OEFENZITTING 1 Vektoralgebra en analytische meetkunde

ALGEBRA – OEFENZITTING 1 c○ D. Keppens 2004
Vektoralgebra en analytische meetkunde
Onderwerp :
• meetkundige vektoren (definitie en eigenschappen), komponenten in een rechthoekig
koördinaatsysteem, skalair produkt, vektorieel produkt en gemengd produkt.
• rechten in het euklidisch vlak, rechten en vlakken in de euklidische ruimte
(vergelijking, parametervoorstelling, evenwijdigheid, loodrechte stand, afstand)
Voorkennis : algebra hoofdstuk 0, §0.2, §0.3.1, §0.3.2, §0.4, §0.5 en §0.6
REEKS 1 : Oefeningen op vektoralgebra
1–1 Gegeven zijn de vektoren a = (1, 2, 1) en b = (2, 2, 1).
Bepaal een vektor c die loodrecht staat op a+ b en op a− b en waarvoor (a− b,a+ b,c)
een rechtshandig stel vormt.
(oplossing : c = (0, 2, −4))
1–2 Gegeven zijn twee vektoren a en b. Schrijf a als som a + a⊥ waarbij de vektor a
parallel is met b en de vektor a⊥ loodrecht staat op b.
Bepaal vervolgens deze vektoren in het bijzonder geval waarbij a = (1, 2, 3) en
b = (−3, 0, 4)
(oplossing : a = (− 27 36 , 0, 25
25 ) en a⊥ = ( 52
25
, 2, 39
25 ))
1–3 Gegeven zijn de punten A(1, 2, 3), B(2, −1, 1) en C(−2, 1, −1)
Bereken de oppervlakte van de driehoek ABC als toepassing op het vektorprodukt
van vektoren.
(oplossing : 5 √ 3)
1–4 Mag men uit de gelijkheid a · b = a · c met a = o besluiten dat b = c ? Toon aan of
geef een tegenvoorbeeld.
Mag men uit de gelijkheid a × b = a × c met a = o besluiten dat b = c ? Toon aan
of geef een tegenvoorbeeld.
En wat als beide gelijkheden tegelijkertijd gelden ?
(oplossing : neen, neen, ja)
1

1–5 Bewijs de polariteitseigenschap |a + b| 2 − |a − b| 2 = 4a · b.
Maak vervolgens gebruik van deze eigenschap om aan te tonen dat de diagonalen
van een parallellogram gelijke lengte hebben als en slechts als het parallellogram een
rechthoek is.
1–6 Het vektorieel produkt is niet associatief, m.a.w. over het algemeen is a × ( b × c) =
(a × b) × c
Kontroleer dit voor de vektoren a = 1x, b = 1x + 1y en c = 1x + 1y + 1z
REEKS 2 : Oefeningen op analytische meetkunde (rechten en vlakken)
1–7 Gegeven zijn de punten A(1, 0), B(0, 1) en C(2, 3).
(a) Bepaal de cartesiaanse vergelijking en een parametervoorstelling van de rechte
t door A en evenwijdig met het lijnstuk [BC]
(b) Bepaal de cartesiaanse vergelijking en een parametervoorstelling van de rechte
s door B en loodrecht op het lijnstuk [AC]
(oplossing : cartes.vgl. y = x − 1 resp. y = 1 − x
3 )
1–8 Bepaal een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking van het vlak dat
door de punten A(3, 5, 1) en B(4, 6, 0) gaat en evenwijdig is met de y–as.
(oplossing : cartes.vgl. x + z − 4 = 0 )
1–9 Bepaal een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking van het vlak door
het punt P (6, 1, 5) en loodrecht op de vlakken x − y + z + 5 = 0 en 2y − 3z − 11 = 0
(oplossing : cartes.vgl. x + 3y + 2z − 19 = 0)
1–10 Bepaal de cartesiaanse vergelijking van het vlak loodrecht op het vlak 3x − 6y +
2z − 4 = 0 en door de punten A(6, −1, 1) en B(5, 3, 2)
(oplossing : −14x − 5y + 6z + 73 = 0)
1–11 De hoek tussen twee snijdende vlakken is per definitie de (scherpe) hoek tussen hun
normaalvektoren.
Bepaal de hoek tussen de vlakken met resp. cartesiaanse vergelijking x+y+z−1 = 0
en 2x − z + 4 = 0
(oplossing : ϕ ≈ 75 o )
1–12 Bepaal de cartesiaanse vergelijking van een vlak dat de x–as bevat en een hoek van
30 o maakt met het xy–vlak. (aanwijzing : hoek tussen twee vlakken, zie opgave
1–11)
(oplossing : y ± √ 3z = 0)
2

1–13 Bepaal een stelsel cartesiaanse vgln. van de rechte(n) door het punt P (−1, −1, −1),
gelegen in het vlak met vergelijking 2y − z + 1 = 0 en een hoek van 45 o makend met
de richting bepaald door de vektor u = (0, 1, 1)
(oplossing : x+1
±2
= y+1
1
= z+1
2 )
1–14 Bepaal de cartesiaanse vergelijking van het loodvlak door de oorsprong op de rechte
met stelsel cartesiaanse vergelijkingen x−1
2
van dat loodvlak met die rechte.
(oplossing : loodvlak : 2x + y = 0, snijpunt : (− 1 2 , , 2)) 5 5
= y−1
1 en z = 2 en bepaal het snijpunt
1–15 Bepaal de cartesiaanse vergelijking van het vlak dat parallel is met het vlak
6x − 12y + 18z = 13 en dat het punt P (1, 2, 2) bevat.
Voor welke waarde van k bevat het gevonden vlak de rechte l : x − 3 = y = z
k ?
(oplossing : x − 2y + 3z − 3 = 0 en k = 1
3 )
1–16 Bepaal de cartesiaanse vergelijking van een vlak dat parallel is met het vlak
2x − 3y + 6z + 3 = 0 en op afstand 1 van de oorsprong gelegen is.
(oplossing : 2x − 3y + 6z ± 7 = 0)
1–17 Bepaal de afstand van het punt Q(1, 0, 1) tot het vlak met cartesiaanse vergelijking
x − 2y − 2z = 6.
Bepaal ook een stelsel cartesiaanse vergelijkingen van de loodlijn door Q op dat vlak
en bepaal de koördinaten van het voetpunt van die loodlijn.
(oplossing : afstand = 7
x−1
, loodlijn : 3 1
= y
−2
= z−1
−2
, voetpunt : ( 16
9
14 5 , − , − 9 9 ))
1–18 Bepaal de afstand van het punt Q(3, 2, −3) tot de rechte met stelsel cartesiaanse
y = 2x − 2
vergelijkingen
z = 3x − 4
Bepaal ook een stelsel cartesiaanse vergelijkingen van de loodlijn door Q op die
rechte en bepaal de koördinaten van het voetpunt van die loodlijn.
(oplossing : afstand = √ 12, loodlijn : x−3
2
3
= y−2
2
z+3 = , voetpunt : (1, 0, −1))
−2