GRONDBEGINSELEN VANDE TRANSMISSIELEER - ECMD

Hoofdstuk 2
GRONDBEGINSELEN
VANDE
TRANSMISSIELEER
2.1 INLEIDING
Dit inleidende, theoretische hoofdstuk bevat in verkorte vorm een volledige cursus
'transmissieleer' , toegespitst op de aandrijftijn van de personenauto.
Een transmissie of overbrenging is een mechanisme datk;achten en bewegingen van
de ene naar een andere plaats transporteert en daarbij deze krachten en bewegingen,
of hun onderlinge verhouding, verandert. Dit transport vindt plaats via componenten
van vaste stof (tandwielen, riemen, kettingen, assen, koppelingen) en via vloeistoffen
en gassen.
Omdat band A van dit Steinbuch-deel zich grotendeels beperkt tot de basiscomponenten
van de conventionele aandrijftijn staat in dit hoofdstuk de tandwieloverbrenging
met ui/IVendige vertanding centraal (zie 2.3). Vanwege het belang van een betrouwbare
smering van deze transmissie wordt paragraaf 2.3 voorafgegaan door een
inleiding in het stromings- en krachtoverbrengingsgedrag van vloeistoffen, toegespitst
op een bijzonder type vloeistoffen: de niet-newtonvloeistoffen (zie 2.2).
In de moderne uitvoering van de conventionele aandrijllijn neemt de viscokoppeling
een steeds belangrijker plaats in, zoals onder andere blijkt uit de toepassing als wrijvingsopwekker
in moderne differentieels (zie hoofdstuk 7). Daarom bevat 2.2 tevens
een uitgebreide inleiding in het gedrag van siliconenvloeistoffen, inclusief de meest
moderne variant ervan, de elektrovisceuze vloeistoffen.
In de laatste paragraaf van dit hoofdstuk (2.4) wordt de overgang gemaakt tussen de
basistheorie uit de eerdere paragrafen en de toepassing van. de tandwieltr. ,msmissie in~
de concrete personenauto. Centraal in 2.4 staat het overschotdiagram dat een rechtstreekse
vergelijking mogelijk maakt tussen de door de motor gelev~rde 'beschikbare
aandrijfkracht' (2.4.2) en de door de omgeving gedicteerde 'vereiste aandrijfkracht'
(2.4.3). - {4 I .,.,. ,~
Voor de ketting- en de riemoverbrenging, wezenlijke basiscomponenten van de automatische
transmissie en van de vierwielaandrijving, verwijzen we naar band B van dit
Steinbuch-deel.
De hier gegeven basiskennis wordt in de 'praktische hoofdstukken' 3 tot en met 7
bekend verondersteld. Daarom is dit hoofdstuk zó opgezet, dat de geoefende autotechnicus
het zonder problemen kan overslaan. Het achterin dit deel opgenomen
register stelt hem of haar in staat, alle hier behandelde begrippen en definities snel en
gemakkelijk op te zoeken.
81

2.2 NIET-NEWTONVLOEISTOFFEN
2.2.1 Vloeistofstroming en viscositeit
De stromingsleer vormt een onderdeel van de reologie, dat is de wetenschap die zich
bezighoudt met 'stofstroming' in de ruimste zin van het woord, dus met het vervormingsgedrag
van vaste stoffen, vloeistoffen en gassen onder invloed van krachten en
drukken.
Bij de theorie van de vloeistofstroming gaat men in eerste instantie uit van een ideale
vloeistof, dat is een niet-samendrukbare vloeistof waarvan de inwendige vloeistoflaagjes
geen wrijvingskrachten op elkaar uitoefenen. Zo'n stroming is altijd laminair,
als de vloeistoflaagjes parallel ten opzichte van elkaar bewegen. Een stroming is turbulent,
als deze ordening verloren gaat en wervelingen in de vloeistof ontstaan.
Stroming
Stroming is de beweging van een hoeveelheid stof, die daarbij tegelijkertijd van vorm
verandert. Is deze stroming stationair (dat wil zeggen: is de snelheid van een vloeistofdeeltje
langs een denkbeeldige stroomlijn in de vloeistof in grootte en richting constemt)
en is ook de temperatuur constant, dan geldt de continuïteitsregel. Volgens deze
regel is in een stroombuis (een bundel stroomlijnen) het verplaatste vloeistofvolume
per tijdseenheid constant. Dit volume is gelijk aan het verplaatste oppervlak maal de
verplaatsingsafstand: V = A .s. Noemen we 'vloeistofvolume per tijdseenheid' de volumestroom
of het volumedebiet qv, dan geldt dus:
V A.s
q" = - = -- = f1 . [) = C
I I [
~3J (2.1)
Omdat arbeid gelijk is aan het produkt van kracht en afgelegde afstand (W = F-s)
en kracht gelijk is aan het produkt van druk en oppervlak (want p = F/A) kan men
voor de door of op een vloeistofhoeveelheid verrichte arbeid schrijven:
W=F's=p.f1.s=p'V [Nm] = [J] (2.2)
Het vermogen: is de arbeid die per tijdseenheid wordt verricht, zodat:
W p'ks
IJ = - = --- = P' f1 . [) = P . qv
I I
[W]
Het verband tussen de vloeistofsnelheid ven de vloeistofdruk wordt gegeven door de
wet van Bernoulli (waarvan de afleiding in deel 4 van de Steinbuch-serie is te vinden):
p (de Griekse kleine letter 'ro') is de dichtheid van het stromende medium, 9 de
zwaartekrachtversnelling en Ir de hoogte van het beschouwde deeltje.
Men noemt de beide termen (p + p.g.lr) de starisclre druk van de stromende vloeistof,
terwijl de term ~p.v~ de Irydrodynamisclre of stuwdruk vertegenwoordigt.
X2
(2.3)
(2.4)

Met deze wet wordt uitgedrukt, dat bij een ideale vloeistof in stationaire stroming de
som van statische en stuwdruk in elk punt van een stroomlijn dezelfde waarde heeft.
De wet van Bernoulli biedt de mogelijkheid, uit een drukmeting de stromingssnelheid
af te leiden. Zo heerst in afbeelding 2.1 in punt A de statische druk PI en in het
stuwpunt S de statische druk P2' Volgens Bernoulli geldt dan: PI + ~pV2 = P2' In het
stuwpunt is de druk dus ~pV2 hoger dan de statische druk van de ongestoorde stroming.
Anders geformuleerd, v-olgthieruit dat de stuwdruk in punt S gelijk is aan het verschil
tussen de statische drukken in het stromende medium:
Afb. 2.1. De pitotbuis -v
[Pa] (2.5)
Op dit principe berust een speciaal type luchtsnelheidsmeter , de pitotbuis (zie band
B).
Niet-ideale stroming
Nu zal in de werkelijkheid een vloeistof inwendige wrijving vertonen. Een dergelijk
vloeistof heet vÎsceus (dikvloeiend of stroperig) . Bij een visceuze vloeistof zal de wet
van Bernoulli niet meer exact gelden: er zal een drukverlies !1p in de buis ontstaan,
zodat bij de rechter termen van formule 2.4 de term !1p moet worden opgeteld (de
Griekse hoofdletter !1 staat voor een gericht verschil).
Bij werkelijke stro~g ontstaat dus een drukverschil in de vloeistof. Omgekeerd zal
pas een drukverschil een stroming op gang brengen.
Viscositeit
De mate waarin een stromend medium zich verzet tegen vervorming wordt uitgedrukt
door de viscositeit, dat is de weerstand van de vloeistofmoleculen tegen hun onderlinge
verplaatsing.
Bij een laminair stromende vloeistof zal de vloeistofsnelheid in de buurt van de stilstaande
wand geringer zijn dan 'dieper' in de vloeistof, omdat het snelheidsverschil
Afb. 2.2. Het snelheidsverloop in een langs
een wand stromende vloeistof
vloeistofniveau Vmu
83

L1v tussen de vloeistoflaagjes onderling een zekere schuifspanning T (de Griekse kleine
letter 'tau') zal opwekken. Die schuifspanning is het grootst waar de vloeistof de
stilstaande wand raakt (afb. 2.2). Dit inzicht is gebaseerd op de grenslaagtheorie van
Prandtl, die stelt dat in een grenslaag (dat is de vloeistoftaag in de onmiddellijke
nabijheid van een vast lichaam) de stroming wordt bepaald door de inwendige vloeistofwrijving.
De dikte van die grenslaag neemt toe naarmate de viscositeit van de
vloeistof toeneemt en de stromingssnelheid afneemt.
Volgens Newton is de schuifspanning tussen twee vloeistoflaagjes evenredig met L1v,
betrokken op een lengte-eenheid die loodrecht op de stromingssnelheid, dus loodrecht
op de stilstaande wand wordt gemeten. Noemt men dit lengteverschil L1y, dan
kan men voor het snelheidsverval in een vloeistof schrijven: L1vlL1y, waarvoor men
een aparte grootheid invoert: D. D wordt ook wel de snelheidsgradiënt of de afschuifsnelheid
genoemd. Volgens Newton kan men dus schrijven:
T = 'I'D [Pa] (2.6)
De evenredigheidsfactor '7 (de Griekse kleine letter 'èta') is de dynamische viscositeit:
zij geeft de mate aan, waarin de schuifspanning afhangt van de snelheidsgradiënt.
De eenheid van '7 is de pascal seconde (Pa.s), hetgeen volgt uit de definitie van '7:
schuifspanning (Pa) per snelheidsverval (meter per seconde per meter: m/(s.m) =
çl). Dus: Pa/(S-I) = Pa.s. In de smeringstechniek treft men echter dikwijls nog de
verouderde, en binnen het SI niet meer toegestane eenheid poise (P) aan, meestal als
centipoise. 1cP is gelijk aan 1mPa.s. De dynamische viscositeit van water bedraagt bij
20 oe ongeveer 10- 3 Pa.s.
Wil men de dikvloeiendheid van een vloeistof onderzoeken onder verwaarlozing van
de krachtwerking van de aarde, dus onder verwaarlozing van de massa ervan, dan
deelt men '7 door de dichtheid p van de vloeistof en ontstaat de kinematische viscositeit
v (de Griekse kleine letter 'nu'):
'I
\'=-
P [
De eenheid van l' volgt uit de eenhedenvergelijking:
~"J (2.7)
De omzetting van de tweede naar de derde term komt tot stand door [Pa) te vervangen
door de identieke vorm [Nim") en door [kg) te vervangen door [(N's 2 )/m), want F =
m.a, dus [N] = [kg)'[m/s 2 ). De verouderde, niet-SI-eenheid is de stokes (St); 1 centistokes
(cSt) is gelijk aan lO- ó m"/s. De kinematische viscositeit van water bedraagt bij
20 oe ongeveer 1O- ó m 2/s.
De dynamische en kinematische viscositeit zijn vloeistofeigenschappen, die in eerste
instantie van de aard van de vloeistofmoleculen afhangen, dus van hun grootte en
pakkingsdichtheid en daarmee van hun vorm en van de heersende druk en tempera-
84
(2.7c)

tuur. Bij vloeistoffen met een vergelijkbare chemische opbouw (bij voorbeeld koolwaterstoffen)
stijgt de viscositeit met toenemende (gemiddelde) molecuulmassa. Bij
vloeistoffen met een gelijke molecuulmassa leidt een compacte (ringvormige of in
elkaar verstrengelde) molecuulopbouw tot een grotere weerstand tegen vervorming,
dus tot een hogere viscositeit dan een gestrekte, 'draadvormige' molecuulopbouw.
Bij een vloeistof met een gegeven molecuulstructuur hangt de viscositeit in het ideale
geval uitsluitend af van de druk en de temperatuur. Anders gezegd: bij constante druk
en temperatuur is de dynamische viscositeit onafhankelijk van de snelheidsgradiënt:
'1 = 2- = constant (bij p, T = constant) [Pa' sJ
D
V "
(2.7a)
In een 1]-D-diagram ontstaat dus een horizontale, rechte lijn (afb. 2.3a), terwijl in een
r-D-diagram (afb. 2.3b) een rechte lijn onder een hoek cp ontstaat, waarbij:
r
tan qJ = - = constant
D
Vloeistoffen die dit gedrag vertonen worden newton vloeistoffen genoemd. Ook gas- î
sen kunnen in het algemeen tot de newtonmedia worden gerekend. Verder behoren
vele minerale oliën tot deze groep: zij vertonen een newtons stromingsgedrag tot een
snelheidsgradiënt van 10 5 ... 10 6 S-I.
Het punt waar bij een newtonvloeistof de laminaire stroming omslaat in een turbulente
wordt kritische snelheid V kr genoemd. Deze is behalve van de kinematische viscositeit
en de afmetingen van de ruimte (bij een buis bij voorbeeld de buisdiameter) ook
afhankelijk van de kengrootheid van Reynolds Re, een vloeistofeigenschap. Hoe hoger
v en Re, des te hoger kan de stromingssnelheid zijn voordat er turbulente stroming
optreedt. Voor vloeistoffen ligt Re in de buurt van 2300, voor gassen in de buurt van
100.
(2.7b)
Niet -newton vloeis toffen
Er is echter een grote groep vloeistoffen, die niet aan de viscositeitswet van Newton
voldoet. Omdat hun 'viscositeit' geen vloeistofconstante is, maar afhangt van de snelheidsgradiënt
of van de schuifspanning, spreekt men liever van de schijnbare viscositeit
1]" dat is (zie formule 2.7a) de bij een bepaalde, heersende waarde van D optredende
helling die de raaklijn in een bepaald punt van de vloeikromme maakt met
de D-as. Dergelijke niet-newton vloeistoffen worden in de autotechniek steeds belangrijker.
Men deelt ze in op grond van hun viscositeitsgedrag. Men kan namelijk schrijven:
1-11
I/=I(-D.--
S S IJ
[Pa' sJ (2.8)
waarin r/; de schijnbare viscositeit bij D = I çl voorstelt en n een structuur-exponent.
Voor n = 1 is sprake van een newtonvloeistof: dan wordt de breuk gelijk aan 0, dus is
"I -+1 er niet sprake van een schijnbare viscositeit.
Is n-niet gelijk aan 1, dan is sprake van een niet-newtonvloeistof. Veel suspensies en
solen behoren tot deze groep. Een suspensie is een fijne verdeling (of dispersie) van
zeer kleine vastestofdeeltjes (in de orde van grootte van 1...0, 1 flm) in een vloeistof.
Zijn de deeltjes nog kleiner, dan wordt het systeem colloïdaal genoemd. In het eerste
85

geval treedt na enige tijd meestal sedimentvorming (vorming van neerslag) op, terwijl
de deeltjes ook kunnen worden afgefilterd, wat bij colloïdale systemen niet mogelijk
is. Een sol is een colloïdaal systeem (dikwijls op basis van een newtonvloeistof) waarin
(beschouwd op het moleculaire niveau: relatief zeer grote) niet -vormstabiele moleculen
zijn opgelost die bij toenemende
stromingssnelheid.
schuifspanning zich richten in de richting van de
Als n > I, dan neemt de schijnbare viscositeit af bij toenemende schuifspanning (afb.
2.3a en b). Dit stromingsgedrag wordt normaal strllctllllrviscclis gedrag genoemd. Het
treedt op in suspensies, lakken en siliconen. Het treedt ook op in minerale oliën,
waaraan polymeren zijn toegevoegd en in synthetische polymeer-smeermiddelen
(een polymeer
re moleculen).
is een macromolecule, opgebouwd uit een groot aantal gelijke, kleine-
Bij n < I, dus als de schijnbare viscositeit toeneemt bij stijgende schuifspanning, is
sprake van dilalant strllctllllrviscelis gedrag. Dit treedt op bij bepaalde verfsoorten en
ook bij sommige siliconen. In het dagelijkse taalgebruik binnen dit vakgebied worden
vloeistoffen van de eerste soort ook wel kortwegstructllurvisceus genoemd, terwijl de
tweede soort dan kortweg dilalant wordt genoemd.
",. Ol
Pa.s
c Pa
.~
.2
c
.(ij
0
'" 0.
U .!!!

Er zijn ook niet-newtonmaterialen die toch een lineair verband kennen tussen ren D,
zij het nadat eerst een bepaalde drempelwaarde van de schuifspanning, de zwichtspanning
of vloeigrens, is overschreden. Dergelijke materialen worden bingham-lichamen
of (omdat de grens tussen vaste en vloeibare toestand moeilijk te trekken
valt) bingham-media genoemd. Het zijn in het algemeen plastisch blijvende materia- {
Jen, zoals smeervet, waarvan de schijnbare viscositeit onder druk zelfs lager kan worden
dan van veel newtonvloeistoffen, zoals in afbeelding 2.3a en b te zien is. Binghammedia
met een niet-lineair gedrag worden pseudo-plastisch genoemd. Daartoe behoren
stopverf, boetseerklei en margarine.
De meeste niet-newtonvloeistoffen vertonen bovendien een viscositeitsgedrag dat
verandert met de duur van de schuifbelasting. Sommige colloïdale vloeistoffen zoals
yoghurt vertonen bij voorbeeld in rusttoestand een grotere weerstand tegen vervorming
dan wanneer zij in beweging zijn. Paraffinehoudende olie stolt tot een halfvaste I
massa en kan daardoor leidingen verstoppen, maar na roeren is de stof tamelijk vloei- \
baar.
Neemt de schijnbare viscositeit toe met de belastingsduur , dan spreekt men van reopexie,
neemt zij af, dan is sprake van thixotropie (afb. 2.3c). In het r-D-diagram vertonen
zowel reopectische als thixotropische materialen een hysteresislus (afb. 2.3d):
in het eerste geval neemt de schuifspanning trager af bij afnemende snelheidsgradiënt,
in het tweede geval juist sneller. Voorbeelden van thixotropische materialen
zijn siliconen, smeervetten, gels, zalven en lippenstift. Een gel is een sol waarin de
concentratie van de colloïdale deeltjes zo groot is, dat een vloeigrens (dus een scheidingslijn
tussen een vaste en een vloeibare toestand) aanwezig is.
In de termen van de elasticiteitsleer is hier dikwijls tevens sprake van visco-elastisch
gedrag: de omkeerbare opstijving van het materiaal wordt veroorzaakt doordat de
vloeistofmoleculen zich na het wegvallen of verminderen van de belasting als elastische
materialen gedragen. Het weissenberg-effect (het 'opkruipen' van een vloeistof in
een roterende verticale buis) en het merrington-ejject (het samentrekken van een
'vloeistof na het verlagen van de schuifspanning) zijn voorbeelden van deze viscoelasticiteit,
die behalve bij rubber, sommige kunststoffen, asfaltbitumen, en metalen
bij hoge temperaturen ook bij oliën met polymeertoevoegingen optreedt.
Afb. 2.4 Hel slrllClUlIrviscells
gedrag Viln een l/llllii-grade-o/ie
~--
o 4 8 S-1 9
----. log D
87

Veel in de autotechniek gebruikte vloeistoffen vertonen in hun stromingsgedrag combinaties
van de hier gedefinieerde verschijnselen. Een smeervet bij voorbeeld vertoont
een combinatie van structuurviscositeit en thixotropie.
Een multi-grade-olie (zie verderop) wordt gekenmerkt door een combinatie van structuurviscositeit
en newtonstroming (atb. 2.4). Bij toenemende snelheidsgradiënt gedraagt
zo'n olie zich aanvankelijk als een newtonvloeistof. Vervolgens doorloopt zij
een gebied waarin de viscositeit daalt om daarna in een tweede newtontoestand over
te gaan. In dit laatste gebied kunnen de aanwezige polymeren of andere zeer grote
moleculen niet verder meer worden vervormd of nog meer in de stromingsrichting
gaan liggen.
Viscositeit en druk
Eerder in deze paragraaf werd uiteengezet, dat voor een gegeven newtonvloeistof de
viscositeit uitsluitend afhankelijk is van de druk en de temperatuur.
De drukafhankelijkheid hangt samen met het verschijnsel, dat bij een hogere pakkingsdichtheid
van de moleculen de weerstand tegen onderlinge verplaatsing toeneemt.
Omdat de meeste vloeistoffen en zeker de koolwaterstoffen slechts een geringe
compressibiliteit bezitten, is de invloed van de druk op de viscositeit echter pas
waarneembaar bij zeer hoge drukstijgingen. Wiskundig kan deze invloed (bij constante
temperatuur) worden weergegeven als een exponentiële functie:
'lp = '10' e"P [Pa' sJ (2.9)
Daarin zijn 'lp en IJode viscositeit bij respectievelijk de heersende druk in de vloeistof
en de atmosferische druk. De exponenten a (de Griekse kleine letter 'alfa') en p zijn
respectievelijk de viscositeit-drukcoëjficiënt en de heersende druk in de vloeistof.
Het opstellen van een IJ-p-diagram voor een concrete vloeistof levert op deze wijze
nogal problemen op, omdat men een groot aantal meetpunten nodig heeft, om de
exponentiële functie te tekenen (atb 2.5a). Daarom past men een rekentruc toe, die
erop neerkomt dat men de IJ-schaal logaritmisch weergeeft.
Een logaritme heeft in het algemeen de volgende vorm:
(2.10)
Deze uitdrukking geeft aan, dat als men het grondtal b verheft tot de macht x, het
resultaat y is. Zo is IlJloglOOOgelijk aan 3, omdat 10 3 = 1000. Deze schrijfwijze wordt
de normale of briggse logaritme genoemd. Is het grondtal 10, dan laat men dit meestal
I weg.
In de techniek wordt echter vaker gewerkt met de natuurlijke logaritme met als grond-
~ 1 tal 'e', dat is een vast getal met de waarde 2,71828 ... Men hanteert voor de natuurlijke
logaritme ook etG-"a'tdere schrijfwijze: In, waarvoor geldt:
Clog.l' = In.l' = x =:> e = .I' (2. IDa)
Men kan bewijzen, dat voor de logaritme van een produkt, een quotiënt en een exponentiële
functie respectievelijk geldt:
88

u
hlog - = hlog u - hlog I'
V
(2.IOb)
(2.IOc)
(2.lOd)
zodat men formule 2.9 nu ook kan schrijven in de vorm:
Imlp = Imln + a'p'ln e. En omdat In e = I (want el = e), ontstaat dus de betrekking:
In 'lp = In '/a + :x. p
(2.9a)
Als men nu de p-as van de grafiek lineair uitvoert en de 'I-as logaritmisch (waarbij de
grondtallen met een oplopende exponent op gelijke afstanden staan), heeft men het
exponentieel karakter van functie 2.9 gecompenseerd en ontstaat een rechte lijn. Het
kenmerk van een rechte lijn is, dat zijn plaats door twee punten is bepaald, zodat men
Afb. 2.5. Het verband lIlssen dynamische
viscositeit en druk
a met lineaire viscositeitsschaal
b met logaritmische viscositeitsschaal
"" 106 0>
52
r
10 5
10 4
lOl
lOl
10'
100
0
4000
.~ cP
in
8 3500

1
nu in principe slechts twee meetpunten nodig heeft om van een gegeven vloeistof de
rJ-p-functie volledig te bepalen (afb. 2.5b).
Omdat men de viscositeit van hoogvisceuze vloeistoffen meet door ze onder invloed
van hun eigen gewicht door een dunne verticale buis te laten stromen, hanteert men
als grootheid in de praktijk meestal de kinematische viscositeit v, waardoor de invloed
van de vloeistofdichtheid wordt geëlimineerd.
Viscositeit en temperatuur
De invloed van de temperatuur op de viscositeit is vele malen groter dan die van de
druk. Dat vindt zijn oorzaak in het verschijnsel, dat bij toenemende temperatuur de
moleculen in de vloeistof sneller zullen bewegen, zodat hun onderlinge aantrekkingskracht
geringer wordt. Dientengevolge daalt de viscositeit.
Er bestaan verschillende formules om het ingewikkelde verband tussen temperatuur
en viscositeit wiskundig uit te drukken, maar de meeste aanhang heeft toch wel de
formule van Vogel:
[Pa' sJ
(2.11)
Daarin zijn c,' c~en c J constanten en {}(de Griekse kleine letter 'thèta') de celsiustemperatuur.
Om deze functie te 'lineariseren' is ook hier een logaritmische bewerking
nodig:
C., c")
In'I:. = InCl + -,----Ine = Inc, + -,---
:J + C.1 ,~ + CJ
(2.lla)
Men zou dus de l/I~-{j-functiekunnen weergeven door de I/a-schaal logaritmisch uit te
voeren en de {j-schaal hyperbolisch, want de functie y = 1/x is een hyperbolische
functie. Omdat dan nog geen lineaire functie is verkregen, neemt men nogmaals de
logaritme, zodat:
c,
In(ln1h)= In(lncd + In--;;---+- . =In(lncd+lncz -ln(,'}+cJ) (2.llb)
= C4 - In(.~ + cJ)
1'1 ( 3
Om dus de invloed van de temperatuur op de viscositeit in een rechte lijn te kunnen
weergeven moet de viscositeitsschaal dubbellogaritmisch worden uitgevoerd en de
temperatuurschaallogaritmisch (afb. 2.6). Nu zijn ook hier slechts twee meetpunten
voldoende om de ligging van de lijn volledig te bepalen.
Hoe meer deze lijn horizontaal, dus parallel aan de temperatuuras loopt, des te min-
" der gevoelig zal de vloeistof voor temperatuurveranderingen zijn. Deze gevoeligheid
wordt voor minerale oliën uitgedrukt door de viscositeitsimlex VI, dat is een getal op
een willekeurige schaal. Door twee genormaliseerde oliesoorten respectievelijk de
waarden 0 en 100 te geven, kan van een onbekende olie door vergelijking de VI
bepaald worden (in deel 5 van deze serie wordt uitgebreid op deze VI-bepaling ingegaan).
90

;..
Ol
g
Ol
g
~ 10-6~
10 6
10 5

2.2.2 Smering
Smering is het scheiden en het gescheiden houden van twee contactvlakken door een
smeermiddel. Dat smeermiddel kan een vaste stof zijn, een vloeistof, of een gas. Het
doel van het aanbrengen van het smeermiddel is het verlagen van de wrijvingscoëfficiënt
11, dat is een evenredigheidsfactor die aangeeft in welke mate een loodrecht op de
wrijvingsvlakken aangebrachte kracht F n wordt omgezet in een wrijvingskracht Fw die
in het vlak van de contactvlakken ligt: Fw = Jl' Fn•
Men maakt een principeel onderscheid tussen droge en natte wrijving. Bij droge wrijving
is de wrijvingscoëfficiënt p hoog. Onderdelen die onder droge-wrijvingscondities
over elkaar glijden slijten dan ook snel en worden snel onbruikbaar vanwege het
'vreten': door de adhesie krachten (die ontstaan ten gevolge van de moleculaire bindingen
tussen beide oppervlakken) worden delen van de glijvlakken kortstondig aan
elkaar gelast, waardoor grote schade kan ontstaan. Er bestaan echter vaste smeermiddelen
zoals grafiet en molybdeendisulfide, die voor een bijzondere vorm van droge
wrijving zorgen: de wrijving tussen oppervlaktelaagjes. Door deze vorm van droge
smering blijven de oppervlakken van de componenten van elkaar gescheiden, zodat
hun slijtage verminderd wordt.
De wrijvingscoëfficiënt wordt aanzienlijk verlaagd, zodra er sprake is van vloeibare of
pasteuze stoffen tussen de wrijvingsvlakken. Dat komt omdat het wrijvingsmechanisme
dan verplaatst wordt uit het contactvlak van twee vaste stoffen naar een grenslaag
in de vloeistof of pasta.
Bij vloeistojsmering is het nodig dat een smeerfilm tussen de te smeren componenten
tot stand komt waarin een voldoende druk heerst om de uitwendige krachten te kunnen
weerstaan en de te smeren vlakken gescheiden te houden. Die druk kan op twee
principieel verschillende wijzen worden opgewekt.
Gebeurt dat uitwendig door een pomp, dan is sprake van hydrostatische smering.
Deze smeerwijze komt voor in een hydrostatisch lager en wordt toegepast als de componenten
niet of nauwelijks ten opzichte van elkaar bewegen, terwijl er toch grote
krachten werken. Ook smering door een gaslaag komt voor; men spreekt dan van een
aerostatisch lager. Deze wijze van lagering komt in de autotechniek niet voor.
Wordt de vloeistofdruk inwendig, door de eigen pompwerking van het lager opgewekt,
dan is sprake van hydrodynamische smering. Een pomp wordt dan eventueel
alleen gebruikt om voldoende vloeistof aan te voeren, de smeerdruk wordt echter in
het lager zelf opgewekt. In zo'n hydrodynamisch lager wordt gebruik gemaakt van de
inwendige wrijving van de vloeistof. Behalve de aanwezigheid van een visceuze vloei-
Istof zijn er echter nog drie andere voorwaarden waaraan een lager moet voldoen wil
er hydrodynamische smering mogelijk zijn: de te smeren vlakken moeten een relatie-
92
//7
Pmax
Afb. 2.7. Het ontstaan van
hydrodynamische smering in een
wigvormige sp/eet

ve beweging ten opzichte van elkaar uitvoeren, het smeermiddel moet zich gemakkelijk
aan de te smeren vlakken kunnen hechten, terwijl ook de vorm van de spleet aan
bepaalde eisen moet voldoen. Bij een wig- of sikkelvormige spleet neemt bij een
relatieve bewegingen van de te smeren vlakken de druk in de vloeistof in de richting
van de vernauwing van de spleet toe, totdat vlak voor het eind van de vernauwing de
maximale vloeistofdruk wordt bereikt (afb. 2.7). Het meest bekende voorbeeld van
hydrodynamische smering is het glijlager , zoals dat in de krukaslagering van de verbrandingsmotor
wordt toegepast. Op hetzelfde mechanisme berust de werking van de
waterski en de 'speedboat'.
Een speciaal geval van vloeistofsmering is de elastohydrodynamische smering. Dit
smeringstype treedt op in zeer hoog belaste glijlagers, maar vooral in nok-stotersystemen,
in wentellagers en tussen de tandwielen van tandwielstelsels. Hier blijkt de elasticiteit
van de oppervlakken en de invloed van de druk op de viscositeit niet te verwaarlozen,
terwijl door de enorme plaatselijke spanningen (ook wel bekend als hertzspanningen)
het visco-elastisch gedrag van de vloeistof een rol gaat spelen. Van dit
verschijnsel wordt bewust gebruik gemaakt in de zogenaamde roltransmissie (zie
band B).
Een tussenvorm tussen de droge en de natte wrijving is de gemengde wrijving. Daarbij
wordt het wrijvingsproces plaatselijk zowel door droge (oppervlaktelaag)wrijving als
door natte wrijving beheerst. Vanuit de smeringstechnologie bezien spreekt men in
dit geval van grenssmering, een bedrijfstoestand waarbij behalve de normale, milde
slijtage ook het gevreesde verschijnsel van vreten kan optreden.
De wrijvingskarakteristiek van een glij lager , naar de ontwerper ook wel stribeck.
kromme genoemd (afb. 2.8), brengt deze combinatie van grenssmering en vloeistofsmering
in beeld.
gemengde vloeistofwrijving
wrijving
bedrijfsgebied
I
I
I
I
I
• I
I
o
o Vg max 1!l
s
-----. glijsnelheid vg
Afb. 2.8. Wrijvingskarakteristiek van een glijlager (stribeck-kromme)
2.2.3 Vloeistoffen in de aandrijflijn
Gewapend met deze basiskennis kunnen we de verschillende vloeistofsoorten in de
aandrijllijn aan een nader onderzoek onderwerpen.
93

n
Daarbij kan men deze vloeistoffen indelen op basis van de wijze, waarop de krachten
tussen twee roterende lichamen kunnen worden overgebracht.
Vindt de krachtoverbrenging plaats door middel van de vorm van de lichamen (in het
Duits wordt deze wijze van overbrenging treffend uitgedrukt door het begrip
'Formschluss'), dan zal men er naar streven een vloeistof te gebruiken die op de eerste
plaats smerende eigenschappen bezit (tandwielen; zie 2.3). Daardoor is een lage wrijvingscoëfficiënt
tussen de componenten mogelijk en dus lage energieverliezen bij de
krachtoverbrenging. Ook bij een rollende overbrenging (wentellagers) overheerst deze
smerende functie, al stelt hier zoals gezegd het elastohydrodynamisch gedrag extra
eisen aan het smeermiddel.
Wordt de kracht overgebracht door een aandrukkracht (in het Duits aangeduid door
'Kraftschluss'), dan heeft de vloeistof op de eerste plaats een krachtoverbrengende
functie en zal men er juist naar streven, de wrijvingscoëfficiënt zo hoog mogelijk te
maken (natteplaatkoppeling, kettingvariator). Ook hier neemt de roltransmissie
door het elastohydrodynamisch gedrag van de vloeistof een aparte plaats in.
In beide gevallen streeft men er bovendien naar, de wrijvingscoëfficiënt en dus de
viscositeit van de vloeistof zo onafhankelijk mogelijk te maken van de relatieve glijsnelheid,
de druk en de temperatuur. Er zijn echter ook vloeistoffen, waarbij juist
bewust van de variatie van Jl gebruik wordt gemaakt. Daartoe behoort de siliconenvloeistof
die in de viscokoppeling wordt toegepast.
Bij hydrauliekvloeistoffen voor hydrostatische systemen (automatische transmissie,
regelsystemen in het algemeen) is vooral de samendrukbaarheid van belang, evenals
de smerende werking en de constante viscositeit.
Hieronder worden slechts enkele van deze vloeistoffen behandeld, omdat zij in dit
Steinbuch-deel veelvuldig aan de orde komen: de transmissie-olie, de tractievloeistof
en de siliconen.
Transmissie-olie
De hoofdtaak van de transmissie-olie (of, omdat er ook niet-minerale varianten bestaan:
transmissievloeistoj) is ervoor te zorgen dat er een storingvrije krachtoverbrenging
tussen de tanden van de tandwielen plaatsvindt met een hoog rendement. Behalve
deze smerende taak (die per soort tandwielstelsel tot sterk verschillende eisen
leidt) heeft de olie ook nog een groot aantal andere taken: koelen, geluid dempen,
beschermen tegen corrosie, afdichten en slijtage- en vuildeeltjes afvoeren. Bij de
automatische transmissie (zie band B) heeft de olie bovendien tot taak, in de vloeistofkoppelomvormer
de aandrijfenergie hydrodynamisch, door vloeistofstroming en
stoten, over te brengen, terwijl dezelfde olie wordt gebruikt als overbrengingsmiddel
in het hydrostatische schakelsysteem van de transmissie.
AI deze verschillende toepassingen hebben ertoe geleid, dat er verschillende soorten
transmissie-oliën zijn ontwikkeld, die speciaal op hun taak zijn ontworpen. Daarbij
worden als basisvloeistof overwegend minerale-oliemengsels toegepast, waaraan speciale
additieven (toevoegingen, ook wel naar het Amerikaans 'dopes' genoemd) worden
toegevoegd, zij het in, veel mindere mate dan bij motoroliën (zie hierover uit-
• gebreid deel 5 van de Steinbuch-serie). Voor speciale doeleinden zijn echter ook
volledig of gedeeltelijk synthetische oliesoorten ontwikkeld.
De belangrijkste toevoegingen betreffen het verhogen van de weerstand tegen slijta-
94

ge, tegen oxidatie van de olie, tegen schuimvorming, en ter verbetering van het wrijvingsgedrag.
Slijtage komt in twee vormen voor: corrosieve en mechanische slijtage. Ter bestrijding
van de corrosieve slijtage (veroorzaakt door zure oxidatieprodukten van de olie)
voegt men zowel directe anti-corrosie-additieven toe (die de zuren neutraliseren) als
indirecte. Deze laatste zorgen voor een zogenaamde polaire laag op het metaaloppervlak.
waardoor een waterafstotend effect ontstaat.
Mechanische slijtage treedt op door droge wijving die het gevolg is van grenssmering
of van het geheel wegvallen van de oliefilm door een defect in het smeersysteem (zie
ook 2.3 en hoofdstuk 4). Daarbij dient men te bedenken dat de wrijvingscoëfficiënt op
de tandflank van een tandwiel voortdurend verandert, naarmate de tand van het ene
tandwiel afrolt op die van het andere (afb. 2.9a): IA is niet alleen afhankelijk van de
aard van het oppervlak, de oliefilmdikte en de viscositeit van de olie. maar ook van de
omtreksnelheid van het tandwiel en de kromming van de tandflank (afb. 2.9h).
Hier worden daarom wrijvingsveranderende additieven (friction modifiers') toegevoegd,
die de polariteit van de olie verhogen. waardoor zij zich beter hecht aan de
metaaloppervlakken en de ontwikkeling van warmte binnen de perken houden.
Van belang zijn verder de viscositeitsindexverheteraars (' Vl-improvers'), synthetische
{/
Afb. 2.9. Wrijving bij tandwielen
a de variabele wrijl'ingskracht op
de tand van een /IIndwiel
b wrijvingskarakteristiek: de bovenste
lijnen geeft de fA-waarde bij
het hegin van 'vreten'
c de invloed van smeerolietoevoegingen
op het wrijvingsgedrag
\'(11/ tandwielen
I. minerale olie
2. minerale olie met polariteitsverhogende
toevoeging
3. minerale olie met EP-toevoeging
4. minerale olie met polariteitsverhogende
en EP-toevoeging
:::. 0,14
ë
'0>
~ 0.12
;W 0u(fJ
Ol
c
:~
'~
0.10
0,08
r 0.06
0,04
0,02
0
0
b
10
--. omtreksnelheid op de steekcirkei
:::. O,S 1 3 4
ë
'0>
'13 0,4 I
I
I.
~ 0
u
(fJ
Ol
c
'>
'~
0,3
0,2
0,1 ~- -----
I
I I.
I I.
I l
----r
0
20
0 50 100 150 200 250 300 3s0~400
oe
c --. temperatuur 0
30
m
s
"
40
95

-)
macromoleculaire stoffen, die vooral in multi-grade-oliën (zie verderop) worden toegepast
om het viscositeitsverlies bij toenemende temperatuur tegen te werken.
Zijn de condities van glijsnelheid en druk extreem, dan worden speciale EP (extreme
pressure)-additieven toegepast, bestaande uit fosfor-, chloor- en zwavelverbindingen,
die een reactie met de metalen oppervlakken aangaan en zo een oppervlaktelaag
met lage Il doen ontstaan (afb. 2.9c). Zij moeten het 'vreten' onder deze omstandigheden
voorkomen en worden daarom ook wel anti-las-toevoegingen genoemd. Omdat
sommige van de genoemde verbindingen bepaalde metaalsoorten zoals brons en messing
aantasten, bestaan er ook milde-EP-toevoegingen, die bestaan uit loodverbindingen.
Vanwege hun giftigheid dient men lichamelijk contact met dergelijke
te vermijden.
oliesoorten
Oxidatie van de olie tijdens de levensduur leidt tot lak- en drabvorming en in het
algemeen tot het indikken van de olie. Dit verouderingsproces wordt tegengegaan
door anti-oxidatie-toevoegingen (oxidatie-inhibitoren) zoals fenolen, aminen en zwavel-fosforverbindingen.
Zij onderbreken de chemische oxidatieketen.
Schuimvorming wordt tegengegaan door het luchtafscheidend vermogen van de olie
te verhogen door een anti-schuimtoevoeging, bestaande uit een zeer kleine hoeveelheid
siliconenvloeistof (0,03 % op massabasis).
Oliespecificaties
De oliesoorten die in de aandrijftijn van de personenauto worden toegepast moeten
voldoen aan genormaliseerde specificaties, ontwikkeld door allerlei instituten en organisaties,
waarvan de belangrijkste zijn: de SAE (Society of Automotive Engineers),
de API (American Petroleum lnstitute), de AGMA (American Gear Manufacturing
Association), de CRC (de Amerikaanse Coordinating Research Council) en
de CEC (Coordinating European Council for the development of performance tests
for lubricants and engine fuels). De belangrijke DIN-normen zijn voor een groot deel
op de SAE-specificaties gebaseerd. Een speciale status hebben de MIL-specificaties
van het Amerikaanse leger, terwijl ook de autofabrikanten zelf nog aanvullende eisen
stellen.
Het belangrijkste kwaliteitscriterium van een transmissie-olie is de viscositeit. Deze
wordt volgens een SA E-classificatie gespecificeerd (tabel 2.1). Men gebruikt daarbij
hogere getallen dan bij motorolie, hetgeen niet wil zeggen dat transmissie-olie dikvloeiender
is.
Door het toevoegen van VI-improvers komen ook bij transmissie-oliën multi-gradesoorten
voor, dat wil zeggen dat zij zowel onder winterse als onder zomerse condities
een bevredigend viscositeitsgedrag vertonen. Een voorbeeld van zo'n multi-gradeolie
is SAE 75W-90, waarbij de 'W' staat voor 'winter'.
De indeling naar viscositeit is echter niet voldoende om de belastbaarheid van de olie
te beoordelen, zodat volgens de A PI-classificatie de transmissie-oliën naar stijgende
belasting in zes klassen worden ingedeeld (tabel 2.2).
Olie voor de wisselbak met handbediening en voor de eindaandrijving
In de wisselbak met handbediening (zie hoofdstuk 4) treft men voornamelijk 'mild
gedoopte' transmissie-olie aan, maar soms wordt de wisselbak samen met de motor
met motorolie gesmeerd, terwijl in een enkel geval ook de toepassing van A TF (zie
verderop) voorkomt.
96

Tabel 2.1. SAE-viseositeitsclassijieatie 1306 van transmissie-olie (volgens DIN 51512)
SAE-getal maximumtemperatuur
dynamische viscositeit
bij een
van
kinematische viscositeit bij
een temperatuur van 100 oe
7
,
75W
150000
--40
cP [150 Pa.s]
[0C]
cSt [l0.6 m'/sJ
minimum maximum
4,2 -
80W -26,2 7,0 -
85W -12,3 ILO -
90 - 14,0 25,0
140 - 25,0 43,0
250 - 43,0 -
Tabel 2.2. API-classijieatie van transmissie-oliën
aanduiding
API-GL-1
AP1-GL-2
API-GL-3
API-GL-4
oliesoort
minerale olie zonder toevoegingen
compound-olie zonder toevoegingen
minerale olie met milde EP-toevoegin- wisselbak met handbediening; eindregen
(loodverbindingen) ductie zonder asverzet; functiegroepen
met matige specifieke belasting
minerale olie met EP-toevoeging (bij
voorbeeld zwavel- en fosforverbindingen;
maximaal 4%)
toepassing
functiegroepen met lage specifieke belasting
eindreductie met worm en wormwiel
wisselbak met handbediening; eindreductie
met asverzet: functiegroepen
met hoge specifieke belasting (hoge
snelheid bij laag koppel of lage snelheid
bij hoog koppel)
API-GL-5 minerale olie met EP-toevoeging (zwa- wissel bak met handbediening: eindrevel-
en fosforverbindingen: maximaal ductie met asverzet: functiegroepen
6,5 %) met hoge snelheid bij stoot belasting
API-GL-6 minerale olie met EP-toevoeging (zwavel-
en fosforverbindingen: maximaal
10%)
wisselbak met handbediening met zeer
hoge specifieke belasting: hypoïdeeindreducties
met een asverzet groter
dan 50.8 mm: functiegroepen met hoge
snelheid bij een hoog koppel
Oorspronkelijk was de indeling van dit soort transmissie-oliën gebaseerd op de hoeveelheid
EP-toevoegingen, maar inmiddels maakt men een onderscheid op basis van <
een classificatie op grond van 'beschadigingsklassen' ('Schadenskraftstufen') die volgens
een willekeurige schaal van 2 tot 12 volgens DIN 51 354 wordt ingedeeld.
Het smeermiddel van de eindaandrijving wordt bepaald door het type eindreductie.
Bij kegeltandwielen zonder asverzet (zie 2.3.4 en hoofdstuk 6) kan met een 'mild gedoopte'
olie worden volstaan, maar bij kegeltandwielen met asverzet is een typische
EP-olie nodig, die ook wel hypoïdolie wordt genoemd. Vormen het motorcarter en de
wissel bak één geheel of is de wisselbak samengebouwd met de eindaandrijving, dan
moet de olie aan een groot aantal tegenstrijdige eisen voldoen en daarop zijn aangepast.
Bij de worm-wormwieloverbrenging (zie 2.3) is een speciale compound-olie vereist,
een 'samengestelde olie', bestaande uit minerale en dierlijke of plantaardige grondstoffen.
Ook wordt wel een 'mild-EP'-olie toegepast met een speciale loodverbinding
ter bescherming van het bronzen wormwiel.
97

Soms wordt voor de eerste vulling een speciale in/ooptransmissie-olie toegepast die na
een korte gebruiksduur (bij voorbeeld 5000 km of 100 uur) moet worden vervangen.
Bij het inlopen moeten de wrijvingsvlakken immers enigszins contact maken om de
allerhoogste microscopische topjes van het metaaloppervlak te kunnen afvlakken.
Daarom is een oliesoort met een lagere viscositeit gewenst, terwijl ook additieven
nodig zijn voor het vormen van een speciaaloppervlaktelaagje om vreten te voorkomen.
Ook is het afvoeren van de betrekkelijk grote hoeveelheid slijtagemateriaal van
belang. Daartoe worden speciale dispergerende toevoegingen (zie verderop) toegepast.
A litomatische-transmissie-o/ie
Vanwege de gecompliceerde opbouw van een automatische transmissie (koppelomvormer,
planetaire stelsels, hydrostatische schakelinrichting, bandremmen en lamellenkoppelingen;
zie band B) worden er aan de smeerolie uitgebreidere eisen gesteld
dan aan de smeerolie van de conventionele wisselbak. Vandaar dat zich een aparte
klasse van automatische-transmissie-oliën (A TF, automatic transmission fluid) is ontstaan,
waarvan de ontwikkeling vooral het werk is van de Amerikaanse autofabrikanten.
Die bijzondere eisen betreffen vooral de lagere viscositeit (7.10- 6 m 2/s bij 100°C) en
een zeer hoge viscositeitsindex om het rendement van de koppelomvormer niet al te
zeer te laten dalen bij lage temperatuur. Bij lage temperatuur mag zich bovendien
geen paraffine afscheiden, omdat deze de zeer nauwe boringen in het hydrostatische
regelsysteem kan verstoppen. Verder mag geen drabvorming door oxidatie en andere
vormen van veroudering optreden, ondanks de hoge temperaturen (tot 170 oe bij het
beklimmen van een berghelling) en ondanks de lange verversingsperiodes tot 50 000
km. Ook de schuimvorming moet laag zijn, om de samendrukbaarheid van de olie als
hydrauliekvloeistof binnen de perken te houden. Schuimvorming leidt ook tot olieverlies
langs ontluchtingsopeningen en tot aandrijfkrachtonderbrekingen door 'pendelend
schakelen'.
Eveneens in verband met het voorkomen van vervuiling van de hydrostatische schakelinrichting
is een goede afvoer van slijtage- en vuildeeltjes van groot belang, zodat
"')de detergente en dispergerende eigenschappen van ATF vergelijkbaar zijn met die van
motorolie. Detergentie is het vermogen, vuildeeltjes van metaaloppervlakken los te
'1 weken en dispersie zorgt ervoor, dat deze deeltjes fijn verdeeld zwevend gehouden
worden in de olie.
Er bestaan ook volledig synthetische ATF-soorten. Zij vertonen in het algemeen een
lagere viscositeit-temperatuurkromme dan de niet-synthetische soorten.
Zie voor details over de ATF-specificaties: band B.
Tractiev/oeistoj
Tractievloeistof heeft tot primaire taak het overbrengen van de aandrijfkracht van de
motor. Daarbij is de smeerfunctie beslist niet te verwaarlozen, maar door hun specifieke
toepassingen krijgen andere eigenschappen een minstens even belangrijke rol.
Het eenvoudigste voorbeeld van de toepassing van een tractie-vloeistof is de meervoudige
natteplaatkoppeling zoals die in de meeste automatische transmissies te vinden
is. In dit voorbeeld is het van belang datp ook bij hogere drukken en temperatu-
98

en constant blijft, omdat anders verschillen in aandrijfkracht ontstaan. In het algemeen
kunnen moderne ATF-soorten deze tractie-functie uitstekend vervullen.
Geheel anders wordt het, wanneer de aandrijfkracht via extreme hertz-spanningen
moet worden overgebracht zoals het geval is bij bepaalde kettingvariatoren en roltransmissies
(zie band B). Vooral de roltransmissie stelt zeer hoge eisen aan de olie,
omdat hier sprake is van technisch rollen, waarbij de krachten niet door het contact
tussen de metalen delen, maar door de inwendige vloeistofwrijving moeten worden
overgebracht. Hier spelen dan ook verschijnselen uit de elastohydrodynamica een rol,
zoals de vervorming van de metalen vlakken en het verschijnsel, dat de olie semiplastische
eigenschappen krijgt.
Dergelijke vloeistoffen behoren dan ook tot een speciale klasse van synthetische koolwaterstoffen,
die gekenmerkt worden door een bijna tweemaal zo hoge fA als minerale
oliën. Zij bestaan uit polymeren, waaraan eventueel nog speciale chemische additieven
zijn toegevoegd. De belangrijkste fabrikant is het Italiaanse chemie-concern
Monsanto, dat dergelijke vloeistoffen onder de merknaam Santotrac op de markt
brengt.
Het mechanisme van de fA-verhoging kan voor een belangrijk deel worden verklaard
uit de invloed van de druk op de viscositeit, die bij synthetische tractievloeistoffen
veel manifester is; (zie ook formule 2.9). Het zal duidelijk zijn dat het verhogen van ti
tegelijkertijd leidt tot een rendementsverlaging van alle smeerprocessen, zodat een
tractievloeistof als een compromis tussen deze beide functies moet worden ontwikkeld.
Siliconen
Siliconenvloeistoffen of kortweg siliconen worden vervaardigd op basis van silicium
(symbool: Si, in Angelsaksische landen bekend als 'silicon'). Het komt na zuurstof het
meest van alle elementen in de aardkorst voor en staat in het periodiek systeem der
chemische elementen direct onder koolstof (C), zodat een verwantschap voor de hand )
ligt. Toch is koolstof als basis van organische verbindingen de grondstof van het leven, )
silicium (in de vorm van SiOz, oftewel: zand) vormt de basis van de dode natuur.
Er zijn echter ook belangrijke parallellen: koolstofatomen kunnen tot lange ketens
worden gevormd en als de vrije bindingsmogelijkheden door waterstofatomen (H)
worden opgevuld ontstaan verzadigde koolwaterstoffen, beter bekend als alkanen
(zie deel 5 van de Steinbuch-serie). Op dezelfde wijze kunnen ook siliciumketens
worden gevormd waaraan een even groot aantal waterstofatomen kan worden gehecht,
zodat silanen ontstaan.
Wordt de siliciumketen vervangen door een keten, bestaande uit afwisselend zuurstof-
en siliciumatomen, dan ontstaat een siloxaanstructuur: -O-Si-O-Si-O-. De zuurstofatomen
hebben dan geen bindingsmogelijkheden meer over, maar de siliciumatomen
nog twee. Worden deze opgevuld door een koolstofgroep, dan ontstaan polyor-
Afb. 2.10. De structuurformule
van polydimethylsiloxaan
n = 2... 2000
CH3l CH31
CH,-i' - 0-1' -0
CH3 CH3 n
CH3
I
- Si-CH 3
I
CH3
99

ganosi/oxanen, oftewel siliconen. Zo wordt polydimethylsiloxaan gevormd door aan
de SI-O-keten ter hoogte van elk Si-atoom twee methylgroepen (CH3-) te hechten
(afb. 2.10). Eén macromolecule, dat onder normale omstandigheden schroefvormig
is opgekruld, kan bij een vloeibare siliconenvariant tot 2000 siloxaanmonomeren (Si-
0-( CH3)2-eenheden) bevatten.
Siliconen zijn al sinds het begin van deze eeuw bekend, maar een grootschalige produktie
kwam pas tijdens de Tweede Wereldoorlog door de Amerikaanse Dow Corning
Corporation op gang. Na de oorlog wist ook het Westduitse Bayer een eigen
produktiemethode te ontwikkelen. Inmiddels omvat alleen al het Bayer-programma
zo'n duizend verschillende produkten, die vooral geliefd zijn om hun grote warmteen
weervastheid (siliconen zijn nog stabiel bij temperaturen, waarbij minerale oliën al
lang uiteengevallen zijn), hun buigzaamheid ook bij lage temperatuur, hun vermogen
om dunne films te vormen, hun goede elektrische eigenschappen en hun waterafstotend
effect. Verder hopen zij zich niet op in het menselijke organisme en zijn ze
niet-milieuvervuilend. Nadelig is hun hoge samendrukbaarheid, waardoor ze voor
toepassing in veiligheidskritische hydrostatische regelsystemen minder snel in aanmerking
komen.
In de techniek worden siliconen veelvuldig als vormmassa toegepast: als 'siliconenrubber'
in afdichtingsmiddelen, in bougiekabels en als plooimanchetten van askoppelingen
(zie hoofdstuk 5). In de vloeibare fase worden zij toegepast als koelmiddel in
grote transformatoren (daarbij de giftige pcb's vervangend) en als basis van schoenpoetsmiddelen,
zalven, huidcrèmes en lippenstift, voor het impregneren en waterdicht
maken van textiel en als toevoeging aan lakken en poetsmiddelen. In de autotechniek
treft men ze onder andere aan in smeerolie (als anti-schuimmiddel), terwijl
ze voor militaire doeleinden ook als remvloeistof worden toegepast, ondanks hun
betrekkelijk hoge samendrukbaarheid (zie deel 4 van de Steinbuch-serie). In een
t:e>
10.
~ e> 10 5
~
•. 10 4
>•.
'"0
u
'" 10 3
.r=
u
'E.• '"
102 c:
>-
"0
I 10'
0
0 -20 0 20 100 .C
'"
100.10 3 ~
5.103 .;•.
1.10 3 ïO c:
1!!.!!!..2 'E
S ~
180
temperatuur iJ
Afb. 2.11. Het viscositeit-temperawllrgedrag van siliconen vloeistoffen in vergelijking met een
mlliti-grade-olie
100

gemiddelde auto zitten tegenwoordig zo'n dertig toepassingen van siliconen. De belangrijkste
is de viscokoppeling (zie hoofdstuk 7).
De viscositeit van siliconenvloeistof kan tussen wijde grenzen in de vloeistof worden
'geprogrammeerd', door namelijk de molecuulmassa te variëren (de molecuulmassa
wordt uitgedrukt in een dimensieloos getal, dat aangeeft hoeveel maal het molecule
zwaarder is dan het koolstofatoom). Siliconenvloeistoffen worden dan ook onder- J
scheiden op grond van hun nominale of basisviscositeit, die bi" 25°C (dus bij een lage
snelheidsgradiënt) wordt bepaald. De basisviscositeit van de hier besproken siliconentypen
kan worden gevarieerd tussen 0,5 ... 500.10- 3 m 2 /s, maar er zijn ook siliconen
voor bijzondere toepassingen met 17 > 1 m 2 /s. De dichtheid ligt tussen 650 en
0a; 102
'"o u
'">
QJ Pa.s
..c:
'" E
'" ;.. 101
..,
o o 2000 4000 6000
- I
103 s.l 10 4
_ snelheidsgradienl log D
8000 5.1 10000
oe
150
--_ snelheidsgradienl D
Afb. 2.12. De dynamische viscositeit en de schuifspanning van siliconenvloeistoffen als functie
van de snelheidsgradiënt met de temperatuur als parameter (nominale viscositeit: 60./(J3 m1/s)
a de dynamische viscositeit
b de schuifspanning
a
b
101

980 kg/m 3 • De in een viscokoppeling veelvuldig toegepaste siliconenvariant telt ongeveer
1700 dimethylsiloxaanmonomeren, heeft een molecuul massa van 120000 en
een basisviscositeit van 60.10- 3 m 2 /s.
De temperatuurajhankelijkheid van de viscositeit is aanzienlijk geringer dan van koolwaterstoffen
(afb. 2.11). Dit wordt verklaard uit het verschijnsel, dat de gemiddelde
molecuulafstanden bij temperatuurverhoging weliswaar toenemen, maar dit effect
wordt voor een belangrijk deel gecompenseerd doordat de gespiraliseerde moleculen
zich strekken, waardoor de ketens vaker contact met elkaar maken en elkaar in hun
verplaatsing meer hinderen.
:0-
e;; 25
.~ Pas
V>
>
J:! 20
V>
E
'"c >.
"0
:0-
15
10
e>
~ 10 2
•.
0 2000 4000 6000 S.l 8000
45
--~ snel heid sgr adient 0
Pa.s
V>
0
u
V>
>
10' •. .r:.
V>
E
'" c
>.
"0 100 ~"6000
'" V>
V>
'" E
•.
68000 ~
55000 '" ::>
u
28000 •.
----~
o S .1 10 4
snelheidsgradient log 0
Afb. 2. J3. De invloed van de molecuulgrootte van siliconenvloeistot!en op de dynamische
viscositeit
a met lineaire schalen
b met logaritmische schalen
102
a
b

De temperatuurafhankelijkheid neemt af, naarmate de nominale viscositeit afneemt.
Die afname is zelfs zo spectaculair dat men kan stellen, dat tot een nominale viscositeit
van ongeveer 10- 3 m 2 /s siliconenvloeistoffen zich in een breed temperatuurgebied
als newtonvloeistoffen gedragen (afb. 2.12). Daarboven krijgen zij structuurvisceuze,
thixotropische eigenschappen en bij zeer hoge molecuulmassa's zelfs pseudo-plastische
eigenschappen (afb. 2.13).
Siliconen kunnen niet tot de smeermiddelen worden gerekend: vooral tussen stalen
componenten hechten zij zich nauwelijks aan de oppervlakken. Het geringe draagvermogen
van een siliconen film wordt verklaard uit de geringe aantrekkingskracht
tussen de moleculen. Door dit verschijnsel kan bij een bepaalde druk gemengde wrijving
optreden, waarvan in de viscokoppeling gebruik wordt gemaakt voor de opwekking
van het zogenaamde 'humpkoppel', een kortstondige wrijvingskrachtverhoging
ten gevolge van het metaal-op-metaal-contact van de koppelingslamellen.
Een andere eigenschap waarvan in de viscokoppeling gebruik wordt gemaakt is de
sterke uitzetting bij hogere temperatuur. De uitzettingscoëfficiënt van methylsiloxanen
ligt tussen 25 en 175 oe bij 95 ... 100.10- 3 per oe.
Ten slotte blijkt bij stromingsproeven in zeer nauwe spleten, dat de kengrootheid van
Reynolds zeer laag ligt. Zij is zelfs zo laag, dat noch van laminaire, noch van turbulente
stroming sprake is. Men kan het stromingsgedrag van dergelijke dunne siliconenfilms
het beste als 'kruipbeweging' omschrijven: in een viscokoppeling blijkt de
spleetbreedte tussen de lamellen veel kleiner dan de ongestoorde grenslaag.
Elektrovisceuze vloeistoffen
Zeer recent is de ontwikkeling in het laboratorium van zogenaamde elektrovisceuze
vloeistoffen (EV F, electroviscous fluids, ook wel elektroreologische vloeistoffen
(ERF) of elektroreostatische vloeistoffen genoemd), dat zijn vloeistoffen waarvan de
viscositeit onder invloed van een elektrisch veld verandert (afb. 2.14).
Ontwikkeld in Amerika, bieden deze vloeistoffen een interessante toepassingsmogelijkheid
in viscokoppelingen, remsystemen, verstelinrichtingen, hydraulische kleppensystemen
en schokdempers. Door de combinatie met een elektronisch regelsysteem
ontstaat voor het eerst in de geschiedenis van de autotechniek de mogelijkheid )
van betrekkelijk goedkope, actieve regelsystemen, dat zijn systemen die op de te regelen
toestand vooruitlopen en hun regelgrootheden al hebben aangepast op het moment
dat de toestandsverandering zich voordoet.
Afb. 2.14. De dynamische
viscositeit als functie van de
elektrische veldsterkte bij een
elektrovisceuze vloeistof (Bayer)
10000 •. mPa.s
VI
0
u
VI
>
8000
6000
4000
2000
o
o 0.4 0.8 1.2 1.6 2,0
kV/mm
- elektrische veldsterkte E
103

Elektrovisceuze vloeistoffen zijn mengsels van siliconen of koolwaterstoffen met vaste,
elektrisch geleidende en hydrofiele (wateraantrekkende) deeltjes zoals glasstof,
waaraan eventueel een geringe hoeveelheid water is toegevoegd. Een EVF is een
suspensie: de vaste deeltjes hebben dezelfde dichtheid als de basisvloeistof, zodat zij
fijnverdeeld in de vloeistof blijven zweven.
De werking van een EVF is nog grotendeels onbegrepen. Volgens één van de theorieën
absorberen de poreuze hydrofiele deeltjes in rusttoestand alle water uit de vloeistof.
Wordt zo'n vloeistof nu aan een elektrisch veld blootgesteld, dan wordt het water
door een elektro-osmotisch proces, dus door diffusie door de deeltjeswand, in de siliconenvloeistof
geperst. Het water op het deeltjesoppervlak werkt nu als een bindmiddel
en leidt tot het coaguleren, het 'samenklonteren' van deze deeltjes. De adhesiekrachten
tussen de deeltjes onderling en daarmee de weerstand van de vloeistof
tegen vervorming is rechtevenredig met de aangelegde spanning.
Volgens een andere theorie, nodig om het analoge gedrag in een watervrije EVF te
verklaren, zijn de gesuspendeerde deeltjes van elektrisch geleidende silicaten elektrisch
geladen, waardoor zij om zich heen een diffuse wolk van ionen verzamelen
(ionen zijn atomen die één of meer elektronen missen of er te veel van hebben en
daardoor een uitwendige lading bezitten). Door nu een elektrisch veld in de vloeistof
op te wekken worden deze ionenwolken zodanig vervormd, dat zij elkaar in de weg
gaan liggen en de viscositeit toeneemt (afb. 2.15a). Een derde theorie gaat uit van de
ketenvorming van deze deeltjes onder invloed van een elektrisch veld met hetzelfde
viscositeitsverhogend effect (afb. 2.15b).
De spanning kan zo hoog worden opgevoerd, dat een EVF tot een vaste stof kan
verstarren. Daardoor zijn toepassingen denkbaar die lijken op die van de metaalpoederkoppeling
(zie hoofdstuk 3): men zou een vloeistofkoppeling kunnen ontwerpen
die in bepaalde gebruiksgebieden in het geheel geen slipverliezen meer kent.
104
a b
Afb. 2./5. Twee theorieën over
het viscositeitsgedrag van
elektrovisceuze vloeistoffen

2.3 DE TANDWIELOVERBRENGING
2.3.1 Definitie en soorten
Een tandwiel is een van een vertanding voorzien overbrengingslichaam, draaiend om
een ashartlijn. Een tandwiel komt altijd in combinatie met een ander tandwiel voor.
Zij vormen
. .
pnnclpe.
samen een tandwielstelsel, waarvan de werking berust op het hefboomr
I
\ {'nt'~ G ~ n r r r c"ll'" Ó
Het doel van een tandwielstelsel is het overbrengen van de rotatie van de ingaande of
aandrijven de as op de uitgaande of aangedreven as, vandaar dat men dergelijke syste- '
men indeelt onder de groep van R-R-overbrengingen (zie hoofdstuk 4). Meestal
streeft men tevens naar een verandering van het koppel en de rotatiefrequentie.
Wordt zo'n stelsel gebruikt voor een verlaging van de rotatiefrequentie, dan spreekt
men van een tandwielreductie. Het kleine, aandrijvende tandwiel wordt dan een
rondsel of in het geval van een kegeltandwielstelsel (zie verderop) een pignon (het
Franse woord voor '(klein) tandwiel') genoemd. Bij een dergelijk enkelvoudig tandwielstelsel
treedt ook steeds een omkering van de draairichting op. Wil men dit voorkomen,
dan moet een derde tandwiel worden toegevoegd, zodat een meervoudig
tandwielstelsel ontstaat.
Beide typen tandwielstelsels worden, uitgevoerd met verschillende overbrengingsverhoudingen,
tot een wisselbak of tandwieltransmissie samengevoegd, waardoor een
meertrapsoverbrenging ontstaat. Wordt in een dergelijke wisselbak een overbrengingstrap
zodanig geschakeld, dat de uitgaande as een hogere rotatiefrequentie heeft
als de ingaande as, dan is sprake van een versnelling. Een tandwielstelsel dat een
dergelijke versnelling bewerkstelligt wordt een overdrive genoemd. Worden de assen
zonder tussenkomst van tandwielen aan elkaar gekoppeld, dan zijn in- en uitgaande
rotatiefrequentie aan elkaar gelijk en spreekt men van een prise-directe (Frans voor
'directe ingrijping').
Het materiaal waaruit tandwielen worden vervaardigd is meestal metaal (gelegeerd
staal, in een enkele geval ook brons), maar er zijn ook kunststof tandwielen, zoals
voor de aandrijving van de nokkenas in de verbrandingsmotor (zie deel 7 van de
Steinbuch-serie) .
Voor- en nadelen
Ten opzichte van de ook tot de groep van R-R-overbrengingen behorende riem- en
kettingoverbrenging (zie 2.4) wordt aan de tandwieloverbrenging dikwijls de voorkeur
gegeven vanwege haar hoge krachtdichtheid, dat is de verhouding tussen de over
te brengen kracht en de massa of het volume van het systeem.
De hoge krachtdichtheid van de tandwieloverbrenging is mogelijk, doordat de bewegingen
slipvrij, door het inelkaargrijpen van tanden, plaatsvinden waardoor een van
de belasting onafhankelijke, constante overbrengingsverhouding mogelijk is.
Daaruit volgt, dat bij een gegeven over te brengen energie een compactere constructie
mogelijk is, een argument dat vooral in de personenautotechniek van belang is. Ook
het rendement van de tandwieloverbrenging is in het algemeen hoger.
Een tandwieloverbrenging heeft echter ook nadelen. Zo is door de starre askoppeling
(zie hoofdstuk 3) veelal het gebruik van extra elastische koppelingen in de assen vereist
om aansluitonnauwkeurigheden op te heffen en trillingen te dempen. Ook de
105

geluidsproduktie is hoger, terwijl men bovendien aan een bepaalde asafstand gebonden
is, gedicteerd door de afmetingen van de tandwielen. Ook de produktiekosten
zijn hoger.
Soorten tandwielstelsels en tandwielen
Men onderscheidt vier hoofdgroepen tandwielstelsels, ingedeeld naar gelang van de
stand van de te verbinden assen (afb. 2.16).
Bij het rechte tandwielstelsel liggen de assen evenwijdig aan elkaar. Een dergelijk
stelsel wordt gerealiseerd met cilindrische tandwielen. De vertanding van cilindrische
tandwielen, dat wil zeggen het verloop van de tandvorm over de breedte van het
tandwiel, maakt een verdere indeling mogelijk: zulke tandwielen kunnen namelijk
voorzien zijn van rechte vertanding (afb. 2.16a), schuine of schroefvertanding (afb.
2.16b) of van V-, visgraat- of pijlvertanding . De schuine vertanding produceert minder
lawaai en komt veruit het meeste voor. Een enkelvoudige overbrenging van dit type
heeft een maximaaloverbrengingsgetal (zie 2.3.2) van ongeveer 10.
Bij het kegeltandwielstelsel snijden de hartlijnen van de assen elkaar. Zo'n stelsel
wordt gerealiseerd door conische of kegeltandwielen , waarvan de denkbeeldige kegeltoppen
in één punt samenkomen. Ook hier maakt men een onderscheid tussen rechte
vertanding (de tandkoppen vormen dan een stelsel van dubbele lijnen die alle door de
kegeltop gaan, afb. 2.l6c) en schuine vertanding. Een variant op dit laatste is de ten
behoeve van de autotechniek ontwikkelde boogvertanding, waardoor het mogelijk is
één van beide tandwielen ten opzichte van het oorspronkelijke snijpunt van de ashartlijnen
enigszins te verplaatsen zodat deze hartlijnen elkaar niet meer snijden, maar
kruisen (zie 2.3.4). Het maximale overbrengingsgetal is ongeveer 6.
De derde groep is die van de schroef tandwielstelsels (afb. 2.16d), waarbij de ashartlijnen
elkaar kruisen. Dit stelsel wordt gerealiseerd door cilindrische tandwielen met
a
e
Afb. 2.16. Typen tandwielstelsels
a cilindrische tandwielen met rechte
vertanding (evenwijdige assen)
b cilindrische tandwielen met schuine
vertanding (evenwijdige assen)
c kegeltandwielen (snijdende assen)
d schroeftandwielen (kruisende assen)
106
b c
1'"*11 ,,~
f
11
e worm en wormwiel (kruisende assen)
f rondsel en tandheugel (kruisende assen)
g het planetaire stelsel (assen in elkaars
verlengde)

lur' ~, " cc
schuine of schroefvertanding en wordt gekenmerkt door een puntcontact tussen de
tanden. Maximaal is een overbrengingsgetal mogelijk van ongeveer 5.
Hoewel het schroeftandwielstelsel in de autotechniek weinig toepassing vindt (zie
voor een enkel voorbeeld het Torsen-differentieel in hoofdstuk 7), treft men des te
meer een tweetal varianten op het tandwielstelsel met kruisende ashartlijnen aan.
De eerste variant is de wormoverbrenging (afb. 2.16e). Hier heeft het kleine tandwiel,
de worm, de vorm van een schroef, terwijl het grote tandwiel, het wormwiel, hierop
zodanig is aangepast dat een lijncontact tussen de tanden ontstaat. Door de schroefvorm
is het mogelijk dat de worm voorzien is van slechts één 'tand', zodat men in dit
geval naar analogie van de bout-moerverbinding liever spreekt van een, twee, drie of
meer gangen. De worm overbrenging heeft meestal een minimaaloverbrengingsgetal
van ongeveer 5 en een maximaaloverbrengingsgetal van ongeveer 60, maar in sommige
gevallen komen ook maximale waarden van 100 en meer voor.
De tweede variant van het tandwielstelsel met kruisende ashartlijnen is de tandheugeloverbrenging
(afb. 2. 16j). Deze ontstaat uit het stelsel met evenwijdige ashartlijnen,
door namelijk de diameter van het grote tandwiel zodanig te vergroten, dat een
getande staaf of tandheugel ontstaat; ten gevolge hiervan kruisen nu de tandheugelhartlijn
en de hartlijn van de rondselas elkaar, meestal onder een hoek van 90°. Deze
variant wordt overwegend toegepast als stuurreductie (zie deel 4 van de Steinbuchserie,
waar ook gedetailleerd op de bepaling van de overbrengingsverhouding van
deze bijzondere overbrenging wordt ingegaan). Deze overbrenging is bovendien een
buitenbeentje in het hier behandelde overzicht, omdat hier sprake is van een R-Toverbrenging:
de rotatie van het rondsel resulteert in een translatie van de tandheugel
en omgekeerd.
Bij de vierde groep van tandwielstelsels liggen de assen in elkaars verlengde ofzijn zij
concentrisch ten opzichte van elkaar opgesteld. Dat is mogelijk door meer dan twee
tandwielen samen te voegen tot een zogenaamd planetair tandwielstelsel. Zowel cilindrische
als kegeltandwielen kunnen voor dit doel worden gebruikt. Bij een variant
van het cilindrische stelsel, het gesloten planetaire stelsel, komt bovendien de enige
versie van het tandwiel met inwendige vertanding voor (afb. 2.16g). Dergelijke tandwielstelsels
gehoorzamen aan aparte wetten, zodat hun werking in band Buiteengezet
wordt, omdat zij in de aandrijflijn voornamelijk voorkomen in de automatische transmissie.
In deze paragraaf worden eerst de wetten en begrippen behandeld die voor alle tandwielen
gelden (2.3.2). Dat gebeurt aan de hand van het cilindrische tandwielpaar met
rechte vertanding. Vervolgens worden deze wetten en begrippen uitgewerkt naar de
overige uitvoeringsvormen: het cilindrische tandwiel met schuine vertanding (2.3.3),
het kegeltandwiel (2.3.4), en de worm en het wormwiel (2.3.5). Ten slotte komen de
slijtage en het rendement van de tandwieloverbrenging aan de orde (2.3.6). Uit ruimte-overwegingen
is afgezien van een behandeling van het krachtenspel en de sterkteberekening
van de tandwieloverbrenging.
2.3.2 Basisbegrippen in de tandwieltechniek
Cirkelbeweging
Beweegt een punt op de omtrek van een cirkel, dan kan men de afgelegde weg s in de
doorlopen hoek cp (de Griekse kleine letter 'fi') van de (voer)straal ruitdrukken.
107

~[1 ~lt\
Om dat te kunnen, moet men de hoek cp niet uitdrukken in graad, maar in radiaal. Een
radiaal (symbool: rad) van een hoek is per definitie gelijk aan het aantal malen, dat de
straal r op de bijbehorende booglengte s is begrepen (afb. 2.17):
s
cp=- r
[rad]
Afb. 2.17. De radiaal: als s = r, dan
geldt cp = I rad (57,3°)
(2.12)
De radiaal is dimensieloos: het is een verhoudingsgetal, zoals volgt uit de eenhedenvergelijking:
mlm = -. Toch is het belangrijk, de eenheid 'rad' te vermelden omdat
anders verwarring zou kunnen ontstaan met de hoekgraad 0.
Omdat met de hoekgraad vanwege het zestigtallig stelsel moeilijk te rekenen valt,
heeft men afgesproken dat men 2Jt radiaal heeft afgelegd, als men de straal r éénmaal
laat roteren, dus 360° laat doorlopen. Anders gezegd (in de termen van definitieformule
2.12):
o
2n =- r
[rad]
(2.12a)
Jt (de Griekse kleine letter 'pi') staat voor het getal 3,14 (afgerond). Jt radiaal komt
overeen met 180°, dus 1 rad = 180/3,14 = 57,3°.
De lineaire of tangentiële snelheid v in de richting van de raaklijn aan de cirkelbaan
wordt in de doorlopen hoek uitgedrukt met behulp van de hoeksnelheid w, ook wel
cirkelfrequentie genoemd (de Griekse kleine letter 'omega'). De hoeksnelheid geeft
het aantal radiaal dat per seconde door de voerstraal wordt doorlopen (w = cplt),
zodat de algemene vergelijking van de eenparige cirkelbeweging luidt:
cp = w.l [rad] (2.13)
Substitueert men formule 2.12 (cp = sir) in deze uitdrukking, en bedenkt men, dat slt
= v, dan blijkt het verband tussen tangentiële snelheid en hoeksnelheid als volgt te
kunnen worden geschreven:
[:J
(2.14)
De grootste tangentiële snelheid van een cilindrisch roterend lichaam is de omtreksnelheid,
omdat r dan maximaal is.
108

Hoewel de grootte van de snelheid niet verandert, maar de richting ervan wel, is hier
volgens de vectordefinitie van de snelheid sprake van een versnelling. De vector van
deze versnelling is continu naar het middelpunt van de cirkel gericht en wordt daarom
middelpuntzoekende of centripetale versnelling a c genoemd:
u 2
(Ic = - = (1)2'r
r
(2.15)
De laatste term ontstaat door de middelste in formule 2.14 in te vullen.
De verhouding tussen de hoeksnelheid w en het toerental of de rotatiejrequentie n
wordt gegeven door:
(1) = 2n:'/l [r:dJ (2.15a)
Ook hier is het van belang, de eenheid 'rad' te vermelden, omdat er blijkens deze
formule een factor 211: verschil bestaat tussen w en n. 1 'omwenteling' is immers gelijk
aan 360 0 of 211: radiaal, dus n omwentelingen per seconde zijn gelijk aan 211:n radis.
Hebben twee tandwielen een verschillende rotatiefrequentie, dan is de overbrengingsverhouding
i de verhouding tussen de rotatiefrequentie van het aandrijvend lichaam
en die van het aangedreven lichaam (afb. 2.18):
. /ll (1)1
1=-=-
/l2 (1)z
Afb. 2.18. De
overbrengi/lgsverhouding i
[-J (2.16)
Omdat de snelheidsverandering omgekeerd evenredig is met de straal van de tandwielen
(w = vlr) en het koppel evenredig is met de straal (want T = Fr), is de overbrengingsverhouding,
betrokken op het koppel, precies omgekeerd:
. rz Tz
/=-=rl
TI
[-J
(2.16a)
Wordt het resultaat van deze uitdrukkingen geschreven als een enkel getal, dan
spreekt men van een overbrengingsgetal.
Is er sprake van meer dan één overbrenging (n/nz, n/n 3 , n/n4, enzovoort) dan is de
totale overbrengingsverhouding gelijk aan het produkt van de afzonderlijke verhoudingen:
[-J
(2.16b)
109

Immers: bij drie overbrengingen bij voorbeeld is i, = n/n4 en deze uitkomst verkrijgt
men ook, als men n/nz, n/n 3 en n/n 4 met elkaar vermenigvuldigt.
Is de cirkelbeweging eenparig veranderlijk, dat wil zeggen: verandert de tangentiële
snelheid langs de cirkelbaan met een constante waarde per seconde, dan is de tangentiële
versnelling a l •n op elk moment even groot en geldt:
I'
atan =t (2,17)
Ook bij de eenparig veranderlijke cirkelbeweging geeft men er echter de voorkeur
aan, vanuit de doorlopen hoek cp te redeneren. Omdat v = w.r (formule 2.14) kan
men formule 2, 17 ook schrijven als: a l •n = (w'r/t), oftewel: al.n/r = wit. De laatste term
is kennelijk een versnelling (een snelheid per tijd), zodat men voor deze term een
nieuwe grootheid, de hoekversnelling a (de Griekse kleine letter 'alfa') heeft ingevoerd:
atan
'1.=- r [r:ZdJ (2.18)
Gaat men uit van de tanden tallen Z van het tandwiel op de aandrijvende as 1 en op de
aangedreven as 2, dan zal, als de aangedreven as eenmaal roteert, het verplaatste
aantal tanden Zz zijn. Het verplaatste aantal tanden op het aandrijvende wiel is dan
ook Zz. Het aantal omwentelingen van de aandrijvende as is dan Z/ZI' zodat men ook
kan schrijven: i = Z/ZI' Op basis van de formules 2.16 en 2.16a geldt dan dus:
. W1 nl
1= - = - = constant
Wz nz
[-J (2.19)
Deze formule geldt ook voor de riem- en de kettingoverbrenging (zie 2.4), Ook de
berekening van het overbrengingsgetal van het planetaire stelsel gebeurt op basis van
de tanden tallen (zie band B).
De vertandingsregel
Een tandwielstelsel moet zodanig uitgevoerd zijn dat het roteren van het aangedreven
deel ten opzichte van het aandrijven de deel zonder schokken of stoten plaatsvindt.
Bij zo'n eenparige aandrijving is de verhouding tussen de hoeksnelheden van het aandrijvende
en het aangedreven tandwiel op elk moment gelijk (afb. 2,19b):
. nl WI =z dz rz Tz
1=-=-=-=-=-=nz
Wz =1 dl rl TI
(2. 19a)
Volgens de wetten van de kinematica kunnen uit deze voorwaarde gedetailleerde
eisen aan de vorm van de tanden, het tandprofiel, worden afgeleid.
Om te begrijpen hoe een tandwielpaar aan deze voorwaarde kan voldoen, kan men
zich het beste voorstellen, dat de tandwieloverbrenging oorspronkelijk ontstaan is uit
een stel wrijvingswielen, Deze wielen vormen een slippende overbrenging, waarbij de
krachten, bezien in één vlak, worden overgebracht in het gemeenschappelijke raakpunt
van de rolcirkels. De overbrenging kan slipvrij worden gemaakt door het aanbrengen
van verhogingen en verdiepingen: de rolcirkels worden steekcirkels, genoemd
naar de produktiewijze van de tandwielen door het 'steken' van de tanden.
In afbeelding 2.19a raken de tandfianken elkaar in het raakpunt R. Er is overigens nog
110

Afb. 2.19. De eenparigheid van de
talldwieloverbrenging
a de omtreksnelheid
b de hoeksnelheidsverhouding als
functie van de tijd
A
(0,
i = ongelijk (02
..-.... ."". ,'-, .....,
""/
aangedreven
loodlijn op
, ,
, ,
'""s
raaklijn in R
----. lijd T
een tweede raakpunt in deze stand (R'), maar dat laten we buiten beschouwing.
Nu kan men in R de gemeenschappelijke snelheid van beide tandfianken van wiel 1 en
wiel 2 aangeven met de vector v. De tandflanken moeten immers in het raakpunt, in
de richting loodrecht op de raaklijn, dezelfde snelheid hebben. Zou de flank van wiel
2 namelijk sneller bewegen dan de flank van wiel 1 dan wordt het contact verbroken.
Beweegt de flank van wiel 1 sneller dan de flank van wiel 2 dan dringen de tanden in
elkaar of breken zij af. Er wordt dan niet aan de voorwaarde van formule 2.19 voldaan.
In de getekende stand moet dus de snelheid v voor wiel 1 en wiel 2 gelijk zijn.
Opgemerkt wordt dat de snelheid in de richting van de raaklijn wel verschillend kan
zijn. Dat betekent dat de tandflanken langs elkaar glijden in het raakpunt (zie verderop).
Uit afbeelding 2.19a volgt: v = wl"r l , maar ook: v = w 2'r 2 • Voor beide wielen geldt
dan: wl"r l = w 2"r 2 , dus w/w 2 = rir l = i. De tandflank moet dus zodanig van vorm
zijn dat op elk moment geldt: rir l = constant. Uit afbeelding 2.19a blijkt dat de
driehoeken M1AP en M 2BP gelijkvormig zijn, zodat:
'2 MI P
- = -- = constant
'1 MzP
[-J
a
b
(2.19b)
Nu blijkt pool P op het raakpunt van beide steekcirkels te liggen. Als dit voor elke
stand van de tandwielen geldt, dan wordt aan de eis van formule 2.19b voldaan en
111

oteren beide tandwielen eenparig. Dan is de pool dus het momentele draaipunt,
waaromheen beide tandwielen roteren.
Dit noemt men de vertandingsregel, dat is dus een grondregel die voor elk tandwielpaar
moet gelden. Anders geformuleerd luidt deze regel: de loodlijnen op de gemeenschappelijke
raaklijnen in elk momenteel raakpunt R van de tandfianken gaan door
een vast punt op de verbindingslijn der wielmiddelpunten, ook wel centraal genoemd.
Dit punt, de pool P, ligt op beide steekcirkels van de tandwielen: P verdeelt de centraal
in twee delen, omgekeerd evenredig met de hoeksnelheden en recht evenredig
met de tandentallen.
Opgemerkt is al dat beide tandfianken in het raakpunt langs elkaar glijden. De snelheid
waarmee de tandflanken langs elkaar bewegen, is gelijk aan V 3 - V4 (afb. 2.20).
v,
Afb. 2.20. De glijsnelheid V 3 - V4
tussen de tandfianken in het punt R
De vector v geeft de gemeenschappelijke snelheid van het raakpunt aan. VI en V2 zijn
de respectieve omtreksnelheden van het raakpunt geldend voor wiel I en wiel 2. V3 is
de snelheid waarmee het raakpunt langs de flank van de tand op wiel! glijdt en v 4 is de
snelheid langs de flank van de tand op wiel 2. Op deze wijze kan op elke plaats van het
raakpunt het snelheidsverschil grafisch worden bepaald. Links van de pool P zal V4
r groter zijn dan v 3 en in de pool zijn de snelheden gelijk.
Door het snelheidsverschil v 3 - v 4 ontstaan wrijving, slijtage en energieverlies. Deze
verliezen worden door de smering beperkt gehouden.
I
De tandflankvorm
Om aan de grondregel te voldoen, kan met de constructie van Reuleaux, waarop wij
hier verder niet ingaan, bij een gegeven willekeurige tandflankvorm een tweede passende
profielvorm worden geconstrueerd.
De vorm van de tandflanken kan dus willekeurig zijn, als maar aan de vertandingsregel
wordt voldaan. In de praktijk kiest men echter voor bepaalde meetkundige
krommen die de fabricage van de tandwielen vereenvoudigen.
1 Het ligt voor de hand, hiervoor te kiezen uit een of andere vorm van cycloïde, dat is
112

een kromme die beschreven wordt door een willekeurig punt van een rollende cirkel
(afb. 2.21; 'kuklos' is Grieks voor 'cirkel').
Rolt zo'n cirkel af op een rechte, dan ontstaat een orthocycloïde (van het Griekse
'orthos', recht) (afb. 2.21a).
Wordt de afrolbaan gevormd door een cirkelomtrek, dan ontstaat een epicycloïde
(Grieks 'epi' betekent 'op'; afb. 2.21b), vandaar dat een planetair stelsel vooral in
Engelstalige landen ook wel een 'epicycloïdisch stelsel' wordt genoemd; ook de Duitse
term 'Umlaufgetriebe' (omloopoverbrenging) is een letterlijke vertaling van de
Griekse term. De epicycloïde komt ook als tandflankvorm van het kegelwiel voor (zie )
2.3.4), zij het niet in de loodrechte tanddoorsnede maar in de vorm van de tandboog (,
over de kegelomtrek. (
• Wordt de afrolbaan gevormd door het inwendige van een cirkelomtrek, dan is sprake
van een hypocycloïde (Grieks 'hupo' betekent 'onder' of 'in') (afb. 2.21c).
a b
Afb. 2.21. De cycloïde
a de orthocycloïde
b de epicycloïde
c de hypocycloïde
-..,
"-, ,\\
Bij tandwielen met cycloïdevormige tanden is steeds een concave (holle) en een convexe
(bolle) tandflank in ingrijping. Dat betekent enerzijds, dat tandwielparen zeer
exact op elkaar moeten worden afgestemd, anderzijds echter dat de contactzone op
de tandflanken groot is. Door dit vlakcontact zijn dergelijke tanden tegen hogere
belastingen bestand, zodat men dit vertandingstype aantreft in de draaiinstallatie
(met penradvertanding) van een hijskraan en in de dommekracht (een mechanisch
hefgereedschap). Ook de asafstand is zeer kritisch, zodat men dit type ook aantreft in
precisieapparatuur zoals uurwerken en meetinstrumenten. De cycloïdevorm wordt in
de autotechniek echter niet toegepast voor de vormgeving van het tandprofiel in een
dwarsdoorsnede over de tand, voornamelijk omdat de fabricagewerktuigen geen
rechte tandflanken hebben, zodat de produktie ervan duur is. Wel treft men deze
vormen aan in de kromming van kegeltandwielen (zie 2.3.4).
In de machinebouw en de autotechniek wordt bijna uitsluitend gebruik gemaakt van
de cirkelevolvente als tandflankvorm. Een cirkelevolvente, meestal verkort tot evolveflfe,
is een kromme die een willekeurig punt van een rechte beschrijft, als deze
rechte zich afwikkelt op de omtrek van een cirkel, de basiscirkel ('evolvere' is Latijn
voor uit- of afwikkelen). Daarbij neemt de kromtestraal rechtevenredig toe met de
\
\
\
\
c
113

afwikkelafstand. Een evolvente ontstaat dus als men een schrijfstift aan het einde van
een om een cilinder gewikkeld koord onder het strak houden van dat koord van de
cilinder af beweegt (afb. 2.22). Deze cilinder heeft de diameter van de basiscirkel (zie
verderop).
evolvente
Afb. 2.22. De evolvente
Tandwielen met evolventeflanken kunnen goedkoper geproduceerd worden met behulp
van profielfrezen, snij heugels of wormfrezen, terwijl de vertandingsregel blijft
gelden, ook bij een afwijkende asafstand. Sterker nog: de hartlijnafstand tussen de
assen heeft geen enkele invloed op de krachtoverbrenging, tenzij natuurlijk de afstand
zo klein genomen wordt dat de tanden in elkaar klemmen of zo groot dat de
eenparige verdraaiing in gevaar komt. Indien er een constant koppel wordt toegevoerd
zal de drukkracht tegen de tanden niet van grootte en richting veranderen en zal
ook het uitgaande koppel constant zijn. Voor de toepassing van dit flankvormtype in
de wissel bak van de auto is van groot belang, dat tandwielen van verschillende tandentallen
kunnen samenwerken, mits aan enkele later te behandelen voorwaarden
114
Afb. 2.23. Het verplaatsen van hel
raakpunt bij hel verdraaien
van de wielen

wordt voldaan (er kunnen dus verschillende tandwielen met één ander tandwiel worden
geschakeld). De slijtage is echter iets hoger dan bij de cycloïdevorm, omdat (althans
bij tandwielen met uitwendige vertanding) steeds twee convexe flanken met
elkaar contact maken, zodat theoretisch bezien sprake is van een lijncontact. Daardoor
is de belastbaarheid ook iets lager.
Afbeelding 2.23 toont hoe de tandflank zich vanaf de basiscirkel van wiel 1 verplaatst
tot de basiscirkel van wiel2. Er zijn enkele raakpunten weergegeven en in alle standen
gaat de loodlijn op de raaklijn in een raakpunt door de pool: de evolvente voldoet dus
aan de vertandingsregel.
Ook de tanden van een tandwiel met inwendige vertanding hebben de vorm van een
evolvente (afb. 2.24). De tandflanken zijn hier echter hol: zij hebben de vorm van de
tandkuil van een tandwiel met buitenvertanding, terwijl de tandkuil bij binnenvertanding
de vorm heeft van de tand bij buitenvertanding.
Afb. 2.24. Een combinatie van uitwendige
en inwendige vertanding met evolventejianken
'(1.
Benamingen en begrippen
Het aantal tanden of tandenta/ van een tandwiel Z wordt aangeduid met z.
Twee in elkaar grijpende tandwielen wikkelen zich langs elkaar af over de steekcirkets.
Bij een cilindrisch tandwiel wordt de verzameling van alle steekcirkels gevormd
door de steekcilinder met diameter d (de bijbehorende straal is r). De steek p is de
afstand tussen twee opeenvolgende rechter of linker tandflanken. In feite is de steek
de afstand tussen twee gelijknamige tandflanken van de basisvertanding, dus van het
gereedschap waarmee het tandwiel wordt vervaardigd. Vandaar dat de steekcirkel die
hieruit voortvloeit de fabricagesteekcirke/ wordt genoemd.
Voor de omtrek van deze steekcirkel geldt (zie formule 2.12a): 2n.r = Z.p, zodat,
omdat d = 2r, de steekcirke/diameter kan worden geschreven als:
115

P
d= z.lt
Afb. 2.25. Afmetingen van
tandwielen
b breedte van het wiel
(tandbreedte )
e kuilwijdte
ha kophoogte
hv voethoogte
psteek
standdikte
sa kopdikte
[mm] (2.20)
Om nu het lastige getal Jt bij het beschrijven van tandwielen kwijt te raken, deelt men
de steek p door Jt en ontstaat een handzame rekengrootheid: de steekmodulus of
kortweg modulus m:
p
m=- lt
[mm] (2.21 )
De term 'modulus' stamt uit het Engels en betekent 'constante coëfficiënt'.
Nu kunnen alle tandwielafmetingen worden uitgedrukt in deze modulus, die in de
Nederlandse norm NEN 1630, de Belgische norm NBN 446 en de Duitse norm DIN
780 is vastgelegd.
Zo kan men nu de steekcilinderdiameter ook schrijven als:
d = z.m [mm] (2.22)
Een 'tandwiel van 26 tanden modulus 5' heeft dus een steekcirkeldiameter van 26 x 5
= 130 mmo
De tanddikte s is de afstand tussen de linker en de rechter tandflank van één tand,
gemeten op de steekcirkel. De kuilwijdte e is de afstand tussen twee tanden op de
steekcirkel. De som van tanddikte en kuilwijdte is de steek.
Theoretisch kan de tanddikte gelijk zijn aan de kuilwijdte. In bedrijf is er dan geen
jfankspeling. Praktisch is flankspeling noodzakelijk en is de tanddikte kleiner dan de
kuilwijdte. Is de tanddikte groter dan de kuilwijdte (negatieve speling) dan zullen de
tandwielen in elkaar vastlopen. De waarde van de flankspeling is afhankelijk van de
bewerkingsnauwkeurigheid, de uitzetting ten gevolge van temperatuurverschillen, de
smeerfilmvorming, de doorbuiging van de assen en de afwijkingen in de hartafstand
(de afstand tussen de hartlijnen van de assen).
De tand van een tandwiel bestaat uit twee delen: de tandkop (het deel dat zich bevindt
I'tussen de steekcilinder en het topvlak) en de tandvoet binnen de steekcilinder.
De kophoogte h" en de voethoogte h v zijn genormaliseerd: zij zijn respectievelijk gelijk
aan I en 1,25 maal de modulus: ha = m en hv = 1,25m. Hierdoor ontstaat een top-
I speling van O,25m tussen het topvlak van de tanden en de bodem van de tandkuilen.
De breedte van een topvlak wordt aangeduid als kopdikte s".
De topcirkeI is de cirkel over de toppen van de tanden met diameter:
116

da = d + 2ila = d + 2/11 [rnrn] (2.23)
De voetcirkel is de cirkel over de voeten van de tanden met diameter:
d v = d - 2il v = d - 2,5/11 [rnrn] (2.24)
De tandhoogte ontstaat door de voetcirkeldiameter van de topcirkeldiameter af te
trekken en van het resultaat de helft te nemen: !(d + 2m - d + 2,5m) = 2,25m.
Om te voorkomen dat bij sommige tandwielstelsels de tanden te hoog worden (met
kans op ondersnijding, zie verderop) wordt de kophoogte ook wel op a,Sm en de
voethoogte op m genomen. De tandhoogte is dan 1,Sm.
De breedte van een tandwiel wordt met baangegeven; dit is de afstand tussen de
begrenzing van de tanden aan de voor- en achterzijde door de zijvlakken.
Het tandcontact op de tandflanken vindt bij cilindrische tandwielen plaats via rechte
lijnen. Op de tandflanken worden een werkzaam en een niet-werkzaam deel onderscheiden.
De flank gaat via de voetafronding over in het bodemvlak van de tandkuil.
Kerfwerking, inscheuren en afbreken van tanden worden hierdoor voorkomen.
De basiscirkeI heeft ten opzichte van de steekcirkel een vaste plaats. Van de basiscirkel
wordt de evolvente afgerold. Uit afbeelding 2.26 volgt dat de basiscirkeldiameter
is:
db = d.cosCJ. [rnm] (2.25)
De kromming van de tandflank op een bepaalde plaats wordt bepaald door de afstand
tot de basiscirkel en aangegeven met de kromtestraal (afb. 2.26). De kromtestraal is
de lengte van het afgerolde deel van de basiscirkel. Op de plaats van de steekcirkel is
de kromtestraal gelijk aan !d'sina.
Hoe groter de steekcirkeldiameter , des te vlakker wordt de evolvente. Kiest men deze )
diameter oneindig groot (zoals het geval is bij een tandheugel) , dan gaat de evolvente
over in een rechte lijn. Dat is de achtergrond van de relatief goedkope fabricagewijze
van de evolventeflank: zij kan immers door een snijheugel met rechte tandflanken
worden vervaardigd door het tandwiel langs deze heugel te rollen. Deze fabricagemethode
wordt de afwikkelmethode genoemd.
Afb. 2.26. De evolvente-tandvorm
evolvenle
117

Bij het beschouwen van twee samenwerkende, in ingrijping zijnde tandwielen (wiell
aandrijvend en wiel2 aangedreven, afb. 2.27), kan men vaststellen dat de ingrijping in
punt A begint en in punt B eindigt. Het ingrijpplInt verplaatst zich van A naar B langs
de ingrijplijn, ook wel druklijn genoemd. De hoek die de ingrijplijn maakt met de
normaal op de centraal (de verbindingslijn tussen de tandwielmiddelpunten MIen Mz)
duidt men aan als de druk/wek. De fabricagedrllkhoek is internationaal genormaliseerd
op 20°. Na montage van de tandwielen kan de bedrijfsdrllkhoek tussen de
ingrijplijn en de loodlijn op de centraal hiervan afwijken doordat de hartafstand van
de tandwielen verschilt. De basiscirkel verandert echter nooit van diameter.
De (denkbeeldige) cirkels waarlangs de beide samenwerkende tandwielen zich afrollen,
veranderen als de hartafstand van de tandwielen wordt gewijzigd. De bedrijfssteekcirkeldiameter
wijkt dan af van d = z.m en kan (indien mogelijk) worden bepaald
uit de tandentallen en de totale hartafstand. De bedrijfssteekcirkels worden
ook wel ralcirkels genoemd.
Het deel van de ingrijplijn AB waarlangs het tandcontact zich verplaatst, wordt de
ingrijp weg genoemd; deze ligt precies tussen de beide topcirkels. De lengte van deze
118
Afb. 2.27. Het illgrijpquotiënt
wiel 2 (aangedreven)
wiel 1 (aandrijvend)

ingrijpweg is belangrijk: om een eenparige overbrenging te behouden, is het noodzakelijk
dat als de ingrijping van een tanden paar eindigt (in afb. 2.27: in punt B), het
volgende tandenpaar reeds met de ingrijping is begonnen (punt C). Over de afstand
AC en DB zijn dan dus twee tandparen in ingrijping. Er is dan sprake van een soort
overlapping van de ingrijping. Deze overlapping kan, onafhankelijk van de grootte ~
van de tandwielen, in een getal worden uitgedrukt: het ingrijpquotiënt c (de Griekse
kleine letter 'epsilon'), dat is de verhouding tussen de ingrijpweg en de afstand tussen
twee opeenvolgende tandflanken, gemeten langs de ingrijplijn: c = x/y. Het ingrijpquotiënt
wordt ook wel uitgedrukt in de verhouding tussen de ingrijpboog en de steek,
zodat:
x ingrijpboog
£=-=---y
steek
[-J
(2.26)
De ingrijpboog is de afstand, gemeten op de steekcirkel, gedurende welke een tandenpaar
in ingrijping is. In afbeelding 2.27 is dit boog EF. Uit deze afbeelding volgt
verder dat TB = boog TS en AB = boog A'S. Ook geldt: boog A'S/boog EF = rb/r.
Aangezien rjr = cosa is dus ook boog A'S/boog EF = cosa. Daaruit volgt dat boog
EF = AB/cosa, in woorden: ingrijpboog = ingrijpweg gedeeld door cosa. Met de
steek p = Jt.m (formule 2.21) wordt formule 2.26 dus:
ingrijpweg AB
1:=------
1t "m" cos Ct
[-J (2.26a) ,
De ingrijpweg kan ook grafisch worden bepaald door de beide topcirkels op schaal te
tekenen en de afstand op te meten.
Om een eenparige aandrijving te waarborgen, mag het quotiënt niet beneden I, I
uitkomen. Hoe hoger het quotiënt, des te beter is het stelsel bestand tegen hoge
belastingen. Het grootste ingrijpquotiënt wordt verkregen bij de samenwerking tussen
twee grote tandwielen. Theoretisch zouden er twee tandheugels kunnen 'samenwerken'
(afb. 2.28). In dat geval wordt (met de kophoogte ha = m) formule 2.26a:
AB 2m 2
£ = --- - ----- - ---- [ - J (2.26b)
1t . lil "cos Ct 1t . lil . sm Ct " cos Ct 1t "sin Ct " cos !J.
Bij een drukhoek van 20° bedraagt het maximale ingrijpquotiënt dan cmax = 1,98.
Aan de hand van afbeelding 2.27 kan ook het werkzame deel van een tandtlank worden
bepaald. Het contactpunt verplaatst zich over de tandflank, bij het aandrijvende
tandwiel van de voet naar de top en bij het aangedreven tandwiel van de top naar voet,
van A naar B. Dit traject wordt ook wel de ingrijpjlank genoemd.
Afb. 2.28. Het bepalen van het
grootst mogelijke
ingrijpquotiënt uit de grootst
mogelijke ingrijp weg
I!)eo~
ma eliSC!)
r1elij~ gro
e in OISI
r1l)ip", eg
119

Tijdens de verplaatsing van A tot op de steekcirkei in P wordt door het aangrijppunt
op het aandrijvende tandwiel het flankdeel AE afgelegd en in dezelfde tijd op het
aangedreven tandwiel het flankdeel AG, welke afstand groter is. Hieruit blijkt dat de
flanken in een aangrijppunt langs elkaar glijden. Het snelheidsverschil is het grootst in
A en neemt geleidelijk af tot in P waar geen snelheidsverschil meer aanwezig is. Vanaf
punt P tot in B neemt het snelheidsverschil weer toe, maar nu in omgekeerde zin.
Omdat er in pool P geen snelheidsverschil is, wordt dus ook geen hydrodynamische
smeeroliefilm opgebouwd (zie 2.2). In dit gebied wordt de vlaktedruk door het metaal-op-metaal-contact
extreem hoog en kan 'pitting' (putvorming) op de tandflanken
ontstaan.
Bij cilindrische tandwielen met rechte vertanding vindt de ingrijping uiteraard in een
contactlijn langs de tandftank plaats. Deze lijn verplaatst zich van A naar B en vormt
een ingrijp vlak .
Ondersnijding
Om de afmetingen van tandwielstelsels binnen bepaalde grenzen te houden zonder
dat de sterkte erop achteruitgaat, is het soms gewenst tandwielen te vervaardigen met
een klein tanden tal. Vervaardigt men zo'n tandwiel volgens de afwikkelmethode, dan
ontstaat het verschijnselondersnijding (afb. 2.29). Dit betekent dat de tanden van het
120
h,=m
a
snijheugel
b
=Z
\
~landwiel
afwikkelfrees
of snijheugel
met 10 landen
Afb. 2.29. Tandcorrectie
a ondersnijding
b het minimale tandenlal waarbij
nog juist geen ondersnijding
optreedt

snij gereedschap een deel van de evolventetandflank aan de tandvoet van het tandwiel
wegsnijden. De tandvoet wordt hierdoor soms ontoelaatbaar verzwakt en de kans op
afbreken tijdens het in bedrijf zijn is groot. Bovendien wordt de ingrijpweg korter en
het ingrijpquotiënt kleiner.
Ondersnijding ontstaat eigenlijk als de beschikbare ingrijpweg klein is. In afbeelding
2.29b is de grenssituatie getekend waarbij de beschikbare en de benodigde ingrijpweg
rechts van de pool (AP) even groot zijn. Wordt het tandental bij dezelfde modulus
kleiner, dan verschuift punt A langs de ingrijplijn in de richting van P en komt punt A
binnen de toplijn te liggen. Benodigd is het stuk tot aan de toplijn; er is dus een tekort
en de koppen van het snijgereedschap snijden een deel van het evolventeprQfiel van
de tandvoet weg. Voor het grensgeval in afbeelding 2.29b geldt: AP = MP'sina met
MP = !d = !.z.m. Dus: AP = !.z.m'sina.
In het uiterste geval ligt punt A op de toplijn van het snijgereedschap en is de kophoogte
ha = AP.sina, zodat:
[mm] (2.27)
Maakt men nu een kleiner tandwiel met minder tanden, dan ontstaat er ondersnijding.
Het minimumtandental zonder dat ondersnijding optreedt volgt uit formule
2.27a:
2ha
Zmin = m'sin2(J. [-] (2.27a)
In auto's wordt voor de kophoogte de modulus genomen (ha = m) en is de drukhoek a 1
genormaliseerd op 20°, zodat het minimumtandental zonder dat er ondersnijding optreedt
theoretisch gezien bedraagt: sin 2 20° = 17,2. Dit wordt het theoretische grenstandental
genoemd: Zgt = 18. In de praktijk blijkt echter dat de verzwakking van de
tandvoet en de vermindering van het ingrijpquotiënt niet direct hinderlijk zijn. Een
praktisch grenstandental Zgp = 14 wordt nog wel aanvaardbaar geacht.
Werken een klein tandwiel (z < 17) en een groot tandwiel samen (afb. 2.30a), dan
Afb. 2.30: Valse ingrijping
a twee samenwerkende tandwielen met valse ingrijping
b twee samenwerkende tandwielen zonder valse ingrijping door het vergroten van de
drukhoek
b
121

ontstaat eveneens een tekort aan ingrijpweg. Beschikbaar is immers de afstand y (van
basiscirkel tot basiscirkel), maar deze afstand dekt niet de benodigde ingrijpwegx van
topcirkel tot topcirkel. Is er bij twee samenwerkende tandwielen een stuk ingrijpweg
te weinig, dan spreekt men van valse ingrijping. De koppen van het grote tandwiel
dringen dan in de flanken van de voeten van het kleine tandwiel.
In de praktijk zijn er een aantal mogelijkheden om ondersnijding en valse ingrijping
te voorkomen.
Het vergroten van de drukhoek geeft een toename van de beschikbare en een afname
van de benodigde ingrijpweg, zodat deze benodigde ingrijpweg aan beide zijden
wordt overlapt (afb. 2.30b). De tandvorm verandert hierdoor: de voet wordt breder
en de top spitser. Door de grotere drukhoek neemt ook de kracht waarmee de tand-
11wielen radiaal uit elkaar worden gedrukt, toe. Doordat een minder gekromd deel van
de evolvente (verder bij de basiscirkel vandaan) wordt gebruikt, neemt de vlaktedruk
af.
I Een vermindering van de kophoogte van de tanden op het grote tandwiel (ha = O,8m)
maakt de topcirkel kleiner en daarmee de benodigde ingrijpweg (afb. 2.31). Het ingrijpquotiënt
neemt af en hierdoor wordt de vlaktedruk plaatselijk hoger. In Amerika
wordt dit soort tanden 'stubteeth' genoemd ('stub' betekent 'stomp'), vandaar de in
onze streken bekende benaming 'stubtanden'.
Het meest werkzame middel om ondersnijding te voorkomen is echter tandcorrectie
door projielverschuiving. Dit heeft bovendien extra voordelen, die hieronder aan de
orde komen.
nieuwe topcirkel
~ verwijderde topcirkel
Afb. 2.31. Het opheffen van valse
ingrijping door vermindering van
de kophoogte van het grote
tandwiel
Projielverschuivillg
De vertanding zonder profielverschuiving (ook wel 'nulvertanding' genoemd) ontstaat
tijdens de fabricage als de steeklijn van het snijgereedschap zich afwikkelt langs
de steekcirkel van het tandwiel. Dit is in afbeelding 2.32 met een streeplijn weergegeven.
Omdat het de fabricage van een klein tandwiel betreft, is de beschikbare ingrijpweg
te kort; het tekort is aangegeven met p.
Aan de tanden van het snijgereedschap is een extra afgeronde verlenging van O,25m
(gearceerd) aangebracht om een voethoogte van 1,25m en een voetafronding te verkrijgen.
Zoals in de afbeelding valt te zien, heeft dit geen invloed op de ingrijpweg.
Wordt het snijgereedschap ten opzichte van de steekcirkel verplaatst, dan spreekt
men van projielverschuiving v (vroeger ook wel 'V-vertanding' genoemd). Indien de
122

- - - - fabricage van het tandwiel zonder profielverschuiving
-- fabricage van het tandwiel met profielverschuiving a
p tekort aan ingrijpweg voor profielverschuiving
q teveel (reserve) aan ingrijpweg
~~ profielverschuiving
""i toplijn van het
snijgereedschap
na verschuiving
topcirkel na
profielverschuiving
oorspronkelijke
topcirkel
\~-steekcirkel
\ bij fabricage
Afb. 2.32. Het ontstaan van ondersnijding tijdens de fabricage van een tandwiel en het
opheffen hiervan door profielverschuiving
afstand van het hart van het wiel tot het snijgereedschap groter wordt, is de profielverschuiving
positief; bij verkleinen van de afstand is de verschuiving negatief. In afbeelding
2.32 zijn het verschoven snijgereedschap en de gecorrigeerde tandvorm met
een getrokken lijn weergegeven. De afstand waarover de profielverschuiving plaatsvindt,
is met v aangegeven en wordt uitgedrukt in de modulus:
v = X'1Il [mm] (2.28)
Hierin wordt x de profielverschuivingsfactor genoemd: x = vlm. Doordat een profielverschuiving
met afstand v heeft plaatsgevonden, is er aan ingrijpweg een afstand q
over: de ondersnijding is ruimschoots opgeheven.
Ook als er profielverschuiving wordt toegepast is de geproduceerde evolvente dezelfde,
terwijl de basiscirkel dezelfde diameter blijft behouden. Tijdens de fabricage
wordt het snijgereedschap langs dezelfde steekcirkel afgewikkeld. De steeklijn van
het snijgereedschap ligt op een afstand v van de fabricagesteekcirkel van het tandwiel,
terwijl er ook een 'steeklijn' bij de fabricage is die raakt aan de fabricagesteekcirkel.
De drukhoek op de steekcirkel blijft gelijk, evenals de steek. Het zal inmiddels uit dt;
verschillende afbeeldingen duidelijk zijn dat de drukhoek wordt bepaald door de
hoek van de tanden op het snijgereedschap.
Door positieve profielverschuiving worden de diameters van de topcirkels en voetcirkels
groter, de tanden worden dikker (sterker) en de kuilwijdte neemt af:
cla=cl+2m(l+x)
llr = cl - 211I(1,25 - x)
[mm]
[mm]
\
(2.29)
(2.30)
De tandftank wordt gevormd door een deel van de evolvente dat verder bij de basiscirkel
vandaan ligt, waardoor de kromming minder sterk is. Dit geeft een lagere vlak-
123

tedruk tijdens belasting. De vorm van de tanden vóór de profielverschuiving is tamelijk
stomp, na de correctie worden de tanden spitser en de voeten breder en sterker.
De mate waarin profielverschuiving kan plaatsvinden wordt bepaald door de kopdikte
Sa' De absolute, theoretische grens wordt bereikt als de tanden volkomen scherp
worden. In de praktijk ligt de grens van de verschuiving op een Sa van O,2m; bij geharde
tanden wordt Sa = O,4m genomen omdat bij te spitse tanden problemen kunnen
ontstaan tijdens het harden.
Door positieve profielverschuiving is het mogelijk tandwielen te vervaardigen met
kleine afmetingen, die toch sterk zijn. Dit komt de afmetingen van de constructie als
geheel ten goede. Verder kan door deze maatregel de hartafstand van de tandwielassen
worden aangepast; dit is vooral in wissel bak ken van belang, omdat hier meer
tandwielgroepen op dezelfde assen werkzaam zijn.
I Door negatieve projielverschuiving wordt de diameter van de top- en voetcirkels klei-
\ ner. De tanden worden rechthoekiger, de kop dikker en de voet smaller. Er ontstaat
r kans op ondersnijding. Negatieve correctie mag alleen plaatsvinden op tandwielen
met een groot aantal tanden. Tandwielen met gecorrigeerde tanden (positief of negatief)
kunnen te allen tijde met elkaar samenwerken door hun evolventevorm.
Een vergelijking van twee samenwerkende tandwielen voor en na positieve correctie
is in afbeelding 2.33 weergegeven. Na montage van de tandwielen is de hartafstand
met de waarde van de profielverschuiving v toegenomen. Er ontstaat enige tandspeling
die overigens weer zonder problemen kan worden opgeheven door de hartafstand
kleiner te maken. De beide wielen wikkelen zich af langs de bedrijfssteekcirkels
die elk afzonderlijk groter zijn dan de fabricagesteekcirkels. De diameter van de bedrijfssteekcirkels
wordt berekend uit de totale hartafstand en de verhouding van de
tandentallen van de tandwielen. De bedrijfsdrukhoek a 2 is groter en de ingrijpweg en
het ingrijpquotiënt zijn kleiner geworden. Het stelsel veroorzaakt meer tandgeluid.
a b c
Afb. 2.33. Vergelijking van twee samenwerkende tandwielen vóór en na profielverschuiving
a vóór de correctie
b na positieve correctie van het kleine tandwiel
c !la positieve correctie va!l het kleine e!l negatieve correctie va!l het grote tandwiel
124

De toename van de hartafstand kan weer worden tenietgedaan door op het grote wiel
negatieve profielverschuiving toe te passen (afb. 2.33c). In het algemeen bestaat door
negatieve profielverschuiving ook de mogelijkheid de hartafstand enigszins aan te
passen.
Bijzondere tandcorrecties
Behalve de correctie van de tandflanken door profielverschuiving is er profielcorrectie
die wordt verkregen door het enigszins wegslijpen van de werkzame flanken van de
kop en de voet of van één van beide (afb. 2.34a). Deze correctie wordt toegepast om
stoten bij het begin van de ingrijping van een tandenpaar te verminderen. Deze stoten
kunnen ontstaan ten gevolge van het doorbuigen van de tanden, buiging van de assen,
lagerspeling en afwijkingen in het tandprofiel. De afwikkeleigenschappen onder hoge
belasting worden door zo'n correctie verbeterd. De correctie aan de tandkop en de
tandvoet wordt ook wel aangeduid als hoogtebo/ling.
Dejfanklijncorrectie (afb. 2.34b) wordt toegepast om het door de belasting en door
tandflankafwijkingen veroorzaakte ongelijkvormige dragen van de tandflanken in
langsrichting te verbeteren. In extreme gevallen kan het zonder deze correctie namelijk
voorkomen dat de kracht aan het uiteinde van een tandenpaar wordt overgebracht.
Het gevolg is overbelasting en het afbreken van een hoek van een tand. Een
gelijkmatige boogvormige aanpassing van de tandflanken in lengterichting wordt aangeduid
met breedtebo/ling.
Profiel- én jfanklijncorrectie (afb. 2.34c) wordt toegepast in hoogbelaste tandwielstelsels.
Twee samenwerkende tandwielen hebben dan een ellipsvormig vlak als
draagbeeld op de flanken.
a
b d
draagbeeld
(tandconlactvlak)
Afb. 2.34. Bijzondere tandcorrecties zoals door ZF toegepast
a profielcorrectie door hoogtebolling
b jlanklijncorrectie door breedtebolling
c profiel- en jlanklijncorrectie door hoogte- en breedtebolling
d voetafronding
e het breken van de scherpe kopranden
e
125

De voetafronding (afb. 2.34d) is soms extra ver doorgevoerd om de bewerking te
vergemakkelijken. Aan de koppen van de tanden op het snij gereedschap is hiervoor
een speciale voorziening aangebracht. Hiermee wordt bereikt dat na het harden tijdens
het slijpen van de flanken de slijpschijf vrijloopt en schadelijke kerfwerking in de
tandvoeten wordt voorkomen.
Het breken van de scherpe kopkanten (afb. 2.34e) is een beschermingsmaatregel die
I tussen het topvlak en de tandflank wordt uitgevoerd. Beschadiging van de werkzame
tandflanken tijdens het transport wordt hierdoor voorkomen.
AI deze tandcorrecties komen niet alleen voor bij cilindrische tandwielen met rechte
vertanding, maar ook bij cilindrische tandwielen met schuine vertanding en bij kegeltandwielen.
2.3.3 Het cilindrische tandwiel met schuine vertanding
Bij een tandwiel met schuine vertanding liggen de tanden in principe als schroeflijnen
om het wiel, te vergelijken met meergangige schroefdraad (afb. 2.35). Zo'n tandwiel
wordt daarom ook wel schroeftandwiel genoemd, een enigszins verwarrende gewoonte
omdat, zoals in 2.3.1 uiteengezet, onder 'schroef tandwielstelsel' een overbrenging
met elkaar kruisende ashartlijnen wordt verstaan. Bij een samenwerkend cilindrisch
tandwielpaar met schuine vertanding staan de tanden onder dezelfde hoek, terwijl
deze hoek bij het schroeftandwielstelsel per tandwiel verschillend is.
Afb. 2.35. Een tandwiel met
schuine vertanding
Behalve in de aandrijflijn worden cilindrische tandwielen met schuine vertanding toegepast
als distributietandwielen in de verbrandingsmotor. Het schroef tandwielstelsel
wordt alleen bij kleine vermogens en overbrengingsgetallen gebruikt, zoals voor de
aandrijving van de hoogspanningsverdeler van de verbrandingsmotor met laagliggende
nokkenas, waar de horizontale nokkenas via een haaks schroeftandwielstelsel met
de verdeleras is gekoppeld.
Net als bij schroefdraad wordt de richting van de schroeflijn aangegeven: van twee
samenwerkende tandwielen heeft het ene tandwiel rechtse en het andere linkse uitwendige
schroeflijnen (zie afb. 2.16b). De tandwielen worden met hetzelfde snijgereedschap
vervaardigd als de rechte tanden en de flanken hebben de evolventevorm.
126

Dit gereedschap wordt tijdens de fabricage schuin geplaatst onder de tandhoek f3 (de
Griekse kleine letter 'bèta') (afb. 2.36). De spoedhoek y (De Griekse kleine letter
'gamma') is het complement van de tandhoek (twee complementaire hoeken vormen
sarren een hoek van 90°), zodat: f3 + y = 90°). Tijdens het snijden van de tanden
maakt het tandwiel een draaiende beweging.
Afb. 2.36. Afmetingen van een cilindrisch
tandwiel met schuine vertanding
\
\
\ ..---
..--~-
--- \
\
~
uitslag van de
steekcilinder
------- doorsnede over het
"'. normaalvlak
\.
I
/~II p~,
P transversaalvlak
.Q -'--
' /
/
~
~'-
'
I
:~
\.
-d::s-;;-ede over het
'. I transversaal vlak
\ I /
'~ /
. I .../
.......... -.-.. .....---.
Eigenschappen
Door deze tandvorm krijgt het stelsel enkele bijzondere eigenschappen. Afhankelijk
van de tandhoek en de breedte van de tandwielen zijn er meer tandparen tegelijk in
ingrijping. Het ingrijpquotiënt is dus groter. Doordat de ingrijping in een punt begint,
en niet in een lijn zoals bij rechte tanden, is er minder tandgeluid. Het ingrijppunt
verplaatst zich van de ene zijde van het tandwiel naar de andere zijde en tevens van de
topcirkel van het ene wiel naar de topcirkel van het andere wiel in het ingrijpvlak. Het
is dus een dubbel afwikkelproces. De krachtoverbrenging verloopt daardoor eenpariger.
Er is minder kans op ondersnijding daar deze mede afhankelijk is van de
tandhoek. De tanden zijn door de gebogen vorm sterker, de modulus kan kleiner zijn
127

en daarmee de afmetingen van de tandwielen. De diameter van de steekcirkel kan
worden aangepast door de tandhoek te variëren. Dit is van belang indien meer tandwiel
groepen op evenwijdig lopende assen worden geplaatst, zoals in een wisselbak.
De produktiekosten echter zijn hoger. Er ontstaan axiale krachten die door lagers
moeten worden opgenomen. De wrijving is door de axiale krachten groter. Uitwendi-
I ge axiale krachten kunnen worden vermeden door pijl- of visgraatvertanding toe te
passen of door twee tandwielen met tegengestelde tandhoek te monteren. Schuinvertande
cilindrische tandwielen kunnen in een wisselbak niet als schuifwiel worden toegepast.
Benamingen en begrippen
Het aantal tanden wordt aangegeven met z. Verder zijn er, met uitzondering van de
kop- en voethoogte, ten opzichte van de rechte vertanding enige verschillen in grootheden
die gemeten worden in het normaalvlak (loodrecht op de tanden) en in het
transversaalvlak (loodrecht op de as van het tandwiel) (afb. 2.36).
Een doorsnede over het normaalvlak levert bij de steekcirkel een ellips op waarvan de
korte as gelijk is aan de diameter d van de steekcirkel en de lange as gelijk is aan
dlcosf3. Het tandprofiel in het normaalvlak is praktisch gelijk aan het profiel bij rechte
vertanding. In het normaalvlak is sprake van de normaaldrukhoek an en in het transversaalvlak
spreekt men van de transversaaldrukhoek a,. De transversaaldrukhoek is
groter dan de normaaldrukhoek:
tan CX n
tancx, =-cos
IJ
(2.31)
Om met een tandwiel met schuine vertanding te kunnen rekenen als met een tandwiel
met rechte vertanding, rekent men gewoonlijk de schuine vertanding in het normaalvlak
om naar een zogenaamd virtueel (denkbeeldig) of vervangingswiel. Het virtueel
tandental van dit tandwiel wordt hier zonder verdere afleiding gegeven:
[-J (2.32)
z is het werkelijke aantal tanden. De normaalmodulus m n wordt in het normaalvlak
gemeten. De normaalsteek Pn is de afstand tussen twee opeenvolgende tandflanken op
de steekcirkel in het normaalvlak:
Pn = 1t. IIln [mmJ (2.33)
De transversaal- of omtreksteek is de afstand tussen twee opeenvolgende gelijkstandige
tandflanken, gemeten in het transversale vlak:
m, is de omtreksmodulus.
Uit afbeelding 2.36 volgt:
128
Pn
P,=-cos
{J
[mmJ
[mmJ
(2.34)
(2.34a)

Vult men voor PI en Pn de uitdrukkingen 2.34 en 2.33 in, dan ontstaat:
m n
m ---
I - cos fi
Op analoge wijze geldt voor de tandbreedte:
b,=_b_
cos IJ
Voor de diameter van de steekcirkel geldt:
[mm] (2.35)
[mm] (2.36)
ti = Z'IIl, [mm] (2.37)
De top- en voetcirkeldiameter worden op de normale wijze berekend, afhankelijk van
de kop- en voethoogte.
Met de tandsprong bedoelt men de afstand s die de tanden verspringen tussen de vooren
achterzijde van het wiel:
s = b. tan fi [mm] (2.38)
Met de tandsprong neemt ook de afstand toe gedurende welke een tandpaar in ingrijping
is.
Het ingrijpquotiënt is:
b. tan fi + ingrijpboog
f.=--------
[-]
(2.39)
Bij cilindrische tandwielen met schuine vertanding kan evenals bij rechte vertanding
profielverschuiving worden toegepast en kan de tandvorm worden gecorrigeerd om
de eigenschappen te verbeteren.
2.3.4 Het kegeItandwiel
Een kegeltandwiel- of kegelwielstelsel brengt een roterende beweging van de aandrijvende
naar de aangedreven as over waarbij de ashartlijnen elkaar snijden onder
een hoek, de ashoek 6 (de Griekse kleine letter 'delta'). Deze hoek kan scherp, stomp
of recht zijn. In een auto (eindreductie, differentieel, zie hoofdstuk 6 en 7) worden
overwegend kegeltandwielen werkend onder een hoek van 90° toegepast, zodat men
spreekt van een haakse overbrenging (afb. 2.37).
In het geval van de eindreductie wordt het rondsel, dus het kleine, aandrijvende ke- ")
gelwiel, de pignon (Frans voor: klein tandwiel) genoemd; het grote, aangedreven
kegelwiel is het kroon wiel. Bij differentieels noemt men de grote kegelwielen wel de
zonnewielen, de kleine de satellietwielen.
Soorten kegeltandwielen
Kegeltandwielen kunnen voorzien zijn van rechte, schuine of boogvertanding. Daarbij
is een verwarrende naamgeving in zwang geraakt die voortkomt uit het door elkaar
gebruiken van functionele benamingen en merknamen.
Zo wordt het kegelwiel met rechte vertanding, toegepast in het kegelwieldifferentieel
129

(zie hoofdstuk 7), vervaardigd op machines van Gleason (VS), Oerlikon, Maag (beide
Zwitserland), W. Ferd. Klingelnberg Söhne (Duitsland), Fiat (Italië), Hitachi (Japan)
en nog enkele andere Japanse en Russische bedrijven, maar niemand spreekt
hier van Gleason- of Klingelnberg-vertanding.
Dat is echter wel het geval bij het kegelwiel met boogvertanding, dat een lid is van de
familie der schroeftandwielen. Dat komt, omdat sommige vervaardigingsmethoden
speciaal zijn ontwikkeld voor de toepassing in de auto en de motorfiets en men in de
voertuigtechniek in het algemeen slechts zelden over de grenzen van het eigen vakgebied
heenkijkt, in dit geval naar het algemene vakgebied van de vertandingstechnologie.
Zo wordt de (van oorsprong Amerikaanse) Gleason-vertanding vervaardigd met een
beitelkopfrees die een cirkelvorm beschrijft. Deze cirkelboogvertanding verloopt van
buiten naar binnen dunner uit. De tanden zijn dus aan de buitenomtrek van het wiel
sterker dan aan de binnenomtrek. Het tandprofiel heeft de vorm van een evolvente.
Ook de tandhoogte varieert van buiten naar binnen.
De (Duitse) Klingelnberg-vertanding, ontwikkeld door ingenieur Schicht van de firma
W. Ferd. Klingelnberg Söhne, is een spiraalvertanding: aan de buitenomtrek van het
wiel zijn de tandftanken sterker gekromd dan aan de binnenomtrek. Deze kromming
kan de vorm hebben van een evolvente (niet te verwarren met de evolventevorm van
de tandftanken in de normaaldoorsnede) of een epicycloïde (zie 2.3.2). De tanden zijn
echter over de gehele lengte even dik en hoog.
KlingeInberg hanteert in dit verband de term palloïdvertanding, een samentrekking
van het Griekse woord 'pallein' dat 'trillen, pendelen' betekent en van de term 'hyperboloïde',
een omwentelingslichaam dat ontstaat door een hyperbool om zijn as te
laten draaien. Het 'pallein' duidt op de mogelijkheid dat dergelijke tandwielen ten
opzichte van elkaar geringe verplaatsingen toelaten om de trillingen te kunnen opvangen.
Palloïdvertanding wordt met een kegelvormige walsfrees vervaardigd; de
kromming ervan heeft de vorm van een verlengde evolvente, dat is een evolvente die
ontstaat door de kromtestraal waarlangs hij wordt afgewikkeld te verlengen.
De (Zwitserse) Oerlikon-vertanding, ontwikkeld door ingenieur Rochat van de firma
Bührle in Oerlikon bij Zürich, is eveneens een spiraalvertanding en is gekromd volgens
een epicycloïde. De vertanding wordt ook wel eloid-vertanding genoemd, afgeleid
van 'elongated cycloid'. Zo'n 'verlengde cycloïde' is een bijzondere cycloïde,
a b c
Afb. 2.37. Kege/tandwie/en; a met rechte vertanding; b met boog vertanding; c met boog vertanding
en asverzet (hypoïde-overbrenging).
130

waarbij niet een punt op een cirkelomtrek, maar een punt op een verlengde van de
cÏrkelstraal afrolt op een cirkelboog. Het snijgereedschap beschrijft dan ten opzichte
van het tandwiel een epicycloïde. Deze vertanding lijkt op die van Gleason, maar
heeft een constante tandhoogte; zij is later ook door Klingelnberg ontwikkeld onder
de naam cyclopalloïdvertanding en wordt gefreesd met een tweedelige beitelkop.
Asverzet
Zowel bij de Gleason-, de Klingelnberg- als de Oerlikon-vertanding kan asverzet worden
toegepast: de tandwielassen snijden elkaar dan niet meer, maar kruisen elkaar
(afb. 2.37c). Bij de door Klingelnberg vervaardigde tandwielen hanteert men in dit
verband de term A V-vertanding ('Achsversatz'), soms geschreven als 'A VA ij', omdat
men in het Duits' A V' zo uitspreekt.
In het algemeen wordt vertanding bij asverzet hypoïdevertanding genoemd en de
overbrenging heet een hypoïde-overbrenging. De term is afkomstig van Gleason die al
in de jaren twintig zijn cirkelboogvertanding zo noemde, omdat de grondvorm van
alle kegeltandwielen met asverzet theoretisch gezien een omwentelingshyperboloïde )
is, hetgeen wordt samengetrokken tot 'hypoïde'. In de praktijk zijn het nagenoeg
kegels. De afwijking wordt minder naarmate het asverzet kleiner is.
Het asverzet kan in de richting van de spiraal (positief) of tegengesteld aan de spiraal- \
richting (negatief) plaatsvinden. In hoofdstuk 6 wordt dieper op dit asverzet inge- (
gaan. )
Benamingen en begrippen
Het tandprofiel heeft de vorm van een evolvente en is afgeleid van een basiskegel (afb.
2.38). Twee kegeltandwielen wikkelen zich in principe langs elkaar af op afgeknotte
kegels, de ralkegels , waarvan de toppen samenvallen in het snijpunt van de hartlijnen.
Bij de hypoïde-overbrenging, met pignonasverzet, ontstaat een afwijking.
Afb. 2.38. Twee samenwerkende
kege/tandwie/en
/
rugkegel
131

Alle afmetingen van een kegel tandwiel worden bepaald ten opzichte van de steekkegel
die veelal dezelfde is als de rolkegel. De halve kegelhoek is de steekkegelhoek.
De som van de steekkegelhoeken al en 15 2 van de pignon en het kroonwiel is de ashoek:
[0] (2.40)
De steekkegeldiameter d wordt gemeten op de grootste diameter: op het grondvlak
van de steekkegel. De modulus is genormaliseerd op de grootste diameter, zodat
geldt:
cl = Z'lIln [rnrn] (2.41 )
De tandhoogte wordt begrensd door de top kegel en de voetkegel waarvan de toppen
eveneens op het snijpunt van de ashartlijnen liggen.
De tandbreedte b wordt begrensd door de rugkegel en de binnenkegel. Om een gunstig
draagbeeld van de tandflanken te verkrijgen en in verband met de vervaardiging dient
de tandbreedte te voldoen aan de eis: b :%; 0,28r. r is de kegel/engte, dat is de lengte
van een beschrijvende lijn op de steekkegel van de rugkegel tot de top S.
132
\ I '\
\ .,
\ I x
\ ./ \
\ . ./.1 \
>;/
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\ \
\
\
\
\ \
\ \
\ \
\ /'
'. /.
\/.
Afb. 2.39. Afmetingen van
kegeltandwielen

De topspeling van 0,2m is kleiner dan bij cilindrische tandwielen, waardoor de tandhoogte
2,20m bedraagt.
Ten behoeve van berekeningen wordt een kegeltandwiel gezien als een virtueel tandwiel
(afb. 2.39). De rolkegels worden als rolcilinders uitgeslagen, loodrecht op de
beschrijvende lijn door de top S. Bij de berekening gaat men uit van de doorsnede
over het midden van de tandbreedte. De tanden hebben daar de gemiddelde doorsnede.
Men spreekt daar van de gemiddelde modulus m gem •
De gemiddelde steekcilinderdiameter is dan:
d gem = z' IU gem [mm] (2.4la)
Als de normaalmodulus m n op de rugkegel ligt, is de gemiddelde modulus m gem als
volgt te bepalen. Uit afbeelding 2.39 valt op te maken dat d gem = d - b'sina. Nu is
(formule 2.4la) d gem = z.m gem en (formule 2.41) d = z.m n • Combineert men deze drie
uitdrukkingen met elkaar, dan ontstaat na enige omwerking:
b. sin cS
Illgem = mn - ---
Z
De overbrengingsverhouding is:
. Zz'Z _ 1
1 =-=-=tano! =--
ZI'I tanc5z
[mm]
(2.42)
[-] (2.43)
De tophoeken van de rol kegels kunnen dus worden bepaald met tanal = i en
tanaz = l/i.
De grootste diameter over de koppen van de tanden in de rugkegel is:
da = d + 2m'cose5 [mm] (2.44)
2.3.5 De worm en het wormwiel
In de aandrijflijn van een auto komt de worm-wormwieloverbrenging (kortweg:
wormoverbrenging) niet meer voor. In het verleden is dit type overbrenging wel als
eindreductie toegepast in personenauto's (Peugeot) en in bedrijfsvoertuigen, terwijl
tegenwoordig deze oplossing opnieuw opduikt als voorstel voor personenauto's (zie
hoofdstuk 7). Als stuurreductie komen worm en wormwiel nog steeds voor (zie deel4
van deze serie), evenals bij de mechanische aandrijving voor de kilometerteller en
snelheidsmeter. Verder is dit overbrengingstype te vinden bij de mechanische lieraandrijving
van terreinauto's (zie band B), terwijl ook de luchtdrukrembediening van
bedrijfsvoertuigen ermee kan zijn uitgerust (zie Steinbuch deel 10).
Wormoverbrengingen verzorgen de aandrijving van twee assen die elkaar kruisen
onder een ashoek a van meestal 90°. Is bij de oude eindaandrijving de worm boven het
wormwiel gemonteerd, dan spreekt men van een bovenliggende worm ('overhead
worm', bedrijfsvoertuigen), ligt de worm onder het wormwiel dan is sprake van een
onderliggende worm ('underslung worm', bij personenauto's om een lage bouw te
verkrijgen). Door het plaatsen van de worm onder of boven het wormwiel krijgt men
rechts- en linksgangige wormen.
133

Eigenschappen
Door de glijdende wrijving van de wormflanken langs de wormwieltandflanken zijn
de afwikkeleigenschappen gunstig (geluidarm). Het rendement, bepaald door de
spoedhoek, de drukhoek en de wrijvingscoëfficiënt (materiaal en smeermiddel), is
echter laag. Een gunstige eigenschap van de wormoverbrenging is dat bij beperkte
afmetingen een grote reductie kan worden verkregen die een grote sterkte heeft door-
) dat er meer 'tanden' of gangen in ingrijping zijn. De overbrenging kan zeI/remmend
zijn als het wormwiel de worm aandrijft; dit is in belangrijke mate afhankelijk van de
spoedhoek van de worm.
Er ontstaan vrij grote axiale krachten op de worm, die door lagers moeten worden
opgenomen.
De worm
In het algemeen heeft de worm de gedaante
aan de omtrek één of meer schroefvormige
van een echte cirkelcilinder~ waarbij dan
--=-
tanden zijn aangebracht (afb. 2040a). De
worm is dan in feite niets anders dan een breed cilindrisch tandwiel met schuine vertanding
met een zeer grote tandhoek.
Sommige eindreducties, en tegenwoordig nog sommige stuurreducties, hebben echter
een globoïde worm, naar de fabrikant vroeger ook wel Glaenzer-worm genoemd
(afb. 2040b en c). Een globoïde is een omwentelingsfiguur die ontstaat door een cirkelboog
om een as te laten draaien ('globus' betekent 'bol').
De flanken van de tanden op de cilindrische worm kunnen verschillende vormen hebben.
Men onderscheidt de flankvormen A, N, K en E; ze worden bepaald door het
gereedschap waarmee ze worden vervaardigd en door de stand van het gereedschap
ten opzichte van de worm.
De flankvorm E ('evolvente') wordt het meest toegepast: hij heeft een tandprofiel dat
recht is in een raakvlak aan een coaxiale basiscilinder. De tandflank snijdt een transversaalvlak
volgens een evolvente: zo'n worm wordt daarom een evolventeworm of
E-worm genoemd.
Het wormwiel
De grondvorm van het wormwiel is het schuinvertande cilindrische tandwiel.
134
~t.~t
__~._.! _~_. I
~--t
a
~ I
---1--- .
c
b
Afb. 2.40. De wormoverbrenging
a met cilindrische worm
b met globoïdeworm en
cilindrisch wormwiel
c met globoïdeworm en
globoïdevormig wormwiel

Het wormwiel heeft met de worm een lijncontact; dit wordt bereikt door de worm
over een bepaalde boog door het wormwiel te laten omhullen. Worm en wormwiel
worden in principe door gereedschap met dezelfde vorm vervaardigd. De tandrichting
van worm en wormwiel is gelijk. Het wormwiel kan cilindrisch zijn uitgevoerd of
een globoïdevorm hebben (zie afb. 2.40b en c).
Bij de fabricage van de wormwielen wordt profielverschuiving toegepast; de afmetingen
worden dan dienovereenkomstig aangepast.
2.3.6 Tandwielslijtage en rendement
Slijtage
Een tandwiel moet in staat zijn een voldoende groot koppel gedurende een bepaalde
tijd te kunnen overbrengen. Om te bereiken dat binnen de vereiste levensduur geen
schade ontstaat is het nodig dat de afmetingen en materiaalsoorten nauwkeurig worden
gekozen. Een tandwiel kan door een aantal verschijnselen onbruikbaar worden.
Tandbreuk zal meestal optreden ij een te grote tijdelijke belasting[en gevolge van
vermoeiing. De tand zal afbreken aan de tandvoet omdat hier de belasting plaatsvindt ?
op buiging én afschuiving. Tanden kunnen echter 0 .k fb.reken ten gevolge van overbelasting,
bij voorbeeld door schakelfouten. qcu: :J {et' rb~,l(Lf(
Putvorming ('pitting') treedt op aan de flanken van de tanden. Door zeer hoge plaatselijke
piekdrukken ontstaan zogenaamde hertzspanningen die scheurtjes veroorzaken
en metaaldeeltjes doen afschilferen: er ontstaan putjes aan de oppervlakken.
Andere slijtage vormen ontstaan door het langs elkaar glijden van de tandflanken.
Door de wrijvingskrachten in combinatie met hoge contactdrukken kan de tempera- 7
tuur zó hoog oplopen (piektemperaturen van 400 tot 500 oe komen voor), dat de
delen aan elkaar lassen. De beweging gaat verdèr en er ontstaat 'vreten'. EP-toevoegingen
(zie 2.2) moeten dit helpen voorkomen, omdat een minerale olie zonder toevoeg!ngen
slechts bescherming biedt tot ongeveer 350 oe.
:;;;;::-Warmte-ontwikkeling ten gevolge van wrijving kan bij sommige typen tandwieloverbrengingen
groot zijn. Deze warmte moet voldoende snel worden afgevoerd om te
) hoge temperaturen van het smeermiddel te voorkomen. Bij cilindrische tandwielen,
kegeltandwielen en wormoverbrengingen in auto's zal de war te over het algemeen
voldoende snel op natuurlijke wijze worden afgevoerd"d~~ de"rijwind.
Ten gevolge van het krachtenspel ontstaan er reactiekrachten naar de tandwielen en (
~ de lagers waarin de assen steunen en roteren. Bij cilindrische tandwielen met rechte
vertanding ontstaan hoofdzakelijk radiale krachten op de lagers. Worden er cilindrische
tandwielen met schuine vertanding, schroeftandwielen, kegeltandwielen of een
wormoverbrenging toegepast dan is er sprake van een combinatie van radiale en axiale
belasting; bij de keuze en berekening van de lagers moet hiermee rekening worden
gehouden.
Het rendement
Omdat bij een tandwielstelsel de tandflanken langs elkaar bewegen, ontstaat er wrijving,
warmte-ontwikkeling en verlies van aandrijfenergie. Verder zal bij een tandwieloverbrenging
vermogensverlies ontstaan door wrijving in de lagers en oliekeerringen
en door het smeermiddel ten gevolge van de zogenaamde karnverliezen als de
tandwielen in een oliebad roteren.
135

2
? In
Het vermogen PI dat aan een tandwieloverbrenging wordt toegevoerd, is daardoor
altijd hoger dan het afgegeven vermogen P 2 , zodat voor het rendement geldt:
P2
'1,=-
PI
[-J
(2.45)
Nu is het vermogen gelijk aan de per tijdseenheid verrichte arbeid (P = Wit) en (W =
T = Fs) en de arbeid (het koppel) bij rotatie gelijk aan het produkt van de kracht en
de doorlopen boog. Op grond van formule 2.12 geldt voor de doorlopen boog s = cp' r,
terwijl (formule 2.13) cP = w.t. Daaruit volgt na enig omwerken dat P = Tw, zodat
formule 2.45 ook geschreven kan worden als:
P2 T2'w2 T2,
'1,=-=---=-'/
PI TI"wl TI
'I,= '1= '/]11 "lkl = 0,99' 0,9954 = 0,97
[-J
(2.45a)
tegenstelling met wat wel eens wordt gedacht is het rendement van een tandwieloverbrenging
niet constant. Men maakt namelijk, zeker in de concrete situatie van de
toepassing in een wisselbak, een verschil tussen stationaire en belastingsafhankelijke
verliezen.
De stationaire verliezen zijn constant en nemen dus bij lage belasting een relatief groot
aandeel in de totale verliezen in. Tot de stationaire verliezen behoren de stationaire
vertandingsverliezen (verdringings-, ventilatie-, olieversnellings- en karnverliezen),
de stationaire lagerverliezen, de afdichtingsverliezen en de verliezen van eventuele
hulpapparatuur zoals een oliepomp.
De belastingsafhankelijke verliezen ontstaan ten gevolge van de wrijving tussen de
tandflanken en bestaan verder uit belastingsafhankelijke lagerverliezen en de nullastverliezen,
die afhankelijk zijn van de rotatiefrequentie. Op grond van dit onderscheid
kan men gemakkelijk inzien, dat het rendement van een tandwieloverbrenging in het
algemeen hoger is, naarmate de maximale belasting wordt bereikt, omdat dan de
stationaire verliezen relatief weinig gewicht in de schaal leggen.
Toch neemt men voor globale berekeningen van het rendement van een cilindrisch
tandwielpaar meestal een constante waarde van 99 %, voor een hypoïde-overbrenging
97 %" Voor wentellagers en afdichtingen geldt als globale ervaringswaarde tegenwoordig
99,5 %, terwijl een glijlager voor 97 % te boek staat. Karnverliezen slorpen nog
eens gemiddeld l,S % van het restant op.
Zo komt het rendement van een enkelvoudige. cilindrische tandwieloverbrenging met
ingaande en uitgaande as, kogellagers en asafdichtingen door keerringen, maar onder
verwaarlozing van karnverliezen, uit op een totaalwaarde van:
/ Voor de lagers en de keerringen moet het rendement kwadratisch worden genomen,
) omdat zowel de ingaande als de uitgaande as gelagerd en afgedicht moeten worden:
) 'li, = 17? en 17k' = 'h 2 •
~
De wormoverbrenging
De wormoverbrenging wordt gekenmerkt door glijdende wrijving waarbij de verliezen
worden bepaald door de wrijving tussen de wormtandflank en de wormwieltandflanken.
136

Bij een wormoverbrenging wordt het rendement op twee manieren aangegeven. Het
meest voorkomende aandrijfsysteem ontstaat als de worm aandrijvend is en het
wormwiel aangedreven wordt.
Is echter het wormwiel aandrijvend en de worm aangedreven dan ontstaat een andere
situatie. Deze situatie doet zich voor tijdens het afremmen op de motor bij een eindreductie
en tijdens het in de rechtuitstand terugkomen van de stuurinrichting indien er
gebruik is gemaakt van een stuurreductie met worm en wormwielsector.
Indien het wormwiel aandrijvend is, bestaat de mogelijkheid dat de aandrijving blokkeert,
de overbrenging is dan zelfremmend.
) Ook bij sommige werktuigen, zoals takels en lieren (zie band B), is het van belang dat
de wormoverbrenging zelfremmend is. Is dat het geval, dan zal er bij een toegevoerd
koppel aan het wormwiel geen rotatie ontstaan: de overbrenging blokkeert.
Het totale rendement van worm en wormwiel YJw wordt medebepaald door het rendement
van de lagering YJ, en van de afdichtingen (keerringen) van de assen '1k, net als bij
de overige tandwieloverbrengingstypen.
2.4 VAN DE MOTOR NAAR DE WIELEN
2.4.1 Inleiding
De mechanische energie die door de motor in de vorm van het motorkoppel Tm aan het
motorvliegwiel wordt aangeboden, stroomt via de organen van de aandrijflijn naar de
aangedreven wielen. De aangedreven wielen zetten deze energie om in een voortstuwingskracht,
meestal kortweg stuwkra£ht genoemd, waarmee zij zich op het wegdek
afzetten om het voertuig in beweging te zetten en in beweging te houden.
Soms reserveert men de term 'stuwkracht' voor de kracht onder de aangedreven achterwielen
en hanteert men de term 'trekkracht' (afgeleid van het algemenere begrip
'tractie') voor de kracht onder de aangedreven voorwielen. Men redeneert dan vanuit
het totale voertuig. Bezien vanuit het wiel is dit onderscheid echter zinloos, omdat
() elke aangedreven as, en daarmee het gehele voertuig, door de hefboomwerking
\ wordt voortgestuwd. Om toch geen verwarring te wekken hanteren we in dit Steinbuch-deel
het neutralere begrip aandrijfkracht Fd•
In deze paragraaf vragen we ons eerst af, in welke vorm de energie door de motor
wordt aangeboden, oftewel, vanuit het aangedreven wiel geredeneerd: wat is de beschikbare
aandrijfkracht F d? (2.4.2). Vervolgens onderzoeken we, welke de vereiste
aandrijfkracht Fd vereist is, bezien vanuit de rijsituatie van het voertuig (2.4.3). Het
verschil tussen F d en F d vereist wordt zichtbaar in de overschotdiagrammen die in 2.4.4
aan de orde komen.
2.4.2 De beschikbare aandrijfkracht
Het verband tussen voertuigsnelheid en motorrotatiefrequentie
Bij een als oneindig stijf opgevat, vrij draaiend wiel is de verhouding tussen de omtreksnelheid
en de hoeksnelheid gegeven door formule 2.14: Vw = ww'r. Plaatst men
zo'n wiel op het wegdek (afb. 2.41), dan ontstaat een vrij rollend wiel, waarvan de
137

olbeweging kan worden opgevat als een draaibeweging rond de pool P. In de pool is
dan de voorwaartse snelheid nul, terwijl ter hoogte van de wielas de translatiesnelheid
Vw heerst, die gelijk is aan de voertuigsnelheid vvo
7 In de praktijk echter zijn voertuigwiel en band niet oneindig stijf. Door de centrifugaalwerking
en de drukstijging in de band ten gevolge van de temperatuurstijging
') tijdens het roIIen neemt immers de straa(toe tot de dynamische rolstraal rdyndie analoog
aan formule "2.12a gelijk is aan O~/2rr, waarin O~ de afrolomtrek van de band
tijdens bedrijf voorstelt. Omdat ook geldt: w = 2rrn (formule 2.15a), kan dus voor de
voertuigsnelheid worden geschreven:
0'
Vv= Ww' 'dyn = 2rr Il w • 'dyn = 2rr Il w • _. = O~ . Il w
2rr
(2.46)
Wordt dit wiel aangedreven, dan rolt het niet meer vrij en treedt enige slip in langs-
'; richting op. Men spreekt dan van technisch rollen. De snelheid in P is daardoor niet
\ meer nul: deze aandrijfslip zorgt voor een omtreksnelheid van de band v b , die tegengesteld
gericht is aan de voertuigsnelheid. Nu heerst in punt P' de snelheid nul en is
het net alsof een kleiner wiel met rolstraal r~ynop een hoger gelegen wegdek afrolt.
Voor de voertuigsnelheid bij aandrijfslip geldt dus:
, ,
\'...= Ww . r dyn
terwijl uit afbeelding 2.41 volgt:
Daaruit volgt voor de dynamische rolstraal bij aandrijfslip:
, V-I' v b
'dyn = ---"dyn
v"
(v) b
= 1--
Vv
"dyn Cm]
Afb. 2.41. Het ,ollende
voertuigwiel (technisch rollen)
(naar: Reimpell.
Fahrzeugmechanik)
De breuk in deze uitdrukking vertegenwoordigt kennelijk de aalldrijfslip À d (de
Griekse kleine letter 'lambda'), want als deze breuk gelijk is aan nul, geldt: r~yn= rdyn.
Omdat uit afbeelding 2.41 blijkt dat V b = Vv - v~, kan deze breuk ook geschreven
worden als:
138
[-] (2.47)

Meestal wordt de slip in procent uitgedrukt. Dan moet uitdrukking 2.47 met 100
worden vermenigvuldigd.
Is V b gelijk aan nul, dan treedt geen slip op en geldt: v: = v" zodat Àd = 0. Dan is dus
sprake van zuiver rollen. Bij V b = Vv komt het voertuig niet in beweging: dan geldt
immers: v~ = 0, zodat À d = 1. Daarmee verandert uitdrukking 2.46 in:
(2.47a)
Omdat we in deze subparagraaf op zoek zijn naar de beschikbare aandrijfprestaties,
dus naar wat de motor via de aandrijftijn kan leveren, moet nw in deze formule nog
worden uitgedrukt in de motorrotatiejrequentie n m • Noemt men ia de overbrengingsverhouding
van de gehele aandrijjiijn, dan geldt:
. I1m
1=a
Ilw
[-J (2.48)
Nemen we aan, dat in de aandrijflijn een mechanische slipkoppeling is opgenomen en
geen vloeistofkoppeling of vloeistofkoppelomvormer (zie band B) en gaan we er tevens
van uit, dat in de wissel bak een willekeurige overbrengingstrap i, is ingeschakeld,
dan kan ia geschreven worden als:
[-J (2.48a)
waarin ie het vaste overbrengingsgetal van de eindreductie voorstelt. Combineert men
de uitdrukkingen 2.48 en 2.48a met elkaar en vult men deze combinatie in formule
2.47a in, dan ontstaat:
(2.49)
De voertuigsnelheid is dus rechtevenredig met de motorrotatiejrequentie.
Voor een gegeven voertuig is ieconstant. r dyn neemt boven een voertuigsnelheid van 60
km/h met ongeveer 0,1 % per snelheidstoename van 10 km/h toe (zie deel 4 van deze
serie); verwaarloost men deze toename, dan is ook rdyn constant voor een gegeven
voertuig. Isoleert men nu n m uit vergelijking 2.49, dan ontstaat dus:
iJ,' \\
Il m= C'--.
1 - I'd
(2.49a)
waarin c een constante is die gelijk is aan i/2nrdyn•
De grafiek die de lineaire relatie tussen n m en Vv in beeld brengt is dus een parametrische
grafiek (afb. 2.42a): er ontstaat een waaier van x rechte lijnen, vertrekkend uit de
oorsprong (0,0), waarvan de helling afhankelijk is van de waarde van de ix en de
bijbehorende waarde van À d • De rechten lopen steeds vlakker, naarmate de waarde
van i x afneemt, dus naarmate een 'hogere versnelling' is ingeschakeld. ix is dus de
parameter (spreek uit: parámetér), dat is een variabele, die voor het opstellen van één
curve telkens even constant wordt gehouden.
De grafiek wordt aan de bovenzijde begrensd door de maximale rotatiejrequentie
n m max'Het snijpunt van de ix-lijnen met de nm max-lijngeeft kennelijk de maximale
voertuigsnelheid die in de betreffende overbrengingstrap kan worden bereikt. Vanaf
139

.100
"
.~ 90
f ~ 5- 1
\6--""
.t 70

deze snijpunten moet worden 'opgeschakeld': bij constante voertuigsnelheid daalt de
motorrotatiefrequentie totdat de volgende ix-lijn wordt bereikt en dit gaat zo door
totdat in de laatste overbrengingstrap de door de maximale motorrotatiefrequentie
gedicteerde maximale voertuigsnelheid V m wordt bereikt. Vanwege zijn vorm wordt
deze grafiek het zaagtanddiagram genoemd.
Het verband tussen de beschikbare aandrijfkracht en het motorkoppel
Ook de onder de aangedreven wielen beschikbare aandrijfkracht kan uit de motorprestaties
worden afgeleid. Het koppel Tw aan de wielas veroorzaakt immers tussen
band en wegdek op een afstand r dyn een aandrijfkracht ter grootte van:
[N] (2.50)
Dit koppel kan naar het motorkoppel Tm worden teruggerekend via het overbrengingsgetal
van de aandrijflijn:
. Tw ••
1 =-=1'1
a Tm .l: e [-] (2.51)
Deze koppeloverdracht gebeurt echter niet verliesvrij , zodat het aandrijjlijnrendement
'7. bij het motorkoppel in mindering moet worden gebracht. Omdat '7. kleiner is
dan 1, moet dus Tm vermenigvuldigd worden met dit getal, zodat:
Ingevuld in formule 2.51 levert dat:
[Nrn]
[N]
(2.51a)
De aan de wielen beschikbare aandrijfkracht is dus rechtevenredig met het motorkoppel.
Bij een bepaalde ingeschakelde overbrengingstrap i, is de breuk in deze vergelijking
constant, als men tenminste aanneemt dat het aandrijflijnrendement dan
constant is (zie echter 2.4.3). In dat geval kan dus de aandrijfkracht direct uit de
koppelgrafiek van de motor worden afgelezen.
Isoleert men ix'ie = i. uit formule 2.49 en vult men het resultaat in formule 2.51a in,
dan ontstaat:
F -
d -
(1
-
').
t'd
/1.' 21tllm'
-----
Uv
Tm
en omdat het motorvermogen Pm gelijk is aan 2rrn m ' Tm ontstaat hieruit:
[N] (2.51b)
Bij een gegeven motorvermogen is dus de beschikbare aandrijfkracht omgekeerd
evenredig met de voertuigsnelheid. Wiskundig wordt zo'n relatie voorgesteld door
een hyperbool, zodat de karakteristiek die de aandrijfkracht als functie van de voertuigsnelheid
weergeeft een aandrijfkrachthyperbool wordt genoemd (afb. 2.42b).
Gaat men uit van het maximale motorvermogen P m maxo dan geeft de betreffende hy-
141

perbool de aandrijfkracht weer die bij de betreffende voertuigsnelheid in het beste
geval beschikbaar kan worden gesteld. Vandaar dat men in dat geval spreekt van de
ideale aandrijfkrachthyperbool. ~ ~
Uit bovenstaande redenering volgt, dat de aandrijfkrachthyperbool tevens"een lijn
van constant motorvermogen voorstelt: in dit geval de maximaal-vermofenlijn. Anders
gezegd: de voertuigkarakteristiek is alleen dan een hyperbool, als men ervan
uitgaat dat bij elke snelheid steeds het maximale motorvermogen kan worden ontwikkeld.
In afbeelding 2.42b is ook een hyperbool met een lager constant vermogen
I (28 kW) ingetekend. Dat is de maximaal-koppellijn, dat is de hyperbool waarbij de
beschikbare aandrijfkracht, dus het door de motor geleverde koppel, maximaal is.
UitlIet bovenstaande volgt ook, dat het ideaal van de vollasthyperbool alleen kan
worden bereikt, als ia continu variabel zou zijn. In de praktijk wordt ook dan dit ideaal
~( niet bereikt (zie band B), maar in het algemeen kan men stellen, dat een aandrijff
concept meer geslaagd is, naarmate de aandrijfkrachthyperbool dichter wordt benaderd.
€~I«'tlq-:tr:{l'< l~~ f "
Er kan nóg een belangrijke conclusie uit formule 2.51b getrokken worden: zou namelijk
het motorvermogen constant zijn (onafhankelijk van de motorrotatiefrequentie),
dan is een continu variabele overbrenging niet nodig en kan de ideale hyperbool zelfs
bij een vaste (, worden bereikt.
Wordt echter een wisselbak met getrapte overbrengingen gebruikt, dan kan met behulp
van formule 2.51a een aandrijfkrachtkarakteristiek worden geconstrueerd. Daarbij
moet voor Tm steeds het motorkoppel worden ingevuld dat overeenkomt met de
voertuigsnelheid in de betreffende overbrengingstrap. Er zijn dus evenveel aandrijfkrachtkrommen
als er overbrengingstrappen zijn. Afbeelding 2.42b laat zien, hoe
deze constructie met behulp van de vermelde formule en het zaagtanddiagram mogelijk
is. Daarbij moet natuurlijk wel het potorkoppel als functie van de voertuigsnel,;
heid bekend zijn. MCl' ~ r ,
tI I ct
Alle aandrijfkrachtkrommen moeten de ideale hyperbool raken, en wel bij de voertuigsnelheid
die overeenkomt met de motorrotatiefrequentie waarbij het motorvermogen
maximaal is.
Raakt een kromme deze hyperbool niet, dan kan dat veroorzaakt worden door een
Jaag rendement of een hoge aandrijfslip in de betreffende overbrengingstrap. Bij een
nauwkeurige constructie van het diagram kan men aldus onmiddellijk zien, of één van
de trappen een prise-directe is, want de prise-directe heeft een iets hoger rendement.
Door de autofabrikant wordt de aandrijfkrachtkarakteristiek echter dikwijls zonder
de invloed van de aandrijfslip getekend (in alle bovenstaande formules geldt dan: Àd =
0), waardoor overigens wel de voertuigsnelheden in de verschillende overbrengingstrappen
niet meer exact zijn. Andere fabrikanten geven er de voorkeur aan, de aandrijfkrachthyperbool
niet weer te geven waardoor de ,beoordeling van het aandrijfconcept
wordt bemoeilijkt. " , ..jl. ~

Het beschikbare aandrijfvermogen
Het aan de wielen beschikbare aandrijfvermogen kan langs twee wegen worden bepaald.
Op de eerste plaats kan men uitgaan van de reeds berekende aandrijfkracht (formule
2.51a), waaruit men met behulp van de bekende betrekking:
[W] (2.52)
het vermogen berekent. Daarbij is Vv de voertuigsnelheid waarbij dit vermogen wordt
verkregen.
Op de tweede plaats is het mogelijk uit te gaan van de vermogenskarakteristiek van de
motor. Via het zaagtanddiagram kan dan de relatie tussen de motorrotatiefrequentie
en de voertuigsnelheid worden gelegd (afb. 2.42c). Het beschikbare aandrijfvermogen
wordt tenslotte verkregen door het aandrijflijnrendement in rekening te brengen:
[W] (2.53)
De motorkarakteristieken
Eerder bleek dat het aandrijfconcept ideaal is, als het motorvermogen een constante
waarde heeft, dus onafhankelijk is van de motorrotatiefrequentie:
Omdat
Pmid = c
geldt dan voor het ideale motorkoppel:
[W]
[W]
[Nrn]
(2.54)
(2.55)
(2.56)
De in de personenauto nagenoeg universeel toegepaste motor met inwendige verbranding
benadert echter bij lange na niet dit ideaal. In plaats van de ideale ver-
Afb. 2.43. De motorkarakteristieken van
een ottomotor: koppelkromme en
vermogenskromme
(
-------Tm max
S -1
motorrotatiefrequentie n
143

mogensrechte en de ideale koppelhyperbool heeft deze energiebron een koppelkromme
en een vermogenskromme , zoals in afbeelding 2.43 aan de hand van een voorbeeld
van een ottomotor is weergegeven (zie voor een uitgebreide behandeling van de motorkarakteristieken
deel 6 van de Steinbuch-serie). Deze kloof tussen ideaal en
werkelijkheid van de verbrandingsmotor is de reden, dat in de aandrijflijn tussen
motor en wielen een rotatiefrequentie-koppelomzetter oftewel een wissel bak moet
worden opgenomen (zie hoofdstuk 4).
Meestal geeft de fabrikant beide motorkrommen op, maar in principe is één voldoende,
want de ene kan met behulp van formule 2.55 uit het verloop van de andere
worden berekend.
Omdat dergelijke krommen dikwijls nogal onnauwkeurig worden getekend, loont het
dan ook de moeite met behulp van genoemde formule hun onderlinge relatie te controleren.
Een vluchtige controle is echter ook grafisch mogelijk. Uit afbeelding 2.43
blijkt immers, dat P m/nm = tancp. Is nu het koppel maximaal, dan is ook het quotiënt
maximaal, want Tm = (c.p m)/nm. Het quotiënt is maximaal als tancp maximaal is en dat
is het geval, als de lijn uit de oorsprong de vermogenskromme juist raakt. Dit raakpunt
moet dus precies boven het punt liggen, waar het motorkoppel maximaal is.
In de eerder gegeven aandrijfkracht- en aandrijfvermogensdiagrammen zijn de con-
, touren van beide krommen zichtbaar, al zijn zij vervormd door de omrekening naar
Î de voertuigsnelheid en door de invloed van het rendement van de overbrenging en de
~ aandrijfslip.
l
Afbeelding 2.44 geeft de koppelkrommen van een tweetal typen elektromotoren (zie
ook Steinbuch deelS), waaruit blijkt dat deze gemakkelijker aansluiten op een ideale
aandrijfkrachthyperbool. Ook de automatische transmissie met getrapte overbrengingen
komt door de aanwezigheid van een vloeistofkoppelomvormer dichter in de
buurt, zij het vooral bij een lage voertuigsnelheid (zie band B).
ai
~ Nm
.f
E oE
ç} dl
I ~.,..
rfr
motorrot atiefr equentie
2.4.3 De vereiste aandrijfkracht
Afb. 2.44. Vergelijking van de
koppelkrommen van een
verbrandingsmotor en twee typen
elektromotoren
1. shuntmotor
2. seriemotor
3. verbrandingsmotor
Nu bekend is, wat er aan aandrijfkracht en aandrijfvermogen door de motor via de
aandrijflijn aan de wielen kan worden geleverd, dringt zich de vraag op, wat er vanuit
de rijsituatie van het voertuig aan aandrijfkracht en aandrijfvermogen gewenst is.
144

Werd in de vorige subparagraafvanuit de motorkarakteristieken geredeneerd, in deze
subparagraaf bekijken we de situatie dus vanuit de voertuigkarakteristieken.
De vereiste aandrijfkracht en het vereiste aandrijfvermogen worden bepaald door de
rijweerstanden, dat zijn de krachten die door de motorenergie moeten worden overwonnen
om het voertuig aan het rijden te brengen en te houden. En dat niet alleen: de
motor heeft deze weerstanden nodig om een aandrijfkracht onder de wielen op te
wekken. De energiebron wordt immers pas onder belasting tot arbeid gedwongen.
De rijweerstanden bestaan op een volkomen vlakke weg bij constante rijsnelheid uit
de wielweerstanden en de luchtweerstand. Omdat geen enkele weg volkomen vlak is,
komt daar nog de hellingweerstand bij, die natuurlijk vooral een rol gaat spelen in
bergachtige streken. Moet het voertuig niet alleen aan het rijden gehouden worden,
maar ook nog worden versneld (hetzij voor het optrekken vanuit stilstand, hetzij voor
het versnellen vanaf een gegeven voertuigsnelheid, bij voorbeeld om in te halen), dan
moet de aandrijfkracht nog groter zijn: zij moet dan de versnellingsweerstand overwinnen.
Verder spelen nog een aantal overige weerstanden een rol, zoals de bochtweerstand
(bij het rijden door een bocht), de aanhangerweerstand (de som van de
rijweerstanden van een extra aanhangwagen) en de inwendige mechanische weerstanden
van de aandrijflijn, meestal uitgedrukt in het aandrijflijnrendement. Op de
laatstgenoemde weerstand na, zullen we deze overige weerstanden verder verwaarlozen
(zie voor een uitgebreidere behandeling van al deze weerstanden deel 2 van
deze serie).
De wielweerstanden en de hellingweerstand
J
De wielweerstanden verhinderen, dat het wiel een vrij rollende beweging uitvoert.
Daartoe behoort vooral de rolweerstand, maar ook de wrijvingsweerstand van de .~
wiellagers, de luchtweerstand van het wiel, de door het rollende wiel veroorzaakte )"
ventilatieweerstand, de weerstanden die ontstaan ten gevolge van de~uinplaatsing
van de wielen en de verdringingsweerstand bij nat wegdek (de arbeid die het kost het
water onder de band weg te drukken). ~
Voor het opstellen van de voertuigkarakteristieken worden de wielweerstanden ~
meestal beperkt tot de ralweerstand, omdat deze veruit de grootste invloed heeft.
De rolweerstand is het gevolg van de vervorming van de band en het wegdek en is
rechtevenredig met het voertuiggewicht: Ct-
Fm, = Iro' . G
-
",:I-:f .
(I f
[N]
(2.57)
waarbij lrol het ralweerstandsgetal of de rolweerstandscoëfficiënt wordt genoemd.
Ter vereenvoudiging wordt meestal aangenomen, dat/ rol onafhankelijk is van de voertuigsnelheid.
Dit is in de praktijk echter slechts tot een voertuigsnelheid van ongeveer
25 mis het geval.
"- -
Omdat P = F-v, kan voor het ralweerstandsvermogen worden geschreven:
[W] (2.57a)
145
)

Ook de helling weerstand is een gewichtsafhankelijke kracht. Rijdt een voertuig een
helling op (atb. 2.45), dan veroorzaakt de ontbondende van de gewichtskracht loodrecht
op het wegdek (G.cosa) weer een rolweerstand:
~
Frol = !rol' G . cos rx [N] (2.57b)
I,
,
y' I
r,
,
x
Afb. 2.45. De hellingweerstand
De ontbondene evenwijdig aan het wegdek (G.sina) veroorzaakt een soort 'vrije val'
langs de helling, als zij niet zou worden tegengewerkt door de hellingweerstand:
Fh = G'sin rx [N] (2.58)
Bij niet al te grote hellingshoek (tot ongeveer 20°) geldt: sina ~ tana. Nu is tana = y/x
en deze breuk geeft de stijging van de weg aan per horizontaal afgelegde afstand x.
In het dagelijkse leven en op verkeersborden drukt men de stijging van de weg meestal
uit in het helling- of stijgingspercentage p (eenheid: %). Dan wordt de breuk y/x
vermenigvuldigd met 100, zodat:
F ~ G.tanrx = G'_ P -
h 100
Het hellingweerstandsvermogen bedraagt:
[N]
[W]
(2.58a)
(2.58b)
De luchtweerstand
De luchtweerstand is een verzamelnaam van alle aërodynamische weerstanden, waarop
in deel 2 van de Steinbuch-serie uitgebreid wordt ingegaan. Hier kunnen we volstaan
met te constateren, dat deze weerstanden drieërlei zijn: drukweerstanden (ten
gevolge van luchtdrukverschillen op het rijdende voertuig), wrijvingsweerstanden
(ten gevolge van het snelheidsverschil tussen het voertuig en de lucht, die een zekere
viscositeit heeft) en weerstanden uit secundaire stromingen (die ontstaan omdat het
voertuig niet een hermetisch gesloten lichaam is en er via ventilatie-openingen in
motorcompartiment en interieur luchtstromingen optreden).
Terwijl de rol- en hellingweerstand gewichtsafhankelijk zijn en bij benadering onafhankelijk
van de voertuigsnelheid, is dat bij de luchtweerstand niet het geval.
Volgens Bernoulli (formule 2.4) bedraagt de stuwdruk bij weinig visceuze media zoals
lucht: 1QV2als Qde luchtdichtheid is (Q ~ 1,22 kglm 3 ) en v de relatieve snelheid van de
146

lucht ten opzichte van de auto. Omdat F = p'A, kan men dus voor de luchtweerstand
schrijven:
[N] (2.59)
waarin A het oppervlak van de 'effectieve doorsnede' van het voertuig voorstelt, dat is
de projectie van het voertuig op een vlak loodrecht op de bewegingsrichting, ook wel
het frontale oppervlak genoemd.
c.•.is de luchtweerstandscoëfficiënt: het is een vormfactor die aangeeft, hoe moeilijk of
gemakkelijk een voertuig met een bepaald frontaal oppervlak A door de lucht 'klieft'.
Het maakt immers verschil of het geprojecteerde oppervlak tot stand komt door een
vlakke plaat of door een kegel waarvan de top naar voren wijst. Ook de wrijvingsweerstand
van de lucht is in c.•.verwerkt.
Het luchtweerstandsvermogen bedraagt dan:
[W] (2.59a)
Dit vermogen is dus een derdemachtsfunctie van de voertuigsnelheid: wordt de rijsnelheid
verdubbeld, dan neemt het luchtweerstandsvermogen toe met een factor 2.1
= 8.
De versnellingsweerstand
De versnellingsweerstand Fa is een denkbeeldige kracht die kan worden gelijkgesteld
met de massatraagheidskracht. Deze massatraagheidskracht wordt niet alleen bepaald
door de translerende massa van het voertuig (F = m.a), maar ook door de
roterende massa van de motor, de aandrijftijn en de wielen (M = J.a, waarbij J staat
voor het massatraagheidsmoment van de roterende massa en a voor de hoekversnelling
ervan). Men kan de invloed van de roterende massa omrekenen naar de translerende
massa (zie deel 4 van deze serie) door aan de bekende formule F = m.a een
extra term 'meed' toe te voegen:
[N] (2.60)
m red is de gereduceerde massa, dat is de naar de translerende massa omgerekende
invloed van de roterende massa.
~ Vooral in de lagere 'versnellingen' is de invloed van de roterende massa groot.
De mechanische weerstanden in de aandrijflijn
De weerstanden in de aandrijftijn die ontstaan door wrijvingskrachten behoren strikt
genomen niet tot de rijweerstanden: het zijn energieverliezen die niet in een mooie
formule zijn te vangen, maar die wel door de motorenergie moeten worden overwonnen
en dientengevolge wel degelijk de voertuigkarakteristieken medebepalen.
Deze verliezen treden op verschillende plaatsen in de aandrijftijn op en worden uitgedrukt
in het rendement.
De koppelingsverliezen treden op bij een rotatiefrequentieverschil van de te koppelen
delen. Bij het optrekken is er immers steeds sprake van enige slip: de rotatiefrequentie
van de ingaande as van de wisselbak is iets lager dan die van de krukas. Een deel
147

van de daardoor opgewekte wrijving wordt in warmte omgezet (zie hoofdstuk 3).
< ) Voor de mechanische slip koppeling geldt onder gunstige voorwaarden (dus niet bij
(." het rijden in een file met veel slip!) een rendement van ongeveer 99%, voor een
vloeistofkoppeling (zie band B) geldt een lager maximaal rendement: 97 %.
De lVisselbakverliezen ontstaan door wrijving tussen assen en lagers, door wrijving
tussen de tandftanken van de tandwielen en door de zogenaamde karnarbeid van de
onderste tandwielen in de wisselbakolie (zie ook 2.3.6). Het rendement is het laagst in
de laagste 'versnelling' en het hoogst in de prise-directe (in dit geval zijn er immers
geen aangedreven tandwielen in het spel). Het gemiddeld rendement van de wisselbak
ligt tussen 92 en 98 %, waarbij deze variatie niet alleen voortkomt uit de vraag, of de
eerste overbrengingstrap of de prise-directe is ingeschakeld, maar ook uit het kwaliteitsverschil
tussen de wisselbakken onderling en uit de vraag, of sprake is van een
wisselbak met handbediening (zie hoofdstuk 4) of een automatische transmissie (zie
7 band B).
" De aandrijfasverliezen ontstaan door de schuifmofwrijving, de wrijving in de steunlagers
en in de kruis- of homokinetische kOppelingen (zie hoofdstuk 5). Per aandrijfas
geldt een rendement van ongeveer 98 %, waarbij de koppelingen en de lagers elk
ongeveer de helft van de verliezen voor hun rekening nemen.
1.. Ook de eindaandrijving kent verliezen. Bij de oude lVormoverbrenging (zie hoofdstuk
\ 6) waar immers een toestand van zuiver glijden heerst, zijn die verliezen hoog: het
rendement bedraagt amper 80 %. Maar ook in de moderne eindaandrijving spelen
? kegelwielen (en dus verhoogde wrijving) een belangrijke rol: in het differentieel en in
de eindreductie met pignon en kroonwiel. Maar terwijl het differentieel slechts in een
bocht in werking is, is de eindreductie dat constant, en wel steeds onder de totale
belasting. In het algemeen wordt voor het rendement van de eindaandrijving een
waarde gehanteerd van ongeveer .?5,5 % (bij een eindreductie met kegelwielen) tot
97,5 % (bij een reductie met cilindrische tandwielen), waarbij men ervan uitgaat dat
de auto rechtuit rijdt en er dus geen sprake is van eventuele kunstmatig verhoogde
inwendige wrijving in het differentieel.
Voor het totale aandrijjlijnrendement geldt dan:
'Ia = '1k' 'Iwb . 'Ias' '1. [-J (2.61)
waarin de indices 'k', 'wb', 'as' en 'e' respectievelijk betekenen: 'koppeling', 'wisselbak'
, 'aandrijfas' en 'eindaandrijving' . Neemt men de gunstigste waarden, dan bedraagt
dit totaalrendement nog altijd zo'n 89 %, waaruit gemakkelijk kan worden
geconcludeerd dat er dus zeer zuinige motoren worden ingebouwd, gezien het betrekkelijk
gunstige brandstofverbruik van vele auto's. Toch betekent dit, dat bij een
totaal motorrendement tussen 25 à 30 % (ottomotoren) en 35 à 43 % (dieselmotoren)
er slechts 22 ... 38 % van de in de brandstof opgeslagen energie aan de aangedreven
wielen kan worden benut om de voertuigweerstanden te overwinnen.
Wordt het totale inwendige koppel T inw dat nodig is om alle wrijvingsverlieskoppels te
overwinnen constant verondersteld, dan is het inwendige vermogensverlies Pinw evenredig
met de motorrotatiefrequentie en met de voertuigsnelheid (afb. 2.46), want:
148
[WJ
(2.62)

Afb. 2.46. Motor- en aandrijjiijnkarakteristieken
a het effectieve motorvermogen Pm en het
aan de wielen beschikbare aandrijfvermogen
P d ten gevolge van de inwendige vermogensverliezen
in de aandrijjiijn Pi".'
b het rendement van de aandrijjiijn
, I
a..
c
"'"o
E
">
kW
io.9j~
----. motorrotatiefrequentie nm __ voertuigsnelheid V mis
y
~ 0.8
c
"~ 07
r ~ _ voerluigsnelheid Vv mis
Het aan de wielen beschikbare vermogen wordt nu verkregen door het verliesvermogen
af te trekken van het motorvermogen Pe:
Het aandrijftijnrendement wordt dan:
[WJ
[-J
a
b
(2.62a)
(2.63)
Daaruit volgt, dat het rendement geen constante waarde heeft, zoals ook in de afbeelding
is te zien. Deze conclusie komt overeen met de bevindingen in 2.3.6, waar
immers voor de energieverliezen van de tandwieloverbrenging een verschil werd gemaakt
tussen een constant, stationair gedeelte en een belastingsafhankelijk deel.
-~ ( I / I
1I.Ce- ':(vû. .•.. t

zekere hoek ten opzichte van de horizontale as van de grafiek. Ook hier wordt aangenomen,
dat a en a constant zijn, omdat anders deze hoek verandert. Daarbovenop
komt een derdemachtsfuflctie die het luchtweerstandsvermogen weergeeft, want dit
vermogen is evenredig met de derde macht van de voertuigsnelheid.
c
al
"C kN
c
1ii '"
ai al
.~
.:::
1
mis
F l
--. voertuigsnelheid v,
a
mis
--. voertuigsnelheid v,
Afb. 2.47. Voertuigweerstanddiagrammen
a het rijweerstandendiagram
b het weerstandsvermogendiagram
Het nadeel van deze diagrammen is, dat zij alleen doorlopend mogen worden gelezen:
men kan niet bij een bepaalde snelheid stilstaan en d~n gaan meten, want bij een
constante snelheid zouden immers Fa en Pa wegvallen. Daarom laat men in de praktijk
de versnellingsweerstand en het bijbehorende vermogê"n meestal weg, terwijl men
ook de volgorde van de lijnen verandert, zodat een parametrisch diagram ontstaat met
het hellingpercentage als parameter. Tekent men in deze diagrammen ook nog de
beschikbare aandrijfkracht respectievelijk het beschikbare aandrijfvermogen in, dan
150
b

ontstaan respectievelijk het aandrijfkrachtoverschotdiagram en het aandrijfvermogensoverschotdiagram
(afb. 2.48). Het overschot, bruikbaar om het voertuig bij een
gegeven snelheid te versnellen, kan per voertuigsnelheid worden afgelezen door van
de beschikbare waarde de benodigde waarde af te trekken.
kN Q.
20
~ "
c .s '"
Ol
E
c
'" c (J
co co " ~
en ~ " a.
Oi
Ol ~ 10 ~ '"
.~
c
co
öi
." co ..c
Î Î
o
o
o
o
F,~
------.. voertuigsnelheid v,
hellingpercentage P ....-
40 % 30 20 10 0
!TI
s
30
mis
------.. voertuigsnelheid v,
Afb. 2.48. De overschotdiagrammen (naar: Reimpell. Fahrzeugmechallik)
a het aandrijfkrachtoverschotdiagram
b het vermogellsoverschotdiagram
0
%
151

In atbeelding 2.49 zijn alle tot nu toe behandelde diagrammen samengebracht in één
gecombineerd motor- en voertuigdiagram, zowel op basis van het beschikbare motorkoppel
(atb. 2.49a) als op basis van het beschikbare motorvermogen (atb. 2.49b).
Daarbij is de motorkarakteristiek in de verticale as gespiegeld weergegeven, terwijl
het zaagtanddiagram in de horizontale as is gespiegeld. De voertuigsnelheid en de
motorrotatiefrequentie zijn op een zodanige schaal op de assen aangebracht, dat vanuit
de motorkarakteristiek direct een lijn onder 45° kan worden getrokken om naar
het zaagtanddiagram te kunnen overstappen. Met behulp van de motorkarakteristiek,
het zaagtanddiagram en het weerstandsdiagram kan aldus in het eerste kwadrant
het overschotsdiagram worden geconstrueerd. Zo wordt in atbeelding 2.49a punt A
(het maximale motorkoppel Tm ma.) via de lijn van de derde overbrengingstrap in het
zaagtanddiagram (punt B) overgebracht naar punt C. Voor de omzetting van punt B
naar C wordt gebruik gemaakt van formule 2.51a. Een vergelijkbare procedure is in
atbeelding 2.49b mogelijk onder gebruikmaking van de betrekkingen Pd = YJa' Pm (formule
2.53) en Pd = Fd.v v (formule 2.52). Uit deze gecombineerde diagrammen kunnen
in één oogopslag de voertuigprestaties worden afgelezen.
152
,!
Gi
~ 300
~ Nm
t 200
100
100 .-f 80 60
motorrotatiefrequentie nm
~ 10
kN
ij 9
o
~ 8
.;:
~ c:
g 7
E
c:
~ c: 60
"::>
CT
"~ 80
'"
" .-1
~ 100 :s
"0
E
707.
60""
50""
407.
30
40
307.
107.
50 m .• - 1 70
~ voertuigsnelheid Vv
2 5
a
07.
127 kW
61 kW

~ 140
go kW
e
~ 120
80
100 S-1 80 60 40 20 0
n. motorrotahefrequentle -1: 20
j 40
60
40
20
~ 60
-; 80
~ S-I
~ 100
e b
Afb. 2.49. Gecombineerde motor- en voertuigdiagrammen
a op basis van de koppelkromme van de motor
b op basis van de vermogenskromme van de motor
50 60 mis 70
153