Stelsels lineaire vergelijkingen ©Wisnet-HBO sept. 2010

Stelsels lineaire vergelijkingen
©Wisnet-HBO sept. 2010
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen gaat het beste intuïtief.
Je mag de volgende dingen met vergelijkingen doen:
Links en rechts met hetzelfde vermenigvuldigen
Links en rechts hetzelfde erbij optellen of aftrekken
Vergelijkingen van elkaar aftrekken of bij elkaar optellen.
Hou altijd het stelsel vergelijkingen bijelkaar en zorg ervoor dat je steeds een
nieuw stelsel hebt wat er weer eenvoudiger uit gaat zien.
Voorbeeld eliminatiemethode:
2x 3y 4
3x − 2y 5
Vermenigvuldig de eerste vergelijking links en rechts met 2 en de tweede
vergelijking met 3.
4x 6y 8
9x − 6y 15
Schrijf een van de twee vergelijkingen nu over en de tweede vergelijking kun je
bijvoorbeeld krijgen door de twee bovenstaande vergelijkingen bij elkaar op te
tellen (de y wordt daarmee geëlimineerd).
2x 3y 4
13x 23
Uit de onderste vergelijking is gemakkelijk x te verkrijgen:
x 23
13
Invullen in de bovenste vergelijking levert:
46 3y 4
13
Hierin kan 3y berekend worden:

De oplossing is dus
3y 4 − 46
13
3y 52
13
3y 6 13
y 2 13
x 23
13
y 2
13
− 46
13

Voorbeeld substitutiemethode:
Maak uit de eerste vergelijking y vrij.
Substitueer y in de tweede vergelijking:
2x − y 1
3x − 2y 5
y 2x − 1
9x − 6y 15
y 2x − 1
9x − 62x − 1 15
Werk de haakjes weg uit de tweede vergelijking
Herleid de tweede vergelijking:
y 2x − 1
9x − 12x 6 15
y 2x − 1
−3x 9
Uit de tweede vergelijking volgt: x −3.
Dit invullen in de eerste vergelijking: y −6 − 1 −7
De oplossing is dus:
x −3
y −7

Voorbeeld van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden
Bij stelsels van drie vergelijkingen met drie onbekenden maak je combinaties.
Combineer eerst twee vergelijkingen naar keuze en elimineer een van de
onbekenden.
Neem dan nog een combinatie van twee andere vergelijkingen en elimineer
diezelfde onbekende.
Je houdt dan twee vergelijkingen met twee onbekenden over en dan is het weer
als voorgaande voorbeelden.
Door invullen kun je dan altijd de derde onbekende berekenen.
Je mag altijd zelf weten waar je invult dus doe handig!
2a − 3b 4c 1
4a − 6b − 3c 2
4b 3c 3
Eerst even kijken wat het gemakkelijkste is:
De derde vergelijking bevat maar twee onbekenden, dus het is handig om de
eerste twee vergelijkingen eerst maar eens te combineren en a te elimineren.
Dat doen we door de eerste vergelijking twee maal te doen:
4a − 6b 8c 2
4a − 6b − 3c 2
4b 3c 3
De eerste twee vergelijkingen van elkaar aftrekken, en we hebben geluk! Daar
valt niet alleen a weg maar ook b.
We krijgen dan het volgende stelsel van twee vergelijkingen met twee
onbekenden:
11c 0
4b 3c 3
Uit de eerste van bovenstaande twee vergelijkingen krijgen we c 0
Invullen in de tweede: 4b 3 dus b 3
4 .
Nu b en c invullen in bijvoorbeeld de eerste vergelijking van het oorspronkelijke
stelsel.
De oplossing is dus:
4a − 9 2
2
a 13 8
a 13 8
b 3 4
c 0