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Bewerking<br />
Wat doe ik?<br />
Hoe doe ik dat?<br />
Afbeelding 11.8 Kaart van het Drieslagmodel <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong><br />
11.4 Wat betek<strong>en</strong>t het Drieslagmodel <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>?<br />
Nog altijd overheerst in het onderwijs de opvatting dat leerling<strong>en</strong> het technisch rek<strong>en</strong><strong>en</strong> moet<strong>en</strong><br />
beheers<strong>en</strong> om contextproblem<strong>en</strong> te kunn<strong>en</strong> oploss<strong>en</strong> In dit protocol gaan wij uit van nieuwe inzicht<strong>en</strong>,<br />
waaruit het omgekeerde blijkt Al langer is bek<strong>en</strong>d dat bij leesproblem<strong>en</strong> juist het aanbied<strong>en</strong><br />
van betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle context<strong>en</strong> be<strong>vo</strong>rdert dat de (technische) leesvaardigheid zich verder ontwikkelt<br />
Bij rek<strong>en</strong>vraagstukk<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> we e<strong>en</strong> vergelijkbare situatie Veel rek<strong>en</strong>vraagstukk<strong>en</strong> do<strong>en</strong> e<strong>en</strong><br />
beroep op begrijp<strong>en</strong>d lez<strong>en</strong> Voor het ontwikkel<strong>en</strong> van functionele gecijferdheid is het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> aan<br />
de hand van betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle context<strong>en</strong> ess<strong>en</strong>tieel Begrijp<strong>en</strong>d lez<strong>en</strong>, informatie in e<strong>en</strong> context analyser<strong>en</strong>,<br />
prat<strong>en</strong> over context<strong>en</strong> <strong>en</strong>, daarop aansluit<strong>en</strong>d, berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> leid<strong>en</strong> tot inzichtelijke<br />
procedures Dit is de basis <strong>vo</strong>or de ontwikkeling van betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> oplossingsprocedures<br />
Wanneer leraar <strong>en</strong> leerling tijd<strong>en</strong>s het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met context<strong>en</strong> met het Drieslagmodel werk<strong>en</strong>,<br />
wordt het betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l ler<strong>en</strong> be<strong>vo</strong>rderd Ook het Handelingsmodel draagt hieraan bij Zie hoofdstuk<br />
12 <strong>vo</strong>or de sam<strong>en</strong>hang <strong>en</strong> afstemming tuss<strong>en</strong> beide modell<strong>en</strong><br />
Bij rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> wordt echter nog te vaak alle<strong>en</strong> gekek<strong>en</strong> naar de technische rek<strong>en</strong>vaardigheid<br />
van de leerling Wanneer de leerling e<strong>en</strong> bepaalde (technische) bewerking niet beheerst, herhaalt<br />
de leraar dezelfde (technische) bewerking steeds met nieuwe opdracht<strong>en</strong> Vaak tevergeefs, want
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
herhal<strong>en</strong> heeft ge<strong>en</strong> zin zolang de leerling ge<strong>en</strong> blijk geeft van inzicht <strong>en</strong> begrip Het Drieslagmodel<br />
helpt juist bij het verwerv<strong>en</strong> van begrip <strong>en</strong> inzicht door (technische) opdracht<strong>en</strong> te verbind<strong>en</strong> met<br />
betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle context<strong>en</strong> <strong>en</strong> dan daarop door de leerling te lat<strong>en</strong> reflecter<strong>en</strong><br />
164<br />
Ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> beperkt zich niet tot de onderste lijn in de driehoek (de technische stap 2: uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong>)<br />
Het Drieslagmodel laat zi<strong>en</strong> dat de stapp<strong>en</strong> plann<strong>en</strong> <strong>en</strong> reflecter<strong>en</strong> onlosmakelijk verbond<strong>en</strong><br />
zijn met stap 2 Door hun sam<strong>en</strong>hang drag<strong>en</strong> ze bij aan het verwerv<strong>en</strong> van functionele gecijferdheid<br />
Enerzijds leert de leerling zijn (technische) vaardigheid te verbind<strong>en</strong> met werkelijkheidssituaties<br />
(stap 1: plann<strong>en</strong> <strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is verl<strong>en</strong><strong>en</strong>) Anderzijds leert hij om ge<strong>vo</strong>nd<strong>en</strong> oplossing<strong>en</strong> terug<br />
te koppel<strong>en</strong> naar de vertreksituatie (stap 3: reflecter<strong>en</strong>) Hij leert de relevantie of juistheid te beoordel<strong>en</strong><br />
binn<strong>en</strong> de context <strong>en</strong> ev<strong>en</strong>tueel zijn oplossingsprocedure bij te stell<strong>en</strong><br />
Rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> optred<strong>en</strong> op elk van de drie zijd<strong>en</strong> van de driehoek De leraar kan ze<br />
aanpakk<strong>en</strong> door specifieke begeleiding, maar zal in zijn begeleiding steeds teruggrijp<strong>en</strong> op het<br />
geheel van de driehoek Voor de leraar is het daarom van belang te analyser<strong>en</strong> waar de problem<strong>en</strong><br />
(<strong>vo</strong>oral) zitt<strong>en</strong> Heeft de leerling juist moeite met het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is aan de context <strong>en</strong> met<br />
plann<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>bewerking (stap 1) of gaat de uit<strong>vo</strong>ering van de bewerking<strong>en</strong> (stap 2) moeizaam?<br />
Dat vraagt in beide gevall<strong>en</strong> om e<strong>en</strong> verschill<strong>en</strong>de aanpak <strong>en</strong> specifieke begeleiding, afgestemd<br />
op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling<br />
Het Drieslagmodel biedt ook aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de leraar om te reflecter<strong>en</strong> op zijn eig<strong>en</strong><br />
didactisch handel<strong>en</strong> Hij kan zich afvrag<strong>en</strong> op welke zijd<strong>en</strong> van de drieslag hij <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de of on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de<br />
acc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> legt of heeft gelegd Hij weet dan waar hij de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de keer meer aandacht aan<br />
moet bested<strong>en</strong> om e<strong>en</strong> beter leerr<strong>en</strong>dem<strong>en</strong>t te bewerkstellig<strong>en</strong>
165
12 Sam<strong>en</strong>hang <strong>en</strong> afstemming<br />
tuss<strong>en</strong> beide modell<strong>en</strong>
Het Handelingsmodel <strong>en</strong> het Drieslagmodel grijp<strong>en</strong> in elkaar. E<strong>en</strong> leerling kan e<strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong>probleem op verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus <strong>en</strong> op verschill<strong>en</strong>de m anier<strong>en</strong><br />
uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong>. Het Handelingsmodel kan als het ware binn<strong>en</strong> het Drieslagmodel<br />
w ord<strong>en</strong> geplaatst. Hierdoor word<strong>en</strong> de twee modell<strong>en</strong> met elkaar verbond<strong>en</strong>.<br />
12
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
12.1 Sam<strong>en</strong>hang<br />
De leraar kan het Handelingsmodel <strong>en</strong> het Drieslagmodel beide gebruik<strong>en</strong> in reguliere lessituaties,<br />
maar ze zijn ook uitermate geschikt <strong>vo</strong>or het observer<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> in onderzoekssituaties<br />
Hij kan het Handelingsmodel <strong>en</strong> het Drieslagmodel met elkaar in verband br<strong>en</strong>g<strong>en</strong> Tijd<strong>en</strong>s<br />
elke stap van het probleemoploss<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> hun rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> op verschill<strong>en</strong>de<br />
handelingsniveaus uit Dit gaat als <strong>vo</strong>lgt<br />
168<br />
Bij stap 1: plann<strong>en</strong><br />
Het gebruik van het Drieslagmodel helpt om scherp te krijg<strong>en</strong> op welk terrein de problem<strong>en</strong> ligg<strong>en</strong><br />
Soms heeft e<strong>en</strong> leerling ge<strong>en</strong> idee welke berek<strong>en</strong>ing hij kan uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> bij e<strong>en</strong> context Dit betek<strong>en</strong>t<br />
dat de leerling ge<strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is kan gev<strong>en</strong> aan die context Wanneer de leraar de leerling de<br />
informatie in de context laat tek<strong>en</strong><strong>en</strong>, schematiser<strong>en</strong> of verwoord<strong>en</strong>, kan hij inzicht krijg<strong>en</strong> in het<br />
probleem Hier word<strong>en</strong> de twee modell<strong>en</strong> met elkaar verbond<strong>en</strong> Door te schakel<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> de handelingsniveaus<br />
stimuleert de leraar de leerling tot nad<strong>en</strong>k<strong>en</strong> op het formele niveau (Handelingsmodel)<br />
<strong>en</strong> kan hij de leerling e<strong>en</strong> bewerking lat<strong>en</strong> bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> (Drieslagmodel) Hierdoor werkt de<br />
leraar aan begripsontwikkeling<br />
Bij stap 2: uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Soms begrijpt de leerling wel wat hij moet do<strong>en</strong>, maar kan hij de berek<strong>en</strong>ing niet of niet goed of<br />
alle<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> lager handelingsniveau uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Dit gaat om de technische rek<strong>en</strong>vaardigheid Niet<br />
goed ontwikkelde concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> onbegrep<strong>en</strong> procedures zijn hier belemmer<strong>en</strong>d Het Handelingsmodel<br />
biedt uitkomst doordat de leraar zijn leerling op verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus laat werk<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> daarbij zelf de relaties tuss<strong>en</strong> de niveaus laat legg<strong>en</strong> Door de leerling uit te dag<strong>en</strong> de overstap<br />
te mak<strong>en</strong> naar e<strong>en</strong> hoger niveau van handel<strong>en</strong>, ervaart de leerling wat er <strong>vo</strong>or hem te ler<strong>en</strong> is<br />
in de ‘zone van de naaste ontwikkeling’<br />
Bij stap 3: reflecter<strong>en</strong><br />
De terugkoppeling van het antwoord naar de context geeft informatie over wat de leerling heeft<br />
geleerd van de opdracht Kan de leerling aangev<strong>en</strong> of het antwoord goed of fout is <strong>en</strong> waarom? Kan<br />
de leerling het antwoord visualiser<strong>en</strong> of verwoord<strong>en</strong> (in term<strong>en</strong> van het Handelingsmodel: tek<strong>en</strong><strong>en</strong>,<br />
schematiser<strong>en</strong> of toelicht<strong>en</strong>)? Als de leraar zijn leerling laat reflecter<strong>en</strong>, leert de leerling e<strong>en</strong><br />
relatie te legg<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> de context, de getall<strong>en</strong>, de berek<strong>en</strong>ing <strong>en</strong> het antwoord Hierdoor krijgt het<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>vo</strong>or hem betek<strong>en</strong>is<br />
Door het onderwijs met behulp van de handelingsniveaus <strong>en</strong> het Drieslagmodel zo goed mogelijk<br />
af te stemm<strong>en</strong> op de ontwikkeling <strong>en</strong> de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling, kunn<strong>en</strong> al veel problem<strong>en</strong><br />
word<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> Mocht de leraar toch problem<strong>en</strong> signaler<strong>en</strong>, dan bied<strong>en</strong> de twee modell<strong>en</strong><br />
aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or interv<strong>en</strong>ties<br />
12.2 Leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> <strong>en</strong> de sam<strong>en</strong>hang met beide modell<strong>en</strong><br />
Bij goed onderwijs stemt de leraar het onderwijsaanbod zo goed mogelijk af op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
van de leerling In alle situaties heeft hij echter ook te mak<strong>en</strong> met leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> Juist<br />
bij rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> spel<strong>en</strong> deze e<strong>en</strong> grote rol Voor e<strong>en</strong> optimale afstemming is het van<br />
belang dat alle drie de factor<strong>en</strong> goed op elkaar aansluit<strong>en</strong>: het onderwijsaanbod, het didactisch<br />
handel<strong>en</strong> van de leraar <strong>en</strong> de leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong>
hoofdstuk 12 Sam<strong>en</strong>hang <strong>en</strong> afstemming tuss<strong>en</strong> beide modell<strong>en</strong><br />
Leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> sterke(re) <strong>en</strong> zwakke(re) kant<strong>en</strong> Al deze leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> zijn in principe<br />
positieve ontwikkelingsfactor<strong>en</strong> Zij kunn<strong>en</strong> gunstig bijdrag<strong>en</strong> aan de ontwikkeling Als e<strong>en</strong> zwakke<br />
kant echter on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de ontwikkeld wordt, kan dit belemmer<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s het leerproces<br />
Bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> gaat het erom optimaal gebruik te mak<strong>en</strong> van de sterkere leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
die het leerproces positief beïnvloed<strong>en</strong> Tegelijkertijd moet ook <strong>en</strong>ergie gestok<strong>en</strong> word<strong>en</strong> in activiteit<strong>en</strong><br />
die verbetering van de zwakkere leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> oplever<strong>en</strong> De leraar besteedt bewust<br />
aandacht aan alle factor<strong>en</strong> die het leerproces beïnvloed<strong>en</strong> Het Handelingsmodel <strong>en</strong> het Drieslagmodel<br />
kunn<strong>en</strong> hem hierbij ondersteun<strong>en</strong><br />
De leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> die <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s huidige onderzoek<strong>en</strong> e<strong>en</strong> belangrijke rol spel<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> goede<br />
rek<strong>en</strong>ontwikkeling zijn (zie bijlage A):<br />
• de ontwikkeling van numerieke cognitie (ge<strong>vo</strong>el <strong>vo</strong>or getall<strong>en</strong>, getalbegrip);<br />
• de taalontwikkeling;<br />
• de ontwikkeling van het visueel waarnem<strong>en</strong>;<br />
• geheug<strong>en</strong>functies:<br />
- het werkgeheug<strong>en</strong> (executieve functies);<br />
- het langetermijngeheug<strong>en</strong> (het georganiseerd opslaan van informatie <strong>en</strong> de oproepsnelheid);<br />
• motivationeel-affectieve factor<strong>en</strong> (zelfvertrouw<strong>en</strong>, angst, weerstand)<br />
169<br />
E<strong>en</strong> goede ontwikkeling van numerieke cognitie is de basis <strong>vo</strong>or het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Dit gaat sam<strong>en</strong><br />
met taalontwikkeling <strong>en</strong> de ontwikkeling van het visueel waarnem<strong>en</strong> Door zowel verbale als visuele<br />
ondersteuning te bied<strong>en</strong> bij rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> krijg<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> optimale kans<strong>en</strong> e<strong>en</strong> goed ge<strong>vo</strong>el<br />
<strong>vo</strong>or getall<strong>en</strong>, getalstructur<strong>en</strong> <strong>en</strong> relaties tuss<strong>en</strong> getall<strong>en</strong> te ontwikkel<strong>en</strong><br />
Het onderwijs is sterk talig ingesteld Veel tak<strong>en</strong> in het rek<strong>en</strong>onderwijs zijn talige tak<strong>en</strong>, bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
het ler<strong>en</strong> <strong>en</strong> het automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> van de tafels Afbeelding<strong>en</strong> (visueel) bij opdracht<strong>en</strong><br />
(talig) in rek<strong>en</strong>boek<strong>en</strong> zijn vaak illustratief in plaats van functioneel <strong>en</strong> daardoor niet<br />
ondersteun<strong>en</strong>d aan de opdracht Leerling<strong>en</strong> die talig zwak zijn maar visueel sterk, zijn hierbij<br />
dubbel in het nadeel De tekst is <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> bij <strong>vo</strong>orbaat lastig <strong>en</strong> de illustratie biedt ge<strong>en</strong> of nauwelijks<br />
ondersteuning<br />
<strong>Taal</strong>vaardigheid heeft e<strong>en</strong> grote invloed op de ontwikkeling van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> Het<br />
begrijp<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>taal is onderdeel van ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Het kunn<strong>en</strong> koppel<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>taal aan<br />
ervaring<strong>en</strong>, getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> formele bewerking<strong>en</strong> is <strong>vo</strong>orwaarde om rek<strong>en</strong>bewerking<strong>en</strong> op het formele<br />
niveau te begrijp<strong>en</strong> <strong>en</strong> uit te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> E<strong>en</strong> goede technische leesvaardigheid <strong>en</strong> begrijp<strong>en</strong>d lez<strong>en</strong> zijn<br />
e<strong>en</strong> vereiste om opdracht<strong>en</strong> in rek<strong>en</strong>boek<strong>en</strong> te begrijp<strong>en</strong> Als e<strong>en</strong> leerling leesproblem<strong>en</strong> heeft, is<br />
het begrijp<strong>en</strong> van (context)opdracht<strong>en</strong> bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>vo</strong>or hem lastig In zo’n geval kan t<strong>en</strong> onrechte<br />
de conclusie word<strong>en</strong> getrokk<strong>en</strong> dat e<strong>en</strong> leerling moeite heeft met ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Veel leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> in het verled<strong>en</strong> frustraties opgelop<strong>en</strong> bij het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Sommig<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong><br />
in de loop der jar<strong>en</strong> faalangst <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>angst opgebouwd Dit kan soms word<strong>en</strong> doorbrok<strong>en</strong> <strong>en</strong> de<br />
leraar kan de leerling weer motiver<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> De leraar moet dan met deze leerling<strong>en</strong> veel<br />
aandacht bested<strong>en</strong> aan hun manier van d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> aan hun oplossingsprocedures Hij zal daarbij<br />
met h<strong>en</strong> zoek<strong>en</strong> naar e<strong>en</strong> manier <strong>vo</strong>or het onthoud<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong><br />
die bij h<strong>en</strong> pass<strong>en</strong> Dit vraagt zorgvuldige <strong>en</strong> gerichte individuele begeleiding <strong>en</strong> afstemming<br />
(zie deel 4)
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Bij sommige problem<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> e<strong>en</strong> negatieve invloed op het onderwijsleerproces<br />
Dan moet de leraar zoek<strong>en</strong> naar alternatieve manier<strong>en</strong> om de afstemming van het onderwijs<br />
op de ontwikkeling van de leerling te verbeter<strong>en</strong> De leraar is hierbij de cruciale schakel Het<br />
Handelingsmodel <strong>en</strong> het Drieslagmodel kunn<strong>en</strong> de leraar hierbij ondersteun<strong>en</strong><br />
12.3 De sam<strong>en</strong>hang in beeld<br />
170<br />
Wanneer e<strong>en</strong> leerling e<strong>en</strong> oplossingsprocedure uit<strong>vo</strong>ert, spel<strong>en</strong> zowel zijn niveau van handel<strong>en</strong><br />
(zie paragraaf 102) als zijn leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> e<strong>en</strong> rol Het Handelingsmodel helpt de leraar te<br />
zi<strong>en</strong> tot op welk niveau e<strong>en</strong> leerling oplossingsprocedures kan uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Ook de wijze waarop de<br />
leerling zijn handeling<strong>en</strong> kan verwoord<strong>en</strong> geeft belangrijke informatie<br />
Het Drieslagmodel kan hij daarbij gebruik<strong>en</strong> om te zi<strong>en</strong> hoe e<strong>en</strong> leerling profiteert van de reeds<br />
opgedane k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> <strong>en</strong> hoe hij nieuwe informatie opneemt, daarmee aan het werk<br />
gaat, in het geheug<strong>en</strong> opslaat <strong>en</strong> ook weer kan oproep<strong>en</strong> uit het geheug<strong>en</strong> in nieuwe situaties Waar<br />
ligg<strong>en</strong> dan de cruciale mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong>?<br />
E<strong>en</strong> sterk analytisch vermog<strong>en</strong> bij<strong>vo</strong>orbeeld helpt de leerling bij het ontdekk<strong>en</strong> van details in e<strong>en</strong><br />
contextopdracht Bij e<strong>en</strong> zwak analytisch vermog<strong>en</strong> neemt de leerling globaler waar <strong>en</strong> zal hij minder<br />
snel details ontdekk<strong>en</strong>, waardoor hij relevante informatie in e<strong>en</strong> opdracht kan miss<strong>en</strong><br />
E<strong>en</strong> goed werkgeheug<strong>en</strong> helpt de leerling de <strong>vo</strong>lgorde van tuss<strong>en</strong>tijdse bewerking<strong>en</strong> te onthoud<strong>en</strong><br />
E<strong>en</strong> zwak werkgeheug<strong>en</strong> kan juist belemmer<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong>, omdat de leerling dan bij<strong>vo</strong>orbeeld de<br />
<strong>vo</strong>lgorde van de bewerking<strong>en</strong> minder snel of on<strong>vo</strong>lledig kan uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Georganiseerd opslaan in het langetermijngeheug<strong>en</strong> (in associatieve netwerk<strong>en</strong>) helpt de leerling<br />
om opgeslag<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis weer snel op te roep<strong>en</strong><br />
In het totale proces van ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is het welbevind<strong>en</strong> van de leerling de meest cruciale factor<br />
Hoe staat hij emotioneel in dit proces? Heeft hij plezier in rek<strong>en</strong><strong>en</strong>? Heeft hij vertrouw<strong>en</strong> in zijn<br />
eig<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong>? Hoe gaat hij om met succeservaring<strong>en</strong> <strong>en</strong> met fout<strong>en</strong>? Hoe begint hij aan e<strong>en</strong><br />
nieuwe taak? De mate van zelfvertrouw<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> leerling <strong>en</strong> zijn emotionele binding met of aversie<br />
teg<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> zijn de meest bepal<strong>en</strong>de factor<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het verwerv<strong>en</strong> van nieuwe rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong><br />
-vaardighed<strong>en</strong> <strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s het oploss<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>vraagstukk<strong>en</strong><br />
In afbeelding 121 lat<strong>en</strong> we zi<strong>en</strong> welke factor<strong>en</strong> e<strong>en</strong> rol spel<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s het oploss<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>vraagstukk<strong>en</strong>
hoofdstuk 12 Sam<strong>en</strong>hang <strong>en</strong> afstemming tuss<strong>en</strong> beide modell<strong>en</strong><br />
Plann<strong>en</strong><br />
Reflecter<strong>en</strong><br />
Controler<strong>en</strong> van de<br />
oplossing.<br />
Verslag uitbr<strong>en</strong>g<strong>en</strong><br />
(vertell<strong>en</strong>, verwoord<strong>en</strong>,<br />
visualiser<strong>en</strong>).<br />
Terugkoppel<strong>en</strong> naar<br />
de context.<br />
Nieuwe informatie<br />
opslaan in<br />
langetermijn -<br />
geheug<strong>en</strong><br />
(associatieve<br />
geheug<strong>en</strong>netwerk<strong>en</strong>).<br />
Daarbij:<br />
Conc<strong>en</strong>tratie.<br />
Mate van<br />
zelfvertrouw<strong>en</strong>.<br />
Succeservaring<strong>en</strong>.<br />
Oplossing<br />
Uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Reflecter<strong>en</strong><br />
Context<br />
Uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Bewerking<br />
Informatie oproep<strong>en</strong> uit langetermijngeheug<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> koppel<strong>en</strong> aan opgeslag<strong>en</strong> informatie<br />
in werkgeheug<strong>en</strong>.<br />
Handeling<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> op basis van<br />
handelingsniveaus (verticaal mathematiser<strong>en</strong>).<br />
Uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> adequate wijze<br />
(schatt<strong>en</strong>, precies, uit het hoofd, op papier,<br />
met rek<strong>en</strong>machine of anders).<br />
Probleem oploss<strong>en</strong>.<br />
Oplossing<strong>en</strong> noter<strong>en</strong> (tek<strong>en</strong><strong>en</strong>, modell<strong>en</strong>,<br />
bewerking<strong>en</strong>, formules).<br />
Handeling afrond<strong>en</strong>.<br />
Daarbij:<br />
Conc<strong>en</strong>tratie.<br />
Mate van zelfvertrouw<strong>en</strong>.<br />
Fout<strong>en</strong> durv<strong>en</strong> mak<strong>en</strong>.<br />
Plann<strong>en</strong><br />
Begrijp<strong>en</strong> van de context.<br />
Betek<strong>en</strong>is verl<strong>en</strong><strong>en</strong> aan de<br />
informatie (begrijp<strong>en</strong>d lez<strong>en</strong>,<br />
combiner<strong>en</strong> van tekst,<br />
getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> beeld).<br />
Id<strong>en</strong>tificer<strong>en</strong> van getalsmatige<br />
informatie.<br />
Analyser<strong>en</strong> van de informatie.<br />
Informatie vertal<strong>en</strong> naar<br />
rek<strong>en</strong>kundige handeling<strong>en</strong><br />
(horizontaal mathematiser<strong>en</strong>).<br />
Oproep<strong>en</strong> <strong>en</strong> activer<strong>en</strong> van<br />
relevante <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis uit<br />
langetermijngeheug<strong>en</strong>.<br />
Ev<strong>en</strong>tueel aanvull<strong>en</strong>de informatie<br />
opzoek<strong>en</strong>.<br />
Ord<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> structurer<strong>en</strong> van<br />
informatie.<br />
Kiez<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> oplossingsprocedure.<br />
Informatie opslaan in het<br />
werkheug<strong>en</strong>.<br />
Daarbij:<br />
Aandacht richt<strong>en</strong>.<br />
Aandacht vasthoud<strong>en</strong><br />
(conc<strong>en</strong>tratie).<br />
Affectieve ge<strong>vo</strong>el<strong>en</strong>s:<br />
Dit kan ik niet of<br />
Dit kan ik wel of<br />
Dit kan ik al lang!<br />
Mate van zelfvertrouw<strong>en</strong>.<br />
Plezier in of aversie teg<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong>.<br />
171<br />
Afbeelding 12.1 De sam<strong>en</strong>hang in beeld: combinatie van Drieslagmodel, Handelingsmodel <strong>en</strong> leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
12.4 Reflectie <strong>en</strong> onthoud<strong>en</strong><br />
Bij het plann<strong>en</strong> <strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van de handeling speelt het werkgeheug<strong>en</strong> e<strong>en</strong> belangrijke rol (Van<br />
Lieshout, 2006, 2010; Van Lieshout & Ber<strong>en</strong>ds, 2009) Bij complexere problem<strong>en</strong> kan e<strong>en</strong> overload<br />
ontstaan <strong>vo</strong>or het werkgeheug<strong>en</strong> waardoor de leerling fragm<strong>en</strong>t<strong>en</strong> van informatie mist <strong>en</strong> verkeerde<br />
berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>ert Dit wordt soms geïnterpreteerd als ‘slordig’ De leerling maakt ‘vergeetfout<strong>en</strong>’<br />
Bij het berek<strong>en</strong><strong>en</strong> van de nieuwe prijs <strong>vo</strong>or de tv met korting vergeet hij bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
de berek<strong>en</strong>de 10% te verdubbel<strong>en</strong> <strong>en</strong> ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de korting af te trekk<strong>en</strong> van het oorspronkelijke<br />
bedrag, waardoor het antwoord niet klopt
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
172<br />
Tijd<strong>en</strong>s de reflectie word<strong>en</strong> de <strong>vo</strong>orafgaande acties in het geheug<strong>en</strong> opgeslag<strong>en</strong> Hoe gebeurt dat?<br />
Welke informatie slaat de leerling op? In feite is het opslaan van het geleerde in het langetermijngeheug<strong>en</strong><br />
e<strong>en</strong> belangrijk mom<strong>en</strong>t van het leerproces Als de leerling tijd<strong>en</strong>s de reflectie nog kan<br />
vertell<strong>en</strong> wat hij gedaan heeft <strong>en</strong> hoe hij iets heeft uitgerek<strong>en</strong>d, is de kans groter dat hij dit goed<br />
opslaat in het langetermijngeheug<strong>en</strong> De kans daarop is groter als die leerling <strong>vo</strong>oraf weet <strong>en</strong> onder<br />
woord<strong>en</strong> kan br<strong>en</strong>g<strong>en</strong> wat <strong>en</strong> hoe hij het gaat aanpakk<strong>en</strong> Anders gezegd: als het handel<strong>en</strong> van de<br />
leerling doelgericht <strong>en</strong> bewust is, zal de kans op e<strong>en</strong> zin<strong>vo</strong>lle reflectie <strong>en</strong> opname in het langetermijngeheug<strong>en</strong><br />
groter zijn Als hij bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> koppeling<strong>en</strong> kan mak<strong>en</strong> met wat hij al weet, ontstaan<br />
er betere netwerk<strong>en</strong> van k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> Bij e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>opdracht kan de leerling<br />
beter gebruik mak<strong>en</strong> van hetge<strong>en</strong> hij opgeslag<strong>en</strong> heeft in het langetermijngeheug<strong>en</strong>, zeker als hij<br />
wordt gestimuleerd die <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis eerst te activer<strong>en</strong>
173
13 Aandachtspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or<br />
het signaler<strong>en</strong> van<br />
rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>
Tot slot bied<strong>en</strong> wij aandachtspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het signaler<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>,<br />
g erelateerd aan beide modell<strong>en</strong> <strong>en</strong> t<strong>en</strong> aanzi<strong>en</strong> van leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong>. Wij nem<strong>en</strong><br />
ook de signal<strong>en</strong> op die bij de vier Hoofdlijn<strong>en</strong> geformuleerd zijn (zie deel 2). Al<br />
deze elem<strong>en</strong>t<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> de leraar <strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>specialist behulpzaam zijn om het<br />
ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> te analyser<strong>en</strong>.<br />
13
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
13.1 Signaleringspunt<strong>en</strong> bij de vier Hoofdlijn<strong>en</strong><br />
176<br />
Bij de vier Hoofdlijn<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> wij ti<strong>en</strong> signaleringspunt<strong>en</strong> beschrev<strong>en</strong> bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Deze<br />
hebb<strong>en</strong> wij aangeduid met S Deze S staat <strong>vo</strong>or signaal De signal<strong>en</strong> zijn aandachtspunt<strong>en</strong> waardoor<br />
lerar<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> in beeld kunn<strong>en</strong> krijg<strong>en</strong> Aan de hand van <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong> liet<strong>en</strong><br />
wij zi<strong>en</strong> waar <strong>en</strong> hoe rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> vastlop<strong>en</strong> Pot<strong>en</strong>tieel rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> gev<strong>en</strong><br />
vaak nog meer <strong>en</strong> andere signal<strong>en</strong> af, ook bij andere vakk<strong>en</strong> dan rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong><br />
kunn<strong>en</strong> weerstand <strong>en</strong> faalangst ontwikkel<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s de rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> Ook op andere manier<strong>en</strong> lat<strong>en</strong><br />
zij in hun gedrag zi<strong>en</strong> dat hun (rek<strong>en</strong>)ontwikkeling niet vlekkeloos verloopt<br />
In deze paragraaf staan de signal<strong>en</strong> geord<strong>en</strong>d bij elkaar De g<strong>en</strong>oemde knelpunt<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> veelvuldig<br />
<strong>vo</strong>or in de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van leerling<strong>en</strong> Het kunn<strong>en</strong> ‘normale’ problem<strong>en</strong> zijn bij het ler<strong>en</strong><br />
van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Deze zijn doorgaans van tijdelijke aard Dezelfde signal<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> we echter ook bij<br />
rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orbode zijn van ernstige problem<strong>en</strong> Bij aanhoud<strong>en</strong>de<br />
problem<strong>en</strong> rad<strong>en</strong> wij dan ook aan snel <strong>en</strong> adequaat te handel<strong>en</strong><br />
Het overzicht biedt aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or signalering <strong>en</strong> aanpak van mogelijke rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
Tijdig signaler<strong>en</strong> is de eerste stap om te kunn<strong>en</strong> ingrijp<strong>en</strong> <strong>en</strong> daardoor erger te <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong><br />
Hoofdlijn 1: verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming<br />
S1 – Problem<strong>en</strong> met het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> moeite met het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is aan getall<strong>en</strong> Context<strong>en</strong><br />
help<strong>en</strong> de leerling de stap te mak<strong>en</strong> van het informele betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle rek<strong>en</strong><strong>en</strong> naar het formele,<br />
abstracte rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> somm<strong>en</strong> mak<strong>en</strong>) Hierbij spel<strong>en</strong> de ontwikkeling<br />
van taal, het visueel <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> <strong>en</strong> oplossingsprocedures e<strong>en</strong> cruciale rol<br />
S2 – Gebrekkige concept<strong>vo</strong>rming<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> vaak moeite met de ontwikkeling van goede rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> De<br />
koppeling van het concrete handel<strong>en</strong> aan formele bewerking<strong>en</strong> <strong>en</strong> de daarbij pass<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>taal<br />
gaat niet vanzelf Hierdoor kunn<strong>en</strong> gebrekkige concept<strong>en</strong> ontstaan E<strong>en</strong> zwakke basis kan met<br />
name belemmer<strong>en</strong>d zijn bij het ontwikkel<strong>en</strong> van complexere begripp<strong>en</strong> als breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
Voor rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> blijft concept<strong>vo</strong>rming e<strong>en</strong> struikelblok gedur<strong>en</strong>de hun hele schoolloopbaan<br />
Dit is e<strong>en</strong> signaal <strong>vo</strong>or mogelijke stagnatie in de rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
Hoofdlijn 2: verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van oplossingsprocedures<br />
S3 – Problem<strong>en</strong> met het verwerv<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van de basisbewerking<strong>en</strong><br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> bouw<strong>en</strong> e<strong>en</strong> zwakke basis op <strong>vo</strong>or het formele rek<strong>en</strong><strong>en</strong> omdat de begrips<strong>vo</strong>rming<br />
gebrekkig verloopt E<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>zwakke leerling blijkt vaak slecht in staat te zijn om oplossingsprocedures<br />
te begrijp<strong>en</strong> Hij ontwikkelt fragm<strong>en</strong>tarische k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> houdt lang vast aan procedures<br />
die ondoelmatig zijn <strong>en</strong> weinig perspectief bied<strong>en</strong>, zoals tell<strong>en</strong> Daardoor ontstaat e<strong>en</strong><br />
gebrekkige basis <strong>vo</strong>or het ler<strong>en</strong> optell<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> <strong>en</strong> del<strong>en</strong><br />
S4 – Problem<strong>en</strong> met het automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> van de tafels<br />
E<strong>en</strong> leerling die de basisbewerking<strong>en</strong> on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de beheerst, valt vaak op doordat hij problem<strong>en</strong><br />
heeft met het onthoud<strong>en</strong> van de tafels Dit belemmert hem bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> Bij<br />
e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>zwakke leerling kan hierdoor de rek<strong>en</strong>ontwikkeling stagner<strong>en</strong>
hoofdstuk 13 Aandachtspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het signaler<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
S5 – Problem<strong>en</strong> met het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van complexere bewerking<strong>en</strong><br />
Het verwerv<strong>en</strong> van meer complexe rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> blijkt moeizaam te verlop<strong>en</strong> Rek<strong>en</strong>zwakke<br />
leerling<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> niet of moeizaam tot begrips<strong>vo</strong>rming <strong>en</strong> ontwikkeling van complexere oplossingsprocedures<br />
op het gebied van breuk<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>, verhouding<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
m et<strong>en</strong><br />
S6 – Problem<strong>en</strong> met het verwerv<strong>en</strong> van algoritmes<br />
Rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> blijk<strong>en</strong> vaak moeite te hebb<strong>en</strong> met het verwerv<strong>en</strong> van de complexe procedures<br />
van algoritmes<br />
177<br />
Hoofdlijn 3: vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong><br />
S7 – Onbegrep<strong>en</strong> procedures <strong>en</strong> losse feit<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis in de basisvaardighed<strong>en</strong> leid<strong>en</strong> tot fragm<strong>en</strong>tarische<br />
k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong><br />
Onbegrep<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> procedures word<strong>en</strong> niet of on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de opgeslag<strong>en</strong> in het geheug<strong>en</strong> De<br />
leraar kan dit waarnem<strong>en</strong> als e<strong>en</strong> leerling gaat ‘goochel<strong>en</strong> met getall<strong>en</strong>’ tijd<strong>en</strong>s het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van<br />
de basisvaardighed<strong>en</strong> optell<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> <strong>en</strong> del<strong>en</strong> Dit leidt tot fragm<strong>en</strong>tarische<br />
k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> waardoor e<strong>en</strong> zwakke basis ontstaat (‘gat<strong>en</strong>kaas’)<br />
S8 – Problem<strong>en</strong> met het automatiser<strong>en</strong> van standaardalgoritmes <strong>en</strong> complexe procedures belemmer<strong>en</strong><br />
het vlot ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Fragm<strong>en</strong>tarische k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> bij de basisbewerking<strong>en</strong> word<strong>en</strong> zichtbaar als e<strong>en</strong> leerling<br />
problem<strong>en</strong> heeft met het automatiser<strong>en</strong> van complexere procedures, zoals de algoritmes <strong>en</strong> bij<br />
bewerking<strong>en</strong> met verhouding<strong>en</strong>, breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
S9 – Problem<strong>en</strong> met het automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> zijn het ge<strong>vo</strong>lg van het niet goed georganiseerd<br />
opslaan van informatie<br />
Het ontwikkel<strong>en</strong> van associatieve k<strong>en</strong>nis leidt tot georganiseerd opslaan in het geheug<strong>en</strong> Daardoor<br />
is deze k<strong>en</strong>nis sneller oproepbaar Niet goed opgeslag<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis leidt tot problem<strong>en</strong> bij het automatiser<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> Als blijkt dat e<strong>en</strong> leerling minder snel informatie kan oproep<strong>en</strong> uit zijn<br />
geheug<strong>en</strong> of deze is verget<strong>en</strong>, kan dit e<strong>en</strong> signaal zijn dat hij de informatie niet goed georganiseerd<br />
heeft opgeslag<strong>en</strong> in zijn geheug<strong>en</strong><br />
Vergelijk dit met archiver<strong>en</strong> op de harde schijf De gebruiker organiseert de harde schijf in mapp<strong>en</strong><br />
Hij slaat informatie op in e<strong>en</strong> map met bij elkaar hor<strong>en</strong>de bestand<strong>en</strong> Hierdoor vindt hij die<br />
informatie makkelijker terug<br />
Hoofdlijn 4: flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong><br />
S10 – Gebrekkige oplossingsprocedures <strong>en</strong> tekort<strong>en</strong> in het strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> belemmer<strong>en</strong><br />
het flexibel toepass<strong>en</strong><br />
Op school wordt veel aandacht besteed aan het ontwikkel<strong>en</strong> van cognitieve k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> veel minder aan het ontwikkel<strong>en</strong> van strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>zwakke leerling hanteert vaak gebrekkige oplossingsprocedures Deze kan hij dus ook<br />
niet optimaal inzett<strong>en</strong> bij het uitwerk<strong>en</strong> van complexere berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> Dit belemmert de ontwikkeling<br />
van het strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
13.2 Aandachtspunt<strong>en</strong> t<strong>en</strong> aanzi<strong>en</strong> van het leerproces van de leerling<br />
178<br />
A1 – Waar let de leraar op bij e<strong>en</strong> leerling met betrekking tot handelingsniveaus (Handelingsmodel)?<br />
• Begrijpt de leerling rek<strong>en</strong>begripp<strong>en</strong>? (Hoe) Kan hij daaraan betek<strong>en</strong>is verl<strong>en</strong><strong>en</strong>?<br />
• (Hoe) Kan de leerling hoeveelhed<strong>en</strong> bepal<strong>en</strong>?<br />
• (Hoe) Kan de leerling rek<strong>en</strong>handeling<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong>?<br />
• (Hoe) Kan hij bij de situatie pass<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>taal gebruik<strong>en</strong>?<br />
• (Hoe) Kan de leerling op e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>kundige manier onderbouw<strong>en</strong> of bered<strong>en</strong>er<strong>en</strong> wat hij doet<br />
(wil gaan do<strong>en</strong>)?<br />
• (Hoe) Kan de leerling rek<strong>en</strong>handeling<strong>en</strong> uit- of afbeeld<strong>en</strong> (<strong>vo</strong>orstellingsniveau)?<br />
• (Hoe) Kan de leerling overschakel<strong>en</strong> van het <strong>en</strong>e naar e<strong>en</strong> ander (hoger/lager) handelingsniveau?<br />
Kan de leerling flexibel switch<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> de niveaus?<br />
• (Hoe) Kan de leerling gebruik mak<strong>en</strong> van zijn ge<strong>vo</strong>el <strong>vo</strong>or getall<strong>en</strong>, getalstructur<strong>en</strong> <strong>en</strong> getalnetwerk<strong>en</strong><br />
bij het schakel<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> de verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus?<br />
A2 – Waar let de leraar op bij e<strong>en</strong> leerling met betrekking tot oplossingsprocedures (Drieslagmodel)?<br />
Bij stap 1 (planning):<br />
• Kan de leerling betek<strong>en</strong>is gev<strong>en</strong> aan de rek<strong>en</strong>kundige informatie in e<strong>en</strong> context?<br />
• Kan de leerling informatie analyser<strong>en</strong> <strong>en</strong> ord<strong>en</strong><strong>en</strong>?<br />
• Kan de leerling relevante <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis oproep<strong>en</strong> uit zijn geheug<strong>en</strong>?<br />
• Kan de leerling e<strong>en</strong> pass<strong>en</strong>de berek<strong>en</strong>ing of oplossingsprocedure bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong>?<br />
Bij stap 2 (uit<strong>vo</strong>ering):<br />
• Hoe organiseert de leerling de gekoz<strong>en</strong> oplossingsprocedure?<br />
• Is er sprake van gebrekkige of onbegrep<strong>en</strong> concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> procedures?<br />
Bij stap 3 (reflectie):<br />
• Is de leerling <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de in staat tot reflectie op het eig<strong>en</strong> handel<strong>en</strong>?<br />
• Kan de leerling vertell<strong>en</strong> wat hij heeft gedaan <strong>en</strong> hoe hij de opdracht heeft uitge<strong>vo</strong>erd?<br />
A3 – Wat neemt de leraar waar met betrekking tot leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong>?<br />
Met betrekking tot geheug<strong>en</strong>:<br />
• Kan de leerling relevante <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis activer<strong>en</strong> (oproep<strong>en</strong> uit het langetermijngeheug<strong>en</strong>)?<br />
• Kan de leerling resultat<strong>en</strong> van tuss<strong>en</strong>tijdse berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> onthoud<strong>en</strong> (overload van het werkgeheug<strong>en</strong>)?<br />
• Kan de leerling nieuwe rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis onthoud<strong>en</strong>?<br />
• Kan de leerling oplossingsprocedures automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong> (opslaan van nieuwe<br />
k<strong>en</strong>nis in het langetermijngeheug<strong>en</strong>)?<br />
• Kan de leerling e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de keer de nieuw verworv<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis weer oproep<strong>en</strong> uit het g eheug<strong>en</strong>?<br />
NB Maak onderscheid tuss<strong>en</strong> niet goed begrep<strong>en</strong> concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> procedures <strong>en</strong> fout<strong>en</strong> als ge<strong>vo</strong>lg<br />
van overbelasting van het werkgeheug<strong>en</strong>
hoofdstuk 13 Aandachtspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het signaler<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
Met betrekking tot affectie, emotie <strong>en</strong> zelfreflectie (emotioneel welbevind<strong>en</strong>):<br />
• Hoe begint de leerling aan e<strong>en</strong> taak?<br />
• Hoe gaat de leerling om met fout<strong>en</strong>?<br />
• Hoe gaat de leerling om met succeservaring<strong>en</strong>?<br />
• Hoelang kan de leerling zich conc<strong>en</strong>trer<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> taak?<br />
• Geeft de leerling uiting aan emoties? Hoe <strong>en</strong> op welk mom<strong>en</strong>t? Is dat incid<strong>en</strong>teel of structureel?<br />
D<strong>en</strong>k aan opgewekt, weerstand, angst, faalangst, blokkade<br />
13.3 Aandachtspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or reflectie door de leraar<br />
179<br />
Welke vrag<strong>en</strong> kan de leraar zichzelf stell<strong>en</strong> om te reflecter<strong>en</strong> op de afstemming van zijn onderwijsaanbod<br />
op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong>?<br />
• Wordt in de methode <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de geoef<strong>en</strong>d op de verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus?<br />
• Bied ik in mijn instructie de leerstof aan op verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus?<br />
• Bied ik gerichte aandacht aan de overgang van het <strong>en</strong>e niveau naar e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>d niveau door te<br />
werk<strong>en</strong> in combinaties van niveaus?<br />
• Stem ik de handelingsniveaus af op de individuele leerling?<br />
• Probeer ik met rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de niveauverhog<strong>en</strong>d te werk<strong>en</strong>?<br />
• Zie ik op welk niveau e<strong>en</strong> leerling bepaalde leerstof beheerst?<br />
• Zie ik <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de ontwikkeling van informeel naar formeel niveau in het handel<strong>en</strong> van de leerling?<br />
• Wordt er in de methode aandacht besteed aan de koppeling van context met bewerking?<br />
• Op welke wijze laat ik de leerling<strong>en</strong> oef<strong>en</strong><strong>en</strong>? Alle<strong>en</strong> met (kale) somm<strong>en</strong> of ook op andere manier<strong>en</strong>?<br />
• Besteed ik <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de aandacht aan planning (horizontaal mathematiser<strong>en</strong>)?<br />
• Besteed ik <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de aandacht aan reflectie?<br />
• Wat doe ik als ik zie dat e<strong>en</strong> opdracht erg complex (overload) is <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> leerling?<br />
Bij bov<strong>en</strong>staande vrag<strong>en</strong> is altijd de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de vraag belangrijk: (Hoe) kan ik dat (nog verder) verbeter<strong>en</strong>?<br />
Hoe kan ik nog beter afstemm<strong>en</strong> op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van deze leerling?<br />
Enkele aanbeveling<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het didactisch handel<strong>en</strong>:<br />
• Ga altijd met de leerling in gesprek <strong>en</strong> vraag na wat hem beweegt of wat hij doet of d<strong>en</strong>kt<br />
• Onderzoek rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> niet alle<strong>en</strong> door het analyser<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>fout<strong>en</strong> bij ‘kale somm<strong>en</strong>’<br />
Analyseer ook oplossingsprocedures van leerling<strong>en</strong> bij contextopdracht<strong>en</strong><br />
• Leg daarbij de focus op het strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> van de leerling tijd<strong>en</strong>s het plann<strong>en</strong>,<br />
het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s de reflectie<br />
• Bied betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle context<strong>en</strong> aan Het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> krijgt daardoor betek<strong>en</strong>is De rek<strong>en</strong>vaardigheid<br />
wordt erdoor verbeterd<br />
• Leer effectieve planningsstrategieën <strong>en</strong> slimme controlestrategieën aan Dat is net zo belangrijk<br />
als het aanler<strong>en</strong> van technische rek<strong>en</strong>vaardigheid<br />
• Wanneer er iets bijzonder opvalt bij e<strong>en</strong> leerling, ga dan gericht observer<strong>en</strong> of er wellicht meer<br />
achterzit <strong>en</strong> raadpleeg collega’s om te vernem<strong>en</strong> of h<strong>en</strong> ditzelfde ook is opgevall<strong>en</strong><br />
• Neem zo nodig contact op met de ouders/verzorgers van de leerling, want zij kunn<strong>en</strong> waarde<strong>vo</strong>lle<br />
informatie gev<strong>en</strong>
180
Deel 4<br />
Begeleiding<br />
14 Begeleiding <strong>en</strong> ondersteuning bij rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
15 Begeleidingscategorie 1<br />
16 Begeleidingscategorie 2<br />
17 Begeleidingscategorie 3
14 Begeleiding <strong>en</strong><br />
ondersteuning bij<br />
rek<strong>en</strong>onderwijs
Voor leerling<strong>en</strong> die rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> is pass<strong>en</strong>de begeleiding <strong>en</strong> ondersteuning<br />
nodig. Zulke begeleiding start zo mogelijk vanaf de eerste dag dat leerling<strong>en</strong><br />
in het <strong>vo</strong> binn<strong>en</strong>kom<strong>en</strong>. Wij onderscheid<strong>en</strong> drie verschill<strong>en</strong>de begeleidingscategorieën<br />
<strong>en</strong> de hierbij pass<strong>en</strong>de eerste-, tweede- <strong>en</strong> derdelijnsondersteuning.<br />
14
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
14.1 Rek<strong>en</strong>geschied<strong>en</strong>is van de leerling bij overgang po-<strong>vo</strong><br />
184<br />
Leerling<strong>en</strong> die het <strong>vo</strong> instrom<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> in de <strong>vo</strong>orgaande jar<strong>en</strong> vrijwel elke dag rek<strong>en</strong>les gehad De<br />
basisschool heeft in haar rek<strong>en</strong>onderwijs gebruik gemaakt van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>methode, met daarnaast<br />
het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>1 De verschill<strong>en</strong> in rek<strong>en</strong>vaardigheid bij deze leerling<strong>en</strong> is groot Er zijn zowel<br />
heel sterke rek<strong>en</strong>aars als heel zwakke rek<strong>en</strong>aars, <strong>en</strong> alles daar tuss<strong>en</strong>in Vooral <strong>vo</strong>or de rek<strong>en</strong>zwakke<br />
leerling<strong>en</strong> is het van belang dat de begeleiding <strong>en</strong> ondersteuning die zij in het basisonderwijs<br />
kreg<strong>en</strong> zo snel mogelijk in het <strong>vo</strong> wordt <strong>vo</strong>ortgezet Continuïteit is noodzakelijk om terugval<br />
van de soms moeizaam verkreg<strong>en</strong> resultat<strong>en</strong> te <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> In dit <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 gev<strong>en</strong> wij aan<br />
hoe het <strong>vo</strong> de lijn kan doortrekk<strong>en</strong> die in het basisonderwijs is begonn<strong>en</strong> Deze continuïteit betreft<br />
<strong>en</strong>erzijds de inhoud van het rek<strong>en</strong>onderwijs: de doorgaande leerlijn<strong>en</strong> Anderzijds gaat het om<br />
continuïteit in de aard van de begeleiding <strong>en</strong> ondersteuning die de school biedt<br />
Om te kunn<strong>en</strong> aansluit<strong>en</strong> bij de actuele rek<strong>en</strong>ontwikkeling van de nieuwe brugklassers, zal het <strong>vo</strong><br />
<strong>vo</strong>oral kijk<strong>en</strong> naar de individuele rek<strong>en</strong>geschied<strong>en</strong>is van deze leerling<strong>en</strong> Het primair onderwijs<br />
onderscheidt op basis van het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>1 leerling<strong>en</strong> naar hun onderwijsbehoeft<strong>en</strong> bij ler<strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> In het dossier dat van elke leerling bij de overdracht po-<strong>vo</strong> wordt overgedrag<strong>en</strong>, staat aangegev<strong>en</strong><br />
hoe de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van de leerling op dat mom<strong>en</strong>t is <strong>en</strong> hoe het verloop tijd<strong>en</strong>s de<br />
basisschoolperiode is geweest Mocht e<strong>en</strong> leerling rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> of hebb<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong>, dan<br />
wordt verslag gedaan van de ondersteuning <strong>en</strong> begeleiding die door het basisonderwijs is gebod<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> het effect daarvan Ook staat vermeld of e<strong>en</strong> leerling e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring heeft Het kan<br />
ook zijn dat e<strong>en</strong> leerling op het mom<strong>en</strong>t van overdracht al in e<strong>en</strong> onderzoekstraject zit, vanwege<br />
ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> Het spreekt vanzelf dat ook dan continuïteit in begeleiding is gebod<strong>en</strong><br />
In de typering van de rek<strong>en</strong>ontwikkeling, zoals die in <strong>ERWD</strong>1 staat beschrev<strong>en</strong>, is sprake van vijf<br />
‘fas<strong>en</strong> in onderwijsbehoeft<strong>en</strong>’ In onderstaande tabel hebb<strong>en</strong> wij die vertaald naar de stand van<br />
zak<strong>en</strong> bij verlat<strong>en</strong> van het basisonderwijs Deze fas<strong>en</strong> word<strong>en</strong> met de kleur<strong>en</strong> blauw, gro<strong>en</strong>, geel,<br />
oranje <strong>en</strong> rood aangegev<strong>en</strong> In dit overzicht staat steeds per fase vermeld wat de aard van de informatie<br />
is die e<strong>en</strong> basisschool verstrekt bij de overdracht po-<strong>vo</strong>
hoofdstuk 14 Begeleiding <strong>en</strong> ondersteuning bij rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
Kleur<br />
fas<strong>en</strong><br />
in po<br />
Omschrijving van de fas<strong>en</strong> in onderwijsbehoeft<strong>en</strong> bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Fase blauw: leerling die e<strong>en</strong> zeer goede <strong>en</strong> snelle rek<strong>en</strong>ontwikkeling heeft doorgemaakt<br />
Uit schriftelijke overdracht po-<strong>vo</strong> zijn bek<strong>en</strong>d:<br />
• resultat<strong>en</strong> uit het leerling<strong>vo</strong>lgsysteem <strong>en</strong> de eindtoets;<br />
• tot hoever de leerling is gekom<strong>en</strong> op het niveau van 1S;<br />
• aanvull<strong>en</strong>de informatie over de leerling.<br />
Fase gro<strong>en</strong>: leerling die e<strong>en</strong> ‘normale’ rek<strong>en</strong>ontwikkeling heeft doorgemaakt<br />
Uit schriftelijke overdracht po-<strong>vo</strong> zijn de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de gegev<strong>en</strong>s bek<strong>en</strong>d:<br />
• resultat<strong>en</strong> uit het leerling<strong>vo</strong>lgsysteem <strong>en</strong> de eindtoets;<br />
• tot hoever de leerling is gekom<strong>en</strong> op het niveau van 1F/1S;<br />
• aanvull<strong>en</strong>de informatie over de leerling.<br />
Fase geel: leerling die op deelgebied<strong>en</strong> (geringe) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> heeft ervar<strong>en</strong><br />
185<br />
Uit schriftelijke overdracht po-<strong>vo</strong> zijn bek<strong>en</strong>d:<br />
• gegev<strong>en</strong>s zie fase gro<strong>en</strong>;<br />
• beschrijving van bij welke onderdel<strong>en</strong> van het rek<strong>en</strong>onderwijs extra begeleiding is gegev<strong>en</strong>.<br />
Fase oranje: leerling die ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervaart <strong>en</strong> op dat gebied specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
heeft<br />
Uit schriftelijke <strong>en</strong> mondelinge overdracht po-<strong>vo</strong> zijn bek<strong>en</strong>d:<br />
• gegev<strong>en</strong>s zie fase gro<strong>en</strong>;<br />
• beschrijving van welke specifieke begeleiding is gegev<strong>en</strong>;<br />
• stand van zak<strong>en</strong> van <strong>en</strong> informatie over het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek bij de leerling.<br />
Fase rood: leerling die ernstige, maar tev<strong>en</strong>s hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervaart (dyscalculie)<br />
Uit schriftelijke <strong>en</strong> mondelinge overdracht po-<strong>vo</strong> zijn bek<strong>en</strong>d:<br />
• gegev<strong>en</strong>s zie fase gro<strong>en</strong>;<br />
• beschrijving van welke specifieke begeleiding is gegev<strong>en</strong>;<br />
• stand van zak<strong>en</strong> van <strong>en</strong> informatie over het psychodiagnostisch onderzoek bij de leerling;<br />
• of wel of (nog) ge<strong>en</strong> dyscalculieverklaring aan de leerling is verle<strong>en</strong>d.<br />
Afbeelding 14.1 Overzicht informatieoverdracht bij de overgang po-<strong>vo</strong><br />
Met deze informatie kan e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>-school direct bij aanvang van het schooljaar de leerling<strong>en</strong> de (individuele)<br />
begeleiding bied<strong>en</strong> die zij nodig hebb<strong>en</strong> Dat waarborgt de doorgaande lijn die deze leerling<strong>en</strong><br />
zo hard nodig hebb<strong>en</strong> Zo spoedig mogelijk na het begin van het schooljaar kan <strong>vo</strong>or alle<br />
brugklassers e<strong>en</strong> nadere behoeft<strong>en</strong>analyse plaatsvind<strong>en</strong>, bij<strong>vo</strong>orbeeld in de <strong>vo</strong>rm van e<strong>en</strong> nulmeting<br />
Wij rad<strong>en</strong> <strong>vo</strong>-schol<strong>en</strong> aan zo vroeg mogelijk in het schooljaar e<strong>en</strong> ver<strong>vo</strong>lgselectie van leerling<strong>en</strong><br />
te mak<strong>en</strong> op basis van hun scores bij zo’n nulmeting Op grond van het resultaat van de nulmeting<br />
<strong>en</strong> de bek<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>geschied<strong>en</strong>is deelt de school de leerling<strong>en</strong> in de best pass<strong>en</strong>de<br />
begeleidingscategorie in Hierdoor kan de <strong>vo</strong>-school de verzamelde k<strong>en</strong>nis over e<strong>en</strong> leerling vertal<strong>en</strong><br />
naar e<strong>en</strong> doordacht plan <strong>vo</strong>or de toekomstige begeleiding Leerling<strong>en</strong> die in het basisonderwijs<br />
niet zijn ‘opgevall<strong>en</strong>’ kunn<strong>en</strong> bij de nulmeting als ‘risicoleerling’ word<strong>en</strong> aangemerkt vanwege e<strong>en</strong><br />
vermoed<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>probleem
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
14.2 Continuïteit in begeleiding van po naar <strong>vo</strong><br />
186<br />
In het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 mak<strong>en</strong> wij onderscheid tuss<strong>en</strong> drie begeleidingscategorieën<br />
• Begeleidingscategorie 1 is <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> die ge<strong>en</strong> of geringe rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> Zij krijg<strong>en</strong><br />
begeleiding in de reguliere less<strong>en</strong><br />
• Begeleidingscategorie 2 is <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> die ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> Zij krijg<strong>en</strong> int<strong>en</strong>sieve<br />
<strong>en</strong> deskundige begeleiding op basis van e<strong>en</strong> individueel handelingsplan Deze begeleidingscategorie<br />
is ook bestemd <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> die al in het traject ‘diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek’<br />
zitt<strong>en</strong><br />
• Begeleidingscategorie 3 is <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> die ernstige <strong>en</strong> tev<strong>en</strong>s hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
ervar<strong>en</strong> (dyscalculie) Zij krijg<strong>en</strong> blijv<strong>en</strong>de, zeer int<strong>en</strong>sieve <strong>en</strong> deskundige begeleiding op basis<br />
van e<strong>en</strong> individueel handelingsplan Deze begeleidingscategorie is ook bestemd <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong><br />
die in het traject ‘psychodiagnostisch onderzoek’ zitt<strong>en</strong>, vanwege het vermoed<strong>en</strong> van dyscalculie<br />
Dit onderzoek vindt bij <strong>vo</strong>orkeur niet later plaats dan in het tweede leerjaar van het <strong>vo</strong><br />
Het onderscheid naar onderwijsbehoeft<strong>en</strong> zoals het basisonderwijs die hanteert (blauw, gro<strong>en</strong>,<br />
geel, oranje of rood), kan word<strong>en</strong> vertaald naar het <strong>vo</strong> (zie afbeelding 141) In de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de tabel<br />
staan links de op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> afgestemde begeleiding die het basisonderwijs heeft gebod<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> rechts de hierop aansluit<strong>en</strong>de begeleiding die <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s <strong>ERWD</strong>2 in het <strong>vo</strong> w<strong>en</strong>selijk is<br />
Begeleiding in po<br />
Begeleiding in fase blauw: extra onderwijsaanbod.<br />
Begeleiding in fase gro<strong>en</strong> (normaal, vrijwel ongestoorde<br />
rek<strong>en</strong>ontwikkeling): ge<strong>en</strong> extra ondersteuning.<br />
Begeleiding in fase geel (geringe rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>):<br />
afstemming binn<strong>en</strong> de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> in<br />
subgroepjes.<br />
Begeleiding in fase oranje bij (vermoed<strong>en</strong> van)<br />
ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>: specifieke (individuele)<br />
afstemming op basis van individueel handelingsplan,<br />
int<strong>en</strong>sieve <strong>en</strong> deskundige begeleiding.<br />
Begeleiding in fase rood bij ernstige <strong>en</strong> (vermoed<strong>en</strong><br />
van) hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>: zeer specifieke<br />
(individuele) afstemming op basis van<br />
individueel handelingsplan, zeer int<strong>en</strong>sieve <strong>en</strong><br />
deskundige begeleiding.<br />
Begeleiding in <strong>vo</strong><br />
Begeleidingscategorie 1a: ge<strong>en</strong> extra ondersteuning.<br />
Begeleidingscategorie 1b: extra, afgestemde instructie<br />
binn<strong>en</strong> de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> in subgroepjes <strong>en</strong><br />
extra oef<strong>en</strong>tijd.<br />
Begeleidingscategorie 2: specifieke individuele instructie<br />
op basis van individueel handelingsplan buit<strong>en</strong><br />
de groep; aanvull<strong>en</strong>de instructie <strong>en</strong> extra oef<strong>en</strong>tijd<br />
binn<strong>en</strong> de groep.<br />
Begeleidingscategorie 3: begeleiding op maat; specifieke<br />
instructie op basis van individueel handelingsplan;<br />
daar waar mogelijk oef<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> aansluit<strong>en</strong><br />
binn<strong>en</strong> de groep.<br />
Afbeelding 14.2 Begeleiding in po <strong>en</strong> <strong>vo</strong><br />
Bij de indeling let de <strong>vo</strong>-school in eerste instantie alle<strong>en</strong> op rek<strong>en</strong>vaardigheid Met andere factor<strong>en</strong><br />
zoals zelfvertrouw<strong>en</strong>, faalangst, weerstand <strong>en</strong> motivatie wordt nog ge<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>ing gehoud<strong>en</strong> Deze<br />
factor<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> later wel e<strong>en</strong> rol spel<strong>en</strong> bij de begeleiding, met name bij leerling<strong>en</strong> die bij het<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het basisonderwijs veel negatieve ervaring<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> opgedaan
hoofdstuk 14 Begeleiding <strong>en</strong> ondersteuning bij rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
14.3 Begeleiding in het <strong>vo</strong><br />
Het onderscheid in drie begeleidingscategorieën is bruikbaar in alle leerjar<strong>en</strong> <strong>en</strong> alle leerroutes van<br />
het <strong>vo</strong> E<strong>en</strong> leerling kan aan e<strong>en</strong> andere categorie word<strong>en</strong> toegewez<strong>en</strong> op basis van to<strong>en</strong>em<strong>en</strong>de of<br />
uitblijv<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> Zie <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> sam<strong>en</strong>vatt<strong>en</strong>d overzicht afbeelding 43 van hoofdstuk 4<br />
In alle gevall<strong>en</strong> communiceert de school met alle betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> over plaatsing in, of wijziging van<br />
e<strong>en</strong> begeleidingscategorie <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de binn<strong>en</strong> de school afgesprok<strong>en</strong> werkwijze <strong>en</strong> taakverdeling<br />
In dit hoofdstuk besprek<strong>en</strong> wij de drie begeleidingscategorieën in het kort De belangrijkste overe<strong>en</strong>komst<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> verschill<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> aan bod Wij beschrijv<strong>en</strong> de rol van de eerste-, tweede- <strong>en</strong> derdelijnsondersteuning<br />
In de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de drie hoofdstukk<strong>en</strong> conc<strong>en</strong>trer<strong>en</strong> wij ons op de k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
van elke begeleidingscategorie afzonderlijk<br />
187<br />
• Begeleidingscategorie 1: begeleiding van leerling<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
– Categorie 1a<br />
De leerling<strong>en</strong> in deze categorie kunn<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> hun leerroute in principe zonder problem<strong>en</strong> het<br />
rek<strong>en</strong>onderwijs aan Voorwaarde is wel dat hun rek<strong>en</strong>vaardigheid door zorgvuldig uitgelijnde<br />
r ek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> op peil wordt gehoud<strong>en</strong> <strong>en</strong> verder wordt uitgebreid Zij hebb<strong>en</strong> ge<strong>en</strong> specifieke<br />
onderwijsbehoeft<strong>en</strong>, maar hebb<strong>en</strong> wel goed rek<strong>en</strong>onderwijs nodig om 2F of 3F te kunn<strong>en</strong> behal<strong>en</strong><br />
Binn<strong>en</strong> deze categorie zitt<strong>en</strong> ook leerling<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> grote rek<strong>en</strong>vaardigheid Zij hebb<strong>en</strong> gerichte<br />
aandacht nodig in het <strong>vo</strong> Deze groep leerling<strong>en</strong> komt het meeste <strong>vo</strong>or in het vwo Zij hebb<strong>en</strong> e<strong>en</strong><br />
goede stimulans <strong>en</strong> uitdaging nodig om te blijv<strong>en</strong> prester<strong>en</strong> <strong>en</strong> onderprester<strong>en</strong> te <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong><br />
Oef<strong>en</strong><strong>en</strong> bij wijze van onderhoud blijft ook <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> van belang<br />
Vanwege het doel van het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 gaan wij verder niet in op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van<br />
leerling<strong>en</strong> in categorie 1a<br />
– Categorie 1b<br />
In deze categorie zitt<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> die op deelgebied<strong>en</strong> (geringe) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> Deze<br />
problem<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> van tijdelijke aard zijn De leerling<strong>en</strong> profiter<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de van het gebod<strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong>onderwijs om mee te kunn<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> Voor sommige deelgebied<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> zij op hun onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
afgestemde instructie <strong>en</strong> meer oef<strong>en</strong>tijd nodig De begeleiding van deze groep leerling<strong>en</strong><br />
vindt plaats in de reguliere less<strong>en</strong>, zo nodig in subgroepjes De leerling<strong>en</strong> in deze categorie<br />
kunn<strong>en</strong> op onderdel<strong>en</strong> wissel<strong>en</strong> van categorie 1b naar 1a <strong>en</strong> omgekeerd Ze ervar<strong>en</strong> problem<strong>en</strong> op<br />
deelgebied<strong>en</strong>; zodra ze deze problem<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> overwonn<strong>en</strong>, kunn<strong>en</strong> ze weer gewoon zonder<br />
specifieke begeleiding meedo<strong>en</strong> in de groep<br />
De rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>specialist beoordel<strong>en</strong> of er sprake is van <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>oruitgang van de<br />
rek<strong>en</strong>ontwikkeling van de leerling<strong>en</strong> Zij hebb<strong>en</strong> hierbij overleg met de m<strong>en</strong>tor Zij baser<strong>en</strong> zich<br />
op e<strong>en</strong> analyse van toetsresultat<strong>en</strong>, observatiegegev<strong>en</strong>s <strong>en</strong> leerlingwerk Is er <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>oruitgang,<br />
dan blijv<strong>en</strong> zij in begeleidingscategorie 1 Bij leerling<strong>en</strong> die aantoonbaar on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de of zelfs<br />
ge<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oruitgang lat<strong>en</strong> zi<strong>en</strong>, zet de rek<strong>en</strong>specialist in overleg met de ondersteuningscoördinator<br />
ver<strong>vo</strong>lgactiviteit<strong>en</strong> in gang <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de interne procedure Deze leerling<strong>en</strong> word<strong>en</strong> ingedeeld bij<br />
begeleidingscategorie 2
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
188<br />
• Begeleidingscategorie 2: begeleiding van leerling<strong>en</strong> op basis van e<strong>en</strong> individueel handelingsplan<br />
bij ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
In deze categorie zitt<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> die ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> <strong>en</strong> op dat gebied specifieke<br />
ondersteuningsbehoeft<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> Deze specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> leerling word<strong>en</strong><br />
bepaald tijd<strong>en</strong>s e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek (zie hoofdstuk 18) Op grond van de resultat<strong>en</strong><br />
van dit onderzoek word<strong>en</strong> handelingsadviez<strong>en</strong> geformuleerd Deze adviez<strong>en</strong> word<strong>en</strong> ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s<br />
vertaald naar e<strong>en</strong> individueel handelingsplan, waarin ook de aard van de begeleiding staat aangegev<strong>en</strong><br />
Deze begeleiding vindt plaats op basis van dat handelingsplan Specifieke individuele instructie<br />
vindt plaats buit<strong>en</strong> de groep; aanvull<strong>en</strong>de instructie <strong>en</strong> extra oef<strong>en</strong>tijd binn<strong>en</strong> de (sub-)<br />
groep<br />
Leerling<strong>en</strong> die vanuit het basisonderwijs binn<strong>en</strong>kom<strong>en</strong> <strong>en</strong> bij wie de procedure van e<strong>en</strong> diagnostisch<br />
rek<strong>en</strong>onderzoek loopt, kom<strong>en</strong> ook in begeleidingscategorie 2 De resultat<strong>en</strong> van het onderzoek<br />
<strong>en</strong> het daarbij pass<strong>en</strong>de handelingsplan stell<strong>en</strong> e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>leraar in staat de adviez<strong>en</strong> over te<br />
nem<strong>en</strong> <strong>en</strong> uit te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
De <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 2 word<strong>en</strong> ge<strong>vo</strong>lgd <strong>en</strong> regelmatig geanalyseerd<br />
aan de hand van toetsresultat<strong>en</strong>, observatiegegev<strong>en</strong>s <strong>en</strong> leerling<strong>en</strong>werk De begeleiding<br />
wordt na e<strong>en</strong> half jaar door de rek<strong>en</strong>specialist geëvalueerd Leerling<strong>en</strong> met aantoonbaar <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de<br />
<strong>vo</strong>oruitgang gaan terug naar begeleidingscategorie 1 Dit is verantwoord, maar dan moet naar het<br />
oordeel van de rek<strong>en</strong>specialist de rek<strong>en</strong>leraar tijd<strong>en</strong>s de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> de condities kunn<strong>en</strong><br />
vasthoud<strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> die on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de of ge<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oruitgang lat<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> gaan naar begeleidingscategorie<br />
3 Zij kom<strong>en</strong> in aanmerking <strong>vo</strong>or verder onderzoek <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de op school geld<strong>en</strong>de procedures<br />
Leerling<strong>en</strong> bij wie de <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> nog beperkt zijn, of <strong>vo</strong>or wie de noodzakelijke condities in<br />
de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> niet gerealiseerd kunn<strong>en</strong> word<strong>en</strong>, kunn<strong>en</strong> langer in categorie 2 blijv<strong>en</strong><br />
• Begeleidingscategorie 3: int<strong>en</strong>sieve <strong>en</strong> structurele begeleiding op basis van e<strong>en</strong> individueel handelingsplan<br />
bij ernstige <strong>en</strong> hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
In deze categorie word<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> geplaatst die ernstige <strong>en</strong> hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong><br />
Deze leerling<strong>en</strong> krijg<strong>en</strong> begeleiding op maat Dit is specifieke instructie op basis van e<strong>en</strong> individueel<br />
handelingsplan Zij krijg<strong>en</strong> individueel of in kleine groepjes rek<strong>en</strong>onderwijs op maat, buit<strong>en</strong><br />
de groep Wanneer <strong>en</strong>igszins mogelijk wordt wel regelmatig aansluiting gezocht bij de groep<br />
Begeleidingscategorie 3 betreft de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de leerling<strong>en</strong>:<br />
1 Leerling<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring<br />
2 Leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> bij wie het vermoed<strong>en</strong> bestaat dat deze rek<strong>en</strong>problematiek<br />
hardnekkig is Zij krijg<strong>en</strong> e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek, gericht op het vaststell<strong>en</strong><br />
van dyscalculie Dit onderzoek vindt bij <strong>vo</strong>orkeur niet later plaats dan in het tweede leerjaar Zie<br />
hoofdstuk 19<br />
3 Leerling<strong>en</strong> bij wie na e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek ge<strong>en</strong> dyscalculie is vastgesteld, maar<br />
bij wie slechts geringe of ge<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oruitgang kan word<strong>en</strong> vastgesteld, krijg<strong>en</strong> hier ook begeleiding<br />
op maat<br />
Leerling<strong>en</strong> die vanuit het basisonderwijs binn<strong>en</strong>kom<strong>en</strong> <strong>en</strong> bij wie de procedure van e<strong>en</strong> psychodiagnostisch<br />
onderzoek loopt, kom<strong>en</strong> ook in deze categorie De resultat<strong>en</strong> van het onderzoek <strong>en</strong><br />
het daarbij pass<strong>en</strong>de handelingsplan word<strong>en</strong> door de <strong>vo</strong>-school overg<strong>en</strong>om<strong>en</strong> <strong>en</strong> uitge<strong>vo</strong>erd
hoofdstuk 14 Begeleiding <strong>en</strong> ondersteuning bij rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
Leerling<strong>en</strong> die perman<strong>en</strong>t onder begeleidingscategorie 3 vall<strong>en</strong>, hebb<strong>en</strong> over het algeme<strong>en</strong> e<strong>en</strong><br />
structureel probleem met rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> daardoor blijv<strong>en</strong>d specifieke ondersteuning op maat<br />
nodig Bij deze leerling<strong>en</strong> spel<strong>en</strong> zelfbeeld <strong>en</strong> motivatie vaak e<strong>en</strong> belangrijke rol In dat geval kunn<strong>en</strong><br />
zij zich op d<strong>en</strong> duur nog wel verder ontwikkel<strong>en</strong>, maar dat vraagt zowel rek<strong>en</strong>didactische<br />
deskundigheid als pedagogische vaardigheid<br />
De <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> die in verband met e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek in begeleidingscategorie<br />
3 zijn geplaatst, vanwege e<strong>en</strong> vermoed<strong>en</strong> van dyscalculie, word<strong>en</strong> op initiatief van<br />
de diagnosticus e<strong>en</strong> half jaar na het onderzoek geëvalueerd<br />
De andere leerling<strong>en</strong> in deze categorie word<strong>en</strong> ev<strong>en</strong>e<strong>en</strong>s ge<strong>vo</strong>lgd <strong>en</strong> de resultat<strong>en</strong> word<strong>en</strong> regelmatig<br />
geëvalueerd <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de afgesprok<strong>en</strong> procedures Bij de analyse mak<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>specialist <strong>en</strong> de<br />
ondersteuningscoördinator gebruik van toetsresultat<strong>en</strong>, observatiegegev<strong>en</strong>s <strong>en</strong> leerling<strong>en</strong>werk<br />
Leerling<strong>en</strong> die e<strong>en</strong> duidelijke <strong>vo</strong>oruitgang lat<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> gaan terug naar begeleidingscategorie 2<br />
Leerling<strong>en</strong> die slechts geringe of ge<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oruitgang lat<strong>en</strong> zi<strong>en</strong>, blijv<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 3<br />
Voor de leerling<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring was bij hun diagnose al vastgesteld dat zij structureel<br />
in begeleidingscategorie 3 blijv<strong>en</strong><br />
189<br />
14.4 Roll<strong>en</strong>, tak<strong>en</strong> <strong>en</strong> deskundighed<strong>en</strong><br />
Naarmate de ernst van de rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> to<strong>en</strong>eemt, wordt de begeleiding van de leerling int<strong>en</strong>siever<br />
<strong>en</strong> meer gespecialiseerd M<strong>en</strong> zegt wel: ‘Hoe zwakker de leerling, hoe sterker de begeleiding<br />
die nodig is’ De deskundigheid die van de betrokk<strong>en</strong> lerar<strong>en</strong> gevraagd wordt, neemt di<strong>en</strong>overe<strong>en</strong>komstig<br />
toe Daarom moet in de school duidelijk zijn wie welke roll<strong>en</strong> <strong>en</strong> welke tak<strong>en</strong> heeft bij de<br />
begeleiding van leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> welke deskundigheid daar<strong>vo</strong>or is vereist<br />
Hierna besprek<strong>en</strong> wij achtere<strong>en</strong><strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de verschill<strong>en</strong>de betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> bij de begeleiding van leerling<strong>en</strong><br />
met rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> Zie afbeelding 41 in hoofdstuk 4 <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> overzicht Begeleiding is<br />
in ess<strong>en</strong>tie afstemming van het rek<strong>en</strong>onderwijs op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong><br />
Naarmate de problematiek groter is, wordt de behoefte aan specifieke begeleiding groter In dit<br />
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2 zi<strong>en</strong> wij de begeleiding in de <strong>vo</strong>lle breedte Namelijk van lichte begeleiding (categorie<br />
1) als onderdeel van het gewone rek<strong>en</strong>onderwijs binn<strong>en</strong> de klas tot de int<strong>en</strong>sieve begeleiding<br />
die buit<strong>en</strong> de klas plaatsvindt (categorie 3) Begeleiding begint bij het herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> van <strong>en</strong> reager<strong>en</strong><br />
op lichte signal<strong>en</strong> van mogelijke problem<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s de reguliere rek<strong>en</strong>les of bij rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> in<br />
andere vakk<strong>en</strong><br />
Wij onderscheid<strong>en</strong> e<strong>en</strong> eerste-, tweede- <strong>en</strong> derdelijnsondersteuning Verschill<strong>en</strong>de betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
bied<strong>en</strong> verschill<strong>en</strong>de mate <strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van begeleiding aan de leerling<strong>en</strong> die rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
e rvar<strong>en</strong><br />
14.4.1 Eerstelijnsondersteuning binn<strong>en</strong> het primaire proces<br />
De gewone less<strong>en</strong> noem<strong>en</strong> wij het ‘primaire proces’ Dit bestaat uit rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in de rek<strong>en</strong>les <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
in de (andere) vakk<strong>en</strong> In de eerste lijn van het primaire proces spel<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> de<br />
lerar<strong>en</strong> van andere vakk<strong>en</strong> e<strong>en</strong> rol
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
De rek<strong>en</strong>leraar geeft rek<strong>en</strong>les Hij is e<strong>en</strong> vakbekwaam leraar met e<strong>en</strong> specialisatie in rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Hij<br />
weet hoe hij zijn rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> kan afstemm<strong>en</strong> op de ontwikkeling <strong>en</strong> onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van zijn<br />
leerling<strong>en</strong> door te differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong> Hij <strong>vo</strong>lgt e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>methode Hij is op de hoogte van de rek<strong>en</strong>didactiek<br />
in het huidige basisonderwijs Hij k<strong>en</strong>t het Refer<strong>en</strong>tiekader taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> de ontwikkeling<strong>en</strong><br />
met betrekking tot de rek<strong>en</strong>toets<strong>en</strong> 2F <strong>en</strong> 3F<br />
190<br />
De rek<strong>en</strong>leraar observeert tijd<strong>en</strong>s de rek<strong>en</strong>les, signaleert, analyseert <strong>en</strong> interpreteert de (toets-)<br />
resultat<strong>en</strong> van zijn leerling<strong>en</strong> Hij <strong>vo</strong>ert tijd<strong>en</strong>s de rek<strong>en</strong>les korte rek<strong>en</strong>gesprekk<strong>en</strong> met leerling<strong>en</strong><br />
om hun rek<strong>en</strong>kundig d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> te stimuler<strong>en</strong> Deze gesprekk<strong>en</strong> di<strong>en</strong><strong>en</strong> ook om bij<br />
leerling<strong>en</strong> ev<strong>en</strong>tuele knelpunt<strong>en</strong> in de stof te verhelder<strong>en</strong> of om deze leerling<strong>en</strong> verder te help<strong>en</strong><br />
Het reguliere rek<strong>en</strong>onderwijs is gericht op het <strong>vo</strong>orbereid<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> op de c<strong>en</strong>trale rek<strong>en</strong>toets<br />
Binn<strong>en</strong> de eerste lijn is de ondersteuning naadloos afgestemd op wat nodig is in deze rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
De lerar<strong>en</strong> van andere vakk<strong>en</strong> (vaklerar<strong>en</strong>) kunn<strong>en</strong> ook te mak<strong>en</strong> krijg<strong>en</strong> met rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
blijft niet beperkt tot de rek<strong>en</strong>les of tot e<strong>en</strong> onderdeel van de wiskundeles Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is e<strong>en</strong> basisvaardigheid<br />
<strong>en</strong> daarmee, net als taal in de vakk<strong>en</strong>, e<strong>en</strong> ess<strong>en</strong>tieel onderdeel van veel vakk<strong>en</strong> De <strong>en</strong>e<br />
leraar heeft er meer mee van do<strong>en</strong> dan de ander Zelfs de leraar Engels moet zich ervan bewust zijn<br />
dat e<strong>en</strong> leerling met dyscalculie erg veel moeite kan hebb<strong>en</strong> met kloktijd<strong>en</strong> aflez<strong>en</strong>, zeker in combinatie<br />
met de Engelse woord<strong>en</strong> Of de vaklerar<strong>en</strong> actief betrokk<strong>en</strong> zijn bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is afhankelijk<br />
van de beleidskeuzes die m<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> school maakt<br />
Verwacht mag word<strong>en</strong> dat de vaklerar<strong>en</strong> wet<strong>en</strong> op welke wijze rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in hun vakgebied <strong>vo</strong>orkomt<br />
Zij stemm<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> hun vak af met de rek<strong>en</strong>aanpak binn<strong>en</strong> de school<br />
Zij mak<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> duidelijk hoe rek<strong>en</strong>vaardigheid binn<strong>en</strong> hun eig<strong>en</strong> vak aan de orde komt<br />
In de rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> spel<strong>en</strong> zij flexibel in op de rek<strong>en</strong>strategieën van de leerling<strong>en</strong><br />
Wanneer vaklerar<strong>en</strong> bij e<strong>en</strong> leerling (mogelijke) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> signaler<strong>en</strong>, licht<strong>en</strong> zij zowel de<br />
m<strong>en</strong>tor als de rek<strong>en</strong>leraar van de betreff<strong>en</strong>de leerling in Omgekeerd word<strong>en</strong> zij geïnformeerd over<br />
leerling<strong>en</strong> in hun klass<strong>en</strong> die (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> Zij <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> de adviez<strong>en</strong> op die de<br />
rek<strong>en</strong>specialist geeft <strong>vo</strong>or de afstemming op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van deze leerling<strong>en</strong> Zij houd<strong>en</strong><br />
daarmee rek<strong>en</strong>ing door inhoudelijk te differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s hun less<strong>en</strong><br />
14.4.2 Eerstelijnsondersteuning vanuit de begeleiding<br />
De begeleiding in de eerstelijnsondersteuning richt zich <strong>vo</strong>oral op leerling<strong>en</strong> in begeleidingscategorie<br />
1b Dit zijn de leerling<strong>en</strong> die geringe rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong><br />
Naast de rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> de vaklerar<strong>en</strong> die de onderwijsactiviteit<strong>en</strong> verzorg<strong>en</strong>, zijn het de m<strong>en</strong>tor <strong>en</strong><br />
opnieuw de rek<strong>en</strong>leraar die de feitelijke ondersteuning in de eerste lijn <strong>vo</strong>or hun rek<strong>en</strong>ing nem<strong>en</strong><br />
Zij vervull<strong>en</strong> e<strong>en</strong> sleutelrol bij de afstemming in de klas Zij werk<strong>en</strong> daarom nauw sam<strong>en</strong>, met elkaar<br />
<strong>en</strong> met de collega’s van de tweedelijnsondersteuning<br />
De m<strong>en</strong>tor is, als eerste aanspreekpunt <strong>vo</strong>or de leerling, de persoon die signal<strong>en</strong> krijgt van studie- of<br />
persoonlijke problem<strong>en</strong> Hij bewaakt de studieplanning <strong>en</strong> -<strong>vo</strong>ortgang Hij analyseert <strong>en</strong> interpreteert<br />
de toetsresultat<strong>en</strong> Hij ziet erop toe dat de leerlingdossiers in het (digitale) leerlingadministratiesysteem<br />
bijgehoud<strong>en</strong> word<strong>en</strong> Hij coacht leerling<strong>en</strong> op studiekoers <strong>en</strong> -keuzes <strong>en</strong> op motivatio-
hoofdstuk 14 Begeleiding <strong>en</strong> ondersteuning bij rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
neel-affectief gebied Hij merkt daardoor of e<strong>en</strong> leerling problem<strong>en</strong> ervaart met rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Dergelijke<br />
signal<strong>en</strong> kan hij ook krijg<strong>en</strong> van zijn collega’s <strong>en</strong> van de ouders/verzorgers van de leerling<br />
Hij bespreekt de rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> reguliere leerling<strong>en</strong>bespreking met de<br />
betrokk<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong> vaklerar<strong>en</strong> Zij sprek<strong>en</strong> af hoe zij de eerstelijnsondersteuning inzett<strong>en</strong><br />
De m<strong>en</strong>tor heeft de coördinatie van deze inzet <strong>en</strong> hij heeft hierover contact met de leerling <strong>en</strong> zijn<br />
ouders/verzorgers Wanneer deze inzet on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de resultaat oplevert, schaalt hij op naar de tweedelijnsondersteuning<br />
die vanaf nu de begeleiding overneemt<br />
De uit<strong>vo</strong>ering van de ondersteuning <strong>vo</strong>or begeleidingscategorie 1b ligt in de hand<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>leraar<br />
Hij zet zijn expertise in om binn<strong>en</strong> de groep differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong>d les te gev<strong>en</strong>, waarbij hij gebruik<br />
maakt van de rek<strong>en</strong>methode <strong>en</strong> ook het gew<strong>en</strong>ste refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau van de leerroute in acht neemt<br />
Opnieuw zal hij de leerling<strong>en</strong> – maar nu nog gerichter – observer<strong>en</strong> bij hun rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> knelpunt<strong>en</strong> signaler<strong>en</strong> Hij <strong>vo</strong>ert korte rek<strong>en</strong>gesprekk<strong>en</strong> <strong>en</strong> analyseert de resultat<strong>en</strong><br />
van toets<strong>en</strong>, rek<strong>en</strong>gesprekk<strong>en</strong> <strong>en</strong> observaties Hij overlegt met de ondersteuners in de<br />
tweede lijn hoe hij bepaalde leerling<strong>en</strong> kan begeleid<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de groep Bij deze ondersteuning<br />
gebruikt de leraar de rek<strong>en</strong>methode <strong>en</strong> geeft hij specifieke instructie in subgroepjes<br />
191<br />
Komt het tot e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek (begeleidingscategorie 2), dan br<strong>en</strong>g<strong>en</strong> de m<strong>en</strong>tor<br />
<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>leraar de door h<strong>en</strong> gesignaleerde hulpvrag<strong>en</strong> in bij de rek<strong>en</strong>specialist Na afloop van het<br />
onderzoek gev<strong>en</strong> zij in overleg met de rek<strong>en</strong>specialist invulling aan het individuele handelingsplan<br />
Komt het tot e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek (begeleidingscategorie 3), dan help<strong>en</strong> de m<strong>en</strong>tor<br />
<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>leraar ev<strong>en</strong>e<strong>en</strong>s bij het mak<strong>en</strong> of herzi<strong>en</strong> van individuele handelingsplann<strong>en</strong><br />
Voor de rek<strong>en</strong>leraar geldt bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> dat hij als eerstelijnsondersteuner de begeleiding van leerling<strong>en</strong><br />
in categorieën 2 <strong>en</strong> 3 verzorgt Hij <strong>vo</strong>ert deze begeleiding uit binn<strong>en</strong> de klas, door te differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong><br />
in subgroepjes Hij krijgt dan op zijn beurt ondersteuning van de rek<strong>en</strong>specialist <strong>en</strong>/of de<br />
ondersteuningscoördinator<br />
14.4.3 Tweedelijnsondersteuning vanuit de begeleiding<br />
De begeleiding in de tweedelijnsondersteuning richt zich op leerling<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 2<br />
Dit zijn de leerling<strong>en</strong> waarbij ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> word<strong>en</strong> vermoed of al zijn aangetoond<br />
In de tweedelijnsondersteuning spel<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>specialist <strong>en</strong> de ondersteuningscoördinator de<br />
hoofdrol<br />
De rek<strong>en</strong>specialist is e<strong>en</strong> vakbekwaam leraar die op masterniveau is gespecialiseerd in rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> Hij fungeert als begeleider van leerling<strong>en</strong>, onderzoeker van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>,<br />
ondersteuner van collega’s <strong>en</strong> adviseur <strong>vo</strong>or het managem<strong>en</strong>t Hij is de spilfiguur in het rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
van e<strong>en</strong> school<br />
De rek<strong>en</strong>specialist is belast met het opstell<strong>en</strong>, evaluer<strong>en</strong> <strong>en</strong> bijstell<strong>en</strong> van handelingsplann<strong>en</strong> Hij<br />
doet dat in overleg met de rek<strong>en</strong>leraar, de m<strong>en</strong>tor <strong>en</strong> de ondersteuningscoördinator (begeleidingscategorie<br />
2 <strong>en</strong> 3) De rol die elk van h<strong>en</strong> vervult hangt af van aard <strong>en</strong> ernst van de problematiek De<br />
rek<strong>en</strong>specialist <strong>vo</strong>ert als ondersteuner op basis van individuele handelingsplann<strong>en</strong> de begeleiding<br />
uit van leerling<strong>en</strong> in de begeleidingscategorie 2 <strong>en</strong> 3 Hij verzorgt de op hun onderwijsbehoeft<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
afgestemde instructie aan leerling<strong>en</strong> Deze vindt plaats buit<strong>en</strong> de reguliere rek<strong>en</strong>les, indi<strong>en</strong> mogelijk<br />
in kleine groepjes Hij kan bepaalde activiteit<strong>en</strong> van de begeleiding aanstur<strong>en</strong> die tijd<strong>en</strong>s de<br />
rek<strong>en</strong>les plaatsvind<strong>en</strong> Zo kan de leerling bij<strong>vo</strong>orbeeld oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> do<strong>en</strong> onder begeleiding van de<br />
rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> ev<strong>en</strong>tueel via computerprogramma’s<br />
192<br />
De rek<strong>en</strong>specialist is ook deg<strong>en</strong>e die diagnostische rek<strong>en</strong>onderzoek<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s HGD (handelingsgerichte<br />
diagnostiek) uit<strong>vo</strong>ert <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 2 (zie hoofdstuk 18) Zijn<br />
specialisatie op het gebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> is onmisbaar, naast zijn bekwaamheid<br />
op het terrein van diagnostiek Daarom kan hij ook bijdrag<strong>en</strong> aan het <strong>vo</strong>orbereid<strong>en</strong> <strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
van de rek<strong>en</strong>diagnose bij psychodiagnostische onderzoek<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 3<br />
Hij is de rek<strong>en</strong>didactische ondersteuner <strong>en</strong> adviseur van de (rek<strong>en</strong>)lerar<strong>en</strong> Zo kan hij e<strong>en</strong> rol spel<strong>en</strong><br />
bij de selectie <strong>en</strong> aanschaf van leermateriaal <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Hij coördineert de begeleiding in de<br />
tweedelijnsondersteuning <strong>en</strong> is het aanspreekpunt <strong>vo</strong>or alle betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong>, met name <strong>vo</strong>or de leerling<br />
zelf <strong>en</strong> zijn ouders/verzorgers<br />
Om de begeleiding van leerling<strong>en</strong> organisatorisch optimaal te kunn<strong>en</strong> regel<strong>en</strong> werkt de rek<strong>en</strong>specialist<br />
nauw sam<strong>en</strong> met de ondersteuningscoördinator In sommige situaties oef<strong>en</strong>t de rek<strong>en</strong>specialist<br />
beide functies uit<br />
De ondersteuningscoördinator is meestal e<strong>en</strong> gedragsdeskundige Hij is de facilitator die vanuit de<br />
schoolorganisatie de eerste-, tweede- <strong>en</strong> derdelijnsondersteuning mogelijk maakt<br />
Tak<strong>en</strong> van de ondersteuningscoördinator zijn afhankelijk van de organisatie <strong>en</strong> de grootte van de<br />
school of locatie Ze zijn op de eerste plaats gericht op het optimaal functioner<strong>en</strong> van de organisatie<br />
van de (individuele) begeleiding van leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> van de communicatie hierover Als coördinator<br />
van de ondersteuning zorgt hij dat de ondersteuningsactiviteit<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de schoolorganisatie mogelijk<br />
zijn (inrooster<strong>en</strong> van tijd, stimuler<strong>en</strong> van deskundigheidsbe<strong>vo</strong>rdering) <strong>en</strong> op elkaar afgestemd<br />
word<strong>en</strong> Als gedragsdeskundige kan hij inhoudelijke bijdrag<strong>en</strong> lever<strong>en</strong> aan de <strong>vo</strong>orbereiding<strong>en</strong><br />
van de onderzoek<strong>en</strong> <strong>en</strong> aan de individuele handelingsplann<strong>en</strong> (begeleidingscategorieën 2 <strong>en</strong><br />
3) Verder kan hij pedagogische adviez<strong>en</strong> gev<strong>en</strong> aan de rek<strong>en</strong>specialist<br />
Ook bij andere tak<strong>en</strong> speelt hij e<strong>en</strong> rol, zoals interne <strong>en</strong> externe <strong>vo</strong>orlichting <strong>en</strong> communicatie over<br />
het rek<strong>en</strong>beleid van de school <strong>en</strong> over de aanpak <strong>en</strong> ge<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>problematiek<br />
Meestal coördineert hij de begeleiding van leerling<strong>en</strong> in de derdelijnsondersteuning, omdat deze<br />
begeleiding doorgaans van buit<strong>en</strong> de eig<strong>en</strong> organisatie komt Hij coördineert ook de vertaling van<br />
de adviez<strong>en</strong> vanuit de derde lijn naar de tweedelijnsondersteuning binn<strong>en</strong> de eig<strong>en</strong> organisatie<br />
14.4.4 Derdelijnsondersteuning vanuit de (externe) begeleiding<br />
De begeleiding in de derdelijnsondersteuning richt zich op leerling<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 3<br />
Dit zijn de leerling<strong>en</strong> waarbij ernstige <strong>en</strong> hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> word<strong>en</strong> vermoed of al zijn<br />
aangetoond<br />
De diagnosticus die hierbij wordt ingeschakeld is be<strong>vo</strong>egd tot het (lat<strong>en</strong>) uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> het interpreter<strong>en</strong><br />
van psychodiagnostisch onderzoek Hij is gebond<strong>en</strong> aan de beroepscode van de eig<strong>en</strong> beroepsver<strong>en</strong>iging<br />
Als hij zelf ge<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>specialisatie bezit, werkt hij sam<strong>en</strong> met de rek<strong>en</strong>specialist<br />
van de school In grote schol<strong>en</strong> kan de diagnosticus deel uitmak<strong>en</strong> van het ondersteuningsteam
hoofdstuk 14 Begeleiding <strong>en</strong> ondersteuning bij rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
Hij <strong>vo</strong>ert in begeleidingscategorie 3 het psychodiagnostisch onderzoek uit <strong>en</strong> geeft advies over de<br />
specifieke begeleiding van leerling<strong>en</strong> De tweedelijnsondersteuning vertaalt dit advies naar e<strong>en</strong><br />
individueel handelingsplan, in sam<strong>en</strong>werking met de diagnosticus De ondersteuningscoördinator<br />
regelt de uit<strong>vo</strong>ering binn<strong>en</strong> de tweede- <strong>en</strong> de eerstelijnsondersteuning<br />
Na evaluatie van de begeleiding kan de diagnosticus onder bepaalde <strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring<br />
afgev<strong>en</strong><br />
14.4.5 Rand<strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong><br />
De rand<strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de ondersteuning word<strong>en</strong> gecreëerd door het (lijn)managem<strong>en</strong>t van de<br />
organisatie<br />
De schoolleider/afdelingsleider is verantwoordelijk <strong>vo</strong>or de vertaling van het algem<strong>en</strong>e schoolbeleid<br />
naar het rek<strong>en</strong>beleid van de school ofwel de eig<strong>en</strong> afdeling Hij is aanspreekbaar op het initiër<strong>en</strong>,<br />
vaststell<strong>en</strong>, uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> evaluer<strong>en</strong> van het rek<strong>en</strong>beleid Hij schept de rand<strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong>onderwijs,<br />
-begeleiding <strong>en</strong> -ondersteuning Hij be<strong>vo</strong>rdert dat aan deze rand<strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> wordt<br />
<strong>vo</strong>ldaan (onder andere door gerichte deskundigheidsbe<strong>vo</strong>rdering)<br />
193<br />
Ook de rek<strong>en</strong>specialist/ondersteuningscoördinator kan in zijn rol van staflid of beleidsmedewerker<br />
e<strong>en</strong> bijdrage lever<strong>en</strong> aan de rand<strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het primaire proces <strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de eerste-, tweede<strong>en</strong><br />
derdelijnsondersteuning Dit omvat onder andere de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de tak<strong>en</strong>:<br />
• implem<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> van schoolbreed ontwikkeld rek<strong>en</strong>beleid binn<strong>en</strong> de leerroutes;<br />
• monitor<strong>en</strong> <strong>en</strong> evaluer<strong>en</strong> van de ondersteuning binn<strong>en</strong> de verschill<strong>en</strong>de leerroutes;<br />
• coördiner<strong>en</strong> van <strong>en</strong> rapporter<strong>en</strong> over de (organisatie <strong>en</strong> de uit<strong>vo</strong>ering<strong>en</strong> van) de begeleiding<br />
aan leerling<strong>en</strong> (categorie 1, 2 <strong>en</strong> 3) <strong>en</strong> de effect<strong>en</strong> daarvan;<br />
• vanuit eig<strong>en</strong> specialisme bijdrag<strong>en</strong> aan de deskundigheidsbe<strong>vo</strong>rdering van rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
vaklerar<strong>en</strong>;<br />
• bijdrag<strong>en</strong> aan het tot stand kom<strong>en</strong> <strong>en</strong> evaluer<strong>en</strong> van het rek<strong>en</strong>beleid binn<strong>en</strong> de school, respectievelijk<br />
afdeling<br />
14.5 De leerling<br />
Het succes van begeleiding <strong>en</strong> ondersteuning staat of valt met de betrokk<strong>en</strong>heid van de leerling<br />
zelf Het is de taak van de school om hem hierbij te stimuler<strong>en</strong> <strong>en</strong> motiver<strong>en</strong> De leerling zélf is zo<br />
veel mogelijk ‘eig<strong>en</strong>aar’ van zijn eig<strong>en</strong> leerproces Hij heeft <strong>en</strong> krijgt vertrouw<strong>en</strong> om zijn leerproces<br />
in eig<strong>en</strong> hand te nem<strong>en</strong> Daar<strong>vo</strong>or heeft hij inzicht nodig in het belang van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> de betek<strong>en</strong>is<br />
van de rek<strong>en</strong>toets Dan beseft hij welk refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau hij aan het einde zijn leerroute minimaal<br />
zal moet<strong>en</strong> bereik<strong>en</strong> <strong>en</strong> welke rek<strong>en</strong>toets hij moet kunn<strong>en</strong> mak<strong>en</strong>: 2F of 3F Dit vraagt om<br />
inzicht in wat hij kan op het gebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> waaraan hij nog moet werk<strong>en</strong><br />
Het verwerv<strong>en</strong> van dit inzicht <strong>en</strong> het <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> van het verloop van zijn rek<strong>en</strong>ontwikkeling is afhankelijk<br />
van de begeleidingscategorie waarin hij zich bevindt Voor e<strong>en</strong> leerling in categorie 1a is dat<br />
overzichtelijker dan <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> leerling in categorie 3 De leerling kan gebruik mak<strong>en</strong> van de instrum<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> mogelijkhed<strong>en</strong> die bestaan <strong>vo</strong>or ondersteuning <strong>en</strong> begeleiding Dit kan variër<strong>en</strong> van<br />
e<strong>en</strong> doel<strong>en</strong>lijst die hij zelf bijhoudt tot e<strong>en</strong> handelingsplan op maat De leerling <strong>vo</strong>elt zich veilig om<br />
hulp te vrag<strong>en</strong> Hij merkt dat hij kan rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op begrip <strong>en</strong> steun van de lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong> andere betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Hij weet dat de ondersteuning er mede op is gericht dat hij ge<strong>en</strong> ‘buit<strong>en</strong>be<strong>en</strong>tje’ in de groep<br />
wordt
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
194<br />
Zeker de leerling met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>, met of zonder dyscalculieverklaring, kan sociaalemotionele<br />
problem<strong>en</strong> ondervind<strong>en</strong> Deze kunn<strong>en</strong> het resultaat zijn van de vele negatieve ervaring<strong>en</strong><br />
die hij tijd<strong>en</strong>s zijn schoolloopbaan al heeft opgedaan Dit kan zich uit<strong>en</strong> in onzekerheid <strong>en</strong><br />
faalangst, zich afhankelijk opstell<strong>en</strong> van de leraar, weerstand of gelat<strong>en</strong>heid De leerling is gebaat<br />
bij e<strong>en</strong> goede afstemming <strong>en</strong> sam<strong>en</strong>werking tuss<strong>en</strong> alle betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> Door e<strong>en</strong> consist<strong>en</strong>te b<strong>en</strong>adering<br />
kan deze leerling zich meer vertrouwd gaan <strong>vo</strong>el<strong>en</strong> <strong>en</strong> meer zelfvertrouw<strong>en</strong> krijg<strong>en</strong><br />
Het ontwikkel<strong>en</strong> van zelfvertrouw<strong>en</strong> <strong>en</strong> van e<strong>en</strong> positieve houding t<strong>en</strong> aanzi<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> blijft<br />
e<strong>en</strong> steeds terugker<strong>en</strong>d aandachtspunt in de totale ontwikkeling van de leerling (De Vries, 1998)<br />
14.6 Vastlegg<strong>en</strong> van <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> <strong>en</strong> evaluatie<br />
De school gebruikt e<strong>en</strong> digitaal leerlingadministratiesysteem waarin leerlingdossiers zijn opg<strong>en</strong>om<strong>en</strong><br />
Dit administratiesysteem sluit aan bij de planning- & controlcyclus van de school Het is onder<br />
meer ingericht om de k<strong>en</strong>getall<strong>en</strong> te producer<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or sturingsinformatie <strong>en</strong>/of <strong>vo</strong>ortgangsrapportages<br />
De dossiers van leerling<strong>en</strong> zijn toegankelijk <strong>vo</strong>or all<strong>en</strong> die betrokk<strong>en</strong> zijn bij het rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
<strong>en</strong> bij de ev<strong>en</strong>tuele ondersteuning van deze leerling<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>leraar legt alle <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> (behaalde doel<strong>en</strong>) van de leerling in begeleidingscategorie 1<br />
vast in dit digitale leerlingadministratiesysteem<br />
Bij e<strong>en</strong> leerling in begeleidingscategorie 2 <strong>en</strong> 3 houd<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>leraar, de rek<strong>en</strong>specialist, de m<strong>en</strong>tor<br />
<strong>en</strong> de ondersteuningscoördinator ieder hun bevinding<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> leerling bij in het leerlingdossier<br />
In dit dossier word<strong>en</strong> naast het handelingsplan ook toetsresultat<strong>en</strong>, relevant leerling<strong>en</strong>werk,<br />
<strong>en</strong> verslag<strong>en</strong> van onderzoek, observaties <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>gesprekk<strong>en</strong> opg<strong>en</strong>om<strong>en</strong> Op basis van deze informatie<br />
kunn<strong>en</strong> betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> de ontwikkeling van de leerling <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> <strong>en</strong> hun begeleiding afstemm<strong>en</strong><br />
Tev<strong>en</strong>s le<strong>en</strong>t het dossier zich <strong>vo</strong>or evaluatie van de kwaliteit van de signalering, het rek<strong>en</strong>onderzoek<br />
<strong>en</strong> de begeleiding bij rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>, zowel afzonderlijk, als in sam<strong>en</strong>hang<br />
Binn<strong>en</strong> elke begeleidingscategorie wordt op vaste mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> geëvalueerd Deze mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> zijn<br />
vastgelegd in de structuur van de jaarplanning <strong>en</strong> in de individuele handelingsplann<strong>en</strong> Op basis<br />
van de <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong> stelt de rek<strong>en</strong>specialist in overleg met het ondersteuningsteam<br />
de handelingsplann<strong>en</strong> bij
195
15 Begeleidingscategorie 1
Begeleidingscategorie 1 is <strong>vo</strong>or de leerling<strong>en</strong> die aan het reguliere onderwijsaanbod<br />
in de rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> g<strong>en</strong>oeg hebb<strong>en</strong> om resultaat te behal<strong>en</strong>. In zijn less<strong>en</strong><br />
<strong>vo</strong>lgt e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>leraar het normale rek<strong>en</strong>onderwijsprogramma. Wanneer leerling<strong>en</strong><br />
(op deelgebied<strong>en</strong>) geringe problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong>, speelt de rek<strong>en</strong>leraar hierop in door<br />
te differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong> naar subgroepjes binn<strong>en</strong> de groep.<br />
15
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
15.1 Verschill<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> het <strong>vo</strong><br />
198<br />
Het reguliere rek<strong>en</strong>programma dat in de verschill<strong>en</strong>de leerroutes wordt aangebod<strong>en</strong> houdt rek<strong>en</strong>ing<br />
met verschill<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> Dit onderscheid is gebaseerd op k<strong>en</strong>nis over:<br />
• het rek<strong>en</strong>niveau van de leerling<strong>en</strong> bij instroom;<br />
• het minimaal te beheers<strong>en</strong> refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau aan het einde van e<strong>en</strong> leerroute;<br />
• de cognitieve capaciteit<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong>;<br />
• de aard van de leerroute (van meer praktisch tot theoretisch, van beroeps<strong>vo</strong>orbereid<strong>en</strong>d tot<br />
<strong>vo</strong>orbereid<strong>en</strong>d wet<strong>en</strong>schappelijk)<br />
De hierop gebaseerde verdeling van leerling<strong>en</strong> over leerroutes leidt echter niet tot e<strong>en</strong> homog<strong>en</strong>iteit<br />
in rek<strong>en</strong>vaardigheid binn<strong>en</strong> e<strong>en</strong> klas Met name binn<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong>populatie in vmbo-bbl <strong>en</strong><br />
vmbo-kbl is de diversiteit in rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> groot Binn<strong>en</strong> deze leerroutes zijn de<br />
verschill<strong>en</strong> veel groter dan in het vwo Uiteraard kom<strong>en</strong> er binn<strong>en</strong> alle leerroutes van het <strong>vo</strong> verschill<strong>en</strong><br />
in rek<strong>en</strong>vaardigheid <strong>vo</strong>or In elke klas zitt<strong>en</strong> zowel (relatief) sterke als zwakke rek<strong>en</strong>aars,<br />
vergelek<strong>en</strong> met hun medeleerling<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> dezelfde leerroute<br />
Om aan deze diversiteit aan leerling<strong>en</strong> recht te do<strong>en</strong> is binn<strong>en</strong> elke leerroute afstemming op deze<br />
verschill<strong>en</strong> nodig Om dit waar te kunn<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> is <strong>vo</strong>or elke leerroute specifieke deskundigheid<br />
w<strong>en</strong>selijk van alle betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> in de eerste-, tweede- <strong>en</strong> derdelijnsondersteuning<br />
15.2 De leerling<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 1<br />
Begeleidingscategorie 1 is bedoeld <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> die g<strong>en</strong>oeg hebb<strong>en</strong> aan het reguliere aanbod,<br />
zoals de rek<strong>en</strong>leraar dat zelf kan realiser<strong>en</strong> in de klas Daarbinn<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> wij onderscheid tuss<strong>en</strong><br />
de categorieën 1a <strong>en</strong> 1b<br />
Wij sprek<strong>en</strong> van begeleidingscategorie 1a wanneer de leerling in staat is om het rek<strong>en</strong>onderwijs in<br />
de klas te <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> <strong>en</strong> daardoor de beoogde resultat<strong>en</strong> te behal<strong>en</strong> Dit gebeurt in de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
waarbinn<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>leraar e<strong>en</strong> op de leerroute afgestemd programma uit<strong>vo</strong>ert In principe<br />
<strong>vo</strong>lgt de hele groep dezelfde less<strong>en</strong> Alle leerling<strong>en</strong> gaan mee in de ope<strong>en</strong><strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de behandeling van<br />
de leerstoflijn De rek<strong>en</strong>leraar stemt de less<strong>en</strong> af op de <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis waarmee de leerling<strong>en</strong> binn<strong>en</strong>kom<strong>en</strong><br />
in zijn groep Dit kan zijn bij de instroom vanuit het basisonderwijs, maar ook bij de start<br />
van e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>d schooljaar Overig<strong>en</strong>s blijft gedur<strong>en</strong>de het hele schooljaar de uitdaging <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong>leraar om aansluiting te vind<strong>en</strong> bij de <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis van de leerling<strong>en</strong><br />
Vanzelfsprek<strong>en</strong>d kan de leraar dit alle<strong>en</strong> realiser<strong>en</strong> wanneer hij de rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> van zijn leerling<strong>en</strong><br />
op de <strong>vo</strong>et <strong>vo</strong>lgt Hij is <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d alert op signal<strong>en</strong> die erop kunn<strong>en</strong> wijz<strong>en</strong> dat e<strong>en</strong> leerling<br />
erg<strong>en</strong>s ‘de boot mist’ In hoofdstuk 13 staan aandachtspunt<strong>en</strong> die de leraar hierbij behulpzaam<br />
zijn Deze kom<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ort uit de pijlers van het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>2: het Handelingsmodel, het<br />
Drieslagmodel, de Hoofdlijn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> e<strong>en</strong> typering van leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
Uitgangspunt is dat alle leerling<strong>en</strong> in de groep in min of meer hetzelfde tempo door de stof gaan<br />
Zij zoud<strong>en</strong> zich dan allemaal de geplande leerinhoud<strong>en</strong> eig<strong>en</strong> moet<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> mak<strong>en</strong><br />
Om de leerling<strong>en</strong> in de groep mee te lat<strong>en</strong> gaan met de lesstroom kan het nodig zijn dat de rek<strong>en</strong>leraar<br />
binn<strong>en</strong> het reguliere programma sommige leerling<strong>en</strong> of zelfs de hele groep e<strong>en</strong> extra zetje<br />
geeft Hij kan dit do<strong>en</strong> door bij<strong>vo</strong>orbeeld extra instructie te plann<strong>en</strong> of de leerling<strong>en</strong> (computerondersteunde)<br />
oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> te lat<strong>en</strong> do<strong>en</strong>, de leerling<strong>en</strong> met (extra) huiswerk te lat<strong>en</strong> oef<strong>en</strong><strong>en</strong> of door
hoofdstuk 15 Begeleidingscategorie 1<br />
te variër<strong>en</strong> in het gebruik van lesmateriaal <strong>en</strong> opdracht<strong>en</strong> In principe is het programma zo haalbaar<br />
<strong>vo</strong>or deze leerling<strong>en</strong><br />
Wanneer dit echter <strong>vo</strong>or bepaalde leerling<strong>en</strong> niet toereik<strong>en</strong>d blijkt te zijn, sprek<strong>en</strong> we van begeleidingscategorie<br />
1b E<strong>en</strong> <strong>en</strong>kele leerling zal op onderdel<strong>en</strong> wel moeite hebb<strong>en</strong> met rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Bepaalde<br />
leerstofonderdel<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> beheerst zo’n leerling dan nog on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de Het vergt extra inspanning<br />
om het tempo van de groep te blijv<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> Hij heeft daar dan extra instructie <strong>en</strong> oef<strong>en</strong>ing<br />
<strong>vo</strong>or nodig Voor die onderdel<strong>en</strong> krijgt hij, binn<strong>en</strong> de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong>, e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm van<br />
begeleiding die past bij zijn onderwijsbehoeft<strong>en</strong> op dat mom<strong>en</strong>t Zie <strong>vo</strong>or aandachtspunt<strong>en</strong> hoofdstuk<br />
13<br />
199<br />
De rek<strong>en</strong>leraar kan inspel<strong>en</strong> op deze onderwijsbehoeft<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> zijn klas, door subgroepjes te<br />
onderscheid<strong>en</strong> <strong>en</strong> daartuss<strong>en</strong> te differ<strong>en</strong>tiër<strong>en</strong> Hoe hij dit doet hangt af van de situatie op dat<br />
mom<strong>en</strong>t In ha<strong>vo</strong>/vwo kan e<strong>en</strong> subgroepje bestaan uit zelfs maar e<strong>en</strong> <strong>en</strong>kele leerling Het kan zijn<br />
dat de rek<strong>en</strong>leraar aan zo’n klein groepje extra huiswerk meegeeft of e<strong>en</strong> bijspijkerles organiseert<br />
In vmbo-bbl kan die bijspijkerbehoefte zelfs de hele groep betreff<strong>en</strong> Wij sprek<strong>en</strong> in al die gevall<strong>en</strong><br />
van begeleidingscategorie 1b Het betreft immers e<strong>en</strong> beperkte <strong>en</strong> dikwijls tijdelijke aanpassing van<br />
het reguliere programma op basis van gesignaleerde behoeft<strong>en</strong> De rek<strong>en</strong>leraar is in staat dit zelf<br />
op te loss<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> zijn les<br />
Enkele <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong>:<br />
• E<strong>en</strong> leerling in vmbo-kbl heeft nog on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de inzicht in breuk<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> <strong>en</strong> het metriek<br />
stelsel Voor deze onderdel<strong>en</strong> heeft hij meer <strong>en</strong> beter afgestemde instructie nodig dan de rek<strong>en</strong>leraar<br />
binn<strong>en</strong> de reguliere les biedt Voor deze leerling geldt dan begeleidingscategorie 1b Dit<br />
leidt tot extra <strong>en</strong> specifieker afgestemde instructie in e<strong>en</strong> subgroepje <strong>en</strong> meer oef<strong>en</strong>tijd dan zijn<br />
medeleerling<strong>en</strong><br />
• E<strong>en</strong> leerling in vmbo-tl heeft behoefte aan verdere ontwikkeling van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> oplossingsprocedures<br />
(zie Hoofdlijn<strong>en</strong> 1 <strong>en</strong> 2) Hij heeft niveau 1F nog niet gehaald <strong>en</strong> zijn k<strong>en</strong>nis<br />
<strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> op deelgebied<strong>en</strong> zijn nog fragm<strong>en</strong>tarisch Hierdoor valt hij in categorie 1b <strong>en</strong><br />
krijgt hij extra <strong>en</strong> specifieker afgestemde instructie in e<strong>en</strong> subgroepje tijd<strong>en</strong>s reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
• E<strong>en</strong> leerling in het eerste leerjaar ha<strong>vo</strong>/vwo beheerst het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
nog on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de Deze leerling heeft nog herhaling van instructie nodig <strong>en</strong> meer oef<strong>en</strong>tijd dan<br />
andere leerling<strong>en</strong> Dit maakt extra ondersteuning nodig binn<strong>en</strong> de reguliere less<strong>en</strong> Daardoor<br />
valt deze leerling in categorie 1b<br />
In al deze <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong> is het doel van de extra begeleiding de leerling inhoudelijk te lat<strong>en</strong> meedo<strong>en</strong><br />
met de rest van de groep<br />
Daarnaast kunn<strong>en</strong> er in e<strong>en</strong> klas ook leerling<strong>en</strong> zitt<strong>en</strong>, die ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> Zij<br />
do<strong>en</strong> waar mogelijk mee met hun klas, maar hebb<strong>en</strong> verder ook eig<strong>en</strong> opdracht<strong>en</strong> <strong>en</strong> krijg<strong>en</strong> hun<br />
instructie buit<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>les Zij vall<strong>en</strong> onder de begeleidingscategorieën 2 <strong>en</strong> 3, die word<strong>en</strong> besprok<strong>en</strong><br />
in de hoofdstukk<strong>en</strong> 16 <strong>en</strong> 17
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
15.3 Hanter<strong>en</strong> van doel<strong>en</strong><br />
De meeste doel<strong>en</strong> behal<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> niet in één rek<strong>en</strong>les, maar in e<strong>en</strong> reeks van less<strong>en</strong> E<strong>en</strong> overzicht<br />
van te behal<strong>en</strong> doel<strong>en</strong> helpt zowel de leraar als de leerling<strong>en</strong> om daar gericht aan te werk<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>leraar kiest <strong>vo</strong>or elke les aan welke aspect<strong>en</strong> van deze doel<strong>en</strong> hij aandacht gaat bested<strong>en</strong><br />
Natuurlijk laat hij hierbij ook de <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis van de leerling<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> bepaalde klas meeweg<strong>en</strong><br />
Hierdoor kan hij de differ<strong>en</strong>tiatie binn<strong>en</strong> categorie 1 e<strong>en</strong> herk<strong>en</strong>bare plek gev<strong>en</strong><br />
200<br />
Het is van belang dat rek<strong>en</strong>lerar<strong>en</strong> zowel de less<strong>en</strong>reeks, als de afzonderlijke less<strong>en</strong> evaluer<strong>en</strong><br />
Hier<strong>vo</strong>or zijn de doel<strong>en</strong> <strong>en</strong>erzijds <strong>en</strong> de reacties <strong>en</strong> de ‘producties’ van de leerling<strong>en</strong> anderzijds<br />
ess<strong>en</strong>tiële elem<strong>en</strong>t<strong>en</strong> Bij het laatste d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> we niet alle<strong>en</strong> aan antwoord<strong>en</strong> op de toets, maar ook<br />
aan gedemonstreerde oplossingsprocedures <strong>en</strong> ingevulde kladblaadjes uit de less<strong>en</strong> Op grond van<br />
zijn evaluatie <strong>en</strong> analyse van resultat<strong>en</strong> <strong>en</strong> process<strong>en</strong> trekt hij conclusies Die kunn<strong>en</strong> leid<strong>en</strong> tot het<br />
bijstell<strong>en</strong> van zijn lesdoel<strong>en</strong> of van zijn werkwijze bij instructie of begeleiding Ook kan het ertoe<br />
leid<strong>en</strong> dat hij lichte signal<strong>en</strong> doorgeeft aan de m<strong>en</strong>tor In ernstiger gevall<strong>en</strong> geeft hij ze ook door<br />
aan de ondersteuningscoördinator, met e<strong>en</strong> vraag om nader diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek door de<br />
rek<strong>en</strong>specialist<br />
E<strong>en</strong> leerling die begeleiding krijgt in categorie 1b heeft natuurlijk e<strong>en</strong> andere doel<strong>en</strong>lijst dan leerling<strong>en</strong><br />
die g<strong>en</strong>oeg hebb<strong>en</strong> aan begeleiding in 1a Belangrijk is dat de leerling zelf nadrukkelijk betrokk<strong>en</strong><br />
is bij het opstell<strong>en</strong> van die lijst Daartoe kan hij sam<strong>en</strong> met de m<strong>en</strong>tor <strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>leraar<br />
deze doel<strong>en</strong> formuler<strong>en</strong> in concrete <strong>en</strong> haalbare stapp<strong>en</strong> De leerling kan zich daardoor verantwoordelijk<br />
<strong>vo</strong>el<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or zijn eig<strong>en</strong> leerproces<br />
De rek<strong>en</strong>leraar zorgt er<strong>vo</strong>or dat de doel<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong> in 1b afgestemd blijv<strong>en</strong> op die in 1a <strong>en</strong> dus<br />
op de leerstoflijn van de less<strong>en</strong>serie Hierdoor kunn<strong>en</strong> deze leerling<strong>en</strong> in categorie 1b zin<strong>vo</strong>l in de<br />
groep blijv<strong>en</strong> meedo<strong>en</strong>, wat hun zelfvertrouw<strong>en</strong> stimuleert<br />
De rek<strong>en</strong>leraar evalueert regelmatig de extra doel<strong>en</strong> met deze leerling<strong>en</strong> Dit is niet alle<strong>en</strong> belangrijk<br />
als feedback aan de leerling<strong>en</strong> Het is ook van belang om te kunn<strong>en</strong> signaler<strong>en</strong> of de begeleiding<br />
in categorie 1b toereik<strong>en</strong>d is om <strong>vo</strong>ortgang <strong>en</strong> motivatie te handhav<strong>en</strong> Signal<strong>en</strong> die hieruit<br />
naar <strong>vo</strong>r<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> aanleiding zijn om in e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de les het handel<strong>en</strong> van die leerling<strong>en</strong><br />
gericht te observer<strong>en</strong> <strong>en</strong>/of e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>gesprek met h<strong>en</strong> te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
15.4 Opzet van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>les<br />
E<strong>en</strong> reguliere rek<strong>en</strong>les in categorie 1 is e<strong>en</strong> doordachte les Zowel met de inhoud als in de opbouw<br />
houdt de rek<strong>en</strong>leraar rek<strong>en</strong>ing met wat de leerling<strong>en</strong> nodig hebb<strong>en</strong> om tot leerr<strong>en</strong>dem<strong>en</strong>t te kom<strong>en</strong><br />
Concreet betek<strong>en</strong>t dit e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm van instructie waarin alle leerling<strong>en</strong> actief kunn<strong>en</strong> zijn <strong>en</strong><br />
waaruit duidelijk wordt wat er daarna te oef<strong>en</strong><strong>en</strong> is Het oef<strong>en</strong><strong>en</strong> in elke les gebeurt in e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm<br />
die past bij het te bereik<strong>en</strong> doel Dat betek<strong>en</strong>t dat lang niet altijd leerling<strong>en</strong> individueel <strong>en</strong> schriftelijk<br />
bezig zull<strong>en</strong> zijn Juist regelmatig <strong>en</strong> gezam<strong>en</strong>lijk nabesprek<strong>en</strong> is nodig Hierdoor word<strong>en</strong> de<br />
leerling<strong>en</strong> zich bewust van hun ervaring<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s het oef<strong>en</strong><strong>en</strong> Ze ervar<strong>en</strong> dat oef<strong>en</strong><strong>en</strong> tot resultaat<br />
moet leid<strong>en</strong>, maar <strong>vo</strong>oral ook hoe dat het beste lukt Zo kunn<strong>en</strong> zij de verworv<strong>en</strong> inzicht<strong>en</strong> geord<strong>en</strong>d<br />
opslaan in hun langetermijngeheug<strong>en</strong> De leraar biedt door deze elem<strong>en</strong>t<strong>en</strong> structuur, maar<br />
<strong>vo</strong>oral e<strong>en</strong> klimaat waarin het ler<strong>en</strong> tot e<strong>en</strong> gezam<strong>en</strong>lijke ervaring kan leid<strong>en</strong>
hoofdstuk 15 Begeleidingscategorie 1<br />
E<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>les is effectief als de leraar:<br />
• zich goed <strong>vo</strong>orbereidt op e<strong>en</strong> leerstofblok <strong>en</strong> van daaruit op de les;<br />
• zorgt <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> aang<strong>en</strong>aam leerklimaat;<br />
• de leerling<strong>en</strong> duidelijk aangeeft welke doel<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> les of leerstofblok aan de orde zijn;<br />
• ev<strong>en</strong>wicht laat zi<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orspelbaarheid <strong>en</strong> verrassing;<br />
• op e<strong>en</strong> aantal mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> aandacht kan sch<strong>en</strong>k<strong>en</strong> aan subgroep<strong>en</strong> <strong>en</strong>/of individuele leerling<strong>en</strong><br />
terwijl andere leerling<strong>en</strong> (in subgroep<strong>en</strong>) met hun eig<strong>en</strong> oef<strong>en</strong>werk bezig zijn;<br />
• bij het doel pass<strong>en</strong>de werk<strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> kiest;<br />
• korte, maar activer<strong>en</strong>de instructies geeft;<br />
• oef<strong>en</strong>werk afstemt op de te behal<strong>en</strong> doel<strong>en</strong>;<br />
• met de klas <strong>en</strong>/of met de subgroep<strong>en</strong> reflecteert op het effect van de les<br />
201<br />
Wij gev<strong>en</strong> e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orbeeld van de opzet van drie typ<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> E<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>leraar kiest bij het<br />
plann<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> less<strong>en</strong>serie wanneer <strong>en</strong> <strong>vo</strong>or wie instructie <strong>en</strong> oef<strong>en</strong><strong>en</strong> zin<strong>vo</strong>l zijn <strong>en</strong> de omvang<br />
daarvan Bij het oriënter<strong>en</strong>, nader onderzoek<strong>en</strong> of oef<strong>en</strong><strong>en</strong> kan hij kiez<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> alle<strong>en</strong> <strong>en</strong> schriftelijk<br />
of op de computer werk<strong>en</strong> of juist sam<strong>en</strong> met ander<strong>en</strong> <strong>en</strong> mondeling bezig zijn In deze<br />
<strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong> zijn wij uitgegaan van less<strong>en</strong> van 50 minut<strong>en</strong><br />
Lesopbouw met acc<strong>en</strong>t op instructie (differ<strong>en</strong>tiatie is in kleur)<br />
Duur Activiteit<strong>en</strong> <strong>en</strong> aandachtspunt<strong>en</strong><br />
1a Doel(<strong>en</strong>) van de les basisgroep<br />
1b Specifiek(e) doel(<strong>en</strong>) <strong>vo</strong>or <strong>en</strong>kele of<br />
individuele leerling<strong>en</strong><br />
5 min Activer<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis door opdracht aan alle leerling<strong>en</strong><br />
15 min Gezam<strong>en</strong>lijke instructie nieuwe k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> (of verdere ontwikkeling van….)<br />
20 min Zelfstandig oef<strong>en</strong><strong>en</strong> (kan ook in tweetall<strong>en</strong>) Afgestemde instructie in subgroepjes met waar<br />
nodig individuele acc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> (tweemaal 10 min)<br />
10 min Nabespreking <strong>en</strong> afsprek<strong>en</strong> huiswerk op maat (staat al beschrev<strong>en</strong> in de planning)<br />
Afbeelding 15.1 Voorbeeld lesopzet 1<br />
Lesopbouw bij individueel werk<strong>en</strong> (differ<strong>en</strong>tiatie is in kleur)<br />
Duur Activiteit<strong>en</strong> <strong>en</strong> aandachtspunt<strong>en</strong><br />
1a Doel(<strong>en</strong>) van de les basisgroep<br />
1b Specifiek(e) doel(<strong>en</strong>) <strong>vo</strong>or <strong>en</strong>kele of<br />
individuele leerling<strong>en</strong><br />
5 min Activer<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis bij alle leerling<strong>en</strong>, ge<strong>vo</strong>lgd door besprek<strong>en</strong> doel(<strong>en</strong>) van de les (<strong>vo</strong>ortvloei<strong>en</strong>d<br />
uit de <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis)<br />
40 min Zelfstandig oef<strong>en</strong><strong>en</strong>, onder andere met behulp<br />
van de computer<br />
5 min Reflectie <strong>en</strong> huiswerk op maat (staat al beschrev<strong>en</strong> in de planning)<br />
Leraar geeft instructie in subgroepjes<br />
(driemaal 10 min)<br />
Aanvull<strong>en</strong>d individuele ondersteuning <strong>vo</strong>or<br />
leerling<strong>en</strong> die dat nodig hebb<strong>en</strong><br />
Afbeelding 15.2 Voorbeeld lesopzet 2
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
202<br />
Lesopbouw <strong>vo</strong>or sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong>d ler<strong>en</strong> (differ<strong>en</strong>tiatie is in kleur)<br />
Duur Activiteit<strong>en</strong> <strong>en</strong> aandachtspunt<strong>en</strong><br />
1a Doel(<strong>en</strong>) van de les basisgroep<br />
1b Specifiek(e) doel(<strong>en</strong>) <strong>vo</strong>or <strong>en</strong>kele of<br />
individuele leerling<strong>en</strong><br />
5 min Activer<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis bij alle leerling<strong>en</strong>, ge<strong>vo</strong>lgd door besprek<strong>en</strong> doel(<strong>en</strong>) van de les (<strong>vo</strong>ortvloei<strong>en</strong>d<br />
uit de <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis)<br />
Besprek<strong>en</strong> afsprak<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or effectieve sam<strong>en</strong>werking bij oef<strong>en</strong><strong>en</strong>/onderzoek<strong>en</strong><br />
10 min Sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong>d ler<strong>en</strong> in subgroep<strong>en</strong> aan<br />
contextopgave 1<br />
Leraar begeleidt of observeert één van de<br />
subgroepjes<br />
10 min Gezam<strong>en</strong>lijk besprek<strong>en</strong> van oplossingsprocedures (manier<strong>en</strong> van oploss<strong>en</strong>)<br />
10 min Sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong>d ler<strong>en</strong> in subgroep<strong>en</strong> aan<br />
contextopgave 2<br />
Leraar begeleidt of observeert één van de<br />
subgroepjes<br />
10 min Gezam<strong>en</strong>lijk besprek<strong>en</strong> van oplossingsprocedures (manier<strong>en</strong> van oploss<strong>en</strong>)<br />
5 min Reflectie op de opbr<strong>en</strong>gst van de les <strong>en</strong> huiswerk op maat (staat al beschrev<strong>en</strong> in de planning)<br />
Afbeelding 15.3 Voorbeeld lesopzet 3<br />
Naast de <strong>vo</strong>rm kan e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>leraar vanzelfsprek<strong>en</strong>d ook de inhoud van de less<strong>en</strong> variër<strong>en</strong>, zoals<br />
naar aantal, inhoud <strong>en</strong> duur van de opdracht<strong>en</strong> In e<strong>en</strong> vmbo-bbl-groep zal hij eerder twee keer e<strong>en</strong><br />
korte opdracht gev<strong>en</strong> van 10 minut<strong>en</strong> met tuss<strong>en</strong>tijdse bespreking In e<strong>en</strong> vmbo-tl- of ha<strong>vo</strong>groep<br />
kan hij e<strong>en</strong> complexere opdracht gev<strong>en</strong> waaraan de leerling<strong>en</strong> zelfstandig in subgroep<strong>en</strong> 30 minut<strong>en</strong><br />
werk<strong>en</strong> In alle gevall<strong>en</strong> creëert de leraar ruimte om subgroepjes te begeleid<strong>en</strong> of te observer<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>leraar sluit de les altijd af met e<strong>en</strong> gezam<strong>en</strong>lijke nabespreking Deze di<strong>en</strong>t niet om antwoord<strong>en</strong><br />
te vergelijk<strong>en</strong> of na te kijk<strong>en</strong>, maar om ieders aanpak of manier van oef<strong>en</strong><strong>en</strong> te evaluer<strong>en</strong><br />
De subgroepjes zijn ge<strong>en</strong> vaste groep<strong>en</strong> maar e<strong>en</strong> combinatie van leerling<strong>en</strong> die de leraar op e<strong>en</strong><br />
gegev<strong>en</strong> mom<strong>en</strong>t wil lat<strong>en</strong> werk<strong>en</strong> aan e<strong>en</strong>zelfde problematiek (begeleidingscategorie 1b) Wanneer<br />
het acc<strong>en</strong>t meer ligt op ler<strong>en</strong> met <strong>en</strong> van elkaar kan hij ook (naar rek<strong>en</strong>vaardigheid) gem<strong>en</strong>gde<br />
groepjes sam<strong>en</strong>stell<strong>en</strong><br />
15.5 Instructie<strong>vo</strong>rm<strong>en</strong><br />
Bij afstemming is het bied<strong>en</strong> van goede instructie van ess<strong>en</strong>tieel belang Wij mak<strong>en</strong> hierbij onderscheid<br />
tuss<strong>en</strong> vier hoofd<strong>vo</strong>rm<strong>en</strong>:<br />
• directe instructie;<br />
• stur<strong>en</strong>de instructie;<br />
• ban<strong>en</strong>de instructie;<br />
• sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong>d ler<strong>en</strong><br />
Directe instructie<br />
Deze <strong>vo</strong>rm van instructie bestaat uit de kernelem<strong>en</strong>t<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ordo<strong>en</strong>, nado<strong>en</strong>/meedo<strong>en</strong>, zelf do<strong>en</strong> De<br />
rek<strong>en</strong>leraar activeert relevante <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis van de leerling<strong>en</strong> De leerling<strong>en</strong> wet<strong>en</strong> bij<strong>vo</strong>orbeeld dat<br />
50% de helft is van ‘iets’ Aansluit<strong>en</strong>d doet de leraar e<strong>en</strong> (nieuwe) rek<strong>en</strong>handeling <strong>vo</strong>or, bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
het bepal<strong>en</strong> van 25% van ‘iets’ De leraar doet <strong>vo</strong>or hoe 25% van e<strong>en</strong> mooi bedrag, bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
100 euro, kan word<strong>en</strong> berek<strong>en</strong>d Hij gebruikt hierbij e<strong>en</strong> strookmodel
hoofdstuk 15 Begeleidingscategorie 1<br />
Afbeelding 15.4 Strookmodel 1<br />
De leerling<strong>en</strong> do<strong>en</strong> de handeling na op precies dezelfde wijze De rek<strong>en</strong>leraar kan deze activiteit<br />
nog e<strong>en</strong> keer herhal<strong>en</strong> Als leerling<strong>en</strong> de handeling begrijp<strong>en</strong>, biedt de rek<strong>en</strong>leraar nog e<strong>en</strong> keer<br />
dezelfde activiteit aan met e<strong>en</strong> ander bedrag, bij<strong>vo</strong>orbeeld 80 euro Daarna <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> de<br />
opdracht zelf uit<br />
Als de stap van het zelf do<strong>en</strong> niet lukt, biedt de rek<strong>en</strong>leraar e<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong>stap aan: meedo<strong>en</strong> De rek<strong>en</strong>leraar<br />
doet de handeling <strong>vo</strong>or, daarna do<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> de betreff<strong>en</strong>de leerling<strong>en</strong> het sam<strong>en</strong><br />
Ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s do<strong>en</strong> die leerling<strong>en</strong> het zelf<br />
Dit patroon kan word<strong>en</strong> herhaald totdat de leerling<strong>en</strong> de activiteit zelf kunn<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
203<br />
Directe instructie als <strong>vo</strong>ordo<strong>en</strong>-nado<strong>en</strong> komt ook wel <strong>vo</strong>or in dagelijkse, buit<strong>en</strong>schoolse situaties<br />
Het wordt ook wel ‘stap-<strong>vo</strong>or-stap-instructie’ g<strong>en</strong>oemd Directe instructie is te vergelijk<strong>en</strong> met het<br />
lez<strong>en</strong> van de handleiding om e<strong>en</strong> zelfbouwmeubel in elkaar te zett<strong>en</strong> In die handleiding staat elke<br />
stap vermeld Als de gebruiker elke stap op de <strong>vo</strong>et <strong>vo</strong>lgt, kan het in elkaar zett<strong>en</strong> niet fout gaan Bij<br />
het ler<strong>en</strong> plakk<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> lekke fietsband is <strong>vo</strong>ordo<strong>en</strong>-nado<strong>en</strong> <strong>en</strong> daarna zelf do<strong>en</strong> e<strong>en</strong> effectieve<br />
instructie Op school is het daarom <strong>vo</strong>oral bruikbaar <strong>vo</strong>or procedures die in e<strong>en</strong> vaste <strong>vo</strong>lgorde<br />
uitge<strong>vo</strong>erd moet<strong>en</strong> word<strong>en</strong> Er valt e<strong>en</strong> kanttek<strong>en</strong>ing te plaats<strong>en</strong> bij de effectiviteit Doordat de leraar<br />
‘het’ (de weg naar de oplossing) <strong>vo</strong>ordoet, is de leerling afhankelijk van de leraar De kans is<br />
groot dat zonder onderhoud de zo verworv<strong>en</strong> vaardigheid alweer spoedig (gedeeltelijk) vervaagt<br />
Stur<strong>en</strong>de instructie<br />
Deze <strong>vo</strong>rm van instructie bestaat uit het gev<strong>en</strong> van aanwijzing<strong>en</strong> die leid<strong>en</strong> tot verhoging van het<br />
handelingsniveau of tot het verwerv<strong>en</strong> van nieuwe rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>leraar weet dat de leerling<strong>en</strong> 50% <strong>en</strong> 25% van e<strong>en</strong> bedrag kunn<strong>en</strong> uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> Hij laat de<br />
leerling<strong>en</strong> nu e<strong>en</strong> perc<strong>en</strong>tage uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> van 10% van hetzelfde bedrag De leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> dit<br />
zelf tek<strong>en</strong><strong>en</strong> met behulp van de strook<br />
Afbeelding 15.5 Strookmodel 2<br />
De leerling<strong>en</strong> <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> de actie uit Als het niet lukt, verwijst de rek<strong>en</strong>leraar naar de manier waarop<br />
de leerling<strong>en</strong> het e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rige keer hebb<strong>en</strong> gedaan Hij pakt ev<strong>en</strong>tueel de oef<strong>en</strong>stof van de <strong>vo</strong>rige keer<br />
erbij De vraag die hij kan stell<strong>en</strong> is bij<strong>vo</strong>orbeeld: Weet je nog hoe je het de <strong>vo</strong>rige keer deed bij 25%?<br />
Als de leerling<strong>en</strong> het wet<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> zij de nieuwe stap zelf zett<strong>en</strong> <strong>en</strong> kan de rek<strong>en</strong>leraar doorgaan<br />
met e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de opdracht Als leerling<strong>en</strong> het niet meer wet<strong>en</strong>, wordt de oef<strong>en</strong>ing van de <strong>vo</strong>rige<br />
keer herhaald Dan <strong>vo</strong>lgt de nieuwe opdracht <strong>en</strong> laat de rek<strong>en</strong>leraar de leerling<strong>en</strong> zelf bepal<strong>en</strong> hoe<br />
zij het kunn<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Lukt het wel, dan kan de rek<strong>en</strong>leraar e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de stap zett<strong>en</strong> <strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> zelf e<strong>en</strong> korting lat<strong>en</strong><br />
bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong>, bij<strong>vo</strong>orbeeld 20% van 80 euro<br />
Hij begeleidt de leerling<strong>en</strong> met vrag<strong>en</strong> als: Hoe kun je dit tek<strong>en</strong><strong>en</strong>? Welke som kun je hierbij schrijv<strong>en</strong>?<br />
De rek<strong>en</strong>leraar stuurt het proces van niveauverhoging aan, maar laat de leerling<strong>en</strong> zelf bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong><br />
hoe zij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> Als de leraar steeds de goede vrag<strong>en</strong> stelt zijn de leerling<strong>en</strong> minder afhanke-
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
lijk van hem Als e<strong>en</strong> leerling het echt niet meer weet, kan de leraar de leerling verder prober<strong>en</strong> te<br />
help<strong>en</strong> met directe instructie<br />
204<br />
Ban<strong>en</strong>de instructie<br />
Bij deze <strong>vo</strong>rm van instructie biedt de rek<strong>en</strong>leraar de leerling<strong>en</strong> de ruimte om zelf e<strong>en</strong> oplossingsprocedure<br />
te bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> De rek<strong>en</strong>leraar bepaalt de leerstofinhoud <strong>en</strong> vraagt de leerling<strong>en</strong> zelf e<strong>en</strong><br />
manier te bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> om het rek<strong>en</strong>vraagstuk op te loss<strong>en</strong> Als leerling<strong>en</strong> vastlop<strong>en</strong> of dreig<strong>en</strong> vast<br />
te lop<strong>en</strong>, kan de rek<strong>en</strong>leraar h<strong>en</strong> e<strong>en</strong> tip gev<strong>en</strong> (Weet je nog…? of: Als je nu e<strong>en</strong>s ...) Deze wijze van<br />
instructie gev<strong>en</strong> kan met name word<strong>en</strong> toegepast bij contextopdracht<strong>en</strong> De rek<strong>en</strong>leraar activeert<br />
op deze manier het zelf d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong>, waardoor zij in <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de situaties zelf de aard<br />
van het probleem kunn<strong>en</strong> herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> Tegelijkertijd helpt het de leraar zicht te krijg<strong>en</strong> op de reeds<br />
verworv<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> hoe zij deze wet<strong>en</strong> in te zett<strong>en</strong> Dit<br />
geeft weer informatie <strong>vo</strong>or de verdere ontwikkeling <strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de lesdoel<strong>en</strong> Tijd<strong>en</strong>s het oploss<strong>en</strong><br />
bevraagt de rek<strong>en</strong>leraar de leerling<strong>en</strong> met behulp van het Drieslagmodel Tijd<strong>en</strong>s de reflectie word<strong>en</strong><br />
de gekoz<strong>en</strong> oplossingsprocedures besprok<strong>en</strong> De rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> analyser<strong>en</strong> sam<strong>en</strong><br />
of de gekoz<strong>en</strong> procedures effectief zijn <strong>en</strong> hoe het ev<strong>en</strong>tueel beter kan<br />
E<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de les biedt de rek<strong>en</strong>leraar e<strong>en</strong> vergelijkbaar rek<strong>en</strong>vraagstuk aan dat past in de leerstoflijn<br />
Hij verwacht dan op basis van de eerdere observaties dat de leerling<strong>en</strong> het vraagstuk op e<strong>en</strong><br />
pass<strong>en</strong>de manier kunn<strong>en</strong> oploss<strong>en</strong> <strong>en</strong> die manier ook kunn<strong>en</strong> toelicht<strong>en</strong><br />
Bij deze wijze van instructie wordt het probleemoploss<strong>en</strong>d vermog<strong>en</strong> <strong>en</strong> het zelfvertrouw<strong>en</strong> van de<br />
leerling<strong>en</strong> sterk gestimuleerd Door e<strong>en</strong> goede opbouw van de leerstofinhoud<strong>en</strong> word<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong><br />
uitgedaagd hun reeds verworv<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis goed te ord<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> te onderhoud<strong>en</strong> <strong>en</strong> nieuwe k<strong>en</strong>nis<br />
<strong>en</strong> procedures te ontwikkel<strong>en</strong> De expertise van de rek<strong>en</strong>leraar blijkt uit het bied<strong>en</strong> van de juiste<br />
leerstapp<strong>en</strong> <strong>en</strong> het stell<strong>en</strong> van pass<strong>en</strong>de vrag<strong>en</strong> aan de hand van het Drieslagmodel<br />
Sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong>d ler<strong>en</strong><br />
In sommige situaties kan het zelfvertrouw<strong>en</strong> ook word<strong>en</strong> gestimuleerd door de leerling<strong>en</strong> in e<strong>en</strong><br />
subgroepje (of per duo daaruit) e<strong>en</strong> contextopgave <strong>vo</strong>or te legg<strong>en</strong> <strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> zelf te lat<strong>en</strong> bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong><br />
hoe zij deze het beste kunn<strong>en</strong> oploss<strong>en</strong> Zie <strong>vo</strong>or <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong> Hoofdlijn 2 (hoofdstuk 7)<br />
Het sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong>d ler<strong>en</strong> biedt mogelijkhed<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het ontdekk<strong>en</strong> van eig<strong>en</strong> (creatieve) oplossingsprocedures,<br />
pass<strong>en</strong>d bij hun <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> het beheerste handelingsniveau Het besprek<strong>en</strong><br />
daarvan in kleine groepjes dwingt h<strong>en</strong> om bij die oplossing<strong>en</strong> stil te staan <strong>en</strong> er woord<strong>en</strong> aan te<br />
gev<strong>en</strong> De leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> zo te reflecter<strong>en</strong> op hun eig<strong>en</strong> procedures <strong>en</strong> die te vergelijk<strong>en</strong> met die<br />
van ander<strong>en</strong> Van belang is dat de leerling in deze groepssituatie positieve leerervaring<strong>en</strong> opdoet<br />
Daarom is zorgvuldigheid gebod<strong>en</strong> bij het kiez<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> <strong>en</strong> het sam<strong>en</strong>stell<strong>en</strong> van<br />
groepjes De groepjes bestaan uit tweetall<strong>en</strong> of drietall<strong>en</strong>, waarin alle led<strong>en</strong> e<strong>en</strong> bijdrage kunn<strong>en</strong><br />
lever<strong>en</strong> De leraar sluit het sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong>d ler<strong>en</strong> altijd af met e<strong>en</strong> reflectie op de oplossingsprocedures<br />
door de leerling<strong>en</strong> zelf Hierbij gev<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> aan welke oplossingsprocedure <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s<br />
h<strong>en</strong> het meest efficiënt was Ook hier is het Drieslagmodel <strong>vo</strong>or probleemoploss<strong>en</strong>d handel<strong>en</strong> de<br />
leidraad <strong>vo</strong>or de bespreking De leraar zet de leerling<strong>en</strong> aan het d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> met vrag<strong>en</strong> als Wat heb je<br />
gedaan? Waaraan herk<strong>en</strong>de jij welke aanpak je kon kiez<strong>en</strong>? Hoe heb je het opgelost? Kan het ook anders?<br />
Kun je het op e<strong>en</strong> snellere manier uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong>? Deze vrag<strong>en</strong> zett<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> aan het d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> De<br />
rek<strong>en</strong>leraar bewaakt dat elke leerling zijn zelf ge<strong>vo</strong>lgde oplossingsprocedure bespreekt <strong>en</strong> zich niet<br />
gedwong<strong>en</strong> <strong>vo</strong>elt te gaan werk<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> manier waar<strong>vo</strong>or de leerling de bouwst<strong>en</strong><strong>en</strong> nog niet beheerst<br />
Hierdoor kan deze werk<strong>vo</strong>rm het zelfvertrouw<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong> be<strong>vo</strong>rder<strong>en</strong>
hoofdstuk 15 Begeleidingscategorie 1<br />
Bov<strong>en</strong>staande <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van instructie variër<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> geslot<strong>en</strong> naar e<strong>en</strong> steeds meer op<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm<br />
Bij de keuze welke <strong>vo</strong>rm geschikt is, gaat het niet in de eerste plaats om de <strong>vo</strong>orkeur van de leraar,<br />
maar eerder om de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong> Wie afhankelijk gedrag <strong>en</strong> onzekerheid<br />
wil teg<strong>en</strong>gaan <strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> wil stimuler<strong>en</strong> tot meer initiatief kan beter niet te vaak de directe instructie<br />
inzett<strong>en</strong> Om rek<strong>en</strong>zwakke leerling<strong>en</strong> te stimuler<strong>en</strong> kan directe instructie wel e<strong>en</strong> start<br />
zijn, als de inhoud van de les maar daarbij past De uitdaging is om de opdracht<strong>en</strong> zo te kiez<strong>en</strong> dat<br />
deze leerling<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> meer op<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm toch succeservaring<strong>en</strong> opdo<strong>en</strong><br />
Bij leerling<strong>en</strong> die al meer zelfvertrouw<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> kiest de leraar juist wel ban<strong>en</strong>de instructie of<br />
sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong>d ler<strong>en</strong> Daar is het aandachtspunt eerder dat de uitwerking <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de diepgang<br />
heeft <strong>en</strong> de nabespreking er niet bij inschiet<br />
205<br />
15.6 Oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Na e<strong>en</strong> gerichte instructie <strong>en</strong> vanuit heldere doel<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> resultaatgericht oef<strong>en</strong><strong>en</strong> In<br />
hoofdstuk 8 (Hoofdlijn 3) staan diverse <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van oef<strong>en</strong><strong>en</strong> beschrev<strong>en</strong> De leraar kiest <strong>vo</strong>or elke<br />
rek<strong>en</strong>les effectieve oef<strong>en</strong><strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> Effectief betek<strong>en</strong>t hier dat ze aansluit<strong>en</strong> bij de instructie <strong>en</strong> dat ze<br />
de leerling<strong>en</strong> merkbaar help<strong>en</strong> hun doel<strong>en</strong> te realiser<strong>en</strong> Als dit de effectiviteit vergroot, zal de rek<strong>en</strong>leraar<br />
zorg<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or variatie in de gebruikte oef<strong>en</strong><strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> Naast de oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> uit e<strong>en</strong> (rek<strong>en</strong>)<br />
methode kunn<strong>en</strong> opdracht<strong>en</strong> ook uit andere bronn<strong>en</strong> kom<strong>en</strong>, mits ze effectief zijn De leraar kiest<br />
natuurlijk ev<strong>en</strong> zorgvuldig pass<strong>en</strong>de oef<strong>en</strong>stof als leerstofinhoud <strong>vo</strong>or die oef<strong>en</strong><strong>vo</strong>rm<strong>en</strong><br />
De leraar stemt de oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de onderscheid<strong>en</strong> subgroepjes af op hun specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
Oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> zijn zo altijd betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l <strong>vo</strong>or deze leerling<strong>en</strong> Alle<strong>en</strong> dan kunn<strong>en</strong> ze ook<br />
effectief zijn Door gebruik te mak<strong>en</strong> van het Handelingsmodel stimuleert de leraar deze leerling<strong>en</strong><br />
tot niveauverhoging<br />
Voorbeeld van e<strong>en</strong> opbouw van betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l <strong>en</strong> niveauverhog<strong>en</strong>d oef<strong>en</strong><strong>en</strong>:<br />
• Context met ondersteuning van concrete material<strong>en</strong> <strong>en</strong> afbeelding<strong>en</strong>.<br />
De leerling<strong>en</strong> lez<strong>en</strong> bij<strong>vo</strong>orbeeld gewicht<strong>en</strong> af op verpakking<strong>en</strong> <strong>en</strong> weg<strong>en</strong> de verpakking<strong>en</strong> op<br />
e<strong>en</strong> weegschaal Daarna noter<strong>en</strong> zij op e<strong>en</strong> werkblad met concrete afbeelding<strong>en</strong> van de verpakking<strong>en</strong><br />
het gewicht in gramm<strong>en</strong> of kilogramm<strong>en</strong> Hier word<strong>en</strong> de niveaus 1 <strong>en</strong> 2 van het<br />
Handelingsmodel met elkaar verbond<strong>en</strong><br />
• Context <strong>en</strong> visuele ondersteuning van e<strong>en</strong> d<strong>en</strong>kmodel.<br />
De leerling<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> hun berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> met behulp van e<strong>en</strong> d<strong>en</strong>kmodel (bij<strong>vo</strong>orbeeld werk<strong>en</strong><br />
met breuk<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s het pizzamodel) Hier word<strong>en</strong> niveau 2 <strong>en</strong> 3 van het Handelingsmodel<br />
gekoppeld<br />
• Context, d<strong>en</strong>kmodel <strong>en</strong> formele bewerking<strong>en</strong> (somm<strong>en</strong>).<br />
Hier word<strong>en</strong> drie niveaus van het Handelingsmodel gekoppeld: van informeel, via <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong>,<br />
naar formeel<br />
• Context <strong>en</strong> formele bewerking<strong>en</strong> (somm<strong>en</strong>).<br />
Bij deze opdracht<strong>en</strong> oef<strong>en</strong><strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> op basis van e<strong>en</strong><br />
context (ter ondersteuning), met behulp van tek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> <strong>en</strong> d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> (zie paragraaf 812,<br />
<strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong> 81 <strong>en</strong> 82) Hier word<strong>en</strong> de niveaus 2, 3 <strong>en</strong> 4 van het Handelingsmodel gekoppeld<br />
• Formele bewerking<strong>en</strong> met ondersteuning van d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong>.<br />
Bij<strong>vo</strong>orbeeld berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> aan de hand van perc<strong>en</strong>tages in e<strong>en</strong> cirkeldiagram of<br />
ongelijknamige breuk<strong>en</strong> vergelijk<strong>en</strong> aan de hand van het pizzamodel <strong>en</strong> verhoudingstabell<strong>en</strong><br />
Hier word<strong>en</strong> de niveaus 3 <strong>en</strong> 4 van het Handelingsmodel gekoppeld
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
206<br />
• Formele bewerking<strong>en</strong> waarbij de leerling<strong>en</strong> zelf e<strong>en</strong> context bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong>.<br />
Bij<strong>vo</strong>orbeeld het bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> verdeelsituatie met behulp van het pizzamodel bij het gelijknamig<br />
mak<strong>en</strong> van breuk<strong>en</strong> Hier word<strong>en</strong> de niveaus 4 <strong>en</strong> 3 of 2 van het Handelingsmodel<br />
gekoppeld<br />
• Formele bewerking<strong>en</strong> (‘kale somm<strong>en</strong>’, rijtjes, tafels).<br />
Bij deze opdracht<strong>en</strong> is het van belang somm<strong>en</strong> aan te bied<strong>en</strong> die onderling sam<strong>en</strong>hang<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
waarbij de leerling die sam<strong>en</strong>hang moet ontdekk<strong>en</strong> of direct ervan gebruik kan mak<strong>en</strong> (niveau<br />
4 van het Handelingsmodel)<br />
Het oef<strong>en</strong><strong>en</strong> kan sam<strong>en</strong> (bij<strong>vo</strong>orbeeld met concrete material<strong>en</strong>) of alle<strong>en</strong> gebeur<strong>en</strong> Afwisseling<br />
tuss<strong>en</strong> sam<strong>en</strong> oef<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> alle<strong>en</strong> oef<strong>en</strong><strong>en</strong> biedt mogelijkhed<strong>en</strong> om elke leerling zo veel mogelijk<br />
binn<strong>en</strong> de groep te lat<strong>en</strong> participer<strong>en</strong> Bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> is sam<strong>en</strong> oef<strong>en</strong><strong>en</strong> van belang <strong>vo</strong>or het onder<br />
woord<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> br<strong>en</strong>g<strong>en</strong> van ervaring<strong>en</strong> <strong>en</strong> aanpakk<strong>en</strong> Tijd<strong>en</strong>s het zelf oef<strong>en</strong><strong>en</strong> (zelfstandig werk<strong>en</strong>)<br />
kan de leerling heel gericht werk<strong>en</strong> aan eig<strong>en</strong> doel<strong>en</strong> Ook goede software kan hierbij help<strong>en</strong><br />
Effectief oef<strong>en</strong><strong>en</strong> leidt tot leerresultat<strong>en</strong> Die effectiviteit is alle<strong>en</strong> mogelijk als de rek<strong>en</strong>leraar duidelijke<br />
doel<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or og<strong>en</strong> heeft Vanuit categorie 1b vraagt dat ook om afstemming van de instructie,<br />
de oef<strong>en</strong>stof <strong>en</strong> de oef<strong>en</strong><strong>vo</strong>rm op de doel<strong>en</strong> die de leerling<strong>en</strong> in subgroep<strong>en</strong> moet<strong>en</strong> bereik<strong>en</strong> De<br />
organisatie van effectief ler<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de klas ligt bij de leraar (Gelderblom, 2008)<br />
15.7 Reflectie<br />
De rek<strong>en</strong>leraar sluit elke rek<strong>en</strong>les af met e<strong>en</strong> korte reflectie Hierbij laat hij de leerling<strong>en</strong> kort vertell<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> noter<strong>en</strong> wat zij gedur<strong>en</strong>de de les hebb<strong>en</strong> geleerd <strong>en</strong> of de doel<strong>en</strong> zijn bereikt Zij besprek<strong>en</strong><br />
daarbij de goede leerervaring<strong>en</strong> <strong>en</strong> ook de knelpunt<strong>en</strong> die zij hebb<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> Was de lesstof<br />
begrijpelijk? Zijn er onderdel<strong>en</strong> die nog on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de zijn besprok<strong>en</strong> <strong>en</strong> geoef<strong>en</strong>d? De leerling<strong>en</strong><br />
noter<strong>en</strong> daarna hun eig<strong>en</strong> leerdoel<strong>en</strong> Reflectie mag niet verword<strong>en</strong> tot het routinematig plaats<strong>en</strong><br />
van kruisjes op e<strong>en</strong> formulier Mondelinge uitwisseling is in deze lesfase leid<strong>en</strong>d<br />
Door te werk<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s bov<strong>en</strong>staande aanwijzing<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> zowel de instructie als het oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
<strong>vo</strong>or alle leerling<strong>en</strong> veel aan effectiviteit winn<strong>en</strong> Het blijft belangrijk om de resultat<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong><br />
regelmatig vast te legg<strong>en</strong> <strong>en</strong> hun ontwikkeling systematisch te evaluer<strong>en</strong><br />
15.8 Evaluatie<br />
De leraar evalueert op vaste mom<strong>en</strong>t<strong>en</strong> per jaar de <strong>vo</strong>ortgang van het leerproces van de leerling<strong>en</strong><br />
Dit doet hij sam<strong>en</strong> met de m<strong>en</strong>tor De leerling<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 1 kunn<strong>en</strong> afwissel<strong>en</strong>d<br />
participer<strong>en</strong> in de hele groep <strong>en</strong> in subgroepjes De leraar houdt de ontwikkeling van iedere leerling<br />
zorgvuldig bij Afhankelijk van de resultat<strong>en</strong> blijft e<strong>en</strong> leerling in deze situatie <strong>en</strong> participeert<br />
ook in de reguliere groep of gaat, bij aantoonbaar on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong>, na e<strong>en</strong> half jaar door<br />
naar begeleidingscategorie 2
207
16 Begeleidingscategorie 2
Begeleiding in categorie 2 is <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> die ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong>.<br />
Zij krijg<strong>en</strong> int<strong>en</strong>sieve <strong>en</strong> deskundige begeleiding vanwege hun specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong>,<br />
met behulp van e<strong>en</strong> individueel handelingsplan. Deze leerling<strong>en</strong><br />
word<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de groep begeleid door de rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> buit<strong>en</strong> de groep door de<br />
rek<strong>en</strong>specialist.<br />
16
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
16.1 De leerling<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 2<br />
210<br />
Begeleidingscategorie 2 is <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> bij wie specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong> zijn vastgesteld na<br />
e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek Dit diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek is uitge<strong>vo</strong>erd door de rek<strong>en</strong>specialist,<br />
in zijn rol van onderzoeker De rek<strong>en</strong>specialist heeft zijn bevinding<strong>en</strong> vastgelegd in e<strong>en</strong><br />
verslag Hierin beschrijft hij zijn analyse <strong>en</strong> de daarop gebaseerde conclusies Deze bied<strong>en</strong> positieve<br />
aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de verdere rek<strong>en</strong>ontwikkeling Verder gaat hij kort in op leerling- <strong>en</strong><br />
omgevingsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> <strong>en</strong> geeft hij op basis van dit alles zijn handelingsadviez<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>specialist stelt op basis van deze adviez<strong>en</strong>, in overleg met de rek<strong>en</strong>leraar, e<strong>en</strong> handelingsplan<br />
op Hierin staan de doel<strong>en</strong> geformuleerd, die stuk <strong>vo</strong>or stuk zijn vertaald in concrete <strong>en</strong> haalbare<br />
stapp<strong>en</strong> Hierbij kan het behalve om leerstofdoel<strong>en</strong> ook gaan om leerdoel<strong>en</strong> die te mak<strong>en</strong><br />
hebb<strong>en</strong> met motivatie, zelfvertrouw<strong>en</strong> <strong>en</strong> inspanning<br />
Begeleidingscategorie 2 is ook bestemd <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> die vanuit categorie 3 naar categorie 2 zijn<br />
verwez<strong>en</strong> Zij hebb<strong>en</strong> duidelijke <strong>vo</strong>oruitgang geboekt met de begeleiding die h<strong>en</strong> in deze categorie<br />
3 is gebod<strong>en</strong> Zij lijk<strong>en</strong> nu in staat zich verder te ontwikkel<strong>en</strong> onder de condities van categorie 2<br />
Zij word<strong>en</strong> in categorie 2 begeleid met behulp van e<strong>en</strong> individueel handelingsplan Bij zo’n overstap<br />
zijn ook de ondersteuningscoördinator <strong>en</strong> de m<strong>en</strong>tor betrokk<strong>en</strong><br />
Het doel van de begeleiding in categorie 2 is leerling<strong>en</strong> hun rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> te help<strong>en</strong> overwinn<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> hun rek<strong>en</strong>achterstand<strong>en</strong> weg te werk<strong>en</strong> Het perspectief blijft dat deze leerling<strong>en</strong> het bij hun<br />
leerroute pass<strong>en</strong>de refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau hal<strong>en</strong> In sam<strong>en</strong>spraak met de m<strong>en</strong>tor <strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>specialist<br />
stell<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> in categorie 2 e<strong>en</strong> eig<strong>en</strong> doel<strong>en</strong>lijst op Deze leerdoel<strong>en</strong> zijn gebaseerd op hun<br />
handelingsplan De m<strong>en</strong>tor <strong>en</strong> de leerling houd<strong>en</strong> ieder <strong>vo</strong>or zich de <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> bij <strong>en</strong> besprek<strong>en</strong><br />
die van tijd tot tijd met elkaar Juist ook hier is het belangrijk dat deze leerling<strong>en</strong> de doel<strong>en</strong> waaraan<br />
ze werk<strong>en</strong>, als eig<strong>en</strong> <strong>en</strong> haalbaar ervar<strong>en</strong><br />
16.2 Afstemming<br />
De rek<strong>en</strong>specialist biedt leerling<strong>en</strong> in categorie 2 specifieke instructie op e<strong>en</strong> ander mom<strong>en</strong>t dan<br />
de <strong>vo</strong>or hun klas geplande rek<strong>en</strong>les Waar mogelijk begeleidt hij leerling<strong>en</strong> met vergelijkbare problem<strong>en</strong><br />
als groepje Daarnaast biedt de rek<strong>en</strong>leraar deze leerling<strong>en</strong> aanvull<strong>en</strong>de instructie <strong>en</strong> extra<br />
oef<strong>en</strong>tijd tijd<strong>en</strong>s hun reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
De aanpakk<strong>en</strong> die de rek<strong>en</strong>specialist <strong>vo</strong>or deze leerling<strong>en</strong> kiest zijn gebaseerd op in het <strong>Protocol</strong><br />
<strong>ERWD</strong>2 gegev<strong>en</strong> handreiking<strong>en</strong> Ook in categorie 2 gaat het om de toepassing van het Handelingsmodel,<br />
het Drieslagmodel, de vier Hoofdlijn<strong>en</strong> van het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> de bijbehor<strong>en</strong>de lijst met<br />
signalerings- <strong>en</strong> aandachtspunt<strong>en</strong> Deze handreiking<strong>en</strong> zijn gericht op de k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van afstemming:<br />
signaler<strong>en</strong> (opmerk<strong>en</strong>), gericht observer<strong>en</strong>, interv<strong>en</strong>iër<strong>en</strong> (gericht op resultaat) <strong>en</strong> e valuer<strong>en</strong><br />
De rek<strong>en</strong>specialist is vanuit zijn expertise vertrouwd met deze <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van begeleiding <strong>en</strong> kan<br />
daardoor de rek<strong>en</strong>leraar zo nodig ondersteun<strong>en</strong> Het is in ieder geval van belang dat zij nauw sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong>
hoofdstuk 16 Begeleidingscategorie 2<br />
16.3 Resultaat van e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek<br />
E<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek levert e<strong>en</strong> verslag van de onderzoeker (de rek<strong>en</strong>specialist) op<br />
Het verslag bevat onder meer de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de onderdel<strong>en</strong>:<br />
• e<strong>en</strong> beeld van wat de leerling al kan, van wat hij zich al heeft eig<strong>en</strong> gemaakt op het gebied van<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> ook van wat e<strong>en</strong> zin<strong>vo</strong>lle <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de stap is in de zone van de naaste ontwikkeling;<br />
• e<strong>en</strong> beeld van de mate waarin het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> van de leerling stagneert;<br />
• inzicht in de factor<strong>en</strong> die de verdere rek<strong>en</strong>ontwikkeling zowel kunn<strong>en</strong> stimuler<strong>en</strong> <strong>en</strong> activer<strong>en</strong>,<br />
als belemmer<strong>en</strong> <strong>en</strong> zelfs blokker<strong>en</strong>;<br />
• informatie over de hulp waar de leerling van profiteert <strong>en</strong> over de aanpak die het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> van<br />
de leerling ondersteunt;<br />
• e<strong>en</strong> perspectief op langere termijn;<br />
• handelingsadviez<strong>en</strong> op basis van de gemaakte analyse<br />
211<br />
Het verslag van het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek wordt door de rek<strong>en</strong>specialist in overleg met de<br />
rek<strong>en</strong>leraar vertaald naar e<strong>en</strong> handelingsplan <strong>vo</strong>or de leerling Dit handelingsplan bevat altijd de<br />
<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong>:<br />
• doel<strong>en</strong> op lange <strong>en</strong> korte termijn (waartoe?);<br />
• leerstofinhoud (wat?);<br />
• leeractiviteit<strong>en</strong> (hoe?);<br />
• uit<strong>vo</strong>ering (wanneer <strong>en</strong> door wie?);<br />
• evaluatie (doel<strong>en</strong> bereikt?)<br />
Deze compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> hierna stuk <strong>vo</strong>or stuk aan bod<br />
16.4 Doel<strong>en</strong> op lange <strong>en</strong> op korte termijn<br />
De rek<strong>en</strong>specialist bepaalt in overleg met de rek<strong>en</strong>leraar welke doel<strong>en</strong> pass<strong>en</strong>d zijn <strong>vo</strong>or de lange<br />
termijn <strong>en</strong> welke al haalbaar lijk<strong>en</strong> op korte termijn<br />
• Doel<strong>en</strong> op lange termijn<br />
De langetermijndoel<strong>en</strong> beschrijv<strong>en</strong> de verwachte ontwikkelingslijn van de leerling op vakoverstijg<strong>en</strong>de<br />
<strong>en</strong> vakspecifieke gebied<strong>en</strong> Deze doel<strong>en</strong> beslaan e<strong>en</strong> periode van e<strong>en</strong> half jaar tot e<strong>en</strong> jaar,<br />
soms langer<br />
- Vakspecifieke langetermijndoel<strong>en</strong> beschrijv<strong>en</strong> in meer algem<strong>en</strong>e term<strong>en</strong> de verwachte rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
van de leerling E<strong>en</strong> perspectief op lange termijn <strong>vo</strong>or vakspecifieke doel<strong>en</strong> is bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
het vlot kunn<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met de basisbewerking<strong>en</strong> op papier <strong>en</strong> met de rek<strong>en</strong>machine met<br />
getall<strong>en</strong> tot 10.000 of inzicht hebb<strong>en</strong> in (opbouw <strong>en</strong> sam<strong>en</strong>hang van) het metriek stelsel Hierbij<br />
wordt als perspectief op de lange termijn geformuleerd dat de leerling niveau 2F bereikt<br />
- Vakoverstijg<strong>en</strong>de langetermijndoel<strong>en</strong> betreff<strong>en</strong> de totale ontwikkeling van de leerling Hier kan<br />
bij<strong>vo</strong>orbeeld specifieke begeleiding word<strong>en</strong> gezet op de reductie van faalangst <strong>en</strong> op het be<strong>vo</strong>rder<strong>en</strong><br />
van zelfvertrouw<strong>en</strong> E<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orbeeld van zo’n doel is: de leerling weet zeker hoe hij dit type<br />
rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> kan mak<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
212<br />
• Doel<strong>en</strong> op korte termijn<br />
- Vakspecifieke kortetermijndoel<strong>en</strong> zijn gericht op het verbeter<strong>en</strong> of het weer op gang br<strong>en</strong>g<strong>en</strong> van<br />
het proces van het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> De rek<strong>en</strong>specialist formuleert daarom concrete leerdoel<strong>en</strong><br />
die aansluit<strong>en</strong> bij wat de leerling al kan Het gaat om afgebak<strong>en</strong>de doel<strong>en</strong> die de leerling binn<strong>en</strong><br />
e<strong>en</strong> afzi<strong>en</strong>bare periode kan bereik<strong>en</strong> <strong>en</strong> die getoetst kunn<strong>en</strong> word<strong>en</strong> De leerdoel<strong>en</strong> word<strong>en</strong><br />
zorgvuldig uitgelijnd als stapp<strong>en</strong> op weg naar het langetermijndoel<br />
De leerdoel<strong>en</strong> word<strong>en</strong> expliciet in verband gebracht met de vier Hoofdlijn<strong>en</strong>, de vier niveaus<br />
van het Handelingsmodel <strong>en</strong>/of de d<strong>en</strong>kstapp<strong>en</strong> in het Drieslagmodel (zie deel 2 <strong>en</strong> 3)<br />
- Vakoverstijg<strong>en</strong>de kortetermijndoel<strong>en</strong> zijn niet of nauwelijks te formuler<strong>en</strong>, aangezi<strong>en</strong> vakoverstijg<strong>en</strong>de<br />
doel<strong>en</strong> per definitie e<strong>en</strong> langere periode vrag<strong>en</strong> om gerealiseerd te kunn<strong>en</strong> word<strong>en</strong> Ze<br />
vrag<strong>en</strong> bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> om e<strong>en</strong> andere manier van bewijs<strong>vo</strong>ering dan via e<strong>en</strong> toets Het gaat om relatief<br />
stabiele leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> die slechts heel geleidelijk verander<strong>en</strong> <strong>en</strong> waarbij de nadruk<br />
vaak meer ligt op afler<strong>en</strong> dan op aanler<strong>en</strong> zoals het reducer<strong>en</strong> van faalangst of het opbouw<strong>en</strong><br />
van zelfvertrouw<strong>en</strong> in het omgaan met getall<strong>en</strong><br />
Bij de vakspecifieke langetermijndoel<strong>en</strong> staat als <strong>vo</strong>orbeeld: de leerling kan vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met de basisbewerking<strong>en</strong><br />
op papier <strong>en</strong> met de rek<strong>en</strong>machine met getall<strong>en</strong> tot 10.000. Op basis hiervan kan als doel<br />
op korte termijn word<strong>en</strong> geformuleerd: de leerling kan getall<strong>en</strong> aanvull<strong>en</strong> tot 10.000.<br />
Hierbij kunn<strong>en</strong> de tuss<strong>en</strong>stapp<strong>en</strong> zijn:<br />
1 met honderdtall<strong>en</strong> aanvull<strong>en</strong> tot 1000 of met duiz<strong>en</strong>dtall<strong>en</strong> aanvull<strong>en</strong> tot 10000;<br />
2 met e<strong>en</strong> combinatie van ti<strong>en</strong>tall<strong>en</strong>, honderdtall<strong>en</strong> of duiz<strong>en</strong>dtall<strong>en</strong> aanvull<strong>en</strong> tot 10000<br />
Bij de vakoverstijg<strong>en</strong>de langetermijndoel<strong>en</strong> staat als <strong>vo</strong>orbeeld: faalangst reducer<strong>en</strong>. Zo’n doel kan<br />
alle<strong>en</strong> bereikt word<strong>en</strong> als de leerling via de vakspecifieke kortetermijndoel<strong>en</strong> herhaaldelijk succeservaring<strong>en</strong><br />
beleeft <strong>en</strong> die durft toe te schrijv<strong>en</strong> aan eig<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> Ook het vertrouw<strong>en</strong> in de leraar<br />
vanuit e<strong>en</strong> ge<strong>vo</strong>el van verbond<strong>en</strong>heid (Deci & Ryan, 1985) kan bijdrag<strong>en</strong> aan het reducer<strong>en</strong> van zijn<br />
faalangst<br />
Het laatste <strong>vo</strong>orbeeld laat zi<strong>en</strong> dat verschill<strong>en</strong>de soort<strong>en</strong> doel<strong>en</strong> verband houd<strong>en</strong> met elkaar Door<br />
ze bewust te koppel<strong>en</strong> <strong>en</strong> op elkaar af te stemm<strong>en</strong>, kunn<strong>en</strong> lerar<strong>en</strong> het r<strong>en</strong>dem<strong>en</strong>t van e<strong>en</strong> handelingsplan<br />
versterk<strong>en</strong> Zo’n mix van leerdoel<strong>en</strong> is daardoor zowel afgestemd op de brede ontwikkeling<br />
van de leerling (vakoverstijg<strong>en</strong>d) als op zijn rek<strong>en</strong>ontwikkeling (vakspecifiek)<br />
16.5 Leerstofinhoud<br />
De vakspecifieke kortetermijndoel<strong>en</strong> (leerdoel<strong>en</strong>) word<strong>en</strong> ingevuld met leerstof <strong>en</strong> de hierbij pass<strong>en</strong>de<br />
leeractiviteit<strong>en</strong> De leerstofinhoud <strong>en</strong> de leeractiviteit<strong>en</strong> zijn sam<strong>en</strong> het leermateriaal waarmee<br />
de leerling aan het werk gaat <strong>en</strong> waarop de begeleiding in categorie 2 is gericht Deze leerstof<br />
is natuurlijk ook afgeleid van het programma van de betreff<strong>en</strong>de leerroute <strong>en</strong> houdt rek<strong>en</strong>ing met<br />
het bijpass<strong>en</strong>de refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau
hoofdstuk 16 Begeleidingscategorie 2<br />
De geformuleerde leerdoel<strong>en</strong> sluit<strong>en</strong> aan op het ontwikkelingsniveau van de leerling zoals dat in<br />
het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek in kaart is gebracht Anders gezegd: de doel<strong>en</strong> van het handelingsplan<br />
sluit<strong>en</strong> aan bij wat de leerling al kan, weet <strong>en</strong> begrijpt Deze doel<strong>en</strong> bepal<strong>en</strong> de keuze <strong>en</strong><br />
de <strong>vo</strong>lgorde van de leerstofinhoud<strong>en</strong> De leerstofinhoud<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong> aan de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong>,<br />
zowel elk afzonderlijk als in sam<strong>en</strong>hang:<br />
• De leerstof past binn<strong>en</strong> de vier Hoofdlijn<strong>en</strong><br />
De keuze <strong>en</strong> de <strong>vo</strong>lgorde van de leerstofinhoud<strong>en</strong> zijn beide in overe<strong>en</strong>stemming met de vier<br />
Hoofdlijn<strong>en</strong> Dit zijn:<br />
- Hoofdlijn 1: verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming (conceptontwikkeling <strong>en</strong> het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van<br />
betek<strong>en</strong>is aan (nieuwe) k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong>)<br />
- Hoofdlijn 2: verder ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van oplossingsprocedures<br />
- Hoofdlijn 3: vlot ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong><br />
- Hoofdlijn 4: flexibel toepass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong> van k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong><br />
213<br />
Wanneer de leerdoel<strong>en</strong> e<strong>en</strong> nieuw onderwerp aansnijd<strong>en</strong>, dan is de leerstof eerst gericht op<br />
Hoofdlijn 1 Indi<strong>en</strong> de leerling de basisbegripp<strong>en</strong> al beheerst, kan vlot ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> het doel zijn<br />
In dit geval start de aanpak via Hoofdlijn 2, zodat de leerling de condities <strong>vo</strong>or vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
(Hoofdlijn 3) van daaruit verder kan ontwikkel<strong>en</strong><br />
• De leerstof past bij de niveaus van het Handelingsmodel<br />
De keuze <strong>en</strong> de <strong>vo</strong>lgorde van de leerstofinhoud<strong>en</strong> pass<strong>en</strong> bij de vier handelingsniveaus:<br />
- Handelingsniveau 1: informeel handel<strong>en</strong> in werkelijkheidssituaties<br />
- Handelingsniveau 2: <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> – concreet<br />
- Handelingsniveau 3: <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> – abstract<br />
- Handelingsniveau 4: formeel handel<strong>en</strong><br />
Deze handelingsniveaus di<strong>en</strong><strong>en</strong> om de koppeling te mak<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> wat e<strong>en</strong> leerling al kan <strong>en</strong> wat<br />
hij gaat ler<strong>en</strong> Bij elk leerdoel wordt bepaald op welk handelingsniveau de leerling instapt De rek<strong>en</strong>leraar<br />
kiest de leerstof zo dat de leerling geleidelijk wordt uitgedaagd op e<strong>en</strong> hoger niveau te<br />
werk<strong>en</strong> tot het niveau van het leerdoel is bereikt<br />
• De leerstof past bij de drie stapp<strong>en</strong> van het Drieslagmodel<br />
De keuze <strong>en</strong> de <strong>vo</strong>lgorde van de leerstofinhoud<strong>en</strong> pass<strong>en</strong> bij het Drieslagmodel <strong>vo</strong>or probleemoploss<strong>en</strong>d<br />
handel<strong>en</strong> Dit zijn de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de drie stapp<strong>en</strong>:<br />
1 plann<strong>en</strong> (id<strong>en</strong>tificer<strong>en</strong>, analyser<strong>en</strong>, betek<strong>en</strong>is verl<strong>en</strong><strong>en</strong>, <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis activer<strong>en</strong>, oplossingsprocedure<br />
b ed<strong>en</strong>k<strong>en</strong>, );<br />
2 uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> (berek<strong>en</strong>ing mak<strong>en</strong> op het pass<strong>en</strong>de handelingsniveau);<br />
3 reflecter<strong>en</strong> (nagaan of de stapp<strong>en</strong> 1 <strong>en</strong> 2 op e<strong>en</strong> effectieve manier tot het gew<strong>en</strong>ste resultaat<br />
hebb<strong>en</strong> geleid)<br />
Doordat de leraar daarmee in de keuze van de leerstofinhoud<strong>en</strong> al rek<strong>en</strong>ing houdt, leert de leerling<br />
dit model systematisch toe te pass<strong>en</strong> Dit betek<strong>en</strong>t dat, ongeacht de stap uit het Drieslagmodel die<br />
in de leerstof het acc<strong>en</strong>t krijgt, ook de andere twee stapp<strong>en</strong> aan de orde kom<strong>en</strong> Hierbij is de leerling<strong>en</strong>kaart<br />
van het Drieslagmodel inzetbaar als geheug<strong>en</strong>steun (afbeelding 118)
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
16.6 Leeractiviteit<strong>en</strong><br />
214<br />
De rek<strong>en</strong>leraar kiest in overleg met de rek<strong>en</strong>specialist bij elk leerstofonderdeel de bijpass<strong>en</strong>de<br />
leeractiviteit<strong>en</strong> Bijpass<strong>en</strong>d wil hier zegg<strong>en</strong>: ze pass<strong>en</strong> bij het doel, de leerling wordt erdoor geactiveerd<br />
<strong>en</strong> ze veroorzak<strong>en</strong> dagelijks resultaat; tegelijk zijn de activiteit<strong>en</strong> ook praktisch uit<strong>vo</strong>erbaar<br />
Bij de keuze van activiteit<strong>en</strong> houdt hij ook rek<strong>en</strong>ing met de vakoverstijg<strong>en</strong>de langetermijndoel<strong>en</strong><br />
Door de <strong>vo</strong>rm zorgvuldig af te stemm<strong>en</strong> op die doel<strong>en</strong> stelt hij de leerling in staat ook daarin te<br />
groei<strong>en</strong> Om leeractiviteit<strong>en</strong> op gang te br<strong>en</strong>g<strong>en</strong> gebruikt de rek<strong>en</strong>leraar in het kader van het handelingsplan<br />
pass<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van instructie, zoals beschrev<strong>en</strong> in hoofdstuk 15<br />
E<strong>en</strong> goed afgestemde instructie is met name van belang bij het verder ontwikkel<strong>en</strong> van begrips<strong>vo</strong>rming<br />
(Hoofdlijn 1) <strong>en</strong> bij het (verder) ontwikkel<strong>en</strong> <strong>en</strong> consolider<strong>en</strong> van oplossingsprocedures<br />
(Hoofdlijn 2) Gericht oef<strong>en</strong><strong>en</strong> is noodzaak <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> resultaatgerichte begeleiding (Hoofdlijn 3)<br />
Flexibel toepass<strong>en</strong> is steeds van belang om het geleerde ook buit<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>les te kunn<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong><br />
(Hoofdlijn 4) Zie daar<strong>vo</strong>or deel 2<br />
Deze opbouw van de begeleiding waarin de leerdoel<strong>en</strong>, de leerstofinhoud<strong>en</strong> <strong>en</strong> de leeractiviteit<strong>en</strong><br />
naadloos op elkaar aansluit<strong>en</strong>, is k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong>d <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> werk<strong>en</strong>d handelingsplan<br />
16.7 Uit<strong>vo</strong>ering (planning <strong>en</strong> organisatie)<br />
De rek<strong>en</strong>specialist geeft, in overleg met ondersteuningscoördinator <strong>en</strong> de m<strong>en</strong>tor in het onderdeel<br />
‘planning <strong>en</strong> organisatie’ van het handelingsplan aan, wie verantwoordelijk is <strong>vo</strong>or welk onderdeel<br />
van het plan Het plan geeft antwoord op vrag<strong>en</strong> als: Wie doet wat? Wanneer? Hoe int<strong>en</strong>sief?<br />
Wie doet wat?<br />
De rolverdeling binn<strong>en</strong> de begeleiding <strong>en</strong> ondersteuning staat beschrev<strong>en</strong> in hoofdstuk 14<br />
In sommige situaties kan in overleg met de ouders/verzorgers van de leerling nog extra begeleiding<br />
word<strong>en</strong> georganiseerd, zoals extra remedial teaching buit<strong>en</strong> de schoolur<strong>en</strong> of specifieke faalangsttraining<br />
Met het oog op de effectiviteit verdi<strong>en</strong>t het aanbeveling dit goed af te stemm<strong>en</strong> met<br />
wat al op school gebeurt<br />
Wanneer?<br />
De ondersteuningscoördinator plant in overleg met de rek<strong>en</strong>specialist <strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>leraar begeleidingsactiviteit<strong>en</strong><br />
<strong>vo</strong>or de kom<strong>en</strong>de lesperiode Aan het eind van elke lesperiode plant hij e<strong>en</strong> bije<strong>en</strong>komst<br />
<strong>vo</strong>or tuss<strong>en</strong>tijdse evaluatie Alle activiteit<strong>en</strong> staan overzichtelijk vermeld in het handelingsplan<br />
Hier staan ook de bij elke activiteit betrokk<strong>en</strong> person<strong>en</strong> g<strong>en</strong>oemd De geplande extra<br />
begeleiding door de rek<strong>en</strong>specialist wordt bij <strong>vo</strong>orkeur zo veel mogelijk binn<strong>en</strong> de schooltijd<strong>en</strong><br />
ingeroosterd<br />
De rek<strong>en</strong>specialist is verantwoordelijk <strong>vo</strong>or de inhoudelijke planning Hij plant concrete lesdoel<strong>en</strong><br />
bij de begeleidingsactiviteit<strong>en</strong> Hij overlegt met de rek<strong>en</strong>leraar om deze activiteit<strong>en</strong> af te stemm<strong>en</strong><br />
op de reguliere rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong> Daarnaast bespreekt hij de doel<strong>en</strong> <strong>en</strong> activiteit<strong>en</strong> met de betreff<strong>en</strong>de<br />
leerling
hoofdstuk 16 Begeleidingscategorie 2<br />
Hoe int<strong>en</strong>sief?<br />
Als vuistregel geldt dat leerling<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 2 per week minimaal één uur extra individuele<br />
begeleiding krijg<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>specialist Dit komt bov<strong>en</strong> op de reguliere rek<strong>en</strong>les<br />
door de rek<strong>en</strong>leraar Daarin biedt de rek<strong>en</strong>leraar deze leerling<strong>en</strong> extra ondersteuning bij het oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> geeft ev<strong>en</strong>tueel aanvull<strong>en</strong>de instructie in zijn rek<strong>en</strong>les<br />
16.8 Evaluatie van het individuele handelingsplan<br />
Onderdeel van de begeleiding zijn regelmatige <strong>en</strong> geplande evaluaties De nadruk op ‘geplande’ is<br />
om te <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> dat het evaluatiemom<strong>en</strong>t afhangt van toevallighed<strong>en</strong> of incid<strong>en</strong>t<strong>en</strong> Het is van<br />
belang nadrukkelijk ook de leerling in de evaluatie e<strong>en</strong> rol te gev<strong>en</strong> Bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> verdi<strong>en</strong>t het aanbeveling<br />
niet alle<strong>en</strong> naar toetsresultat<strong>en</strong> te kijk<strong>en</strong> bij de vraag of er <strong>vo</strong>oruitgang is, maar ook naar de<br />
totale ontwikkeling van de leerling Met het oog op de continuïteit is e<strong>en</strong> goede verslaglegging onontbeerlijk<br />
Na elke activiteit doet de rek<strong>en</strong>leraar of de m<strong>en</strong>tor kort verslag in het leerlingadministratiesysteem<br />
Hij geeft aan of het doel van de activiteit is bereikt <strong>en</strong> noteert ev<strong>en</strong>tuele opmerking<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> aandachtspunt<strong>en</strong> over de manier waarop het resultaat tot stand is gekom<strong>en</strong> <strong>en</strong> de emotie<br />
die dit bij de leerling heeft opgeroep<strong>en</strong><br />
215<br />
16.9 Ver<strong>vo</strong>lgstapp<strong>en</strong> na de begeleiding in categorie 2<br />
Als e<strong>en</strong> leerling zo aantoonbaar <strong>vo</strong>oruitgaat in begeleidingscategorie 2 dat de rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> niet<br />
meer ‘ernstig’ te noem<strong>en</strong> zijn, gaat hij terug naar begeleidingscategorie 1 <strong>en</strong> sluit hij aan bij de reguliere<br />
groep Bij aantoonbaar geringe of ge<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oruitgang na e<strong>en</strong> half jaar int<strong>en</strong>sieve begeleiding<br />
gaat de leerling naar categorie 3 Soms kan de school overweging<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> e<strong>en</strong> leerling nog <strong>en</strong>ige<br />
tijd in begeleidingscategorie 2 te handhav<strong>en</strong> Criterium is dan altijd dat de leerling hierdoor de<br />
optimale begeleiding gebod<strong>en</strong> kan word<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de stimulans krijgt om eig<strong>en</strong> doel<strong>en</strong> na te<br />
strev<strong>en</strong>
17 Begeleidingscategorie 3
Begeleiding in categorie 3 is <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> die ernstige <strong>en</strong> hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
ervar<strong>en</strong> of <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> met dyscalculie. Vanwege hun specifieke<br />
onderwijsbehoeft<strong>en</strong> krijg<strong>en</strong> zij structureel int<strong>en</strong>sieve begeleiding, pass<strong>en</strong>d bij<br />
e<strong>en</strong> daartoe opgesteld handelingsplan. Deze leerling<strong>en</strong> word<strong>en</strong> buit<strong>en</strong> de groep<br />
b egeleid door de rek<strong>en</strong>specialist <strong>en</strong> zo mogelijk binn<strong>en</strong> de groep door de rek<strong>en</strong>leraar.<br />
17
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
17.1 De leerling<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 3<br />
218<br />
Begeleidingscategorie 3 betreft de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de leerling<strong>en</strong>:<br />
1 Leerling<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring<br />
2 Leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> bij wie het vermoed<strong>en</strong> bestaat dat deze rek<strong>en</strong>problematiek<br />
hardnekkig is Zij kom<strong>en</strong> in aanmerking <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek, gericht<br />
op het vaststell<strong>en</strong> van dyscalculie (zie hoofdstuk 19) Dit onderzoek vindt bij <strong>vo</strong>orkeur niet<br />
later plaats dan in het tweede leerjaar Gedur<strong>en</strong>de het onderzoekstraject vall<strong>en</strong> zij al onder deze<br />
begeleidingscategorie 3<br />
3 Leerling<strong>en</strong> bij wie nauwelijks of ge<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oruitgang kan word<strong>en</strong> geconstateerd ondanks int<strong>en</strong>sieve<br />
begeleiding, maar die niet in aanmerking kom<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring Dit kan<br />
zijn omdat het leerling<strong>en</strong> zijn uit de bov<strong>en</strong>bouw Het kunn<strong>en</strong> ook leerling<strong>en</strong> zijn bij wie de<br />
hardnekkigheid on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de kan word<strong>en</strong> aangetoond Er kan ook uit het psychodiagnostisch<br />
onderzoek zijn gekom<strong>en</strong> dat sprake is van andere factor<strong>en</strong> waardoor de rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
stagneert<br />
De begeleiding in categorie 3 is beduid<strong>en</strong>d int<strong>en</strong>siever <strong>en</strong> iets anders opgezet dan in categorie 2<br />
De aanpak <strong>en</strong> de structuur van de begeleiding is <strong>vo</strong>or beide categorieën overe<strong>en</strong>komstig met wat<br />
in hoofdstuk 16 staat beschrev<strong>en</strong> In onderstaande tabel zett<strong>en</strong> wij de verschill<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> rij Verder<br />
gaan wij in dit hoofdstuk met name in op de verschill<strong>en</strong> t<strong>en</strong> opzichte van categorie 2<br />
Verschill<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> begeleidingscategorie 2 <strong>en</strong> 3<br />
Begeleidingscategorie 2 Begeleidingscategorie 3<br />
• leerling ervaart ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> • leerling ervaart ernstige <strong>en</strong> hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
(ev<strong>en</strong>tueel dyscalculie)<br />
• leerling heeft specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong> • leerling heeft zeer specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
• rek<strong>en</strong>specialist verricht diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek<br />
• handelingsadviez<strong>en</strong> met gerichte aandacht<br />
<strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong>problematiek <strong>en</strong> <strong>en</strong>ige aandacht <strong>vo</strong>or<br />
condities waaronder ler<strong>en</strong> succes<strong>vo</strong>l is (directe<br />
factor<strong>en</strong>)<br />
• rek<strong>en</strong>specialist <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>leraar stell<strong>en</strong> individueel<br />
handelingsplan op<br />
• leerdoel<strong>en</strong>, -inhoud<strong>en</strong>, -activiteit<strong>en</strong> op basis van<br />
diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek<br />
• diagnosticus verricht psychodiagnostisch onderzoek<br />
• handelingsadviez<strong>en</strong> met gerichte aandacht <strong>vo</strong>or<br />
condities waaronder ler<strong>en</strong> succes<strong>vo</strong>l is (ook<br />
indirecte factor<strong>en</strong>) <strong>en</strong> aandacht <strong>vo</strong>or specifieke<br />
rek<strong>en</strong>problematiek<br />
• rek<strong>en</strong>specialist <strong>en</strong> ondersteuningscoördinator<br />
stell<strong>en</strong> e<strong>en</strong> individueel handelingsplan op,<br />
aangevuld met handelingsadviez<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or in de<br />
klas, vanwege de condities die uit het onderzoek<br />
noodzakelijk zijn geblek<strong>en</strong><br />
• leerdoel<strong>en</strong>, -inhoud<strong>en</strong>, -activiteit<strong>en</strong> op basis van<br />
diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek én psychodiagnostisch<br />
onderzoek<br />
• begeleiding buit<strong>en</strong> <strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>les • begeleiding grot<strong>en</strong>deels buit<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>les, waar<br />
mogelijk ook activiteit<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>les<br />
• begeleiding is int<strong>en</strong>sief <strong>en</strong> specifiek, zo lang als<br />
nodig<br />
• doel is rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> overwinn<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>achterstand<strong>en</strong><br />
wegwerk<strong>en</strong>, reeds verworv<strong>en</strong><br />
inzicht<strong>en</strong>, k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong><br />
• begeleiding is zeer int<strong>en</strong>sief <strong>en</strong> specifiek, zo lang<br />
als nodig of zelfs blijv<strong>en</strong>d<br />
• doel is rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardigheid verder<br />
uitbreid<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> zoveel mogelijk<br />
overwinn<strong>en</strong>, al verworv<strong>en</strong> inzicht<strong>en</strong>, k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong><br />
vaardighed<strong>en</strong> onderhoud<strong>en</strong><br />
• doel is ook emotionele blokkades <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> • doel is ook emotionele blokkades <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> of<br />
verminder<strong>en</strong>
hoofdstuk 17 Begeleidingscategorie 3<br />
Verschill<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> begeleidingscategorie 2 <strong>en</strong> 3<br />
Begeleidingscategorie 2 Begeleidingscategorie 3<br />
• rek<strong>en</strong>specialist initieert de evaluatie van de<br />
begeleiding na e<strong>en</strong> half jaar<br />
• diagnosticus initieert de evaluatie van de begeleiding<br />
na e<strong>en</strong> half jaar<br />
• diagnosticus stelt vast of sprake is van dyscalculie<br />
<strong>en</strong> geeft ev<strong>en</strong>tueel e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring<br />
af. Dit onderzoek vindt bij <strong>vo</strong>orkeur niet later<br />
plaats dan in het tweede leerjaar<br />
Afbeelding 17.1 Verschill<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> begeleidingscategorie 2 <strong>en</strong> 3<br />
219<br />
17.2 Het belang van psychodiagnostisch onderzoek<br />
Het doel van de begeleiding in categorie 3 is de leerling optimaal kans<strong>en</strong> te bied<strong>en</strong> zijn rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis<br />
<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardigheid verder uit te breid<strong>en</strong> <strong>en</strong> zijn rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> zo veel mogelijk te overwinn<strong>en</strong><br />
Het uiteindelijke strev<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 3 blijft het bereik<strong>en</strong> van minimaal het refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau<br />
dat hoort bij de leerroute Het resultaat op de bijbehor<strong>en</strong>de c<strong>en</strong>trale rek<strong>en</strong>toets<strong>en</strong> is<br />
immers medebepal<strong>en</strong>d <strong>vo</strong>or het behal<strong>en</strong> van het diploma<br />
De afstemming in categorie 3 lukt alle<strong>en</strong> als duidelijk is wat de specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van<br />
de leerling zijn Naast e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek levert e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek<br />
daar<strong>vo</strong>or informatie op Dit onderzoek kan gericht zijn op het vaststell<strong>en</strong> van dyscalculie <strong>en</strong> vindt<br />
bij <strong>vo</strong>orkeur plaats <strong>vo</strong>or het einde van het tweede leerjaar Bij oudere leerling<strong>en</strong> is het niet goed<br />
mogelijk onderscheid te mak<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> de invloed van leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> <strong>en</strong> die van omgevingsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
als oorzaak van de rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> E<strong>en</strong> diagnose ‘dyscalculie’ in e<strong>en</strong> hoger leerjaar is<br />
daardoor niet meer valide E<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek kan in die hogere leerjar<strong>en</strong> wel<br />
zin<strong>vo</strong>lle informatie oplever<strong>en</strong> over de aanpak van de begeleiding<br />
In aanvulling op het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek, dat de actuele rek<strong>en</strong>inzicht<strong>en</strong> <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong><br />
van e<strong>en</strong> leerling in kaart br<strong>en</strong>gt, is het psychodiagnostisch onderzoek meer gericht op achtergrond<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> oorzak<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>problematiek (zie <strong>vo</strong>or <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong> paragraaf 173) Het onderzoek<br />
omvat veelal ook e<strong>en</strong> IQ-bepaling E<strong>en</strong> extra aandachtspunt bij zo’n onderzoek is comorbiditeit Dit<br />
is het vóórkom<strong>en</strong> van bij<strong>vo</strong>orbeeld dyslexie naast dyscalculie of dyscalculie naast faalangst Dit<br />
onderzoek wordt uitge<strong>vo</strong>erd door e<strong>en</strong> geregistreerd gedragswet<strong>en</strong>schapper in de rol van diagnosticus<br />
Het is van belang dat deze diagnosticus vertrouwd is met rek<strong>en</strong>onderwijs <strong>en</strong> met de huidige rek<strong>en</strong>didactiek<br />
Dat kan als hij zelf gespecialiseerd is in rek<strong>en</strong><strong>en</strong> of als hij gew<strong>en</strong>d is nauw sam<strong>en</strong> te<br />
werk<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>specialist Juist dan is het handelingsadvies vanuit e<strong>en</strong> psychodiagnostisch<br />
onderzoek handelingsgericht <strong>en</strong> toepasbaar in de schoolpraktijk<br />
Op basis van de resultat<strong>en</strong> van het onderzoek stelt de diagnosticus e<strong>en</strong> verslag op met relevante<br />
informatie <strong>vo</strong>or de begeleiding van de leerling Hij gaat in op algem<strong>en</strong>e <strong>en</strong> vakspecifieke leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> de condities die de ontwikkeling van het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> be<strong>vo</strong>rder<strong>en</strong> of belemmering<strong>en</strong><br />
teg<strong>en</strong>gaan Hij geeft richtlijn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or specifieke begeleiding <strong>en</strong> doel<strong>en</strong> die op lange termijn haalbaar<br />
lijk<strong>en</strong> Hij geeft aan welke leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> de kom<strong>en</strong>de periode aandacht vrag<strong>en</strong> Hij geeft<br />
handelingsadviez<strong>en</strong> die ingaan op de wijze waarop de school hieraan aandacht kan sch<strong>en</strong>k<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
17.3 Adviez<strong>en</strong> vanuit het psychodiagnostisch onderzoek<br />
220<br />
Bij vakoverstijg<strong>en</strong>de aspect<strong>en</strong> beschrijft de diagnosticus specifieke leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> die van invloed<br />
zijn op de totale ontwikkeling van de leerling De leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> die e<strong>en</strong> positieve invloed<br />
op het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> hebb<strong>en</strong>, bied<strong>en</strong> aanknopingspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or verdere ontwikkeling Daarom<br />
di<strong>en</strong><strong>en</strong> deze gestimuleerd te word<strong>en</strong> De leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> die e<strong>en</strong> negatieve invloed op de ontwikkeling<br />
kunn<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong>, vrag<strong>en</strong> juist om e<strong>en</strong> omzichtiger aanpak Het verslag kan dan aanbeveling<strong>en</strong><br />
do<strong>en</strong> die moet<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> dat de leerling in situaties komt waar deze k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> de<br />
overhand krijg<strong>en</strong> Daarnaast kan de diagnosticus aangev<strong>en</strong> hoe de leerling kan ler<strong>en</strong> omgaan met<br />
zulke situaties Hierbij kan m<strong>en</strong> d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> aan situaties waarin de leerling zich belemmerd <strong>vo</strong>elt om<br />
de geleerde aanpak van opdracht<strong>en</strong> uit te <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> vanwege de vergelijking met andere leerling<strong>en</strong> of<br />
de overtuiging van het eig<strong>en</strong> fal<strong>en</strong><br />
E<strong>en</strong> ander vakoverstijg<strong>en</strong>d leerlingk<strong>en</strong>merk is het werkgeheug<strong>en</strong> Bij het automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong><br />
van k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> speelt het werkgeheug<strong>en</strong> e<strong>en</strong> belangrijke rol Als uit het onderzoek<br />
problem<strong>en</strong> met het werkgeheug<strong>en</strong> naar <strong>vo</strong>r<strong>en</strong> zijn gekom<strong>en</strong> kan de diagnosticus in zijn verslag<br />
advies gev<strong>en</strong> hoe hiermee om te gaan Zo kan hij richtlijn<strong>en</strong> gev<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm van training,<br />
waarin zowel het ontlast<strong>en</strong> als juist het belast<strong>en</strong> van het werkgeheug<strong>en</strong> word<strong>en</strong> geoef<strong>en</strong>d Daarnaast<br />
zal e<strong>en</strong> diagnosticus in zo’n geval ook aangev<strong>en</strong> welke condities in de les de conc<strong>en</strong>tratie kunn<strong>en</strong><br />
be<strong>vo</strong>rder<strong>en</strong>, zoals bij<strong>vo</strong>orbeeld het beperk<strong>en</strong> van het aantal opgav<strong>en</strong> Verder zal e<strong>en</strong> diagnosticus<br />
aanbevel<strong>en</strong> om bij deze leerling<strong>en</strong> overbelasting van het werkgeheug<strong>en</strong> te <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> door de<br />
complexiteit van de opgav<strong>en</strong> te beperk<strong>en</strong> Dat kan bij<strong>vo</strong>orbeeld door tuss<strong>en</strong>stapp<strong>en</strong> aan te gev<strong>en</strong><br />
Als dit helpt, kan de complexiteit van opdracht<strong>en</strong> word<strong>en</strong> opge<strong>vo</strong>erd De mogelijkhed<strong>en</strong> om hierin<br />
te ontwikkel<strong>en</strong> zijn mede afhankelijk van de leerbaarheid van de leerling<br />
Het r<strong>en</strong>dem<strong>en</strong>t van oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> met het werkgeheug<strong>en</strong> wordt vergroot wanneer deze aandacht<br />
sch<strong>en</strong>k<strong>en</strong> aan het langetermijngeheug<strong>en</strong> Het gaat dan om oef<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> die bepaalde functies versterk<strong>en</strong>,<br />
zoals het opslaan van informatie <strong>en</strong> het ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s weer kunn<strong>en</strong> oproep<strong>en</strong> uit het langetermijngeheug<strong>en</strong><br />
Dit kan door het stimuler<strong>en</strong> van associatieve netwerk<strong>en</strong> Hierdoor leert de leerling<br />
informatie in sam<strong>en</strong>hang <strong>en</strong> geord<strong>en</strong>d op te slaan Dit vergemakkelijkt ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s het weer<br />
oproep<strong>en</strong> van informatie uit het geheug<strong>en</strong> De leraar zou kunn<strong>en</strong> start<strong>en</strong> met alle leerling<strong>en</strong> actief<br />
hun <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis te lat<strong>en</strong> ophal<strong>en</strong> (met e<strong>en</strong> vraag als Weet je nog...?) Hierdoor oef<strong>en</strong><strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> in<br />
geord<strong>en</strong>d terugzoek<strong>en</strong> in hun geheug<strong>en</strong> D<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> e<strong>en</strong> belangrijke schakel zijn in<br />
het bouw<strong>en</strong> van associatieve netwerk<strong>en</strong>, bij<strong>vo</strong>orbeeld het strookmodel bij het ler<strong>en</strong> van de sam<strong>en</strong>hang<br />
tuss<strong>en</strong> breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
Het gebruik van zulke modell<strong>en</strong> veronderstelt e<strong>en</strong> goed ontwikkeld visueel <strong>vo</strong>orstellingsvermog<strong>en</strong><br />
Als e<strong>en</strong> leerling daarin zwak is, kan hij wellicht moeilijker tot schematiser<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> D<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong><br />
drag<strong>en</strong> dan weinig bij aan het ontwikkel<strong>en</strong> van inzicht Het advies kan dan zijn om bij het oef<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
bewust gebruik te mak<strong>en</strong> van het Handelingsmodel Daarmee kan de koppeling tuss<strong>en</strong> verbaliser<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> visualiser<strong>en</strong> word<strong>en</strong> onderzocht <strong>en</strong> versterkt<br />
Het ontwikkel<strong>en</strong> van het strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> het nem<strong>en</strong> van beslissing<strong>en</strong> is bij het<br />
onderzoek meestal ook e<strong>en</strong> aandachtspunt Om leerling<strong>en</strong> daarvan bewust te mak<strong>en</strong> kan de diagnosticus<br />
aanbevel<strong>en</strong> om spell<strong>en</strong> in te zett<strong>en</strong> waarin het resultaat niet afhankelijk is van dobbelst<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
De leerling moet dan namelijk zelf beslissing<strong>en</strong> nem<strong>en</strong> <strong>en</strong> kan zich niet verschuil<strong>en</strong> achter<br />
‘het lot’ Voorbeeld<strong>en</strong> van zulke spell<strong>en</strong> zijn: damm<strong>en</strong>, schak<strong>en</strong>, Vier-op-e<strong>en</strong>-rij <strong>en</strong> allerlei goede<br />
computerspell<strong>en</strong> die het strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> be<strong>vo</strong>rder<strong>en</strong> Dergelijke computerspell<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> als<br />
bijkom<strong>en</strong>d <strong>vo</strong>ordeel dat ze de conc<strong>en</strong>tratie be<strong>vo</strong>rder<strong>en</strong>
hoofdstuk 17 Begeleidingscategorie 3<br />
De diagnosticus geeft ook advies met betrekking tot de meer algem<strong>en</strong>e compet<strong>en</strong>ties van de leerling<br />
Hierbij kan hij ook buit<strong>en</strong>schoolse activiteit<strong>en</strong> betrekk<strong>en</strong> in zijn advies, zoals deelnem<strong>en</strong> aan<br />
bepaalde sport<strong>en</strong><br />
Vakspecifieke aspect<strong>en</strong> betreff<strong>en</strong> informatie die direct het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> beïnvloedt De handelingsadviez<strong>en</strong><br />
hebb<strong>en</strong> betrekking op onder meer instructie, oef<strong>en</strong><strong>en</strong>, automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> memoriser<strong>en</strong><br />
van oplossingsprocedures <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>feit<strong>en</strong><br />
Deze vakspecifieke leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> zijn <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> groot deel al onderzocht door de rek<strong>en</strong>specialist<br />
tijd<strong>en</strong>s het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek De begeleiding in categorie 3 bouwt <strong>vo</strong>ort op het<br />
individuele handelingsplan <strong>vo</strong>or de leerling in categorie 2 In combinatie met de informatie vanuit<br />
het psychodiagnostische onderzoek, zoals bij<strong>vo</strong>orbeeld over het werkgeheug<strong>en</strong>, leid<strong>en</strong> al deze gegev<strong>en</strong>s<br />
tot e<strong>en</strong> onderwijsaanbod dat nog specifieker kan word<strong>en</strong> afgestemd op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
van de leerling<br />
221<br />
17.4 Het individuele handelingsplan<br />
De ondersteuning in de tweede lijn vertaalt het verslag van het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek <strong>en</strong> de<br />
handelingsadviez<strong>en</strong> vanuit het psychodiagnostisch onderzoek naar e<strong>en</strong> individueel handelingsplan<br />
<strong>vo</strong>or de leerling De rek<strong>en</strong>specialist neemt hierbij het <strong>vo</strong>ortouw <strong>en</strong> overlegt met de ondersteuningscoördinator<br />
<strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>leraar, <strong>en</strong> zo nodig met de diagnosticus Elk handelingsplan bevat ook<br />
<strong>vo</strong>or begeleidingscategorie 3 de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong>:<br />
• doel<strong>en</strong> op lange <strong>en</strong> korte termijn (waartoe?);<br />
• leerstofinhoud (wat?);<br />
• leeractiviteit<strong>en</strong> (hoe?);<br />
• uit<strong>vo</strong>ering (wanneer <strong>en</strong> door wie?);<br />
• evaluatie (doel<strong>en</strong> bereikt?)<br />
Deze compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong> zijn besprok<strong>en</strong> in hoofdstuk 16 De rek<strong>en</strong>specialist koppelt het handelingsadvies<br />
van de diagnosticus aan het al eerder opgestelde handelingsplan <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> vanuit begeleidingscategorie<br />
2 Alle overweging<strong>en</strong> word<strong>en</strong> opnieuw teg<strong>en</strong> het licht gehoud<strong>en</strong> op basis van de<br />
nieuwe handelingsadviez<strong>en</strong> Het bestaande plan wordt hiermee geactualiseerd of er wordt e<strong>en</strong><br />
nieuw plan opgesteld De leerdoel<strong>en</strong>, de leerstofinhoud<strong>en</strong> <strong>en</strong> de leeractiviteit<strong>en</strong> word<strong>en</strong> op maat<br />
gemaakt <strong>vo</strong>or deze leerling <strong>en</strong> met de leerling besprok<strong>en</strong><br />
17.5 Evaluatie van begeleidingscategorie 3<br />
E<strong>en</strong> leerling (in de eerste twee leerjar<strong>en</strong> <strong>vo</strong>) kan in begeleidingscategorie 3 zijn geplaatst in afwachting<br />
van e<strong>en</strong> mogelijke diagnose ‘dyscalculie’ Na e<strong>en</strong> half jaar vindt op initiatief van de diagnosticus<br />
de evaluatie plaats De vraag is dan of er in dat half jaar sprake blijkt te zijn van ‘hardnekkigheid’<br />
van de ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> De diagnose ‘dyscalculie’ kan alle<strong>en</strong> word<strong>en</strong> gesteld als<br />
duidelijk blijkt dat de afstemming op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> optimaal was, maar dat er desondanks<br />
niet of nauwelijks <strong>vo</strong>oruitgang heeft plaatsge<strong>vo</strong>nd<strong>en</strong>, <strong>en</strong> dat er ge<strong>en</strong> andere aantoonbare<br />
oorzak<strong>en</strong> zijn aan te wijz<strong>en</strong><br />
Is e<strong>en</strong> leerling (ook) met andere aandachtspunt<strong>en</strong> in categorie 3 geplaatst, dan zal ook daarover<br />
evaluatie plaatsvind<strong>en</strong> Dan is de vraag of de <strong>vo</strong>oruitgang groot g<strong>en</strong>oeg is om te mog<strong>en</strong> verwacht<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
dat <strong>vo</strong>ortzetting van de begeleiding binn<strong>en</strong> categorie 2 <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de ontwikkelingsperspectief biedt<br />
In dit geval gaat de begeleiding verder vanuit categorie 2 In alle andere gevall<strong>en</strong> zal de structurele<br />
<strong>en</strong> int<strong>en</strong>sieve begeleiding in categorie 3 word<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ortgezet, al dan niet met e<strong>en</strong> bijgesteld handelingsplan<br />
Dit is afhankelijk van de uitkomst van de evaluatie<br />
17.6 Ver<strong>vo</strong>lgactiviteit<strong>en</strong><br />
222<br />
E<strong>en</strong> leerling die in begeleidingscategorie 3 blijft, krijgt structurele int<strong>en</strong>sieve individuele begeleiding<br />
gedur<strong>en</strong>de zijn hele verdere schoolloopbaan in het <strong>vo</strong> De rek<strong>en</strong>specialist, de rek<strong>en</strong>leraar, de<br />
ondersteuningscoördinator <strong>en</strong> de m<strong>en</strong>tor <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> de ontwikkeling van de leerling Zij zull<strong>en</strong> blijv<strong>en</strong><br />
zoek<strong>en</strong> naar ingang<strong>en</strong> die de betreff<strong>en</strong>de leerling<strong>en</strong> in staat stell<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oruitgang te boek<strong>en</strong>, misschi<strong>en</strong><br />
slechts op bepaalde deelgebied<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Hierbij moet met name word<strong>en</strong> gedacht aan<br />
het inzett<strong>en</strong> van andere vakk<strong>en</strong> als context <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> E<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de leerling interessant vak of<br />
e<strong>en</strong> vak dat hoort bij zijn geambieerde beroepsperspectief kan context<strong>en</strong> lever<strong>en</strong> waarbij hij zich<br />
m<strong>en</strong>tale <strong>vo</strong>orstelling<strong>en</strong> kan mak<strong>en</strong> Dat kan help<strong>en</strong> getall<strong>en</strong> e<strong>en</strong> herk<strong>en</strong>bare betek<strong>en</strong>is te gev<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> motiver<strong>en</strong> om zich extra in te spann<strong>en</strong>
Deel 5<br />
Onderzoek<br />
18 Diagnostiek in begeleidingscategorie 2 (diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek)<br />
19 Diagnostiek in begeleidingscategorie 3 (psychodiagnostisch onderzoek)
18 Diagnostiek in<br />
begeleidingscategorie 2<br />
(diagnostisch<br />
rek<strong>en</strong>onderzoek)
18<br />
Het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek vindt plaats bij e<strong>en</strong> leerling bij wie het<br />
v ermoed<strong>en</strong> bestaat van ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>. Dit onderzoek is b edoeld om<br />
het ‘repertoire’ (inzicht, k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> op het g ebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong>) van<br />
de leerling in kaart te br<strong>en</strong>g<strong>en</strong>. De onderzoeksvraag, met daarbij specifieke aandachtspunt<strong>en</strong>,<br />
stemt de onderzoeker af op het veronderstelde niveau van de leerling.<br />
De kwaliteit van het onderzoek neemt toe naarmate de onderzoeker meer<br />
verfijnde k<strong>en</strong>nis heeft van leerstoflijn<strong>en</strong> <strong>en</strong> van didactiek. Belangrijk is daarbij dat<br />
de onderzoeker op<strong>en</strong>staat <strong>vo</strong>or <strong>en</strong> nieuwsgierig is naar de eig<strong>en</strong> oplossingsvariant<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> de (s ubjectieve) concept<strong>en</strong> van de leerling, ook al zijn die niet of maar t<strong>en</strong><br />
dele correct.
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
18.1 Welke leerling komt in aanmerking?<br />
E<strong>en</strong> leerling komt in aanmerking <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek zodra hij doorverwez<strong>en</strong><br />
is van begeleidingscategorie 1 naar begeleidingscategorie 2 De afstemming van het onderwijsaanbod<br />
op zijn onderwijsbehoeft<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 1 heeft niet het gew<strong>en</strong>ste effect gehad op<br />
zijn rek<strong>en</strong>ontwikkeling Bij deze leerling bestaat het vermoed<strong>en</strong> van ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
226<br />
De begeleiding in categorie 2 start met e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek De school br<strong>en</strong>gt de<br />
ouders/verzorgers van de leerling <strong>en</strong> natuurlijk ook de leerling op de hoogte van dit rek<strong>en</strong>onderzoek<br />
Het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek wordt uitge<strong>vo</strong>erd door de rek<strong>en</strong>specialist in de rol van<br />
onderzoeker In dit hoofdstuk sprek<strong>en</strong> wij verder van ‘de onderzoeker’ <strong>en</strong> van ‘het rek<strong>en</strong>onderzoek’<br />
18.2 E<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>onderzoek<br />
Het rek<strong>en</strong>onderzoek is e<strong>en</strong> onderzoek naar het repertoire van de leerling op het gebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong>:<br />
welke inzicht<strong>en</strong>, k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> heeft hij inmiddels <strong>en</strong> waar ligg<strong>en</strong> de gr<strong>en</strong>z<strong>en</strong> daarvan?<br />
E<strong>en</strong> diagnostisch gesprek met de leerling <strong>vo</strong>rmt de kern van het onderzoek Soms zijn meerdere<br />
gesprekk<strong>en</strong> met de leerling nodig om dat repertoire in kaart te br<strong>en</strong>g<strong>en</strong> E<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>onderzoek<br />
is per definitie niet gestandaardiseerd, maar adaptief, inspel<strong>en</strong>d op wat de leerling weet, doet <strong>en</strong><br />
zegt<br />
De onderzoeker <strong>vo</strong>ert dit gesprek wel in e<strong>en</strong> min of meer formele setting <strong>en</strong> niet ‘ev<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong>door’<br />
Het resultaat heeft immers onmiddellijke consequ<strong>en</strong>ties <strong>vo</strong>or de inrichting van het onderwijs<br />
E<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>onderzoek wordt uitge<strong>vo</strong>erd als er e<strong>en</strong> duidelijke hulpvraag aan de orde is Deze kan zich<br />
<strong>vo</strong>ordo<strong>en</strong> als e<strong>en</strong> of meer van de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de situaties zijn ontstaan De leerling:<br />
• maakt on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> in begeleidingscategorie 1, wat blijkt uit onder andere observatie-<br />
<strong>en</strong> toetsresultat<strong>en</strong>;<br />
• profiteert on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de van het gebod<strong>en</strong> onderwijs;<br />
• blijft achter t<strong>en</strong> opzichte van het (refer<strong>en</strong>tie)niveau dat van de leerling mag word<strong>en</strong> verwacht;<br />
• is weinig actief met rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, <strong>vo</strong>elt zich weinig compet<strong>en</strong>t;<br />
• reageert faalangstig of blokkeert tijd<strong>en</strong>s de rek<strong>en</strong>les of rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> bij andere vakk<strong>en</strong><br />
Tijd<strong>en</strong>s het rek<strong>en</strong>onderzoek gaat hij ook na welke directe invloed specifieke omgevingsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
(zoals de onderwijsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> <strong>en</strong> de thuis- <strong>en</strong> op<strong>vo</strong>edingssituatie) hebb<strong>en</strong> <strong>en</strong> welke leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
zijn leerproces beïnvloed<strong>en</strong> De onderzoeker interpreteert <strong>en</strong> bespreekt de resultat<strong>en</strong><br />
van het onderzoek met de leerling, zijn ouders/verzorgers, de m<strong>en</strong>tor <strong>en</strong> de ondersteuningscoördinator<br />
Er kunn<strong>en</strong> hulpvrag<strong>en</strong> ter tafel kom<strong>en</strong> die de compet<strong>en</strong>tie <strong>en</strong>/of be<strong>vo</strong>egdheid van de onderzoeker<br />
te bov<strong>en</strong> gaat In dit geval wordt de leerling doorverwez<strong>en</strong> naar begeleidingscategorie 3 (zie hoofdstuk<br />
19)
hoofdstuk 18 Diagnostiek in begeleidingscategorie 2<br />
18.3 K<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de diagnostiek bij het rek<strong>en</strong>onderzoek<br />
Wij sprek<strong>en</strong> van diagnostiek als het gaat om:<br />
• e<strong>en</strong> geplande interv<strong>en</strong>tie,<br />
• met e<strong>en</strong> duidelijke vraagstelling,<br />
• in e<strong>en</strong> systematisch gesprek met de leerling,<br />
• waarbij geldt dat e<strong>en</strong> interpretatie pas waar is als de leerling het heeft lat<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> of heeft verteld,<br />
• aan de hand van e<strong>en</strong> weloverwog<strong>en</strong> selectie van rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
• met de bedoeling beter te begrijp<strong>en</strong> hoe de leerling d<strong>en</strong>kt <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>t<br />
227<br />
De diagnostiek bij het rek<strong>en</strong>onderzoek vereist dat zij wordt uitge<strong>vo</strong>erd door e<strong>en</strong> onderzoeker met<br />
ervaring in het <strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van diagnostische gesprekk<strong>en</strong> Hij heeft zowel pedagogische als rek<strong>en</strong>didactische<br />
k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> Dit betek<strong>en</strong>t dat hij:<br />
• in staat is e<strong>en</strong> onderzoekssituatie te creër<strong>en</strong> waarin vertrouw<strong>en</strong>, veiligheid <strong>en</strong> gelijkwaardigheid<br />
ge<strong>vo</strong>eld word<strong>en</strong>;<br />
• vakdidactisch <strong>en</strong> vakinhoudelijk flexibel met de rek<strong>en</strong>stof kan omgaan Dit blijkt uit:<br />
- zijn k<strong>en</strong>nis van de ontwikkelingslijn<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong>;<br />
- zijn techniek van vrag<strong>en</strong> stell<strong>en</strong>;<br />
- vakoverstijg<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis van de vier Hoofdlijn<strong>en</strong> van het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (zie deel 2);<br />
- de souplesse waarmee hij vanuit deze k<strong>en</strong>nis inspeelt op wat de leerling zegt of doet;<br />
- de manier waarop hij de niveaus van handel<strong>en</strong> uit het Handelingsmodel hanteert (zie deel 3);<br />
- de techniek van vrag<strong>en</strong> stell<strong>en</strong> die hoort bij de stapp<strong>en</strong> van het Drieslagmodel <strong>vo</strong>or<br />
probleem oploss<strong>en</strong>d handel<strong>en</strong> (zie deel 3);<br />
- de prev<strong>en</strong>tieve maatregel<strong>en</strong> die hij neemt <strong>en</strong> de interv<strong>en</strong>ties die hij toepast;<br />
• (naar inhoud <strong>en</strong> handelingsniveau) pass<strong>en</strong>de opdracht<strong>en</strong> kan selecter<strong>en</strong> <strong>en</strong>/of formuler<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or<br />
het onderzoek van juist deze leerling;<br />
• leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> kan waarnem<strong>en</strong>, analyser<strong>en</strong> <strong>en</strong> beïnvloed<strong>en</strong>;<br />
• op omgevingsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> kan inspel<strong>en</strong>;<br />
• professionele afstand weet te bewar<strong>en</strong> <strong>en</strong> zich niet laat leid<strong>en</strong> door eig<strong>en</strong> emoties t<strong>en</strong> opzichte<br />
van de leerling<br />
De onderzoeker werkt <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s het model van handelingsgerichte diagnostiek (HGD) (Pameijer &<br />
Van Beukering, 2004)<br />
k ERn<br />
K<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van HGD<br />
Het praktijkmodel handelingsgerichte diagnostiek (HGD) beschrijft e<strong>en</strong> systematisch<br />
proces van besluit<strong>vo</strong>rming. De diagnosticus onderk<strong>en</strong>t <strong>en</strong> analyseert onderwijsleerproblem<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> zoekt naar mogelijke verklaring<strong>en</strong>. HGD richt zich op relevante factor<strong>en</strong> van<br />
de leerling, de onderwijsleer- <strong>en</strong> op<strong>vo</strong>edingssituatie die hetzij risico’s oplever<strong>en</strong>, hetzij<br />
juist bescherm<strong>en</strong> teg<strong>en</strong> risico’s. HGD start bij de hulpvraag van de school, de ouders/<br />
verzorgers <strong>en</strong> de leerling. De diagnosticus werkt doelgericht sam<strong>en</strong> met de school, de<br />
ouders/verzorgers <strong>en</strong> de leerling. HGD resulteert in e<strong>en</strong> verantwoord <strong>en</strong> bruikbaar advies.<br />
De advisering is afgestemd op optimale ontwikkelingskans<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de leerling.
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
k ERn<br />
Uitgangspunt<strong>en</strong>:<br />
• HGD verloopt <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s systematische procedures;<br />
• HGD is gericht op advisering;<br />
• HGD hanteert e<strong>en</strong> transactioneel 1 d<strong>en</strong>kkader;<br />
• HGD acht sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong> met school, ouders/verzorgers <strong>en</strong> leerling cruciaal;<br />
• HGD besteedt aandacht aan positieve k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong>.<br />
228<br />
HGD verloopt systematisch (ev<strong>en</strong>tueel cyclisch) in fas<strong>en</strong>:<br />
1 intake;<br />
2 strategie;<br />
3 onderzoek;<br />
4 indicering;<br />
5 advisering.<br />
Vrij naar Pameijer <strong>en</strong> Van Beukering (2004).<br />
Met de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de onderzoekstechniek<strong>en</strong> (zie Van Eerde, 1996) gaat de onderzoeker de uit<strong>vo</strong>ering<br />
van tak<strong>en</strong> na: 1<br />
• Observer<strong>en</strong> De onderzoeker let op zowel verbale als non-verbale aanwijzing<strong>en</strong> Welke rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong><br />
(her)k<strong>en</strong>t de leerling mete<strong>en</strong>? Zijn er aanwijzing<strong>en</strong> dat hij nog snelle tuss<strong>en</strong>stapp<strong>en</strong><br />
maakt? Zijn er signal<strong>en</strong> van (snel) tell<strong>en</strong>?<br />
• Doorvrag<strong>en</strong> De onderzoeker gaat niet alle<strong>en</strong> af op één <strong>vo</strong>orbeeld rek<strong>en</strong>opdracht, maar checkt of<br />
er sprake is van e<strong>en</strong> systematische aanpak of d<strong>en</strong>kwijze Welke basisautomatism<strong>en</strong> begrijpt <strong>en</strong><br />
beheerst de leerling?<br />
• Structurer<strong>en</strong> van de opgav<strong>en</strong> De onderzoeker helpt door tuss<strong>en</strong>stapp<strong>en</strong> te bied<strong>en</strong> <strong>en</strong> daarmee<br />
het werkgeheug<strong>en</strong> te ondersteun<strong>en</strong> (lat<strong>en</strong> noter<strong>en</strong> van tuss<strong>en</strong>antwoord<strong>en</strong>), de opdracht pass<strong>en</strong>d<br />
af te beeld<strong>en</strong> (lat<strong>en</strong> tek<strong>en</strong><strong>en</strong>) <strong>en</strong> het aanreik<strong>en</strong> <strong>en</strong> lat<strong>en</strong> uitprober<strong>en</strong> van pass<strong>en</strong>de oplossingsprocedures<br />
• Variër<strong>en</strong> van de opgav<strong>en</strong> (<strong>vo</strong>rm <strong>en</strong> handelingsniveau) <strong>en</strong> onderzoek<strong>en</strong> van de <strong>vo</strong>orgaande stap. Als de<br />
leerling de opdracht<strong>en</strong> niet goed uit<strong>vo</strong>ert, gaat de onderzoeker na op welk niveau de leerling de<br />
opdracht wel kan oploss<strong>en</strong>, of hij begrijpt wat hij doet <strong>en</strong> of hij de formele notatie begrijpt De<br />
onderzoeker varieert met behulp van de niveaus uit het Handelings model<br />
• Spiegel<strong>en</strong>. Als de leerling niet of moeizaam kan vertell<strong>en</strong> wat hij doet, verwoordt de onderzoeker<br />
de handeling<strong>en</strong> die hij heeft gezi<strong>en</strong> bij de leerling Door de taal van de leerling te sprek<strong>en</strong> <strong>en</strong> te<br />
herhal<strong>en</strong> wat de leerling zegt, kan de onderzoeker de leerling bewust mak<strong>en</strong> van de huidige <strong>en</strong><br />
gew<strong>en</strong>ste aanpak<br />
De onderzoeker werkt aan de hand van de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de stapp<strong>en</strong>, waarbij het uitgangspunt is dat de<br />
leerling zich bevindt in begeleidingscategorie 2:<br />
• Hij <strong>vo</strong>rmt zich e<strong>en</strong> duidelijk beeld van de hulpvrag<strong>en</strong> van de leerling<br />
• Hij <strong>vo</strong>rmt zich e<strong>en</strong> beeld van de rek<strong>en</strong>ontwikkeling, de rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> van de<br />
leerling<br />
1 In de transactionele b<strong>en</strong>adering staat de wisselwerking tuss<strong>en</strong> de leerling <strong>en</strong> zijn omgeving c<strong>en</strong>traal, waarbij de<br />
leerling <strong>en</strong> omgeving verander<strong>en</strong> als ge<strong>vo</strong>lg van de interactie (handeling<strong>en</strong> die in e<strong>en</strong> spiraal van actie <strong>en</strong> reactie<br />
op elkaar <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>).
hoofdstuk 18 Diagnostiek in begeleidingscategorie 2<br />
• Hij formuleert sam<strong>en</strong> met de leerling het doel van het onderzoek <strong>en</strong> de onderzoeksvraag Hij<br />
bespreekt deze met de rek<strong>en</strong>leraar (omdat deze bij de uit<strong>vo</strong>ering van de begeleiding is betrokk<strong>en</strong>),<br />
de ondersteuningscoördinator <strong>en</strong> de ouders/verzorgers van de leerling<br />
• Hij sluit aan bij de rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> die de leerling al beheerst De onderzoeker<br />
richt zich primair op wat de leerling al kan Hij maakt hierbij gebruik van de vier Hoofdlijn<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> van zijn k<strong>en</strong>nis over leerstoflijn<strong>en</strong><br />
• Hij <strong>vo</strong>ert het onderzoek uit in de <strong>vo</strong>rm van e<strong>en</strong> diagnostisch gesprek met de leerling De onderzoeker<br />
zorgt dat hij zich verplaatst in het d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> van de leerling Hij ‘kruipt in de<br />
huid van de leerling’, maar interpreteert niet zonder check bij de leerling<br />
• Hij probeert uit tot hoever de leerling kan kom<strong>en</strong> Daarbij maakt de onderzoeker gebruik van<br />
de verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus<br />
• Hij onderzoekt het gehele proces van het oploss<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>opdracht aan de hand van de<br />
drie stapp<strong>en</strong> van het Drieslagmodel: plann<strong>en</strong>, uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> reflecter<strong>en</strong><br />
• Hij beschrijft welke leerling- <strong>en</strong> omgevingsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> in de loop van het onderzoek duidelijk<br />
zijn geword<strong>en</strong><br />
• Hij trekt conclusies die antwoord gev<strong>en</strong> op de onderzoeksvraag<br />
• Hij geeft onder meer pass<strong>en</strong>de <strong>en</strong> haalbare handelingsadviez<strong>en</strong> op basis van de conclusies <strong>en</strong><br />
ervaring<strong>en</strong> vanuit het onderzoek<br />
• Hij legt de bevinding<strong>en</strong> <strong>en</strong> adviez<strong>en</strong> vast in e<strong>en</strong> verslag<br />
• Hij bespreekt dit met de leerling, de ouders/verzorgers van de leerling, de rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> de<br />
ondersteuningscoördinator<br />
229<br />
In de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de paragraf<strong>en</strong> wordt e<strong>en</strong> aantal van deze stapp<strong>en</strong> verder toegelicht<br />
18.4 Doel van het rek<strong>en</strong>onderzoek <strong>en</strong> de onderzoeksvraag<br />
De onderzoeker begint met ‘inlez<strong>en</strong>’ om zich e<strong>en</strong> beeld te <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van<br />
de leerling Hij analyseert opgeleverd werk van de leerling, gegev<strong>en</strong>s uit observaties in korte rek<strong>en</strong>gesprekk<strong>en</strong><br />
in de klas, bevinding<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s leerlingbespreking<strong>en</strong> <strong>en</strong> informatie over het werk<strong>en</strong> in<br />
de verschill<strong>en</strong>de vakk<strong>en</strong> In zijn analyse betrekt hij de hulpvrag<strong>en</strong> die lev<strong>en</strong> bij alle betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Dit zijn de rek<strong>en</strong>leraar, de vaklerar<strong>en</strong>, hijzelf als onderzoeker, de leerling <strong>en</strong>/of zijn ouders/verzorgers<br />
Ook analyseert hij de informatie van de <strong>vo</strong>ortgangstoets<strong>en</strong> <strong>en</strong> gegev<strong>en</strong>s uit het (digitale) leerlingdossier,<br />
waaronder ervaring<strong>en</strong> met eerdere hulp<br />
Door zijn analyse heeft de onderzoeker zich e<strong>en</strong> beeld ge<strong>vo</strong>rmd van wat de leerling kan <strong>en</strong> waar het<br />
vastloopt Hij heeft dit inzicht nodig om het diagnostisch gesprek <strong>vo</strong>or te bereid<strong>en</strong> <strong>en</strong> te bepal<strong>en</strong><br />
wat pass<strong>en</strong>de opdracht<strong>en</strong> op verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus zoud<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> zijn De onderzoeker<br />
bespreekt met de leerling het doel van het onderzoek <strong>en</strong> formuleert e<strong>en</strong> onderzoeksvraag De<br />
vier Hoofdlijn<strong>en</strong> (deel 2) kunn<strong>en</strong> als handvat di<strong>en</strong><strong>en</strong> om de onderzoeksvraag te formuler<strong>en</strong><br />
De onderzoeker bespreekt het doel van het rek<strong>en</strong>onderzoek <strong>en</strong> de onderzoeksvraag met de m<strong>en</strong>tor,<br />
de ondersteuningscoördinator, de leerling zelf <strong>en</strong> zijn ouders/verzorgers
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
18.5 Inhoud van het rek<strong>en</strong>onderzoek<br />
Ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s stelt de onderzoeker op basis van de onderzoeksvraag e<strong>en</strong> set rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> sam<strong>en</strong><br />
Hier<strong>vo</strong>or gebruikt hij opdracht<strong>en</strong> uit de rek<strong>en</strong>methode (van de school) of juist uit ander materiaal<br />
Zo nodig maakt de onderzoeker de opdracht<strong>en</strong> zelf In zijn selectie kom<strong>en</strong> altijd de domein<strong>en</strong> getall<strong>en</strong>,<br />
verhouding<strong>en</strong>, met<strong>en</strong> <strong>en</strong> meetkunde (metriek stelsel <strong>en</strong> klokkijk<strong>en</strong>) <strong>vo</strong>or De onderzoeker<br />
houdt bij zijn selectie rek<strong>en</strong>ing met de verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus<br />
230<br />
Afhankelijk van de beschikbare tijd kiest de onderzoeker <strong>vo</strong>or <strong>en</strong>kele specifieke opdracht<strong>en</strong>, afgestemd<br />
op het veronderstelde niveau van de leerling Het is aan te bevel<strong>en</strong> e<strong>en</strong> diagnostisch gesprek<br />
nooit langer dan e<strong>en</strong> uur te lat<strong>en</strong> dur<strong>en</strong> Is meer tijd nodig, dan moet<strong>en</strong> meer zitting<strong>en</strong> word<strong>en</strong><br />
gepland<br />
De onderzoeker zorgt er<strong>vo</strong>or dat e<strong>en</strong> deel van de rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> pass<strong>en</strong> bij het rek<strong>en</strong>niveau van<br />
de leerling, zoals dat uit het dossieronderzoek <strong>en</strong> de hulpvraag blijkt E<strong>en</strong> ander deel maakt hij iets<br />
moeilijker, zodat dit aansluit bij de zone van de naaste ontwikkeling van de leerling Aan de hand<br />
van deze opdracht<strong>en</strong> kan de leerling goed lat<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> wat hij al zelf kan <strong>en</strong> wat hij kan met wat hulp<br />
Dit laatste is dan de stof waaraan hij toe is Het is van belang dat de onderzoeker hier<strong>vo</strong>or geschikte<br />
opdracht<strong>en</strong> kiest Opdracht<strong>en</strong> die te moeilijk zijn, lever<strong>en</strong> te weinig informatie over rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op<br />
<strong>en</strong> veroorzak<strong>en</strong> wel ongew<strong>en</strong>ste bijeffect<strong>en</strong> Overvrag<strong>en</strong> leidt al snel tot gebrek aan conc<strong>en</strong>tratie,<br />
e<strong>en</strong> overbelast werkgeheug<strong>en</strong> <strong>en</strong> afnem<strong>en</strong>de motivatie<br />
De onderzoeker selecteert zowel formele opdracht<strong>en</strong> (somm<strong>en</strong>) als functionele opdracht<strong>en</strong> (context<strong>en</strong>)<br />
Met de formele opdracht<strong>en</strong> kan hij onderzoek<strong>en</strong> in hoeverre er in de verschill<strong>en</strong>de domein<strong>en</strong><br />
sprake is van ‘vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong>’ (Hoofdlijn 3) Hierdoor kan hij e<strong>en</strong> beeld krijg<strong>en</strong> van de mate<br />
waarin de leerling oplossingsprocedures k<strong>en</strong>t <strong>en</strong> begrijpt <strong>en</strong> deze flexibel kan toepass<strong>en</strong> Ook de<br />
onderligg<strong>en</strong>de concept<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> zo aan het licht<br />
De functionele opdracht<strong>en</strong> lever<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oral e<strong>en</strong> beeld op van het probleemoploss<strong>en</strong>d handel<strong>en</strong> De<br />
onderzoeker gaat na hoe de leerling de drie stapp<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het probleemoploss<strong>en</strong>d handel<strong>en</strong> (<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s<br />
het Drieslagmodel) aanpakt<br />
18.6 Pedagogische aspect<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> diagnostisch gesprek<br />
De start <strong>en</strong> de afsluiting van het gesprek do<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oral e<strong>en</strong> beroep op de pedagogische compet<strong>en</strong>ties<br />
van de onderzoeker<br />
De onderzoeker probeert e<strong>en</strong> sfeer te creër<strong>en</strong> waarin de leerling <strong>en</strong> hijzelf zich bereid verklar<strong>en</strong><br />
e<strong>en</strong> op<strong>en</strong> gesprek met elkaar aan te gaan Binn<strong>en</strong> de (formele) setting van e<strong>en</strong> diagnostisch gesprek<br />
is ge<strong>en</strong> sprake van gelijkwaardigheid tuss<strong>en</strong> leerling <strong>en</strong> onderzoeker Toch is het van belang dat er<br />
e<strong>en</strong> op<strong>en</strong> sfeer ontstaat, waardoor de leerling ‘zich laat zi<strong>en</strong>’ Het moet de leerling vanaf de start (<strong>en</strong><br />
eig<strong>en</strong>lijk al daar<strong>vo</strong>or) duidelijk zijn dat het ge<strong>en</strong> toets is Antwoord<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> niet ‘fout’ zijn, als ze<br />
maar echt weergev<strong>en</strong> hoe de leerling d<strong>en</strong>kt <strong>en</strong> handelt Dat vergt deskundig geregisseerde interactie<br />
Dit begint al bij de start van het gesprek De onderzoeker herinnert aan de bedoeling van <strong>en</strong> de<br />
aanleiding tot dit gesprek <strong>en</strong> hij vraagt hoe de leerling hierover d<strong>en</strong>kt Hij formuleert met de leerling<br />
de verwachting<strong>en</strong> <strong>en</strong> de doel<strong>en</strong> van het gesprek
hoofdstuk 18 Diagnostiek in begeleidingscategorie 2<br />
De onderzoeker is bekwaam om de leerling op zijn gemak te stell<strong>en</strong> <strong>en</strong> het gesprek zodanig te<br />
stur<strong>en</strong> dat de doelstelling bereikt kan word<strong>en</strong> Hij zorgt <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> sfeer van veiligheid <strong>en</strong> vertrouw<strong>en</strong><br />
tijd<strong>en</strong>s het gesprek, zodat de leerling zich betrokk<strong>en</strong> kan <strong>vo</strong>el<strong>en</strong> Hij zorgt <strong>vo</strong>or emotionele<br />
ondersteuning in het contact met de leerling Hij toont zichzelf ook betrokk<strong>en</strong> <strong>en</strong> nieuwsgierig<br />
naar de antwoord<strong>en</strong>, maar bewaart tegelijk professionele afstand Hij is zich bewust van mogelijke<br />
emoties <strong>en</strong> (<strong>vo</strong>or)oordel<strong>en</strong> die de leerling bij hem kan oproep<strong>en</strong> <strong>en</strong> probeert zich niet daardoor te<br />
lat<strong>en</strong> leid<strong>en</strong><br />
Door zijn vraagstelling nodigt de onderzoeker de leerling uit actief te zijn in het onderzoek <strong>en</strong><br />
initiatief te ton<strong>en</strong> De leerling neemt de onderzoeker als het ware mee in de eig<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>wereld De<br />
onderzoeker leeft zich in in het d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> van de leerling Dit vraagt e<strong>en</strong> neutrale houding<br />
t<strong>en</strong> aanzi<strong>en</strong> van de werkwijze van de leerling Hij vermijdt reacties over goed of fout, <strong>en</strong> prijst<br />
de leerling als die zijn d<strong>en</strong>kwijze duidelijk weet te mak<strong>en</strong> Hij beschikt over e<strong>en</strong> gevarieerd repertoire<br />
aan interv<strong>en</strong>ties waarmee hij reacties van de leerling kan uitlokk<strong>en</strong> die duidelijk mak<strong>en</strong> hoe<br />
de leerling d<strong>en</strong>kt <strong>en</strong> handelt<br />
231<br />
De onderzoeker probeert de op<strong>en</strong> sfeer van (diagnostische) interactie te behoud<strong>en</strong> tot het einde van<br />
het gesprek Hij sluit af door e<strong>en</strong> terugblik sam<strong>en</strong> met de leerling Sam<strong>en</strong> staan ze stil bij het proces:<br />
Lukte het mij om met jou mee te d<strong>en</strong>k<strong>en</strong>? Hij b<strong>en</strong>oemt ook de opbr<strong>en</strong>gst: Hebb<strong>en</strong> we bereikt wat<br />
we wild<strong>en</strong> bereik<strong>en</strong>? Is nu duidelijk geword<strong>en</strong> hoe jij d<strong>en</strong>kt <strong>en</strong> doet als je rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> hebt? Hij gaat<br />
in op de succeservaring<strong>en</strong> <strong>en</strong> geeft de leerling feedback op zijn rol in het gesprek T<strong>en</strong> slotte vertelt<br />
hij wat hij met de uitkomst<strong>en</strong> gaat do<strong>en</strong> <strong>en</strong> hoe het nu verder gaat met rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Tijd<strong>en</strong>s het gesprek neemt de onderzoeker allerlei k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> waar van het gedrag dat <strong>vo</strong>or de<br />
leerling ‘gewoon’ is Datzelfde geldt <strong>vo</strong>or k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de schoolomgeving <strong>en</strong> de leefwereld van<br />
de leerling Al deze, dikwijls impliciete informatie, accepteert de onderzoeker als e<strong>en</strong> gegev<strong>en</strong><br />
Dergelijke k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> be<strong>vo</strong>rder<strong>en</strong> of juist belemmer<strong>en</strong><br />
De onderzoeker zal positieve k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> b<strong>en</strong>utt<strong>en</strong> bij zijn handelingsadvies K<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> die <strong>vo</strong>or<br />
het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> belemmer<strong>en</strong>d zijn, zull<strong>en</strong> ook in het onderzoek die rol kunn<strong>en</strong> vervull<strong>en</strong> Het is<br />
aan de onderzoeker om dat vast te stell<strong>en</strong> <strong>en</strong> om na te gaan hoe hij erachter kan kom<strong>en</strong> hoe hij de<br />
invloed van deze factor<strong>en</strong> kan verminder<strong>en</strong> Als de hiermee opgeroep<strong>en</strong> vrag<strong>en</strong> zijn compet<strong>en</strong>tie<br />
<strong>en</strong>/of zijn be<strong>vo</strong>egdheid te bov<strong>en</strong> gaan, zal hij besluit<strong>en</strong> om deze informatie te lat<strong>en</strong> verzamel<strong>en</strong> via<br />
psychodiagnostisch onderzoek<br />
Voor het inschakel<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> gedragswet<strong>en</strong>schapper als diagnosticus, ongeacht of deze in di<strong>en</strong>st<br />
is van de instelling of niet, is toestemming van de ouders/verzorgers van de leerling nodig<br />
18.7 Didactische aspect<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> diagnostisch gesprek<br />
Om de ess<strong>en</strong>tie van e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>gesprek te kunn<strong>en</strong> pakk<strong>en</strong>, beschikt de onderzoeker<br />
over e<strong>en</strong> combinatie van pedagogische <strong>en</strong> <strong>vo</strong>oral ook rek<strong>en</strong>didactische compet<strong>en</strong>ties De kwaliteit<br />
van het gesprek neemt toe naarmate de onderzoeker meer gedetailleerde k<strong>en</strong>nis heeft van leerstoflijn<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>didactiek Hierdoor kan hij mogelijke oplossingsvariant<strong>en</strong> die de leerling demonstreert<br />
direct plaats<strong>en</strong> <strong>en</strong> daarop doorvrag<strong>en</strong> <strong>en</strong> variër<strong>en</strong><br />
Tijd<strong>en</strong>s het diagnostisch gesprek legt de onderzoeker de leerling meerdere rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or<br />
Hij laat de leerling zo veel mogelijk hardop d<strong>en</strong>k<strong>en</strong>, vertell<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Daardoor krijgt hij inzicht<br />
in hoe de leerling te werk gaat <strong>en</strong> red<strong>en</strong>eert Het moet de leerling duidelijk zijn dat het de<br />
onderzoeker niet gaat om ‘het goede antwoord’
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
De onderzoeker gaat na welke basisautomatism<strong>en</strong> <strong>en</strong> oplossingsprocedures de leerling beheerst<br />
<strong>en</strong> welke inzicht<strong>en</strong> de leerling heeft Ook hier gaat het erom geschikte vraag- <strong>en</strong> observatietechniek<strong>en</strong><br />
te gebruik<strong>en</strong> die antwoord gev<strong>en</strong> op vrag<strong>en</strong> als: herk<strong>en</strong>t de leerling de kern van de rek<strong>en</strong>opdracht?<br />
Kan hij de elem<strong>en</strong>t<strong>en</strong> uit de opdracht met elkaar in verband br<strong>en</strong>g<strong>en</strong>? Kan de leerling e<strong>en</strong><br />
formele opdracht (‘kale som’) verbind<strong>en</strong> met andere handelingsniveaus uit het Handelingsmodel?<br />
Bij<strong>vo</strong>orbeeld: kan de leerling e<strong>en</strong> concrete situatie bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> bij e<strong>en</strong> som? Kan hij e<strong>en</strong> som visualiser<strong>en</strong><br />
met materiaal, door te tek<strong>en</strong><strong>en</strong> of door e<strong>en</strong> schema te mak<strong>en</strong>?<br />
232<br />
De onderzoeker onderzoekt het gehele proces van het oploss<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>opdracht aan de hand<br />
van de drie stapp<strong>en</strong> van het Drieslagmodel De opdracht<strong>en</strong> bestaan uit functionele rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong><br />
(context<strong>en</strong>) <strong>en</strong> uit formele bewerking<strong>en</strong> (‘kale somm<strong>en</strong>’) De onderzoeker stelt zichzelf vrag<strong>en</strong><br />
waarmee hij impliciet ook zijn eig<strong>en</strong> didactisch handel<strong>en</strong> toetst (zie paragraf<strong>en</strong> 132 <strong>en</strong> 133):<br />
• Hoe gaat de leerling aan het werk met de opdracht?<br />
• Kan de leerling zich iets <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> bij de inhoud van de opdracht?<br />
• Is de leerling hierin actief?<br />
• Kan de leerling de inhoudelijke informatie ord<strong>en</strong><strong>en</strong>? En hoe doet hij dat?<br />
• Hoe <strong>vo</strong>ert de leerling berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> uit?<br />
• Kan de leerling reflecter<strong>en</strong> op de ge<strong>vo</strong>nd<strong>en</strong> oplossing? En hoe doet hij dat?<br />
Als de leerling vastloopt, biedt de onderzoeker hem ondersteuning Hij helpt hem het proces te<br />
structurer<strong>en</strong> via de stapp<strong>en</strong> van het Drieslagmodel <strong>en</strong> door daar binn<strong>en</strong> de handelingsniveaus te<br />
variër<strong>en</strong><br />
• In de eerste stap – het plann<strong>en</strong> – helpt de onderzoeker de leerling zich e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orstelling te mak<strong>en</strong><br />
van de context, om betek<strong>en</strong>is te gev<strong>en</strong> aan de rek<strong>en</strong>opdracht (taal), e<strong>en</strong> koppeling te legg<strong>en</strong><br />
met andere lag<strong>en</strong> in het handelingsniveau of de gegev<strong>en</strong>s te (re)organiser<strong>en</strong><br />
• In de tweede stap – het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> – helpt de onderzoeker door de aanpak van de leerling te<br />
structurer<strong>en</strong>, het werkgeheug<strong>en</strong> te ondersteun<strong>en</strong> (lat<strong>en</strong> noter<strong>en</strong> van tuss<strong>en</strong>antwoord<strong>en</strong>), de<br />
opdracht pass<strong>en</strong>d af te beeld<strong>en</strong> (lat<strong>en</strong> tek<strong>en</strong><strong>en</strong>, schema’s lat<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong>), het aanreik<strong>en</strong> (<strong>en</strong><br />
lat<strong>en</strong> uitprober<strong>en</strong>) van pass<strong>en</strong>de oplossingsprocedures Hij kan de opdracht variër<strong>en</strong> door de<br />
getall<strong>en</strong> minder complex te mak<strong>en</strong>, bij<strong>vo</strong>orbeeld in plaats van 23,6% van € 224,50 naar 20%<br />
van € 225 of 20% van € 200<br />
• In de derde stap – het reflecter<strong>en</strong> – helpt de onderzoeker door terug te koppel<strong>en</strong> naar de vraag<br />
(Klopt het nu? Was dit wat ik moest uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong>? Wat weet ik nu?), door te structurer<strong>en</strong>, door demonstrer<strong>en</strong><br />
te koppel<strong>en</strong> aan verwoord<strong>en</strong> (Laat e<strong>en</strong>s zi<strong>en</strong> hoe je dit hebt uitgerek<strong>en</strong>d?)<br />
Door dergelijke vrag<strong>en</strong> <strong>en</strong> techniek<strong>en</strong> te gebruik<strong>en</strong> komt de onderzoeker erachter welke<br />
werkwijze(n) de leerling hanteert Zo krijgt hij inzicht in de d<strong>en</strong>kstapp<strong>en</strong> (Drieslagmodel) <strong>en</strong> de<br />
handelingsniveaus (Handelingsmodel) die de leerling heeft g<strong>en</strong>om<strong>en</strong> tijd<strong>en</strong>s de oplossingsprocedure<br />
Hij kan hierdoor aangev<strong>en</strong> welk rek<strong>en</strong>niveau de leerling bereikt heeft<br />
De onderzoeker tast ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s af wat de zone van de naaste ontwikkeling van deze leerling is<br />
Daarbij maakt hij gebruik van de verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus De onderzoeker gaat na wat de<br />
leerling al kan <strong>en</strong> biedt ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s e<strong>en</strong> nieuwe rek<strong>en</strong>opdracht die daarop aansluit Hij varieert de<br />
handelingsniveaus binn<strong>en</strong> deze opdracht<strong>en</strong> Daarbij laat hij de leerling vertell<strong>en</strong>, tek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong>,<br />
of werk<strong>en</strong> met tastbaar materiaal
hoofdstuk 18 Diagnostiek in begeleidingscategorie 2<br />
Hij biedt opdracht<strong>en</strong> aan binn<strong>en</strong> e<strong>en</strong> domein, maar kan variër<strong>en</strong> per domein <strong>en</strong> switch<strong>en</strong> naar<br />
andere domein<strong>en</strong> Hij zorgt er<strong>vo</strong>or dat de opdracht<strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l zijn Bij<strong>vo</strong>orbeeld door te lat<strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met geld De onderzoeker kan de opdracht e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udiger of juist moeilijker mak<strong>en</strong> door te<br />
variër<strong>en</strong> met getall<strong>en</strong> Ook kan hij complexere opdracht<strong>en</strong> ev<strong>en</strong>tueel <strong>vo</strong>orstructurer<strong>en</strong> in tuss<strong>en</strong>stapp<strong>en</strong><br />
In de zone van de naaste ontwikkeling kan de leerling lat<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> hoe hij reageert als hij niet mete<strong>en</strong><br />
e<strong>en</strong> oplossing heeft <strong>en</strong> hoe hij profiteert van hulp die de onderzoeker heeft aangebod<strong>en</strong><br />
Het onderzoek resulteert in e<strong>en</strong> overzicht van rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> oplossingsprocedures die de leerling<br />
daadwerkelijk beheerst Hij beschrijft daarbij de handelingsniveaus waarop de leerling de procedures<br />
al kan uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong>, of met hulp zou kunn<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> (‘zone van naaste ontwikkeling’) Tev<strong>en</strong>s<br />
beschrijft hij aan welke stof de leerling toe is <strong>en</strong> onder welke condities het meeste resultaat bereikt<br />
kan word<strong>en</strong><br />
233<br />
18.8 Opbr<strong>en</strong>gst van het rek<strong>en</strong>onderzoek<br />
Als laatste stap in het rek<strong>en</strong>onderzoek analyseert de onderzoeker de verkreg<strong>en</strong> informatie, komt tot<br />
conclusies <strong>en</strong> stelt e<strong>en</strong> verslag op Hij beschrijft daarin zijn bevinding<strong>en</strong> <strong>en</strong> de analyse van het diagnostische<br />
gesprek, de positieve aanknopingspunt<strong>en</strong> wat betreft rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong>,<br />
omgevingsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> <strong>en</strong> zijn handelingsadviez<strong>en</strong><br />
Het verslag bevat onder meer:<br />
• e<strong>en</strong> beeld van wat de leerling al kan, van wat hij zich al heeft eig<strong>en</strong> gemaakt op het gebied van<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> ook van wat e<strong>en</strong> zin<strong>vo</strong>lle <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de stap is in de zone van de naaste ontwikkeling;<br />
• e<strong>en</strong> beeld van de mate waarin het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> van de leerling stagneert;<br />
• inzicht in de factor<strong>en</strong> die de verdere rek<strong>en</strong>ontwikkeling kunn<strong>en</strong> stimuler<strong>en</strong>, activer<strong>en</strong>, belemmer<strong>en</strong><br />
of zelfs blokker<strong>en</strong>;<br />
• informatie over de hulp waar de leerling van profiteert <strong>en</strong> over <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van begeleiding die<br />
aansluit<strong>en</strong> bij zijn behoeft<strong>en</strong>, waardoor zijn zelfvertrouw<strong>en</strong> wordt versterkt;<br />
• zicht op de rol die de leerling zelf heeft, maar ook die van de school <strong>en</strong> de ouders/verzorgers<br />
van de leerling (met name de rol die ouders/verzorgers hebb<strong>en</strong> blijft vaak onderbelicht);<br />
• e<strong>en</strong> perspectief op langere termijn, zowel vakinhoudelijk als vakoverstijg<strong>en</strong>d;<br />
• ev<strong>en</strong>tueel advies over het inschakel<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> (externe) deskundige <strong>vo</strong>or verder onderzoek of<br />
e<strong>en</strong> specifieke training<br />
Dit verslag wordt besprok<strong>en</strong> met de leerling <strong>en</strong> zijn ouders/verzorgers Bij twijfel meld<strong>en</strong> de ouders/verzorgers<br />
<strong>en</strong> de school de leerling aan <strong>vo</strong>or bov<strong>en</strong>schoolse ondersteuning in het sam<strong>en</strong>werkingsverband<br />
Het verslag <strong>en</strong> de afsprak<strong>en</strong> met de leerling <strong>en</strong> de ouders/verzorgers van de leerling<br />
word<strong>en</strong> bewaard in het (digitale) leerlingdossier<br />
18.9 Ver<strong>vo</strong>lgactiviteit<strong>en</strong><br />
De verantwoordelijkheid om deze handelingsadviez<strong>en</strong> van de onderzoeker om te zett<strong>en</strong> naar int<strong>en</strong>sieve<br />
<strong>en</strong> specifieke begeleiding van de leerling ligt bij de school Op basis van het rapport stelt de<br />
rek<strong>en</strong>specialist in overleg met de rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> de m<strong>en</strong>tor e<strong>en</strong> individueel handelingsplan op <strong>vo</strong>or<br />
de begeleiding van de leerling op het gebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Dit handelingsplan omvat altijd de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de compon<strong>en</strong>t<strong>en</strong>:<br />
• doel<strong>en</strong> op lange <strong>en</strong> korte termijn (waartoe?);<br />
• leerstofinhoud (wat?);<br />
• leeractiviteit<strong>en</strong> (hoe?);<br />
• uit<strong>vo</strong>ering (wanneer <strong>en</strong> door wie?);<br />
• evaluatie (doel<strong>en</strong> bereikt?)<br />
234<br />
Zie hoofdstuk 16 <strong>vo</strong>or informatie <strong>vo</strong>or het opstell<strong>en</strong> <strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> individueel handelingsplan<br />
Het individuele handelingsplan van de leerling wordt besprok<strong>en</strong> met de leerling <strong>en</strong> zijn ouders/verzorgers<br />
die daarin ook e<strong>en</strong> verantwoordelijkheid hebb<strong>en</strong><br />
De leerling wordt gedur<strong>en</strong>de e<strong>en</strong> half jaar door de school verder begeleid conform het handelingsplan<br />
In het gunstige geval gaat de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van de leerling gedur<strong>en</strong>de deze periode weer<br />
aantoonbaar de goede kant op Dan kan aan het eind van deze periode word<strong>en</strong> beslist of de leerling<br />
zonder of met minder hulp verder kan Als dat het geval is dan kan hij terug naar begeleidingscategorie<br />
1 Bij aantoonbaar weinig of ge<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oruitgang komt de leerling in begeleidingscategorie 3<br />
<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> de ouders/verzorgers van de leerling e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek aanvrag<strong>en</strong><br />
Deze aanvraag kan ook al tijd<strong>en</strong>s de periode van het half jaar begeleiding word<strong>en</strong> ingedi<strong>en</strong>d Dit<br />
laatste is aan de orde wanneer <strong>vo</strong>or het verstrijk<strong>en</strong> van die periode al duidelijk is dat de leerling<br />
on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de profiteert van de gebod<strong>en</strong> hulp
235
19 Diagnostiek in<br />
begeleidingscategorie 3<br />
(psychodiagnostisch<br />
onderzoek)
Wanneer op basis van de analyse uit het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek <strong>en</strong> de daarop<br />
gebaseerde int<strong>en</strong>sieve begeleiding te weinig <strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> merkbaar zijn, kan<br />
de leerling in aanmerking kom<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> bredere analyse. Daarbij kan ook e<strong>en</strong><br />
vermoed<strong>en</strong> van dyscalculie e<strong>en</strong> rol spel<strong>en</strong>. In zo’n geval kan m<strong>en</strong>, na zorgvuldige<br />
19<br />
a nalyse van het <strong>vo</strong>orgaande traject, kiez<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek.<br />
Dit onderzoek vindt plaats in begeleidingscategorie 3.<br />
Het daarop gebaseerde verslag bevat e<strong>en</strong> diagnose <strong>en</strong> e<strong>en</strong> advies <strong>vo</strong>or de verdere<br />
begeleiding van de leerling. Na e<strong>en</strong> half jaar int<strong>en</strong>sieve begeleiding aan de hand<br />
van e<strong>en</strong> handelingsplan <strong>vo</strong>lgt e<strong>en</strong> evaluatie met betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong>, waarbij de diagnosticus<br />
kan vaststell<strong>en</strong> of er sprake is van dyscalculie.
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
19.1 Welke leerling komt in aanmerking?<br />
238<br />
E<strong>en</strong> leerling kan in aanmerking kom<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek in begeleidingscategorie<br />
3 wanneer de evaluatie van de int<strong>en</strong>sieve begeleiding in categorie 2 on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de verklaring<br />
oplevert van de stagnatie in de rek<strong>en</strong>ontwikkeling Dan kan het vermoed<strong>en</strong> bestaan dat de rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
niet alle<strong>en</strong> ernstig, maar ook hardnekkig zijn <strong>en</strong> dat er sprake is van dyscalculie Dit<br />
vermoed<strong>en</strong> moet onderbouwd kunn<strong>en</strong> word<strong>en</strong> vanuit het leerlingdossier Dat betek<strong>en</strong>t dat alle<br />
elem<strong>en</strong>t<strong>en</strong> uit het handelingsplan zijn beschrev<strong>en</strong>, inclusief de evaluatie daarvan<br />
Wij adviser<strong>en</strong> nadrukkelijk om in het <strong>vo</strong> alle<strong>en</strong> in de eerste twee leerjar<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek<br />
te lat<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> om e<strong>en</strong> diagnose ‘dyscalculie’ te kunn<strong>en</strong> stell<strong>en</strong> <strong>en</strong> ev<strong>en</strong>tueel e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring<br />
te kunn<strong>en</strong> verl<strong>en</strong><strong>en</strong> De red<strong>en</strong> die wij hier<strong>vo</strong>or hebb<strong>en</strong> is de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de<br />
De invloed van de schoolervaring<strong>en</strong> is na ongeveer ti<strong>en</strong> jaar onderwijs niet meer los te koppel<strong>en</strong><br />
van de persoonsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> die de rek<strong>en</strong>ontwikkeling beïnvloed<strong>en</strong> Naarmate leerling<strong>en</strong> ouder<br />
word<strong>en</strong>, wordt het steeds onduidelijker welke invloed het rek<strong>en</strong>onderwijs (<strong>en</strong> ev<strong>en</strong>tuele begeleiding)<br />
heeft gehad op de persoonsontwikkeling van de leerling Het valt niet meer te bepal<strong>en</strong> hoe<br />
leerling<strong>en</strong> mede door hun persoonsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> al of niet hebb<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> profiter<strong>en</strong> van het gebod<strong>en</strong><br />
onderwijs Oorzaak <strong>en</strong> ge<strong>vo</strong>lg zijn niet meer uit elkaar te hal<strong>en</strong> In de bov<strong>en</strong>bouw van het <strong>vo</strong><br />
<strong>en</strong> in het mbo is het daarom steeds moeilijker dyscalculie in zijn zuivere <strong>vo</strong>rm verantwoord vast te<br />
stell<strong>en</strong> Daarom is ook het afgev<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring niet meer verantwoord<br />
E<strong>en</strong> dyscalculieverklaring is bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> te beschouw<strong>en</strong> als e<strong>en</strong> verbod<strong>en</strong>toegangsverklaring <strong>vo</strong>or<br />
diverse ver<strong>vo</strong>lgopleiding<strong>en</strong> <strong>en</strong> beroep<strong>en</strong> Ook om deze red<strong>en</strong> zijn wij van m<strong>en</strong>ing dat het verl<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
van e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring na de basisschool beperkt zou moet<strong>en</strong> blijv<strong>en</strong> tot de eerste twee leerjar<strong>en</strong><br />
van het <strong>vo</strong><br />
Voor sommige leerling<strong>en</strong> kan psychodiagnostisch onderzoek ook na het tweede leerjaar wel degelijk<br />
gew<strong>en</strong>st zijn om handelingsadviez<strong>en</strong> te krijg<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or gerichte individuele begeleiding Dit onderzoek<br />
richt zich vrijwel uitsluit<strong>en</strong>d op de leer<strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> die de rek<strong>en</strong>ontwikkeling beïnvloed<strong>en</strong><br />
Doel van het onderzoek is dan <strong>vo</strong>oral het verzamel<strong>en</strong> van informatie die de begeleiding van de<br />
leerling bij de verdere ontwikkeling van het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> effectiever kan mak<strong>en</strong><br />
Leerling<strong>en</strong> met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>, met of zonder dyscalculieverklaring, hebb<strong>en</strong> echter all<strong>en</strong><br />
behoefte aan deskundige <strong>en</strong> <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> effectieve begeleiding Deze leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> in alle<br />
afdeling<strong>en</strong> <strong>en</strong> leerroutes van het <strong>vo</strong> <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong>, dus ook in ha<strong>vo</strong> <strong>en</strong> vwo<br />
k ERn<br />
Wanneer psychodiagnostisch onderzoek?<br />
Het lat<strong>en</strong> do<strong>en</strong> van psychodiagnostisch onderzoek kan geïndiceerd zijn wanneer:<br />
• de int<strong>en</strong>sieve begeleiding in categorie 2 de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van de leerling aantoonbaar<br />
on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>oruit helpt;<br />
• zich ernstige problem<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ordo<strong>en</strong> bij alle rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> van de leerling; dit kunn<strong>en</strong><br />
ook problem<strong>en</strong> zijn op sociaal-emotioneel gebied die gelinkt kunn<strong>en</strong> word<strong>en</strong> aan<br />
rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong>;<br />
• al bij instroom in het <strong>vo</strong> vanuit de overdracht po-<strong>vo</strong> bek<strong>en</strong>d is dat de leerling ernstige<br />
<strong>en</strong> mogelijk hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervaart.
hoofdstuk 19 Diagnostiek in begeleidingscategorie 3<br />
19.2 Aanvraag <strong>en</strong> intakegesprek<br />
De ouders/verzorgers van de leerling vrag<strong>en</strong> in overleg met de school <strong>en</strong> de leerling het psychodiagnostisch<br />
onderzoek aan In sommige situaties zull<strong>en</strong> de ouders/verzorgers van de leerling<br />
onafhankelijk van de school zelf contact zoek<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> particulier bureau <strong>vo</strong>or onderzoek van<br />
hun zoon of dochter Dit is ge<strong>en</strong> gew<strong>en</strong>ste situatie <strong>vo</strong>or de school Het is van belang dat er dan toch<br />
e<strong>en</strong> gesprek ontstaat tuss<strong>en</strong> ouders/verzorgers, school <strong>en</strong> het particuliere bureau<br />
De school doet in het aanvraagformulier verslag van de maatregel<strong>en</strong> die zij heeft getroff<strong>en</strong> Voor<br />
<strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong> van aanvraagformulier<strong>en</strong> verwijz<strong>en</strong> wij naar Pameijer <strong>en</strong> Van Beukering (2004, pp<br />
343-376)<br />
De school <strong>vo</strong>egt aan het aanvraagformulier e<strong>en</strong> verslag toe over de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van de leerling<br />
<strong>en</strong> andere relevante informatie Zij vermeldt verder de hulpvrag<strong>en</strong> van de school, van de ouders/verzorgers<br />
<strong>en</strong> van de leerling of hun gezam<strong>en</strong>lijke hulpvraag De school beschrijft de specifieke<br />
hulp die gebod<strong>en</strong> is aan de leerling <strong>en</strong> de aantoonbare resultat<strong>en</strong> daarvan Alle gegev<strong>en</strong>s uit<br />
het rek<strong>en</strong>onderzoek binn<strong>en</strong> begeleidingscategorie 2 kom<strong>en</strong> ter beschikking van de diagnosticus<br />
Zie onderstaande punt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het verslag van de school<br />
239<br />
k ERn<br />
Verslag van de school bij aanmelding<br />
1 De school formuleert de hulpvraag van de betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong>: de school, de leerling <strong>en</strong> zijn<br />
ouders/verzorgers. Welke klacht<strong>en</strong>, zorg<strong>en</strong>, verwachting<strong>en</strong>, ...?<br />
2 De school geeft het beeld van het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> van de leerling in positieve <strong>en</strong> in negatieve<br />
zin. Wat lukt al wel <strong>en</strong> wat nog niet? Hoe is de rek<strong>en</strong>ontwikkeling van de leerling tot<br />
nu toe verlop<strong>en</strong>?<br />
3 De school beschrijft de gebod<strong>en</strong> afstemming van het onderwijs op de specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
van de leerling: kijk<strong>en</strong> naar de ervaring<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de les <strong>en</strong> naar de<br />
gegev<strong>en</strong>s uit toets<strong>en</strong>.<br />
4 De school b<strong>en</strong>oemt de resultat<strong>en</strong> van het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek (begeleidingscategorie<br />
2).<br />
5 De school geeft aanvull<strong>en</strong>de informatie over de leerling. Welke ontwikkeling van de leerling<br />
zi<strong>en</strong> we op het gebied van andere vakk<strong>en</strong>? Welke leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> zijn bek<strong>en</strong>d?<br />
6 De school geeft aanvull<strong>en</strong>de informatie over de omgevingsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> (school, het<br />
gebod<strong>en</strong> onderwijs <strong>en</strong> ev<strong>en</strong>tueel de thuis- <strong>en</strong> op<strong>vo</strong>edingssituatie). Welke informatie<br />
over de leerling is <strong>vo</strong>or deze hulpvraag van belang?<br />
De diagnosticus ontvangt de aanvraag <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> onderzoek naar de rek<strong>en</strong>problematiek van de leerling<br />
Hij bereidt zich <strong>vo</strong>or op e<strong>en</strong> intakegesprek aan de hand van het materiaal dat hij met de aanvraag<br />
heeft ontvang<strong>en</strong> Hij <strong>vo</strong>ert e<strong>en</strong> intakegesprek met de leerling, de ouders/verzorgers van de<br />
leerling, de rek<strong>en</strong>specialist, de ondersteuningscoördinator <strong>en</strong> de m<strong>en</strong>tor<br />
In de intakefase analyseert de diagnosticus de vrag<strong>en</strong> van de ouders/verzorgers van de leerling, de<br />
school <strong>en</strong> de leerling zelf die zijn hulp hebb<strong>en</strong> ingeroep<strong>en</strong> Hij verzamelt informatie die nodig is<br />
om e<strong>en</strong> keuze te mak<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> pass<strong>en</strong>d diagnostisch traject Hij onderzoekt of hij constructief<br />
kan sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong> met school, ouders/verzorgers <strong>en</strong> leerling, <strong>en</strong> of zij dit onderling ook kunn<strong>en</strong><br />
Hij komt met de drie partij<strong>en</strong> tot e<strong>en</strong> geme<strong>en</strong>schappelijk beeld van hun afzonderlijke hulpvrag<strong>en</strong><br />
Hij zorgt dat dit e<strong>en</strong> helder <strong>en</strong> realistisch beeld is Na deze intake start de diagnosticus met het<br />
psychodiagnostisch onderzoek
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
19.3 E<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek<br />
240<br />
E<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek is e<strong>en</strong> verzamelnaam <strong>vo</strong>or allerlei typ<strong>en</strong> onderzoek Het kan<br />
gaan om e<strong>en</strong> intellig<strong>en</strong>tieonderzoek, waarin de diagnosticus systematisch observeert hoe e<strong>en</strong> leerling<br />
omgaat met diverse tak<strong>en</strong>, variër<strong>en</strong>d van meer verbaal tot <strong>vo</strong>oral handel<strong>en</strong>d (performaal)<br />
Naast het ev<strong>en</strong>tueel vaststell<strong>en</strong> van het IQ, gaat het dan <strong>vo</strong>oral om aanknopingspunt<strong>en</strong> te vind<strong>en</strong><br />
in (relatief) sterke <strong>en</strong> zwakke aspect<strong>en</strong> van de leerling<br />
Andere onderzoeksonderdel<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> zijn gericht op onder meer het welbevind<strong>en</strong>, de zelfbeleving,<br />
sociaal inzicht, prestatiemotivatie of op de leerbaarheid Deze informatie over mogelijkhed<strong>en</strong><br />
in het omgaan met diverse tak<strong>en</strong> <strong>en</strong> omstandighed<strong>en</strong> van de leerling kan nuttig zijn bij het optimaal<br />
afstemm<strong>en</strong> op de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> leerling Dat geldt ook bij leerling<strong>en</strong> met ernstige<br />
rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
Het verschil met e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek is dat e<strong>en</strong> psychodiagnostisch onderzoek gericht<br />
is op meer algem<strong>en</strong>e aspect<strong>en</strong> in het functioner<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> leerling Het focust op de achterligg<strong>en</strong>de<br />
factor<strong>en</strong> bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> de taalontwikkeling van de leerling, terwijl e<strong>en</strong> diagnostisch<br />
rek<strong>en</strong>onderzoek <strong>vo</strong>oral de rek<strong>en</strong>aspect<strong>en</strong> zelf in kaart br<strong>en</strong>gt (hoofdstuk 18)<br />
Er is daar<strong>vo</strong>or andere k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> e<strong>en</strong> andere opleiding nodig Om deze gegev<strong>en</strong>s ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s te kunn<strong>en</strong><br />
vertal<strong>en</strong> in <strong>vo</strong>or het onderwijs praktische adviez<strong>en</strong>, zeker als die moet<strong>en</strong> word<strong>en</strong> gecombineerd<br />
met de uitkomst<strong>en</strong> van het diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek, vergt dat aanvull<strong>en</strong>de specifieke<br />
deskundigheid van de diagnosticus<br />
Alle<strong>en</strong> e<strong>en</strong> gedragswet<strong>en</strong>schapper die aan onderstaande eis<strong>en</strong>/<strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ldoet, mag e<strong>en</strong> psychodiagnostisch<br />
onderzoek afnem<strong>en</strong> Wij gebruik<strong>en</strong> in dit protocol de term ‘diagnosticus’:<br />
• Hij heeft e<strong>en</strong> BIG-registratie als GZ-psycholoog, e<strong>en</strong> NIP-registratie als Kinder- <strong>en</strong> Jeugdpsycholoog<br />
of e<strong>en</strong> N<strong>VO</strong>-registratie als Orthopedagoog-G<strong>en</strong>eralist<br />
• Hij is bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> gespecialiseerd op het gebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (Master Special Educational Needs<br />
(SEN) met specialisatie rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>) of werkt bij het psychodiagnostisch onderzoek<br />
sam<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>specialist<br />
• Hij werkt <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de professionele standaard<strong>en</strong> <strong>en</strong> richtlijn<strong>en</strong> van zijn eig<strong>en</strong> beroepsver<strong>en</strong>iging<br />
<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lgt de procedure <strong>vo</strong>or handelingsgerichte diagnostiek zoals bij<strong>vo</strong>orbeeld beschrev<strong>en</strong><br />
door Pameijer <strong>en</strong> Van Beukering (2004)<br />
De meerwaarde t<strong>en</strong> opzichte van e<strong>en</strong> diagnostisch rek<strong>en</strong>onderzoek is dat de diagnosticus door zijn<br />
psychodiagnostisch onderzoek verklar<strong>en</strong>de factor<strong>en</strong> probeert op te spor<strong>en</strong> Dit zijn factor<strong>en</strong> buit<strong>en</strong><br />
de eig<strong>en</strong>lijke rek<strong>en</strong>vaardigheid die van invloed kunn<strong>en</strong> zijn op het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Hij zal deze bevinding<strong>en</strong><br />
betrekk<strong>en</strong> in zijn diagnose <strong>en</strong> noem<strong>en</strong> in de rapportage Van Luit, Bloemert, Ganzinga<br />
& Mönch (2012) onderscheid<strong>en</strong> in het <strong>Protocol</strong> Dyscalculie: Diagnostiek <strong>vo</strong>or Gedragsdeskundig<strong>en</strong><br />
(<strong>Protocol</strong> DDG) de onderstaande primaire verklar<strong>en</strong>de factor<strong>en</strong> (pp 39-42) <strong>en</strong> secundaire verklar<strong>en</strong>de<br />
factor<strong>en</strong> (pp 43-46):<br />
• Primaire verklar<strong>en</strong>de factor<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> met betrekking tot het geheug<strong>en</strong>: executieve<br />
functies (planningvaardigheid <strong>en</strong>/of planningprocess<strong>en</strong> bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van (rek<strong>en</strong>)procedures),<br />
b<strong>en</strong>oemsnelheid (algeme<strong>en</strong>, cijfers), verbaal <strong>en</strong> ruimtelijk visueel kortetermijn- <strong>en</strong><br />
werkgeheug<strong>en</strong> (prestaties bij contextopgav<strong>en</strong>), aandacht (cognitieve tak<strong>en</strong>) <strong>en</strong> aandachtfunctie<br />
(accuratesse <strong>en</strong> conc<strong>en</strong>tratie)<br />
• Secundaire verklar<strong>en</strong>de factor<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> met betrekking tot de persoon <strong>en</strong> vanuit<br />
de fysieke, sociale <strong>en</strong>/of pedagogische omgeving: werkhouding <strong>en</strong> motivatie, compet<strong>en</strong>tiebeleving,<br />
(faal)angst, leesproblem<strong>en</strong> <strong>en</strong> sociaal-emotionele ontwikkeling
hoofdstuk 19 Diagnostiek in begeleidingscategorie 3<br />
Behalve ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> kan e<strong>en</strong> leerling meer problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> Er kan dan sprake<br />
zijn van comorbiditeit Dat wil zegg<strong>en</strong> dat de diagnosticus twee of meer probleemgebied<strong>en</strong> tegelijkertijd<br />
kan vaststell<strong>en</strong> Voorbeeld<strong>en</strong> zijn combinaties van ernstige <strong>en</strong> hardnekkige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
met dyslexie, ADHD <strong>en</strong>/of faalangst<br />
19.4 Opbr<strong>en</strong>gst<strong>en</strong> van het psychodiagnostisch onderzoek<br />
Na het onderzoekstraject komt de diagnosticus tot e<strong>en</strong> verslag met zijn diagnose <strong>en</strong> e<strong>en</strong> conceptadvies<br />
<strong>vo</strong>or de verdere begeleiding van de leerling In dit verslag geeft hij de opbr<strong>en</strong>gst<strong>en</strong> van zijn<br />
onderzoek weer <strong>en</strong> schetst hij het ver<strong>vo</strong>lg<br />
241<br />
De diagnosticus b<strong>en</strong>oemt de ge<strong>vo</strong>nd<strong>en</strong> primaire <strong>en</strong> secundaire verklar<strong>en</strong>de factor<strong>en</strong> Daarnaast<br />
doet hij verslag van de andere bevinding<strong>en</strong> uit het onderzoek, zoals e<strong>en</strong> IQ-bepaling <strong>en</strong> e<strong>en</strong> intellig<strong>en</strong>tieprofiel<br />
Als sprake blijkt van comorbiditeit vermeldt hij dat ook<br />
De diagnosticus beschrijft de vakspecifieke <strong>en</strong> vakoverstijg<strong>en</strong>de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling<br />
op het gebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Hierin betrekt hij zo mogelijk de resultat<strong>en</strong> van het diagnostisch<br />
rek<strong>en</strong>onderzoek dat gelijktijdig of eerder - in begeleidingscategorie 2 - is uitge<strong>vo</strong>erd Deze beschrijving<br />
bestaat uit onder meer de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de onderdel<strong>en</strong>:<br />
• inzicht in hoe de leerling d<strong>en</strong>kt (red<strong>en</strong>eert) <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>t;<br />
• de rek<strong>en</strong>- <strong>en</strong> d<strong>en</strong>kstapp<strong>en</strong> die ligg<strong>en</strong> in de zone van de naaste ontwikkeling;<br />
• de specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling op basis van het Handelingsmodel <strong>en</strong> het<br />
Drieslagmodel;<br />
• de specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong> op basis van de leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> <strong>en</strong> de omgevingsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
(onderwijsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> <strong>en</strong> thuissituatie);<br />
• gegev<strong>en</strong>s over de leerbaarheid van de leerling;<br />
• de condities waaronder de leerling het meest optimaal kan functioner<strong>en</strong><br />
De diagnosticus vermeldt de vakoverstijg<strong>en</strong>de doel<strong>en</strong> (koersbepaling) In dit langetermijnperspectief<br />
maakt hij inschatting<strong>en</strong> over:<br />
• het mogelijk te bereik<strong>en</strong> eindniveau op e<strong>en</strong> bepaald meetmom<strong>en</strong>t;<br />
• het totale ontwikkelingsperspectief van de leerling gezi<strong>en</strong> de mate waarin wordt <strong>vo</strong>ldaan aan de<br />
drie basis<strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or ler<strong>en</strong> <strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong>: compet<strong>en</strong>tie (vertrouw<strong>en</strong> in eig<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong>),<br />
autonomie (vertrouw<strong>en</strong> in zelfsturing) <strong>en</strong> relatie (vertrouw<strong>en</strong> in de verbond<strong>en</strong>heid met belangrijke<br />
ander<strong>en</strong>);<br />
• het in de begeleiding b<strong>en</strong>utt<strong>en</strong> of versterk<strong>en</strong> van de leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> Voorbeeld 1: inzett<strong>en</strong><br />
op het ontwikkel<strong>en</strong> van het visueel <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> <strong>en</strong> afbeeld<strong>en</strong> (repres<strong>en</strong>ter<strong>en</strong>), omdat dit vermog<strong>en</strong><br />
tot nu toe zwak is ontwikkeld Voorbeeld 2: aansluit<strong>en</strong> bij sterk ontwikkelde verbale vermog<strong>en</strong>s<br />
van e<strong>en</strong> leerling <strong>en</strong> daarvan gebruik mak<strong>en</strong>;<br />
• de leerbaarheid van de leerling, afgeleid van het Totaal IQ <strong>en</strong> het intellig<strong>en</strong>tieprofiel<br />
De diagnosticus geeft in grote lijn<strong>en</strong> aan welke mix van maatregel<strong>en</strong> bij deze leerling zin<strong>vo</strong>l is De<br />
maatregel<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> betrekking op de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de begeleidingsactiviteit<strong>en</strong>:<br />
• Stimuler<strong>en</strong> van de leerling met name wat betreft aspect<strong>en</strong> die niet zo sterk zijn ontwikkeld De<br />
leerling activer<strong>en</strong> om zelf weer het leerproces op te pakk<strong>en</strong><br />
• Comp<strong>en</strong>ser<strong>en</strong> van zwak ontwikkelde rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis of vaardigheid Bij<strong>vo</strong>orbeeld het toestaan van het<br />
gebruik van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>machine als de leerling slecht automatiseert <strong>en</strong> daardoor niet in staat is
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
om de standaardalgoritmes te ler<strong>en</strong> Met comp<strong>en</strong>ser<strong>en</strong>de maatregel<strong>en</strong> kan de leerling toch<br />
verder in het leerproces of deelnem<strong>en</strong> aan e<strong>en</strong> onderwijsactiviteit<br />
• Remediër<strong>en</strong> in brede zin Het perspectief bij remediër<strong>en</strong> is altijd gericht op de totale ontwikkeling<br />
van de leerling Remediër<strong>en</strong> is niet alle<strong>en</strong> gericht op het reducer<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
242<br />
De diagnosticus geeft ook adviez<strong>en</strong> over instructieprincipes, <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van feedback <strong>en</strong> effectief geblek<strong>en</strong><br />
begeleidingsmethodiek<strong>en</strong> Over deze aspect<strong>en</strong> van lesgev<strong>en</strong> <strong>en</strong> begeleid<strong>en</strong> is op allerlei<br />
plekk<strong>en</strong> in dit protocol informatie te vind<strong>en</strong><br />
Wanneer de diagnosticus zijn verslag heeft afgerond, bespreekt hij het met de leerling, de ouders/<br />
verzorgers van de leerling, de rek<strong>en</strong>specialist, de m<strong>en</strong>tor <strong>en</strong> de ondersteuningscoördinator In deze<br />
bespreking zitt<strong>en</strong> alle partij<strong>en</strong> met elkaar aan tafel De belang<strong>en</strong> van de leerling staan c<strong>en</strong>traal <strong>en</strong> de<br />
diagnosticus bewaakt deze De ondersteuningscoördinator zal in veel gevall<strong>en</strong> het gesprek leid<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
prober<strong>en</strong> w<strong>en</strong>selijkheid <strong>en</strong> haalbaarheid te ver<strong>en</strong>ig<strong>en</strong> Soms hebb<strong>en</strong> partij<strong>en</strong> niet g<strong>en</strong>oeg aan één<br />
gesprek om cons<strong>en</strong>sus te bereik<strong>en</strong> Het uiteindelijke doel is namelijk dat alle partij<strong>en</strong> zich met de<br />
aanbeveling<strong>en</strong> in het verslag <strong>en</strong> de praktische consequ<strong>en</strong>ties daarvan kunn<strong>en</strong> ver<strong>en</strong>ig<strong>en</strong> Zij moet<strong>en</strong><br />
het erover e<strong>en</strong>s zijn dat het advies w<strong>en</strong>selijk, nuttig, betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l, geloofwaardig <strong>en</strong> haalbaar is Het<br />
advies heeft betrekking op de verdere begeleiding in de school <strong>en</strong>/of hulpverl<strong>en</strong>ing buit<strong>en</strong> de school<br />
Op grond van deze bespreking kan de diagnosticus het verslag met zijn bevinding<strong>en</strong> <strong>en</strong> zijn conceptadvies<br />
nog wat bijstell<strong>en</strong> In de definitieve rapportage staan de afgesprok<strong>en</strong> pass<strong>en</strong>de <strong>en</strong> haalbare<br />
richtlijn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de specifieke begeleiding van de leerling in de kom<strong>en</strong>de periode<br />
19.5 Ver<strong>vo</strong>lgactiviteit<strong>en</strong><br />
De verantwoordelijkheid <strong>vo</strong>or de uit<strong>vo</strong>ering van de gezam<strong>en</strong>lijk afgesprok<strong>en</strong> aanpak ligt vanaf dan<br />
bij de school De betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de school concretiser<strong>en</strong> de richtlijn<strong>en</strong> <strong>en</strong> besprek<strong>en</strong> dat met<br />
de leerling <strong>en</strong> zijn ouders/verzorgers De aanpak slaagt immers alle<strong>en</strong> als de leerling zich ook<br />
verantwoordelijk kan <strong>vo</strong>el<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het eig<strong>en</strong> aandeel Daartoe moet hij precies wet<strong>en</strong> wat e<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
ander gaat inhoud<strong>en</strong><br />
Op basis van het verslag van de diagnosticus stelt de rek<strong>en</strong>specialist in overleg met de ondersteuningscoördinator,<br />
de rek<strong>en</strong>leraar <strong>en</strong> de m<strong>en</strong>tor e<strong>en</strong> individueel handelingsplan op Hij stuurt dat<br />
ter k<strong>en</strong>nisname aan de diagnosticus Dit plan geeft richting aan de activiteit<strong>en</strong> vanuit begeleidingscategorie<br />
3<br />
De leerling wordt gedur<strong>en</strong>de e<strong>en</strong> half jaar door de school verder begeleid conform het individuele<br />
handelingsplan Na e<strong>en</strong> half jaar vindt de evaluatie door de diagnosticus plaats <strong>en</strong> word<strong>en</strong> afsprak<strong>en</strong><br />
gemaakt <strong>vo</strong>or het ver<strong>vo</strong>lg Bij de evaluatie zijn de leerling, zijn ouders/verzorgers, de rek<strong>en</strong>specialist,<br />
de ondersteuningscoördinator <strong>en</strong> de m<strong>en</strong>tor betrokk<strong>en</strong><br />
Ook daarna blijv<strong>en</strong> deze leerling<strong>en</strong> hetzij in begeleidingscategorie 3, hetzij bij aantoonbaar <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de<br />
<strong>vo</strong>oruitgang weer in categorie 2, nog steeds extra <strong>en</strong> int<strong>en</strong>sieve begeleiding op school nodig<br />
hebb<strong>en</strong> Dat blijft van kracht gedur<strong>en</strong>de hun verdere schoolloopbaan
hoofdstuk 19 Diagnostiek in begeleidingscategorie 3<br />
19.6 Dyscalculieverklaring<br />
E<strong>en</strong> dyscalculieverklaring is bedoeld om de leerling perspectief te bied<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or zijn verdere schoolloopbaan<br />
Met zo’n verklaring kan gericht word<strong>en</strong> gewerkt aan e<strong>en</strong> uitstroomprofiel van de leerling<br />
<strong>vo</strong>or de overgang van het <strong>vo</strong> naar het middelbaar of hoger beroepsonderwijs De verklaring is geldig<br />
gedur<strong>en</strong>de de verdere schoolloopbaan van de leerling Zie <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orbeeld van e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring<br />
afbeelding 191<br />
E<strong>en</strong> dyscalculieverklaring heeft ge<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de keuze van ver<strong>vo</strong>lgopleiding<strong>en</strong> Sommige opleiding<strong>en</strong><br />
zijn niet w<strong>en</strong>selijk <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring, doordat rek<strong>en</strong>vaardigheid<br />
vereist is in het beroep waartoe zij opleid<strong>en</strong><br />
243<br />
Dat wij aanbevel<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orzichtig te zijn met het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van dyscalculieverklaring<strong>en</strong>, staat reeds<br />
nadrukkelijk beschrev<strong>en</strong> in de eerste paragraaf van dit hoofdstuk<br />
Als onderdeel van het psychodiagnostisch onderzoek wordt ook e<strong>en</strong> IQ-bepaling gedaan Wij merk<strong>en</strong><br />
op dat <strong>vo</strong>or het afgev<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring e<strong>en</strong> Totaal IQ (TIQ) van 70 of hoger<br />
wordt gehanteerd Dit is naar analogie van de <strong>vo</strong>orwaarde bij e<strong>en</strong> dyslexieverklaring Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is<br />
echter complexer dan lez<strong>en</strong> <strong>en</strong> schrijv<strong>en</strong> Het doet e<strong>en</strong> beroep op hogere cognitieve functies, onder<br />
andere op begrijp<strong>en</strong>d lez<strong>en</strong>, logisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> ord<strong>en</strong><strong>en</strong>, op rek<strong>en</strong>kundig communicer<strong>en</strong>, reflecter<strong>en</strong><br />
op het eig<strong>en</strong> handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> conclusies trekk<strong>en</strong> op basis van het eig<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>kundig handel<strong>en</strong><br />
Daarom rad<strong>en</strong> wij aan e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring pas af te gev<strong>en</strong> vanaf TIQ = 85 Vanaf e<strong>en</strong> TIQ van<br />
85 mag word<strong>en</strong> aang<strong>en</strong>om<strong>en</strong> dat de leerling <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de leerbaar is<br />
k ERn<br />
De <strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het afgev<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring<br />
• De leerling beschikt over <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de intellig<strong>en</strong>tie (ons advies: vanaf TIQ 85).<br />
• Er is e<strong>en</strong> grote discrepantie tuss<strong>en</strong> de ontwikkeling van de leerling in het algeme<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> zijn rek<strong>en</strong>ontwikkeling.<br />
• De achterstand is hardnekkig. De leerling laat – ondanks gerichte – deskundige begeleiding,<br />
bijna ge<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oruitgang zi<strong>en</strong>. Dit is vastgesteld op grond van zowel e<strong>en</strong><br />
kwalitatieve als e<strong>en</strong> kwantitatieve analyse van leerresultat<strong>en</strong> van de leerling.<br />
• De problem<strong>en</strong> zijn ontstaan vanaf het verwerv<strong>en</strong> van de basisvaardighed<strong>en</strong> in het<br />
domein getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> beïnvloed<strong>en</strong> ook de ontwikkeling op het domein verhouding<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> het domein met<strong>en</strong> <strong>en</strong> meetkunde (inclusief de leerstoflijn<strong>en</strong> tijd <strong>en</strong> geld).<br />
k ERn<br />
Consequ<strong>en</strong>ties van dyscalculie<br />
• Zowel in wiskunde, als in andere vakk<strong>en</strong> (zoals natuurkunde, scheikunde, aardrijkskunde,<br />
economie, techniek) is gebrek aan basale rek<strong>en</strong>vaardigheid e<strong>en</strong> handicap.<br />
• Gedur<strong>en</strong>de de hele schoolloopbaan én in het maatschappelijk verkeer blijft die beperkte<br />
rek<strong>en</strong>vaardigheid stor<strong>en</strong>d, vanwege het praktische ongemak <strong>en</strong> door de sociaal-emotionele<br />
ge<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>.<br />
• Problem<strong>en</strong> met de basisvaardighed<strong>en</strong> blijv<strong>en</strong> ook op latere leeftijd bestaan <strong>en</strong> daarmee<br />
de invloed op beroepsperspectiev<strong>en</strong> <strong>en</strong> maatschappelijke redzaamheid.<br />
• Sommige beroepsopleiding<strong>en</strong> zijn geblokkeerd <strong>en</strong> bepaalde beroep<strong>en</strong> zijn uitgeslot<strong>en</strong>.
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Internationaal wordt er gewerkt <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de richtlijn<strong>en</strong> van DSM-IV-TR Deze sluit<strong>en</strong> aan bij de<br />
hierbov<strong>en</strong> beschrev<strong>en</strong> criteria DSM-IV-TR staat <strong>vo</strong>or Diagnostic Manual of M<strong>en</strong>tal Disorders<br />
(American Psychiatric Association, 2000)<br />
244<br />
k ERn<br />
Diagnostic criteria for 315.1 Mathematics disorder<br />
A. Mathematical ability, as measured by individually administered standardized tests, is<br />
substantially below that expected giv<strong>en</strong> the person’s chronological age, measured<br />
intellig<strong>en</strong>ce, and age-appropriate education.<br />
B. The disturbance in Criterion A significantly interferes with academic achievem<strong>en</strong>t or<br />
activities of daily living that require mathematical ability.<br />
C. If a s<strong>en</strong>sory deficit is pres<strong>en</strong>t, the difficulties in mathematical ability are in excess of<br />
those usually associated with it.<br />
Geciteerd naar American Psychiatric Association (2000, p. 54).<br />
Alle<strong>en</strong> e<strong>en</strong> diagnosticus die aan onderstaande eis<strong>en</strong>/<strong>vo</strong>orwaard<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ldoet, mag e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring<br />
verl<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
• Hij heeft e<strong>en</strong> BIG-registratie als GZ-psycholoog, e<strong>en</strong> NIP-registratie als Kinder- <strong>en</strong> Jeugdpsycholoog<br />
of e<strong>en</strong> N<strong>VO</strong>-registratie als Orthopedagoog-G<strong>en</strong>eralist<br />
• Hij is bov<strong>en</strong>di<strong>en</strong> gespecialiseerd op het gebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (Master Special Educational Needs<br />
(SEN) met specialisatie rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>) of werkt bij het psychodiagnostisch onderzoek<br />
sam<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>specialist<br />
• Hij werkt <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de professionele standaard<strong>en</strong> <strong>en</strong> richtlijn<strong>en</strong> van zijn eig<strong>en</strong> beroepsver<strong>en</strong>iging<br />
<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lgt de procedure <strong>vo</strong>or handelingsgerichte diagnostiek zoals bij<strong>vo</strong>orbeeld beschrev<strong>en</strong><br />
door Pameijer <strong>en</strong> Van Beukering (2004)<br />
In e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring wordt beschrev<strong>en</strong> welke specialistische begeleiding <strong>en</strong> facilitering de<br />
leerling nodig heeft De verklaring maakt onderscheid tuss<strong>en</strong> onderwijs, <strong>vo</strong>ortgangstoets<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
toets<strong>en</strong> die deel uitmak<strong>en</strong> van het eindexam<strong>en</strong> Bij toets<strong>en</strong> in het kader van het eindexam<strong>en</strong> zijn<br />
extra hulpmiddel<strong>en</strong> alle<strong>en</strong> toegestaan als deze extra hulpmiddel<strong>en</strong> niet leid<strong>en</strong> tot het vervall<strong>en</strong> van<br />
e<strong>en</strong> exam<strong>en</strong>eis Bij c<strong>en</strong>trale exam<strong>en</strong>s <strong>en</strong> de (c<strong>en</strong>trale) rek<strong>en</strong>toets <strong>vo</strong> zijn de toegestane hulpmiddel<strong>en</strong><br />
vastgelegd in de regels van het College <strong>vo</strong>or Exam<strong>en</strong>s, gebaseerd op het Eindexam<strong>en</strong>besluit <strong>VO</strong><br />
Onderstaande faciliteit<strong>en</strong> zijn in ieder geval van belang <strong>en</strong> gew<strong>en</strong>st bij onderwijs <strong>en</strong> toetsing, het<br />
laatste <strong>vo</strong>or zover toegestaan:<br />
• gebruik van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>machine;<br />
• bied<strong>en</strong> van <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de tijd;<br />
• het bied<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> rustige werkplek, met name ook bij toets<strong>en</strong> <strong>en</strong> exam<strong>en</strong>s
hoofdstuk 19 Diagnostiek in begeleidingscategorie 3<br />
Ondergetek<strong>en</strong>de verklaart dat aan:<br />
naam:<br />
geboortedatum:<br />
geboorteplaats:<br />
e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring is afgegev<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de criteria zoals beschrev<strong>en</strong> in het <strong>Protocol</strong><br />
Ernstige Rek<strong>en</strong>Wiskundeproblem<strong>en</strong> <strong>en</strong> Dyscalculie <strong>vo</strong>or <strong>vo</strong> <strong>en</strong> vso (<strong>ERWD</strong>2).<br />
245<br />
De problem<strong>en</strong> blijk<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oral uit de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de verschijnsel<strong>en</strong>:<br />
Op basis hiervan is behoefte aan de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de maatregel<strong>en</strong>:<br />
1 specialistische begeleiding in de <strong>vo</strong>rm van:<br />
2 facilitering in de <strong>vo</strong>rm van:<br />
Voor de onderbouwing van deze verklaring wordt verwez<strong>en</strong> naar het verslag van het psychodiagnostisch<br />
onderzoek door:<br />
naam instelling:<br />
naam onderzoeker:<br />
functie:<br />
kwalificaties:<br />
registratie:<br />
datum:<br />
Afbeelding 19.1 Voorbeeld van e<strong>en</strong> dyscalculieverklaring<br />
(vrij naar Ruijss<strong>en</strong>aars, Van Luit <strong>en</strong> Van Lieshout, 2004, p. 293)
246
Bijlag<strong>en</strong><br />
Bijlag<strong>en</strong><br />
Bijlage A Achtergrond<strong>en</strong> van ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
Bijlage B<br />
De leerling in het <strong>vo</strong>ortgezet (speciaal) onderwijs
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Bijlage A<br />
Achtergrond<strong>en</strong> van ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
248<br />
De protocoll<strong>en</strong> <strong>ERWD</strong> handel<strong>en</strong> over ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>. Dergelijke problem<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> alles te mak<strong>en</strong><br />
met hoe leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> <strong>en</strong> hoe lerar<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>onderwijs verzorg<strong>en</strong>. In deze bijlage schets<strong>en</strong> wij achtere<strong>en</strong><strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s<br />
hoe theorieën over ler<strong>en</strong> <strong>en</strong> onderwijz<strong>en</strong> met elkaar te mak<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong>, wat achtergrond<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong><br />
zijn van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> hoe deze kunn<strong>en</strong> bijdrag<strong>en</strong> aan de kwaliteit van rek<strong>en</strong>onderwijs. Hiermee<br />
gev<strong>en</strong> wij aan welke keuzes wij hebb<strong>en</strong> gemaakt <strong>en</strong> tot welke visie op het onderscheid tuss<strong>en</strong> ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> dyscalculie zij leid<strong>en</strong>.<br />
1 Over de relatie tuss<strong>en</strong> leertheorieën <strong>en</strong> onderwijspraktijk<strong>en</strong><br />
De afgelop<strong>en</strong> eeuw hebb<strong>en</strong> veel wet<strong>en</strong>schappers zich bezig gehoud<strong>en</strong> met de vraag wat ler<strong>en</strong> is <strong>en</strong><br />
hoe e<strong>en</strong> leerproces is te beïnvloed<strong>en</strong> Wij besprek<strong>en</strong> hier <strong>en</strong>kele stroming<strong>en</strong> die het d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> over<br />
ler<strong>en</strong>, <strong>en</strong> in het verl<strong>en</strong>gde daarvan ook over onderwijz<strong>en</strong>, tot op hed<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> beïnvloed We beginn<strong>en</strong><br />
met het behaviorisme <strong>en</strong> ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong> met de cognitieve leerpsychologie (beide vanaf begin<br />
20ste eeuw) <strong>en</strong> het constructivisme (vanaf circa 1960)<br />
Behaviorisme<br />
Het oorspronkelijke uitgangspunt bij het behaviorisme is dat ler<strong>en</strong> alle<strong>en</strong> is af te lez<strong>en</strong> aan verandering<br />
van gedrag (vandaar de naam) M<strong>en</strong> spreekt wel van de ‘black box’: er is e<strong>en</strong> aanleiding (stimulus)<br />
<strong>en</strong> er wordt e<strong>en</strong> reactie in het gedrag zichtbaar (respons) Wat daar tuss<strong>en</strong>in gebeurt is niet<br />
zichtbaar <strong>en</strong> dus niet bek<strong>en</strong>d Uit die tijd k<strong>en</strong>n<strong>en</strong> we allerlei proev<strong>en</strong> met dier<strong>en</strong>, die reageerd<strong>en</strong> op<br />
<strong>vo</strong>edsel <strong>en</strong> zo leerd<strong>en</strong> handeltjes weg te duw<strong>en</strong> <strong>en</strong> doolhov<strong>en</strong> te passer<strong>en</strong>, of die ging<strong>en</strong> kwijl<strong>en</strong>,<br />
zoals de hond van Pavlov<br />
Ler<strong>en</strong> is hier: conditioner<strong>en</strong>, train<strong>en</strong> van gedrag In alle gevall<strong>en</strong> war<strong>en</strong> het beloning <strong>en</strong> straf (e<strong>en</strong><br />
sanctie of het uitblijv<strong>en</strong> van beloning) die het gedrag ded<strong>en</strong> verander<strong>en</strong> Als de beloning stopte of<br />
gewoon werd, nam het nieuwe gedrag weer af <strong>en</strong> verdwe<strong>en</strong> dit na <strong>en</strong>ige tijd<br />
Toegepast op onderwijs b<strong>en</strong>adrukt deze theorie de rol van de leraar als deg<strong>en</strong>e die het gew<strong>en</strong>ste<br />
gedrag bed<strong>en</strong>kt <strong>en</strong> veroorzaakt Doordat in het onderwijs leerling<strong>en</strong> over het algeme<strong>en</strong> niet zelf<br />
kiez<strong>en</strong> wat ze will<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> <strong>en</strong> wanneer, is er externe invloed nodig De consequ<strong>en</strong>tie is dat altijd e<strong>en</strong><br />
leraar nodig is om het gew<strong>en</strong>ste gedrag op te roep<strong>en</strong> De leraar biedt de te ler<strong>en</strong> informatie kant <strong>en</strong><br />
klaar aan Ler<strong>en</strong> is dan het resultaat van ‘goed je best do<strong>en</strong>’ Dat resultaat wordt beloond met waardering<br />
<strong>en</strong> goede cijfers Ongew<strong>en</strong>st gedrag <strong>en</strong> gebrek aan resultaat leid<strong>en</strong> tot overdo<strong>en</strong>, straf <strong>en</strong><br />
slechte cijfers<br />
Niet zichtbaar is of de leerling ook werkelijk begrijpt wat hij heeft geleerd E<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orbeeld hiervan<br />
is het ler<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>regels zoals del<strong>en</strong> door e<strong>en</strong> breuk is hetzelfde als verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> met het omgekeerde<br />
van die breuk <strong>en</strong> het uit je hoofd ler<strong>en</strong> van oppervlakte is l<strong>en</strong>gte keer breedte <strong>en</strong> omtrek is twee keer<br />
l<strong>en</strong>gte plus breedte.
Bijlage A<br />
Het oorspronkelijke directe (<strong>en</strong> meestal klassikaal gebruikte) instructiemodel is hier<strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> bek<strong>en</strong>de<br />
<strong>vo</strong>rm geword<strong>en</strong> Voordo<strong>en</strong>, nado<strong>en</strong>, ev<strong>en</strong>tueel sam<strong>en</strong> do<strong>en</strong> <strong>en</strong> dan zelf do<strong>en</strong> is typer<strong>en</strong>d <strong>vo</strong>or<br />
e<strong>en</strong> behavioristische kijk op ler<strong>en</strong> Als k<strong>en</strong>nis, vaardighed<strong>en</strong> of gedrag zo zijn aangeleerd is zeer<br />
regelmatig onderhoud nodig, om te <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> dat deze weer verdwijn<strong>en</strong> Hier hor<strong>en</strong> ook uitsprak<strong>en</strong><br />
bij als ‘Je hoeft het niet te snapp<strong>en</strong>, als je het maar kunt’<br />
Wie zo naar leerling<strong>en</strong> kijkt, zal <strong>vo</strong>oral de overe<strong>en</strong>komst<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> will<strong>en</strong> b<strong>en</strong>adrukk<strong>en</strong><br />
Dit kan leid<strong>en</strong> tot de conclusie dat modaal gelijk staat aan normaal Problem<strong>en</strong> bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
zijn dan e<strong>en</strong> afwijking van het normale Het wegwerk<strong>en</strong> van afwijking<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> behavioristische<br />
manier gebeurt door herhaling van de informatie of het <strong>vo</strong>orbeeldgedrag (Kom straks maar<br />
ev<strong>en</strong> bij me, dan leg ik het nog e<strong>en</strong> keer uit) <strong>en</strong> via straff<strong>en</strong> <strong>en</strong> belon<strong>en</strong> (de dikke on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de of de<br />
pedagogische 6-)<br />
249<br />
Ook buit<strong>en</strong> het onderwijs ler<strong>en</strong> m<strong>en</strong>s<strong>en</strong> zo ander gedrag Wie regelmatig e<strong>en</strong> bekeuring krijgt <strong>vo</strong>or<br />
e<strong>en</strong>zelfde soort verkeersovertreding, zal prober<strong>en</strong> die sanctie te vermijd<strong>en</strong> <strong>en</strong> zijn gedrag aanpass<strong>en</strong><br />
Dit type ler<strong>en</strong> zi<strong>en</strong> we in allerlei context<strong>en</strong>, zowel in informele als in formele leersituaties<br />
Jonger<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> door de invloed van <strong>vo</strong>lwass<strong>en</strong><strong>en</strong>, maar zeker ook minst<strong>en</strong>s zo veel onder invloed<br />
van leeftijdg<strong>en</strong>ot<strong>en</strong> <strong>en</strong> idol<strong>en</strong>, hoewel dit per leeftijd varieert<br />
Cognitivisme<br />
Psycholog<strong>en</strong> als Piaget, Vygotsky <strong>en</strong> Gagné hebb<strong>en</strong>, ieder vanuit hun eig<strong>en</strong> invalshoek, onderzoek<br />
gedaan naar de cognitieve ontwikkeling van kinder<strong>en</strong> <strong>en</strong> jonger<strong>en</strong> Anders dan de behaviorist<strong>en</strong><br />
zi<strong>en</strong> deze onderzoekers e<strong>en</strong> m<strong>en</strong>s al van jongs af aan als e<strong>en</strong> actief wez<strong>en</strong> dat zelf op onderzoek<br />
uitgaat, experim<strong>en</strong>teert <strong>en</strong> zo als het ware ‘hypotheses’ toetst De manier waarop de m<strong>en</strong>s informatie<br />
verwerft <strong>en</strong> verwerkt staat bij h<strong>en</strong> c<strong>en</strong>traal Het is daardoor begrijpelijk dat het geheug<strong>en</strong> bij h<strong>en</strong><br />
e<strong>en</strong> belangrijke rol speelt Term<strong>en</strong> als lange- <strong>en</strong> kortetermijngeheug<strong>en</strong> <strong>en</strong> werkgeheug<strong>en</strong> dank<strong>en</strong><br />
we aan het cognitivisme<br />
Piaget ontwikkelt e<strong>en</strong> interactietheorie, waarbij hij zijn onderzoek <strong>vo</strong>oral richt op de manier waarop<br />
kinder<strong>en</strong> grip krijg<strong>en</strong> op de fysische wereld van hoeveelhed<strong>en</strong>, mat<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> Piaget onderscheidt<br />
onder meer e<strong>en</strong> drietal mechanism<strong>en</strong> in de cognitieve ontwikkeling die het succes van e<strong>en</strong><br />
leerproces bepal<strong>en</strong><br />
a Assimilatie, waarbij iemand nieuwe informatie inpast in het bestaande d<strong>en</strong>kkader<br />
b Accommodatie, waarbij iemand het bestaande d<strong>en</strong>kkader aanpast op grond van nieuwe informatie<br />
c Equilibratie, waarbij iemand <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d beide process<strong>en</strong> in ev<strong>en</strong>wicht probeert te br<strong>en</strong>g<strong>en</strong>,<br />
wat e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orwaarde blijkt <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> gezonde cognitieve ontwikkeling<br />
Dit laatste mechanisme kunn<strong>en</strong> we herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> in rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong>, als leerling<strong>en</strong> de gepres<strong>en</strong>teerde<br />
informatie niet kunn<strong>en</strong> koppel<strong>en</strong> aan <strong>en</strong> inbedd<strong>en</strong> in hun <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis Zo zijn er bij<strong>vo</strong>orbeeld<br />
leerling<strong>en</strong> die het begrip ‘aanvull<strong>en</strong>’ alle<strong>en</strong> associër<strong>en</strong> met aanvull<strong>en</strong> tot e<strong>en</strong> ti<strong>en</strong>tal Alle instructie<br />
waarin dit begrip e<strong>en</strong> rol speelt, leidt dan niet tot e<strong>en</strong> aanpassing van hun definitie <strong>en</strong> dus ook niet<br />
tot het bijbehor<strong>en</strong>de gedrag Daardoor stagneert op dat punt hun ontwikkeling<br />
Vygotsky bestudeert de relatie tuss<strong>en</strong> taal <strong>en</strong> d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> bij kinder<strong>en</strong> Als verteg<strong>en</strong>woordiger van de<br />
sociaal-culturele theorie b<strong>en</strong>adrukt hij het belang van sociale <strong>en</strong> culturele factor<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de cognitieve<br />
ontwikkeling Lerar<strong>en</strong> <strong>en</strong> andere op<strong>vo</strong>eders zijn in zijn og<strong>en</strong> daarbij onontbeerlijk Het maakt<br />
wel uit wat zij do<strong>en</strong> <strong>en</strong> hoe Hij introduceerde e<strong>en</strong> tweetal begripp<strong>en</strong> die nog steeds bek<strong>en</strong>d zijn
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Het <strong>en</strong>e is de ‘zone van de naaste ontwikkeling’ (de fase dat iemand e<strong>en</strong> taak al bijna zelfstandig<br />
kan uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong>, maar nog wel de steun nodig heeft van iemand anders die de taak al beheerst) Die<br />
hulp vanuit de omgeving zorgt <strong>vo</strong>or de uitdaging om zich verder te ontwikkel<strong>en</strong> Het andere begrip<br />
is scaffolding, het gebruik van zog<strong>en</strong>aamde steigers Steigers gev<strong>en</strong> aanwijzing<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong><br />
die de leerling help<strong>en</strong> e<strong>en</strong> bepaald probleem op te loss<strong>en</strong> <strong>en</strong> tegelijk help<strong>en</strong> dat geleerde te g<strong>en</strong>eraliser<strong>en</strong><br />
250<br />
Galperin heeft dat idee van de zone van de naaste ontwikkeling, die aansluit bij de zone van de<br />
actuele ontwikkeling, verder uitgewerkt Daarmee legde hij de basis <strong>vo</strong>or wat we nu k<strong>en</strong>n<strong>en</strong> als de<br />
handelingstheorie Deze theorie stelt de interactie tuss<strong>en</strong> individu<strong>en</strong> c<strong>en</strong>traal Het basisprincipe<br />
van ler<strong>en</strong> wordt in deze theorie ge<strong>vo</strong>rmd door vijf stapp<strong>en</strong>:<br />
a oriëntatie op de handeling;<br />
b de materiële handeling;<br />
c de verbale handeling;<br />
d de m<strong>en</strong>tale handeling;<br />
e de verinnerlijking van de handeling<br />
Ler<strong>en</strong> is in deze opvatting e<strong>en</strong> actief proces waarbij de ler<strong>en</strong>de zelf altijd de <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de stap neemt<br />
E<strong>en</strong> stur<strong>en</strong>de instructie, zoals beschrev<strong>en</strong> in deel 4, past bij deze b<strong>en</strong>adering van ler<strong>en</strong> In<br />
Nederland zijn de studies van Galperin beschrev<strong>en</strong> door Van Parrer<strong>en</strong> <strong>en</strong> Neliss<strong>en</strong> (1977)<br />
Ver<strong>vo</strong>lgstudies hebb<strong>en</strong> de theorie over deze vijf stapp<strong>en</strong> verfijnd, waardoor steeds meer nuance<br />
gebracht kan word<strong>en</strong> in het leerproces (Van Oers, 1987; Van Eerde, 1996; Van Gro<strong>en</strong>estijn, 2002)<br />
In de huidige uitwerking van de handelingstheorie is de interactie tuss<strong>en</strong> de leerling <strong>en</strong> zijn omgeving<br />
nog altijd de basis <strong>vo</strong>or ontwikkeling <strong>en</strong> ler<strong>en</strong> Ler<strong>en</strong> is daardoor cultuurgebond<strong>en</strong> <strong>en</strong> sociaal<br />
ingebed Via het concrete handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> het visueel <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> van concrete handeling<strong>en</strong>, ontwikkelt<br />
de leerling concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> komt hij tot m<strong>en</strong>taal handel<strong>en</strong> (d<strong>en</strong>k<strong>en</strong>) Daarbij is communicatie<br />
met ander<strong>en</strong> <strong>en</strong> het kunn<strong>en</strong> verwoord<strong>en</strong> van de handeling (vertell<strong>en</strong> wat je doet) cruciaal Hierdoor<br />
is georganiseerd opslaan van informatie mogelijk <strong>en</strong> kan informatie k<strong>en</strong>nis word<strong>en</strong><br />
Concreet handel<strong>en</strong> is de basis <strong>vo</strong>or m<strong>en</strong>taal handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> is dus nodig <strong>vo</strong>or de ontwikkeling van<br />
formele k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> Omgekeerd stuurt het m<strong>en</strong>taal handel<strong>en</strong> het concrete handel<strong>en</strong><br />
aan Ook het <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> wordt hierdoor beïnvloed<br />
We zi<strong>en</strong> hier e<strong>en</strong>zelfde soort mechanisme als wat Piaget aanduidde met assimilatie <strong>en</strong> accommodatie<br />
Interactie is altijd e<strong>en</strong> iteratief proces: de <strong>en</strong>e handeling vloeit <strong>vo</strong>ort uit e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orafgaande<br />
handeling <strong>en</strong> wordt weer ge<strong>vo</strong>lgd door e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de handeling Van Geert (2008) b<strong>en</strong>oemt dit als<br />
e<strong>en</strong> ‘dynamisch systeem’, vanwege die <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>de wederzijdse beïnvloeding Zijn opvatting sluit<br />
ook aan bij deze handelingstheorie Het in de protocoll<strong>en</strong> <strong>ERWD</strong> gebruikte Handelingsmodel is<br />
ev<strong>en</strong>e<strong>en</strong>s e<strong>en</strong> verdere uitwerking van principes van het cognitivisme<br />
Constructivisme<br />
Het constructivisme als k<strong>en</strong>nistheorie ligt ook aan de basis van cognitivistische theorieën De kern<br />
is dat elk individu zelf actief k<strong>en</strong>nis construeert Op basis van eig<strong>en</strong> ervaring<strong>en</strong>, refer<strong>en</strong>tiekader,<br />
houding <strong>en</strong> <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis past iemand nieuwe informatie actief in bij reeds aanwezige k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong><br />
<strong>vo</strong>rmt hij ze sam<strong>en</strong> om tot nieuwe k<strong>en</strong>nis De consequ<strong>en</strong>tie is dat leerling<strong>en</strong> die dezelfde informatie<br />
krijg<strong>en</strong> aangereikt, die allemaal op hun eig<strong>en</strong> manier zull<strong>en</strong> verwerk<strong>en</strong> tot (nieuwe of meer<br />
uitgebreide) k<strong>en</strong>nis Hoe meer de nieuwe informatie aansluit bij al aanwezige <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> bij<br />
het refer<strong>en</strong>tiekader van de leerling, hoe meer kans er is op leerr<strong>en</strong>dem<strong>en</strong>t We zi<strong>en</strong> dit wanneer<br />
leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> in auth<strong>en</strong>tieke situaties (bij<strong>vo</strong>orbeeld vanuit eig<strong>en</strong> vrag<strong>en</strong> of in e<strong>en</strong> geambieerde
Bijlage A<br />
praktijkstage) Zulke situaties zijn <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l <strong>en</strong> leid<strong>en</strong> daardoor tot e<strong>en</strong> duurzamer<br />
resultaat (Von Glasersfeld, 1996)<br />
De vertaling van constructivisme naar e<strong>en</strong> leertheorie k<strong>en</strong>n<strong>en</strong> we als ‘sociaal-constructivisme’<br />
Door deze toe<strong>vo</strong>eging wordt b<strong>en</strong>adrukt dat ler<strong>en</strong> (verwerv<strong>en</strong> van nieuwe k<strong>en</strong>nis) altijd plaatsvindt<br />
in interactie met de omgeving (Cobb, 1994) Door met ander<strong>en</strong> te communicer<strong>en</strong> reflecteert de<br />
leerling op de eig<strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> Dit leidt in veel gevall<strong>en</strong> tot nieuwe informatie (al was<br />
het maar door hetzelfde te bekijk<strong>en</strong> vanuit e<strong>en</strong> ander perspectief), waardoor de bestaande k<strong>en</strong>nis<br />
wordt bijgesteld of uitgebreid De leraar heeft hierin de taak om problem<strong>en</strong> (‘nieuwe stof’) zodanig<br />
te pres<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> dat leerling<strong>en</strong> zelf met elkaar oplossing<strong>en</strong> gaan bed<strong>en</strong>k<strong>en</strong> In eerste instantie doet<br />
ieder dat natuurlijk vanuit de eig<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis Door vergelijking <strong>en</strong> overleg met ander<strong>en</strong> <strong>en</strong> door<br />
de ban<strong>en</strong>de vrag<strong>en</strong> van de leraar ler<strong>en</strong> zij ook andere gezichtpunt<strong>en</strong>, mogelijkhed<strong>en</strong> <strong>en</strong> aanpakk<strong>en</strong><br />
k<strong>en</strong>n<strong>en</strong> <strong>en</strong> prober<strong>en</strong> die uit E<strong>en</strong> concrete <strong>vo</strong>rm daarbij zijn coöperatieve werk<strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> waardoor<br />
sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong>d ler<strong>en</strong> <strong>en</strong>igszins gestructureerd kan verlop<strong>en</strong> (Cobb, Yackel & Wood, 1992) Het ler<strong>en</strong><br />
van <strong>en</strong> aan elkaar in e<strong>en</strong> klass<strong>en</strong>situatie <strong>en</strong> in sam<strong>en</strong>werking met de leraar stimuleert de cognitieve<br />
ontwikkeling De leraar creëert e<strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle leersituatie (‘krachtige leeromgeving’),<br />
daagt uit <strong>en</strong> stimuleert (Gravemeijer, 1995a, 1995b)<br />
251<br />
Anders dan bij het behaviorisme leid<strong>en</strong> dit type leerprocess<strong>en</strong> tot meer duurzame k<strong>en</strong>nis Dit komt<br />
doordat de leerling het probleem herk<strong>en</strong>t dat aan zijn leerproces t<strong>en</strong> grondslag ligt In nieuwe situaties<br />
kunn<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> vanuit de id<strong>en</strong>tificatie van het probleem de oplossing als het ware opnieuw<br />
reconstruer<strong>en</strong> Het Drieslagmodel <strong>vo</strong>or probleemoploss<strong>en</strong>d handel<strong>en</strong> is hierop gebaseerd<br />
Bij deze b<strong>en</strong>adering van ler<strong>en</strong> pass<strong>en</strong> ban<strong>en</strong>de instructie <strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong>d ler<strong>en</strong>,<br />
zoals beschrev<strong>en</strong> in deel 4<br />
Het veelgebruikte model van directe (effectieve) instructie is teg<strong>en</strong>woordig steeds vaker ingebed in<br />
e<strong>en</strong> breder leerproces van activer<strong>en</strong> van <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis, <strong>vo</strong>ordo<strong>en</strong> – nado<strong>en</strong> – meedo<strong>en</strong> – zelf do<strong>en</strong>,<br />
verwoord<strong>en</strong> <strong>en</strong> opslaan Directe instructie gaat ook vaak sam<strong>en</strong> met coöperatieve werk<strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> In<br />
dit geval is het model niet alle<strong>en</strong> behavioristisch van aard, maar heeft het ook cognitivistische <strong>en</strong><br />
constructivistische k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
Behaviorisme, cognitivisme <strong>en</strong> constructivisme hebb<strong>en</strong> ieder e<strong>en</strong> specifieke kijk op ler<strong>en</strong> Als ge<strong>vo</strong>lg<br />
van die verschill<strong>en</strong>de opvatting<strong>en</strong> over leerprocess<strong>en</strong> pass<strong>en</strong> daar ook steeds andere <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong><br />
van lesgev<strong>en</strong> bij Wij hebb<strong>en</strong> deze variatie steeds verbond<strong>en</strong> met wissel<strong>en</strong>de <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van instructie<br />
gev<strong>en</strong> In het ver<strong>vo</strong>lg van deze bijlage zull<strong>en</strong> we zi<strong>en</strong> hoe dat doorwerkt naar ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> de<br />
problem<strong>en</strong> die daarbij kunn<strong>en</strong> ontstaan<br />
2 Visies op rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
Het is niet verrass<strong>en</strong>d dat wet<strong>en</strong>schappers uit verschill<strong>en</strong>de disciplines ook verschill<strong>en</strong>de verklaring<strong>en</strong><br />
hebb<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or het ontstaan van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> Dat hoeft ons er niet van te weerhoud<strong>en</strong> hun<br />
opvatting<strong>en</strong> te betrekk<strong>en</strong> op de onderwijspraktijk<br />
In deze paragraaf gaan we na hoe vanuit de orthopedagogiek, de ontwikkelingspsychologie <strong>en</strong> de<br />
neurowet<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> naar ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> wordt gekek<strong>en</strong><br />
Ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie hebb<strong>en</strong> – net als ler<strong>en</strong> lez<strong>en</strong>, leesproblem<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
dyslexie – e<strong>en</strong> lange internationale <strong>en</strong> multidisciplinaire geschied<strong>en</strong>is van onderzoek <strong>en</strong> discussie
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Wat maakt dat de <strong>en</strong>e leerling ge<strong>en</strong> <strong>en</strong>kele moeite heeft met rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> de ander nauwelijks <strong>vo</strong>oruitgang<br />
boekt? Ook anno 2012 is niet duidelijk wat de oorzak<strong>en</strong> van deze leerproblem<strong>en</strong> precies<br />
zijn Allerlei nieuwe k<strong>en</strong>nis over de ontwikkeling van het brein (Jolles et al, 2005) <strong>en</strong> lop<strong>en</strong>d onderzoek<br />
over de rol van het geheug<strong>en</strong> geeft <strong>vo</strong>eding aan de veronderstelling dat ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
wel e<strong>en</strong>s minder statisch zoud<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> zijn dan tot nu toe werd gedacht<br />
252<br />
Er is ge<strong>en</strong> verschil van m<strong>en</strong>ing dat het ler<strong>en</strong> van taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong> zijn van complexe<br />
leerprocess<strong>en</strong> Het gaat om sam<strong>en</strong>hang<strong>en</strong>de dynamische system<strong>en</strong> die elkaar <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d beïnvloed<strong>en</strong>,<br />
op verschill<strong>en</strong>de manier<strong>en</strong> <strong>en</strong> op verschill<strong>en</strong>de niveaus (Van Geert, 2008) Ook is duidelijk<br />
dat het gaat om de wisselwerking tuss<strong>en</strong> sterke <strong>en</strong> zwakke factor<strong>en</strong>, zowel in de leerling zelf als<br />
in de manier waarop de omgeving hierop invloed uitoef<strong>en</strong>t<br />
Bek<strong>en</strong>d is dat sterke factor<strong>en</strong> in leerling <strong>en</strong> omgeving elkaar positief kunn<strong>en</strong> versterk<strong>en</strong> <strong>en</strong> dat<br />
zwakke factor<strong>en</strong> elkaar negatief kunn<strong>en</strong> versterk<strong>en</strong> Ook is bek<strong>en</strong>d dat sterke factor<strong>en</strong> zwakke<br />
factor<strong>en</strong> positief kunn<strong>en</strong> beïnvloed<strong>en</strong> Dit betek<strong>en</strong>t dat e<strong>en</strong> sterke rek<strong>en</strong>aar minder last heeft van<br />
minder sterke rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong>, maar <strong>vo</strong>oral dat e<strong>en</strong> zwakke rek<strong>en</strong>aar baat heeft bij sterke rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
Anders gezegd: daar waar de leerling zwak is, moet het onderwijs sterk zijn Dit is wat onderwijs pass<strong>en</strong>d<br />
maakt<br />
Leerling<strong>en</strong> die op school problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> met het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, kunn<strong>en</strong> terecht kom<strong>en</strong> in e<strong>en</strong><br />
negatieve vicieuze cirkel Leerling<strong>en</strong> die goed prester<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> in e<strong>en</strong> positieve virtuoze cirkel<br />
terecht kom<strong>en</strong> Negatieve ervaring<strong>en</strong> bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> problem<strong>en</strong> met het ler<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
versterk<strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> die ervar<strong>en</strong> dat zij goed prester<strong>en</strong>, gaan steeds beter prester<strong>en</strong> Butterworth<br />
(1999) b<strong>en</strong>oemt dit als e<strong>en</strong> iteratief proces waarbij m<strong>en</strong> kan verwacht<strong>en</strong> dat leerling<strong>en</strong> die ernstige<br />
problem<strong>en</strong> ondervind<strong>en</strong> met het ler<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in e<strong>en</strong> negatieve spiraal terecht kom<strong>en</strong> Zij<br />
gaan steeds slechter prester<strong>en</strong> <strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> uiteindelijk blokker<strong>en</strong> bij alles wat op rek<strong>en</strong><strong>en</strong> lijkt<br />
Emotionele problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> to<strong>en</strong>em<strong>en</strong>d gebrek aan zelfvertrouw<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> hierbij versterk<strong>en</strong>d werk<strong>en</strong><br />
Dit wordt ook wel e<strong>en</strong>s het Mattheüs-effect g<strong>en</strong>oemd: wie al goed is wordt steeds beter, maar<br />
wie zwak is zwakt steeds verder af Om dit te <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong> moet tijdig word<strong>en</strong> ingegrep<strong>en</strong><br />
Orthopedagogiek<br />
In de orthopedagogiek focust m<strong>en</strong> <strong>vo</strong>oral op de ontwikkeling van het individuele kind <strong>en</strong> dan met<br />
name op daarbij <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong>de problem<strong>en</strong> Welke aspect<strong>en</strong> in de ontwikkeling zijn min of meer<br />
<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s verwachting <strong>en</strong> welke wijk<strong>en</strong> daarvan af? Ruijss<strong>en</strong>aars, Van Luit <strong>en</strong> Van Lieshout (2004)<br />
mak<strong>en</strong> onderscheid tuss<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>stoorniss<strong>en</strong> Rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> hor<strong>en</strong> bij het<br />
ontwikkelingsproces van ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> zijn in die zin te verwacht<strong>en</strong> Als deze problem<strong>en</strong> echter<br />
niet word<strong>en</strong> opgelost, word<strong>en</strong> ze groter <strong>en</strong> kan er <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s h<strong>en</strong> sprake zijn van e<strong>en</strong> stoornis Zij<br />
beschrijv<strong>en</strong> dyscalculie als: ‘E<strong>en</strong> stoornis die gek<strong>en</strong>merkt wordt door hardnekkige problem<strong>en</strong> met<br />
het ler<strong>en</strong> <strong>en</strong> vlot/accuraat oproep<strong>en</strong>/toepass<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>-/wiskundek<strong>en</strong>nis (feit<strong>en</strong>/afsprak<strong>en</strong>)’<br />
(Ruijss<strong>en</strong>aars et al, 2004, p 28) Zij constater<strong>en</strong> dat er in het psychologisch functioner<strong>en</strong> op dit<br />
punt e<strong>en</strong> afwijking is t<strong>en</strong> opzichte van de rest van het functioner<strong>en</strong> Het onthoud<strong>en</strong> van feit<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
afsprak<strong>en</strong> komt niet of slechts beperkt tot stand Er is sprake van e<strong>en</strong> afwijking in e<strong>en</strong> psychologische<br />
functie Er kan tev<strong>en</strong>s e<strong>en</strong> (tamelijk) grote sam<strong>en</strong>hang <strong>en</strong> overlap zijn met de afwijking<strong>en</strong> in<br />
psychologische functies bij dyslexie Zij kom<strong>en</strong> tot de conclusie dat dyscalculie, net als dyslexie,<br />
e<strong>en</strong> erfelijke basis kan hebb<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>vo</strong>orkomt bij ongeveer 2 à 3 proc<strong>en</strong>t van de be<strong>vo</strong>lking (zie ook<br />
Van Luit, 2006) Binn<strong>en</strong> deze groep heeft ongeveer 60% van de leerling<strong>en</strong> zowel dyslexie als dyscalculie<br />
(comorbiditeit) (Ruijss<strong>en</strong>aars et al, 2004)
Bijlage A<br />
Van Luit (2010, p 19) stelt in zijn oratie echter wel, dat het zowel in de klinische praktijk als in<br />
wet<strong>en</strong>schappelijk onderzoek lastig is om e<strong>en</strong> precieze scheidslijn te trekk<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> dyscalculie<br />
Vanuit de orthopedagogiek bezi<strong>en</strong> is er sprake van ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> als de rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
structureel niet <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s verwachting tot stand komt, maar bij de verwachting achterblijft<br />
Ontwikkelingspsychologie<br />
De focus van de ontwikkelingspsychologie ligt op wat de verwachte ontwikkeling van m<strong>en</strong>s<strong>en</strong> is <strong>en</strong><br />
wat daaraan bijdraagt Zo ziet Leseman (2004) dat de ontwikkeling van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> wiskunde<br />
<strong>vo</strong>oral beïnvloed wordt door taal <strong>en</strong> visueel-ruimtelijk d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> De m<strong>en</strong>s<strong>en</strong> in de directe omgeving<br />
zijn daar<strong>vo</strong>or ess<strong>en</strong>tieel De ontwikkeling van rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> begint bij het beweg<strong>en</strong> in de ruimte<br />
in combinatie met het b<strong>en</strong>oem<strong>en</strong> van die ruimte Deze manier van ler<strong>en</strong> noemt hij embodied cognition<br />
De wijze waarop deze ontwikkeling in de eerste lev<strong>en</strong>sjar<strong>en</strong> verloopt, heeft invloed op de start<br />
<strong>en</strong> daarmee ook op het ver<strong>vo</strong>lg van de schoolloopbaan van e<strong>en</strong> leerling<br />
Uit onderzoek blijkt dat e<strong>en</strong> omgeving die op gebied van rek<strong>en</strong>taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> als ‘arm’ is te typer<strong>en</strong><br />
e<strong>en</strong> belangrijke bron kan zijn van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> (Tudge & Doucet, 2004) Naarmate leerling<strong>en</strong><br />
meer ervaring<strong>en</strong> opdo<strong>en</strong> in de concrete werkelijkheid <strong>en</strong> deze beter ler<strong>en</strong> b<strong>en</strong>oem<strong>en</strong>, is de<br />
kans op e<strong>en</strong> goede ontwikkeling van taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> groter<br />
De hier<strong>vo</strong>or al g<strong>en</strong>oemde embodied cognition is de basis <strong>vo</strong>or de ontwikkeling van hogere cognitieve<br />
functies zoals visualiser<strong>en</strong>, analyser<strong>en</strong>, ord<strong>en</strong><strong>en</strong>, logisch red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de sociaal-emotionele<br />
ontwikkeling Grijp<strong>en</strong> leidt tot begrijp<strong>en</strong>, zi<strong>en</strong> leidt tot inzi<strong>en</strong> <strong>en</strong> inzicht, <strong>vo</strong>el<strong>en</strong> leidt tot in<strong>vo</strong>el<strong>en</strong>,<br />
luister<strong>en</strong> tot beluister<strong>en</strong>, sprek<strong>en</strong> tot besprek<strong>en</strong>, k<strong>en</strong>n<strong>en</strong> tot herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> <strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis<br />
Ook bij leerling<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs zi<strong>en</strong> we dat embodied cognition nog altijd e<strong>en</strong> belangrijke<br />
basis is <strong>vo</strong>or ler<strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> het beste van <strong>en</strong> in situaties waarbij zij zich werkelijk<br />
persoonlijk betrokk<strong>en</strong> <strong>vo</strong>el<strong>en</strong> Deze waarneming sluit aan bij wat we zag<strong>en</strong> als k<strong>en</strong>merk <strong>vo</strong>or succes<strong>vo</strong>l<br />
ler<strong>en</strong> vanuit het sociaal-constructivisme<br />
253<br />
Leseman (2004) gaat ervan uit dat er twee system<strong>en</strong> t<strong>en</strong> grondslag ligg<strong>en</strong> aan ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Het<br />
eerste systeem is e<strong>en</strong> visueel systeem, gericht op de globale waarneming (<strong>en</strong> later herk<strong>en</strong>ning) van<br />
aantall<strong>en</strong> Dit is nauw verwev<strong>en</strong> met het zi<strong>en</strong> <strong>en</strong> het visuele geheug<strong>en</strong> Het tweede systeem is e<strong>en</strong><br />
verbaal systeem <strong>en</strong> nauw verbond<strong>en</strong> met het ler<strong>en</strong> van de telrij via de taal, de telwoord<strong>en</strong> dus Het<br />
is bedoeld <strong>vo</strong>or het exact kunn<strong>en</strong> b<strong>en</strong>oem<strong>en</strong> van aantall<strong>en</strong><br />
Het ontstaan van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> kan word<strong>en</strong> verklaard als het niet goed tot stand kom<strong>en</strong> van de<br />
integratie van het eerste, analoge niet-exacte rek<strong>en</strong>systeem met het tweede, verbale systeem<br />
Rek<strong>en</strong>feit<strong>en</strong> die in taal zijn vervat blijv<strong>en</strong> daardoor betek<strong>en</strong>isloos (Leseman, 2004) Kinder<strong>en</strong> met<br />
taalproblem<strong>en</strong> lop<strong>en</strong> ook het risico om (ernstige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> te krijg<strong>en</strong> vanwege de rol van<br />
taal bij de ontwikkeling van rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Leseman concludeert dat ernstige leerproblem<strong>en</strong> niet direct te herleid<strong>en</strong> zijn tot beschadiging<strong>en</strong> of<br />
afwijking<strong>en</strong> in specifieke modul<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or hogere cognitieve <strong>en</strong> taalfuncties G<strong>en</strong>etische risico’s, geboorterisico’s<br />
<strong>en</strong> vroege pedagogische trauma’s grijp<strong>en</strong> aan op e<strong>en</strong> laag organisati<strong>en</strong>iveau van de<br />
hers<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> beïnvloed<strong>en</strong> zo de ontwikkeling Het uiteindelijke effect – de aard, ernst <strong>en</strong> breedte<br />
van de stoornis – staat niet los van de omgeving waarin de ontwikkeling zich <strong>vo</strong>ltrekt<br />
Leseman geeft verder aan dat ook kinder<strong>en</strong> zonder neurobiologisch naspeurbare stoornis ernstig<br />
kunn<strong>en</strong> verdwal<strong>en</strong> in de <strong>vo</strong>orschoolse periode Dit gebeurt wanneer in hun omgeving geschikte<br />
‘ontwikkelingspad<strong>en</strong>’ ontbrek<strong>en</strong> Hij ziet daarom ge<strong>en</strong> principieel verschil tuss<strong>en</strong> ernstige leerproblem<strong>en</strong><br />
met e<strong>en</strong> g<strong>en</strong>etisch-biologische achtergrond <strong>en</strong> leerproblem<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> culturele oorzaak
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
(Leseman, 2004, p 29) Anders gezegd: ook als er in de aanleg van e<strong>en</strong> leerling niets mis is, kunn<strong>en</strong><br />
ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ontstaan door bij<strong>vo</strong>orbeeld het ontbrek<strong>en</strong> van die vroege stimulans<br />
of e<strong>en</strong> tekortschiet<strong>en</strong>d rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
Vanuit de ontwikkelingspsychologie bezi<strong>en</strong> is het de vraag welke invloed de omgeving heeft uitgeoef<strong>en</strong>d<br />
op de mogelijkhed<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> kind Het ontstaan van ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> kan dan het<br />
ge<strong>vo</strong>lg zijn van e<strong>en</strong> mismatch tuss<strong>en</strong> aanlegfactor<strong>en</strong> <strong>en</strong> omgevingsfactor<strong>en</strong><br />
254<br />
Neurobiologie <strong>en</strong> neuropsychologie<br />
De focus van de neurobiologische <strong>en</strong> neuropsychologische wet<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> is verschill<strong>en</strong>d De eerste<br />
groep onderzoekers is <strong>vo</strong>oral gericht op het verklar<strong>en</strong> van gedrag uit hers<strong>en</strong>activiteit De andere<br />
groep onderzoekers is meer bezig met het verklar<strong>en</strong> van hers<strong>en</strong>activiteit uit gedrag Dat leidt ook<br />
tot verschill<strong>en</strong>de visies op rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie Wie gedrag wil verklar<strong>en</strong> uit hers<strong>en</strong>activiteit<br />
zoekt welke del<strong>en</strong> van de hers<strong>en</strong><strong>en</strong> actief zijn bij iemand met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong>,<br />
vergelek<strong>en</strong> met iemand die ge<strong>en</strong> problem<strong>en</strong> heeft Zij gaan meer uit van het beeld van hers<strong>en</strong>activiteit<br />
zoals zich dat <strong>vo</strong>ordoet Neuropsycholog<strong>en</strong> kijk<strong>en</strong> juist wat er in de hers<strong>en</strong><strong>en</strong> gebeurt als iemand<br />
met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> op verschill<strong>en</strong>de manier<strong>en</strong> wordt gestimuleerd Zij do<strong>en</strong> dit<br />
bij<strong>vo</strong>orbeeld door hers<strong>en</strong>activiteit bij opdracht<strong>en</strong> op verschill<strong>en</strong>de handelingsniveaus te vergelijk<strong>en</strong><br />
Zij gaan uit van de plasticiteit van de hers<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
De neurobiolog<strong>en</strong> b<strong>en</strong>adrukk<strong>en</strong> dat dyscalculie van jongs af aan in bepaalde hers<strong>en</strong>gebied<strong>en</strong> aantoonbaar<br />
aanwezig is, met name in de intra-pariëtale groeve Wij noem<strong>en</strong> onder andere Butterworth<br />
(1999), Deha<strong>en</strong>e (1997), Von Aster (2005) <strong>en</strong> Van Loosbroek (2006) Er zijn ook onderzoekers die<br />
b<strong>en</strong>adrukk<strong>en</strong> dat bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> alle hers<strong>en</strong>gebied<strong>en</strong> actief zijn <strong>en</strong> dat bij kinder<strong>en</strong> met dyscalculie<br />
het gehele neurale netwerk zwakkere activiteit laat zi<strong>en</strong> dan bij kinder<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> normale<br />
rek<strong>en</strong>wiskundige ontwikkeling (Kucian & Von Aster, 2006)<br />
Jolles et al (2005) stell<strong>en</strong> daar de vraag teg<strong>en</strong>over of deze bevinding<strong>en</strong> (zwakkere activiteit van het<br />
neurale netwerk <strong>en</strong> het niet uitontwikkeld zijn van de intra-pariëtale groeve) de oorzaak of juist het<br />
ge<strong>vo</strong>lg zijn van rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> Zij beschrijv<strong>en</strong> dat het brein netwerk<strong>en</strong> ontwikkelt die het gedrag<br />
<strong>en</strong> de vaardighed<strong>en</strong> ondersteun<strong>en</strong> die e<strong>en</strong> m<strong>en</strong>s nodig heeft om in e<strong>en</strong> verander<strong>en</strong>de omgeving te<br />
overlev<strong>en</strong> Zij vergelijk<strong>en</strong> de ontwikkeling van het brein met het aanlegg<strong>en</strong> van infrastructuur van<br />
weg<strong>en</strong> De netwerk<strong>en</strong> zijn aanvankelijk heel diffuus <strong>en</strong> flexibel <strong>en</strong> informatie verloopt via allerlei<br />
routes (‘zandweggetjes’) Geleidelijk aan ontwikkel<strong>en</strong> zich hoofdweg<strong>en</strong> <strong>en</strong> zijweg<strong>en</strong> <strong>en</strong> word<strong>en</strong><br />
routes steeds meer vastgelegd De zandweggetjes verdwijn<strong>en</strong> <strong>en</strong> de hoofdroutes <strong>en</strong> zijweg<strong>en</strong> blijv<strong>en</strong><br />
over Jolles et al gev<strong>en</strong> aan dat wanneer bepaalde hers<strong>en</strong>del<strong>en</strong> nog niet uitontwikkeld zijn,<br />
andere hers<strong>en</strong>del<strong>en</strong> de tak<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> overnem<strong>en</strong> <strong>en</strong> zich specialiser<strong>en</strong><br />
Dit proces van ontwikkel<strong>en</strong>, aanpass<strong>en</strong> <strong>en</strong> verder ontwikkel<strong>en</strong> gaat altijd door, ongeacht de leeftijd<br />
Dit principe heeft invloed op de ontwikkeling van cognitieve vaardighed<strong>en</strong> <strong>en</strong> speelt e<strong>en</strong> rol bij ler<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> bij leerproblem<strong>en</strong> Dit impliceert bij<strong>vo</strong>orbeeld dat als bij jonge kinder<strong>en</strong> vertraging of verstoring<br />
optreedt in de ontwikkeling van het ler<strong>en</strong>, mogelijkhed<strong>en</strong> gezocht kunn<strong>en</strong> word<strong>en</strong> om deze<br />
ontwikkeling op andere wijze alsnog te stimuler<strong>en</strong> Bij<strong>vo</strong>orbeeld door expliciete training Ook na<br />
e<strong>en</strong> hers<strong>en</strong>beschadiging kunn<strong>en</strong> kinder<strong>en</strong> nog veel ler<strong>en</strong> Vooral als er sprake is van langzaam<br />
verstor<strong>en</strong>de factor<strong>en</strong> die zich vroeg in het lev<strong>en</strong> manifester<strong>en</strong>, kan het brein veel opvang<strong>en</strong> Ook<br />
Sitskoorn (2006) ondersteunt deze theorie over de plasticiteit van het brein<br />
Mom<strong>en</strong>teel wordt aang<strong>en</strong>om<strong>en</strong> dat de hers<strong>en</strong><strong>en</strong> rond het 25ste lev<strong>en</strong>sjaar <strong>vo</strong>lledig <strong>vo</strong>lgroeid <strong>en</strong><br />
gerijpt zijn, maar dat ook daarna hers<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d nieuwe prikkels krijg<strong>en</strong> Dat houdt de<br />
hers<strong>en</strong><strong>en</strong> actief Hers<strong>en</strong><strong>en</strong> blijv<strong>en</strong> altijd flexibel <strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> zich tot op hoge leeftijd blijv<strong>en</strong> aanpas-
Bijlage A<br />
s<strong>en</strong> De ge<strong>vo</strong>eligheid <strong>vo</strong>or prikkeling die nu al uit deze onderzoek<strong>en</strong> blijkt, zou erop kunn<strong>en</strong> wijz<strong>en</strong><br />
dat dit ook geldt <strong>vo</strong>or het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Als kinder<strong>en</strong> van jongs af aan op verschill<strong>en</strong>de manier<strong>en</strong><br />
zijn uitgedaagd tot activiteit, zoud<strong>en</strong> de hers<strong>en</strong><strong>en</strong> zich optimaler kunn<strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong> dan wanneer<br />
die invloed e<strong>en</strong>zijdig is Dat heeft dan direct consequ<strong>en</strong>ties <strong>vo</strong>or de manier waarop rek<strong>en</strong>less<strong>en</strong><br />
inhoud <strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm krijg<strong>en</strong> E<strong>en</strong>zijdig oef<strong>en</strong><strong>en</strong> of e<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>de nadruk op één bepaald type<br />
leeractiviteit<strong>en</strong> laat dan mogelijkhed<strong>en</strong> in de hers<strong>en</strong><strong>en</strong> onb<strong>en</strong>ut<br />
Neurowet<strong>en</strong>schappers veronderstell<strong>en</strong> dat bij het ervar<strong>en</strong> van ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> de werking<br />
van de hers<strong>en</strong><strong>en</strong> e<strong>en</strong> rol speelt Welke rol dat is <strong>en</strong> wat daarbij oorzaak is <strong>en</strong> wat ge<strong>vo</strong>lg, zal<br />
later hopelijk uit verder onderzoek blijk<strong>en</strong><br />
255<br />
De onderzoeksag<strong>en</strong>da<br />
Terwijl hers<strong>en</strong>onderzoek <strong>vo</strong>orlopig nog <strong>vo</strong>lop in ontwikkeling is, richt ander wet<strong>en</strong>schappelijk onderzoek<br />
zich nu op de rol van het werkgeheug<strong>en</strong> <strong>en</strong> de zogehet<strong>en</strong> executieve functies Deze functies<br />
spel<strong>en</strong> bij het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> e<strong>en</strong> belangrijke rol Executieve functies zijn onderdeel van het c<strong>en</strong>traal executieve<br />
systeem dat het handel<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> individu aanstuurt Dit systeem werd <strong>vo</strong>or het eerst door<br />
Baddeley <strong>en</strong> Hitch (1974) g<strong>en</strong>oemd als e<strong>en</strong> model <strong>vo</strong>or het werkgeheug<strong>en</strong>, de tijdelijke opslag van<br />
taakrelevante informatie Aang<strong>en</strong>om<strong>en</strong> wordt dat dit c<strong>en</strong>traal executieve systeem bestaat uit verschill<strong>en</strong>de<br />
executieve functies (Repovs & Baddeley, 2006; “Baddeley’s model of working memory”,<br />
nd) De belangrijkste zijn:<br />
• inhibitie (uitschakel<strong>en</strong> van afleid<strong>en</strong>de of niet-relevante informatie);<br />
• shifting (wissel<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> verschill<strong>en</strong>de tak<strong>en</strong>);<br />
• updating (opslaan <strong>en</strong> bijwerk<strong>en</strong> van informatie in het werkgeheug<strong>en</strong>)<br />
Deze functies help<strong>en</strong> e<strong>en</strong> leerling bij het plann<strong>en</strong> <strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van zijn handeling<strong>en</strong><br />
Inhibitie doet e<strong>en</strong> beroep op het vermog<strong>en</strong> van de leerling om relevante informatie uit e<strong>en</strong> opdracht<br />
te hal<strong>en</strong> <strong>en</strong> afleid<strong>en</strong>de informatie te neger<strong>en</strong> Bij shifting moet de leerling eerder gebruikte<br />
informatie opslaan in het werkgeheug<strong>en</strong> <strong>en</strong> ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s relevante informatie uit het langetermijngeheug<strong>en</strong><br />
oproep<strong>en</strong> (retrieval) Bij updating moet de leerling tijdelijk informatie geord<strong>en</strong>d opslaan,<br />
die informatie in het werkgeheug<strong>en</strong> bijwerk<strong>en</strong> om die informatie ver<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s weer te kunn<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong><br />
Shifting <strong>en</strong> updating zijn cruciaal bij het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van complexe tak<strong>en</strong> Rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
kunn<strong>en</strong> ontstaan door overbelasting van het werkgeheug<strong>en</strong> Dit kan het ge<strong>vo</strong>lg zijn van niet goed<br />
ontwikkelde executieve functies, bij<strong>vo</strong>orbeeld doordat leerling<strong>en</strong> te weinig tot zelf d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> zijn<br />
uitgedaagd (Kroesberg<strong>en</strong>, Van der V<strong>en</strong>, Kolkman, Van Luit & Leseman, 2009; Van Lieshout 2006,<br />
2010; Van Lieshout & Ber<strong>en</strong>ds, 2009; Paternotte, 2006)<br />
Rek<strong>en</strong>didactiek<br />
De focus van de rek<strong>en</strong>didactiek is het ontwikkel<strong>en</strong> van werkwijz<strong>en</strong> die het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> zo optimaal<br />
mogelijk lat<strong>en</strong> verlop<strong>en</strong> Anders gezegd: de rek<strong>en</strong>didactiek zoekt antwoord op de vraag ‘Wat<br />
is goed rek<strong>en</strong>onderwijs?’<br />
De aanname van rek<strong>en</strong>didactici is dat goed rek<strong>en</strong>onderwijs het mogelijk maakt dat leerling<strong>en</strong> optimaal<br />
kunn<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> Dit lukt als het onderwijsaanbod, naar inhoud <strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm, zorgvuldig wordt<br />
afgestemd op de ontwikkeling <strong>en</strong> de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong> Waar dat gebeurt zull<strong>en</strong><br />
zich ge<strong>en</strong> of slechts geringe problem<strong>en</strong> bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>vo</strong>ordo<strong>en</strong><br />
Het ligt <strong>vo</strong>or de hand dat rek<strong>en</strong>didactiek is gebaseerd op <strong>en</strong>erzijds leertheorieën <strong>en</strong> anderzijds op<br />
de k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de leerstofinhoud Die combinatie moet klopp<strong>en</strong> Daarbij speelt ook de visie op
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
wat de opbr<strong>en</strong>gst van ‘goed rek<strong>en</strong>onderwijs’ moet zijn, e<strong>en</strong> rol In het <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>de deel van deze bijlage<br />
gaan we hierop verder in<br />
3 Uitgangspunt<strong>en</strong> <strong>vo</strong>or goed rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
256<br />
De huidige rek<strong>en</strong>didactiek is gebaseerd op vijf fundam<strong>en</strong>tele leerprincipes Deze zijn oorspronkelijk<br />
beschrev<strong>en</strong> door Treffers <strong>en</strong> De Moor (1990) als de basis van de reconstructiedidactiek Zoals<br />
de naam al doet vermoed<strong>en</strong>, sluit deze didactiek nauw aan bij de handelingstheorie <strong>en</strong> het sociaalconstructivisme<br />
Deze uitgangspunt<strong>en</strong> ligg<strong>en</strong> ook t<strong>en</strong> grondslag aan de in de protocoll<strong>en</strong> <strong>ERWD</strong><br />
beschrev<strong>en</strong> aanpak <strong>vo</strong>or prev<strong>en</strong>tie <strong>en</strong> begeleiding van ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
Deze uitgangspunt<strong>en</strong> zijn:<br />
a leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> vanuit <strong>en</strong> gericht op betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle situaties;<br />
b leerling<strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong> zich van informele aanpakk<strong>en</strong> naar formele aanpakk<strong>en</strong>;<br />
c leerling<strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong> zelf actief oplossingsprocedures;<br />
d leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> door interactie <strong>en</strong> reflectie;<br />
e leerling<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> bij ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> gebruik van de verstr<strong>en</strong>geling van leerstoflijn<strong>en</strong><br />
Wij licht<strong>en</strong> deze uitgangspunt<strong>en</strong> hierna toe<br />
a. Leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> vanuit <strong>en</strong> gericht op betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>lle situaties<br />
Het ultieme doel van ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is dat leerling<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> in uite<strong>en</strong>lop<strong>en</strong>de<br />
situaties in het dagelijks lev<strong>en</strong> In zulke situaties is rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> zijn getall<strong>en</strong> altijd betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l<br />
Daarom is het belangrijk dat rek<strong>en</strong><strong>en</strong> op school ook betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l is Ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in auth<strong>en</strong>tieke<br />
situaties (zelf do<strong>en</strong>) of door middel van context<strong>en</strong> die verwijz<strong>en</strong> naar zulke echte situaties, is daar<strong>vo</strong>or<br />
noodzakelijk Leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> bij concrete rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> wat er gebeurt <strong>en</strong><br />
welke consequ<strong>en</strong>ties hun handel<strong>en</strong> kan hebb<strong>en</strong> Hierdoor zijn zij betrokk<strong>en</strong> <strong>en</strong> krijgt het rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
<strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is De leerling<strong>en</strong> gaan begrijp<strong>en</strong> wat ze do<strong>en</strong> <strong>en</strong> waarom rek<strong>en</strong><strong>en</strong> ook <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong><br />
belangrijk is Op basis hiervan kunn<strong>en</strong> zij goede rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong>, die zij begrijp<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
doorzi<strong>en</strong> De theorie van Leseman (2004) over embodied cognition ondersteunt dit uitgangspunt In<br />
rek<strong>en</strong>methodes wordt vaak gebruik gemaakt van context<strong>en</strong> Niet alles wat als context wordt gepres<strong>en</strong>teerd<br />
sluit aan bij de ervaring<strong>en</strong> <strong>en</strong> de belevingswereld van de leerling<strong>en</strong> Als die aansluiting<br />
ontbreekt zijn het <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> ge<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orstelbare situaties Alle<strong>en</strong> met herk<strong>en</strong>bare situaties kunn<strong>en</strong> zij<br />
toepasbare <strong>en</strong> bruikbare k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong><br />
In het refer<strong>en</strong>tiekader <strong>vo</strong>or rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is ‘functioneel gebruik’ als concrete doelstelling beschrev<strong>en</strong><br />
b. Leerling<strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong> zich van informeel handel<strong>en</strong> naar formeel handel<strong>en</strong><br />
Het proces van ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> verloopt steeds van informeel naar formeel handel<strong>en</strong> Vanuit het<br />
informele, concrete handel<strong>en</strong> in werkelijkheidssituaties (zie uitgangspunt a) <strong>en</strong> het verwoord<strong>en</strong><br />
van de handeling, komt de leerling via <strong>vo</strong>orstelbare situaties (context<strong>en</strong>) <strong>en</strong> schematiser<strong>en</strong> (d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong>)<br />
tot formele k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong> (Gravemeijer, 1994) Dit proces verloopt geleidelijk<br />
<strong>en</strong> is de basis <strong>vo</strong>or goede conceptontwikkeling Dit uitgangspunt sluit aan bij de handelingstheorie<br />
<strong>en</strong> de elem<strong>en</strong>t<strong>en</strong> daarvan zijn terug te vind<strong>en</strong> in het Handelingsmodel<br />
c. Leerling<strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong> zelf actief oplossingsprocedures<br />
Leerling<strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong> in werkelijkheidssituaties hun eig<strong>en</strong>, informele oplossingsprocedures (zie<br />
uitgangspunt b) door zelf actief, productief <strong>en</strong> construer<strong>en</strong>d te handel<strong>en</strong> In het rek<strong>en</strong>onderwijs<br />
word<strong>en</strong> die informele procedures gekoppeld aan visuele beeld<strong>en</strong> <strong>en</strong> modell<strong>en</strong> Hierdoor ler<strong>en</strong> ze
Bijlage A<br />
werk<strong>en</strong> met d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong> (schematiser<strong>en</strong>) Deze zijn op hun beurt weer de basis <strong>vo</strong>or formele<br />
bewerking<strong>en</strong><br />
De leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> hoofdrek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> mak<strong>en</strong> berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> op papier Zij ler<strong>en</strong> daarbij gebruik te<br />
mak<strong>en</strong> van eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> van getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong> <strong>en</strong> van relaties tuss<strong>en</strong> getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong><br />
Daarnaast ler<strong>en</strong> zij standaardprocedures <strong>vo</strong>or de basisbewerking<strong>en</strong> (optell<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong>,<br />
verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> <strong>en</strong> del<strong>en</strong>)<br />
Door uit te gaan van concrete problem<strong>en</strong>, ontwikkel<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> inzicht in de oplossingsprocedures<br />
<strong>en</strong> zijn deze <strong>vo</strong>or h<strong>en</strong> betek<strong>en</strong>is<strong>vo</strong>l Daardoor kunn<strong>en</strong> zij indi<strong>en</strong> nodig terugvall<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> concreter<br />
niveau binn<strong>en</strong> het Handelingsmodel<br />
Deze aanpak staat haaks op het ler<strong>en</strong> van trucjes die alle<strong>en</strong> zijn gericht op het vind<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> antwoord<br />
Probleemoploss<strong>en</strong>d rek<strong>en</strong><strong>en</strong> waarbij de leerling<strong>en</strong> aanvankelijk zelf hun informele oplossingsprocedures<br />
bepal<strong>en</strong>, is de basis <strong>vo</strong>or functioneel rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het dagelijks lev<strong>en</strong> Dit uitgangspunt<br />
sluit aan bij het sociaal-constructivisme<br />
257<br />
d. Leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> door interactie <strong>en</strong> reflectie<br />
Interactie in de rek<strong>en</strong>les gebeurt zowel tuss<strong>en</strong> leraar <strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> als tuss<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> onderling<br />
Daar<strong>vo</strong>or is het noodzakelijk dat e<strong>en</strong> leerling m<strong>en</strong>tale beeld<strong>en</strong> <strong>en</strong> mogelijke oplossingsaanpakk<strong>en</strong><br />
kan verwoord<strong>en</strong> Dit maakt interactie e<strong>en</strong> belangrijk instrum<strong>en</strong>t bij het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Interactie<br />
stimuleert tot het verhelder<strong>en</strong> van d<strong>en</strong>kprocess<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> dat be<strong>vo</strong>rdert het ler<strong>en</strong> De<br />
leraar stuurt dit proces aan door gerichte, op<strong>en</strong> <strong>en</strong> uitdag<strong>en</strong>de vrag<strong>en</strong> te stell<strong>en</strong> Leerling<strong>en</strong> besprek<strong>en</strong><br />
met elkaar rek<strong>en</strong>kundige problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> vergelijk<strong>en</strong> oplossingsprocedures Door deze interactie<br />
ler<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> steeds beter hun gedacht<strong>en</strong> <strong>en</strong> ideeën te verwoord<strong>en</strong>, te ord<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> te vergelijk<strong>en</strong><br />
met die van ander<strong>en</strong> Daarmee ler<strong>en</strong> zij rek<strong>en</strong>kundig te communicer<strong>en</strong>, de juiste term<strong>en</strong><br />
te gebruik<strong>en</strong> <strong>en</strong> logische verband<strong>en</strong> <strong>en</strong> conclusies te b<strong>en</strong>oem<strong>en</strong> Door het gebruik<strong>en</strong> <strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong><br />
van rek<strong>en</strong>taal krijg<strong>en</strong> zij meer (<strong>en</strong> beter) inzicht <strong>en</strong> vergrot<strong>en</strong> zij hun k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong><br />
Met name bij de instructie <strong>en</strong> bij de reflectie speelt de leraar e<strong>en</strong> cruciale rol Hij is daarin heel<br />
stimuler<strong>en</strong>d <strong>vo</strong>or het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, mits hij dat op e<strong>en</strong> stur<strong>en</strong>de of ban<strong>en</strong>de manier doet Bij het<br />
uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> oploss<strong>en</strong> van rek<strong>en</strong>opdracht<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> ook gericht sam<strong>en</strong>werk<strong>en</strong> In<br />
dat geval heeft de leraar e<strong>en</strong> meer adviser<strong>en</strong>de, stimuler<strong>en</strong>de <strong>en</strong> ondersteun<strong>en</strong>de rol Ook dan is<br />
het weer van belang welk soort vrag<strong>en</strong> hij stelt<br />
e. Leerling<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> bij ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> gebruik van de verstr<strong>en</strong>geling van leerstoflijn<strong>en</strong><br />
De vier basisbewerking<strong>en</strong> – optell<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong> <strong>en</strong> del<strong>en</strong> – zijn met elkaar verwev<strong>en</strong><br />
Om ze goed te begrijp<strong>en</strong> <strong>en</strong> om er vlot mee te rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, kunn<strong>en</strong> ze niet onafhankelijk van<br />
elkaar word<strong>en</strong> geleerd Deze vier bewerking<strong>en</strong> <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> de ess<strong>en</strong>tiële basis van het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in de<br />
andere domein<strong>en</strong> Daarnaast is er binn<strong>en</strong> het domein verhouding<strong>en</strong> sprake van verstr<strong>en</strong>geling bij<br />
breuk<strong>en</strong>, decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> Doordat verhouding<strong>en</strong> <strong>en</strong> decimale getall<strong>en</strong> e<strong>en</strong> ess<strong>en</strong>tiele<br />
rol spel<strong>en</strong> in het metriek stelsel is er ook e<strong>en</strong> nauw verband met het domein met<strong>en</strong><br />
Door leerling<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ortdur<strong>en</strong>d de sam<strong>en</strong>hang tuss<strong>en</strong> verschill<strong>en</strong>de rek<strong>en</strong>activiteit<strong>en</strong> te lat<strong>en</strong> ontdekk<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> b<strong>en</strong>oem<strong>en</strong>, ontwikkel<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> goede rek<strong>en</strong>kundige concept<strong>en</strong> <strong>en</strong> wordt het ler<strong>en</strong> van<br />
fragm<strong>en</strong>tarische k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> <strong>vo</strong>orkom<strong>en</strong><br />
De leerling<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> verschill<strong>en</strong>de oplossingsprocedures hanter<strong>en</strong> om tot e<strong>en</strong> (juiste) oplossing<br />
te kom<strong>en</strong>: meer of minder verkort, op informeel of meer formeel niveau Door de leerling<strong>en</strong> te lat<strong>en</strong><br />
expliciter<strong>en</strong> <strong>en</strong> reflecter<strong>en</strong> kan de leraar ontdekk<strong>en</strong> welke procedure leerling<strong>en</strong> gebruik<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
op welk niveau Dat maakt de interpretatie mogelijk of deze aanpak past bij de ontwikkelingsfase
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
waarin e<strong>en</strong> leerling zich bevindt Hierbij kijkt de leraar minder naar het antwoord, maar juist naar<br />
de gebruikte oplossingsprocedure Op basis daarvan kan hij instructie <strong>en</strong> begeleiding beter afstemm<strong>en</strong><br />
op de ontwikkeling van individuele leerling<strong>en</strong><br />
Door op deze manier te werk<strong>en</strong> met leerling<strong>en</strong> ontwikkel<strong>en</strong> lerar<strong>en</strong> veel k<strong>en</strong>nis over hoe hun leerling<strong>en</strong><br />
ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> over manier<strong>en</strong> om daarin nog meer r<strong>en</strong>dem<strong>en</strong>t te behal<strong>en</strong><br />
258<br />
Ondanks alle vakdidactische <strong>en</strong> wet<strong>en</strong>schappelijke k<strong>en</strong>nis is er nog te weinig bek<strong>en</strong>d over wat de<br />
meest effectieve aanpak is bij specifieke rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> De verschill<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> <strong>en</strong> de<br />
grote diversiteit aan omstandighed<strong>en</strong> waaronder zij ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> mak<strong>en</strong> het moeilijk k<strong>en</strong>nis over<br />
individuele leerling<strong>en</strong> te g<strong>en</strong>eraliser<strong>en</strong> naar e<strong>en</strong> hele groep Wel is bek<strong>en</strong>d dat zwakke rek<strong>en</strong>aars<br />
baat hebb<strong>en</strong> bij concrete doel<strong>en</strong>, stur<strong>en</strong>de begeleiding (in de betek<strong>en</strong>is zoals in paragraaf 155 is<br />
beschrev<strong>en</strong>) <strong>en</strong> bij het geleidelijk aan systematisch opbouw<strong>en</strong> van e<strong>en</strong>duidige oplossingsprocedures<br />
(Hick<strong>en</strong>dorff, 2011) Hierbij blijft het belangrijk dat ook deze leerling<strong>en</strong> ler<strong>en</strong> om rek<strong>en</strong>kundige<br />
problem<strong>en</strong> op meerdere manier<strong>en</strong> op te loss<strong>en</strong>, aansluit<strong>en</strong>d bij hun <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis Ook ander<strong>en</strong><br />
(bij<strong>vo</strong>orbeeld Gelderblom 2008, Janson 2006) wijz<strong>en</strong> erop dat zwakke rek<strong>en</strong>aars gebaat zijn bij<br />
duidelijke, maar haalbare doel<strong>en</strong>, heldere instructie <strong>en</strong> pass<strong>en</strong>de oef<strong>en</strong><strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> <strong>en</strong> dat ze zelf daarover<br />
de regie kunn<strong>en</strong> <strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
4 Afbak<strong>en</strong>ing dyscalculie<br />
Afhankelijk van hun achtergrond legg<strong>en</strong> de deskundig<strong>en</strong> de oorzaak van dyscalculie meer bij leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
of meer bij omgevingsk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> De m<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> zijn nog verdeeld over wat dyscalculie<br />
is <strong>en</strong> over wat de oorzaak van dyscalculie is Ge<strong>en</strong> verschil van m<strong>en</strong>ing is er over het feit<br />
dat er leerling<strong>en</strong> zijn die ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> ervar<strong>en</strong> In de protocoll<strong>en</strong> <strong>ERWD</strong> gaan wij ervan<br />
uit dat ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie alle<strong>en</strong> van elkaar te onderscheid<strong>en</strong> zijn door de<br />
hardnekkigheid van die problem<strong>en</strong> In de onderwijspraktijk verschill<strong>en</strong> de problem<strong>en</strong> van leerling<strong>en</strong><br />
met dyscalculie nauwelijks van die van leerling<strong>en</strong> met ‘gewone’ ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> De<br />
verschijnsel<strong>en</strong> zijn in beide gevall<strong>en</strong> grot<strong>en</strong>deels hetzelfde<br />
De theorieën over de werking van het brein <strong>en</strong> over de oorzaak van dyscalculie zijn nog <strong>vo</strong>lop in<br />
ontwikkeling In de praktijk blijkt dat leerling<strong>en</strong> met of zonder dyscalculieverklaring na e<strong>en</strong> psychodiagnostisch<br />
onderzoek gewoon weer verder deelnem<strong>en</strong> aan het onderwijs Vanuit deze overweging<strong>en</strong><br />
kom<strong>en</strong> wij tot e<strong>en</strong> vrij pragmatisch standpunt Wij stell<strong>en</strong> dat deze leerling<strong>en</strong> in alle<br />
gevall<strong>en</strong> gespecialiseerde begeleiding nodig hebb<strong>en</strong>, afgestemd op hun specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong><br />
Wij vatt<strong>en</strong> dan ook ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie beide in ess<strong>en</strong>tie op als e<strong>en</strong><br />
afstemmingsprobleem Hoe groter <strong>en</strong> ernstiger de problematiek, hoe zorgvuldiger <strong>en</strong> specifieker<br />
de begeleiding moet word<strong>en</strong> afgestemd<br />
Naarmate leerling<strong>en</strong> verder kom<strong>en</strong> in het onderwijs wordt het moeilijk te onderscheid<strong>en</strong> wat oorzaak<br />
<strong>en</strong> wat ge<strong>vo</strong>lg is van de (ernstige <strong>en</strong> hardnekkige) rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> Zijn het de leerlingk<strong>en</strong>merk<strong>en</strong><br />
of de onderwijsfactor<strong>en</strong>? Dat maakt het op latere leeftijd (na het tweede leerjaar <strong>vo</strong>) steeds<br />
moeilijker om de diagnose ‘dyscalculie’ te kunn<strong>en</strong> stell<strong>en</strong> Daarom adviser<strong>en</strong> wij dring<strong>en</strong>d om in<br />
de bov<strong>en</strong>bouw van het <strong>vo</strong> (vanaf leerjaar 3) <strong>en</strong> in het mbo ge<strong>en</strong> dyscalculieverklaring<strong>en</strong> meer af te<br />
gev<strong>en</strong> Dit laat onverlet dat de diagnose ‘dyscalculie’ wel degelijk e<strong>en</strong> belemmering kan zijn bij het<br />
uitoef<strong>en</strong><strong>en</strong> van bepaalde beroep<strong>en</strong> Beroepsopleiding<strong>en</strong> zull<strong>en</strong> zich moet<strong>en</strong> afvrag<strong>en</strong> in hoeverre
Bijlage A<br />
iemand met zulke ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> kan word<strong>en</strong> opgeleid <strong>vo</strong>or het betreff<strong>en</strong>de beroep <strong>en</strong><br />
of de inzet van e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>machine dat probleem <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de kan comp<strong>en</strong>ser<strong>en</strong><br />
Toch kunn<strong>en</strong> leerling<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> diagnose ‘dyscalculie’ in de hogere niveaus van het onderwijs,<br />
met veel inspanning <strong>en</strong> met specifieke begeleiding, nog wel (geringe) success<strong>en</strong> boek<strong>en</strong> Of zij de<br />
refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus 2F <strong>en</strong> 3F kunn<strong>en</strong> hal<strong>en</strong> is mede afhankelijk van de capaciteit<strong>en</strong> van de leerling<br />
<strong>en</strong> van de inzet van alle betrokk<strong>en</strong><strong>en</strong> bij het bereik<strong>en</strong> van de op zijn onderwijsbehoeft<strong>en</strong> pass<strong>en</strong>de<br />
afstemming<br />
259
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Bijlage B<br />
De leerling in het <strong>vo</strong>ortgezet (speciaal) onderwijs<br />
260<br />
In deze bijlage beschrijv<strong>en</strong> wij de k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de leerling<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> de verschill<strong>en</strong>de schooltyp<strong>en</strong> van het<br />
<strong>vo</strong>ortgezet (speciaal) onderwijs. De beschrijving<strong>en</strong> zijn algeme<strong>en</strong> van aard <strong>en</strong> gebaseerd op praktijkervaring.<br />
Er is tot op hed<strong>en</strong> nauwelijks onderzoek gedaan naar ess<strong>en</strong>tiële k<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van <strong>en</strong> verschill<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong><br />
leerling<strong>en</strong> in de diverse leerroutes. De beschrijving<strong>en</strong> gev<strong>en</strong> e<strong>en</strong> indicatie van het type leerling per leerroute<br />
<strong>en</strong> van het te verwacht<strong>en</strong> ontwikkelingsperspectief. Daarbinn<strong>en</strong> zal de school <strong>vo</strong>or elke leerling moet<strong>en</strong><br />
kom<strong>en</strong> tot afstemming op de specifieke onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van individuele leerling<strong>en</strong>.<br />
1 De leerling in het Praktijkonderwijs<br />
Praktijkonderwijs<br />
Het Praktijkonderwijs leidt leerling<strong>en</strong> op <strong>vo</strong>or won<strong>en</strong>, werk<strong>en</strong>, burgerschap <strong>en</strong> vrije tijd Binn<strong>en</strong><br />
het Praktijkonderwijs geldt ge<strong>en</strong> cursusduur maar wel e<strong>en</strong> leeftijdsgr<strong>en</strong>s van 18 jaar<br />
Het Praktijkonderwijs streeft ernaar om de leerling die dat aankan zo ver mogelijk te br<strong>en</strong>g<strong>en</strong><br />
Voor sommige leerling<strong>en</strong> betek<strong>en</strong>t dit doorstroom naar niveau 1 van het mbo Het mbo-diploma op<br />
niveau 1 is overig<strong>en</strong>s ge<strong>en</strong> startkwalificatie Het uitstroomprofiel <strong>vo</strong>or hem is de arbeidsmarkt of<br />
arbeidsgerichte dagbesteding<br />
K<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de leerling<br />
In het Praktijkonderwijs wordt e<strong>en</strong> leerling pas na uitgebreid onderzoek door de school toegelat<strong>en</strong><br />
Bij het onderzoek is aangetoond dat het TIQ van de leerling tuss<strong>en</strong> 55 <strong>en</strong> 80 ligt Aan het einde van<br />
groep 8 basisonderwijs bedraagt de didactische achterstand op t<strong>en</strong> minste twee van de vier gebied<strong>en</strong><br />
(technisch lez<strong>en</strong>, spell<strong>en</strong>, rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> begrijp<strong>en</strong>d lez<strong>en</strong>) t<strong>en</strong> minste drie jaar Het profiel van<br />
leer<strong>vo</strong>rdering<strong>en</strong> heeft bij deze leerling over het algeme<strong>en</strong> e<strong>en</strong> harmonisch beeld Er bestaat namelijk<br />
over de hele linie ernstige achterstand in alle elem<strong>en</strong>taire schoolse vaardighed<strong>en</strong> Daarbij is<br />
deze leerling vaak sociaal-emotioneel zeer kwetsbaar Dit uit zich in internaliser<strong>en</strong>d gedrag (onder<br />
andere faalangst, lage sociale weerbaarheid, sociale angst <strong>en</strong> sterke geremdheid in gedrag) Maar<br />
ook in externaliser<strong>en</strong>d gedrag (onder andere agressiviteit, hyperactiviteit <strong>en</strong> conc<strong>en</strong>tratieproblem<strong>en</strong>)<br />
Onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van deze leerling<br />
Tijd<strong>en</strong>s de duur van de opleiding wordt er met de leerling <strong>vo</strong>oral praktisch gewerkt Deze leerling<br />
heeft behoefte aan concreet onderwijs waarbij hij de theorie praktisch kan ervar<strong>en</strong> Door middel<br />
van stage <strong>en</strong> veel praktijkvakk<strong>en</strong> leert hij wat hij moet wet<strong>en</strong> om te kunn<strong>en</strong> won<strong>en</strong>, hoe hij e<strong>en</strong><br />
goed burger kan zijn <strong>en</strong> leert hij invulling te gev<strong>en</strong> aan zijn vrije tijd Hij heeft extra begeleiding<br />
nodig om zelfstandig te word<strong>en</strong> De lesstof is op deze zak<strong>en</strong> gericht <strong>en</strong> individueel toegesned<strong>en</strong> op<br />
de leerling Voor begeleiding bij rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> verwijz<strong>en</strong> wij naar het <strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>1
Bijlage B<br />
Rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
De leerling die vanuit het basisonderwijs naar het Praktijkonderwijs gaat, blijft achter op alle vier<br />
de Hoofdlijn<strong>en</strong> in het proces van het ler<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (zie deel 2) Voor deze leerling is het Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau<br />
1F vaak niet haalbaar De rek<strong>en</strong>machine wordt gebruikt ter ondersteuning van het rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Begrips<strong>vo</strong>rming (conceptontwikkeling <strong>en</strong> het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is aan k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong>)<br />
Deze leerling heeft moeite met het verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is aan getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> bewerking<strong>en</strong> Hij kan<br />
het concrete, informele handel<strong>en</strong> niet of moeizaam koppel<strong>en</strong> aan formele bewerking<strong>en</strong> Hierdoor<br />
ontwikkelt hij gebrekkige concept<strong>en</strong><br />
261<br />
Oplossingsprocedures Bij het ontwikkel<strong>en</strong> van oplossingsprocedures blijft deze leerling ook erg achter<br />
Hij blijft tell<strong>en</strong> <strong>en</strong> komt vaak niet tot echt rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Hij heeft e<strong>en</strong> gebrekkige basis <strong>vo</strong>or het ler<strong>en</strong><br />
optell<strong>en</strong>, aftrekk<strong>en</strong>, verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> <strong>en</strong> del<strong>en</strong> Omdat hij de basisbewerking<strong>en</strong> on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de beheerst,<br />
is het ler<strong>en</strong> van de tafels e<strong>en</strong> onmogelijke opgave Het verwerv<strong>en</strong> van meer complexe rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong><br />
verloopt moeizaam Deze leerling komt niet of moeizaam tot begrips<strong>vo</strong>rming <strong>en</strong> ontwikkeling<br />
van complexe oplossingsprocedures op het gebied van breuk<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>, verhouding<strong>en</strong>,<br />
decimale getall<strong>en</strong> <strong>en</strong> met<strong>en</strong> Ook het verwerv<strong>en</strong> van algoritmes stagneert Wanneer de leerling<br />
procedures <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis niet of nauwelijks begrijpt, kan hij deze niet of on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de opslaan in<br />
zijn geheug<strong>en</strong> Dit leidt tot fragm<strong>en</strong>tarische rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> waardoor de leerling<br />
e<strong>en</strong> zwakke basis heeft ontwikkeld (‘gat<strong>en</strong>kaas’)<br />
Vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong>. Door de fragm<strong>en</strong>tarische k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> is de leerling on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de in staat<br />
bruikbare rek<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> -vaardighed<strong>en</strong> te automatiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> te memoriser<strong>en</strong> Hij kan ze minder<br />
snel uit zijn geheug<strong>en</strong> oproep<strong>en</strong> of heeft ze zelfs verget<strong>en</strong> Hierdoor kan hij niet vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Flexibel toepass<strong>en</strong>. Tot slot is het flexibel toepass<strong>en</strong> van k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> vaardighed<strong>en</strong> ook niet mogelijk<br />
De leerling kan hierdoor niet profiter<strong>en</strong> van oplossingsprocedures bij het uitwerk<strong>en</strong> van complexere<br />
berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> Dit belemmert de ontwikkeling van het strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong><br />
Afstemming<br />
Handelingsmodel. Volg<strong>en</strong>s het Handelingsmodel is deze leerling gebaat bij <strong>vo</strong>ornamelijk concreet<br />
handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> do<strong>en</strong> Het is de rol van de leraar om dit concrete handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> do<strong>en</strong> te koppel<strong>en</strong> aan de<br />
formele schrijfwijze die de leerling kan teg<strong>en</strong>kom<strong>en</strong> in de praktijk De leerling heeft daarbij behoefte<br />
aan verbale ondersteuning door de leraar De leraar zorgt dat de context van elke rek<strong>en</strong>opdracht<br />
aansluit bij de belevingswereld <strong>en</strong> de interesses van de leerling E<strong>en</strong> aldus gecreëerde context<br />
geeft de leerling meer motivatie om te gaan rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Doel is dat de leerling tijd<strong>en</strong>s de rek<strong>en</strong>les<br />
de situatie kan herk<strong>en</strong>n<strong>en</strong> <strong>en</strong> hem te lat<strong>en</strong> vertell<strong>en</strong> wat er gebeurt<br />
Drieslagmodel. In term<strong>en</strong> van het Drieslagmodel zal de leraar <strong>vo</strong>oral veel tijd moet<strong>en</strong> bested<strong>en</strong> aan<br />
de betek<strong>en</strong>isverl<strong>en</strong>ing Hierdoor wordt de rek<strong>en</strong>opdracht e<strong>en</strong> herk<strong>en</strong>baar probleem <strong>vo</strong>or de leerling<br />
waar<strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> rek<strong>en</strong>kundige oplossing gezocht moet word<strong>en</strong> De leraar zal telk<strong>en</strong>s opnieuw<br />
moet<strong>en</strong> beginn<strong>en</strong> <strong>en</strong> gebruik moet<strong>en</strong> mak<strong>en</strong> van de incid<strong>en</strong>tele <strong>vo</strong>orvall<strong>en</strong> die tot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> kunn<strong>en</strong><br />
leid<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
2 De leerling in het <strong>vo</strong>ortgezet speciaal onderwijs (vso)<br />
Voortgezet speciaal onderwijs<br />
In de sam<strong>en</strong>werkingsverband<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> het <strong>vo</strong> word<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> die extra zorg nodig hebb<strong>en</strong><br />
opgevang<strong>en</strong> in zog<strong>en</strong>aamde clusterschol<strong>en</strong> Met de in<strong>vo</strong>ering van de Wet Pass<strong>en</strong>d onderwijs word<strong>en</strong><br />
er meer tak<strong>en</strong> toebedeeld aan het sam<strong>en</strong>werkingsverband<br />
262<br />
We onderscheid<strong>en</strong> vier clusterschol<strong>en</strong><br />
• Cluster 1: onderwijs aan visueel beperkte of meer<strong>vo</strong>udig beperkte leerling<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> visuele<br />
beperking De ruime meerderheid gaat met ambulante begeleiding naar het reguliere onderwijs<br />
• Cluster 2: onderwijs aan dove of slechthor<strong>en</strong>de leerling<strong>en</strong> met ernstige spraakmoeilijkhed<strong>en</strong> of<br />
meer<strong>vo</strong>udig beperkte leerling<strong>en</strong> die één van deze beperking<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong><br />
• Cluster 3: onderwijs aan lichamelijk beperkte leerling<strong>en</strong>, zeer moeilijk ler<strong>en</strong>de leerling<strong>en</strong><br />
(zmlk) <strong>en</strong> langdurig zieke leerling<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> lichamelijke beperking of meer<strong>vo</strong>udig beperkte<br />
leerling<strong>en</strong> die één van deze beperking<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong><br />
• Cluster 4: leerling<strong>en</strong> die vanwege hun gedrags- of psychiatrische problem<strong>en</strong> e<strong>en</strong> structurele<br />
beperking ondervind<strong>en</strong> in hun onderwijsparticipatie<br />
Andere leerling<strong>en</strong> die extra zorg nodig hebb<strong>en</strong> word<strong>en</strong> opgevang<strong>en</strong> in het <strong>vo</strong> zelf of in orthopedagogische<br />
c<strong>en</strong>tra binn<strong>en</strong> het <strong>vo</strong> Door in<strong>vo</strong>ering van de Wet Pass<strong>en</strong>d onderwijs zal de sam<strong>en</strong>werking<br />
tuss<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ortgezet regulier onderwijs <strong>en</strong> <strong>vo</strong>ortgezet speciaal onderwijs to<strong>en</strong>em<strong>en</strong> Het zijn de sam<strong>en</strong>werkingsverband<strong>en</strong><br />
in het onderwijs die gaan bepal<strong>en</strong> welke leerling in het speciaal <strong>en</strong> welke<br />
leerling in het regulier onderwijs pass<strong>en</strong>d onderwijs krijgt <strong>en</strong> welke extra onderwijsmiddel<strong>en</strong> daar<strong>vo</strong>or<br />
beschikbaar kom<strong>en</strong><br />
K<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de leerling<br />
De leerling in het <strong>vo</strong>ortgezet speciaal onderwijs is hier<strong>vo</strong>or geïndiceerd Voor elke leerling geldt dat<br />
hij op grond van zijn fysieke <strong>en</strong>/of geestelijke beperking<strong>en</strong> of problem<strong>en</strong> wordt ingedeeld in e<strong>en</strong><br />
bepaald cluster Binn<strong>en</strong> e<strong>en</strong> cluster bestaat e<strong>en</strong> grote variëteit van leerling<strong>en</strong> Van belang is dat elke<br />
leerling individueel wordt begeleid De e<strong>en</strong> bereikt zijn doel ondanks zijn beperking <strong>en</strong> haalt zijn<br />
diploma (bij<strong>vo</strong>orbeeld e<strong>en</strong> vwo-diploma) De ander zal vanwege zijn beperking altijd ondersteund<br />
moet<strong>en</strong> word<strong>en</strong><br />
Onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van deze leerling<br />
Afhankelijk van de beperking zijn de onderwijsbehoeft<strong>en</strong> per individu verschill<strong>en</strong>d De ondersteuning<br />
wordt bepaald door de omstandighed<strong>en</strong> waarin de leerling zich bevindt Omdat de verschill<strong>en</strong><br />
zo groot zijn, kan hier alle<strong>en</strong> maar per individuele leerling e<strong>en</strong> eig<strong>en</strong> handelingsplan word<strong>en</strong> geformuleerd<br />
Rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
Datzelfde geldt <strong>vo</strong>or de rek<strong>en</strong>ontwikkeling Binn<strong>en</strong> elk cluster zijn leerling<strong>en</strong> die wat betreft niveau<br />
variër<strong>en</strong> van Praktijkonderwijs tot vwo Dit geldt ook <strong>vo</strong>or de refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveaus rek<strong>en</strong><strong>en</strong> De <strong>en</strong>e<br />
leerling bereikt met moeite 1F, de ander haalt 3F Alle opmerking<strong>en</strong> die g<strong>en</strong>oemd word<strong>en</strong> bij de<br />
andere paragraf<strong>en</strong> zijn ook van toepassing op deze leerling<strong>en</strong>
Bijlage B<br />
Afstemming<br />
Dit kan alle<strong>en</strong> op individuele basis Als <strong>vo</strong>orbeeld: e<strong>en</strong> blinde leerling op het niveau van de leerweg<br />
vmbo-tl kan op dit niveau concreet handel<strong>en</strong> koppel<strong>en</strong> aan formeel red<strong>en</strong>er<strong>en</strong> Dit geldt met name<br />
<strong>vo</strong>or de basisbewerking<strong>en</strong> Bij toepassing<strong>en</strong> zoals met<strong>en</strong> <strong>en</strong> meetkunde wordt het minder makkelijk<br />
Omdat de leerling blind is, zal hij aanpassing<strong>en</strong> nodig hebb<strong>en</strong> wat betreft materiaal <strong>en</strong> zal de<br />
leraar veel verbaal moet<strong>en</strong> uitlegg<strong>en</strong> <strong>en</strong> beschrijv<strong>en</strong> Zo vraagt elke beperking individuele afstemming<br />
3 De leerling in de basisberoepsgerichte leerweg van het vmbo<br />
(vmbo-bbl)<br />
263<br />
Basisberoepsgerichte leerweg<br />
De basisberoepsgerichte leerweg is binn<strong>en</strong> het vmbo e<strong>en</strong> van de vier leerweg<strong>en</strong> die toeleid<strong>en</strong> naar<br />
het middelbaar beroepsonderwijs Het is de meest praktijkgerichte leerweg De theoretische belasting<br />
van deze leerweg is daarom ook gering Vmbo-bbl duurt vier of vijf jaar Voor de leerling biedt<br />
de leerweg vmbo-bbl veel praktische vakk<strong>en</strong> binn<strong>en</strong> vier sector<strong>en</strong> Dit zijn: zorg <strong>en</strong> welzijn, landbouw<br />
(gro<strong>en</strong>), techniek <strong>en</strong> economie De leerweg vmbo-bbl leidt toe naar mbo-opleiding<strong>en</strong> niveau<br />
1 of 2 E<strong>en</strong> diploma op niveau 2 is e<strong>en</strong> startkwalificatie, e<strong>en</strong> diploma op niveau 1 is dat niet<br />
K<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de leerling<br />
Deze leerling is <strong>vo</strong>oral praktisch ingesteld <strong>en</strong> weinig theoretisch De motivatie van de leerling is erg<br />
productgericht <strong>en</strong> doegericht De leesvaardigheid van deze leerling is zwak<br />
Onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van deze leerling<br />
De leerling heeft behoefte aan opdracht<strong>en</strong> in kleine, overzichtelijke stapp<strong>en</strong> De opdracht<strong>en</strong> zijn<br />
e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udig geformuleerd <strong>en</strong> er is veel herhaling nodig De leerling heeft emotionele ondersteuning<br />
van de leraar nodig om tot prestaties te kom<strong>en</strong> <strong>en</strong> hij wil zich ‘thuis <strong>vo</strong>el<strong>en</strong>’ Daarom heeft deze<br />
leerling extra begeleiding nodig, bij<strong>vo</strong>orbeeld doordat de leraar ondersteun<strong>en</strong>de vrag<strong>en</strong> stelt De<br />
leerling maakt zijn huiswerk doorgaans alle<strong>en</strong> onder begeleiding Alle<strong>en</strong> als er steeds ondersteuning<br />
<strong>en</strong> stimulans is, zal deze leerling zijn werk <strong>en</strong> zijn opdracht<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
Rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
Bij binn<strong>en</strong>komst vanuit het basisonderwijs hal<strong>en</strong> veel van deze leerling<strong>en</strong> Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau 1F niet<br />
Het is de vraag of leerling<strong>en</strong> vmbo-bbl de rek<strong>en</strong>toets 2F zull<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> hal<strong>en</strong><br />
De leerling is erg afhankelijk van de leraar <strong>en</strong> de rek<strong>en</strong>machine Hij heeft namelijk in de loop der<br />
jar<strong>en</strong> op het gebied van rek<strong>en</strong><strong>en</strong> vaak het vertrouw<strong>en</strong> in zichzelf verlor<strong>en</strong><br />
Begrips<strong>vo</strong>rming. De leerling is in staat e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udige rek<strong>en</strong>kundige situaties uit het dagelijks lev<strong>en</strong> te<br />
begrijp<strong>en</strong> <strong>en</strong> daarmee te werk<strong>en</strong>, zoals bij<strong>vo</strong>orbeeld klokkijk<strong>en</strong>, met<strong>en</strong> <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met geld Bij<br />
complexere situaties wordt het moeilijker Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met tijd, plann<strong>en</strong> met tijd, complexere berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong><br />
met geld, budgetter<strong>en</strong> <strong>en</strong> het uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> van berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> met mat<strong>en</strong> zoals bij<strong>vo</strong>orbeeld het<br />
berek<strong>en</strong><strong>en</strong> van afstand<strong>en</strong>, zijn moeilijker De leerling heeft moeite met het begrijp<strong>en</strong> van complexe<br />
opdracht<strong>en</strong> <strong>en</strong> met context<strong>en</strong> op e<strong>en</strong> abstracter niveau Het mak<strong>en</strong> van somm<strong>en</strong> lukt wel, maar het<br />
verl<strong>en</strong><strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is aan meer abstracte context<strong>en</strong> (bij<strong>vo</strong>orbeeld bij breuk<strong>en</strong> <strong>en</strong> proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>) is<br />
moeilijk
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Deze leerling heeft veel moeite om concreet informeel handel<strong>en</strong> te koppel<strong>en</strong> aan formele bewerking<strong>en</strong><br />
Dit is het ge<strong>vo</strong>lg van het feit dat hij gebrekkige concept<strong>en</strong> heeft ontwikkeld<br />
264<br />
Oplossingsprocedures. Doordat de begrips<strong>vo</strong>rming e<strong>en</strong> zwakke basis k<strong>en</strong>t, begrijpt deze leerling de<br />
aangebod<strong>en</strong> oplossingsprocedures vaak slecht De k<strong>en</strong>nis van deze procedures is vaak fragm<strong>en</strong>tarisch<br />
<strong>en</strong> de leerling houdt (hardnekkig) vast aan procedures die ondoelmatig zijn Vaak k<strong>en</strong>t hij de<br />
tafels niet omdat hij de basisbewerking<strong>en</strong> on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de beheerst Ook complexere oplossingsprocedures<br />
(breuk<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong>) begrijpt hij on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de Het zijn trucjes die hij niet kan uitlegg<strong>en</strong><br />
maar gewoon doet<br />
Vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong>. Hierbij zijn begrips<strong>vo</strong>rming <strong>en</strong> k<strong>en</strong>nis van procedures van belang Omdat bij deze<br />
leerling de k<strong>en</strong>nis vaak fragm<strong>en</strong>tarisch is, ontstaat losse feit<strong>en</strong>k<strong>en</strong>nis Er ontstaat ge<strong>en</strong> sam<strong>en</strong>hang<br />
waardoor het automatiser<strong>en</strong> van procedures belemmerd wordt De leerling kan niet vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Flexibel toepass<strong>en</strong> Dit wordt belemmerd doordat de leerling on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de strategisch kan d<strong>en</strong>k<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> handel<strong>en</strong><br />
Afstemming<br />
Handelingsmodel De leerling is gebaat bij concreet handel<strong>en</strong> <strong>en</strong> do<strong>en</strong> Het gebruik van de rek<strong>en</strong>machine<br />
kan het gebrek aan automatiser<strong>en</strong> comp<strong>en</strong>ser<strong>en</strong> De leraar zal de leerling moet<strong>en</strong> begeleid<strong>en</strong><br />
om vanuit de concrete situatie via <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> naar formeel bewerking<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> te kom<strong>en</strong><br />
Door de leerling te lat<strong>en</strong> vertell<strong>en</strong> wat hij doet <strong>en</strong> te lat<strong>en</strong> luister<strong>en</strong> naar hoe ander<strong>en</strong> dat<br />
do<strong>en</strong>, kan dit word<strong>en</strong> bereikt Sturing vanuit de leraar is hierbij noodzakelijk, met name op het<br />
gebied van betek<strong>en</strong>isverl<strong>en</strong>ing<br />
Drieslagmodel. Het gev<strong>en</strong> van betek<strong>en</strong>is aan e<strong>en</strong> context – de eerste stap van het Drieslagmodel – is<br />
de stap die deze leerling vaak niet zelf kan mak<strong>en</strong> Daarom zal de leraar hier extra aandacht aan<br />
moet<strong>en</strong> bested<strong>en</strong> Bij de uit<strong>vo</strong>ering van e<strong>en</strong> berek<strong>en</strong>ing kiest deze leerling vaak <strong>vo</strong>or de oplossingsprocedure<br />
die past bij zijn rek<strong>en</strong>vaardigheid Die vaardigheid is on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de ontwikkeld <strong>en</strong> daardoor<br />
<strong>vo</strong>lgt hij vaak onhandige procedures De leraar zal ook hier moet<strong>en</strong> stur<strong>en</strong> <strong>en</strong> de leerling hulp<br />
moet<strong>en</strong> aanreik<strong>en</strong>: tuss<strong>en</strong>stapp<strong>en</strong> opschrijv<strong>en</strong>, opnieuw lez<strong>en</strong> van de opdracht, <strong>vo</strong>ork<strong>en</strong>nis gebruik<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong>zo<strong>vo</strong>ort<br />
4 De leerling in de kaderberoepsgerichte leerweg van het vmbo<br />
(vmbo-kbl)<br />
Kaderberoepsgerichte leerweg<br />
Ook de kaderberoepsgerichte leerweg is <strong>vo</strong>oral praktisch van aard Voor wat betreft de theorievakk<strong>en</strong><br />
ligt deze leerweg op hetzelfde niveau als de gem<strong>en</strong>gde leerweg <strong>en</strong> de theoretische leerweg van<br />
het vmbo De vmbo-kbl leerweg leidt toe naar het ver<strong>vo</strong>lgonderwijs op mbo-niveau 3 of 4 De diploma’s<br />
van deze mbo-opleiding<strong>en</strong> zijn e<strong>en</strong> startkwalificatie<br />
K<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de leerling<br />
De leerling binn<strong>en</strong> de kaderberoepsgerichte leerweg gaat zelfstandig aan het werk nadat hij e<strong>en</strong><br />
duidelijke instructie heeft gekreg<strong>en</strong> Zelf kan de leerling moeilijk inschatt<strong>en</strong> of hij de stof heeft<br />
begrep<strong>en</strong> Bij doe-opdracht<strong>en</strong> kan de leerling goed doorwerk<strong>en</strong> Als het meer theoretisch wordt, is<br />
hij sneller afgeleid Ook bij deze leerling geldt dat hij doegericht <strong>en</strong> productgericht is Hij ziet het
Bijlage B<br />
nut van e<strong>en</strong> diploma De leerling is g<strong>en</strong>eigd om direct aan het werk te gaan <strong>en</strong> leest daardoor onzorgvuldig<br />
Het plann<strong>en</strong> van werk is moeilijk<br />
De theorie die aangebod<strong>en</strong> wordt, moet direct verband houd<strong>en</strong> met de praktijk Het stell<strong>en</strong> van<br />
gerichte vrag<strong>en</strong> helpt bij het ord<strong>en</strong><strong>en</strong> van de opdracht Huiswerk is <strong>vo</strong>oral maakwerk <strong>en</strong> ge<strong>en</strong> leerwerk<br />
Rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau 2F is haalbaar, hoewel e<strong>en</strong> behoorlijk aantal leerling<strong>en</strong> hier moeite mee heeft<br />
Begrips<strong>vo</strong>rming. Rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> zijn bij deze leerling vaak beter ontwikkeld dan bij de leerling in<br />
de basisberoepsgerichte leerweg Dat komt doordat hij beter betek<strong>en</strong>is kan verl<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> meer inzicht<br />
heeft Wel zijn de concept<strong>en</strong> e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udig <strong>en</strong> weinig complex Hij begrijpt rek<strong>en</strong>taal beter <strong>en</strong><br />
kan deze op e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udig niveau gebruik<strong>en</strong> Als de concept<strong>en</strong> ingewikkelder word<strong>en</strong>, heeft deze leerling<br />
er behoefte aan dat hem structuur wordt aangebod<strong>en</strong><br />
265<br />
Oplossingsprocedures. In de basisbewerking<strong>en</strong> maakt deze leerling minder fout<strong>en</strong> Bij complexere<br />
bewerking<strong>en</strong> heeft de leerling veel steun nodig Schatt<strong>en</strong>d rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> precies rek<strong>en</strong><strong>en</strong> kan hij nog<br />
on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de aan elkaar koppel<strong>en</strong> Bij het mak<strong>en</strong> van de opdracht<strong>en</strong> is de rek<strong>en</strong>machine meer dan<br />
e<strong>en</strong> hulpmiddel De leerling vertrouwt on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de op zichzelf<br />
Vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> De e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udige basisbewerking<strong>en</strong> heeft de leerling geautomatiseerd Doordat de complexere<br />
opdracht<strong>en</strong> te veel inzicht vrag<strong>en</strong>, raakt hij nog vaak de weg kwijt<br />
Flexibel toepass<strong>en</strong> Gebrekkige begrips<strong>vo</strong>rming <strong>en</strong> het gebruik van alle<strong>en</strong> e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udige procedures<br />
zorgt er<strong>vo</strong>or dat het strategisch d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> <strong>en</strong> handel<strong>en</strong> beperkt is De leerling komt moeilijk tot probleemoploss<strong>en</strong>d<br />
handel<strong>en</strong><br />
Afstemming<br />
Handelingsmodel. Bij e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udige opdracht<strong>en</strong> kan de leerling van concreet handel<strong>en</strong> kom<strong>en</strong> tot<br />
formeel toepass<strong>en</strong> De leerling kan zelf met inzicht dit verband legg<strong>en</strong> Zodra de opdracht<strong>en</strong> meer<br />
complex zijn, heeft de leerling begeleiding nodig Die begeleiding zit met name in het betek<strong>en</strong>is<br />
verl<strong>en</strong><strong>en</strong> De leraar zal de context moet<strong>en</strong> verbind<strong>en</strong> aan het formele rek<strong>en</strong><strong>en</strong> De leraar moet de<br />
stapp<strong>en</strong> van concreet via <strong>vo</strong>orstell<strong>en</strong> naar formeel expliciet b<strong>en</strong>oem<strong>en</strong> De leerling heeft <strong>vo</strong>oral baat<br />
bij verbaliser<strong>en</strong> <strong>en</strong> visualiser<strong>en</strong><br />
Drieslagmodel. Met het Drieslagmodel in gedacht<strong>en</strong> kan de leraar zich meer richt<strong>en</strong> op betek<strong>en</strong>is<br />
verl<strong>en</strong><strong>en</strong> dan op het technische rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Dit laatste zal de leerling binn<strong>en</strong> deze leerroute vaak uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong><br />
met de rek<strong>en</strong>machine Door praktijk<strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong> te gebruik<strong>en</strong> vanuit de belevingswereld<br />
van de leerling kan de leraar de context uitdag<strong>en</strong>d mak<strong>en</strong> Hierdoor krijgt rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de leerling<br />
meer inhoud <strong>en</strong> wordt het praktijkgericht De reflectiefase verdi<strong>en</strong>t extra aandacht omdat deze leerling<br />
al gauw tevred<strong>en</strong> is met het antwoord Op dit punt moet de leraar veel sturing bied<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
5 De leerling in de gem<strong>en</strong>gde leerweg van het vmbo (vmbo-gl)<br />
266<br />
Gem<strong>en</strong>gde leerweg<br />
De gem<strong>en</strong>gde leerweg k<strong>en</strong>t één beroepsgericht vak <strong>en</strong> verschilt daardoor van het vmbo-tl De overige<br />
vakk<strong>en</strong> (minimaal vijf) zijn wat betreft niveau hetzelfde als het vmbo-tl Het vmbo-gl heeft e<strong>en</strong><br />
cursusduur van vier tot zes jaar Met e<strong>en</strong> diploma van deze leerweg kan de leerling naar mbo-opleiding<strong>en</strong><br />
op niveau 4; sommig<strong>en</strong> strom<strong>en</strong> door naar het ha<strong>vo</strong> De diploma’s van deze opleiding<strong>en</strong><br />
zijn e<strong>en</strong> startkwalificatie<br />
K<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de leerling<br />
Deze leerling gaat gemakkelijker aan het werk na e<strong>en</strong> duidelijke instructie Hij laat ook veel meer<br />
zelfstandigheid zi<strong>en</strong> dan leerling<strong>en</strong> in het vmbo-bbl <strong>en</strong> -kbl De leerling kan <strong>vo</strong>or zichzelf beter<br />
inschatt<strong>en</strong> of hij het geleerde heeft begrep<strong>en</strong> De leerling kan zich <strong>vo</strong>or e<strong>en</strong> korte tijd goed conc<strong>en</strong>trer<strong>en</strong>,<br />
ook bij theorievakk<strong>en</strong> Hij toont motivatie om e<strong>en</strong> diploma te hal<strong>en</strong> Deze leerling heeft e<strong>en</strong><br />
niveau leesvaardigheid om de ess<strong>en</strong>tie uit e<strong>en</strong> korte tekst te hal<strong>en</strong> Het huiswerk is met name gericht<br />
op reproductie <strong>en</strong> de leerling is er over het algeme<strong>en</strong> snel mee klaar Hij heeft e<strong>en</strong> probleem<br />
met plann<strong>en</strong> op de langere termijn<br />
Onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van deze leerling<br />
Bij te veel theorie kan de leerling snel ontmoedigd rak<strong>en</strong> De theorie moet wel toepasbaar zijn <strong>en</strong><br />
direct gebruikt kunn<strong>en</strong> word<strong>en</strong> in de praktijk Het uitwerk<strong>en</strong> van opdracht<strong>en</strong> vraagt nog steeds veel<br />
steun van de leraar<br />
Rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
Over het algeme<strong>en</strong> haalt de leerling van het vmbo-gl Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau 2F<br />
Begrips<strong>vo</strong>rming. Over het algeme<strong>en</strong> neemt begrips<strong>vo</strong>rming toe wanneer het rek<strong>en</strong>niveau van de<br />
leerling stijgt Voor deze leerling geldt dat ook De e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udige rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> zijn aanwezig Als<br />
de concept<strong>en</strong> complexer word<strong>en</strong>, heeft deze leerling meer steun van de leraar nodig Betek<strong>en</strong>is<br />
verl<strong>en</strong><strong>en</strong> zal beter gaan, maar ook hier geldt dat bij complexere opdracht<strong>en</strong> extra ondersteuning<br />
nodig is<br />
Oplossingsprocedures. Deze leerling kan redelijk uit de <strong>vo</strong>et<strong>en</strong> met de basisbewerking<strong>en</strong> Schatt<strong>en</strong>d<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is te vaak e<strong>en</strong> kwestie van gokk<strong>en</strong> Bij de ingewikkelde berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong> heeft de leerling baat<br />
bij het gebruik van de rek<strong>en</strong>machine<br />
Vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong>. Deze leerling kan redelijk vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> De tafels zijn bek<strong>en</strong>d <strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> vrij e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udig<br />
word<strong>en</strong> opgeroep<strong>en</strong>, maar door de gebrekkige conceptontwikkeling blijft het e<strong>en</strong> kunstje Er is<br />
weinig sprake van inzicht<br />
Flexibel toepass<strong>en</strong>. Het flexibel toepass<strong>en</strong> is nog niet aan de orde Deze leerling blijft <strong>vo</strong>oral technisch<br />
rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met of zonder rek<strong>en</strong>machine<br />
Afstemming<br />
Handelingsmodel. Vanuit het Handelingsmodel kan de leraar veel nadruk legg<strong>en</strong> op betek<strong>en</strong>is verl<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
De leerling heeft nog veel moeite met de koppeling tuss<strong>en</strong> het concrete <strong>en</strong> formele rek<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
Met <strong>vo</strong>orbeeld<strong>en</strong> uit de praktijk kan de leraar de leerling duidelijk mak<strong>en</strong> wat hij doet Door te visualiser<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> te verbaliser<strong>en</strong> leert de leerling deze koppeling<strong>en</strong> te mak<strong>en</strong> Als de leerling e<strong>en</strong> op-
Bijlage B<br />
dracht maakt, zal hij het zelf moet<strong>en</strong> kunn<strong>en</strong> verbind<strong>en</strong> aan e<strong>en</strong> werkelijkheidssituatie Hierdoor<br />
gaat rek<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>vo</strong>or de leerling lev<strong>en</strong> Omdat de rek<strong>en</strong>vaardigheid van de leerling al wat beter is, kan<br />
de leraar de verbinding legg<strong>en</strong> met de praktijk<br />
Drieslagmodel. Binn<strong>en</strong> het Drieslagmodel besteedt de leraar veel aandacht aan betek<strong>en</strong>isverl<strong>en</strong>ing<br />
Hij vraagt de leerling regelmatig zijn aanpak toe te licht<strong>en</strong> De leerling kan zelfstandig berek<strong>en</strong>ing<strong>en</strong><br />
uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> kan daarbij de rek<strong>en</strong>machine gebruik<strong>en</strong> De reflectie vraagt nog veel sturing van<br />
de leraar<br />
267<br />
6 De leerling in de theoretische leerweg van in het vmbo (vmbo-tl)<br />
Vmbo-tl<br />
In de theoretische leerweg ligt de nadruk op de theorie <strong>en</strong> veel minder op de praktijk Het diploma<br />
leidt toe naar niveau 4 van het mbo <strong>en</strong> het ha<strong>vo</strong><br />
K<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de leerling<br />
De interesse van deze leerling is <strong>vo</strong>oral gericht op praktische <strong>en</strong> bruikbare theorie De aangebod<strong>en</strong><br />
lesstof wordt door de leerling <strong>vo</strong>oral herhaald <strong>en</strong> gereproduceerd Deze leerling heeft veelal moeite<br />
met de transfer van het geleerde naar andere situaties<br />
Onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van deze leerling<br />
De koppeling van theorie aan concrete situaties in de belevingswereld van de leerling is van cruciaal<br />
belang De leerling is ook erg afhankelijk van de uitleg van de leraar De rol van de leraar is net<br />
als in de andere leerweg<strong>en</strong> van het vmbo meer die van begeleider/coach dan van vakdeskundige<br />
Het is van belang dat de leraar onderscheid aanbr<strong>en</strong>gt tuss<strong>en</strong> hoofd- <strong>en</strong> bijzak<strong>en</strong><br />
Rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
Voor het vmbo-tl geldt ook bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong> dat de leerling veel bevestiging nodig heeft De leerling van<br />
het vmbo-tl haalt Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau 2F<br />
Begrips<strong>vo</strong>rming. Voor complexere problem<strong>en</strong> heeft de leerling extra ondersteuning van de leraar<br />
nodig De leerling is extra ge<strong>vo</strong>elig <strong>vo</strong>or het belev<strong>en</strong> van succeservaring<strong>en</strong> De leerling kan overweg<br />
met de basisconcept<strong>en</strong>, e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udige breuk<strong>en</strong>, proc<strong>en</strong>t<strong>en</strong> <strong>en</strong> andere verhouding<strong>en</strong> Toch houdt hij<br />
moeite met de concept<strong>en</strong><br />
Oplossingsprocedures. Datzelfde geldt <strong>vo</strong>or de oplossingsprocedures die ze gebruik<strong>en</strong> Ze vall<strong>en</strong> snel<br />
terug op e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udige aangeleerde trucs Er is nog steeds sprake van on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de inzicht<br />
Vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong>. Het vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> gaat deze leerling makkelijker af De rek<strong>en</strong>machine ondersteunt<br />
hem Zonder rek<strong>en</strong>machine wordt de leerling vaak onzeker <strong>en</strong> vertrouwt hij on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de op zichzelf<br />
Flexibel toepass<strong>en</strong>. Flexibel toepass<strong>en</strong> is binn<strong>en</strong> deze groep leerling<strong>en</strong> maar <strong>vo</strong>or <strong>en</strong>kel<strong>en</strong> haalbaar<br />
De meeste leerling<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> on<strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de inzicht in het rek<strong>en</strong><strong>en</strong> om deze stap te mak<strong>en</strong>
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
Afstemming<br />
Handelingsmodel. Vanuit het Handelingsmodel zal de leraar <strong>vo</strong>oral de betek<strong>en</strong>is moet<strong>en</strong> verbind<strong>en</strong><br />
aan formele bewerking<strong>en</strong> Ook hier geldt dat verbaliser<strong>en</strong> <strong>en</strong> visualiser<strong>en</strong> helpt De leraar kan de<br />
leerling uitdag<strong>en</strong> om dit zelf te do<strong>en</strong> Bij <strong>vo</strong>orkeur met opdracht<strong>en</strong> die vanuit de werkelijkheid kom<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> pass<strong>en</strong> bij zijn belevingswereld Schematiser<strong>en</strong> <strong>en</strong> werk<strong>en</strong> met modell<strong>en</strong> kan de leerling<br />
toepass<strong>en</strong> op e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udige opdracht<strong>en</strong><br />
268<br />
Drieslagmodel. Vanuit het Drieslagmodel zal de leraar met name de reflectie goed moet<strong>en</strong> aanstur<strong>en</strong><br />
De leerling is doorgaans snel tevred<strong>en</strong> met het antwoord uit stap 2 (uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong>) Met de juiste<br />
vraagstelling kan de leraar de betek<strong>en</strong>isverl<strong>en</strong>ing aan de leerling overlat<strong>en</strong><br />
7 De leerling in het hoger algeme<strong>en</strong> <strong>vo</strong>ortgezet onderwijs (ha<strong>vo</strong>)<br />
Ha<strong>vo</strong><br />
Het ha<strong>vo</strong> is in principe ge<strong>en</strong> eindonderwijs, maar het ha<strong>vo</strong>-diploma is wel e<strong>en</strong> startkwalificatie Het<br />
ha<strong>vo</strong> duurt vijf jaar <strong>en</strong> leidt toe naar het hoger beroepsonderwijs (hbo) E<strong>en</strong> leerling kiest <strong>vo</strong>or<br />
aanvang van het vierde schooljaar e<strong>en</strong> vakk<strong>en</strong>pakket aan de hand van e<strong>en</strong> profiel Er zijn vier profiel<strong>en</strong>:<br />
Natuur <strong>en</strong> Techniek, Natuur <strong>en</strong> Gezondheid, Economie <strong>en</strong> Maatschappij, Cultuur <strong>en</strong><br />
Maatschappij Doel van de profiel<strong>en</strong> is de leerling<strong>en</strong> e<strong>en</strong> sam<strong>en</strong>hang<strong>en</strong>d vakk<strong>en</strong>pakket aan te bied<strong>en</strong>,<br />
dat e<strong>en</strong> goede inhoudelijke <strong>vo</strong>orbereiding biedt op relevante ver<strong>vo</strong>lgopleiding<strong>en</strong><br />
K<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de leerling<br />
De leerling is <strong>vo</strong>oral geïnteresseerd in de koppeling tuss<strong>en</strong> leerstof <strong>en</strong> werkelijkheid De leerling<br />
kan de lesstof toepass<strong>en</strong> op andere situaties Hij kan hoofd- <strong>en</strong> bijzak<strong>en</strong> onderscheid<strong>en</strong> in niet al te<br />
lange zakelijke tekst<strong>en</strong><br />
Onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van deze leerling<br />
Wel heeft de leerling begeleiding nodig bij het <strong>vo</strong>rm<strong>en</strong> van abstracte <strong>vo</strong>orstelling<strong>en</strong> uit concrete<br />
zak<strong>en</strong> De leerling is afhankelijk van de leraar <strong>vo</strong>or de planning <strong>en</strong> het leerstofaanbod Sociale interactie<br />
– ook met de leraar – is belangrijk <strong>vo</strong>or het leerplezier<br />
Rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
Voor deze leerling is Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau 3F in principe haalbaar Het gebruik van e<strong>en</strong> grafische rek<strong>en</strong>machine<br />
komt bij het vak wiskunde aan bod<br />
Begrips<strong>vo</strong>rming. Op dit punt zijn er weinig problem<strong>en</strong> De leerling kan redelijk goed uitlegg<strong>en</strong> wat<br />
hij doet Hij <strong>vo</strong>ert e<strong>en</strong> opdracht op formeel niveau uit <strong>en</strong> kan kom<strong>en</strong> tot betek<strong>en</strong>isverl<strong>en</strong>ing Als de<br />
opdracht niet al te complex is, kan de leerling zelf de koppeling legg<strong>en</strong> tuss<strong>en</strong> werkelijkheidssituatie<br />
<strong>en</strong> de formele som<br />
Oplossingsprocedures. Deze leerling heeft over het algeme<strong>en</strong> weinig moeite met oplossingsprocedures<br />
Vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong> is ge<strong>en</strong> probleem
Bijlage B<br />
Flexibel toepass<strong>en</strong>. Het flexibel toepass<strong>en</strong> is met name bij e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udige opdracht<strong>en</strong> goed Als de opdracht<br />
complexer wordt, heeft deze leerling veel baat bij overleg met medeleerling<strong>en</strong> of uitleg van<br />
de leraar<br />
Afstemming<br />
Handelingsmodel. De leerling kan zelf formele bewerking<strong>en</strong> uit<strong>vo</strong>er<strong>en</strong> <strong>en</strong> dat koppel<strong>en</strong> aan handel<strong>en</strong><br />
in werkelijkheidssituaties Het repres<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> van de werkelijkheid aan de hand van d<strong>en</strong>kmodell<strong>en</strong><br />
of in concrete afbeelding<strong>en</strong> is ge<strong>en</strong> probleem<br />
Drieslagmodel. De leraar hoeft bij e<strong>en</strong><strong>vo</strong>udige opdracht<strong>en</strong> nauwelijks te help<strong>en</strong> bij betek<strong>en</strong>isverl<strong>en</strong>ing<br />
De leerling heeft <strong>vo</strong>ldo<strong>en</strong>de inzicht om dat zelf te kunn<strong>en</strong> Bij complexere opdracht<strong>en</strong> is<br />
steun w<strong>en</strong>selijk Hierbij is het van belang dat de leraar de juiste vrag<strong>en</strong> stelt Hierbij kom<strong>en</strong> vrag<strong>en</strong><br />
aan bod als: Hoe pak je deze opdracht aan? Zijn er andere mogelijkhed<strong>en</strong>? De leraar reikt e<strong>en</strong> context<br />
aan die de werkelijkheid b<strong>en</strong>adert De leerling wordt uitgedaagd door praktische context<strong>en</strong>, die<br />
aansluit<strong>en</strong> bij de belevingswereld<br />
In term<strong>en</strong> van het Drieslagmodel heeft de leerling <strong>vo</strong>oral behoefte aan sturing op de reflectiefase<br />
269<br />
8 De leerling in het <strong>vo</strong>orbereid<strong>en</strong>d wet<strong>en</strong>schappelijk onderwijs (vwo)<br />
Vwo<br />
Het vwo is in principe ge<strong>en</strong> eindonderwijs, maar het vwo-diploma is wel e<strong>en</strong> startkwalificatie Met<br />
e<strong>en</strong> vwo-diploma hebb<strong>en</strong> de leerling<strong>en</strong> toegang tot e<strong>en</strong> verdere studie aan het hbo <strong>en</strong> het wet<strong>en</strong>schappelijk<br />
onderwijs Het vwo duurt zes jaar <strong>en</strong> k<strong>en</strong>t twee schooltyp<strong>en</strong>: ath<strong>en</strong>eum <strong>en</strong> gymnasium<br />
Grieks <strong>en</strong> Latijn zijn vakk<strong>en</strong> die wel op het gymnasium <strong>en</strong> niet op het ath<strong>en</strong>eum word<strong>en</strong> aangebod<strong>en</strong><br />
Net als het ha<strong>vo</strong> is er e<strong>en</strong> keuze uit vier profiel<strong>en</strong><br />
K<strong>en</strong>merk<strong>en</strong> van de leerling<br />
De leerling is intrinsiek gemotiveerd <strong>en</strong> wil graag ler<strong>en</strong> Hij kan zelf structuur aanbr<strong>en</strong>g<strong>en</strong> in de<br />
aangebod<strong>en</strong> leerstof Hij vindt op eig<strong>en</strong> kracht de ess<strong>en</strong>tie uit ongestructureerde informatie De<br />
leerling is in staat om veel informatie in korte tijd te verwerk<strong>en</strong> <strong>en</strong> hij heeft plezier in het ler<strong>en</strong> De<br />
leerling <strong>vo</strong>rmt zich onafhankelijk van de leraar e<strong>en</strong> beeld van de leerstof<br />
Onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van deze leerling<br />
De onderwijsbehoeft<strong>en</strong> van de leerling word<strong>en</strong> met name ge<strong>vo</strong>ed door de vakdeskundigheid van de<br />
leraar De leerling spiegelt zich aan de leraar <strong>en</strong> di<strong>en</strong>s k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> uitstraling<br />
Rek<strong>en</strong>ontwikkeling<br />
Voor deze leerling is begrips<strong>vo</strong>rming juist de uitdaging; in aanleg is hij e<strong>en</strong> abstracte d<strong>en</strong>ker Hij<br />
kan vaak vlot rek<strong>en</strong><strong>en</strong>, gebruikt de juiste oplossingsprocedures <strong>en</strong> is flexibel in zijn d<strong>en</strong>k<strong>en</strong> Hij<br />
rek<strong>en</strong>t met inzicht Refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau 3F geeft <strong>vo</strong>or deze leerling meestal ge<strong>en</strong> problem<strong>en</strong><br />
Afstemming<br />
De leraar stuurt <strong>vo</strong>oral op de begrips<strong>vo</strong>rming Hierbij zijn vrag<strong>en</strong> aan de orde als: Hoe kan de leerling<br />
de aanwezige rek<strong>en</strong>concept<strong>en</strong> verdiep<strong>en</strong>? Hoe flexibel is de leerling in het toepass<strong>en</strong> van de<br />
adequate oplossingsmethode? Strategisch kan deze leerling veel aan De leraar kan hem met de<br />
juiste opdracht<strong>en</strong> uitdag<strong>en</strong> tot nog beter prester<strong>en</strong> Van belang blijft dat de leerling gestimuleerd<br />
wordt formeel handel<strong>en</strong> te koppel<strong>en</strong> aan concreet handel<strong>en</strong>
Literatuur<br />
270<br />
American Psychiatric Association (2000) Diagnostic and Statistical Manual of M<strong>en</strong>tal Disorders:<br />
DSM-IV-TR. Ontle<strong>en</strong>d op 10 juni, 2012, aan http://booksgoogl<strong>en</strong>l/books?id=w_HajjMnjxwC<br />
&pg=PA54&dq=%22Diagnostic+criteria+for+3151%22&hl=nl&ei=j5l3TfeWOYbIswbD5_<br />
HBA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CDoQ6AEwAg#v=onepage<br />
&q=%22 Diagnostic%20criteria%20for%203151%22&f=false<br />
Baddeley, AD, & Hitch, G (1974) Working memory In GH Bower (Ed), The psychology of learning<br />
and motivation: Advances in research and theory (<strong>vo</strong>l. 8, pp 47-89) New York: Academic<br />
Press<br />
Baddeley’s model of working memory (nd) In Wikipedia Ontle<strong>en</strong>d op 10 juli 2012 aan http://<br />
<strong>en</strong>wikipediaorg/wiki/Baddeley%27s_model_of_working_memory<br />
Binkley, M, Erstad, O, Herman, J, Raiz<strong>en</strong>, S, Ripley, M, & Rumble, M (2010) Defining 21st c<strong>en</strong>tury<br />
skills University of Melbourne<br />
Boekaerts, M, & Simons, PR (1995) Ler<strong>en</strong> <strong>en</strong> instructie: Psychologie van de leerling <strong>en</strong> het leerproces.<br />
Ass<strong>en</strong>: Koninklijke Van Gorcum<br />
Boswinkel, N, & Schram, E (2011) De toekomst telt. Enschede: SLO<br />
Butterworth, B (1999) What counts: How every brain is hardwired for math. New York, NY: Free<br />
Press<br />
Cobb, P (1994) Where is the mind? Constructivist and sociocultural perspectives on mathematical<br />
developm<strong>en</strong>t Educational Researcher, 23(7), 13-20<br />
Cobb, P, Yackel, E, & Wood, T (1992) Interaction and learning in mathematics classroom situations<br />
Educational Studies in Mathematics, 23(1), 99-122.<br />
Council of Europe (2001) Common European framework of refer<strong>en</strong>ce for languages: Learning, teaching,<br />
assessm<strong>en</strong>t (in vertaling) D<strong>en</strong> Haag: Nederlandse <strong>Taal</strong>unie<br />
De Vries, J (1998) Emoties bij rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Tijdschrift <strong>vo</strong>or Remedial Teaching, 1998<br />
Deci, EL, & Ryan, RM (1985) Intrinsic motivation and self-determination in human behavior. New<br />
York: Pl<strong>en</strong>um Press<br />
Deha<strong>en</strong>e, S (1997) The number s<strong>en</strong>se: How the mind creates mathematics. Oxford University Press<br />
Dolk, M (2005) Aandacht <strong>vo</strong>or ‘big ideas’ in de wiskunde: kinder<strong>en</strong> discussiër<strong>en</strong> over hun wiskundige<br />
ontdekking<strong>en</strong> Volg<strong>en</strong>s Bartj<strong>en</strong>s..., 25(2), 4-7<br />
Dolk, M, & Van Gro<strong>en</strong>estijn, M (Eds) (2006) Dyscalculie in discussie. Ass<strong>en</strong>: Van Gorcum<br />
Europese Commissie (2010) E<strong>en</strong> ag<strong>en</strong>da <strong>vo</strong>or nieuwe vaardighed<strong>en</strong> <strong>en</strong> ban<strong>en</strong>: E<strong>en</strong> Europese bijdrage<br />
aan <strong>vo</strong>lledige werkgeleg<strong>en</strong>heid Straatsburg, Frankrijk: Europese Commissie Ontle<strong>en</strong>d aan<br />
http://eur-lexeuropaeu/LexUriServ/LexUriServdo?uri=COM:2010:0682:FIN:NL:PDF
Literatuur<br />
Europese Unie (2010) Gezam<strong>en</strong>lijk <strong>vo</strong>ortgangsverslag 2010 van de Raad <strong>en</strong> de Commissie over de<br />
uit<strong>vo</strong>ering van het werkprogramma “Onderwijs <strong>en</strong> opleiding 2010” Publicatieblad Europese<br />
Unie (16/5/2010) http://eur-lexeuropaeu/LexUriServ/LexUriServdo?uri=OJ:C:2010:117:0001:<br />
0007:NL:PDF<br />
Expertgroep Doorlop<strong>en</strong>de Leerlijn<strong>en</strong> <strong>Taal</strong> <strong>en</strong> Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> (2008) Over de drempels met taal <strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong>:<br />
Hoofdrapport van de Expertgroep Doorlop<strong>en</strong>de Leerlijn<strong>en</strong> <strong>Taal</strong> <strong>en</strong> Rek<strong>en</strong><strong>en</strong>. Enschede: SLO<br />
Fosnot, C, & Dolk, M (2002) Het leerlandschap Tijdschrift <strong>vo</strong>or Nascholing <strong>en</strong> onderzoek van het<br />
rek<strong>en</strong>-wiskundeonderwijs, 21(2), 29-37<br />
Gelderblom, G (2008) Effectief omgaan met zwakke rek<strong>en</strong>aars. Amersfoort: CPS<br />
Goswami, U (2007) Cognitive developm<strong>en</strong>t: The learning brain. Hove, Engeland: Psychology Press,<br />
Taylor & Francis Group<br />
Gravemeijer, KPE (1994) Developing Realistic Mathematics Education (Proefschrift, Universiteit<br />
Utrecht). Utrecht: CD-â Press<br />
Gravemeijer, KPE (1995) Het belang van social norms <strong>en</strong> socio-math norms <strong>vo</strong>or realistisch rek<strong>en</strong>-wiskundeonderwijs<br />
Panama-Post. Tijdschrift <strong>vo</strong>or nascholing <strong>en</strong> onderzoek van het rek<strong>en</strong>wiskundeonderwijs,<br />
14(2), 17-23<br />
Gravemeijer, KPE (1995) Het ontwikkel<strong>en</strong> van ‘constructivistisch’ rek<strong>en</strong>-wiskundeonderwijs<br />
Pedagogisch Tijdschrift, 20(4), 277-292<br />
Gravemeijer, KPE (2005) Revisiting ‘Mathematics education revisited’ In H ter Heege, T Goris,<br />
R Keijzer & L Wesker (Eds), Freud<strong>en</strong>thal 100: Special honderdste geboortedag Hans Freud<strong>en</strong>thal<br />
(pp 106-113) Universiteit Utrecht, Freud<strong>en</strong>thal Instituut<br />
Habrak<strong>en</strong>, JHM (2012) Bronvermelding <strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>s de richtlijn<strong>en</strong> van de APA: Handleiding<br />
Universiteit van Tilburg Ontle<strong>en</strong>d op 10 juli, 2012, aan drcwww.uvt.nl/its/<strong>vo</strong>orlichting/<br />
handleiding<strong>en</strong>/bibliotheek/apa.<strong>pdf</strong><br />
Hick<strong>en</strong>dorff, M (2011) Explanatory lat<strong>en</strong>t variable modeling of mathematical ability in primary school:<br />
Crossing the border betwe<strong>en</strong> psychometrics and psychology (Proefschrift, Universiteit Leid<strong>en</strong>)<br />
Leid<strong>en</strong>: Departm<strong>en</strong>t Psychology, Faculty of Social and Behavioural Sci<strong>en</strong>ces<br />
Inspectie van het Onderwijs (2009) Basisvaardighed<strong>en</strong> rek<strong>en</strong><strong>en</strong> in het Voortgezet Onderwijs:<br />
Resultat<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> inspectieonderzoek naar de rek<strong>en</strong>vaardigheid in de onderbouw van het <strong>vo</strong>ortgezet<br />
onderwijs Utrecht: Inspectie van het Onderwijs<br />
Janson, DJ (2006) Van wie is het handelingsplan? Volg<strong>en</strong>s Bartj<strong>en</strong>s..., 26(3), 31-34<br />
Jolles, J, De Groot, R, Van B<strong>en</strong>them, J, Dekkers, H, De Glopper, C, Uijlings, H, & Wolff-Albers,<br />
A (2005) Leer het brein k<strong>en</strong>n<strong>en</strong>: Over e<strong>en</strong> ‘New Learning Sci<strong>en</strong>ce’ op het kruispunt van neurowet<strong>en</strong>schap,<br />
cognitiewet<strong>en</strong>schap <strong>en</strong> onderwijswet<strong>en</strong>schap: resultaat van e<strong>en</strong> invitational confer<strong>en</strong>ce georganiseerd<br />
door NWO op 5 februari 2004 D<strong>en</strong> Haag: SWO<br />
Kroesberg<strong>en</strong>, EH, Van der V<strong>en</strong>, SHG, Kolkman, ME, Van Luit, JEH, & Leseman PPM<br />
(2009) Executieve functies <strong>en</strong> de ontwikkeling van (<strong>vo</strong>orbereid<strong>en</strong>de) rek<strong>en</strong>vaardigheid<br />
Pedagogische Studiën, 86(5), 334-349<br />
Kucian, K, & Von Aster, M (2006) Dem Gehirn beim Rech<strong>en</strong> zuschau<strong>en</strong>: Ergebnisse der funktionell<strong>en</strong><br />
Bildgebung In M <strong>vo</strong>n Aster & JH Lor<strong>en</strong>z (Eds), Rech<strong>en</strong>störung<strong>en</strong> bei Kindern:<br />
Neurowiss<strong>en</strong>schaft, Psychologie, Pädagogik, 54-72 Götting<strong>en</strong>, Duitsland: Vand<strong>en</strong>hoeck &<br />
Ruprecht<br />
Leseman, P (2004) Verdwal<strong>en</strong> langs gebaande pad<strong>en</strong> (Oratie) Universiteit Utrecht<br />
Nederlands Instituut <strong>vo</strong>or Budget<strong>vo</strong>orlichting (Nibud) (2011) Mbo’ers in geldzak<strong>en</strong>: E<strong>en</strong> onderzoek<br />
naar het financieel gedrag van mbo-stud<strong>en</strong>t<strong>en</strong> D<strong>en</strong> Haag: Nibud<br />
Neliss<strong>en</strong>, J, Boswinkel, N, & De Goeij, E (2007) Realistisch rek<strong>en</strong>wiskunde-onderwijs in het sbo<br />
(1): Theorie, vrag<strong>en</strong> <strong>en</strong> perspectiev<strong>en</strong> Tijdschrift <strong>vo</strong>or Orthopedagogiek, 46 (7/8), 321-331<br />
271
<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong> <strong>vo</strong><br />
272<br />
Organisation for Economic Co-operation and Developm<strong>en</strong>t (OECD) (1999) Measuring stud<strong>en</strong>t<br />
knowledge and skills: A new framework for assessm<strong>en</strong>t Parijs: OECD Publications<br />
OECD (2001) Knowledge and skills for life : First results from the OECD Programme for International<br />
Stud<strong>en</strong>t Assessm<strong>en</strong>t (PISA) 2000. Parijs: OECD Publications<br />
OECD (2007) Sci<strong>en</strong>ce compet<strong>en</strong>cies for tomorrow’s world: Volume 1: Analysis: Programme for<br />
International Stud<strong>en</strong>t Assessm<strong>en</strong>t (PISA) 2006. Parijs: OECD Publishing<br />
OECD (2008) OECD: Annual Report 2008 Parijs: OECD Publications Ontle<strong>en</strong>d aan wwwoecd<br />
org/dataoecd/39/19/40556222<strong>pdf</strong><br />
OECD (2010) Education at a glance 2010: OECD indicators Parijs: OECD Publications Ontle<strong>en</strong>d<br />
aan wwwoecdorg/docum<strong>en</strong>t/52/0,3746,<strong>en</strong>_2649_39263238_45897844_1_1_1_1,00html<br />
Pameijer, N, & Van Beukering, T (2004) Handelingsgerichte diagnostiek: E<strong>en</strong> praktijkmodel <strong>vo</strong>or<br />
diagnostiek <strong>en</strong> advisering bij onderwijsleerproblem<strong>en</strong>. Leuv<strong>en</strong>, België: Acco<br />
Paternotte, A (2006) Echt pass<strong>en</strong>d onderwijs: Met nieuwe k<strong>en</strong>nis <strong>en</strong> inzicht<strong>en</strong> uit de hers<strong>en</strong>wet<strong>en</strong>schap<br />
(interview met hoogleraar Jelle Jolles) Balans Magazine, september 2006, 12-17<br />
PIAAC Numeracy Expert Group (2009) PIAAC Numeracy: A conceptual framework Parijs: OECD<br />
Publishing Ontle<strong>en</strong>d aan wwwoecd-ilibraryorg/education/piaac-numeracy-a-conceptualframework_220337421165<br />
Repovs, G, & Baddeley, A (2006) The multi-compon<strong>en</strong>t model of working memory: Explorations<br />
in experim<strong>en</strong>tal cognitive psychology Neurosci<strong>en</strong>ce, 139, 5-21 Ontle<strong>en</strong>d aan http://dionysus<br />
psychwiscedu/lit/articles/RepovsG2006a<strong>pdf</strong><br />
Ruijss<strong>en</strong>aars, AJJM, Van Luit, JEH, & Van Lieshout, ECDM (2004) Rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong> <strong>en</strong><br />
Dyscalculie: Theorie, onderzoek, diagnostiek <strong>en</strong> behandeling. Rotterdam: Lemniscaat<br />
Sitskoorn, M (2006) Het maakbare brein: Gebruik je hers<strong>en</strong>s <strong>en</strong> word wie je wilt zijn. Amsterdam:<br />
Bert Bakker<br />
SLO (2012) De rol van de rek<strong>en</strong>machine in po, s(b)o <strong>en</strong> <strong>vo</strong>: Notitie ter advisering ministerie OCW.<br />
Enschede: SLO Ontle<strong>en</strong>d aan wwwrijksoverheidnl/docum<strong>en</strong>t<strong>en</strong>-<strong>en</strong>-publicaties/<br />
rapport<strong>en</strong>/ 2012/04/05/de-rol-van-de-rek<strong>en</strong>machine-in-po-s-b-o-<strong>en</strong>-<strong>vo</strong>html<br />
Treffers, A (1991) Didactical background of a mathematics program for primary education In L<br />
Streefland (Ed), Realistic mathematics education in primary school: On the occasion of the op<strong>en</strong>ing<br />
of the Freud<strong>en</strong>thal Institute (pp 21-57). Utrecht: CD-β Press<br />
Treffers, A (2005) De (on)na<strong>vo</strong>lgbare Freud<strong>en</strong>thal In H ter Heege, T Goris, R Keijzer & L<br />
Wesker (Eds), Freud<strong>en</strong>thal 100: Special honderdste geboortedag Hans Freud<strong>en</strong>thal (pp 135-144)<br />
Universiteit Utrecht, Freud<strong>en</strong>thal Instituut<br />
Treffers, A, & De Moor, E (1990) Proeve van e<strong>en</strong> nationaal programma <strong>vo</strong>or het rek<strong>en</strong>-wiskundeonderwijs<br />
op de basisschool: Deel 2: Basisvaardighed<strong>en</strong> <strong>en</strong> cijfer<strong>en</strong>. Tilburg: Zwijs<strong>en</strong><br />
Tudge, JRH, & Doucet, F (2004) Early mathematical experi<strong>en</strong>ces: Observing young black and<br />
white childr<strong>en</strong>’s everyday activities Early Childhood Research Quarterly, 19, 21-39<br />
Van Eerde, HAA (1996) Kwantiwijzer, diagnostiek in rek<strong>en</strong>-wiskundeonderwijs. Tilburg: Zwijs<strong>en</strong><br />
Van Geert, P (2008) Dynamische systeemtheorie van ontwikkeling In EJ Knorth, H Nakk<strong>en</strong>,<br />
CE O<strong>en</strong>ema-Mostert, AJJM Ruijss<strong>en</strong>aars & J Strijker (Eds), De ontwikkeling van kinder<strong>en</strong><br />
met problem<strong>en</strong>: gewoon anders (pp 28-45) Antwerp<strong>en</strong>-Apeldoorn: Garant<br />
Van Gro<strong>en</strong>estijn, M (2002) A gateway to numeracy: A study of numeracy in adult basic education<br />
(Proefschrift, Universiteit Utrecht) Utrecht: CD-β Press<br />
Van Gro<strong>en</strong>estijn, M (2009) Op de barricad<strong>en</strong>! Rek<strong>en</strong>-wiskundeonderwijs: Onderzoek, Ontwikkeling,<br />
Praktijk, 27(3/4), 62-68.<br />
Van Gro<strong>en</strong>estijn, M (2009) Van informeel handel<strong>en</strong> naar formeel rek<strong>en</strong><strong>en</strong> Volg<strong>en</strong>s Bartj<strong>en</strong>s…,<br />
29(1), 22-26
Literatuur<br />
Van Gro<strong>en</strong>estijn, M (2010) Op weg naar gecijferdheid (Op<strong>en</strong>bare les). Hogeschool Utrecht, Lectoraat<br />
Gecijferdheid<br />
Van Gro<strong>en</strong>estijn, M, Borghouts, C, & Janss<strong>en</strong>, C (2011) <strong>Protocol</strong> Ernstige Rek<strong>en</strong>Wiskunde-problem<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> Dyscalculie: BAO, SBO, SO. Ass<strong>en</strong>: Koninklijke Van Gorcum<br />
Van Gro<strong>en</strong>estijn, M, Van Dijk<strong>en</strong>, G, & Janson, D (2012) <strong>Protocol</strong> Ernstige Rek<strong>en</strong>Wiskundeproblem<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> Dyscalculie: MBO. Ass<strong>en</strong>: Koninklijke Van Gorcum<br />
Van Gro<strong>en</strong>estijn, M, & Vedder, J (Eds) (2008) Dyscalculie in discussie, deel 2 Ass<strong>en</strong>: Van Gorcum<br />
Van Lieshout, ECDM (2006) Rek<strong>en</strong>stoorniss<strong>en</strong> <strong>en</strong> dyscalculie: <strong>en</strong>kele non-specifieke cognitieve<br />
verklaring<strong>en</strong> In M Dolk & M van Gro<strong>en</strong>estijn (Eds), Dyscalculie in discussie (pp 6-15) Ass<strong>en</strong>:<br />
Van Gorcum<br />
Van Lieshout, ECDM (2010) Enkele lijn<strong>en</strong> in het onderzoek van basale rek<strong>en</strong>vaardighed<strong>en</strong> (Afscheidsrede)<br />
Vrije Universiteit Amsterdam<br />
Van Lieshout, ECDM, & Ber<strong>en</strong>ds, IE (2009) Het effect van illustraties bij rek<strong>en</strong>opgav<strong>en</strong>: Hulp<br />
of hinder? Pedagogische Studiën, 86(5), 350-369<br />
Van Luit, JEH (2006) Dyscalculie: achtergrond<strong>en</strong>, betek<strong>en</strong>is <strong>en</strong> handelingsconsequ<strong>en</strong>ties In M<br />
Dolk & M van Gro<strong>en</strong>estijn: Dyscalculie in discussie (pp 22-33) Ass<strong>en</strong>: Van Gorcum<br />
Van Luit, JEH (2010) Dyscalculie, e<strong>en</strong> stoornis die telt (Oratie, Universiteit Utrecht). Doetinchem:<br />
Graviant Educatieve Uitgav<strong>en</strong><br />
Van Luit, JEH, Bloemert, J, Ganzinga EG, & Mönch, ME (2012) <strong>Protocol</strong> Dyscalculie: Diagnostiek<br />
<strong>vo</strong>or Gedragdeskundig<strong>en</strong> (protocol DDG) Doetinchem: Graviant Educatieve Uitgav<strong>en</strong><br />
Van Loosbroek, E (2006) De biologische basis van ontwikkelingsdyscalculie In M Dolk & M van<br />
Gro<strong>en</strong>estijn: Dyscalculie in discussie (pp 16-21) Ass<strong>en</strong>: Van Gorcum<br />
Van Oers, B (1987) Activiteit <strong>en</strong> begrip: Proeve van e<strong>en</strong> handelings-psychologische didactiek. Amsterdam:<br />
VU Uitgeverij<br />
Van Parrer<strong>en</strong>, CF, & Neliss<strong>en</strong>, JMC (1977) Rek<strong>en</strong><strong>en</strong>. Groning<strong>en</strong>: Wolters Noordhoff<br />
Von Aster, M (2005) Wie komm<strong>en</strong> Zahl<strong>en</strong> in d<strong>en</strong> Kopf? Ein Modell der normal<strong>en</strong> und abweich<strong>en</strong>d<strong>en</strong><br />
Entwicklung zahl<strong>en</strong>verarbeit<strong>en</strong>der Hirnfunktion<strong>en</strong> In M <strong>vo</strong>n Aster & JH Lor<strong>en</strong>z (Eds),<br />
Rech<strong>en</strong>störung<strong>en</strong> bei Kindern: Neurowiss<strong>en</strong>schaft, Psychologie, Pädagogik (pp 13-33) Götting<strong>en</strong>,<br />
Duitsland: Vand<strong>en</strong>hoeck & Ruprecht<br />
Von Glasersfeld, E (1996) Introduction: Aspects of constructivism In C Fosnot (Ed),<br />
Constructivism: Theory, perspectives, and practice (pp3-7) New York: Teachers College Press<br />
273
De andere <strong>Protocol</strong>l<strong>en</strong> Ernstige Rek<strong>en</strong>Wiskundeproblem<strong>en</strong><br />
<strong>en</strong> Dyscalculie:<br />
274<br />
<strong>Protocol</strong> Ernstige Rek<strong>en</strong>Wiskundeproblem<strong>en</strong> <strong>en</strong> Dyscalculie MBO<br />
Mieke van Gro<strong>en</strong>estijn, Gerjan van Dijk<strong>en</strong>, Dolf Janson<br />
2012, ISBN 978 90 232 4973 3<br />
Het ministerie van OCW heeft in 2010 N<strong>VO</strong>RWO de opdracht verstrekt<br />
het <strong>Protocol</strong> <strong>vo</strong>or het middelbaar beroepsonderwijs te ontwikkel<strong>en</strong><br />
(<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>3) Dit protocol is van groot belang nu c<strong>en</strong>trale rek<strong>en</strong>exam<strong>en</strong>s<br />
2F <strong>en</strong> 3F in het mbo inge<strong>vo</strong>erd gaan word<strong>en</strong> Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> staat<br />
duidelijk op de kaart Het onderwijs zal alle zeil<strong>en</strong> moet<strong>en</strong> bijzett<strong>en</strong> om<br />
ook de rek<strong>en</strong>zwakke stud<strong>en</strong>t <strong>en</strong> de stud<strong>en</strong>t met ernstige rek<strong>en</strong>problem<strong>en</strong><br />
tot het gew<strong>en</strong>ste refer<strong>en</strong>ti<strong>en</strong>iveau te br<strong>en</strong>g<strong>en</strong><br />
<strong>Protocol</strong> Ernstige Rek<strong>en</strong>Wiskundeproblem<strong>en</strong> <strong>en</strong> Dyscalculie BAO SBO SO<br />
Mieke van Gro<strong>en</strong>estijn, Ceciel Borghouts, Christi<strong>en</strong> Janss<strong>en</strong><br />
2011, ISBN 978 90 232 4763 0<br />
Het landelijk protocol <strong>vo</strong>or leerling<strong>en</strong> van 4 tot 12 jaar met (Ernstige)<br />
Rek<strong>en</strong>Wiskunde-problem<strong>en</strong> <strong>en</strong> Dyscalculie (<strong>Protocol</strong> <strong>ERWD</strong>1) richt zich<br />
op het basisonderwijs, het speciaal basisonderwijs <strong>en</strong> het speciaal onderwijs<br />
Het doel van rek<strong>en</strong>wiskunde-onderwijs is functionele gecijferdheid,<br />
afgestemd op de mogelijkhed<strong>en</strong> van iedere individuele leerling<br />
Hierbij gaat het om adequaat handel<strong>en</strong> in functionele, dagelijkse situaties<br />
Het protocol geeft aanwijzing<strong>en</strong> om dit doel langs e<strong>en</strong> aantal stapp<strong>en</strong><br />
te bereik<strong>en</strong>, met name wanneer de rek<strong>en</strong>wiskundige ontwikkeling<br />
van e<strong>en</strong> leerling niet optimaal verloopt<br />
Meer informatie:<br />
www.<strong>vo</strong>lg<strong>en</strong>sbartj<strong>en</strong>s.nl/erwd