klik hier voor de bijlage bij dit bericht ... - de Aardespiegel

Figuur 5.
www.aardespiegel.nu - donderdag 12 januari 2012 - tweede jaargang Nr. 11
De horizontale onderlijn van het grote vier-
kant dient nu tegen de afgezette gulden
snede te worden gevouwen. Ook dit is een
moeilijke stap. Op de foto is dit het punt net
boven de vinger. De vouwlijn wordt eerst
alleen rechts gemaakt...
Figuur 6.
...en nadat de linker ‘vleugel’ weer is open-
gevouwen ook rechts. Zorg ervoor dat het
papier mooi horizontaal blijft. Het vierkant is
nu zo ingedeeld dat een denkbeeldige vijf-
hoek met de punt naar boven zijn horizonta-
le basis heeft op de onderkant.
Figuur 7.
Nu dient het middelpunt van het grote vier-
kant, gemarkeerd door het snijpunt van het
centrale kruis, te worden gefixeerd. Het bo-
veneindpunt van de verticaal (de punt van
de denkbeeldige vijfhoek) wordt nu om het
gefixeerde punt op de horizontale onderlijn
gevouwen. Hierdoor ontstaat onder de basis-
lijn een driehoek met de gewenste afmeting
van 90°-54°-36° (zie intermezzo).
Figuur 8.
De verkregen uitstekende driehoek wordt
met de horizontaal als basis naar boven
gevouwen. Deze naar boven gevouwen drie-
hoek is de gulden driehoek.
Voor lijnstuk RS geldt nu volgens de stelling van Pythagoras:
RS = √((MR) 2 - (MS) 2 )
Door invulling van de bekende waarden geeft dit:
RS = √((1) 2 - (¼+¼√5) 2 ) = √(5/8 - 1/8√5)
Invulling van deze uitkomst samen met de bekende waarde voor PS in de vergelijking
(PR) 2 = (RS) 2 + (PS) 2
moet voor PR wederom de waarde φ opleveren. Bij invulling is dit inderdaad het geval en
hiermee is relatie 1 aangetoond:
RS= √(√(5/8 - 1/8√5)2 + (¾ - ¼√5)2) = √((5/8 - 1/8√5) + (7/8 - 3/8√5)) =√(3/2-1/2√5)
en √(3/2 - 1/2√5) = 1/2√5 - 1/2
beide zijden kwadrateren levert: 3/2 - 1/2√5 = 3/2 - 1/2√5 = Ф 2 = 1 – Ф
Voor de verschillende lijnstukken
in dit figuur gelden de
volgende bekende waarden:
a = 1; b = ½; c = ½ √5
MT = MR = MQ = 1
MP = ϕ = ½ √5 - ½
PQ = 1 – ϕ = 1½- ½ √5
PS = (1 – ϕ)/2 = ¾ - ¼√5
MS = MP + PS =
½√5 - ½ + ¾ - ¼√5 =
¼ + ¼√5
8 terug naar boven