n Toekomstige waarde a - AdMaths
n Toekomstige waarde a - AdMaths
n Toekomstige waarde a - AdMaths
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
1 / 17<br />
GR. 11 GEVORDERDE PROGRAM WISKUNDE<br />
MODULE: MODELLERING<br />
AFDELING: FINANSIES<br />
LES 3 : P v , Fv en PAAIEMENT<br />
‘n <strong>Toekomstige</strong> <strong>waarde</strong> annuïteit kan gebruik word as ‘n<br />
spaarplan. Oor ‘n tydperk sal die gereelde gelyke deposito’s<br />
(betalings) akkumuleer as ‘n belegging vir die toekoms.<br />
In ‘n huidige <strong>waarde</strong> annuïteit word gereelde vaste deposito’s<br />
(betalings) gemaak oor ‘n tydperk om ‘n lening terug te betaal.<br />
In graad 10 het jy geleer hoe om die toekomstige <strong>waarde</strong> (Fv) en<br />
huidige <strong>waarde</strong> (Pv) van annuïteite uit te werk m.b.v. eerste orde<br />
verskil vergelykings. (10MOD7)<br />
BELEGGING :<br />
n n 1<br />
(m)<br />
v n n 1<br />
v n 0<br />
(m)<br />
v n n 1<br />
v 0<br />
U k U c , k 1 ( rekursiewe formule)<br />
F : U (1 i ) U paaiement<br />
waar F U (U 1ste paaiement) (Begin dadelik spaar.)<br />
LENING :<br />
P : U (1 i ) U paaiement<br />
waar P U (Eerste paaiement na 1 maand.)<br />
Kom ons lei nou ook 'n algemene eksplisiete formule af vir elkeen.<br />
11 MOD 3
2 / 17<br />
In die graad 10 handboek op bls 90 is die volgende ondersoek<br />
gedoen.<br />
Voltooi<br />
(1 x) (...) 1 x<br />
(1 x) (1 x x ) ...<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 3<br />
(1 x) (1 x x x ) ...<br />
(1 x) (...........................) 1 x<br />
(1 x) (.............................) 1 x<br />
en 1 x x<br />
Antwoord<br />
7<br />
n<br />
2 3 n 1<br />
1 x x x ... x<br />
(1 x) ( 1 x ) 1 x<br />
2<br />
3 n 1 n<br />
x ... x x ...<br />
2<br />
11 MOD 3<br />
1 x<br />
...<br />
2 2 2 3 3<br />
(1 x) (1 x x ) 1 x x x x x 1 x<br />
2 3 4<br />
(1 x) (1 x x x ) 1 x<br />
2 3 4 5 6 7<br />
(1 x) ( 1 x x x x x x ) 1 x<br />
2 n 1 n<br />
(1 x) ( 1 x x ................ x ) 1 x<br />
1 x x ... x<br />
Afleiding:<br />
S<br />
1<br />
n<br />
x<br />
n 1 x<br />
n<br />
n 1<br />
1 xn<br />
1 x<br />
Verskil met 1<br />
waar S Som van n terme<br />
n
3 / 17<br />
Hoe verander die formule indien jy x n bytel?<br />
n<br />
2 3 n 1 n 1 x n<br />
1 x x x ... x x x<br />
1 x<br />
11 MOD 3<br />
n n<br />
1 x x (1 x)<br />
1 x 1 x<br />
n n n 1<br />
1 x x x<br />
1 x<br />
n 1<br />
1 x<br />
1 x<br />
2 3 n 1 n 1 x<br />
1 x x x ... x x<br />
1 x<br />
Afleiding<br />
S<br />
1<br />
n<br />
x<br />
1<br />
n 1 1 x<br />
waar S Som van ( n + 1)<br />
terme<br />
n 1<br />
Verskil met 1<br />
n 1
Verryking:<br />
4 / 17<br />
Formele bewys van som-formule vir 'n meetkundige ry.<br />
(Deel van Gr 12 Wiskunde Vraestel 1.)<br />
Beskou die meetkundige ry:<br />
2 n 1<br />
a ar ar ... ar<br />
waar T a eerste term,<br />
1<br />
r konstante verhouding<br />
n<br />
n<br />
n 1<br />
en T ar algemene term<br />
n<br />
n<br />
n n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
2 n 1<br />
2 n 1<br />
Stel S a ar ar ... ar ..........<br />
2 n 1 n<br />
( r) r S ar ar ... ar ar .......<br />
: r S S ar a<br />
S (r 1) a(r 1)<br />
S<br />
a ar ar ... ar<br />
OPSOMMING:<br />
n<br />
a(r 1)<br />
r 1<br />
n<br />
a(r 1)<br />
r 1<br />
n<br />
11 MOD 3<br />
as r 1<br />
a(1 r )<br />
of as r 1<br />
1 r<br />
2 n 1<br />
S 1 x x ............ x<br />
xn1 x 1<br />
n 1<br />
2 3 n 1 n x 1<br />
EN Sn 1 1 x x x ... x x as x 1<br />
x 1
5 / 17<br />
TOEKOMSTIGE WAARDE ANNUÏTEITE<br />
GEVAL Ι:<br />
11 MOD 3<br />
(Fv - annuïteite)<br />
Betalings begin aan die einde van die eerste interval (maand /jaar ens.)<br />
en hou aan tot die einde van die n de interval.<br />
Dus T1 Tn<br />
x x x x x<br />
T0 T1 T2 T3 Tn 1 Tn<br />
Einde van maand 1. Einde van maand n.<br />
Beskou elke deposito / betaling se <strong>waarde</strong> by Tn:<br />
NB: Ons werk al die paaiemente VORENTOE na Fv!!<br />
Geakkumuleerde <strong>waarde</strong> van deposito 1 x (1 i)<br />
Geakkumuleerde <strong>waarde</strong> van deposito 2 x (1 i)<br />
Geakkumuleerde <strong>waarde</strong> van deposito (n 1) x (1 i) (1 maand se rente)<br />
2 n 2 n 1<br />
Totale toekomstige <strong>waarde</strong> x x(1 i) x(1 i) ... x(1 i) x(1 i)<br />
n 1<br />
n 2<br />
Geakkumuleerde <strong>waarde</strong> van deposito n x (laaste betaling<br />
2 n 2 n 1<br />
x [1 (1 i) (1 i) ... (1 i) (1 i) ]<br />
1<br />
verdien geen rente)<br />
Al die deposito's is dieselfde (ewe groot) gemeenskaplike faktor<br />
Fv
v<br />
n<br />
n n<br />
n n<br />
n<br />
n 1<br />
6 / 17<br />
x [(1 i) 1]<br />
n<br />
Fv x (1 i) (Deposito 0 en sy opgelope <strong>waarde</strong>.)<br />
i<br />
F<br />
x<br />
x<br />
x<br />
n<br />
a(r 1)<br />
Fv S n<br />
..... r 1<br />
r 1<br />
F v =<br />
x<br />
L.W. : Daar is n<br />
GEVAL ΙΙ:<br />
[(1 i) 1]<br />
i<br />
i(1 i)<br />
(1 i) i(1<br />
i<br />
i) 1<br />
(1 i) (1<br />
i<br />
i) 1<br />
x [(1 i)<br />
i<br />
1]<br />
L.W. : Daar is ( n + 1)<br />
paaiemente.<br />
n<br />
(1 i) 1<br />
(1 i) 1<br />
n<br />
x [(1 i) 1]<br />
i<br />
paaiemente.<br />
waar r 1 i 1 (toename/ groei)<br />
Betalings begin dadelik en hou aan tot aan die einde van die<br />
n-de interval.<br />
Dus T0 T n<br />
x<br />
x x x x<br />
T0 T1 T2 T3 Tn<br />
11 MOD 3
GEVAL ΙΙΙ:<br />
7 / 17<br />
Betalings begin dadelik en hou aan tot aan die einde van die<br />
(n - 1)-de periode.<br />
Dus T0T n 1<br />
x<br />
Die situasie is dieselfde as in GEVAL ΙΙ behalwe dat die<br />
paaiemente een maand voor die einde ophou.<br />
n<br />
n 1<br />
x [(1 i) 1]<br />
Fv x (Geen laaste betaling by T n.)<br />
i<br />
n 1<br />
x [(1 i) 1] ix<br />
i i<br />
n 1<br />
x [(1 i) 1 i]<br />
i<br />
n 1<br />
x [(1 i) (1 i)]<br />
i<br />
1 n<br />
x [(1 i) [(1<br />
i<br />
i) 1]]<br />
n<br />
x [(1 i) 1] (1 i)<br />
i<br />
x [(1 i) 1]<br />
F v<br />
(1 i)<br />
i<br />
L.W.:<br />
x x x<br />
T0 T1 T2 Tn<br />
1<br />
Daar is n paaiemente, maar hele bedrag groei vir nog 'n tyd-interval:<br />
vermenigvuldig met (1 i)<br />
Dit het net 1 maand vroeëer begin as in geval Ι.<br />
11 MOD 3<br />
Tn
AFLEIDING<br />
v<br />
8 / 17<br />
Dit maak dus nie saak wanneer jy begin spaar nie.<br />
Die tydperke is dieselfde in Geval Ι en ΙΙΙ.<br />
Die enigste verskil is dat die bedrag vir 1 meer interval groei in geval<br />
ΙΙΙ.<br />
Netso kan die ooreenkomstige formules vir die huidige <strong>waarde</strong><br />
annuïteite afgelei word van die resultate in hierdie 3 gevalle.<br />
HUIDIGE WAARDE ANNUÏTEITE (Pv - annuïteite)<br />
GEVAL Ι<br />
Betalings begin aan die einde van die eerste interval (maand / jaar ens.)<br />
en hou aan tot die einde van die n de interval.<br />
Paaiemente van T1 Tn (n paaiemente) is die mees algemene<br />
geval.<br />
n<br />
x[(1 i) 1]<br />
Fv reeds bewys<br />
i<br />
P ?<br />
v<br />
T0 T1 T2 Tn<br />
1<br />
P<br />
v<br />
x x x x<br />
Ons werk al die paaiemente TERUG na Pv.<br />
n (n 1) 2 1<br />
P x(1 i) x(1 i) ... x(1 i) x(1 i)<br />
n (n 1) 2 1<br />
x[(1 i) (1 i) ... (1 i) (1 i) ]<br />
x 1 1 ... 1 1<br />
(1 i) (1 i)<br />
n (1 i) n 1 2 1 i<br />
11 MOD 3<br />
Tn
[Beskou die reeks tussen hakies.]<br />
1 1<br />
a en r<br />
1 i 1 i<br />
v n<br />
n<br />
1<br />
1 i<br />
n<br />
1 n<br />
[1 (1 i) ]<br />
1 i 1<br />
1 i<br />
n<br />
n<br />
9 / 17<br />
a(1 r ) 1<br />
Sn r 0<br />
1 r 1 i<br />
1 1<br />
[1 ]<br />
1 i 1 i<br />
1 i<br />
1<br />
[1 (1 i) ]<br />
P x (S )<br />
i<br />
x [1 (1 i) ]<br />
P v<br />
( n betalings)<br />
i<br />
GEVAL ΙΙ<br />
Betalings begin dadelik en hou aan tot aan die einde van die<br />
n-de interval.<br />
Betalings vanaf T T [( n + 1)<br />
betalings]<br />
F<br />
v<br />
v<br />
n 1<br />
0 n<br />
x [(1 i)<br />
i<br />
1]<br />
Netso kan dit bewys word dat<br />
P<br />
(n 1)<br />
x [1 (1 i) ]<br />
i<br />
11 MOD 3
Deel van<br />
1ste<br />
paaiement<br />
GEVAL ΙΙΙ<br />
10 / 17<br />
Betalings begin dadelik en hou aan tot aan die einde van die<br />
(n - 1)-de periode.<br />
Paaiemente van T T (geen laaste paaiement) ( n paaiemente)<br />
n<br />
n<br />
n<br />
0 n 1<br />
x [(1 i) 1]<br />
F v<br />
(1 i)<br />
i<br />
Laat ons ondersoek :<br />
1 1 1<br />
x 1 ...<br />
(1 i) (1 i) (1 i)<br />
2 n 1<br />
1 (1 i) 1<br />
x r 1<br />
1 1<br />
1 i<br />
(1 i)<br />
x<br />
x<br />
1 (1 i)<br />
1 1 i<br />
1 i<br />
1 (1<br />
i<br />
i)<br />
1 i<br />
n<br />
n<br />
x [1 (1<br />
i<br />
i) ]<br />
(1 i)<br />
x [1 (1 i) ]<br />
P v<br />
(1 i)<br />
i<br />
n<br />
11 MOD 3
OPSOMMING:<br />
I<br />
11 / 17<br />
GEVAL Fv Pv<br />
: T T<br />
1 n<br />
n betalings<br />
: T T<br />
II<br />
0 n<br />
n 1 betalings<br />
: T T<br />
III<br />
n betalings<br />
Voorbeeld 1<br />
0 n 1<br />
x [(1<br />
n<br />
i) 1]<br />
i<br />
x [(1<br />
n<br />
i)<br />
i<br />
1<br />
1]<br />
x [(1<br />
n<br />
i)<br />
i<br />
1]<br />
(1 i)<br />
11 MOD 3<br />
x [1 (1<br />
i<br />
n<br />
i) ]<br />
x [1 (1<br />
(n<br />
i)<br />
1)<br />
]<br />
i<br />
x [1 (1<br />
i<br />
n<br />
i) ]<br />
(1 i)<br />
Indien jou vader R100 per maand begin spaar het vir jou sedert die<br />
dag dat jy gebore is teen 'n spaar rentekoers van 9,5% p.j.<br />
maandeliks saamgestel, hoeveel sou jy op jou 21ste verjaarsdag<br />
ontvang?<br />
[Hy spaar niks die laaste maand wat die geld uitkeer of uitbetaal word<br />
nie.]<br />
Antwoord<br />
Spaar F formule<br />
v<br />
n<br />
F v<br />
x [(1 i)<br />
i<br />
1]<br />
(1 i) T0 T n 1 (Geval III ;npaaiemente)<br />
x R100 p.m.<br />
(12)<br />
i 9,5% p.j. 0,095 p.j.<br />
0,095<br />
p.m.<br />
12<br />
n 21 12 maande 252 maande<br />
0,095<br />
12<br />
v 0,095<br />
12<br />
252<br />
100 [(1 ) 1] 0,095<br />
F (1 )<br />
12<br />
R80 141,15<br />
Lekker verjaarsdaggeskenk!
Voorbeeld 2<br />
12 / 17<br />
Angelique wil aftree in 17 jaar se tyd met R1 500 000 in haar<br />
bankrekening. Hoeveel moet sy elke maand spaar om haar doel te<br />
bereik indien rente maandeliks saamgestel is teen 10% p.j.? Sy begin<br />
spaar na een maand en sal aanhou met haar betaling tot die laaste<br />
maand.<br />
Antwoord<br />
Spaar F formule T T (GEVAL ; n paaiemente)<br />
Fv<br />
x [(1 i)<br />
i<br />
1]<br />
F R1 500 000<br />
v<br />
v 1 n<br />
n<br />
(12)<br />
i 10% p.j.<br />
0,1<br />
per maand<br />
12<br />
n 17 jare 17 12 maande<br />
x ?<br />
204 maande<br />
Stel <strong>waarde</strong>s in : 1 500 000<br />
en maak dan x die onderwerp<br />
11 MOD 3<br />
0,1 204<br />
12<br />
0,1<br />
12<br />
x [(1 ) 1]<br />
x<br />
1 500 000<br />
0,1 204<br />
[(1 )<br />
12<br />
0,1<br />
12<br />
1]<br />
(Voer hierdie<br />
in die sakrekenaar!)<br />
R2 818,16 per maand<br />
I
Wenk:<br />
Jy kan 0,1<br />
12<br />
CASIO<br />
13 / 17<br />
stoor in jou sakrekenaar in A/B ens.<br />
Om i te stoor : SHIFT STO A<br />
Om i te herroep : ALPHA A (in 'n sakrekenaar)<br />
SHARP<br />
Om i te stoor : STO A<br />
Om i te herroep : RCL A<br />
ALPHA A<br />
0,1<br />
(vir die antwoord van )<br />
12<br />
of RCL<br />
0,1<br />
A (vir die antwoord van )<br />
12<br />
of RCL ALPHA<br />
0,1<br />
A (vir die antwoord van )<br />
12<br />
11 MOD 3
Voorbeeld 3<br />
14 / 17<br />
Bepaal die maandelikse paaiemente benodig om 'n verband van<br />
R600 000 te amortiseer oor 'n tydperk van 20 jaar teen 13,2% p.j.<br />
maandeliks saamgestel.<br />
amortiseer beteken afbetaal<br />
Antwoord<br />
Lening P formule<br />
v<br />
Pv<br />
x [1 (1<br />
i<br />
n<br />
i) ]<br />
waar Pv R600 000<br />
(12)<br />
i 13,2% p.j. 0,132 p.j.<br />
0,132<br />
p.m.<br />
12<br />
n 20 jare 20 12 240 maande<br />
600 000<br />
x<br />
x ?<br />
0,132 240<br />
12<br />
0,132<br />
12<br />
0,132<br />
12<br />
0,132 240<br />
12<br />
x [1 (1 ) ]<br />
600 000<br />
[1 (1 ) ]<br />
R7 115,12<br />
11 MOD 3
Voorbeeld 4<br />
15 / 17<br />
Indien die R7 115,12 maandeliks belê word vir 20 jaar teen 13,5% p.j.<br />
maandeliks saamgestel, sal dit 'n toekomstige <strong>waarde</strong> van R600 000<br />
gee?<br />
Antwoord<br />
F<br />
v<br />
L.W.:<br />
L.W.:<br />
0,132<br />
12<br />
0,132<br />
12<br />
Totale rente verdien <strong>Toekomstige</strong> <strong>waarde</strong> Totaal van deposito's<br />
Wow! Ongelooflik!<br />
240<br />
7 115,12 [(1 ) 1]<br />
R8 287 601,63<br />
R8,3 miljoen<br />
Om lenings terug te betaal is baie duur, want die meeste van<br />
jou maandelikse paaiemente aan die begin dek net die rente op<br />
die lening!<br />
Omgekeerd: Indien jy lank genoeg spaar kan jy baie rente<br />
verdien. (Saamgestelde groei is eksponensieel)!!)<br />
R8,5 miljoen 240 7 115,12<br />
R6 792 371, 20<br />
Om die aantal terugbetalings periods (n) te bepaal, moet jy meer van<br />
LOGS weet. Jy sal in graad 12 leer hoe om dit te doen.<br />
11 MOD 3
Voorbeeld 5<br />
16 / 17<br />
Indien jy nie maandeliks gereeld spaar soos in voorbeeld 4 nie, maar<br />
eerder 'n sekere bedrag wil belê wat 'n geakkumuleerde <strong>waarde</strong> van<br />
R8 287 601,63 oor 20 jaar gee, hoeveel moet jy dan nou belê?<br />
Antwoord<br />
v<br />
v<br />
n<br />
Pv x [1 (1<br />
i<br />
i) ]<br />
Hierdie formule moet nie gebruik word<br />
nie, want daar is nie maandelikse paaiemente nie!!<br />
F R8 287 601,63<br />
(12)<br />
i<br />
0,132<br />
p.m.<br />
12<br />
n 20 jare 240 maande<br />
P ?<br />
Gebruik F P (1 i)<br />
v v<br />
8 287 601,63 P 1<br />
P<br />
v<br />
n<br />
0,132<br />
12<br />
8 287 601,63<br />
v 240<br />
0,132<br />
1<br />
12<br />
R600 000,38<br />
R600 000<br />
240<br />
(Paar sente verskil, want ons het die R8 miljoen<br />
antwoord in Voorbeeld 4 afgerond.)<br />
11 MOD 3
AFLEIDINGS<br />
17 / 17<br />
(1 i) herhaaldelik..... tel rente by<br />
Pv Fv<br />
(1 i) herhaaldelik..... afslag / verdiskonteer /<br />
11 MOD 3<br />
wegneem van rente<br />
Jy kan vorentoe of agtertoe werk om die <strong>waarde</strong>s aan die begin<br />
of einde te bepaal.<br />
B<br />
Pv Fv<br />
Bedrag<br />
uitstaande<br />
Soortgelyk kan ons die balans (B) bepaal of die bedrag<br />
uitstaande by enige punt op die tydlyn deur na daardie punt te<br />
beweeg van beide kante.<br />
Meer hieroor in les 5!<br />
Vir Fv:<br />
Of jy by U0 of U1 begin spaar het geen effek op Fv.<br />
Die duur / tydperk van die belegging is belangrik.<br />
(Aantal betalings.)<br />
Vir Pv:<br />
Of jy by U0 of U1 begin terugbetaal het 'n effek op die<br />
terugbetalings, want Pv is die bedrag aan die begin uitbetaal en<br />
hoe gouer die terugbetalings begin hoe beter.<br />
Doen Oefening 2.1 bls 161<br />
en Oefening 2.2 bls 162