Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek 4 - Plantyn
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek 4 - Plantyn
Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek 4 - Plantyn
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
4<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong><br />
Copyright<br />
<strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>
Copyright
4 <strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong><br />
<strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong><br />
4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek<br />
4.1.1 S<strong>in</strong>us, cos<strong>in</strong>us en tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek ..................................................... 106<br />
4.1.2 Goniometrische getallen en de rekenmach<strong>in</strong>e ........................................................ 113<br />
4.1.3 Verband tussen goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek ............................. 115<br />
Samenvatt<strong>in</strong>g ........................................................................................................... 118<br />
4.2 Toepass<strong>in</strong>gen<br />
4.2.1 Oplossen van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> ................................................................ 119<br />
4.2.2 Vraagstukken ............................................................................................................ 123<br />
Herhal<strong>in</strong>g: voor wie iets meer wil .................................................................... 131<br />
Junior Wiskunde Olympiade ................................................................................ 134<br />
Copyright
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
104<br />
Studiewijzer<br />
Leerdoelen Th<br />
1 De s<strong>in</strong>us, de cos<strong>in</strong>us en de tangens van <strong>een</strong> scherpe<br />
hoek van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> def<strong>in</strong>iëren.<br />
blz. 107 -<br />
109<br />
2 Bovenstaande def<strong>in</strong>ities toepassen. 1, 2, 3 7 5, 6, 8, 47,<br />
49<br />
3 Een hoek tekenen als <strong>een</strong> goniometrisch getal<br />
gegeven is.<br />
4<br />
4 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> hoek berekenen<br />
met de rekenmach<strong>in</strong>e.<br />
9, 11, 38<br />
5 Bij <strong>een</strong> gegeven goniometrisch getal de grootte van<br />
de hoek berekenen.<br />
10, 38 12<br />
6 De hoofdformule van de goniometrie formuleren. blz. 115<br />
7 De hoofdformule van de goniometrie bewijzen. blz. 115<br />
8 Het verband tussen de s<strong>in</strong>us, de cos<strong>in</strong>us en de<br />
tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek formuleren.<br />
blz. 116<br />
9 Het verband tussen de s<strong>in</strong>us, de cos<strong>in</strong>us en de<br />
tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek bewijzen.<br />
blz. 116<br />
10 Bovenstaande formules gebruiken om goniometrische<br />
getallen te berekenen.<br />
13 14 48<br />
11 Hoeken en lengten berekenen <strong>in</strong> <strong>rechthoekige</strong><br />
<strong>driehoek</strong>en.<br />
12 Vraagstukken oplossen door hoeken en lengten te<br />
berekenen <strong>in</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en.<br />
15 16, 17, 18,<br />
21, 22, 30,<br />
32, 33, 42,<br />
44<br />
26, 27, 28,<br />
31, 34, 35,<br />
39, 40, 41,<br />
43, 45, 46<br />
13 Hoeken en lengten berekenen <strong>in</strong> ruimtefiguren. 25<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
19, 20, 24,<br />
29, 51, 52<br />
23, 29, 36,<br />
37, 50
4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek<br />
12%<br />
Een boot ligt voor anker. Door de strom<strong>in</strong>g maakt de<br />
ankerkett<strong>in</strong>g <strong>een</strong> hoek van 52° met het wateroppervlak. Het<br />
gedeelte van de ankerkett<strong>in</strong>g dat onder water zit, is 12,7 meter<br />
lang.<br />
Hoe diep is het meer?<br />
Bij <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en is er <strong>een</strong> verband tussen de scherpe hoeken: ze zijn<br />
complementair. Je hebt er ook <strong>een</strong> verband gevonden tussen de zijden: het kwadraat van de<br />
schu<strong>in</strong>e zijde is gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.<br />
Om dit probleem op te lossen, moet je echter ook verbanden kennen tussen de zijden en de<br />
hoeken.<br />
In DABC is A = 90°.<br />
[ BC ] is de schu<strong>in</strong>e zijde. [ AB ] en [ AC ] zijn rechthoekszijden.<br />
[ AC ] noemen we de overstaande rechthoekszijde van B en [ AB ] de<br />
aanliggende rechthoekszijde van B .<br />
Je kunt ook de rechthoekszijden benoemen <strong>in</strong> functie van C . Dan is [ AC ]<br />
de aanliggende rechthoekszijde en [ AB ] de overstaande rechthoekszijde.<br />
Copyright<br />
4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek 105<br />
A<br />
B<br />
C<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
401<br />
106<br />
4.1.1 S<strong>in</strong>us, cos<strong>in</strong>us en tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek<br />
S<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek<br />
Zoekwerk 1<br />
We zoeken <strong>een</strong> verband tussen de lengte van de zijden en de grootte van <strong>een</strong> scherpe hoek.<br />
Voorbeeld 1<br />
Bij elk van de <strong>driehoek</strong>en is de grootte van <strong>een</strong> scherpe hoek gegeven en de lengte van de<br />
drie zijden.<br />
Bereken de verhoud<strong>in</strong>g van de overstaande rechthoekszijde van de gegeven scherpe hoek<br />
en de schu<strong>in</strong>e zijde op 0,01 nauwkeurig.<br />
4,78<br />
C<br />
34°<br />
B 3,97 A<br />
2,67<br />
40°<br />
3,15<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
4,87<br />
D<br />
E<br />
34°<br />
____ | AC |<br />
= _____ | DF |<br />
| BC | | EF |<br />
Wat stel je vast?<br />
3,28<br />
5,87<br />
F<br />
L<br />
4,11<br />
= | KM |<br />
_____<br />
| LM | =<br />
Voorbeeld 2<br />
Vervolledig de teken<strong>in</strong>g zodat je twee <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en krijgt.<br />
Bereken dezelfde verhoud<strong>in</strong>g als <strong>in</strong> het eerste voorbeeld.<br />
Wat stel je vast?<br />
Verklaar.<br />
40°<br />
40°<br />
M<br />
2,65<br />
K
Rechthoekige <strong>driehoek</strong>en met <strong>een</strong>zelfde scherpe<br />
hoek zijn gelijkvormig. (gelijkvormigheidskenmerk HH)<br />
Uit de def<strong>in</strong>itie van gelijkvormige <strong>driehoek</strong>en volgt<br />
dat over<strong>een</strong>komstige zijden <strong>een</strong> evenredigheid<br />
vormen.<br />
____ | XY |<br />
| AB | = ____ | YZ |<br />
| BC |<br />
We verwisselen de middelste termen.<br />
____ | XY |<br />
| YZ | = ____ | AB |<br />
| BC |<br />
Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen:<br />
‘In <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en met <strong>een</strong>zelfde scherpe hoek a is de verhoud<strong>in</strong>g van de overstaande<br />
rechthoekszijde van de hoek a en de schu<strong>in</strong>e zijde hetzelfde.’<br />
Deze verhoud<strong>in</strong>g is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de<br />
s<strong>in</strong>us van de scherpe hoek a.<br />
De s<strong>in</strong>us van de hoek a noteren we s<strong>in</strong> a.<br />
| XY |<br />
s<strong>in</strong> a = ____<br />
| YZ | = ____ | AB |<br />
| BC |<br />
DEFINITIE<br />
De s<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> is gelijk aan de verhoud<strong>in</strong>g<br />
van de overstaande rechthoekszijde en de schu<strong>in</strong>e zijde.<br />
In DABC met <br />
| AC |<br />
A = 90° is s<strong>in</strong> 52° = ____ 3,86<br />
= ____ = 0,788<br />
| BC | 4,90<br />
De s<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek drukt <strong>een</strong> verhoud<strong>in</strong>g uit tussen twee lengten en is dus <strong>een</strong><br />
reëel getal.<br />
Het vraagstuk van de boot kun je nu oplossen.<br />
Een boot ligt voor anker. Door de strom<strong>in</strong>g maakt de ankerkett<strong>in</strong>g<br />
<strong>een</strong> hoek van 52° met het wateroppervlak. Het gedeelte van de ankerkett<strong>in</strong>g<br />
dat onder water zit, is 12,7 meter lang.<br />
Hoe diep is het meer?<br />
Copyright<br />
4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek 107<br />
Y<br />
X<br />
α<br />
A<br />
4,90<br />
Z<br />
B<br />
α<br />
C<br />
B<br />
52°<br />
3,02 A<br />
C<br />
3,86<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
108<br />
Gegeven: DABC met A = 90°<br />
<br />
Gevraagd: | AC |<br />
Oploss<strong>in</strong>g:<br />
C 1 = 52°<br />
| BC | = 12,7 m<br />
In DABC met <br />
A = 90°:<br />
s<strong>in</strong> | AC |<br />
B = ____<br />
| BC |<br />
| AC |<br />
s<strong>in</strong> 52° = ____<br />
12,7<br />
| AC | = 12,7 ∙ s<strong>in</strong> 52°<br />
| AC | = 10<br />
Het meer is 10 m diep.<br />
Cos<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek<br />
Omdat DXYZ gelijkvormig is met DABC,<br />
kunnen we ook nog <strong>een</strong> andere evenredigheid<br />
afleiden.<br />
| ____ XZ |<br />
| AC | =<br />
____ | YZ |<br />
| BC |<br />
We verwisselen de middelste termen.<br />
| ____ XZ |<br />
| YZ | =<br />
____ | AC |<br />
| BC |<br />
Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen:<br />
‘In <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en met <strong>een</strong>zelfde scherpe hoek a is de verhoud<strong>in</strong>g van de<br />
aanliggende rechthoekszijde van de hoek a en de schu<strong>in</strong>e zijde hetzelfde.’<br />
Deze verhoud<strong>in</strong>g is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de<br />
cos<strong>in</strong>us van de scherpe hoek a.<br />
De cos<strong>in</strong>us van de hoek a noteren we cos a.<br />
| XZ |<br />
cos a = _____<br />
| YZ | = ____ | AC |<br />
| BC |<br />
DEFINITIE<br />
De cos<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> is gelijk aan de verhoud<strong>in</strong>g<br />
van de aanliggende rechthoekszijde en de schu<strong>in</strong>e zijde.<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
Y<br />
X<br />
12,7 m<br />
B<br />
12,7 m<br />
B<br />
52°<br />
α<br />
52°<br />
52°<br />
A<br />
Z<br />
1<br />
1<br />
38°<br />
B<br />
C<br />
A<br />
C<br />
A<br />
α<br />
C
In DABC met <br />
| AB |<br />
A = 90° is cos 52° = ____ 3,02<br />
= ____ = 0,616<br />
| BC | 4,90<br />
De cos<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek drukt <strong>een</strong> verhoud<strong>in</strong>g uit tussen<br />
twee lengten en is dus <strong>een</strong> reëel getal.<br />
Tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek<br />
Uit de gelijkvormigheid van DXYZ en DABC<br />
kan nog <strong>een</strong> andere evenredigheid afgeleid worden.<br />
____ | XY |<br />
| AB |<br />
| XZ |<br />
= _____<br />
| AC |<br />
We verwisselen de middelste termen.<br />
_____ | XY |<br />
| XZ | = ____ | AB |<br />
| AC |<br />
Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen:<br />
‘In <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en met <strong>een</strong>zelfde scherpe hoek a is de verhoud<strong>in</strong>g van de<br />
overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde van de hoek a hetzelfde.’<br />
Deze verhoud<strong>in</strong>g is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de<br />
tangens van de scherpe hoek a.<br />
De tangens van de hoek a noteren we tan a.<br />
| XY |<br />
tan a = _____<br />
| XZ | = ____ | AB |<br />
| AC |<br />
DEFINITIE<br />
De tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> is gelijk aan de verhoud<strong>in</strong>g<br />
van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde.<br />
In DABC met <br />
| AC |<br />
A = 90° is tan 52° = ____ = ____ 3,86<br />
= 1,278<br />
| AB | 3,02<br />
De tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek drukt <strong>een</strong> verhoud<strong>in</strong>g uit tussen<br />
twee lengten en is dus <strong>een</strong> reëel getal.<br />
Goniometrische getallen<br />
De s<strong>in</strong>us, de cos<strong>in</strong>us en de tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek noemen we goniometrische<br />
getallen van die hoek.<br />
In <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> is de schu<strong>in</strong>e zijde steeds de langste zijde.<br />
Bijgevolg liggen de s<strong>in</strong>us en de cos<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek steeds tussen 0 en 1.<br />
Copyright<br />
De tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek is groter dan 0.<br />
4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek 109<br />
Y<br />
X<br />
4,90<br />
B<br />
52°<br />
3,02 A<br />
α<br />
4,90<br />
A<br />
Z<br />
B<br />
α<br />
C<br />
3,86<br />
C<br />
B<br />
52°<br />
3,02 A<br />
C<br />
3,86<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
110<br />
Een geheugensteuntje van ‘alle tijden’!!<br />
Een schip is aan het z<strong>in</strong>ken en de kapite<strong>in</strong> kan nog net het volgende bericht verzenden:<br />
Opdrachten<br />
1 Schrijf met behulp van | XY | , | YZ | en | XZ | .<br />
a s<strong>in</strong> Y = d s<strong>in</strong> Z =<br />
b cos Y = e cos Z =<br />
c tan Y = f tan Z =<br />
2 Vul <strong>in</strong> met s<strong>in</strong>, cos of tan.<br />
a<br />
b<br />
c<br />
_____ | RT |<br />
| RQ | =<br />
_____ | RT |<br />
| RQ | =<br />
| TQ |<br />
_____<br />
| RT | =<br />
<br />
R d<br />
<br />
Q e<br />
<br />
R f<br />
3 Doorstreep de onjuiste antwoorden.<br />
tan | AB |<br />
C = ____<br />
| BC |<br />
tan | AD |<br />
C = _____<br />
| CD |<br />
‘sos castoa’<br />
s<strong>in</strong>us cos<strong>in</strong>us tangens<br />
_____ | RT |<br />
| TQ | =<br />
| TQ |<br />
_____<br />
| RQ | =<br />
| TQ |<br />
_____<br />
| RQ | =<br />
tan | ED |<br />
C = _____<br />
| EC |<br />
tan | ED |<br />
C = _____<br />
| CD |<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
<br />
Q<br />
<br />
R<br />
<br />
Q<br />
C<br />
Y<br />
X Z<br />
Q<br />
R T<br />
E<br />
A<br />
D<br />
B
4<br />
5<br />
Teken <strong>een</strong> scherpe hoek a zodat<br />
a s<strong>in</strong> a = 3<br />
_<br />
7<br />
b cos a = 2<br />
_<br />
3<br />
c tan a = 12<br />
__<br />
5<br />
De s<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong><br />
is altijd kle<strong>in</strong>er dan de tangens van deze hoek. Verklaar.<br />
Copyright<br />
4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek 111<br />
B<br />
C<br />
A<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
112<br />
6<br />
7<br />
8<br />
Verb<strong>in</strong>d wat bij elkaar hoort.<br />
1 | AB | • • a 25 ∙ s<strong>in</strong> 40°<br />
2 | DC | • • b 25 ∙ cos 40°<br />
3 | AD | • • c<br />
4 | BC | • • d<br />
Waar of niet waar? Verklaar.<br />
a s<strong>in</strong> a is <strong>een</strong> hoek.<br />
b cos b is <strong>een</strong> getal.<br />
c Er bestaat <strong>een</strong> hoek a zo dat tan a > 0.<br />
d Er bestaat <strong>een</strong> hoek a zo dat cos a < −1.<br />
25 ______<br />
s<strong>in</strong> 40°<br />
_______ 25<br />
tan 40°<br />
In <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> DABC met [ AH ] de hoogte op de schu<strong>in</strong>e zijde<br />
is | AC | 2 = | BC | ∙ | HC | .<br />
Bewijs de eigenschap van <strong>een</strong> rechthoekszijde met goniometrie.<br />
8 Def<strong>in</strong>ieer cos a <strong>in</strong> twee verschillende <strong>driehoek</strong>en.<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
A<br />
D<br />
40° 25m<br />
C<br />
B
4.1.2 Goniometrische getallen met de rekenmach<strong>in</strong>e<br />
Met <strong>een</strong> rekenmach<strong>in</strong>e is het mogelijk om goniometrische getallen van <strong>een</strong> hoek nauwkeurig<br />
te bepalen.<br />
De grootte van <strong>een</strong> hoek kan uitgedrukt worden <strong>in</strong> verschillende <strong>een</strong>heden.<br />
De graad en de radiaal zijn de meest gebruikte <strong>een</strong>heden.<br />
In dit boek gebruiken we de graad.<br />
• Je rekenmach<strong>in</strong>e met graden laten werken<br />
Druk op MODE , plaats de cursor op DEGREE.<br />
Druk op ENTER .<br />
Druk op CLEAR en je krijgt <strong>een</strong> leeg scherm.<br />
• Van hoek naar goniometrisch getal<br />
Voorbeelden<br />
We berekenen cos 62,15°.<br />
Druk op COS , voer 62,15 <strong>in</strong> en druk op ENTER .<br />
cos 62,15° = 0,467 158 405 2<br />
We berekenen s<strong>in</strong> 30°.<br />
Druk op SIN , voer 30 <strong>in</strong> en druk op ENTER .<br />
s<strong>in</strong> 30° = 0,5<br />
• Van goniometrisch getal naar hoek<br />
Voorbeeld<br />
We zoeken A als tan A = 1,673 78.<br />
Druk op 2ND TAN, voer 1,673 78 <strong>in</strong> en druk op<br />
ENTER .<br />
A = 59,143 790 42°<br />
• Het kwadraat van <strong>een</strong> goniometrisch getal berekenen<br />
Voorbeeld<br />
We berekenen het kwadraat van cos 65°.<br />
We noteren: co s<br />
4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek 113<br />
2 65°<br />
Voer cos 65° <strong>in</strong>, druk op x2 en op ENTER .<br />
co s 2 65°<br />
Copyright<br />
= 0,178 606 195 2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
114<br />
Opdrachten<br />
9 Bereken op 0,001 nauwkeurig.<br />
a s<strong>in</strong> 34° = d cos 85° =<br />
b cos 25,5° = e tan 45° =<br />
c tan 82,75° = f s<strong>in</strong> 1,5° =<br />
10 Bereken de hoek a op 0,01° nauwkeurig.<br />
a s<strong>in</strong> a = 0,111 Þ a = d s<strong>in</strong> a = 0,435 Þ a =<br />
b tan a = 15,325 Þ a = e tan a = 1 Þ a =<br />
c cos a = 0,75 Þ a = f cos a = 0,001 Þ a =<br />
11 Bereken op 0,001 nauwkeurig.<br />
12<br />
a si n 2 24° = d co s 2 15° =<br />
b co s 2 65,5° = e ta n 2 45° =<br />
c ta n 2 22,75° = f si n 2 13,5° =<br />
Verklaar: AB // CD<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
A<br />
Het is <strong>een</strong> goede gewoonte<br />
om bij het <strong>in</strong>voeren van<br />
bijvoorbeeld s<strong>in</strong> 32° je <strong>in</strong>voer<br />
af te sluiten met <strong>een</strong> haakje.<br />
Het moet als je bijvoorbeeld<br />
si n 2 32° wil berekenen.<br />
B<br />
82 41<br />
C<br />
E<br />
60°<br />
D
402<br />
4.1.3 Verband tussen goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek<br />
Zoekwerk 2<br />
We zoeken <strong>een</strong> verband tussen si n 2 a en co s 2 a.<br />
Voorbeeld 1<br />
DABC met <br />
A = 90° en <br />
B = 54,2°<br />
Bereken: si n 2 54,2° + co s 2 54,2° =<br />
Herhaal dit voor C .<br />
Wat stel je vast?<br />
Voorbeeld 2<br />
Kies de grootte van <strong>een</strong> scherpe hoek a.<br />
Bereken si n 2 a + co s 2 a.<br />
Kom je tot hetzelfde besluit?<br />
EIGENSCHAP<br />
A C<br />
Copyright<br />
4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek 115<br />
B<br />
54,2°<br />
In <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> met scherpe hoek a geldt:<br />
si n 2 a + co s 2 a = 1<br />
Hoofdformule van de goniometrie<br />
We bewijzen deze eigenschap.<br />
Gegeven: DABC met <br />
A = 90°<br />
scherpe hoek a<br />
Te bewijzen: si n 2 a + co s 2 a = 1<br />
Bewijs:<br />
In DABC met <br />
A = 90°:<br />
si n 2 a + co s 2 a =<br />
b _<br />
a<br />
(<br />
= __<br />
a<br />
) 2<br />
+<br />
(<br />
2 2 b<br />
+ __ c<br />
2 a 2<br />
= b 2 + c 2<br />
_____<br />
= a 2<br />
__<br />
a 2<br />
= 1<br />
a 2<br />
c _<br />
a<br />
) 2<br />
(def<strong>in</strong>itie s<strong>in</strong>us en cos<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek)<br />
(stell<strong>in</strong>g van Pythagoras)<br />
c<br />
B<br />
α<br />
A<br />
b<br />
C<br />
a<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
403<br />
116<br />
Zoekwerk 3<br />
We zoeken <strong>een</strong> verband tussen s<strong>in</strong> a, cos a en tan a.<br />
Voorbeeld 1<br />
DABC met A = 90° en B = 54,2°<br />
s<strong>in</strong> 54,2°<br />
Bereken: ________ = tan 54,2° =<br />
cos 54,2°<br />
Herhaal dit voor <br />
C .<br />
Wat stel je vast?<br />
Voorbeeld 2<br />
Kies de grootte van <strong>een</strong> scherpe hoek a.<br />
Bereken _____ s<strong>in</strong> a<br />
cos a en tan a.<br />
Kom je tot hetzelfde besluit?<br />
EIGENSCHAP<br />
In <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> met scherpe hoek a geldt:<br />
_____ s<strong>in</strong> a<br />
cos a = tan a<br />
We bewijzen deze eigenschap.<br />
Gegeven: DABC met <br />
A = 90°<br />
scherpe hoek a<br />
Te bewijzen:<br />
Bewijs:<br />
_____ s<strong>in</strong> a<br />
cos a = tan a<br />
In DABC met A = 90°:<br />
_____ s<strong>in</strong> a<br />
cos a =<br />
b _<br />
__ a<br />
c<br />
(def<strong>in</strong>itie s<strong>in</strong>us en cos<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek)<br />
_<br />
a<br />
=<br />
b _<br />
a ∙ a _<br />
c<br />
= b<br />
_<br />
c<br />
= tan a (def<strong>in</strong>itie tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek)<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
B<br />
54,2°<br />
A C<br />
c<br />
B<br />
α<br />
A<br />
b<br />
C<br />
a
Opdrachten<br />
13 Als cos a = 2 _ , bereken dan s<strong>in</strong> a en tan a zonder rekenmach<strong>in</strong>e.<br />
3<br />
14<br />
Als tan a = 3<br />
_<br />
4 , bereken dan s<strong>in</strong> a en cos a zonder rekenmach<strong>in</strong>e.<br />
Copyright<br />
4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek 117<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
118<br />
SAmENVATTING<br />
DEFINITIES<br />
In <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> is:<br />
de overstaande rechthoekszijde<br />
• de s<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek = _________________________<br />
de schu<strong>in</strong>e zijde<br />
s<strong>in</strong> | AC |<br />
B = ____<br />
| BC |<br />
de aanliggende rechthoekszijde<br />
• de cos<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek = _________________________<br />
de schu<strong>in</strong>e zijde<br />
cos | AB |<br />
B = ____<br />
| BC |<br />
de overstaande rechthoekszijde<br />
• de tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek = _________________________<br />
de aanliggende rechthoekszijde<br />
tan | AC |<br />
B = ____<br />
| AB |<br />
EIGENSCHAPPEN<br />
In <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> met scherpe hoek a geldt:<br />
• si n 2<br />
•<br />
a + co s 2 a = 1 (hoofdformule van de goniometrie)<br />
_____ s<strong>in</strong> a<br />
cos a = tan a<br />
Goniometrische getallen zonder rekenmach<strong>in</strong>e<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
C<br />
A<br />
B
4.2 Toepass<strong>in</strong>gen<br />
4.2.1 Oplossen van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong><br />
Als we van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> <strong>een</strong> zijde en <strong>een</strong> scherpe hoek of twee zijden kennen,<br />
kunnen we de andere zijde(n) en hoek(en) berekenen.<br />
Bij het oplossen van <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en moet je de ontbrekende elementen berekenen.<br />
Hierbij gebruik je de metrische eigenschappen <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> en de goniometrische<br />
getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek.<br />
Voorbeeld 1<br />
Gegeven: DABC met A = 90°<br />
B = 23° en | AB | = 20<br />
Gevraagd:<br />
Oploss<strong>in</strong>g:<br />
In DABC met <br />
A = 90°:<br />
B + C = 90°<br />
23° + C = 90°<br />
<br />
C = 67°<br />
<br />
C , | AC | en | BC |<br />
Geef je resultaat op 0,01 nauwkeurig.<br />
| AC |<br />
tan 23° = ____<br />
20<br />
| AC | = 20 ∙ tan 23°<br />
= 8,49<br />
cos 23° =<br />
20 ____<br />
| BC |<br />
| BC | = _______ 20<br />
cos 23°<br />
= 21,73<br />
Je kunt je oploss<strong>in</strong>g steeds controleren met <strong>een</strong> niet-gebruikte eigenschap of def<strong>in</strong>itie.<br />
Bereken C met tan C : Controleer met de stell<strong>in</strong>g van Pythagoras:<br />
tan C =<br />
20 ____ = 2,36<br />
8,49<br />
<br />
C = 67°<br />
| AB | 2 + | AC | 2 = 2 0 2 + 8,4 9 2 = 472,08<br />
√ _<br />
472,08 = 21,73 = | BC |<br />
Omdat je hier <strong>in</strong> je controle rekent met afgeronde getallen, kunnen je resultaten kle<strong>in</strong>e afwijk<strong>in</strong>gen<br />
hebben.<br />
Copyright4.2<br />
Toepass<strong>in</strong>gen 119<br />
20<br />
B<br />
23°<br />
A C<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
120<br />
Voorbeeld 2<br />
Gegeven: DPQR met <br />
P = 90°<br />
| PQ | = 8 en | QR | = 10<br />
Gevraagd: | PR | , <br />
Q en <br />
R<br />
Geef je resultaat op 0,01 nauwkeurig.<br />
Oploss<strong>in</strong>g:<br />
In DPQR met <br />
P = 90°:<br />
1 0 2 = 8 2 + | PR | 2<br />
1 0 2 − 8 2 = | PR | 2<br />
| PR | = √ _<br />
36<br />
= 6<br />
s<strong>in</strong> R =<br />
8 __<br />
10<br />
Controle:<br />
<br />
R = 53,13°<br />
(stell<strong>in</strong>g van Pythagoras)<br />
cos Q =<br />
8 __<br />
10<br />
<br />
Q = 36,87°<br />
Bereken de som van de scherpe hoeken: Bereken Q met tan Q :<br />
Q + R = 36,87° + 53,13° = 90° tan Q = 6 _<br />
8<br />
<br />
Q = 36,87°<br />
Elementaire opdrachten over het oplossen van <strong>rechthoekige</strong><br />
<strong>driehoek</strong>en v<strong>in</strong>d je <strong>in</strong> het bestand ‘404 oplossen van <strong>rechthoekige</strong><br />
<strong>driehoek</strong>en’.<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
Q<br />
10<br />
8<br />
R<br />
P
404<br />
Opdrachten<br />
15 Bereken de ontbrekende zijden en hoeken van DABC met <br />
A = 90°.<br />
Rond <strong>in</strong>dien nodig af op 0,1 nauwkeurig.<br />
16<br />
17<br />
| BC | | AC | | AB |<br />
a 4,2 m 50°<br />
b 35 m 12,5°<br />
c 3,6 m 1,6 m<br />
d 3 m 4 m<br />
Gegeven: DABC is gelijkzijdig<br />
DE ^ CB en | DB | = 5<br />
Bereken | EB | .<br />
Gegeven: DABC, A = 90°, B = 40°, | BC | = 5 m<br />
Bereken op 1 cm nauwkeurig:<br />
a | AB | en | AC |<br />
b | AH |<br />
c | BH | en | CH |<br />
Copyright4.2<br />
Toepass<strong>in</strong>gen 121<br />
<br />
B<br />
C<br />
B<br />
A<br />
A<br />
<br />
C<br />
E<br />
D<br />
5<br />
H<br />
B<br />
C<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
122<br />
18<br />
19<br />
20<br />
Bereken op 1 mm nauwkeurig de straal van de cirkel<br />
met middelpunt O.<br />
Onderzoek of de volgende uitspraak waar is <strong>in</strong> DACM<br />
met A = 90°.<br />
Als M = 15° en 1 M = 30°, dan is | AB | = 2 1 _ | AC | .<br />
2<br />
In gelijkbenige DABC is tophoek <br />
A gelijk aan 48° en de basis 36 m.<br />
Bereken<br />
a de basishoeken van DABC<br />
b de lengte van de benen op 1 cm nauwkeurig<br />
c de hoogte uit de top op 1 cm nauwkeurig<br />
d de oppervlakte op 1 c m 2 nauwkeurig<br />
Bij het oplossen van <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en moet je <strong>een</strong> verklar<strong>in</strong>g<br />
geven. Daarvoor moet je eigenschappen van <strong>driehoek</strong>en<br />
kennen.<br />
4 cm<br />
19 Gebruik de tangens van <strong>een</strong> hoek.<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
C<br />
C<br />
B<br />
A<br />
O<br />
2<br />
A<br />
1<br />
A<br />
48°<br />
C 36 m<br />
55°<br />
B<br />
M<br />
B
4.2.2 Vraagstukken<br />
Voorbeeld 1<br />
In <strong>een</strong> smal steegje met <strong>een</strong> breedte van één meter staat <strong>een</strong> ladder<br />
tegen <strong>een</strong> muur. De ladder is 3,6 m lang.<br />
Om stevig te staan, moet de ladder <strong>een</strong> hoek tussen 70° en 75° vormen<br />
met de grond.<br />
Kan deze ladder veilig geplaatst worden?<br />
Op welke hoogte steunt de ladder tegen de muur?<br />
Gegeven: DABC met <br />
A = 90°:<br />
| AB | = 1 m en | BC | = 3,6 m<br />
Gevraagd:<br />
Oploss<strong>in</strong>g:<br />
B en | AC |<br />
In DABC met <br />
A = 90°:<br />
cos B =<br />
1 ___<br />
3,6<br />
<br />
B = 73,87°<br />
De ladder kan veilig geplaatst worden.<br />
Controle:<br />
| AC |<br />
tan 73,87° = ____<br />
1<br />
| AC | = 1 ∙ tan 73,87°<br />
= 3,5<br />
3, 6 2 = 1 2 +<br />
3, 6 2 − 1 = | AC | 2<br />
| AC | = √ _<br />
3, 6 2 − 1<br />
= 3,5<br />
| AC | 2 (stell<strong>in</strong>g van Pythagoras)<br />
De ladder steunt op <strong>een</strong> hoogte van 3,5 m tegen<br />
de muur.<br />
Bij het oplossen van oefen<strong>in</strong>gen gebruik je best zo veel mogelijk<br />
de gegevens en niet de berekende waarden. Zo voorkom je dat je<br />
met <strong>een</strong> fout resultaat verder werkt.<br />
3,6 m<br />
Copyright4.2<br />
Toepass<strong>in</strong>gen 123<br />
B<br />
1 m<br />
C<br />
A<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
124<br />
Voorbeeld 2<br />
Een piramide heeft als grondvlak <strong>een</strong> vierkant<br />
met <strong>een</strong> zijde van 12 cm en de hoogte is 8 cm.<br />
Bereken a op 0,01° nauwkeurig.<br />
Oploss<strong>in</strong>g:<br />
• We berekenen | AS | .<br />
| AS | = 1<br />
_<br />
2<br />
| AC | (diagonalen-kenmerk<br />
In DABC met <br />
B = 90°:<br />
parallellogram ABCD)<br />
| AC | 2 = 1 2 2 + 1 2 2 ( stell<strong>in</strong>g van Pythagoras )<br />
| AC | = √ _<br />
288<br />
| AS | = 1 _ | AC | =<br />
1<br />
2<br />
_<br />
2<br />
• We berekenen a.<br />
288 = 8,48... ® A<br />
√_<br />
In DAST met <br />
S = 90°:<br />
tan a =<br />
8 __<br />
A<br />
a = 43,31°<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
B<br />
B<br />
B<br />
C<br />
C<br />
C<br />
8 cm<br />
S<br />
12 cm<br />
8 cm<br />
S<br />
12 cm<br />
8 cm<br />
S<br />
12 cm<br />
T<br />
T<br />
T<br />
α<br />
α<br />
α<br />
A<br />
A<br />
A<br />
D<br />
D<br />
D
21<br />
Opdrachten<br />
In ruit ABCD is | AC | = 14 cm en | BD | = 32 cm.<br />
Bereken de hoeken van de ruit en de lengte van de zijde op 0,1 nauwkeurig.<br />
Welk punt ligt het dichtst bij de rechte a?<br />
22 A B<br />
5 cm<br />
Copyright4.2<br />
Toepass<strong>in</strong>gen 125<br />
20°<br />
3,4 cm<br />
30°<br />
a<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
126<br />
Een vliegtuig vliegt naar C. In A merkt de piloot dat<br />
hij niet genoeg brandstof heeft. Hij moet <strong>een</strong><br />
tussenland<strong>in</strong>g maken <strong>in</strong> B om te gaan tanken.<br />
De piloot wijkt hiervoor 20° af van zijn koers.<br />
B ligt op 870 km van A.<br />
Tijdens de tussenstop berekent hij dat hij nog<br />
1 300 km moet vliegen om C te bereiken.<br />
23 A C<br />
20º<br />
870 km<br />
1 300 km<br />
Hoeveel kilometer heeft de piloot nu meer gevlogen dan oorspronkelijk gepland?<br />
Bij bereken<strong>in</strong>gen rond je enkel het e<strong>in</strong>dresultaat af. Tussenresultaten<br />
kun je eventueel opslaan <strong>in</strong> je rekenmach<strong>in</strong>e en opvragen als<br />
je ze nodig hebt.<br />
Het rekenen met afgeronde getallen kun je ook vermijden door je<br />
rekenmach<strong>in</strong>e pas op het e<strong>in</strong>de van de oefen<strong>in</strong>g te gebruiken.<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
B
24<br />
25<br />
26<br />
27<br />
Bereken, op 1 m m 3 nauwkeurig, de <strong>in</strong>houd van de kegel<br />
die je krijgt door de <strong>rechthoekige</strong> DABC te laten wentelen.<br />
a om AB<br />
b om AC<br />
Een balk ( EFGH<br />
ABCD<br />
Bereken a.<br />
)<br />
is 8 m breed, 11 m diep en 6 m hoog.<br />
Je zwemt <strong>een</strong> kanaal over en je maakt daarbij <strong>een</strong> hoek van 41° met de oever.<br />
Het kanaal is 20 m breed.<br />
Hoeveel meter moet je zwemmen om de andere oever te bereiken?<br />
Op <strong>een</strong> afstand van 125 m zie je, recht voor je uit kijkend,<br />
de voet van <strong>een</strong> toren.<br />
Kijk je onder <strong>een</strong> hoek van 22° naar boven, dan zie je de top.<br />
Bereken, op 0,1 m nauwkeurig, de hoogte van deze toren.<br />
Copyright4.2<br />
Toepass<strong>in</strong>gen 127<br />
F<br />
6 m<br />
B<br />
G<br />
C<br />
B<br />
A<br />
8 m<br />
α<br />
6 cm<br />
E<br />
A<br />
40º<br />
11 m<br />
C<br />
H<br />
D<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
128<br />
28<br />
29<br />
30<br />
31<br />
Een vliegtuig vliegt op <strong>een</strong> hoogte van 10 km.<br />
Als je weet dat de dal<strong>in</strong>gshoek 3° is, hoe ver van<br />
de land<strong>in</strong>gsplaats moet dan de piloot de land<strong>in</strong>g<br />
<strong>in</strong>zetten?<br />
Een lichtstraal die schu<strong>in</strong> <strong>in</strong> het water <strong>in</strong>valt, ondergaat <strong>een</strong><br />
brek<strong>in</strong>g die <strong>in</strong> de volgende formule uitgedrukt wordt:<br />
_____ s<strong>in</strong> a<br />
=<br />
4<br />
s<strong>in</strong> b _ . Een lichtstraal die loodrecht <strong>in</strong>valt, treft de bodem<br />
3<br />
<strong>in</strong> <strong>een</strong> punt P.<br />
Op welke afstand van P treft de lichtstraal de bodem, als de<br />
<strong>in</strong>valshoek a gelijk is aan 30° en het water 1 m diep is?<br />
Werk op 1 cm nauwkeurig.<br />
In ruit ABCD is de hoek <br />
A gelijk aan 40° en de zijde 10 m.<br />
Bereken de lengte van de diagonalen op 1 cm nauwkeurig.<br />
In de kamer van Fran staat het bed op 80 cm<br />
van de deur.<br />
De deur is 1 m breed. Om <strong>een</strong> goede doorgang<br />
te hebben, moet de deur m<strong>in</strong>stens 62° open<br />
kunnen staan. Is dit mogelijk?<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
deur<br />
1 m<br />
Q<br />
β<br />
α<br />
P<br />
80 cm
32 Bereken de oppervlakte van parallellogram ABCD<br />
A<br />
B<br />
op 0,01 nauwkeurig.<br />
60°<br />
33<br />
34<br />
35<br />
Bereken op 1 c m 2 nauwkeurig de oppervlakte van <strong>een</strong> gelijkbenige DABC waarvan de<br />
tophoek gelijk is aan 62° en de hoogte op de basis 3 m.<br />
Een kraanmach<strong>in</strong>ist moet <strong>een</strong> big bag plaatsen op <strong>een</strong> toren <strong>in</strong> opbouw.<br />
De toren is nu 6 m hoog. De onderkant van de big bag hangt<br />
1,66 m onder de top van de kraanarm.<br />
De kraanarm heeft <strong>een</strong> lengte van 10 m en is op<br />
de wagen bevestigd op 2 m boven de grond.<br />
Hoe groot is de kle<strong>in</strong>ste hoek die de kraanarm<br />
moet maken om de big bag nog op de toren te<br />
kunnen leggen?<br />
Kapers gaan <strong>een</strong> schip enteren. Daarvoor willen ze kett<strong>in</strong>gen<br />
afschieten zodat de masten van het kle<strong>in</strong>ere schip vernield<br />
worden, maar de romp en de lad<strong>in</strong>g <strong>in</strong>tact blijven.<br />
met kett<strong>in</strong>gen hebben de kanonnen maar <strong>een</strong> bereik van<br />
100 m. De man <strong>in</strong> het kraaiennest weet dat hij 50 m boven de<br />
waterlijn zit. Hij ziet het schip naderen onder <strong>een</strong> hoek van<br />
30°. Kunnen ze nu het schip raken?<br />
Copyright4.2<br />
Toepass<strong>in</strong>gen 129<br />
D<br />
8<br />
C<br />
5<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
130<br />
36<br />
37<br />
Tijdens <strong>een</strong> citytrip naar Parijs logeer je <strong>in</strong> <strong>een</strong> hotel<br />
met zicht op de Eiffeltoren. Vanuit je venster op de<br />
zesde verdiep<strong>in</strong>g, 21 m hoog, kijk je onder <strong>een</strong> hoek<br />
van 56,6° naar de top en onder <strong>een</strong> hoek van 6° naar de<br />
voet van de toren.<br />
Vul de teken<strong>in</strong>g aan en bereken de hoogte van de<br />
Eiffeltoren.<br />
Eiffeltoren<br />
Aan de rand van <strong>een</strong> slotgracht zie je de top van <strong>een</strong> toren onder <strong>een</strong> hoek van 76°.<br />
Ga je 60 m achteruit, dan zie je de top onder <strong>een</strong> hoek van 34°.<br />
a Hoe breed is de slotgracht?<br />
b Hoe hoog is de toren?<br />
22 Duid de afstanden aan op de teken<strong>in</strong>g.<br />
24 I = kegel<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
1 _<br />
3 p r 2 h<br />
28 De dal<strong>in</strong>gshoek is de hoek die gevormd wordt met <strong>een</strong> horizontale lijn.<br />
Copyright
Herhal<strong>in</strong>g: voor wie iets meer wil<br />
38 a is <strong>een</strong> scherpe hoek van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>.<br />
Vul de tabel <strong>in</strong> en rond de getallen af op 0,001 en de hoeken op 0,1 nauwkeurig.<br />
39<br />
40<br />
41<br />
42<br />
a s<strong>in</strong> a cos a tan a<br />
60°<br />
72,4°<br />
0,568<br />
0,976<br />
Hoeveel m 2 dakbedekk<strong>in</strong>g is er nodig om het dak te vernieuwen van <strong>een</strong> huis van<br />
12 m breed en 8 m diep?<br />
40° 40°<br />
8 m<br />
Een biljarttafel is 285 cm<br />
bij 142,5 cm.<br />
Een biljartbal wordt zonder<br />
effect van het punt A<br />
naar het punt B gespeeld.<br />
Welke afstand heeft de<br />
biljartbal afgelegd?<br />
36,5 cm<br />
40°<br />
A<br />
Een ladder van 6,5 m staat tegen <strong>een</strong> muur. De voet van de ladder is op 1,5 m van de<br />
muur geplaatst.<br />
Welke hoek vormt de ladder met de muur en op welke hoogte steunt de ladder tegen<br />
de muur?<br />
Bereken op 0,1 nauwkeurig.<br />
De omtrek van <strong>een</strong> ruit is 26,4 m. Eén van de diagonalen is 2,5 m.<br />
Bereken de hoeken van de ruit op 0,1° nauwkeurig.<br />
Copyright<br />
Herhal<strong>in</strong>g: voor wie iets meer wil 131<br />
B<br />
75 cm<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
132<br />
43 Een piloot beg<strong>in</strong>t aan <strong>een</strong> vlucht van 2 500 km<br />
(van A naar C). Hij moet uitwijken naar B om te<br />
gaan tanken. Hij wijkt hiervoor 20° af van zijn<br />
koers. Aangekomen <strong>in</strong> B, stelt de piloot vast dat<br />
hij 870 km gevlogen heeft.<br />
Hoeveel km moet hij nog vliegen om <strong>in</strong> C aan te<br />
komen?<br />
A<br />
44<br />
45<br />
Bereken de hoeken op 1° en de afstanden op 0,1 nauwkeurig.<br />
a<br />
b<br />
A , B en C<br />
Q , 1 Q en 2<br />
<br />
Q 3<br />
c | QA | , | QB | en | QC |<br />
In 1960 werden op het kanaal Brussel – Charleroi<br />
55 sluizen vervangen door 10 sluizen en het hellend vlak<br />
van Ronquières.<br />
Het hellend vlak overbrugt <strong>een</strong> afstand van 1 432 m en<br />
heeft <strong>een</strong> hell<strong>in</strong>gshoek van 2,72°.<br />
Wat is het hoogteverschil tussen beg<strong>in</strong>- en e<strong>in</strong>dpunt?<br />
46 Een cil<strong>in</strong>dervormige waterton met diameter<br />
70 cm en <strong>een</strong> hoogte van 1 m is volledig gevuld.<br />
Omdat de ton te zwaar is om te verplaatsen,<br />
kantelen we ze over 35° zodat er water wegloopt.<br />
Hoe hoog staat het water <strong>in</strong> de gekantelde ton?<br />
A<br />
47<br />
48<br />
Toon met de figuur aan.<br />
a s<strong>in</strong> 45° = √_ ___ 2<br />
2<br />
b cos 45° = √_ ___ 2<br />
2<br />
c tan 45° = 1<br />
a en b zijn de scherpe hoeken van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> en s<strong>in</strong> a = 1<br />
_<br />
2 .<br />
Bereken zonder rekenmach<strong>in</strong>e.<br />
a cos a en tan a<br />
20º<br />
870 km<br />
b s<strong>in</strong> b, cos b en tan b<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
B<br />
2 500 km C<br />
1<br />
2<br />
3<br />
C B<br />
A<br />
4<br />
P<br />
D<br />
70 cm<br />
35º<br />
C<br />
B<br />
A<br />
45º<br />
1 m<br />
B<br />
Q<br />
2<br />
C
49<br />
50<br />
51<br />
52<br />
Duid de juiste antwoorden aan.<br />
| CD | is gelijk aan<br />
a cos 40° ∙ cos 30°<br />
b<br />
c<br />
d<br />
cos 30°<br />
_______<br />
cos 40°<br />
1<br />
_____________<br />
cos 40° ∙ cos 30°<br />
cos 50°<br />
_______<br />
cos 30°<br />
Stel: op de Noordpool en Zuidpool<br />
staan twee telescopen opgesteld en<br />
0,94°<br />
ze zijn beide op dezelfde maankrater<br />
gericht. Op <strong>een</strong> zeker moment<br />
M<br />
‘kijken’ ze allebei onder <strong>een</strong> hoek van<br />
0,94° naar deze krater. De ‘polar<br />
0,94°<br />
radius’ is de afstand tussen het<br />
centrum van de aarde en de Noorden<br />
Zuidpool en bedraagt 6 357 km.<br />
Hoe groot is de afstand van de maankrater tot het middelpunt van de aarde?<br />
Gegeven: DABC is gelijkbenig met tophoek <br />
A = 30°<br />
| AB | = | AC | = 8 m<br />
Z is het zwaartepunt<br />
Gevraagd: | CZ | op 0,1 m nauwkeurig<br />
Bereken | BC | op 0,1 m nauwkeurig.<br />
Copyright<br />
Herhal<strong>in</strong>g: voor wie iets meer wil 133<br />
Q<br />
5 m<br />
A<br />
B<br />
1<br />
C<br />
B<br />
A<br />
40º<br />
8 m<br />
38º<br />
60º<br />
P<br />
A<br />
30°<br />
N<br />
C<br />
30º<br />
50º<br />
6 357 km<br />
A<br />
Z<br />
Z<br />
D<br />
B<br />
C<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6
4<br />
134<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
Junior Wiskunde Olympiade<br />
In dit parallellogram, dat tevens <strong>een</strong> ruit is, meet de langste<br />
diagonaal 40 en de hoogte 24.<br />
Bepaal de lengte van de andere diagonaal.<br />
A 28 B 30 C 32 D 34 E 36<br />
In de <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> ABC is | AB | = 4 en CD en EF<br />
staan loodrecht op AB en DE staat loodrecht op AC.<br />
De lengte van [ EF ] is gelijk aan<br />
A 4 si n 4 a B 4 si n 3 a ∙ cos a C 4 si n 2 a ∙ co s 2 a D 4 s<strong>in</strong> a ∙ co s 3 a E 4 co s 4 a<br />
DABC met <br />
B = 90° , | AB | = 15 cm<br />
en | BC | = 30 cm<br />
In deze <strong>driehoek</strong> wordt <strong>een</strong> vierkant <strong>in</strong>geschreven<br />
zoals <strong>in</strong> de figuur. Hoe lang is de<br />
zijde van dit vierkant?<br />
A 8 cm B 9 cm C 10 cm D 12 cm E 13 cm<br />
Bepaal de oppervlakte van het parallellogram<br />
<strong>in</strong> de figuur.<br />
15 cm<br />
A 18 B 20 C 24 D 25 E 28<br />
Copyright<br />
<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />
A<br />
B<br />
_<br />
4√2 A<br />
3<br />
45º<br />
8<br />
α<br />
40<br />
30 cm<br />
F<br />
D<br />
135º<br />
E<br />
_<br />
3√2 24<br />
B<br />
C<br />
C
5<br />
6<br />
De hoogtelijn verdeelt de rechte hoek van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> met rechthoekszijden 3<br />
en 4 <strong>in</strong> twee hoeken a en b. Dan is cos a + cos b gelijk aan<br />
A √ _<br />
2 B √_ ______ 3 + 1<br />
2<br />
Een 30° − 60° − 90° <strong>driehoek</strong> met schu<strong>in</strong>e zijde<br />
1 wentelt om het hoekpunt van de kle<strong>in</strong>ste hoek.<br />
Hierdoor beschrijven de andere twee hoekpunten<br />
twee concentrische cirkels.<br />
Wat is de oppervlakte van de r<strong>in</strong>g?<br />
cos 30° = √_ ___ 3<br />
2<br />
A 1 B p<br />
__<br />
2<br />
C 1,2 D 1,25 E 1,4<br />
C p<br />
__<br />
3<br />
D p<br />
__<br />
4<br />
E p<br />
__<br />
6<br />
Copyright<br />
Junior Wiskunde Olympiade 135<br />
1<br />
4
Copyright