79-8 - Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

juni
2004/nr.8
jaargang 79
ICT en wiskunde
Simulatie op Schiphol
Algebra
Jaarvergadering

Euclides is het orgaan van de Nederlandse
Vereniging van Wiskundeleraren. Het blad
verschijnt 8 maal per verenigingsjaar.
ISSN 0165-0394
Redactie
Bram van Asch
Klaske Blom
Marja Bos, hoofdredacteur
Rob Bosch
Hans Daale
Gert de Kleuver, voorzitter
Dick Klingens, eindredacteur
Wim Laaper, secretaris
Elzeline de Lange
Jos Tolboom
Inzending bijdragen
Artikelen/mededelingen naar de hoofdredacteur:
Marja Bos
Mussenveld 137, 7827 AK Emmen
e-mail: redactie-euclides@nvvw.nl
Richtlijnen voor artikelen
Tekst liefst digitaal in Word aanleveren, op
papier in drievoud.
Illustraties, foto´s en formules separaat op
papier aanleveren: genummerd, scherp contrast.
Zie voor nadere aanwijzingen:
www.nvvw.nl/euclricht.html
Nederlandse Vereniging van
Wiskundeleraren
www.nvvw.nl
Voorzitter:
Marian Kollenveld,
Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk
tel. 070-3906378
e-mail: m.kollenveld@nvvw.nl
Secretaris:
Wim Kuipers,
Waalstraat 8, 8052 AE Hattem
tel. 038-4447017
e-mail: w.kuipers@nvvw.nl
Ledenadministratie:
Elly van Bemmel-Hendriks,
De Schalm 19, 8251 LB Dronten
tel. 0321-312543
e-mail: ledenadministratie@nvvw.nl
Colofon
ontwerp Groninger Ontwerpers
foto omslag Rinus Roelofs, Hengelo
productie TiekstraMedia, Groningen
druk Giethoorn Ten Brink, Meppel
Contributie per verenigingsjaar
Het lidmaatschap is inclusief Euclides.
Leden: €42,50
Studentleden: € 22,50
Gepensioneerden: € 27,50
Leden van de VVWL: € 27,50
Lidmaatschap zonder Euclides: € 27,50
Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden geven
zich op bij de ledenadministratie. Opzeggingen
vóór 1 juli.
Abonnementen niet-leden
Abonnementen gelden steeds vanaf het
eerstvolgende nummer.
Niet-leden: € 47,50
Instituten en scholen: € 127,50
Losse nummers, op aanvraag leverbaar: € 17,50
Betaling per acceptgiro.
Advertenties
Informatie, prijsopgave en inzending:
Gert de Kleuver
De Splitting 24, 3901 KR Veenendaal
e-mail: g.de.kleuver@wanadoo.nl
tel. 0318-542243
Indien afwezig:
Freek Mahieu
Dommeldal 12, 5282 WC Boxtel
e-mail: freek.mahieu@hetnet.nl
tel. 0411-673468
8
juni 2004 JAARGANG 79

333
Van de redactietafel
[Marja Bos]
334
De invloed van ict op het
wiskundeonderwijs
[Carel van de Giessen]
340
Optimaal inchecken op Schiphol
[Nico van Dijk, Erik van der Sluis]
347
40 jaar geleden
[Martinus van Hoorn]
348
Fouten in de Elo-ranglijst
[Hans van Maanen]
352
Tekstverklaren bij wiskunde
[Wim van Dijk]
353
Bert Zwaneveld, hoogleraar
353
Vouwbare verhouding
[Willem Maas]
354
Boekbespreking
355
In memoriam Wim Bos, 1916-2004
[Anne van Streun]
356
Re:cursief / Zigzagpermutaties
[Rob Bosch]
358
Algebra: verloren zaak of uitdaging? -
deel 1
[Metha Kamminga]
362
Leerling, student, docent
[David van de Beld]
364
Uitslag Wiskunde Scholen Prijs 2004
[Heleen Verhage]
366
Christelijk Gymnasium Utrecht wint
scholenprijs
[Wim Laaper]
368
ICT: middel tot onderwijsverbetering of
bron van implementatieproblemen?
[Jos Tolboom]
372
Feitenvel Zambia
[Ger Limpens / Wereldwiskunde Fonds]
373
Jaarvergadering/Studiedag 2004
[Marianne Lambriex]
374
Recreatie
[Frits Göbel]
376
Servicepagina
Van de redactietafel
[ Marja Bos ]
Nieuwe onderbouw
Eerder deze maand presenteerde de Taakgroep Vernieuwing Basisvorming haar
voorstellen voor de eerste leerjaren van het voortgezet onderwijs.
Belangrijkste kenmerken: meer ruimte voor keuzes van scholen, meer
samenhang in het programma, de leerlingen centraal. De bijbehorende nieuwe
kerndoelen zijn dan ook in aantal sterk beperkt, en tevens tamelijk globaal
geformuleerd, zodat elke school ze binnen de aangegeven kaders zelf nog
nader kan uitwerken. Die bewust nagestreefde variëteit zal ertoe leiden dat er
veel verschil ontstaat tussen scholen onderling: scholen krijgen steeds meer
een ‘eigen gezicht’. Het is de bedoeling dat de wijzigingen per 1 augustus
2006 doorgevoerd worden. Voor meer informatie zie
www.vernieuwingbasisvorming.nl.
Terugtredend toezicht
De voorstellen van de Taakgroep passen in het beleid van de terugtredende
overheid. Ook het fenomeen ‘terugtredende docent’ is op dit moment
populair. Daarnaast ziet het er nu naar uit dat we te maken krijgen met een
terugtredende Inspectie.
In een brief van 11 maart geeft minister Van der Hoeven als volgt antwoord
op Kamervragen: ‘De rol van de Inspectie is in beweging. (…) Het toezicht
door de Inspectie zal meer en meer een proportioneel en stimulerend
karakter krijgen in samenhang met het versterken van de zelfevaluatie door
scholen. (…) Het is de eigen verantwoordelijkheid van de scholen om keuzes
te maken in de wijze waarop de kerndoelen concreet vorm krijgen (…) De
Inspectie zal vervolgens beoordelen of de gemaakte keuzes juist zijn tegen de
achtergrond van kerndoelen en examenprogramma’s en de aansluiting op en
samenhang binnen de leergebieden.’ Kennelijk beperkt de taak van de
Inspectie zich straks tot een marginale procedurele (niet-inhoudelijke)
toetsing, vanuit de opvatting dat scholen hun kwaliteit in principe zelf
adequaat kunnen handhaven, wellicht ondersteund door instrumenten als
collegiale wederzijdse toetsing.
Wat vindt u er eigenlijk van, van al die terugtredende instanties? Vrijheid
voor de eigen school (of voor de directie?), zelf keuzes maken - het biedt
beslist fantastische mogelijkheden. Een vraag is wél of we voldoende
vertrouwen (mogen) hebben in de eigen kwaliteitsbewaking.
Voorplaatontwerp Rinus Roelofs
De omslagen van de nummers van deze jaargang van Euclides waren voorzien
van prachtige ontwerpen van Rinus Roelofs (zie www.rinusroelofs.nl). De
laatste uit de serie is een zogeheten Temari-bal. Deze gevlochten ballen zijn
onder meer bekend vanuit de Japanse cultuur. Ze komen in allerlei vormen
voor en zijn vaak gebaseerd op regelmatige of halfregelmatige veelvlakken, in
dit geval op een rombische (dus ruitvormige) kuboctaëder.
Redactie
Twee jaar geleden begon collega Elzeline de Lange vol enthousiasme aan haar
vmbo-redacteurschap voor Euclides. Helaas, vervelende omstandigheden
maken het haar de komende tijd onmogelijk, de redactiewerkzaamheden goed
te kunnen uitvoeren. Om die reden heeft zij haar redactietaken neergelegd.
Elzeline, heel veel dank voor je inzet en bijdragen!
Bijdragen rekenspecial
Het themanummer van de komende jaargang zal in het teken staan van
rekenen en rekenonderwijs. Bijdragen van lezers zien we, uiterlijk
1 september a.s., met veel belangstelling tegemoet. Op de webpagina
www.nvvw.nl/euclricht.html is algemene informatie te vinden over het
indienen van concept-artikelen.
Namens de redactie wens ik u graag een fantastische en tegelijkertijd zeer
inspirerende zomervakantie.

DE INVLOED VAN ICT OP HET
WISKUNDEONDERWIJS
[ Carel van de Giessen ]
334
euclides nr.8 / 2004
Inleiding
De grafische rekenmachine is gemeengoed in de
wiskundeboeken. Logisch, het programma schrijft dit
apparaat voor. Daarnaast is ook educatieve software
steeds nadrukkelijker aanwezig. Vroeger trof je achter
in een boek een practicum over grafieken of statistiek
aan. Tegenwoordig kom je in de nieuwe edities ictparagrafen
tegen die reguliere paragrafen kunnen
vervangen of strepen naast de tekst die aangeven dat
het betreffende gedeelte een ict-component heeft die
gebruikt kan worden. De hierboven gebruikte
formuleringen vervangen en gebruikt kan worden
geven aan dat het gebruik van ict weliswaar steeds
prominenter wordt, maar overigens een vrijblijvende
zaak is. De docent kan, dankbaar of niet, gebruik
maken van ict bij zijn of haar les, maar kan ook
volstaan met de grafische rekenmachine. Die
vrijblijvendheid is het gevolg van het feit dat er in het
curriculum/programma niets concreets over ictgebruik,
laat staan een verplichting staat. Gezien de
tijdsdruk, de faciliteiten voor de scholen en de haast
waarin het programma eertijds tot stand is gekomen
misschien begrijpelijk, maar wel jammer.
Er is momenteel geschikte technologie beschikbaar
voor het onderwijs. Deze kan in principe op twee
manieren invloed hebben op het onderwijs: invloed op
het reguliere onderwijs en invloed op de vakinhoud.
Invloed op het gangbare onderwijs is duidelijk
aanwezig gezien de genoemde trend in de boeken
waarin ruimschoots van educatieve software en applets
gebruik wordt gemaakt. De invloed op het programma
is niet duidelijk, althans niet waarneembaar. Bij een
curriculum moet je maar afwachten of er iets verandert
en zo ja, wat eventuele veranderingen inhouden. De
enige aanzet tot ict in het wiskundeprogramma die ik
ken, dateert uit de tijd van de HEWET (herverkaveling
wiskunde een en twee). Dat is erg lang geleden. De
toentertijd veelbelovende ontwikkelingen zijn niet
doorgezet.
Hierna wil ik aandacht schenken aan de invloed die ict
in deze tijd zou kunnen hebben. Ik beperk me tot
enkele domeinen van de schoolwiskunde. Allereerst de
analyse: hoe in het reguliere curriculum de inzet van
software bij het plotten van grafieken tot leren kan
leiden.
Ten tweede bij de beschrijvende statistiek: hoe een
inhoud van het curriculum met aandacht voor ict, het
vak statistiek voor leerlingen een stuk interessanter
kan maken.
Tenslotte vraag ik aandacht voor (dynamisch)
modelleren, een onderwerp dat mijns inziens het
wiskundig denken bevordert, de vakoverstijgende rol
van wiskunde doet ervaren. Een domein dat dankzij ict
haalbaar is.
Analyse: leren door plotten
Vroeger bestond een belangrijk deel van de (school)analyse
uit het onderzoeken van een functie. Daar
hoorde dan een aantal regeltjes bij waar het onderzoek
aan moest voldoen. Doel was het vinden van extremen,
nulpunten, asymptoten en andere kenmerken en
uiteindelijk de grafiek van de functie. De grafiek was
het resultaat van wiskundige arbeid waar meestal ook
nogal wat algebra bij kwam kijken. Leerlingen vonden
het ook wel aardig, de grafiek was een duidelijk
eindpunt dat er fraai kon uitzien.

FIGUUR 1 f(x) x2 2x15
2x8
De klassieke manier om een grafiek te vinden zou je
als volgt kunnen schematiseren:
functie → wiskundig werk → grafiek
Het wiskundig werk dat vroeger aardig wat tijd kostte
kan nu gedaan worden door machines. De leerling
hoeft alleen een formule in te voeren, een venster in te
stellen en eventueel nog wat te tracen, maxen of
intersecten. Dat is het dan, klaar; en verder?
Door ict zijn de mogelijkheden tot wiskundige
activiteit op een ander gebied verruimd.
x
Neem bijvoorbeeld de functie f (x) .
22x15
2x8
De grafiek verschijnt in een handomdraai (zie figuur 1).
Als je het getal 8 in het functievoorschrift verandert in
9 gebeurt er niet zoveel, maar wel als je bijvoorbeeld
de waarde 6 kiest. Van het veranderen van de waarden
is het een kleine stap naar parameters. De bijzondere
waarde 6 komt dan aan het licht door te spelen met de
parameter; zie figuur 2.
Parameters zijn een bron voor wiskundige activiteiten,
vooral bij dynamisch gebruik van de parameter. De
schuifparameter is prachtig gereedschap om functies te
onderzoeken. In de bewegende beelden (in figuur 3
staat weliswaar een bundel, maar die moet als één
bewegende grafiek voorgesteld worden) vallen
bijzonderheden direct op. Vervolgens kunnen die aan
de hand van het functievoorschrift geverifieerd
worden. De ict als onderzoeksmedium en bron voor
functieonderzoek.
Bekijk bij wijze van voorbeeld de vrij simpele functie
f (x)(2ax) 3 . Met de schuifparameter zien de
leerlingen onder andere dat de grafiek om een vast
FIGUUR 2 f(x) x2 2x 15
2x 5,98
FIGUUR 3 f(x) (2 ax) 3
punt draait en een buigpunt heeft dat over de x-as
beweegt. Na dit grafisch onderzoek kan gevraagd
worden met behulp van het functievoorschrift aan te
tonen dat deze waarnemingen inderdaad juist zijn.
Interessant is ook de constatering dat het buigpunt
langzamer beweegt naarmate dit punt dichter bij de
oorsprong komt - een lastiger probleem, maar
uitdagend om met het functievoorschrift uit te zoeken.
Een probleem waarbij nagedacht en geredeneerd moet
worden, geen problemen met standaard
oplossingsmethoden.
Dankzij ict zijn er tal van didactische instappen die tot
interessante klassengesprekken kunnen leiden, vooral
met een computer plus beamer in de klas. Met moderne
software is het niet alleen makkelijk om snel een
duidelijke grafiek te plotten, er kan ook dynamiek in
het plotten gebracht worden. Een plaatje immers zegt
meer dan duizend woorden, een dynamisch plaatje
voegt daar nog een factor aan toe.
Neem bijvoorbeeld het begrip asymptoot. Uitleggen in
woorden is lastig en ‘oneindig’ wordt vaak als een heel
groot getal gezien. Met dynamisch plotten betrek je de
leerlingen bij het asymptotisch gedrag. Met de
volgende statische figuren is dat enigermate voor te
stellen. Figuur 4 geeft aan dat een grafiek en een lijn
langzaam getekend worden. In figuur 5 is het
tekenproces zover gevorderd dat lijn en grafiek
samenvallen, althans dat lijkt zo. In figuur 6 blijkt
door in te zoomen dat de grafieken toch niet
samenkomen. En dan wordt het proces, zoals dat in
figuur 5 en 6 te zien was, herhaald en herhaald
enzovoort.
335
euclides nr.8 / 2004

FIGUUR 4 Hyperbool op weg naar asymptoot FIGUUR 5 Grafieken lijken samen te vallen
FIGUUR 6 Grafieken vallen niet samen
Het eerder gegeven schema
functie → wiskundig werk → grafiek
zou er nu zo uit kunnen gaan zien:
grafiek → wiskundige activiteit → functie.
Ik maak hier bewust onderscheid tussen wiskundig
werk en wiskundige activiteit. Met ‘werk’ wil ik
aangeven dat er een min of meer vast patroon gevolgd
moeten worden. Met ‘activiteit’ wil ik aangeven dat
een eigen inbreng van de leerling gevraagd wordt: zelf
onderzoeken, vragen stellen en een oplosstrategie
bedenken. De wiskundige activiteiten komen tot stand
door vragen als: waarom ziet de grafiek er zo uit, hoe
zit het met veranderingen van het uiterlijk, hoe kun je
die uit de functie afleiden? Het belang van het
functieonderzoek wordt het begrijpen van functies en
van structuur in functievoorschriften. Bij de
beantwoording van dergelijke vragen komt
onherroepelijk algebra aan de orde. Vaak blijken
leerlingen de problematiek te doorzien en een juist idee
van een oplossings-procedure te hebben, maar lopen
ze vervolgens vast in de algebra. Met ict wordt het
belang van algebra niet verminderd. Integendeel,
algebra is en blijft hard nodig.
Statistiek: werken met data
Statistiek is een domein met een grote maatschappelijke
relevantie. Iedereen hoort eigenlijk wel een
beetje statistiek te kunnen ‘lezen’, liefst met een
kritische houding. Bovendien speelt statistiek bij veel
andere schoolvakken en vrijwel alle voortgezette
opleidingen een rol.
De beschrijvende statistiek op school beweegt zich op
een tamelijk basaal niveau. Van een beperkt aantal
336
euclides nr.8 / 2004
data, die eigenlijk in één oogopslag zijn te overzien,
worden gemiddelde, modus en mediaan en standaardafwijking
uitgerekend en plaatjes getekend. Niet zo
realistisch. Wat zeggen die cijfers van zo’n stuk of tien
data eigenlijk? Met de komst van de grafische rekenmachine
is dat niet echt verbeterd.
Statistiek wordt pas interessant als het gaat over grote
aantallen data die je moet kunnen verwerken,
bewerken, manipuleren en presenteren om door de
bomen het bos te gaan zien. Met verwerken bedoel ik
het invoeren en eenvoudig presenteren van de data in
bijvoorbeeld een frequentietabel of diagram. Met
bewerken wil ik aangeven dat met de data onderling
gerekend wordt om zo nieuwe data te genereren.
Manipuleren is het bewerken van data met een minder
verheven oogmerk.
Met de computer zijn de mogelijkheden om met data
om te gaan wezenlijk veranderd. Het tekenen en
berekenen kan uitbesteed worden en de aandacht kan
gaan naar het nadenken over wat je met de data wilt
bereiken. De leerlingen kunnen data onderzoeken,
opvallende zaken en structuur in data ontdekken. Dit
domein Data Analyse of EDA (exploratieve data
analyse) wordt wel aangegeven met de metafoor van
een detective die uit de analyse van data tot
veronderstellingen komt en hypothesen formuleert.
Ik geef een paar voorbeelden om toe te lichten hoe
zaken ontdekt kunnen worden die zonder de computer
verborgen zouden blijven.
Het eerste voorbeeld gaat over het transport in
Groningen in een tijd toen transport over water
belangrijk was. In de staafgrafieken van figuur 7 en 8

FIGUUR 7
FIGUUR 8
staan gegevens over de scheepvaart, het aantal schepen
en de getransporteerde tonnages. De cijfers zijn uit
1910, maar het gaat me om het hanteren van data. Het
Winschoterdiep staat bij beide variabelen op de eerste
plaats, dat laten de plaatjes duidelijk zien. Als je echter
de gemiddelde tonnage per schip uit laat rekenen,
ontstaat er een ander beeld (zie figuur 9 en 10). De
vraag is nu hoe dat komt; wat voor bijzonders is er met
dat Eemskanaal aan de hand?
Het tweede voorbeeld gaat over De Nationale Doorsnee
(DND), een grote enquête onder de eerste twee klassen
van het voortgezet onderwijs in een feestelijke
samenwerking van het CBS en de NVvW (publicatie:
najaar 2001). De DND bevat een schat aan gegevens,
opgenomen in ruim 50000 records, die op allerlei
manieren bekeken kunnen worden. Licht je uit dat
bestand de lengten van de leerlingen, dan lijkt bij een
beperkt aantal intervalklassen de verdeling er aardig
normaal uit te zien (figuur 11). Bij een kleinere
klassenbreedte echter treden merkwaardige pieken op;
zie figuur 12. De oorzaak daarvan is waarschijnlijk dat
veel leerlingen hun lengte hebben afgerond (naar
boven?) op 0 of 5. (Met dank aan Heleen Verhage.)
Statistiek is ook binnen school een vakoverstijgend
domein. Enquêtes zijn een geliefd onderwerp bij
praktische opdrachten voor veel vakken. Doen die andere
vakken ook iets aan statistiek? Voor sommige vakken is
regressie een belangrijk statistisch item, er zijn zelfs
vakken die iets aan mathematisch toetsen doen. Bij het
vak aardrijkskunde voor de Tweede fase trof ik in een
leerboek de chi-kwadraattoets en Spearmans rangorde-
FIGUUR 9 Omrekenen van data
correlatiecoëfficiënt aan, compleet met recept hoe dat uit
te voeren. Mijn aardrijkskunde-collega heeft het
geprobeerd, één keer was genoeg. Vakoverstijgende
opdrachten met wiskunde kunnen heel aardig en
bijzonder nuttig zijn. Zonder de nodige aandacht voor
afstemming tussen wiskunde en andere vakken zullen de
initiatieven meestal tot mislukken gedoemd zijn.
Aandachtsgebied: modelleren als wiskundige
activiteit
Computers voorspellen de uitslag van een verkiezing tot
het weer van de komende week, wiskundige modellen
spelen een belangrijke rol in het dagelijks leven.
Allemaal zijn we indirect consumenten van modellen, of
we dat nu leuk vinden of niet. Enige notie van de
relevantie en betekenis van modellen is niet ongewenst.
Bij realistisch wiskundeonderwijs neemt het toepassen
van wiskunde een belangrijke plaats in. Bij
toepassingen heb je met modelleren te maken, het
beschrijven van de realiteit met behulp van wiskundig
gereedschap. In de schoolboeken wordt nogal eens het
woord ‘model’ gebruikt als simpelweg een formule bij
een context wordt bedoeld. Een lichtelijk aangedikt
taalgebruik met als gevaar dat over modelleren wordt
gesproken als bedoeld wordt het omgaan met een
formule. Een vrij gangbare omschrijving van het begrip
‘wiskundig modelleren’ is het vertalen van een
realistisch probleem in wiskundige termen. Met het
opgestelde model volgt dan een verdere analyse van het
probleem met als doel informatie over het probleem te
verkrijgen. Met name het vertalen van realiteit naar
wiskunde is een moeilijk maar uitdagend en creatief
proces. Deze vertaalkant van het modelleren wordt bij
337
euclides nr.8 / 2004

FIGUUR 10 FIGUUR 11
de schoolwiskunde niet structureel behandeld, maar
komt bij gebruik van ict nadrukkelijker naar voren.
Anderzijds is modelleren door ict in een grafische
omgeving goed toegankelijk. Van beide een voorbeeld.
Het eerste voorbeeld leen ik van Paul Drijvers. Een
computeralgebrapakket kan erg veel op wiskundig
gebied, het nadenken moet de gebruiker doen.
‘Twee kubussen staan naast elkaar en hebben een
gezamenlijke breedte van s cm. De inhoud van de twee
kubussen samen is d cm 3 . Druk de lengte van de ribben
uit in s en d en ga na welke waarden d kan aannemen.’
In de klas zou de oplossing als volgt kunnen verlopen:
A. eerst maar eens een plaatje maken en een
getallenvoorbeeld doorrekenen;
B. een variabele kiezen, zeg x, voor de ribbe van de
ene kubus;
C. een formule opstellen voor de inhoud
d(x)x 3 (sx) 3 ;
D. de vergelijking d(x)x 3 (sx) 3 oplossen naar x;
E. de functie d differentiëren, nulpunt uitrekenen,
x 1 2 s;
F. het minimum berekenen, d 1 4 s 3 .
Het grote werk zal voor leerlingen in de punten D, E en
F plaatsvinden.
Met gebruik van computeralgebra zit het werk voor de
leerling in A, B en C. Punt B is essentieel voor een
goede opzet. Verder is het dan een kwestie van het
juiste commando, bijvoorbeeld ‘Los op’ om de
vergelijking op te lossen en ‘Zoek extreem’ voor het
berekenen van het minimum. Wat blijft is dus het
modelleren en het interpreteren van de uitkomst.
De leerlingen moeten het probleem uiteraard doorzien
338
euclides nr.8 / 2004
en daarnaast een gevoel voor structuur en algebraïsch
proces bezitten. Dat moet geleerd en geoefend worden
en dat kost tijd.
Door ict komt het verschil tussen het kunnen uitvoeren
van basisvaardigheden en wiskundig denken duidelijk
aan het licht.
Het andere voorbeeld ontleen ik aan mijn schoolpraktijk.
Omdat op mijn school de sectie wiskunde het van
belang vindt dat leerlingen kennismaken met
modelleren en de rol van wiskunde daarin, gaat in
6-vwo onze zebra daarover. De leerlingen bestuderen
in tweetallen zelfstandig een lespakket Dynamische
Modellen en maken als afronding een model over een
zelf gekozen onderwerp. Om de gedachten te bepalen
staat in figuur 13 een schema van een prooiroofdiersysteem
uitgebreid met zelfbegrenzing van de
prooidieren (volgens Volterra). Met recursieformules
ziet het er zo uit:
ui1 ui auibuivi eu2 i
v v cv du v i 1 i i i i
De leerlingen ervaren dat er een wereld van verschil
bestaat tussen een kwantitatief en een kwalitatief
model - dat het lastig is de goede data te vinden, dat je
bij een model maken moet nadenken. Ze begrijpen hoe
relaties liggen en dat je door te modelleren inzicht in
processen verwerft. Maar ook ervaren ze hoe belangrijk
en hoe functioneel wiskunde is. Ze komen met vragen
hoe je met wiskunde een proces stochastisch,
voorwaardelijk, vertraagd, enzovoort kunt maken. Ze

FIGUUR 12 FIGUUR 13 Schema prooi-roofdiermodel met
zelfbegrenzing
komen in aanraking met begrippen uit andere vakken
zoals feedback (dat ze kennen als homeostase bij
biologie) en vertragingseffecten (die ze kennen van de
varkenscyclus bij economie).
De leerlingen zijn veelal aangetrokken door de
creatieve kanten van het modelleren die al met
eenvoudige wiskundige vaardigheden toegankelijk zijn.
De uitdaging zit in het bouwen, de lol zit in de
experimenteermogelijkheden die tot begrip en inzicht
in complexe situaties kunnen leiden. Een model is een
speeltuin, een onderzoeksomgeving, een microwereld.
Modelleren bevordert het denken en komt dankzij ict
beter dan voorheen binnen het bereik van de
schoolwiskunde.
Conclusies
In dit artikel heb ik willen aangeven dat ict in het
wiskundeonderwijs twee aspecten heeft:
- Inzet van ict bij het bestaande programma waarmee
beter begrip en aantrekkelijke leeractiviteiten
nagestreefd kunnen worden. Dit proces is sterk gaande.
In de schoolboeken is dat goed te zien.
- Inzet van ict om bestaande domeinen andere accenten
te geven en nieuwe domeinen te introduceren.
Voorbeelden zijn leren door plotten, Data Analyse en
Dynamisch Modelleren. Daarbij passen leeractiviteiten
die bij gebruik van goede software dynamische
impulsen aan de schoolwiskunde kan geven.
Ict kan leerlingen werk uit handen nemen. De ruimte
die daardoor ontstaat zou ingevuld kunnen worden
door wiskundeonderwijs dat gericht is op datgene
waarin de mens beter is dan de pc: creatief denken en
slim interpreteren.
Bronnen
- Advies Examenprogramma havo/vwo.
- Jan Blankespoor: Het nieuwe imago van de wiskunde in het hbo.
In: Euclides 76 (2), oktober 2000.
- D.N. Burghess e.a.: Applying Mathematics. Ellis Horwood Limited,
isbn 0-85312-417-5.
- G.G. Chakerian, Kurt Kreith: Iterative Algebra and Dynamic
Modeling. Springer Verlag (1999), isbn 0387987584.
- Examenprogramma’s havo, vwo.
- F. Goffree e.a.: Honderd jaar wiskundeonderwijs. NVvW,
isbn 90-01-65958-6. p. 375.
- Walter J. Meyer: Concepts of Mathematical Modeling. McGraw-Hill,
isbn 0-07-041747-4.
- Hans Stam, Peter van Wijk: Computergebruik bij wiskunde. APS,
isbn 90-6607-337-3.
- Terra (methode voor aardrijkskunde), handboek vaardigheden en
werkwijzen. Wolters-Noordhoff, isbn 90-01-73402-2.
De computervoorbeelden zijn ontleend aan de volgende
softwarepakketten: VUGrafiek 2004, VUStatistiek 2004, Dynasys.
Over de auteur
Carel van de Giessen (e-mailadres: carelvdg@tref.nl), werkzaam aan
het Almende College te Silvolde, is bijzonder geïnteresseerd in het
gebruik van de computer bij het wiskundeonderwijs. Hij hoopt op
serieuze aandacht voor ict en vakoverstijgende afstemming in het
curriculum. Gezien zijn ervaringen in de voorbereiding van de tweede
fase is hij echter niet optimistisch gestemd.
339
euclides nr.8 / 2004

OPTIMAAL INCHECKEN
OP SCHIPHOL
Computersimulatie en wiskunde in combinatie
[ Nico van Dijk en Erik van der Sluis ]
In het najaar van 2003 vond aan de Universiteit van
Amsterdam een themadag plaats voor vwo-wiskundedocenten,
georganiseerd door de opleiding Operationele
Research & Management, met als doelstelling:
- kennisverbreding voor de docent met eigentijdse
wiskundetoepassingen;
- mogelijke toepassing in één van de wiskundeprogramma’s
binnen de profielen E&M, N&G en N&T;
- kennismaking met simulatie.
Dit artikel bevat een beknopte weergave van enkele van
de gepresenteerde onderwerpen. In oktober 2004 wordt
deze dag herhaald. Eventuele belangstelling voor deze
dag kan kenbaar worden gemaakt via e-mail:
H.J.vanderSluis@uva.nl.
Aanleiding
Dit artikel is geschreven naar aanleiding van een
themadag voor vwo-wiskundedocenten. Het belicht
een ‘eenvoudig’ praktisch probleem, het inchecken op
Schiphol. Met dit probleem worden zowel de
noodzakelijkheid als de mogelijkheden geïllustreerd
van een ‘hedendaags’ wiskundige benadering voor
praktische optimalisatie: wiskundige modellering en
computersimulatie in combinatie.
Inleiding
Met een vakantie voor de boeg met mogelijk verre
bestemming is enige wiskundige bezinning wellicht op zijn
plaats voor een praktische probleemstelling waarmee de
vakantie mogelijk aanvangt: (lange) wachttijden zoals voor
het inchecken op Schiphol (zie figuur 1). Een ogenschijnlijk
eenvoudig op te lossen probleem door uitbreiding
van balies en personeel. Echter, nog los van de beperkte
mogelijkheden hiertoe is dit slechts ten dele het geval. Er is
sprake van een complexe situatie en behoefte aan
optimalisatie waarvoor verschillende wiskundige disciplines
vereist zijn, gericht op:
1. het vooraf berekenen van wachttijden
(prestatieberekening),
2. het toewijzen van balies aan vluchten (planning).
Naast de hiervoor ontwikkelde wiskundige modellen,
wezenlijk voor inzicht in de wachttijdberekening en
voor de planning, blijkt ook computerondersteuning
strikt noodzakelijk. In het eerste geval is dat
computersimulatie vanwege realistische complicerende
aspecten waarvoor wiskundige modellering tekort
schiet, in het tweede geval LP-software voor het
kunnen oplossen van deze wiskundige modellen.
Het check-in probleem mag gezien worden als
illustratie van een ogenschijnlijk eenvoudig praktisch
probleem, zoals zo vele andere uit het dagelijks leven,
waarvoor een nieuwe vorm van wiskundige benadering
strikt noodzakelijk is. Deze benadering is gebaseerd op
een combinatie van:
- wiskundige modellering, en
- computerondersteuning.
De globale doelstelling van dit artikel is het toelichten
en illustreren van deze combinatie - aan de hand van
het check-in probleem. Een drietal wiskundige
onderwerpen zal hiertoe de revue passeren:
Wachttijdtheorie, als wiskundige discipline voor niet
alleen het berekenen van wachttijden maar (vooral)
ook voor het verschaffen van kwalitatieve inzichten op
analytische basis.
Computersimulatie, primair als noodzakelijke
rekentechnische ondersteuning voor het berekenen van
wachttijden in meer realistische complexere situaties.
Wiskundige modellering, in dit geval lineaire
programmering, voor het minimaliseren van benodigde
capaciteiten.
341
euclides nr.8 / 2004

342
euclides nr.8 / 2004
FIGUUR 1 FIGUUR 2
Wachttijdtheorie
Waarom doen wachttijden zich überhaupt voor? In het
algemeen moet er toch wel voldoende capaciteit zijn,
anders zouden de systemen niet goed ontworpen of
gedimensioneerd zijn en zou bij een daadwerkelijk
tekort aan capaciteit de wachttijd alleen maar kunnen
groeien. Dit zijn vragen waarvoor het gebied van de
wachttijdtheorie (‘queueing theory’) beoogt inzichten te
verschaffen en wiskundige onderbouwing (formules) te
geven gebaseerd op kansrekening. En zijn wachttijden
niet te voorspellen of beter nog met formules te
benaderen?
Queueing theory is een specialisatie binnen de wiskundige
discipline van de Operationele Research, aanvankelijk
ontwikkeld vanuit de telefonie omstreeks 1920. Thans
strekt deze discipline zich uit naar een grote diversiteit
aan toepassingsvelden, zoals call centers, mobiele
telefonie, computertechnologie, productielijnen,
administratieve processen, logistiek, ziekenhuizen.
Inderdaad, binnen de wachttijdtheorie bestaat een
groot scala aan formules, zoals de formule in het kader
voor de gemiddelde verblijftijd (= wachttijd +
bedieningstijd) voor de meest eenvoudige situatie van
één enkele balie of loket: het zogenaamde één-serverof
M/M/1-model (zie ook pagina 340, Wachten op één
bediende).
Deze formules en hun onderliggende afleidingen zijn
in meerdere opzichten van belang, zoals voor het
verschaffen van noodzakelijke kwalitatieve inzichten,
voor het ontwikkelen van scenario’s en voor
kwantitatieve (rekenkundige) validaties, ook wanneer
uiteindelijk, zoals hieronder, met computersimulatie
gewerkt gaat worden. Een uitvoeriger bespreking van
dit belang is o.a. te lezen in [3].
Aan deze en nagenoeg alle in de wachttijdtheorie
bekende formules liggen echter een aantal
aannamen ten grondslag. In de eerste plaats de
zogenaamde aanname van ‘steady-state’, alsof het
onderliggende wachtrijproces over lange tijd
uitgemiddeld mag worden opgevat. Lijkt een
dergelijke aanname gerechtvaardigd voor
bijvoorbeeld de analyse van call centers, voor een
check-in balie is dit niet het geval omdat men te
maken heeft met een beperkt openingsinterval
(bijvoorbeeld 3 uur) met sterk wisselende drukte. Een
tweede voor de meeste wachttijdformules impliciet
veronderstelde aanname betreft die van zogenaamde
exponentiële (at random) aankomsten en
exponentiële bedieningstijden(verdeling). Deze
blijken eveneens verre van realistisch voor een
check-in proces. Zonder deze exponentiële aanname
zijn echter geen exacte (maar wel diverse
benaderende) formules bekend voor de wachttijdverdeling,
oftewel wachttijdpercentages. Juist
dergelijke percentages spelen een belangrijke rol als
mogelijke norm voor het check-in proces op
Schiphol, zoals een wachttijd van minder dan
10 minuten voor minstens 90% van alle reizigers.
Computersimulatie
De techniek van computersimulatie is derhalve vereist.
Met deze techniek kan men in enkele seconden tot
hooguit minuten de realiteit van een al dan niet
bestaande situatie gedurende enkele uren tot weken zo
niet jaren, met behulp van de computer nabootsen en
evalueren. In figuur 2 is een visualisatie (ook wel
animatie) van een simulatiemodel voor check-in balies
te zien.
Hoe werkt het
Het principe van simulatie is eenvoudig uit te leggen
met een getalvoorbeeld waarin we een enkele check-in
balie simuleren. Laten we allereerst als uitgangspunt

FIGUUR 3
nemen dat we precies weten wanneer de achtereenvolgende
passagiers aankomen bij de balie, en hoeveel
tijd het voor elk van hen kost om in te checken
(zie figuur 3, Wachtmodel). Met deze gegevens kunnen
we dan vervolgens bijhouden hoeveel klanten er op elk
moment aanwezig zijn, zoals grafisch weergegeven in
figuur 3, Simulatie: grafisch). Op basis van deze
grafiek zou men dan vrij direct het gemiddeld aantal
klanten in het systeem kunnen bepalen. (Ga zelf na
hoe.)
Maar ook zonder grafiek is dat mogelijk door bij elke
relevante gebeurtenis, d.w.z. een aankomst (A) of een
voltooide bediening (B), bij te houden hoeveel klanten
er nog zijn (zie figuur 3, tabel bij Simulatie:
rekenkundig). Vervolgens is na te gaan welke van de
volgende mogelijke gebeurtenissen het eerste zal
optreden en wanneer. De klok wordt doorgedraaid
(vooruitgezet) naar die volgende gebeurtenis. Deze
stappen kunnen dan worden herhaald.
In dit voorbeeld wordt na een initialisatiestap
gekeken naar de eerste aankomst (op tijdstip t 1). Op
dat tijdstip worden de tellers NA en NL verhoogd. Nu
zijn er twee mogelijke volgende gebeurtenissen: een
nieuwe aankomst op tijdstip 4 of de voltooiing van
een bediening op tijdstip 3. De eerstvolgende wordt B,
dus de klok wordt doorgedraaid naar t 3 en de
tellers NA en NL worden aangepast. Ook wordt
telkens de totale verblijftijd verhoogd indien in de
verstreken tijdsduur klanten aanwezig waren.
Bijvoorbeeld: tussen t 8 en t 10 waren er 2 klanten
aanwezig en werd de teller TV met waarde 2 2 4
verhoogd.
Na enige tijd wordt dit proces gestopt en evalueert
men de resultaten. Zo blijkt uit de tabel direct dat de
eerste 6 klanten een totale tijd van 19 minuten in het
systeem hebben doorgebracht, dus een gemiddelde
verblijftijd van 3,17 minuut per klant.
Samenvattend
Hiermee is in principe de werking van simulatie
geïllustreerd, te weten:
- alleen tijdstippen waarop relevante gebeurtenissen
plaatsvinden worden uitgelicht;
- de tijd tussen opeenvolgende gebeurtenissen wordt
als het ware overgeslagen;
- de gevolgen van de gebeurtenissen worden
bijgehouden met tellers.
Door deze stappen te automatiseren kunnen in luttele
seconden duizenden tot miljoenen klanten worden
gesimuleerd om aanzienlijk representatievere
resultaten te verkrijgen. Diverse prestatiematen, zoals
wachttijden, bezettingsgraden en rijlengten, kunnen zo
worden geëvalueerd.
Onzekerheden
Nog niet genoemd maar zeker ook realistisch zijn de
onzekerheden in tussenaankomsttijden en bedieningsduren.
Door deze te loten, vergelijkbaar met het gooien
van een dobbelsteen of het draaien aan een roulettewiel,
kunnen ook dergelijke realistische onzekerheden
en fluctuaties worden nagebootst. Uiteindelijk volgen
hieruit betrouwbaarheidsintervallen voor de resultaten.
Stel dat de tussenaankomsttijden 1, 2, 3, 4, 5 of 6
minuten kunnen bedragen, elk voorkomend met
dezelfde waarschijnlijkheid. Dan kan het aankomstproces
nagebootst worden door het werpen van een
dobbelsteen. De waarden gegeven in het bovenstaande
wachtmodel zouden de eerste zes realisaties kunnen
zijn. Stel dat de bedieningsduren 1, 2, 3, 4 of 5
minuten kunnen bedragen en de kans op deze waarden
respectievelijk 0,2, 0,4, 0,2, 0,1 en 0,1. Dan kan het
aankomstproces nagebootst worden door het draaien
aan een roulettewiel met daarin 10 vakjes die
genummerd zijn: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5. Zo zouden
343
euclides nr.8 / 2004

344
euclides nr.8 / 2004
FIGUUR 4 Baliebehoefte voor 5 vluchten en totale
baliebehoefte voor 9 perioden
de waarden in het voorbeeld de eerste zes realisaties
kunnen zijn. Verder kijkend naar dit voorbeeld is de
gemiddelde tussenaankomsttijd 3 1
2 minuut en de
gemiddelde bedieningsduur 2 1
2 minuut, ofwel de
bezettingsgraad 5
7 . Op basis van wachttijdtheorie
(zie formule (1) in ‘Wachten op één bediende’) zal de
gemiddelde verblijftijd over lange tijd en dus een groot
aantal klanten bezien,
V
1
3,5
2
7
moeten bedragen (vergelijk met 3,17 uit de simulatie).
Mogelijkheden en gevaren
Door de bijna onuitputtelijke mogelijkheden van
computers voor het bijhouden van tellers en het opslaan
van gegevens en resultaten, is dit eenvoudige principe
van zogeheten ‘discrete event simulatie’ in zijn eenvoud
toepasbaar op nagenoeg elke mogelijke logistieke
situatie, hoe complex ook: een volledig fabricage-,
bagage- of ziekenhuisproces of het NS-netwerk.
Dit wordt nog extra vergemakkelijkt door de
hedendaagse beschikbaarheid van speciaal daartoe
uitgeruste professionele simulatiesoftware.
Tegelijkertijd schuilt hierin het gevaar van door de
bomen het bos niet meer zien en vooral van het
ontbreken van onderliggende inzichten, het omgaan en
interpreteren van kansen en betrouwbaarheden en
getalsmatige onderbouwing (validatie). Het is juist
daarom dat de wiskundige modellen, inzichten en
formules vanuit de wachttijdtheorie en kansrekening
van groot belang zijn en zullen blijven (zie ook [3]).
Wiskundige modellering
Terug naar het check-in probleem. Met simulatie wordt
slechts een eerste (zij het essentiële) stap gezet: het
berekenen van wachttijden bij gegeven aantal balies en
openingstijden voor één enkele vlucht. Een tweede stap,
die eveneens met simulatie gemakkelijk kan worden
uitgevoerd, behelst het gestructureerd bepalen van het
minimaal aantal benodigde balies om aan een bepaalde
wachttijdnorm te voldoen, zoals een wacht-tijd van minder
dan 10 minuten voor minstens 90% van alle reizigers.
Het minimaliseren vindt puur plaats met enkele
instellingswaarden voor het aantal balies totdat de norm
wordt overschreden. Dit moet voor elke vlucht afzonderlijk
worden bepaald. Op deze wijze kan uiteindelijk een
behoefteschema worden opgesteld voor alle vluchten, zoals
in het fictieve voorbeeld voor vijf vluchten in figuur 4.
Hierbij is nog aangenomen dat het aantal balies voor
een vlucht constant moet blijven gedurende elk uur van
zijn check-in perioden, dus bijvoorbeeld 3 balies voor
vlucht 1 gedurende de eerste 3 perioden.
Planning
Welke balies moeten nu voor welke vlucht worden
opengesteld, is nu een volgende concrete
vraagstelling waarvoor Schiphol zich geplaatst ziet.
Daarbij dient tevens rekening gehouden te worden
met randvoorwaarden zoals de natuurlijke eis dat
balies voor één en dezelfde vlucht naast elkaar
dienen te liggen. Kan dit altijd en, zo ja, hoe vindt
men een oplossing. Is er überhaupt wel een oplossing
met niet meer dan het maximaal aantal benodigde
balies in enige periode (in bovenstaand voorbeeld
dus 4)?
Zo blijkt voor bovenstaand voorbeeld een voor de
hand liggende indeling van de balies tot een conflict te
leiden (bij vlucht 5) als men balies simpelweg aan de
eerstvolgende vrije balie zou toekennen (zie figuur 5).
Met een omzetting van de vluchten 3, 4 en 5 is dit (in
dit voorbeeld) echter eenvoudig op te lossen. Maar kan
dit altijd, en hoe vindt men dit (snel) bij een daadwerkelijke
complexiteit van Schiphol met in de orde

FIGUUR 5 Schema’s voor 5 vluchten; het toegelaten
schema is optimaal.
van 600 vluchten per dag, verdeeld over verschillende
‘baaien’, elk met tot 24 check-in balies, 12 aan
weerszijden?
LP-formulering
We staan dus voor het probleem om met zo weinig
mogelijk balies vluchten toe te wijzen aan balies,
zodanig dat:
(a) balies voor dezelfde vlucht naast elkaar liggen;
(b) niet meer dan het aantal beschikbare balies wordt
gebruikt;
(c) een balie niet wordt toegewezen aan twee vluchten
die tegelijkertijd inchecken.
Hiertoe zal een wiskundige formulering worden
gegeven. Daarbij is het handig op te merken dat door
het vaststellen van het laagste balienummer voor een
vlucht de toewijzing bij de balies volledig vast ligt
voor alle check-in perioden. In bovenstaande schema’s
is vlucht 1 bijvoorbeeld toegewezen aan balie 1.
Gegeven de baliebehoefte en de check-in perioden zijn
hiermee balies 1, 2 en 3 bezet gedurende de eerste
3 perioden.
Een wiskundige formulering van dit probleem leidt tot
onderstaand lineair programmeringsmodel, waarbij D
geminimaliseerd moet worden. Dit kan met standaard
LP-software in enkele minuten worden opgelost voor
de complexiteit van tientallen vluchten.
minimaliseer D
onder de voorwaarden
d 1
(1)
A
f
d n 1D f
(2)
f f
d n d M y (3)
g g A
f fg
d n d M (1y ) f, g met I I
f f g fg f g (4)
De beslissingsvariabelen van dit model zijn:
D : voor het totaal aantal benodigde balies (genummerd
van 1 tot en met D),
d f : voor het laagste balienummer toegewezen aan vlucht f
y fg
1 als vlucht f aan lagere balies zit dan vlucht g
0 anders
De gegevens van de vluchten worden gerepresenteerd
door:
I f : de check-in perioden (interval) voor vlucht f
(met f1, …, F);
n f : het aantal benodigde balies voor het inchecken van
vlucht f;
M : het maximaal aantal fysiek beschikbare balies.
Door gebruik te maken van de variabele d f is per
definitie voldaan aan voorwaarde (a), balies voor
dezelfde vlucht moeten naast elkaar liggen. De
voorwaarden waaraan de oplossing verder moet
voldoen zijn (b) dat voor elke vlucht het laagste
balienummer d f (en daarmee ook het hoogste
balienummer d f n f 1) binnen de D beschikbare balies
valt, en (c) dat elk tweetal vluchten dat tegelijkertijd
balies nodig heeft (I f I g ) niet dezelfde balies krijgt
toegewezen (overlap). Voor de laatste is de hulpvariable
y fg nodig. Als bijvoorbeeld vlucht 1 lagere balies krijgt
toegewezen dan 2, ofwel y 12 1 en y 21 0, dan wordt
voorwaarde (4) bindend (d 1 3d 2 ) en voorwaarde (3)
een loze voorwaarde (d 2 1d 1 M).
Als voorbeeld zijn in het bovenstaand planningsprobleem
met 5 vluchten:
d 1 1, d 2 4, d 3 1, d 4 3 en d 5 1
voor de niet-toegelaten oplossing, en
d 1 1, d 2 4, d 3 2, d 4 1 en d 5 2
voor de toegelaten oplossing.
345
euclides nr.8 / 2004

346
euclides nr.8 / 2004
FIGUUR 6
Dat de eerste oplossing in het LP-model niet toegelaten
is, kan men als volgt inzien. Vlucht 5 is aan lagere
balies toegewezen dan vlucht 4 (d 5 d 4 en dus y 54 1).
Deze oplossing voldoet echter niet aan voorwaarde (4):
d 5 3d 4 (de vluchten overlappen).
Voor verdere analyse is het nuttig om voor elke
periode naar de totale behoefte aan balies te kijken. De
totale behoefte in periode t wordt aangeduid met N t en
kan eenvoudig berekend worden met
N t { f |t ∈I f } n f
De totale behoefte in de drukste periode (de periode
met de grootste totale behoefte) wordt aangeduid met
N max . Om alle vluchten in deze periode te kunnen laten
inchecken zal zeker moeten gelden dat
Dmax {t} N t N max . Veelal is dit aantal ook voldoende.
Verdere details van zowel deze en alternatieve
formuleringen als software worden uit oogpunt van
ruimte hier achterwege gelaten. Zie hiervoor [2].
Opgaven
Voor de problemen in figuur 6 is een planning mogelijk
waarbij het beschikbare aantal balies precies gelijk is
aan het aantal benodigde balies in de drukste periode,
N max 8 voor het eerste probleem en N max 9 voor het
tweede probleem. Vindt deze toewijzingen.
Soms zijn echter meer dan N max balies nodig om alle
vluchten in te kunnen plannen. Construeer een
voorbeeld waarbij dit het geval is. Een dergelijk
voorbeeld kan getest worden door toezending aan
H.J.vanderSluis@uva.nl.
Oplossingen zijn te vinden op www.fee.uva.nl/ormsite/.
Afsluitend
Andere toepassingen van deze gecombineerde vorm
van wiskundige modellering en simulatie voor de
bijenkorf Schiphol betreffen bijvoorbeeld:
- de bagageafhandeling,
- het plannen van maaltijden,
- het bepalen van vluchtroutes met minimaal
brandstofgebruik,
- de paspoortcontrole en veiligheid (securities), en
- het plannen van vluchten aan de verschillende gates.
Kortom, het gaat hier om een vorm van klassieke en
eigentijdse praktische wiskunde.
Een nadere kennismaking is mogelijk op onze
themadag voor docenten in oktober 2004.
Literatuur
[1] N.M. van Dijk: Altijd in de verkeerde rij. In: Natuur en Techniek
(12 december 1996, p. 10-21).
[2] A. Al-Ibrahim, C. Duin, E. van der Sluis: Adjacent Resource
Scheduling. Working Paper, Universiteit van Amsterdam (2003).
[3] N.M. van Dijk, E. van der Sluis: Check-in computation and
optimization by simulation and IP in combination. Working Paper,
Universiteit van Amsterdam (2003).
Over de auteurs
Prof. dr. Nico M. van Dijk (e-mailadres: N.M.vanDijk@uva.nl)
studeerde wiskunde aan de Universiteit van Leiden en is
verantwoordelijk voor de opleiding Operationele Research &
Management aan de Universiteit van Amsterdam.
Dr. Erik van der Sluis (e-mailadres: H.J.vanderSluis@uva.nl)
studeerde econometrie aan de Universiteit van Amsterdam en geeft in
zijn functie als universitair docent colleges op het gebied van
Operationele Research en Simulatie aan de Universiteit van
Amsterdam.

40 jaar geleden
Vraagstukken uit het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde, jaargang 51 (1963-1964)
De rubriek ‘40 jaar geleden’ wordt verzorgd door Martinus van Hoorn (e-mail: mc.vanhoorn@wxs.nl),
voormalig hoofdredacteur van Euclides (1987-1996).
347
euclides nr.8 / 2004

FOUTEN IN DE ELO-RANGLIJST
Schakers werken al jaren met een ranglijst gebaseerd op de normale
verdeling. Helaas, er zitten fouten in die lijst!
[ Hans van Maanen ]
348
euclides nr.8 / 2004
De Elo-ranglijst
Veruit de bekendste ranglijst in de sport is de ranglijst
voor schakers, de Elo-ranglijst. De lijst, in 1960
officieel ingevoerd in de Verenigde Staten en in 1970
door de wereldschaakfederatie FIDE, werd bedacht
door de in Hongarije geboren Amerikaanse natuurkundige
Arpad Elo (1903–1992).
In de ranglijst wordt de relatieve kracht van alle
schakers bijgehouden volgens een systeem gebaseerd
op de normale verdeling. Bobby Fischer, volgens velen
de beste schaker aller tijden, had, toen hij in 1972 met
schaken stopte, een Elo-score van 2780. De laagste
score voor beroepsschakers ligt op 1800 punten —
lager wordt niet bijgehouden door de FIDE. Ook bij
andere vormen van sport en spel, zoals badminton,
backgammon en petanque wordt het systeem
gehanteerd.
Voordat Elo zijn voorstel indiende, waren er
natuurlijk al andere ranglijsten ontworpen. Gebruikt
werden het Ingo-systeem, in 1948 ontwikkeld door de
in Ingolstadt wonende Anton Hoesslinger en het
systeem van Kenneth Harkness, die in 1950 een lijst
met de Amerikaanse schakers was gaan bijhouden.
Daarnaast waren er de FIDE-titels — iemand die van
meester tot grootmeester wilde promoveren, moest
consistent driekwart van de wedstrijden in grote
toernooien winnen. Zo was al de traditie ontstaan dat
een beginnende beroepsschaker op 2000 punten
begint, een gemiddelde kandidaatmeester op
2300 punten staat en een gemiddelde grootmeester op
2500. De klasse-indeling van beginnende schaker via
meester tot grootmeester gaat steeds met 200 punten
omhoog.
Toen het systeem van Harkness eind jaren vijftig aan
kritiek kwam bloot te staan — de sterke schakers
gingen na invoering van de lijst wel erg snel omlaag
en het aanstormend talent omhoog — diende Arpad Elo
zijn nieuwe voorstel in. Hij interpreteerde de klasseindeling
statistisch [1] . Schakers, zei hij, schaken niet
altijd even goed, en hun prestaties zullen ‘normaal
verdeeld’ zijn. De 200 punten van de klasse-indeling is
eigenlijk niet anders dan de standaardafwijking van
hun prestaties (zie figuur 1). Een kandidaatmeester
FIGUUR 1 Een schaker van 2300 punten is volgens
Elo in 68 procent van de partijen tussen de 2100 en
2500 punten waard.
FIGUUR 2 Als twee schakers met een Elo-verschil
van 285 punten honderd partijen spelen, moet de
uitslag 84–16 worden.

TABEL 1 De Elo-tabel
van 2300 punten is in 68 procent van zijn partijen
tussen de 2100 en 2500 waard, en als hij een stuk of
twintig partijen tegen de wereldkampioen speelt, zal
hij er misschien eentje winnen (een kandidaatmeester
zit ongeveer 500 Elo-punten, dus ruim twee
standaardafwijkingen, van de wereldkampioen, maar
die heeft natuurlijk ook zijn normaal verdeelde sterke
en zwakke partijen). Elo koos zijn standaardafwijking
van 200 punten op historische gronden — in
werkelijkheid zijn de prestaties van topschakers veel
voorspelbaarder: hun standaardafwijking zit eerder
rond de 13 punten.
Om de zaak niet te ingewikkeld te maken, nam Elo
verder aan dat iedere schaker een even grote spreiding
in de prestaties heeft. Ook dat is niet correct, maar het
is voor de verdere berekeningen niet zo belangrijk.
Als twee normaal verdeelde variabelen x en y worden
opgeteld (of afgetrokken), zal volgens de wetten van de
statistiek de uitkomst een normale verdeling vormen
rond xy (of xy) met een standaardafwijking gelijk
aan de wortel uit de som van de kwadraten van de
2 oorspronkelijke standaardafwijkingen: ss s 2 2
1
De standaardafwijking van het resultaat van een
schaakpartij komt evenzo uit op 2002 2002
282,84 punten.
Stel nu dat twee schakers tegen elkaar spelen; de eerste
schaker heeft 2300 Elo-punten, de andere 2585. Omdat
winstkansen normaal verdeeld zijn met een
standaardafwijking van 285 punten, is te voorspellen
hoe de uitslag zal worden. De tweede schaker is
285 punten beter dan de eerste, dat is juist één
standaardafwijking. Hij wint derhalve 503484
procent van de partijen, de zwakkere speler wint
16 procent. Een wedstrijd van tien partijen moet
eindigen in 8,51,5 (zie figuur 2).
Als deze verwachting niet uitkomt en de wedstrijd
bijvoorbeeld eindigt in 82, is de sterkste speler
kennelijk te hoog ingeschaald en de zwakste te laag.
De sterke speler moet het verschil in Elo-punten
inleveren — vermenigvuldigd met een bepaalde factor
k om de scores met de gewenste snelheid te laten
schuiven (de factor is betrekkelijk willekeurig gekozen;
voor de beste schakers geldt k10, voor schakers met
minder dan 2400 Elo-punten is k15 en nieuwelingen
starten met k25).
De meevallende schaker krijgt de Elo-punten van de
tegenvallende erbij. In het voorbeeld speelt de beste
schaker 0,5 wedstrijdpunten onder zijn niveau, dus hij
levert 100,55 Elo-punten in, en die gaan naar zijn
tegenstander. Gevolg is dat de betere schaker afzakt tot
2580 en de mindere stijgt naar 2305. Hun krachtsverschil
is nu nog maar 275 Elo-punten.
Voor elk verschil in Elo-punten is op soortgelijke wijze
af te leiden wat de verwachte uitslag zal worden, en op
grond daarvan worden straffen en beloningen in Elopunten
uitgedeeld. Zou het krachtsverschil
0,35
bijvoorbeeld 100 Elo-punten zijn, dus
10 0
282, 84
standaardafwijking, dan moet de sterkste speler
winnen met 6,5–3,5.
Elo vatte een en ander samen in een handzame tabel
([1, p. 31], hier gereproduceerd als tabel 1), die niet
349
euclides nr.8 / 2004

anders is dan een bewerking van een tabel van de
normale verdeling.
Op toernooien waaraan meer schakers meedoen is de
berekening wat ingewikkelder, maar het principe is
gelijk. De Elo-score van elke speler wordt vergeleken
met het gemiddelde van alle deelnemers (of,
afhankelijk van het soort toernooi, met dat van al zijn
tegenstanders), en op grond daarvan wordt een
verwachting van de toernooiuitslag gemaakt. Aan de
hand van een aantal eenvoudige formules worden de
ratings vervolgens bijgesteld en eens in de zoveel tijd
door de FIDE gepubliceerd.
De fouten
Het Elo-puntenstelsel is, bij nader inzien, natuurlijk
slechts een zeer grove maat voor de kwaliteit van de
spelers. Iemand die altijd remises speelt, wordt precies
zo beoordeeld als iemand die roekeloos speelt en
daarmee even vaak wint als verliest.
Verder is met het voordeel van de eerste zet geen
rekening gehouden. Als twee even sterke spelers tegen
elkaar schaken, heeft wit een extra winstkans van
57 tegen 43 procent — een Elo-voordeel van rond de
50 punten [1, p. 159]. Hoe sterker de spelers, hoe
groter het voordeel.
Zo zijn er wel meer fundamentele bezwaren tegen de
opzet van Elo te maken [2, 3], maar de vraag die wij
nu beantwoord willen zien, is of hij zijn tabel goed
heeft opgesteld gegeven zijn vooronderstellingen.
Hoezeer Elo gelijk had met zijn uitspraak dat tabellen
al snel heilig zijn, blijkt wel uit het feit dat sinds 1960
kennelijk niemand de moeite lijkt te hebben genomen
een en ander goed na te rekenen. Terwijl de kwestie
zeker niet louter academisch is: beroepsschakers
betalen of ontvangen startgelden voor toernooien op
grond van hun Elo-punten.
Het is vreemd, maar Elo heeft de drie klassieke fouten
van een wiskundeopgave weten te maken: een schrijffout,
een rekenfout, en een denkfout.
Een schrijffout
Zelfs voordat we gaan rekenen, kunnen we Elo al op
een fout betrappen. Het zal duidelijk zijn dat de
‘klassenbreedten’ door het gebruik van de normale
verdeling steeds groter worden. Van 4 naar 10 is
7 punten, van 207 naar 215 is 9 punten, en zo loopt
het langzaam op. Maar als we Elo’s klassenbreedten in
een grafiek uitzetten (zie figuur 3), zien we een
merkwaardige ‘hik’ bij p88 procent. Daar blijkt de
winstverwachting te lopen van 329 t/m 344, dus
16 Elo-punten, terwijl de verwachtingen ervoor en
erna elk 13 punten beslaan. Misschien had de klasse
moeten lopen van 328 tot 342, dan was de toename
van de klassenbreedte in ieder geval wat regelmatiger
geweest. Het kan haast niet anders of Elo heeft zich
hier vergist en een schrijffout gemaakt.
Een systematische fout
Voor we aan het werk gaan om die schrijffout te
herstellen, kijken we natuurlijk eerst even naar de rest
van de fouten. Hoe berekende Elo zijn tabel? Hij nam
350
euclides nr.8 / 2004
FIGUUR 3 De klassenbreedte per winstverwachting in de
Elo-tabel. Duidelijk is de schrijffout bij p = 0,88. Omwille
van de overzichtelijkheid is de grafiek bij p = 0,93 afgekapt.
FIGUUR 4 De discrepantie tussen de normale
verdeling en die van Elo wordt steeds groter.
FIGUUR 5 Oplopende discrepantie tussen de Elo en Elo+

TABEL 2 Een verbeterde Elo-tabel
een Elo-verschil, en zocht daar de te verwachten score
bij. Hij gaf ook een voorbeeld: een verschil van
160 punten komt overeen met standaardafwijkingen,
en volgens de tabel met de normale verdeling betekent
dat een winstkans van 0,714, afgerond 71 procent
[1, p. 159].
Het vreemde is echter, dat de tabel voor de normale
verdeling die Elo hanteerde kennelijk niet deugde. Zo
geeft een verschil van 169 punten een winstkans van
72,492, afgerond 72, en van 170 punten een
winstkans van 72,609, afgerond 73. De overgang van
72 naar 73 procent zou dus bij 169 naar 170 moeten
liggen, maar Elo legt de overgang bij 170 naar 171.
Figuur 4 laat zien hoe de discrepanties met de
correcte waarden steeds groter worden. In het begin
een paar kleine foutjes, maar daarna gaat het hard. Bij
105 is het 2 punten, bij 204 voor het eerst 3, bij 264 al
4, en zo loopt het verder op. Aan het eind van de
tabel, bij grote krachtsverschillen, wordt de sterkste
speler flink benadeeld. Bij p 0,88 weer die lelijke
schrijffout.
Een denkfout
Ten slotte heeft Elo ook nog een denkfoutje gemaakt.
De gevolgen daarvan zijn minder zwaar, maar
wiskundig gezien is deze fout wel het aardigst.
Wanneer moet een schaker in een tienkamp 7 punten
en wanneer 7,5 halen? Elo neemt, zoals gezegd, een
rating-verschil, rekent terug naar een z-score, en
bepaalt de winstverwachting. Hij lijkt echter te
vergeten dat hij van een discrete naar een continue
verdeling gaat, en dus een continuïteitscorrectie moet
toepassen: 73 begint niet bij 73,0, maar bij 72,5.
Dat is eenvoudig in te zien, als we andersom redeneren
en ons bijvoorbeeld afvragen wanneer iemand 72 dan
wel 73 procent van de partijen moet winnen. (Dat is
belangrijk voor de telling in toernooien, maar ook voor
de afronding: met 72 procent moet de tienkamp met
7-3 worden gewonnen, met 73 procent met 7,5 tegen
2,5. Die ene remise kan een hoop schelen.)
Het omslagpunt ligt, zoals gezegd, bij 72,5. In een
tabel met de normale verdeling zien we dat we
72,5 procent onder de curve bereiken bij 0,598
standaardafwijking. Aangezien die standaardafwijking
282,84 is, moet de omslag liggen bij 0,598282,84
169,07 punten, afgerond 169 punten. Anders gezegd,
het kleinste verschil waarbij 73 procent van de partijen
moet worden gewonnen is 169,070,5168,57,
afgerond 169 punten. Elo komt in zijn eigen tabel bij
73–27 uit op 171 als grenswaarde.
De continuïteitscorrectie leidt tot een laatste, geringe,
aanpassing van de tabel: op 25 plaatsen begint net iets
eerder een nieuwe klasse.
Een verbeterde tabel
Om al deze fouten in een keer te ondervangen moet er
dus een geheel nieuwe Elo-tabel worden opgesteld.
Deze is uitgewerkt als tabel 2.
Uit figuur 5, waarin het verschil tussen Elo en Elo+
nog eens wordt uitgezet, blijkt dat enig groot
onderhoud inderdaad geen luxe zou zijn. Ook door
351
euclides nr.8 / 2004

352
euclides nr.8 / 2004
andere oorzaken begint het gebouw ernstige scheuren
te vertonen: het hele systeem werd tussen 1981 en
1989 doorkruist toen de FIDE de regel hanteerde dat
toernooiwinnaars nimmer Elo-punten hoeven in te
leveren, in 1980 werden alle USCF-ratings opeens met
100 punten verhoogd, en zo wordt er meer gerommeld
en geworsteld.
Het allermerkwaardigste is echter, dat de FIDE nog
steeds van Elo’s tabellen gebruik maakt [4] . Met de
computer — en zelfs met de moderne grafische rekenmachines
— is in een ommezien uit het puntenverschil
de winstverwachting af te lezen en andersom, dus de
benadering van een tabel is volstrekt overbodig.
In Excel bijvoorbeeld volstaat, als D het Elo-verschil is,
de formule NORMSINV((D0,5)/200*SQRT(2))
om snel te berekenen welk deel van de partijen
gewonnen moet worden. Niemand haalt het nog in zijn
hoofd sinussen en logaritmen in tabellen op te zoeken,
maar de Elo-tabel heeft een mythische status waar
niemand aan mag komen.
Lees de onderstaande tekst zorgvuldig door
Er lopen twee functies op de Lijnbaan: een constante
functie C en e x .
Zegt C opeens: ‘Kijk uit, daar komt een differentiator
aan! Als die me aanraakt, blijft er niets van me over.’
Antwoordt e x : ‘Maak jij maar dat je wegkomt, ik ben
niet bang voor hem. Mij kan hij niets doen.’
C duikt de eerste de beste winkel in en e x loopt recht
op de differentiator af.
‘Hé daar’, zegt de differentiator met een onheilspellende
blik in z’n ogen, ‘functie, kom jij eens hier en
laat me je eens goed bekijken!’
‘Natuurlijk, differentiatortje’, antwoordt e x , ‘mij maak
je toch niet bang, want ik ben e x !’
‘Dat dacht ik al’, is het antwoord, ‘ik zal me ook even
voorstellen: men noemt mij ook wel De Afgeleide, …
naar y!!
De differentiator grijpt e x bij z’n schouder en…
Noot
Dit artikel is een bewerking van een hoofdstuk uit de publicatie ‘FC
Algebra’[3], met wat nieuwe overdenkingen en argumentaties.
Referenties
[1] Arpad Elo: The rating of chess players, past and present. Londen:
Batsford, 1978.
[2] John D. Beasley: The mathematics of games. Oxford: Oxford
University Press, 1989.
[3] Hans van Maanen: FC Algebra. Cijfers en sport. Meppel: Boom,
1998.
[4] FIDE handbook 2003, deel B.02, hoofdstuk 10.1.
Over de auteur
Hans van Maanen (e-mailadres: hans@vanmaanen.org) is
wetenschapsjournalist. Van zijn hand verschenen verschillende
populair-wetenschappelijke boeken, waaronder ‘Zoete koek en
speculatie: over de rafelranden van de wetenschap’ (2004), ‘Echte
mannen willen niet naar Mars’ (2002) en de ‘Encyclopedie van
misvattingen’ (2002).
TEKSTVERKLAREN BIJ
WISKUNDE
Een opdracht uit een proefwerk wiskunde-B12 voor vwo-5
[ Wim van Dijk ]
Beantwoord nu de volgende vragen
a. Waarom is C bang voor de differentiator?
b. Verklaar het antwoord van e x en zijn gedrag.
c. Hoe loopt het met e x af? Geef een uitleg bij je
antwoord.
Over de auteur
Wim van Dijk (e-mailadres: w.vandijk@rml.nl) is sinds 1973 wiskundedocent
op het Montessori Lyceum in Rotterdam. Hij wil in de Tweede
fase het talenonderwijs voor bèta’s beter laten aansluiten bij hun
manier van denken, en het wiskundeonderwijs voor niet-bèta’s (met
name voor alfa’s) beter afstemmen op hun belevingswereld door minder
formulegebruik en meer aandacht voor (on)gecijferdheid.

BERT ZWANEVELD, HOOGLERAAR
Met ingang van 1 mei jl. is Bert Zwaneveld benoemd
tot full-time hoogleraar ‘professionalisering van de
leraar in het bijzonder in het onderwijs in de wiskunde
en de informatica’ aan de Open Universiteit. De
bijbehorende activiteiten liggen op het gebied van
ontwerp en ontwikkeling van (afstands)onderwijs in
het wiskunde- en informaticaonderwijs voor het
voortgezet onderwijs waarbij de inzet van digitale
hulpmiddelen wordt betrokken.
Er is gekozen voor deze twee centrale aspecten:
wiskundeonderwijs als belangrijke kern binnen het hele
bètadomein, en informaticaonderwijs als domein dat
enerzijds een van de basispijlers is voor de Nederlandse
kennismaatschappij en anderzijds een van de basispijlers
voor leren en onderwijzen met gebruikmaking van
digitale hulpmiddelen.
De leerstoel past binnen de taak die de Open Universiteit
in 2002 opgedragen kreeg door de minister van OCenW:
het leveren van een bijdrage aan de bestrijding van het
lerarentekort, onder meer door de opleiding van zijinstromers
in het onderwijs te verbeteren.
Samen met lerarenopleidingen en scholen ontwikkelt
de Open Universiteit een instrumentarium voor leren-
Mijn neef Kim van Wetten studeert elektronica aan de
hts en geeft bijlessen wiskunde op het Koning Willem
II College te Tilburg. Kim is al van jongs af zeer
geïnteresseerd in alles wat met wiskunde te maken
heeft en zodoende probeert hij ook leerstof te
ontwerpen die leerlingen moet kunnen boeien.
Onlangs bedacht hij het volgende probleem.
Kun je in een vierkant stuk papier, zonder een
hulpmiddel te gebruiken, een lijnstuk vouwen waarvan
de lengte een derde deel is van de zijde van het vierkant?
Ik moet eerlijk toegeven dat ik na enig proberen niet
tot een sluitende oplossing kwam. De helft bepalen is
simpel, maar een derde deel? En inderdaad, het is een
vraagstuk dat uitnodigt tot nadenken en uitproberen.
Kim kwam al wel vrij snel zélf tot een aardige
oplossing; zie de figuur.
Vouw het vierkant volgens de aangegeven lijnen.
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken ABC en
PBQ volgt: de lengte van PQ is 1
3 van de lengte van de
zijde.
op-de-werkplek, door:
- het bevorderen van de instroom van nieuwe
doelgroepen, in het bijzonder zij-instromers,
- het ondersteunen van beginnende leraren in hun
beroepsuitoefening,
- de bestrijding van uitval, zowel van zij-instromers
als van (beginnende en ervaren) leraren,
- verhoging van de reguliere instroom, en
- de vernieuwing van de opleidingen (flexibilisering en
maatwerk).
Bert Zwaneveld is twee keer bij Euclides betrokken
geweest, de eerste keer als hoofdredacteur/
redactievoorzitter, de tweede keer alleen als voorzitter
(met hoofdredacteuren Martinus van Hoorn en Kees
Hoogland).
Naast zijn werkzaamheden voor de Open Universiteit is
hij onder meer voorzitter van de vaksectie wiskunde A
(havo/vwo) van de CEVO, de commissie die de eindexamenopgaven
van het voortgezet onderwijs
vaststelt.
Bert, namens bestuur en redactie van harte gefeliciteerd,
en heel veel succes gewenst in je nieuwe functie!
VOUWBARE VERHOUDING
[ Willem Maas ]
Vraag aan de lezer
Welke verhoudingen zijn er nog meer ‘vouwbaar in een
vierkant’?
Over de auteur
Ing. W. Maas (e-mailadres: willem.maas@tiscali.be) is docent
wiskunde en economie aan het Koning Willem II College te Tilburg.
353
euclides nr.8 / 2004

354
euclides nr.8 / 2004
Boekbespreking / Het wonderbaarlijke voorval met de
hond in de nacht Auteur: Mark Haddon (vertaald door Harry Pallemans)
Uitgever: Contact/De Fontein (2003) isbn 90 254 1674 0 287 pagina’s (hardcover)
prijs: € 14,50 [ Peter Lanser ]
Wiskundeleraren zijn op zijn minst een beetje vreemd,
en des te meer als je het vak ook nog eens leuk vindt.
Althans, dat is de overtuiging van een aantal van mijn
leerlingen op de Werkplaats Kindergemeenschap in
Bilthoven. Op de vraag wat er nou zo leuk aan is
antwoord ik steevast dat het zo mooi in elkaar zit.
Meewarige blikken zijn vervolgens mijn deel.
Christopher Boone, vijftien jaar oud, begrijpt mijn
standpunt. Hij is echter geen leerling van me, maar de
hoofdpersoon in ‘Het wonderbaarlijke voorval met de
hond in de nacht’ van de onlangs met de Zilveren
Zoen bekroonde Britse kinderboekenschrijver Mark
Haddon. In een door hemzelf verteld verhaal gaat hij
op zoek naar degene die een hond uit zijn straat
gedood heeft. Daarbij belandt hij ook in de grote stad
Londen, en dat wordt een heuse nachtmerrie. Niet
omdat hem van alles overkomt, maar omdat de
informatie die op hem afkomt hem bijna verplettert.
Christopher is namelijk autistisch.
Het dagelijkse bombardement van zintuiglijke
indrukken kan hij niet uitfilteren. En beeldspraak
interpreteert hij letterlijk, zoals de uitdrukking ‘hij
sprong uit zijn vel’. Om die reden doet hij niet altijd
wat hem wordt gezegd. ‘En dat komt omdat het
meestal verwarrend en niet te snappen is wat mensen
zeggen dat je moet doen. Mensen zeggen vaak “Stil
zijn”, maar ze zeggen er niet bij hoe lang je stil moet
zijn.’ Je zult maar dertig van zulke leerlingen in je klas
hebben…
In de voor hem chaotische wereld zoekt Christopher
koortsachtig naar eenduidigheid, en die vindt hij in
wiskunde. Het in zijn hoofd oplossen van
vierkantsvergelijkingen, of 2 zo ver mogelijk
verdubbelen, dat geeft hem rust. Zijn record staat zelfs
op 2 tot de macht 45. Voor het vwo wiskunde B1
examen (een wat ongelukkige vertaling, omdat het
suggereert dat het verhaal zich in Nederland afspeelt),
waar hij na veel soebatten aan mee mag doen, haalt hij
een 10.
‘Het wonderbaarlijke voorval met de hond in de nacht’
is het zoveelste boek dat het idee zou kunnen
bevestigen dat mensen die wiskunde leuk vinden op
een of andere manier toch altijd minstens een beetje
van lotje getikt zijn. Beter dus om dit in mijn ogen
zeer onderhoudende boek, dat voor volwassenen én
kinderen op een overtuigende wijze het leven van een
autist schetst en dat ook verfilmd gaat worden, voor
mijn leerlingen te verzwijgen? Nee, dat doe ik niet.
Want je kunt er net zo goed het idee uit opdoen dat
wiskunde een aangenaam gevoel kan opleveren, óók
bij autisten. Maar hun idee dat ik alleen met wiskunde
bezig ben, zal ik hiermee evenwel niet ontkrachten.
Over de recensent
Peter Lanser (e-mailadres: p.lanser@wpkeesboeke.nl)is wiskundedocent
op de Werkplaats Kindergemeenschap in Bilthoven. Hij is
auteur van het Zebra-boekje ‘De laatste stelling van Fermat’ (deel 7).

Inleiding
Op 1 juni jl. is Wim Bos overleden.
Dit is niet de plaats om het leven van Wim Bos en zijn
betekenis voor het wiskundeonderwijs te beschrijven.
Het voortreffelijke artikel van Harm Jan Smid in het
aprilnummer van Euclides geeft daar een goed beeld
van. [1] Graag wil ik een persoonlijke aanvulling geven.
Zelf behoor ik niet tot de bevoorrechte lieden die indertijd
op de hbs of het gymnasium meetkunde uit de
werkboeken van Bos&Lepoeter hebben geleerd. De term
‘bevoorrecht’ gebruik ik niet ironisch of toevallig. Met
name toen de herinvoering van de Euclidische meetkunde
in het profiel Natuur&Techniek van het vwo aan de
orde was, hebben tientallen collega’s en leraren mij verteld
hoeveel zij uit die boeken hadden geleerd en hoe
motiverend die boeken waren. En nu bedoel ik niet de
wiskundigen, maar juist ook de niet-wiskundigen, zoals
de voorzitter van de KNAW en andere wetenschappers.
Onbevredigend
Voor mij, als beginnend wiskundeleraar in de jaren 1964-
1970, was aanvankelijk het onderwijs in de vlakke meetkunde
heel onbevredigend. Hoe goed ik die meetkunde in
de klassen 1, 2 en 3 ook uitlegde, op de repetities was er
altijd een scherpe scheiding tussen de have’s en de havenot’s.
De laatsten klaagden erover dat je die meetkunde
niet kon leren, je zag het of je zag het niet! Mijn ervaren
collega’s bevestigden dat beeld. Zelf had ik daar geen
vrede mee, want op die manier toets je niet de resultaten
van onderwijs maar een vorm van intelligentie.
Systematische probleemaanpak
Bij mijn speurtocht in andere schoolboeken (in mijn
boekenkast stonden indertijd de presentexemplaren van
zeker tien meetkundemethoden) naar een verbetering
van mijn didactiek, stuitte ik op die geheel afwijkende
boeken van Bos&Lepoeter. Daarin ging het over een systematische
probleemaanpak, over de analyse van de
gegeven situatie, van het gevraagde en van het verschil
tussen beide, over het operationaliseren van kennis
(welke stellingen kun je gebruiken om te bewijzen dat
twee lijnstukken gelijk zijn?), enzovoort. Voor mij ging
een nieuwe wereld open. Kun je leerlingen inderdaad
leren om beter problemen op te lossen? In leergesprekken
introduceerde ik die werkwijze, en demonstreerde ik
de vragen die je jezelf als oplosser kunt stellen. En het
werkte! Veel meer leerlingen dan voorheen beredeneerden
welke hulplijn ze konden trekken, hoe ze door
terugredeneren een bewijs konden vinden, … De resultaten
op mijn meetkundeproefwerken verschilden sindsdien
significant van die van mijn collega’s.
Helaas overspoelde de hype van ‘modern’ wiskundeonderwijs
ons land na 1968 en ging de didactische discussie
daarna jarenlang alleen maar over de wiskundige
taal en niet over wat je aan de hand van wiskunde nog
meer kunt leren. Inmiddels had ik een baan als wiskundedidacticus
bij de Rijksuniversiteit Groningen gekregen
en kreeg ik vanaf 1984 tijd om een promotieonderzoek
voor te bereiden. Mijn eerste externe gesprek over mijn
plan om onderzoek te doen naar een heuristische didac-
IN MEMORIAM
WIM BOS
1916–2004
[ Anne van Streun ]
tiek van wiskundeonderwijs was met Adriaan de Groot,
de bekende psycholoog en methodoloog. Hij verwees
mij ook naar zijn oude studievriend (wiskunde en psychologie
aan de Universiteit van Amsterdam) Wim Bos,
die natuurlijk al op mijn lijstje stond. Hij bleek een
aimabel mens te zijn, die mij graag op de hoogte bracht
van zijn werk en met een zekere mildheid terugkeek op
zijn werk in die pre-mammoet periode. Zoals ik al vermoedde
op grond van de artikelen in Euclides in die
tijd, had hij met zijn leerpsychologische benadering (de
oplossingsmethoden van Selz) weinig bijval gekregen
van de wiskundigen, zoals Freudenthal, die de dienst
uitmaakten in de vaststelling van leerplannen en het
doordenken van een wiskundedidactiek. Zijn triomf was
natuurlijk dat tot op de dag van vandaag de meetkundeboeken
van Bos&Lepoeter een begrip zijn gebleven.
Nog steeds actueel
In de jaren 1984-1994 hebben wij veel contact gehad en
hij was ook blij verrast dat zijn ideeën aangepast terug te
vinden waren in het meetkundeboek van ‘Moderne wiskunde’
van het profiel Natuur&Techniek (vwo). Zie daarvoor
het al genoemde artikel van Harm Jan Smid. Zelf
was ik heel verbaasd dat in de andere meetkundeboeken
zo weinig gebruik gemaakt werd van de didactische kennis
uit die pre-mammoet periode. Tal van artikelen uit
Euclides in de jaren 1950-1960, waaronder die van Wim
Bos, geven degelijke en waardevolle analyses van de
didactiek van het meetkundeonderwijs in de onderbouw
van het vhmo. De meetkundige inhoud van die onderbouw
dekt het overgrote deel van de meetkunde in het
vwo-profiel. Of dat meetkundeonderwijs ook nu nog van
waarde is voor de intellectuele ontwikkeling van onze
leerlingen hangt naar mijn mening geheel en al af van de
didactiek van dat meetkundeonderwijs. Als er niets meer
te leren valt dan enige kennis over klassieke meetkundestellingen,
dan kan het inderdaad maar beter worden
geschrapt, zoals nu weer dreigt. Maar onder dat oordeel
valt een groot deel van onze schoolwiskunde, ben ik bang.
Noot
[1] Harm Jan Smid: Bos en Lepoeter. In: Euclides 79(6), april 2004.
Over de auteur
Anne van Streun (e-mailadres: a.van.streun@fwn.rug.nl) is sinds
1974 werkzaam aan de Rijksuniversiteit Groningen als
wiskundedidacticus en sinds 2000 als hoogleraar in de didactiek van
de wiskunde en natuurwetenschappen.
355
euclides nr.8 / 2004

356
euclides nr.8 / 2004
ZIGZAGPERMUTATIES
[ Rob Bosch ]
Er zijn zoals bekend 6!720 permutaties van de
verzameling 1, 2, …, 6. Een aantal van die permutaties
heeft de eigenschap dat ze geen monotone rij van meer
dan twee elementen bevatten, anders gezegd de
volgorden van groot naar klein en van klein naar
groot wisselen elkaar steeds af. Dergelijke permutaties
noemen we hier zigzagpermutaties. Zo zijn (523164) en
(462315) twee zigzagpermutaties van 1, 2, …, 6.
Hoeveel zigzagpermutaties van 1, 2, …, 6 zijn er?
Voor kleine n kunnen we het aantal zigzagpermutaties
vinden door ze allemaal op te schrijven. Voor n3 en
n4 staan de zigzagpermutaties in tabel 1.
Als Q n het aantal zigzagpermutaties van 1, 2, …, n is
en we gemakshalve Q 0 1 nemen, vinden we voorlopig
het volgende lijstje:
n 0 1 2 3 4
Q n 1 1 2 4 10
In het vervolg zullen we een recursie opstellen
waarmee het aantal zigzagpermutaties voor grotere n
berekend kan worden.
We merken eerst op dat permutaties die stijgend
beginnen, door spiegeling overgaan in permutaties die
dalend beginnen. Deze spiegeling wordt gegeven door
((1), (2),…, (n)) → (n1(1), n1(2),…,
n1(n))
Deze spiegeling voert de zigzagpermutatie (461325) die
stijgend begint, over in de zigzagpermutatie (316452)
die dalend begint. Merk op dat in het lijstje van
zigzagpermutaties voor n3 en n4 de permutaties
in het linker- en rechterrijtje elkaars spiegelbeeld zijn.
Het aantal zigzagpermutaties dat stijgend begint, is
derhalve gelijk aan het aantal zigzagpermutaties dat
dalend begint. In tabel 1 voor n3 en n4 staan in
het linkerrijtje de permutaties die dalend beginnen; in
het rechterrijtje staan de spiegelbeelden. Laat P n het
aantal zigzagpermutaties zijn dat stijgend begint. Uit
het voorgaande volgt dat P n gelijk is aan de helft van
het aantal zigzagpermutaties, anders gezegd Q n 2P n .
Merk nog op dat het aantal zigzagpermutaties dat
stijgend eindigt, gelijk is aan het aantal dat dalend
TABEL 1
RE:CURSIEF
eindigt. Dit volgt direct door de permutaties van
achteren naar voren te lezen.
Zij (a 1 a 2 …a k-1 na k+1 …a n ) een zigzagpermutatie van 1, 2,
…, n waarbij n op plaats k staat. De getallen a 1 , a 2 , …,
a k-1 links van n vormen een zigzagpermutatie die dalend
eindigt, terwijl de getallen a k+1 , a k+2 , …, a n rechts van n
een zigzagpermutatie vormen die stijgend begint. Het
aantal van deze zigzagpermutaties is resp. P k-1 en P n-k .
n1
Aangezien de getallen a , a , …, a op 1 2 k-1 k1 manieren kunnen worden gekozen, is het aantal
zigzagpermutaties met n op plaats k gelijk aan
Pk1P n1
k1 n k
, 1kn
Sommeren over de mogelijke posities van n geeft
Q n 2P n n
of
2P n
(n1)!
k 1 P k 1 P n k
Deze uitdrukking kunnen we schrijven als
2P (n1)! n n
Pn k
(nk)!
k 1
n1
k1
2n n Pn n!
P k 1
(k1)!
k 1
P k 1
(k1)!
P n k
(nk)!

Door p te substitueren vereenvoudigen we de
n n!
uitdrukking tot
2np n n
p p k 1 n k
k 1
Hierin is p n de helft van de fractie zigzagpermutaties
van 1, 2, …, n. Voor deze fracties vinden we dus de
volgende recursie:
2np n p 0 p n1 p 1 p n2 p 2 p n3 …p n2 p 1 p n1 p 0 (1)
Met behulp van deze recursie bereken we het aantal
zigzagpermutaties voor n5:
25p s p 0 p 4 p 1 p 3 p 2 p 2 p 3 p 1 p 4 p 0
Uit het lijstje in de inleiding volgt dat p 0 p 1 1,
p 2 1 2!
1
P n
2 , p 3 3!
2 1
3 en p 4 5 4!
5
24
en dus
10p s 1 2 5 4 1 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 5 4 1 4 3
waaruit volgt dat p 5 1 2 5 . We zien dat P 5 5! · 1 2 5 16
zodat het totaal aantal zigzagpermutaties van 1, 2, …,
5 gelijk is aan 32. De lezer kan hiermee nu eenvoudig
het aantal zigzagpermutaties voor n6 bepalen.
De recursie (1) stelt ons in staat met wat rekenwerk of
een computerprogrammaatje ook voor grote n het
aantal zigzagpermutaties te berekenen.
Het expliciet oplossen van de recursie is geen
eenvoudige zaak. Maar toch kan er nog wel wat
aardigs over de getallen p n gezegd worden.
De zogenoemde genererende functie van de rij p n is
P(x)p 0 p 1 xp 2 x 2 p 3 x 3 …
Omdat p i < 1 voor alle i, convergeert de bovenstaande
reeks in ieder geval voor 1x1.
Voor P 2 (x) geldt:
P 2 (x)p 2
0 (p 0 p 1 p 1 p 0 )x(p 0 p 2 p 1 p 1 p 2 p 0 )x 2
(p 0 p 3 p 1 p 2 p 2 p 1 p 3 p 0 )x 3 …
Met recursie (1) krijgen we
P 2 (x) p 0 22p 2 x23p 3 x 2 24p 4 x 3 …
p 0 2(2p 2 x3p 3 x 2 4p 4 x 3 …)
Hierin herkennen we de afgeleide van P(x):
P’(x)p 2p x3p x 1 2 3 24p x 4 3… zodat
P2 (x) p 2(P’(x)p )
0 1
12(P’(x)1)
2P’(x)1
Schrijven we 1 2 ,
P’(x)
P2(x)1
dan herkennen we in het
linkerlid de afgeleide van arctan, zodat
d(arctan(P(x))
dx
1 2 .
Hieruit volgt dat arctan(P(x)) 1 2 xC of
P(x)tan( 1 2 xC).
Aangezien P(0)p 0 1, is tan(C)1, zodat C 4 , en
dus
P(x)tan( 1 2 x 4 )
Combinatie van
P(x)tan( 1 2 x 4 )p 0 p 1 xp 2 x 2 p 3 x 3 p 4 x 4 …
P(x)tan( 1 2 x 4 )p 0 p 1 xp 2 x 2 p 3 x 3 2p 5 x 5 …
geeft
tan( 1 2 x 4 ) tan( 1 2 x 4 ) 2p 1 x2p 3 x 3 2p 5 x 5 … (2)
Uit ( 1 2 x 4 ) ( 1 2 x 4 ) 2 volgt dat
tan( 1 2 x 4 )
1
=
(3)
tan( 1 2 x 4 )
tan atan b
Met de goniorelatie tan(ab) en
1tan atan b
met gebruikmaking van (3) gaat het linkerlid van (2)
over in 2tan x, zodat
tan xp 1 xp 3 x 3 p 5 x 5 …
In de tangensreeks duiken kennelijk de
zigzagpermutaties op - een resultaat dat je toch
moeilijk vanuit de verte al kunt zien aankomen.
Over de auteur
Rob Bosch (e-mailadres: r.bosch2@mindef.nl) is als docent verbonden
aan de Koninklijke Militaire Academie te Breda. Hij is tevens
redacteur van Euclides.
357
euclides nr.8 / 2004

ALGEBRA: VERLOREN ZAAK OF
UITDAGING?
Deel 1 - Persoonlijke en collectieve observaties
[ Metha Kamminga ]
358
euclides nr.8 / 2004
Overweging vooraf
Een tijdje terug reden wij met vrienden, die een GPS
(Global Positioning System) in de auto hebben, een route
naar een plek in Friesland. De route was ingevoerd in
het apparaat van begin naar eindbestemming. Onze
vriend, die aan het stuur zat, volgde door het binnenland
van Friesland de geprogrammeerde route. Op een
gegeven moment zei onze vriendin, toen we door een
dorp reden, dat in dit dorp kennissen woonden. ‘Nee
toch, die wonen in St. Annaparochie!’, zei de chauffeur,
waarop we met zijn allen riepen dat we hier nou juist in
St. Annaparochie waren.
Wat ik hiermee zeggen wil: men denkt dat de noodzaak
om voortdurend te weten waar je bent overbodig is bij
het gebruik van bepaalde apparatuur.
Ook op zee is het mijn bemanning soms maar moeilijk
uit te leggen dat er elk uur een kruisje in de kaart gezet
dient te worden, ondanks het gebruik van GPS. Alle
informatie die van buiten op je afkomt bij de navigatie
moet meegenomen worden om goede beslissingen te
kunnen nemen.
Dit ter overweging vooraf.
Inleiding
Op 17 april 2004 vond in het kader van het Nederlands-
Belgisch Mathematisch Congres 2004 een minisymposium
plaats over didactiek van de wiskunde,
onder de titel: Algebra: verloren zaak of uitdaging?
Tamelijk algemeen worden het algebraonderwijs in het
voortgezet onderwijs en de algebraïsche vaardigheden
van eerstejaars studenten in het hbo en wo op dit
moment als ontoereikend ervaren. Ter voorbereiding
van dit minisymposium is er in het netwerk van de
werkgroep-hbo van de Nederlandse Vereniging van
Wiskundeleraren een informatieronde gehouden waarin
unaniem de zorg werd uitgesproken over de teruglopende
algebraïsche vaardigheden van de instromende
eerstejaars uit havo en mbo.
Bert Zwaneveld bracht tijdens het symposium de
problematiek in kaart, Dirk Janssens gaf een aantal
voorbeelden van het gebruik van een computeralgebrasysteem
met zijns inziens positieve effecten en
Metha Kamminga leidde tot slot een discussie met de
zaal. In een drietal artikelen gaan we in op de
problematiek van het algebraonderwijs.
Vijf aspecten
Er was naast deze problematiek een tweede aanleiding
om aandacht aan algebra te besteden: het verschijnen
van het proefschrift van Paul Drijvers, Learning algebra
in a computer algebra environment, Design research on
the understanding of the concept of parameter, waarop
hij op 25 september 2003 aan de Universiteit Utrecht
gepromoveerd is. Aan dit proefschrift ontlenen we de
volgende vijf aspecten van de problematiek van het
algebraonderwijs:
1. Het formele, algoritmische karakter van algebraïsche
procedures waardoor de leerling geen relatie kan
leggen met informele, betekenisvolle benaderingen.
2. Het abstracte niveau waarop de problemen worden
opgelost, abstract in vergelijking met de concrete
situaties van die problemen, waardoor de leerling geen
betekenis aan de wiskundige objecten kan geven op
dat abstracte niveau.
3. De noodzaak om het verloop van het totale proces
van oplossen goed in de gaten te houden bij het
uitvoeren van de elementaire algebraïsche procedures
die een onderdeel van dat totale proces zijn.
4. De compacte algebraïsche taal met de specifieke
conventies en symbolen.
5. Het objectkarakter van algebraïsche formules en
uitdrukkingen, terwijl de leerling die vaak opvat als
een opdracht die verder ‘uit te rekenen’. Dit heet wel
het lack of closure obstakel. De leerlingen denken dan
dat een algebraïsche uitdrukking als 2a1 niet af is
en verder ‘uitgerekend’ moet worden zoals ze gewend
zijn met rekenkundige uitdrukkingen als 271.
Drie artikelen
In dit eerste artikel uit de reeks van drie geeft Metha
Kamminga een aantal observaties uit haar lespraktijk:
wiskunde bij Engineering op het hbo en een korte
weergave van de discussie zoals die zich ontspon aan
het eind van het minisymposium tussen de deelnemers,
zo’n 25 wiskundeleraren van alle geledingen uit
Nederland en Vlaanderen, didactici en universitaire en
hbo-wiskundedocenten. In het tweede artikel zal Bert
Zwaneveld van de Open Universiteit een nadere
analyse van de problematiek geven en in het derde
artikel beschrijft Dirk Janssens van de Universiteit te
Leuven een aantal voorbeelden uit zijn lespraktijk

waarbij een computeralgebrasysteem een goede
bijdrage blijkt te kunnen leveren.
Wat is het probleem, hoe zouden we het graag zien,
waardoor komt de achterstand en wat valt er aan te
doendit wordt in de volgende punten belicht.
Persoonlijke observaties
Hier volgt een aantal punten die ikzelf opteken bij het
werken met studenten op het hbo, afdeling
Engineering. Ik refereer daarbij aan de bovengenoemde
vijf punten van Paul Drijvers.
Zoals uit de informatieronde onder de contacten van de
werkgroep-hbo is gebleken, wordt het als een probleem
ervaren dat binnenkomende studenten niet meer
formulevaardig zijn en zelfs formuleangst vertonen. Het
bemoeilijkt de communicatie en wekt ergernis op. Wat
daarvan de oorzaak is proberen we te achterhalen om
vervolgens aan oplossingen te gaan denken. Laat ik
beginnen met hoe we het graag zouden zien.
Wat zou je willen dat studenten kunnen als ze op het
hbo binnenkomen bij een bètaopleiding?
- Je zou willen dat ze getalsmatig wat minder
‘rekenmachinetaal’ bezigen. We krijgen studenten
binnen bij het hbo die denken dat 3 1 3 gelijk is aan
0,9999. Oftewel, als je drie taarten te verdelen hebt met
zijn drieën, dan krijgt ieder 0,9999 van een taart. (Zie
aspect 1 uit het lijstje van Paul Drijvers.)
Mogelijke oorzaak: de verregaande afhankelijkheid van
de rekenmachine en niet meer op elk moment weten
waar je bent.
- Je zou willen dat er wat meer begrip is van het
-teken. Het -teken wordt op het moment door
binnenkomende studenten gezien als een soort
afsluitteken om een numerieke waarde te verkrijgen na
het intikken van een berekening op de rekenmachine.
Dat het -teken ook gebruikt wordt tussen twee
gelijkwaardige uitdrukkingen staat erg ver af van het
dagelijks gebruik ervan. Mijn studenten die
algebraïsche vaardigheden oefenen met behulp van
digitale oefentoetsen waarbij ook meerdere
antwoorden goed kunnen zijn, gaan de gelijkheden
controleren door middel van invullen van getallen in
de rekenmachine. Dus bijvoorbeeld dat (ab)
gelijkwaardig is met –(ba) wordt niet gecontroleerd
door de rekenregels toe te passen, maar door
willekeurige getallen voor a en b in te vullen en
daaraan conclusies te verbinden. Een nóg extremer
geval deed zich voor bij het opstellen van een model
van een fysische situatie. Er werd in groepjes gewerkt
en de ene helft van een groep had een ander model
opgesteld dan het andere deel. Om nu te kijken of de
modellen misschien wel hetzelfde waren vulde men
voor t de waarde 0 in en concludeerde dat beide
modellen in formulevorm dan 0 opleverden en dus dat
de modellen gelijkwaardig waren. (Zie de aspecten
2 en 5.)
Mogelijke oorzaak is het vermijdingsgedrag om algebra
toe te passen als het ook ‘zonder’ algebra tot een goed
antwoord kan leiden? Nemen we misschien alleen
genoegen met het antwoord van onze studenten en
beoordelen we niet meer de weg er naar toe?
- Je zou willen dat het parametriseren en modelleren
wat meer ontwikkeld was bij een binnenkomende
bètastudent op het hbo. Met al die realistische
wiskunde zou je toch mogen verwachten dat studenten
in het voortgezet onderwijs geleerd hebben om
realistische problemen in formules te vangen. Ik doe
even een proefje bij een paar van mijn studenten die
iets voor mij moeten uitrekenen met hun rekenmachine.
Dat kunnen ze goed. Ze kunnen ook vertellen
hoe ze het hebben uitgerekend met vermenigvuldigen
en delen enzovoort. Maar als ik vraag om de formule
op te schrijven van hetzelfde (zeer eenvoudige)
rekenmodel, maar nu niet met concrete getallen maar
met letters, dan blijft het stil en lukt het ze niet (aspect
2). Dit is precies wat Zwaneveld in het vervolgartikel
beschrijft met de ‘laatste vragen’ van de vo-examenopgaven.
Hij zal laten zien dat het niet meer lukt in
een situatie waarbij er een appèl gedaan wordt op een
iets hoger abstractieniveau. Paul Drijvers noemt dat het
overgaan naar het ‘verticaal mathematiseren’. Mijn
studenten hebben dit bij het binnenkomen op het hbobèta
niet meer in huis, ze hebben moeite met het
bekende symbol sense.
Mogelijke oorzaak is dat de formuleangst daarbij een
rol speelt en dat het op het vo-examen een sluitpost is.
Het cijfer 5 of 6 wordt ook wel gehaald met alleen de
eenvoudige invuloefeningen die ze wel goed kunnen
met de rekenmachine.
- Je zou willen dat de stappen die genomen moeten
worden bij het oplossen van problemen, door de hbostudenten
zelf bedacht worden en dat niet alles stap
voor stap voorgezegd hoeft te worden, zoals ze gewend
zijn geweest op het vo. (Het op ieder moment weten
waar je bent en van daaruit je koers bepalen.)
De oorzaak van dit probleem ligt misschien in de
manier van toetsen. Het opschrijven en verantwoorden
van het oefenen met modellen en ermee rekenen is
moeilijk te toetsen op een Centraal Examen en moet
dus stap voor stap begeleid worden om ze nog
enigszins te laten scoren (aspect 3).
- Op veel hbo-instellingen wordt een computeralgebrasysteem
(CAS) gebruikt. Je zou dan willen dat
het wiskundig taalgebruik en de juistheid van de
notatie wat beter aangebracht was bij de studenten.
Geef bijvoorbeeld de afgeleide naar t niet aan met een
accent, maar met een stip of de notatie
d
d
f
t (om nog
maar niet te spreken van een kromme d als er nog
meer variabelen in het spel zijn). Doe dat zeker op deze
manier als er ook nog de parameters a en b
voorkomen. Hoe kan een student nu uit elkaar houden
waarnaar er gedifferentieerd moet worden als er in de
opgaven al slordig mee omgesprongen wordt?
(Aspect 4.)
Een CAS dwingt je om daarover een uitspraak te doen
en daar over na te denken. Misschien is de oorzaak
van het gebrek aan formulevaardigheid op dit punt wel
het te weinig ermee omgaan in een computeralgebraomgeving
waarbij je meer na moet denken over de
betekenis van de formules en wat je er mee kunt doen.
359
euclides nr.8 / 2004

- Je zou willen dat studenten bepaalde dingen uit het
hoofd kunnen, gewoon om de communicatie vlotter te
laten verlopen. De ene ingenieur schrijft een formule
zus op en de andere ingenieur zo. Een rekenapparaat
of CAS op het hbo geeft dezelfde formule misschien
nóg anders weer. (Aspecten 1 t/m 5.) Ik merk bij
studenten dat er een zekere formuleangst is, die echter
met enige training gedurende de gehele loopbaan
overwonnen kan worden.
- Specifiek bij gebruik van een CAS in het hbo is het
opvallend dat de studenten bij het uitwerken van een
opdracht eerst aan alle variabelen waarden toekennen
en daarna pas het model invoeren in de computer!
Studenten zijn dit zó gewend bij het omgaan met de
rekenmachine dat deze manier van werken eigenlijk
niet meer terug te draaien valt. Er worden op deze
manier nauwelijks nog formules bestudeerd of op
waarde geschat; het enige belangrijke schijnt het
numerieke ‘antwoord’ te zijn. Het ‘algebra-probleem’
(aspect 2) wordt op deze manier omzeild. Het zit
helemaal vastgebakken in de hoofden om meteen met
numerieke waarden aan de gang te gaan. Na bijna een
jaar in het hbo vervallen de studenten vaak toch weer
in deze manier van doen. Eerst het model opstellen en
daarna de parameters waarden geven geeft echter meer
inzicht in het model (formule) en de onderlinge
verbanden tussen de grootheden, en daarmee ook de
symbol sense.
- Een probleem dat met het vorige te maken heeft is
dat veel docenten die in het hbo computeralgebra
hanteren, deze manier van werken ook graag bij de
toegepaste vakken zouden willen inzetten. Kennis van
structuren kan dan operationeel ingezet worden. Iedere
keer dat er bij de toegepaste vakken een situatie
voorkomt met meer vergelijkingen met meerdere
onbekenden, is het vaak nog zó ingericht dat het met
het in elkaar invullen van de vergelijkingen met de
hand moet lukken, terwijl in een CAS de structuur veel
duidelijker wordt. Je hebt bijvoorbeeld een stelsel van
vergelijkingen (met evenzovele onbekenden) en dat
kun je in één keer oplossen naar de onbekenden. De
structuur van wat je doet is wel compacter, maar kan
daardoor een stuk helderder worden (aspect 3). Hiervan
volgt een voorbeeld in het vervolgartikel van Janssens.
Discussie
Naar aanleiding van de presentaties van Zwaneveld en
Janssens ontspon zich de volgende discussie tussen de
aanwezigen.
1. Wat is nu eigenlijk het echte probleem?
De meest essentiële opmerking was deze vraag, gesteld
door Harm Jan Smid: Er worden wel veel oplossingen
aangedragen, maar er is nog onvoldoende aangegeven
voor welke problemen ze de oplossing zijn. Het
voorlopige antwoord waarop de zaal het eens werd,
luidt dat op dit moment niet duidelijk is wat de
leerlingen van havo en vwo aan algebraïsche
vaardigheden paraat moeten hebben met het oog op
hun vervolgopleiding, die immers niet voor iedereen
een bètaopleiding is. Het voortgezet onderwijs en het
360
euclides nr.8 / 2004
erop volgend hoger onderwijs moeten daarover heel
heldere afspraken maken: wie doet wat? Dat betekent
bijvoorbeeld ook geen allang achterhaalde trucjes in
het vervolgonderwijs. Dit kan niet aan de politiek
overgelaten worden. Op basis van die afspraken kan
vervolgens worden vastgelegd wat in het centraal
examen zal worden afgevraagd. Iets meer
geoperationaliseerd zou dat als volgt kunnen worden
ingevuld. Voor sommige leerlingen kan met de algebra
van de onderbouw volstaan worden. Voor leerlingen
met wiskunde-A12 verdienen algebra en de
vaardigheden die daarmee samenhangen een grotere
plaats dan op dit moment het geval is (zonder op het
punt van de contexten concessies te doen). Voor de
leerlingen die een technische of bètaopleiding gaan
volgen, geldt dat zij minimaal (en dus via het centraal
examen ‘afgedwongen’) aan de algebraïsche eisen van
het huidige wiskunde B1 programma voldoen. De
feitelijke eisen liggen hoger, maar dat wordt aan de
docenten overgelaten en via het schoolexamen met
toezicht van de inspectie afgevraagd. Het verdient
sterke overweging om bij het centraal examen
wiskunde-B geen contexten en geen rekenmachine toe
te staan, maar deze juist in het schoolexamen op te
nemen.
Een andere manier om naar het onderscheid in de
verschillende doelgroepen leerlingen te kijken is de
volgende. Voor sommige leerlingen kan volstaan
worden met een horizontale mathematisering: zij
moeten wiskundige objecten leren, dat wil zeggen
contextueel en conceptueel en die in vergelijkbare
situaties op ‘horizontaal’ gelegen niveau toepassen,
zonder al te veel gekunstelde voorbeelden. Andere
leerlingen moeten in staat zijn wiskundige objecten te
gebruiken en toe te passen in vervolgsituaties die
‘verticaal’ boven de oorspronkelijke situaties liggen en
die zowel zuiver wiskundig als meer toegepast van
aard kunnen zijn. Het heeft te maken met modelleren
in concrete situaties en je eigen stappenplan bedenken
naar de oplossing.
2. Oplossingen op programmaniveau
In vervolg op dit eerste punt werd nog opgemerkt dat
het programma (dus) wel eens minder omvangrijk zou
kunnen worden: minder onderwerpen, om de dingen
die er echt toe doen beter te doen zonder hierbij uren
in te leveren. Wellicht dat dit nog meegenomen kan
worden bij de aanpassingen die er voor de tweede fase
op stapel staan.
Door ook de algebra in de onderbouw, te beginnen in
de brugklas, en de tweede fase een serieuze plaats te
geven en te blijven onderhouden met training, zullen
de leerlingen de algebra ook meer serieus nemen. Nu
hangt het er net iets te veel bij. En, zo was de
algemene inschatting, leerlingen in havo en vwo
kunnen de abstractie die voor het manipuleren met
formules nodig is heus wel aan, mits dat goed
gedoceerd en goed gedoseerd gebeurt en ze ook echt
uitgedaagd worden. Dat hoeft echt niet uitgesteld te
worden tot na het voortgezet onderwijs, nee juist niet,

want dan zijn ze waarschijnlijk nog minder gevoelig
voor het leren van de inderdaad abstracte rekenregels.
En wellicht leidt meer (serieuze) algebra uiteindelijk tot
meer bèta- of techniekstudenten.
3. De rol van contexten
De contexten waarin de wiskunde wordt aangeboden
en de contextgebonden problemen die leerlingen
moeten oplossen moeten serieus zijn, geen duidelijk
verzonnen en gekunstelde problemen.
4. Het gebruik van een computeralgebrasysteem
Dit hulpmiddel inzetten als contextueel en conceptueel
duidelijk is waar het over gaat. De tekstverwerker bij
een dergelijk systeem kan daarbij een grote rol spelen
zodat het mogelijk is, studenten en leerlingen niet
alleen af te rekenen op een ‘antwoord’ maar ook af te
rekenen op de weg naar het antwoord toe in al zijn
aspecten. Er werd opgemerkt dat het leren werken met
een computeralgebrasysteem erg veel tijd kost, iets dat
absoluut niet onderschat mag worden.
Maar, zo vertelden sommige aanwezigen vanuit hun
ervaring, als je goed met een computeralgebrasysteem
hebt leren werken dan kun je het ook met de hand.
5. De ouders
Een van de aanwezige wiskundedocenten, Swier Garst,
vertelde dat hij dit jaar naast examenklassen ook weer
eens een brugklas had, conform het beleid van de
wiskundesectie. En dat de sectie had afgesproken ook
expliciet aandacht aan rekenen en getalbegrip te
besteden, nadat geconstateerd was dat leerlingen uit
hun hoofd leerden dat 1 2 0,5, 1 3 0,33 en 3 4 0,75 en
vergelijkbare eenvoudige gevallen. Op een
voorlichtingsavond voor de ouders leidde de aandacht
voor rekenen en getalbegrip tot veel commotie:
breuken als 1 3 en 1 5 2 bestaan volgens de toen
aanwezige ouders gewoon niet, alleen decimale
getallen bestaan.
Mogelijke oplossingsrichtingen
In de discussie werd al verwezen naar mogelijke
oplossingen voor de algebraproblemen in het hbo in
de richting van de inzet van computeralgebra al in
het vo, het toetsen en trainen daarvoor en tot slot
mogelijk minder stof maar dieper voor het
vo-examen.
Een optie zou kunnen zijn om voor toekomstige
bètastudenten al in het vo wat aan computeralgebra te
gaan doen. Mijn studenten op het hbo-Engineering
worden bij binnenkomst direct geconfronteerd met
computeralgebra. Verschillende notaties voor
differentiëren bijvoorbeeld leiden ertoe dat ze nu
weten hoe het zit; ze kunnen nu beter differentiëren
(met pen en papier) in geval er nog meer letters in het
spel zijn behalve de variabele waarnaar
gedifferentieerd moet worden. Bovendien weten ze nu
onder woorden te brengen wat ze aan het doen zijn
omdat daarop getoetst wordt bij het inleverwerk met
computeralgebra.
Ook het taalgebruik zou zuiverder kunnen met
bijvoorbeeld het oplossen van vergelijkingen. Zeg niet:
‘los x op’, maar zeg gewoon: los de vergelijking op
waarbij x de onbekende is, of: maak x vrij uit de
vergelijking. Dan is het ook geen probleem meer om de
optie ‘solve’ te gebruiken in een CAS-situatie (aspect
4). Het opschrijven en verantwoorden van het oefenen
en rekenen met modellen wordt met een CAS waarin
ook een tekstverwerker zit gemakkelijker en beter te
controleren en te beheersen. Ook de organisatie van de
berekeningen kan beter met een CAS. Voorwaarde is
wel dat er algebraïsche vaardigheden bij de studenten
aanwezig zijn voor een goed gebruik van computeralgebra.
Daarop zal ook Janssens in zijn vervolgartikel
ingaan.
Er zou globaal genomen op twee duidelijke fronten
getoetst kunnen worden, niet alleen in het vo maar
ook bij bètastudies in het vervolgonderwijs.
- Vaardigheidstoetsen die de leerlingen en studenten
dwingen om te abstraheren en formulevaardig te
worden en dat te onderhouden. De rekenregels die
ontdekt zijn bij het hanteren van realistische
problemen worden daarmee ook buiten de context
goed ingeslepen en onderhouden en kunnen weer
operationeel gemaakt worden voor nieuwe contextproblemen.
Dit soort toetsen kunnen afgenomen
worden op een centrale manier of diagnostisch als
oefenmateriaal, liefst digitaal maar zonder middelen
behalve pen en papier. (Dan ben je ook af van
toelaatbaarheid van verschillende merken rekenmachines
bij officiële examens.)
- Modelleren aan de hand van een realistische context
(in samenwerking met andere bètavakken in het vo en
het hbo) in de vorm van groepswerk met behulp van
een CAS mét tekstverwerker en eventuele andere
middelen die voorhanden zijn om het probleem te
tackelen. Dit kan op het vo in het schoolexamen
beoordeeld worden. Groepswerk bevordert de
communicatie en het (wiskundig) taalgebruik actief! Op
toetsen zal Zwaneveld in zijn vervolgartikel verder
ingaan.
Tot slot zou ik willen verwijzen naar Euclides 78-4
(januari 2003) waarin tal van artikelen staan die
verwijzen naar mogelijke oplossingen van het
probleem dat we nu ondervinden in het hoger
onderwijs.
Over de auteur
Metha Kamminga is werkzaam bij de Noordelijke Hogeschool
Leeuwarden en geeft wiskundeles bij Engineering met gebruikmaking
van de digitale leeromgeving Blackboard. Op het moment is zij tevens
betrokken bij een project op deze hogeschool dat de wiskunde wil gaan
digitaliseren met digitale toetsen, computeralgebra en digitaal
oefenmateriaal.
Zij is bestuurslid van de NVvW en voorzitter van de werkgroep-hbo, en
tevens bestuurslid van het KWG en van het NOCW. Haar homepage is
www.tech.nhl.nl/~kamminga.
361
euclides nr.8 / 2004

LEERLING, STUDENT, DOCENT
Terugkijken op wiskundeonderwijs
[ David van de Beld ]
362
euclides nr.8 / 2004
Inleiding
1992. De eerste les op ‘de middelbare school’ was een
wiskundeles. Mijn leraar was naar het brugklaskamp
gekomen en had zich in een jarentachtigtrainingspak
gehesen om ons enthousiast te maken voor het vak.
2002. Ik maak mijn debuut als wiskundedocent. Voor
de gelegenheid en de goede indruk die ik wil maken
heb ik m’n leukste kleren maar aangetrokken.
In tien jaar tijd heb ik drie verschillende vormen van
wiskundeonderwijs meegemaakt. Kritisch terugkijken
levert in eerste instantie veel vragen op. Wat vond ik
zelf eigenlijk leuk aan wiskunde; is er een
ontwikkeling of verplaatsing geweest in mijn
wiskundige interesse? Antwoorden zijn persoonlijk,
maar in mijn wiskundige kring heb ik gemerkt zeker
niet alleen te staan met mijn ervaringen.
Lievelingsvak
Op de basisschool vond ik rekenen al leuk om te doen.
Vanaf de brugklas werd wiskunde direct mijn
lievelingsvak. Rekenen met variabelen, het oplossen
van vergelijkingen; het waren puzzels voor mij, het
oplossen gaf me een kick. De wiskundeolympiade - wat
heerlijk om drie uur ongestoord te kunnen werken aan
prikkelende opgaven. Het hoeft niet praktisch te zijn,
het gaat om het analytisch denkvermogen dat wordt
aangesproken. Bij de kick bleef het niet. Na de
olympiade wilde ik direct met anderen praten over de
opgaven. Ik nam anderen graag mee in mijn denkwereld,
mijn enthousiasme moest ik uiten.
Mijn school had voldoende aandacht voor het aspect
‘prikkelende opgaven’. De leergang voldeed daarin
behoorlijk, de wiskundeolympiade stond op het
programma en we konden onder begeleiding wat extra
vergelijkbare problemen oefenen. Een gemis was het
andere, het delen van mijn enthousiasme. Ik had wel
wat geïnteresseerde klasgenoten aan wie ik soms mijn
enthousiasme opdrong, maar ik had graag méér
gewild. Uitleggen, ook al was het aan leerlingen van
lagere klassen, zou ik ongetwijfeld fantastisch hebben
gevonden.
Teleurstelling
Na mijn schooltijd lag de universiteit voor de hand en
het werd de studie wiskunde, ook al geen verrassing.
Het zou anders zijn dan ik gewend was, werd me
verteld bij de voorlichting, maar ook wel heel erg leuk.
Het was anders, dat zeker, maar wat is nou het
fundamentele verschil tussen wiskundeonderwijs op
het vwo en aan de universiteit? Tijdens de studie werd
wiskunde breder dan ik me voor mogelijk had
gehouden, problemen werden moeilijk, de computer
ging een grote rol spelen.
Groter dan vakinhoudelijke zaken was het verschil in
didactiek. Ik ben af en toe teleurgesteld tijdens mijn
studie en ik probeer de belangrijkste reden hiervan
duidelijk te maken.
Wiskunde prikkelt mij, maar niet voor 40 uur in de
week; dat werd me wel duidelijk. Toch vind ik dit te
kort door de bocht. De prikkel kan versterkt worden
door je omgeving en door docenten. Dit laatste is aan
de ene kant heel goed, het is prettig dat je als docent
leerlingen kunt uitdagen. Aan de andere kant is het
jammer dat niet elke docent hiertoe in staat is, terwijl
de docent naar mijn mening hier wel verantwoordelijk
voor is.
Daar liggen de wortels van mijn teleurstelling in mijn
studie. De twee aspecten die mijn interesse wekken,
waren wel sterk genoeg om voldoende positief te zijn
om mijn studie af te ronden. Het positieve was de
omgeving, er waren geïnteresseerde mensen met wie ik
mijn enthousiasme kon delen. De opleiding Wiskunde
aan de Rijksuniversiteit Groningen was weinig gericht
op samenwerking tussen studenten. Gelukkig is hierin
ook verandering gekomen, maar die kwam voor mij te
laat. De samenwerking zocht ik zelf en heb ik
gevonden. Daarnaast ben ik studentassistent geworden.
Het was leuk om andere studenten te helpen en hun
het mooie van de wiskunde te laten zien.
Echter, je kunt enthousiasme pas delen als je het zelf
voelt en daar ontbrak het wel eens aan. Ik ben veel
problemen tegengekomen die moeilijk genoeg waren

om me helemaal in vast te bijten, maar de prikkel om
dat te doen ontbrak vaak. Bovendien was het oplossen
van het probleem een verplichting, wat natuurlijk ook
van invloed is op de beleving van het oplossingsproces.
Waar ligt het probleem, wat ging er fout tijdens
de colleges?
Mijn eerste opmerking hierover moet zijn dat er een
groot verschil te vinden is in de didactische vaardigheden
van docenten. Ik heb docenten gehad die prima
weten hoe ze studenten moeten prikkelen, uitdagende
opgaven als toetsmiddel gebruiken en aanvoelen hoe
hun uitleg van de stof overkomt. Maar er is ook een
groep docenten die dit niet kan of in ieder geval niet
doet. Hoorcolleges van deze docenten zijn dikwijls een
samenvatting van het te leren boek of dictaat met
behoud van de structuur. Dat wil zeggen dat er een
stelling op het bord geschreven wordt en dat daarna
het bewijs volgt. Deze heldere structuur past bij het
gestructureerde denken van wiskundigen, is handig
wanneer dergelijke stellingen in boeken moeten
worden opgezocht, maar is het ook de structuur die
past bij het doceren van wiskundige theorie?
Prikkelen!
Het antwoord op die vraag is voor mij duidelijk
ontkennend. Bij de stelling-bewijs-structuur wordt
eerst de oplossing van de puzzel gegeven en komt het
probleem pas daarna. Toch is het noodzakelijk om
studenten in aanraking te brengen met deze structuur.
Hiermee wordt tegenwoordig eigenlijk al begonnen bij
de Euclidische meetkunde in de Tweede Fase. Docenten
die wiskunde-B2 onderwijzen, zullen hun lessen echter
niet geven met een stelling-bewijs-structuur. De
prikkeling voor een probleem wordt opgewekt door het
probleem in te leiden, de context uit de praktijk erbij te
halen, moeilijkheden aan te stippen enzovoort. Daarbij
kunnen verschillende ideeën aangedragen worden als
het nodig is de leerling of student de goede richting te
wijzen. In de ideale situatie leert de leerling of student
de theorie door deze zelf te ontdekken. Dit gebeurt al
veel meer in het voortgezet onderwijs, maar aan de
universiteit is de druk nog hoger om veel theorie aan
te bieden en kost het zelf ontdekken te veel tijd.
Tijd is geen reden om vast te houden aan de stellingbewijs-structuur.
Het kost even veel tijd om een
probleem voor te leggen, al vertellend het bewijs te
geven of te schetsen en de stelling te concluderen. Het
puzzeltje, de prikkeling van het probleem wordt op
deze manier niet kapotgemaakt door met de oplossing
te beginnen.
Leraarschap
Mijn interesse in onderwijs leidde tot de afstudeerrichting
‘Educatief Ontwerpen’. De daarbij behorende
onderwijsstages waren interessant en ondertussen
kreeg ik een kleine aanstelling op een school. Dit gaf
mij veel voldoening. Mijn enthousiasme kon ik kwijt
aan leerlingen en ook andere aspecten van het
leraarschap spraken mij aan. De progressieve school
waar ik lesgaf was intensief bezig met onderwijs-
vernieuwing, actieve werkvormen; het is fantastisch
om te zien dat er goede ontwikkelingen in de
wiskundedidactiek gaande zijn.
Het onderwijs heb ik ondanks dat in 2003 vaarwel
gezegd. Op andere beroepen had ik mij namelijk niet
georiënteerd, en daardoor koos ik er voor na mijn
studie Wiskunde eerst de studie Technische Wiskunde
te gaan doen. De oriëntatie lijkt succesvol, het lijkt te
gaan resulteren in een diploma en heeft zeker geleid
tot het inzicht dat onderwijs geven mij veel meer
prikkelt dan onderzoek doen.
In augustus begin ik aan de lerarenopleiding en zal ik
ook weer voor de klas te vinden zijn. Aan de situatie in
het universitaire onderwijs kan ik dan niet veel doen,
wel neem ik me voor leerlingen de kans te geven
enthousiasme over te brengen. De universiteit kent het
fenomeen studentassistent al jaren, het zou in het
voortgezet onderwijs een groot succes kunnen worden.
Dit past prima bij zelfstandig werken. Een school kan
de keuze maken voor meerdere ingeroosterde uren
zelfstandig werken. Eén docent en een aantal oudere
leerlingen kunnen dit uur meerdere klassen begeleiden.
Verder kunnen deze ‘leerlingassistenten’ ingezet
worden wanneer een docent extra hulp nodig denkt te
hebben. Ik stel me daarbij vooral uren voor waarbij de
computer een grote rol speelt en één docent eigenlijk
niet voldoende is. Ook individuele begeleiding voor
leerlingen met een achterstand is mogelijk; hiervoor
heeft een docent immers zelden tijd.
Wellicht zijn er al ervaringen, ik zou ze graag horen.
Over de auteur
David van de Beld (e-mail: davidvandebeld@hotmail.com) studeerde
vorig jaar af in de richting Educatief Ontwerpen bij de opleiding
Wiskunde aan de Rijksuniversiteit Groningen. Zie ook het artikel ‘De
laptopklas’ in Euclides 78-7 (mei 2003). Hij gaf les op het Röling
College in Groningen. Op dit moment is hij bezig met zijn
afstudeeronderzoek van de opleiding Technische Wiskunde.
363
euclides nr.8 / 2004

UITSLAG WISKUNDE SCHOLEN
PRIJS 2004
[ Heleen Verhage ]
364
euclides nr.8 / 2004
FOTO 1 Sacha van Looveren, ontwerpster van o.m. het Meterspel

FOTO 2 Prijsuitreiking op het Kennemer Lyceum
De Wiskunde Scholen Prijs is voor het eerst uitgereikt
in 2002. De prijs is ingesteld om scholen voor
voortgezet onderwijs te stimuleren, met hun sterke
punten op het gebied van wiskundeonderwijs naar
buiten te treden. De scholen kunnen meedingen naar
een prijs in één van de categorieën basisvorming (klas
1 en 2), bovenbouw vmbo (klas 3 en 4) en havo/vwo
(de klassen 3 t/m 6).
De inzendingen in 2004 waren afkomstig van 12
scholen. Omdat er maar weinig inzendingen waren in
de twee laatste categorieën, heeft de jury besloten geen
onderscheid tussen categorieën te maken en alle
inzendingen gezamenlijk te beoordelen.
Er zijn twee prijzen toegekend, beide van € 750,00. De
winnende inzendingen zijn:
- SGS Math Enrichment Courses van het Maartens
College in Groningen. [1]
Leerlingen van klas 1, 2 en 3 van de internationale
afdeling en van het tweetalig onderwijs op deze school
doen jaarlijks een cursus naar keuze uit het aanbod
voor ‘Math Enrichment’. Dit aanbod bestaat uit 12
verschillende Engelstalige cursussen, met onderwerpen
als codes, optische illusies, fractals, logica, het vierkleurenprobleem.
Groepen van maximaal 12 leerlingen
uit verschillende klassen zijn 12 weken een lesuur per
week met zo’n onderwerp bezig. De docenten stellen de
cursussen zelf samen, gebruik makend van diverse
bronnen (internet, boeken, tijdschriften, kranten). Elk
jaar worden er een paar cursussen bijgemaakt. Doel is
om de leerlingen te inspireren en ervan te overtuigen
dat wiskunde een vak is waarvan je kunt genieten en
een vak met veel nuttige toepassingen.
- Wiskunde door het vizier van een scholier en
Wiskunde, inspanning of ontspanning? van het
Kennemer Lyceum in Overveen.
Het eerste project, Wiskunde door het vizier van een
scholier, bestaat uit twee onderdelen: de lessenserie
‘Afval’ en het ‘Meterspel’. De lessenserie ‘Afval’
vervangt een hoofdstuk uit het boek. Leerlingen gaan
in groepen aan de slag met verpakkingsmaterialen en
maken een inschatting van de hoeveelheid afval die ze
op school produceren. Het meterspel is een aanvulling
op het hoofdstuk over het metriek stelsel. Het spel
traint de vaardigheden van het omrekenen en vergroot
het gevoel voor bepaalde maten. Door middel van
vragenkaartjes kunnen leerlingen op een meterlat
afstanden winnen of verliezen. De leerling die als
eerste zijn meterlat helemaal gevuld heeft, heeft
gewonnen. Het spel is te vinden op
www.virtueleschool.nl. Het doel van dit project is om
wiskunde binnen de belevingswereld van de leerlingen
te plaatsen. Elk jaar wordt een hoofdstuk uit het boek
vervangen door een eigen lessenserie of voorzien van
extra eigen materiaal.
Het tweede project, Wiskunde, inspanning of
ontspanning?, heeft als thema spelletjes met een
wiskundige achtergrond. De spellen die tot nu toe in
het project zijn opgenomen zijn: foamkubussen,
Quarto, Set, Land van Oct en Geheimtaal. De spellen
zijn niet zelf bedacht, maar wel aangepast voor de
eigen situatie. De spellen zijn mede bedoeld voor
leerlingen die extra uitdaging nodig hebben om
wiskunde leuk te blijven vinden.
De prijsuitreiking op het Kennemer Lyceum heeft
inmiddels plaats gevonden, die op het Maartens
College moet nog.
In komende nummers van Euclides zullen de winnende
inzendingen nader worden besproken.
Noot
[1] SGS = Small Group Subjects
Over de auteur
Heleen Verhage (e-mailadres: h.verhage@fi.uu.nl) is sinds 1 januari jl.
Manager Beheer van het Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht.
Eerder was zij o.a. betrokken bij het WisKids-project.
De Wiskunde Scholen Prijs is ontstaan uit het WisKidsproject,
dat inmiddels beëindigd is. De doelstellingen van
WisKids zijn nog steeds actueel: het bevorderen van
enthousiasme voor wiskunde bij jongens en meisjes van tien
jaar en ouder en het imago van de wiskunde verbeteren.
WisKids was een gezamenlijk initiatief van het Wiskundig
Genootschap, de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren
en de Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-
Wiskunde Onderwijs.
Voor meer informatie zie www.fi.uu.nl/wiskids.
365
euclides nr.8 / 2004

CHRISTELIJK GYMNASIUM
UTRECHT WINT SCHOLENPRIJS
Uitslag eerste ronde NWO 2004
[ Wim Laaper ]
366
euclides nr.8 / 2004
Inleiding
Ook dit jaar hebben weer zo’n 1000 leerlingen
meegedaan aan de eerste ronde van de Nederlandse
Wiskunde Olympiade. Op 16 januari werkten zij op
hun eigen school twee uur lang aan negen ‘ongewone’
wiskundeopgaven.
De 130 beste leerlingen gaan in september verder in de
tweede ronde, die in Eindhoven zal worden gehouden.
Uit de eerste ronde volgen hieronder twee opgaven met
hun oplossingen.
Een tweetal opgaven
1. Een kubus bestaande uit n 3 onderling even grote
kubusjes hangt in de ruimte.
Wat is het maximale aantal kubusjes, uitgedrukt in n,
dat je vanuit één standpunt met één oog kunt zien?
Oplossing:
Zie figuur 1. Als je de kubus zo bekijkt dat je drie
zijvlakken ziet, dan tel je op het eerste zijvlak n 2
kubusjes, op een tweede zijvlak n(n - 1) nog niet
getelde kubusjes en op het derde zijvlak (n - 1)(n - 1)
nog niet getelde kubusjes.
Totaal dus n 2 (n 2 n)(n 2 - 2n1)3n 2 3n1
kubusjes.
2. Zie figuur 2. Twee spiegels S 1 en S 2 maken een hoek
van 30° met elkaar. Vanuit een lichtbron L vertrekt een
lichtsignaal evenwijdig aan een van de spiegels naar
de andere spiegel. Het lichtsignaal treft de andere
spiegel in het punt T. De afstanden van T tot de
FIGUUR 1
lichtbron en van T tot de snijlijn van de spiegels zijn
beide gelijk aan 6. Na een aantal reflecties komt het
lichtsignaal weer door het punt L.
Welke afstand legt het lichtsignaal af vanaf zijn
vertrek uit L tot het moment dat het weer terug is in L?
Oplossing:
In figuur 3 staat getekend hoe het lichtsignaal aan de
eerste spiegel weerkaatst wordt. Bij T krijg je twee
hoeken van 30°. Het lichtsignaal treft de tweede spiegel
in het punt U. TU maakt een hoek van 60° met de
spiegel. Diezelfde hoek maakt het lichtsignaal bij het
verlaten van de spiegel in U. Het gevolg is dat het
signaal de eerste spiegel in V loodrecht treft (zie figuur
4). Daardoor gaat het lichtsignaal via U en T weer naar

FIGUUR 2, FIGUUR 3 FIGUUR 4
L terug. De totale weg die het lichtsignaal aflegt wordt
dus de lengte van het pad LTUVUTL.
LT 6, VT3, dus VU3 en UT23.
De totale lengte wordt dus 2(6233)
1263.
Uitslag
En dan was er ook weer de uitreiking van de
scholenprijs, dit jaar gewonnen door het Christelijk
Gymnasium Utrecht, op 18 maart in de aula van de
winnende school. Met een flinke voorsprong op
nummer twee werd deze school de winnaar. In
onderstaand klassement wordt dat wel heel duidelijk.
Tussen haakjes staat de naam van de wedstrijdleider
van de school, dan het aantal deelnemers en de
somscore.
Christelijk Gymnasium, Utrecht
(S. Kaldeway) 16 103
Stedelijk Gymnasium, Breda
(W. Cleven) 34 89
Zuyderzee College, Emmeloord
(P.L.M. v.d. Heijden) 73 88
Stedelijk Gymnasium, Nijmegen
(W. van Donk) 44 84
SG Augustinianum, Eindhoven
(A. de Leuw) 21 81
RSG Pantarijn, Wageningen
(M. van Haandel) 69 81
Bernardinus College, Heerlen
(F. Houben) 7 80
Elzendaalcollege, Boxmeer
(H. Alink) 21 79
Mencia de Mendoza Lyceum,
Breda (P.A.J. Klijs) 24 78
College Hageveld, Heemstede
(P.B. Zwetsloot) 6 77
Canisius College, Nijmegen
(R. Klein Breteler) 49 76
Marnix College, Ede
(W. den Ouden) 12 75
Plein College Van Maerlant, Eindhoven
(T. Goossens) 11 75
Ter gelegenheid van deze prijsuitreiking werd in de aula
van het gymnasium De Grote Wiskunde Quiz onder
leiding van professor Jan van de Craats gespeeld.
De bijeenkomst werd op sfeervolle wijze omlijst door
muzikale bijdragen van leerlingen van de school.
Informatie
Nadere informatie over de Nederlandse Wiskunde
Olympiade kunt u vinden op het internet:
http://olympiads.win.tue.nl/nwo/. Hier zijn ook de
diverse opgaven te vinden.
Over de auteur
Wim Laaper (e-mailadres: wlaaper@iaehv.nl) is redacteur van Euclides
en wiskundedocent aan het Koning Willem II College in Tilburg.
367
euclides nr.8 / 2004

ICT: MIDDEL TOT
ONDERWIJSVERBETERING
OF BRON VAN
IMPLEMENTATIEPROBLEMEN?
Het proefschrift van Nellie Verhoef en het leren van docenten
[ Jos Tolboom ]

Inleiding
Op 3 september 2003 promoveerde Nellie Verhoef op het
proefschrift ‘Implementatie van ICT, een probleem voor
docenten?’ tot doctor aan de Universiteit Twente
(Verhoef, 2003). Zij beschrijft en analyseert daarin de
scholing van docenten van de Christelijke Hogeschool
Windesheim [1] bij de invoering van een digitale
zelfstudiemodule voor beschrijvende statistiek (Tool
Interactief Probleemoplossen/Statistiek ofwel TIP/s). Het
proces van de scholing van de docenten om deze module
te kunnen doceren wordt beschreven in dit proefschrift.
De onderzoeksvragen die zij beantwoordt zijn:
1. Wat zijn de kenmerken van beoogde docentrollen bij
het gebruik van TIP/s in de lespraktijk?
2. Wat zijn de kenmerken van adequate scholing van
docenten voor het gebruik van TIP/s in de lespraktijk?
3. Wat zijn adequate randvoorwaarden ter ondersteuning
van docenten bij het implementeren van TIP/s
in de lespraktijk?
Nut voor wiskundedocent?
De vraag die in deze bespreking centraal staat is:
Wat heeft een docent wiskunde aan de rapportage van
dit onderzoek?
Beantwoording staat los van het feit dat het voor
docenten altijd leerzaam is kennis te nemen van
recente onderzoeksresultaten op het gebied van
wiskunde, wiskundedidactiek, ICT-ontwikkelingen en
onderwijskunde. Het proefschrift van Verhoef beslaat
hoofdzakelijk het gebied van de onderwijskunde, met
een stevige link naar de vakdidactiek. Het beschrijven
van het proces van ontwikkelen van de module TIP/s
zelf hoort nadrukkelijk niet bij de doelstelling van dit
proefschrift. ICT wordt in dit proefschrift beschouwd
als een middel waarmee gedoceerd wordt en dus als
een factor die bepaalde randvoorwaarden vervuld
veronderstelt.
Op het mogelijke feit dat leren met ICT didactische
consequenties heeft, gaat dit onderzoek niet expliciet
in. Invoering van TIP/s gebeurt wel aan de hand van
een (aangepast) vijf-fasenmodel voor gebruik van ICT
in de lespraktijk (Sandholtz, Ringstaff, Dwyer, 1997).
Lerende docenten?
Interessant aan dit onderzoek is dat het zich
concentreert op het leren van docenten. Eén van de
meest onderschatte aspecten van het docentschap is
het noodzakelijke lerende vermogen van docenten.
Opmerkelijk is de tegenstelling tussen de perceptie van
het beroep ‘docent’ voor waarnemers van buiten het
onderwijs en die van binnen uit waar het gaat om
‘lerend vermogen’ als noodzakelijke competentie voor
een goede docent. In ‘Nooit meer slapen’ (Hermans,
1966) zegt één van de hoofdpersonages Arne op
bladzijde 153: ‘Mijn schrikbeeld is altijd geweest leraar
te moeten worden. Vijftig jaar lang elk jaar hetzelfde
beweren. Je zou zo graag eens iets nieuws willen
vertellen, maar het is je niet gegeven het te ontdekken.’
Zoals Arne spreekt over het docentschap, zo denken
vele buitenstaanders. Pikant in dit verband is het feit
dat Hermans als lector in de fysische geografie was
verbonden aan de Rijksuniversiteit Groningen, maar
daar na vermeende wanprestaties in zijn onderwijs is
ontslagen.
Docenten en anderen die het onderwijs van binnen uit
kennen, weten dat er op veel gebieden (het vakgebied
zelf, de didactiek van dat vakgebied, curriculumopbouw
inclusief ontwikkeling van eigen - ook digitale -
materialen, ICT-toepassingen, onderwijskunde,
pedagogiek) voortdurende en snelle veranderingen
plaatsvinden die de vakdocent direct raken. Lerend
vermogen is een kerncompetentie voor een succesvolle
docent. In de periode 1900-1970 was het niet
ongebruikelijk dat een wiskundedocent dat bewees door
zelf een proefschrift af te ronden. Waarom dat in
onbruik is geraakt, is op zich weer een interessante
onderzoeksvraag, tezamen met de vraag: welke effecten
heeft onderzoekservaring op de kwaliteiten van een
docent in het voortgezet onderwijs?
Dat ook ervaren wiskundedocenten nooit zijn
uitgeleerd, blijkt onder andere uit het onderzoek van
Teeninga (Teeninga, 2003). Hij concludeert hierin
onder meer dat er wiskunde-inhoudelijke onderwerpen
(bijvoorbeeld voortgezette meetkunde bij 25% van de
respondenten en discrete dynamische modellen bij 35%
van de respondenten) en wiskundedidactische
onderwerpen (bijvoorbeeld werken met de grafische
rekenmachine bij 64% van de respondenten en
begeleiden en beoordelen van praktische opdrachten
en profielwerkstukken bij 83% van de respondenten)
zijn die in hun opleiding weinig of geen aandacht
hebben gehad. Goed voorbereiden (35%) en overleg
met collega’s (41%) zijn de meest gevolgde
inhoudelijke scholingsmethoden. Hij signaleert nog tal
van andere inhoudelijke en didactische eisen waarvan
wiskundedocenten erkennen dat zij daaraan niet
vanuit routine kunnen beantwoorden. Duidelijk is dat
de 10% van de werktijd die in docenten in het
voortgezet onderwijs volgens de CAO aan hun scholing
mogen besteden:
- te weinig is gezien de hoeveelheid hierboven
genoemde aandachtsgebieden,
- bovendien vaak al daar de schoolleiding is ingevuld
met algemeen-onderwijskundige scholing of, erger
nog, vergadertijd voor de vele teams waarin docenten
tegenwoordig zitting hebben.
Het waardevolle van het proefschrift van Verhoef is dat
nauwgezet en van bijna microscopische afstand wordt
gevolgd hoe docenten zich een nieuwe aanpak van een
module eigen maken. De gekozen opzet van de
scholing van docenten wordt zeer goed vanuit de
literatuur gemotiveerd.
Resultaten van het onderzoek
De conclusies van het proefschrift zijn helaas niet
positief te noemen.
Op instellingsniveau speelden er twee belangrijke
zaken op de Christelijke Hogeschool Windesheim. In de
beleidsnota ‘Een reis’ (1995) werd de transformatie
geschetst van de instelling van ‘School voor Hoger
Beroepsonderwijs’ naar ‘Leerplaats voor Hoger
Beroepsleren’. Daarnaast ging de CHW over van
369
euclides nr.8 / 2004

5 faculteiten naar 26 opleidingen. Iedere opleiding
kreeg een eigen opleidingsmanager. Omdat de
betrokken docenten verspreid waren over veel
opleidingen waren er dus ook nogal wat nieuwbakken
opleidingsmanagers bij de implementatie betrokken.
Hun inzet om dit proces tot een succes te maken
wisselde sterk. De situatie ten tijde van het onderzoek
was dus complex, maar is de situatie van de onderwijspraktijk
dat niet altijd? De perfecte laboratoriumsituatie,
waarin ‘ceteris paribus’ experimenten worden
gedaan (alleen de te onderzoeken variabele varieert en
de rest blijft constant), bestaat niet. ‘Er is altijd wel
wat’, verzucht de docent in de gang. Dus ook gezien de
turbulente fase van de CHW ten tijde van het onderzoek
zijn de resultaten van het onderzoek in mijn
optiek teleurstellend.
Allereerst voor wat betreft de docenten. Een letterlijke
enkeling bleek, ondanks de desgevraagd persoonlijke
begeleiding, zijn of haar opvattingen over leren en
onderwijzen te hebben aangepast in de richting van de
doelen van TIP/s. Uit het proefschrift rijst niet het beeld
van een veranderingsgezinde, onderzoekende en leerbare
docent. Drie van de bij het proefschrift behorende
stellingen lijken uit deze conclusies voort te vloeien:
1. Mensen veranderen niet graag, daarom gedijt
gedwongen scholing niet.
3. Docenten beschermen zichzelf door veel waarde te
hechten aan autonomie.
4. Professionaliteit heeft in het woordenboek van de
docent een andere betekenis dan in de nieuwe Van
Dale.
Vervolgens de rol van het management. Omdat TIP/s
een opleidingsoverstijgend project was, voelden de
opleidingsmanagers zich niet verantwoordelijk voor
het welslagen. Bovendien vonden zij extra tijd voor
docenten voor het integreren van TIP/s in de
lespraktijk niet nodig, omdat het een zelfstudiemodule
betrof. Elders vermeldt de onderzoekster dat er
problemen waren tussen studenten en een docent
omdat de laatste er geen strakke e-maildiscipline op
nahield; het lijkt mij daarom eerder een module voor
afstandsleren dan een module voor zelfstudie. Dat
maakt het gebrek aan facilitering voor docenten alleen
maar ernstiger.
Stelling 2 lijkt hiermee te maken te hebben:
2. Het hbo gaat ten onder aan een gebrek aan
inhoudelijk sturend management.
Tot slot de rol van ICT-beheer. Het beloofde
multimedialokaal was niet in orde. De infrastructuur
die nodig was om TIP/s soepel te laten verlopen, bleek
niet te kunnen worden gegarandeerd, omdat de
instellingsbrede implementatie geen prioriteit had voor
de dienst ICT.
De volgende stelling lijkt hieraan gelieerd:
5. Verondersteld wordt dat ICT-middelen het onderwijs
verbeteren. Uit dit proefschrift blijkt echter dat ICTmiddelen
steeds opnieuw implementatieproblemen
geven.
370
euclides nr.8 / 2004
Ik wil daarover nog wel het volgende opmerken. Uit dit
proefschrift blijkt alleen dít ICT-middel implementatieproblemen
gegeven te hebben. Die problemen zijn
daarbij nog maar ten dele toe te schrijven aan de ICTaard
van het middel. Bovendien suggereert de stelling
dat ICT altijd onderwijsverbetering in de weg staat,
terwijl implementatieproblemen dat helemaal niet
altijd impliceren. Ik zou zelfs de stelling aandurven dat
iedere ICT-invoering gepaard gaat met implementatieproblemen,
en dat de hedendaagse docent zichals
het even kan in samenspraak met de leerlingen - dient
te bekwamen in het omgaan met deze problematiek.
Daarbij kwamen nog de opmerkingen van nietdeelnemende
docenten die negatief ten opzichte van
TIP/s stonden. De som van deze factoren en de
interactie ertussen maken duidelijk dat de
implementatie van de docentscholing voor TIP/s een
zware klus is geweest.
‘Dat komt mij bekend voor…’
De genoemde zaken zullen de ervaren docent niet
bevreemden. De observatie van de onderzoekster dat
zij de balans ‘distantie-deelname’ ten opzichte van het
onderzoek liet doorslaan naar ‘deelname’ zal hem of
haar evenmin verrassen. De distantie is voor de
onderzoeker nodig om onbevooroordeeld naar het
experiment te kunnen kijken. De onderzoekster geeft
aan dat zij ‘de ontwikkeling van de scholing zo sterk
beïnvloedde dat zij zelf, als persoon, een onderdeel van
de scholing was geworden’.
In lesgeven gaat het vaak niet anders. Hoewel voor
beoordeling van leerlingen en studenten een zekere
distantie nodig is, die ook van pas komt om het werk
‘van je af te zetten’, ervaart de betrokken docent een
sterke zuigkracht van de deelnamekant.
Doordat de context van het onderzoek zeer
‘Windesheim-specifiek’ was, en door het feit dat de
grote inzet van de onderzoekster in het scholingsimplementatieproces
de zaken die misliepen in de
randvoorwaardelijke sfeer enigszins verdoezelen, is de
generalisatiewaarde naar andere ho-instellingen beperkt.
Toch kan het onderzoek aanwijzingen opleveren voor de
opzet van vergelijkbare scholingsactiviteiten.
Dat de onderzoeksresultaten teleurstellend zijn, staat
absoluut los van de waarde van het proefschrift. In dit
type onderzoek is het verduveld lastig om niet met een
rooskleuriger bril naar de uitkomsten te kijken dan
eigenlijk toelaatbaar is. Nellie Verhoef weerstaat deze
verleiding met glans: zij analyseert glashard wat er
allemaal niet optimaal was en doet geen poging het
mooier te laten lijken dan het was.
Procesgericht toetsen en PLW’s
Wat mij betreft nog interessanter dan de
beantwoording van de onderzoeksvragen, zijn de
aanbevelingen voor vervolgonderzoek die Verhoef doet
op basis van haar onderzoek.
1. [NV:] Doe onderzoek naar de effectiviteit van de
inzet van procesgericht toetsen [JT: toetsing die zich

icht op het proces van het leren] in een scholing om
docentopvattingen te veranderen in de richting van de
doelen van de curriculumverandering. In dit onderzoek
bleek ontwikkeling, uitvoering en beoordeling van een
procesgerichte toets een goed middel om docentopvattingen
te beïnvloeden.
[JT:]Steeds meer docenten realiseren zich het
onderwijskundig belang van toetsen. Ontwerp van een
curriculumonderdeel waarbij na de domeinbepaling
eerst de toets wordt ontwikkeld is al tamelijk gangbaar.
Webgebaseerde leeromgevingen, bijvoorbeeld, maken
efficiënte afname van diagnostische toetsen mogelijk
en kunnen bijzonder grote leereffecten genereren
(Tolboom, nog te verschijnen). Bovendien zijn steeds
meer docenten overtuigd van het procesgerichte
karakter dat het bestuderen van wiskunde heeft. Niet
het antwoord op de opgaven is het meest interessant,
maar de gevolgde methodiek. Dan moet ook op die
methodiek getoetst worden. Kortom, wat mij betreft
een hele zinvolle aanbeveling.
2. [NV:] Onderzoek onder welke voorwaarden
curriculumimplementatie in een professionele leer- en
werkomgeving -waarin (aanstaande) docenten,
opleiders, onderzoekers en opleidingsmanagers
deelnemen- succesvol is. Meer over professionele leeren
werkomgevingen (PLW’s) is te vinden bij Terlouw
e.a. (2002).
[JT:] Voor de hand liggend is dat in deze zogeheten
PLW’s actiegericht onderzoek zal worden uitgevoerd.
Actieonderzoek is de verzamelnaam van een aantal
technieken om systematiek aan te brengen in het
reflecteren en de uitkomsten om te zetten in keuzes en
plannen voor het eigen handelen in komende situaties
(zie Ponte, 2002). Het lijkt mij dat het initiatief voor
het opzetten van PLW’s moet liggen bij het Hoger
Onderwijs, Pedagogische Centra en ontwikkelinstituten.
Webgebaseerde communities kunnen waarschijnlijk
een belangrijke rol spelen in het productief houden
van PLW’s. Ook deze aanbeveling lijkt mij de moeite
van het opvolgen zeer waard.
Wat kan ik als wiskundedocent hiermee?
Terug naar de centrale vraag van deze bespreking:
‘Wat heeft een docent wiskunde aan de rapportage van
dit onderzoek?’
In de eerste plaats zou het een leidraad kunnen zijn
voor gewetensvragen: herken ik mezelf in het
geschetste portret van de wiskundedocent? Ben ik
daarmee tevreden? Zo niet, wat wil ik daar dan aan
veranderen? Vervolgens in bredere kring: herken ik het
beeld van het management en het beeld van ICTbeheer?
Wanneer er een curriculum in mijn
werkomgeving zou moeten worden veranderd, wat
zouden we kunnen doen om het soepeler te laten
verlopen dan in het beschreven onderzoek?
Daarnaast zijn de aanbevelingen van het onderzoek
interessant voor de wiskundedocent:
- Wat doen wij binnen ons wiskundeonderwijs aan
procesgericht toetsen? Vinden we dat een nuttig
instrument? Zou het een plek kunnen krijgen in ons
PTA? Hoe zouden we dat vorm willen geven?
- Is het voor mij/ons zinvol een professionele leer-
en werkomgeving op te zetten? Is het ook mogelijk?
Kunnen wij daarvoor steun (en dus facilitering) van
het management krijgen? Hoe zouden we die PLW
willen invullen? Zijn er onderzoekers die baat hebben
bij onze PLW? Wie/welke instanties kunnen we
daarvoor benaderen?
Zeker voor wat betreft dat laatste punt biedt de
Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek
een interessante regeling: Leraar in Onderzoek [2] .
In dit kader is het voor een eerstegraads docent uit het
VO mogelijk een aantal maanden wetenschappelijk
onderzoek aan een universiteit te verrichten. Het leren
van docenten kan hierdoor een behoorlijke impuls
krijgen. Nellie Verhoef doet in haar proefschrift
behartigenswaardige aanbevelingen, waardoor de kans
op succesvol leren voor en door docentenop lange
termijn - wordt vergroot.
Nellie Verhoef: Implementatie van ICT, een probleem
voor docenten? Proefschrift Universiteit Twente,
Enschede (2003), ISBN 90-365-1938-1
Noten
[1] Zie www.windesheim.nl/
[2] Zie
www.nwo.nl/subsidiewijzer.nsf/pages/NWOA_4XHBL7?Opendocument
Literatuur
- W.F. Hermans: Nooit meer slapen. De Bezige Bij, Amsterdam (1966).
- P. Ponte: Actieonderzoek door docenten. Dissertatie Universiteit
Utrecht (2002).
- J.H. Sandholtz, C. Ringstaff, D.C. Dwyer: Teaching with technology,
creating student centered classrooms. Teacher College Press, New York
(1997).
- H. Teeninga: Zijn wiskundedocenten goed voorbereid op hun taak?
Doctoraalscriptie, Instituut voor Wiskunde en Informatica,
Rijksuniversiteit Groningen (2003).
- C. Terlouw e.a.: The development of a professional learning and
working environment for academic science teacher education.
Educational Research Days, Antwerpen (2002).
- J. Tolboom: Formative assessment in a webbased learning
environment; a case study on learning gains. In voorbereiding.
Over de auteur
Jos Tolboom (e-mailadres: j.l.j.tolboom@fwn.rug.nl) is docent
bètadidactiek aan de Rijksuniversiteit Groningen en ICT-redacteur van
Euclides.
371
euclides nr.8 / 2004

FEITENVEL ZAMBIA
WwF-project in vogelvlucht
[ Ger Limpens / Wereldwiskunde Fonds ]
372
euclides nr.8 / 2004
Land Zambia
Aanvrager Arie van Kooten
Projectjaar 2002-2003
Projectschool Kalwala Community Centre, Chinsali, Northern Province, Zambia.
Sociale situatie Vanwege de aidsepidemie sterven veel mensen. In Zambia zijn nu bijna een miljoen
aidswezen. Normaal gesproken worden weeskinderen door andere familieleden
opgenomen, maar vanwege de grote aantallen is dit helaas niet meer mogelijk. Daarom is
het Kalwala Community Centre opgericht. Het centrum omvat een weeshuis, een school en
een kliniek.
Op het platteland van Zambia is de werkende generatie van 20 tot 40 jaar nagenoeg
uitgestorven. Er is geen geldeconomie. Het is moeilijk om aan wiskundematerialen te
komen.
Soort school Een deel van het Community Centre wordt gebruikt als school voor aidswezen in de
leeftijd van 7 tot 18 jaar. De school is sinds kort ook opengesteld voor kinderen uit
naburige dorpen die tot nu toe niet naar school konden. Het aantal leerlingen is gegroeid
tot 170.
Wiskundeonderwijs Het onderwijs wordt gegeven door ongetrainde, maar gemotiveerde leerkrachten. Men
concentreert zich voornamelijk op taalonderwijs (IciBemba en Engels) en wiskunde.
Gestuurd door de aangeschafte materialen is het wiskundeonderwijs zeer praktisch van
aard. Er wordt veel gedemonstreerd en er wordt in groepen gewerkt, hetgeen vrij uniek is
in het noorden van Zambia. Ook is er een landbouwproject van start gegaan waarin de
leerlingen hun wiskundige vaardigheden in de praktijk kunnen toepassen.
Ondersteuning € 2700,00. Wiskundeboeken (Engels), rekenmachines, demonstratiemateriaal, wiskundige
wandplaten en werkmateriaal (bord, krijt, papier, enzovoorts).
FOTO 1 Leerlingen van het Kalwala Community Centre FOTO 2 Lesmateriaal aangeschaft dankzij het WwF

Verenigingsnieuws
Jaarvergadering/Studiedag 2004
[ Marianne Lambriex ]
BEerste uitnodiging
Dit is de eerste uitnodiging voor de
jaarvergadering/studiedag 2004 van
de Nederlandse Vereniging van
Wiskundeleraren op
zaterdag 6 november 2004.
Aanvang: 10.00 uur
Sluiting: 16.00 uur
Plaats: Oosterlicht College,
Nieuwegein
Agenda
Huishoudelijk gedeelte:
1. Opening door de voorzitter
2. Jaarrede door de voorzitter
3. Notulen van de jaarvergadering
2003 (zie een volgend nummer van
Euclides)
4. Jaarverslagen (zie een volgend
nummer van Euclides)
5. Decharge van de penningmeester,
vaststelling van de contributie en
benoeming van een nieuwe
kascommissie
6. Bestuursverkiezing
7. Bestuursoverdracht
Studiedag met als thema
veranderingen tot verbeteringen te
laten uitgroeien. Maar gezien de
laatste ontwikkelingen is ons dat
blijkbaar niet gegund. De kerndoelen
van de basisvorming waren al bron
van discussie, maar nu is ook de
basisvorming zelf onderuit gehaald.
Scholen mogen zelf bepalen welke
vakken zij willen aanbieden en welke
doelen zij daarbij willen bereiken.
Door het politieke geweld is ook de
invulling van de NT/NG-profielen
van de Tweede fase veel minder
exact, worden de vier vakken wa1,
wa12, wb1 en wb12 weer afgeschaft
en moet er in 2007 gestart worden
met WA, WAB en WB en ook dat in
nog minder contacttijd.
Een nieuwe verworvenheid voor het
management van scholen is de
autonomie die ze van de regering
hebben gekregen. Een autonomie die
kan uitmonden in een totaal nieuwe
school, met een nieuwe organisatie,
al dan niet vakoverstijgend of
vakdoorbrekend. Ook zijn er scholen
’VOOR WIE WELKE WISKUNDE?’
Vervolg huishoudelijk gedeelte:
8. Rondvraag
9. Sluiting
Voor wie welke wiskunde?
Al jaren verlangen we naar rust in
het onderwijs zodat de storm van
vernieuwingen en veranderingen die
we als docenten hebben moeten
verwerken, ook kan gaan liggen.
Zodat we de tijd krijgen om de
die de vorm waarin het examen
wordt afgenomen, willen veranderen
en zijn er instituten die de inhoud
van het examenprogramma willen
veranderen.
Kortom, alle zekerheden zijn geen
zekerheden meer en de rust is ver te
zoeken.
In al die veranderingen zitten
natuurlijk wel verborgen kansen om
toch elke leerling die wiskunde te
bieden die voor hem/haar noodzakelijk
is. Maar welke wiskunde is
dat dan?
Vandaar het thema van de studiedag,
in de hoop dat we wat kunnen
bieden dat voor u richting aan uw
lessen kan geven. We denken verder
ook aan subthema’s als:
- Hoe ziet wiskunde in de nieuwe
scholen eruit?
- Inzet van ICT.
- Welke wiskunde is zeker nodig in
het vervolgonderwijs?
- Hoe is wiskunde te integreren in
andere vakken?
- Actualiteit.
U ziet, er is voor een ieder wel iets
interessants te vinden. Hoe het een
en ander vorm gegeven wordt, laten
we u in de volgende Euclides weten.
Dus reserveer in uw agenda:
zaterdag 6 november NVvW-dag!
In het volgende nummer van
Euclides kunt u gedetailleerd lezen
wat u kunt verwachten op 6
november 2004. Voor meer
informatie kunt u zich wenden tot
Marianne Lambriex
(m.lambriex@nvvw.nl)
373
euclides nr.8 / 2004

Opgave 798
374
euclides nr.8 / 2004
Puzzel 798 - Cirkels en bollen
Lang geleden had Leon Vié in de NRC (toen
nog niet gefuseerd) een puzzelrubriek. Een van
de puzzels ging over een ronde tafel in de hoek
van een kamer, aan twee muren rakend. Een
bepaald punt van de tafelrand is 40 cm van de
ene muur verwijderd en 45 cm van de andere
muur. De opgave is: Bepaal de diameter van de
tafel. Het merkwaardige is dat er twee
oplossingen zijn!
Hierdoor geïnspireerd kwam ik een paar jaar
geleden tot de volgende opgave.
‘Twee lijnen vormen een rechte hoek. De cirkel
C met straal R raakt aan beide lijnen. Bepaal de
oppervlakte van de cirkel die raakt aan C en
aan de twee lijnen. Twee oplossingen!’
Deze opgave stond in de kalender van Vierkant
voor Wiskunde, op 28 november 1999.
FIGUUR 1
Het is niet de bedoeling dat u deze opgaven
oplost. In onze rubriek gaan we een stapje
verder. In figuur 1 ziet u een scherpe hoek ,
met daarin een rij rakende cirkels, naar links en
naar rechts tot in het oneindige voortgezet.
Opgave 1
Bepaal de verhouding van de stralen van twee
opvolgende cirkels als functie van .
Opgave 2
Welke fractie van het inwendige van de hoek
wordt door cirkels bedekt?
Je kunt deze vragen natuurlijk ook voor hogere
dimensies stellen. We beperken ons tot de derde.
In het eerste octant hebben we een rijtje bollen;
de middelpunten liggen op de lijn xyz.
Iedere bol raakt aan de drie coördinaatvlakken
en aan twee andere bollen.
Opgave 3
Bepaal de verhouding van de stralen van twee
opvolgende bollen.
Opgave 4
Welke fractie van het eerste octant wordt door
bollen gevuld?
Het is niet nodig dat u een hele afleiding
opstuurt; alleen de vermelding van de vier
antwoorden is voldoende. Wel zou ik graag
weten of u een of andere slimme truc hebt
bedacht om tot een antwoord te komen.
Oplossingen kunt u mailen naar
a.gobel@wxs.nl of per gewone post sturen
naar F. Göbel, Schubertlaan 28, 7522 JS
Enschede. Er zijn weer maximaal 20 punten te
verdienen met uw oplossing.
De deadline is 20 augustus 2004.
Veel plezier!
Recreatie
[ Frits Göbel ]

Oplossing ‘Afstandelijke zaken’
Er waren zeven inzendingen.
Opgave 1 heb ik overgenomen uit een boekje
van Dick Hess, in 1996 in eigen beheer
uitgegeven, getiteld ‘Puzzles from around the
world’. De constellaties, zes in getal, werden
door bijna alle oplossers gevonden.
De tweede opgave gaf aanzienlijk meer
problemen. Het aantal gevonden constellaties
varieerde van 3 tot 26. In totaal zijn er 27. Het
is vrijwel onmogelijk om er meer dan 20 te
vinden zonder systematisch te werk te gaan.
Dat kan heel handig met wat grafentheorie.
FIGUUR 2 FIGUUR 3
We hebben 5 punten en daartussen 10 afstanden,
die twee verschillende waarden mogen
aannemen. Je kunt dit voorstellen in een graaf
op 5 punten waarin je alleen de lijnen opneemt
die corresponderen met de afstand die het minst
voorkomt. In dat geval hebben we grafen op
5 punten met 5 of minder lijnen. Ze zijn niet
noodzakelijk samenhangend, maar de losse
punten (de triviale componenten) kun je wel
meteen weglaten. Er zijn 17 mogelijkheden;
zie figuur 2. In veel gevallen leidt een graaf tot
twee oplossingen.
Leo van den Raadt en Wobien Doyer bepaalden
ook de exacte lengten van de afstanden. Enkele
oplossers spraken hun waardering uit voor deze
opgave met de vermelding dat hij erg veel tijd
kostte.
Opgave 3 kwam misschien daardoor een beetje
in de verdrukking. De meeste inzenders vonden
31 gelijke afstanden, één kwam tot 36. Dat had
ook ik eerst, maar het kan beter.
Oplossing Recreatie 796
In figuur 3 ziet u een constellatie van 16 punten
met 41 gelijke afstanden: 40 daarvan zijn
lengten van lijnen in acht elementen in de vorm
van een ruit met een diagonaal. De 41ste dankt
zijn bestaan aan de beweeglijkheid van het
ruitenstelsel en is door de streepjeslijn aangegeven.
Laten we in deze constellatie een punt
van de graad 4 weg, dan ontstaat een oplossing
van opgave 3 met 37 gelijke afstanden. Dit is
meteen een tegenvoorbeeld bij de bewering van
een inzender die n 3 logn aangeeft als bovengrens
voor constellaties van n punten.
De top van de ladder ziet er nu als volgt uit:
T. Afman 200,
D. Buijs 194,
L. de Rooij 157,
A. Verheul 153,
L. v.d. Raadt 115,
J. Meerhof 114,
T. Kool 102.
De eerste prijs voor trouwe inzenders
(een boekenbon van € 20,00) is, na loting,
gewonnen door Ton Kool, de tweede
(een boekenbon van € 15,00) door Dick Buijs.
Gefeliciteerd!
375
euclides nr.8 / 2004

376
euclides nr.8 / 2004
Servicepagina
Kalender
In deze kalender kunnen alle voor wiskundedocenten
toegankelijke en interessante
bijeenkomsten worden opgenomen.
Wil eenieder die relevante data heeft, deze zo
spoedig mogelijk doorgeven aan de hoofdredacteur.
Hieronder treft u de verschijningsdata
aan van Euclides in de komende jaargang.
Achter de verschijningsdata is de deadline voor
het inzenden van mededelingen vermeld.
Doorgeven kan ook via e-mail:
redactie-euclides@nvvw.nl
nr verschijningsdatum deadline
1 16 september 2004 20 juli 2004
2 21 oktober 2004 7 september 2004
3 9 december 2004 26 oktober 2004
4 27 januari 2005 7 december 2004
5 3 maart 2005 18 januari 2005
6 14 april 2005 1 maart 2005
7 26 mei 2005 5 april 2005
8 23 juni 2005 10 mei 2005
Tot en met 26 september, Leiden
Tentoonstelling ‘Goochelen met getallen’
Organisatie Museum Boerhaave
Zie ook pagina 302 in Euclides 79-7.
1 en 2 juli, Oostende (België)
12e congres van de VVWL
Organisatie VVWL
28 juli t/m 2 augustus, Leusden
Zomercursus Wiskunde en Werkelijkheid
Organisatie Instituut voor Wijsbegeerte
19 en 20 augustus, Oostende (België)
T 3 Europe Symposium
Organisatie T 3 -Vlaanderen
27 en 28 augustus, Amsterdam
3 en 4 september, Eindhoven
Vakantiecursus 2004: Structuur in Schoonheid
Organisatie CWI
Zie ook pagina 278 in Euclides 79-6.
zaterdag 6 november
Jaarvergadering/studiedag 2004
Organisatie NVvW
vrijdag 26 november
Wiskunde A-lympiade / Wiskunde B-dag
Organisatie Freudenthal Instituut
Voor nascholing zie ook
www.nvvw.nl/nascholing.html
Voor overige internet-adressen zie
www.nvvw.nl/Agenda2.html
Voor Wiskundeonderwijs Webwijzer zie
www.wiskundeonderwijs.nl
Publicaties van de
Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren
* Zebra-boekjes
1. Kattenaids en Statistiek
2. Perspectief, hoe moet je dat zien?
3. Schatten, hoe doe je dat?
4. De Gulden Snede
5. Poisson, de Pruisen en de Lotto
6. Pi
7. De laatste stelling van Fermat
8. Verkiezingen, een web van paradoxen
9. De Veelzijdigheid van Bollen
10. Fractals
11. Schuiven met auto’s, munten en bollen
12. Spelen met gehelen
13. Wiskunde in de Islam
14. Grafen in de praktijk
15. De juiste toon
16. Chaos en orde
17. Christiaan Huygens
* Nomenclatuurrapport Tweede fase havo/vwo
Dit rapport en oude nummers van Euclides
(voor zover voorradig) kunnen besteld worden
bij de ledenadministratie (zie Colofon).
* Wisforta - wiskunde, formules en tabellen
Formule- en tabellenboekje met formulekaarten
havo en vwo, de tabellen van de binomiale en
de normale verdeling, en toevalsgetallen.
* Honderd jaar Wiskundeonderwijs, lustrumboek
van de NVvW.
Het boek is met een bestelformulier te bestellen
op de website van de NVvW
(http://www.nvvw.nl/lustrumboek2.html).
Voor overige NVvW-publicaties zie de website:
www.nvvw.nl/Publicaties2.html

edacteur vmbo m/v
De redactie van Euclides zoekt een redactielid dat het aandachtsgebied v mbo
voor zijn of haar rekening kan nemen.
Taken
- zich actief op de hoogte stellen van actuele ontwikkelingen in het
wiskundeonderwijs, met name ‘in en om’ het vmbo;
- contacten leggen met potentiële auteurs;
- actief genereren van artikelen met betrekking tot wiskundeonderwijs in
het vmbo;
- beoordelen, becommentariëren en incidenteel redigeren van kopij, en
hierover adviseren aan de hoofdredacteur;
- verzorgen van rapportages (bijvoorbeeld van conferenties en studiedagen)
en interviews;
- deelnemen aan de redactievergaderingen (driemaal per jaar).
Gezien de werkzaamheden is het wenselijk dat het nieuwe redactielid zelf ook
werkzaam is als wiskundedocent in het vmbo.
Redactieleden ontvangen een onkostenvergoeding.
Euclides is het vakblad voor de wiskundeleraar, en tevens orgaan van de
Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren.
Redactieleden van Euclides worden formeel door het bestuur van de NVvW
benoemd.
Belangstellenden kunnen zich voor nadere informatie over de werkzaamheden
wenden tot de hoofdredacteur:
Marja Bos, Mussenveld 137, 7827 AK Emmen,
e-mailadres: redactie-euclides@nvvw.nl,
tel. 0591-633831
of zich als geïnteresseerde aanmelden bij de redactievoorzitter:
Gert de Kleuver, De Splitting 24, 3901 KR Veenendaal,
e-mailadres: g.de.kleuver@wanadoo.nl,
tel. 0318-542243

Nieuwsgierig?
Vraag beoordelingsexemplaren aan
bij de afdeling Voorlichting Exact
T (050) 522 63 11 of e-mail:
modernewiskunde@wolters.nl.
Neem ook een kijkje op de site:
www.modernewiskunde.wolters.nl
Gescheiden delen voor
wiskunde A en B vanaf klas 4
Volledig geïntegreerde GR
(TI en Casio)
Veel uitgewerkte voorbeelden
en veel ruimte om te oefenen
Wolters-Noordhoff
Postbus 58
9700 MB Groningen