You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Voortgezette meetkunde<br />
<strong>Wiskunde</strong> B VWO 2011/2012<br />
www.lyceo.nl
Onderwerpen <strong>Wiskunde</strong> B<br />
1. Functies en grafieken<br />
Standaardfuncties en<br />
grafieken<br />
Vergelijkingen en<br />
ongelijkheden<br />
Rekenregels<br />
2. Differentiaal- en<br />
integraalrekening<br />
Afgeleide functies<br />
<strong>Wiskunde</strong> B<br />
Algebraische technieken<br />
Integraalrekening<br />
3. Goniometrische functies<br />
Algebraische technieken<br />
Parameter krommen<br />
4. Voortgezette<br />
meetkunde<br />
2 www.lyceo.nl<br />
Oriëntatie op<br />
bewijzen<br />
Eigenschappen<br />
meetkundige<br />
figuren<br />
Conflictlijnen
Definities en stellingen<br />
Wat is een definitie/stelling?<br />
• Een definitie legt een begrip vast<br />
• Een stelling is een bewering die algemeen geldt en die bewezen kan worden.<br />
• Een vermoeden is een bewering die<br />
algemeen lijkt te gelden maar nog<br />
bewezen moet worden.<br />
Wat kan je ermee?<br />
• Je hebt stellingen en definities nodig<br />
om je bewijzen te onderbouwen en<br />
meetkundige plaatsen te construeren.<br />
Voorbeeld:<br />
Definitie: Een koordenvierhoek is een<br />
vierhoek waarvan alle punten op<br />
één cirkel liggen.<br />
Stelling: Als alle hoeken van een vierhoek<br />
op één cirkel liggen, zijn de<br />
hoeken in deze vierhoek die<br />
tegenover elkaar liggen opgeteld<br />
180 graden.<br />
3 www.lyceo.nl
Driehoeken<br />
Wat moet ik weten over driehoeken?<br />
• Som hoeken is 180<br />
• Oppervlakte =<br />
1<br />
2<br />
Er zijn drie speciale driehoeken:<br />
• Rechthoekige driehoek (1 hoek is 90 )<br />
– Stelling van Pythagoras:<br />
– SOS-CAS-TOA<br />
• Gelijkbenige driehoeken<br />
– Twee zijden van gelijk lengte<br />
– Hoeken tegenover deze zijden zijn gelijk<br />
• Gelijkzijdige driehoeken<br />
– Alle zijden van gelijke lengte<br />
– Alle hoeken zijn 60<br />
basis hoogte<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
hoogte<br />
basis<br />
4 www.lyceo.nl
De sinus- en cosinusregel<br />
Wat kan ik met de sinus- en cosinusregel?<br />
• Zijden en hoeken in willekeurige driehoeken berekenen<br />
Hoe gebruik ik de sinusregel?<br />
Nodig: twee hoeken en een zijde of twee zijden en een hoek<br />
a<br />
Vul de bekenden in de sinusregel in:<br />
sin( )<br />
b<br />
sin( )<br />
c<br />
sin( )<br />
Kruislings vermenigvuldigen en oplossen<br />
Hoe gebruik ik de cosinusregel?<br />
Nodig: twee zijden en de tussenliggende hoek<br />
Vul de cosinus regel in: 2 2 2 c a b 2ab cos( )<br />
5 www.lyceo.nl<br />
c<br />
b<br />
a
Gelijkvormigheid<br />
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als aan één van de volgende eigenschappen is voldaan:<br />
• Twee paar hoeken gelijk (hh)<br />
• Verhouding van zijden gelijk (zzz)<br />
• Eén hoek en verhouding omliggende zijden gelijk (zhz)<br />
• Verhouding twee zijden gelijk en rechte hoek gelijk (zzr)<br />
c<br />
b<br />
• Tip: Zoek naar snavel- en zandloperfiguren.<br />
a<br />
6 www.lyceo.nl<br />
f<br />
e<br />
d
Congruentie<br />
Twee driehoeken zijn congruent als aan één van de volgende eigenschappen is voldaan:<br />
• Alle zijden gelijk (ZZZ)<br />
• Twee zijden en één tussenliggende hoek gelijk (ZHZ)<br />
• Eén zijde en twee aanliggende hoeken gelijk (HZH)<br />
• Eén zijde, aanliggende en overstaande hoek gelijk (ZHH)<br />
• Twee zijden en overstaande rechthoekige hoek gelijk (ZZR)<br />
a<br />
b<br />
c<br />
7 www.lyceo.nl<br />
c<br />
b<br />
a
Speciale lijnen<br />
• Zwaartelijn<br />
– Vanuit hoekpunt naar midden overstaande zijde<br />
• Hoogtelijn<br />
– Vanuit hoekpunt loodrecht op overstaande zijde<br />
• Bisectrice<br />
– Vanuit hoekpunt, deelt hoek in twee gelijke hoeken<br />
• Middelloodlijn<br />
– Vanuit midden van zijde loodrecht op zijde<br />
8 www.lyceo.nl
• F – hoeken<br />
Speciale hoeken<br />
– Treden op bij twee evenwijdige lijnen en een snijdende lijn<br />
• Z - hoeken<br />
– Treden op bij twee evenwijdige lijnen en een snijdende lijn<br />
• Overstaande hoeken<br />
– Treden op bij twee snijdende lijnen<br />
• Gestrekte hoeken<br />
– Een hoek van 180<br />
– Drie punten A, B en C liggen op één lijn als de hoek ABC<br />
180<br />
9 www.lyceo.nl
Parallellogram<br />
Wat moet ik weten over het parallellogram?<br />
• Overstaande zijden lopen evenwijdig<br />
• Hoeken samen 360<br />
• Overstaande hoeken zijn gelijk<br />
• Oppervlakte:<br />
• Speciale gevallen:<br />
– Rechthoek: elke hoek is 90<br />
– Ruit: A = B<br />
basis hoogte of A B sin(<br />
– Vierkant: A = B en elke hoek is 90<br />
10 www.lyceo.nl<br />
)<br />
B B<br />
hoogte<br />
A<br />
basis<br />
A
Trapezium<br />
Wat moet ik weten over het trapezium?<br />
• Vierhoek waarbij minstens twee zijden evenwijdig lopen<br />
• Hoeken samen 360<br />
• Oppervlakte:<br />
1<br />
(a b) h<br />
2<br />
h<br />
a<br />
11 www.lyceo.nl<br />
b
Cirkel<br />
En... wat moet ik weten over de cirkel?<br />
• Omtrek:<br />
• Oppervlakte:<br />
2 r<br />
• Oppervlakte cirkelsector:<br />
• Lijn k is een koorde<br />
2<br />
r<br />
360<br />
k<br />
r<br />
12 www.lyceo.nl<br />
2<br />
r
Cirkeleigenschappen<br />
Lijn van middelpunt loodrecht op koorde:<br />
• Deelt koorde middendoor<br />
Raaklijn aan cirkel:<br />
• Staat loodrecht op verbindingslijn van middelpunt naar raakpunt<br />
13 www.lyceo.nl<br />
M
Bogen, koorden en hoeken<br />
Bij gelijke bogen horen gelijke koorden<br />
• Als b 1 = b 2 dan geldt dat k 1 = k 2 en andersom<br />
Bij gelijke bogen (en dus gelijke koorden) horen ook gelijke middelpuntshoeken<br />
• Als b 1 = b 2 dan geldt dat α = β<br />
b 2<br />
k 2<br />
α<br />
M<br />
•<br />
14 www.lyceo.nl<br />
β<br />
k 1<br />
b 1
Stelling van de koordenvierhoek<br />
Stelling koordenvierhoek:<br />
• Alle punten van een vierhoek liggen op een cirkel (een koordenvierhoek)<br />
• De som van de tegenoverliggende hoeken is 180<br />
Dus voor koordenvierhoek ABCD geldt:<br />
•<br />
180<br />
15 www.lyceo.nl<br />
D<br />
A<br />
C<br />
B
Stelling van de constante hoek<br />
• Als C en D op cirkel liggen aan dezelfde kant van koorde AB geldt:<br />
Stelling van Thales (speciaal geval):<br />
• Als AB de middellijn van de cirkel is,<br />
heeft de constante hoek een grootte<br />
van 90<br />
ACB<br />
ADB<br />
16 www.lyceo.nl<br />
B<br />
A<br />
C<br />
D
Middelpunts- en omtrekshoek<br />
Punten A, B en C liggen op een cirkel met middelpunt M<br />
• Omtrekshoek =<br />
• Middelpuntshoek =<br />
• Er geldt:<br />
ABC 2 1<br />
ABC<br />
AMC<br />
AMC<br />
B<br />
17 www.lyceo.nl<br />
M<br />
C<br />
A
Raaklijnhoek<br />
Punten A en B liggen op cirkel met middelpunt M, lijn k is raaklijn aan cirkel in punt A<br />
• Hoek tussen koorde AB en lijn k is helft van middelpuntshoek:<br />
1<br />
2<br />
C<br />
AMB ACB<br />
M<br />
B<br />
Merk op: Raaklijnhoek is een limiet geval van de middelpunts- en omtrekshoek stelling<br />
18 www.lyceo.nl<br />
k<br />
A
Parabool<br />
Punt P ligt op een parabool met brandpunt F en richtlijn k. De raaklijn aan deze<br />
parabool in het punt P is R.<br />
• Lijn R heeft gelijke hoeken met de lijn FP en de lijn van P loodrecht op k.<br />
R F<br />
P<br />
*<br />
*<br />
k<br />
19 www.lyceo.nl
Conflictlijnen<br />
Conflictlijnen zijn lijnen waarvan ieder punt een gelijke afstand heeft tot twee<br />
verschillende objecten.<br />
Hoe teken ik de conflictlijn tussen twee punten A en B?<br />
Teken de verbindingslijn tussen de punten<br />
Bepaal het midden<br />
Teken een lijn loodrecht op het midden<br />
(de middelloodlijn)<br />
Hoe teken ik de conflictlijn tussen twee evenwijdige lijnen l en k?<br />
Bepaal het midden tussen l en k<br />
Teken een lijn evenwijdig aan l (of k) door het midden<br />
(de middellijn)<br />
20 www.lyceo.nl<br />
A<br />
B<br />
l<br />
k
Conflictlijnen<br />
Hoe teken ik de conflictlijn tussen twee snijdende lijnen l en k?<br />
Bepaal de hoek tussen de lijnen<br />
Teken de lijn die de hoeken door de helft deelt (de bissectrice)<br />
21 www.lyceo.nl<br />
k<br />
l
Conflictlijnen<br />
Hoe teken ik de conflictlijn tussen een punt A en een lijn k?<br />
Teken een lijn l vanaf A naar k. Noem het snijpunt V (voetpunt)<br />
Teken de middelloodlijn van deze lijn<br />
Teken een loodrechte lijn op k vanuit het voetpunt V<br />
Snijpunt van de loodrechte lijn en de middelloodlijn is een punt op de conflictlijn<br />
Herhaal dit voor andere voetpunten en je krijgt een parabool<br />
V<br />
l<br />
22 www.lyceo.nl<br />
A<br />
k
Isolijnen<br />
Wat is een isolijn?<br />
• Lijn op bepaalde constante afstand van een figuur<br />
De isolijn is afhankelijk van de vorm van het gebied:<br />
• Rechte lijn evenwijdige rechte lijn op gegeven afstand<br />
• Uitgaande hoek cirkeldeel met straal gegeven afstand<br />
• Ingaande hoek deellijn tot gegeven afstand<br />
23 www.lyceo.nl
Stappenplan voor bewijzen in meetkunde<br />
Verkennen:<br />
– Maak een analysefiguur en geef daarin in verschillende kleuren aan:<br />
• De gegevens<br />
• Wat er bewezen moet worden<br />
Analyseren<br />
– Vooruitdenken: Probeer m.b.v. stellingen uit de gegevens wat dingen af te leiden en geef dit<br />
aan in je analysefiguur.<br />
– Terugdenken: Bedenk uit hetgene dat bewezen moet worden wat de stap daarvoor zou<br />
kunnen zijn en geef ook dit aan in je analysefiguur.<br />
– Plan maken: Probeer een verband te leggen tussen de resultaten uit het vooruit- en<br />
terugdenken.<br />
Geef het bewijs volgens het bewijsschema:<br />
– Gegeven:<br />
– Te bewijzen:<br />
– Bewijs:<br />
Sluit af met een conclusie<br />
24 www.lyceo.nl
Tips & Tricks<br />
• Stellingen die op het formule blad staan mag je gebruiken zonder ze te bewijzen<br />
• Als je niet uit een bewijs vraag komt, neem dan rustig even de lijst met stellingen<br />
door en kijk welke relevant zijn voor de situatie. Misschien kom je dan toch nog op<br />
een idee.<br />
• Ga vooral niet te lang staren op een bewijsvraag, soms werkt het heel goed om<br />
door te gaan met de volgende vraag en aan het eind terug te keren (welicht met<br />
nieuwe inzichten!)<br />
25 www.lyceo.nl
Change language