klik hier voor de bijlage bij dit bericht ... - de Aardespiegel

Figuur 1.
www.aardespiegel.nu - donderdag 12 januari 2012 - tweede jaargang Nr. 11
Vouw het vierkant eerst in twee gelijke de-
len.
Figuur 2.
Vouw het vierkant vervolgens in vier gelijke
delen.
Figuur 3.
Vouw de bovenste helft in twee gelijke delen,
zodat er vier kleinere rechthoeken ontstaan.
Figuur 4.
Vouw nu (en dit is een moeilijke stap) de
denkbeeldige diagonaal van de linker bene-
den rechthoek van rechtsboven naar linkson-
der over de verticale middellijn. Hierdoor
wordt een gulden snede uitgezet op de on-
derste helft van de verticaal (zie wiskundig
intermezzo).
wiskundig intermezzo
Door de eerste drie vouwlijnen is op de bovenste helft van het papier een indeling ontstaan
in vier gelijke rechthoeken met lange zijde a en korte zijde b met a : b = 1 : ½
(zie figuur 3). De denkbeeldige diagonaal c is van ƒ voor de vouwlijn zoals gemaakt in
figuur 4. Volgens de stelling van Pythagoras heeft de schuine zijde c dan de waarde
√ ((1) 2 + (½) 2 ) = ½√5.
Door de vouw in figuur 4 wordt een gulden snede verhouding uitgezet op de verticaal
van het centraal gevouwen kruis, immers voor lijnstuk MP (zie figuur op de volgende
bladzijde) geldt de waarde ½√5 (diagonaal c) - ½ (zijde b). Het getal ½√5 - ½ heeft als
afronding de waarde 0,618 en staat bekent als de gulden snede (ϕ).
De waarde van ϕ is gedefinieerd als de tweedeling van een willekeurig lijnstuk waarbij
de verhouding van het grootste deel (waarde x) in relatie tot het geheel (hier de waarde
1) gelijk is aan de verhouding van het kleinste deel (waarde y) in relatie tot het grootste
deel (waarde x). Anders geformuleerd:
x : 1 = y : x
met voor y geldt: y = 1 – x en substitutie van deze relatie en kruislings vermenigvuldigen
en op 0 stellen geeft de kwadratische vergelijking:
x 2 + x – 1 = 0 met als oplossing: x = ½√5 - ½ (negatieve waarde vervalt).
In de vouwbewegingen van de figuren 5 en 6 wordt lijnstuk PQ in twee gelijke delen
gevouwen. De verkregen vouwlijn, met punt S als middelpunt, vormt de basis voor de
gewenste regelmatige vijfhoek die met de punt naar boven wordt geconstrueerd. In de
vouwbeweging van figuur 7 wordt lijnstuk MT op de basis gevouwen. Hierbij ontstaat
punt R als linksonder gelegen hoekpunt van de vijfhoek. Er geldt immers MT = MR. Indien
nu de vouwlijn uit figuur 6 de basiszijde van de gewenste vijfhoek is moeten de
volgende twee relaties gelden:
1) MP = RP = ϕ
2) α = 36˚ voor de gelijkbenige Δ MRQ
7 terug naar boven