Algebra (pdf, 235K) - Groep T
Algebra (pdf, 235K) - Groep T
Algebra (pdf, 235K) - Groep T
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Algebra</strong><br />
Dr. Caroline Danneels
1 Reële getallen ......................................................................................................................3<br />
1.1 Machten van een reëel getal met gehele exponent .................................................................. 3<br />
1.2 Een n-de machtswortel uit een reëel getal ............................................................................... 4<br />
1.3 Machten met rationale exponent.............................................................................................. 5<br />
1.4 Eigenschappen van de worteltrekking ..................................................................................... 6<br />
1.5 Het wortelvrij maken van de noemer....................................................................................... 7<br />
1.6 Logaritmen van een reëel getal................................................................................................ 7<br />
1.7 Oefeningen............................................................................................................................... 8<br />
2 Veeltermen met reële coëfficiënten in 1 onbepaalde x ..................................................10<br />
2.1 Definitie ................................................................................................................................. 10<br />
2.2 Nulpunt .................................................................................................................................. 10<br />
2.3 Merkwaardige producten ....................................................................................................... 10<br />
2.4 Deling..................................................................................................................................... 11<br />
2.5 Oefeningen............................................................................................................................. 14<br />
3 Vergelijkingen en ongelijkheden.....................................................................................15<br />
3.1 Vergelijkingen in IR............................................................................................................... 15<br />
3.2 Ongelijkheden in IR................................................................................................................ 18<br />
3.3 Oefeningen............................................................................................................................. 24<br />
4 Absolute waarde van een reëel getal...............................................................................26<br />
4.1 Definitie ................................................................................................................................. 26<br />
4.2 Eigenschap............................................................................................................................. 27<br />
4.3 Bewerkingen .......................................................................................................................... 27<br />
4.4 Toepassing: verloop van een functie gedefinieerd met modulus-tekens ............................... 27<br />
4.5 Oefeningen............................................................................................................................. 29<br />
5 Matrices en determinanten..............................................................................................30<br />
5.1 Matrices ................................................................................................................................. 30<br />
5.2 Determinanten........................................................................................................................ 35<br />
5.3 Oefeningen............................................................................................................................. 39<br />
6 Stelsels ...............................................................................................................................41<br />
6.1 Stelsels van n vergelijkingen en n onbekenden ..................................................................... 41<br />
6.2 Stelsels lineaire ongelijkheden met 1 onbekende .................................................................. 43<br />
6.3 Oefeningen............................................................................................................................. 44
1 Reële getallen<br />
1.1 Machten van een reëel getal met gehele exponent<br />
∀ a ∈ IR en ∀ n ∈ IN : a = a.a....a (n factoren)<br />
∀ a ∈ IR : a = 1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
n<br />
( ) ( ) 1<br />
n −<br />
1<br />
−n − n 1<br />
∀ a ∈ IR 0 en ∀ n ∈ IN : a = a = a =<br />
n<br />
a<br />
Eigenschappen:a, b ∈ IR en m, n ∈<br />
m n m n<br />
a a a +<br />
⋅ =<br />
a<br />
a<br />
m<br />
n<br />
= a<br />
m−n ( ) n n n<br />
ab = a ⋅ b<br />
n n<br />
a a<br />
=<br />
b b<br />
( ) n<br />
n<br />
m m n<br />
a a ⋅<br />
=<br />
Voorbeeld:<br />
Tekenregel:<br />
− ( ) ⋅ ( )<br />
−3 −2<br />
2 4 3 3<br />
a a ab a<br />
⋅ = ab<br />
−5 −2<br />
b<br />
b<br />
a<br />
2<br />
als n even is, dan is ( ) n n<br />
− a = a<br />
als n oneven is, dan is ( ) n n<br />
a a<br />
− = −<br />
5<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 3
1.2 Een n-de machtswortel uit een reëel getal<br />
Een n-de ( n ∈ IN0) machtswortel uit een reëel getal a is elk reëel getal x waarvan de n-de macht<br />
gelijk is aan het gegeven getal.<br />
of ∀ x, a ∈ IR, ∀ n ∈ IN : x is de n-de machtswortel uit a ⇔ x = a<br />
0<br />
n<br />
Is n oneven en a ∈ IR dan heeft a in IR één n-de machtswortel, genoteerd als: a<br />
Is n even en :<br />
Voorbeelden:<br />
3<br />
3<br />
8 = 2 want 2 3 =8<br />
−8<br />
= −2 want ( −2)<br />
3 = −8<br />
+<br />
a ∈ IR 0 dan heeft a in IR twee n-de machtswortels die elkaars tegenge-<br />
n<br />
stelde zijn en genoteerd worden als a<br />
n<br />
We maken hier de afspraak dat a<br />
4<br />
voorstelt; zo is 16 = 2 > 0.<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 4<br />
n<br />
n<br />
en− a<br />
.<br />
een positief geheel getal<br />
Voorbeeld: 4 heeft 2 vierkantswortels 4 = 2 en − 4 = −2<br />
a = 0 dan heeft a in IR één n-de machtswortel nl. 0<br />
−<br />
a ∈ IR 0 dan heeft a in IR geen n-de machtswortel.<br />
Afspraak:<br />
n n<br />
a = a<br />
n n<br />
− a = − a<br />
n<br />
We beperken ons nu tot de vorm a waar a ∈ IR + , wat niet schaadt aan de algemeenheid van<br />
n<br />
a < 0 en n even dan bestaat a niet<br />
de regels, want als<br />
n<br />
a < 0 en n oneven dan schrijven we a<br />
n<br />
als - a<br />
met a ∈ IR +
1.3 Machten met rationale exponent<br />
+<br />
Definitie: 0 0<br />
Toepassingen:<br />
∀ a ∈ IR , ∀ m ∈ , ∀ n ∈ IN : a n = a<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
1<br />
n<br />
n<br />
a = a<br />
a<br />
m<br />
−<br />
n<br />
=<br />
1<br />
n m<br />
a<br />
mp m<br />
np mp np n n m<br />
a = a = a = a<br />
Rekenregels: ∀ a, b ∈ IR en ∀ q, q' ∈ :<br />
q q ' q q '<br />
a a a +<br />
⋅ =<br />
a<br />
a<br />
q<br />
q '<br />
= a<br />
q−q '<br />
( ) q q q<br />
ab = a ⋅ b<br />
q q<br />
a a<br />
=<br />
b b<br />
( ) ' q<br />
q<br />
q q q '<br />
a a ⋅<br />
=<br />
+<br />
0<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 5<br />
m<br />
n m
1.4 Eigenschappen van de worteltrekking<br />
1.4.1 Vermenigvuldiging en deling<br />
+<br />
n n n<br />
∀ a, b ∈ IR , ∀ n ∈ IN : ab = a b<br />
+ +<br />
a a<br />
∀ a ∈ IR , ∀ b ∈ IR 0 ; ∀ n ∈ IN 0 : n =<br />
b n b<br />
Voorbeelden:<br />
4 4 4<br />
8 2 = 16 = 2<br />
4 3 12 9<br />
a a<br />
= =<br />
a a<br />
3 12 4<br />
0<br />
12 5<br />
1.4.2 Machtsverheffing en worteltrekking<br />
a<br />
+ n<br />
0<br />
( )<br />
a IR , n IN , m IN: a m<br />
∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ =<br />
+<br />
∀ a ∈ IR ; ∀ m,n ∈ IN : a = a = a<br />
Voorbeelden:<br />
( ) 2<br />
3<br />
3 2 2<br />
8 = 8 = 2 = 4<br />
3 3<br />
8 = 8 = 2<br />
1.4.3 Optelling en aftrekking<br />
0<br />
m n mn n m<br />
+ n<br />
0<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 6<br />
n<br />
n m<br />
a<br />
( )<br />
n n n<br />
∀ a ∈ IR , ∀ n ∈ IR , ∀ p, q, r ∈ IR : p a + q a − r a = p + q − r a<br />
Voorbeeld:<br />
3<br />
24<br />
3<br />
+ 5 3<br />
3<br />
− 81<br />
3<br />
= 2 3<br />
3<br />
+ 5 3<br />
3<br />
−3 3<br />
3<br />
= 4 3
1.5 Het wortelvrij maken van de noemer<br />
a a b<br />
b<br />
b =<br />
1 a b<br />
a b a b<br />
=<br />
± −<br />
3 3<br />
3 2 3 3 2<br />
1 a ab + b<br />
=<br />
a ± b a ± b<br />
1.6 Logaritmen van een reëel getal<br />
( ), x ∈ IR 0<br />
Laat a het grondtal van een logaritmenstelsel zijn a > 0, a ≠1<br />
y = loga x ⇔ x = a y<br />
We noemen y de logaritme van x t.o.v. het grondtal a ( of met basis a).<br />
Benamingen:<br />
• Indien a = e (getal van Euler), dan spreken we van natuurlijke logaritme, notatie ln x.<br />
ln 1 = 0 ln e = 1<br />
• Indien a = 10, dan spreken we van de Briggse logaritme, notatie log x.<br />
Eigenschappen:<br />
log 1 = 0 log 10 = 1<br />
1. log a bewaart de orde als a > 1 en keert de orde om als 0 < a < 1<br />
2. log a a =1<br />
Bewerkingen:<br />
+<br />
∀x,y ∈IR 0:loga<br />
xy = loga x + loga y<br />
+ x<br />
∀ x, y ∈ IR 0 : loga<br />
y = loga x −log a y<br />
+<br />
∀ x ∈ IR0 : loga x −1<br />
( )= − loga x<br />
+<br />
∀ x ∈ IR 0;<br />
∀ z ∈ : loga x z ( )= z . loga x<br />
+<br />
∀ x ∈IR 0 ; ∀ n ∈IN0: loga n<br />
x<br />
= 1<br />
n . log a x<br />
log a 1= 0<br />
+ , y ∈ IR dan<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 7
1.7 Oefeningen<br />
1.7.1 Vereenvoudig ( a,b,c ∈ IR )<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
4.<br />
5.<br />
6.<br />
2<br />
−7<br />
2 3 4<br />
a ( a b c )<br />
10 3 19<br />
( abc ) ( b c )<br />
3 −2<br />
2 4<br />
− ( −25 a) b a, b ∈ IR<br />
1.7.2 Bereken<br />
1.<br />
3 4 3 12<br />
8a b<br />
2. a a a<br />
3.<br />
4.<br />
5.<br />
6.<br />
( − 2) + ( −2)<br />
4 4<br />
3<br />
3<br />
4a<br />
1,5<br />
4<br />
2a<br />
−3 −2<br />
2 + 3<br />
5 a 30<br />
×<br />
5a 3 2<br />
60a<br />
3<br />
2<br />
−<br />
4<br />
a 3<br />
2 −2<br />
3<br />
3 4 2<br />
( −2a b ) ( −4a)<br />
4 4 2<br />
( −a) ( −a )( −2ab<br />
)<br />
n n n+ 1 n+<br />
2<br />
4<br />
2<br />
a b<br />
4 5<br />
32a<br />
b<br />
6 8<br />
81c<br />
d<br />
6<br />
+<br />
0<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 8<br />
opl.:<br />
9 16<br />
b c<br />
a<br />
6<br />
1<br />
opl.: 18<br />
2<br />
opl.:<br />
3<br />
a<br />
n<br />
opl.:2ab<br />
ab<br />
2ab 2b<br />
opl.: 4<br />
2 2<br />
3cd<br />
c<br />
4 opl.: b 2a<br />
8 7<br />
opl.: a<br />
6 4<br />
opl.: 2a<br />
6 3<br />
opl.: 2a<br />
opl.:8<br />
1<br />
opl.:a 2<br />
−<br />
2
1.7.3 Maak de noemer wortelvrij<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
1<br />
a − b<br />
3 + 5<br />
5 −1<br />
1<br />
3 + 7<br />
1.7.4 Bereken, ook als de basis a niet gegeven is<br />
1.<br />
2.<br />
3⋅ log 4<br />
a<br />
log 2<br />
a<br />
35 25 5 1<br />
loga + loga − 3log a + loga<br />
36 21 6 2<br />
opl.: 6<br />
opl.: 0<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 9
2 Veeltermen met reële coëfficiënten in 1 onbepaalde x<br />
2.1 Definitie<br />
a n x n + a n−1 x n −1 + ... + a 1 x + a 0 met<br />
notatie V(x).<br />
2.2 Nulpunt<br />
an , an−1 ,...., a1, a0 ∈ IR<br />
is een veelterm van de graad n in x,<br />
n ∈ IN, a ≠ 0<br />
a ∈ IR is een nulpunt van de geassocieerde veeltermfunctie f: IR → IR: x → V(x) als de<br />
getalwaarde van deze veelterm in a gelijk is aan nul.<br />
In symbolen: a is een nulpunt van V(x) ⇔ V(a) = 0.<br />
Voorbeeld:<br />
− 1<br />
2 is een nulpunt van V(x) = 6x3 − 7x 2 − 7x −1<br />
3 2<br />
1 1 1 1<br />
want V − = 6 ⋅ − − 7 ⋅ − − 7 ⋅ − − 1 = 0<br />
2 2 2 2<br />
2.3 Merkwaardige producten<br />
A, B en C stellen veeltermen voor.<br />
( A + B)<br />
( A −B)<br />
= A 2 − B 2<br />
( A + B)<br />
2<br />
= A 2 + 2AB + B 2<br />
( A + B+ C)<br />
2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB+ 2BC + 2AC<br />
( A + B)<br />
3<br />
= A 3 + 3A 2 B+ 3AB 2 + B 3<br />
( A − B)<br />
3<br />
= A 3 −3A 2 B+ 3AB 2 − B 3<br />
A 3 − B 3 = ( A − B)<br />
A 2 + AB+ B 2<br />
( )<br />
A 3 + B 3 = ( A+ B)<br />
A 2 − AB+ B 2<br />
( )<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 10<br />
n<br />
( A − B)<br />
2<br />
= A 2 − 2AB + B 2
2.4 Deling<br />
Bij twee gegeven veeltermen A(x) en B(x) ( B(x) ≠ 0, graad A(x) ≥ graad B(x) ) bestaat juist<br />
één veelterm Q(x) en juist één veelterm R(x), waarvoor A(x) = B(x)Q(x) + R(x) en<br />
graad R(x) < graad B(x).<br />
2.4.1 Werkwijze<br />
A(x)(Deeltal) B(x)(Deler)<br />
______<br />
R(x)(Rest)<br />
_______________<br />
Q(x)(Quotiënt)<br />
Als R(x) = 0 spreekt men van een opgaande deling.<br />
Voorbeeld:<br />
6x4 - 2x3 + 9x2 - 2x - 2 x2 + 2<br />
-6x4 - 12x2 _______________<br />
_________________ 6x 2 - 2x - 3<br />
- 2x 3 - 3x 2 - 2x - 2<br />
2x3 + 4x<br />
_____________________<br />
- 3x 2 + 2x - 2<br />
3x 2 + 6<br />
_______________<br />
2x + 4<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 11
2.4.2 Deling van een veelterm door een tweeterm van de vorm x-d met d ∈ IR:<br />
regel van Horner<br />
Voorbeeld: 4x 3 ( − 5x + 6):<br />
( x + 2)<br />
4 0 − 5 6<br />
− 2 − 8 16 − 22<br />
4 − 8 11 − 16<br />
Q(x) = 4 x² - 8x + 11<br />
R(x) = - 16<br />
2.4.3 Deelbaarheid door x-d met d ∈ IR<br />
2.4.3.1 Reststelling<br />
De rest van de deling van V(x) door x - d is gelijk aan de getalwaarde V(d).<br />
Gevolg: V(x) is deelbaar door x-d ⇔ R = V( d)<br />
= 0<br />
Voorbeelden:<br />
V( x)<br />
= 3x 2 −5x + 7 is niet deelbaar door x −2 want V( 2)<br />
= 9 ≠ 0<br />
V( x)<br />
= 2x 3 + 3x 2 − 5x +12 is deelbaar door x + 3 want V( −3)<br />
= 0<br />
2.4.3.2 Ontbinding in factoren van veeltermen<br />
Indien een veelterm in x deelbaar is door x - d geldt dat a0 = -d.q0. Indien V(x) een veelterm is<br />
met gehele coëfficiënten is d bijgevolg een gehele deler van a 0 (let op: dit is een nodige<br />
voorwaarde, geen voldoende voorwaarde!)<br />
Om een veelterm met gehele coëfficiënten te ontbinden zoek je eerst de eventuele delers van de<br />
vorm x – d met d ∈ . Ga als volgt te werk:<br />
1. zoek de gehele delers van a0<br />
2. controleer voor welke delers de functiewaarde van V(x) 0 is.<br />
3. vervolgens, indien zo een deler van a0 wordt gevonden, wordt het quotiënt berekend met de<br />
regel van Horner. Zo ga je verder tot de veelterm maximaal ontbonden is.<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 12
Voorbeeld:<br />
Ontbind x 3 − 4x 2 −17x + 60<br />
Oplossing: We berekenen de functiewaarde van de corresponderende veeltermfunctie V(x) voor<br />
de opeenvolgende delers van 60:<br />
f( 1)<br />
= 40 ≠ 0<br />
f( −1)<br />
= 72 ≠ 0<br />
f( 2)<br />
=18 ≠ 0<br />
f( −2)<br />
= 70 ≠ 0<br />
f( 3)<br />
= 0<br />
De gegeven veelterm is dus deelbaar door x - 3.<br />
Het quotiënt berekenen we met de regel van Horner.<br />
1 − 4 − 17 60<br />
d = 3 3 − 3 − 60<br />
1 − 1 − 20 0<br />
We vinden x 3 − 4x 2 −17x + 60 = ( x − 3)<br />
x 2 ( − x − 20)<br />
We onderzoeken nu de deelbaarheid van x 2 −x −20 door x-d, waarbij d een deler van 20 moet<br />
zijn die in absolute waarde ten minste 3 is. We vinden V(-4) = 0.<br />
Bijgevolg is x 2 −x −20 = ( x + 4)<br />
( x −5)<br />
en dus is x 3 − 4x 2 −17x + 60 = ( x − 3)<br />
( x + 4)<br />
( x − 5)<br />
2.4.3.3 Coëfficiëntenregels<br />
1. Een veelterm van graad n is deelbaar door x-1 als de som van de coëfficiënten (inclusief de<br />
constante term) gelijk is aan nul.<br />
Voorbeeld:<br />
x 5 − 2x 3 + 2x 2 −1 is deelbaar door ( x −1)<br />
(controleer!)<br />
2. Als de som van de coëfficiënten die bij de oneven machten van x staan gelijk is aan de som<br />
van de coëfficiënten die bij de even machten van x staan (inclusief de konstante term), dan<br />
is de veelterm deelbaar door (x + 1).<br />
Voorbeeld:<br />
x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x − 3 is deelbaar door ( x +1)<br />
(controleer!)<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 13
2.5 Oefeningen<br />
Werk uit (werk zo efficiënt mogelijk):<br />
2<br />
1. ( x + 2)( x − 2)( x + 4)<br />
2<br />
2. ( 3x + 2)( 9x − 6x + 4)<br />
4 3 2<br />
3. ( 9x + x + 1 ) : ( − x + x + 1)<br />
2 3<br />
4. ( x − x + x − ) ( x − )<br />
20 7 3 2 : 3 met Horner<br />
3 2<br />
5. ( x<br />
) ( )<br />
8 -20x +2x-2 : 2x-1 met Horner<br />
3 2<br />
4<br />
opl.: 16<br />
x −<br />
3<br />
opl.: 27 8<br />
x +<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 14<br />
2<br />
opl.: Q = -9x -10x -19, R = 29x + 20<br />
opl.: Q = -7 x − x, R = − 2<br />
2<br />
opl.: Q = 4x − 8x − 3, R = − 5<br />
6. Voor welke n ∈ IR is 3x gevonden n, het quotiënt.<br />
+ 2nx − 5nx + 10 deelbaar door x + 1 ? Bepaal daarna, voor de<br />
4 3 2<br />
7. Ontbind in factoren: 8x 20x 18x 7x 1<br />
opl.: n = − 1, Q = 3x − 5x + 10<br />
− + − + ( )( ) 3<br />
opl.: x-1 2x −<br />
1<br />
2<br />
2
3 Vergelijkingen en ongelijkheden<br />
3.1 Vergelijkingen in IR<br />
3.1.1 Definitie<br />
Een vergelijking is een uitspraakvorm van de gedaante A = B. Hierbij zijn A en B twee<br />
uitdrukkingen waarvan er tenminste één een veranderlijke (de onbekende genoemd) bevat.<br />
3.1.2 Oplossen van vergelijkingen<br />
Een vergelijking in IR oplossen betekent alle reële getallen bepalen waarvoor de uitspraakvorm<br />
een ware uitspraak wordt.<br />
Voorbeeld:<br />
opl 7x 2 ( − 2 = 5x)<br />
= 1, − 2<br />
7<br />
Twee vergelijkingen zijn gelijkwaardig als hun oplossingenverzameling dezelfde is.<br />
Voorbeeld:<br />
9<br />
4x + 3 = 0 ⇔ − 3x<br />
=<br />
4<br />
( )<br />
want<br />
9 3<br />
opl(4x + 3 = 0) = opl − 3x<br />
= = −<br />
4 4<br />
Stellingen over gelijkwaardige vergelijkingen:<br />
5. ( A = B)<br />
⇔ ( A + C = B + C)<br />
de overbrengingsregel.<br />
6. ( A = B)<br />
⇔ ( mA = mB)<br />
met m ∈ IR 0<br />
7. Is V de oplossingsverzameling van A.B.C = 0; V1, V2 en V3 de oplossingenverzameling<br />
resp. van A=0, B=0, C=0 dan is V = V 1 V 2 V 3<br />
8. ( A.C = B.C)<br />
⇔ ( A = B∨ C = 0)<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 15
Belangrijke gevolgen:<br />
a) neemt men A = B A.C.= B.C dan loopt men gevaar oplossingen in te voeren.<br />
Voorbeeld:<br />
x 2<br />
4<br />
+1 = + 2x<br />
x − 2 x − 2<br />
x 2 + ( x − 2)=<br />
4 + 2x( x − 2)<br />
⇔ x 2 − 5x + 6 = 0<br />
⇔ ( x − 3)<br />
( x − 2)<br />
= 0<br />
⇔ ( x = 3 ∨ x = 2)<br />
↓<br />
ingevoerd<br />
dus los op als volgt:<br />
⇔ x 2 + ( x − 2)=<br />
4 + 2x( x − 2)<br />
∧ x ≠ 2<br />
⇔ x = 3<br />
dus opl = { 3}<br />
Onthoud: voor we een noemer verdrijven die de onbekende bevat, moeten we vooraf als<br />
voorwaarde stellen dat deze noemer verschilt van nul.<br />
b) Neemt men A.C = B.C A = B dan loopt men gevaar oplossingen te verduisteren.<br />
Voorbeeld: ( x −1)<br />
( x + 2)=<br />
( 3x + 2)<br />
( x + 2)<br />
⇔ x −1 = 3x + 2<br />
⇔ 2x + 3 = 0<br />
⇔ x = − 3<br />
: 1 oplossing verloren<br />
2<br />
dus los op als volgt:<br />
( ) ( 2x + 3)<br />
= 0<br />
⇔ x + 2<br />
⇔ x + 2 = 0 ∨ 2x + 3 = 0<br />
⇔ x = −2 ∨ x = − 3<br />
dus opl = − 3<br />
, − 2<br />
2<br />
2<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 16
3.1.3 Bespreking van de lineaire vergelijking ax+b = 0; a,b ∈ IR<br />
(a en b hangen af van een parameter)<br />
1. a ≠ 0 ax + b = 0 ⇔ x = − b<br />
a<br />
2. a = 0 0x + b = 0 ⇔ 0x = −b<br />
( = enige oplossing)<br />
eigenlijke oplossing<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
als b ≠ 0 dan is opl = ∅ een valse vergelijking<br />
als b = 0 dan is opl = IR een identieke vergelijking<br />
Voorbeeld: px − m 2 = 3x − 9 p en m parameters; p, m ∈ IR<br />
⇔<br />
2<br />
(p - 3)x = m - 9<br />
1. p ≠ 3 x = m2 − 9<br />
p − 3<br />
2. p = 3 0x = m 2 −9<br />
als m = 3 ∨ m = -3 dan is 0x = 0 opl = IR<br />
als m ≠ 3 ∧ m ≠ -3 dan is opl = ∅<br />
3.1.4 Oplossen van de tweedegraadsvergelijking in 1 onbekende<br />
Standaardvorm ax 2 + bx + c = 0 met a ∈ IR 0; b,c ∈ IR<br />
De discriminant opzoeken ∆ = b 2 − 4ac<br />
Als<br />
∆ > 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 twee verschillende wortels<br />
−b − ∆ − b + ∆<br />
x 1 = en x 2 =<br />
2a 2a<br />
∆ = 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 twee gelijke wortels<br />
-b<br />
x 1 = x 2 =<br />
2a<br />
∆ < 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 geen reële<br />
wortels<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 17
Is b een even getal dan kan men gebruik maken van de vereenvoudigde formules. Als b = 2b'<br />
dan is ∆ = 4b' 2 − 4ac = 4 b' 2 ( − ac)=<br />
4∆' en ∆' wordt de vereenvoudigde discriminant genoemd.<br />
De wortels zijn dan x 1 =<br />
−b' − ∆'<br />
a<br />
3.2 Ongelijkheden in IR<br />
3.2.1 Definitie<br />
, x 2 =<br />
−b' + ∆'<br />
a<br />
Een ongelijkheid is een uitspraakvorm van de gedaante A < B (of A B, A > B, A B). Hierbij<br />
zijn A en B twee uitdrukkingen waarvan er tenminste één een veranderlijke bevat.<br />
3.2.2 Oplossen van ongelijkheden<br />
Een ongelijkheid in IR oplossen betekent alle reële getallen bepalen waarvoor de uitspraakvorm<br />
een ware uitspraak wordt.<br />
Voorbeeld: opl ( 2x( x −1)<br />
> 0)=<br />
] −∞, 0[<br />
] 1, +∞ [<br />
Twee ongelijkheden zijn gelijkwaardig als hun oplossingenverzameling dezelfde is.<br />
Stellingen over gelijkwaardige ongelijkheden.<br />
1. ( A < B)<br />
⇔ ( A + C < B + C)<br />
( ) ⇔ mA < mB als m ∈ IR +<br />
0<br />
2. A < B<br />
-<br />
mA > mB als m ∈ IR 0<br />
In een ongelijkheid verdrijven we de onbekende nooit uit de noemer.<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 18
3.2.3 Bespreking van de lineaire ongelijkheid ax + b > 0; a,b ∈IR<br />
(a en b hangen af van een parameter)<br />
ax + b > 0 ⇔ ax > - b<br />
1. a > 0 ax > −b ⇔ x > − b<br />
2. a < 0 ax > −b ⇔ x < − b<br />
3. a = 0 ax > −b ⇔ 0x > −b is<br />
Voorbeeld:<br />
px − 2m + 3 < 2x − p ( p, m ∈IR)<br />
⇔ ( p − 2)x<br />
< 2m − p − 3<br />
Bespreking:<br />
2m − p − 3<br />
1. p > 2 opl = x ∈IR x <<br />
p − 2<br />
2m − p − 3<br />
2. p < 2 opl = x ∈IR x ><br />
p − 2<br />
3. p = 2 0x < 2m −5<br />
a<br />
a<br />
opl = x ∈IR x > − b<br />
a<br />
opl = x ∈IR x < − b<br />
a<br />
b > 0 opl = IR<br />
b ≤ 0 opl = ∅<br />
a) 2m − 5 > 0 opl = IR<br />
b) 2m −5 ≤ 0 opl = ∅<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 19
3.2.4 Oplossen van kwadratische ongelijkheden in 1 onbekende<br />
ax 2 + bx + c ≥ 0 met a ∈ IR 0 ; b,c ∈ IR<br />
We onderzoeken eerst het teken van het linkerlid en leiden daaruit de gepaste intervallen af<br />
waartoe x moet behoren. Daartoe bespreken we de grafiek van de functie y = ax 2 + bx + c . Deze<br />
stelt een parabool voor met as van symmetrie // y-as.<br />
De snijpunten van de parabool met y-as worden verkregen door het stelsel: y = ax2 + bx + c<br />
x = 0<br />
te lossen. Oplossing( S)<br />
= ( 0,c)<br />
{ }<br />
De snijpunten met de x-as door y = ax2 + bx + c<br />
y = 0<br />
∆ > 0 de parabool snijdt de x-as in de punten<br />
−b − ∆<br />
2a<br />
, 0<br />
en<br />
−b + ∆<br />
2a<br />
op te lossen:<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 20<br />
, 0<br />
∆ = 0 de parabool raakt de x-as in − b<br />
2a ,0<br />
∆ < 0 de parabool snijdt of raakt de x-as niet.<br />
Verder weten we dat als a > 0, de parabool met haar holle zijde naar boven gericht ligt en als<br />
a < 0 de holle zijde naar onder gericht ligt.<br />
op
Samenvatting:<br />
a > 0<br />
a < 0<br />
D > 0 D = 0 D < 0<br />
x x<br />
1 2<br />
x x<br />
1 2<br />
x = x<br />
1 2<br />
x = x<br />
1 2<br />
Uit deze tabel leiden we gemakkelijk het tekenverloop van y = ax 2 + bx + c af:<br />
x x1 x 2<br />
teken van<br />
ax 2 teken van a 0 tegengesteld 0 teken van a<br />
+ bx + c<br />
teken van a<br />
1. Als a > 0<br />
2. Als a < 0<br />
Voorbeeld: x 2 −2x − 3 ≤ 0<br />
2<br />
opl(ax + bx + c ≥ 0) = ] − ∞, x ] ∪ [ x , +∞ [<br />
2<br />
opl(ax + bx + c³ ≥ 0) = [ x , x ]<br />
nulpunten zijn –1 , 3<br />
tekenonderzoek:<br />
1 2<br />
1 2<br />
x x1 x 2<br />
2<br />
x − 2x − 3 + 0 - 0 +<br />
Opl = [-1,3]<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 21
3.2.5 Oplossen van gebroken ongelijkheden<br />
Voorbeeld 1: Tekenonderzoek van een macht, een product of een quotient van lineaire factoren.<br />
f( x)<br />
=<br />
x( 1− x)<br />
( x + 3)3<br />
( 3 − x)<br />
2 > 0<br />
( 2x + 3)<br />
tekenonderzoek:<br />
x - 3 − 3<br />
2<br />
0 1 3<br />
x - - - - - 0 + + + + +<br />
1 - x + + + + + + + 0 - - -<br />
( x + 3)<br />
3 - 0 + + + + + + + + +<br />
( 3 −x ) 2 + + + + + + + + + 0 +<br />
( 2x + 3)<br />
- - - 0 + + + + + + +<br />
f( x)<br />
- 0 + - 0 + 0 - -<br />
3<br />
opl f(x)>0 3, 0,1<br />
2<br />
( ) = − − ∪ ] [<br />
Voorbeeld 2: Tekenonderzoek van een macht, een product of een quotiënt van lineaire en<br />
kwadratische factoren.<br />
f( x)<br />
=<br />
( )<br />
x 2 + x − 6<br />
x −1 ( ) 2x 2 + x +1<br />
≤ 0<br />
nulpunten teller: 1; nulpunten noemer: -3, 2<br />
tekenonderzoek:<br />
x -3 1 2<br />
x −1 - - - 0 + + +<br />
2x 2 + x +1 + + + + + + +<br />
x 2 + x − 6<br />
+ 0 - - - 0 +<br />
f( x)<br />
- + 0 - +<br />
opl(f(x) ≤ 0) = ] −∞, −3[ ∪ ] 1, 2[<br />
Voorbeeld 3: Tekenonderzoek van een product of een quotiënt van veeltermen.<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 22
Voorbeeld 4:<br />
f( x)<br />
= −x4 + x 3 − x +1<br />
x 3 + x 2 < 0<br />
+ x<br />
ontbinden<br />
tekenonderzoek:<br />
( )<br />
( )<br />
( x −1)<br />
( x +1)<br />
− x 2 + x −1<br />
x x 2 + x +1<br />
x - 1 0 1<br />
x −1 - - - - - 0 +<br />
x +1 - 0 + + + + +<br />
x - - - 0 + + +<br />
− x 2 + x −1 - - - - - - -<br />
x 2 + x +1 + + + + + + +<br />
f( x)<br />
+ 0 - + 0 -<br />
opl(f(x) < 0) = ] -1,0[ ∪ ] 1, +∞ [<br />
x + 2 x + 3<br />
≤<br />
x +1 x −1<br />
tekenonderzoek:<br />
x − 5<br />
3<br />
x + 2 x + 3<br />
⇔ − ≤ 0<br />
x +1 x −1<br />
−3x − 5<br />
⇔<br />
≤ 0<br />
( x +1)<br />
( x −1)<br />
-1 1<br />
- 3x - 5 + 0 - - - - -<br />
x + 1 - - - 0 + + +<br />
x - 1 - - - - - 0 +<br />
f (x) + 0 - + -<br />
5<br />
opl(f(x) ≤ 0) = - , −1 ∪ ] − 1, +∞<br />
[<br />
3<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 23
3.3 Oefeningen<br />
3.3.1 Los op<br />
1. ( x − 5)( 3x + 7) = ( x − 5)( 5x + 3)<br />
Opl.: { 2,5 }<br />
2. ( ) 2<br />
x − 5 − 9 = 0<br />
Opl.: { 2,8 }<br />
3.<br />
4.<br />
5.<br />
6.<br />
7.<br />
8.<br />
9.<br />
6 1 2<br />
− =<br />
3 −1 3 −<br />
x x 2<br />
x x<br />
1 1 2<br />
+ =<br />
x − 2 x + 2 3<br />
12x 2x − 3 120<br />
= −<br />
3x −1 2 5 1− 3x<br />
2<br />
( )<br />
x + 7x + 3(11 − ax) + 8a = 0 als a ∈ en er<br />
2 gelijke wortels zijn<br />
3x 3<br />
4x − 3 > −<br />
2 5<br />
4x − 3 x + 1 x − 5<br />
− ><br />
5 8 2<br />
Opl.: ∅<br />
Opl.: { -1,4 }<br />
17<br />
Opl.: 3, 6<br />
Opl.: a = -1, x = -5<br />
24<br />
Opl.: x ><br />
25<br />
71<br />
Opl.: x > −<br />
7<br />
( 3x +1)<br />
2x<br />
<<br />
2 3 3<br />
( 3x + 2)<br />
Opl.: − , − ∪ , +∞<br />
2x −3 3 11 2<br />
10. 1 2 3<br />
+ ≤<br />
x −1 x − 2<br />
2 2<br />
11. ( x )( x x )( x x )<br />
12.<br />
Opl.: ] −∞, −1[ ∪[ 1,2[ ∪ ] 3, +∞ [<br />
x −3<br />
− 2 2 + − 3 −1 − 2 > 0<br />
3<br />
Opl.: −∞, − ∪ ] 1,2[<br />
2<br />
x − 1 x + 1<br />
<<br />
x 1 x 1<br />
Opl.: ] −1,0[ ∪ ] 1, +∞ [<br />
+ −<br />
3.3.2 Los op en bespreek<br />
1. m 2 x −2 = 4x − m<br />
2.<br />
x<br />
p + m +<br />
x<br />
−2 = 0<br />
p − m<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 24
2<br />
3. ( )<br />
p − p x = 2x − mp − 2<br />
4. mx - 1 ≤ x + m<br />
5. 2x + 4 > mx + 8<br />
6. m 2 ( x − 4)<br />
< 4 − x<br />
7. px − 5m 2 + 2m < mx − mp<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 25
4 Absolute waarde van een reëel getal<br />
4.1 Definitie<br />
De absolute waarde (of modulus) x van een reëel getal x definiëren we als volgt:<br />
∀ x ∈ IR : x = x als x ≥ 0<br />
= − x als x ≤ 0<br />
Merk op: 1) voor elk van 0 verschillend reëel getal is één van de 2 delen van de definitie van<br />
toepassing. Alleen voor 0 zijn beide delen toe te passen maar ze leveren hetzelfde<br />
resultaat want 0 = − 0<br />
Grafiek:<br />
2) x ∈ IR +<br />
Men bekomt de grafiek van y = x door het deel van de grafiek van y = x dat onder de x-as ligt<br />
te spiegelen rond de x-as.<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 26
4.2 Eigenschap<br />
∀x ∈IR, ∀a ∈ IR + : x ≤ a<br />
− a ≤ x ≤ a<br />
4.3 Bewerkingen<br />
∀x,y ∈IR: xy = x. y<br />
x −1 = x −1 ,x ≠ 0<br />
x<br />
y<br />
x<br />
= ,y ≠ 0<br />
y<br />
x + y ≤ x + y<br />
4.4 Toepassing: verloop van een functie gedefinieerd met modulus-tekens<br />
Gegeven: f ( x)<br />
= x − 3<br />
Gevraagd: schets de grafiek van f<br />
Oplossing:<br />
Methode 1: uitgaande van de definitie van f zonder modulusstrepen<br />
f ( x)<br />
=<br />
= x − 3 als x − 3 ≥ 0<br />
( ) als x − 3 ≤ 0<br />
= − x − 3<br />
f ( x)<br />
= x − 3 als x ≥ 3 ( 1)<br />
= 3 − x als x ≤ 3 ( 2)<br />
(1) wordt grafisch een halfrechte (3, 0), (4, 1)<br />
(2) wordt grafisch een halfrechte (3, 0), (2, 1)<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 27
Methode 2: uitgaande van de grafiek van y = x - 3<br />
• y = x - 3 wordt voorgesteld door een rechte (0, - 3), (3, 0)<br />
• om de grafiek van y = x − 3 te vinden, spiegelen we het deel van de grafiek van y = x - 3<br />
dat onder de x-as ligt, rond de x-as.<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 28
4.5 Oefeningen<br />
Teken de volgende grafieken in een rechthoekig assenkruis:<br />
1. y = 2x + 1<br />
2. y = 2 x + 3 + 4<br />
3.<br />
4.<br />
5.<br />
2<br />
y = x − 4<br />
2<br />
y = − 3x + 4x + 1<br />
2<br />
y = x − 9 + 9<br />
6. y = x − 2 + x + 2<br />
7.<br />
y = x −1 − x −<br />
4<br />
2<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 29
5 Matrices en determinanten<br />
5.1 Matrices<br />
5.1.1 Definitie<br />
Een m x n matrix A is een rechthoekige tabel van mn reële (of complexe) getallen, bestaande uit<br />
m rijen en n kolommen.<br />
Algemeen:<br />
( )<br />
a a a ... a<br />
11 12 13 1n<br />
aij =<br />
Amxn<br />
a 21<br />
...<br />
a 22<br />
...<br />
a 23<br />
...<br />
...<br />
...<br />
a 2n<br />
...<br />
a a a ... a<br />
m1 m2 m3 mn<br />
De elementen a ij worden voorzien van dubbele indices. De eerste index wijst het rangnummer<br />
van de rij van het beschouwd element aan, de tweede het rangnummer van de kolom. Aldus<br />
staat a 23 op de tweede rij en in de derde kolom.<br />
De verzameling van alle m x n matrices wordt voorgesteld door IR m x n of door C m x n al<br />
naargelang de elementen a ij reële of complexe getallen zijn. m en n worden de dimensies van de<br />
matrix genoemd.<br />
5.1.2 Gelijke matrices<br />
Twee matrices A en B heten gelijk als en slechts als:<br />
• ze gelijke dimensies hebben,<br />
• hun gelijkstandige elementen gelijk zijn.<br />
A = ( aij)en B = ( b ij)<br />
dan is A = B ⇔ aij = b ij met<br />
( aij)= ( b ij)⇔<br />
aij = bij i = 1, 2, 3, ...m<br />
j = 1, 2, 3, ...n<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 30
5.1.3 Optelling van matrices met gelijke dimensies<br />
Gelijkstandige elementen worden opgeteld.<br />
Voorbeeld:<br />
( aij)+ ( bij)= ( aij + b ij)<br />
Eigenschappen:<br />
2 4 6 1 4 0 2 + 1 4 + 4 6 + 0 3 8 6<br />
+ = =<br />
3 5 7 0 2 − 3 3 + 0 5 + 2 7 − 3 3 7 4<br />
1. een inwendige bewerking A, B ∈ IR m x n m x n<br />
: A + B ∈ IR<br />
2. commutativiteit: A + B = B + A<br />
3. associativiteit: (A + B) + C = A + (B + C)<br />
4. de nulmatrix 0 ( alle aij = 0)<br />
is neutraal element. A + 0 = A<br />
5. bij iedere matrix A = ( aij) hoort een tegengestelde matrix −A = ( −a ij)<br />
mxn<br />
IR ,+ is een commutatieve groep<br />
5.1.4 Vermenigvuldiging van een reëel getal en een matrix<br />
∀ r ∈ IR: r( aij)= ( r.a ij)<br />
Het reëel getal wordt scalair genoemd en de bewerking heet scalaire vermenigvuldiging.<br />
Voorbeeld:<br />
1 0 3 0<br />
3 2 3 = 6 9<br />
0 −1 0 −3<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 31
Eigenschappen:<br />
1. inwendige bewerking: ∀ r ∈ IR,∀A ∈ IR m x n m x n<br />
: r A ∈ IR<br />
2. de scalair 1 is neutraal element: ∀ A ∈ IR m x n :1.A = A<br />
3. associativiteit: ∀ r, s ∈ IR, ∀A ∈ IR m x n : ( rs)A<br />
= r( sA)<br />
4. distributiviteit t.o.v. de optelling in IR m x n : r( A + B)<br />
= rA + rB<br />
5. distributiviteit t.o.v. de optelling in IR : ( r + s)A<br />
= rA + sA<br />
Bovendien is IR m x n , + een communatieve groep;<br />
Besluit:<br />
mxn<br />
IR, IR ,+ is een reële vectorruimte<br />
5.1.5 Getransponeerde matrix<br />
Schrijft men de rijen van een matrix A als kolommen, zonder de volgorde van die rijen of van<br />
de elementen in iedere rij te wijzigen, dan ontstaat de getransponeerde matrix AT van A. De<br />
overgang van de ene naar de andere matrix heet transpositie.<br />
m x n<br />
Merk op: als A ∈IR<br />
A T n x m<br />
∈IR<br />
a a ... a a a ... a<br />
11 12 1n 11 21 m1<br />
a a ... a a a ... a<br />
A= A =<br />
... ... ... ... ... ... ... ...<br />
5.1.6 Matrixvermenigvuldiging<br />
Zij A ( aij<br />
)<br />
mxn-matrix C ( cij<br />
)<br />
21 22 2n T 12 22 m2<br />
a a ... a a a ... a<br />
m1 m2 mn 1n 2n mn<br />
= een mxp-matrix en B = ( bij<br />
) een pxn-matrix, dan is het product van A en B een<br />
= waarbij<br />
p<br />
c = a b + a b + ... + a b = a b , i = 1... m, j = 1... n .<br />
ij i1 1 j i2 2 j ip pj ik kj<br />
k=<br />
1<br />
Opgelet: een matrix product A.B bestaat dus dan en alleen dan, als het aantal rijen van B gelijk<br />
is aan het aantal kolommen van A.<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 32
Voorbeeld<br />
a a<br />
11 12<br />
a a<br />
21 22<br />
a a<br />
31 32<br />
a a<br />
41 42<br />
c c c<br />
11 12 13<br />
b b b c c c<br />
=<br />
b b b c c c<br />
11 12 13 21 22 23<br />
21 22 23 31 32 33<br />
c c c<br />
41 42 43<br />
4 x 2 2 x 3 4 x 3<br />
met c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21<br />
c 23 = a 21 b 13 + a 22 b 23<br />
Eigenschappen:<br />
1. associativiteit: (A.B).C = A.(B.C)<br />
2. distributiviteit: A.(B + C) = A.B + A.C<br />
3. Niet-commutativiteit<br />
Voorbeeld:<br />
(A + B).C = A.C + B.C<br />
1 1 1 2 3<br />
[ ] [ ] [ ]<br />
1 2 3 1 = 9 terwijl 1 1 2 3 = 1 2 3<br />
5.1.7 Vierkante matrices<br />
2 2 2 4 6<br />
Een vierkante matrix is een matrix met evenveel rijen als kolommen. Het is een matrix van orde<br />
n. De elementen a ii met i =1, 2, 3, ..., n vormen de hoofddiagonaal.<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 33
Bijzondere vierkante matrices:<br />
Eenheidsmatrix van de orde n:<br />
∀ i, j = 1, 2, ..., n: a ii =1<br />
a ij = 0 als i ≠ j<br />
1 0 0<br />
1 0<br />
E 2 = E3 = 0 1 0<br />
0 1<br />
0 0 1<br />
De eenheidsmatrix van de orde n speelt de rol van neutraal element voor de matrixvermenigvuldiging<br />
van matrices van de orde n x n: A.E = E.A = A.<br />
a b 1 0 a b<br />
=<br />
c d 0 1 c d<br />
1 0 a b a b<br />
=<br />
0 1 c d c d<br />
Nulmatrix 0 is een opslorpend element voor de matrixvermenigvuldiging A.0 = 0.A = 0<br />
a b 0 0 0 0<br />
=<br />
c d 0 0 0 0<br />
Opmerking: er bestaan matrices A en B waarvoor A.B = 0 en A 0 en B 0. Deze matrices<br />
noemt men nuldelers.<br />
Voorbeeld:<br />
1 −1<br />
1 2 0 0<br />
=<br />
1 −1<br />
1 2 0 0<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 34
5.2 Determinanten<br />
5.2.1 Definities<br />
De determinant van een vierkante 2x2-matrix<br />
door a11 a21 a 12<br />
a 22<br />
= a 11 a 22 −a 12 a 21 .<br />
a a<br />
11 12<br />
a a<br />
21 22<br />
Notatie: det A of A of a ij determinant van de 2de orde.<br />
Stel in wat volgt A =<br />
Rang van een element:<br />
a a a<br />
11 12 13<br />
a a a<br />
21 22 23<br />
a a a<br />
31 32 33<br />
noemen we het reële getal gegeven<br />
De rijen van een determinant (of bijhorende matrix) worden genummerd van boven naar onder,<br />
de kolommen van links naar rechts. Staat een element in de rij met rangnummer i en in de<br />
kolom met rangnummer j, dan noemt men i + j de rang van dat element.<br />
Cofactor van een element:<br />
Schrapt men in een determinant van orde 3 de rij en de kolom van een element, dan ontstaat een<br />
determinant van orde 2. Deze determinant, voorafgegaan van het teken + of - , al naar gelang de<br />
rang van het beschouwde element even of oneven is, wordt cofactor van dit element genoemd.<br />
(minor als de determinant zonder teken beschouwd wordt.)<br />
Notatie: α ij: hangt dus niet af van de getallen uit de rij en kolom waarin het element zich<br />
bevindt<br />
Voorbeeld:<br />
α 21 = −1<br />
( ) 2+1 a 12 a 13<br />
a 32<br />
a 33<br />
= − a 12<br />
a 32<br />
a 13<br />
a 33<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 35
Definitie:<br />
De determinant van een 3x3-matrix is het reële getal dat men vindt door de elementen van een<br />
rij of een kolom te vermenigvuldigen elk met hun cofactor en de bekomen producten bij elkaar<br />
op te tellen.<br />
Kiest men bv. de 1ste rij, dan zegt men dat men de determinant naar de eerste rij ontwikkelt.<br />
Voorbeeld:<br />
3 2 1<br />
A = 2 1 2<br />
3 −2<br />
4<br />
1+1 1 2<br />
α11 = ( −1)<br />
−2 4<br />
1+2 2 2<br />
α12 = ( −1)<br />
3 4<br />
1+3 2 1<br />
α13 = ( −1)<br />
3 −2<br />
= 4 + 4 = 8<br />
= −( 8 − 6)<br />
= −2<br />
= −4 −3 = −7<br />
det A = 3.8 + (-2).2 + (-7).1 = 24 - 4 - 7 = 13 kan ook gemakkelijk teruggevonden worden met<br />
de Regel van Sarrus.<br />
5.2.2 Eigenschappen van determinanten<br />
1. Een vierkante matrix A en zijn getransponeerde AT hebben gelijke determinanten.<br />
det A = det AT<br />
2. Worden twee rijen (kolommen) van een determinant verwisseld dan verandert die<br />
determinant van teken.<br />
Gevolgen:<br />
• een determinant met 2 gelijke rijen (kolommen) is nul.<br />
• de som van de producten van de elementen van een rij (kolom) met de overeenkomstige<br />
cofactoren van een andere rij (kolom) is nul.<br />
Zie voorbeeld hierboven: a21α11 +a 22α12 + a23α13 = 2.8 +1( −2)+<br />
2. ( −7)<br />
= 0<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 36
3. Splitst men een rij (kolom) in een som van twee rijen (kolommen) dan is de determinant op<br />
overeenkomstige wijze te beschouwen als de som van twee determinanten.<br />
a 1 + a 1' b 1 c 1<br />
a 2 + a 2' b 2 c 2<br />
a 3 + a 3' b 3 c 3<br />
Voorbeeld:<br />
2 +1 2 1<br />
0 + 2 1 2<br />
−1 + 4 −2 4<br />
=<br />
=<br />
a 1 b 1 c 1<br />
a 2 b 2 c 2<br />
a 3 b 3 c 3<br />
2 2 1<br />
0 1 2<br />
−1 −2 4<br />
+<br />
+<br />
a 1' b 1 c 1<br />
a 2' b 2 c 2<br />
a 3' b 3 c 3<br />
1 2 1<br />
2 1 2<br />
4 −2 4<br />
4. Vermenigvuldigt men een rij (kolom) met een reëel getal k, dan wordt ook de determinant<br />
met k vermenigvuldigd.<br />
a 1 kb 1 c 1<br />
a 2 kb 2 c 2<br />
a 3 kb 3 c 3<br />
Gevolgen:<br />
= k<br />
a 1 b 1 c 1<br />
a 2 b 2 c 2<br />
a 3 b 3 c 3<br />
• bevatten alle elementen van een rij (kolom) eenzelfde factor, dan kan die factor voor de<br />
determinant worden geplaatst.<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 37<br />
= 13<br />
• een determinant met 2 evenredige rijen (kolommen) is nul.<br />
5. Als men bij een rij (kolom) een veelvoud van een andere rij (kolom) optelt, dan blijft de<br />
determinant gelijk.<br />
a 1 b 1 c 1<br />
a 2 b 2 c 2<br />
a 3 b 3 c 3<br />
6. Det (A.B) = det A . det B<br />
=<br />
a 1 + kb 1 b 1 c 1<br />
a 2 + kb 2 b 2 c 2<br />
a 3 + kb 3 b 3 c 3
7. Een determinant berekenen door verlaging van de orde. Elke determinant kan door<br />
toepassing van de eigenschappen herleid worden tot een determinant waarin een rij of een<br />
kolom op één element na alleen nullen bevat.<br />
Voorbeeld:<br />
6 9 2<br />
2 3 1<br />
3 5 2<br />
=<br />
r 1 − r 3<br />
3 4 0<br />
2 3 1<br />
3 5 2<br />
=<br />
r 3 − 2r 2<br />
3 4 0<br />
2 3 1<br />
−1 −1 0<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 38<br />
= −1<br />
3 4<br />
−1 −1<br />
= −1( −3 + 4)<br />
= −1
5.3 Oefeningen<br />
1. Bereken x, y, z als<br />
Antwoord: x = 2, y = -3, z = 1<br />
2<br />
4 x x y+5z<br />
=<br />
2<br />
y 0 2x+5 x+y+z<br />
2. Vul de door een punt aangeduide plaatsen in:<br />
2 . 5 1 . 6<br />
. 3 + 2 3 . = 11 5<br />
4 3 . 3 4 .<br />
3. Als A een pxq-matrix is en B een rxs-matrix, onder welke voorwaarde bestaan dan de beide<br />
producten A.B en B.A ?<br />
Antwoord: q = r en s = p<br />
4. Men geeft de matrices:<br />
0 1<br />
1 2 1 0 1<br />
A = 1 0 B = C =<br />
3 4 2 1 3<br />
2 2<br />
Bereken achtereenvolgens A.B, (A.B).C, B.C, A.(B.C) en verifieer aldus de associatieve<br />
eigenschap.<br />
5. Bewijs dat (A.B) T = B T .A T als<br />
A =<br />
a<br />
d<br />
b<br />
e<br />
c<br />
f<br />
g<br />
, B = i<br />
k<br />
h<br />
j<br />
l<br />
6. Bepaal al de matrices B waarvoor A.B = B.A. als<br />
Antwoord:<br />
2<br />
x z<br />
3<br />
z x + z<br />
1 2<br />
A = 3 4<br />
7. Welk verband bestaat er tussen de matrices B (van de orde 3) en A.B als<br />
1.<br />
1 0 0<br />
A = 0 k 0<br />
0 0 1<br />
2.<br />
0 1 0<br />
A = 1 0 0<br />
0 0 1<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 39
8. Bereken de volgende determinanten (pas ordeverlaging toe):<br />
1.<br />
4.<br />
3 2 0<br />
4 −2 1<br />
1 3 −4<br />
2.<br />
2 1 1 3<br />
0 0 3 1<br />
2 3 4 1<br />
1 1 0 1<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 40<br />
3.<br />
1 0 0 0 a<br />
0 0 0 a 1<br />
0 0 a 1 0<br />
0 a 1 0 0<br />
a 1 0 0 0<br />
Opl.: 49 Opl.: -5 Opl.: 1 + a 5<br />
9 −5 1<br />
2 3 −1<br />
1 −6 2<br />
9. Toon aan dat:<br />
5.<br />
8 1 9 1<br />
6 3 4 5<br />
5 4 7 2<br />
2 3 4 1<br />
6.<br />
a b c<br />
c a b<br />
b c a<br />
Opl.: 10 Opl.: 20 Opl.: a 3 +b 3 +c 3 -3abc<br />
a b ck<br />
p q rk<br />
x y z<br />
=<br />
a b c<br />
p q r<br />
xk yk z
6 Stelsels<br />
6.1 Stelsels van n vergelijkingen en n onbekenden<br />
6.1.1 Matrixnotatie<br />
a x + a x +...+ a x = b<br />
11 1 12 2 1n n 1<br />
a x + a x +...+ a x = b<br />
...<br />
21 1 22 2 2n n 2<br />
a x +a x +...+ a x = b<br />
Stel<br />
n1 1 n2 2 nn n n<br />
Voorbeeld:<br />
a ij ∈ IR, b i ∈ IR<br />
a a ... a<br />
11 12 1n<br />
a a ... a<br />
A = ∈ IR<br />
... ... ... ...<br />
21 22 2n n x n<br />
a a ... a<br />
n1 n2 nn<br />
x b<br />
1 1<br />
x b<br />
X = ∈ IR , B = ∈ IR<br />
... ...<br />
2 n x 1 2<br />
n x 1<br />
x b<br />
n n<br />
Matrixnotatie: A.X = B<br />
-2x + 5y - z = 1 -2 5 -1 x 1<br />
x + z = 0 A = 1 0 1 , X = y , B = 0<br />
-2y + 3z = -2 0 -2 3 z -2<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 41
6.1.2 Oplossen van een stelsel door eliminatie<br />
Door opeenvolgende eliminaties wordt het gegeven stelsel vervangen door een gelijkwaardig<br />
stelsel waarin de eerste vergelijking n onbekenden bevat, de tweede n - 1, de derde n - 2, ... de<br />
voorlaatste 2 en de laatste 1. Uit de laatste vergelijking wordt de waarde van de onbekende<br />
afgeleid. Door substituties in de vergelijkingen met 2, 3, 4, ..., n onbekenden worden<br />
achtereenvolgens de andere onbekenden berekend.<br />
Voorbeeld:<br />
x + y − z = 9 1 −3<br />
x − 2y − 3z = 1 −1<br />
3x + 6y + z = 37 1<br />
x + y = 9 +1<br />
3y = 8 − 2<br />
z =1<br />
x = 10 − 2<br />
y = 2<br />
z = 1<br />
x + y − z = 9<br />
x = 8<br />
y = 2<br />
z = 1<br />
3y + 2z = 8 −1<br />
3y + 4z = 10 1<br />
6.1.3 Oplossen van een stelsel met de methode van Cramer.<br />
Zij gegeven een n x n stelsel:<br />
x + y − z = 9<br />
3y + 2z = 8<br />
2z = 2<br />
Het stelsel A.X = B heeft een unieke oplossing ⇔ A ≠ 0; de oplossing wordt gegeven door<br />
x i = A i<br />
A<br />
waarbij de nxn-matrix Ai als volgt gedefinieerd wordt:<br />
Voorbeeld:<br />
Ai =<br />
We hernemen het vb. van 6.1.2.<br />
A =<br />
A1 =<br />
1 1 −1<br />
a a ... a b a ... a<br />
11 12 1 i-1 1 1 i+1 1n<br />
a a ... a b a ... a<br />
21 22 2 i-1 2 2 i+1 2n<br />
... ... ... ... ... ... ... ...<br />
a a ... a b a ... a<br />
n1 n2 n i-1 n n i+1 nn<br />
1 −2 − 3 |A| = - 6<br />
3 6 1<br />
9 1 −1<br />
1 −2 − 3 |A1| = - 48<br />
3 6 1<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 42
A2 =<br />
A3 =<br />
1 9 −1<br />
1 1 − 3 |A2| = - 12<br />
3 37 1<br />
1 1 9<br />
1 − 2 1 |A3| = - 6<br />
3 6 37<br />
x = A1 A = 8, y = A2 A = 2, z = A3 A<br />
6.2 Stelsels lineaire ongelijkheden met 1 onbekende<br />
Men lost ieder der ongelijkheden afzonderlijk op en de oplossing van het stelsel wordt gevormd<br />
door de waarden die aan al de ongelijkheden voldoen.<br />
Voorbeeld:<br />
(S) =<br />
x − 3 5<br />
− 4 < 2x<br />
−<br />
2 3<br />
⇔<br />
2x x − 2<br />
− 1 <<br />
5 3<br />
opl (S) = x ∈IR − 23<br />
9<br />
6.3 Oefeningen<br />
6.3.1 Los volgende stelsels op<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
4.<br />
5.<br />
− x + 2y − 3z = 2<br />
2x + y + 3z = 1<br />
4x + 7 y + 3z = 7<br />
− y + 3z = 1<br />
2x + 2y + z = 2<br />
4x + 5y − z = 5<br />
3x − y + z = 16<br />
x + 3y + 4z = 72<br />
x − y + z = −8<br />
x + 2y = 1<br />
3y − 5z = −11<br />
2z − 3x = −13<br />
1 1 3<br />
+ =<br />
x y 2<br />
1 1<br />
+ = 2<br />
y z<br />
1 1<br />
+ = 1<br />
z x<br />
6.3.2 Los volgende stelsels ongelijkheden op<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
x<br />
2<br />
− 4 ≥ 0<br />
( x − 3)( x + 5) < 0<br />
3 1<br />
<<br />
3x-2 x<br />
1<br />
(4 x - 1)(x + 3)<br />
3x −17<br />
1 2<br />
5<br />
< 0<br />
9 3<br />
Opl.: − k,1 + k, k<br />
5 5<br />
Opl.: ∅<br />
Opl.: { (12,20,0) }<br />
Opl.: { (5,-2,1) }<br />
4 4<br />
Opl.: 4, ,<br />
5 3<br />
] [ [ [ ∪<br />
Opl.: -5,-2 2,3<br />
1<br />
Opl.: 0, 4<br />
− < < Opl.: ] 4,9<br />
[<br />
_____________________________________________________________________________<br />
<strong>Algebra</strong> 44