Analytische Meetkunde - Groep T

Analytische Meetkunde
Lieve Houwaer,
Team wiskunde

1. VECTOREN EN RECHTEN............................................................................................. 3
1.1. Vectoren ..................................................................................................................... 3
1.2. Rechten....................................................................................................................... 5
1.3. Evenwijdige rechten................................................................................................... 7
1.4. Het Euclidisch vectorvlak .......................................................................................... 8
1.5. Hoeken ....................................................................................................................... 9
1.6. Loodrechte stand van 2 rechten................................................................................ 10
1.7. Afstand van een punt tot een rechte ......................................................................... 11
1.8. Oefeningen ............................................................................................................... 12
2. KEGELSNEDEN............................................................................................................. 17
2.1. Inleiding ................................................................................................................... 17
2.2. De cirkel ................................................................................................................... 17
2.3. De parabool .............................................................................................................. 18
2.4. Oefeningen ............................................................................................................... 20

1. VECTOREN EN RECHTEN
1.1. Vectoren
1.1.1. Het vectorbegrip
De verzameling punten van het vlak noteren we door π.
Kies in het vlak π een vast punt O, de oorsprong. Het vlak π waarin dit punt gekozen werd
noemen wij het gepunte vlak πo.
Elk ander punt P in het vlak kunnen we vanaf nu bekijken als het eindpunt van een vector
namelijk OP . Het punt
puntvector.
1.1.2. Basis en assenstelsel
Wij kiezen 2 punten in πo
P = OP van πo noemen wij een gebonden vector, vaste vector of
E
x
en
E
y
die samen met O een driehoek vormen.
Voor elke P in πo bestaat er juist één ( x, y)∈IR 2 zodat
Benamingen:
{ E x
, E y
} is een basis van πo.
P = xE + y .
x
E y
( x, y) zijn de carthesische coördinaten van P t.o.v. de basis { E x
, E y
}.
merk op: begrip coördinaat is basisgebonden.
OE x is de x-as; OE y is de y-as; samen zijn het de coördinaatassen van het xy-assenstelsel of
assenkruis.
1.1.3. Bewerkingen met vectoren
In het gepunte vlak πo kunnen wij twee bewerkingen definiëren :
1) de som van 2 vectoren A en B van πo is een vector met als eindpunt de som van de 2
overeenkomstige vectoren OA en OB volgens de regel van het parallellogram.
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 3

y
C
a 2
A
b 2
B
O
a
1
b 1
x
2) de uitwendige vermenigvuldiging van een vector A van πo en een getal k ∈R is vector
met als eindpunt het eindpunt op de rechte OA door k maal de vector OA op te tellen.
1.1.4. Toepassing: midden van een lijnstuk
Gegeven: het lijnstuk [AB]; A (a 1 ,a 2 ) en B (b 1 ,b 2 )
Gevraagd: bepaal M het midden van het lijnstuk.
M
=
A + B ⎛ a + b1
a2
+
⎜ ,
2 ⎝ 2 2
1
b2
⎞
⎟
⎠
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 4

1.2. Rechten
1.2.1. Vectoriële vergelijking
Beschouw een rechte e door de oorsprong. Elk punt verschillend van de oorsprong is het
eindpunt van een vector S
S die de richting van de rechte ondubbelzinnig bepaalt. Zo’n vector
wordt een richtingsvector van e genoemd. Als S zo’n richtingsvector is, dan is elke kS met
k ∈ R 0
opnieuw een richtingsvector van e .
e
S
O
Beschouw e1
een rechte evenwijdig met e en twee verschillende punten P en P0
op e1
.
P
e 1
P
0
e
S
P−
P0
Als S een richtingsvector is van e , geldt P − P 0
= kS
of P = P 0
+ kS
voor een k ∈R .
Omgekeerd ligt voor elke k , het eindpunt van de vector P
0
+ kS
op de rechte e 1
.
We kunnen de vectoriële vergelijking P = P 0
+ kS
dan ook beschouwen als de nodige en
voldoende voorwaarde opdat een punt op de rechte zou liggen (bepaald door het punt P
en de richting S ).
P= P0
+ kS met k ∈R
heet de vectoriële vergelijking van de rechte.
e1
0
1.2.2. Parametervergelijkingen
2
Overgang op de componenten in R met P = ( x, y)
0 0
P = ( x , y )
,
0 0 0
( x, y) = ( x , y ) + k( a, b)
met k ∈R
en S = ( a, b)
levert
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 5

Verdere uitwerking levert
equivalent met
( x, y) = ( x + ka, y + kb)
met k ∈R
0 0
⎧x = x0
+ ka
⎨ met k ∈R
⎩y = y0
+ kb
Bovenstaande formules zijn een stel parametervergelijkingen van de rechte door een punt
( x0, y
0)
met richtingsgetallen ( ab , ), de coördinaten van de richtingsvector S
. Merk op dat
bovenstaande vergelijkingen niet uniek zijn. Zowel
P 0
als S kunnen gekozen worden.
1.2.3. Cartesische vergelijking(en)
Wanneer we uit de parametervergelijkingen de parameter k elimineren krijgen we
of
x −x0 y−
y0
= als ab ≠ 0
a b
b
y− y0 = ( x− x0)
als a ≠ 0
a
Beide laatste vergelijkingen noemen we de cartesische vergelijking van de rechte. De
verhouding b a
Als
wordt de richtingscoëfficiënt genoemd.
a = 0 , dan worden de parametervergelijkingen
⎧ x=
x0
met k ∈R
⎨
⎩y = y0
+ kb
De tweede vergelijking zegt dat y willekeurig is en kan dus worden weggelaten. We houden
1 (cartesische) vergelijking over.
x = x 0
De rechte is evenwijdig met de y-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn (0,1); de
richtingscoefficient bestaat niet!
Analoog, als b = 0, dan is y = y0
de cartesische vergelijking van de rechte; de rechte is dan
evenwijdig met de x-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn nu (1,0); de
richtingscoefficient is 0!
Merk op dat ( ab , ) = (0,0) onmogelijk is. De nulvector is immers uitgesloten als
richtingsvector van een rechte.
Als de rechte gegeven is door middel van 2 punten P0( x0, y0)
en P1( x1, y1)
krijgen we
P= P0 + k( P1−P
0
) met k ∈R
als vectoriële vergelijking en
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 6

⎧ x = x0 + k( x1−x0)
⎨ met k ∈R
⎩y = y0 + k( y1
− y0)
als stel parametervergelijkingen;
als cartesische vergelijking als
x − x0 y−
y0
=
x − x y − y
1 0 1 0
x ≠ en y1 ≠ y0
.
1
x 0
Als
x
1
= x 0
dan analoog aan a = 0; als y
1
= y0
dan analoog aan b= 0
De cartesische vergelijking van een rechte in
2
R
Ax + By + C =
is dus van de vorm
waarbij A en B niet terzelfdertijd nul zijn. Omgekeerd kan ook aangetoond worden dat elke
2
vergelijking van deze vorm in R een rechte voorstelt.
Wat is de rictingscoëfficiënt van deze rechte?
Vind een stel richtingsgetallen.
1.3. Evenwijdige rechten
Als gegeven is
de rechte e 1 met r.v. S
1
, r.g. (a 1 ,b 1 ), rico m 1 , vgl A 1 x+B 1 y+C 1 =0,
de rechte e 2 met r.v. S
2
, r.g. (a 2 ,b 2 ), rico m 2 , vgl A 2 x+B 2 y+C 2 =0
0
e
e
1
2
dan is
O
S
1
S
2
e 1 // e 2
⇔ S
2
= kS 1
met k ∈ IR0
⎧a
⇔ ⎨
⎩b
2
2
⎧
⇔ ⎨
⎩B
= ka
= kb
1
1
⇔ m
2
= m 1
A2
= kA 1
= kB
2 1
met k ∈ IR0
met k ∈ IR0
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 7

toepassing:
gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C=0 en het punt P(x 0 ,y 0 )
gevraagd: construeer f // e en door P
f heeft als vergelijking
A(x- x 0 )+B(y- y 0 )=0
1.4. Het Euclidisch vectorvlak
1.4.1. Definities
Als A a 1,
a ) en B b , b ) 1
in π gegeven zijn,
(
2
( 2
dan is het scalair product van deze 2 vectoren
0
A . B = a b + a b
dan staan deze vectoren loodrecht of orthogonaal
1
1
2
2
dan is de norm van de vector
A ⊥ B ⇔ A. B = 0
2
1
A = A. A = a + a
2
2
dan is A een genormeerde vector
A
= 1
dan is de afstand tussen A a 1,
a ) en b , b ) 1
(
2
B ( 2
( ) ( ) 2
d( A,
B)
= A − B = a − b + a − b
1
1
2
2
2
B
O
A
A - B
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 8

1.4.2. eigenschap
als
A ≠ O dan is de genormeerde vector voortgebracht door A
A
Ea
=
A
waarbij a de rechte OA voorstelt.
Verklaar waarom Ea
genormeerd is.
1.4.3. Orthonormale basis (O.N.B.)
{ E x
, E y
} is een orthonormale basis
⎧
⎪
Ex
⊥ E
y
⇔ ⎨
⎪ Ex
= E
⎩
y
= 1
1.5. Hoeken
Conventie: een hoek rekenen wij positief in tegenuurwijzerzin.
1.5.1. De hoek van een rechte met de x-as
(Analytische uitdrukkingen t.o.v. O.N.B.)
In onderstaande figuur zien we in de rechthoekige driehoek dat
m
tanα = = m 1
m.a.w. de richtingscoefficient van de rechte is gelijk aan de tangens van de hoek tussen de x-
as en de rechte.
y
E y
e
m
α
0
1
E x
x
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 9

1.5.2. De hoek tussen 2 rechten
Gegeven:
de rechte e 1 met r.v. S
1
, r.g. (a 1 ,b 1 ), rico m 1 , α
1
de hoek met de x-as
de rechte e 2 met r.v. S
2
, r.g. (a 2 ,b 2 ), rico m 2 , α
2
de hoek met de x-as
Definitie: de hoek tussen de rechten e 1 en e 2 in die volgorde genomen, genoteerd (e 1 , e 2 ),
is de hoek met als hoekpunt het snijpunt van e 1 en e 2 ; het eerste been ligt op
een halfrechte bepaald door e 1 en het tweede been op een halfrechte bepaald
door e 2 .
e
2
e
2
(e ,e )
1
2
e
1
(e ,e )
1
2
e
1
Merk op: een hoek is op π radialen na bepaald. Je kan dus altijd de kleinste (pos.) hoek
kiezen.
De hoek tussen twee rechten wordt ook bepaald door zijn tangens.
(Dit is zinvol want de tangenten van anti-supplementaire hoeken zijn gelijk).
tanα2 − tanα1 m2 −m1 ab
1 2
−a b
tan( α2 − α1)
= = =
1+ tanα
tanα
1+ mm aa + bb
2 1 2 1 1 2 1
2 1
2
1.6. Loodrechte stand van 2 rechten
Als gegeven is
de rechte e 1 met r.v. S
1
, r.g. (a 1 ,b 1 ), rico m 1 , vgl A 1 x+B 1 y+C 1 =0,
de rechte e 2 met r.v. S
2
, r.g. (a 2 ,b 2 ), rico m 2 , vgl A 2 x+B 2 y+C 2 =0
dan is (analytische uitdrukking t.o.v. O.N.B.)
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 10

e
1
S
1
e
2
O
S
2
⇔ a
e 1 ⊥ e 2
⇔ S2 ⊥ S1
1
a2
+ b1b
2
=
⇔ m
⇔ A
2
1
= −
m
1
1
A2
+ B1B2
=
toepassing:
gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C=0 en het punt P(x 0 ,y 0 )
gevraagd: construeer f ⊥ e en door P
0
0
f heeft als vergelijking
B(x- x 0 )-A(y- y 0 )=0
1.7. Afstand van een punt tot een rechte
1) definitie ( of constructieve methode)
Beschouw in π een punt
0 0 0 0
P( x , y ) en een rechte e: Ax+ By+ C = 0.
Om de (loodrechte) afstand van P tot de rechte e te vinden gaan we als volgt te werk.
• Construeer de rechte door P loodrecht op e .
0
r
0
• Zoek het snijpunt S van r en e .
• De gezochte afstand is dan gelijk aan dPS ( , ).
2) formule (via de normaalvgl. v.d. rechte e) (analytische vertolking t.o.v. O.N.B.)
dPe ( , ) = dPS ( , ) =
0 0
0
Ax + By + C
0 0
A
+ B
2 2
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 11

1.8. Oefeningen
1. Gegeven: A ( 5, −1),
B(
−1,5),
C(
−7,2)
.
a) Bepaal de coördinaten van de middens van de zijden van de driehoek ABC.
( 2, 2 ); ⎛
−4, 7 ⎞
⎝ 2 ⎠ ; ⎛
−1, 1 ⎞
⎝ 2⎠
b) Bepaal de coördinaten van het zwaartepunt van de driehoek ABC.
(-1, 2)
2. Bepaal de richtingsgetallen en de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door volgende
gegevens:
a) gaande door (-2, 7), (1, -8) (3, -15) en m = -5
b) de rechte x (k,0) en m = 0
c) de rechte y (0,k) en m bestaat niet!
d) de rechte met vergelijking: 2x - y + 4 = 0 (1, 2) en m = 2
e) de rechte met vergelijking: y = 3 4 x (4, 3) en m = 3 4
f) de rechte met vergelijking: y = 2x + 3 (1, 2) en m = 2
3. Construeer de rechten met volgende vergelijkingen:
e: y = 4x
f: 2x + 3y = 0
g: 4x + 2y + 5 = 0
4. Bepaal de hoek die volgende rechten maken met de x-as in een orthonormaal assenstelsel.
e: y - x + 5 = 0 α = 45°;α = 135°
f: y − 3x − 5 = 0 α = 60°;α = 120°
5. Bewijs dat de figuur gevormd door A( − 2,1), B(
−1,4),
C(5,6),
D(4,3)
een parallellogram is.
6. Gegeven een rechte e : x + 2y = 4
Gevraagd:
a) behoort A(4, 1) tot e ? Neen
b) behoort B(4,0) tot e ? Ja
c) bepaal de abscis van het punt op e met als ordinaat -5 x = 14
d) bepaal de ordinaat van het punt C met als abscis 1 y = 3 2
e) construeer de rechte
f) zoek de snijpunten met de x-as en de y-as (4, 0) en ( 0, 2)
7. Gegeven een rechte e: ax + 3y + 2 = 0 met a ∈ IR
Bepaal, indien mogelijk, a zodanig dat:
a) de rechte door (2, 0) gaat a = -1
b) de rechte die door 0(0, 0) gaat onmogelijk
c) de rechte e evenwijdig is met de rechte f: 3x - y - 5 = 0 a = -9
d) e evenwijdig is met x a = 0
e) e evenwijdig is met y onmogelijk
f) e op x een stuk + 3 afsnijdt a =− 2 3
g) e op y een stuk +5 afsnijdt onmogelijk
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 12

h) e op y een stuk − 2 afsnijdt a ∈ IR
3
8. Stel de vergelijking op van een rechte met de volgende gegevens:
a) m = -2 en door het punt (3, 4) y + 2x - 10 = 0
b) door de punten (2, 3) en (5, 1) 3y + 2x -13 = 0
c) door de oorsprong en het punt (2, 6) y - 3x = 0
d) door de punten (3, 5) en (7, 5) y = 5
e) door de punten (-2, 4) en (-2, 1) x = -2
f) door de punten (1, 3) en (-2, -6) y - 3x = 0
g) m = 2 en die van y een stuk + 4 afsnijdt y - 2x - 4 = 0
h) die van y een stuk +3 en van x een stuk +2 afsnijdt 3x + 2y - 6 = 0
i) die van y een stuk -6 afsnijdt en door het punt (2, 4) gaat y - 5x + 6 = 0
j) die door het punt (-2, 6 )gaat en evenwijdig is met de rechte: e: 3x + 2y - 5 = 0
2y + 3x - 6 = 0
k) die door het punt (0, 3) gaat en evenwijdig is met de rechte door de punten (2,0) en (5, 2)3y
- 2x - 9 = 0
l) die door het punt (2, 3) gaat en evenwijdig is met y x = 2
m) die door het punt (-2, 4) gaat en evenwijdig is met x y = 4
9. Gegeven de rechte e: y = (a - 2)x + (a + b) met a,b ∈IR Bepaal a en b zodanig dat :
a) e door de punten (1, 3) en (3, 5) gaat a = 3 en b = -1
b) e door het punt (2, -3) gaat en evenwijdig is met f: x + y + 5 = 0 a = 1 en b = -2
c) e een stuk -2 op x afsnijdt en (2, -10) als richtingsgetallen heeft. a = -3 en b = -7
d) e door (0, 0) en (-2, -4) gaat a = 4 en b = -4
10. Bepaal t.o.v. een orthonormale basis de vergelijking van de rechte:
a) door het punt (4, -3) en die met de x-as een hoek van 45° maakt.
y - x + 7 = 0;y + x - 1 = 0
b) die op de y-as een stuk +3 afsnijdt en met de positieve x-as een hoek van 30° maakt.
3y − 3x − 9 = 0 ; 3y + 3x − 9 = 0
11. Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt A (2, 4):
a) die op de positieve x-as een stuk afsnijdt dat het dubbel is van het stuk afgesneden op de
positieve y-as
x + 2y -10 = 0
b) die op de negatieve x-as en de positieve y-as gelijke stukken afsnijdt
x - y + 2 = 0
12. Bepaal a zodanig dat e en f evenwijdig zijn:
e: (a - 1)x - (a+2)y + 1 = 0
f: (a + 1)x + (2 - 4a)y + a = 0 a = 0 en a = 3
13. Onderzoek of volgende punten collineair zijn:
a) (8, 3), (-6, -3), (15, 6) Ja
b) (1, 1), (4, -1), (-5, 5) Ja
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 13

14. Bepaal a zodanig dat de punten (2, 3), (a, 2) en (a + 2, a - 3) collineair zijn. Bepaal de
vergelijking van de rechte.
a = 3 en y + x - 5 = 0
a = 4 en 2y + x - 8 = 0
15. Bepaal de snijpunten van volgende rechten:
⎧e : x + 2y = 4
a) ⎨
⎩f
:3x + y = 7
(2, 1)
⎧e :5x + 3y -1=
0
b) ⎨
⎩f
: 2x + 8 = 0
(-4, 7)
⎧e :6y - 3 = 4x
⎪
c) ⎨ 3
⎪f
: 2x − 3y + = 0
⎩ 2
samenvallende rechten
16. Geef de algemene vergelijking van de rechten door (2, 1)
17. Geef de algemene vergelijking van de rechten met richtingscoëfficient 2.
y -1 = m (x - 2)
y = 2x + q
18. Bewijs dat de 3 zwaartelijnen van een driehoek concurrent zijn.
19. Gegeven: A( 2,0), B(1,1),
C(1,2
) t.o.v. een orthonormale basis.
Bepaal:
A. B
2
A. C
2
C. B
3
A. A
4
B. B
2
C . C
5
20. Bewijs dat de punten A(4, 6), B(2, -4), C(-2, 2) een rechthoekige driehoek vormen.
m 2
=− 3 2 en m 3
= 2 3 ⇒ m 2.m 3
=−1
21. Bepaal de vergelijking van de loodlijn:
⎛ 15
a) uit het punt (0, 0) op de rechte e: 5x + y - 6 = 0 x - 5y = 0 en
13 , 3 ⎞
⎝ 13⎠
b) uit het punt (2, -6) op de rechte f: 2x - y + 5 = 0 x + 2y + 10 = 0 en (-4, -3)
Bepaal tevens de voetpunten.
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 14

22. Bepaal de vergelijking van de loodlijn op de rechte met vergelijking: 2x + 5y + 4 = 0 in haar
snijpunt met de x-as.
5x - 2y + 10 = 0
23. Een rechte heeft richtingscoëfficiënt 2. Bepaal de vergelijking van de loodlijn uit het punt
( 4,1)
op die rechte.
2y + x - 6 = 0
24. Bepaal de vergelijking van de middelloodlijn van het lijnstuk [ab] als A(3, -1) en B(1, 3).
2y - x = 0
25. De vergelijkingen van de zijden van een driehoek zijn: 3x − 4y +14 = 0; 4x + y −13 = 0;
x + 5y −8 = 0. Bepaal de vergelijkingen van de hoogtelijnen en de coördinaten van het
hoogtepunt.
y − 5x + 5 = 0
3y + 4x −15 = 0
4y− x −10 = 0
⎛ 30
19 , 55 ⎞
⎝ 19⎠
26. Gegeven: A(5, -3), B(-1, 5), C(-7, 2). Bepaal de lengte van de zijden van de driehoek
gevormd door deze punten.
10; 13; 3
5
27. Bepaal de afstand van de oorsprong tot het punt A(-2, 4) en tot de rechte e: 3x - y = 5
2 5;
10
2
28. Bepaal de afstanden van de punten A(-3, 4), B(2, 1), C(-3, 2) tot de rechte
e: x – y + 5 = 0
2;3 2;0
29. Bepaal de afstanden van het punt A(5, 1) tot de punten B(1, -2), C(-2, 2) en tot de rechte BC.
5; 5 2;5
30. Bepaal de afstand van het punt A(-4, 4) tot de rechte e: 2x + y - 3 = 0
a) m.b.v. de formule
b) m.b.v. de loodlijn
7 5
5
31. Bepaal de afstand van het punt A(3, -5) tot de loodlijn die uit het punt B(1, 1) op de rechte
e : 2x − y + 2 = 0 wordt neergelaten.
2 5
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 15

32. Hoe ver ligt de oorsprong van de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A(-9, 7), B(15, -3)
2
33. Bepaal de afstand tussen de evenwijdige rechten met vergelijkingen: 2x+ y + 3 = 0 ,
2x+ y − 2 = 0
34. Gegeven: A(1, p), e: 2x + y + 1 = 0, f: x + 2y - 3 = 0. Bepaal p zodanig dat het punt A gelijke
afstanden tot de rechten e en f heeft.
1
p = − en p = 5
3
35. Bepaal de vergelijking van de rechte door A(2, 3) en die op een afstand 3 ligt van de
oorsprong.
y = 3 en 5y + 12x - 39 = 0
5
36. Bepaal de vergelijking van de rechte door A(-5, 1) zodanig dat de rechte evenver verwijderd
is van de punten B(3, -1) en C(-3, 2)
2y + x + 3 = 0 en 10y + x - 5 = 0
37. Bepaal de vergelijking van de rechte die evenwijdig is met de rechte e: 5x + 12y - 11 = 0 en
die op een afstand 1 van het punt A(-2, 1) ligt.
5x + 12y - 15 = 0
5x + 12y + 11 = 0
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 16

2. KEGELSNEDEN
2.1. Inleiding
Parabolen, ellipsen en hyperbolen zijn kegelsneden. Ze onstaan door de snijding van een
kegel met een vlak. Cirkels zijn ook kegelsneden, het zijn speciale gevallen van ellipsen.
Welk type van kegelsnede men bekomt, hangt af van de hoek waarmee het vlak de kegel
snijdt.
Figuur 1 snijding van een kegel door een vlak
Links: bij de ellips is de hoek tussen het vlak en de as van de kegel groter dan de hoek tussen
de as en de beschrijvende van de kegel. Midden: bij de parabool zijn de hoeken gelijk. Rechts:
bij de hyperbool is de hoek met het vlak kleiner dan de hoek met de beschrijvende.
2.2. De cirkel
Hoewel de cirkel "slechts" een speciaal geval van de ellips is, vermelden we toch eerst zijn
definitie en zijn vergelijking.
Een cirkel C bestaat uit de punten P die op een vaste afstand R van een vast punt M
liggen. Deze vaste afstand R noemt men de straal, het vaste punt P het
middelpunt.
P∈C
⇔ d( P, M)
= R
Indien het middelpunt M in de oorsprong ligt en (x,y) de coorinaat van P is ten opzichte van
het orthonormaal assenkruis x y is, dan is de middelpuntsvergelijking van de cirkel
Verklaar!
2 2 2
x + y = R
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 17

Indien het middelpunt M de coördinaten ( x0,
y 0) heeft, is de middelpuntsvergelijking
De verklaring is analoog.
De algemene vergelijking van de cirkel is
( x − x ) + ( y− y ) = R
x
2
2 2
0 0
2
+ y + Ax + By + C = 0
Opgelet, niet elke vergelijking van deze vorm stelt een cirkel voor!
2
2.3. De parabool
Een parabool P bestaat uit de punten Q waarvoor de afstand tot een vaste rechte
gelijk is aan de afstand tot een vast punt F dat niet op d ligt. Het punt
noemt men het brandpunt van de parabool, de rechte d de richtlijn.
Q∈P
⇔ d( Q, d) = d( Q, F )
1. Als het brandpunt F( p ,0) , richtlijn d: x= − p en (x,y) de coordinaat is van Q ten
opzichte van het orthonormaal xy-assenkruis, dan is topvergelijking van de
parabool P
y
2
= 4 px
Dit kan op een eenvoudige manier worden afgeleid:
d
y
Q
d
F
T
F
x
Figuur 2 parabool
Q∈P
⇔ d( Q, d) = d( Q, F)
⇔ ( − ) + ( − 0) = +
2 2
x p y x p
2 2
⇔( − ) + ( − 0) = ( +
x p y x p)
2
⇔ =
y
4 px
2
De topvergelijking van deze parabool is dus y = 4 px.
De x -as is de symmetrieas van de parabool. Het punt F is het brandpunt, de rechte d de
richtlijn en het punt halfweg het brandpunt en de richtlijn is de top van de parabool.
2
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 18

Men dient goed te beseffen dat de bovenstaande vergelijking enkel geldig is met deze
specifieke keuzes van de liggingen van het brandpunt en de richtlijn. Indien de parameter p
negatief is,ligt het brandpunt links van de top en de richtlijn rechts. De vergelijking zelf blijft
dezelfde. Indien de richtlijn horizontaal gelegd wordt, zal de parabool verticaal liggen, met
zijn opening naar boven als de parameter p > 0, en met de opening naar beneden als p < 0 .
Er zijn dus vier mogelijkheden voor een parabool met top in de oorsprong en één van de
coördinaatassen als symmetrieas.
y
2
2
= 4 px met p > 0
y = 4 px
met p < 0
x
2
= 4 py met p > 0
x
2
= 4 py met p < 0
Wanneer de parabool verschoven wordt naar een willekeurige ligging van de top T( x
0, y0)
vindt men op analoge manier twee topvergelijkingen
Horizontale symmetrieas:
Verticale symmetrieas :
2
( y− y0) = 4 p(
x− x0) met F( x0 + p,
y0)
en d:
x= x0
− p
( x x ) 4 p( y )
2
−
0
= − y
0
met
0 0
F( x , y + p)
en d:
y = y0
− p
De algemene vergelijking van een parabool met symmetrieas evenwijdig aan een coordinaatas
is
Horizontale symmetrieas:
Verticale symmetrieas :
2
x = Ay + By + C
2
y = Ax + Bx + C
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 19

2.4. Oefeningen
(we werken in een O.N.B.)
1. Bepaal de vergelijking van de cirkel met middelpunt M(a, b) en straal R.
a) a = 0, b = 0, R = 5 x 2 + y 2 = 5
b) a = 4, b =1, R = 2 ( x− 4) 2 + y −1
2. Bepaal middelpunt en straal van de volgende cirkels
a) x
( ) 2 = 4
2
+ y
2
− 8x − 6y = 0 M ( ,3 ) en R 5
4 =
b) 3x 2 + 3y 2 − 2x +3y +1 = 0
⎛ 1 1 ⎞ 1
M ⎜ , − ⎟ en R =
⎝ 3 2 ⎠ 6
c) 16x +16y 2 −8x −15 = 0
⎛ 1 ⎞
M ⎜ ,0⎟
en R = 1
⎝ 4 ⎠
d) 36( x 2 + y 2
⎛ 2 1 ⎞
)− 48x + 36y − 227 = 0 M ⎜ , − ⎟ en R =
⎝ 3 2 ⎠
7
3. Onderzoek of de volgende vergelijkingen cirkels voorstellen. Zo ja, bepaal dan middelpunt en
straal.
a) x 2 + y 2 − 6x +14y + 59 = 0
geen cirkel
2 2
b) 16x +16y +8x− 64y − 335 = 0
cirkel C⎛
⎛
− 1 ⎝ 4 ,2 ⎞
⎝ ⎠ ,5 ⎞
⎠
c) 4 x 2 + 4y 2 −12x + 40y +109 = 0
(punt) cirkel C⎛
⎛ 3
⎝ 2 ,−5 ⎞
⎝ ⎠ ,0 ⎞
⎠
4. Stel de vergelijking op van de cirkel door de punten (3, 3) en (5, 7) en het middelpunt op
a: x – y = 5
x 2 + y 2 −16x − 6y+ 48 = 0
5. Stel de vergelijking op van de cirkel waarvan het lijnstuk bepaald door de punten van de
cirkel (5, 6) en (-1, 0) een middellijn is.
x 2 + y 2 − 4x− 6y− 5 = 0
6. Stel de vergelijking op van de cirkel door het punt (-3, 4) en concentrisch met c:
x 2 + y 2 + 3x − 4y −1 = 0
x 2 + y 2 + 3x − 4y = 0
7. Stel de vergelijking op van de cirkel omschreven aan driehoek ABC
met A(2, 2); B(6, -2); C(-3, -5)
2x 2 + 2y 2 − 5x + 11y − 28 = 0
8. Een cirkel heeft zijn middelpunt in M(3, 0) en gaat door het punt P(1, 1). Bepaal:
a) de vergelijking van de cirkel. ( x − 3) 2 + y 2 = 5
b) de vergelijking van de cirkel met hetzelfde middelpunt en dubbele oppervlakte
( ) 2 2
x y
− 3 + = 10
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 20

9. Bepaal brandpunt en richtlijn van volgende parabolen en schets hun grafiek.
a) y − 8x = 0
(2, 0); x = -2
b) y
+ 6x = 0
⎛
− 3 ⎝ 2 ,0 ⎞
⎠ ;x= 3 2
c) 2x 2 + y = 0
⎛
0,− 1 ⎞
⎝ 8⎠ 8
d) 2x 2 − y = 0
⎛
0, 1 ⎞
⎝ 8⎠ 8
10. Bepaal de topvergelijking van de parabool (met de x-as als symmetrie-as) en met als top (0, 0)
en door het punt A(-1, 3):
y 2 = −9x
⎛
11. Bepaal de topvergelijking van de parabool met als brandpunt 0,− 1 ⎞
⎝ 2⎠
en richtlijn d: y = 1 2
x 2 + 2y = 0
12. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -2) en richtlijn d: x = 3
y 2 + 4y− 8x + 44 = 0
13. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -2) en richtlijn d de bissectrice
van het tweede kwadrant.
x 2 + y 2 − 2xy− 28x + 8y + 106 = 0
14. Schets de grafiek van:
a)3x 2 − 24x − 2y+ 50 = 0
b) 4y 2 + 40y − 3x +100 = 0
( x − 4) 2 = 2 3 ( y −1)
(y + 5) 2 = 3 4 x
Introductiecursus 2005-2006 Analytische meetkunde 21