Gebalanceerde Bomen

Gebalanceerde Bomen
algoritmen voor binaire bomen werken goed voor verschillende soorten
toepassingen maar hun ‘worst case’ gedrag zorgt voor problemen
balanceren is een techniek die ervoor zorgt dat het slechtste geval
zich niet kan voordoen maar implementatie is niet eenvoudig
1

Top-down 2-3-4 Bomen
om ‘worst cases’ te vermijden is flexibiliteit nodig in de datastructuren,
we veronderstellen dat knopen meer dan 1 sleutel kunnen bevatten
we laten 3-knopen en 4-knopen toe (die 2 en 3 sleutels kunnen bevatten)
uit een 3-knoop komen 3 links: 1 naar alle records met sleutels kleiner
dan beide knopen, 1 met alle records waarvan de sleutels tussen de 2
knopen liggen en 1 met alle grotere sleutels
uit een 4-knoop komen 4 links: een voor elk interval dat door de 3
knopen gedefinieerd is
2

Fig. 1 Een 2-3-4 boom.
3

zoeken is eenvoudig
bvb. zoeken naar G in de boom van Fig.1:
volg de middenste link van de wortelknoop (G ligt tussen E en R);
volg de linkse link in de volgende knoop (knoop met H, I en N) en
beëindig het zoeken zonder succes
4

nieuwe knoop toevoegen: na een niet succesvolle zoektocht de knoop
inhaken; wanneer de zoektocht eindigt in een 2-knoop maken we er
een 3-knoop van
bvb. X toevoegen in Fig.1 door X (en een extra link) toe te voegen
aan de knoop die S bevat
analoog kan van een 3-knoop een 4-knoop gemaakt worden
5

wat als er een nieuwe sleutel toegevoegd moet worden aan een 4knoop?
bvb. G toevoegen aan de boom in Fig.1
betere oplossing dan er een 5-knoop van te maken in Fig.2
• splits de 4-knoop in 2 2-knopen en geef één van de sleutels door
aan zijn ouder
• voeg daarna de nieuwe sleutel toe
6

Fig. 2 Toevoegen (van G) aan een 2-3-4 boom
7

toevoegen van sleutels aan een boom:
wanneer er een sleutel doorgegeven moet worden aan een ouder die
al een 4-knoop is
een methode kan zijn om ook de ouder te splitsen (maar de hogere
niveaus kunnen ook 4-knopen zijn ...)
een eenvoudiger methode zorgt ervoor dat geen enkele ouder van
een knoop in de boom een 4-knoop is door alle 4-knopen te splitsen
tijdens het afdalen in de boom
8

Fig. 3 Constructie van een 2-3-4 boom voor de volledige verzameling
sleutels (A S E A R C H I N G E X A M P L E)
9

een 2-knoop verbonden met een 4-knoop wordt getransformeerd in
een 3-knoop verbonden met 2 2-knopen
een 3-knoop verbonden met een 4-knoop kan getransformeerd worden
in een 4-knoop verbonden met 2 2-knopen
splitsen werkt omdat niet enkel de sleutels maar ook de verwijzingen
verplaatst kunnen worden
voordeel: alle bewerkingen zijn lokale transformaties (zie Fig. 4)
10

Fig. 4 Splitsen van 4-knopen.
11

wanneer de wortel een 4-knoop wordt splitsen we hem in 3 2-knopen
(we hoeven niet te wachten op de volgende invoeging omdat er geen
probleem kan zijn met de ouder van de wortelknoop)
enkel bij het splitsen van de wortelknoop komt er een niveau bij in de
boom
op die manier verkrijgen we een gebalanceerde boom
12

Eig. 1 Tijdens zoeken in 2-3-4 bomen met N knopen worden niet
meer dan lgN + 1 knopen bezocht.
De afstand van de wortel tot elke externe knoop is immers dezelfde.
13

Eig. 2 Invoegen in 2-3-4 bomen met N knopen vergt minder dan
lgN + 1 keer splitsen van knopen in het slechtste geval en gemiddeld
minder dan 1 knoop.
In het slechtste geval zijn alle knopen op het pad van de invoeging
4-knopen, die allemaal gesplitst moeten worden.
14

Fig. 5 Grote 2-3-4 boom
voorbeeld in Fig. 5: boom opgebouwd met een random permutatie
van 95 elementen
de boom bevat 9 4-knopen, waarvan er maar 1 niet op het laagste
niveau zit
15

Rood-zwarte bomen
2-3-4 bomen kunnen als standaard bomen voorgesteld worden door 1
extra bit per knoop te gebruiken
we veronderstellen dat 3-knopen en 4-knopen kleine binaire bomen
zijn die met ‘rode’ verbindingen samenhangen, de ‘zwarte’ verbindingen
houden de 2-3-4 bomen samen (rode verbindingen zijn voorgesteld
als dikke lijnen in Fig. 6)
16

Fig. 6 Rood-zwart voorstelling van 3-knopen en 4-knopen
17

een voorstelling van de boom in Fig. 3 (er zijn verschillende representaties
mogelijk
Fig. 7 Rood-zwarte boom
18

de ‘schuinte’ van de 3-knopen heeft geen belang (Fig. 6)
met een 2-3-4 boom komen verschillende rood-zwart bomen overeen
eigenschappen:
• er zijn nooit twee opeenvolgende rode verbindingen op een pad
van de wortel naar een externe knoop
• elk van die paden heeft een zelfde aantal zwarte verbindingen
het is nog altijd mogelijk dat een pad (afwisselend rood-zwart) twee
keer zo lang is als een ander (volledig zwart) maar de padlengtes zijn
allemaal evenredig met logN.
19

de positie van duplicaten is opmerkelijk (zie Fig.7)
als we niet zouden toelaten dat duplicaten zich aan beide zijden van
een knoop kunnen bevinden kan de boom sterk uit balans geraken
wanneer er veel duplicaten zijn
belangrijke eigenschap: de zoekprocedure voor standaard zoeken in
binaire bomen werkt ongewijzigd (behalve in het geval van gedupliceerde
sleutels; we kunnen niet alle knopen met een gegeven sleutel
vinden door de zoekprocedure verder te zetten)
20

kleuren implementeren door 1 bit veld toe te voegen aan elke knoop,
(een 1 wanneer de link die naar de knoop wijst rood is, een 0 wanneer
die zwart is); de zoekprocedure bekijkt dat veld nooit
het balanceermechanisme veroorzaakt bijgevolg geen overlast
het zoeken is efficiënter omdat de boom gebalanceerd is
er is ook heel weinig overlast door de invoegprocedure (er moet alleen
gehandeld worden als er een 4-knoop is)
21

void Dict::insert(itemType v, infoType info)
{
x = head; p = head; g = head;
while (x != z)
{
gg = g; g = p; p = x;
x = (v < x-> key) ? x->l : x->r;
if (x->l->b && x->r->b) split(v);
}
x = new node(v, info, 1, z, z);
if (v < p->key) p->l = x; else p->r = x;
split(v); head->r->b=black;
}
22

Fig. 8 Toevoegen (van Y) aan rood-zwarte boom van Fig. 7
23

er is een transformatie nodig wanneer we tegenkomen:
• een 2-knoop die met een 4-knoop verbonden is
• een 3-knoop die met een 4-knoop verbonden is (3 verschillende
mogelijkheden: Fig. 9 en Fig. 10)
24

Fig. 9 Splitsen van 4-knopen met een kleurwissel
25

Fig. 10 Splitsen van 4-knopen met een kleurwissel: er is rotatie nodig.
26

wanneer in Fig. 8 de links y, c en gc verwijzen naar I, R en N, gebeurt
de transformatie naar Fig. 11 door de veranderingen:
c->l = gc->r;
gc->r = c;
y->r = gc
er zijn 3 andere analoge gevallen: de 3-knoop kan anders georiënteerd
zijn of kan zich aan de linkerkant van y bevinden (in beide oriëntaties)
27

Fig. 11 Roteren van een 3-knoop in Fig. 8.
28

om alle vier de gevallen te behandelen gebruiken we de zoeksleutel
v om het relevante kind (c) en het relevante kleinkind (gc) terug te
vinden (3-knopen worden alleen opnieuw georiënteerd wanneer het
zoeken ons naar de bodem van de boom geleid heeft)
eenvoudiger dan wanneer we niet enkel c en gc moeten onthouden
maar ook of ze linkse of rechtse links zijn
29

struct node *rotate(itemType v, struct node *y)
{
struct node *c, *gc;
c = (v < y->key) ? y->l : y->r;
if (v < c->key)
{ gc = c->l; c->l = gc->r; gc->r = c; }
else
{ gc = c->r; c->r = gc->l; gc->l = c; }
if (v < y->key) y->l = gc; else y->r = gc;
return gc;
}
30

de functie brengt de link terug naar de top van de 3-knoop maar voert
zelf de kleurwissel niet uit
voor het derde geval van split (Fig. 10):
• stel g rood
• stel x gelijk aan rotate(v, gg)
• stel x zwart
hiermee is dit geval gereduceerd tot het tweede geval (waar de 3knoop
goed georiënteerd was)
31

voor het vierde geval (twee links georiënteerd in verschillende richtingen;
Fig. 10):
stel p gelijk aan rotate(v, g)
de illegale 3-knoop bestaande uit 2 knopen waarnaar door p en x
verwezen werd is anders georënteerd
alle knopen hebben dezelfde kleur, er is geen kleurwissel nodig en we
vervallen in het derde geval (leidt tot een dubbele rotatie)
32

Fig. 12 Splitsen van een knoop in een rood-zwart boom.
33

Fig. 12 demonstreert de uit te voeren split wanneer G wordt toegevoegd
eerst is er een kleurwissel (split) om de 4-knoop die H, I en N bevat
te splitsen
daarna is er een dubbele rotatie nodig: eerst rond de boog tussen I
en R, daarna rond de boog tussen E en I
na deze wijzigingen kan G toegevoegd worden links van H (Fig 13)
34

Fig. 13 Bouwen van een rood-zwarte boom.
35

wanneer de wortel een 4-knoop is (invoegen in de eerste boom van
Fig. 13 maakt de split procedure de wortel rood: dit komt overeen
met het transformeren, samen met de dummy knoop erboven tot een
3-knoop
er is geen enkele reden om dat te doen; vandaar dat er een expliciet
in de code staat de wortel zwart te houden
36

void split(itemType v)
{
x->b = red; x->l->b = black; x->r->b = black;
if (p->b)
{
g->b = red;
if (vkey != vkey) p = rotate(v, g);
x = rotate(v, gg);
x->b = black;
}
}
37

de split procedure zorgt ervoor dat alle kleuren correct zijn na de
rotatie en plaatst x voldoende hoog in de boom om ervoor te zorgen
dat we niet verloren lopen in de zoektocht na alle wijzigingen van de
links
38

de klasse declaratie voor rood-zwarte bomen is precies dezelfde als
voor binaire zoekbomen, er is alleen een extra binair veld b in node
de dummy knopen in de Dict constructor moeten op de volgende
manier geïnitialiseerd worden:
Dict(int max)
{
z = new node( 0, infoNIL, black, 0, 0);
z->l = z; z->r = z;
head = new node(itemMIN, 0, black, 0, z);
}
39

Fig. 14 Bouwen van een rood-zwarte boom.
40

Eig.3 Zoeken in een rood-zwarte boom met N knopen opgebouwd
met random sleutels heeft ongeveer lgN vergelijkingen nodig, en voor
een invoeging is gemiddeld minder dan 1 rotatie nodig.
Het is vooral voor het worst-case gedrag dat gebalanceerde bomen
zo aantrekkelijk zijn.
41

Fig. 15 Een rood-zwarte boom voor een ontaard geval (opgebouwd
door de getallen 1 tot 95 in volgorde toe te voegen aan een lege
boom).
42

Eig.4 Zoeken in een rood-zwarte boom met N knopen vergt minder
dan 2 lg N+2 vergelijkingen en een toevoeging vergt minder rotaties
dan een kwart van de vergelijkingen.
43

Andere algoritmen
Er bestaan andere analoge strategieën voor het implementeren van
gebalanceerde binaire bomen. Het is vooral de rotatie die de bomen
balanceert.
Oudste en best gekende gebalanceerde boom is de AVL boom. Die
heeft de eigenschap dat de hoogte van de twee deelbomen van elke
knoop ten hoogste met 1 verschilt. Wanneer deze voorwaarde overtreden
wordt door het toevoegen van een knoop, dan kan er terug
aan voldaan worden door te roteren.
44

Een andere gekende structuur voor gebalanceerde bomen is de 2-3
boom, waarin enkel 2- en 3-knopen toegelaten zijn. Toevoegen kan
door het implementeren van een extra lus (voor rotaties) maar het is
niet flexibel genoeg voor een goede top-down versie.
45