Hoofdstuk 4 Werken met logaritmen 8 23 = 38log = 3 2log 8log 8log ...

Hoofdstuk 4 Werken met logaritmen
Theorie: Logaritme berekenen is een omgekeerde bewerking van machtsverheffen.
Nu bereken je van een getal de exponent die nodig is om bij een gegeven grondtal dat
getal als uitkomst te krijgen.
2 8
3 =
8
2
3 = Bij worteltrekken zoek je van een getal
het grondtal bij gegeven exponent
2
log8
= 3 Bij log berekenen zoek je van een getal de
exponent bij gegeven grondtal.
Bij de log knop van je rekenmachine staat linksboven geen grondtal,maar dit is dan 10!
Dus met deze knop kun je van alle positieve getallen de log nemen en zo bereken je van die
getallen welke macht van 10 dit is.
log 1000 = 3 Dit klopt want 10 1000
3 =
log 100 = 2 Dit klopt want 10 100
2 =
log 500 = 2,
699 Dus
2,
699
500 = 10
log 0,
5 = −0,
301 Dus
−0.
301
0,
5 = 10
Voor het berekenen van een log met een ander grondtal kun je het berekenen via:
2
log8
log8
= = 3
log 2
Bij technische berekeningen krijg je soms te maken met groeiprocessen of afnemende processen.
Dit zijn dan exponentiële processen.en om die op te lossen maak je gebruik van logaritmen.
Doe dit stap voor stap en tussendoor niet afronden om de uitkomst nauwkeurig te houden.
Houd rekening met de volgorde van bewerkingen!!
Voorbeeld 1:
Bij een bepaald proces is de startwaarde 500 en de toename per tijdseenheid is 8%
Bereken uit hoeveel het is na 5 jaar! (de tijdseenheid is nu een jaar)
Na hoeveel jaar is de hoeveelheid verdubbeld?
Oplossing:
De formule voor dit proces is een exponentieel verband:
B )
Met t = 5 wordt dit:
5
B = 500 ⋅ ( 1,
08)
= 734,
7
Verdubbeld als: ( je krijgt nu een een exponentiële vergelijking)
t
B = 500 ⋅ ( 1,
08)
= 1000
t
= 500 ⋅ ( 1,
08 Met B is de hoeveelheid en t is de tijdseenheid.
( 1,
08)
t
1000
= = 2
500
t =
1,
08
log 2 =
log 2
log1,
08
≈ 9
Minor wiskunde basisvaardigheden en functies hoofdstuk 4 14

Voorbeeld 2 :
Bij een bepaald proces is de startwaarde 500 en de afname per tijdseenheid is 8%
Bereken uit hoeveel het is na 5 jaar! (de tijdseenheid is nu een jaar)
Na hoeveel jaar is de hoeveelheid gehalveerd?
Oplossing:
De formule voor dit proces is :
t
B = 500 ⋅ ( 0,
92)
Met B is de hoeveelheid en t is de tijdseenheid.
5
Met t = 5 wordt dit: B = 500 ⋅ ( 0,
92)
= 329,
54
Gehalveerd als:
t
B = 500 ⋅(
1,
08)
= 1000
Opdracht 1
Werk de volgende exponentiële vergelijkingen netjes uit (op een ander blaadje) en noteer je
uitkomsten in deze tabel:
1 t
400 ⋅ 2 = 1200
2 x
250 = 870
3 x
5 + 58 = 123
4 t
1 , 08 − 2 = 1,
7
5 t
5 ⋅ 7 = 18
( 1,
08)
6 m
24 ⋅3
−170
= 8300
7 t
300 ⋅1,
5 = 7800
8 10 18 250
2t
⋅ =
9 t
32 ⋅1,
8 = 1000
10 x
3 ⋅ ( 1,
7 − 4)
= 48
Bij berekeningen rond toegestaan geluidsniveau en bij isolatie (warmte-geluid) heb je vaak te
maken met logaritmische berekeningen.
Voorbeeld 3 :
t
1000
= = 2
500
t =
1,
08
log 2 =
log 2
log1,
08
≈ 9
Minor wiskunde basisvaardigheden en functies hoofdstuk 4 15

Er is een formule om het geluidsniveau te berekenen bij gegeven geluidsintensiteit:
I
L = 10 ⋅ log −12
10
Hierin staat L voor het geluidsniveau in dB en I voor de geluidsintensiteit in W
2
m
Als er gegeven is dat het geluidsniveau 96 dB is dan kun je de intensiteit bereken.
10 log 96 12
10
= ⋅ = I
L Dit is een logaritmische vergelijking en die kun je nu oplossen.
−
I 96
log = = 9,
6
−12
10 10
I
9,
6
= 10
−12
10
9,
6 −12
I = 10 ⋅10
I = 0,
00398 W
2
m
Opdracht 2
Werk de volgende logaritmische vergelijkingen netjes uit (op een ander blaadje) en noteer je
uitkomsten in deze tabel:
1 2 ⋅ log x = 8
2 4 log( 3 ) 7
2
+ x =
3 3
log( A − 4)
+ 5,
4 = 7
4 log( R − 390)
= 3
5
10 log 124
12
10
= ⋅ I
−
6 2
logT
+ 13 = 10
7 3 x ) + 15 = 19
8
log( 5
⎛1257 ⋅ f ⎞
20 ⋅ log⎜
⎟ − 5 = 60
⎝ 442 ⎠
Uitkomsten:
Opdracht 1 1) t=1,58 2) x=1,23 3) x=2,59 4) t=17,00 5) t=0,66
6) m=2,49 7) t=8,04 8) t=0,57 9) t=5,86 10) x=5,65
Opdracht 2 1) x =10.000 2) x=2,67 3) A=9,7995 4) R=1390
5) I = 2,52 6) T=0,125 7) x=16666,67 8) f=625,3
Minor wiskunde basisvaardigheden en functies hoofdstuk 4 16

§1 Defenitie van logaritme
§2 Eigenschappen van logaritmen
§3 Oplossen van logaritmische vergelijkingen
Minor wiskunde basisvaardigheden en functies hoofdstuk 4 17