Analytische Meetkunde - Groep T
Analytische Meetkunde - Groep T
Analytische Meetkunde - Groep T
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Analytische</strong> <strong>Meetkunde</strong><br />
Lieve Houwaer,<br />
Team wiskunde
1. VECTOREN EN RECHTEN............................................................................................. 3<br />
1.1. Vectoren ..................................................................................................................... 3<br />
1.2. Rechten....................................................................................................................... 5<br />
1.3. Evenwijdige rechten................................................................................................... 7<br />
1.4. Het Euclidisch vectorvlak .......................................................................................... 8<br />
1.5. Hoeken ....................................................................................................................... 9<br />
1.6. Loodrechte stand van 2 rechten................................................................................ 10<br />
1.7. Afstand van een punt tot een rechte ......................................................................... 11<br />
1.8. Oefeningen ............................................................................................................... 12<br />
2. KEGELSNEDEN............................................................................................................. 17<br />
2.1. Inleiding ................................................................................................................... 17<br />
2.2. De cirkel ................................................................................................................... 17<br />
2.3. De parabool .............................................................................................................. 18<br />
2.4. Oefeningen ............................................................................................................... 20
1. VECTOREN EN RECHTEN<br />
1.1. Vectoren<br />
1.1.1. Het vectorbegrip<br />
De verzameling punten van het vlak noteren we door π.<br />
Kies in het vlak π een vast punt O, de oorsprong. Het vlak π waarin dit punt gekozen werd<br />
noemen wij het gepunte vlak πo.<br />
Elk ander punt P in het vlak kunnen we vanaf nu bekijken als het eindpunt van een vector<br />
namelijk OP . Het punt<br />
puntvector.<br />
1.1.2. Basis en assenstelsel<br />
Wij kiezen 2 punten in πo<br />
P = OP van πo noemen wij een gebonden vector, vaste vector of<br />
E<br />
x<br />
en<br />
E<br />
y<br />
die samen met O een driehoek vormen.<br />
Voor elke P in πo bestaat er juist één ( x, y)∈IR 2 zodat<br />
Benamingen:<br />
{ E x<br />
, E y<br />
} is een basis van πo.<br />
P = xE + y .<br />
x<br />
E y<br />
( x, y) zijn de carthesische coördinaten van P t.o.v. de basis { E x<br />
, E y<br />
}.<br />
merk op: begrip coördinaat is basisgebonden.<br />
OE x is de x-as; OE y is de y-as; samen zijn het de coördinaatassen van het xy-assenstelsel of<br />
assenkruis.<br />
1.1.3. Bewerkingen met vectoren<br />
In het gepunte vlak πo kunnen wij twee bewerkingen definiëren :<br />
1) de som van 2 vectoren A en B van πo is een vector met als eindpunt de som van de 2<br />
overeenkomstige vectoren OA en OB volgens de regel van het parallellogram.<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 3
y<br />
C<br />
a 2<br />
A<br />
b 2<br />
B<br />
O<br />
a<br />
1<br />
b 1<br />
x<br />
2) de uitwendige vermenigvuldiging van een vector A van πo en een getal k ∈R is vector<br />
met als eindpunt het eindpunt op de rechte OA door k maal de vector OA op te tellen.<br />
1.1.4. Toepassing: midden van een lijnstuk<br />
Gegeven: het lijnstuk [AB]; A (a 1 ,a 2 ) en B (b 1 ,b 2 )<br />
Gevraagd: bepaal M het midden van het lijnstuk.<br />
M<br />
=<br />
A + B ⎛ a + b1<br />
a2<br />
+<br />
⎜ ,<br />
2 ⎝ 2 2<br />
1<br />
b2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 4
1.2. Rechten<br />
1.2.1. Vectoriële vergelijking<br />
Beschouw een rechte e door de oorsprong. Elk punt verschillend van de oorsprong is het<br />
eindpunt van een vector S<br />
S die de richting van de rechte ondubbelzinnig bepaalt. Zo’n vector<br />
wordt een richtingsvector van e genoemd. Als S zo’n richtingsvector is, dan is elke kS met<br />
k ∈ R 0<br />
opnieuw een richtingsvector van e .<br />
e<br />
S<br />
O<br />
Beschouw e1<br />
een rechte evenwijdig met e en twee verschillende punten P en P0<br />
op e1<br />
.<br />
P <br />
e 1<br />
P <br />
0<br />
e<br />
S <br />
P−<br />
P0<br />
Als S een richtingsvector is van e , geldt P − P 0<br />
= kS<br />
<br />
of P = P 0<br />
+ kS<br />
<br />
voor een k ∈R .<br />
Omgekeerd ligt voor elke k , het eindpunt van de vector P<br />
0<br />
+ kS<br />
<br />
op de rechte e 1<br />
.<br />
We kunnen de vectoriële vergelijking P = P 0<br />
+ kS<br />
<br />
dan ook beschouwen als de nodige en<br />
voldoende voorwaarde opdat een punt op de rechte zou liggen (bepaald door het punt P<br />
en de richting S ).<br />
<br />
P= P0<br />
+ kS met k ∈R<br />
heet de vectoriële vergelijking van de rechte.<br />
e1<br />
0<br />
1.2.2. Parametervergelijkingen<br />
<br />
2<br />
Overgang op de componenten in R met P = ( x, y)<br />
0 0<br />
<br />
P = ( x , y )<br />
,<br />
0 0 0<br />
( x, y) = ( x , y ) + k( a, b)<br />
met k ∈R<br />
<br />
en S = ( a, b)<br />
levert<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 5
Verdere uitwerking levert<br />
equivalent met<br />
( x, y) = ( x + ka, y + kb)<br />
met k ∈R<br />
0 0<br />
⎧x = x0<br />
+ ka<br />
⎨ met k ∈R<br />
⎩y = y0<br />
+ kb<br />
Bovenstaande formules zijn een stel parametervergelijkingen van de rechte door een punt<br />
( x0, y<br />
0)<br />
met richtingsgetallen ( ab , ), de coördinaten van de richtingsvector S<br />
. Merk op dat<br />
bovenstaande vergelijkingen niet uniek zijn. Zowel<br />
P 0<br />
als S kunnen gekozen worden.<br />
1.2.3. Cartesische vergelijking(en)<br />
Wanneer we uit de parametervergelijkingen de parameter k elimineren krijgen we<br />
of<br />
x −x0 y−<br />
y0<br />
= als ab ≠ 0<br />
a b<br />
b<br />
y− y0 = ( x− x0)<br />
als a ≠ 0<br />
a<br />
Beide laatste vergelijkingen noemen we de cartesische vergelijking van de rechte. De<br />
verhouding b a<br />
Als<br />
wordt de richtingscoëfficiënt genoemd.<br />
a = 0 , dan worden de parametervergelijkingen<br />
⎧ x=<br />
x0<br />
met k ∈R<br />
⎨<br />
⎩y = y0<br />
+ kb<br />
De tweede vergelijking zegt dat y willekeurig is en kan dus worden weggelaten. We houden<br />
1 (cartesische) vergelijking over.<br />
x = x 0<br />
De rechte is evenwijdig met de y-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn (0,1); de<br />
richtingscoefficient bestaat niet!<br />
Analoog, als b = 0, dan is y = y0<br />
de cartesische vergelijking van de rechte; de rechte is dan<br />
evenwijdig met de x-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn nu (1,0); de<br />
richtingscoefficient is 0!<br />
Merk op dat ( ab , ) = (0,0) onmogelijk is. De nulvector is immers uitgesloten als<br />
richtingsvector van een rechte.<br />
Als de rechte gegeven is door middel van 2 punten P0( x0, y0)<br />
en P1( x1, y1)<br />
krijgen we<br />
<br />
P= P0 + k( P1−P<br />
0<br />
) met k ∈R<br />
als vectoriële vergelijking en<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 6
⎧ x = x0 + k( x1−x0)<br />
⎨ met k ∈R<br />
⎩y = y0 + k( y1<br />
− y0)<br />
als stel parametervergelijkingen;<br />
als cartesische vergelijking als<br />
x − x0 y−<br />
y0<br />
=<br />
x − x y − y<br />
1 0 1 0<br />
x ≠ en y1 ≠ y0<br />
.<br />
1<br />
x 0<br />
Als<br />
x<br />
1<br />
= x 0<br />
dan analoog aan a = 0; als y<br />
1<br />
= y0<br />
dan analoog aan b= 0<br />
De cartesische vergelijking van een rechte in<br />
2<br />
R<br />
Ax + By + C =<br />
is dus van de vorm<br />
waarbij A en B niet terzelfdertijd nul zijn. Omgekeerd kan ook aangetoond worden dat elke<br />
2<br />
vergelijking van deze vorm in R een rechte voorstelt.<br />
Wat is de rictingscoëfficiënt van deze rechte?<br />
Vind een stel richtingsgetallen.<br />
1.3. Evenwijdige rechten<br />
Als gegeven is<br />
de rechte e 1 met r.v. S<br />
1<br />
, r.g. (a 1 ,b 1 ), rico m 1 , vgl A 1 x+B 1 y+C 1 =0,<br />
de rechte e 2 met r.v. S<br />
2<br />
, r.g. (a 2 ,b 2 ), rico m 2 , vgl A 2 x+B 2 y+C 2 =0<br />
0<br />
e<br />
e<br />
1<br />
2<br />
dan is<br />
O<br />
S<br />
1<br />
S<br />
2<br />
e 1 // e 2<br />
⇔ S<br />
2<br />
= kS 1<br />
met k ∈ IR0<br />
⎧a<br />
⇔ ⎨<br />
⎩b<br />
2<br />
2<br />
⎧<br />
⇔ ⎨<br />
⎩B<br />
= ka<br />
= kb<br />
1<br />
1<br />
⇔ m<br />
2<br />
= m 1<br />
A2<br />
= kA 1<br />
= kB<br />
2 1<br />
met k ∈ IR0<br />
met k ∈ IR0<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 7
toepassing:<br />
gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C=0 en het punt P(x 0 ,y 0 )<br />
gevraagd: construeer f // e en door P<br />
f heeft als vergelijking<br />
A(x- x 0 )+B(y- y 0 )=0<br />
1.4. Het Euclidisch vectorvlak<br />
1.4.1. Definities<br />
Als A a 1,<br />
a ) en B b , b ) 1<br />
in π gegeven zijn,<br />
(<br />
2<br />
( 2<br />
dan is het scalair product van deze 2 vectoren<br />
0<br />
A . B = a b + a b<br />
dan staan deze vectoren loodrecht of orthogonaal<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
dan is de norm van de vector<br />
A ⊥ B ⇔ A. B = 0<br />
2<br />
1<br />
A = A. A = a + a<br />
2<br />
2<br />
dan is A een genormeerde vector<br />
A<br />
= 1<br />
dan is de afstand tussen A a 1,<br />
a ) en b , b ) 1<br />
(<br />
2<br />
B ( 2<br />
( ) ( ) 2<br />
d( A,<br />
B)<br />
= A − B = a − b + a − b<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
B<br />
O<br />
A<br />
A - B<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 8
1.4.2. eigenschap<br />
als<br />
A ≠ O dan is de genormeerde vector voortgebracht door A<br />
<br />
A<br />
Ea<br />
= <br />
A<br />
waarbij a de rechte OA voorstelt.<br />
<br />
Verklaar waarom Ea<br />
genormeerd is.<br />
1.4.3. Orthonormale basis (O.N.B.)<br />
{ E x<br />
, E y<br />
} is een orthonormale basis<br />
⎧<br />
⎪<br />
Ex<br />
⊥ E<br />
y<br />
⇔ ⎨<br />
⎪ Ex<br />
= E<br />
⎩<br />
y<br />
= 1<br />
1.5. Hoeken<br />
Conventie: een hoek rekenen wij positief in tegenuurwijzerzin.<br />
1.5.1. De hoek van een rechte met de x-as<br />
(<strong>Analytische</strong> uitdrukkingen t.o.v. O.N.B.)<br />
In onderstaande figuur zien we in de rechthoekige driehoek dat<br />
m<br />
tanα = = m 1<br />
m.a.w. de richtingscoefficient van de rechte is gelijk aan de tangens van de hoek tussen de x-<br />
as en de rechte.<br />
y<br />
E y<br />
e<br />
m<br />
α<br />
0<br />
1<br />
E x<br />
x<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 9
1.5.2. De hoek tussen 2 rechten<br />
Gegeven:<br />
de rechte e 1 met r.v. S<br />
1<br />
, r.g. (a 1 ,b 1 ), rico m 1 , α<br />
1<br />
de hoek met de x-as<br />
de rechte e 2 met r.v. S<br />
2<br />
, r.g. (a 2 ,b 2 ), rico m 2 , α<br />
2<br />
de hoek met de x-as<br />
Definitie: de hoek tussen de rechten e 1 en e 2 in die volgorde genomen, genoteerd (e 1 , e 2 ),<br />
is de hoek met als hoekpunt het snijpunt van e 1 en e 2 ; het eerste been ligt op<br />
een halfrechte bepaald door e 1 en het tweede been op een halfrechte bepaald<br />
door e 2 .<br />
e<br />
2<br />
e<br />
2<br />
(e ,e )<br />
1<br />
2<br />
e<br />
1<br />
(e ,e )<br />
1<br />
2<br />
e<br />
1<br />
Merk op: een hoek is op π radialen na bepaald. Je kan dus altijd de kleinste (pos.) hoek<br />
kiezen.<br />
De hoek tussen twee rechten wordt ook bepaald door zijn tangens.<br />
(Dit is zinvol want de tangenten van anti-supplementaire hoeken zijn gelijk).<br />
tanα2 − tanα1 m2 −m1 ab<br />
1 2<br />
−a b<br />
tan( α2 − α1)<br />
= = =<br />
1+ tanα<br />
tanα<br />
1+ mm aa + bb<br />
2 1 2 1 1 2 1<br />
2 1<br />
2<br />
1.6. Loodrechte stand van 2 rechten<br />
Als gegeven is<br />
de rechte e 1 met r.v. S<br />
1<br />
, r.g. (a 1 ,b 1 ), rico m 1 , vgl A 1 x+B 1 y+C 1 =0,<br />
de rechte e 2 met r.v. S<br />
2<br />
, r.g. (a 2 ,b 2 ), rico m 2 , vgl A 2 x+B 2 y+C 2 =0<br />
dan is (analytische uitdrukking t.o.v. O.N.B.)<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 10
e<br />
1<br />
S<br />
1<br />
e<br />
2<br />
O<br />
S<br />
2<br />
⇔ a<br />
e 1 ⊥ e 2<br />
⇔ S2 ⊥ S1<br />
1<br />
a2<br />
+ b1b<br />
2<br />
=<br />
⇔ m<br />
⇔ A<br />
2<br />
1<br />
= −<br />
m<br />
1<br />
1<br />
A2<br />
+ B1B2<br />
=<br />
toepassing:<br />
gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C=0 en het punt P(x 0 ,y 0 )<br />
gevraagd: construeer f ⊥ e en door P<br />
0<br />
0<br />
f heeft als vergelijking<br />
B(x- x 0 )-A(y- y 0 )=0<br />
1.7. Afstand van een punt tot een rechte<br />
1) definitie ( of constructieve methode)<br />
Beschouw in π een punt<br />
0 0 0 0<br />
P( x , y ) en een rechte e: Ax+ By+ C = 0.<br />
Om de (loodrechte) afstand van P tot de rechte e te vinden gaan we als volgt te werk.<br />
• Construeer de rechte door P loodrecht op e .<br />
0<br />
r<br />
0<br />
• Zoek het snijpunt S van r en e .<br />
• De gezochte afstand is dan gelijk aan dPS ( , ).<br />
2) formule (via de normaalvgl. v.d. rechte e) (analytische vertolking t.o.v. O.N.B.)<br />
dPe ( , ) = dPS ( , ) =<br />
0 0<br />
0<br />
Ax + By + C<br />
0 0<br />
A<br />
+ B<br />
2 2<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 11
1.8. Oefeningen<br />
1. Gegeven: A ( 5, −1),<br />
B(<br />
−1,5),<br />
C(<br />
−7,2)<br />
.<br />
a) Bepaal de coördinaten van de middens van de zijden van de driehoek ABC.<br />
( 2, 2 ); ⎛<br />
−4, 7 ⎞<br />
⎝ 2 ⎠ ; ⎛<br />
−1, 1 ⎞<br />
⎝ 2⎠<br />
b) Bepaal de coördinaten van het zwaartepunt van de driehoek ABC.<br />
(-1, 2)<br />
2. Bepaal de richtingsgetallen en de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door volgende<br />
gegevens:<br />
a) gaande door (-2, 7), (1, -8) (3, -15) en m = -5<br />
b) de rechte x (k,0) en m = 0<br />
c) de rechte y (0,k) en m bestaat niet!<br />
d) de rechte met vergelijking: 2x - y + 4 = 0 (1, 2) en m = 2<br />
e) de rechte met vergelijking: y = 3 4 x (4, 3) en m = 3 4<br />
f) de rechte met vergelijking: y = 2x + 3 (1, 2) en m = 2<br />
3. Construeer de rechten met volgende vergelijkingen:<br />
e: y = 4x<br />
f: 2x + 3y = 0<br />
g: 4x + 2y + 5 = 0<br />
4. Bepaal de hoek die volgende rechten maken met de x-as in een orthonormaal assenstelsel.<br />
e: y - x + 5 = 0 α = 45°;α = 135°<br />
f: y − 3x − 5 = 0 α = 60°;α = 120°<br />
5. Bewijs dat de figuur gevormd door A( − 2,1), B(<br />
−1,4),<br />
C(5,6),<br />
D(4,3)<br />
een parallellogram is.<br />
6. Gegeven een rechte e : x + 2y = 4<br />
Gevraagd:<br />
a) behoort A(4, 1) tot e ? Neen<br />
b) behoort B(4,0) tot e ? Ja<br />
c) bepaal de abscis van het punt op e met als ordinaat -5 x = 14<br />
d) bepaal de ordinaat van het punt C met als abscis 1 y = 3 2<br />
e) construeer de rechte<br />
f) zoek de snijpunten met de x-as en de y-as (4, 0) en ( 0, 2)<br />
7. Gegeven een rechte e: ax + 3y + 2 = 0 met a ∈ IR<br />
Bepaal, indien mogelijk, a zodanig dat:<br />
a) de rechte door (2, 0) gaat a = -1<br />
b) de rechte die door 0(0, 0) gaat onmogelijk<br />
c) de rechte e evenwijdig is met de rechte f: 3x - y - 5 = 0 a = -9<br />
d) e evenwijdig is met x a = 0<br />
e) e evenwijdig is met y onmogelijk<br />
f) e op x een stuk + 3 afsnijdt a =− 2 3<br />
g) e op y een stuk +5 afsnijdt onmogelijk<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 12
h) e op y een stuk − 2 afsnijdt a ∈ IR<br />
3<br />
8. Stel de vergelijking op van een rechte met de volgende gegevens:<br />
a) m = -2 en door het punt (3, 4) y + 2x - 10 = 0<br />
b) door de punten (2, 3) en (5, 1) 3y + 2x -13 = 0<br />
c) door de oorsprong en het punt (2, 6) y - 3x = 0<br />
d) door de punten (3, 5) en (7, 5) y = 5<br />
e) door de punten (-2, 4) en (-2, 1) x = -2<br />
f) door de punten (1, 3) en (-2, -6) y - 3x = 0<br />
g) m = 2 en die van y een stuk + 4 afsnijdt y - 2x - 4 = 0<br />
h) die van y een stuk +3 en van x een stuk +2 afsnijdt 3x + 2y - 6 = 0<br />
i) die van y een stuk -6 afsnijdt en door het punt (2, 4) gaat y - 5x + 6 = 0<br />
j) die door het punt (-2, 6 )gaat en evenwijdig is met de rechte: e: 3x + 2y - 5 = 0<br />
2y + 3x - 6 = 0<br />
k) die door het punt (0, 3) gaat en evenwijdig is met de rechte door de punten (2,0) en (5, 2)3y<br />
- 2x - 9 = 0<br />
l) die door het punt (2, 3) gaat en evenwijdig is met y x = 2<br />
m) die door het punt (-2, 4) gaat en evenwijdig is met x y = 4<br />
9. Gegeven de rechte e: y = (a - 2)x + (a + b) met a,b ∈IR Bepaal a en b zodanig dat :<br />
a) e door de punten (1, 3) en (3, 5) gaat a = 3 en b = -1<br />
b) e door het punt (2, -3) gaat en evenwijdig is met f: x + y + 5 = 0 a = 1 en b = -2<br />
c) e een stuk -2 op x afsnijdt en (2, -10) als richtingsgetallen heeft. a = -3 en b = -7<br />
d) e door (0, 0) en (-2, -4) gaat a = 4 en b = -4<br />
10. Bepaal t.o.v. een orthonormale basis de vergelijking van de rechte:<br />
a) door het punt (4, -3) en die met de x-as een hoek van 45° maakt.<br />
y - x + 7 = 0;y + x - 1 = 0<br />
b) die op de y-as een stuk +3 afsnijdt en met de positieve x-as een hoek van 30° maakt.<br />
3y − 3x − 9 = 0 ; 3y + 3x − 9 = 0<br />
11. Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt A (2, 4):<br />
a) die op de positieve x-as een stuk afsnijdt dat het dubbel is van het stuk afgesneden op de<br />
positieve y-as<br />
x + 2y -10 = 0<br />
b) die op de negatieve x-as en de positieve y-as gelijke stukken afsnijdt<br />
x - y + 2 = 0<br />
12. Bepaal a zodanig dat e en f evenwijdig zijn:<br />
e: (a - 1)x - (a+2)y + 1 = 0<br />
f: (a + 1)x + (2 - 4a)y + a = 0 a = 0 en a = 3<br />
13. Onderzoek of volgende punten collineair zijn:<br />
a) (8, 3), (-6, -3), (15, 6) Ja<br />
b) (1, 1), (4, -1), (-5, 5) Ja<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 13
14. Bepaal a zodanig dat de punten (2, 3), (a, 2) en (a + 2, a - 3) collineair zijn. Bepaal de<br />
vergelijking van de rechte.<br />
a = 3 en y + x - 5 = 0<br />
a = 4 en 2y + x - 8 = 0<br />
15. Bepaal de snijpunten van volgende rechten:<br />
⎧e : x + 2y = 4<br />
a) ⎨<br />
⎩f<br />
:3x + y = 7<br />
(2, 1)<br />
⎧e :5x + 3y -1=<br />
0<br />
b) ⎨<br />
⎩f<br />
: 2x + 8 = 0<br />
(-4, 7)<br />
⎧e :6y - 3 = 4x<br />
⎪<br />
c) ⎨ 3<br />
⎪f<br />
: 2x − 3y + = 0<br />
⎩ 2<br />
samenvallende rechten<br />
16. Geef de algemene vergelijking van de rechten door (2, 1)<br />
17. Geef de algemene vergelijking van de rechten met richtingscoëfficient 2.<br />
y -1 = m (x - 2)<br />
y = 2x + q<br />
18. Bewijs dat de 3 zwaartelijnen van een driehoek concurrent zijn.<br />
19. Gegeven: A( 2,0), B(1,1),<br />
C(1,2<br />
) t.o.v. een orthonormale basis.<br />
Bepaal:<br />
A. B<br />
2<br />
A. C<br />
2<br />
C. B<br />
3<br />
A. A<br />
4<br />
B. B<br />
2<br />
C . C<br />
5<br />
20. Bewijs dat de punten A(4, 6), B(2, -4), C(-2, 2) een rechthoekige driehoek vormen.<br />
m 2<br />
=− 3 2 en m 3<br />
= 2 3 ⇒ m 2.m 3<br />
=−1<br />
21. Bepaal de vergelijking van de loodlijn:<br />
⎛ 15<br />
a) uit het punt (0, 0) op de rechte e: 5x + y - 6 = 0 x - 5y = 0 en<br />
13 , 3 ⎞<br />
⎝ 13⎠<br />
b) uit het punt (2, -6) op de rechte f: 2x - y + 5 = 0 x + 2y + 10 = 0 en (-4, -3)<br />
Bepaal tevens de voetpunten.<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 14
22. Bepaal de vergelijking van de loodlijn op de rechte met vergelijking: 2x + 5y + 4 = 0 in haar<br />
snijpunt met de x-as.<br />
5x - 2y + 10 = 0<br />
23. Een rechte heeft richtingscoëfficiënt 2. Bepaal de vergelijking van de loodlijn uit het punt<br />
( 4,1)<br />
op die rechte.<br />
2y + x - 6 = 0<br />
24. Bepaal de vergelijking van de middelloodlijn van het lijnstuk [ab] als A(3, -1) en B(1, 3).<br />
2y - x = 0<br />
25. De vergelijkingen van de zijden van een driehoek zijn: 3x − 4y +14 = 0; 4x + y −13 = 0;<br />
x + 5y −8 = 0. Bepaal de vergelijkingen van de hoogtelijnen en de coördinaten van het<br />
hoogtepunt.<br />
y − 5x + 5 = 0<br />
3y + 4x −15 = 0<br />
4y− x −10 = 0<br />
⎛ 30<br />
19 , 55 ⎞<br />
⎝ 19⎠<br />
26. Gegeven: A(5, -3), B(-1, 5), C(-7, 2). Bepaal de lengte van de zijden van de driehoek<br />
gevormd door deze punten.<br />
10; 13; 3<br />
5<br />
27. Bepaal de afstand van de oorsprong tot het punt A(-2, 4) en tot de rechte e: 3x - y = 5<br />
2 5;<br />
10<br />
2<br />
28. Bepaal de afstanden van de punten A(-3, 4), B(2, 1), C(-3, 2) tot de rechte<br />
e: x – y + 5 = 0<br />
2;3 2;0<br />
29. Bepaal de afstanden van het punt A(5, 1) tot de punten B(1, -2), C(-2, 2) en tot de rechte BC.<br />
5; 5 2;5<br />
30. Bepaal de afstand van het punt A(-4, 4) tot de rechte e: 2x + y - 3 = 0<br />
a) m.b.v. de formule<br />
b) m.b.v. de loodlijn<br />
7 5<br />
5<br />
31. Bepaal de afstand van het punt A(3, -5) tot de loodlijn die uit het punt B(1, 1) op de rechte<br />
e : 2x − y + 2 = 0 wordt neergelaten.<br />
2 5<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 15
32. Hoe ver ligt de oorsprong van de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A(-9, 7), B(15, -3)<br />
2<br />
33. Bepaal de afstand tussen de evenwijdige rechten met vergelijkingen: 2x+ y + 3 = 0 ,<br />
2x+ y − 2 = 0<br />
34. Gegeven: A(1, p), e: 2x + y + 1 = 0, f: x + 2y - 3 = 0. Bepaal p zodanig dat het punt A gelijke<br />
afstanden tot de rechten e en f heeft.<br />
1<br />
p = − en p = 5<br />
3<br />
35. Bepaal de vergelijking van de rechte door A(2, 3) en die op een afstand 3 ligt van de<br />
oorsprong.<br />
y = 3 en 5y + 12x - 39 = 0<br />
5<br />
36. Bepaal de vergelijking van de rechte door A(-5, 1) zodanig dat de rechte evenver verwijderd<br />
is van de punten B(3, -1) en C(-3, 2)<br />
2y + x + 3 = 0 en 10y + x - 5 = 0<br />
37. Bepaal de vergelijking van de rechte die evenwijdig is met de rechte e: 5x + 12y - 11 = 0 en<br />
die op een afstand 1 van het punt A(-2, 1) ligt.<br />
5x + 12y - 15 = 0<br />
5x + 12y + 11 = 0<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 16
2. KEGELSNEDEN<br />
2.1. Inleiding<br />
Parabolen, ellipsen en hyperbolen zijn kegelsneden. Ze onstaan door de snijding van een<br />
kegel met een vlak. Cirkels zijn ook kegelsneden, het zijn speciale gevallen van ellipsen.<br />
Welk type van kegelsnede men bekomt, hangt af van de hoek waarmee het vlak de kegel<br />
snijdt.<br />
Figuur 1 snijding van een kegel door een vlak<br />
Links: bij de ellips is de hoek tussen het vlak en de as van de kegel groter dan de hoek tussen<br />
de as en de beschrijvende van de kegel. Midden: bij de parabool zijn de hoeken gelijk. Rechts:<br />
bij de hyperbool is de hoek met het vlak kleiner dan de hoek met de beschrijvende.<br />
2.2. De cirkel<br />
Hoewel de cirkel "slechts" een speciaal geval van de ellips is, vermelden we toch eerst zijn<br />
definitie en zijn vergelijking.<br />
Een cirkel C bestaat uit de punten P die op een vaste afstand R van een vast punt M<br />
liggen. Deze vaste afstand R noemt men de straal, het vaste punt P het<br />
middelpunt.<br />
P∈C<br />
⇔ d( P, M)<br />
= R<br />
Indien het middelpunt M in de oorsprong ligt en (x,y) de coorinaat van P is ten opzichte van<br />
het orthonormaal assenkruis x y is, dan is de middelpuntsvergelijking van de cirkel<br />
Verklaar!<br />
2 2 2<br />
x + y = R<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 17
Indien het middelpunt M de coördinaten ( x0,<br />
y 0) heeft, is de middelpuntsvergelijking<br />
De verklaring is analoog.<br />
De algemene vergelijking van de cirkel is<br />
( x − x ) + ( y− y ) = R<br />
x<br />
2<br />
2 2<br />
0 0<br />
2<br />
+ y + Ax + By + C = 0<br />
Opgelet, niet elke vergelijking van deze vorm stelt een cirkel voor!<br />
2<br />
2.3. De parabool<br />
Een parabool P bestaat uit de punten Q waarvoor de afstand tot een vaste rechte<br />
gelijk is aan de afstand tot een vast punt F dat niet op d ligt. Het punt<br />
noemt men het brandpunt van de parabool, de rechte d de richtlijn.<br />
Q∈P<br />
⇔ d( Q, d) = d( Q, F )<br />
1. Als het brandpunt F( p ,0) , richtlijn d: x= − p en (x,y) de coordinaat is van Q ten<br />
opzichte van het orthonormaal xy-assenkruis, dan is topvergelijking van de<br />
parabool P<br />
y<br />
2<br />
= 4 px<br />
Dit kan op een eenvoudige manier worden afgeleid:<br />
d<br />
y<br />
Q<br />
d<br />
F<br />
T<br />
F<br />
x<br />
Figuur 2 parabool<br />
Q∈P<br />
⇔ d( Q, d) = d( Q, F)<br />
⇔ ( − ) + ( − 0) = +<br />
2 2<br />
x p y x p<br />
2 2<br />
⇔( − ) + ( − 0) = ( +<br />
x p y x p)<br />
2<br />
⇔ =<br />
y<br />
4 px<br />
2<br />
De topvergelijking van deze parabool is dus y = 4 px.<br />
De x -as is de symmetrieas van de parabool. Het punt F is het brandpunt, de rechte d de<br />
richtlijn en het punt halfweg het brandpunt en de richtlijn is de top van de parabool.<br />
2<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 18
Men dient goed te beseffen dat de bovenstaande vergelijking enkel geldig is met deze<br />
specifieke keuzes van de liggingen van het brandpunt en de richtlijn. Indien de parameter p<br />
negatief is,ligt het brandpunt links van de top en de richtlijn rechts. De vergelijking zelf blijft<br />
dezelfde. Indien de richtlijn horizontaal gelegd wordt, zal de parabool verticaal liggen, met<br />
zijn opening naar boven als de parameter p > 0, en met de opening naar beneden als p < 0 .<br />
Er zijn dus vier mogelijkheden voor een parabool met top in de oorsprong en één van de<br />
coördinaatassen als symmetrieas.<br />
y<br />
2<br />
2<br />
= 4 px met p > 0<br />
y = 4 px<br />
met p < 0<br />
x<br />
2<br />
= 4 py met p > 0<br />
x<br />
2<br />
= 4 py met p < 0<br />
Wanneer de parabool verschoven wordt naar een willekeurige ligging van de top T( x<br />
0, y0)<br />
vindt men op analoge manier twee topvergelijkingen<br />
Horizontale symmetrieas:<br />
Verticale symmetrieas :<br />
2<br />
( y− y0) = 4 p(<br />
x− x0) met F( x0 + p,<br />
y0)<br />
en d:<br />
x= x0<br />
− p<br />
( x x ) 4 p( y )<br />
2<br />
−<br />
0<br />
= − y<br />
0<br />
met<br />
0 0<br />
F( x , y + p)<br />
en d:<br />
y = y0<br />
− p<br />
De algemene vergelijking van een parabool met symmetrieas evenwijdig aan een coordinaatas<br />
is<br />
Horizontale symmetrieas:<br />
Verticale symmetrieas :<br />
2<br />
x = Ay + By + C<br />
2<br />
y = Ax + Bx + C<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 19
2.4. Oefeningen<br />
(we werken in een O.N.B.)<br />
1. Bepaal de vergelijking van de cirkel met middelpunt M(a, b) en straal R.<br />
a) a = 0, b = 0, R = 5 x 2 + y 2 = 5<br />
b) a = 4, b =1, R = 2 ( x− 4) 2 + y −1<br />
2. Bepaal middelpunt en straal van de volgende cirkels<br />
a) x<br />
( ) 2 = 4<br />
2<br />
+ y<br />
2<br />
− 8x − 6y = 0 M ( ,3 ) en R 5<br />
4 =<br />
b) 3x 2 + 3y 2 − 2x +3y +1 = 0<br />
⎛ 1 1 ⎞ 1<br />
M ⎜ , − ⎟ en R =<br />
⎝ 3 2 ⎠ 6<br />
c) 16x +16y 2 −8x −15 = 0<br />
⎛ 1 ⎞<br />
M ⎜ ,0⎟<br />
en R = 1<br />
⎝ 4 ⎠<br />
d) 36( x 2 + y 2<br />
⎛ 2 1 ⎞<br />
)− 48x + 36y − 227 = 0 M ⎜ , − ⎟ en R =<br />
⎝ 3 2 ⎠<br />
7<br />
3. Onderzoek of de volgende vergelijkingen cirkels voorstellen. Zo ja, bepaal dan middelpunt en<br />
straal.<br />
a) x 2 + y 2 − 6x +14y + 59 = 0<br />
geen cirkel<br />
2 2<br />
b) 16x +16y +8x− 64y − 335 = 0<br />
cirkel C⎛<br />
⎛<br />
− 1 ⎝ 4 ,2 ⎞<br />
⎝ ⎠ ,5 ⎞<br />
⎠<br />
c) 4 x 2 + 4y 2 −12x + 40y +109 = 0<br />
(punt) cirkel C⎛<br />
⎛ 3<br />
⎝ 2 ,−5 ⎞<br />
⎝ ⎠ ,0 ⎞<br />
⎠<br />
4. Stel de vergelijking op van de cirkel door de punten (3, 3) en (5, 7) en het middelpunt op<br />
a: x – y = 5<br />
x 2 + y 2 −16x − 6y+ 48 = 0<br />
5. Stel de vergelijking op van de cirkel waarvan het lijnstuk bepaald door de punten van de<br />
cirkel (5, 6) en (-1, 0) een middellijn is.<br />
x 2 + y 2 − 4x− 6y− 5 = 0<br />
6. Stel de vergelijking op van de cirkel door het punt (-3, 4) en concentrisch met c:<br />
x 2 + y 2 + 3x − 4y −1 = 0<br />
x 2 + y 2 + 3x − 4y = 0<br />
7. Stel de vergelijking op van de cirkel omschreven aan driehoek ABC<br />
met A(2, 2); B(6, -2); C(-3, -5)<br />
2x 2 + 2y 2 − 5x + 11y − 28 = 0<br />
8. Een cirkel heeft zijn middelpunt in M(3, 0) en gaat door het punt P(1, 1). Bepaal:<br />
a) de vergelijking van de cirkel. ( x − 3) 2 + y 2 = 5<br />
b) de vergelijking van de cirkel met hetzelfde middelpunt en dubbele oppervlakte<br />
( ) 2 2<br />
x y<br />
− 3 + = 10<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 20
9. Bepaal brandpunt en richtlijn van volgende parabolen en schets hun grafiek.<br />
a) y − 8x = 0<br />
(2, 0); x = -2<br />
b) y<br />
+ 6x = 0<br />
⎛<br />
− 3 ⎝ 2 ,0 ⎞<br />
⎠ ;x= 3 2<br />
c) 2x 2 + y = 0<br />
⎛<br />
0,− 1 ⎞<br />
⎝ 8⎠ 8<br />
d) 2x 2 − y = 0<br />
⎛<br />
0, 1 ⎞<br />
⎝ 8⎠ 8<br />
10. Bepaal de topvergelijking van de parabool (met de x-as als symmetrie-as) en met als top (0, 0)<br />
en door het punt A(-1, 3):<br />
y 2 = −9x<br />
⎛<br />
11. Bepaal de topvergelijking van de parabool met als brandpunt 0,− 1 ⎞<br />
⎝ 2⎠<br />
en richtlijn d: y = 1 2<br />
x 2 + 2y = 0<br />
12. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -2) en richtlijn d: x = 3<br />
y 2 + 4y− 8x + 44 = 0<br />
13. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -2) en richtlijn d de bissectrice<br />
van het tweede kwadrant.<br />
x 2 + y 2 − 2xy− 28x + 8y + 106 = 0<br />
14. Schets de grafiek van:<br />
a)3x 2 − 24x − 2y+ 50 = 0<br />
b) 4y 2 + 40y − 3x +100 = 0<br />
( x − 4) 2 = 2 3 ( y −1)<br />
(y + 5) 2 = 3 4 x<br />
Introductiecursus 2005-2006 <strong>Analytische</strong> meetkunde 21