2. Transformaties en matrices - Wiskunde
2. Transformaties en matrices - Wiskunde
2. Transformaties en matrices - Wiskunde
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>2.</strong> <strong>Transformaties</strong> <strong>en</strong> <strong>matrices</strong><br />
Lineaire afbeelding. Onder e<strong>en</strong> lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we e<strong>en</strong> functie A die<br />
aan iedere vector uit R n e<strong>en</strong> vector uit R m toevoegt <strong>en</strong> van het volg<strong>en</strong>de type is:<br />
A(x1, . . . , xn) = (α11x1 + · · · + α1nxn , . . . . . . . . . , αm1x1 + · · · + αmnxn)<br />
waarbij de coëfficiënt<strong>en</strong> αij reële getall<strong>en</strong> zijn. Onder de matrix van A verstaan we het schema waarin<br />
deze coëfficiënt<strong>en</strong> αij op e<strong>en</strong> overzichtelijke manier gerangschikt zijn:<br />
⎛<br />
⎞<br />
α11 · · · α1n<br />
⎜ . . ⎟<br />
⎝ . . ⎠<br />
E<strong>en</strong> paar voorbeeld<strong>en</strong>:<br />
αm1 · · · αmn<br />
• De functie A : R2 → R3 , gedefinieerd door A(x1, x2) = (x2 , x1 − x2 , 8x1 + 7x2)<br />
⎛<br />
0 1<br />
⎞<br />
De matrix van deze lineaire afbeelding A is<br />
⎜<br />
⎝ 1<br />
⎟<br />
−1 ⎠<br />
8 7<br />
• De functie A : R 3 → R 3 , gedefinieerd door A(x) def<br />
= de projectie van x op (1, 2, 3) is e<strong>en</strong> lineaire<br />
afbeelding. Je kunt dat inzi<strong>en</strong> door A(x) uit te rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met de projectieformule:<br />
A(x1, x2, x3) = (x1, x2, x3) • (1, 2, 3)<br />
· (1, 2, 3)<br />
(1, 2, 3) • (1, 2, 3)<br />
<br />
1<br />
=<br />
14 x1 + 1<br />
7 x2 + 3<br />
14 x3 , 1<br />
7 x1 + 2<br />
7 x2 + 3<br />
7 x3 ,<br />
3<br />
14 x1 + 3<br />
7 x2 + 9<br />
14 x3<br />
<br />
Dit functievoorschrift is inderdaad van het juiste type, dus A is e<strong>en</strong> lineaire afbeelding<br />
⎛<br />
⎞<br />
De matrix van A is<br />
• De functie A : R 2 → R 2 gedefinieerd door<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
14<br />
1<br />
7<br />
3<br />
14<br />
1<br />
7<br />
2<br />
7<br />
3<br />
7<br />
3<br />
14<br />
3<br />
7<br />
9<br />
14<br />
A(x) def<br />
= het spiegelbeeld van x t<strong>en</strong> opzichte van de lijn [(3, 7)]<br />
We zoek<strong>en</strong> ev<strong>en</strong> e<strong>en</strong> functievoorschrift voor A:<br />
✁ ✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁ [(3, 7)]<br />
✏✏✏✏✏✏✏✏✏✶ 2p<br />
<br />
♣<br />
♣<br />
♣<br />
♣<br />
A(x)<br />
♣<br />
♣<br />
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣<br />
♣<br />
♣ ♣<br />
♣<br />
♣ ♣<br />
♣<br />
♣<br />
♣ ♣<br />
♣<br />
♣ ♣<br />
♣<br />
♣<br />
♣ ♣<br />
♣<br />
♣ ♣ p ♣<br />
♣<br />
♣ ♣<br />
♣<br />
♣<br />
♣ ♣<br />
♣<br />
♣ ♣ ♣<br />
♣<br />
♣ ♣<br />
♣<br />
♣ ♣ ♣<br />
♣<br />
♣ ♣<br />
♣<br />
♣ ♣ ♣<br />
♣<br />
♣<br />
♣<br />
x<br />
♣<br />
♣<br />
♣<br />
♣<br />
♣<br />
✁ ✁✁✁✁✁<br />
⎟<br />
⎠<br />
Je vindt A(x) door x eerst te projecter<strong>en</strong> op (3, 7),<br />
vervolg<strong>en</strong>s deze projectie te verdubbel<strong>en</strong>, <strong>en</strong> t<strong>en</strong>slotte<br />
hiervan nog x af te trekk<strong>en</strong>. De berek<strong>en</strong>ing:<br />
p = (x1,x2)•(3,7)<br />
(3,7)•(3,7) · (3, 7) = 9<br />
58 x1 + 21<br />
58 x2 , 21<br />
58 x1 + 49<br />
58 x2<br />
Dus A(x1, x2) = 2p − (x1, x2)<br />
= − 20<br />
29x1 + 21<br />
29x2 , 21<br />
29x1 + 20<br />
29x2 <br />
<br />
20 −<br />
A is dus de lineaire afbeelding met matrix<br />
15<br />
29<br />
21<br />
29<br />
<br />
21<br />
29<br />
20<br />
29
Betek<strong>en</strong>is van de kolomm<strong>en</strong>. De kolomm<strong>en</strong> van de matrix van A zijn precies de beeld<strong>en</strong> van de<br />
natuurlijke basisvector<strong>en</strong> e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , <strong>en</strong> = (0, . . . , 0, 1) van Rn . We rek<strong>en</strong><strong>en</strong> dat ev<strong>en</strong> na door<br />
deze basisvector<strong>en</strong> in te vull<strong>en</strong> in A(x1, . . . , xn) = (α11x1 + · · · + α1nxn , . . . , αm1x1 + · · · + αmnxn):<br />
⎧<br />
A( e1) = A(1, 0, 0, . . . , 0) = (α11, . . . , αm1) = eerste kolom van de matrix van A<br />
⎪⎨ A( e2) = A(0, 1, 0, . . . , 0) = (α12, . . . , αm2) = tweede kolom van de matrix van A<br />
⎪⎩<br />
.<br />
A( <strong>en</strong>) = A(0, 0, . . . , 0, 1) = (α1n, . . . , αmn) = n-de kolom van de matrix van A<br />
Eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> van lineaire afbeelding<strong>en</strong>. E<strong>en</strong> lineaire afbeelding A voldoet aan<br />
A( O) = O<br />
A(x + y) = A(x) + A(y)<br />
A(λx) = λ · A(x)<br />
Je kunt deze eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> e<strong>en</strong>voudig uit onze definitie bewijz<strong>en</strong>. Ook het omgekeerde is waar: e<strong>en</strong><br />
functie A die aan deze eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> voldoet is e<strong>en</strong> lineaire afbeelding<br />
Voorbeeld. Zij A : R2 → R2 de draaiing over e<strong>en</strong> hoek ϕ.<br />
Deze A is e<strong>en</strong> lineaire afbeelding, want je kunt gemakkelijk<br />
nagaan dat hij aan de bov<strong>en</strong>staande eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> voldoet.<br />
De matrix van A kun je als volgt vind<strong>en</strong>: de eerste kolom<br />
moet het A-beeld van (1, 0) zijn, <strong>en</strong> dat is (cos ϕ, sin ϕ).<br />
De tweede kolom vind je via A(0, 1) = (− sin ϕ, cos ϕ).<br />
<br />
cos ϕ − sin ϕ<br />
De matrix van A is dus<br />
sin ϕ cos ϕ<br />
A(x)<br />
✟ ✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✯<br />
✒<br />
x<br />
ϕ<br />
Bereik van e<strong>en</strong> lineaire afbeelding. Onder het bereik van e<strong>en</strong> lineaire afbeelding A verstaan we de<br />
verzameling van alle A-beeld<strong>en</strong>. We noter<strong>en</strong> dit bereik als Im(A). Als je de matrix van A k<strong>en</strong>t, kun je<br />
Im(A) op e<strong>en</strong> e<strong>en</strong>voudige manier bepal<strong>en</strong>:<br />
Im(A) is het opspansel van de kolomm<strong>en</strong> van de matrix van A<br />
Je kunt dit als volgt inzi<strong>en</strong>: e<strong>en</strong> vector x is te schrijv<strong>en</strong> als x1 · e1 + · · · + xn · <strong>en</strong>. Uit het lijstje van<br />
eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> volgt dan dat A(x) = A(x1 · e1 + · · · + xn · <strong>en</strong>) = x1A( e1) + · · · + xnA( <strong>en</strong>), <strong>en</strong> dit is e<strong>en</strong><br />
lineaire combinatie van de kolomm<strong>en</strong><br />
Voorbeeld. We bepal<strong>en</strong> het bereik van A : R 3 → R 3 met matrix<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
−2 −1 1<br />
5 11 6<br />
1 2 1<br />
Dit bereik is het opspansel van de kolomm<strong>en</strong>, <strong>en</strong> kan dus vere<strong>en</strong>voudigd word<strong>en</strong> door met die kolomm<strong>en</strong><br />
te veg<strong>en</strong>:<br />
⎛<br />
⎞<br />
−2 −1 1 bezem ⎛<br />
⎞<br />
−2 3 3 bezem ⎛<br />
⎞<br />
−17 3 0<br />
⎜<br />
⎟ kolom 1 ⎜<br />
⎟ kolom 2 ⎜<br />
⎟<br />
⎝ 5 11 6 ⎠ =⇒ ⎝ 5 1 1 ⎠ =⇒ ⎝ 0 1 0 ⎠<br />
1 2 1<br />
Het bereik is dus het vlak [(−17, 0, 1), (3, 1, 0)]<br />
1 0 0<br />
16<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1 0 0
Afkorting<strong>en</strong>. E<strong>en</strong> lineaire afbeelding van R n naar R n wordt ook wel kortweg e<strong>en</strong> lineaire transformatie<br />
van R n g<strong>en</strong>oemd. De matrix van A wordt meestal zelf ook A g<strong>en</strong>oemd. In plaats van A(x) schrijv<strong>en</strong> we<br />
soms Ax<br />
Id<strong>en</strong>tieke transformatie. De id<strong>en</strong>tieke transformatie I van Rn is gedefinieerd door I(x) = x. Zijn<br />
matrix heeft op de ”hoofddiagonaal” (van linksbov<strong>en</strong> naar rechtsonder) e<strong>en</strong>tjes <strong>en</strong> daarbuit<strong>en</strong> allemaal<br />
null<strong>en</strong>. Bijvoorbeeld: de matrix van I : R7 → R7 is<br />
⎛<br />
1 0 0 0 0 0 0<br />
⎞<br />
⎜ 0<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
I = ⎜ 0<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 0 0 0 1<br />
Rek<strong>en</strong><strong>en</strong> met <strong>matrices</strong>. We definiër<strong>en</strong> de som van <strong>matrices</strong> (van gelijke afmeting<strong>en</strong>) ‘plaatsgewijs’:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
a11<br />
.<br />
· · · a1n<br />
.<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ + ⎝<br />
b11<br />
.<br />
· · · b1n<br />
.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ def<br />
⎛<br />
⎜<br />
= ⎝<br />
a11 + b11<br />
.<br />
· · · a1n + b1n<br />
.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
am1 · · · amn<br />
bm1 · · · bmn<br />
Ook verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong> met e<strong>en</strong> getal λ ∈ R gaat plaatsgewijs:<br />
⎛<br />
⎜<br />
λ · ⎝<br />
a11<br />
.<br />
.<br />
· · · a1n<br />
.<br />
.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ def<br />
⎛<br />
⎜<br />
= ⎝<br />
λa11<br />
.<br />
.<br />
· · · λa1n<br />
.<br />
.<br />
am1 · · · amn<br />
am1 + bm1 · · · amn + bmn<br />
λam1 · · · λamn<br />
Verm<strong>en</strong>igvuldiging van twee <strong>matrices</strong> met elkaar definiër<strong>en</strong> we alle<strong>en</strong> maar als het aantal kolomm<strong>en</strong> van<br />
de eerste matrix ev<strong>en</strong> groot is als het aantal rij<strong>en</strong> van de tweede matrix:<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
a11 · · · a1n b11 · · · b1k<br />
⎜<br />
⎝ .<br />
.<br />
⎟ ⎜<br />
. ⎠· ⎝ .<br />
.<br />
⎟<br />
. ⎠ def<br />
⎛<br />
⎞<br />
c11 · · · c1k<br />
⎜<br />
= ⎝ .<br />
.<br />
⎟<br />
. ⎠ met cij = ai1b1j+ai2b2j+· · ·+ainbnj<br />
am1 · · · amn<br />
bn1 · · · bnk<br />
cm1 · · · cmk<br />
(voor de berek<strong>en</strong>ing van cij moet je dus de getall<strong>en</strong> uit de i-de rij van de eerste matrix met die uit de<br />
j-de kolom van de tweede matrix verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong>, <strong>en</strong> de uitkomst<strong>en</strong> optell<strong>en</strong>; anders geformuleerd: cij<br />
is het inproduct van de i-de rij van de eerste matrix met de j-de kolom van de tweede matrix)<br />
Voorbeeld<strong>en</strong>.<br />
⎛ ⎞<br />
<br />
1 2<br />
1 −1 0<br />
⎜ ⎟<br />
• A =<br />
<strong>en</strong> B = ⎝ 0 1 ⎠<br />
1 2 1<br />
2 0 ⎛<br />
<br />
1 1<br />
⎜<br />
Dan is A · B =<br />
<strong>en</strong> B · A = ⎝<br />
3 4<br />
3<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
−2<br />
⎞<br />
2<br />
⎟<br />
1 ⎠ maar A · A bestaat niet<br />
0<br />
<br />
1 2<br />
0<br />
• Als C =<br />
<strong>en</strong> D =<br />
3 4<br />
1<br />
<br />
2 1<br />
CD =<br />
4 3<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
, dan is C + D =<br />
0<br />
4<br />
<br />
3 4<br />
DC =<br />
1 2<br />
<br />
3<br />
7 14<br />
<strong>en</strong> 7C =<br />
<strong>en</strong><br />
4<br />
21 28<br />
C 2 <br />
7 10<br />
=<br />
15 22<br />
17<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
Opmerking. AB <strong>en</strong> BA zijn meestal niet gelijk. Matrixverm<strong>en</strong>igvuldiging is niet commutatief.<br />
Wél associatief: (AB)C is altijd gelijk aan A(BC)<br />
Stelling. Zij A : R n → R m e<strong>en</strong> lineaire afbeelding. Dan is het beeld A(x) gelijk aan het product A · x,<br />
als je x als kolomvector schrijft:<br />
A(x) =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
α11 · · · α1n<br />
.<br />
αm1 · · · αmn<br />
Het bewijs van deze stelling vind je in regel 3 van dit hoofdstuk. Erg simpel dus. Je kunt de stelling<br />
gebruik<strong>en</strong> om handig allerlei beeld<strong>en</strong> uit te rek<strong>en</strong><strong>en</strong>. Bijvoorbeeld: waar kom je uit als je de vector (3, 7)<br />
om e<strong>en</strong> hoek van 30 ◦ teg<strong>en</strong> de wijzers van de klok in draait? Om deze vraag te beantwoord<strong>en</strong> hoef je je<br />
.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ·<br />
hers<strong>en</strong>s niet te pijnig<strong>en</strong> met ingewikkelde meetkunde, het kan simpel als volgt:<br />
<br />
(1) De matrix van de betreff<strong>en</strong>de draaiing is A =<br />
(2) Nu ev<strong>en</strong> verm<strong>en</strong>igvuldig<strong>en</strong>:<br />
(3) Conclusie: A(3, 7) = √<br />
3 7 3<br />
2 3 − 2 , 2<br />
√<br />
1<br />
1<br />
2 3 − 2<br />
1<br />
2<br />
√<br />
3<br />
√ <br />
3<br />
1<br />
2<br />
+ 7<br />
2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
x1<br />
.<br />
xn<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
cos 30 ◦ − sin 30 ◦<br />
3<br />
sin 30 ◦ cos 30 ◦<br />
7<br />
<br />
=<br />
<br />
3<br />
2<br />
3 7<br />
2 + 2<br />
√ 3 − 7<br />
2<br />
√ 3<br />
<br />
=<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
√ <br />
1 3 − 2<br />
√<br />
3<br />
Sam<strong>en</strong>stelling. Als A : Rn → Rm <strong>en</strong> B : Rm → Rk lineaire afbeelding<strong>en</strong> zijn, dan definiër<strong>en</strong> we de<br />
sam<strong>en</strong>stelling B ◦ A door (B ◦ A)(x) def<br />
= B(A(x)). Deze sam<strong>en</strong>stelling is dan e<strong>en</strong> lineaire afbeelding van<br />
Rn naar Rk , <strong>en</strong> zijn matrix is het product van de matrix van B met de matrix van A<br />
Opmerking. De juistheid van deze bewering volgt uit de associativiteit van matrixverm<strong>en</strong>igvuldiging:<br />
(BA)x = B(Ax). Sam<strong>en</strong>stelling (compositie) van lineaire afbeelding<strong>en</strong> komt dus neer op verm<strong>en</strong>igvuldiging<br />
van de bijbehor<strong>en</strong>de <strong>matrices</strong>. Voorbeeldjes in de R 2 :<br />
•<br />
A = spiegeling om de lijn met vergelijking 7x1 − 3x2 = 0 =<br />
B = uitrekking van de eerste coördinaat met e<strong>en</strong> factor 3 =<br />
Dan is B ◦ A = doe eerst A <strong>en</strong> daarna B = B · A =<br />
<strong>en</strong> A ◦ B = doe eerst B <strong>en</strong> daarna A = A · B =<br />
• Ik wil de 39-ste macht uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong> van de matrix D =<br />
Is er nog hoop?<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
√ 3<br />
− 60<br />
− 60<br />
29<br />
63<br />
29<br />
− 1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
29<br />
21<br />
29<br />
√ 3<br />
21<br />
29<br />
20<br />
29<br />
<br />
− 20<br />
29<br />
21<br />
29<br />
3 0<br />
63<br />
29<br />
20<br />
29<br />
<br />
0 1<br />
<br />
1<br />
2<br />
21<br />
29<br />
20<br />
29<br />
<br />
<br />
maar b<strong>en</strong> e<strong>en</strong> beetje lui.<br />
Wie lui is moet slim zijn: In D herk<strong>en</strong> ik de matrix van ‘draaiing om e<strong>en</strong> hoek van 60 ◦ teg<strong>en</strong><br />
de wijzers van de klok in’. Dus is D 39 de matrix van de draaiing om 2340 ◦ of, wat op hetzelfde<br />
neerkomt, draaiing om 180 ◦ .<br />
Dus D 39 =<br />
18<br />
−1 0<br />
0 −1
Rang van e<strong>en</strong> matrix. Onder de kolomm<strong>en</strong>rang van e<strong>en</strong> matrix verstaan we de dim<strong>en</strong>sie van het<br />
opspansel van de kolomm<strong>en</strong>. Onder de rij<strong>en</strong>rang verstaan we de dim<strong>en</strong>sie van het opspansel van de rij<strong>en</strong>.<br />
Ik kan bewijz<strong>en</strong> dat de rij<strong>en</strong>rang altijd precies gelijk is aan de kolomm<strong>en</strong>rang (maar dat doe ik nu ev<strong>en</strong><br />
niet, want ik b<strong>en</strong> er mom<strong>en</strong>teel te lui voor). We sprek<strong>en</strong> daarom kortweg van rang. Voorbeeld<strong>en</strong>:<br />
<br />
18<br />
• de (kolomm<strong>en</strong>)rang van de matrix<br />
43<br />
dus heeft hun opspansel dim<strong>en</strong>sie 2<br />
<br />
57<br />
is 2, want de twee kolomm<strong>en</strong> zijn onafhankelijk <strong>en</strong><br />
−7<br />
<br />
• de (rij<strong>en</strong>)rang van de matrix<br />
2<br />
−6<br />
<br />
−1<br />
is 1, want de tweede rij is e<strong>en</strong> veelvoud van de eerste<br />
3<br />
rij, dus het opspansel van de rij<strong>en</strong> is [(2, −1), (−6, 3)] = [(2, −1)] <strong>en</strong> is dus 1-dim<strong>en</strong>sionaal<br />
⎛<br />
3 1 −1 2<br />
⎞<br />
⎜<br />
• als je de rang van de matrix ⎝ −1 1 2<br />
⎟<br />
−1 ⎠ wilt berek<strong>en</strong><strong>en</strong>, kan dat op twee manier<strong>en</strong>:<br />
3 5 4 1<br />
(1) berek<strong>en</strong> de rij<strong>en</strong>rang door het opspansel van de rij<strong>en</strong> te vere<strong>en</strong>voudig<strong>en</strong> (zie ”veg<strong>en</strong>” in hoofdstuk<br />
1):<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
3 1 −1 2<br />
−1 1 2 −1<br />
3 5 4 1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
bezem<br />
rij 2<br />
=⇒<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 4 5 −1<br />
−1 1 2 −1<br />
0 8 10 −2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
bezem<br />
rij 1<br />
=⇒<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 4 5 −1<br />
−1 −3 −3 0<br />
0 0 0 0<br />
Het opspansel van de rij<strong>en</strong> blijkt [(0, 4, 5, −1), (1, 3, 3, 0)] te zijn, <strong>en</strong> de rang is dus 2<br />
(2) berek<strong>en</strong> de kolomm<strong>en</strong>rang door met de kolomm<strong>en</strong> te veg<strong>en</strong>:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
3 1 −1 2<br />
−1 1 2 −1<br />
3 5 4 1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
bezem<br />
kolom 2<br />
=⇒<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 1 0 0<br />
−4 1 3 −3<br />
−12 5 9 −9<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =⇒<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 1 0 0<br />
1 1 0 0<br />
3 5 0 0<br />
Het opspansel van de kolomm<strong>en</strong> is [(0, 1, 3), (1, 1, 5)] <strong>en</strong> dit ziet er 2-dim<strong>en</strong>sionaal uit. De rang<br />
is dus 2<br />
Onder de rang van e<strong>en</strong> lineaire afbeelding A verstaan we de rang van de matrix van A. Deze rang is<br />
gelijk aan de dim<strong>en</strong>sie van Im(A), want Im(A) is het opspansel van de kolomm<strong>en</strong><br />
Kern. Onder de kern van e<strong>en</strong> lineaire afbeelding A verstaan we de verzameling van alle vector<strong>en</strong> die door<br />
A word<strong>en</strong> afgebeeld op de nulvector O. We noter<strong>en</strong> deze verzameling als Ker(A). E<strong>en</strong> paar e<strong>en</strong>voudige<br />
voorbeeld<strong>en</strong>:<br />
• Zij A : R 3 → R 3 de lineaire afbeelding projectie op het vlak 3x1 + 57x2 − 8x3 = 0 .<br />
Dan is Ker(A) = [(3, 57, −8)] (de lijn door O loodrecht op het vlak)<br />
• Zij A de lineaire transformatie spiegeling t<strong>en</strong> opzicht van het vlak 3x1 + 57x2 − 8x3 = 0 .<br />
Dan is Ker(A) = { O}, want alle<strong>en</strong> de nulvector zelf resulteert na spiegeling in de nulvector<br />
• Zij A : R 3 → R 1 de lineaire afbeelding met Ax = 5x1 − 3x2 + 7x3.<br />
Dan is Ker(A) het vlak met vergelijking 5x1 − 3x2 + 7x3 = 0<br />
19<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
Berek<strong>en</strong>ing van de kern. In deze e<strong>en</strong>voudige voorbeeld<strong>en</strong> zag je direct wat de kern van A was. Helaas<br />
is het lev<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> natuurwet<strong>en</strong>schapper niet altijd zo simpel, soms zul je heel wat rek<strong>en</strong>werk moet<strong>en</strong><br />
verricht<strong>en</strong>. Als je bijvoorbeeld de kern moet bepal<strong>en</strong> van de lineaire transformatie met matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
A =<br />
⎜<br />
⎝<br />
3 1 −1<br />
1 11 −1<br />
1 −5 0<br />
zit er niks anders op dan dapper gaan rek<strong>en</strong><strong>en</strong> aan de vergelijking Ax = O, in de hoop te kunn<strong>en</strong><br />
achterhal<strong>en</strong> welke vector<strong>en</strong> x hieraan voldo<strong>en</strong>. Je rek<strong>en</strong>werk ziet er dan (hopelijk) ongeveer als volgt uit:<br />
Ax = ⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
3 1 −1 x1 0<br />
3x1 + x2 − x3 0<br />
⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
O ⇐⇒ ⎝ 1 11 −1 ⎠ ⎝ x2 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ ⇐⇒ ⎝ x1 + 11x2 − x3 ⎠ = ⎝ 0 ⎠<br />
1 −5 0<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
3x1 + x2 − x3 = 0<br />
⇐⇒<br />
⎪⎩<br />
x1 + 11x2 − x3 = 0<br />
x1 − 5x2 = 0<br />
Dus Ker(A) = [(5, 1, 16)]<br />
x3<br />
0<br />
<br />
x1 = 5x2<br />
⇐⇒<br />
x3 = 16x2<br />
⎟<br />
⎠<br />
⇐⇒<br />
x1 − 5x2<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
x1<br />
x2<br />
x3<br />
⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ = λ ⎝<br />
5<br />
1<br />
16<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ (met x2 = λ)<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
3x1 + x2 − x3 = 0 <br />
x1 = 5x2<br />
Opmerking. De (<strong>en</strong>ige) serieuze rek<strong>en</strong>stap was x1 + 11x2 − x3 = 0 ⇐⇒<br />
⎪⎩<br />
x3 = 16x2<br />
x1 − 5x2 = 0<br />
We gebruikt<strong>en</strong> daarbij de derde vergelijking (x1 − 5x2 = 0) als e<strong>en</strong> soort bezem om x1 te eliminer<strong>en</strong> uit<br />
de andere twee vergelijking<strong>en</strong>: we verving<strong>en</strong> dus de eerste vergelijking door (eerste verg−3·bezem) <strong>en</strong> de<br />
tweede vergelijking door (tweede verg − bezem). Je kunt deze werkwijze ook opvatt<strong>en</strong> als veegproces in<br />
de matrix: blijkbaar verandert de kern niet als we de eerste rij vervang<strong>en</strong> door (eerste rij − 3 · derde rij),<br />
<strong>en</strong> de tweede rij door (tweede rij − derde rij). Algem<strong>en</strong>er geformuleerd:<br />
Ker(A) verandert niet door veg<strong>en</strong> met rij<strong>en</strong><br />
Preciezer gezegd: de kern van e<strong>en</strong> matrix blijft ongewijzigd als je<br />
• bij e<strong>en</strong> rij e<strong>en</strong> veelvoud van e<strong>en</strong> andere rij optelt<br />
• e<strong>en</strong> rij verm<strong>en</strong>igvuldigt met e<strong>en</strong> getal = 0<br />
• twee rij<strong>en</strong> verwisselt<br />
Eerder hebb<strong>en</strong> we al gezi<strong>en</strong>:<br />
Im(A) verandert niet door veg<strong>en</strong> met kolomm<strong>en</strong><br />
Anders gezegd: het bereik van e<strong>en</strong> matrix blijft ongewijzigd als je<br />
• bij e<strong>en</strong> kolom e<strong>en</strong> veelvoud van e<strong>en</strong> andere kolom optelt<br />
• e<strong>en</strong> kolom verm<strong>en</strong>igvuldigt met e<strong>en</strong> getal = 0<br />
• twee kolomm<strong>en</strong> verwisselt<br />
Ter vergelijking: bij het berek<strong>en</strong><strong>en</strong> van de rang zijn al deze acties toegestaan, omdat je het begrip rang<br />
naar keuze mag interpreter<strong>en</strong> als rij<strong>en</strong>rang of als kolomm<strong>en</strong>rang. Dus<br />
Rang(A) verandert niet door veg<strong>en</strong> met rij<strong>en</strong><br />
Rang(A) verandert niet door veg<strong>en</strong> met kolomm<strong>en</strong><br />
20
Deze trucs mak<strong>en</strong> de berek<strong>en</strong>ing van kern, bereik <strong>en</strong> rang tot e<strong>en</strong> voor elke chemicus toegankelijk karweitje.<br />
Nog e<strong>en</strong> ingewikkeld voorbeeldje: we berek<strong>en</strong><strong>en</strong> de kern van<br />
A =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
4 1 −5 −6<br />
1 −3 1 −2<br />
5 11 −13 −6<br />
We mog<strong>en</strong> nu onbekommerd met rij<strong>en</strong> veg<strong>en</strong>, in de veilige wet<strong>en</strong>schap dan zulke poespas de kern niet<br />
aantast:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
4 1 −5 −6<br />
1 −3 1 −2<br />
5 11 −13 −6<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
bezem<br />
rij 2<br />
=⇒<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 13 −9 2<br />
1 −3 1 −2<br />
0 26 −18 4<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
bezem<br />
rij 1<br />
=⇒<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 13 −9 2<br />
1 10 −8 0<br />
0 0 0 0<br />
Ker(A) is dus gelijk aan de kern van deze laatste matrix, <strong>en</strong> de berek<strong>en</strong>ing hiervan is e<strong>en</strong>voudig:<br />
⎛<br />
0<br />
⎜<br />
⎝ 1<br />
0<br />
13<br />
10<br />
0<br />
−9<br />
−8<br />
0<br />
⎛<br />
⎞ x1<br />
2 ⎜<br />
⎟ ⎜ x2<br />
0 ⎠ ⎜<br />
⎝ x3<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 0 ⎠ ⇐⇒<br />
0<br />
<br />
13x2 − 9x3 + 2x4 = 0<br />
x1 + 10x2 − 8x3 = 0<br />
x4<br />
T<strong>en</strong>slotte moet<strong>en</strong> we nog ev<strong>en</strong> de oplossingsverzameling van dit duo vergelijking<strong>en</strong> netjes pres<strong>en</strong>ter<strong>en</strong>.<br />
Dan kan bijvoorbeeld door x2 <strong>en</strong> x3 mooie griekse nam<strong>en</strong> te gev<strong>en</strong>: x2 = λ <strong>en</strong> x3 = µ. De vergelijking<strong>en</strong><br />
word<strong>en</strong> dan x4 = − 13 9<br />
2 λ+ 2 µ <strong>en</strong> x1 = −10λ+8µ, zodat e<strong>en</strong> vector uit de oplossingsverzameling geschrev<strong>en</strong><br />
kan word<strong>en</strong> als (x1, x2, x3, x4) = (−10λ + 8µ, λ, µ, − 13 9<br />
13<br />
9<br />
2 λ + 2 µ) = λ(−10, 1, 0, − 2 ) + µ(8, 0, 1, 2 ). De<br />
oplossingsverzameling bestaat blijkbaar uit alle lineaire combinaties van de vector<strong>en</strong> (−10, 1, 0, − 13<br />
2 ) <strong>en</strong><br />
(8, 0, 1, 9<br />
2 ) <strong>en</strong> is dus het opspansel van deze twee vector<strong>en</strong>. Breukhaters mog<strong>en</strong> dit resultaat desgew<strong>en</strong>st<br />
pres<strong>en</strong>ter<strong>en</strong> als Ker(A) = [(−20, 2, 0, −13), (16, 0, 2, 9)]<br />
Dim<strong>en</strong>siestelling. Voor e<strong>en</strong> lineaire afbeelding A : R n → R m geldt:<br />
• Ker(A) is e<strong>en</strong> lineaire deelruimte van R n<br />
• Im(A) is e<strong>en</strong> lineaire deelruimte van R m<br />
• dim(Ker A) + dim(Im A) = n<br />
(zonder bewijs)<br />
21<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
Opgav<strong>en</strong> hoofdstuk 2<br />
Opgave 1. Is translatie over (3, 5) e<strong>en</strong> lineaire afbeelding van R 2 naar R 2 ?<br />
Met deze translatie bedoel ik de functie A die gedefinieerd wordt door A(x) = x + (3, 5)<br />
Opgave <strong>2.</strong> Zij A : R 3 → R 2 de lineaire afbeelding met matrix<br />
Berek<strong>en</strong> A(1, 2, 3)<br />
3 −1 2<br />
5 1 0<br />
Opgave 3. Bepaal de matrix van de lineaire afbeelding die iedere vector uit R 5 afbeeldt op de nulvector<br />
uit R 3<br />
Opgave 4. Bepaal de matrix van de lineaire transformatie A van R 2 die voldoet aan<br />
A(1, 2) = (3, 4)<br />
A(3, 4) = (1, 2)<br />
Opgave 5. De onderstaande <strong>matrices</strong> hor<strong>en</strong> bij draaiing<strong>en</strong> of spiegeling<strong>en</strong>. Om welke hoek wordt er<br />
gedraaid, of om welke lijn wordt er gespiegeld?<br />
<br />
0<br />
A =<br />
1<br />
<br />
1<br />
0<br />
<br />
0<br />
B =<br />
1<br />
<br />
−1<br />
0<br />
<br />
1<br />
C =<br />
0<br />
<br />
0<br />
−1<br />
<br />
0<br />
D =<br />
−1<br />
<br />
1<br />
0<br />
Opgave 6. Welke van de volg<strong>en</strong>de functies A : R 3 → R 2 zijn lineaire afbeelding<strong>en</strong>?<br />
a) A(x1, x2, x3) = (x1 + 5x2, x2 − 3x3 + 7)<br />
b) A(x1, x2, x3) = (x3, 0)<br />
Opgave 7. Geef e<strong>en</strong> meetkundige interpretatie van de transformatie met matrix<br />
Opgave 8. Bepaal de matrix van de lineaire afbeelding A : R 3 → R 3 , gedefinieerd door<br />
A(x) def<br />
= de projectie van x op het vlak door O, (3, 1, 1) <strong>en</strong> (−2, 1, −1)<br />
Opgave 9. Van e<strong>en</strong> lineaire afbeelding A : R 2 → R 3 is gegev<strong>en</strong>:<br />
a) Bepaal de matrix van A<br />
b) Berek<strong>en</strong> A(3, 4)<br />
Opgave 10. A =<br />
5 −1<br />
0 3<br />
<br />
<strong>en</strong> B =<br />
1 2 1<br />
3 0 −2<br />
Ga na welke van de volg<strong>en</strong>de matrixproduct<strong>en</strong> mogelijk zijn <strong>en</strong> berek<strong>en</strong> ze:<br />
AB BA A 2<br />
22<br />
<br />
A 3<br />
<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
A(1, 3) = (1, 0, 0)<br />
A(2, 5) = (0, −1, 2)<br />
B 2<br />
1 0 0<br />
0 2 0<br />
0 0 3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
Opgave 11. Zij A : R2 → R2 de draaiing over e<strong>en</strong><br />
met de wijzers van de klok mee<br />
hoek π<br />
4<br />
a) Bepaal de matrix van A<br />
b) Berek<strong>en</strong> A 24<br />
♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣<br />
♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣<br />
x<br />
Ax<br />
450 Opgave 1<strong>2.</strong> Bepaal de rang van de lineaire transformatie A van R 3 die aan iedere vector zijn uitproduct<br />
met (1, 2, 3) toevoegt: Ax = x × (1, 2, 3)<br />
(tja, <strong>en</strong> nu maar hop<strong>en</strong> dat je je nog vaag herinnert wat uitproduct betek<strong>en</strong>t)<br />
Opgave 13. Bepaal de kern van de lineaire transformatie A van R 3 die gedefinieerd wordt door<br />
Ax def<br />
= de projectie van x op het vlak door O, (0, 1, 2) <strong>en</strong> (2, −1, 0)<br />
Opgave 14. Zij A : R 3 → R 4 de lineaire afbeelding met matrix<br />
Berek<strong>en</strong> Ker(A)<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
5 0 −2<br />
0 3 1<br />
2 2 −1<br />
−1 1 0<br />
Opgave 15. A : R 3 → R 3 is de lineaire afbeelding die de vector<strong>en</strong> (1, 0, 0), (1, 1, 0) <strong>en</strong> (1, 1, 1) overvoert<br />
in achtere<strong>en</strong>volg<strong>en</strong>s (0, 1, 1), (1, 0, 1) <strong>en</strong> (1, 1, 2)<br />
a) Bepaal de matrix van A<br />
b) Bepaal de kern van A<br />
Opgave 16. Bepaal Im(A) voor de transformatie A =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 3 5<br />
1 2 3<br />
1 5 9<br />
Opgave 17. Volg<strong>en</strong>s onze theorie verandert de kern niet door veg<strong>en</strong> met rij<strong>en</strong>. Laat aan de hand van<br />
e<strong>en</strong> voorbeeld zi<strong>en</strong> dat de kern wél kan verander<strong>en</strong> door veg<strong>en</strong> met kolomm<strong>en</strong><br />
Opgave 18. Gegev<strong>en</strong> is e<strong>en</strong> matrix met rang 3, die uit vijf rij<strong>en</strong> <strong>en</strong> zev<strong>en</strong> kolomm<strong>en</strong> bestaat. Bepaal<br />
uit deze gegev<strong>en</strong>s de dim<strong>en</strong>sie van zijn kern (aanwijzing: gebruik de dim<strong>en</strong>siestelling)<br />
Opgave 19. Bepaal de kern <strong>en</strong> het bereik van de matrix<br />
23<br />
3 5<br />
−2 7<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
Zelfstudiepakketje bij hoofdstuk 2<br />
Opgave 1. Zij A de lineaire transformatie van R 2 die als volgt meetkundig beschrev<strong>en</strong> wordt:<br />
<br />
<br />
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣<br />
♣<br />
♣<br />
♣<br />
♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣ <br />
♣<br />
♣<br />
♣<br />
♣<br />
♣<br />
<br />
<br />
♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣<br />
♣<br />
<br />
<br />
Ax<br />
x<br />
(1) ontbind x in e<strong>en</strong> horizontale compon<strong>en</strong>t <strong>en</strong> e<strong>en</strong> compon<strong>en</strong>t in richting (1, 1)<br />
(2) verdubbel de compon<strong>en</strong>t in richting (1, 1), <strong>en</strong> verzev<strong>en</strong>voudig de horizontale compon<strong>en</strong>t<br />
(3) stel de resultat<strong>en</strong> weer sam<strong>en</strong>, <strong>en</strong> zo vind je Ax<br />
a) Bepaal de matrix van A<br />
b) Bepaal de matrix van de lineaire afbeelding: doe A <strong>en</strong> doe daarna nog e<strong>en</strong>s A.<br />
Opgave <strong>2.</strong> Zij A de lineaire transformatie van R 3 die gedefinieerd wordt door<br />
a) Bepaal de matrix van A<br />
b) Bepaal de rang van A<br />
c) Bepaal de kern van A<br />
d) Berek<strong>en</strong> A 7<br />
Ax is de projectie van x op het vlak V met vergelijking x1 = x3<br />
Opgave 3. Bepaal de matrix <strong>en</strong> de kern van de lineaire afbeelding A die gedefinieerd wordt door<br />
Ax = x × (2, 5, 1)<br />
Opgave 4. Volg<strong>en</strong>s onze theorie verandert het bereik niet door veg<strong>en</strong> met kolomm<strong>en</strong>. Laat aan de<br />
hand van e<strong>en</strong> voorbeeldje zi<strong>en</strong> dat het bereik wél kan verander<strong>en</strong> door veg<strong>en</strong> met rij<strong>en</strong><br />
Opgave 5.<br />
a) Verzin e<strong>en</strong> lineaire transformatie A van R 3 met<br />
(of bewijs dat je dit niet kunt)<br />
b) Verzin e<strong>en</strong> lineaire transformatie A van R 3 met<br />
(of bewijs dat je dit niet kunt)<br />
c) Verzin e<strong>en</strong> lineaire transformatie A van R 3 met<br />
(of bewijs dat ik dit niet kan)<br />
d) Verzin e<strong>en</strong> lineaire transformatie A van R 3 met<br />
(of bewijs dat ik dit niet kan)<br />
Ker(A) = [(3, −1, 2)]<br />
Im(A) = [(1, 2, 0), (1, 1, 1)]<br />
Ker(A) = [(1, 2, 0), (1, 1, 1)]<br />
Im(A) = [(3, −1, 2)]<br />
Ker(A) = [(3, −1, 2)]<br />
24<br />
Im(A) = [(3, 1, −2)]<br />
Ker(A) = [(1, 2, 0), (1, 1, 1)]<br />
Im(A) = [(1, 2, 0), (1, 1, 1)]
Opgave 6. Zij A de lineaire transformatie van R3 ⎛<br />
0 −3<br />
⎞<br />
2<br />
⎜<br />
met matrix ⎝ 2 5<br />
⎟<br />
4 ⎠<br />
a) Bepaal het bereik van A<br />
b) Bepaal de kern van A<br />
Opgave 7. Zij A e<strong>en</strong> 5 × 5 matrix met rang 5<br />
a) Wat is Im A ?<br />
b) Wat is Ker A ?<br />
5 7<br />
2<br />
c) Bewijs dat A twee verschill<strong>en</strong>de originel<strong>en</strong> altijd overvoert in twee verschill<strong>en</strong>de beeld<strong>en</strong><br />
25<br />
3
Oplossing<strong>en</strong><br />
Opgave 1. a) Deze transformatie voldoet aan A(1, 0) = (7, 0) <strong>en</strong> A(1, 1) = (2, 2). Je kunt nu de<br />
eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> lineaire afbeelding gebruik<strong>en</strong> om A(0, 1) uit te rek<strong>en</strong><strong>en</strong>: A(0, 1) = A((1, 1) −<br />
(1, 0)) = A(1, 1) − A(1, 0) = (2, 2) − (7, 0) = (−5, 2). De matrix van A heeft als kolomm<strong>en</strong> de beeld<strong>en</strong><br />
van de basisvector<strong>en</strong> (1, 0) <strong>en</strong> (0, 1), dus deze matrix is<br />
<br />
7<br />
A =<br />
0<br />
<br />
−5<br />
2<br />
b) Compositie van lineaire afbeelding<strong>en</strong> komt neer op verm<strong>en</strong>igvuldiging van hun <strong>matrices</strong>. De matrix<br />
van A ◦ A is dus<br />
A 2 <br />
7<br />
=<br />
0<br />
<br />
−5 7<br />
2 0<br />
<br />
−5 49<br />
=<br />
2 0<br />
<br />
−45<br />
4<br />
Opgave <strong>2.</strong> a) We kiez<strong>en</strong> eerst e<strong>en</strong> orthogonale basis van V, bijvoorbeeld (0, 1, 0), (1, 0, 1). De projectie<br />
van (x1, x2, x3) op (0, 1, 0) is (0, x2, 0) (dat ziet zelfs e<strong>en</strong> wiskundehater), <strong>en</strong> de projectie van (x1, x2, x3) op<br />
(1, 0, 1) is ( 1<br />
2x1 + 1<br />
2x3 , 0 , 1 1<br />
2x1+ 2x3) (dat heb ik met de projectieformule gevond<strong>en</strong>). Dus A(x1, x2, x3) =<br />
( 1<br />
2x1 + 1<br />
2x3 , x2 , 1<br />
2x1 + 1<br />
2x3), <strong>en</strong> de matrix van A is dus<br />
A =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
2 0 1<br />
2<br />
0 1 0<br />
1 1<br />
2 0 2<br />
b) De rang van A is de dim<strong>en</strong>sie van de verzameling van de beeld<strong>en</strong>. Die beeldverzameling is het vlak<br />
V, dus de rang is 2<br />
c) De kern van A bestaat uit alle vector<strong>en</strong> waarvan de projectie de nulvector is. Dat zijn vanzelfsprek<strong>en</strong>d<br />
de vector<strong>en</strong> die loodrecht op het vlak staan, dus alle veelvoud<strong>en</strong> van de vector (1, 0, −1). De kern<br />
is dus de lijn [(1, 0, −1)]<br />
d) Alweer zo’n flauw vraagje. Vanzelfsprek<strong>en</strong>d is A ◦ A = A, want als je projecteert <strong>en</strong> vervolg<strong>en</strong>s het<br />
resultaat nogmaals projecteert, blijft dit resultaat verder ongewijzigd. Ev<strong>en</strong>zo is A 7 = A ◦ A ◦ A ◦<br />
A ◦ A ◦ A ◦ A = A<br />
Opgave 3. A(x1, x2, x3) = (x2 − 5x3, −x1 + 2x3, 5x1 − 2x2) volg<strong>en</strong>s e<strong>en</strong> formule uit mijn stoffig diktaat<br />
<strong>Wiskunde</strong> 1. De matrix van A is dus<br />
⎛<br />
0 1<br />
⎞<br />
−5<br />
⎜<br />
A = ⎝ −1 0 2<br />
⎟<br />
⎠<br />
Het berek<strong>en</strong><strong>en</strong> van de kern kan op twee manier<strong>en</strong>:<br />
5 −2 0<br />
(1) Ik herinner me uit mijn jeugd dat de l<strong>en</strong>gte van het uitproduct x×(2, 5, 1) gelijk is aan de oppervlakte<br />
van het door x <strong>en</strong> (2, 5, 1) opgespann<strong>en</strong> parallellogram. Die oppervlakte is 0 dan <strong>en</strong> slechts dan als<br />
de vector<strong>en</strong> x <strong>en</strong> (2, 5, 1) in elkaars verl<strong>en</strong>gde ligg<strong>en</strong>. Anders gezegd: Ker(A) = [(2, 5, 1)]<br />
(2) Ax = ⎧<br />
⎪⎨<br />
x2 − 5x3 = 0 <br />
x2 − 5x3 = 0<br />
O ⇐⇒ −x1 + 2x3 = 0 ⇐⇒<br />
⎪⎩<br />
−x1 + 2x3 = 0<br />
5x1 − 2x2 = 0<br />
<br />
x2 = 5λ<br />
We noem<strong>en</strong> nu x3 ev<strong>en</strong> λ. De vergelijking<strong>en</strong> zijn dan<br />
x1 = 2λ<br />
wat dus neerkomt op (x1, x2, x3) = (2λ, 5λ, λ) = λ(2, 5, 1). De conclusie: Ker(A) = [(2, 5, 1)]<br />
26<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
Opgave 4. Als voorbeeldje neem ik de matrix A =<br />
1 1<br />
1 1<br />
Door veg<strong>en</strong> met rij<strong>en</strong> (als bezem neem ik rij 1) onstaat hieruit de matrix B =<br />
<br />
1 1<br />
Deze veegactie heeft het bereik inderdaad drastisch veranderd, want Im(A) is de lijn [(1, 1)] <strong>en</strong> Im(B) is<br />
de lijn [(1, 0)]<br />
Opgave 5.<br />
a) Je voldoet aan de gestelde eis<strong>en</strong> als je er bijvoorbeeld voor zorgt dat<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
A(3, −1, 2) = (0, 0, 0)<br />
A(1, 0, 0) = (1, 2, 0)<br />
A(0, 1, 0) = (1, 1, 1)<br />
Door hierop de eig<strong>en</strong>schapp<strong>en</strong> van e<strong>en</strong> lineaire afbeelding los te lat<strong>en</strong> kun je A(0, 0, 1) uitrek<strong>en</strong><strong>en</strong>.<br />
Dat gaat als volgt: A(0, 0, 2) = A((3, −1, 2) − (3, 0, 0) + (0, 1, 0)) = A(3, −1, 2) − 3A(1, 0, 0) +<br />
A(0, 1, 0) = (0, 0, 0) − (3, 6, 0) + (1, 1, 1) = (−2, −5, 1) <strong>en</strong> dus A(0, 0, 1) = (−1, − 5 1<br />
2 , 2 ). Nu k<strong>en</strong> je<br />
de matrix van A: de eerste kolom is A(1, 0, 0), de tweede kolom is A(0, 1, 0) <strong>en</strong> de derde kolom is<br />
A(0, 0, 1)<br />
⎛<br />
1 1 −1<br />
⎜<br />
Dus A = ⎝ 2 1 − 5<br />
⎞<br />
2<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 1<br />
2<br />
b) Hieraan kun je voldo<strong>en</strong> door er bijvoorbeeld voor te zorg<strong>en</strong> dat<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
A(1, 2, 0) = (0, 0, 0)<br />
A(1, 1, 1) = (0, 0, 0)<br />
A(1, 0, 0) = (3, −1, 2)<br />
De eerste kolom van deze A is A(1, 0, 0) = (3, −1, 2), de tweede kolom is A(0, 1, 0) = 1<br />
2A(0, 2, 0) =<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3 1<br />
2A((1, 2, 0) − (1, 0, 0)) = 2A(1, 2, 0) − 2A(1, 0, 0) = (− 2 , 2 , −1) <strong>en</strong> de derde kolom is A(0, 0, 1) =<br />
A(1, 1, 1) − A(1, 0, 0) − A(0, 1, 0) = (− 3 1<br />
2 , 2 , −1)<br />
⎛<br />
3<br />
⎜<br />
Dus A = ⎝<br />
− 3<br />
−1<br />
2<br />
3 − 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2 −1 −1<br />
c) Dat kan ik niet, want volg<strong>en</strong>s de dim<strong>en</strong>siestelling moet de som van de dim<strong>en</strong>sies van Ker(A) <strong>en</strong> Im(A)<br />
3 zijn<br />
d) Ook deze opdracht is volg<strong>en</strong>s de dim<strong>en</strong>siestelling gedoemd te mislukk<strong>en</strong><br />
27<br />
0 0
Opgave 6.<br />
a) Het bereik van A is het opspansel van de kolomm<strong>en</strong>, <strong>en</strong> dat verandert niet als we met die kolomm<strong>en</strong><br />
gaan veg<strong>en</strong>:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 −3 2<br />
2 5 4<br />
5 7<br />
2<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
kolom 1<br />
· 1<br />
2<br />
=⇒<br />
kolom 2<br />
·(− 1<br />
3 )<br />
=⇒<br />
kolom 3<br />
·(− 1<br />
13 )<br />
=⇒<br />
verwissel<br />
k1 <strong>en</strong> k2<br />
=⇒<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 −3 2<br />
1 5 4<br />
5<br />
2<br />
7<br />
2<br />
0 1 2<br />
1 0 0<br />
3<br />
5<br />
2 3 −7<br />
0 1 0<br />
1 0 0<br />
5<br />
2 3 1<br />
1 0 0<br />
0 1 0<br />
0 0 1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
bezem<br />
kolom 1<br />
=⇒<br />
bezem<br />
kolom 2<br />
=⇒<br />
bezem<br />
kolom 3<br />
=⇒<br />
Door veg<strong>en</strong> met kolomm<strong>en</strong> is A veranderd in I, dus Im(A) = Im(I) = R 3<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 −3 2<br />
1 0 0<br />
5<br />
2<br />
−9 −7<br />
0 1 0<br />
1 0 0<br />
5<br />
2 3 −13<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 1 0<br />
1 0 0<br />
0 0 1<br />
b) Dat kan handig met de dim<strong>en</strong>siestelling: dim(Ker A)+dim(Im A) = 3. Omdat Im A driedim<strong>en</strong>sionaal<br />
is, moet Ker A dus nuldim<strong>en</strong>sionaal zijn, <strong>en</strong> dus Ker A = { O}<br />
Opgave 7.<br />
a) De rang is de dim<strong>en</strong>sie van Im A. De <strong>en</strong>ige 5-dim<strong>en</strong>sionale lineaire deelruimte van R 5 is R 5 zelf, dus<br />
Im A = R 5<br />
b) De dim<strong>en</strong>sie van Ker A is volg<strong>en</strong>s de dim<strong>en</strong>siestelling nul, dus Ker A = { O}<br />
c) Neem e<strong>en</strong>s aan dat er twee verschill<strong>en</strong>de vector<strong>en</strong> x <strong>en</strong> y zoud<strong>en</strong> bestaan met hetzelfde A-beeld.<br />
Uit Ax = Ay volgt dan dat A(x − y) = O. We hebb<strong>en</strong> dan e<strong>en</strong> niet-nul-vector (namelijk x − y)<br />
gevond<strong>en</strong> die op O wordt afgebeeld, hetge<strong>en</strong> strijdig is met Ker A = { O}<br />
Opmerking. E<strong>en</strong> 5 × 5 matrix met rang 5 heet regulier. Je kunt dit begrip regulier blijkbaar op<br />
verschill<strong>en</strong>de manier<strong>en</strong> interpreter<strong>en</strong>:<br />
• de rij<strong>en</strong> zijn onafhankelijk<br />
• de kolomm<strong>en</strong> zijn onafhankelijk<br />
• de kern is { O}<br />
• het bereik is de hele R 5<br />
• verschill<strong>en</strong>de originel<strong>en</strong> hebb<strong>en</strong> altijd verschill<strong>en</strong>de beeld<strong>en</strong><br />
• de matrix is kolom-veegbaar tot I<br />
• de matrix is rij-veegbaar tot I<br />
We kom<strong>en</strong> hier in hoofdstuk 4 op terug<br />
28<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠